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实变函数复习整理 第 1 页/共 15 页 刘承刚
实变函数复习整理
中国人民大学 2013 级信息学院 刘承刚
集合与点集
𝟎𝟎𝟏 {𝐴𝛼: 𝛼 ∈ 𝐼}或{𝐴𝛼}𝛼∈𝐼，其中𝐼称 ；当𝐼 = ℕ时，集合族也称 ，记作{𝐴𝑖}或{𝐴𝑘}
𝟎𝟎𝟐
{
交与并—
{
定义—⟦
⋃𝐴𝛼𝛼∈𝐼
= {𝑥: ∃𝛼 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝐴𝛼}
⋂𝐴𝛼𝛼∈𝐼
= {𝑥: ∀𝛼 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝐴𝛼}
分配律—⟦
𝐴⋂(⋃𝐵𝛼𝛼∈𝐼
) =⋃(𝐴⋂𝐵𝛼)
𝛼∈𝐼
𝐴⋃(⋂𝐵𝛼𝛼∈𝐼
) =⋂(𝐴⋃𝐵𝛼)
𝛼∈𝐼
De.Morgan法则—⟦
(⋃𝐴𝛼𝛼∈𝐼
)
𝑐
=⋂𝐴𝛼𝑐
𝛼∈𝐼
(⋂𝐴𝛼𝛼∈𝐼
)
𝑐
=⋃𝐴𝛼𝑐
𝛼∈𝐼
这些运算法则可以将交集运算和并集运算互换，方便了使用外测度的次可加性。
点集分解：
若𝑓(𝑥)是[𝑎, 𝑏]上的实值函数，可得—⟦
[𝑎, 𝑏] =⋃{𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: |𝑓(𝑥)| < 𝑛}∞
𝑛=1
{𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: |𝑓(𝑥)| > 0} =⋃{𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: |𝑓(𝑥)| >1𝑛}
∞
𝑛=1
𝟎𝟎𝟑 {递减集合列：{𝐴𝑘}有𝐴1 ⊃ 𝐴2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐴𝑘 ⊃ ⋯
递增集合列：{𝐴𝑘}有𝐴1 ⊂ 𝐴2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐴𝑘 ⊂ ⋯
𝟎𝟎𝟒
{
上、下限集—⟦
( ) ： lim𝑘→∞
𝐴𝑘 ≔⋂⋃𝐴𝑘
∞
𝑘=𝑗
∞
𝑗=1
( ) ： lim𝑘→∞
𝐴𝑘 ≔⋃⋂𝐴𝑘
∞
𝑘=𝑗
∞
𝑗=1
极限集—⟦
递减集合列{𝐴𝑘}： lim𝑘→∞
𝐴𝑘 =⋂𝐴𝑘
∞
𝑘=1
递增集合列{𝐴𝑘}： lim𝑘→∞
𝐴𝑘 =⋃𝐴𝑘
∞
𝑘=1
一般集合列{𝐴𝑘}： lim𝑘→∞
𝐴𝑘 = lim𝑘→∞
𝐴𝑘 = lim𝑘→∞
𝐴𝑘
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𝟎𝟎𝟓
{
运算性质—⟦
𝐸\ lim𝑘→∞
𝐴𝑘 = lim𝑘→∞
(𝐸\𝐴𝑘)
𝐸\ lim𝑘→∞
𝐴𝑘 = lim𝑘→∞
(𝐸\𝐴𝑘)
从属关系—⟦lim𝑘→∞
𝐴𝑘 = {𝑥: ∀𝑗, ∃𝑘 ≥ 𝑗, 𝑥 ∈ 𝐴𝑘} = {𝑥: 𝑥属于无数个𝐴𝑘}
lim𝑘→∞
𝐴𝑘 = {𝑥: ∃𝑗0, ∀𝑘 ≥ 𝑗0, 𝑥 ∈ 𝐴𝑘} = {𝑥: 𝑥只不属于有限个𝐴𝑘}
包含关系— lim𝑘→∞
𝐴𝑘 ⊂ lim𝑘→∞
𝐴𝑘
不收敛点集分解：
设{𝑓𝑛(𝑥)}以及𝑓(𝑥)是定义在ℝ1上的实值函数，则使𝑓𝑛(𝑥)不收敛于𝑓(𝑥)的一切点𝑥所形成的集合𝐷为：
𝐷 =⋃⋂⋃{𝑥: |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≥1
𝑘}
∞
𝑛=𝑁
∞
𝑁=1
∞
𝑘=1
𝟎𝟎𝟔
{
象集—⟦
𝑓(⋃𝐴𝛼𝛼∈𝐼
) =⋃𝑓(𝐴𝛼)
𝛼∈𝐼
𝑓 (⋂𝐴𝛼𝛼∈𝐼
) ⊂⋂𝑓(𝐴𝛼)
𝛼∈𝐼
原象集—⟦
𝐵1 ⊂ 𝐵2⟹ 𝑓−1(𝐵1) ⊂ 𝑓−1(𝐵2)
𝑓−1 (⋃𝐵𝛼𝛼∈𝐼
) =⋃𝑓−1(𝐵𝛼)
𝛼∈𝐼
𝑓−1 (⋂𝐵𝛼𝛼∈𝐼
) =⋂𝑓−1(𝐵𝛼)
𝛼∈𝐼
𝑓−1(𝐵𝑐) = (𝑓−1(𝐵))𝑐
𝟎𝟎𝟕 𝜒𝐴
{
𝜒𝐴(𝑥) ≔ {
1, 𝑥 ∈ 𝐴0, 𝑥 ∈ 𝑋\𝐴
，当𝐴 = ℚ,𝑋 = ℝ时即为狄利克雷函数
性质—⟦
𝜒𝐴⋃𝐵(𝑥) = 𝜒𝐴(𝑥) + 𝜒𝐵(𝑥) − 𝜒𝐴⋂𝐵(𝑥)
𝜒𝐴⋂𝐵(𝑥) = 𝜒𝐴(𝑥) ⋅ 𝜒𝐵(𝑥)
𝜒𝐴\𝐵(𝑥) = 𝜒𝐴(𝑥)[1 − 𝜒𝐵(𝑥)]
𝟎𝟎𝟖
{
定义—存在𝐴到𝐵上的一一映射，称𝐴与𝐵对等，记作𝐴~𝐵
对等是一种等价关系—⟦𝐴~𝐴𝐴~𝐵 ⟹ 𝐵~𝐴𝐴~𝐵, 𝐵~𝐶 ⟹ 𝐴~𝐶
Cantor − Bernstein定理—∃𝐴 ⊊ 𝑋,𝐵 ⊊ 𝑌，并且𝐴~𝑌,𝐵~𝑋，则𝑋~𝑌
对等实例：
ℕ× ℕ~ℕ(提示𝑛 = 2𝑝 ⋅ 𝑞)，(−1,1)~ℝ (提示𝑓(𝑥) =𝑥
1 − 𝑥2或𝑓(𝑥) = tan (
𝜋
2𝑥))
注意[0,1]~(0,1)的证明
(*)单调映射的不动点
设对于非空集合𝑋有𝑓:𝒫(𝑋) → 𝒫(𝑋)。若∀𝐴 ⊂ 𝐵 ∈ 𝒫(𝑋)有𝑓(𝐴) ⊂ 𝑓(𝐵)，则∃𝑇 ⊂ 𝒫(𝑋), 𝑓(𝑇) = 𝑇
(*)集合在映射下的分解
设𝑓: 𝑋 → 𝑌, 𝑔: 𝑌 → 𝑋，那么存在一种集合分解𝑋 = 𝐴⋃𝐴~, 𝑌 = 𝐵⋃𝐵~，其中𝐴⋂𝐴~ = 𝐵⋂𝐵~, 𝑓(𝐴) = 𝐵, 𝑔(𝐵~) = 𝐴~
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𝟎𝟎𝟗
{
基数反映的是一切对等集合所仅有的共性(数量属性)
如果𝐴与𝐵的一个子集对等，则�� ≤ ��，如果�� ≤ ��且�� ≠ ��，则称�� < ��
两种特殊的基数——ℕ = ℵ0, ℝ = ℵ1 = 𝑐(𝑐 ≔ (0,1] = ℝ1 = ℵ1)
𝐴是无限集，且�� = 𝛼，若𝐵是至多可列集，则𝐴⋃𝐵 = 𝛼
𝐴𝑘 = 𝑐 ⟹⋃𝐴𝑘
∞
𝑘=1
= 𝑐
无最大基数定理—若𝐴是非空集合，则𝐴与其幂集𝒫(𝐴)不对等，即�� < 𝒫(𝐴)
𝟎𝟏𝟎
{
任意一无限集𝐸必包含一个可列子集(结论：无限集的最小基数是ℵ0)
若𝐴𝑛为可列集，𝐵𝑛为有限集，则𝐶 = (⋃𝐴𝑛
∞
𝑛=1
)⋃(⋃𝐵𝑛
∞
𝑛=1
)也是可列集
