Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородных

индексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовых

рынков

А.А. Шананин

Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ)

11.09.2012

2

Построение экономических индексов

___________________________________________________________

– потребительская корзина

– вектор цен на товары

– стоимость корзины товаров – базовый период времени – текущий период времени

– эффект Гершенкрона: замещение относительно подорожавших товаров относительно подешевевшими

,

,

p X

tp X

,

,

tp X

t tp X

Индекс спроса

Пааше

X

p

Xp,t

Индекс спросаЛаспейреса

3

Индексы КонюсаПусть у нас задана система поверхностей безразличия. Спросу в момент времени соответствует уровень полезности , а спросу - уровень полезности Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени и имеющий полезность , обозначим . Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени t и имеющий полезность , обозначим .

X F tX.tF

t

P X

P X

tP

t

t t

P X

P X

F X

индекс спроса Конюса-Ласпейреса.

индекс спроса Конюса-Пааше.

P

tF tX

4

Задача о рационализируемости ___________________________________________________________

– объемы потребления товаров

– цены на эти товары

– обратные функции спроса

– класс непрерывных, вогнутых, положительно-однородных и положительных в функций

Определение. рационализируемы в классе , если такая функция полезности , что

)X(XX m ,...,1

1 ,..., mP (P P )

0

))(),...,(()( 1 XPXPXP m

mRint

) X(P 0( )F X

1 Argmax | ,..., 0 mX F Y P X Y P X ,X , Y (Y Y ) ,

0Φ

5

Постановки задачи о рационализируемости

• Существуют такие что

• Существует функция такая что справедливо

где Q(P) – преобразование Янга1) функции F(X)

• Существует , рационализирующая обратные функции спроса

1) Преобразование Янга инволютивно в классе , т.е. двукратное применение переводит функцию в себя

Пусть выполнено Тогда следующие утверждения эквивалентны:

0 0, ( ) ,F X Q P 0, 0 ( ) ( ) ;

0 ( ( )) ( ) ( ) ;

X P Q P F X P X

X Q P X F X P X X

0 ,F X

( ) 0 ( ) 0 ;( )

inf P XQ P X F X

F X

( ) ( ( )) ( )P X Q P X F X 0X

0F X

Предложение 1.0X ( ) 0.P X X

0

P X

6

Индексы Конюса

Пусть функция полезности рационализирует обратные функции спроса . Тогда индекс Конюса-Ласпейреса совпадает с индексом

Конюса-Пааше

Предложение 2

0F P X

( )

( )

t

tt t t

P X P X F X

F XP X P X

Предложение

Пусть функция полезности рационализирует обратные функции спроса . Тогда индекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.

Предложение 3

0F

P X

( )

( )

t

tt t t

P X P XF X

F XP X P X

7

• Траектории (пути интегрирования)

• Разные траектории – разные формулы для практических расчетов;

Индексы Дивизиа ___________________________________________________________

mi

t ii 1

m

i ii 1

dXP XD X t d

exp dD X P X X

P(X( )), X , [ ,t].

8

Индексы Конюса-Дивизиа ___________________________________________________________

Предложение 6. (Балк, Халтен) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа.

mi

t t tii 1

m

i ii 1

dXP XD X Q(P(X( )))dF(X )dexp d exp

Q(P(X( )))F(X )D X P X X

tt t F XdF(X )

exp exp d ln F(X ) .F(X ) F X

0

Критика: наличие функциональной зависимости между ценами и объемами – функции спроса не общего положения. Существует ли такой индекс?

9

Критерий рационализируемости – I___________________________________________________________

Определение. принадлежит классу , если

и в выполнены следующие условия:

1.

2.

3.

4.

5. строго квазивогнута;

6. хотя бы одно оптимальное на

решение

)(XF)()( mRICXF

mU

;0 0)( XXF

mRI int

);(int)( 1 mRICXF ;00, )()( XXFXF

;0 0)(' XXF

)(XF

0Y mRI int

0inf

)(

,

XXF

YX

10

Критерий рационализируемости – II___________________________________________________________

Утверждение 1.

Пусть Обозначим

рационализируемы в тогда и только тогда, когда:

1.

2.

3. ни при каких

4. различных

5.

