ولتص�حيح ه�ذا المس�ار ال�ذى ي�ؤدى إلى ت�دهور التعليم وإه�دار للطاق�ات والجه�د والم�ال ال ب�د للنظم التربوي�ة القائم�ة أن تعي�د النظ�ر فى تنظيم مناهجه�ا بحيث تحق�ق البني�ة المنظومي�ة ال�تى ي�راعى فيه�ا الم�دى والتت�ابع والتكام�ل والتن�اغم كم���ا ي���راعى فيه���ا التراب��������ط بي���������ن المعرف��������ة والمه���������ارة

والوج���������دان.

وألن الم�دخل المنظ�ومى ه�و م�دخل إلص�الح منظوم�ة التعليم بكاف�ة مكوناته�ا من منهج وط�الب ومعلم وس�ياق للتعلم ل�ذا ف�إن البنائي�ة المنظومي�ة ال ب�د أن ت�دخل مص�احبة ومعض�دة للم�دخل المنظ�ومى ف��������ى إص�����������الح ه������ذه

المك�������ون������ات.

وممكن تحقي�ق ذل�ك باس�تخدام الم�دخل المنظ�ومى ال������ذى يحق�ق ت�راكم وتراب�ط المعرف�ة داخ�ل البني�ة المعرفي�ة للمتعلم. مم�ا ي�ؤدى إلى بني�ة معرفي�ة س�ليمة مهي�اءة ألى تعلم الح�ق، ومن هن�ا تتحق�ق مواص�فات الج�ودة الش�املة

للتعليم التى تن�����ادى به������ا دول الع����������ال�����م.

و البنائي�ة ال�تى ننش�دها بنائي�ة منظومي�ة تكتم�ل فيه�ا منظوم�ة ج�وانب التعلم ال��تى تس��اعد المتعلم على ت��رتيب المعلوم��ات بص��ورة ش��بكية فى بنيت��ه

المعرفية.

وإذا نظرن�ا لت�دريس وتعلم الحس�اب نج�ده يتعام�ل م�ع إع�داد مج�ردة فى عملي�ات مم�ا يص�عب )جم�ع - ط�رح - ض�رب - قس�مة(خطي�ة منفص�لة عن بعض�ها البعض

على التلمي���ذ فى س���ن مبك���رة أن يوج���د عالق���ات منظومي���ة بين األع���داد والعملي��ات وال��تى تعت��بر من أهم وظ��ائف الحس��اب فى المع��امالت اليومي��ة

للبشر.

)جم�ع – وط�رح –فإذا نظرن�ا كي�ف يج�رى ت�دريس عملي�ات الحس�اب حالي�ا̀ من تج��دها ت��درس بص��ورة منفص��لة عن بعض��ها البعض كم��ا وض��رب – وقس��مة(

يتض������ح من الم�������������ثال ال��������تال�������������������ى:تك�ون بس�يطة أو معق�دة حس�ب مه�ام ه�ذا

النشاط. جم���ع8 = 4 + 4

ط���رح4 = 4 – 8

ض��رب8 = 2 × 4

قسم���ة4 = 2 ÷ 8

ويتض�ح من جمي�ع العملي�ات الس�ابقة أن�ه ال توج�د عالق�ات متبادل�ة بينه�ا كم�ا ال ويطل�ق عليه�ا (، 8، 2،4 )توج�د عالق�ات متبادل�ة بين األع�داد المكون�ة له�ا وهى

اس���م عالق���ات خطي���ة ألنه���ا تس���ير فى خط���وط منفص���لة مس���تقلة عن بعض�������������ها البعض.

لذا ف��إن إيج��اد عالق��ات منظومي��ة بين العملي��ات الحس��ابية س��وف يتبع��ه إيج��اد عالق�ات بين األع�داد المكون�ة له�ا وهن�ا تنتظم األع�داد والعملي�ات مع�ا̀ فى عالق�ات أق�رب إلى الش�بكية منه�ا للخطي�ة مم�ا يس�هل دخوله�ا للبني�ة المعرفي�ة للتلمي�ذ

وب�ذلك يح�دث النم�و المع�رفى المطل�وب ويص�بح تعلم الحس�اب ذى مع�نى خصوص�ا̀ أن�ه لغ�ة المع�امالت اليومي�ة بين البش�ر فال يمكن ممارس�ة أى نش�اط دون إج�راء

عمليات حسابية قد تكون بسيطة أو معقدة حسب مهام هذا النش����������اط.

وب�ذلك يج�د التلمي�ذ نفس�ه مض�طرا̀ للتعام�ل م�ع ه�ذه العملي�ات المج�ردة بص�ورة آلي�ة بعي�دة عن حيات�ه اليومي�ة مم�ا يفق�ده فى الغ�الب األعم القابلي�ة للتعلم، ويج�د المعلم نفس�ه فى موق�ف الملقن له�ذه العملي�ات بص�ورة آلي�ة أيض�ا̀ يعطى خالله�ا عش�رات من المس�ائل للتلمي�ذ دون أن يك�ون له�ا ه�دف مم�ا

يقلل من دافعية التعلم لدى الت�������المي�������ذ.

ويقوم التلميذ بالتعامل مع األعداد بصورة مجردة فى العمليات الحسابية وبصورة منفصلة ألنه غير قادر على قسمة( – ضرب – طرح – )جمعالسابقة

إيجاد عالقات متبادلة بين هذه العمليات أو بين األعداد الم��كونة لها.

