第五章梁弯曲时的位移

材料力学 Ⅰ 电子教案

1

第五章梁弯曲时的位移

§5-1 梁的位移——挠度和转角

§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角

§5-6 梁内的弯曲应变能

§5-5 梁的刚度校核 · 提高梁的刚度的措施

*§5-4 梁挠曲线的初参数方程


2

§5-1 梁的位移——挠度和转角

直梁在对称平面 xy 内弯曲时其原来的轴线 AB 将弯曲成

平面曲线 AC1B 。梁的横截面形心 ( 即轴线 AB 上的点 ) 在

垂直于 x 轴方向的线位移 w 称为挠度 (deflection) ，横截面对其原来位置的角位移称为横截面的转角 (angle of rotati

on) 。



3

弯曲后梁的轴线——挠曲线 (deflection curve) 为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为 w=f(x) ，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角也就是挠曲线在该相应点的切线与 x 轴之间的夹角，从而有转角方程：

xfw tan



4

直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度 ( 挠曲线曲率的大小 ) 有关，也与支座约束的条件有关。图 a 和图 b 所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相

同，所受的外力偶之矩 Me 也相等，显然它们的变形程度

( 也就是挠曲线的曲率大小 ) 相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。


(a) (b)


5

在图示坐标系中，挠度 w 向下为正，向上为负；

顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。



6

§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出

在 §4-4 中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为

这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。

EI

M

1



7

在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩 M=M(x) 外，还有

剪力 FS=FS(x) ，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生

影响。但工程上常用的梁其跨长 l 往往大于横截面高度 h

的 10 倍，此时剪力 FS 对梁的变形的影响可略去不计，而

有

注意：对于有些 l/h>10 的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。

EI

xM

xx

1



8

从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作

2/321

1

w

w

x

式中，等号右边有正负号是因为曲率 1/ 为度量平面曲线( 挠曲线 ) 弯曲变形程度的非负值的量，而 w" 是 = w' 沿x 方向的变化率，是有正负的。



9


再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值 w" ，正弯矩对应于负值的 w" ，故从上列两式应有

由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的 w2 与 1 相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程

EI

xM

w

w

2/321

EI

xMw


10

Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件

求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为

后进行积分，再利用边界条件 (boundary condition) 确定积分常数。

xMwEI


EI

xMw


11

当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时 ( 例如图中所示情况 ) 有

1d CxxMwEI


21dd CxCxxxMEIw

以上两式中的积分常数 C1 ，

C2 由边界条件确定后即可得出梁

的转角方程和挠曲线方程。


12

边界条件 ( 这里也就是支座处的约束条件 ) 的示例如下图所示。



13

若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraint condition) 外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件 (continuity condition) 。这两类条件统称为边界条件。



