методическая разработка к выполнению лабораторных работ по учебной дисциплине физические основы

Федеральное агентство связи Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Методическая разработка к выполнению лабораторных работ

по учебной дисциплине

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ,

ФОТОНИКИ И ОПТОИНФОРМАТИКИ

для магистрантов 1 года обучения по направлению подготовки 200700

Составитель: к.ф.-м.н., доц. Головкина М.В. Редактор: ст. преп. Ефимова А.А. Рецензент: д.ф.-м.н., проф. Арефьев А.С.

Самара - 2014

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Лабораторная работа 501 "Исследование туннельного тока в двухбарьерном ре-зонансно-туннельном диоде" Цель работы: Рассчитать распределение волновых функ-ций электронов в арсенид галлиевой квантовой проволо-ке и оценить вероятность обнаружения электрона в той или иной части поперечного сечения проволоки. 1. Теоретическая часть: 1.1. Квантовомеханические эффектры в туннельном диоде

Обычные диоды при увеличении прямого напряжения монотонно увеличивают пропускаемый ток. В туннельном ди-оде квантово-механическое туннелирование электронов добав-ляет горб в вольтамперную характеристику, при этом, из-за высокой степени легирования p и n областей, напряжение про-боя уменьшается практически до нуля. Туннельный эффект позволяет электронам преодолеть энергетический барьер в зоне перехода с шириной 50..150 Å при таких напряжениях, когда зона проводимости в n-области имеет равные энергети-ческие уровни с валентной зоной р-области.

Рис.1. Вольт-амперная характеристика туннельного диода


3

При дальнейшем увеличении прямого напряжения уро-

вень Ферми n-области поднимается относительно р-области, попадая на запрещённую зону р-области, а поскольку туннели-рование не может изменить полную энергию электрона, веро-ятность перехода электрона из n-области в p-область резко па-дает. Это создаёт на прямом участке вольт-амперной характе-ристики участок, где увеличение прямого напряжения сопро-вождается уменьшением силы тока. Данная область отрица-тельного дифференциального сопротивления и используется для усиления слабых сверхвысокочастотных сигналов.

На рисунке 2 ниже схематически представлена энергетиче-ская схема двухбарьерного резонансно-туннельного диода и показано протекание туннельного тока. Данный диод создается на основе арсенида галлия. При этом обычно области эмиттера состоит из p-GaAs, а коллектора — n-GaAs. При подаче на ди-од напряжения электроны начинают активно туннелировать через два потенциальных барьера и формировать электриче-ский ток.

Рис.2. Двухбарьерный резонансно-туннельный диод

Эмиттер

Коллектор

Плотность туннельного тока


4

Туннельный ток составляют электроны с разной энергией.

Электроны с конкретной энергией Е создают туннельный ток

величиной

3 3

1

8e c

E E

f fEI e D

m

,

где m =0.067 0m ,

1

1 expT

e

i

B

fn E

p k

,

1

1 expT

c

i B

fp E eU

n k

,

in =21012 м–3 – собственная концентрация в арсениде галлия,

Bk – постоянная Больцмана, T – температура, а ED есть

коэффициент прозрачности двухбарьерной структуры для электронов с энергией Е. Значение этого коэффициента можно рассчитать согласно формуле

ALkshkkkk

kkD

)()(4

4

2222

221

42

41

42

41 ,

)sin()()()cos()(2 1222

211221 WkLkshkkWkLkchkkA ,

где 1

1

2 m Ek

,

2 1

2

2 m U Ek

,


5

L – ширина барьеров, W – расстояние между ними. 2. Практическая часть

1. В соответствии со своим вариантом выбрать исходные дан-

ные

Вар 1 Вар 2 Вар 3 Вар 4 Вар 5 Вар 6 Вар 7

p, м–3 2 3 4 5 10 4 5

E, эВ 0.5 1 1 1 2 1 1

U, В 1 1 1 1 2 2 2

2U , эВ 2 3 4 5 10 4 5

L , нм 4 3 2 1 1 2 3

W, нм 2 2 2 2 3 3 3

2. Построить график зависимости коэффициента прохождения через двухбарьерную структуру от энергии налетающего электрона.

