מתמטיקה ב' לכלכלנים

1

מתמטיקה ב' לכלכלנים – הגדרות קבוצות, 2שיעור

גבולות ורציפותפרקטיקה

2

חישוב תחום הגדרה

)5ln(1

)(

1),,(

2

y

xyyxzyxF שאלה:

Fמצא את תחום ההגדרה של וצייר אותו.

? ניגשים איך

3


yxyxyyx

zyxF 2)5ln(1

)(

1),,(

2

מנה אברילהיות צריכים

- מ 0שונים

צריכים שורשיםאו גדולים להיות

ל 0שווים

ln להיות צריך- מ ממש 0גדול

0)( 2 yx yx 0xy 0,0 yx0xy

02 yx}0,0),{(

}0,0),{(

yxyx

yxyx

yx 205 y 5y

4


yx 0,0 yx

}0,0),{(

}0,0),{(

yxyx

yxyx

yx25y

X

Y

}),{(}5),{(}2),{( yxyxyyxyxyx

5

קבוצות פתוחות וסגורות

}41,32),{( yxyx

}3640),{( 22 xyyx

}),{( 3xyyx X

Yהשפה

ולא סגורה לאפתוחה

זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות )או לא ולא(

מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה?

)},(4{חסומה xyyx

6


}3640),{( 22 xyyx

}),{( 3xyyx X

Yהשפה

קבוצה פתוחה



חסומה

}41,32),{( yxyx

}4),{( xyyx

7


}3640),{( 22 xyyx

}),{( 3xyyx X

Yהשפה

סגורה קבוצה



חסומה לא

}41,32),{( yxyx

}4),{( xyyx

8

זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות )או קבוצות פתוחות וסגורותלא ולא(


}3640),{( 22 xyyx

}),{( 3xyyx

}4),{( xyyx

X

Yהשפה

השפה

פתוחה חסומה לא

}41,32),{( yxyx

9


)},(16{הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: 22 yxyx

הרעיון:

X

Y נקודה לבחור עלינויודעים שאיננו בקבוצה

. דבר עליה

שהיא להראות עלינופנימית.

10



X

Y של המרחק את נחשב. הקבוצה מקצה הנקודה

של סביבה ונמצאקטן ברדיוס הנקודה

יותר.

11



X

Y ? המרחק את נחשב איך

ב נמצאת הנקודה ,(yאם(x

מהשפה מרחקה אזהוא:

224 yx

{4{

12



הוכחה: . a(=x,yתהי ) סביבה על נסתכל בקבוצה כלשהי נקודה

ברדיוס

. של מרחקה לנקודה הוא 0מ aמסביב

מ בסביבה נקודה כל של מרחקה -aואילו מ קטן

מ בסביבה נקודה כל של מרחקה : 0ולכן מ קטן

. בקבוצה כולה זו סביבה ולכן

2

4 22 yx 22 yx

2

4 22 yx

42

44

2

4

2

4 2222

22

yx

yxyx

13

גבולות

1lim 22

22

)0,0(),(

yxyx e

yx

: אותו חשב קיים שהגבול בהינתן

שהגבול כיווןנציב, קיים

מסילה לבחירתנו

)0,()( ttf : ונציב נקבע

1lim 2

2

0 tt e

t2

2

2lim

0 tt te

t

11

lim 20

tt e

לופיטל

14

גבולות

xy

yxyx 3lim

22

)0,0(),(

: גבול אין לפונקציה כי הוכח

מסילות כי להראות ננסה גבול אין כי להוכיח כדי. שונים גבולות נותנות שונות

החזקה בעל שהאיבר לכך לגרום ננסה כך לשםהחזקה בעל לאיבר זהה יהיה במכנה ביותר הנמוכה , שונה יהיה המקדמים יחס אך במונה ביותר הנמוכה

. פעם בכל

הרעיון:

15

גבולות

xy

yxyx 3lim

22

)0,0(),(

: גבול אין לפונקציה כי הוכח

נציב:),( tt )2,( tt

3

2

3lim

2

22

)0,0(),(

t

ttyx 6

5

6

4lim

2

22

)0,0(),(

t

ttyx

שונות במסילות שונים גבולות !שני גבול אין

16

גבולות

xy

yxyx 3lim

22

)0,0(),(

? נראית הפונקציה איך אבל

17

גבולות: גבול של קיומו היעדר להוכחת השיטה על עוד

ב פולינומים מנת של גבול לחישוב בשיטה .0ניזכר. מינימלי משותף גורם נוציא ראשית

, בסוגריים הזניחים הגורמים את נמחק כך אחרונקבל:

