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电 磁 学. 朱炯明 上海师范大学 数理信息学院. 前 言. 力学、热学、 电磁学 、光学、近现代物理 中学物理 大学物理 理论物理 … 数学基础：微积分，重积分， 曲面积分 … 教材： 450 页（小字、带 * ） 习题： 350 道（一半 = 10 道 / 周 ） 作业本： 2 本，每周交一次 评分：期末考试 70 % ，平时 30 % （含期中） 复习：每章小结， 考试前不复习. 参 考 书. 1. 《 电磁学 》 赵凯华、陈熙谋 高等教育出版社 1978 - PowerPoint PPT Presentation
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电 磁 学电 磁 学朱炯明
上海师范大学 数理信息学院
前 言前 言 力学、热学、电磁学、光学、近现代物理 中学物理 大学物理 理论物理 … 数学基础：微积分，重积分，曲面积分 … 教材： 450 页（小字、带 * ） 习题： 350 道（一半 = 10 道 / 周） 作业本： 2 本，每周交一次 评分：期末考试 70 % ，平时 30 % （含期中） 复习：每章小结，考试前不复习
参 考 书参 考 书
1. 《电磁学》 赵凯华、陈熙谋 高等教育出版社 1978
2. 《电磁学》（第二版） 贾启民、郑永令 等 复旦大学出版社 2002
3. 《 Fundamentals of Physics 》（ sixth edition ） David Halliday etc. 2001
The important thing is
never to stop
questioning.
--------- Albert Einstein
我的 BLOG 地址： http://blog.sina.com.cn/u/1250700362
电磁学各章小结：http://mathsc.shnu.edu.cn/tsziliao/
/dcx-xj/index.htm
电磁学英文习题：http://mathsc.shnu.edu.cn/tsziliao/
/problems/problem.htm
电磁学电磁学第一章 静电场的基本规律第二章 有导体时的静电场第三章 静电场中的电介质第四章 恒定电流和电路
第五章 恒定电流的磁场第六章 电磁感应与暂态过程第七章 磁介质第八章 交流电路第九章 时变电磁场和电磁波
第一章 静电场的基本规律第一章 静电场的基本规律
§1. 电荷§2. 库仑定律§3. 静电场§4. 高斯定理§5. 电场线§6. 电势
§1.§1. 电荷电荷一 . 电荷的正负性：
电荷 正电荷负电荷
e3
1 e
3
2
二 . 电荷的守恒性：孤立系统电荷的代数和在任何物 理过程中保持不变
三 . 电荷的量子性：最小量 e = 1.6 10 19 库仑
（分数电荷， ， ，
（同性相斥，异性相吸）
夸克组成质子）
四 . 电荷的传导性：绝缘体，导体，半导体（束缚电子，自由电子）
§2.§2. 库仑定律库仑定律一 . 库仑定律二 . 电荷的单位三 . 矢量式
四 . 迭加原理五 . 例题
一一 .. 库仑定律库仑定律 点电荷：带电体，体积为零的几何点（ 理想模型，带电体线度 << 相互作用距离 ） 库仑定律 大量实验
真空中，两个静止点电荷的相互作用规律（ 相互作用力：大小相等，方向相反 ）
●方向：沿连线，同号相斥，异号相吸●大小：正比于电量，反比于距离平方
表达式：2
21
r
qqkF
库仑力库仑力
同号相斥异号相吸
r
q2
q1
同号相斥同号相斥
同号相斥异号相吸
r
q2
q1
异号相吸异号相吸
同号相斥异号相吸
r
q2
q1
二二 .. 电荷的单位电荷的单位高斯制（ from CGS 制） 取 k = 1
当 r = 1 厘米时，调节 q1= q2 使 F = 1 达因定义此时 q1= q2 = 1 静库
国际制（ from MKS 制 MKSA 制 or SI 制 ） 先定义电流单位：安培 A
由 q = It 导出 1 库仑 = 1 安培•秒 （导出单位） 当 r = 1 米， q1 = q2 = 1 库仑时， F = k 牛顿 实验测得 k = 9 10 9 牛顿•米 2 • 库仑 2
为方便，记 k = 1 / 40 ， 0 = 8.9 1012