14

例题 5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，

并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max 。



15

解：该梁的弯矩方程为

挠曲线近似微分方程为

以 x 为自变量进行积分得

xlFxM

xlFxMwEI

1

2

2C

xlxFwEI

于是得 00 21 CC ，

该梁的边界条件为：在 x=0 处， w =00w


21

32

62CxC

xlxFEIw


16

从而有转角方程EI

Fx

EI

Fxlw

2

2

挠曲线方程EI

Fx

EI

lFxw

62

32

根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。



17

可见该梁的 max 和 wmax 均在 x=l 的自由端处。于是有

EI

Fl

EI

Fl

EI

Flww lx 362

|333

max

22

|222

max EI

Fl

EI

Fl

EI

Fllx



18

由此题可见，当以 x 为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：

001 | EIwEIC x

002 | EIwEIwC x

此例题所示的悬臂梁， 0=0 ， w0=0 ，因而也有 C1=0 ， C2=0 。



19

两式中的积分在坐标原点处 ( 即 x=0 处 )总是等于零，从而有

001 | EIwEIC x

002 | EIwEIwC x

事实上，当以 x 为自变量时

1d CxxMwEI 21d]d[[ CxCxxxMEIw



20

思考 : 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线

方程和转角方程。积分常数 C1 和 C2 等于零吗？



21

例题 5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并

确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max 。



22

解：该梁的弯矩方程为

挠曲线近似微分方程为

以 x 为自变量进行积分得：

22

22

1

2xlx

qqxx

qlxM

2

2xlx

qxMwEI

1

32

322C

xlxqwEI

21

43

1262CxC

xlxqEIw



23

该梁的边界条件为在 x=0 处 w=0 ，在 x=l 处 w=0

于是有 01262

| 0 1

44

2

lC

llqEIwC lx及

即 024 2

3

1 Cql

C ，

从而有转角方程 323 4624

xlxlEI

qw

挠曲线方程 323 224

xlxlEI

qxw



24

根据对称性可知，两支座处的转角 A 及 B 的绝对值相

等，且均为最大值，故

最大挠度在跨中，其值为

EI

qlBA 24

3

max

EI

qlllll

EI

lqww lx 384

5

222

24

2|

4323

2max



25

例题 5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，

并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max 。



26

解：约束力为

两段梁的弯矩方程分别为

为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程

M2(x) 仍取 x 截面左边的梁为分离体，使方程 M2(x) 中的第

一项与方程 M1(x) 中的项相同。

l

aFF

l

bFF BA ，

axxl

bFxFxM A 0 1

lxaaxFxl

bFaxFxFxM A 2



27

两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：

挠曲线近似微分方程

xl

bFxMwEI 11

积分得

1

2

1 2C

x

l

bFwEI

11

3

1 6DxC

x

l

bFEIw

axFxl

bFxMwEI 22

2

22

2 22C

axFx

l

bFwEI

2

2

33

2 66D

xCaxFx

l

bFEIw

左段梁右段梁 ax 0 lxa



28

值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a) 的项没有以 x 为自变量而是以 (x-a) 作为自变量进行

积分的，因为这样可在运用连续条件 w1 '|x=a=w2'|x=a 及 w1|x=

a=w2|x=a 确定积分常数时含有 (x-a)2 和 (x-a)3 的项为零而使

工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以 x 为自

变量进行，故仍有 C1=EI0 ， D1=EIw0 。



29

该梁的两类边界条件为

支座约束条件：在 x=0 处 w1=0 ，在 x=l 处 w2=0

连续条件：

在 x=a 处， w1=w221 ww


由两个连续条件得：

由支座约束条件 w1|x=0=0 得

2121 DDCC ，

01 D 02 D从而也有


30

由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有

0

6| 2

33

2

lCalF

b

l

l

bFEIw lx

即 222 6

bll

FbC

从而也有 221 6

bll

FbC



31

从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：

左段梁右段梁)0( ax )( lxa

222

11 3

1

2xbl

lEI

Fbw

2221 6

xbllEI

Fbxw

2222

22 3

1

2blxax

b

l

lEI

Fbw

xblxaxb

l

lEI

Fbw 2233

2 6



32

左、右两支座处截面的转角分别为

lEI

blFab

lEI

blFbxA 66|

22

01

lEI

alFablxB 6

|2

当 a>b 时有 6max lEI

alFabB



33

3

2

3

22

1

baablx

显然，由于现在 a>b ，故上式

表明 x1<a ，从而证实 wmax 确

实在左段梁内。将上列 x1 的表

达式代入左段梁的挠曲线方程得 322

1max39

|1

bllEI

Fbww xx

根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度 wmax

所在处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程等于零，得

0w

1w



34

由上式还可知，当集中荷载 F

作用在右支座附近因而 b 值甚小，以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有

EI

Fbl

EI

Fblw

22

max 0642.039

它发生在处。而此时处 ( 跨中点 C) 的挠度 w

C 为

ll

x 577.03

1 ll

x 500.02

EI

Fbl

EI

Fblbl

EI

Fbww lxC

2222

21 0625.016

4348

|

3221max

39|

1bl

lEI

Fbww xx



35

当集中荷载 F 作用于简支梁的跨中时 (b=l/2) ，最大转角

max 和最大挠度 wmax 为

EI

FlBA 16

2

max EI

Flww C 48

3

max

可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到 3% 。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。