常把 ℚ写成可列集的形式为{𝑟𝑛}
𝐴是无限集⟺ ∃𝐵 ⊊ 𝐴，s. t. 𝐴~𝐵
[0,1]不是可数集
一些命题：
若𝐸𝑘是可列集，则∏𝐸𝑘
𝑛
𝑘=1
是可列集，⋃ℕ𝑛∞
𝑛=1
是可列集 𝐸𝑘是可数集 则∏𝐸𝑘
∞
𝑘=1
= 𝑐
ℝ1中互不相交的开区间族是可数集；ℝ1上单调函数的不连续点为可数集
(∗)设𝑓(𝑥)是定义在ℝ1上的实值函数，则点集{𝑥 ∈ ℝ1: 𝑓(𝑥)在𝑥不连续，但𝑓(𝑥 + 0)存在}是可数集
设𝐸 ⊂ ℝ1是可列集，则∃𝑥0 ∈ ℝ1，s. t. 𝐸⋂(𝐸 + {𝑥0}) = ∅
(∗)无理点连续，有理点间断递增的函数：记(𝑎, 𝑏)中有理点为{𝑟𝑛}，作∑𝐶𝑛
𝑛
𝑖=1
< +∞,𝐶𝑛 > 0，定义𝑓(𝑥) = ∑ 𝐶𝑛𝑟𝑛<𝑥
(∗)设𝑓(𝑥)是定义在(𝑎, 𝑏)上的实值函数，则{𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏): 𝑓+′(𝑥)、𝑓−
′(𝑥)存在但不等}是可数集
(∗)设𝑓(𝑥)是定义在(𝑎, 𝑏)上的凸函数，则𝑓(𝑥)在至多除一可列点集外都是可微的
𝐴𝑘 = 𝑐 ⟹ �� = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 ,⋯ ): 𝑥𝑛 ∈ 𝐸𝑛(𝑛 = 1,2,⋯ )} = 𝑐
(∗)𝐴⋃𝐵 = 𝑐 ⟹ �� = 𝑐或�� = 𝑐
(∗)𝐶([𝑎, 𝑏]) = 𝑐，定义在[𝑎, 𝑏]上的实值函数全体ℱ > 𝑐
ℝ\ℚ = 𝑐
Tips:证明集合是可列集、不可数集、无限集的方法
对等{
定义—存在一一映射𝑓: 𝐴 → 𝐵
定义的结论—𝐴 = 𝐴1⋃𝐴2, 𝐵 = 𝐵1⋃𝐵2, 𝐴1⋂𝐴2 = ∅,𝐵1⋂𝐵2 = ∅
定理—∃𝐴 ⊊ 𝑋, 𝐵 ⊊ 𝑌，并且𝐴~𝑌, 𝐵~𝑋，则𝑋~𝑌
，∃𝑓: 𝐴11−1→ 𝐵1, 𝑔: 𝐴2
1−1→ 𝐵2，则𝜑 = {
𝑓, 𝑥 ∈ 𝐴1𝑔, 𝑥 ∈ 𝐴2
可列集
{
定义—�� = ℵ0
对等—𝐸~可列集𝐴(如 ℕ、ℕ𝑛、ℚ、ℚ𝑛)
不等关系—𝐴是无限集并且�� ≤ ℵ0即𝐴~可列集的子集
运算性质—若𝐴𝑛为可列集，𝐵𝑛为有限集，则𝐶 = (⋃𝐴𝑛
∞
𝑛=1
)⋃(⋃𝐵𝑛
∞
𝑛=1
)也是可列集
定理的衍生产物—任意一无限集𝐸必包含一个可列子集
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可数集 {定义—证明是有限集或可列集
对等—𝐸~ℝ1中互不相交的开区间族
不可数集
{
定义—反证不是可数集
对等—𝐸~不可数集𝐴(如 ℝ、ℝ𝑛、(0,1]、[0,1]、(𝑛, 𝑛 + 1]、[0,+∞)、无限集𝐴的幂集𝒫(𝐴))
不等关系—�� > ℵ0，特别地有时候同时利用�� ≤ ℵ1得到�� = 𝑐
运算性质—
{
𝐴𝑘 = 𝑐 ⟹⋃𝐴𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝑐、⋃𝐴𝑘
∞
𝑘=1
= 𝑐
𝐴⋃𝐵 = 𝑐 ⟹ �� = 𝑐或�� = 𝑐
无限集
{
定义—证明能去除无线多个元素
对等—𝐸~无限集𝐴
不等关系—∃𝐵 ⊊ 𝐴，s. t. 𝐴~𝐵
运算性质—𝐴是无限集，𝐵是可数集⟹𝐴⋃𝐵是无限集
𝟎𝟏𝟏
{
球形—⟦
开球—𝐵(𝑥0, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿}，也称( )
闭球—𝐶(𝑥0, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: |𝑥 − 𝑥0| ≤ 𝛿}
矩体—⟦
开矩体—∏(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖)
𝑛
𝑖=1
；闭矩体—∏[𝑎𝑖 , 𝑏𝑖]
𝑛
𝑖=1
；半开半闭矩体—∏(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖]
𝑛
𝑖=1
或∏[𝑎𝑖 , 𝑏𝑖)
𝑛
𝑖=1
边长—𝑏𝑖 − 𝑎𝑖，当边长相等时称为方体；diam(𝐼) ≔ √∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖)2𝑛
𝑖=1
，|𝐼| =∏(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝟎𝟏𝟐
{
点列的极限—设𝑥𝑘 ∈ ℝ
𝑛，若存在𝑥 ∈ ℝ𝑛，s. t. lim𝑘→∞
|𝑥𝑘 − 𝑥| = 0，称{𝑥𝑘}收敛于𝑥，𝑥是它的极限
点集的极限点—设𝐸 ⊂ ℝ𝑛, 𝑥 ∈ ℝ𝑛。若存在𝐸中互异点列{𝑥𝑘}，使得 lim𝑘→∞
𝑥𝑘 = 𝑥，称𝑥是𝐸的极限点
导集—𝐸′ = {𝑥: 𝑥是𝐸的极限点}；注意有限集𝐸′ = ∅
孤立点—设𝐸 ⊂ ℝ𝑛, ∃𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝛿 > 0，s. t. (𝐵(𝑥, 𝛿)\{𝑥})⋂𝐸 = ∅，即𝑥 ∈ 𝐸\𝐸′，称𝑥为𝐸的孤立点
𝑥是极限点的充要条件—|
⟺ 𝑥 ∈ 𝐸′
⟺ ∀𝛿 > 0，𝐵(𝑥, 𝛿)⋂𝐸有无穷多点
⟺ ∀𝛿 > 0，𝐵(𝑥, 𝛿)⋂𝐸至少有互异两点
导集的运算性质—设𝐸1, 𝐸2 ⊂ ℝ𝑛，有(𝐸1⋃𝐸2)
′ = 𝐸1′⋃𝐸2
′
Bolzano −Weierstrass定理—ℝ𝑛中任一有界无限点集𝐸至少有一个极限点
设𝐸 = {√𝑚 − √𝑛:𝑚, 𝑛 ∈ ℕ}，则𝐸′ = ℝ1
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𝟎𝟏𝟑
{
定义—设𝐹 ⊂ ℝ𝑛，若𝐹 ⊃ 𝐹′，称𝐹为闭集；定义空集为闭集
闭包—�� = 𝐹⋃𝐹′
闭集的运算性质—
{
设𝐹𝑘是闭集，则⋃𝐹𝑘
𝑛
𝑘=1
是闭集，注意⋃[1
𝑘 + 1,1
𝑘]
∞
𝑘=1
= (0,1]
设𝐹𝛼是闭集，则⋂𝐹𝛼𝛼∈𝐼
是闭集
⋃𝐸𝛼
𝛼∈𝐼
⊂⋃𝐸𝛼𝛼∈𝐼
；⋂𝐸𝛼
𝛼∈𝐼
⊂⋂𝐸𝛼
𝛼∈𝐼