وبذلك نجد أنفسنا أم������ام موقف تعليمى أقرب إل�����ى اآلل����ية فى التع�����لم يح�����ل الت������الميذ من خ�الل��ه عشرات من المسائ���ل ح���ول ف���كرة واحدة أو نوع���������ة واحدة من العملي�����ات الحسابية مما يكس�ب

التالميذ نمطي������ة التفك���ير وخطيته فضال̀ عن أنه يجعل التعلم غير ذى معنى ودون أه����������داف وظي������في���ة مح���������������ددة

ولكى يك�ون التعلم ذىمع�نى يجب أن نعطى ه�ذه األع������داد والعملي�ات بص�ورة مترابط�ة بحيث يس�هل على التلمي�ذ فهم ه�ذه العملي�ات وب�ذلك ت�دخل فى بنائ�ه الم���������عرفى بص���������ورة م��������ترابطة تتض�ح منه�ا كاف�ة الع��������القات

المم���������كنة.

وب�ذلك يص�بح اله�دف من ت�دريس العملي�ات الحس�ابية: ليس فق�ط إكس�اب التالمي�ذ مه�ارات عقلي�ة بح�ل ه�ذه العملي�ات ب�ل يمت�د إلى مه�ارات أوس�ع تتمث��ل فى إيج��اد العالق��ات المتبادل��ة بين ه��ذه العملي��ات وبين األع��داد المكون�ة له�ا وإيج�اد عالق�ات بين أى عملي�ات حس�ابية ض�رورية فى حي�اتهم

اليومية الختيار األفض�������ل منها.

ويمكن تمثيل ذلك من خالل الشكل المنظومى اآلتى:

إيجاد عالقات بين األعداد المكونة لهذه العمليات

إيجاد عالق���ات بين العمليات

الهدف من تدريس العمليات الحسابية هو إكساب التالميذ

عقلية عند حل هذه العمليات

مهارات

مهاراتمهارات

(1شكل )

وهذا يمكن تحقيقه إذا أخذنا بالمدخل المنظومى فى التدريس والتعلم.

نعنى بالمدخل المنظومى أنه عند تدريس أى مفهوم أو موضوع فيجب تدريسه من خالل كافة العالقات التى تربطه بالمفاهيم أو الموضوعات

األخرى.

يوضح المدخل الخطى فى التدريس والتعلم والذى يوضح (:2والشكل )العالقة بين كل مفهوم والمفهوم الذى يليه أو يسبقه.

2مفهوم)(1مفهوم))

3مفهوم))

4مفهوم))

ماذا نعنى بالمدخل    ؟    المنظومى

(2شكل )

فيوض��ح الم��دخل المنظ��ومى فى الت��دريس (:3أم��ا ش��كل )والتعلم وال�ذى يوج�د العالق�ة بين ك�ل مفه�وم والمف�اهيم األخ�رى

المتعلقة به.

(1مفهوم )

(4مفهوم )(2مفهوم )

(3مفهوم )

(3شكل )

وبتط�بيق الم�دخل المنظ�ومى فى الت�دريس والتعلم على علم الحس�اب نج�د أن العالق�ة بين عملي�ات الجم�ع والط�رح والض�رب والقس�مة يمكن

تمثيلها منظوميا̀ على النحو التالى:

(: يوضح منظومة 4شكل )العمليات الحسابية

طرح

جمع

قسمة

ضرب(4)

(5)

(2)

(1)

؟

؟

؟

؟(3)

(6)

؟

؟

والع��الق����ة بي���ن عمل����يات الج�����مع والض�����رب (2)

أى أنه عند تدريس أى عملية حسابية يجب تدريسها من خالل عالقاتها المت���������بادلة م������ع العملي������ات الحس�������ابي����������ة

األخ���������رى.وهذا يصعب فى البداية ولكن يجب أن يكون اإلطار المنظومى

الس��ابق واضحا̀ فى ذهن المعلم والتلميذ عند بداية تعليم وتعلم الحساب. فعادة ما نبدأ بتدري����س عمليات الجمع ثم ننت����قل

لتدريس عملي��تتات الطرح.وهنا يج�������ب أن نوض����ح العالق����ة

االنتقال لعمليات وعند القسمة يجب أن نوض��ح العالقات بين عمليات ( 3)القسمة والضرب

( والقسمة والجمع4)

بين عمل����يات الجمع والط���رح.1(

عند االنتقال لعمليات الضرب يجب أن نوضح العالقة بين و عمليات الطرح والضرب

( والقسمة والطرح5)

وبذلك يكتمل اإلطار المنظومى لتدريس العمليات الحسابية المختلفة الذىتتضح منه العالقات المتبادلة بين كل عملية والعمليات األخرى

جمع

قسمةطرح

ضرب

)1(

)2()4(

)5(

)6(

)3(

؟

؟؟

؟

؟؟

جمع

قسمةطرح

ضرب

)1(

)2()4(

)5(

)6(

)3(

؟

؟

؟

؟؟

جمع

قسمةطرح

ضرب

)1(

)2()4(

)5(

)6(

)3(

؟

؟

؟

جمع

قسمةطرح

ضرب

)1(

)2()4(

)5(

)6(

)3(

جميع العالقات معلومة

اكتمال(

)المنظومة

المقرر نهاية(

)الدراسى

ثالث عالقات ()مجهولة

المرحلة

األولى تدريس(

الجمع

)والطرح

عالقات ست(

)مجهولة

المقرر بداية

الدراسى

عالقات خمس(

)مجهولة

المرحلة الثانية

تدريس) )الضرب

المرحلة الثالثة

)تدريس )القسمة

المتعل��م

(5شكل )

يوضح فكرة المدخل الم�����نظومى فى تدري�����س 5شكل وتعل�����م الحساب

، 8، 4، 2: أوج�د الع�����القات الممك������نة ب�����ين األع�����داد ).   مث�����ال16:)