换算： 1 库仑 = 3 10 9 静库
反向
同向
q1 与 q2 异号 q1q2 < 0 则 F12 与
= a ／ | a | ( or ) 单位矢量（长度为 1 ， a 方向 ）
q1 对 q2 的作用力
( 2 1)
q1 与 q2 同号 q1q2 > 0 则 F12 与
( 1 2)
q2 对 q1 的作用力
a 矢量（粗体，手写 ）
三三 .. 矢量式矢量式
12221
012 4
1rr
qqeF
a
ae
21221
021 4
1rr
qqeF
12re
21re
12re
12re
a = | a | 矢量的模，长度a
F12F12F21 F21
q1 与 q2 同号 q1q2 > 0 F12 与 同向
q1 与 q2 异号 q1q2 < 0 F12 与 反向
三三 .. 矢量式矢量式
q1 q2
12re21re
12re
12re
一点电荷同时受到多个点电荷的库仑力 = 各个点电荷单独存在时的库仑力的矢量和例如： q1 受到 q2 、 q3 的作用力
F1 = F21 + F31
四四 .. 迭加原理迭加原理
F21
F31F1
q3
q1q2
0
y
x
例题 例题 11
已知： q1= 1 10 5 库仑 位于 ( 0, 1 )
q2= 1 10 5 库仑 位于 ( 1, 0 )
求： Q0= 1 10 4 库仑 位于 ( 1, 1 ) 受的力
解： （牛）iiF ˆ9ˆ4
12
1
01
01
r
)(ˆ9ˆ4
12
2
02
02 牛jjF
r
F = F1 + F2= 9i 9j （牛） = 9 ( i j ) （牛）
q1
q2
Q0
)(29 牛或： F 方向：与 x 轴夹角 = - 45o
例题 例题 22
三个相同的点电荷 q 放在等边三角形顶点上，中心放一点电荷 q’ ，使每一点电荷的合力均为零，求 q 和 q’ 的关系。
)('3
4
1COBOAO2
0
eee a
)'3
(4 2
OA2
CABA
0
qa
qa
q eee
A
B C
O
3
FBAFCA
FOA
FA= FBA+ FCA+ FOA
∴ q’ = q /
0
0
解： FO= FAO+ FBO+ FCO a
§3.§3. 静电场静电场一 . 电场二 . 电场强度三 . 电场强度的计算●点电荷的场强●点电荷组的场强●连续分布电荷的场强
四 . 例题
电 场电 场 场：物理量在空间的分布●物理量： 标量场、矢量场
例如：温度场，速度场，引力场 ……●空间分布： ( x, y, z ) 的函数 T ( x, y, z )
电场 点电荷 Q 周围的空间每一点， q0 受到 Q 的作用力
Q 电场 E q0
电场强度电场强度 点电荷 Q 周围的空间每一点， q0 受到 Q 的作用力
rr
QqeF
20
04
1
kji ˆˆˆzyx EEE
描述电场性质的物理量不应依赖于试探电荷 q0
所以定义： E = F / q0 电场强度●矢量场： E =
●点函数： E = E ( x, y, z ) = E ( r )
●单位： 牛顿 / 库仑 点电荷 q 在电场 E 中受力： F = qE 均匀电场： E 与 ( x, y, z ) 无关，常矢
：点电荷指向场点单位矢
点电荷的场强点电荷的场强
●Q ：点电荷电量●r ：点电荷到场点 P 距离●
rr
QeE
204
1
re
r
P
Q
re
E
Q > 0
Q < 0
点电荷组的场强点电荷组的场强
场强的迭加原理：点电荷组的场强等于各点电荷的场强的矢量和例 1 （ p.9 ）
i
i
i
i
r
Qe2
04
1
0q
FE
i
ii
i
r
qeE
204
1
i
iE0q
iF
电荷元 dq （无穷小，可视为点电荷）的电场元
连续分布电荷的场强连续分布电荷的场强
r
P
dq
dE
Q
re
rr
qeE
20
d
4
1d
EE d
连续分布带电体 Q 的电场
rr
qe
20
d
4
1
电荷元电荷元 体电荷：dq = dV 面电荷：dq = dS 线电荷：dq = dl
rP
dlr
P
dS
rere
例题例题均匀带电直线长 L ，电量 q ，线外一点 P 与直线距离 a ，与直线两端的连线与直线夹角分别为 1 和2 。求 P 点场强。解： 取坐标如图，
xr
LqE d
/
4
1d
20
1 2
dx
P
x
r a
dE
sind/
4
1d
20
xr
LqEy