Cantor闭集套定理—ℝ𝑛中非空有界递减闭集列{𝐹𝑘}有⋂𝐹𝑘
∞
𝑖=1
≠ ∅
𝟎𝟏𝟒
{
定义—设𝐺 ⊂ ℝ𝑛，若𝐺𝑐 = ℝ𝑛\𝐺是闭集，称𝐺为开集
有限点集一定是闭集
开集的运算性质—
{
设𝐺𝛼是开集，则⋃𝐺𝛼
𝛼∈𝐼
是开集
设𝐺𝑘是开集，则⋂𝐺𝑘
𝑛
𝑘=1
是开集，注意⋂(−1
𝑘,1
𝑘) = {0}
𝑛
𝑘=1
设𝐺 ⊂ ℝ𝑛且𝐺非空，则𝐺是开集⟺ ∀𝑥 ∈ 𝐺, ∃𝛿 > 0，s. t. 𝐵(𝑥, 𝛿) ⊂ 𝐺
开集的结构定理—{ℝ1中的开集是可数个互不相交的开区间的并集
ℝ𝑛中的开集是可列个互不相交的半开闭区方体的并集
𝟎𝟏𝟓
{
内点—设𝐸 ⊂ ℝ𝑛，对𝑥 ∈ 𝐸，若∃𝛿 > 0 s. t. 𝐵(𝑥, 𝛿) ⊂ 𝐸 称𝑥是𝐸内点
内核—𝐸° ≔ {𝑥: 𝑥是𝐸内点}
边界点—𝑥 ∈ ��且𝑥 ∉ 𝐸°
边界—𝜕𝐸 ≔ {𝑥: 𝑥是边界点}
开集的一个等价条件—𝐺是开集⟺ 𝐺 = 𝐺°
Lindelof引理—ℝ𝑛中点集𝐸的任一开覆盖𝛤都含有一个可数子覆盖
Heine − Borel有限子覆盖定理—ℝ𝑛中有界闭集的任一开覆盖𝛤都含有一个有限子覆盖
紧集—若𝐸的任一开覆盖都包含有限子覆盖，则𝐸是紧急。ℝ𝑛中的紧集等价于有界闭集
𝟎𝟏𝟔 𝐹 ℝ𝑛 𝑓 ∈ 𝐶(𝐹)
{
𝑓(𝐹)是有界集
∃𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐹 s. t. 𝑓(𝑥0) = sup𝑓(𝐹) , 𝑓(𝑦0) = inf 𝑓(𝐹)
𝑓(𝑥)在𝐹上一致连续
{𝑓𝑘(𝑥)} ⊂ 𝐶(𝐹), 𝑓𝑘(𝑥) ⇉ 𝑓(𝑥)，则𝑓(𝑥) ∈ 𝐶(𝐹)
闭矩体、ℝ1、∅都是闭集，开矩体、ℝ1、∅都是开集
设𝑓(𝑥)定义在ℝ𝑛上，则𝑓 ∈ 𝐶(ℝ𝑛) ⟺ 𝐸1 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑡}和𝐸2 = {𝑥 ∈ ℝ
𝑛: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑡}都是闭集
设𝑓(𝑥)定义在ℝ𝑛上，则𝑓 ∈ 𝐶(ℝ𝑛) ⟺ 𝐸1 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: 𝑓(𝑥) > 𝑡}和𝐸2 = {𝑥 ∈ ℝ
𝑛: 𝑓(𝑥) < 𝑡}都是开集
设𝑓(𝑥)在𝐵(𝑥0, 𝛿0)上有定义，𝜔𝑓(𝑥0) = lim𝛿→0
sup𝑥′,𝑥′′∈𝐵(𝑥0,𝛿0)
{|𝑓(𝑥′) − 𝑓(𝑥′′)|}，若𝐺是开集，则{𝑥 ∈ 𝐺: 𝜔𝑓(𝑥) < 𝑡}是开集
设𝐹是ℝ𝑛中有界闭集 𝐺是ℝ𝑛中有界开集，且𝐹 ⊂ 𝐺，则存在𝛿 > 0，s. t.当|𝑥| < 𝛿时，有𝐹 + {𝑥} ≝ {𝑦 + 𝑥: 𝑦 ∈ 𝐹} ⊂ 𝐺
设𝑓(𝑥)是定义在𝐸 ⊂ ℝ𝑛上的连续函数，∀𝑡 ∈ ℝ1，令𝐸𝑡 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓(𝑥) > 𝑡}，则∃开集ℝ𝑛 ⊃ 𝐺 ⊃ 𝐸𝑡 s. t. 𝐸𝑡 = 𝐸⋂𝐺𝑡
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(∗)函数的不动点：设𝐹 ⊂ ℝ1是有界闭集，𝑓: 𝐹 → 𝐹。若有|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| < |𝑥 − 𝑦|, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 则∃𝑥0 ∈ 𝐹，s. t. 𝑓(𝑥0) = 𝑥0
Tips:证明点是极限点、孤立点，集合是是闭集、开集，函数具有特殊性质的方法
极限点
{
定义—∃{𝑥𝑘} ⊂ 𝐸，s. t. lim
𝑘→∞𝑥𝑘 = 𝑥
从属关系—𝑥 ∈ 𝐸′
不是孤立点—{∀𝛿 > 0, 𝐵(𝑥, 𝛿)⋂𝐸有无穷多点
∀𝛿 > 0, 𝐵(𝑥, 𝛿)⋂𝐸至少有互异两点
定理的衍生产物—ℝ𝑛任一有界无限点集𝐸至少有一个极限点
孤立点{
定义—∃𝛿 > 0，s. t. (𝐵(𝑥, 𝛿)\{𝑥})⋂𝐸 = ∅
从属关系—𝑥 ∈ 𝐸\𝐸′
不是极限点
闭集
{
定义—𝐹′ ⊂ 𝐹或�� = 𝐹
运算性质—
{
设𝐹𝑘是闭集，则⋃𝐹𝑘
𝑛
𝑘=1
是闭集
设𝐹𝛼是闭集，则⋂𝐹𝛼𝛼∈𝐼
是闭集
∀𝐹的极限点𝑥有𝑥 ∈ 𝐹
𝐹𝑐是开集
有限点集是闭集
开集
{
定义—𝐺𝑐 = ℝ𝑛\𝐺是闭集
运算性质—
{
设𝐹𝑘是闭集，则⋃𝐹𝑘
𝑛
𝑘=1
是闭集
设𝐹𝛼是闭集，则⋂𝐹𝛼𝛼∈𝐼
是闭集
∀𝑥 ∈ 𝐺, ∃𝛿 > 0，s. t. 𝐵(𝑥, 𝛿) ⊂ 𝐺
𝐺𝑐是闭集
函数连续 {𝐸1 = {𝑥: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑡}和𝐸2 = {𝑥: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑡}都是闭集
𝐸1 = {𝑥: 𝑓(𝑥) > 𝑡}和𝐸2 = {𝑥: 𝑓(𝑥) < 𝑡}都是开集
𝟎𝟏𝟕 𝐹𝜎 𝐺𝛿
{
𝐹𝜎集—若𝐸 ⊂ ℝ𝑛是可数个闭集的并集，则称𝐸为𝐹𝜎集
𝐺𝛿集—若𝐸 ⊂ ℝ𝑛是可数个开集的交集，则称𝐸为𝐺𝛿集
函数连续点的结构—若𝑓(𝑥)是定义在开集𝐺 ⊂ ℝ𝑛上的实值函数，则𝑓的连续点集是𝐺𝛿集
有理数集 ℚ不是𝐺𝛿集
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𝟎𝟏𝟖 𝜎 −
{
定义—设𝛤是由集合𝑋中一些子集
所构成的集合族且满足
{
∅ ∈ 𝛤
𝐴 ∈ 𝛤，则𝐴𝑐 ∈ 𝛤
𝐴𝑛 ∈ 𝛤，则⋃𝐴𝑛
∞
𝑛=1
∈ 𝛤
，则称𝛤是一个𝜎 −代数
性质—
{
若𝐴𝑛 ∈ 𝛤，则⋃𝐴𝑛
𝑚
𝑛=1
∈ 𝛤
若𝐴𝑛 ∈ 𝛤，则⋂𝐴𝑛
∞
𝑛=1
∈ 𝛤， lim𝑛→∞
𝐴𝑛 , lim𝑛→∞
𝐴𝑛 ∈ 𝛤
若𝐴, 𝐵 ∈ 𝛤，则𝐴\𝐵 ∈ 𝛤
𝑋 ∈ 𝛤
生成𝜎 −代数—设𝛴是集合𝑋中一些子集构成的集合族，包含𝛴的
