Общая теория чисел и числовых эпох.

Мир на пороге новой числовой эпохи

В.М.Юровицкий, МФТИ, Москва

Типы информации• Существует два типа информации − образная и

числовая. Обработка информации есть мышление. Биологические объекты, в том числе и человек, воспринимают образную информацию. Компьютеры работают с числовой информацией. Таким образом, существует два типа мышлений.

• Слово есть имя образа. Оно возникло из дочеловеческих образных представлений − криков, жестов, иных действий животных как реакции на некоторые образы. А числа нет в исходном человеческом мышлении.

• Компьютер трудно научить воспринимать и обрабатывать образную информацию, а человек долго шел к разработке и освоению числовой. И этот процесс не закончился.

Числовые эпохи

• В процессе своего цивилизационного развития человечество прошло целый ряд числовых эпох. Каждая числовая эпоха характеризуется своим главным понятием числа и своими приемами работы с ними − вычислительной технологией.

• Предшествующие понятия числа при смене эпох могут использоваться, а могут и отбрасываться

Первая числовая эпоха − эпоха натурального числа

• В эту эпоху числа представлялись набором предметов − пальцами рук, камушками, бусинками и т.д. Действия над числами осуществлялись посредством действий над предметами. В конце этого периода возникло письменное изображение чисел и простейших действий над ними в письменной форме. Русские счеты и четки − атавизм этой эпохи.

Вторая числовая эпоха −эпоха дробных чисел

• В эту эпоху было создано понятие нецелых чисел, которые представлялись совокупностью двух целых − дробные числа. Этому этапу соответствует римская (аддитивная) система счисления (представления) чисел. Действия над ними стали предметом особой науки − арифметики, которая до сих пор изучается в школе.

Третья числовая эпоха • Новая эпоха инициирована позиционной

(арабской) системой представления чисел. Была создана теоретическая математика. В теории основным стало понятие действительного числа. Для практических (вычислительных) целей было создано понятие приближенного числа и действий с ними − «Правила приближенных вычислений». Это «золотой период» теоретической математики. Но было решено и множество вычислительных задач обеспечивших промышленную революцию.

• Арабская числовая нотация основа промышленной революции.

Четвертая числовая эпоха • Это современная эпоха. Она характеризуется

использованием компьютеров − небиологических средств мышления (обработки информации) на основе кристаллов. Компьютер потребовал использования двоичного (вместо антропного десятичного) представления чисел. В эту эпоху вычислительные возможности человечества возросли на много порядков. Это период расцвета вычислительной математики, В сфере теоретической математики она мало что внесла нового.

Особенности четвертой числовой эпохи

• Основные вычислительные понятия предшествующей числовой эпохи − понятие приближенного числа и действия с ними было отброшено. В качестве главного понятия стало использоваться понятие рационального числа (числа с плавающей точкой в компьютерной терминологии). Коренным образом изменилось понятие числа и действия над ними.

Множество рациональных чисел (МРЧ) есть подмножество действительных (континуальных) чисел, представимое в записи в конечном виде. Существует разнообразные множества рациональных чисел в зависимости от условий «представимости». В стандарте IEEE 754 зафиксировано использование трех МРЧ − простой, двойной и расширенной точности (?).(!)Эти множества не образуют никакой

математической структуры

Числа с фиксированной точкой (квазицелые)

• Для представления действительных чисел иногда используют целые (счетные) числа. При действиях с ними их чаще всего преобразуют в рациональные, действуют как с рациональными, а результат снова преобразуют в целые. С теоретической точки зрения это не выдерживает критики, но иногда используется на практике.

Сопоставление действий над приближенными и рациональными

числами

Операция

Результат в системе

приближенных чисел

рациональных чисел

1.33+5.64 7.0 6.97

1.33−1.30 0.0 0.03

1.1+0.086456 1.2 1.186456

1.1-0.086456 1.0 1.013544

1.111+0.00000000000000052

1.111 1.11100000000000000000052

Операция

Результат в системе

приближенных чисел

рациональных чисел

1.33*5.64 7.5 7,5012

1.33*1304.534 174Х 1735,03022

1.1/0.86 1.3 1,2723234940316461552697325807347

1.1/1*10-100000 1.1E100000 авост

• Из сопоставления операций приходим к выводу о существенном различии как в понятиях числа, так и в результатах числовой обработки.

• И возникает вопрос: какое понятие числа и какая система обработки чисел являются более корректными и практически ценными?