36

思考 : 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出： (1) 跨中挠度是否最大？ (2) 跨中挠度的值是否接近最大挠度值？


l/4l/2


37

§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角

当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理 (principle of superposition) 。



38

悬臂梁和简支梁在简单荷载 (集中荷载，集中力偶，分布荷载 ) 作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。



39

例题 5-5 试按叠加原理求图 a 所示等直梁的跨中截面

挠度 wC 和两支座截面的转角 A 及 B 。


(a)

解：此梁 wC 及 A ， B 实际上可不按叠加原理而直接

利用本教材附录Ⅳ表中序号 13 情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。


40

作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C

正对称和反对称荷载的叠加 ( 图 b) 。


(b)

(a)


41

在集度为 q/2 的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号 8 的公式有

EI

ql

EI

lqwC 768

5

384

2/5 44

1

4824

2/ 33

1 EI

ql

EI

lqB

4824

2/ 33

1 EI

ql

EI

lqA


C


42

注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB 分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号 8

情况下的公式有

38424

2/2/ 33

22 EI

ql

EI

lqBA


在集度为 q/2 的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有

02 Cw

C


43

按叠加原理得

EI

ql

EI

qlwww CCC 768

50

768

5 44

21

384

7

38448

333

21 EI

ql

EI

ql

EI

qlBBB

128

3

38448

333

21 EI

ql

EI

ql

EI

qlAAA



44

例题 5-6 试按叠加原理求图 a 所示等直外伸梁其截面 B

的转角 B ，以及 A 端和 BC 段中点 D 的挠度 wA 和 wD 。



45


解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图 a 所示外伸梁看作由悬臂梁 ( 图 b) 和简支梁( 图 c) 连接而成。原来的外伸梁在支座 B左侧截面上的剪力和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与的正负相对应，如图 b 及图 c 中所示。

2222

1qaaqM

B

BBMF 和

S

qaFB

2S


46

图 c 中所示简支梁 BC 的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁 BC 段完全相同，因此再注意到简支梁 B 支座左侧的外力 2qa 将直接传递给支座 B 而不会引起弯曲后，便可知道