最小𝜎 −代数记作𝛤(𝛴)，称为由𝛴生成的𝜎 −代数
𝟎𝟏𝟗 Borel 由ℝ𝑛中一切开机构成的开集族所生成的𝜎 −代数称为 Borel 𝜎 −代数，记为 ℬ，其元称为 Borel集
闭集、开集、𝐹𝜎集、𝐺𝛿集是 Borel集；
任一 Borel集的补集是 Borel集；
Borel集合列的交、并、上(下)极限集都是 Borel集。
𝐹𝜎𝛿、𝐺𝛿𝜎……都是 Borel集
𝟎𝟐𝟎
{
定义—若𝐴 ⊂ 𝐵且�� = 𝐵，则称𝐴在𝐵中稠密，或称𝐴是𝐵的稠密子集
Baire引理—设𝐸 ⊂ ℝ𝑛是𝐹𝜎集，即𝐸 =⋃𝐹𝑘
∞
𝑘=1
，𝐹𝑘是闭集。若𝐹𝑘无内点，则𝐸也无内点
稠密集—𝐸 ⊂ ℝ𝑛，若�� = ℝ𝑛，则称𝐸为ℝ𝑛中的稠密集
无处稠密集—𝐸 ⊂ ℝ𝑛，若��° = ∅，称𝐸为ℝ𝑛中的无处稠密集
纲集—可数个无数稠密集的并集称为贫集或第一纲集；否则称为第二纲集
设{𝐺𝑘}是ℝ𝑛中的稠密开集列，则𝐺0 =⋂𝐺𝑘
∞
𝑘=1
在ℝ𝑛中稠密
𝟎𝟐𝟏 Cantor 𝐶 Cantor
{
𝐶是非空有界闭集
𝐶 = 𝐶′(𝐸 = 𝐸′称为完全集)
𝐶无内点
�� = 𝑐
𝟎𝟐𝟐
{
定义—
{
两点间的距离—𝑑(𝑥, 𝑦) ≔ |𝑥 − 𝑦|
点到集合的距离—𝑑(𝑥, 𝐸) ≔ inf{|𝑥 − 𝑦|: 𝑦 ∈ 𝐸}
集合间的距离—𝑑(𝐸1, 𝐸2) ≔ inf{|𝑥 − 𝑦|: 𝑥 ∈ 𝐸1, 𝑦 ∈ 𝐸2}
= inf{𝑑(𝑥, 𝐸2): 𝑥 ∈ 𝐸1} = inf{𝑑(𝐸1, 𝑦): 𝑦 ∈ 𝐸2}
性质—
{
𝐹 ⊂ ℝ𝑛是非空闭集且𝑥0 ∈ ℝ
𝑛，则∃𝑦0 ∈ 𝐹，s. t. |𝑥0 − 𝑦0| = 𝑑(𝑥0, 𝐸)
若𝐸是ℝ𝑛中非空点集，则𝑑(𝑥, 𝐸)是关于𝑥 ∈ ℝ𝑛一致连续的
𝐹1, 𝐹2是ℝ𝑛中非空闭集，且至少一个有界，则∃𝑥1 ∈ 𝐹1, 𝑥2 ∈ 𝐹2，s. t. |𝑥1 − 𝑥2| = 𝑑(𝐹1, 𝐹2)
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距离为零的集合不一定相交：𝐸1 = {𝑥 = (𝜉, 𝜂): 𝜂 = 0}, 𝐸2 = {𝑦 = (𝜉, 𝜂): 𝜉 ⋅ 𝜂 = 1} 则𝑑(𝐸1, 𝐸2) = 0且𝐸1⋂𝐸2 = ∅
𝑑(𝑥, 𝐸) = 0，则𝑥 ∈ 𝐸或𝑥 ∈ 𝐸′
若𝐹1, 𝐹2是ℝ𝑛中两个互不相交的非空闭集，则∃𝑓(𝑥) ∈ 𝐶(ℝ𝑛)，s. t. 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1且𝐹1 = {𝑥: 𝑓(𝑥) = 1}, 𝐹2 = {𝑥: 𝑓(𝑥) = 0}
点集的 Lebesgue 外测度
𝟎𝟐𝟑 𝐿 − 设𝐸 ⊂ ℝ𝑛，若{𝐼𝑘}是ℝ𝑛中的可数个开矩体，且有𝐸 ⊂⋃𝐼𝑘
𝑘≥1
，则称{𝐼𝑘}为𝐸的一个𝐿 −覆盖
𝟎𝟐𝟒 Lebesgue
{
定义—𝑚∗(𝐸) = inf {∑|𝐼𝑘|
𝑘≥1
: {𝐼𝑘}为𝐸的𝐿 −覆盖} (可以是+∞)
特殊集合的外测度—
{
ℝ
𝑛中单点集、可数点集、Cantor集外测度为 0
ℝ𝑛中𝑛 − 1维超平面块(第𝑖维度分量为定值)外测度为 0
有理点集ℚ𝑛外测度为 0
𝐼是ℝ𝑛中的开矩体，𝑚∗(𝐼) = 𝑚∗(𝐼) = |𝐼|
性质—
{
非负性：𝑚∗(𝐸) ≥ 0,𝑚∗(∅) = 0
单调性：若𝐸1 ⊂ 𝐸2，则𝑚∗(𝐸1) ≤ 𝑚∗(𝐸2)
次可加性：𝑚∗ (⋃𝐸𝑘
∞
𝑘=1
) ≤∑𝑚∗(𝐸𝑘)
∞
𝑘=1
定理—
{
𝑚𝛿
∗ (𝐸) ≔ inf {∑|𝐼𝑘|
∞
𝑘=1
:⋃𝐼𝑘
∞
𝑘=1
⊃ 𝐸，𝐼𝑘的边长小于𝛿}，则𝑚𝛿∗ (𝐸) = 𝑚∗(𝐸)
𝐸1, 𝐸2 ⊂ ℝ𝑛，且𝑑(𝐸1, 𝐸2) > 0，则𝑚∗(𝐸1⋃𝐸2) = 𝑚
∗(𝐸1) +𝑚∗(𝐸2)
设𝐸 ⊂ [𝑎, 𝑏]，𝑚∗(𝐸) > 0，0 < 𝑐 < 𝑚∗(𝐸)，则存在𝐸的子集𝐴，s. t.𝑚∗(𝐴) = 𝑐
平移不变性：𝑚∗(𝐸 + {𝑥0}) = 𝑚∗(𝐸)
数乘：𝐸 ⊂ ℝ1, 𝜆 ∈ ℝ1，则𝑚∗(𝜆𝐸) = |𝜆|𝑚∗(𝐸)
若𝐸的任意𝐿 −覆盖{𝐼𝑘}均有∑|𝐼𝑘|𝑘≥1
= +∞，则𝑚∗(𝐸) = +∞
可测集与可测函数
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𝟎𝟐𝟒
{
可测集—𝐸 ⊂ ℝ𝑛, ∀𝑇 ⊂ ℝ𝑛有𝑚∗(𝑇) = 𝑚∗(𝑇⋂𝐸) +𝑚∗(𝑇⋂𝐸𝑐)，则称𝐸是 Lebesgue 𝑚∗ −可测集
外测度为 0的集合一定可测
可测𝜎 −域的性质—
{
∅ ∈ ℳ
若𝐸 ∈ ℳ，则𝐸𝑐 ∈ ℳ
若𝐸1, 𝐸2 ∈ ℳ，则𝐸1⋂𝐸2, 𝐸1⋃𝐸2, 𝐸1\𝐸2
若𝐸𝑖 ∈ ℳ，则⋃𝐸𝑖
∞
𝑖=1
∈ ℳ，如果𝐸𝑖⋂𝐸𝑗 = ∅，则𝑚(⋃𝐸𝑖
∞
𝑖=1
) =∑𝑚(𝐸𝑖)
∞
𝑖=1
单调可测集列的性质—{𝐸1 ⊂ 𝐸2 ⊂ ⋯，则 lim
𝑛→∞𝑚(𝐸𝑛) = 𝑚( lim
𝑛→∞𝐸𝑖)
𝐸1 ⊃ 𝐸2 ⊃ ⋯，𝑚(𝐸1) < ∞，则 lim𝑛→∞
𝑚(𝐸𝑛) = 𝑚 ( lim𝑛→∞
𝐸𝑖)
Caratheodory定理—设开集𝐺 ⊂ ℝ𝑛，𝐸 ⊂ 𝐺，𝐸𝑘 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑑(𝑥, 𝐺𝑐) ≥
1
𝑘}，则 lim
𝑘→∞𝑚∗(𝐸𝑘) = 𝑚
∗(𝐸)
可测集与 Borel集
{
非空闭集、Borel集是可测集
可测集与开、闭集—可测集𝐸, ∀휀 {∃𝐸 ⊂开集𝐺，𝑚(𝐺\𝐸) < 휀
∃𝐸 ⊃闭集𝐹，𝑚(𝐸\𝐹) < 휀
可测集与𝐹𝜎、𝐺𝛿集—可测集𝐸 {∃𝐸 ⊂ 𝐺𝛿，𝑚(𝐺𝛿\𝐸) = 0，这个𝐺𝛿称为𝐸等测包
∃𝐸 ⊃ 𝐹𝜎，𝑚(𝐸\𝐹𝜎) = 0
一般集合的极限—𝑚∗ ( lim𝑛→∞
𝐸𝑛) ≤ lim𝑛→∞
𝑚∗(𝐸𝑛) ,当{𝐸𝑛}为递增列时，𝑚∗ ( lim𝑛→∞
𝐸𝑛) = lim𝑛→∞
𝑚∗(𝐸𝑛)
𝐸 ∈ ℳ，𝑥0 ∈ ℝ𝑛，则𝐸 + {𝑥0} ∈ ℳ且𝑚(𝐸) = 𝑚(𝐸 + {𝑥0})
正测集—{𝑚(𝐸) > 0, ∀0 < 𝜆 < 1, ∃矩体𝐼, s. t. 𝜆|𝐼| < 𝑚(𝐼⋂𝐸)