       ¨يم����كن إيج��اده��ا خط���يا̀ كاآلت���ى:

كما أن العالقات المنظومية تمتد لتشمل العالقات بين األعداد المكونة للعمليات الحسابية وهنا يكون البع�����د األخر للمدخل

المنظومى فى تدري�����س وتع��������لم الح�������ساب

2481612

2 ×

8+

2 ÷

8-

2 ÷

2×

4

4-

مجموع العمليات

(6 ( شكل

2 ×

2 +

2-

2 ÷

24816

أى إننا تناولنا العالقات كاآلتى:

هن�ا تتض�ح خطي�ة العالق�ات بين األع�داد أى تك�ون بين الع�دد والع�دد ال�ذى يليه فقط وليس بين كل عدد واألعداد األخرى.

كذلك نج�د أن العملي�ات بين ك�ل ع�دد والع�دد ال�ذى يلي�ه فق�ط وليس بين كل عدد واألعداد األخرى.

عملية.12ويالحظ أن مجموع العمليات بين أربع أعداد هو

مجموع العمليات

جمعطرحضربقسمة

123333

    ويمكن إيج�اد العالق�ة المنظومي�ة بين األع�داد األربع�ة الس�ابقة على النحو التالى:

(7شكل )

216

48

2 + 2 ×2 ÷2-

2 ×

2 ÷

8 +

8-

8 ×8 ÷14 +14-

2×

2 ÷

4 +

-4

-6

6 +

4 ÷

4 ×

4 ×4

÷12+

- 12

تض�اعفت العملي�ات بين األرق�ام األربع�ة عن�د االنتق�ال من الم�دخل الخطى إلى أى:المدخل المنظومى.

يمكن تحليل المنظومة السابقة إلى عدد كبير من المنظومات البسيطة توجد -5لعالقة ابين األعداد وبعض العمليات.

ومن المنظومة السابقة يتضح اآلتى:

.هناك عالقة بين كل عدد وبقية األعداد المكونة للمنظومة- 1

زيادة العمليات حيث ظهرت عمليات جديدة كانت غير واضحة فى التناول - 2الخطى.

( عملية 24- مجموع العمليات الداخلة فى بناء المنظومية العددية السابقة )3حسابية.

عملية حسابية خطية بعد بنائها وهنا 24يمكن تحليل المنظومة السابقة إلى - 4 تتحقق القدرة على التركيب ثم القدرة على التحليل.

 

 

2 ×4 ÷

2 ×816

4

عملي�����ات جم������ع - 2وط�رح:

4 -

2 +6 -

4 + 48

2

2 -

-14

+4

-4

+8

2

+2

48

-2

16

-8

+14

     أمثل����ة: عمليات )قسمة وضرب(:•

4 ×

4 ÷

2 ×

416

28

2 ÷8 ÷

2 ÷

6 +

2 ÷

2 +4 ÷

4 + 48

2

2 ÷6 +

- عمليات جمع وقسمة:3

- عمليات طرح وقسمة:4

4 -

2 ÷4 ÷

2 ÷

2

2 -6 -

48

وهكذا يمكن أن تتعدد العمليات والعالقات بين أى مجموعة من األرقام

   ` الجمع والطرح:: أوالعمليات الجمع:    

عمليات الجمع هى عمليات حسابية بسيطة لجمع عددين لتعطى عدد ثالث هو مجموعهما ويمكن توضيحها باألمثلة اآلتية:

(:1مث����ال )          8 + 4 = 12

(:2مث����ال )          12 + 4 = 16

(:3مث����ال )          12+13 =25

وجمي�ع العملي�ات الس�ابقة خطي�ة تتك�ون من ثالث�ة أع�داد فى مس�ألة خطي�ة وال توجد عالقة فيما ما بين كل منها واآلخر.

أى وبصورة عامة فإن عمليات الجمع يمكن تمثيلها كاآلتى:      

العدد األول

العدد الثانى

مجموع العددين

= +

وهى عالقة توجد مجموع العددين. ولكن ال توجد عالقات بين كل من:

؟العدد األول ومجموع العددين

؟والعدد الثانى ومجموع العددين

؟والعدد األول والثانى

          كما يتضح من الشكل اآلتى

العدد األول

العدد الثانى

مجموع العددين

؟((

؟((

؟((

+=

(8شكل )

وب�ذلك يص�عب على التلمي�ذ تن�اول ه�ذه األع�داد المج�ردة ال�تى ال توجد فيما بينها عالقات تربطها.

ولكى نجع�ل التعلم ذا مع�نى ال ب�د من وض�ع عالق�ات ترب�ط بين ه�ذه األع�داد ح�تى يس�هل دخوله�ا مترابط�ة فى البني�ة المعرفي�ة للتلمي�ذ ليسهل عليه تناولها وفهمها وبذلك يحدث النمو المعرفى المنشود.

فى ه��ذا الم��دخل يتم إيج��اد العالق��ات الممكن��ة بين األع�داد ال�تى س��وف نتناولها فى عمليات الجمع على النحو المنظومى اآلتى:

العدد الثانىالعدد األول

مجموع العددين

؟()؟((

)؟(

(9)شكل

المدخل المنظومى فى تعلم الجمع:•

وبتط�بيق الم�دخل المنظ�ومى الس�ابق على عملي�ات الجم�ع ال�تى س�بق نحصل على اآلتى: (3-1)ذكرها فى األمثلة

الجمع بالمدخل المنظومى

الجمع بالمدخل الخطى

رقم

(:1مث��ال )12 = 4 + 8

(:2مث��ال )16 = 4 + 12

12 + 13 = 25

(:3مث��ال )

12

8 +

4 +

4 +

48

16

12 +

4 +8 + 412

25

13 +

12 + 1

+1213

ويالحظ من الشكل المنظومى أنه توجد عالقات متب��ادلة بين مجموع العددين وكل عدد منهما. كما أن ه��ناك عالقة بين العدد األول والثانى.

