数学建模 - 问题与挑战

2009 数学科学学院学生实践周活动

数学科学学院黄海洋 崔丽

赛前准备• 数学建模课程学习• 学习优秀数学建模论文，重复前人的工作，

不仅学习什么做，而且探究为什么要这样做。• 熟悉几种基本的算法，自己编程练习。• 练习写作，写摘要。• 注意全国赛题和竞赛要求与学校竞赛有很大

的不同！

参赛过程• 读题，明确目标。• 查找资料，咨询专家，不要被资料淹没。• 分工合作，充分讨论。• 文章写作尽早动手，表达清楚，符号标注，

语言通俗易懂。

数学建模要点

一 . 读懂问题，明确要求是什么。开始，最重要的不是新奇想法，而是明确提问要求的

是什么，解决问题的关键所在。多读几遍题目，学会倾听别人意见 , 通过辩论 , 真

正理解问题 , 找到解决问题的关键 .

数学的看家本领就是把概念弄清楚。 把数学定义选择好，实际问题就迎刃而解。

2006D题 : 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制

煤矿安全生产是我国目前亟待解决的问题之一，做好井下瓦斯和煤尘的监测与控制是实现安全生产的关键环节（见附件 1 ） 瓦斯是一种无毒、无色、无味的可燃气体，其主要成分是甲烷，在矿井中它通常从煤岩裂缝中涌出。瓦斯爆炸需要三个条件：空气中瓦斯达到一定的浓度；足够的氧气；一定温度的引火源。 煤尘是在煤炭开采过程中产生的可燃性粉尘。煤尘爆炸必须具备三个条件 : 煤尘本身具有爆炸性；煤尘悬浮于空气中并达到一定的浓度；存在引爆的高温热源。试验表明，一般情况下煤尘的爆炸浓度是 30～ 2000g/m3，而当矿井空气中瓦斯浓度增加时，会使煤尘爆炸下限降低，结果如附表 1 所示。

首先要学会阅读！

国家《煤矿安全规程》给出了煤矿预防瓦斯爆炸的措施和操作规程，以及相应的专业标准 ( 见附件2)。规程要求煤矿必须安装完善的通风系统和瓦斯自动监控系统，所有的采煤工作面、掘进面和回风巷都要安装甲烷传感器，每个传感器都与地面控制中心相连，当井下瓦斯浓度超标时，控制中心将自动切断电源，停止采煤作业，人员撤离采煤现场。具体内容见附件 2 的第二章和第三章。附图 1 是有两个采煤工作面和一个掘进工作面的矿井通风系统示意图，请你结合附表 2 的监测数据，按照煤矿开采的实际情况研究下列问题：

（ 1 ）根据《煤矿安全规程》第一百三十三条的分类标准 ( 见附件 2)，鉴别该矿是属于“低瓦斯矿井”还是“高瓦斯矿井”。（ 2 ）根据《煤矿安全规程》第一百六十八条的规定，并参照附表 1 ，判断该煤矿不安全的程度（即发生爆炸事故的可能性）有多大？ （ 3 ）为了保障安全生产，利用两个可控风门调节各采煤工作面的风量，通过一个局部通风机和风筒实现掘进巷的通风（见下面的注）。根据附图 1 所示各井巷风量的分流情况、对各井巷中风速的要求（见《煤矿安全规程》第一百零一条），以及瓦斯和煤尘等因素的影响，确定该煤矿所需要的最佳（总）通风量，以及两个采煤工作面所需要的风量和局部通风机的额定风量（实际中，井巷可能会出现漏风现象）。

明确题目要求和解题要点！

确定最佳通风量 , 典型的优化问题 !

