Моделирование одномерных временных рядов

Опр. Временной (динамический) ряд – совокупность значений какого-либо показателя за несколько

последовательных моментов или периодов времени. • Пространственные модели – модели,

построенные по данным, характеризующим совокупность различных объектов в определенный момент времени;

• Модели временных рядов – модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов времени.

• Классификация факторов, под влиянием которых формируются значения временного ряда:– факторы, формирующие тенденцию ряда;– факторы, формирующие циклические колебания ряда;– случайные факторы.

• Аддитивная модель временного ряда – модель, в которой ряд представлен как сумма тенденции, циклической и случайной компонент.

• Мультипликативная модель временного ряда – модель, в которой ряд представлен как произведение тенденции, циклической и случайной компонент.

• Задачи эконометрического исследования временных рядов: – выявление и количественное описание каждой

компоненты;– прогнозирование будущих значений ряда;– построение моделей взаимосвязи двух или более

временных рядов.

Автокорреляция элементов временного ряда

• Опр. Автокорреляция элементов временного ряда – корреляционная зависимость между последовательными элементами временного ряда.

• Опр. Лаг – число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции между парами элементов ряда.

• Опр. Автокорреляционная функция временного ряда – последовательность коэффициентов автокорреляции с лагами, равными 1, 2, 3 ….

• Замечание. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается. Для статистической достоверности используется правило: максимальный лаг не больше n/4.

Пример 1 Потребление электроэнергии жителями региона за 16 кварталов

• Вывод:– имеются сезонные колебания периодичностью в

четыре квартала.

Моделирование тенденции временного ряда

• Аналитическое выравнивание временного ряда – построение аналитической функции, характеризующей зависимость элементов ряда от времени, или тренда.

• Для построения тренда используются функции:

– линейная:

– гиперболическая:

– экспоненциальная:

– степенная:

– полиномиальная:

tyt ˆ

tyt /ˆ tbta

t ey ˆtyt ˆ

kkt ttty ...ˆ 2

21

Способы определения типа тенденции:• качественный анализ изучаемого процесса путем построения

графика зависимости членов ряда от времени;• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка;• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка для

исходного и преобразованного ряда и их сравнение– если имеется большое различие, то это говорит о наличии

нелинейной тенденции ;• перебор основных форм тренда и выбор уравнения тренда по

максимальному значению коэффициента детерминации.• Пример 2 Имеются помесячные данные о темпах роста

номинальной заработной платы за 10 месяцев в процентах к уровню декабря предыдущего года.

• Выводы:– по графику видно наличие возрастающей тенденции;– коэффициенты автокорреляции показывают наличие тенденции;– небольшое различие коэффициентов по членам ряда и их логарифмам

говорит о возможности нелинейной тенденции;– по коэффициенту детерминации наилучшим является степенной тренд:

193,032,80ˆ tyt

Уравнения трендов

Тип тренда Уравнение R2

Линейный 0,887 0,873

Полиномиальный 0,937 0,920

Степенной 0,939 0,931

Экспоненциальный 0,872 0,856

Гиперболический 0,758 0,728

2R

tyt 72,466,82ˆ

2444,0599,99,72ˆ ttyt

tyt ln19,039,4ˆln

tyt /63,4757,122ˆ

tyt 045,043,4ˆln

Моделирование сезонных и циклических колебаний

• Два подхода– Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней и

построение аддитивной или мультипликативной модели;

– применение фиктивных переменных.

• Аддитивная модель Y=T+S+E

• Мультипликативная модель Y=TSE

• T - трендовая составляющая,• S – циклическая (сезонная) составляющая, • E – случайная составляющая.

Алгоритм построения модели• 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей

средней.• 2. Расчет сезонной компоненты S.• 3. Устранение сезонной компоненты из исходных

членов ряда и получение выравненных данных (T+E) в аддитивной модели или (TE) в мультипликативной модели.

• 4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (TE) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

• 5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (TS).

• 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.