Steinhaus—𝑚(𝐸) > 0, ∃𝛿0 > 0, s. t. 𝐵(0, 𝛿0) ⊂ 𝐸 − 𝐸
不可测集—例~:𝑥 − 𝑦 ∈ ℚ,ℝ/~的元素都是不可测集
若∑𝑚(𝐸𝑘)
∞
𝑘=1
< ∞，则𝑚( lim𝑛→∞
𝐸𝑘) = 0
𝟎𝟐𝟓
{
可测集𝐸，如果∀𝑡 ∈ ℝ，有{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) > 𝑡}是可测集，称𝑓(𝑥)是可测函数
𝐷是ℝ1中的稠密集，∀𝑟 ∈ 𝐷，{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) > 𝑟}可测，则∀𝑡 ∈ ℝ，有{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) > 𝑡}可测
闭区间上的单调函数必定可测、可测集上的连续函数必定可测
可测函数𝑓(𝑥) ⟹
{
等价定义—∀𝑡 > 0,
{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) > 𝑟}、{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) < 𝑟}
{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) ≥ 𝑟}、{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) ≤ 𝑟}可测
{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) = 𝑟}、{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) < +∞}、{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) > −∞}
{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) = +∞}、{𝑥 ∈ 𝐸|𝑓(𝑥) = −∞}可测
可测函数的性质—
{
𝑓(𝑥)在𝐸1、𝐸2上可测，则𝑓(𝑥)在𝐸1⋃𝐸2上可测
𝑓(𝑥)在𝐸上可测，则在𝐸可测子集上可测，𝜒𝐸(𝑥)可测
𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)在𝐸上可测，则𝑐𝑓(𝑥)、𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)、𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)可测
(𝑥)在𝐸上可测，则𝑓+(𝑥)、𝑓−(𝑥)可测
可测函数列的性质—{𝑓𝑘(𝑥)}是𝐸的可测函数列{sup𝑘{𝑓𝑘(𝑥)}、 inf
𝑘{𝑓𝑘(𝑥)}、 lim
𝑘→∞𝑓𝑘(𝑥)、 lim
𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥)
若极限函数存在，则 lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥)可测
𝑓(𝑥, 𝑦)是ℝ2上的实值函数，关于一个变量是连续函数，关于另外一个是可测函数，则𝑓(𝑥, 𝑦)可测
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𝟎𝟐𝟔
{
几乎处处相等(对等)—𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), a. e. 𝑥 ∈ 𝐸
几乎处处相等的一个性质—如果𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), a. e. 𝑥 ∈ 𝐸，𝑓(𝑥)可测，则𝑔(𝑥)可测
0 < 𝑚(𝐴) < ∞, 0 < 𝑓(𝑥) < ∞, a. e. ∀0 < 𝛿 < 𝑚(𝐴), ∃𝐵 ⊂ 𝐴, 𝑘0 ∈ ℕ, s. t. {
𝑚(𝐴\𝐵) < 𝛿,1
𝑘0≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑘0, 𝑥 ∈ 𝐵
简单函数—{𝑦: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐸}是有限集，可记𝑓(𝑥) =∑𝑐𝑖𝜒𝐸𝑖(𝑥)
𝑝
𝑖=1
, 𝑥 ∈ 𝐸 =∑𝐸𝑖
𝑝
𝑖=1
简单函数逼近定理—
{
非负可测函数𝑓(𝑥)，∃非负可测渐升简单函数列{𝜑𝑘(𝑥)},
s. t. lim𝑛→∞
𝜑𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥)
可测函数𝑓(𝑥)，∃可测简单函数列{𝜑𝑘(𝑥)}(|𝜑𝑘(𝑥)| ≤ |𝑓(𝑥)|)
s. t. lim𝑛→∞
𝜑𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥)
支集—supp (𝑓) ≔ {𝑥: 𝑓(𝑥) ≠ 0} ，当 supp (𝑓)有界时，称为紧支集
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𝟎𝟐𝟕
{
近一致收敛—∀𝛿 > 0, ∃可测𝐸𝛿 ⊂ 𝐸, 𝑓𝑘(𝑥) ⇉ 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐸\𝐸𝛿
几乎处处收敛— lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐸\𝑍(𝑚(𝑍) = 0) ⟹ 𝑓𝑘(𝑥) → 𝑓(𝑥), a. e. 𝑥 ∈ 𝐸
依测度收敛—{𝑓𝑘(𝑥)}几乎处处有限，∀휀 > 0， lim𝑘→∞
𝑚({𝑥 ∈ 𝐸: |𝑓𝑘(𝑥) − 𝑓(𝑥)| > 휀}) = 0
引理—
