理论物理 ( 二 )

电 动 力 学

主讲：沈静琴 博士、副教授

第三章

§3.1 矢势及其微分方程

静电场是有源无旋场⇒ 引入标势 φ ( 由于其无旋性 )

静电场静电场 0E

稳恒电流磁场稳恒电流磁场 H J

B A

0B

A

静磁场是有旋无源场⇒ 引入矢势 A ( 由于其无源性 )

一、矢量势函数

JH

B

0

场方程

1 、矢势 的引入A

0 B

令 AB

0)( AB 满足场方程

矢势 在经典电动力学中与 φ 一样是辅助量。A

2 、 的环量的物理意义A

SSL

sdBsdAldA

)(

数学中斯托克斯公式

矢势 沿任意闭合回路的环量A

以 L 为界的任一曲面的磁通量

B

LL

1Sd

2Sd

B

LL

1Sd

2Sd

磁通量只与曲面 L 的边界有关，与曲面的具体形状无关

所以， SL

sdBldA

物理意义： 矢势沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一曲面的磁通量，而每点 无直接物理意义。)(xA

21 SSsdBsdBSdSdSd

12

021

SSsdB

02 21 1 SS

sdBsdB

0 B

3. 矢势 的自由变换A

已知 φ ，求E

E

已知 ，求 φE

0

0 PldE

φ 不是唯一的，可以相差一个积分常数

已知 ，求 ？A

B

AB

已知 ，求 ？A

B

可以相差一个标量函数的梯度！A

也不是唯一的！

AAA

'

对矢势 作变换：A

ψ是任意的标量函数

)()('' AAAB

BA

0

规范变换：对场的辅助量作变换，但场保持不变。

例：均匀磁场 ，求矢势 。kBB

00 A

AB

0

y

A

x

ABz

x

A

z

Ay

z

A

y

Ax

xy

zx

yz

0:

0:

0:

可以相差一个标量函数的梯度！A

不是唯一的！0' 00 jxBiyBAA

解

0

00

z

y

x

A

A

yBA

0

0

0

z

y

x

A

xBA

A

0

2 0

0

z

y

x

A

xBA

yBA

A A’ A’’ ……

xyB0 )(' 0xyBAA

A

不是唯一的！

为什么可作规范变换？

静磁场通常取 0 A

库仑条件（规范条件）

规范变换：对场的辅助量作变换，但场保持不变。

AAA

'

如果不等于 0 呢？ AAA

' 通过变换条件使之为 0 。

仅定义了 ，BA

? A

A

唯一确定一个矢量场，得同时给出旋度方程和散度方程。

所以 可以作变换。

JH

JA

)(库仑条件0 A

JAA

2)(

JABBBB

)(1111

均匀介质HB

0

JA

2

矢势的微分方程！

（ 1 ）稳恒电流磁场矢势满足 ( 矢量 ) 泊松方程

（ 2 ）与静电场中 形式相同 2

（ 3 ）矢势为无源有旋场

讨论：

二、矢势的微分方程二、矢势的微分方程

JA

2

直角系中

zz

yy

xx

JA

JA

JA

2

2

2

特解

z

y

V

xx

A

Ar

dVxJA

'

')'(

4

矢势的微分方程 的特解为：JA

2

'

')'(

4 V r

dVxJA

V r

Vdx )(

4

1

也是第一章中由毕奥－萨伐尔定律推出来的解。

1. 形式解 )3,2,1(2 iJA ii

2. 边值关系 *

0)( 12 BBn

fHHn

)(ˆ12 代入A

21

012 )(

AA

n

A

n

Am

磁场旋度和散度公式的证明磁场旋度和散度公式的证明

dVr

rxJxB

L

3

0 )'(

4)(

'1

)',','(4 1

0 dVr

zyxJV

'))',','(

(4 1

0 dVr

zyxJV

A

dVr

zyxJV

')',','(

4 1

0

3

1

r

r

r

ggg

)(

r

xJ

xJr

xJr

xJr

rxJ

)'(

)'(1

))'(1

(

)'(1

1)'(

')',','(

4 1

0 dVr

zyxJA

V

矢势矢势矢势的方向为电流方向矢势的方向为电流方向

三、静磁场的能量三、静磁场的能量

静磁场的总能量

dVHBW

2

1 dVJAW

2

1

HAHB

)( )()( HAHA

JAHA

)(

)()()( gfgfgf

dVHBW

2

1 dVJAdVHA

2

1)(

2

1 dVJA

2

10 0)()( S

SdHAdVHA

② ② 不是能量密度。不是能量密度。 JA

2

1①① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。

讨论：讨论：

线性介质中电磁场能量密度 HBDEw

2

1

2

1

静电场的能量密度静电场的能量密度 静磁场的能量密度静磁场的能量密度

用矢势和电流表示

2.   电流分布在外磁场中的相互作用能

可以证明：可以证明： dVJA e )(

dVJAe )(

设 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势； 为处于外磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为 。总能量：

J

AeJ

eA

eB

相互作用能相互作用能

dVJJAAW ee )()(2

1

dVJA )(2

1 dVJA ee )(

2

1 dVJAJA ee )(

2

1

dVAJW ei

电流 在外场 中的相互作用能为：J

eA

静磁场的基本原理

引入矢势 描述

JH

B

0

0)(

0)(

12

12

HHn

BBn

A

JA

AB

2

)(012

21

mfn

A

n

A

AA

0 A

库仑条件

小 结小 结

为什么可作规范变换？

仅定义了 ，未定义BA

? A

A

什么是规范变换？ 对场的辅助量作变换，但场保持不变。

唯一确定一个矢量场，得同时给出旋度方程和散度方程。所以 可以作变换。

AAA

'矢势 的自由变换：A

')'(

4 1

0 dVr

xJA

V

静磁场的能量

磁场的总能量 dVHBW

2

1

dVJAW

2

1

相互作用能 dVAJW ei

泊松方程的特解： JA

2

能量密度： BH

2

1

例：无穷长直导线载电流 I ，求磁场的矢势和磁感应强度。

oz

dz

R P

↑I[ 分析 ] ：取导线沿 z 轴，设 p 点到导线的垂直距离为 R ，电流元 Idz 到 p 点距离为22 zR

)ln(44

22

22Rzz

I

zR

IdzAz

''

'

4

')'(

4 VV r

lId

r

dVxJA

[ 解 ] ：利用矢势公式：

积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值可以免除发散，若取 R0 点的矢势值为零，则

22

220

220

22

20

2

22

0

11

11

11

11ln

4lim

ln4

lim)()(

MR

MR

MR

MRI

Rzz

RzzIpApA

M

M

M

Mzz

每项相乘后，再二次项展开得

0

02

20

2

2202

2

2202

0

ln2

ln2

ln4

4141

ln4

lim

R

RI

R

RI

R

RI

MRR

R

MRR

RIM

zeR

RIpApA

00 ln

2)()(

zeR

RIpA

0

ln2

)(

0

取 的旋度，得到A

2

1

2

)ln(ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

0

0

00

0

RzzR

z

z

zz

z

eeR

Iee

R

I

eRRI

eR

RI

eR

RIe

R

RI

eR

RIAB

0

2 e

R

I

结果与电磁学求解一致。