第四章 理性期望效用理论

课程负责人：张所地 博士 教授

§4 理性期望效用理论教学目的

通过本章内容的学习，使学生了解事态体的基本概念及其性质；理解并掌握效用的概念和测定；了解效用函数的定义及构成；理解冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型；培养学生在实际中灵活应用理性期望效用理论的能力。

教学重点效用的概念及其测定、冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型、理性期望效用理论的不足之处。

教学难点理性期望效用理论在描述模型和规范模型中的应用。

课堂导入期望效用值理论以规范模型（ prescriptive or norma

tive model ）的形式应用于管理科学特别是管理决策分析中；以预测模型（ Predictive or Positivistic

Model ）的形式应用于金融和经济领域中，以描述性模型（ descriptive model ）的形式应用于心理学中。由于期望效用值理论的发展，决策（特别是理性决策）理论才得以形成一门独立的学科，综合运用概率论、心理学、思维科学、经济学等跨学科的理论来研究决策和判断问题。

§4.1 事态体及其关系 事态体的概念

具有两种或两种以上有限个可能结果的方案，称为

事态体 L ，事态体中各可能出现的概率是已知的，

设事态体的 n 个可能结果值为 c1,c2 ,…, cn ，相应出现

的概率值为 p1,p2 ,…, pn ，并且 ，则事态体记作

。

n

jjp

1

1

],;;,;,[ 2211 nn pcpcpcL

事态体的比较设 c1 ， c2 是事态体 L 的任意两个结果值， c1 和 c2 有如

下的关系：

若偏好结果值 c1 ，则称 c1 优于 c2 ，记作 。

若结果值无所偏好，则称 c1 无差异于 c2 ，记作 。

若不偏好结果值 c1 ，则称 c1 不优于 c2 ，记作 。

设两个简单事态体 L1 ， L2 具有相同的结果值 c1 ， c2 ，

即： ， ，假设 c1> c2 ，若 p1= p2 ，则 ； p1 > p2 ，则 ； p1 < p2 ，

则 。

)]1(,;,[ 12111 -pcpcL )]1(,;,[ 22212 -pcpcL

21 ~ LL 21 LL

21 LL

事态体的基本性质可调概率：

设事态体 ， ，且 ，若 ，则存在 x=p′<p ，使得 ，其中 x 称为可调概率值。

等价确定值和无差异概率设事态体 ， 0<x<1 ，且 ，若对于满足优劣关系 的任意结果值 ，

必存在 x=p(0<p<1) ，使得 , 其中结果值 称为事态体 L 的确定当量，或称为

等价确定值， p 称为 关于 与 的无差异概率。

p,c,pcL 1; 011 x,,x;ccL 1022

01 cc 12 cc

21 ~ LL

x,c,xcL 1; 21 21 cc

21 ccc c'

cp,c,pcL ~1; 21

c'

1c 2cc'

事态体的基本性质简化性

任一事态体无差异于一个简单事态体，设事态体 ，则必存在一个简单事态体 ，使

得 ，其中： ，

任一复合事态体无差异于一个简单事态体，从而也可无差异于一个最简事态体，所以，任一事态体均无差异于某一简单事态体，因此，在决策分析中，比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论的事态体的排序。

],;;;[ 2211 nn pc,pc,pcL

)]1([ '0'*' pcpcL ，；， LL' ~

n,c,,ccc 21* max n,c,,ccc 21

0 min

§4.2 效用函数的定义和构成 效用的概念和测定

设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值 c ，依据决策者的主观愿望和价值取向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用，反映结果值对决策者价值和作用大小的量值称为效用。效用的测定——辨优

效用函数的概念设决策问题的结果值集合 ，且

， ，定义在c 上的实值函数 满足条件：

， ，存在 ，使 满足无差异关系 。

存在 ，如果 ，当且仅当 。 存在 ，且 ，则：

称 为结果值集合上的效用函数，并记为 。

n,c,,ccV 21 n,c,,ccc 21

* max n,c,,ccc 210 min

)(cu

0)( 0 cu 1)( * cu Vc )(cu

)),(1;),((~ 0* ccuccuc

21 ,cc 21 cc )()( 21 cucu

21 ,cc 10 )λ)u(c()λu(cλ)c(λcu 2121 11

)(cu )(cuu

§4.3 冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型

公理 1 （可比性）设 R 为事态体 L 的集合，对于任意的 ，则： 或 或 。

公理 2 （传递性）

对于任意的 ，若 ， ，则：

21 LL 21 LL 21 ~ LL

RLLL 321 ,, 21 LL 32 LL

31 LL

RLL 21,

公理 3 （替代性）对于任意的 及任意的 ，如 ，意味着

公理 4 （连续性）对于所有 ，如有 ，则存在 ，使得 。即：存在

， ，使得 ，

RLLL 321 ,, ]1,0[p21 LL

331 )1()1( LppLLppL 2

p

p12L

3L

p

p11L

3L

1L 2L

p

p11L

2L

q

q12L

1L

qp

RLLL 321 ,, 321 LLL ]1,0[p 231 ~1 Lp)L(pL

]1,0[p ]1,0[q 231 )1( LLppL

231 )1( LLqqL

基本定理决策者对于事态体集合中的事态体 L 优先排

序，如果满足上述公理 1 ～ 4 ，则一定存在

这样一个函数 u(x) ，有且只有

的条件下： ， u(x) 称为效用函数。同时，

在 u(x) 正线性变换的条件下保证决策者的优

先顺序不变。

x

Lx

L xpxuLUxpxuLU21

)()( 21

21 LL

可见，事态体的优先顺序可在给定函数的条件下，计算期望效用值得出，即为效用函数。基本定理所表达的事态体辨优规则叫期望效用值规则。需要指出，期望效用值并不意味着寻求期望效用值的最大值，只是说，决策者如遵循公理 1 ～ 4就能选择各替代方案中期望效用值最大的方案，并可符合理性的一致性。

