回顾：第二章

第五章频率响应法

11西安电子科技大学西安电子科技大学航天电子信息研究所航天电子信息研究所航天电子信息研究所航天电子信息研究所IAEIIAEI

回顾：第二章

第三章

本章

从物理模型数学模型（传函）

数学模型（传函）输出特性（响应）

当系统模型不可知，难以分析，无法得到数学模型，又想知道系统运动特性的时候：

分析法

黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）

实验法

根据系统的频率特性揭示系统的动态性能

从幅频相频特性推导系统动态特性



第五章频率响应法 5.1 频率特性

5.2 典型环节的频率特性

5.3 控制系统开环频率特性曲线的绘制

5.4 频域稳定性判据

5.5 稳定裕度

5.6 闭环系统的频域性能指标

5.7 频率特性的试验确定方法

小结



本章目标：从频域角度，用频域的方法分析系统的各项性能奈奎斯特曲线稳定判据从个频域角度分析系统动态性能

1. 什么是频域分析，如何进行频域分析2. 典型环节的频率特性绘制• 幅度 - 相位频率图（奈奎斯特曲线图）• 对数幅度频率图• 对数相位频率图3. 系统开环频率特性的绘制4. 奈奎斯特稳定判据5. 系统开环、闭环频率特性与动态特性的关系



基本概念（物理意义）5.15.1 频率特性频率特性5.15.1 频率特性频率特性

输入一个幅值不变，频率

不断增大的正弦信号。

4

Ar=1 =0.5 =1 =2 =2.5 =4

结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。

( )( ) ( ) jW j A e

幅频相频

定义：线性系统对正弦输入信号的稳态输出与输入之比



结论 ( ) ( ) |s jW j W s

说明传递函数和频率特性可以通过变量替换相互转换

作用：当不可知，而和的变化规律可测就可以推导出进而获得

( )W s ( )A ( )je

( )W j ( )W s

基本概念（数学定义）

对于非周期输入信号，输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )jC j

W j P jQ A eR j



5.1.1 频率特性的获取方法

一、实验法

实验测取频率特性的基本原理是输入正弦信号，测试输出正弦信号。只

是，为保证准确性，采取了一些抗干扰、克服非线性等措施。

ÕýÏÒº¯Êý·¢ÉúÆ÷

±»²âÏµÍ³ ÏÔÊ¾¼ÇÂ¼ÒÇÆ÷X i X o



5.1.1 频率特性的获取方法二、解析法

根据频率特性的定义，若已知系统的传递函数，输入正弦信号计算出稳态时的输出正弦信号，可求得系统的频率特性。

例如，对于图示的电路 ,当 ui(t) 是正弦信号时 , 输出 uo(t)

的求取过程如下 :

设 ui(t)=U sinωt, 则其拉氏变换为 £«

£

u i( t )

£«

£

u o ( t )

R

C22

)(

s

UsUi



电路的传递函数为

RCssU

sU

i

o

1

1

)(

)(，

221

1)(

1

1)(

s

U

ssU

ssU io

对上式进行拉氏反变换 , 可得

输出的象函数为

)]( sin[1 1

)(

22

22

arctgtτ

Ue

τ

τUtu τ

t

o



第一项是输出的暂态分量 , 第二项是输出的稳态分量。当时间 t→∞ 时 , 暂态分量趋于零 , 电路的稳态响应为

)]( sin[1

)(22

arctgtτ

Utuss

输入、输出的复数形式为

)]( [

22 1

arctgtj

ss eτ

UU

根据频率特性的定义，得电路的频率特性为

)(

22 1

1)(

jarctg

i

ss eτU

UjG



另一方面，若令电路的传递函数中的 s=jω,得到

)(

22 1

1

1

1)()(

jarctg

jse

jsGjG

进一步印证了频率特性等于传递函数令 s=jω 。这一结论可推广到所有稳定的线性定常系统

)(

22 1

1)(

jarctg

i

ss eτU

UjG



5.1.2 频率特性的表示方法

1. 幅相频率特性（奈氏图）

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )jC j

G j P jQ A eR j

画图的形式表达

2 2( ) ( ) ( )A P Q ( )

( ) arctan( )

Q

P

幅频特性相频特性

2. 对数频率特性（伯德图）

3. 对数幅相频率特性

将直角坐标和极坐标重合，在该坐标中画与随变化的规律( )A ( )

在对数坐标系中分别画与随变化的规律( )A ( )

将上述两个对数坐标系重合（尼克尔斯图）

实部 , 虚部

幅值 , 相位



1. 幅相频率特性（奈氏图）( ) ( ) ( )G j P jQ

2 2( ) ( ) ( ) ( )A G j P Q ( )

( ) ( ) arctan( )

QG j

P

( ) ( ) cos ( )P A ( ) ( )sin ( )Q A

实频特性虚频特性

将极坐标系与直角坐标系重合，取极点为原点，横轴为极坐标

频率特性的指数形式可以用向量来表示

( )P

( )Q



1. 幅相频率特性（奈氏图）幅相频率特性曲线，又称为 Nyquist 图

)()()( jeAjG

变化时，向量 )( jG

的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图 : 奈奎斯特 (Nyquist) 曲线 , 又称奈氏图

当输入信号的频率 ~0

( )jQ

( )P



图 5-3 RC 电路的奈氏图

jY ( )

¡ú¡Þ0

A ( )

( )X ( )

1

£½0

)(

22 1

1)(

jarctg

i

ss eτU

UjG

arctan(0) 0

arctan( )2



2. 对数频率特性（伯德图）在工程实际中 , 常常将频率特性画成对数坐标图形式 , 这种对数

频率特性曲线又称伯德图 , 由对数幅频特性和对数相频特性组成。

)(log20)( AL 分别求出系统的幅频特性和相频特性，并对幅频特性纵坐标取对数：对数幅频特性分贝（ dB ）

波德图 bode(Gs)

以 logω 为横坐标，以 L(ω) 为纵坐标绘制对数幅频曲线；

以 logω 为横坐标，以为纵坐标绘制对数相频曲线。)(ωφ

相频特性的纵坐标不取对数



图 5-4 对数分度和线性分度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(a) ÏßÐÔ·Ö¶È

0 L

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 80 100

1±¶Æµ³Ì 1±¶Æµ³Ì 1±¶Æµ³Ì 1±¶Æµ³Ì

10±¶Æµ³Ì

10±¶Æµ³Ì 10±¶Æµ³Ì

(b) ¶ÔÊý·Ö¶È



• 可以展宽频带；频率是以 10 倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。

• 可以将乘法运算转化为加法运算。

• 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。

• 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。

使用对数坐标图的优点：

)(22

)(11

21 )()(,)()( jφjφ ejAjGejAjG 系统由这两个环节串联组成，系统频率特性为

)]()([21

)(2

)(1

2121 )()()()()( φφjjφjφ eAAeAeAjG 系统的对数频率特性为：

)()()(log20)(log20)]()(log[20)( 212121 LLAAAAL )()()( 21 φφφ



图 5-5 RC 电路的伯德图

L ( )/dB

0.10

£ 10

£ 20

£ 30

1 10

( )/(¡ã

0.10

£ 45

£ 90

1 10

)

)(

22 1

1)(

jarctg

i

ss eτU

UjG

2 2

1( ) log( )

1L w

w

2 210log( 1)w



5.2 典型环节的频率特性 1. 比例环节

比例环节的频率特性为 G(jω)=K 显然 , 它与频率无关。相应的幅频特性和相频特性为

0)(

)(

KA

G(s)=K

( )( ) jA e

( )

( )

1j

A K

e



对数幅频特性和相频特性为

0)(

lg20)(

KL

L ( )/dB

0dB

20 lg K

( )/(¡ã

0¡ã

)

比例环节的伯德图

( ) 20lg ( )L A

0)(

)(

KA



2. 积分环节

积分环节的频率特性为

1( )G s

s

1( )G j

j

幅频特性与角频率 ω 成反比, 而相频特性恒为 -90°

0 时， ( )A 时， ( ) 0A

2 2 1( ) +QA P

( ) arctanQ

P

arctan2



L ( ) / dB

0dB£ 20dB/dec

1

( )/ (¡ã0 ¡ã

£ 90 ¡ã

)

图 5-9 积分环节的伯德图


90)(

lg20)(

L

120lg

20lg

如何画图：

( ) 20lg ( )L A

lg(0.1) 1

lg(1) 0

lg(10) 1

( 0.1) 20lg(0.1) 20

( 1) 20lg(1) 0

( 10) 20lg(10) 20

L

L

L

积分环节的对数幅频特性是一条斜率为 -20dB/dec 的直线它在这一点穿过零分贝线1

十倍频程 decibel

在对数坐标中是一条直线



3. 微分环节

微分环节的频率特性为 2)(

j

ejjG 其幅频特性和相频特性为

90)(

)(

A

( )G s s

jY( )

X ( )

£½0

0

图 5-10 微分环节的奈氏图微分环节的幅频特性等于角频率ω, 而相频特性恒为 90°



图 5-11 微分环节的伯德图

L ( ) / dB

0dB

20dB/dec

( )/ ( ¡ã )

0 ¡ã

1

90 ¡ã


90)(

lg20)(

L

( 0.1) 20lg(0.1) 20

( 1) 20lg(1) 0

( 10) 20lg(10) 20

L

L

L



4. 惯性环节

惯性环节的频率特性为

TjjG

1

1)(

它的幅频特性和相频特性为 2 2

2 2

1( )

1

( ) arctan

A P QT

Qarctg T

P

1( )

1G s

Ts

式 (5.24) 写成实部和虚部形式 , 即

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

1

1 1

G j P jQ

Tj

T T

02



则有 2 22 2

1( ) ( ) P( )

1P Q

T

即 2 2 2[ ( ) 0.5] ( ) 0.5P Q

所以 , 惯性环节的奈氏图是圆心在 (0.5, 0), 半径为 0.5 的半圆

2 2( ) ( ) P( )P Q 2 2 2 2( ) P( ) 0.5 ( ) 0.5P Q 配方

为什么是半圆？jY ( )

¡ú¡Þ

0

A ( )

( ) £½0

1

221

1

T

221 T

T

X ( )

0.5

惯性环节的奈氏图

2 2( ) 0

1

TQ

T



图 5-13 惯性环节的伯德图

L ( ) / dB

½¥½üÏß½»½ÓÆµÂÊ ½¥½üÏß

¾«È·ÇúÏß

0

£ 10

£ 20

£ 300.1/ T

( )/ ( ¡ã )

