第七章 粒子在电磁场中的运动

一、荷电 q 粒子在电磁场中的 Newton 方程

（经典描述）

§7.1 电磁场中荷电粒子的 Schrdinger 方程 两类动量

质量 μ ，荷电 q 的粒子在电磁场中运动，其经典 Hamilton 为

qAc

qP

2

2

1

:P

::A

电磁矢势 电磁标势 正则动量

将上式代入正则方程，有

r

ΗP

P

Ηr

.

,.

以 x 分量为例，有

xP

Hx

.

x

qx

A

c

qA

c

qP i

iii

3

1

)(1

)(1

xx Ac

qP

x

HPx

.

第一式给出

Ac

qvP

xx Ac

qxP .

xx Ac

qv

对于 Ac

qvP

正则动量 机械动量

可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量并不相等。将式 .

x )(1

xx Ac

qP

微分，得

..

x xx Ac

qP

..

xi

iii A

c

q

xq

x

A

c

qA

c

qP

.3

1

1

))(1 3

1

代入 x

qx

A

c

qA

c

qP i

iii

.

( xP将

对 t 微分

,)(1

xx

Ac

qA

tcq

xxx

zyxx

Az

zAy

yAx

x

x

Az

x

Ay

x

Ax

c

qA

tcxq

...

...1

3

1

.3

1

.

i i

xi

xi

ii r

Ar

t

A

c

q

xq

x

Ar

c

q

xi

iii A

c

q

xq

x

A

c

qA

c

qP

.3

1

1

（重新组合）

.

iii rAc

qP 利用

t

z

z

A

t

y

y

A

t

x

x

A

t

AA

zyxAA

xxxxx

xx

.

),,( 即利用

..

x ,)(1

xx

Ac

qA

tcq

即

)(1..

Ac

qA

tcqr

所以

).1

( Bc

Eq

式中

AB

Atc

E 1 电场强度

磁场强度上式即为荷电 q 的粒子在电磁场中的 Newton 方程。式中右边第二项即 Lorentz 力，实践证明是正确的。

二、电磁场中荷电粒子的 Schrödinger 方程按照量子力学中的正则量子化程序，把正

则动量 换成算符 ，即P

P

PP

i

则电磁场中荷电 q 粒子的 Hamiltonian 算符可表为

,2

1ˆ2

qAc

qP

因而 Schrödinger 方程可表为

qAc

qP

ti

2

2

1

AiPAAP

0 A利用电磁波的横波条件

则上述第一方程可表为

一般说来， AP

,ˆ 不对易， 的函数，是但 rA

般方法可以证明利用证明对易关系的一

.2

ˆˆ2

1 22

22

qAc

qPA

c

qP

ti

三、讨论1. 定域的几率守恒与流密度将式

qAc

qPA

c

qP

ti 2

2

22

2ˆˆ

2

1

取复共轭，注意到在坐标表象中 ，则PP ˆˆ *

*22

22*

2ˆ

2

1

qAc

qPA

c

qP

ti

不是微分算符，得与，且注意式第式第 qAA 2* 0,21

Ac

qPP

i *** 2)(

2

)()(2

1 ***

APc

qPPP

)( **

PAPAc

q

令 *

][2

1)( *22**

PPt

i

Ac

qPPj

*** )(

2

1

)( *

eR)ˆ(2

1 ***

*** )()(

2

1

Ac

qPA

c

qP

式中

Ac

qP

1

A

c

qi

1

为粒子的速度算符。 代入前式

0

jt

为流密度算符。为几率密度，而其中 j

Ac

qPP

i *** 2)(

2)( *

ti

得

此处非常类似当初引进 S- 方程时对定域几率守恒的讨论。

2. 规范不变性 在学习电动力学时知道，当矢势和标势

作下列规范变换时

则电、磁场强度都不改变。

),(1

),('

trtc

trAAA

利用ABA

tcE

,1 0)( 及

很容易得到证明。

对牛顿方程 ..

r ).