{𝑓𝑘(𝑥)}是几乎处处有限的可测函数列，𝑚(𝐸) < ∞，𝑓𝑘(𝑥)a.e.→ 𝑓(𝑥)，则
∀휀 > 0, 𝐸𝑘(휀) ≜ {𝑥 ∈ 𝐸: |𝑓𝑘(𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≥ 휀}，有 lim𝑗→∞
𝑚(⋃𝐸𝑘
∞
𝑘=𝑗
) = 0
定理—若{𝑓𝑘(𝑥)}依测度收敛到𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)，则𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)对等
几种收敛间的关系—
{
Егоров定理—
{𝑓𝑘(𝑥)}几乎处处有限，𝑚(𝐸) < ∞，𝑓𝑘(𝑥)a.e.→ 𝑓(𝑥)
则∃𝑓𝑘(𝑥)n.u.c.→ 𝑓(𝑥)
Егоров定理逆定理—𝑓𝑘(𝑥)n.u.c.→ 𝑓(𝑥)，则𝑓𝑘(𝑥)
a.e.→ 𝑓(𝑥)
定理—{𝑓𝑘(𝑥)}是几乎处处有限的可测函数列，𝑚(𝐸) < ∞
𝑓𝑘(𝑥)a.e.→ 几乎处处有限𝑓(𝑥)，则𝑓𝑘(𝑥)
𝑚→ 𝑓(𝑥)
定理—{𝑓𝑘(𝑥)}是几乎处处有限的可测函数列，𝑚(𝐸) < ∞
𝑓𝑘(𝑥)n.u.c.→ 𝑓(𝑥)，则𝑓𝑘(𝑥)
𝑚→ 𝑓(𝑥)
Riesz定理—𝑓𝑘(𝑥)𝑚→ 𝑓(𝑥), ∃子列{𝑓𝑘𝑖(𝑥)}, s. t. 𝑓𝑘𝑖(𝑥)
a.e.→ 𝑓(𝑥)
依测度 Cauchy列—
{𝑓𝑘(𝑥)}是几乎处处有限的可测函数列, ∀휀 > 0
lim𝑖→∞𝑗→∞
𝑚({𝑥 ∈ 𝐸: |𝑓𝑖(𝑥) − 𝑓𝑗(𝑥)| > 휀}) = 0
依测度 Cauchy列的性质—{𝑓𝑘(𝑥)}是𝐸上依测度 Cauchy列，∃𝐸上几乎处处有限𝑓(𝑥),
s. t. 𝑓𝑘(𝑥)𝑚→ 𝑓(𝑥)
可测函数与连续函数—
{
Лузин定理—
𝑓(𝑥)是几乎处处有限的可测函数，则
∀𝛿 > 0, ∃闭集𝐹 ⊂ 𝐸, s. t. 𝑚(𝐸\𝐹) < 𝛿,
并且𝑓(𝑥)在𝐹上连续
推论—
𝑓(𝑥)是𝐸几乎处处有限的可测函数，∀𝛿 > 0
∃ℝ𝑛上连续函数𝑔(𝑥)，𝑠. 𝑡.𝑚({𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓(𝑥) ≠ 𝑔(𝑥)}) < 𝛿
若𝐸还有界，则𝑔(𝑥)有紧支集
推论—𝑓(𝑥)是𝐸几乎处处有限的可测函数，
∃ℝ𝑛上连续函数列, s. t. lim𝑘→∞
𝑔𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑎. 𝑒. 𝑥 ∈ 𝐸
Lebesgue积分
𝟎𝟐𝟖
{
非负可测简单函数𝑓(𝑥) =∑𝑐𝑖𝜒𝐸𝑖(𝑥)
𝑝
𝑖=1
，定义∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
=∑𝑐𝑖𝑚(𝐸⋂𝐸𝑖)
𝑝
𝑖=1
非负可测简单函数积分性质—
{
线性性质—
∫[𝐶1𝑓(𝑥) + 𝐶2𝑔(𝑥)]d𝑥𝐸
(𝐶𝑖 ≥ 0) =
𝐶1∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
+ 𝐶2∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐸
极限性质—𝐸𝑘 ↗,∫ 𝑓(𝑥)d𝑥⋃ 𝐸𝑘∞𝑖=1
= lim𝑘→∞
∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝐸𝑘
实变函数复习整理 第 12 页/共 15 页 刘承刚
𝟎𝟐𝟗
{
非负可测函数𝑓(𝑥)，定义∫𝑓(𝑥)d𝑥
𝐸
= sup𝑥∈𝐸{∫ℎ(𝑥)d𝑥𝐸
: ℎ(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥)是非负可测简单}
非负可测函数𝑓(𝑥)积分有限时称它在该集合上可积
性质—
{
不等性质—
{
非负可测函数𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)，则∫𝑓(𝑥)d𝑥
𝐸
≤ ∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐸
推论—{非负可测函数𝑓(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥), 𝐹(𝑥)可积⟹ 𝑓(𝑥)可积
𝑓(𝑥)在𝐸上有界，𝑚(𝐸) < ∞⟹ 𝑓(𝑥)在𝐸上可积
𝐸上非负可测函数𝑓(𝑥),可测𝐴 ⊂ 𝐸 ⟹
∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐴
= ∫𝑓(𝑥)𝜒𝐴(𝑥)d𝑥𝐸
≤ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
𝐸上非负可测函数𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) = 0, a. e.⟺ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
= 0
相等性质—𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), a. e.⟹ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐸
有限性质—𝑓(𝑥)在𝐸上可积，则在𝐸上几乎处处有限
线性性质—∫[𝐶1𝑓(𝑥) + 𝐶2𝑔(𝑥)]d𝑥𝐸
(𝐶𝑖 ≥ 0) = 𝐶1∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
+ 𝐶2∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐸
极限性质—
{
Levi收敛定理—{𝑓𝑘(𝑥)} ↗, lim
𝑘→∞∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫ lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥) d𝑥𝐸