3. Рассчитать значение туннельного тока 4. Результаты занести в отчет.


6

Пример

Рис. 3. Вид потенциальных барьеров в двухбарьерной нано-

структуре.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20

40

60

80

100

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1


7

Рис.4. Зависимость коэффициента прохождения от энергии.

Контрольные вопросы:

1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

2. Физический смысл волновой функции .

3. Что такое квантовая яма?

4. Расчет туннельного тока в классическом и квантовом

приближении.

5. Отражение частицы от потенциального барьера

6. Материалы для изготовления туннельных диодов для

оптоэлектроники .

7. Принцип работы туннельного микроскопа. Работа ска-

нирующего туннельного микроскопа «Умка-02-U».

http://www.nanotech.ru/pages/about/umka.htm


http://www.nanotech.ru/pages/about/umka.htm

8

Лабораторная работа 502

Исследование процесса туннелирования электро-нов через систему барьеров в структурах нано-электроники Цель работы: Рассчитать значения двух нижних уровней размерного квантования в прямоугольной яме, имеющей в своем центре прямоугольный провал.

1. Теоретическая часть: На рисунке представлена энергетическая схема ис-

следуемой системы барьеров. Энергия электрона меньше высоты первого барьера, но выше высоты второго.

Коэффициенты прохождения и отражения электрона

от данной системы барьеров можно найти с помощью следующих соотношений

Рис.1. Прямоугольный барьер с низкой ступенькой U3 < E1 < U2

X

0

U2

E1

L

U3


9

21 2 3

22 2 2 2 2 21 2 3 2 2 1 3 2

4

sh

k k kD

k k k k k L k k k

22 2 2 2 2 21 2 3 2 2 1 3 2

22 2 2 2 2 21 2 3 2 2 1 3 2

sh

sh

k k k k k L k k kR

k k k k k L k k k

,

где 1

1

2 m Ek

,

2 1

2

2 m U Ek

,

1 3

3

2m E Uk

.

2. Практическая часть:

1. Выберите данные о структуре исследуемых барьеров в соответствии со своим вариантом


10

Вар1 Вар 2 Вар 3 Вар 4 Вар 5 Вар 6 Вар 7

2U ,

эВ

2 3 4 5 10 4 5

3U ,

эВ

0.5 1 1 1 2 1 1

L , нм

4 3 2 1 1 2 3

2. Рассчитайте значения D и R для пяти значений энергии

в соответствии с нижеприведенной таблицей

Е = 0.1(U2-U3)

Е = 0.3(U2-U3)

Е = 0.5(U2-U3)

Е = 0.7(U2-U3)

Е = 0.9(U2-U3)

D

R

3. Постройте зависимости D (Е) и R (Е) и проанализируйте

их 4. Запишите результаты в отчет.


11


1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

2. Физический смысл волновой функции .

3. Расчет коэффициентов отражения и прохождения для

потенциального барьера.

4. Что такое квантовая яма? Квантовая проволока?

5. Расчет собственных значений энергии для бесконечно

глубокой квантовой ямы.

6. Туннелирование электронов через структуру с

двумя барьерами


12

Лабораторная работа 503 "Компьютерное моделирование физических процессов в квантоворазмерных структурах. Прямоугольная квантовая яма с бесконечно высокими стенками" 1. Теоретическая часть 1.1. Уравнение Шредингера

Задачи физики наночастиц решаются методами квантовой теории, которая принципиально отличается от классической механики. В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив его, мы находим набор энергетических уровней, кото-рый реализуется в заданном потенциале, а также получаем ин-формацию статистического характера о возможном положении частицы.