توج�د بينه�ا )الع�ددين ومجموعهم�ا(األع�داد المكون�ة لعملي�ة الجم�ع - 1عالقات متبادلة.

كما توجد عالقة بين العمليات واألعداد المكونة لها.

     يالحظ فى الجمع بالمدخل المنظومى أن:

عمليات الجمع البسيطة بالمدخل الخطى هى فى - 2الواقع ثالث عمليات فى المدخل المنظومى.

ثانيا̀: عمليات الطرح:  

عمليات الطرح هى عمليات حسابية بسيطة لطرح عددين   :ويمكن توضيحها باألمثلة اآلتية    لتعطى ناتج طرحهما.

5 = 3 –8(:1مث����ال )   

2 = 14 – 16   (:2مث����ال )    

12 = 13 – 25(:3مث����ال )     

السابقة هى عبارة عن عمليات خطية تتكون من ثالثة وجميع العمليات أعداد فىمسألة خطية وال توجد عالقة في�������ما بين كل ع���������دد منها

واألخ�ر.أى وبص��ورة عام��ة ف��إن عملي��ات الط��رح يمكن تمثيله��ا  

كاآلتى:

العدد األول ناتج طرح العددين)األكبر( العدد الثانى

)األصغر( -=

ويكون العدد األول هو األكبر والعدد الثانى هو األصغر.وهذه العالقة توجد ناتج طرح العددين ولكن ال توجد عالقات بين كل من:

العدد األول وناتج الطرح؟والعدد الثانى وناتج الطرح؟

والعدد األول والعدد الثانى؟

(10شكل )  

)؟(

)؟()؟(

العدد األول )األكبر(

ناتج طرح العددينالعدد الثانى

)األصغر(-=

كما يتضح من الشكل      •اآلتى:

وبذلك يصعب على التلميذ التعام�����ل مع هذه األعداد المجردة التى ال توجد فيما بينها عالقات تربطها..

:المدخل المنظومى فى الطرح:•

فى هذا المدخل يتم إيجاد العالقات الممكنة بين األعداد التى سوف نتناولها فى عمليات الطرح على النحو الموضح بالشكل المنظومى

التالى

العدد األول)األكبر(

العدد الثانى)األصغر(

ناتج الطرح

)؟()؟(

)؟(

(11شكل )

ويالحظ من الشكل المنظومى أنه توجد عالقات متبادلة بين العددين وكذلك  بين كل من العددين وناتج طرحهما وبتطبيق المدخل المنظومى السابق على

( نحصل على اآلتى:3-1من عمليات الطرح التى سبق ذكرها فى األمثلة )

الطرح بالمدخل المنظومى

الطرح بالمدخل الخطى

رقم

8 – 3 = 5 مث��ال

(1:)

16 – 14 = 2 مث��ال

(2:)

25 – 13 = 12 مث��ال

(3:)

5

3 -2 -

5 - 83

2

14 -12 -

2 - 1614

12

13 -1 -

12 - 2513

العالقة بين الجمع والطرح:   

3 -

3 +6 -

3 + 69

3

3 -6 +

( هى عالقة بين عمليات جمع وطرح 9، 6، 3: العالقة المنظومية بين األعداد )أى أنمكونة من ثالثة عمليات جمع تقابلها ثالث عمليات طرح )عكسية(.

بع�د دراس�ة عملي�تى الجم�ع والط�رح اتض�ح أن عملي�ات الط�رح هى عملي�ات عكس�ية للجمع كما يتضح من المثال المنظومى اآلتى

األع��داد المكون��ة لعملي��ة الط��رح )الع��ددين األك��بر واألص��غر ون��اتج -1 طرحهما( توجد فيما بينها عالقات متبادلة.

  يالحظ فى الطرح بالمدخل المنظومى أن:

عملي��ات الط��رح بالم��دخل الخطى هى فى الواق��ع ثالث عملي��ات فى -2المدخل المنظومى.

والموضحة (1) الجمع والطرحوبذلك: تتحقق العالقة المتبادلة بين عمليات (.4)شكل فى منظومة تدريس الحساب

     :ثالثا̀: عمليات الضرب

وجداول الضرب بصورتها الراهنة تمثل عبئا̀ على ذاكرة التلميذ حيث يحفظ أعدادا̀ مجردة ال عالقة فيما بينها مما يجعلها عرضة للنسيان وعدم الثبات فى

الذاكرة.

جداول الضرب هى حجر الزاوية فى العمليات الحسابية. كما أنها تمثل مشكلة بالنسبة للتالميذ فى تذكر أعدادها ألنها تعطى بطريقة خطية مجردة

ومنفصلة. كما أن فيها عنصر القهر الذى يملى على التالميذ حفظ أرقام حسابية بعين���ها، ويجعل من المعلم ملقنا̀ لهذه العمليات ال مرشدا̀ وموجها̀

لها.

3 + 3 = 66 - 3 = 3

ست عمليات6 = 3 - 99 = 3 + 6

3 + 6 = 99 - 6 = 3

كما إنه عبئا̀ على المعلم أيضا̀ ألنه يجعل من دوره محصورا̀ فى دائرة حشو أذهان الت��الميذ به���ذه األعداد المج����ردة دون فه���م الع����القات

فيما بينها.