r, x, 三者关系？ r = a / sin x = a ctg dx = ( a / sin2 )d
cosd/
4
1d
20
xr
LqEx
0 x
dq = dl = ( q/L )dx
sind/
4
1d
20
xr
LqEy
2
1
dsin/
4
12
0
r
LqEy
cosd/
4
1d
20
xr
LqEx
2
1
dcos/
4
1
0
a
LqEx
dcos/
4
1
0 a
Lq
dsin/
4
1
0 a
Lq
)sin(sin4
112
0
aL
q
)coscos(4
112
0
aL
q
r = a / sin x = a ctg dx = ( a / sin2 )d
讨论讨论
(1) L >> a （ 或 L ， q ，但 不变 ）1 = 0 ， 2 = 代入得
Ex = 0 ， Ey = / 20a
(2) L << a （点电荷） sin 2 sin 1 = 0 Ex = 0 ， cos 1 cos 2 = L / a Ey = q / 40 a2
)sin(sin4
112
0
aL
qEx
)coscos(4
112
0
aL
qEy
例题（例题（ p.12/[p.12/[ 例例 2]2] ））均匀带电圆盘，半径 R ，面密度，求轴线上场强。
220
dd
4
1d
zr
rrE
22dd
zr
zEEz
z
dE
Po
rdq
R
z zr
rrzEE
02/322
0 )(
d2
4
1d
2/3220 )(
dd
4
1
zr
rrz
)||
1(2 22
0 zR
z
对称性 E = 0 ， E = Ez
dq = dS = r dr d解： 取柱坐标
讨论讨论(1) R >> z （ 离盘很近 或 盘很大 ）
)/1
11(
2lim
220 zR
E
22 /1
1
zR
2
2
0 22
z
RE
02
2
122 )/1(
zR 2
2
2
11
z
R
2
2
04
1
z
R
204
1
z
q
(2) R << z （ 离盘很远 或 盘很小 ）
（点电荷）
§4.§4. 高斯定理高斯定理一 . 电通量●通量●E 通量
二 . 高斯定理三 . 用高斯定理计算电场强度四 . 例题
电通量电通量 通量：单位时间通过 dS 的流体体积 —— dS 的通量 d
S
E SE d
v
dS
n
vvn
nv Sv d
S
Sv d
dS
S
v
S
SA d 推广到任何矢量 A ： =
E 通量
E 、 n ： 是矢量、点函数，但 E 不是
n ： dS 的法线方向（两种取法），闭合面 向外
d = dS vn = dS
高斯定理高斯定理
点电荷 q 为中心的球面： E = q / 0
包围点电荷 q 的任意闭合面： E = q / 0
不包含电荷的任意闭合面： E = 0
点电荷组和连续分布电荷： E = q 内 / 0
0d 内qS
SE 内
内S
iqq
点电荷点电荷 q q 为中心的球面为中心的球面设球面半径为 r ，在球面处
rr
qeE
204
1
rSeS d d
S
E SE d
结果与半径 r 无关
S
Sr
qd
4
12
0
Sr
q
S
d4
12
0
22
0
44
1r
r
q
0
q
包围点电荷 包围点电荷 qq 的任意闭合面的任意闭合面以 q 为中心，小锥体，截出 dS1 ：以 r1 为半径的球面上dS ：任意闭合面上dS2 ：以 r2 为半径的球面上 q r1
r2
dS1
dS2
dS
cos nr ee2dcosd SS
1210
1 d4
1 d S
r
qE
Sr
qnrE d
4
1 d 2
20
ee
22
22
1
1 dd
r
S
r
S
1d d EE
S
E SE d
2220
d4
1S
r
q
0q
球面
SE d
不包含电荷的任意闭合面不包含电荷的任意闭合面
S1
E 1+ E2 = q / 0
E 3’+ E2 = q / 0
E 1= E3’
又 E 3’= E 3
E = E 1+ E3
= E 1 E 3’ = 0
（ 注意： E 1= E3’ ≠ 0 ）
S3
S3’
q e1
e3
S2
e2
点电荷组和连续分布电荷点电荷组和连续分布电荷
qi 在 S 面外： E i = 0
qi 在 S 面内： E i = qi / 0
S
E SE d
内S
iE q0
1
内
内S
iqq
内
内S
qq d
S i
i SE d i S
i SE d i
Ei
0内q