0

£ 45

£ 900.1/ T

1/ T

1/ T

10/ T

10/ T


Tarctg

T

TL

)(

1lg20

1

1lg20)(

22

22



对数幅频特性的渐近线画法对数频率特性：对数幅频（近似画法）：

分成高频段和低频段来讨论，用直线近似曲线低频段 : ，

2 2( ) 20lg ( ) 20lg 1L A T

1

T ( ) 20lg1 0L dB

1

T

10 / T ( ) 20lg 20lg10 20L T dB

100T ( ) 20lg 20lg100 40L T dB

1T ( ) 20lg 20lg1 0L T dB

过零点也是高频与低频渐进线的交叉点，称为交叉频率或交接频率

Mag

nitu

de (

dB)

-25

-20

-15

-10

-5

0

0

decdB0

decdB20

渐近线

渐近线精确曲线 Exact curve Asymptote

交叉频率 Corner frequency

1lg20)( 2 L

高频段 : ， ( ) 20lgL T

( 这是一条斜线 )

1T



在低频段和高频段 , 精确的对数幅频特性曲线与渐近线几乎重合。在 ω=1/T 附近 , 可以选几个点 , 把由式(5.26) 算出的精确的 L(ω) 值标在图上 , 用曲线板光滑地连接起来 , 就得精确的对数幅频特性曲线。一般情况下，常用渐近线表示系统对数幅频特性。

由图可知 , 在交接频率处误差达到最大值 :

dBT

LL 32lg2001

)(



5. 一阶微分环节

一阶微分环节的频率特性为 TjjG 1)(

幅频特性和相频特性为

Tarctg

TA

)(

1)( 22

( ) 1G s Ts

图 5-15 一阶微分环节的奈氏图

jY( )

X ( )

£½0

10

02




Tarctg

TL

)(

1lg20)( 22

20

L ( ) / dB

0.1/ T

10

1/ T

10/ T

10/ T0.1/ T

45

0

90 ( )/ ( ¡ã )

1/ T0

与惯性环节以横轴为镜像



6. 二阶振荡环节

二阶惯性环节的频率特性为

2)(21

1)(

TjTjjG

它的幅频特性和相频特性为

22

2222

1

2)(

)2()1(

1)(

T

Tarctg

TTA

2

1( )

1 2 ( )G s

j Ts sT

jY( )

¡ú ¡Þ 1

£½0

£½1

£½0.6

£½0.4

X ( )

0

图 5-17 二阶振荡环节的奈氏图

1 1, ( ) 2AT

10, 0 1

n

T




22

2222

1

2)(

)2()1(lg20)(

T

Tarctg

TTL



对数幅频特性 2 2 2 2( ) 20lg (1 ) (2 )L T T

低频段： )(01lg2001lg20)( dBL ＋1/ T 低频时的对数幅值曲线是一条 0 分贝的直线

高频段 )(lg40lg40lg20)(2

2

dBTLnn

高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为－ 40dB/dec 的直线

1

T

(10 ) 40lg(10 ) 40lg( ) 40lg(10)L T T

(10 ) ( ) 40L L dB

转折频率1

T )(2lg20)2(0lg20)( 2 dBL ＋



时，谐振峰值出现在转折频率附近0.7 时，无谐振

0 0.7

如何计算？

0.5

0.5

0.5

误差 = 实际值 - 近似值

正误差

负误差

无误差



对求导，求使其等于零的频率，称为谐振频率，( )A p

( ) 0p

dA

d

211 2p T

0 0.7 谐振频率

2

1( )

2 1p pM A

谐振峰值


3737西安电子科技大学西安电子科技大学航天电子信息研究所航天电子信息研究所航天电子信息研究所航天电子信息研究所IAEIIAEI37

振荡环节 L()

100.2 210.1

L()dB

0dB

20

40

-40

-20

20 100

2

2 2 2

4( )

2 0.8 4n

n n

G ss s s s

dBM r 14.812

1lg20lg20

2

92.121 2

nr

[-40]

2

0.2n



对数相频特性

on , 0 ~ 90

on , 90

o on , 90 ~ 180

2 2

2( )

1

Tarctg

T



图 5-18

二阶振荡环节的伯德

图

20

10

0

£ 10

£ 20

£ 30

£ 400.1/ T 1/ T 10/ T

£ 20

0

£ 40

£ 60

£ 80

£ 100

£ 120

£ 140

£ 160

£ 1800.1/ T 1/ T 10/ T

£½0.1£½0.2£½0.3£½0.5£½0.7£½1

½¥½üÏß

£½0.1

£½0.2

£½0.3

£½0.5

£½0.7

£½1

L ( ) /dB

( )/ (¡ã)



7. 延迟环节

延迟环节的频率特性为 jejG )( (5.33)

幅频特性和相频特性为

)(

1)(A(5.34)

可见 , 其奈氏图是一个以坐标原点为中心 , 半径为 1 的圆。对数幅频特性和相频特性为

( ) 0

( )

L

(5.35)

( ) sG s e



回顾上一节

频率特性的定义周期信号

非周期信号

幅相频率特性

对数频率特性

奈奎斯特曲线图

伯德图L ( )/dB

0.10

£ 10

£ 20

£ 30

1 10

( )/(¡ã

0.10

£ 45

£ 90

1 10

)



回顾上一节：典型环节的频率特性1. 比例环节

0)(

)(

KA

G(s)=K G(jω)=K

L ( )/dB

0dB

20 lg K

( )/(¡ã

0¡ã

)

0)(

lg20)(

KL



回顾上一节：典型环节的频率特性

2. 积分环节1

( )G ss

1( )G j

j

90)(

lg20)(

L

L ( ) / dB

0dB£ 20dB/dec

1

( )/ (¡ã0 ¡ã

£ 90 ¡ã

)

系统里多一个积分环节，起始相角多一个 -90°




3. 微分环节

2)(

j

ejjG

90)(

)(

A

( )G s s

90)(

lg20)(

L

L ( ) / dB

0dB

20dB/dec

( )/ ( ¡ã )

0 ¡ã

1

90 ¡ã

jY( )

X ( )

£½0

0

系统里多一个微分环节，起始相角多一个 90°




4. 惯性环节1

( )1

G sTs

Tj

jG

1

1)(

Tarctg

TA

)(

1

1)(

22

jY ( )

¡ú¡Þ

0

A ( )

( ) £½0

1

221

1

T

221 T

T

X ( )

0.5

2 2( ) 20lg 1

( )

L T

arctg T

L ( ) / dB

½¥½üÏß½»½ÓÆµÂÊ ½¥½üÏß

¾«È·ÇúÏß

0

£ 10

£ 20

£ 300.1/ T

( )/ ( ¡ã )

0

£ 45

£ 900.1/ T

1/ T

1/ T

10/ T

10/ T

系统里多一个惯性环节，趋于无穷时，相角位移一个 -90°



回顾上一节：典型环节的频率特性5. 一阶微分环节 TjjG 1)(

Tarctg

TA

)(

1)( 22

Tarctg

TL

)(

1lg20)( 22

jY( )

X ( )

£½0

10

20

L ( ) / dB

0.1/ T

10

1/ T

10/ T

10/ T0.1/ T

45

0

90

( )/ ( ¡ã )

1/ T0

系统里多一个一阶微分环节，趋于无穷时，相角位移一个 90°



回顾上一节：典型环节的频率特性6. 二阶振荡环节

2)(21

1)(

TjTjjG

22

2222

1

2)(

)2()1(

1)(

T

Tarctg

TTA

22

2222

1

2)(

)2()1(lg20)(

T

Tarctg

TTL

jY( )

¡ú ¡Þ 1

£½0

£½1

£½0.6

£½0.4

X ( )

0

20

10

0

£ 10

£ 20

£ 30

£ 400.1/ T 1/ T 10/ T

£ 20

0

£ 40

£ 60

£ 80

£ 100

£ 120

£ 140

£ 160

£ 1800.1/ T 1/ T 10/ T

£½0.1£½0.2£½0.3£½0.5£½0.7£½1

½¥½üÏß

£½0.1

£½0.2

£½0.3

£½0.5

£½0.7

£½1

L ( ) /dB

( )/ (¡ã)



回顾上一节：典型环节的频率特性7. 迟后环节

jejG )(

)(

1)(A

)(

1)(L

jY( )

1

£½0X ( )0

L ( ) /dB

L ( )£½00

0¡ã

( )/ ( ¡ã )



s0

s/1

90小结：

90

90 90

1Ts 0 90

)1/(1 Ts 0 90

1222 TssT 0 180

0 180)12/(1 22 TssT

有加号变化；没加号的相角都不变，)1(

在分母上的都是负的；的在分子上的角度都是正 ,)2( s

不变

；最大为最高次为二次的，角度，最大为最高次为一次的，角度

180

90)3(




5.3.1 开环频率特性奈氏图的绘制

以后我们将会看到 , 在绘制奈氏图时有时并不需要绘制得十分准确 , 而只需要绘出奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置就可以了。因此 , 由以上典型环节奈氏图的绘制 , 大致可将奈氏图的一般作图方法归纳如下 :

(1) 写出 A(ω)和 φ(ω) 的表达式 ;

(2) 分别求出 ω=0和 ω=+∞ 时的 G(jω);

确定起始点和终点



(3) 求奈氏图与实轴的交点 , 交点可利用 G(jω) 的虚部 Im

［ G(jω)］ =0 的关系式求出 , 也可利用∠ G(jω) = n·180°( 其中n 为整数 ) 求出 ;

(4) 如果有必要 , 可求奈氏图与虚轴的交点 , 交点可利用G(jω) 的实部 Re ［ G(jω) ］ =0 的关系式求出 , 也可利用∠ G(jω) = n·90°( 其中 n 为正整数 ) 求出 ;

(5) 必要时画出奈氏图中间几点，根据 ω 的走向 ;

(6) 勾画出大致曲线。



(1) 如何计算 A(ω) 和 φ(ω) 的表达式 ;

1

1

(1 )( )

(1 )

m

k ii

k n rr

jj

K T sW s

s T s

开环传递函数

1

1

(1 )( )

( ) (1 )

m

k ii

k n rr

jj

K T jW j

j T j

开环频率特性

1

1

1 1( ) (1 )