§4.4 效用和风险的关系 中立型效用函数

设有效用函数 u=u(x) ，若结果值 x1< x2 ，有

，此效用函数称为中立型效用函

数。该效用函数表明效用与结果值呈线性关系，说明决策主体对风险持中立态度，或是认为该决策的后果对大局没有重大影响，或是认为该决策可以重复进行从而获得平均意义上的成果，因此，不必对决策的某项不利后果特别关注。

222121 xx

u)u(x)u(x

保守型效用函数设有效用函数 u=u （ x ），若结果值 x1< x2 ，有

，此效用函数称为保守型效用

函数。

该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，

但递增速度随着结果值的增加而下降，说明决策

主体对亏损十分敏感，大额收益对其吸引力不大，

即宁可不赚大钱，也不愿意承担大风险。

22

)()( 2121 xxu

xuxu

冒险型效用函数

设有效用函数 u=u （ x ），若结果值 x1< x2 ，有

，此效用函数称为冒险型效用函数。

该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，

但递增速度随着结果值的增加越来越大，说明决策

主体对收益十分关注，而不太顾及风险，敢冒风险，

为追求高收益而“孤注一掷”。

22

)()( 2121 xxu

xuxu

应用期望值算子表达有如下关系：

（凹，保守型）

（线性，中立型）

（凸，冒险型）

这意味着一个具有凹效用函数特性的决策主体

愿用分布效用值去交换一个非随机性的分布后

果的效用值。

xEuxuE

xEuxuE

xEuxuE

由上面内容可推出，决策主体总能找到一个后果值，其效用值和分布效用值相等，该后果值即等价确定值 CE 为： 。则后果期望值和等价确定值之差即为风险的主观价值 。

（凹，保守型）

（线性，中立型）

（凸，冒险型）

xuExCEu

)(x

0)( x

0)( x

0)( x

§4.5 在描述模型中的应用期望效用值理论应用于描述性模型，以描述和解释事物的机理。现以个人或企业的财产、火灾保险为例。设某企业欲将价值为 A 的厂房设备申报火灾保险。如保险，显然明年要付保险金 i元，明年内如果发生火灾，所有损失将全部得到赔偿；如不保险，一旦发生火灾则损失 B元，当然 B<A 。

企业管理者面临两种事态体，即保险情况下的 ，需做出选择。 )1(;)(1 ff pA,,pBAL

在判断何种事态体为优的过程中，火灾发生的概率 是个关键因素。假定，按期望收益值的准则进行判断，这时投保的判断式为：

即 。也即，只要火灾出现的概率大于保险金和火灾损失额之比时，以参加保险为优。然而，实际考察人们的行为并非如此。即使概率小于此数还是愿意保险。其原因可以这样来解释，这是一次性的损失，面临长期辛苦积累的财富可能毁于一旦，人们总力求万无一失，而愿意付出比期望收益值准则算出的保险金要高得多的费用。

fp

ApBApiApiAp ffff 11

Bip f /

用效用值函数来描述上述情况可得到明确的解释，按期望效用值准则有判断式：

在效用曲线属于稳重型效用曲线的情况下，如下图中曲线所示，其几何形式的表达式为：

如按前述期望收益值准则，其效用值函数相当于下图中

的直线 ，则判断式为：

)()()1()1()( BAupAuppiAupiAu ffff

BAuAuiAuAup f

LG

INID

MF

ND

CF

CDp f

1

B

i

LG

ID

LG

HE

CG

CEp f

比较以上两式，显然 。这个结果可以解释保险公司的运行机理。

1ff pp

U(x)

xO A－B A－i A

L

M

H

G

FE

DI

CN

投保效用曲线

§4.6 在规范模型中的应用 1. 确定决策模型

2. 评定后果 3. 评定不确定因素

4. 评价方案

5. 灵敏度分析 6. 收集信息

7. 选择方案

决策分析框架

决策分析是规范性技术，这就是说，如果你同意它的各种假设、推理程序，那就应接受按决策分析选择出的最优方案。但实际上决策者并不一定接受决策分析的结论。决策分析技术所起的作用犹如决策者的思维“拐杖”，使得决策过程得到数据和定量分析的支持，直感判断容易遗漏的信息有可能系统而清晰地显示在决策者面前。此外，决策树提供了一种“语言”，便于决策者和咨询人员相互沟通意见，进行集体讨论，也便于利用计算机进行人机对话，改善决策。如果决策者掌握了这种技术，即使自己无暇去系统地应用它，也有助于改善他的直感判断质量。