点电荷组：
连续分布电荷：结论（高斯定理）
用高斯定理计算电场强度用高斯定理计算电场强度结论（高斯定理）：
0d SE
SE d
0
d内q
S
E SE
SEd SE d ES
电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷的代数和除以 0 。 对称性：如球、圆柱、大平面等 适当选取闭合面 —— 高斯面
高斯面上的场强 或为零或为常数●零： E 与 dS 垂直，则●常数：对称性， E 为常数，且 E 与 dS 同向，则
解： 取高斯面过 P 点如图 E = E1+ E2+ E 侧
对称， E 带电平面 E 侧 = 0
对称， S1 、 S2 上 E 大小相等，方向相反
无限大平面，均匀带电，面密度 ，求电场。
例题（例题（ p.19/[p.19/[ 例例 1]1] ））
en1
P
S1S2
en2
neE02
EE nn 11eE EE nn 22eE E = E1+ E2 = ES1 + ES2 = 2ES = q 内 / 0 = S / 0
E = / 2 0
带电平面，背离平面 > 0 时， E 与
反向(4) E = E 内 + E 外
同向 < 0 时， E 与
讨论讨论(1) 与 p.12/[ 例 2] R >> z 比较，一致(2) 真正无限大不存在，但 P 离平面很近时，可近似(3) ne
nene
0/d 内qS
SE
0/d 内内 qS
SE若 q 外 = 0 ， E 外 = 0 ， q 内 不变
两式均正确，但下式求不出 E 内
讨论：(1) 真正无限长不存在，但 P 离直线很近时，可近似(2) > 0 时， E 与
反向 同向 < 0 时， E 与
例题（例题（ p.40/1-4-3p.40/1-4-3 ）） 无限长直线，均匀带电，线密度，求电场。
Pl
r
S
SE d
rreE
02
re
re
002 lrE 0/l
解：取高斯面过 P 点如图（ P 点距直线 r ）
E = / 2 0 r
例题（例题（ p.21/[p.21/[ 例例 2]2] ）） 半径为 R 球面，均匀带电 q ，求电场。解：取高斯面过 P 点如图（球外）
S
SE d
rr
qeE
204
1
外
球内：
0 内E
O R
r
PE
o r
E
R
24 rE 0/q
S
SE d 24 rE 0
例题（例题（ p.22/[p.22/[ 例例 3]3] ）） 半径为 R 的球体，均匀带电 q ，求电场。解：取高斯面过 P 点如图（球内）
Or
R
P
球外：
rr
qeE
204
1
外
o r
E
R
S
SE d
rR
qreE
304
1
内
24 rE 3
3
0 R
rq
S
SE d 24 rE 0/q
一 . 电场线（电力线）—— 有向曲线●每一点的切线方向代表该点电
场强度方向●曲线密集处电场强度较大
二 . 电场线的性质●源于正电荷（或 ），终于负电荷（或 ），无
电荷处不中断可用高斯定理证， E > 0 , q > 0
●不闭合（电势高指向电势低）
§5.§5. 电场线电场线
电场线密度电场线密度 电场线条数 —— 电通量 通过面元 S 的电场线条数 N
N = K(S E) = KS Ecos
= KSE
( S= Scos 与 E 垂直 )
E = E S = N （ 取 K = 1 ） 电场线密度 —— 电场强度 N/S= KE = E （ 取 K = 1 ）
E
S S
§6.§6. 电势电势一 . 静电场的环路定理
● 点电荷的电场力做的功● 任何静电场力做的功● 静电场的环路积分必为零
二 . 电势和电势差● 电势（电位） , 电势差（电压）● 点电荷的电势
三 . 电势的计算（两种方法），例四 . 等势面五 . 电势与场强的微分关系
P1
P2
点电荷 Q 的电场中，电荷 q 运动元位移 d l 过程中电场力的元功
点电荷的电场力做的功点电荷的电场力做的功
lF dd A
Q
r1
r2
r’r
dldrq
E
2
1
dP
P
AA
注意：功只与始末位置 r1 ， r2 有关，而与路径无关
rr
Qqd
4
12
0
cosd4
12
0
lr
2
1
20
d
4
r
r r
rQq
)
11(
4 210 rr
任何静电场力做的功任何静电场力做的功迭加原理 （比如：点电荷组的电场）
L
A lF d L
q lE d i
L iq lE d i
P
P
iq2
1