( )(1 )

m

k k i n rri

jj

W j K T jj

T j

一阶微分积分环节惯性环节

2

21

1

1 1( ) 1 ( )

1 ( )

rm

k i n ri

jj

A K TT

1 1

( ) arctan 90 arctanm n r

i ji j

T r T



结论

1 1


i ji j

T r T

(2) 分析 ω=0和 ω=+∞ 时的G(jω);

2

21

1

1 1( ) 1 ( )

1 ( )

rm

k i n ri

jj

A K TT

ω=0 时取决于积分环节的阶数， r 个积分环节，起始角度为

90r

ω=+∞ 时取决于微分环节和惯性环节的阶数，m 个一阶微分说明有个相角位移(n-r) 个惯性环节说明个相角位移

90m

( ) 90n r

ω=-∞ 到 ω=0 的奈奎斯特曲线运动轨迹和

从ω=0到ω=+∞ 的运动轨迹关于实轴对称



例 5-1 试绘制下列开环传递函数的奈氏图 :

)11.0)(1(

10)(

sssG

解该环节开环频率特性为

1.0)(

,01.011

10)(

22

arctgarctg

A

ω=0, A(ω) = 10, φ(ω)=0°, 即奈氏图的起点为 (10, j0) ；

ω=+∞, A(ω) = 0, φ(ω)=-180°, 即奈氏图的终点为 (0,j0) 。

显然 , ω从 0 变化到 +∞, A(ω)单调递减 , 而 φ(ω) 则从 0°

到 -180°但不超过 -180° 。

1 1( ) 10

(1 ) (1 0.1 )G jw

jw jw

0.1

2 2

1 110

1 1 0.01

arctg arctge ew w

0.1

2 2

110

1 1 0.01

arctg arctgew w



奈氏图与实轴的交点可由 φ(ω)=0° 得到 , 即为 (10, j0);

奈氏图与虚轴的交点可由 φ(ω)=-90° 得到 , 即

2

1.10.1

1 0.1arctg arctg arctg

得 1-0.1ω2=0, ω2=10, 则

87.21001.01101

10)(

A

arctan arctan arctan1

A BA B

AB

2

1.1

1 0.1

故奈氏图与虚轴的交点为 (0, -j2.87) 。

其奈氏图如图 5-21 所示。



图 5-21 例 5-1 的奈氏图

£½0

jY( )

0

£ j2.87

10

X ( )

ω=0, A(ω) = 10,

φ(ω)=0°, 即奈氏图的起点为 (10, j0) ；

ω=+∞, A(ω) = 0,

φ(ω)=-180°, 即奈氏图的终点为 (0,j0) 。

，交点求关键点：起点，终点



用MATLAB 绘制的奈氏图如图 5-22 所示。注意 , 一般手绘的奈氏图 , 其频率范围是 0~+∞, 而MATLAB 绘制奈氏图时 , 则是从 -∞~+∞ 。 MATLAB 绘制程序如下：

nyquist(［ 10］ , conv(［ 1 1］ , ［ 0.1 1］ )) Nyquist Diagram

5

0

£ 5

Imag

inary

Axi

s

0 2 4 6 8 10Real Axis

图 5-22 MATLAB绘制例 5-1 的奈氏图

)11.0)(1(

10)(

sssG



例 5-3 设系统的开环传递函数为

)12)(1(

1)(

ssssG

试绘制其奈氏图。解该传递函数的幅频特性和相频特性分别为

290)(

411

1)(

22

arctgarctg

A

所以有

ω=0+, A(ω)=+∞, φ(ω)=-90°-Δ 为正的很小量 , 故起点在第Ⅲ象限 ;

ω=+∞, A(ω)=0, φ(ω)=-270°+Δ, 故在第Ⅱ象限趋向终点 (0,j0) 。

分母每增加一阶，终点相角减 90 度



因为相角从 -90° 变化到 -270°, 所以必有与负实轴的交点。由 φ(ω)=-180° 得 180290 arctgarctg

即 arctgarctg 902

, 得 2ω=1/ω, 即 ω=0.707, 此时 A(ω)=0.67 。因此 , 奈氏图与实轴的交点为 (-0.67, j0) 。系统的奈氏图如图 5-24 所示。

( 2 ) (90 )tg arctg tg arctg 上式两边取正切

cot( )arctg1

( )tg arctg



图 5-24 例 5-3 的奈氏图

jY( )

X ( )

¡ú ¡Þ

0

£ 0.67

£½0.707

£½0 £«



例 5-3 中系统型次即开环传递函数中积分环节个数 ν=1, 若分别取 ν=2, 3和 4, 则根据积分环节的相角 , 将图 5-

24 曲线分别绕原点旋转－ 90°, － 180° 和－270° 即可得相应的奈氏图 , 如图 5-26 所示。

图 5-26 ν=1, 2, 3, 4 时的奈氏图

jY( )

X ( )

v £½2

v £½1

v £½4

v £½3

0



例 5-4 设系统的开环传递函数为 )1)(1(

)1()(

21

sTsTs

TsKsG

其中 K=0.1, T=1, T1=0.2, T2=0.5 。试绘制系统的奈氏图。

解该传递函数的幅频特性和相频特性分别为

22

2

221

221

22

25.0104.01

11.0

11

1)(

TT

TKA

1 2( ) arctan 90 arctan arctanT T T

arctan 90 arctan 0.2 arctan 0.5



根据系统的幅频特性和相频特性有 :

ω=0+, A(ω)=+∞， φ(ω)=-90°+Δ, 故奈氏图起点在第Ⅳ象限 ;

ω=+∞, A(ω)=0, φ(ω)=-180°+Δ, 故系统奈氏图在第Ⅲ象限趋向终点 (0,j0) 。因为相角范围为－ 90°~－ 180°, 所以必有与负虚轴的交点。由 φ(ω)=－ 90° 得

-90°+arctgω-arctg0.2ω-arctg0.5ω=-90°

即arctgω=arctg0.2ω+arctg0.5ω

上式两边取正切 , 得 ω2=3, 即 ω=1.732, 此时 A(ω)=0.0825 。所以 , 奈氏图与虚轴的交点为 (0, -j0.0825) 。系统奈氏图如图 5-27

所示。



图 5-27 例 5-4 的奈氏图

X ( )

¡ú ¡Þ

£ 0.0825

£½1.732

jY( )

£½0 £«

0



5.3.2 开环频率特性伯德图的绘制控制系统一般总是由若干环节组成的 , 设其开环传递函数为

G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)

系统的开环频率特性为 )()()()( 21 jGjGjGjG n

或 1 1 ( )( ) ( )( )

1 2( ) ( ) ( ) ( ) njj jjnA e A e A e A e

1 2( ) ( ) ( ) ( )nA A A A

1 2( ) ( ) ( ) ( )n



则系统的开环对数频率特性为

)()()()(

)()()()(

21

21

n

nLLLL

其中 , Li(ω)=20lgAi(ω), (i=1, 2, …, n) 。

具体如何画开环频率特性伯德图：两种方案

方案一：分别画出各自的对数曲线，然后叠加求最终结果

方案二：利用交接频率和各个环节的特性画



例 5-5 绘制开环传递函数为

)101)(1()(

ss

KsG

的零型系统的伯德图。

解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为

10

)()()()(

1001lg201lg20lg20

)()()()(

321

22

321

arctgarctg

K

LLLL

方案一，直接叠加


6868西安电子科技大学西安电子科技大学航天电子信息研究所航天电子信息研究所航天电子信息研究所航天电子信息研究所IAEIIAEI图 5-28 例 5-5 的伯德图

L ( )/dBL 1 ( )

20lg K

0.1

£ 20dB/dec

1

L3( )

0dB

£ 20dB

£ 40dB

L 2 ( )

L ( ) £ 40dB/dec

1( )

2( )

3 ( )

( )

( )/(¡ã )0

£ 45

£ 90

£ 135

£ 18010 £ 2 10 £ 1 10 0 10 1 10 2

各个环节单独绘制出来然后叠加



可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下 :

(1) 将开环频率特性分解 , 写成典型环节相乘的形式 ;

(2) 求出各典型环节的交接频率 , 将其从小到大排列为 ω1, ω2, ω3, … 并标注在 ω轴上 ;

(3) 绘制低频渐近线 (ω1左边的部分 ), 这是一条斜率为-20ν dB/dec（ v 为积分环节的个数）的直线 , 它或它的延长线应通过 (1, 20lgK)点 ;

(4) 随着 ω 的增加 , 每遇到一个典型环节的交接频率 , 就按上述方法改变一次斜率 ; （一个惯性减 20dB, 一个微分加20dB ，一个二阶减 40dB） (5) 必要时可利用渐近线和精确曲线的误差表 , 对交接频率附近的曲线进行修正 , 以求得更精确的曲线。对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得 , 也可以利用相频特性函数 φ(ω) 直接计算。

方案二，利用交接频率画



系统开环对数幅频特性有如下特点 :

•低频段的斜率为－ 20νdB/dec, ν 为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。

•低频段 (若存在小于 1 的交接频率时则为其延长线 )在 ω＝ 1

处的对数幅值为 20lgK 。

•在典型环节的交接频率处 , 对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化 , 变化的情况取决于典型环节的类型。如遇到 G(s) ＝

(1+Ts)±1 的环节 , 交接频率处斜率改变 ±20dB/dec; 如遇二阶振荡环节 , 在交接频率处斜率就要改变－ 40dB/dec, 等等。

2221

1)(

sTTssG



1 ．确定低频段 20lgK ，纯微分 ( 纯积分 )

2 ．每遇一转折频率，改变一次斜率惯性：增加 -20db/dec

振荡：增加 -40db/dec

一阶微分：增加 +20db/dec

二阶微分：增加 +40db/dec

总结



例 5-7 已知系统的开环传递函数为

)2)(2(

)3(10)(

2

ssss

ssG

试绘制系统的伯德图。解将开环传递函数写成如下典型环节乘积形式 :

12

1

22

12

2

12

1

315.7

)(2

2

sss

s

s

sG

ω1=1.414, ω2=2, ω3=3 ζ= 0.354振荡

惯性一阶微分

20lgK=20lg7. 5=17.5



可见 , 此系统由一个比例环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个一阶微分环节和一个二阶振荡环节组成 , 且