Состоянию частицы в момент времени t0 в квантовой механике ставят в соответствие волновую функцию (r, t0) – функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответ-ственно, эволюцию состояния описывает функция координат и времени (r, t). Волновую функцию (r, t) можно найти, решая уравнение Шредингера

t

iUm

ψψψ

22

2

, (1)

где i – мнимая единица, т – масса частицы., 2 – оператор Лапласа, U – функция координат и времени, которая определяет силу, действующую на частицу.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то есть функция U не зависит явно от времени. Тогда U имеет смысл по-тенциальной энергии частицы.. В этом случае волновая функция (r, t) имеет вид

tiet )(),( rr . (2)

При этом функция )(r находится из решения уравнения, ко-

торое называется стационарным уравнением Шредингера:


13

0z)y,ψ(x,)(2

z)y,ψ(x,2

2 UEm

. (3)

Здесь Е имеет смысл полной энергии частицы. В случае одномерной области движения, ее стационарное

(амплитудное) уравнение Шредингера имеет вид

0)())((2)(

22

2

xxUEm

dx

xd

, (4)

где ψ(х) – волновая функция в точке х; Е – полная энергия микрочастицы, a U(x) - потенциальное энергетическое поле, в котором дви-

жется микрочастица. 1.2. Моделирование энергетического спектра электро-на в одномерной квантовой яме

Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме ши-риной l с бесконечно высокими стенками (рис.1).

Уравнение Шрёдингера на интервале lx 0 , где U=0

имеет вид. :

Рис. 1.


14

02

22

2

Em

dx

d

.

Энергетические уровни частицы в бесконечной одномерной потенциальной яме

2

2

22

2n

lmEn

.

Решение уравнения Шредингера (волновая функция):

x

l

n

lxn

sin

2

Графики огибающих волновых функций электронов в кван-товой яме шириной 20 атомных монослоев (11,3 нм) для пер-вых четырех разрешенных уровней энергии представлены на рис. 2, а энергетический спектр электрона в такой яме - на рис. 3. Материал ямы GaAs.

Рис. 2. Огибающие волновых функций электрона в прямо-

угольной квантовой яме.


15

Рис.3. Квантование уровней энергии электрона в прямо-

угольной квантовой яме.

2. Практическая часть

Построить огибающие волновых функций и квантовые

уровни энергии электрона в прямойгольной квантовой яме с бесконечно высокими стенками для GaAs. Расчет провести для двух случаев:

а) ширина ямы 20 атомных слоев, б) ширина ямы 10 атомных слоев. Сравнить результаты. Сделать выводы. Провести расчет для AlxGa1-xAs при х=0,15 и х=0,35. Сделать выводы.


16

Контрольные вопросы 1. Каков физический смысл волновой функции? Почему

при физической интерпретации волновой функции гово-

рят не о самой волновой функции , а о квадрате ее мо-

дуля ||2?

2. Почему в уравнении Шредингера указывается разность

(Е – U), а не кинетическая энергия частицы?

3. Чем обусловлено требование конечности волновой функ-

ции?

4. Расчет собственных значений энергии для бесконечно

глубокой квантовой ямы.

5. Докажите, что если волновая функция циклически за-

висит от времени, т.е.

, expE

x t x i t

,

то плотность вероятности есть функция только координа-

ты.


17

Лабораторная работа 504 "Компьютерное моделирование физических процессов в квантовой яме со стенками конечной высоты"

1. Теоретическая часть

Потенциальная яма с бесконечно глубокими стенками ис-

следовалась в лабораторной работе № 503. В реальном случае стенки потенциальной ямы имеют конечную ширину, и для симметричной ямы потенциал U из уравнения Шредингера (4) (см. работу 503) имеет вид:

.2

,

,2

,0

)(

0a

xеслиU

axесли

xU (1)

Решения уравнения Шредингера (4) (см. работу 503) запи-сываются отдельно в каждой из трех областей, где потенциал постоянен, в виде

,)( 11xeAx

,)( 222xixi eBeAx (2)

.)( 33xeBx

Здесь

20 )(2

EUmА ,

2

2

EmB , mA и mB - эффективные мас-

сы электронов в материале А, образующем яму, и в материале В, образующем барьеры, соответственно. Решения 1 и 2

записаны с учетом того, что они должны равняться нулю на бесконечности. Значения констант А1, А2, В2, В3 находятся из граничных условий (непрерывность волновой функции и ее


18

производных), которые после подстановки туда решений (2) имеют вид:

(3)

Система алгебраических уравнений (3) имеет решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

(4)

Раскрывая определитель и упрощая полученное выражение, приходим к уравнению:

.0)sinh(

)cosh(2)sinh(

22

22

ajm

ajmmjajm

B

BAA

(5)


19

определяющему разрешенные значения энергии электрона в квантовой яме. Уравнение (5) является трансцендентным и требует численного решения.