1( B

cEq

因为已证明电、磁场强度都不改变。其规范不变性是显然的。但对下列 S- 方

程

qAc

qP

ti

2

2

1

是否违反规范不变性？为解决这个问题，令 ciqe

其中 ),( tr 可以验证

qAc

qP

ti

2

2

1

这说明，在对波函数作一定的相位变换后，S- 方程仍满足规范不变性。当然，亦可证明，当作以下变换后

),(' trAAA

e ciq

、 *

Ac

qPPj

*** )(

2

1

Ac

qP

1以及 仍保持不变。

物理量

§7.2 正常 Zeeman 效应正常 Zeeman 效应：

把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常 Zeeman

效应。问题：谱线为啥可以分裂？1. 体系的哈密顿

在原子大小范围内，磁场可视为均匀磁场，不依赖于电子的坐标。

研究对象：原子中的价电子

可取为，则相应的矢势设磁场为 AB

rBA

2

1

取磁场方向为 z 轴方向，则

.0,2

1,

2

1 zyx ABxAByA

对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，它在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，则

)(222

1 222

rVPxc

eBPy

c

eBPH zyx

)()(4

ˆˆ2

1 222

222 rVyx

c

Bel

c

eBP z

式中

是角动量的 z 分量。

xyz pypxl ˆˆˆ

x

yy

xi

i

上式还比较复杂，我们看根据物理实际，能否化简？

410

28222 )cm10(~~)( ayx在原子中，

项的大小：相对于项，可以估算实验室中的磁场强度

B

BB 25 )Gs10(

eB

ca

c

Be

B

B2

2

222

4~

项项

因此可略去 B2 项，即,

2)(ˆ

2

1 2zlc

eBrVPH

上式右侧最后一项可以视为电子的轨道磁矩 与外磁场 ( 沿 z 方向 ) 的相互作用。)

2( zz l

c

e

对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量问题

外加磁场前 加均匀磁场 ( 沿 z 方向 ) 后属性

总哈密顿 zlc

eBrVPH

2)(ˆ

2

1 2 )(ˆ2

1 2 rVPH

对称性 球对称 球对称性破坏守恒量 l zll ˆ,ˆ2

守恒量完全集 )ˆ,ˆ( lH )ˆ,ˆ,ˆ( 2zllH

(6.1.1) 已证明 容易证明 ?

2. 外加磁场后的能级分裂

函数，即的共同本征选为因此能量本征函数可以 )ˆ,ˆ,ˆ( 2

zllH

),,()(),,( lmlnlmn YrRrrr

,,2,1,0, lnr,,,1, lllm

相应的能量本征值为,

2m

c

eBEE lnlmn rr

而 就是中心力场 V(r) 中粒子的 Schrödinger 方程lnrE

ErV

)(

22

2

的能量本征值。

显然加外场前后能级分裂情况是不一样的

加外场前 加外场后属性

对称性 球对称性 球对称性破坏能量本征值 lnr

E mc

eBE lnr 2

简并度 12 l 能级简并全部消除

能级简并消除 能级分裂发生

设分裂后的相邻能级间距为 L

BceBl 2/则 Larmor频率

由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂。

3p

3s

0

0m

+1-1

L L

无外磁场 加强磁场

原来的一条钠黄线 (λ≈5893Å) 分裂成三条 , 角频率为w ， w±wL 所以外磁场越强，则分裂越大。

下图是钠原子光谱黄线在磁场中的正常 Zeeman 分裂。

作业： p216 2

第八章 自旋§8.1 电子自旋

在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩

zz lc

e ˆ2

ˆ

如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为

zz lc

eBBU ˆ

2ˆ

m

c

eB

2

显然 是量子化的，它取 个值U )12( l

在较强的磁场下 ( 10T ) ，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它 但是，当这些原子或离子置入弱磁场 ~1T 的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅有三个自由度并不是完全正确的。我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的 。

1 电子自旋存在的实验依据（ 1 ） Stern-Gerlach 实验（ 1922年）

当一狭窄的 S态银原子束通过非均匀磁场后，分为两束。见下图

N

S

准直屏准直屏原子炉原子炉

磁 铁

分析： 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为

cosBBU

如果经过的路径上，磁场在 Z 方向上有梯度，即不均匀，则受力 dzdBUF /cos

从经典观点看 取值（从 ） , 因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同， 而取值从 到 。所以原子应 分布在一个带上 .

cos 11

dzdB / dzdB /

但 Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的 银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二 束， 即仅二条轨道（两个态）。

与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。

而人们知道，银原子（ z = 47 ） 基态 l = 0 ，所以没有轨道磁矩 . 而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩。

（ 2 ）电子自旋存在的其他证据

Na 原子光谱中有一谱线，波长为 5893Å ，但精细测量发现，实际上这是由两条谱线组成。

93.5895D1 Å

95.5889D2 Å

这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释 。

A．碱金属光谱的双线结构

B．反常塞曼效应（ Anomalous Zeeman effect ）

原子序数 Z 为奇数的原子，其多重态是偶数， 在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶，如钠 D1 和 D2 ，的两条光谱线，在弱磁场中分裂为 4 条和 6 条。这种现象称为反常塞曼效应。C. 在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相 邻能级间距 , 并不一定为 , 而是 . 对于不同能级， 可能不同，而不是简单为( 称为 因子 )