注 掘进巷需要安装局部通风机，其额定风量一般为150~400 m3/min。局部通风机所在的巷道中至少需要有15%的余裕风量（新鲜风）才能保证风在巷道中的正常流动，否则可能会出现负压导致乏风逆流，即局部通风机将乏风吸入并送至掘进工作面。名词解释（ 1 ）采煤工作面：矿井中进行开采的煤壁 ( 采煤现场 )（ 2 ）掘进巷：用爆破或机械等方法开凿出的地下巷道用以准备新的采煤区和采煤工作面。（ 3 ）掘进工作面：掘进巷尽头的开掘现场。（ 4 ）新鲜风：不含瓦斯和煤尘等有害物质的风流。（ 5 ）乏风：含有一定浓度的瓦斯和煤尘等有害物质的风流。

1 鉴别该矿是属于“低瓦斯矿井”还是“高瓦斯矿井”

高瓦斯矿井：绝对瓦斯量 >40m3/min，或者相对瓦斯量 >10 m3/ t（吨）。对 2 个工作面、 1 个掘进面， 2 个回风巷，总回风巷，共 6个位置记录了 30天早、中、晚瓦斯浓度 Ci、风速 vi、煤尘di，日产煤量 Ai等共 540个数据。图示：主巷道断面大约为 5 m2 ，其他各采煤区的进风巷、回风巷和掘进巷的断面大约为 4 m2 。 由总回风巷瓦斯浓度和风速计算绝对瓦斯涌出量Gi=5*60*vi*Ci m3/min 和相对瓦斯涌出量 gi=Gi/Ai

m3/t。均值分别为 9.7482 m3/min和 23.1705 m3/t 结论：该煤矿为高瓦斯矿。

2.不安全的程度有多大？ 规程 136条：瓦斯安全临界点 c=1%根据瓦斯浓度与煤尘爆炸下限浓度关系统计 30天内3 个工作面瓦斯浓度超标次数 n1=52 个巷道瓦斯浓度超标次数 n2=200< ci <0.5且 22.5< di <50

和 0.5< ci <1且 15< di <37.5 的次数n3=0

不安全概率 p=(n1+n2+n3)/(3*540)0.0145

初等统计就可以说明问题！

3.确定最佳（总）通风量，以及两个采煤工作面所需要的风量和局部通风机的额定风量

通风量 Q 由风速 v 确定， Q=巷道横截面积*v.实现最佳通风量目标的决策变量是风速 v 。规程要求瓦斯浓度 <1% 。瓦斯浓度随风速增大而减小，煤尘浓度随风速增大而增大。由拟合可以分别得到瓦斯和煤尘对风速的（线性）依赖关系 C(v)和 D(v)。每人所需风量 >4 m3/min。在满足对风量的基本要求下，总回风巷通风量最小就是最佳的通风量目标。

优化模型min Q=5*60*v6* 总（回风巷）通风量最小v1+v2+v3<=v4+v5+v3/0.85 通风与回风量守恒 , 有漏风。0<=C(vk)<=1 要求瓦斯浓度 <1% If 0<=C(vk)<=0.5, then 0<=D(vk)<=22If 0.5<=C(vk)<=1, then 0<=D(vk)<=150.25<vk<=4, (k=1,2,3) 0.25<vk<=6, (k=4,5) 0<v6<=8, 规程要求的风速标准150<=4*60*v3<=400 通风机的额定风量v1<=v2, v4<=v5 可能有漏风5*60*v6>=4*60*(v4+v5)+4*60*v3/0.85 巷道分流要求

最佳通风量 Q=2093.47m3/min实际通风量 Q=5*60*v=1558.9m3/min

由最佳风速，可以运用公式 Q=Sk*60*vk计算各工作面和回风巷的最佳风量Q1=719,Q2=944,Q3=320,Q4=719,Q5=998，以及局部通风机的合理的额定风量 Q3=4*60*v3=320。

二 . 合理假设，抓住关键。通过假设，将复杂的问题分成若干个简单的讨论，将不确定的情况分成几个确定的情况讨论。数学建模成功与否，关键在假设，在切合实际与数学简化之间选择恰当的平衡点 , 体现了建模工作的想象力和创造力。

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A 题：中国人口增长预测

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。 2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》 ( 附录 1) 还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