Способ численного решения следующий. Построить график

зависимости Det из формулы (2.22) от энергии электрона Е. По графику определить нули построенной функции. Это и будут разрешенные уровни энергии.

Система уравнений (2.21) имеет бесконечное множество

решений, отличающихся друг от друга произвольным множи-телем. Выражая из этой системы константы А2, В2, В3 через А1, получаем частное решение в виде:

(6)

Графики огибающих волновых функций электрона в кван-

товой яме шириной 20 атомных монослоев (11,3 нм) для пер-вых трех разрешенных уровней энергии, рассчитанных из уравнения (9), представлены на рис.1. Графики схематично наложены на зонную диаграмму гетеропереходов, образую-щих квантовую яму, при этом начало отсчета оси ординат для графиков огибающих волновых функций совмещены с соот-ветствующими значениями энергии на зонной диаграмме. Ма-териал ямы GaAs, материал барьеров Al0,3Ga0,7As.


20

Рис. 1. Огибающие волновых функций и квантованные уровни энергии электрона в прямоугольной квантовой яме со стенками

конечной высоты Как видно из рис. 2, в областях барьеров имеется опреде-

ленная , хоть и весьма малая, вероятность нахождения элек-трона. То есть электрон, преимущественно локализованный в квантовой яме приникает в области барьеров.


Построить огибающие волновых функций и квантован-ные уровни энергии электрона в прямоугольной квантовой яме, образованной слоем GaAs, заключенным между слоями AlxGa1-xAs для х=0,3. Расчет провести для двух случаев

а) ширина ямы 10 атомных слоев, б) ширина ямы 30 атомных слоев. Сравнить результаты. Сделать выводы. Сравнить положение энергетических уровней такой ямы

с энергетическими уровнями бесконечно глубокой квантовой ямы.


21

Контрольные вопросы 1. Каков физический смысл волновой функции? Почему

при физической интерпретации волновой функции го-ворят не о самой волновой функции , а о квадрате ее модуля ||2?

2. Напишите уравнение Шредингера для электрона, нахо-дящегося в водородоподобном атоме.

3. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

2

2 2

d 20.

d

mE U

x

Обоснуйте, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции, ее непрерывность и непрерывность ее первой производной.

4. Чем обусловлено требование конечности волновой функции?

5. Расчет собственных значений энергии для бесконечно глубокой квантовой ямы.

6. Покажите, что для волновой функции ψ выполняется

равенство 2

, , ,x t x t x t , где ,x t –

функция, комплексно сопряженная с ,x t .


22

Лабораторная работа № 505 "Исследование электродинамических характеристик одномерного фотонного кристалла" 1. Теоретическая часть

Полный вывод дисперсионного уравнения см. в кон-спекте лекций по ФОНФО


Построить дисперсионные характеристики для одно-мерного фотонного кристалла. Тип волны задает препо-даватель.

Рассмотреть одномерный фотонный кристалл, состоя-щий из чередующихся тонких слоев диэлектриков с па-раметрами: толщина первого слоя d1, диэлектрическая проницаемость 1, магнитная проницаемость 1=1, тол-щина второго слоя d2, диэлектрическая проницаемость 2, магнитная проницаемость 2=1. Построить дисперсион-ные кривые для первой зоны Бриллюэна. Параметры вы-брать по заданию преподавателя. В отчете по заданию должны присутствовать следующие элементы: 1. Название 2. Тип волны 3. Дисперсионное уравнение 4. Дисперсионные характеристики с указанием всех па-раметров структуры. Контрольные вопросы

1. Что такое дисперсионная характеристика. 2. Теорема Блоха. 3. Что такое фотонная запрещенная зона? Полная фо-

тонная запрещенная зона? 4. Что такое зоны Бриллюэна?


