תוחלת ושונות

מה נרצה לדעת על משתנה מקרי?•את ההתפלגות שלו.–

הפונקציות האלה מכילות את כל המידע.•

אנו מעוניינים במדדים שמסכמים את המידע •הזה.

תוחלת של משתנה בדיד

פעמים.3הניסוי – מטילים מטבע ••X.מספר הפעמים שהתקבל עץ – :Xההתפלגות של •

Xסיכוי

1/80

3/81

3/82

1/83

תוחלת של משתנה בדיד

1 3 3 1 1( ) *0 *1 *2 *3 1

8 8 8 8 2E X

או באופן כללי

( ) ( 0)*0 ( 1)*1 ( 2)*2 ( 3)*3E X p X p X p X p X

Xסיכוי

1/80

3/81

3/82

1/83

EXPECTATIONתוחלת -

או Eתוחלת מסומנת ע"י •התוחלת היא הערך שנצפה לקבל בממוצע אם נמדוד •

את המשתנה המקרי הרבה פעמים.תוחלת של משתנה מקרי בדיד במרחב סופי:•

1( ) ( )*

n

i iiE X p X x x

המתקבל Yתוחלת של המספר בהטלת קובייה

i*p(Y=i)p(Y=i)i*p(Y=i)p(Y=i)i

0.1670.1667 1/6 1/61

0.3330.1667 1/3 1/62

0.5000.1667 1/2 1/63

0.6670.1667 2/3 1/64

0.8340.1667 5/6 1/65

1.0000.16671 1/66

3.5 

1/2 3 

תוחלת

תוחלת של משתנה רציף

fלמשתנה רציף, שפונקצית הצפיפות שלו היא • תוגדר התוחלת כ –

האינטגרל הוא סכום. זו גרסה רציפה לסכום.•

( ) ( )E X tf t dt

דוגמה לחישוב תוחלת של משתנה רציף המתפלג אחיד

מטר. האבן תנחת 1אדם זורק אבן לעבר קיר שרוחבו •על הרצפה בנקודה כלשהי צמוד לקיר. האבן עשויה

ליפול בכל נקודה לאורך הקיר באותה סבירות.

וזוהי התוחלת.½השטח מתחת לקו האדום הוא •

תוחלת של פונקציה של משתנה מקרי

משתנים Y ו X מספרים קבועים ו b ו aכאשר •מקריים מתקיים:

•E(bX+a)=bE(X)+a

•E(X+Y)=E(X)+E(Y)

בלתי תלויים, מתקיים גם:X, Yאם •

E(XY)=E(X)E(Y)

VARIANCEשונות

מדד למידה בה ההסתברויות של משתנה מקרי •מפוזרות

2

21 1

22 2

2

var( ) (( ( )) )

( )*( ( ))

( )*( ( )) ...

( )*( ( ))n n

X E X E X

p X x x E X

p X x x E X

p X x x E X

חישוב שונות של הטלת קוביה

)i-E(Y)^(2*p(Y=i))i-E(Y)^(2i-E(Y)p(Y=i)i

1.0426.252.5- 1/61

0.3752.251.5- 1/62

0.0420.250.5- 1/63

0.0420.250.5 1/64

0.3752.251.5 1/65

1.0426.252.5 1/66

2.917  

sum

•E(X))2) –var (X)=E((X:ולכן

var(bX)

= E((bX-E(bX))2)

= E((bX-bE(X))2)

= E(b2(X-E(X))2)

= b2E((X-E(X))2)

= b2var(X)

•E(X))2) –var (X)=E((X:ולכן

var(X+b)

= E((X+b-E(X+b))2)

= E((X+b-(E(X)+b))2)

= E((X+b-E(X)-b)2)

= E((X-E(X))2)

= var(X)

•E(X))2) –var (X)=E((X ע"י פיתוח אפשר להגיע לנוסחה הבאה:•• =E(X2)-(E(X))2

זו נוסחא נוחה לשימוש• סיכום••var(bX) = b2var(X)•var(X+b) = var(X) ב"ת מתקיים גם:Y ו-Xכאשר •

var(X+Y) = var(X)+var(Y)

שימוש ב- var(Y)=E(Y2)-(E(Y))2

E(Y2)-(E(Y))2 i^2*p(Y=i(i^2p(Y=i)i

0.16671 1/61

0.66684 1/62

1.50039 1/63

2.667216 1/64

4.167525 1/65

6.001236 1/66

15.1697)-3.5(2 =2.917

15.1697  sum

תוחלת ושונות של התפלגויות שונות

התפלגות בינומית••E(X)=np•var(X)=np(1-p)=npqהתפלגות פואסון••E(X)=•var(X)=התפלגות נורמלית•

ו