Правильный пятиугольник. Геометрия. Декоративное искусство. Архитектура

ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

(ΠΕΝΤΆΓΩΝO)ГЕОМЕТРИЯ

ДЕКОРАТИВНОЕ ИСКУССТВОАРХИТЕКТУРА

МОСКВА 2012

ЛИТВИНОВ В.Н.

Предисловие 3

Золотое сечение в правильном пятиугольнике 4Воспроизведение правильного пятиугольника 5 Правильный пятиугольник, вписанный в окружность 6Правильный пятиугольник по стороне 15 Правильный пятиугольник по диагонали 26 Правильный пятиугольник, вписанный в правильный треугольник 32 Правильный пятиугольник, описанный вокруг окружности 34Окружность, описанная/вписанная в правильный пятиугольник 36Квадрат, вписанный в правильный пятиугольник 37 Правильный треугольник, вписанный в правильный пятиугольник 38Звёздчатый пятиугольник, вписанный в полуокружность 40Правильный пятиугольник с заданной стороной 41Пять равных окружностей, вписанных в окружность 42Пять дуг, вписанных в окружность 43Прямоугольник, равновеликий правильному пятиугольнику 44

Приложение I. Вспомогательные построения 45

Деление отрезка или дуги пополам 47Деление угла пополам 48Перпендикуляр к отрезку через конечную точку 50Перпендикуляр к отрезку через точку на нём 53Перпендикуляр к прямой через точку на ней 54Перпендикуляр к прямой через точку вне её 58Прямая, параллельная заданной, проходящая через заданную точку 62Деление отрезка в золотом сечении 69Меньшая часть золотого сечения по большей 72Построение ряда отрезков на основе золотого сечения 73Деление отрезка на равные части 74Деление полуокружности на пять равных частей 76Деление прямого угла на пять равных частей 77Золотой треугольник по боковой стороне 78Золотой треугольник по основанию 79

Приложение II. Правильный пятиугольник в декоративном искусстве и архитектуре 81

ОГЛАВЛЕНИЕ

Как известно, сущность все-ленной можно познать, изучая свой-ства геометрических тел. Эта мысль принадлежит пифагорейцам и ни-сколько не устарела к настоящему вре-мени. Мы начнём изучать геометри-ческие фигуры с правильного пятиу-гольника, то есть пентагона (от греч. πενταγωνο – пятиугольник или πέντε – пять и γωνία – угол). Этот выбор обусловлен тем, что правильный пятиугольник — фи-гура, которая содержит в себе золотое сечение. Золотое сечение имеет огром-ное значение в архитектуре, изобрази-тельном искусстве, музыке, литерату-ре, во всех отраслях дизайна и в жизни вообще. Золотое сечение содержится и в пропорциях человека. В данном издании приводят-ся различные способы построения пра-вильных пятиугольников, многие из которых приближенные, но их точ-ность достаточна для практических це-лей. При этом используются различ-ные исходные данные. Кроме того, в приложении даны вспомогательные построения, необходимые для пони-мания изложенного матeриала. Также приведены примеры применения пя-

тиугольников в декоративном искус-стве и архитектуре. Издание будет полезно лицам, интересующимся геометрией, система-ми пропорционирования, архитекто-рам, художникам, дизайнерам и всем, кто хотел бы расширить круг своих по-знаний. Воспринимать материал будет проще, если читатель знаком с базо-выми понятими геометрии (точка, пря-мая, окружность, дуга, прямой угол, бисектриса, перпендикуляр и т.п.).

Выпуклый многоуголь-ник – фигура, у которой угол при любой вершине меньше 1800. Правильный пятиуголь-ник (рис. 1) – выпуклая фигура, имеющая пять вершин, все сторо-ны которой равны между собой. Звездчатый пятиугольник (рис. 2) – фигура, полученная со-единением вершин пятиугольника через одну. Отрезок АВ поделен точ-кой С в золотом сечении, если большая его часть так относит-ся к меньшей, как целый отрезок к большей. То есть: АС/СВ = АВ/АС (рис. 3).

ПРЕДИСЛОВИЕ

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3

3

Звёздчатый пятиугольник образуется из правильного пятиугольника соеди-нением его вершин через одну. На рисунке показано, какие отрезки содержат в себе золотое се-

чение и как образуются точки деления этих отрезков. Прописной буквой М обозначены большие части отрезков, строчной m – меньшие.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕВ ПРАВИЛЬНОМ ПЯТИУГОЛЬНИКЕ

4

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правиль-ный пятиугольник АВСDE.