23

Лабораторная работа № 506 "Запрещенные зоны одномерного фотонного кристал-ла" 1. Теоретическая часть

Вывод дисперсионного уравнения для одномерного фотонного кристалла см. в конспекте лекций по ФОНФО. 2. Практическая часть Задание 1. Графическое определение запрещенных зон для одномерного фотонного кристалла.

Рассмотреть одномерный фотонный кристалл, со-стоящий из чередующихся тонких слоев диэлектриков с параметрами: толщина первого слоя d1, диэлектрическая проницаемость 1, магнитная проницаемость 1=1, тол-щина второго слоя d2, диэлектрическая проницаемость 2, магнитная проницаемость 2=1. Выписать дисперсион-ное соотношение для рассматриваемого кристалла. (В каждом случае Вы получаете самостоятельно необходи-мое дисперсионное соотношение).

Пример дисперсионного соотношения

221121

12

12

21

2211

sinsin2

1

coscoscos

dkdkk

k

k

k

dkdkKd

zzz

z

z

z

zz

,

где К – блоховское волновое число. а) Определить графически запрещенные зоны. Для

этого построить график функции F(,ky)=cosKd для про-извольно заданной частоты. Значения ky, при которых |cos Kd|>1, соответствуют запрещенной зоне, в которой волны не распространяются.


24

Пример графического определения запрещенных зон см. на рис.1.

Рис. 1. Графическое определение запрещенных зон для одномерного фотонного кристалла. Заштрихованы за-прещенные зоны. Начальные параметры: 1=2, 2=1, d1=100 нм, d2=100 нм, =11016 рад/с. б) Построить картину запрещенных зон для другого зна-чения частоты. Сделать вывод. в) Увеличить 1 в 5 раз. Построить картину запрещенных зон. Сделать вывод. г) Увеличить толщину слоя d1 в 2 раза. Построить карти-ну запрещенных зон. Сделать вывод. В отчете должны присутствовать следующие элементы: 1. Титульный лист 2. Схематический рис. Одномерного фотонного кристал-ла. 3. Дисперсионное соотношение для рассматриваемой волны. 4. Картины запрещенных зон для случаев а), б), в), г).


25

Задание 2. Построить диаграмму полных фотонных запрещенных зон для одномерного фотонного кристалла, состоящего из чередующихся тонких слоев диэлектриков с параметра-ми: толщина первого слоя d1, диэлектрическая проницае-мость 1, магнитная проницаемость 1=1, толщина второ-го слоя d2, диэлектрическая проницаемость 2, магнитная проницаемость 2=1.

Рис. 2.

Пример диаграммы запрещенных зон см. на рис. 2.


26

Методика выполнения. Использовать дисперсионное соотношение для рассматриваемой структуры. Задать ча-стоту . Задать шаг по оси абсцисс, задать шаг по оси ординат. Проверить для каждой точки выполнение усло-вия |cos Kd|<1. Если условие выполняется, то это разре-шенная зона. Закрашиваем. Если условие не выполняет-ся, то это запрещенная зона. Оставляем белым. Проша-гать по всей заданной области и закрасить или оставить белым все поле графика. В отчете по заданию 3 должны присутствовать следую-щие элементы: 1. Диаграммы запрещенных зон для разных параметров по заданию преподавателя.


27

Лабораторная работа 507 " Температурные характеристики полупроводнико-вых гетероструктур" 1. Теоретическая часть Ознакомиться с лекцией по квантовым свойствам полу-проводниковых гетероструктур из конспекта лекций по курсу ФОНФО 2. Практическая часть

1. Изучить руководство пользователя 08AppendixC.pdf

2. Исследовать работу полупроводникового p-n диода. За-

грузить файл SIPN.DEV

3. Построить графики Band Diagram и Electrostatics Elec-

tric Field. Изучить графики.