按图 d 和图 e 所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求 Bq ， B

M 和 wDq ， wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B 和 wD 。



47

)(

24

1

16

22

384

5 4224

EI

qa

EI

aqa

EI

aqwww DMDqD

3

1

3

2

24

2 323

EI

qa

EI

aqa

EI

aqBMBqB



48

图 b 所示悬臂梁 AB 的受力情况与原外伸梁 AB 段相同，但要注意原外伸梁的 B 支座截面是可以转动的，其转角就

是上面求得的 B ，由此引起的 A 端挠度 w1=|B|·a 应叠加到

图 b 所示悬臂梁的 A 端挠度 w2 上去才是原外伸梁的 A 端挠

度 wA ：


EI

qa

EI

aqa

EI

qa

wwwA

4

43

21

12

7

8

2

3

1


49

§5-4 梁挠曲线的初参数方程

Ⅰ. 初参数方程的基本形式

前已得到等直梁的挠曲线近似方程为

弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为

后一个微分关系按 q(x) 向上为正导出。

xMwEI

xqxFxFxM SS ，

*



50

为了使下面导出的挠曲线初参数方程 (initial parametric equ

ation) 中除了包含与位移相关的初参数 0 和 w0 以外，也包含

与内力相关的初参数 FS0 和 M0 ，先将二阶的挠曲线近似微分

方程对 x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程 xqwEI


然后进行积分得

1S d CxxqxFxMwEI 21

2d CxCxxqxMwEI

32213

2d CxCx

CxxqEIwEI

4322314

26d CxCx

Cx

CxxqEIw


51

1S d CxxqxFxMwEI 21

2d CxCxxqxMwEI

32213

2d CxCx

CxxqEIwEI

4322314

26d CxCx

Cx

CxxqEIw

以 x=0代入以上四式，并注意到以 x 为自变量时上列四式中的积分在坐标原点 (x=0) 处均为零，于是得

0403020S1 EIwCEICMCFC ，，，


式中， FS0 ， M0 ， 0 和 w0 为坐标原点处横截面 (初始截

面 ) 上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数。


52

将积分常数 C1 ， C2 ， C3 ， C4代入上述表达式中的后

二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：

初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。

0020S3

2d EIxMx

FxxqEI

002030S4

26d EIwxEIx

Mx

FxxqEIw



53

显然，如果梁上的分布荷载是满布的 ( 分布荷载在全梁上连续 ) ，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q ，从而有

x x x xx x x qx

xqqx

xq0 0 0

44

00 0 0

33

24d

6d ，


x


54

例题 5-7 试利用初参数方程求图示等直梁的跨中挠度 w

C 和支座 B 处截面的转角 B 。


x


55

解： 1. 根据边界条件确定初参数

另一初参数 0 需利用 x=l 处挠度等于零的边界条件求

出。根据挠曲线的初参数方程有

由 x=0 处的边界条件得： 002 000S wMql

F ，，

0026

1

240 0

34

lEIl

qlql

从而得

EI

ql

24

3

0


x


56

2. 列出挠曲线方程和转角方程，求所需挠度和转角

将已得到的四个初参数代入初参数方程得：

挠曲线方程 024

026

1

24

33

4

x

qlx

qlqxEIw

即 323 224

xlxlEI

qxw

转角方程

240

22

1

6

32

3 qlx

qlqxEI

即 323 4624

xlxlEI

q



57

Ⅱ. 一般情况的处理

这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时，外力 ( 荷载和约束力 ) 将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。

现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。



58

初参数： 0

2 0

2

0S

Ml

alqFF A ，

0≠0( 其值未知 ) ， w0=0


情况一


59

转角方程：

挠曲线方程：

0

22

02

2

1

22

1

022

10

EIxl

alq

EIxl

alqEI

xEIx

l

alq

xEIxl

alqEIw

03

2

03

2

1

26

1

0026

10

6

d

3

1

312

axqEI

xqEIEIx

a

x

a

x

a

24

d

4

1

412

axqEIw

xqEIwEIwx

a

x

a

x

a

x

a

AC 段梁（ 0≤x≤a） CB 段梁（ a≤x≤l）



60

CB 段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自 x=

a 处开始有向下的均布荷载而在 AC 段梁延续过来的相应

方程 EI1 和 EIw1 中增加的项。

未知初参数 0 可由 x=l 处 wB=w|x=l=0 的边界条件求

得。



61

情况二

初参数： 0

2

200S

M

l

blqbFF A ，

0≠0( 其值未知 ) ， w0=0



62

AC 段梁（ 0≤x≤b） CB 段梁（ b≤x≤l）

转角方程：

挠曲线方程：

0

23

0

2

0 0 0

31

2

2

2

1

6

0

2

2

2

1d

EIxl

blqbqx

EI

xl

blqbxqEI

x x x

xEIx

l

blqbqx

xEIxl

blqb

xqEIwx x x x

03

4

03

0 0 0 0

41

2

2

6

1

24

002

2

6

1

d

6

d

3

1

312

bxqEI

xqEIEIx

b

x

b

x

b

24

d

4

1

412

bxqEIw

xqEIwEIwx

b

x

b

x

b

x

b



63

CB 段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑 C 截面 (x=b) 以右没有向下的均布荷载，而从由 AC 段