وبذلك تص�����بح مادة الحس����اب عبئا̀ ثقيال̀ على الت����الميذ فى هذا السن المبكر. مما ينع����ت�كس سل������با̀ على تعلمهم الذى يصبح غير ذوى

معنى.

ولكل ما سب�����ق يجد كل من المعلم والتلميذ نفسه فى موقف من أصعب المواقف التعليمية وهو موقف المعلم القاهر والتلميذ المقهور

ووسيلة القهر هى ج�����داول مك�����ونة من أرق����ام مج����ردة ال ص�����لة ف����يما بين�����تها.

كذلك يصعب على المعلم أو التلميذ أن يربط بين العمليات الحسابية الناتجة من ج�����دول الض����رب أو ب����ين األع���تداد الن�����اتجة من

الض�ترب وبعضها.

وجميع العمليات الحس���ابية السابقة عمليات خطية منفصلة عن بعضها البع������ض وغالبا̀ ما ين������ساها التالم�����يذ وتق�����ف ع���ند حد

الت�ذكر.

كما ال توجد عالقات بين هذه األع���داد وبعضها مما يجعلها غير ذى معنى.

لذا يمكن أن نطل�ق على جدول الضرب الس����ابق اسم الجدول الخطى.

فمث�����ال̀:      ال توجد عالقة بين العمليات الحسابية الثالث اآلتية أو بين األعداد

المكونة لها.

4 = 2 × 2(: 1  مث����ال )•

8 = 4 × 2(: 2      مث����ال )•

ولكى نجعل تعلم جدول الضرب ذا معنى ال بد من إيجاد عالقات بين العمليات 16 = 8 × 2(: 3       مث����ال )•الحسابية السابقة بحيث يكون التلميذ قادرا̀ على استدعاء هذه العمليات من

بنيته المعرفية.ومن هنا أتت فكرة استخدام المدخل المنظومى فى تدريس وتعلم جداول

الضرب والعمليات الحسابية.

( المنظومى 2جدول الضرب )

شكل (12)

نهاية الجدول

(2)+

6

4

صفر

2

8

10

14

12

24

22

20

18

2

)*صفر(×(1) (2)×

(3)×

(4)×

×(5)

(6)×

(7)×(8)×

×(9)

(10)×

(11)×

(12)×

))×صفر

بداية الجدول

(24أو )-

(2)+(2)+

(2)+

+(2)

(2)+

(2)+

(2)+

(2)+

(2)+

(2)+

(2)+

16

(:8، 4، 2       مثال أوجد العالقة المنظومية بين األرقام )

:الح��ل

2

48)2×(

)2×()4×(

       أى أنها عبارة عن ثالث عالقات:

4 = 2 × 2 هى (4 2    العالقة بين الرقمين )¨           

ثالث عمليات ضرب8 = 2 × 4 هى (8 4)        العالقة بين الرقمين ¨        8 = 4× 2هى (8 2العالقة بين الرقمين )

ويمكن للمعلم أن يش�رك التالمي�ذ فى ح�ل منظوم�ات كث�يرة على ج�دول الض�رب توج�د العالق�ة بين ثالث�ة أو أربع�ة أو خمس�ة أو س�تة أرق�ام وهك�ذا تك�ون (2)الس�ابق

متدرج�ة فى الص�عوبة بع�دها س�وف يفهم التالمي�ذ العالق�ات بين األرق�ام المكون�ة للج�دول وبالت�الى س�وف يك�ون ت�ذكرها أس�هل بكث�ير من حفظه�ا مج�ردة ليس بينه�ا

عالقات.

(:10، 8، 6، 4، 2) أوجد العالقة المنظومية بين األعداد (:1مثال )   

الح��ل:               •

10

64

8

2

2 +

2 +

2 +

2 ×

3×4 ×

5 ×

اتجاه السهم يوضح ناتج عملية الضرب

)=(.أى هو بمثابة عالمة

24 2 ×

       أى أن: العالقة المنظومية السابقة هى عبارة عن عالقة بين ثالثة ( وكذلك عالقة بين ثالث عمليات ضرب الموضحة عالية. 8، 4، 2أرقام هى )

، 18، 16، 14، 12، 2 أوج�د العالق�ة المنظومي�ة بين األع�داد )(:2مث�ال )       •20:)

:لح��لا

1614

18

2

2 +

2 +

2 +

7 ×

8 ×

9 ×

10 × 20

12

2 +

6 ×

العالقة بتن عمليات والطرح الجمع

والضرب

العالقة بتن عمليات والطرح الجمع

والضرب والعالق�ة بين (2)بع�د دراس�ة عملي�ات الض�رب تتض�ح العالق�ة بين الض�رب والط�رح

كما يتضح من األمثلة اآلتية:(3)الضرب والجمع

( فى منظومة تدريس الحساب2العالقة بتن الضرب والطرح: )العالقة      •

مث����ال

2 ×6 -

2 ×

4 -

48

2

2 -4 ×

هى عملي�ات ض�رب وط�رح (8، 4، 2) العالق�ة المنظومي�ة بين األع�داد :أى أنمكونة من ثالث عمليات ضرب وثالث عمليات طرح.

2 ×2 = 44 - 2 = 2

ست عمليات ضرب وطرح4 = 4 - 88 = 4 × 2

4 × 2= 88 - 6 = 2

( فى منظوم��ة ت��دريس 3العالق��ة بتن الض��رب والجم��ع: )العالق��ة      •الحساب

:مث����ال      •

4 +

2 ×6 +

2 ×

48

2

2 +4 ×

هى عالق�ة (8، 4، 2)ويتض�ح أيض�ا̀ أن العالق�ة المنظومي�ة الس�ابقة بين األع�داد ضرب وجمع مكونة من ثالث عمليات ضرب وثالث عمليات جمع.

