自由落体运动和竖直上抛运动

.壹 自由落体运动1. 定义：物体只受重力作用从静止开始下落的运动 叫自由落体运动。

2. 性质：初速度为 0 、加速度为 g 的匀加速运动。3. 规律： vt=gt h=1/2 gt2 vt

2 =2gh

4. 匀加速运动的所有比例关系都适用自由落体运动。二 . 竖直上抛运动

1. 定义：不计空气阻力，以一定的初速度竖直向上抛 出的物体的运动叫做竖直上抛运动 。

2. 性质：上升阶段做匀减速运动，下落阶段做自由落 体运动。可以分段考虑，也可以用匀减速运动的 规律综合考虑。

3. 规律： vt= v0-gt h= v0t - 1/2 gt2 vt2-v0

2 = - 2gh

4. 上升时间 t 上 =v0 ／ g

5. 最大高度 hm= v02 ／ 2g

6. 特点——以最高点对称三 . 竖直下抛运动 1. 定义：不计空气阻力，以一定的初速度竖直向下抛 出的物体的运动叫做竖直下抛运动 。

2. 性质：初速度为 v0 、加速度为 g 、竖直向下的 匀加速运动。3. 规律： vt= v0+gt h= v0t + 1/2 gt2 vt

2-v02 = 2gh

例 1 、一个物体从高度 h 处自由下落 , 测得物体落地前最 后 1 秒内下落了 25 米 , 求：物体下落的高度 h. (g 取10m/s2)解一：画出运动示意图，设落地总时间为 t, 则依题意，

h

25m1s

（ t-1 ） s

ts

O

A

B

由自由落体运动规律得 O 到 B h=1/2×gt2 (1) O 到 A h-25 = 1/2× g(t-1)2 (2)

解得 t=3s, h=45m

解二： A→B 由竖直下抛运动规律 hAB = vA× 1 +1/2× g×12 = 25

∴ vA= 20m/sO 到 A 由自由落体运动规律得 h-25 = vA

2 / 2g=20m ∴h=45m

h

25m1s

（ t-1 ） s

ts

O

A

B

解三： O →A 自由落体运动 vA =g （ t –1 ） O →B 自由落体运动 vB =gt h=1/2×gt2

A →B 竖直下抛运动 vB2- vA

2 =2g×25

g2 t2- g2 (t –1)2 =2g×25

解出 t=3s, h=45m

解四： A →B 平均速度为（ vA+vB ） / 2 =25

A →B 竖直下抛运动 vB -vA =g×1 ∴vB =30m/s

O →B 自由落体运动 ∴ h= vB

2/2g=45 m

h

25m1s

（ t-1 ） s

t

O

A

B

解五： 自由落体运动第一秒下落的位移为hⅠ=1/2 g × 1= 5m

由自由落体运动的比例关系hⅠ h﹕ Ⅱ h ﹕ Ⅲ … = 1 3 5 …﹕ ﹕ ﹕ ﹕ =5 15 25 …﹕ ﹕ ﹕

∴ t=3s h=5+15+25=45m

解六： 由自由落体运动的速度图线 ，

0t/s

v/ms-1

t -1

t

da

b c

梯形面积等于最后 1s 内的位移，ab=g(t-1) cd=gt bc= 1s

25=1/2 ×[gt+g(t-1)] ×1

∴ t=3s h=1/2×gt2=45m

例 2 、一铁链其上端悬挂于某一点，将悬点放开让铁链自由下落，不计空气阻力，已知铁链通过悬点下3.2m 的一点所经历的时间为 0.5s ，试求铁链的长度 L. (g 取 10m/s2 )

