Бинарные отношения

Транзитивное замыкание

Для произвольного отношения A можно найти минимальное транзитивное отношение a такое, что a⊆b.

Минимальность отношения понимается в том смысле, что для любого транзитивного отношения g из a ⊆ g следует b ⊆ g. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения a.

Если X — это множество аэропортов, а xRy эквивалентно «существует рейс из x в y», и транзитивное замыкание R равно P, то xPy эквивалентно «можно долететь из x в y самолётом» (хотя иногда придётся лететь с пересадками).

Транзитивное замыкание

Транзитивным замыканием отношения R называется бинарное отношение R’ такое, что x R’ y тогда и только тогда, когда существует такая цепочка элементов из X:

z0 = x, z1, z2, ..., zn = y,что между соседями в этой цепочке

выполнено отношение R:z0 Rz1, z1R z2, ..., zn-1 Rzn.

Нетранзитивное отношение

Отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz.

Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»

Нетранзитивным является отношение "". Пусть x=2, y=3, z=2, тогда справедливо xy и yz, но x=z, т.е. (x, z)R.

Транзитивность

Отношение R1 называется транзитивным относительно отношения R2, если: из (x, y) R1 и (y, x) R2 следует,

что (x, z) R1;

из (x, y) R2 и (y, x) R1 следует,

что (x, z) R1.

Негатранзитивность отношений

(x,y) ∉ R и (y, z) ∉ R → (x, z) ∉ R В графе негатранзитивного отношения отсутствие

связи (кольца или дуги) между двумя вершинами влечет отсутствие петель в обоих вершинах.

Отношения R1 - ">" и  R2 - " " негатранзитивны, так как отношенияR1

доп - "",R2доп - "=" транзитивны.

Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R1 одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R2, как известно, транзитивным не является.

Свойства бинарных отношений

Полнота ∀(x, y) ∈ X либо xRy либо yRx, либо и то и другое

одновременно – полносвязное или связное отношение

Ацикличность Отношение R называется ацикличным, если из

наличия какого-либо пути между вершинами соответствующего графа следует отсутствие обратной дуги (обратного пути) между этими вершинами (в графе отсутствуют любые циклы ).

∀n x1Rx2∧ x2Rx3∧ x3Rx4∧… ∧ xn-1Rxn но не наоборот.

Свойства операций над отношениями

Rk -1=( Rk -1

Rk -1=( Rk -1

(R1 o R2) -1 = R1 -1 o R2 -1.

(R1 o R2 )oR3 = R1o(R2 o R3).

(R1 R2 )oR3 = (R1 oR3 )( R2o R3 ).

Свойства операций над отношениями

(R1 R2 )oR3 (R1 oR3 )( R2o R3 ). если R1 R2 то R1o R3 R2o R3;

если R1 R2 то R1-1 R2

-1;

если R1 R2 то R3oR1 R3oR2.

(R1 R2)d = R1d R2

d;

(R1 R2)d = R1d R2

d; (R d)d = R.

Связи между бинарными отношениями

Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R = R-1.

Если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно, если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно.

Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда Rd антисимметрично.

Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда Rd полно.

Отношения эквивалентности (подобия, равносильности)

Отношение R на множестве A2 называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: рефлексивность (симметричность транзитивность \

Обозначается =, ≈, ~, ≡

Отношение эквивалентности

Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно: x=x для всех x∈A (рефлексивность) Если x=y, то y=x (симметричность) Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность)

Примеры

отношение тождества IX = {(a, a)|a∈X} на непустом множестве X;

отношение параллельности на множестве прямых плоскости; отношение подобия на множестве фигур плоскости; отношение равносильности на множестве уравнений; отношение "иметь одинаковые остатки при делении на

фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают a≡b (mod m);

отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;

отношение "быть родственниками" на множестве людей; отношение "быть одного роста" на множестве людей; отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Классы экввалентности

Система непустых подмножеств

{M1, M2, …}

множества M называется разбиением этого множества, если

M = M1∪M2∪  …

и при  i≠j

Mi∩Mj =Ø.

Сами множества M1, M2, … называются при этом классами данного разбиения.

Примеры

Разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.;

Разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);

Разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние);

Разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;

Разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

Пример 1

Пример 2

А и B равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны.

Например по модулю 5 равны 2, 7, 12 …

[0] = {0, n, 2n, …} [1] = {1, n+1, 2n+1, …} … [n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}

Класс эквивалентности

Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если и b∈C(a), то C(a) = C(b).

Теорема: отношение эквивалентности, заданное между элементами базового множества х, определяет разбиение множества х на непересекающиеся классы эквивалентности базового множества (в каждый из классов входят взаимно эквивалентные отношения).