( فى منظومة تدريس الحساب:2،3   العالقة بتن الضرب والجمع والطرح: )العالقتين   

:مث����ال      •

2

2 ×

2 ×

4 +

48

2 +

2 -

4 -

4 ×6 -6 +

فى دراستنا للحساب حتى اآلن (8، 4، 2)أى أن: العالقة المنظومية بين األعداد هى عمليات جمع وطرح وضرب مكونة من ثالث عمليات جمع وثالث عمليات طرح

وثالث عمليات ضرب .

    :رابعا̀: عمليات القسمة البسيطة

ويمكن توضيح ذلك من األمثلة المعطاة اآلتية:

(:1مث����ال )       •

6 ÷ 3 = 2

(:2مث����ال )       •

16 ÷ 8 = 2

وجمي�ع عملي�ات القس�مة الس�ابقة خطي�ة توج�د ن�اتج قس�مة ع�ددين لتعطى ع�دد ث�الث ه�و خ�ارج عملي�ة القس�مة. ويمكن تمثي�ل عملي�ات

القسمة السابقة بصورة عامة كاآلتى:

عملي��ات القس��مة البس��يطة هى عملي��ات حس��ابية تش��تمل على قس��مة عددين لينتج عدد ثالث هو خارج القسمة.

العدد المقسوم العدد المقسومعليه

خارج القسمة÷=

ويطل�ق على عملي�ات القس�مة الس�ابقة اس�م القس�مة الخطي�ة ويالح�ظ منها أنه ال توجد عالقة بين كل من:

وخ��ارج القس��مة والع��دد -الع��دد المقس��وم والع��دد المقس��وم علي��ه

ناتج القسمة والعدد المقسوم عليه. –المقسوم

كما هو موضح بالشكل اآلتى:)؟(

)؟(

)؟(

العدد المقسوم العدد المقسومعليه

خارج القسمة ÷=

: فى عملي�ات القس�مة البس�يطة الس�ابقة ال توج�د عالق�ات بين األع�داد أى أن�ه. ويمكن إيج�اد ه�ذه العالق�ات القس�مة الخطي�ةال�تى نتناوله�ا ول�ذلك يطل�ق عليه�ا

إذا قبل أى من العددين القسمة على رقم ليعطى نفس خارج القسمة.

شكل (13)

مث����ال:

(.2( القسمة على عدد صحيح ليعطى العدد )4، 8يقبل كل من العددين )

       ويالحظ فى عملية القسمة المنظومية السابقة أن:•

(.2( ليعطى خارج القسمة )4( : يقبل القسمة على )8- العدد )1

(.2( ليعطى نفس خارج القسمة )2(: يقبل القسمة على )4والعدد )

- عملي�ة القس�مة المنظومي�ة الس�ابقة: هى عب�ارة عن ثالث عملي�ات قس�مة 2هى:

(8 ÷ 2 = 4( ، )4 ÷ 2 = 2( ، )8 ÷ 4 = 2)

)4÷(

8

)2÷()2÷(

42÷=

(14)شكل

العدد المقسوم العدد المقسومعليه

خارج القسمة

)÷()÷(

)÷(

ك�ل ع�دد فى المنظوم�ة يقب�ل القس�مة على ع�دد ص�حيح ليعطى ع�دد آخ�ر أى أن(:14)فى المنظومة كما هو موضح بالشكل السابق

لذا فعملية القسمة:

632

)2÷(

)3÷(

ال يمكن إجراؤه��ا منظومي��ا̀ ألن��ه وإن ك��ان ( ليعطى 3( يقب�ل القس�مة على )6الع�دد )

( 2( ال يعطى الع���دد )3( إال أن الع���دد )2)بالقسمة على أى عدد صحيح.

    أمثل������ة لبعض عملي������ات القس������مة    •المنظومية:

(:2مث��ال )

القسمة بالمدخل المنظومى

القسمة بالمدخل الخطى

رقم

   

18 ÷ 6 =3    

   

50 ÷ 10 = 5        

 3

÷6÷2

÷3 186

5

÷10÷2

÷5 5010

بعد دراسة عمليات القسمة البسيطة تتضح العالقة بين كل من:

(4- القسمة والضرب )عالقة

(5- القسمة والجمع )عالقة

(6- القسمة والطرح )عالقة

كما يتضح من المثال اآلتى:

:العالقة بتن عمليات القسمة وغيرها من العمليات•

)2÷(

2

84 )2×(

)4-(

)4+(

(+6)

( - 6)

×(

4)( 2+)

( 2-)÷(

4) ×

( 2)

÷( 2)

( بع�د اكتم�ال دراس�تنا لمنظوم�ة 8، 4، 2 العالق�ة المنظومي�ة بين األع�داد )أى أنالحس�اب هى عملي�ات )جم�ع وط�رح وض�رب وقس�مة( ومكون�ة من ثالث عملي�ات جم�ع وثالث عملي�ات ط�رح وثالث عملي�ات ض�رب وثالث عملي�ات قس�مة أى أنه�ا

مكونة من أثنى عشر عملية.

منظومات الحساب فى تنظيم المعامالت اليومية بين البشر:•

وتك�ون اإلجاب�ة أن بن�اء العالق�ات المنظومي�ة بين األع�داد والعملي�ات س�وف تس�اعد التلمي�ذ فى بن�اء بنيت�ه المعرفي�ة بص�ورة مترابط�ة ق�ادرة على تك�وين عالق�ات بين

أى مكونات حسابية ضرورية فى حياته.كذلك تمكن المتعلم المفاضلة بين العمليات الحسابية المختلفة الختيار األنسب

منها لحل مشاكله اليومية.