{𝑓𝑘(𝑥)} ↘,∫𝑓𝐾(𝑥)d𝑥𝐸
< ∞, lim𝑘→∞
∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫ lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
逐项积分定理—
非负可测函数列{𝑓𝑘(𝑥)}有
∫∑𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1
d𝑥𝐸
=∑∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
∞
𝑘=1
逐项积分定理推论—𝐸𝑖⋂𝐸𝑗 = ∅,∫ 𝑓(𝑥)d𝑥⋃ 𝐸𝑘∞𝑖=1
=∑∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
∞
𝑘=1
Fatou引理—𝑓𝑘(𝑥)非负可测,∫ lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥) d𝑥𝐸
≤ lim𝑘→∞
∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
Lebesgue积分—
[ 𝑓(𝑥)几乎处处有限非负可测，𝑚(𝐸) < ∞，对𝑦划分𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 < 𝛿
𝐸𝑘 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑦𝑘−1 ≤ 𝑓(𝑥) < 𝑦𝑘}，则𝑓(𝑥)可积⟺∑𝑦𝑘𝑚(𝐸𝑘)
∞
𝑘=0
< ∞
并且 lim𝛿→0
∑𝑦𝑘𝑚(𝐸𝑘)
∞
𝑘=0
= ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
𝐸1,⋯ , 𝐸𝑛是[0,1]中可测集，且[0,1]中元素至少属于𝑘个𝐸𝑖，则至少有一个集合测度不小于𝑘
𝑛
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𝟎𝟑𝟎
{
∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫𝑓+(𝑥)d𝑥𝐸
−∫𝑓−(𝑥)d𝑥𝐸
，当∫𝑓+(𝑥)d𝑥𝐸
, ∫𝑓−(𝑥)d𝑥𝐸
< ∞时，𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)
可积的等价—𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸) ⟺ |𝑓(𝑥)| ∈ 𝐿(𝐸)
性质—
{
不等性质—
{
|𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸) ⟹ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)
𝑓(𝑥)在𝐸上有界，𝑚(𝐸) < ∞⟹ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)
𝑓(𝑥) ≤ 𝑀，𝑚(𝐸) < ∞⟹ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
≤ 𝑀𝑚(𝐸) < ∞
𝐸上可测函数𝑓(𝑥),可测𝐴 ⊂ 𝐸 ⟹ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐴
= ∫𝑓(𝑥)𝜒𝐴(𝑥)d𝑥𝐸
𝑓(𝑥) = 0, a. e.⟹ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
= 0
𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(ℝ𝑛) ⟹ lim𝑁→∞
∫ |𝑓(𝑥)|d𝑥{𝑥:|𝑥|≥𝑁}
= 0
相等性质—𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), a. e.⟹ ∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐸
有限性质—𝑓(𝑥)在𝐸上可积，则在𝐸上几乎处处有限
线性性质—∫[𝐶1𝑓(𝑥) + 𝐶2𝑔(𝑥)]d𝑥𝐸
(𝐶𝑖 ≥ 0) = 𝐶1∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
+ 𝐶2∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐸
极限性质—定义域可加—𝐸𝑖⋂𝐸𝑗 = ∅,∫ 𝑓(𝑥)d𝑥⋃ 𝐸𝑘∞𝑖=1
=∑∫𝑓(𝑥)d𝑥𝐸
∞
𝑘=1
绝对连续性—
𝑓 ∈ 𝐿(𝐸), ∀휀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀可测子集𝑒,𝑚(𝑒) < 𝛿
|∫𝑓(𝑥)d𝑥𝑒
| ≤ ∫|𝑓(𝑥)|d𝑥𝑒
< 휀
平移变换—𝑓 ∈ 𝐿(ℝ𝑛),∫𝑓(𝑥 + 𝑦0)d𝑥𝐸
= ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝐸+{𝑦0}
1. Jensen不等式—𝜔(𝑥)正值可积，∫𝜔(𝑥)d𝑥𝐸
= 1, 𝜑(𝑥)在[𝑎, 𝑏]下凸, 𝑓(𝑥)在𝐸上可测, 𝑅(𝑓) ⊂ [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑥)𝜔(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸),
则𝜑(∫𝑓(𝑥)𝜔(𝑥)d𝑥𝐸
) ≤ ∫𝜑[𝑓(𝑥)]𝜔(𝑥)d𝑥𝐸
2.设𝑓 ∈ ([0, +∞))，则 lim𝑛→∞
𝑓(𝑥 + 𝑛) = 0 a. e.