dlE
注意：功只与始末位置 P1 ， P2 有关，而与路径 L 无关
—— 有位性（有势性），静电场是位场（势场）
静电场的环路积分必为零静电场的环路积分必为零单位正电荷， q = 1 ， F = qE = E
0d LlE环路定理：
L
lE d
A
B
L1
L2 A
LB
B
LA )()( 21
dd lElE
B
LA
B
LA )()( 21
dd lElE
B
A
B
A
lElE dd 0
电势（电位）电势（电位）功只与始末两点位置有关，选其中一点为参考点 P0
则把单位正电荷从场中任意点 P 移到 P0 ，电场的功就只与 P 有关P 点的电势：单位正电荷从 P 移到 P0 电场力所做的功 （ 单位：伏特 ）
q
AU P 0
d1 P
PqlF 0
dP
PlE
)0(0PU参考点：
A 、 B 两点电势之差
电势差（电压）电势差（电压）
BAAB UUU
B
AqA lE d
00
ddP
B
P
AlElE
B
AlE d
)( BA UUq ABqU
q 从 A 到 B 电场力所做的功
单位：伏特电势：（一点）点函数， 与参考点有关电压：（两点之差） 非点函数， 与参考点无关
r
取无穷远为参考点
点电荷的电势点电荷的电势
r
QU P
04
1
PPU lE d
P r
rQ
20
d
4
1
rr
Q )1
(4
1
0
Q
P
电荷分布有限：取无穷远为参考点电荷分布无限：不可取无穷远为参考点
电势的计算（两种方法）电势的计算（两种方法） 用点电荷公式（迭加原理）计算注意：参考点在无穷远，当电荷分布无限时不能用
● 点电荷组 i i
iP r
qU
04
1
r
qU P
d
4
1
0
0
dP
PPU lE
r
P
dq
Q● 连续分布电荷
用场强积分公式（定义）计算注意： E 必须已知
例题（ 例题（ p.32/[p.32/[ 例例 1]1] ）（方法一））（方法一）均匀带电圆盘，半径 R ，面密度，求轴线上电势。
220
dd
4
1d
zr
rrU
zP
o
rdq
UU d
z0
U
|)|(2
22
0
zzR
解：（方法一）取无穷远为参考点dq = dS = r dr d
R
zr
rr
022
0
d2
4
1
例题（ 例题（ p.32/[p.32/[ 例例 1]1] ）（方法二））（方法二）均匀带电圆盘，半径 R ，面密度，求轴线上电势。
0
d P
PU lE
)1(2
22
0 zR
zE
z
zzR
zd)1(
2 220
z
zRz )(2
22
0
)(2
22
0
zzR
解：（方法二） p.12/[ 例 2] 已得（盘右侧 z > 0 ）
例题（ 例题（ p.32/[p.32/[ 例例 2]2] ））半径为 R 球面，均匀带电 q ，求电势。
rr
qeE
204
1
外 0内E
O R
0
d P
PU lE外
0
d P
PU lE内
r
rr
qd
4
12
0 r
q
04
1
R
rlE d内
0R
q
04
1
解：由高斯定理得
R
lE d外
R
rr
qd
4
12
0
讨论讨论(1) 两种方法均可，但方法一很繁，
故用方法二 O R
o r
E
R
o r
U
R
(2) U 内 = 常数，表示 球内各点电势相等
(3) 球面带电 E 突变，不连续 U 连续，但不光滑
例题（交大例题（交大 p.45/[p.45/[ 例例 10-12]10-12] ））无限长直线，均匀带电，线密度 ，求电势。
Pl
r
0
d P
PU lE
rU ln2
0
0 d
2 0
r
r r
r
r
r0
0
ln2
解：由高斯定理得 E = / 2 0 r
若取 r0 = ，则 U = ，发散（无穷远处有电荷）
若取 r0 = 1 ，则
无限大均匀带电平面也一样（参考点不能取 ）
四四 .. 等势面等势面电势相等的点的轨迹（组成的曲面）—— 等势面
（见 p.34 / 图 1-36 ）点电荷：同心球面长直线：同轴圆柱面大平面：平行平面
电场线 等势面反证法：若 E|| 0 ，则等势面上 U = E d l 0
五五 .. 电势与场强的微分关系电势与场强的微分关系
= 0 时， E 与 d l 同方向， | dU | 最大的方向
2
1
d 21
P
PUU lE
12 UUU
lE dd U
方向导数l
UE
d
dcos
的梯度Un
UneE
d
d
n
2
1
dP
PU 2
1
dP
PlE
cosdlE