0

).()( 1 mRICXP

mU

;0 0)( XXP

)(XP

;)(

)(

)(

)( 0 ,0 ,,

XP

XP

XP

XPXNIji

j

i

j

i

2121 :0, XXXX ;),(),(),(),( 22111221 XXPXXPXXPXXP

, , , 0i j k M X

;0)()()()()()()()()(

XX

PX

X

PXPX

X

PX

X

PXPX

X

PX

X

PXP

i

j

j

ik

k

i

i

kj

j

k

k

ji

( \{ | 0}) { | ( ) 0} .mi jX IR M i M X j M P X

{1,..., }.M m

11

Условия интегрируемости Фробениуса

0)()()()()()()()()(

XX

PX

X

PXPX

X

PX

X

PXPX

X

PX

X

PXP

i

j

j

ik

k

i

i

kj

j

k

k

ji

Проблема интегрируемости

- это условия типа равенства

12

Индекс потребления и индекс ценТеория выявленного предпочтения

___________________________________________________________

Функция полезности – индекс потребления

– индекс цен

Определение. выявленно предпочтительнее чем

(обозначается ), если и только если

Слабая аксиома. Если

то

F(X)

)X(F

X,P)P(Q

(X)F,X 00inf

mRIX 1 mRIX 2

XXPXFXPQ ),()())((

21 XX

. ,),(),( 212111 XXXXPXXP

,),(),( ,, 211121 XXPXXPRIXX m

),()( 21 XPXP .),(),( 2212 XXPXXP

13

Сильная аксиома и однородная сильная аксиома теории выявленного

предпочтения ___________________________________________________________

Определение. косвенно выявленно предпочтительнее, чем

(обозначается ), если и только если

что

Сильная аксиома. Если то

Определение. удовлетворяют однородной сильной аксиоме

теории выявленного предпочтения (ОСА), если

0X 0Y

)(XP

m1 RI,..., TXX

,0,...,0 1 kXX

13221 ),(...),(),( XXPXXPXXP T

TT XXPXXPXXP ),(...),(),( 2211

YRX

Y. ,...,, 13221 kk XXXXXXX

, ,0,0 YRXYX P Y ,X Y 0

14

Рационализируемостьобратных функций спроса

___________________________________________________________

Утверждение 2Пусть

Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. рационализируемы в классе .

2. решение системы

3. удовлетворяют ОСА.

,)()( ,0)( mRICXPXP }0{\ 0),( mRIXXXP

)(int)( ,0)( mRICXX

)(XP

mRIYXXXPXXYPY , ,),()(),()(

)(XP

0

15

Рационализируемость торговой статистики

___________________________________________________________

– торговая статистика

– объемы потребления товаров

– цены на эти товары

Торговая статистика – значения обратных функций спроса в точках

Определение. Торговая статистика называется

рационализируемой, если ее можно продолжить до

обратных функций спроса, рационализируемых в классе .

),..., X(XX tm

tt1

1t t tmP (P ,...,P )

Tttt ,XP 0

0

),..., X(XX tm

tt1

16

Теорема Африата – Вериана ___________________________________________________________

Следующие утверждения эквивалентны:

1) функция полезности вида ,

рационализирующая торговую статистику , т.е.

2) решение системы линейных неравенств

(I)

3) удовлетворяет однородной сильной аксиоме

теории выявленного предпочтения (ОСА):

Tttt ,XP 0

0( ,..., )T τ t t t

τ t tλ P ,X λ P ,X , 0, τ , t 0,T

t t t tX Argmax F X | P ,X P ,X , X 0 , t 0,T

ttF(X) min λ P ,X

0t t T

tP ,X

31 2 2 k 1 1 1 2 2 k ktt t t t t t t t t t tP ,X P ,X ... P ,X P ,X P ,X ... P ,X 1 k t ,..., t 0,T

17

Непараметрический метод построения индекса Конюса-Дивизиа

_______________________________________________

Предложение 7Пусть где удовлетворяют

(I), а

Тогда

( ) 1/tQ Pt

( )t t tF X λ ,t

P X

0( ) min ,

TF X P X

0 0 0T

( ) 0 ( ) 0( )

inf P YQ P Y F Y

F Y

Такой метод вычисления индексов называется непараметрическим методом.

18

Алгоритм Варшалла – Флойда ___________________________________________________________

– матрица индексов цен Пааше

2) такие что

(I) Разрешима , и TtCtt ,0 ,1 * TtT

t ,0 ,Cmax *t

,0

0, 0 ,t t ,T t

tt

tXP

XPC

,

,

NIktttCCCC ktttttt k ,},...,,{...max 21

*211

T

t , , 0tC t ,T

Рассмотрим идемпотентное полукольцо с операциями и

Тогда 2 kC C C C

max( )a b a b a b ab

19

Необходимость численных экспериментов

• Что содержательно означает нарушение

условий существования положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа?