4. Задать входные параметры (по заданию преподавателя)

a. Например: задать температуру (Environment)

320 -350 К.

b. Задать optical input (оптический вход. Выбрать

падение сигнала слева). Выбрать интенсивность

и энергию падающего излучения (например,

длина волны 0,248 мкм или 3 эВ. Интенсив-

ность падающего света 2 мВт/см2).

c. Задать параметры на левом и правом краях дио-

да


28

Задание параметров на левом и правом краях диода:

Рисунок 1


29

d. Задать параметры на поверхности (surface)

Рисунок 2


30

e. Выбрать температурную модель

Рисунок 3


31

5. Запустить Device Start simulation. Исследовать графики

6. Поменять параметры в исследуемом диапазоне (по со-

гласованию с преподавателем). Сделать выводы

7. Записать все действия в отчет

8. Структура отчета:

Цель работы.

Описание параметров (название каждого используемо-

го параметра по-английски и по-русски).

Значения конкретных параметров, используемых в вы-

полненной работе.

Полученные зависимости.

Вывод: какие изменения наблюдаются при изменении

исследуемых параметров.


1. Зонная диаграмма полупроводникового p-n диода.

a. равновесный случай

b. прямое включение

c. обратное включение

2. Температурная зависимость параметров p-n диода.

3. Физическая модель, лежащая в основе работы рас-

четной программы (см. файл 02Model.pdf)


32

Приложение 1.

Характеристики идеального диода на основе p-n перехода

Основу выпрямительного диода составляет обычный элек-тронно-дырочный переход. Как было показано в главе 2, вольт-амперная характеристика такого диода имеет ярко выражен-ную нелинейность, приведенную на рисунке 4.1а, б, и описы-вается уравнением (4.1). В прямом смещении ток диода ин-жекционный, большой по величине и представляет собой диф-фузионную компоненту тока основных носителей. При обрат-ном смещении ток диода маленький по величине и представля-ет собой дрейфовую компоненту тока неосновных носителей. В состоянии равновесия суммарный ток, обусловленный диф-фузионными и дрейфовыми токами электронов и дырок, равен нулю.

Рис. 4.1. Параметры полупроводникового диода:

а) вольт-амперная характеристика; б) конструкция корпуса

G

s ( 1)VJ J e ,

0pDnEnDpE jjjj .


33

Для анализа приборных характеристик выпрямительного диода важными являются такие дифференциальные параметры, как коэффициент выпрямления, характеристичные сопротивления и емкости диода в зависимости от выбора рабочей точки.

2. Влияние генерации, рекомбинации и объемного со-противления базы на характеристики реальных диодов. Классический случай.

В реальных выпрямительных диодах на основе p-n перехода при анализе вольт-амперных характеристик необходимо учи-тывать влияние генерационно-рекомбинационных процессов в обедненной области p-n перехода и падение напряжения на омическом сопротивлении базы p-n перехода при протекании тока через диод.

При рассмотрении влияния генерацион-но-рекомбинационных процессов в ОПЗ p-n перехода будем считать, что доминирующим механизмом генерационно-рекомбинационного процесса является механизм Шокли – Ри-да. В этом случае для моноэнергетического рекомбинационно-го уровня, расположенного вблизи середины запрещенной зо-ны полупроводника, выражение для темпа генерации (реком-бинации) имеет вид:

n p t 1 1

n 1 p 1

( )

( ) ( )

N pn p ndn

dt n n p p

.

Параметры, входящие в соотношение 4.10, имеют следующие значения: γn, γp – вероятности захвата электронов и дырок на рекомбина-ционный уровень; Nt – концентрация рекомбинационных уровней; n, p – концентрации неравновесных носителей; n1, p1 – концентрации равновесных носителей в разрешенных зонах при условии, что рекомбинационный уровень совпадает с уровнем Ферми. Из уравнений 4.6 и 1.20 следует, что при прямом смещении (VG > 0) произведение концентрации неравновесных носителей


34

p·n будет больше, чем произведение концентрации равновес-ных носителей p1·n1 (p·n > p1·n1). Следовательно, правая часть уравнения 4.6 будет положительная, а скорость изменения концентрации неравновесных носителей dn/dt будет отрица-тельной. Таким образом, концентрация неравновесных носите-лей будет убывать и рекомбинация будет преобладать над ге-нерацией. При обратном смещении (VG < 0) соотношения будут обратны-ми, концентрация неравновесных носителей будет возрастать и генерация будет преобладать над рекомбинацией. Рассмотрим более подробно эти процессы.

