Геометрия (от греч. «землемерие») – наука о свойствах геометрических фигур.

Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Основные понятия планиметрии: точка и прямая.

M

m

Основные понятия стереометрии

А а

– раздел геометрии, в котором изучается свойства фигур в пространстве

Стереометрия

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

КУБ

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

А

В С

D

Тетраэдр

А1

В1 С1

D1

A

BC

D

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

А 1 :Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

АВ

С

А 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

АВ

А 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

а

Т 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а ,М аДок-ть: (а, М)

а

МДок-во:

1. Р а, Q а2. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой (по А 1)

Р

Q

3. По А1 эта плоскость единственная.

чтд

Т 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а b = МДок-ть: (а, b)

аb

M

Док-во:1. N b, М N 2. (N, а) ( по Т 1)

N

3. Т.к. М , N b (по А 2) (а, b)

4. Любая плоскость, проходящая через а и b, проходит через N, т.е. совпадает с единственность плоскости.

чтд

А

В С

D

К

М

Аксиомы стереометрииABCD - параллелограммАМ = MD, AK = КВAD = 14

Е

1. Построить точку пересечения прямой МК и плоскости .

2. Вычислить расстояние от этой точки до точек В и С.

А

С

В

К

Аксиомы стереометрии

Точки А, В, С и К не лежат в одной плоскости.

1. Пересекаются ли прямые АС и ВК?

2. Лежат ли в одной плоскости точки А, К, В?

3. Пересекает ли прямая АС плоскость КВС?

сМ

А

В

Аксиомы стереометрии

В пересекающихся плоскостях и взяты соответственно точки А и В, которые не лежат на линии их пересечения (прямой с). Точка М лежит на прямой с.

1. Построить линию пересечения плоскостей и (МАВ).

2. Построить линию пересечения плоскостей и (МАВ).

Задача 1. ABCD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат на плоскости .

А В

СD

О

M

60

1. Лежат ли в плоскости точки В и С?

Дайте ответы на вопросы с необходимыми обоснованиями.

2. Лежит ли в плоскости МОВ точка D?

3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO.

4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

4

Задача 2. Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. D МВ, Е МС, F АВ, AF = FB, P МА.

А

В

С

М

6

6

D

P

Е

F

1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и MFC;

б) MCF и ABC.

2. Найти длину отрезка CF и площадь треугольника АВС.

АВС – равносторонний, F – середина АВ.

3. а) Объясните, как построить точку пересечения прямой DE с плоскостью АВС.

DE ВМС, ВС ВМС DE ВС = К

К

б) Постройте точку пересечения прямой PD с плоскостью АВС.

R

PD АВС = R

Задача 3. АВCDА1В1С1D1 - куб, К DD1, DK = KD1.

А

В С

D

К

А1

В1 С1

D1

P

1. Как построить точку пересечения прямой В1К с плоскостью АВС.

2. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей АВ1К и ADD1.

3. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей АВ1К и ADC.

4. Вычислите длины отрезков АК и АВ1, если AD = а а

Решение: 1. AKD (D = 90)

АК2 = AD2 + KD2 ( по теореме Пифагора)

АК = 2

5а

2. АВВ1 (В = 90), АВ = ВВ1 = а

АВ1 = 2а