梁延续过来的相应方程 EI1 和 EIw1 中减去了的那部分在

C 截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。未知初参数 0 可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。



64

情况三初参数： 000S MFF ，

0≠0( 其值未知 ) w0≠0( 其值未知 )



65

CA 段梁 (0≤x≤c) AB 段梁 (c≤x≤c+l)

转角方程：

挠曲线方程：

02

02

1

2

02

10

EIxF

EIxFEI

003

003

1

6

06

10

EIwxEIxF

EIwxEIxFEIw

21

212

2

1

2

cxl

clFEI

cxF

EIEI A

31

312

6

1

6

cxl

clFEIw

cxF

EIwEIw A



66

AB 段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在

由 CA 段梁延续过来的相应方程 EI1 和 EIw1 中，应将向上

的约束力在 A 截面 (x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。

未知初参数 0 和 w0 可由边界条件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l

+c=0 求得。



67

情况四初参数：00

0

00

e00S

w

MMMFF AA

，，



68

AC 段梁 (0≤x≤d) CB 段梁 (d≤x≤l)

转角方程：

挠曲线方程：

xM

xMEI

e

e1

000

2e

2e1

2

002

100

xM

xMEIw

dxMEI

dxMEIEI

e1

e12

2e1

2e12

2

2

1

dxM

EIw

dxMEIwEIw



69

CB 段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑在

由 AC 段梁延续过来的相应方程 EI1 和 EIw1 中，应将外

力偶矩 Me 在 C 截面 (x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生

的影响包含进去而增加的项。在此例中，四个初参数都是已知的。



70

思考 : 对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程

所求得的 wB ， wC ， C 是否符合如下关系：

dlww CCB



71

§5-5 梁的刚度校核 · 提高梁的刚度的措施

Ⅰ. 梁的刚度校核

对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件 (stiffness condition) ：

式中， l 为跨长，为许可的挠度与跨长之比 (简称许可挠跨比 ) ， []为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。

l

w

l

w

l

wmax ][max



72

土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。

1000

1~

250

1

l

w

10000

1~

5000

1

l

w

rad001.0~005.0



73


例题 5-8 图 a 所示简支梁由两根槽钢组成 ( 图 b) ，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知 []=17