ω1=1.414, ω2=2, ω3=3 。 20lgK=20lg7. 5=17.5 。阻尼比 ζ=

0.354 。

在确定了各个环节的交接频率和 20lgK 的值以后 , 可按下列步骤绘制系统的伯德图 :

(1) 通过点 (1, 17.5) 画一条斜率为－ 20dB/dec 的直线 , 它就是低频段的渐近线 ;

(2) 在 ω1=1.414处 , 将渐近线的斜率从－ 20dB/dec改为－60 dB/dec, 这是考虑振荡环节的作用 ;



(3) 由于一阶惯性环节的影响 , 从 ω2=2起 , 渐近线斜率应

减少 20dB/dec, 即从原来的－ 60dB/dec 变为－ 80dB/dec;

(4) 在 ω3= 3处 , 渐近线的斜率改变 20 dB/dec, 形成斜率为

－ 60dB/dec 的线段 , 这是由于一阶微分环节的作用 ;

(5) 根据相频特性 φ(ω), 求出若干点的相频特性曲线角度值 , 如表 5-6 所示 , 将各点光滑连接 , 可以绘制系统的相频特性。开环系统的伯德图如图 5-30 所示 ( 虚线为渐近线 ) 。绘制程序如下：

bode(［ 10 30］ , conv(conv(［ 1 0］ , ［ 1 2］ ), ［ 1 1

2］ ))



L ( )/dB

£ 20dB/dec

20lg7.5

0.1

50

0

£ 50

£ 100

£ 60dB/dec

£ 80dB/dec

1 2 3 10 100

£ 60dB/dec

£ 90

( )/(¡ã )

£ 135

£ 180

£ 225

£ 270

( )



5.3.3 最小相位系统

1

1

1 1( ) (1 )

( )(1 )

m

k k i n rri

jj

W j K T jj

T j

2

21

1

1 1( ) 1 ( )

1 ( )

rm

k i n ri

jj

A K TT

1 1


i ji j

T r T

大小与 T 的正负无关

大小与 T 的正负有关

各项时常数大小相同而符号不同的情况下，幅度特性完全相同

但各个传递函数的像移不同




1 1


i ji j

T r T

定义：系统传递函数的极点和零点都位于 s平面的左半部 , 这种系统为最小相位系统，否则 , 称为非最小相位系统。

为什么？零点由决定iT

极点由决定jT

上式中相角位移：1

arctanm

ii

T

1

arctann r

jj

T

和全为正，则可以对消，此时像移最小iT jT

和有负数，必然相加结果不为最小iTjT

零、极点全在 S平面左侧



EG ：

1

(2 1)( )

(3 1)(4 1)

K sG s

s s s

2

( 2 1)( )

(3 1)(4 1)

K sG s

s s s

)1)(1(

)1()(

21

sTsTs

TsKsG

2

1 2 2 2

1 4( ) ( )

1 9 1 16

KA A

2 ( ) arctan( 2 ) 90 arctan(3 ) arctan(4 )

1( ) arctan(2 ) 90 arctan(3 ) arctan(4 )

arctan(2 ) 90 arctan(3 ) arctan(4 )

趋于时的相移： 90°-90°-90°-90°=-180°

趋于时的相移： -90°-90°-90°-90°= -360°

最小相系统




• 当单回路系统中只包含比例、积分、微分、惯性和振荡环节时 , 系统一定是最小相位系统。如果在系统中存在迟后环节或者不稳定的环节 (包括不稳定的内环回路 )时 , 系统就成为非最小相位系统

• 对于最小相位系统 , 对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。• 根据系统的对数幅频特性 , 可以唯一地确定相应的

相频特性和传递函数 , 反之亦然。• 但是 , 对于非最小相位系统 , 就不存在上述的这种

关系。实用的大多数系统为最小相位系统 , 为了简化工作量 , 对于最小相位系统的伯德图 , 可以只画幅频特性。



另有一非最小相位系统 , 其频率特性如下 :

2

1

1

1)(

jT

jTjG

(T2＞ T1＞ 0)

从图 5-31 不难看出 , 这两个系统的对数幅频特性是完全相同的 , 而相频特性却根本不同。前一系统的相角 φ1(ω) 变化范围很小 , 而后一系统的相角 φ2(ω)随着角频率 ω 的增加却从0° 变到趋于 -180°。

例如有一最小相位系统 , 其频率特性为

)0(1

1)( 12

2

1

TTjT

jTjG



图 5-31 最小相位系统和非最小相位系统的伯德图

L ( )/dB1/ T 2 1/ T 1

£ 20dB/dec

0

£ 10

£ 20

£ 90

( )/(¡ã )

£ 135

£ 45

0

£ 180

1 ( )

2( )



例 3 ：最小相系统 Bode 图如图，求传递函数解：低频段 : 斜率 = -20db/dec 积分 W =1时 , L(W) ≠0 比例 20 lgK = 40db K = 100转折频率： 2 -20db/dec 惯性 5 +20db/dec 一阶微分 20 -20db/dec 惯性

Gk(S) = (1/S)*(100)*{1/[1+(1/2)S]}

*[1+(1/5)S]*{1/[1+(1/20)S]}

= 800(S+5)/[S(S+2)(S+20)]



5.4 频域 ( 奈奎斯特 ) 稳定性判据用开环频率特性的奈奎斯特曲线判定闭环系统的稳定性

现有判断系统稳定性的方法判断闭环传递函数的特征根

劳斯判据为了保证系统稳定：特征方程所有特征根在 s平面的左侧

奈奎斯特稳定判据是将开环频率响应与特征方程在 s平面右半平面内的零点数和极点数联系起来的判据

用开环频率响应曲线分析系统稳定性，绕过了求解闭环极点的麻烦，工程上常用



闭环系统的稳定性，可以用系统的开环特性来判断。因

为开环模型中包含了闭环的所有元部件，包含了所有环节的

动态结构和参数。由于闭环系统的稳定性取决于闭环特征根的性质，因此

用开环特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性与闭

环特征式的关系。

用开环频率特性的奈奎斯特曲线判定闭环系统的稳定性

5.4.1 基本原理



5.4.1 基本原理

特征方程：1 ( ) ( ) 0G s H s 所有特征根在 s平面的左侧稳定

构造辅助方程：( ) 1 ( ) ( )F s G s H s (s)

1( )

M

N s

( ) (s)

( )

N s M

N s

F（ s ）具有以下特征

只要能证明 F(s) 的零点在 s右半平面的个数为零就可以证明稳定

（ 4） F（ s ）的分子分母阶数相同



5.4.2映射定理

设有一复变函数为 )())((

)())(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsF

结论 F(s) 为但只连续函数F(s)与 s平面上的每一点一一对应同理， s平面上任意一条闭合曲线，在 F(s) 上有一条对应的闭合曲线

js 1

s 2

s 3

0

s Æ½Ãæ F (s )Æ½ÃæjV

F 1 (s )

F 2 (s )

F3(s )

0 U



5.4.2映射定理结论在 s平面上有一个闭合路

径包围 F(s) 的一个零点，则当围绕该路径绕顺时针转一圈，在 F(s)平面上有一条对应的闭合回路绕原点顺时针一圈

在 s平面上有一个闭合路径包围 F(s) 的一个极点，则当围绕该路径绕顺时针转一圈，在 F(s)平面上有一条对应的闭合回路绕原点逆时针一圈



5.4.2映射定理在 s平面上，如果闭合回路包围 F(s)的 P 个极点， Z 个零点，则在 F(s)平面上对应有一条闭合回路绕原点逆时针旋转 N圈，且 N P Z

上式中， P为 s平面上被顺时针包围的极点个数 N为 s平面上被顺时针包围的零点个数

5.4.3 奈氏路径为了判断闭环系统的稳定性 , 需要检验 F(s) 是否有位于 s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个 s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线 , 通常称为奈奎斯特回线 , 简称奈氏路径

j

s

£«j

£ j

0

C 1

R

C 2 s Æ½Ãæ



5.4.4 奈奎斯特稳定判据 ( ) 1 ( )kF jw W jw

闭环控制系统稳定的充分必要条件是 F(jw)在 s的右半平面无零点，即s平面上的奈氏路径，不会在 F(jw)平面上的原点出造成顺时针围绕

也就是说，在平面上不会造成对（ -1， j0 ）的顺时针围绕

( )kW s

是 F(s) 的右移 1 个单位，所以 F(s) 的原点是平面上的的（ -1， j0 ）

( )kW jw

( )kW jw

是开环传递函数的奈奎斯特曲线

( )kW jw



5.4.4 奈奎斯特稳定判据系统的开环频率特性曲线当从变化时，在平面上，奈氏曲线绕（ -1， j0 ）这个点逆时针旋转的次数为

( ) ( ) ( )kW jw G jw H jw ω

闭环控制系统稳定的充分必要条件是

( )kW jw

N P Z

上式中， P 为开环传递函数在右半平面的极点个数

P=0 时，开环传递函数的奈奎斯特曲线不包围（ -1， j0 ）时，开环传递函数有 P 个极点在 s右半平面，则开环传递函数奈奎斯特曲线要围绕（ -1， j0 ）逆时针转 P圈

0P

N=P, Z=0

围绕（ -1， j0 ）的转圈只能由 P造成，不能由 Z造成



例 5-8 某系统开环频率特性的正频段如图中的实线所示，并已知其开环系统稳定。试判断闭环系统的稳定性。

解系统开环稳定，所以 P=0 ；补画频率特性的负频段，如图中的虚线所示。从图中看到，当 w从 -∞向 +∞ 变化时， G(jw)H(jw) 曲线不包围 (-1， j0) 点，即 N = 0 ；因此 Z=N+P=0 ，闭环系统是稳定的



例 5-9 已知开环传递函数为

)2)(1)(5.0()()(

sss

KsHsG

试绘制 (1) K=5, (2) K=10 时的奈氏图 , 并判断系统的稳定性。

解 (1) 当 K=5时 , 开环幅频特性和相频特性分别为

25.0)(

41125.01

5)(

222

arctgarctgarctg

A



奈氏图如图 5-37 所示。因为 s平面右半部的开环极点数 P＝ 0 , 且奈氏曲线不包围 ( － 1, j0) 点 , 即 N = 0, 则 Z＝ P－ N =0, 所以系统稳定。

25.0)(

41125.01

5)(

222

arctgarctgarctg

A

jY ( )

X ( )

