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z. S 1. S 2. C. o. y. x. 第六节 空间曲线及其方程. 一、空间曲线的一般方程. 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:. S 1 : F ( x , y , z ) = 0 S 2 : G ( x , y , z ) = 0. S 1 , S 2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此. (1). 即为交线 C 的方程, 称为 空间曲线 C 的一般方程. - PowerPoint PPT Presentation
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第六节 空间曲线及其方程第六节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程设有两块曲面 S1, S2, 它们的方程依次为 :
S1: F (x, y, z) = 0
S2: G (x, y, z) = 0S1 , S2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程 , 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 . 因此
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
即为交线 C 的方程 , 称为空间曲线 C 的一般方程 .
(1)
x y
z
o
S1 S2
C
例 1: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32 与平面 z =
2 的交线是一个圆 , 它的一般方程是
x 2 + y 2 + z 2 = 32
z = 2
例 2: 方程组
222
222
)2
()2
( ayax
yxaz表示怎样的曲线 ?
解 : 方程 表示球心在原点 O, 半径为 a 的上半球面 .
222 yxaz
方程 表
示母线平行于 z 轴的圆柱面 .
222 )2
()2
( ayax
它的准线 xOy 面上的圆 , 圆心在点 .2
),0,2
( aa 半径为
所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线 .
O
x y
z
二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程
将曲线 C 上动点的坐标 x, y, z 都表示成一个参数 t 的函数 .
x = x (t)
y = y (t) (2)
z = z (t)
当给定 t = t1 时 , 就得到 C 上一个点 (x, y, z),
随着 t 的变动便可得曲线 C 上的全部点 . 方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程 .
例 3: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转 , 同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 ( 其中 ,v 都是常数 ), 那末点 M 构成的图形叫做螺旋线 , 试建立其参数方程 .
解 : 取时间 t 为参数 , 设当 t =
0 时 , 动点位于 x 轴上的一点 A(a, 0, 0) 处 , 经过时间 t, 由 A 运动到 M(x, y, z),
M 在 xOy 面上的投影为 M
(x, y, 0).x y
z
hA
OMt
M
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕 z 轴旋转 , 所以经过时间 t, AOM = t. 从而
x = |OM | ·cosAOM = acos t
y = |OM | ·sinAOM = asin t
(2) 动点同时以线速度 v 沿 z 轴向上升 . 因而z = MM = vt
得螺旋线的参数方程x = acos ty = asin tz = vt
注 : 还可以用其它变量作参数 .x y
z
A
OMt
M
yx
z
A
OMt
M
例如 : 令 = t. 为参数 ;
螺旋线的参数方程为 :
x = acos y = asin z = b
.vb 这里
当从 0 变到 0 + 是 , z 由 b 0 变到 b 0+ b ,
即 M 点上升的高度与 OM 转过的角度成正比 .特别 , 当 = 2 时 , M 点上升高度 h = 2 b,
h
在工程上称 h = 2 b 为螺距 .
三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线 C 的一般方程
F (x, y, z) = 0
G (x, y, z) = 0(3)
由方程组 (3) 消去 z 后得方程
H (x, y) = 0 (4)
方程 (4) 表示一个母线平行于 z 轴的柱面 , 曲线 C 一定在曲面上 .
以曲线 C 为准线 , 母线平行于 z 轴 ( 即垂直 x
Oy 面 ) 的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面 ,
投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线在 xOy 面上的投影曲线 , 或简称投影 .
所以方程 所表示的曲线必定包含
了空间曲线 C 在 xOy 面上的投影 .
H (x, y) = 0z = 0
注 : 同理可得曲线在 yOz 面或 xOz 面上的投影曲线方程 .
例 4: 已知两个球面的方程分别为 :
x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1
求它们的交线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程 .
解 : 联立两个方程消去 z , 得
0
1)21(42 22
z
yx
1)21(42 22 yx
这是母线平行于 z 轴的椭圆柱面 , 两球面的交线 C 在 xOy 面上的投影曲线方程为
例 5: 设一个立体由上半球面 和锥面224 yxz )(3 22 yxz 所围成 , 求它在 xoy 面上的投
影 .解 : 半球面与锥面的交线为
)(3
4:
22
22
yxz
yxzC
由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1y
x
z
O
x2 + y2 1
这是一个母线平行于 z 轴的圆柱面 . 于是交线C 在 xoy 面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1z = 0 这是 xoy 面上的一个圆 .
所以 , 所求立体在 xoy 面上的投影为 : x2 + y2 1
四、二次曲面四、二次曲面
1. 定义 : 由 x, y, z 的二次方程 :
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面 , 称为二次曲面 . 其中 a, b, …, i, j 为常数 .
研究方法是采用平面截痕法 .
z
o
x
y
O
2 用平面 z = k 去截割 ( 要求 |k | c), 得椭圆
kzc
k
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
1
当 |k | c 时 , |k | 越大 , 椭圆越小 ;
当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .
2. 几种常见二次曲面 .
(1) 椭球面
1 用平面 z = 0 去截割 , 得椭圆
0
12
2
2
2
zb
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3 类似地 , 依次用平面 x = 0, 平面 y = 0 截割 , 得椭圆 :
,
0
12
2
2
2
xc
z
b
y.
0
12
2
2
2
yc
z
a
x
特别 : 当 a=b=c 时 , 方程 x2 + y2 + z2 = a2 ,
表示球心在原点 o, 半径为 a 的球面 .