3. Влияние генерации неравновесных носителей в ОПЗ p-n перехода на обратный ток диода

При обратном смещении (VG < 0) p-n перехода из соотношения 1 следует, что

22i

Ui

kT

ÔÔ

i nenenpnpn

.

Величина произведения концентрации равновесных носителей p1·n1 будет равна квадрату собственной концентрации:

211 innp .

В этом случае из уравнения 4.6 следует, что

n p t 2

n 1 p 1( ) ( )i

Ndnn

dt n n p p

.

Учтем, что значения концентрации неравновесных носителей p, n будут меньше концентрации равновесных носителей p1 и n1: p < p1, n < n1, а величины n1 и p1 определяются через объем-ное положение уровня Ферми 0t следующим образом:

0101

11 ; enpenn ii .

Тогда получаем:

epn

tpn

0101

ii

nn

ee

N

dt

dn

,

где e – эффективное время жизни неравновесных носителей, определяемое как


35

0101

pn

tpn1

e

ee

N.

Из соотношения 4.7 следует, что скорость изменения концен-трации неравновесных носителей dn/dt будет положительной, следовательно, генерация будет преобладать над рекомбинаци-ей. Для того чтобы рассчитать генерационный ток Jген, необхо-димо проинтегрировать по ширине области пространственного заряда W:

ãåí

e0

W

iqnWdn dnJ q dx q W

dt dt .

Рассмотрим зависимость генерационного тока Jген от обратного напряжения VG, приложенного к диоду, а также от температу-ры T (рис. 4.5). Зависимость генерационного тока Jген от напряжения VG будет определяться зависимостью ширины области пространственно-го заряда W от напряжения VG. Поскольку ширина области пространственного заряда W определяется как

s 0 î áð 0

D

2 ( )UW

qN

, то генерационный ток Jген будет про-

порционален корню из напряжения: Gãåí ~ VJ .

Величина дрейфовой компоненты обратного тока J0 несиммет-ричного p+-n перехода равна:

A

2

p

p

p

p0p

0N

nqLnqLJ i

.

Сделаем оценку отношения теплового J0 и генерационного Jген токов для диодов, изготовленных из различных полупроводни-ков:

in

N

L

W

J

J D

n0

ген .


36

Рис. 4.5. Вклад генерационного тока Jген в обратный ток p-n перехода

Для германия (Ge) характерны следующие параметры: W = 1 мкм; Ln = 150 мкм, ni = 1013 см-3, ND = 1015 см-3. Подстав-ляя эти величины в соотношение 4.10, получаем, что генераци-онный ток и тепловой ток одинаковы, Iген ~ Is. Для кремния (Si) характерны следующие параметры: W = 1 мкм; Ln = 500 мкм, ni = 1010 см-3, ND = 1015 см-3. Подстав-ляя эти величины в соотношение 4.10, получаем, что генераци-онный ток много больше, чем тепловой ток, Iген / Is ~ 2102. Таким образом, для кремниевых диодов на основе p-n перехода в обратном направлении преобладает генерационный ток, а для германиевых диодов – тепловой ток. Как следует из уравнения 4.10, соотношения генерационого и теплового токов зависят от собственной концентрации ni. Если собственная концентрация ni мала (широкозонный полупро-водник), – преобладает генерационный ток, если значение ni велико (узкозонный полупроводник), – преобладает тепловой ток.

4. Влияние рекомбинации неравновесных носителей в ОПЗ p-n перехода на прямой ток диода

При прямом смещении (VG > 0) p-n перехода из соотношения 1.20 следует, что

22i

Ui nenpn .