• Как влияют на условия существования первичная обработка статистики и выбор групп товаров?

• Как использовать индексы Конюса-Дивизиа для анализа сегментации рынков и структуры спроса?

20

Шведская статистика 1921-1938 гг. ___________________________________________________________

• Колебания индекса Конюса-Дивизиа сглажены по сравнению с исходными данными;

• 1933-1935: нарушение условий рационализируемости;

• Последствия Великой Экономической Депрессии: появление новых потребностей и товаров (холодильники);

• Связь системных перестроек экономики и нарушения условий рационализируемости выявлена непараметрическим методом.

21

Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984.

___________________________________________________________

22

Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984.

___________________________________________________________

23

Венгрия: классификация товаров ___________________________________________________________

Номер Группа Кол-во товаров

1 Продовольственные товары 49

2 Напитки 15

3 Табачные изделия 3

4 Одежда 31

5 Жилищное обслуживание 5

6 Отопление, энергия в быту 12

7 Бытовое оснащение 30

8 Здравоохранение, гигиена 7

9 Транспорт, информация 11

10 Образование, культура, спорт, отдых 23

11 Прочие статьи потребления 10

Товарные группы различаются длительностью службы товаров. Первые три класса – товары повседневного спроса – имеют время потребления месяц, «Одежда» – около года, оставшиеся классы – 5-10 лет (товары и услуги длительного пользования).

24

Изменение структуры потребления ___________________________________________________________

- Появление рыночных отношений на потребительском рынке;

- Сдвиг потребления в пользу товаров длительного пользования;

25

Дерево экономических индексов.

Сегментация рынков. ___________________________________________________________

– все остальные товары

0, ,...,1 )( k X

1 0,..., : ( )ki

i i i i i(X X ) F

),( ),...,( 11 kkFFFF(X) iililiiiii FFFF ),( ),...,()(// 11

)X(Xzjj ,...,

1

26

Статистика Венгрии. Отделимость ___________________________________________________________

• Классификация, используемая товароведами, оказалась неадекватной;

• Процессам, которые происходили в стране, соответствует другая классификация, основанная на характерном времени потребления;

• Группа товаров "Одежда" не удовлетворяет ОСА, но удовлетворяет ОСА, если добавить еще один агрегированный товар "Продукты питания".

Товары и услуги длительного пользования

Все товары и услуги

Товары и услуги повседневного спроса

Прод. товары, Напитки, Табачные изделия

Одежда ЖКО, Здравоохранение, Транспорт,Образование

27

Статистика Нидерландов ___________________________________________________________

• Предварительная обработка статистики (классификация по группам) в общем случае не адекватно отражает ее свойства, так как опирается на эвристический опыт и лингвистические особенности. Как предварительная обработка искажает информацию о взаимозаменяемости товаров?

• Статистика Нидерландов: из групп, выделенных товароведами, ни одна не рационализируема. Тем не менее, вся статистика рационализируема.

28

Обобщенный непараметрический метод___________________________________________________________

Обобщение непараметрического метода:(I)

Минимальное , при котором разрешима система (I) , называется показателем нерациональности торговой статистики.

Математический смысл показателя нерациональности: связь с идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона для матрицы индексов цен Пааше.

0, 0t tt t tω , , , ,t ,TP X P X

1

29

Статистика Нидерландов. ОНМ. ___________________________________________________________

• Товарные группы, выделенные стат. cлужбами, не рационализируемы;

• С помощью ОНМ можно посчитать индексы:– Индекс по индексам групп;

– Индекс по всем товарам

• Максимальное отклонение индексов, построенных двумя способами, составляет 1.76%.

• ОНМ позволяет исследовать структуру спроса

1 1( ),..., ( )k kF FF(X) F • Появляется возможность

анализировать влияние предварительной обработки торговой статистики.

30

Анализ дерева индексов с помощью ОНМ ___________________________________________________________

Первый способ: посчитать напрямую по всем товарам торговой статистики.

Второй способ: С предварительным агрегированием по группам, т.е. рассчитать сначала индексы Конюса-Дивизиа для групп из классификатора, а затем построить индекс всей статистики.

Третий способ: С предварительным агрегированием по группам, но при этом рассчитывая для групп индекс цен Ласпейреса и спроса Пааше, т.е. имитируя обработку, которая обычно производится статистическими службами.