(2) 椭圆抛物面 : zb
y
a
x 2
2
2
2
1 平面 z = k ,(k 0) 截割 , 截线是平面 z = k 上的椭圆 .
kz
kb
y
a
x2
2
2
2
k = 0 时 , 为一点 O(0,0,0); 随着 k 增大 , 椭圆也增大 .
z
y
xo
2 用平面 y = k 去截割 , 截线是抛物线
,2
2
2
2
ky
zb
k
a
x. ,0
2
2
a
xzk 为时当
3 类似地,用平面 x = k 去截割 , 截线是抛物线 .
kx
zb
y
a
k2
2
2
2
. ,02
2
b
yzk 为时当
第七节 平面及其方程第七节 平面及其方程
一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程
1. 法向量 :
若一非零向量 n 垂直于一平面 . 则称向量n 为平面 的法向量 .
注 : 1 对平面 , 法向量 n 不唯一 ;
2 平面 的法向量 n 与 上任一向量垂直 .
2. 平面的点法式方程
设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量 n={A,B, C}.对于平面上任一点 M(x, y, z),
向量 M0M 与 n 垂直 .
y
x
z
M0
M
n
O
n M0 M = 0
而 M0 M ={x x0, y y0, z z0},
得 :A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0
称方程 (1) 为平面的点法式方程 .
(1)
例 1: 求过点 (2, 3, 0) 且以 n = {1, 2, 3} 为法向量的平面的方程 .
解 : 根据平面的点法式方程 (1), 可得平面方程为 :
1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
即 : x 2y + 3z 8 = 0
n
M3
M2
M1
解 : 先找出该平面的法向量 n.
由于 n 与向量 M1M2, M1M3 都垂直 .而 M1M2={3, 4, 6} M1M3={2, 3, 1}
可取 n = M1M2 M1M3
132
643
kji
= 14i + 9j k
例 2: 求过三点 M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2) 和 M3(0, 2, 3)
的平面的方程 .
所以 , 所求平面的方程为 :14(x 2) + 9(y + 3) (z 4) = 0
即 : 14x + 9y z 15 = 0
二、平面的一般方程二、平面的一般方程
1. 定理 1: 任何 x, y, z 的一次方程 . Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面 , 且此平面的一个法向量是 : n = {A, B, C}
证 : A, B, C 不能全为 0, 不妨设 A 0, 则方程可以化为 0)0()0()(
zCyB
ADxA
它表示过定点 , 且法向量为 n = {A, B, C} 的平面 .
)0,0,(0 ADM
注:一次方程 : Ax + By + Cz + D = 0 (2)
称为平面的一般方程 .
例 2: 已知平面过点 M0(1, 2, 3), 且平行于平面 2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程 .
解 : 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 3, 4}
2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0
即 : 2x 3y + 4z 4 = 0
2. 平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程
由于 O(0, 0, 0) 满足方程 , 所以 D =
0. 于是 , 过原点的平面方程为 :
Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于 x 轴的平面 Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量 n = {A, B, C} 与 x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0} 垂直 , 所以
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0
于是 :
平行于 x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;
平行于 y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;
平行于 z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别 : D = 0 时 , 平面过坐标轴 .
(3) 平行于坐标面的平面方程
平行于 xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于 xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于 yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.
例 3: 求通过 x 轴和点 (4, 3, 1) 的平面方程 .
解 : 由于平面过 x 轴 , 所以 A = D = 0.
设所求平面的方程是 By + Cz = 0
又点 (4, 3, 1) 在平面上 , 所以
3B C = 0
C = 3B
所求平面方程为 By 3Bz = 0
即 : y 3z = 0
例 4: 设平面与 x, y, z 轴的交点依次为 P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点 , 求这平面的方程 .
解 : 设所求平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0
因 P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)
三点都在这平面上 , 于是aA + D = 0
bB + D = 0
cC + D = 0
解得 : cDC
bDB
aDA
o yP
x
z
Q
R
所求平面的方程为 :
0 DzcDy
bDx
aD
即 :1
cz
b
y
ax
(3)
三、两平面的夹角三、两平面的夹角
1. 定义 : 两平面的法向量的夹角 ( 通常指锐角 ) 称为两平面的夹角 .
1
n1n2
2
若已知两平面方程是 :
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
法向量 n1 = {A1, B1, C1}
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = {A2, B2, C2}
,),(),(),(
212121
21
两者中的锐角和
应是的夹角与平面
nnnnnn
ΠΠ
),cos( 21
nn
||||
||
21
21
nn
nn
22
22
22
21
21
21
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
cos所以
2. 平面 1 与 2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
平面 1 与 2 相互平行 2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
规定 : 若比例式中某个分母为 0,
则相应的分子也为 0.
例 6: 一平面通过两点 M1(1, 1, 1) 和 M2(0, 1, 1),
且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程 .
解 : 设所求平面的一个法向量 n ={A, B, C}
已知平面 x+y+z = 0 的法向量 n1={1, 1, 1}
所以 : n M1M2 且 n n1
而 M1M2 = {1, 0, 2}
于是 : A (1) + B 0 + C (2) = 0
A 1 + B 1 + C 1 = 0
解得 : B=C
A= 2C
取 C = 1, 得平面的一个法向量
n = {2, 1, 1}
所以 , 所求平面方程是
2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0
即 : 2x y z = 0
例 : 设 P0(x0, y0, z0) 是平面 Ax+By+Cz+D = 0 外一点 , 求 P0 到这平面的距离 d.
解 : 在平面上任取一点 P1(x1, y1, z1) P0
P1N
n
则 P1P0 ={x0 x1, y0 y1, z0 z1}
过 P0 点作一法向量 n ={A, B, C}于是 :
01jPr PPd n||
01
n
n
PP
222
101010 )()()(
CBA
zzCyyBxxA
又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D
所以 , 得点 P0 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离 :
222
000
CBA
DCzByAxd
(4)
例如 : 求点 A(1, 2, 1) 到平面 : x + 2y + 2z 10 =
0 的距离
133
221
10122211222
d