解：画出运动示意图如图示：由自由落体运动的规律

H=3.2m

L

A

B

C

A 点通过 C 点的时间为 t1

H=1/2×gt12

B 点通过 C 点的时间为 t2

H-L=1/2×gt22

t1- t2=0.5s

解得 t1 =0.8s L=2.75m

例 3 、在楼房的阳台外以初速度 20m/s 竖直上抛一物体，求抛出 5 秒末物体的位移和速度。

解一： 画出运动示意图如图示：

v0

C

A

B

A1

vt

A →B 匀减速运动，上升时间 t 上 =v0 ／ g = 2s

上升的最大高度 hm= v02 ／ 2g =20 m

B → C 自由落体运动 t2 =3 s

SBC= 1/2 gt2 2 = 45m

SAC= SBC- hm = 20-45 = - 25 m

负号表示 5 秒末物体的位置 C 在 A 点下方 25 m

vt= gt2 =30m/s 方向向下

解二： 画出运动示意图如图示：

v0

C

A

B

A1

vt

A → B →C 全过程综合考虑， 匀减速运动，

S= v0 t - 1/2 gt 2

=20×5 - 1/2 ×10 ×25 = -25m

vt= v0 - gt =20-10 ×5= -30m/s

负号表示 5 秒末物体的位置 C 在 A 点下方 25m

负号表示方向向下

解三： 画出运动示意图如图示：

v0

C

A

B

A1

vt

A →B 竖直上抛运动 （匀减速运动），上升时间 t 上 =v0 ／ g = 2s

A →B →A1 ，竖直上抛运动以最高点对称t 上 = t 下 = 2s

vA1= 20m/s 方向向下

A1 →C 竖直下抛运动（匀减速运动） t3=1s

SA1C= vA1 t3+ 1/2 gt3 2

= 20×1+ 1/2×10×1 = 25m

vt= vA1 +gt3 =20+10×1=30m/s 方向向下

例 4 ：气球以 10m/s 的速度竖直上升，到离地 120 米高处掉下一物，求物体落地的速度及运动的时间。解一：画出运动示意图如图示： C 为上升的最高点

C

A

B

h= 120m

h1

v0

B 到 C ，竖直上抛运动：h1=v0

2/2g=5m

t 1= v0 /g=1s

C 到 A ，自由落体运动 h1 +h= 1/2×g t2

2

5s10

1252

g

h)2(ht 1

2

t= t1+ t2= 6s

vt=gt2 = 50m/s

C

A

B

h= 120m

h1

v0

解二： B→C→A 整个过程，由竖直上抛运动规律：

h= vA t -1/2 gt 2

vt= v0 - gt

即 -120 = 10 t -1/2 gt 2

vt= 10 - gt

解得 t = 6s vt = - 50 m/s

例 5. 某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s 的速度竖直上抛一个石块，石块运动到离抛出点 15 米处所经历的时间是：（不计阻力， g 取 10m/s2 ) ( )A. 1s B. 2s C. 3s D.

)s7(2解：画出运动示意图，

B

v0

C

A

15m

15m

由竖直上抛运动规律 h=v0t-1/2 gt2

15=20t-5t2 ∴t1=1s 或 t2=3s

-15=20t-5t2 )s7(2t3

A C D

练习：以 12.34m/s 的初速度竖直上抛一个石块 , g 取9.8m/s2 , 石块上升过程中最后 1s 内的位移是 m.

解：应用竖直上抛运动的对称性解之 , 石块上升过程中最后 1s 内的位移等于自由下落第一秒的位移。

4.9

例 6 、一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过最高点 C 点下方一个比较低的 A 点的时间间隔为 TA ，两次经过最高点下方一个比较高的 B 点的时间间隔为TB ，试求 AB 之间的距离。解： 画出运动示意图如图示：

v0

C

A

B

A

B由竖直上抛运动的对称性

C →A 自由落体运动 t1 = TA / 2

hCA= 1/2 ×g t12 =1/8 ×g TA

2

C →B 自由落体运动 t2 = TB / 2

hCB= 1/2 ×g t22 =1/8 ×g TB

2

∴ hAB= hCA - hCB = 1/8 ×g （ TA2 -TB

2 ）

练习、一个小球在倾角为 30° 的光滑斜面底端受到一个冲击后 , 沿斜面向上做匀减速运动，它两次经过一个较低点 A 的时间间隔为 tA ，两次经过一个较高点B 的时间间隔为 tB ，试求 A 、 B 之间的距离。

BA

C

解：在光滑斜面上小球运动的加速度恒为 gsin 30° ，跟上例的竖直上抛运动类似，小球的运动以最高点 C为对称，

2

AAC 2

t

2

g

2

1S

2

222

1

B

AB

tgS

22

22

16

222

1

222

1

BA

BAAB

ttg

tgtgS

例 7 、在地面上以初速度 3v0 竖直上抛一物体 A 后，又以初速度 v0 在同一地点竖直上抛另一物体 B ，若要使两物在空中相遇，则抛出两个物体的时间间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）

解：第一个物体 A 在空中运动的总时间 t1=6v0/g

第二个物体 B 在空中运动的总时间 t2=2v0/g

若 B 物体刚抛出时， A 物体已刚落地，则 Δt1= 6v0 /g

若 B 物体刚抛出时，两物体同时落地，则 Δt2= 4v0 /g

∴4v0 /g ＜ Δt ＜ 6v0 /g

例 8 、在离地 20m 高处有一小球 A 做自由落体运动， A 球由静止释放的同时，在其正下方地面上有另一个小球 B 以初速度 v0 竖直上抛， （不计空气阻力，g=10m/s2 ）（ 1 ）若要使两球在空中相遇，则 B 球上抛的初速度v0 必须满足什么条件？（ 2 ）若要使 B 球在上升阶段与 A 球相遇，则初速度v0 必须满足什么条件？（ 3 ）若要使 B 球在下落阶段与 A 球相遇，则初速度v0 必须满足什么条件？

A

B

v0

h=20m

h1

h2

解 : h1= 1/2 ×gt2 h2=v0 t- 1/2 ×gt2

h= h1 +h2= v0 t ∴ t= h/v0

A 球下落的总时间为 sghtA 210

402

（ 1 ）若要使两球在空中相遇，必须有t= h/v0 < tA ∴v0 >10m/s

（ 2 ） B 球的上升时间 t 上 =v0 /g

若要使 B 球在上升阶段与 A 球相遇 , 必须有 t < t 上 即 h/v0 < v0 /g

smghv /2100 （ 3 ） B 球在空中运动的总时间 t 总 =2v0 /g

若要使 B 球在下落阶段与 A 球相遇 , 必须有 t 上 < t < t 总 smvsm /210/10 0

9 ．一杂技演员 , 用一只手抛球 . 他每隔 0.40s 抛出一球 , 接到球便立即把球抛出 , 已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g=10m/s2 ） （ ）

A ． 1.6m B ． 2.4m

C ． 3.2m D ． 4.0m

04 年广东 9

解：共有 5 个球，一个球到手 0.4s 时，另一个球刚抛出，空中有四个球，由于竖直上抛运动的对称性，四个球的排列位置如图示，可见，一个球在空中运动的总时间 为 1.6s ，下落时间为 0.8s ， h=1/2 gt 2=3.2m

C