£½0 £½£«¡Þ

£½£ ¡Þ0(£ 1£¬j0£©



(2) 当 K=10时 , 奈氏图形状与 (1) 相同 , 只是以坐标原点为中心 , 向外“膨胀”而已。“膨胀”的倍数为 10/5=2, 故与实轴的交点的横坐标在 (－ 0.59×2, － 0.66×2) 之间 , 即交点在(－ 1, j0) 点的左侧。因为 s 平面右半部的开环极点数 P＝ 0,

且奈氏曲线顺时针包围 (－ 1, j0)点 2次 , 即 N=－ 2, 则 Z＝ P

－ N=2, 所以系统不稳定 , 有两个闭环极点在 s 平面右半部。

用 MATLAB 绘制的奈氏图如图 5-38 所示，其程序如下：

nyquist(［ 5］ , conv(conv(［ 1 0.5］ , ［ 1 1］ ), ［ 1 2

］ ))



图 5-38 MATLAB 绘制例 5-9 的奈氏图

Nyquist Diagram

3

2

1

0

£ 1

£ 2

£ 3

Imag

inary

Axi

s

Real Axis£ 1 0 1 2 3 4 5



5.4.3 虚轴上有开环极点时的奈氏判据

系统中有串联积分环节的时候 , 即在 s平面的坐标原点有开环极点。这时不能直接应用奈氏路径。

为了在这种情况下应用奈氏判据 , 可以选择图 5-

39 所示的奈氏回线 , 此奈氏路径经过以坐标原点为圆心 , 以无穷小量 ε 为半径的 , 在 s平面右半部的小半圆 , 绕过了开环极点所在的原点。当ε→0 时 , 此小半圆的面积也趋近于零。因此 ,

F(s) 的位于 s平面右半部的零点和极点均被此奈氏回线包围在内，而将位于坐标原点处的开环极点划到了左半部。这样处理是为了适应奈氏判据的要求 , 因为应用奈氏判据时必须首先明确位于s平面右半部和左半部的开环极点的数目。

jC 2£«j

C 1

R

0

£ j

s

s Æ½Ãæ



当 s沿着上述小半圆移动时 , 有

jes

0lim

当 ω从 0-沿小半圆变到 0+时 , s按逆时针方向旋转了180°, G(s)H(s) 在其平面上的映射为

jvjvv

esvnv

mes

eeK

sTsTsTs

sssKsHsG

j

j

0

0lim21

21lim )1()1)(1(

)1()1)(1(|)()(

ν 为系统中串联的积分环节数目。



由以上分析可见 , 当 s沿着小半圆从 ω=0- 变化到 ω=0+

时 , θ 角从－ 90°经 0° 变化到＋ 90°, 这时在 G(s)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从 90ν°

经过 0° 转到－ 90ν° 。




)2)(1(

10)()(

2

ssssHsG

的奈氏图 , 并判断系统的稳定性。

解开环幅频特性和相频特性分别为

5.090)(

,41

10)(

22

arctgarctg

A



从而有 ω=0+时 , A(ω)=∞, φ(ω)=-90°-Δ, Δ 为正的很小量 ,

故起点在第Ⅲ象限 ; ω=+∞时 , A(ω) =0, φ(ω)=-270°+Δ, 故在第Ⅱ象限趋向终点 (0, j0) 。因为相角范围从－ 90° 到－ 270°, 所以必有与负实轴的交点。由 φ(ω)=－ 180° 得

1805.090 arctgarctg

即 arctgarctg 905.0

上式两边取正切 , 得 0.5ω=1/ω, 即 ω=1.414, 此时 A(ω)=1.67 。因此奈氏图与实轴的交点为 (－ 1.67, j0) 。系统开环传递函数有一极点在 s平面的原点处 , 因此奈氏回线中半径为无穷小量 ε

的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧 :



ω: 0-→0+; θ: － 90°→ 0°→ ＋ 90°; φ(ω): ＋ 90°→ 0°→ － 90°

奈氏图如图 5-40 所示。因为 s 平面右半部的开环极点数 P＝

0, 且奈氏曲线顺时针包围 (－ 1, j0)点 2次 , 即 N=－ 2, 则 Z

＝ P－ N=2, 所以系统不稳定 , 有两个闭环极点在 s 平面右半部。用 MATLAB 绘制 (－ 1, j0) 点附近的奈氏图如图 5-41

所示，其程序如下：

nyquist(［ 10］ , conv(conv(［ 1 0］ , ［ 1 1］ ), ［ 1 2

］ ))



图 5-40 例 5-10 的奈氏图

jY ( )

£½0£

£ 1.67

£½1.414

£½£ ¡Þ

£½£«¡Þ0

(£ 1£¬j0)

£½0£«

X ( )




Nyquist Diagram

Real Axis

4

3

2

1

0

£ 1

£ 2

£ 3

£ 4£ 5 £ 4 £ 3 £ 2 £ 1 0

Imag

inary

Axi

s




)2)(1(

10)()(

2

ssssHsG

的奈氏图 , 并判断系统的稳定性。解开环幅频特性和相频特性分别为

5.0180)(,41

10)(

22arctgarctgA

从而有 ω=0+时 , A(ω)=∞, φ(ω)=-180°-Δ,Δ 为正的很小量 , 故奈氏图起点在第Ⅱ象限 ;ω=+∞时 ,A(ω)=0, φ(ω)=-360°+Δ, 故在第Ⅰ象限趋向终点 (0, j0) 。



系统开环传递函数有 2 个极点在 s 平面的原点处 , 因此奈氏回线中半径为无穷小量 ε 的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧 :

ω:0-→0+; θ: － 90°→0°→＋ 90°;

φ(ω): ＋ 180°→ 0°→－ 180°

奈氏图如图 5-42 所示。因为 s平面右半部的开环极点数 P＝ 0,


－ N=2, 所以系统不稳定 , 有两个闭环极点在 s平面右半部。用MATLAB 绘制 (－ 1, j0) 点附近的奈氏图如图 5-43 所示，其程序如下：

nyquist(［ 10］ , conv(conv(［ 1 0 0］ , ［ 1 1］ ), ［ 1 2

］ ))



图 5-42 例 5-11 的奈氏图

jY ( )

£½£ ¡Þ

£½£«¡Þ

£½0£«

(£ 1£¬j0)

£½0£

X ( )

0




Nyquist Diagram

£ 3

Imag

inary

Axi

s

Real Axis£ 2.5 £ 2 £ 1.5 £ 1 £ 0.5 0

£ 4

£ 3

£ 2

£ 1

0

1

2

3

4



5.4.4 对数频率稳定判据

对数频率稳定判据实际上是奈氏判据的另一种形式 , 即利用开环系统的伯德图来判别系统的稳定性。系统开环频率特性的奈氏图 (极坐标图 ) 和伯德图之间有如下对应关系 : 奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图对数幅频特性的 0 分贝线 ; 奈氏图上的负实轴对应于伯德图上相频特性的－ 180° 线。伯德图上 ,φ(ω) 从－ 180° 线以下增加到－ 180° 线以上 , 称为φ(ω) 对－ 180° 线的正穿越 ; 反之 , 称为负穿越。



图 5-44 例 5-12 的伯德图

L ( )/dB

£ 20dB/dec

20 lg K

£½1/T £ 40dB/dec 0

()/(¡ã )0 ¡ã

£ 90 ¡ã

£ 180 ¡ã



对数频率稳定判据可表述如下 : 闭环系统稳定的充分必要条件是 ,当 ω由 0 变到∞时 , 在开环对数幅频特性 L(ω)≥0 的频段内 , 相频特性 φ(ω) 穿越－ 180° 线的次数 ( 正穿越与负穿越次数之差 )为 P/2。 P为 s平面右半部开环极点数目。注意 , 奈氏判据中 , s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周 , 故 ω 由－∞变到∞ , 所以伯德图中 ω由 0 变到∞时 , 穿越次数为 P/2, 而不是P 。

对于开环稳定的系统 , 此时， P=0 ，若在 L(ω)≥0 的频段内，相频特性 φ(ω) 穿越 -180° 线的次数 ( 正穿越与负穿越之差 )为

0 则闭环系统稳定 ; 否则闭环系统不稳定。



例 5-12 系统开环传递函数为

)1()()(

TSs

KsHsG

试用对数稳定判据判断其稳定性。

解伯德图如图 5-44 所示。

此系统的开环传递函数在 s平面右半部没有极点 ,即 P=0,

而在 L(ω)≥0 的频段内 , 相频特性 φ(ω) 不穿越－ 180°线 , 故闭环系统必然稳定。




5.3.1 开环频率特性奈氏图的绘制

(1) 写出 A(ω)和 φ(ω) 的表达式 ;

(2) 分别求出 ω=0和 ω=+∞ 时的 G(jω);

确定起始点和终点

(3) 求奈氏图与实轴的交点 (4) 如果有必要 , 可求奈氏图与虚轴的交点

，交点求关键点：起点，终点



(1) 如何计算 A(ω) 和 φ(ω) 的表达式 ;

1

1

(1 )( )

(1 )

m

k ii

k n rr

jj

K T sW s

s T s

开环传递函数

1

1

(1 )( )

( ) (1 )

m

k ii

k n rr

jj

K T jW j

j T j

开环频率特性

1

1

1 1( ) (1 )

( )(1 )

m

k k i n rri

jj

W j K T jj

T j

一阶微分积分环节惯性环节

2

21

1

1 1( ) 1 ( )

1 ( )

rm

k i n ri

jj

A K TT

1 1


i ji j

T r T



结论

1 1


i ji j

T r T

(2) 分析 ω=0和 ω=+∞ 时的G(jω);

2

21

1

1 1( ) 1 ( )

1 ( )

rm

k i n ri

jj

A K TT

ω=0 时取决于积分环节的阶数， r 个积分环节，起始角度为

90r

ω=+∞ 时取决于微分环节和惯性环节的阶数，m 个一阶微分说明有个相角位移(n-r) 个惯性环节说明个相角位移

90m

( ) 90n r

ω=-∞ 到 ω=0 的奈奎斯特曲线运动轨迹和

从ω=0到ω=+∞ 的运动轨迹关于实轴对称



5.3.2 开环频率特性伯德图的绘制

)()()()(

)()()()(

21

21

n

nLLLL

其中 , Li(ω)=20lgAi(ω), (i=1, 2, …, n) 。

具体如何画开环频率特性伯德图：两种方案

方案一：分别画出各自的对数曲线，然后叠加求最终结果

方案二：利用交接频率和各个环节的特性画



1 ．确定低频段低频段的斜率为－ 20νdB/dec, ν 为开环系统中所包含的串联积

分环节的数目。 20lgK ，纯微分 (纯积分 )

