好玩的数学 ——神奇幻方及其中包含的数学之美

经济学院 金融工程 1111787 张琪

神奇而又美妙的幻方世界 幻方，又称纵横图，由一组排放在正方形中的整数

组成。通常幻方由从 1 到的 连续整数组成，其中 n为正方形的行或列的数目。其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等，这个和数就叫“幻方常数”或“幻和”。显然，对于任意 n 阶的幻方来说，其幻方常数 S 和方阵阶数 n 的关系是 。例如 3阶的幻方常数是 15 ， 4 阶的幻方常数是 34……

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21nn 2 ）（

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百变幻方 百变幻方——数学领域中的一道名题。幻方是几千

年前中国人首先发自现的，后来传到了世界各地，引起了广泛的关注。幻方是简单得人人都可以理解的数学现象，但它又蕴含着许多人们至今仍无法回答的问题，因此自然而然成为了数学领域中受人关注的一个课题。

幻方的起源——洛书 幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于

我国古代的洛书——九宫图。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。同时，它又极其富有数学上的美感。

九宫图中的数学规律

在这一个小小的九宫图中却隐藏着许多的数字规律。从最浅显的开始：各行、列、对角线的和皆为15 。上下两行平方和皆为 101 ，左右两列平方和皆为 89 。

用数字的众数和规律去分析此图时就会发现，任意两组数字的随机组合互相相乘，其结果的众数和都为 9 ，例如第一行数字的一个随机组合数字为924 ，第二列的一个随机组合数字为 159 ，两者相乘，其结果为 146916 ，求其众数和，得1+4+6+9+1+6=27 ， 2+7=9 ，可见，结果的众数和都为 9 。

而且，如果我们把对角线分为两族，自左上角到右下角的主对角线和与它平行的两条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副族，则会衍生出更多的规律：幻方中间一行、中间一列和每条主对角线上的 3 个数当做一个 3 位数正读和反读相加之和都等于 1110 ，而且第 1 、第 3两行数和第 1 、第 3 两列数以及主、副两条折对角线正读和反读之和折半也等于 1110 ：

第 2 行： 357+753=1110

第 2 列： 951+159=1110

对角线： 456+654=1110

258+852=1110

第 1 、 3 行： [(492+294)+(816+618)]/2=1110

第 1 、 3 列： [(438+834)+(276+672)] /2=1110

主折对角线： [(231+132)+(978+879)] /2=1110

副折对角线： [(471+174)+(936+639)] /2=1110

大家觉得是不是很神奇？因此我们完全有理由在通常的幻方常数 15 之外，为洛书 3 阶幻方定义第 2 个特殊的幻方常数1110 ，而且它同 15 一样，有 8 个之多。由此可见，洛书 3 阶幻方不但在配置 9 个数字上非常均衡和对称，富有和谐之美，而且在把行、列看做一个整体的情况下，其数字的配置也非常均衡和对称。

怎样构造幻方 在对于幻方的研究中，首先一个问题当然

是如何构造幻方。在幻方构造法的研究方面，已经取得了很大的进展，有很大成绩。至今为止已经发展了许多巧妙不同的幻方构造法。最简单的幻方就是平面幻方，此外还有立体幻方、高次幻方等。对于立体幻方、高次幻方目前世界上很多数学家仍在研究，现在我们只讨论平面幻方。

对平面幻方的构造，分为三种情况：N 为奇数N 为双偶数（ n=2×2m 形式的偶数）N 为单偶数 (n=2（ 2m+1）形式的偶数 )

N 为奇数 此类最为简单，构造方法有连续摆数

法 (暹罗法 ) 、阶梯法 (楼梯法 ) 、奇偶数分开的菱形法等，下面以连续摆数法为例，向大家介绍奇数阶幻方的构造法。

连续摆数法： 把“ 1” 放在中间一列最上边的方格中，从它开

始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。按照这一法则构成 5 阶幻方的示例如下图：

N 为双偶数 构造方法有对称法，对角线法，比

例放大法等N 为单偶数 构造的方法有斯特雷奇法、 LUX 法

等

至此，我对奇数阶、单偶数阶、双偶数阶幻方都已分别介绍了一些构造方法，当然，也有一些方法可以构造任意阶的幻方，如镶边法、相乘法等，有兴趣的同学可以利用课余时间了解这些方法，相信对开拓我们的思维一定有很大的帮助。

小结 相信通过以上的介绍，大家一定对幻方有了

更多的了解，并且为幻方所感染。我们可以看到幻方所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系，都表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理理念。它可以激起我们想象空间的升华，使我们在数字结构中感受数学之美。

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