• Ответ однозначен. Хотя понятие числа третьей числовой эпохи не вполне совершенно, но нынешнее понятие есть концептуальный шаг назад.

Главная аксиома современной числовой эпохи

• Большинство теоретических моделей формулируются на множестве действительных чисел. Но вычислительная их реализация осуществляется на множестве рациональных чисел. При этом неявно предполагается, что возникающие при этом ошибки малы и не существенны для практики. Это есть главная аксиома четвертой числовой эпохи, принимаемая молчаливо и без доказательств. Эта аксиома НЕВЕРНА.

Примеры неверности основной аксиомы

• Абсолютная ошибка вычислений может и мала, но относительная − бесконечно велика.

МРЧ на0

МДЧ на0tan

cos

sinx

x

x1.

Функция на МДЧ является невычислимой. На МРЧ является вычислимой. Например, при x=1 f(x)=22.56498466565…

21

37cos

1cossin)(

22

xx

xf2.

3. x = (1020, 1223, 1018, 1015, 3,−1012), y = (1020, 2,−1022, 1013, 2111, 1016). В точной арифметике : x * y = 1040 + 2446 − 1040 + 1028 + 6333 − 1028 = 8779. Однако арифметика чисел с плавающей точкой на любом современном компьютере для такого скалярного произведения дает нулевое значение (Клатте Р.,Кулиш У.,Неага М.,Рац Д.,Улльрих Х. PASCAL-XSC. Язык численного программирования (пер. с англ.) РХД, 2006).

Несуществующие числа• Стандарт представления компьютерных

рациональных чисел IEEE 754. По нему существует несколько типов представлений с 7, 17 и 21 (десятичными) разрядами.Например, калькулятор MS WINDOWS дает

Log 2=0,30102999566398119521373889472449

Существуют ли в природе или в человеческой практике подобные числа? Не существуют. Cовременная числовая эпоха используются несуществующие числа.

Ненужные числа• Все нецелые числа (за исключением

денежных) имеют своим источником измерение. Но измерительные (метрологические) числа не есть рациональные (абсолютно точные) числа. Для практической числовой деятельности нужны числа метрологические, и не нужны рациональные.

• Современная числовая эпоха использует ненужные для практики числа. Превращение ненужных компьютерных (20-разрядных) чисел в нужные есть предмет интуитивной человеческой деятельности

Компьютер − обработчик шумов• На практике обычно используются числа с

тремя-пятью десятичными разрядами. Компьютер обрабатывает 7-20 разрядные. Излишние разряды есть шумовые, они могут составлять до 80 процентов всего информационного объема.

• Современный компьютер есть обработчик шумов, на каковую тратится большая часть его ресурсов. А вред, причиняемый в информатике шумами, хорошо известен.

Вывод 1• Современные числа и система их

компьютерной обработки являются источником большого числа аварий, катастроф, ошибок, нерациональных затрат. Тотальный переход к компьютерному управлению, рост вычислительных мощностей и сложности задач ведет к прогрессивному нарастанию неблагоприятных факторов, может стать угрозой самому существованию человеческой цивилизации.

Достоверные вычисления• Некоторые специалисты уже осознали

порочность нынешней числовой эпохи. Результатом стало создание концепции достоверных вычислений. В ее основе использование не чисел, а интервалов.

• Однако, в фундаменте этой технологии по-прежнему лежит рациональное число. И потому это не дает кардинального решения, а лишь ведет к резкому, порой экспоненциальному росту затрат компьютерных ресурсов. Тем более, что математический интервал не то, что нужно практике. Кому нужен мат. интервал (0.004563892 ÷ 2341.096785449)?

Финальный вывод

• Цивилизационное развитие уже упирается в барьер нынешнего понятия числа (рационального числа). Задачей номер 1 является создание новой концепции числа и методов их обработки. Это будет историко-цивилизационный сдвиг, создаст переход в новую числовую эпоху.

• Такой переход будет не менее значим, чем переход от римской системы счисления к арабской, создавшей базу промышленной революции, чем переход от ручного счета к компьютерному.

ВЕЛИКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

• Россия, российская наука, российская промышленность должна возглавить переход в новую числовую эпоху. На этом пути страну ожидает мировое первенство в компьютерной области и иных областях науки и техники.

• Российские ученые готовы взять на себя руководство этим ВЕЛИКИМ НАЦИОНАЛЬНЫМ ПРОЕКТОМ

• Благодарю за внимание

• В.М.Юровицкий, к.э.н., vlad@yur.ru, www.yur.ru