2/Be 2/BegD Dg g

eLand Dg

根据这一系列实验事实， G. Uhlenbeck ）（乌伦贝克）和 S.Goudsmit （古德斯密特）提出 假设①电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系

S s

Scm

e

es

ˆˆ

② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以2/

cm

e

ez 2

cm

e

S ez

z

作比较与轨道磁矩 ze

B lcm

eM ˆ

2

进一步分析：

磁矩和磁场作用为 BV S

以 为单位，则 （而 ）em

e

22gs 1lg

设磁场在 z 方向不均匀，则利用 VF

有z

BF z

Sz

cos

之间的夹角与BM

S 态银原子束在非均匀磁场中分裂为朝相反方向偏转的两束，没有不偏转的原子。

结论：

但由于轨道磁矩为 0 ， 因此电子具有固有磁矩，称为自旋磁矩 ，与之相应的角动量叫自旋角动量，用 表示。

S

S

B cosSz 定义

（实验结果）

对自旋的讨论 ----

自旋无经典对应原因：①把电子看成是带电自传的小球是错误的如设想电子为均匀分布的小球，其静止能量 完全来自其静电能，即2c

ee r

ecm

2

0

2

4

1

则电子的经典半径可以算出为

m15108.2 20

2

4 cm

er

ee

S

原子的大小约为 10-10m

（与电子的经典半径 10-15m 比较）

cv cm

e

eS 2

而 19世纪末统计物理学的研究表明：

按照此经典半径 , 当电子是机械自旋时 ,若使其磁矩达到

得其表面旋转速度这是不可能的 .

故自旋是电子的内禀属性.

S

s

kp

自旋，又称内禀角动量，一个新的自由度．

②自旋角动量　在空间任何方向取值均为　　　，这在经典图象中是无法想象的．2/

S

实验发现：自旋是各种微观粒子的重要性质

电子、中子、质子及各种基本粒子 自旋是半奇数或整数，决定了它遵从 Fermi

统计或 Bose统计。 自旋是 的半奇数倍 ---费米子： 自旋是 的偶数倍 ---玻色子：

电子、中子、质子等 (1/2)

π介子 (0)、光子 (1)等

电子的自旋角动量与轨道角动量的不同： ⅰ 每个电子具有自旋角动量 ，它在空间 任意方向的投影只能取两个值

S

2/zS 或 sz mS

其中 2/1sm 称为自旋磁量子数ⅱ 磁矩的差别自旋磁矩：

轨道磁矩：

Scm

eM

eS

Lcm

eM

eL

2

相差 1/2

即旋磁比是轨道情况的 2倍或 |gs|=2,|gL|=1

2 自旋态的描述电子除具有空间自由度 , 还具有自旋自由度故 ),( zSr

2/zS由于

因此 , 用二分量波函数是方便的 :

上述波函数称为旋量波函数 .

)2,(

)2,(),(

r

rsr z

旋量波函数的物理意义 :

2|)2

,(|

r 是电子自旋向上 位置在 处的几率)2

(

zS r

2|)2

,(|

r 是电子自旋向下 位置在 处的几率)2

(

zS r

23 |)2

,(|d

rr 而 表示电子自旋向上 的几率)2

(

zS

23 |)2

,(|d

rr 表示电子自旋向下 的几率)2

(

zS

归一化条件为

))2,(),2,((),( **32

2

3

rrrdsrrd zsz

])2,()2,([ 223

rrrd

rd 3

1

)2,(

)2,(

r

r

波函数的构造 :

若体系的 Hamiltonian 量不含自旋变量 ,或可表为自旋变量部分和空间变量部分之和 ,且无耦合 , 则波函数可以分离变量 , 即

b

aS z )(

)( zS 是描述自旋态的波函数 .一般形式为

式中 |a|2 与 |b|2 分别代表电子取 的几率 .2

zS

故归一化条件为

)()(),( zz srsr

问题 :

既然体系的 Hamiltonian 量不含自旋变量 ,为什么波函数中仍包含自旋部分 ?

特例 : )( zm Ss

对 的本征态 ，zS sm为本征值即

这种本征态常记为 α与 β：

22ba

b

aba )( ** 1

)(2

1)(

2

1

2

1 zzz SSS

1

0)(21 zs,

0

1)(21

zs

α与 β 构成电子自旋态空间的一组正交完备基，一般自旋态可用它来展开：

而前述二分量波函数可表为：

以上是对自旋态的描述，那么自旋算符如何描述？

. ba

b

asz )(

.)2,()2,(),(

rrsr z