2 ．每遇一转折频率，改变一次斜率惯性：增加 -20db/dec

振荡：增加 -40db/dec

一阶微分：增加 +20db/dec

二阶微分：增加 +40db/dec

总结

方案二，利用交接频率画



例 5-7 已知系统的开环传递函数为

)2)(2(

)3(10)(

2

ssss

ssG

试绘制系统的伯德图。解将开环传递函数写成如下典型环节乘积形式 :

12

1

22

12

2

12

1

315.7

)(2

2

sss

s

s

sG

ω1=1.414, ω2=2, ω3=3 ζ= 0.354振荡

惯性一阶微分

20lgK=20lg7. 5=17.5



可见 , 此系统由一个比例环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个一阶微分环节和一个二阶振荡环节组成 , 且

ω1=1.414, ω2=2, ω3=3 。 20lgK=20lg7. 5=17.5 。阻尼比 ζ=

0.354 。

在确定了各个环节的交接频率和 20lgK 的值以后 , 可按下列步骤绘制系统的伯德图 :

(1) 通过点 (1, 17.5) 画一条斜率为－ 20dB/dec 的直线 , 它就是低频段的渐近线 ;

(2) 在 ω1=1.414处 , 将渐近线的斜率从－ 20dB/dec改为－60 dB/dec, 这是考虑振荡环节的作用 ;



(3) 由于一阶惯性环节的影响 , 从 ω2=2起 , 渐近线斜率应

减少 20dB/dec, 即从原来的－ 60dB/dec 变为－ 80dB/dec;

(4) 在 ω3= 3处 , 渐近线的斜率改变 20 dB/dec, 形成斜率为

－ 60dB/dec 的线段 , 这是由于一阶微分环节的作用 ;

(5) 根据相频特性 φ(ω), 求出若干点的相频特性曲线角度值 , 如表 5-6 所示 , 将各点光滑连接 , 可以绘制系统的相频特性。开环系统的伯德图如图 5-30 所示 ( 虚线为渐近线 ) 。绘制程序如下：

bode(［ 10 30］ , conv(conv(［ 1 0］ , ［ 1 2］ ), ［ 1 1

2］ ))



L ( )/dB

£ 20dB/dec

20lg7.5

0.1

50

0

£ 50

£ 100

£ 60dB/dec

£ 80dB/dec

1 2 3 10 100

£ 60dB/dec

£ 90

( )/(¡ã )

£ 135

£ 180

£ 225

£ 270

( )




1

1

1 1( ) (1 )

( )(1 )

m

k k i n rri

jj

W j K T jj

T j

2

21

1

1 1( ) 1 ( )

1 ( )

rm

k i n ri

jj

A K TT

1 1


i ji j

T r T

大小与 T 的正负无关

大小与 T 的正负有关

各项时常数大小相同而符号不同的情况下，幅度特性完全相同

但各个传递函数的像移不同




1 1


i ji j

T r T

定义：系统传递函数的极点和零点都位于 s平面的左半部 , 这种系统为最小相位系统，否则 , 称为非最小相位系统。

为什么？零点由决定iT

极点由决定jT

上式中相角位移：1

arctanm

ii

T

1

arctann r

jj

T

和全为正，则可以对消，此时像移最小iT jT

和有负数，必然相加结果不为最小iTjT

零、极点全在 S平面左侧




• 当单回路系统中只包含比例、积分、微分、惯性和振荡环节时 , 系统一定是最小相位系统。如果在系统中存在迟后环节或者不稳定的环节 (包括不稳定的内环回路 )时 , 系统就成为非最小相位系统

• 对于最小相位系统 , 对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。• 根据系统的对数幅频特性 , 可以唯一地确定相应的

相频特性和传递函数 , 反之亦然。• 但是 , 对于非最小相位系统 , 就不存在上述的这种

关系。实用的大多数系统为最小相位系统 , 为了简化工作量 , 对于最小相位系统的伯德图 , 可以只画幅频特性。



例 3 ：最小相系统 Bode 图如图，求传递函数解：低频段 : 斜率 = -20db/dec 积分 W =1时 , L(W) ≠0 比例 20 lgK = 40db K = 100转折频率： 2 -20db/dec 惯性 5 +20db/dec 一阶微分 20 -20db/dec 惯性

Gk(S) = (1/S)*(100)*{1/[1+(1/2)S]}

*[1+(1/5)S]*{1/[1+(1/20)S]}

= 800(S+5)/[S(S+2)(S+20)]



5.4 频域 ( 奈奎斯特 ) 稳定性判据用开环频率特性的奈奎斯特曲线判定闭环系统的稳定性

现有判断系统稳定性的方法判断闭环传递函数的特征根

劳斯判据为了保证系统稳定：特征方程所有特征根在 s平面的左侧

奈奎斯特稳定判据是将开环频率响应与特征方程在 s平面右半平面内的零点数和极点数联系起来的判据

用开环频率响应曲线分析系统稳定性，绕过了求解闭环极点的麻烦，工程上常用



闭环系统的稳定性，可以用系统的开环特性来判断。因

为开环模型中包含了闭环的所有元部件，包含了所有环节的

动态结构和参数。由于闭环系统的稳定性取决于闭环特征根的性质，因此

用开环特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性与闭

环特征式的关系。

用开环频率特性的奈奎斯特曲线判定闭环系统的稳定性

5.4.1 基本原理



5.4.1 基本原理

特征方程：1 ( ) ( ) 0G s H s 所有特征根在 s平面的左侧稳定

构造辅助方程：( ) 1 ( ) ( )F s G s H s (s)

1( )

M

N s

( ) (s)

( )

N s M

N s

F（ s ）具有以下特征

只要能证明 F(s) 的零点在 s右半平面的个数为零就可以证明稳定

（ 4） F（ s ）的分子分母阶数相同



5.4.1 基本原理

• 中心思想：证明系统的闭环传递函数极点在 s平面的右半平面的个数为零

( ) 1 ( ) ( )F s G s H s (s)1

( )

M

N s

( ) (s)

( )

N s M

N s

• 方法：用开环传递函数的频率特性来分析上述问题

• 手段：构造辅助方程

证明 F(s) 的零点在 s右半平面的个数为零



5.4.2映射定理

设有一复变函数为 )())((

)())(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsF

结论 F(s) 为单值连续函数F(s)与 s平面上的每一点一一对应同理， s平面上任意一条闭合曲线，在 F(s) 上有一条对应的闭合曲线

js 1

s 2

s 3

0

s Æ½Ãæ F (s )Æ½ÃæjV

F 1 (s )

F 2 (s )

F3(s )

0 U



5.4.2映射定理结论在 s平面上有一个闭合路

径包围 F(s) 的一个零点，则当围绕该路径绕顺时针转一圈，在 F(s)平面上有一条对应的闭合回路绕原点顺时针一圈

在 s平面上有一个闭合路径包围 F(s) 的一个极点，则当围绕该路径绕顺时针转一圈，在 F(s)平面上有一条对应的闭合回路绕原点逆时针一圈



5.4.2映射定理在 s平面上，如果闭合回路包围 F(s)的 P 个极点， Z 个零点，则在 F(s)平面上对应有一条闭合回路绕原点逆时针旋转 N圈，且 N P Z

上式中， P为 s平面上被顺时针包围的极点个数 N为 s平面上被顺时针包围的零点个数

5.4.3 奈氏路径为了判断闭环系统的稳定性 , 需要检验 F(s) 是否有位于 s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个 s平面右半部（不经过零极点）的按顺时针方向运动的封闭曲线 , 通常称为奈奎斯特回线 , 简称奈氏路径

j

s

£«j

£ j

0

C 1

R

C 2 s Æ½Ãæ



5.4.4 奈奎斯特稳定判据（对零型系统）( ) | 1 ( ) ( )s jF s G H

闭环控制系统稳定的充分必要条件是 F(s)在 s的右半平面无零点，即s平面上的奈氏路径，不会在 F(s)平面上的原点出造成顺时针围绕

也就是说，在平面上不会造成对（ -1， j0 ）的顺时针围绕

( )kW j

是的右移 1 个单位，所以 F(s) 的原点是平面上的的（ -1， j0 ）

( )kW jw( )kW jw

是开环传递函数的奈奎斯特曲线

( )kW jw

无积分环节，虚轴上无极点

( ) |s jF s

结论



奈氏轨迹的组成

对应上的曲线( ) |s jF s （ 1， j0 ）

（ 0， j0 ）

由映射定理：系统稳定的充要条件： F(jw) 在右半平面无零点即： S平面上的奈氏轨迹不造成 F(jw)平面上的轨迹围绕原点顺时针旋转 1. F(jw) 在右半平面无极点时， F(jw)平面上的轨迹不包围 F(jw)平面原点即：轨迹与实轴的交点在均在原点右侧 2. F(jw) 在右半平面 P 个有极点时， F(jw)平面上的轨迹围绕原点逆时针旋转P圈

( )F j



( ) 1 ( ) ( )F s G s H s 1 ( )kW s

是的右移 1 个单位，所以 F(s) 的原点是平面上的的（ -1， j0 ）

( )kW jw( )kW jw

( ) |s jF s

（ 1， j0 ）

（ 0， j0 ）

( )F j

（ 0， j0 ）

（ -1， j0 ）

( )kW j

奈奎斯特稳定判据（零型系统）即： S平面上的奈氏轨迹不造成开环传递函数奈氏曲线围绕原点顺时针旋转 1. 开环传函在右半平面无极点时，奈氏曲线不包围（ -1,j0 ）即：奈氏曲线与实轴的交点在（ -1,j0 ）和原点之间 2. 开环传函在右半平面 P 个有极点时，奈氏曲线围绕（ -1,j0 ）逆时针旋转 P圈

由映射定理：系统稳定的充要条件： F(jw) 在右半平面无零点即： S平面上的奈氏轨迹不造成 F(jw)平面上的轨迹围绕原点顺时针旋转 1. F(jw) 在右半平面无极点时， F(jw)平面上的轨迹不包围 F(jw)平面原点即：轨迹与实轴的交点在均在原点右侧 2. F(jw) 在右半平面 P 个有极点时， F(jw)平面上的轨迹围绕原点逆时针旋转 P圈



