ОсновнОсновнi i властивоствластивостi i числових числових нернерiiвностейвностей

Варiант 1Варiант 1 Варiант 2Варiант 211.. Порiвняйте числа a i b, якщо вiдомо, що:

22.. Доведiть, що при будь-якому значеннi a (b) справджується нерiвнiсть:

Самостiйна роботаСамостiйна робота

2 3 3 2;3) a b

3 5 6 2 .4) a b

2 1 .2

4) a a

1) a−b < 0; 2) a−b = −0,2;

3) a2−a+1 ≥ a;

1) 3(a+1)+a < 4(2+a); 2) 3a(a+6) < (3a+6)(a+4);

2 7 5 2;3) a b

2 5 3 3 .4) a b

2

1 .1 2

4) bb

1) (7b+1)(7b−1) < 49b2;2) 4b(b−1) > (2b+7)(2b−9);

1) a−b > 0; 2) a−b = 3,4;

3) b2−b ≤ 50b2−15b+1;

3 4;2) x y

2 2 ;4) m m 2 .5) m m m m

1. 1. Порiвняйте числа x і y, якщо:

2. 2. Запишiть вираз у виглядi многочлена:

Виконання усних вправВиконання усних вправ

1) x−y = (−0,1)2;

1) (m−1)2; 2) (x−3)(x+3); 3) (x−1)(x+2);

3) x−y = (c−1)2.

.7 7

6) m n

2. 2. Вiдомо, що m < n. Якi з наведених нерiвностей є правильними?

Вiдповiдь обґрунтуйте.

Виконання усних вправВиконання усних вправ

1) m+3 < n+3; 2) m−1 < n−1; 3) m+3 > n+1;

1. 1. Порiвняйте x та y, якщо x < 3 i 3 > y.

4) 5m < 5n; 5) −3m < −3n;

1.1. Якщо a > b, то b < a.

2.2. Якщо a > b, b > c, то a > c.

3.3. Якщо a > b, то a+c > b+c.

Наслiдок. a+c > b i a > b−c.

Властивостi числових Властивостi числових нерiвностейнерiвностей

4.4. 1) Якщо a > b i c > 0, то ac > bc;

2) якщо a > b i c < 0, то ac < bc.

Наслiдок. Якщо a > b > 0, то1 1  .a b

12

3) a1  ;2

b

13

4) a 1.

3b

ПрикладиВiдомо, що a < b. Порiвняйте значення виразiв:

i

i

Розв’язання1) Оскiльки a < b i 3 > 0, то за властивістю 4 маємо: 3a < 3b;2) оскiльки a < b i −1 < 0, то за властивістю 4 маємо: −a > −b;

1) 3a i 3b; 2) −a i −b;

1 1 ;2 2

a b

,3 3a b

1 1.3 3a b

3) оскiльки a < b, то за властивiстю 3 маємо:

4) оскiльки a < b, то за властивістю 4 маємо:

а за властивiстю 3:

1 1* ;2 2

4) a b * ;8 8

5) a b * .5 5

6) a b

1. 1. Вiдомо, що a < b. Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дістати правильну нерiвнiсть:

Виконання письмових вправВиконання письмових вправ

1) 5a*5b; 2) −9a*−9b; 3) −a*−b;

2. 2. Вiдомо, що a < b. Використовуючи властивостi нерiвностей, запишiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо,

якщо:

1) до обох частин нерiвностi додамо число –2;

2) обидвi частини нерiвностi помножимо на 3;

3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –1;

4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на 5.

a bc c

ca

,cb

1) якщо ac > bc i c > 0, то a>b;

4. 4. Порiвняйте числа a i d, якщо:

i якщо 0 < b < a i c > 0.

3. 3. Доведiть твердження:

2) якщо i c < 0, то a>b.

5. 5. Порiвняйте числа

1) a < b i d > b; 2) b−a < 0 i d−b < 0.

1 1 1, , ,a b c

1 1 .a b

6. 6. Розмiстiть у порядку зростання числа

1) якщо a < b i b ≤ c, то a < c;

2) якщо a < b, b < c i c < d, то a < d;

3) якщо a ≥ b i c < 0, то ac ≤ bc;

якщо всi вони додатнi й a > b, b > c.

7*. 7*. Доведiть твердження:

4) якщо a < 0, b < 0 i a < b, то

8*. 8*. Доведiть, що при y > 1 значення виразу додатне. 2

2 2

3 2 1 3:1 1

y yy y y y y

;3 3

3) a b

1 1 .4)a b

Вiдомо, що a > b > 0. Яка з наведених нерiвностей є неправильною?

Тестове завданняТестове завдання

1) −5а < −5b; 2) 3+a > 3+b;

1. 1. Вiдомо, що x > y. Використовуючи властивостi нерiвностей, запишiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо,

якщо:

Домашнє завданняДомашнє завдання

Вивчити змiст та доведення властивостей числових нерiвностей (див. конспект 3).

Виконати вправи.

1) до обох частин нерiвностi додамо 9;2) вiд обох частин нерiвностi вiднiмемо число –3;3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –5;4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на –3.

a bn n

ca

,cb

1) якщо an > bn i n < 0, то a < b;

3. 3. Порiвняйте числа m i k, якщо:

i

Виконати вправу на повторення.Виконати вправу на повторення.Доведiть нерiвнiсть:

2. 2. Доведiть твердження:

2) якщо i n > 0, то a < b.

4. 4. Порiвняйте числа

1) m > n i k < n; 2) m−n > 0 i n−k > 0.

якщо 0 < a <b i c > 0.

1) (x+1)2 ≥ 4x; 2) 4(x+2) < (x+3)2−2x;

3) a2+b2+2 ≥ 2(a+b).