第六章 第六章 立体表面的交线 第六章 第六章 立体表面的交线 南昌理工学院

机械制图教研室

6.1 概 述 6.2 平面立体的截交线

6.3 回转体的截交线

本章小结

结束放映

目 录

6.2.1 平面与平面立体的截交线6.2.2 求平面立体斜截面的实形

6.3.1 圆柱的截交线6.3.2 圆锥截交线6.3.3 圆球的截交线6.3.4 综合举例

空间几何体分为平面立体和曲面立体。平面立体：表面由平面围成的几何体。

曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成 的几何体。

平面立体

曲面立体

6.1 概 述

截 交 : 平面与立体相交，截去立体的一部分。

平面与立体、立体与立体两处相交形成不同的表面交线，可分为两大类：

截交线——截平面与立体表面的交线。

相 贯 : 两立体相交。相贯线——立体与立体表面的交线。

平面与立体、立体与立体相交形成不同的表面交线，可分为两大类：

6.2 平面立体的截交线6.2.1 平面与平面立体的截交线

2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。

3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点， 多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。

截交线的性质：

1)截交线既在截平面上，又在立体表面上， 是截平面与立体表面的共有线。

平面与平面立体截交线的求法：

A. 求各棱线与截平面的交点→线面交点法B. 求各棱面与截平面的交线→面面交线法

求截交线的步骤：1) 空间及投影分析

2) 画出截交线的投影

a、截平面与立体的相对位置 :确定截交线的形状。

确定截交线的投影特性。b、截平面与投影面的相对位置：

分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。

[ 例 1]四棱锥被正垂面 P切割，求其截交线的投影 。

3

2

1

(4)3

●

2●4●

1●

3●

2●

4●

1) 空间分析

1●

2) 投影分析

3) 求截交线

4) 补全棱线的投影

检查 : 尤其注意检查截交线投影的相仿性

S

S S

　截平面与体的几个棱面相交？

截交线的形状？

采用的是哪种解题方法？

四边形线面交点法

[ 例 2]求 P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。

1"

解题步骤1)分析 : 截平面为正垂面和水平面，正面投影积聚；2)求出点1 、 2 、 3 、 4；

S"

s

a´

a

a"b´(c´)

b"

b

cc"

Pv

Qv

3)顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；

S

(3)

2

2

3

1

4

3" 2"

4)补全轮廓线。

4

1

4"

[ 例 3]已知立体的 V、W投影，试求其 H投影。

单击立体模型区或此处可观看三维动画

主视图，试完成其俯、左视图。

[

例4]

已知上部开有通槽的四棱锥

[ 例 4]已知主视图和左视图，求俯视图。

6.2.2 求平面立体斜截面的实形

采用何种方法来求？

换面法

o

6.3 回转体的截交线

回转体截切的基本形式

平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图形。 截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成。 求回转体截交线，常利用积聚性或者辅助面以及投影变换的方法。

求平面与回转体截交线的一般步骤： ⒈ 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影

当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：

* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 * 先找特殊点，补充中间点。

6.3.1 圆柱的截交线

平面与圆柱面相交时，根据平

面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。

圆柱的截交线

多个平面截切立体时，要分别对各截平面进行截交线的分析和作图。

[ 例 1]圆柱体被 P、 Q 两平面截切，试完成其三视图。

1)空间及投影分析

3)求截交线。2)分析圆柱体轮廓素线的投影。

截平面与立体的相对位置；截平面与投影面的相对位置；

解题步骤保留动

画

确定截交线形状为矩形和圆弧。

a

c

b

d

e

Pv

Qve

b(d)a(c)

e

a(b) c(d)

[ 例 2] 圆柱被正垂面截切，试画出三视图。

1 ．分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚， 侧面投影和水平投影为椭圆；2 ．求出截交线上的特殊点 a、 b、 c、 d；3 ．求出若干个一般点 e、 e1 ；4 ．光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性；5 ．补全轮廓线。

解题步骤

截平面与圆柱轴线的倾角为 β，其交线的 H投影为椭圆，且椭圆的长、短轴随 β的变化而变化 。

截平面与圆柱轴线成 45° 时 , 投影为圆。

[ 例 3]已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯视图，试画出其左视图。

[ 例 4]空心圆柱上部开有长方槽，若已知其 V、 H投影，试求W投影。

[ 例 4]空心圆柱上部开有长方槽，若已知其 V、 H投影，试求W投影。

6.3.2 圆锥截交线

根据截平面与圆锥轴线的相对位

置不同，截交线有五种形状。

圆锥的五种截交线

1.分析 : 圆锥被正垂面截切，截交线为椭圆，其水平和侧面两投影均为椭圆；

解题步骤

2.求出截交线上的各特殊点A、 B、 C、 D、 E、F； 3.求出一般点 1、 2； 4.光滑且顺次连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5.补全轮廓素线的投影。

[ 例 1]求正垂面与圆锥的截交线 , 并画出斜截面的实形。

b"f" e"

a"

d" c"2" 1"

a

1

2

c

d

e

f b

1'(2')c'(d')e'(f')

b'

a'

画出斜截面的实形

[ 例 2]P平面与圆锥面相交，求截交线的投影。

分 析

P平面为正平面且平行于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为双曲线，其 H投影积聚在 PH上，W投影积聚在 PW上，求出交线的 V投影即可。

[ 例 3]圆锥被正垂面 P和侧平面 Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。

圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。

6.3.3 圆球的截交线

[ 例 1]P平面与球面相交，求其截交线的投影。

1.分析 : 圆球被正垂面截切，截交线为圆，其水平和侧面两投影均为椭圆；

解题步骤

2.求特殊点1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8； 3.求一般点a、 b、 c、 d ； 4.光滑且顺次连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5.补全轮廓素线的投影。

两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。

[ 例 2] 已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。

水平面截切圆球，交线在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线。

6.3.4 综合举例

首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。

保留动画

1球 2圆柱 3圆柱

[ 例 1]已知立体的俯、左视图，完成其主视图。

1球 2圆柱 3圆柱

[ 例 2]求连杆头部的截交线

球圆柱 圆环

解题步骤

3.在分界线的右侧作平面与球面的交线（圆弧）；在左侧作平面与环面的交线（一段曲线）。

1.分析立体组成和截交线的组成，其水平和侧面两投影均为已知，正面投影未知；

2.作曲面的分界线；

球圆柱 圆环

本 章 结 束