附件 1 国家人口发展战略研究报告（全文）中国人口网 2007-02-01 15:59:21

http://www.chinapop.gov.cn/fzzlbg/bgyw/t20070111_172058513.html

基本判断： 如果人口总量（不含香港、澳门特别行政区和台湾省）峰值控制在 15 亿人左右，全国总和生育率在未来 30 年应保持在 1.8 左右，过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展。 按此预测，总人口将于 2010 年、 2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿人， 2033 年前后达到峰值 15 亿人左右。劳动年龄人口规模庞大。我国 15-64 岁的劳动年龄人口 2000 年为 8.6 亿人， 2016 年将达到高峰 10.1 亿人。

近半个世纪以来，世界人口发展的基本态势：一是生育水平逐步下降，人口总量经历高速增长后进入增速趋缓时期。发展中国家总和生育率从 6.2下降到 2.9,发达国家从 2.8下降到 1.6。据联合国预测，到本世纪中叶，全球人口再生产类型转变将基本完成。

二是人口年龄结构持续老龄化。 2000年，世界 60岁以上和65岁以上老年人口比重分别达到 10%和 7%，欧洲为 20%和 15%。

三是人口素质成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中的作用更加突出。

四是人口城镇化快速发展，城镇人口接近 50%。

世界人口发展

人口老龄化：我国 60岁以上老年人口已达 1.43亿，占总人口的 11%，预计本世纪 40年代后期形成老龄人口高峰平台， 60岁以上老年人口达 4.3亿人，比重达 30%； 65岁以上老年人口达 3.2亿多人，比重达 22%。届时每3 － 4 人中就有 1 名老年人出生人口性别比续升高：第五次全国人口普查为 117， 2003年抽样调查为 119，个别省份超过 130。人口流动迁移规模庞大：按人口城镇化水平年均增长 1 个百分点测算，今后 20年将有 3 亿农村人口陆续转化为城镇人口。

中国人口增长特点

附件 2 数据包括 (1) 2001 至 2005 年，年龄 0~90 的 ‰ 统计年龄 20市男性比率 死亡率 女性比率 死亡率 生育率 0.69 0.59 0.74 0.06 29.01镇男性比率 死亡率 女性比率 死亡率 生育率 0. 52 0.73 0.51 0.28 68.23乡男性比率 死亡率 女性比率 死亡率 生育率 0.53 1.91 0.53 0.82 95.01(2)1994 至 2005 年市、镇和乡男女出生比例，女以 100 计。如男女出生比例 108.81 ，指男女出生比 =108.81:100 ；

解答要点• 模型类型： 确定性动力系统，差分、微分方程。

• 数据分析：育龄妇女生育率、出生人口性别比、死亡率、人口年龄分布、农村人口城镇化。

• 求解预测：绘图表并与《报告》中的结果比对分析。

模型一 . 按年龄分组人口增长的 Leslie 模型

假设：仅考虑出生率死亡率对人口增长的影响。

记 xi(t) 为第 t 年 i 岁（满 i 周岁而不满 i+1 周岁）的人数， d(i) 为 i 岁人口的死亡率，则 1-d(i) 为存活率（ 1 表示 1000 人），对 i=1,2,…,89, t=1,2,…,

)())(1()1(1 txidtx ii

b(i)为 i 岁女性的生育率：

总和生育率：

记 k(i) 为 i 岁的人口女性比，则第 t 年出生人口数为：

2

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第 t 年存活下来的婴儿数为

第 t+1 年一岁儿童数为

引入年龄向量

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存活率矩阵：

出生率矩阵：

人口发展模型一

000000

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模型二：基于性别的人口发展模型 假设：除了考虑出生率死亡率，还考虑到性别歧视对人口增长的影响。 记 xmi(t) ， xwi(t) 分别为第 t年 i岁的男性人数和女性人数， dmi(t),dwi(t)分别为第 t年 i岁的男性死亡率和女性死亡率。女性人口发展的差分方程：第 t 年出生人口数为：