При использовании ОНМ у нас появляется возможность проверить, насколько предварительная обработка с вычислением индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, влияет на рационализируемость. Действительно, мы можем вычислить индекс тремя способами:

31

Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Нидерланды.

___________________________________________________________

32

Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация статистических служб

________________________________________________________Для расчетов использована классификация статистических служб: Продтовары, Напитки, ЖКХ, Медицина и т.д.

33

Для расчетов использована классификация по характерному времени потребления: товары повседневного спроса и товары длительного пользования

Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия.

Классификация по времени потребления ________________________________________________________

34

Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Вывод

___________________________________________________________

На всех рисунках отклонение графиков, построенных по первому и второму способам, меньше, чем по первому и

третьему. Таким образом, можно утверждать, что агрегирование с построением для групп товаров индексов Конюса-Дивизиа в большей степени отражает структуру

потребительского спроса.

35

Первичная статистика. Безалкогольные напитки.

___________________________________________________________

• Статистика содержит помесячные данные (январь 2007 - декабрь 2007) о продажах безалкогольных напитков в 643 магазинах г. Москвы, 14 наименований товаров;

• Товар – конкретное наименование в конкретном магазине;

• На рынке пара дополняющих товаров: торговая услуга по продаже и сам товар;

• Вопрос: сегментация зависит от торговой услуги или от наименования (бренда)?

36

Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________

• Вывод: выявлена сегментация по брендам.

№ Название класса ω

Все товары 0.2984 1.0

1 Coca-Cola 0.5 л 0.3564 1.0

2 Coca-Cola 0.33 л 0.5158 1.0

3 Coca-Cola 1 л 0.2363 1.0

4 Coca-Cola 2 л 0.1327 1.0005

5 Coca-Cola Light 2 л 0.1108 1.0

6 Coca-Cola Light 1 л 0.2114 1.0

7 Coca-Cola Light 0.5 л 0.32 1.0

8 Pepsi-Cola 1.25 л 0.2392 1.0

9 Pepsi-Cola 0.33 л 0.5347 1.0

10 Pepsi-Cola 0.6 л 0.369 1.0

11 Pepsi-Cola Light 0.6 л 0.3416 1.0

12 Pepsi-Cola Light 2 л 0.1913 1.0

13 Pepsi-Cola Light 1.25 л 0.1956 1.0

14 Pepsi-Cola 2.5 л 0.1942 1.0

№ Название класса ω

Все товары 1.0

1 магазин 12 1.0

2 магазин 30 1.0

… … …

161 магазин 350 1.0

162 магазин 36 1.00003

163 магазин 21 1.00006

… … ….

197 магазин 258 1.00048

198 магазин 227 1.00051

199 магазин 114 1.00054

… … …

218 магазин 519 1.00095

219 магазин 327 1.00101

… … …

643 магазин 22 1.07729

• Почти все группы, объединяющие товары одного бренда, рационализируемы;• Более 2/3 классов-магазинов имеют показатель нерациональности, больший, чем единственный нерационализируемый класс-бренд;• Разброс цен внутри бренда достаточно велик (до 50%);

max t

tt

D

E

37

Первичная статистика. Компьютерное оборудование ___________________________________________________________

Наименьший показатель нерациональности имеет группа "Все товары". Она, по-видимому, полнее учитывает отношение взаимодополнения и взаимозамещения товаров.

Наименование Наименование

Все товары 1,0082 Дискеты и диски 1,0314

Расходные материалы 1,0089 Сканеры 1,0322

Сетевое оборудование 1,0109 Память 1,0337

Принтеры 1,0115 Колонки 1,0363

Процессоры 1,0163 Мониторы 1,0373

Звуковые карты 1,0181 Видеокарты 1,0527

Прочее 1,0183 Контроллеры 1,0889

Мыши 1,0202 Мат. Платы 1,1041

Клавиатуры 1,0223 Винчестеры 1,1730

Оргтехника 1,0242 Устройства охлаждения 1,2575

CD-ROM/ DVD/ Дисководы 1,0262

minmin

38

Компьютерное оборудование. Объединение классов. ___________________________________________________________