37

Из уравнений 4.6 и 1.20 следует, что при прямом смещении (VG > 0) произведение концентрации неравновесных носителей p·n будет больше, чем произведение концентрации равновес-ных носителей p1·n1 (p·n > p1·n1). Предположим, что рекомбинационный уровень Et находится посредине запрещенной зоны полупроводника Et = Ei. Тогда p1 = n1 = ni, а коэффициенты захвата одинаковы: n = p. В этом случае уравнение 4.6 примет вид:

i

Ui

npn

enN

dt

dn

2

2t

.

Из уравнения (4.11) следует, что темп рекомбинации dt

dn будет

максимален в том случае, если знаменатель имеет минималь-ное значение. Это состояние реализуется в той точке ОПЗ, ко-гда квазиуровни Ферми находятся на равном расстоянии от середины запрещенной зоны, то есть расстояние 0 n,p от сере-дины зоны Ei до квазиуровней Fn и Fp одинаково и равно

2pn,0

U .

При этих условиях знаменатель в уравнении 4.11 будет иметь

значение 22U

ien

.

Следовательно, для скорости генерации имеем:

22t

2

1U

i enNdt

dn

.

Величина рекомбинационного тока Jрек после интегрирования по ширине области пространственного заряда W имеет вид:

2t

0

рек2

U

i

W

enNqW

dxdt

dnqJ

.

Полный ток диода при прямом смещении будет склады-

ваться из диффузионной и рекомбинационной компонент:


38

2t

Dp

2p

рекдиф2

U

iUi

enNqW

eN

nqLJJJ

.

Из (4.13) следует, что прямой ток диода можно аппрокси-

мировать экспоненциальной зависимостью типа n

U

eJ

~ , в

случае значения коэффициента n = 1 ток будет диффузионным,

при n = 2 – рекомбинационным. На рисунке 4.6 показана зави-

симость тока диода от напряжения при прямом смещении в

логарифмических координатах.

Из приведенных экспериментальных данных для диода

следует, что тангенс угла наклона )(ln Jd

dUïð равен 0,028 В, что с

высокой степенью точности соответствует значению kT/q, рав-ному 0,026 В при комнатной температуре.

Рис. 2. Зависимость тока диода от напряжения при прямом смещении [2, 23]


39

5. Влияние объемного сопротивления базы диода на пря-мые характеристики

База диода на основе p-n перехода обычно легирована суще-ственно меньше, чем эмиттер. В этом случае омическое сопро-тивление квазинейтральных областей диода будет определять-ся сопротивлением базы rб, его величина рассчитывается по

классической формуле: S

lr á ,

где – удельное сопротивление, l – длина базы, S – площадь поперечного сечения диода. В типичных случаях при = 1 Омсм, l = 10-1 см, S = 10-2 см2, rб = 10 Ом. При этом падение напряжения Uб на квазинейтральном объеме базы при протекании тока J будет равно:

áá IrU (4.14)

Напряжение, приложенное к ОПЗ p-n перехода, в этом случае уменьшится на величину Vб. С учетом (4.14) вольт-амперная характеристика диода будет иметь вид:

á

0 ( 1)U Ir

I I e

; (4.15)

Из уравнения (4.15) следует, что по мере роста прямого тока вольт-амперная характеристика p-n перехода будет вырождать-ся, то есть ток будет расти не экспоненциально, а более мед-ленно, и в предельном случае на ВАХ появится омический участок. Определим критерий вырождения, как состояние диода, при котором дифференциальное сопротивление диода станет равно либо меньше омического сопротивления базы диода:

бТ1

1

диф rI

IdU

dIr

.

Следовательно, величина прямого тока, при котором наступает вырождение вольтамперной характеристики, будет равна:

б

Твыр

rI

. Для параметров диода rб = 10 Ом; Т = 0,025 В ток

вырождения будет равен: Iвыр = 2,5 мA.


40


Data & Analytics

методическая разработка к выполнению лабораторных работ по учебной дисциплине физические основы