xxx

xxxx 23

235

0 3

2lim

)13(

)2(lim

2

132

0 xxx

xxxx

02lim2

lim0

2

0

x

x

xxx

18

גבולות: גבול של קיומו היעדר להוכחת השיטה על עוד

ב הנמוכה mנסמן המעלה בעל האיבר מעלת את , וב במכנה בעל nביותר האיבר של מעלתו את

. נסמן במונה ביותר הנמוכה את xnו xmהמעלה. בהתאמה מקדמיהם

0)(

)(lim

xg

xfnm

מוגדרלאxg

xfnm

,,

)(

)(lim

m

n

x

x

xg

xfnm

)(

)(lim

19

גבולות: קצר אימון

מכנה = מונה , = mמעלת מכנה , = nמעלת מונה, xmמקדם מקדם =xn

0)(

)(lim

xg

xfnm מוגדרלא

xg

xfnm

,,

)(

)(lim

m

n

x

x

xg

xfnm

)(

)(lim

xx

xxxx 3lim

3

26

0 3

1

xx

xxxx 4

25lim

3

2310

00

414

41540

0 415

27152lim

xx

xxxx 2

1

4

2

15

2310

0 124

89lim

x

xxxx ?

20

גבולותנרצה גבול היעדר לחישוב מתאימות מסילות לבחור כדי

מ מסילות בעיר אחת. סוגלבחור במסילה גם להשתמש נוכל.סוגמ


0)(

)(lim

xg

xfnm מוגדרלא

xg

xfnm

,,

)(

)(lim

m

n

x

x

xg

xfnm

)(

)(lim

המחשה:

y

yxxyx 3

3lim

22

)0,0(),(

),( ttt 3

1

3

3lim

22

)0,0(),(

t

ttttt

y

yxxyx 3

3lim

22

)0,0(),(

),0( tt 03

lim2

)0,0(),(

t

ttt

( : להציב אסור לב שמסילה( t,0שים כיוון! ההגדרה לתחום מחוץ כולה זו

. גבול אין כי והוכחנו

21

גבולותנרצה גבול היעדר לחישוב מתאימות מסילות לבחור כדי

מ מסילות בעיר אחת. סוגלבחור במסילה גם להשתמש נוכל.סוגמ


0)(

)(lim

xg

xfnm מוגדרלא

xg

xfnm

,,

)(

)(lim

m

n

x

x

xg

xfnm

)(

)(lim

המחשה:

xy

yxyx 3

3lim

33

)0,0(),(

),( 2ttt 13

3lim

3

63

)0,0(),(

t

tttt

xy

yxyx 3

3lim

33

)0,0(),(

),( 2 ttt 3

1

3

3lim

3

36

)0,0(),(

t

tttt

. גבול אין כי והוכחנו

22

גבולות? מסתדר לא זה כשכל עושים ומה

המחשה:

xy

yxyx 3

3lim

3

)0,0(),(

),( ttt

3

)31(1lim

3

)31(lim

3

3lim

2

)0,0(),(2

2

)0,0(),(2

3

)0,0(),(

t

tt

tt

t

tttttttt

- ש כיוון גבול אין כי .t/1והוכחנו גבול חסר

מוציאים כלל .t/1בדרך

לגרום נוכל לא לעולםקטנה להיות המכנה למעלת

... המונה ממעלת

23

גבולות

),(lim),(lim),(),(lim),(),(),(),(),(),( 000000

yxgyxfyxgyxfyxyxyxyxyxyx

: קיימים כי נתוןהוכח:

),(lim),,(lim),(),(),(),( 0000

yxgyxfyxyxyxyx

. הגבול בהגדרת ניזכר המשפט את להוכיח כדיאת לבנות כדי הנתונים בגבולות נשתמש מכן לאחר

. הנדרשת הסביבה

הרעיון:

lxfxx

)(lim0

לכל הגדרה: סביבת >0אם נקובה >0קיימת

מתקיים Aשנסמנה x0של שלכל Axכך ||)(|| lxf

24

גבולות

),(lim),(lim),(),(lim),(),(),(),(),(),( 000000

yxgyxfyxgyxfyxyxyxyxyxyx

: קיימים כי נתוןהוכח:

gyxyx

fyxyx

lyxglyxf

),(lim,),(lim),(),(),(),( 0000

כך. >0יהי קיימות הנתונים הגבולות שני קיום לפי נבחר: xשלכול מתקיים של נקובה בסביבת

לכל : xוכן מתקיים של נקובה בסביבתולכן

הוכחה:

lxfxx

)(lim0

לכל הגדרה: סביבת >0אם נקובה >0קיימת

מתקיים Aשנסמנה x0של שלכל Axכך ||)(|| lxf

gf ,

f),( 00 yx2

||)(||

flxf

שנצטרך בגלל חצי בחרנו... נוסף איבר לחבר

g),( 00 yx2

||)(||

glxg

22||)(||||)(||||)()()(|| gffg lxglxfllxgxf

25

שליטה בנושאי הבסיס – תקל עלינו בהמשך.

"כשדלת אחת נסגרת, אחרת נפתחת"-- בוב מארלי

Documents

מתמטיקה ב' לכלכלנים