0 MPa ， []=100 MPa ， E=210 GPa ，。400

1

l

w


74

解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。



75

1. 按正应力强度条件选择槽钢型号

作梁的剪力图和弯矩图如图 c 和图 e 。最大弯矩在距左支座 0.8 m 处， M

max=62.4 kN·m 。梁所需的

弯曲截面系数为

36

6

3max m10367

Pa10170

mN104.62

M

Wz



76

而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz≥367×10-6 m3/2=183.5×

10-6m3 。由型钢表查得 20a 号槽钢其 Wz=178 cm3 ，虽略小于所

需的 Wz=183.5×10-6 m3 而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正

应力 []，但如超过不到 5% ，则工程上还是允许的。

超过许用弯曲正应力的百分数为 (175-170)/170≈3% ，未超过 5

% ，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg

/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到 5% 。

MPa175Pa10175m101782

mN104.62 636

3

max

现加以检验：



77

2. 按切应力强度条件校核

最大剪力 FS,max=138 kN ，在左支座以右 0.4 m 范围内各

横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为

每根 20a 号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸 ( 图 d) 可计算如下：

N10692

kN138

23max,S

F

3

*max,

mm000104

2

mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73

zS



78

其值小于许用切应力 []=100 MPa ，故选用 20a 号槽钢满足切应力强度条件。

当然，的值也可按下式得出：*max,zS

3

*max,

mm104000

mm2

11100mm7mm11100mm

2

11100mm11mm73

zS


每根 20a 号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4

于是

MPa57.6Pa106.57

m)107)(m10(1780

m10104N)1069()2/(

6

348-

3-63max,max,S

max

dI

SF

z

z


79

3. 按刚度条件校核

此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面

C 的挠度 wC 作为梁的最大挠度 wmax 。本教材附录Ⅳ序号

11 中给出了简支梁受单个集中荷载 F 时，若荷载离左支

座的距离 a 大于或等于离右支座的距离 b ，跨中挠度 wC

的计算公式为

可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为

EI

blFbwC 48

43 22

EI

alFawC 48

43 22



80

于是由叠加原理可得

m1066.4m1078012Pa1021048

mN101671

]m6.04m4.23m6.0N1012

m9.04m4.23m9.0N1040

m8.04m4.23m8.0N1030

m4.04m4.23m4.0N10120[48

1

3489

23

22223

22223

22223

22223max

EI

ww C

而许可挠度为

由于 wmax<[w] ，故选用 20a 号槽钢满足刚度条件。

m106m4.2400

1 3

l

l

ww



81

Ⅱ. 提高梁的刚度的措施

(1) 增大梁的弯曲刚度 EI

由于不同牌号的钢材它们的弹性模量 E 大致相同 (E≈21

0 GPa) ，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面

对于中性轴的惯性矩 Iz ，例如工字形截面和箱形截面。



82

跨长为 l 的简支梁受集度为 q 的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为

22

max 125.08

qlql

M

EI

ql

EI

qlw

44

max 0130.0384

5

(2) 调整跨长和改变结构的体系



83

如果将两个铰支座各内移一个距离 a 而成为如图 a 所示的外伸梁，且 a=0.207l ，则不仅最大弯矩减小为

而且跨中挠度减小为

22

max

0214.02

qlqa

MMMM BAC

EI

ql

EI

alqa

EI

alqww C

4

22

4

max

616000.0

16

22

2384

25


(a)


84

而此时外伸端 D 和 E 的挠度也仅为

)(207000.0

2

)2(2

24

)2(

84

2

34

EI

ql

aEI

alqa

aEI

alq

EI

qaww ED



85

所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。



86

§5-6 梁内的弯曲应变能

在本教材的 §3-6 中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压 (拉 ) 时弹簧高度变化量的计算公式。

本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁

上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能 V ，并利用功

能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。



87

等直梁在线弹性范围内纯弯曲时 ( 图 a) ，其曲率为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为

EI

M

1

EI

lM

EI

Mll e


(a)


88

(b)

图 b 示出了 Me 与的上列线性关系。图 b 中斜直线下的

三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，

外力偶所作的功：

它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：

MMV2

1

2

1eε

将代入上式可得EI

lM

EI

Ml e

EI

lMV

EI

lMV

2 ,

2

2

ε

2e

ε


e2

1MW


89

梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在 §5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为 dx 的微段内的弯曲应变能为

x

EI

xMV d

2d

2

ε



90

从而全梁内的弯曲应变能为

式中， M(x) 为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。

此式在求梁系 ( 例如两根交叉在一起的梁 ) 的位移等时是有用的。

l

xEI

xMV d

2

2

ε

ll

xwEI

xEI

wEIV d

2d

22

2

ε

顺便指出，由于直梁横力弯曲时，，因此上式也可写作

xMwEI



91

例题 5-9 求图示等直梁的弯曲应变能 V ，并利用功能

原理求自由端 A 的挠度 wA 。



92

解：梁的弯矩表达式为 M(x)=Fx ，于是得弯曲应变能

自由端的集中力由零增加到最终值 F 的过程中所作的功为

根据功能原理，有 W=V ，即

EI

lFx

EI

FxV

l

6d

2

32

0

2

ε

AFwW2

1

EI

lFFwA 62

1 32


从而得EI

FlwA 3

3


93

所求得的 wA 为正值，表示 wA 的指向与集中力 F 的指向相

同，即向上。

第五章完


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第五章 梁弯曲时的位移

第五章梁弯曲时的位移