3.设𝐼 ⊂ ℝ1是区间，𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐼)，记𝐽 =1
𝑎𝐼, 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎𝑥)，则𝑔(𝑥) ∈ 𝐿(𝐽)且∫𝑓(𝑥)d𝑥
𝐼
=1
|𝑎|∫𝑔(𝑥)d𝑥𝐽
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𝟎𝟑𝟏
{
控制收敛定理—
𝑓𝑘(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸), lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥) a. e. |𝑓𝑘(𝑥)| ≤ 𝐹(𝑥) a. e. , 𝐹(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)
⟹ lim𝑘→∞
∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫ lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥) d𝑥𝐸
结论—⟹ lim𝑘→∞
∫|𝑓𝑘(𝑥) − 𝑓(𝑥)|d𝑥𝐸
= 0 ⟹ 𝑓𝑘(𝑥)𝑚→𝑓(𝑥)
Riesz⇒ ∃𝑓𝑘𝑖(𝑥)
a.e.→ 𝑓(𝑥)
依测度型控制收敛定理—𝑓𝑘(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸), 𝑓𝑘(𝑥)
𝑚→𝑓(𝑥), |𝑓𝑘(𝑥)| ≤ 𝐹(𝑥) a. e. , 𝐹(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)
⟹ lim𝑘→∞
∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
= ∫ lim𝑘→∞
𝑓𝑘(𝑥) d𝑥𝐸
逐项积分定理—
[ 𝑓𝑘(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)，若∑∫|𝑓𝑘(𝑥)|d𝑥
𝐸
∞
𝑘=1
< +∞，则∑𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1
在𝐸上几乎处处收敛，
且∑𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1
∈ 𝐿(𝐸)，∑∫𝑓𝑘(𝑥)d𝑥𝐸
∞
𝑘=1
= ∫∑𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1
d𝑥𝐸
积分号下求导定理—𝑓(𝑥, 𝑦)对𝑥 ∈ 𝐸可积，对𝑦可微，若∃𝐹(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸), s. t. |
∂
𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ 𝐹(𝑥)
则d
d𝑦∫𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥𝐸
= ∫𝜕
𝜕𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥
𝐸
𝟎𝟑𝟐
{
若𝑓 ∈ 𝐿(𝐸)，则∀휀 > 0，存在ℝ𝑛上的具有紧支集的连续函数𝑔(𝑥)，s. t.∫|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|d𝑥
𝐸
< 휀
推论—
{
𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)，存在ℝ𝑛上有紧支集的连续{𝑔𝑘(𝑥)} {
lim𝑘→∞
∫|𝑓(𝑥) − 𝑔𝑘(𝑥)|d𝑥𝐸
= 0
lim𝑘→∞
𝑔𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥) a. e.
𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(𝐸)，存在ℝ𝑛上有紧支集的阶梯{𝜑𝑘(𝑥)} {lim𝑘→∞
∫|𝑓(𝑥) − 𝜑𝑘(𝑥)|d𝑥𝐸
= 0
lim𝑘→∞
𝜑𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥) a. e.
𝑓(𝑥) ∈ 𝐿([𝑎, 𝑏])，存在支集在(𝑎, 𝑏)内的连续{𝑔𝑘(𝑥)}{lim𝑘→∞
∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔𝑘(𝑥)|d𝑥[𝑎,𝑏]
= 0
lim𝑘→∞
𝑔𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥) a. e.
平均连续性—若𝑓(𝑥) ∈ 𝐿(ℝ𝑛)，则 limℎ→0
∫ |𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)|d𝑥ℝ𝑛
= 0
1.可测𝐸有 lim|ℎ|→0
𝑚(𝐸⋂(𝐸 + {ℎ})) = 𝑚(𝐸)
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𝟎𝟑𝟑
{
有界函数𝑓(𝑥)在[𝑎, 𝑏]上可积的充要条件是不连续点集为零测集
𝑓(𝑥)有界，在𝐼 = [𝑎, 𝑏]上 Riemann可积，则在𝐼上 Lebesgue可积，且积分值相同
{𝐸𝑘} ↗, 𝑓 ∈ 𝐿(𝐸𝑘)，
若 lim𝑘→∞
∫ |𝑓(𝑥)|d𝑥𝐸𝑘
存在且有限，则𝑓 ∈ 𝐿 (⋃𝐸𝑘
∞
𝑘=1
)
且∫ 𝑓(𝑥)d𝑥⋃ 𝐸𝑘∞𝑘=1
= lim𝑘→∞
∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝐸𝑘
Tonelli定理—𝑓(𝑥, 𝑦)非负可测
{
几乎处处𝑥，𝑓(𝑥, 𝑦)关于𝑦可测
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦ℝ𝑞
在ℝ𝑝非负可测
∫ d𝑥∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦ℝ𝑞ℝ𝑝
= ∫ d𝑦∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥ℝ𝑝ℝ𝑞
Fubini定理—𝑓(𝑥, 𝑦)可积
{
几乎处处𝑥，𝑓(𝑥, 𝑦)关于𝑦可积
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦ℝ𝑞
在𝑥 ∈ ℝ𝑝可积
∫ d𝑥∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦ℝ𝑞ℝ𝑝
= ∫ d𝑦∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥ℝ𝑝ℝ𝑞
Lp空间
𝟎𝟑𝟒 𝑳𝒑
{
‖𝑓‖𝑝 ≔ (∫|𝑓(𝑥)|
𝑝d𝑥𝐸
)
1𝑝
, 0 < 𝑝 < ∞，‖𝑓‖∞ = sup0<𝑝<∞
{‖𝑓‖𝑝}
𝐿𝑝空间—使‖𝑓‖𝑝 < ∞的𝑓的全体
‖𝑓‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖∞且 lim𝑝→∞
‖𝑓‖𝑝 = ‖𝑓‖∞
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝(𝐸)，则𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 ∈ 𝐿𝑝(𝐸)
𝟎𝟑𝟓
{
Hölder不等式—‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖𝑝‖𝑔‖𝑞，特别地‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖1‖𝑔‖∞
Riesz − Thorin定理—𝑓 ∈ 𝐿𝑟(𝐸)⋂𝐿𝑠(𝐸)，则∀0 < 𝑟 < 𝑝 < 𝑠，𝑓 ∈ 𝐿𝑝(𝐸)
并且1
𝑝=𝜆
𝑟+1 − 𝜆
𝑠, ‖𝑓‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖𝑟
𝜆‖𝑓‖𝑠1−𝜆
Minkowski不等式—𝑓,𝑔 ∈ 𝐿𝑝(𝐸)(1 ≤ 𝑝 ≤ ∞)，则‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖𝑝 + ‖𝑔‖𝑝