وبنظ�رة منظومي�ة للحس�اب نج�ده لغ�ة الحي�اة فى المع�امالت اليومي�ة بين البش�ر ألن�ه اآللي�ة ال�تى تح�دد وتنظم المع�امالت بين األف�راد داخ�ل األس�ر والمجتمع�ات وال نب�الغ إذا قلن�ا أن لغ�ة الح�وار بين البش�ر هى لغ�ة التخ�اطب ولغ�ة تنظيم المع�امالت هى لغ�ة الحس�اب وب�دون لغ�ة الحس�اب ال تتم لغ�ة التخ�اطب وتس�ود الفوض�ى فى

المعامالت بين البشر.

بعد أن استعرضنا العالقات المنظومية بين األعداد والعمليات الحسابية يجب أن نتوقف ونسأل أنفسنا

لماذا كل هذه العالقات بين األعداد والعمليات؟ ولماذا نقوم بتدريسها بهذه الصورة؟ ولماذا المدخل المنظومى لتدريس وتعلم الحساب؟

فب�دون الحس�اب ال يمكن تحدي�د ميزاني�ات األف�راد واألس�ر وال�دول وعملي�ات الش�راء والبيع بين األفراد تتم فى إطار عمليات حسابية دقيقة.

والتعام�ل م�ع البن�وك من خالل آلي�ة اإلق�راض والتوف�ير تح�ددها نس�ب فوائ�د تخض�ع لعمليات حسابية معقدة.

كم�ا أن الحس�اب ي�دخل فى تحدي�د وتنظيم أنش�طة األف�راد فى التنق�ل والتس�وق والسياحة والترويح والرياضة..إلخ

- فعن�د قي�ام الف�رد بممارس�ة نش�اط التنق�ل: ف�إن العملي�ات الحس�ابية هى ال�تى تح�دد وس�يلة االنتق�ال ال�تى س�وف يس�تعملها الف�رد فى التنق�ل فى ض�وء إمكانات�ه

المادية.

- وقي�ام الف�رد بنش�اط التس�وق: لش�راء مالبس وم�واد غذائي�ة ف�إن ال�ذى يح�دد م�ا ينفق�ه فى ش�راء المالبس إلى م�ا ينفق�ه فى ش�راء الم�واد الغذائي�ة ه�و أولوي�ات

تنظمها عمليات حسابية.

- وقي�ام الف�رد بنش�اط س�ياحى: يخض�ع أيض�ا̀ لعملي�ات حس�ابية دقيق�ة ي�دخل فيه�ا تكلفة زيارة األماكن السياحية واإلقامة والتنقل ومدة البرنامج.

وتك�ون مه�ارة الف�رد فى م�دى اختي�اره ألفض�ل ال�برامج الس�ياحية المعلن�ة وال�تى تتناسب مع إمكاناته المادية.

وح�تى حينم�ا يم�رض الف�رد ف�إن ال�ذى يح�دد رحل�ة عالج�ه ه�و إمكانات�ه المادي�ة ال�تى تخض�ع لعملي�ات حس�ابية يح�دد فيه�ا كش�ف الط�بيب والتحالي�ل واألش�عة المطلوب�ة

وأين يجريها.

   - ت��دور عملي��ات حس��ابية مختلف��ة فى ذهن��ه إليج��اد أك��ثر من ب��ديل م��ادى له��ذه العملية.

(.3-1- يوجد عالقات بين العمليات الحسابية المختلفة )من

(1منظومة عمليات حسابية )

(2)منظومة عمليات حسابية

(3منظومة عمليات حسابية )

القرار المناسب

- يختار األنسب منها لظروفه ليتخذ القرار المناسب.

وال يتم ذل�ك إال بقي�ام الف�رد بإيج�اد عالق�ات حس�ابية بين تكلف�ة ه�ذه األنش�طة (. 15والمعامالت الختيار األنسب منها وتحديد أولوياتها )انظر شكل

مم�ا س�بق يتض�ح أن علم الحس�اب ه�و لغ�ة المع�امالت بين البش�ر فى حي�اتهم اليومي�ة. ل�ذا يجب أن ي�دخل مترابط�ا̀ ومتناغم�ا̀ فى البني�ة المعرفي�ة للمتعلم مم�ا يجعل�ه علم�ا̀

وظيفيا̀ يستخدمه المتعلم فى تنظيم أنشطته ومعامالته اليومية.

عن�دما يقاب�ل الف�رد موق�ف معامل�ة مالي�ة م�ا فى   حياته:

منظومة عمليات (1 )حسابية

منظومة عمليات (1 )حسابية

منظومة عمليات (2 )حسابية

منظومة عمليات (2 )حسابية

منظومة عمليات )3حسابية )

منظومة عمليات )3حسابية )

القرار المناسبالقرار المناسب

( يوضح كيفية اتخاذ 15شكل )الفرد للقرار المناسب فى معاملة

يومية

:الخالصة       

يرف�ع مس�توى التعلم إلى المس�تويات العلي�ا: مث�ل التحلي�ل وال�تركيب والتق�ويم -4وصوال̀ لإلبداع.

