設計橋樑 /結構與強度• http://bridgecontest.usma.edu/download.htm • 材料 : 20 根吸管， 1m 膠帶• 橋長 : 25cm• 除兩端之外不能用橋墩

3 振盪

尼米茲公路上的悲劇

3.1 簡協運動Simple Harmonic Motion (SHM)

Frequency ( 頻率 ) [hertz(Hz)] - f

Period ( 週期 ) - T

Periodic/harmonic motion

displacement )cos()( txtx m

振幅、週期、相位、角頻率

fT

T

tTt

Ttx

tx

m

m

22

=

2=

2)(

)](cos[

cos

角頻率

速度、加速度

(velocity) )sin(

)]cos([)(

)(

tx

txdt

d

dt

tdxtv

m

m

)(-

ion) (accelerat )cos(

)]sin([)(

)(

2

2

txa(t)=

tx

txdt

d

dt

tdvta

m

m

3.2 SHM 中的作用力

2

2

,

)(

k=mkxF

xmmaF

k

mT=

m

k 2

2 ,

例一 板子 + 二逆向轉軸

m

FFa

FfFf

maFF

mgFFF

BkAk

BkkBAkkA

BkAk

BAy

),(

0

力平衡方程式

14rad/s= , ,

2

)( ,

2

)(

0)0()0(+

)(2)0(

2

L

gx

L

ga

L

xLmgF

L

xLmgF

ff

xLmgLFF

kk

AB

kBkA

BA

力矩平衡方程式k = 0.40 L = 2.0cm

2

22

2222

222

2

1

)(sin2

1

)(sin2

1

2

1

)(cos2

1

2

1

m

m

m

m

kxKUE

tkx

txmmvK

tkxkxU

3.3 SHM 中的能量

圖示

3.4 An Angular SHM

2=

IT

扭擺

k

mT=

kxF

2

2

2

2

, 2=

2= ,12

1

a

bab

bb

aaa

T

TII

IT

ITmLI

例二由扭擺求轉動慣量

baca

cac

cc

aa

IIII

ITT

IT

IT

,

2= , 2=

由扭擺求週期

3.5 Pendulum 單擺 The Simple Pendulum

sL

mg

L

smgmg

mgF

)(

sin

g

L

k

mT

L

mgk

22

物理擺

g

L

mgL

mL

mgh

IT

mgh

hmg

22

2

)sin(

2

單擺

2

22

2

3

8g ,

3

22

3

22

2

1,

3

1 ,2

T

L

g

L

mgL

mL T

L h=mLImgh

IT

測量 g 值

例三 圓盤物理擺求週期

2

2

2

222

2

6g ,

2

32

)2/1(

4/322

4

3)

2

1(

2

1

T

R

g

R

Rmg

mR

mgh

I T

mRRmmR

mhII cm

h = R/2

例四 企鵝跳水

sk

mT

m

k

m

kmLLLk

Lx s=r

mLLkx

ILF

35.03

2 ,3

3 ,

3

3

2

2

2

m = 12kg

k = 1300N/m

3.6 SHM 和等速率圓周運動

SHM 是等速率圓周運動在其圓周直徑之投影

阻滯力 bvFd

0

2

2

kxdt

dxb

dt

xdm

dt

dxbkxma

bvkxF

Damped ( 阻尼 )有阻滯 S H M

微分方程式

)2

1 ( ,

2

1)(

) ( ,4

)cos()(

2/2

2

2

2/

mmbt

m

mbtm

kxE=ekxtE

m

k=

m

b

m

k

textx

指數衰減

3.7 強迫振盪與共振

d d自然頻率與外來驅動頻率

共振條件共振例

Radio and TV tuning The collapse of the Nimitz freeway The Tacoma narrow bridge The bay of Fundy

共振圖示

共振圖示

tDdt

dxx

dt

xd

tAkxdt

dxb

dt

xdm

tAdt

dxbkx

bvkxF

d

cos

cos

cos

22

2

2

2

例五 盪秋千

例六 The Tacoma narrow bridge

例七 The collapse of the Nimitz freeway

例八 全球最大的潮差

Bay of Fundy

物理 V– 波動

敬請期待

簡協運動的動畫

Simple Harmonic Motion

Harmonic Motion