П о с т р о е н и е . На исходном пятиу-гольнике: через середину стороны АВ проведём перпендикуляр. Получим точку F. Построение копии: Проведём отрезок А'B' = АВ. Через его сере-дину проведём перпендикуляр. По-лучим точку F'. На нём, от точки F', отложим вверх (по рисунку) отрезок

F'D' = FD. Из точек А' и D' как из центров проводим две дуги радиусом AB. Получим точку E'. То же самое сделаем из точек B' и D'. Получим точку C'. Пятиугольник, идентичный за-данному будет иметь вершины A', B', C', D', E'.

1. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО ПЯТИУГОЛЬНИКА

5

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окруж-ность с центром в точке О.

П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ. Поделим его на пять равных частей. Получим точки 1, ..., 4. Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиусом АВ. Они пересекутся в точке С. Через точки С и 3 проведём прямую. Она пересечёт

окружность в точке D. Из точки А или из точки D засечём остальные верши-ны пятиугольника радиусом AD. По-лучим точки E, G, F. Искомый пятиугольник имеет вершины A, D, F, G, E.

2. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

6


П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ. Построим ему препендикулярный. На окружности получим точки С и D. Поделим ра-диус АО пополам. Получим точку Е. Проведём отрезок СЕ. Проведём бисектрису угла СЕО. Она пересечет

радиус СО в точке F. Через точку F проведём прямую, параллельную АВ. На окружности получим точки G и H. Из точек G и H радиусом CG на окружности засечём точки H, I и K. Искомый пятиугольник имеет вершины C, H, I, K, G.


7


П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикуляр к нему. На окружности получим точку C. Из точ-ки В как из центра проведем дугу ра-диусом BО. На окружности получим точки D и Е. Проведём прямую DE. На диаметре АВ получим точку F. Из точки F как из центра проведём дугу

радиусом FC. На прямой АВ получим точки H и I. Из точки С как из цен-тра проведём дугу радиусом СH. На окружности получим точки 1 и 2. Из точки С как из центра проведём дугу радиусом CI. На окружности получим точки 3 и 4. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках 1, C, 2, 4, 3.


8


П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикуляр к нему. На окружности получим точку F. Из точ-ки В как из центра проведем дугу ра-диусом BО. На окружности получим точки C и D. Проведём прямую CD. На диаметре АВ получим точку E. Из

точки E как из центра проведём дугу радиусом EF. На диаметре АВ полу-чим точку G. Из точки F как из цен-тра проведём дугу радиусом FG. На окружности получим точки 1 и 2. Из точек 1 и 2 тем же радиусом на окруж-ности засечём точки 3 и 4. Пятиуголь-ник построен.


9


П о с т р о е н и е . Проведём про-извольный диаметр АВ. Через точ-ку О проведём перпендикулярный к нему — CD. Поделим радиус АО по-полам. Получим точку E. Проведём прямую EC. Из точки Е как из центра проведём окружность радиусом ЕО. На пересечении с прямой EC получим

точку F. Из точки С как из центра проведём дугу радиусом CF. На исхо-дной окружности получим точки 1 и 2. Из точек 1 и 2 проведём две дуги ра-диусом 1-2. На исходной окружности получим точки 3 и 4. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках 1, 2, 4, D, 3.


10


П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикуляр к нему. На окружности получим точку G. Из точ-ки В как из центра проведем дугу ра-диусом BО. На окружности получим точки D и Е. Проведём прямую DE. На диаметре АВ получим точку F. Из точки F как из центра проведём дугу радиусом FG. На диаметре АВ по-

лучим точку H. Точка H делит радиус АО в золотом сечении. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом ОН. На окружности получим точки 1 и 2. Из точки В как из центра прове-дём дугу радиусом 1-2. На окружно-сти получим точки 3 и 4. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках 1, 2, 3, В, 4.


11

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окруж-ность радиусом R с центром в точ-ке О.

П о с т р о е н и е . Проведём про-извольный диаметр АВ. Через точ-ку О проведём перпендикулярный к нему — CD. Через точки С и D про-ведём перпендикуляры к CD и отло-жим на них в разные стороны (как на рисунке) отрезки DE = 4R и CF = R. Проведём прямую EF. Она пе-ресечёт окружность в точках G и H.

Проведём прямые DG и DH. На ди-аметре АВ получим точки I и K соот-ветственно. Через точки I и K прове-дём перпендикуляры к диаметру АВ. На окружности получим точки L, M и N, P соответственно. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках L, M, P, B, N.


12

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окруж-ность с известным положением цен-тра.

П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ и поделим его на три части. Получим точки C и D. Че-рез точку D проведём перпендикуляр к АВ. На окружности получим точки

E и F. Проведём прямые EC и FC. На окружности получим точки G и H. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках B, E, H, G, F.

9. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК,ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

13

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окруж-ность с центром в точке О, прямой угол.