يرفع من كفاءة التدريس: -3

حيث يس��اعد المعلم على ت��رتيب العالق��ات بين العملي��ات المختلف��ة وب��ذلك يص��بح المعلم مرش�دا̀ للتالمي�ذ لح�ل العملي�ات الحس�ابية ال ملقن�ا̀ له�ا وب�ذلك يح�دث التعلم

.النشط داخل قاعات الدرس بين المعلم والتالميذ

يسهل عملية التعلم: -2

ألن األع�داد المكون�ة للعملي�ات الحس�ابية بع�د أن ك�انت أع�داد منفص�لة ومج�ردة أص�بح بينه�ا عالق�ات متبادل�ة وه�ذا يزي�د من الق�درة على اس�تيعاب وفهم العملي�ات الحس�ابية

مما يجعل التعلم ذا معنى.

زيادة دافعية التعلم لدى التالميذ:- 1

ألن العملي�ات الحس�ابية المنظومي�ة تعطى بص�ورة مترابط�ة م�ع بعض�ها بع�د أن ك�انت منفص�لة عن بعض�ها. وب�ذلك تص�بح األه�داف والمه�ام واض�حة أم�ام التالمي�ذ مم�ا يزي�د

من دافعيتهم للتعلم.

نتوق�ع من ت�دريس الحس�اب بالم�دخل المنظ�ومى أن ي�ؤدى إلى بعض الفوائ�د نذكر منها:

يجع�ل م�ادة الحس�اب م�ادة مش�وقة للتالمي�ذ: ال منف�رة لهم فى بداي�ة حي�اتهم -5الدراس��ية حيث تعطى لهم العملي��ات الحس��ابية فى ص��ورة أش��كال مش��وقة

ومسلية يطلق عليها أسلوب األلغاز.

يجعل علم الحساب وظيفيا̀: بما ينظم العالقات اليومية بين البشر.-8

ينمى الفكر المنظومى: عند إدارة األنشطة البشرية داخل المجتمعات.- 7

ي��دخل الحس��اب فى البني��ة المعرفي��ة للتالمي��ذ تراكمي��ا̀: من حيث الكم -6وكيفي�ا̀ من حيث عم�ق العالق�ات المتبادل�ة بين العملي�ات واألع�داد المكون�ة

لها.

المراج���������ع        •

(:2002 فاروق فهمى )-4

المدخل المنظومى فى التدريس والتعلم فى عصر العولمة.

(.2002ندوة بجامعة المنوفية، شبين الكوم )إبريل

(:2001 فاروق فهمى - منى عبدالصبور )-3

المدخل المنظومى فى مواجهة التحديات التربوية المعاصرة والمستقبلية.

(.2001دار المعارف - جمهورية مصر العربية )

(:2001فاروق فهمى )- 2

االتجاه المنظومى فى التدريس والتعلم

"الم��ؤتمر الع��ربى األول ح��ول االتج��اه المنظ��ومى فى الت��دريس والتعلم"، (.2001القاهرة - )فبراير

(:2000 فاروق فهمى - جو الجوسكى )-1

االتجاه المنظومى فى التدريس والتعلم للقرن الحادى والعشرين.

المؤسس��ة العربي��ة الحديث��ة للطب��ع والنش��ر والتوزي��ع، الفجال��ة - القاهرة.

(:2002 فاروق فهمى )- 5

المنظومية وتحديات المستقبل

الم��ؤتمر الع��ربى الث��انى ح��ول الم��دخل المنظ��ومى فى الت��دريس والتعلم، (.2002القاهرة، )فبراير

(:2002 فاروق فهمى )-6

"المدخل المنظومى والبنائية"

(.2002ندوة بكلية التربية بسوهاج - جامعة جنوب الوادى )ديسمبر

(:2002 فاروق فهمى - محمد فتحى الشحات - أمال سعيد )-8

"المدخل المنظومى فى تدريس وتعلم الكيمياء"

وحدتا تصنيف العناصر واالتحاد الكيميائى لطالب المرحلة الثانوية العامة.

مركز تطوير تدريس العلوم

(:2002 فاروق فهمى )-7

الوجه اآلخر للعولمة "المنظومية وتحديات الحاضر والمستقبل"

(.2002توزيع مؤسسة األهرام جمهورية مصر العربية )

(:2003 فاروق فهمى - أمانى فاروق فهمى )-9

"المدخل المنظومى فى تدريس وتعلم الحساب"

توزيع مكتبةعرفة_مصر الجديدة _القاهرة

11( Fahmy, A.F.M., Lagowski, J.J; Pure Appl. Chem., 1999, 71)5( 859 – 863.

[15th ICCE, Cairo, Egypt, August, 1998].

(: 1995 فتحى مصطفى الزيات )-10

( األس��س المعرفي��ة للتك��وين العقلى وتجه��يز 1سلس��لة علم النفس المع��رفى )المعلومات.

المنصورة، دار الوفاء للطباعة والنشر

13( Fahmy, A.F.M., Workshop: on New Trends in Chemistry Teaching )NTCT(

Organized by IUPAC, UNESCO, Budapest, Hungary August, )2000(.

12( Fahmy, A.F.M., Lagowski, J.J. Arief, M.H.

[16th )ICCE( Budapest, Hungary August, )2000(].

14( Fahmy, A. F. M.; Hamza M. S. A; Medien, H. A. A.; Hanna, W.

G.; and Lagowski; J. J.; Satellite conference of the WCC 2001;

Brisbane, Australia 1st July )2001(.

http.//www. salty2k.com/satlc

15( Fahmy, A. F. M.; Lagowski; J. J.; Chemical Education

International Vol 3; )2002(

http.//www.iupac.org/publications/Cei

16( Fahmy, A. F. M.; Hamza M. S. A; Medien, H. A. A.; Hanna, W. G.; Mona

A. S.; and Lagowski; J. J.; Chinees J.C.E., 23 - 26 )2002(.