二次函数的二次函数的图象图象和和性质复习性质复习（（ 11 ））

江阴市南闸中学江阴市南闸中学

【☆中考动向前瞻】 二次函数二次函数历年来是中考重点考查的内容 .

二次函数的二次函数的图象图象和和性质 性质 (( 复习复习1)1)

【本节课复习目标】 复习运用数形结合思想、转化思想、待定系数法等。完成二次函数的以下三者之间的转化：

图象

性质 解析式

知识回顾

1 、下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1 (2) y=x+

(3) s=3-2t² (4) y=(x+3)²-x²

(5) v=10π r²

1x

__

一、二次函数的概念一、二次函数的概念　形如 y=ax2+bx+c(a、 b 、 c 是常数， a≠0﹞ 的函数叫做二次函数

._______)2

1(1 12 2

kxky kk 是二次函数，则、函数例

._____1)1(2

mmxxmy mm 是二次函数，则练习：函数

其解析式为 ________ 。

　二次函数的几种表达式：

)0(2 aaxy

)0(2 acaxy)0()( 2 ahxay

)0()( 2 akhxay

)0(2 acbxaxy

)0)()(( 21 axxxxay

( 顶点式 )

( 一般式 )

( 交点式 )

x

y

o

抛物线开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

a>0

a<0

增减性

a>0

a<0

2axy caxy 2 2)( hxay khxay 2)( cbxaxy 2

二次函数的图象及性质

当 a>0 时开口向上，并向上无限延伸；当 a<0 时开口向下，并向下无限延伸 . ︳ a ︱越大开口越小。

(0,0) (0,c) (h,0) (h,k) )4

4,

2(

2

a

bac

a

b

a

bx

2直线y 轴 直线 hx 直线 hx

在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减小

x

y

x

y

0

0

min y

x 时，

0

0

max y

x 时

cy

x

min

0时，

cy

x

max

0时

0min y

hx 时

0max y

hx 时

ky

hx

min

时

ky

hx

max

时

a

bacy

a

bx

4

4

2

2

min

时，

a

bacy

a

bx

4

4

2

2

max

时，

y 轴

对应练习

1 、函数 y= － 2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左

侧， y 随 x 的增大而 _______ 。

2 、二次函数 y=x2 － 2x － 3 的图象是 ___, 顶点是____, 对称轴为 _____, 当 x ___ 时， y 随 x 的增大而增大，当 x____ 时，函数值最 ____, 等于 _____ 。

3 、已知 y= （ k+2 ） x 是二次函数， 且当 x>0 时， y 随 X 增大而增大，则 k=___.

k2+k-4

4 、已知抛物线 y=x2 － kx ＋ k ＋ 1 ，根据下列条件，求 k 的值

（ 1 ）抛物线过点（ -1 ， -2 ）， k____ 。（ 2 ）对称轴为 y 轴， k=_____ 。（ 3 ）当 x=-1 时，函数有最小值， k=_____ 。（ 4 ）抛物线的最小值为 -1 , k=_____ 。

5 、将抛物线 y=(x-2)2-1 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到二次函数的解析式为 。

6 、（ 06 年宿迁市）将一抛物线向左平移 4 个单位后，再向下平移 2 个单位得抛物线 y=x2 ， � 则平移前抛物线的解析式是 ________ ．

y = ax2

y = ax2 + k y = a(x - h )2

y = a( x - h )2 + k

上下平移 左右平移

上下平移

左右平移

结论 : 抛物线 y = a(x-h)2+k 与 y = ax2 形状相同，位置不同。

二、各种形式的二次函数的关系

左加右减上加下减

例 1 已知二次函数

（ 1 ）求抛物线的对称轴和顶点 D 的坐标。（ 2 ）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A 、 B （ A 在 左边） 两点，求 A ， B 、 C 三点坐标的坐标。（ 3 ）画出函数图象的示意图。（ 4 ） x 为何值时， y<0 ？ x 为何值时， y>0？

2

3

2

1 2 xxy

1 3O x

y

练习、已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象交 x轴于 (1 、0 ）、（ 3 、0 ）两点，与 y 轴交于点 (0 、2 ），则（ 1 ）当 时， y> 0 ； （ 2 ）当 时， y= 0 ； （ 3 ）当 时， y< 0 。

X ＜ 1 或 X ＞3X ＝ 1 或 31 ＜ X ＜3

2

X ＜ 0 或 X ＞4X ＝ 0 或 40 ＜ X ＜4

4

222

AB

例 2 、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，试判断以下的符号 a 、 b 、 c

2a+b 、 b2-4ac 、 a+b+c 、 4a+2b+c

o 2

练习

已知二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，试判断下列各式的符号a 、 b 、 c 、2a-b 、 2a+b 、b2-4ac 、a+b+c 、 a-b+c 、4a+2b+c 、 4a-2b+c

1-1

三、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的系数 a ， b ， c ，△与　　抛物线的关系 a

a,b

c

△

a 决定开口方向： a ＞０时开口向上，　　　　　　　 a ＜０时开口向下 ︳ a ︱越大开口越小。a 、 b 同时决定对称轴位置： a 、 b 同号时对称轴在 y 轴左侧　　　　　　　　　　　　 a 、 b 异号时对称轴在 y 轴右侧　　　　　　　　　　　　 b ＝０时对称轴是 y 轴c 决定抛物线与 y 轴的交点： c ＞０时抛物线交于 y 轴的正半轴　　　　　　　　　　　　 c ＝０时抛物线过原点　　　　　　　　　　　　 c ＜０时抛物线交于 y 轴的负半轴△决定抛物线与 x 轴的交点：△＞０时抛物线与 x 轴有两个交点　　　　　　　　　　　　△＝０时抛物线与 x 轴有一个交点　　　　　　　　　　　　△＜０时抛物线于 x 轴没有交点

A

BC

O

A １A２

y

x30°

如图，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半 轴上，将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转30° ，使点 A 落在抛物线 的图象上。

（ 1 ）求抛物线 的函数关系式。 （ 2 ）正方形 OABC 继续按顺时针旋转多少度时，点 A 再次落在抛物线 的图象上？并求出这个 点的坐标。

)0(2 aaxy2axy

2axy

2axy

1

1

课后探究 :

归纳小结：11 、二次函数的概念、二次函数的概念

22 、二次函数的图象及性质、二次函数的图象及性质

3 、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的系数 a ， b ， c ，△与抛物线的关系