新生女婴数：

其中 ϕ 为出生男女性别比。

)())(1()1(1 txidtx iwwiw

)(100

100)( tftfw

2

1

2

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第 t 年存活下来的女婴数为：

第 t+1 年一岁女婴数为：

女性人口发展模型

人口发展模型二：

)()1()( 00 tfdtx www

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模型三：基于城镇化的迁移人口模型 假设：在模型二基础上，引入迁移等社会因素的影响。农村流动人口按城市和乡镇目前的人口总量的比例分配。记城市、乡镇和农村第 t 年总人口数分别为XC(t), XZ(t), XX(t),全国总人口数为X(t)=XC(t)+XZ(t)+XX(t)。第 t 年 i 岁的人口数分别为 xci(t),xzi(t),xxi

(t），其它变量、矩阵都作类似定义，分别应用模型二。第 t 年城镇化比率： c(t)=城镇人口数 / 全国人口数则，农村人口实际数 =[1-c(t)]*全国人口数 .第 t 到第 t+1年间走出农村的流动人口数为：

)1())1(1()1()( tXtctXXtM

各地区人口总量修正为：

人口发展模型三：XC(t)=XCm(t)+XCw(t)实际总量 XC’(t)

XZ(t)=XZm(t)+XZw(t)实际总量 XZ’(t)

XX(t)=XXm(t)+XXw(t)实际总量 XX’(t)

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城、镇和乡的人口预测结果（以 05 年人口数归一化）

全国总人口预测

模型参数估计 •生育率按各地区育龄妇女总数对 β 值加权平均，可以得到全国妇女总和生育率为 1.375 。根据国家计划， 30年内应该把总和生育率控制在 1.8 以内才能将人口峰值控制在 15亿。

•死亡率 中短期预测取平均值代替

下表列出了 1995 年至 2005 年间的城镇化比例 (%) （数据来自国家统计局人口统计年鉴）：

年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 20012002 2003 2004 2005

城镇化 29.04 30.48 31.91 33.35 34.78 36.22 37.66 39.09 40.53 41.76 42.99

拟合结果 c(t)=1.41t-2381.7随时间变化，每年人口城镇化增加 1.4 百分点。

城镇化比率

三 . 建模过程由粗到细。例如确定搜寻路线，先粗略考虑，人员不能分散，即要搜寻遍历，又要时间最短，不妨先视为一人搜寻，要求不走重复路，则有一笔画原则可循，可动手设计搜寻路线。再仔细计算各种搜寻路线所需时间，就会发现，一队搜寻与一人搜寻不同之处在于每次转弯改变队形，必需空走一段。于是增加一条选线原则，少拐弯。数学建模过程从简单到复杂，要结合实际问题的背景 .

2008C 题 地面搜索

5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。在其它场合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。

通常，每个搜索人员都带有 GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。 GPS可以让搜索人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域，大小为 11200米 ×7200米，需要进行全境搜索。

假设：出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为 20米，搜索时平均行进速度为 0.6米 / 秒；不需搜索而只是行进时 , 平均速度为 1.2米 / 秒。每个人带有 GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为 1000米。搜索队伍若干人为一组 , 有一个组长，组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。

11200

7200

现在有如下问题需要解决：1 ．假定有一支 20人一组的搜索队伍 , 拥有 1 台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少 ? 能否在 48小时内完成搜索任务 ? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。2 ．为了加快速度，搜索队伍有 50人，拥有 3 台卫星电话，分成 3 组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式 , 搜索完整个区域的时间是多少 ?

11200

7200

四 . 论文写作规范。文章后面附有参考文献，正文内有引文，做到有理有据。特别要交代清楚采用的数据来源，以强调可信度。

要用通俗语言，或许还要借助图表，表达数学模型的分析计算结果，目的让大家理解所做的工作，分享研究成果。

五 . 数学建模的灵魂在人文、社科、管理、经济等领域，因为人类所从事的一切生产或社会活动都是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向支配下进行的。面对一个决策问题，常有众多的解决方案，选择一个可行的甚至是最优的方案显得尤为重要。所以在这些领域，最优化思想是数学建模的灵魂。

2006A题：出版社的资源配置请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。2008B题：高等教育学费标准探讨请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。

有一分投入，才可能有一份收获数学建模竞赛获得的不只是一张奖状！