Фактор-множество

Получающееся при этом множество классов называется фактор-множеством {ck}.или X / ˜.

Отношение порядка

Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно Транзитивно ∀ x,y,z ∈ A xRy ∧ yRz → xRz и антисимметрично ∀ x,y ∈ A xRy ∧ yRx → x=y

Множество X с определенным на нем отношением порядка a называется упорядоченным множеством и обозначается

<X; a>.

Отношение строгого порядка

Отношение порядка R называется отношением строгого порядка на множестве X, если a антирефлексивно

∀x∈X ¬(xRx) Отношение строгого порядка обозначается символом

< или Pуп Пусть f и g - функции с одинаковыми областями

определения. Определим отношение > следующим образом: f > g, если для любого x из области определения функции f(x) > g(x). Очевидно, что данное отношение является отношением строгого порядка.

Пример

f > g. Пары функций f и h, а также g и h несравнимы.

Отношение толерантности

Отношение безразличия является отношением симметрии и рефлексивности. x Iуп y <=> ( x Pуп у и yPуп x ).

Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат Pуп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y.

Основные свойства

Pуп Pdуп = Pd

уп;

Pуп Pdуп = Pуп;

I =Pуп Pdуп .

Rуп = Pdуп; Pуп = Rd

уп , т.е. Pуп и Rуп образуют двойственную пару.

P∪P-1∪I=Х × Х – все декартово произведение

Отношение нестрогого порядка

На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение

Rуп = Pуп Iуп, которое называется нестрогим

упорядочением.Отношение нестрогого упорядочивания

(x≥y) это полное и рефлексивное отношение.

Отношение безразличия

Пусть мы имеет некоторое произвольное отношение R, причем

R ∩ R-1=Rs – симметричная часть R. Если R было рефлексивным, то Rs

можно считать отношением безразличия.

Теорема

R\R-1=Rs=I, R\Rs=P, а значит, R=P∪UЛюбое полное отношение R с

R\R-1=Rs=I, R\Rs=P индуцирует отношения строгого

упорядочения P и безразличия I. I – симметричная часть R, P –

асимметричная часть.

Отношение слабого порядка

Асимметричное, негатранзитивное отношение Pсл назовем слабым порядком.

x>y (слабый порядок, т.к. ассиметрично и его дополнение x≤y, транзитивно, а значит и негатранзитивно).

Кроме того, по аналогии с Iуп введем отношение Iсл 

xIслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл) или xIслy <=> ((y, x)Pсл и (x, y)Pсл). Назовем его отношением эквивалентности.

Отношение нестрогого слабого порядка

Введем также отношение Rсл = Pсл Iсл,

называемое нестрогим слабым порядком. Из определения следует, что Pсл Pуп. Так как Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично и негатранзитивно, то из (x, y)Pсл всегда следует (x, y)Pуп.

В качестве примера Rсл можно привести отношение "".

Свойства слабого порядка

Rсл = Pdсл , Rd

сл = Pсл.Iсл = Rs

сл , Pсл = Rdсл.

Для любых x,yA выполняется одно и только одно из соотношений: xPслy, yPслx, xIслy.

Отношение Pсл транзитивно.Отношение Iсл рефлексивно, симметрично,

транзитивно.Отношение Rсл транзитивно и полно.

Отношение качественного порядка

Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком Pкач..

Пусть х, у - вещественные числа. Введем качественный порядок:

хРкачу <=> x > у +1. Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и

транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Дополнение к введенному отношению определим как х Ркач у   <=>    х у +1 Положим у = 0; х = 0.9; z = -0.9. Тогда, очевидно, выполняются

отношения (х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z) Ркач. Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.

Отношение Парето

Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето:

х, уРаr <=>   i : хi yi и   j : хj > уj.

Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП).

Пример

а) x1 < y1 б) x1 > y1 в) x1 < y1 x2 > y2 x2 = y2 x2 < y2

нет отношения Раr; есть отношение Раr, есть отношение Раr,   x лучше y; y лучше x.

x y y x

y x

Производные отношения

Iкач - отношение качественного безразличия

хIкачу  <=> ( xРкач у) и (уРкач х );

Rкач - нестрогий качественный порядок Rкач = Рd кач.

Качественный порядок – это ассиметричные и транзитивные отношения.

Так какасимметрия+негатранзитивность=транзитивность,

значит слабый порядок качественный, но не наоборот.

Другие отношение

Отношение Rчаст называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле Rчаст = PкачI .

Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком.

Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок - нестрогим частичным порядком.