讲题 :测量误差的基本知识

内容提要 : 第五章：测量误差的基本知识

§5.1 测量误差的分类

§5.2 观测值的算术平均值

§5.3 §5.3 衡量精度的指标衡量精度的指标

§5.4 §5.4 误差传播定律及应用误差传播定律及应用

§5.1 §5.1 测量误差的分类测量误差的分类

一、基本概念一、基本概念

11、观测值：、观测值： LL

22、真值（客观存在的值）：、真值（客观存在的值）： XX

33 △、真误差：观测值与真值之间的差值△、真误差：观测值与真值之间的差值

△ △＝＝ LL－－ XX

二、多余观测二、多余观测

11、定义：多于必不可少的次数的观测、定义：多于必不可少的次数的观测

22、进行多余观测的必要性、进行多余观测的必要性

①① 可以及时发现错误可以及时发现错误

②② 据此评定精度据此评定精度

③③ 提高测量成果的精度提高测量成果的精度

④④ 得出最可靠的结果得出最可靠的结果

三、观测条件三、观测条件

观测仪器、观测者、外界条件观测仪器、观测者、外界条件

——相同观测条件下进行的观测 等精度观测——相同观测条件下进行的观测 等精度观测

——不相同观测条件下进行的观测 不等精度观测——不相同观测条件下进行的观测 不等精度观测

四、误差分类四、误差分类

测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：

系统误差、偶然误差系统误差、偶然误差

11、系统误差、系统误差 (system error)(system error)

定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差

出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为

系统误差。系统误差。

22．特点：．特点：

具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或

用一定的观测方法加以消除。 用一定的观测方法加以消除。

例如：钢尺尺长误差例如：钢尺尺长误差

钢尺温度误差钢尺温度误差

水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差

经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差

对 付办法用一定的观测方法

检校仪器

加改正数

二．偶然误差 二．偶然误差 (accident error)(accident error)

11、定义、定义

在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现

符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有

一定的统计规律。一定的统计规律。

例如： 例如： 经纬仪的瞄准误差经纬仪的瞄准误差

读数误差读数误差

对 付办法 平 差 平 差

22、特点：、特点：

（（ 11）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的

界限，即有界性。界限，即有界性。

（（ 22）绝对值小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，即）绝对值小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，即

单峰性。单峰性。

（（ 33）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，即对称性。）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，即对称性。

（（ 44 ）数学期限望等于零。即： ）数学期限望等于零。即：

0][

lim

nn

此外，在测量工作中还要注意避免粗差（即：错误）的出此外，在测量工作中还要注意避免粗差（即：错误）的出现。现。

图形：偶然误差分布频率直方图图形：偶然误差分布频率直方图

四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性。四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性。

0limlim 21

nn n

n

n

正态分布曲线

-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24

x=

y

误差分布频率直方图

§5.2 §5.2 观测值的算术平均值观测值的算术平均值

一、算术平均值一、算术平均值 n

Lx

真值的最佳估值真值的最佳估值

二、用偶然误差的特性证明其最佳性二、用偶然误差的特性证明其最佳性

设对某一量观测了设对某一量观测了 nn次，观测值次，观测值 LLi i ，则真误差，则真误差

XLXLXL nn 2121

XLii

nXL ][][

Xn

L

n

][][

Xxn

][

0][

lim

nn

0 Xx

§5.3 §5.3 衡量精度的指标 衡量精度的指标

一、基本概念一、基本概念

精度：对某量进行一系列观测，它的误差分布的密集和离散精度：对某量进行一系列观测，它的误差分布的密集和离散

程度。程度。

正态分布曲线 1

x=

y

正态分布曲线 2

二、衡量精度的指标 二、衡量精度的指标

11、中误差、中误差 (mean square error)(mean square error)

。X，lXl iii 为观测值的真值为观测值真误差：

nnm n ][22

221

中误差、容许误差、相对误差中误差、容许误差、相对误差

[△ △][△ △]表示真误差的平方和表示真误差的平方和

33、相对误差、相对误差 (relative error) (relative error)

MD

mK

1

22、极限误差、极限误差 (limit error)(limit error)或容许误差或容许误差 tolerancetolerance ） ）

常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。m2＝容 m3＝容

三、计算中误差的白塞尔公式三、计算中误差的白塞尔公式

nm

][ XLii

真值知道吗

真值不知道求不出真误差求不出m

算术平均值 x是真值 X的最佳估值

能不能用 x代替X

ii Lxv

改正数： ii Lxv

XLii

Xxvii

n

Xx

顾及：ii v

n

][

iii

ii vvv

n

n

][2

][2

2

平方：

][n

]][[2

][][

2

2

vvv

nn

求和：

][][

][ vvn

1

][][

n

vv

nm

1

][][

n

vv

n

§5.4 §5.4 误差传播定律误差传播定律

一、误差传播定律一、误差传播定律

阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间

关系的定律。关系的定律。

例：对某距离观测例：对某距离观测 44次次 LL11 、 、 LL22 、、 LL33 、 、 LL4 4 ，观，观

测值中误差为测值中误差为mm。。

44321 LLLL

x

mm对对 xx 有什么影响？ 有什么影响？ xx的中误差是多少？的中误差是多少？

二、误差传播定律的推证二、误差传播定律的推证

设独立观测值 )n(,,, 21 次观测对 in xxxx

观测值的中误差 nmmm ,,, 21

设观测值函数 ),,,( 21 nxxxFZ zm求

根据中误差公式n

m][

要求

zm 必须知道 z

则有全微分 nn

dxx

Fdx

x

Fdx

x

FdZ

22

11

，则，较小，可以代替 dxdz, xZ

nn

xx

Fx

x

Fx

x

FZ

22

11

2121

222

2

21

1

2

)()()(

xxx

F

x

F

xx

Fx

x

Fx

x

FZZ n

n

平方：

i jji

nn

xxx

F

x

F

xx

Fx

x

Fx

x

FZZ

21

2222

2

2

21

2

1

2

][)(][)(][)(][ 求和：

转换成中误差关系式即误差传播定律：

2

2

22

2

2

21

2

1

2n

nZ m

x

Fm

x

Fm

x

Fm

i j

ji

n

n

n

xx

x

F

x

F

n

x

x

F

n

x

x

Fx

x

FZZ

21

22

222

2

212

1

2

][)(

][)(

n

][)(

n

][取平均值：

n

xx

x

F

n

xx

x

Fxx

x

FZZ nn

n

][)(

][)(

n

][)(

n

][ 2222

2

112

1

则有令 ,i

i x

ff

2222

22

21

21

2nnZ mfmfmfm

三、误差传播定律的应用步骤

1、写出函数关系式

2、对函数求全微分

3、将上述公式改写成中误差传播公式

nxxxfZ ,,, 21

2

2

22

2

2

21

2

1

2n

nZ m

x

fm

x

fm

x

fm

nn

dxx

fdx

x

fdx

x

fdZ

22

11