5.4.4 奈奎斯特稳定判据系统的开环频率特性曲线当从变化时，在平面上，奈氏曲线绕（ -1， j0 ）这个点逆时针旋转的次数为

( ) ( ) ( )kW jw G jw H jw ω

闭环控制系统稳定的充分必要条件是

( )kW jw

N P Z

上式中， P 为开环传递函数在右半平面的极点个数

P=0 时，开环传递函数的奈奎斯特曲线不包围（ -1， j0 ）时，开环传递函数有 P 个极点在 s右半平面，则开环传递函数奈奎斯特曲线要围绕（ -1， j0 ）逆时针转 P圈

0P

N=P, Z=0




5.4.4 奈奎斯特稳定判据系统开环传递函数的完整奈奎斯特曲线从变化时，奈氏曲线围绕（ -1， j0 ）点逆时针旋转 P次，则闭环系统稳定，其中 P 为开环传函在右半平面的极点个数。

ω

闭环控制系统稳定的充分必要条件是P=0 时，开环传递函数的奈奎斯特曲线不包围（ -1， j0 ）

时，开环传递函数有 P 个极点在 s右半平面，则开环传递函数奈奎斯特曲线要围绕（ -1， j0 ）逆时针转 P圈

0P

N=P, Z=0




例 5-8 某系统开环频率特性的正频段如图中的实线所示，并已知其开环系统稳定。试判断闭环系统的稳定性。

解系统开环稳定，所以 P=0 ；补画频率特性的负频段，如图中的虚线所示。从图中看到，当 w从 -∞向 +∞ 变化时， G(jw)H(jw) 曲线不包围 (-1， j0) 点，即 N = 0 ；因此 Z=N+P=0 ，闭环系统是稳定的



例 5-9 已知开环传递函数为

)2)(1)(5.0()()(

sss

KsHsG

试绘制 (1) K=5, (2) K=10 时的奈氏图 , 并判断系统的稳定性。

解 (1) 当 K=5时 , 开环幅频特性和相频特性分别为

25.0)(

41125.01

5)(

222

arctgarctgarctg

A



奈氏图如图 5-37 所示。因为 s平面右半部的开环极点数 P＝ 0 , 且奈氏曲线不包围 ( － 1, j0) 点 , 即 N = 0, 则 Z＝ P－ N =0, 所以系统稳定。

25.0)(

41125.01

5)(

222

arctgarctgarctg

A

jY ( )

X ( )

£½0 £½£«¡Þ

£½£ ¡Þ0(£ 1£¬j0£©



(2) 当 K=10时 , 奈氏图形状与 (1) 相同 , 只是以坐标原点为中心 , 向外“膨胀”而已。“膨胀”的倍数为 10/5=2, 故与实轴的交点的横坐标在 (－ 0.59×2, － 0.66×2) 之间 , 即交点在(－ 1, j0) 点的左侧。因为 s 平面右半部的开环极点数 P＝ 0,


－ N=2, 所以系统不稳定 , 有两个闭环极点在 s 平面右半部。

用 MATLAB 绘制的奈氏图如图 5-38 所示，其程序如下：

nyquist(［ 5］ , conv(conv(［ 1 0.5］ , ［ 1 1］ ), ［ 1 2

］ ))




Nyquist Diagram

3

2

1

0

£ 1

£ 2

£ 3

Imag

inary

Axi

s

Real Axis£ 1 0 1 2 3 4 5



jC 2£«j

C 1

R

0

£ j

s

s Æ½Ãæ

5.4.3 非零型系统的奈氏盘踞（原点处有开环极点）

原点处有极点，与奈奎斯特路径不能经过零极点的定义相悖

为了在这种情况下应用奈氏判据 , 可以选择图 5-39 所示的奈氏回线 , 此奈氏路径经过以坐标原点为圆心 , 以无穷小量 ε 为半径的 , 在 s平面右半部的小半圆 , 绕过了开环极点所在的原点。当 ε→0时 , 此小半圆的面积也趋近于零。因此 , F(s) 的位于 s平面右半部的零点和极点均被此奈氏回线包围在内，而将位于坐标原点处的开环极点划到了左半部。



当 s沿着上述小半圆移动时 , 有

jes

0lim

当 ω从 0-沿小半圆变到 0+时 , s按逆时针方向旋转了180°, G(s)H(s) 在其平面上的映射为

jvjvv

esvnv

mes

eeK

sTsTsTs

sssKsHsG

j

j

0

0lim21

21lim )1()1)(1(

)1()1)(1(|)()(

ν 为系统中串联的积分环节数目。



0lim

( ) ( ) | j

jv

s eG s H s e

当 s沿着原点处的小半圆逆时针移动时，映射在 F(s)平面上的曲线为半径半径是无穷大的一段圆弧，圆弧旋转的角度为v

当系统有 v 个积分环节时，系统的完整开环奈氏图要在原始奈氏图上增补频段上半径为无穷大，顺时针旋转过的一段圆弧v

将和连起来，形成一个闭合曲线0 0

为什么零型系统不需要做这件事？

其奈奎斯特曲线本就是一条闭合曲线



例 5-10 绘制开环传递函数为 10

( ) ( )( 1)( 2)

G s H ss s s

的奈氏图 , 并判断系统的稳定性。

解开环幅频特性和相频特性分别为

5.090)(

,41

10)(

22

arctgarctg

A

一个积分环节



ω=0+时 , A(ω)=∞, φ(ω)=（ -90°-Δ） , Δ 为正 , 故起点在第Ⅲ象限 ; ω=+∞时 , A(ω) =0, φ(ω)=(-270°+Δ), 在第Ⅱ象限趋向终点 (0,

j0) 。因为相角范围从－ 90° 到－ 270°, 所以必有与负实轴的交点。由 φ(ω)=－ 180° 得

1805.090 arctgarctg

即 arctgarctg 905.0

上式两边取正切 , 得 0.5ω=1/ω, 即 ω=1.414, 此时 A(ω)=1.67 。因此奈氏图与实轴的交点为 (－ 1.67, j0) 。



(-1,j0)

(－ 1.67, j0)

的奈氏曲线0 的奈氏曲线

系统开环传递函数有一极点在 s平面的原点处 ,

因此奈氏路径中半径为无穷小量 ε 的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧相移量为，顺时针 : v



jY ( )

£½0£

£ 1.67

£½1.414

£½£ ¡Þ

£½£«¡Þ0

(£ 1£¬j0)

£½0£«

X ( )

10( ) ( )

( 1)( 2)G s H s

s s s

因为 s 平面右半部的开环极点数 P＝ 0

且奈氏曲线顺时针包围 (－ 1, j0)点 2次

所以系统不稳定 , 有两个闭环极点在 s 平面右半部




)2)(1(

10)()(

2

ssssHsG

的奈氏图 , 并判断系统的稳定性。解开环幅频特性和相频特性分别为

2 2 2

10( ) , ( ) 180 0.5

1 4A arctg arctg

从而有 ω=0+时 , A(ω)=∞, φ(ω)=-180°-Δ,Δ 为正的很小量 , 故奈氏图起点在第Ⅱ象限 ;ω=+∞时 ,A(ω)=0, φ(ω)=-360°+Δ, 故在第Ⅰ象限趋向终点 (0, j0) 。



jY ( )

£½£ ¡Þ

£½£«¡Þ

£½0£«

(£ 1£¬j0)

£½0£

X ( )

0

的奈氏曲线系统开环传递函数有 2 个极点在 s 平面的原点处从开始，由无穷远顺时针绕回到无穷远处的0 2 0

因为 s平面右半部的开环极点数 P＝ 0, 且奈氏曲线顺时针包围 (－ 1, j0)点 2次，所以系统不稳定 , 有两个闭环极点在 s平面右半部。



5.4.5 奈奎斯特稳定判据简易求法

如果完整的开环奈氏曲线比较复杂，“数包围次数”比较麻烦，可以采用引入正负“穿越”的次数来计算奈氏曲线包围点（ -1， j0 ）的圈数

NPZ 2-

开环极点在右半平面的个数之左实轴的次数

开环幅相曲线穿越1

时，系统稳定0

时，系统不稳定0



N=N ＋ -N

－

开环幅相曲线自下向上穿越 -1 之左为负穿越，用 N －表示；

-1

开环幅相曲线自上向下穿越 -1 之左为正穿越，用 N ＋表示；

-1

G(jω)H (jω) 起始于或终止于－ 1 之左实轴，为半次穿越

-12

1N 2

1N

-1

必须是实轴（ -1， 0 ）之左侧



(a) p=1 ，

(b) p=2 ，

解：

-1 Re

Im

0 ω=0

ω

ω=∞

P=2

(b)

P=1

ω=0

ω

-1 0 Re

Im

ω=∞

(a)

2

11

2

1N 22 NPZ

系统稳定101 N 02 NPZ

系统不稳定

-1 N ＋ -1 N － N=N ＋ -N －EG.已知奈氏曲线，判稳



试判断系统的稳定性。曲线如图所示，练习：设最小相角系统

)( jG

0

j

-1

[G(j)]22(-1)-02- NPZ

个正实部根。系统不稳定，有2

1,0 NP

-1 N ＋ -1 N － N=N ＋ -N －

最小项：所有项为正， P=0



用奈奎斯特曲线判断稳定判据的时候，我们关注的：负实轴上（ -1， j0 ）左侧，奈氏曲线穿越负实轴的次数

5.4.4 对数频率稳定判据

奈氏图与伯德图之间的关系•奈氏图中的单位圆与伯德图中的幅频特性横轴对称•单位圆之外的部分，对应伯德图中实轴以上的部分•奈氏图的负实轴对应伯德图中相频特性中的这条直线

( ) 1A 20log( ( )) 0A ( ) 1A 20log( ( )) 0A

( )

开环频率奈氏曲线在负实轴上（ -1， j0 ）左侧的穿越数，等价用对数幅频特性中的区间内，曲线与线的交点数来计算

( ) 0L ( )