Объединения групп имеют намного меньший показатель нерациональности, чем сами группы. Это связано с тем, что объединения полнее учитывают свойства взаимозаменяемости и взаимодополняемости. Хорошим примером служит то, что товары из группы "Память" образуют рационализируемую группу с "Процессорами" и "Сетевым оборудованием". Это иллюстрирует поведение потребителя: обычно покупатель приобретает память и процессор не по отдельности, а вместе, чтобы характеристики подходили друг к другу.

minНаименование

Память, Процессоры, Сетевое оборудование 1

Колонки, Память, Процессоры 1,00007

Звуковые карты, Память, Процессоры 1,00018

Контроллеры, Память, Процессоры 1,00047

Память, Процессоры 1,00058

Устройства охлаждения, Память, Процессоры 1,00074

Видеокарты, Процессоры, Сетевое оборудование 1,00096

Память, Процессоры, Прочее 1,00083

Память, Процессоры, Расходные материалы 1,001

39

Статистика фондового рынка ___________________________________________________________

• - цены акций, - объемы торгов в штуках

• 21 крупнейшая мировая биржа:– Нью-Йорксая фондовая

биржа, Лондонская фондовая биржа,

– Фондовая биржа Токио,– Фондовая биржа

Франкфурта, – Фондовая биржа

Гонконга, – Фондовая биржа

Шанхая...

tP tXПроблемы:• Разное число

перепродаж крупных пакетов акций, различная активность спекулянтов влияет на рационализируемость;

• Биржи торгуются в разных валютах.

40

Анализ валютного рынка. Арбитражные цепочки.

___________________________________________________________

Пусть - это количество валюты j, которое мы можем получить, обменяв единицу валюты i. Полученная матрица A называется матрицей кросс-курсов. Будем говорить, что матрица кросс-курсов А допускает арбитражную цепочку , если

ija

1 2 ki ,i , ,i

1...113221

iiiiiiii kkkaaaa

Теорема (Африат, Вериан) Пусть А – положительная матрица, тогда следующие утверждения эквиваленты:

1. У матрицы А отсутствуют арбитражные цепочки;

2. Система линейных неравенств имеет положительное решение

Существование решения можно связать с продуктивностью

матрицы А в идемпотентном смысле.

ija j i

41

Анализ валютного рынка. Приведение к единой валюте.

___________________________________________________________

С помощью алгоритма Варшалла-Флойда решим неравенства

получим «веса» валют . Умножая решение на одно и то же положительное число, мы снова получим решение. Положим «вес» доллара США равным единице.

ija , 0j i i

i

42

Мировой индекс

43

Мировой индекс и Нью-Йорк ___________________________________________________________

Мировой индекс более волатилен, чем индекс для Нью-Йоркской фондовой биржи, который в свою очередь более волатилен, чем индекс Доу-Джонса.

44

Бразилия ___________________________________________________________

Бразильский рынок обладает очень высокой волатильностью. Например, по сравнению с мировым индексом.

45

Развитые и развивающиеся рынки ___________________________________________________________

В целом развивающиеся рынки более волатильны.

46

Финансовый сектор ___________________________________________________________

ОНМ позволяет строить индексы по отраслям. Анализ показал, что наиболее сильно от кризиса 2008 года пострадал финансовый сектор.

47

Компании-производители потребительских товаров

___________________________________________________________Компании-производители потребительских товаров оказали стабилизирующее влияние на рынок.

48

Металлургия ___________________________________________________________

Металлургические компании продемонстрировали наибольший рост перед кризисом.

49

Сегментация фондового рынка ___________________________________________________________

Индексы, построенные по индексам отраслей, по индексам отдельных бирж и по акциям почти совпадают.

50

Рационализируемость ___________________________________________________________

Показатель нерациональности наименьший для всего мирового рынка.

Мировой фондовый рынок с агрегированием по отраслям 1.0108

Мировой фондовый рынок с агрегированием по биржам 1.0208

Мировой фондовый рынок 1.0212

США (NYSE) 1.0232

Финансовый сектор 1.0264

Металлургия 1.0727

Бразилия 1.0966

Компании-производители потребительских товаров 1.1229

51

Неоклассическая модель потребительского поведения

___________________________________________________________

– количество социальных групп – функции полезности этих

групп

– доходы групп,

Утверждение 3. Пусть

Тогда

где – индекс цены с точки

зрения группы

)()(1

PPIM

)(P

)(

,inf)(

}0)(|0{ Xu

XPPq

XuX

M

MUXu m ,1 ,)(

))(,,)(()( 1 PXPXPX m

0),(,:)(maxArg)( XPXPXuPX i

,,1)(

)(

)()( mi

P

Pq

Pq

PPX

ii

52

Интегрируемость и распределение доходов

___________________________________________________________

Утверждение 4. Если где

то существует такая что

M

i ii 1

X(P) X (P)

PX P dP dq P

q P

F(X(P))dQ(P), m mF(X) U ,Q(P) U

{ X 0|F( X) 0}

P,XQ(P) inf ,

F(X) M(q) U ,

( ) ( ( ))

( ) ( ) .( ( ))

q P q PP I P

q P q

Q(P) (q(P))

53

Функция общественного благосостояния Бергсона

M

11 M

q 0 q 0

q uW u ,...,u

(q)inf

54

Связь функции благосостояния Бергсона с индексом продукта

___________________________________________________________

Утверждение 5. Пустьгде

Тогда индекс продукта не меньше, чем оптимальное значение функционала в задаче

(#)

Если - решение (#), то

)(,),(X),,1()( 1 XXXиmi

p

q

q

qX M

ii

)),(()()(,)( PqPIPUq M

.,1 ,)(

)(

)()( M

q

q

q

PqP

u

quWqq

q

q

qquиXXuXXuWXF M

M

))((

)(,)(

)(

1)))((,)),((()( 1

1

)(XF

),1( 0 ,...

max, )(),...,(1

11

MXXXX

XuXuWM

MM

)())(()(),())(()(11

udWuqduuqqdquWdqquMM

55

Нарушение условий интегрируемости и социальная структура общества

________________________________________________________

M

1 1

u (q)dq W (u(q))dV (q),

1

V (q)u (q) W (u(q))

q

1

W (u(q))q (u) V (q)

u

M

1 1

q (u)du V (q(u))dW (u)

56

Литература ___________________________________________________________

1. Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data // International economic review, 1967, № 7, p. 67-77.

2. Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior // The review of economic studies, 1983, v.L(1), № 160 (1), p.99-100.

3. Шананин А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса. // Мат. моделирование, № 9, 1993, с.3-16.

4. Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis // Dissertation № 95-32, 1995, University of Limburg, Maastricht, the Netherlands.

5. Levin V.L. Reduced cost function and their applications // J. of Math. Econ., 1997, v.28.

6. Петров А.А., Шананин А.А. Об условиях существования агрегированных функций спроса. М.:Докл. АН, 1997, Т. 356, \No2, с.170-172

7. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод // Мат. моделирование, № 4, 1998, с.105-116.

57

Литература8. Шананин А.А. Агрегирование конечных продуктов и проблема

интегрируемости функций спроса.// М.: ВЦ АН СССР, 1986, 66 с.9. Петров А.А., Шананин А.А. Условия интегрируемости,

распределение доходов и социальная структура общества. // Математическое моделирование, 1994, т.6, №8, с. 105-125.

10. Шананин А.А. Об агрегации функций спроса. // Экономика и математические методы, 1986, т. 25, №6, с.1095-1105.

11. Тарасов С.П., Шананин А.А. О гладкости функции полезности в теореме Африата - Вериана. // Докл. АН, 2003, т. 388, №1, с.19-22.

12. Вратенков С.Д., Шананин А.А. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов. // М.: ВЦ АН СССР, 1991, 62 с.

13. Шананин А.А. Проблема интегрируемости и обобщенный непараметрический метод анализа потребительского спроса. // Труды МФТИ, 2009, т.1, №4, с.84-98.

58

Литература14. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Усанов Д.А., Шананин А.А.

Технологии анализа рынков на основе обобщенного непараметрического метода. // М.: ВЦ РАН, 2010, 67 с.

15. Кондраков И.А. Шананин А.А. Идемпотентные аналоги теорем о неотрицательных матрицах и их приложения к анализу экономической информации // Журнал вычислительной математики и математической физики 2011, том 51, № 2, с. 188–205.

16. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Обобщенный непараметрический метод. Применение к анализу товарных рынков. // Труды МФТИ, 2010, т.2, №3, c.32-45.

17. Кондраков И.А. Программный комплекс анализа торговой статистики на основе обобщенного непараметрического метода "Индекс" // Системы управления и информационные технологии, 1.1(43), 2011, с. 198-203.

18. Кондраков И.А. Поспелова Л.Я. Шананин А.А. Программа исследования и сегментации потребительских рынков. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008615547. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19 ноября 2008 г. Москва, реестр программ для ЭВМ, 2008, 50 с.

59

Спасибо за внимание!