( ) 正穿越

负穿越

2 0Z P N ？



例 5-12 系统开环传递函数为

)1()()(

TSs

KsHsG

试用对数稳定判据判断其稳定性。

解伯德图如图 5-44 所示。

此系统的开环传递函数在 s平面右半部没有极点 ,即 P=0,

而在 L(ω)≥0 的频段内 , 相频特性 φ(ω) 不穿越－ 180°线 , 故闭环系统必然稳定。

L ( )/dB

£ 20dB/dec

20 lg K

£½1/T £ 40dB/dec 0

()/(¡ã )0 ¡ã

£ 90 ¡ã

£ 180 ¡ã



系统开环奈奎斯特曲线离（ -1， j0 ）的距离

可能相交的情况

为 1 时，相角离的关系相位裕度

为 -180° 时，幅值与 1 的关系幅值裕度

5.5 稳定裕度

( )A

( )

对于一个稳定的最小相位系统 , 其相角裕度应为正值 , 增益裕度为正。

)(

1

gg A

K

( ) ( )c c

20lg ( )gGM A



ÕýÔöÒæÔ£¶È

ÕýÏà½ÇÔ£¶È

ÎÈ¶¨ÏµÍ³

L ( )/dB

0

( )/(¡ã )

£ 90 ¡ã

£ 180 ¡ã

£ 270 ¡ã

(c)

L ( )/dB

¸ºÔöÒæÔ£¶È0

¸ºÏà½ÇÔ£¶È

²»ÎÈ¶¨ÏµÍ³

(d)

( )/(¡ã )£ 90 ¡ã

£ 180 ¡ã

£ 270 ¡ã

0

1

ÕýÔöÒæÔ£¶ÈÊ±µÄ

ÕýÏà½ÇÔ£¶È

ÎÈ¶¨ÏµÍ³

A

£ 1

g

1

K jY ( )

X ( )

1¸ºÏà½ÇÔ£¶È

0£ 1

jY ( )

X ( ) ( c )

¸ºÔöÒæÔ£¶ÈÊ±µÄg

1

K

A

²»ÎÈ¶¨ÏµÍ³

(a) (b)

( c )



例 5-13 单位反馈系统开环传递函数为

)5)(1()( 1

sss

KsG

分别求取 K1=10及 K1 =100 时的相角裕度和增益裕度。

( ) 1A

( )A ( )

( )c

相角裕度 ( )c

( ) ( )gA

增益裕度 1

( )gg

KA



5.6 系统特性与开环频率特性的关系

系统性能的优劣评价

时域性能指标

频域性能指标

从不同的角度描述系统的固有性能

由外部输入信号的时间响应特性分析

由频率特性分析

直观，准确

应用广泛，与时域有对应关系

常对系统进行定量的分析

常对系统进行定性的分析



5.6.1开环幅频特性与系统特性的关系

常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。

L(ω)dB

ω-40dB/dec

-40dB/dec

-20dB/dec

ωc ω2

ω1

低频段高频段中频段

0



—低频段的斜率

低频段开环增益 K 越大，稳态误差越小积分环节越多，系统稳态误差趋于零的情况越多

G(s)= sνK G(jω)= (jω)ν

K低频段由积分环节和比例环节构成：

ν —低频段的高度K

低频段：第一个转折频率之前的频段 --- 反映系统的稳态性能

参见第三章“稳态误差”零型系统、 I 型系统等对不同输入信号的跟随能力



2. 中频段 : 穿越频率ωc 附近的区段为中频段。

它反映了系统动态响应的稳定性和快速性。 L(ω)dB

ω-40dB/dec

-40dB/dec

-20dB/dec

ωc ω2

ω1

低频段高频段中频段

0



（ 1 ）穿越频率ωc 与动态性能的关系设系统中频段斜率为 -20dB/dec 且中频段比较宽。可近似认为整个曲线是一条斜率为 -20dB/dec 的直线。

0

+20-20dB/dec

ωc ω

L(ω)dB

-20

中频段对数幅频特性曲线

开环传递函数：

G(s)≈ =s

Ksωc



0

+20 -20dB/dec

ωc ω

L(ω)dB

-20开环传递函数：

G(s)≈ =s

Ksωc

闭环传递函数为：

= =sωc

sωc

11+ s+1ωc

1Φ(s)=G(s)

1+G(s)

相当于一阶系统调节时间： ωc

ts≈3T= 3

在一定条件下， ωc 越大， ts 就越小，系统响应也越快。此时，穿越频率ωc 反映了系统响应的快速性。

中频段对数幅频特性曲线

-90°相位裕度够大



（ 2 ）中频段的斜率与动态性能的关系

设系统中频段斜率为 -40dB/dec ，且中频段较宽，可近似认为整个曲线是一条斜率为 -40dB/dec 的直线。

0 ω

L(ω)/dB

-40dB/dec+20

-20ωc

G(s)≈ =

s2K

s2

ωc2

闭环传递函数为：

开环传递函数：

s2

ωc2

Φ(s)=G(s)

1+G(s) = s2

ωc2 1+

ωc2

s2+ωc2

= 阻尼比为零系统处于临界稳定状态。

中频段斜率为 -40dB/dec ，所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为 -20dB/dec 。

-180°

相位裕度过小，在截止频率处接近 -180°



3 ．高频段

高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。

L(ω) = 20lg|G(jω)|<<0

|G(jω) |<<1

≈|G(jω)||1+G(jω)||G(jω)|

|Φ(jω)| =

一般即

高频段对应系统的时间常数小，对系统动态性能影响不大。

<<1



5.6 系统动态特性和开环频域特性的关系

t d

³¬µ÷

Á¿

tr

tp

t s

Îó²î´ø

c ( t )

c ( t p )

c ( ¡Þ)0.9 c ( ¡Þ)

0.5 c ( ¡Þ)

0.1 c ( ¡Þ)

0 t

ÎÈÌ¬Îó²î t ¡ú¡Þ

2/ 1 100%p e

若取 Δ=5%

nst

3



5.6 系统动态特性和开环频域特性的关系

用开环频率特性研究系统动态性能常用截止频率和相位裕度这两个量来进行表征

c( )c

用时域特性研究系统动态性能常用阻尼比和震荡频率这两个量来进行表征

n已知

因此，只要找出频率特性中两个常用特征量与时域两个常用特征量之间的关系，就能分析出频率特性与动态性能之间的关系

以二阶系统为例



1. 相位裕度与超调量之间的关系2/ 1 100%p e 分析与阻尼比的关系( )c

2

2 2( )

2n

Bn n

W ss s

二阶系统闭环传递函数

开环传递函数：2

( )1( 2 ) 2 ( 1)

2

n nK

n

n

W ss s s s

£«

£ )2(

2

n

n

ss

R (s ) C (s )

2nK

1

1

2 n

T

( )c



( )1

2 ( )( 1)2

nK

n

W jj j

2nK

1

1

2 n

T

2

2 2 2

1 1( )

2 (2 )(1 )

2

n n

n

n

A

( ) 1A 截止频率处 4 2 2 2 44c n c n

2 42 4 1c n



有了和与的关系，就可以分析相角裕度与时域参数的关系

c n

2( ) ( ) 180 90 arctan arctan

2c n

c cn c

( ) 90 arctan2 n

2 42 4 1c n

2 2

2( ) arctan

2 4 1c

相位裕度仅与阻尼比有关，因此相位裕度可以用来表征超调量



2 2

2( ) arctan

2 4 1c

在一定范围内，近似为 ( ) 100c

阻尼比越大，相位裕度越大 ( )c

2/ 1 100%p e

0

0 .7

越大系统平稳性越好( )c



(2) 相位裕量和调节时间之间的关系 ( )c st

ωs c

6

tant

越大系统快速性越好( )c

( )c 一定时，与剪切频率成反比st



一、二阶系统

2nn2

2n

S2S)s(R)s(C

G(s)

2

n

22n

2)2()1(

1)M(

2n

2n1

1

2tg)(

M

n

r

707.0

707.0

n

b

n

rM

0

180

90

1 . 0

0 . 7 0 7

n

§5-7 系统的频率特性及频域性能指标£«

£ )2(

2

n

n

ss

R (s ) C (s )



闭环频率特性求法：根据开环频率特性求步骤：画开环频率特性 Bode 图再映射到有等 M 圆的对数

幅相图中，就可以得到 M()~ 的关系指标： M( dB)

r

707.0

b

rM1. 0

0. 707

谐振峰值 Mr ：谐振频率 r ：截止频率 b ：增益衰减至70.7% 时的频率

与时域性能的关系 :

)(MM pr 大小小

)( t )( sbr 下相同的 )( t sc 下相同

小大大 pM



时域响应超调量

系统的相对稳定性表征所以有关只

振荡峰值与超调量均rM,,

0|d

)dM(r

令 2

nr 21

得输出的振荡峰值代入 r|)M(

21pM

e

的关系如图与pr M,M

707.0

rM

1. 0

pM

rMpM

r

r

M707.01M,707.0

就没有时

2r

12

1M

与通过曲线得到已知

p

r

M,M

)(MM pr 大小小



? 的关系又如何呢

)(180)( cc

1 ) A( c 由于)2j(j

)G(j n

2n

二阶系统开环频率特性

142 42nc

14

)A( 2n

22cc

2n

c

n

c1-c

2tg90)(

而

142

2tg)(

42

1-cc

代入得将

如图有关也只与 ,)( c

70

60

50

40

30

20

10

. 2 . 4 . 6 . 8 ζ

γ

小小、大大 pr MM

1006.00.2 内



142 42nc

n

4~3ts

1424~3

t 42sc

sc t :一定的条件下

间越短越大则系统过渡过程时的快速性有关的大小与系统阶跃响应

c

c

2nr 21 由于2

sr 214~3

t

sr t :一定的条件下

间越短越大则系统过渡过程时的快速性有关的大小与系统阶跃响应

r

r

谐振频率



作业例 1 ：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示 ,

试确定系统的传递函数。



例 2 ：已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示，试：

(1) 求取系统的开环传递函数。(2) 用稳定裕度判断系统稳定性。

(3)要求系统具有 30º 的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。

﹣60dB/dec

10 0.1 c

20lgG/dB

﹣20dB/dec

﹣40dB/dec40

作业



例 3 ：设某单位负反馈系统的前向通道的传递函数为 :

求： ⑴计算系统的剪切频率 ωC及相位裕度 γ ； ⑵计算系统闭环幅频特性的相对谐振峰值及谐振频率 ωr

作业

16( )

( 2)G s

s s



)05.01)(2.01()(

SSS

KSG

试求

。

4020lg20

)2

1)1

，相位裕量整，使系统的增益裕量K要求通过对增益的调

和时的

dBK

KK

g

g

例 4 ：已知

作业

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