П о с т р о е н и е . Проведём произ-вольный диаметр АВ и перпенди-кулярный ему - CD. Через точку В проведём перпендикуляр к АВ, через точку D проведём перпендикуляр к CD. Они пересекутся в точке Е. Рас-положим прямой угол так, чтобы его стороны проходили через точки С и Е, а вершина лежала на диаметре АВ.

Отметим на диаметре положение вер-шины точкой F. Расстояние CF есть сторона вписанного пятиугольника. Начиная с любой точки (в данном слу-чае с точки С), засечём циркулем на окружности вершины пятиугольника. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках С, Н, K, I, G.

10. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК,ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

14

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Разделим отрезок АВ пополам. Получим точку D. Через точку В проведём перпендикуляр к от-резку АВ. Из точки В проведём дугу радиусом АВ. Получим на перпенди-куляре точку С. Из точки D проведём дугу радиусом DC. На продолжении отрезка АВ получим точку E. Из то-

чек А и В проведём две дуги радиу-сом АЕ. Они пересекутся в точке H. На пересечении с дугой из точки В по-лучим точку F. Из точки А проведём дугу радиусом АВ. Получим точку G. Искомый пятиугольник имеет вершины А, В, F, H и G.

11. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

15


П о с т р о е н и е . Поделим отрезок АВ в золотом сечении так, чтобы точ-ка деления была ближе к точке А. По-лучим точку С. Продолжим отрезок АВ и от точки В вправо отложим рас-стояние BD = BC. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом AD,

то же из точки В. При пересечении дуг получим точку E. Из точек B и А как из центров проведём две дуги радиу-сом AB. Получим точки G и F. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, F, E, G.

12. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИКПО СТОРОНЕ

16


П о с т р о е н и е . Через середину от-резка АВ проведём перпендикуляр. Получим точку С. Через точку В про-ведём перпендикуляр к АВ. Из точки В проведём дугу радиусом ВС. Полу-чим точку D. Проведём прямую АD. Из точки D проведём дугу радиусом DB. На прямой AD получим точку E. Из точки В проведём дугу радиусом BE. На перпендикуляре к АВ через

С получим точку О - центр описанной окружности. Из точки О проведём окружность радиусом ОА, которая пересечёт прямую СО в точке Н. Из точек А и В проведём две дуги радиу-сом АВ. На окружности получим точ-ки G и F. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, F, H, G.


17


П о с т р о е н и е . Поделим отрезок АВ на шесть равных частей. Получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Из точек А и В как из центров проведём две дуги ра-диусом АВ. Они пересекутся в точке С. Проведём через точки С и 3 пря-мую. На прямой С-3 от точки С вверх

(по рисунку) отложим 4/6 расстояния АВ, то есть, например, отрезок А-4. Получим точку D. Из точки D как из центра проведём дугу радиусом АВ. Получим точки E и F. Искомый пятиугольник имеет вершины А, В, F, D и Е.


18


П о с т р о е н и е . Через точку В про-ведём перпендикуляр к отрезку АВ. Из точки В как из центра проведём дугу до пересечения с перпендикуляром в точке 5, которую поделим на пять ча-стей и получим точки 1, 2, 3 и 4. Через середину отрезка АВ проведём пер-пендикуляр. Проведём прямую В-3. Она пересечёт перпендикуляр к сере-

дине АВ в точке О - центре окружно-сти, описанной вокруг искомого пятиу-гольника. Из точки О как из центра проводим окружность радиусом ОВ или ОА. Получим точки D и С. Про-ведём из точки А дугу радиусом АВ, которая пересечёт окружность в точке Е. Искомый пятиугольник имеет вер-шины А, В, С, D, E.


19


П о с т р о е н и е . На отрезке АВ как на радиусе построим полуокружность и поделим её на пять равных частей. Получим точки 1, ..., 4. Проведём от-резок В-3. Через середины отрезков АВ и В-3 проведём перпендикудяры. Они пересекутся в точке О - центре описанной или вписанной в искомый

пятиугольник окружности. Из точки О как из центра проведём окружность радиусом ОА. На окружности из точ-ки А и из точки 3 засечем радиусом АВ точки D и Е. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, 3, E, D.


20


П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём окружность радиу-сом АВ. Поделим её на пять частей так, чтобы одна из точек (обозначена как С) лежала на продолжении отрез-ка АВ. Пусть соседняя от С точка на окружности, полученная в результа-те деления её на пять частей, будет D.

Проведём отрезок AD. Через середи-ны отрезков АВ и AD проведём пер-пендикуляры. Они пересекутся в точке О - центре описанной вокруг искомого пятиугольника окружности. Радиусом АВ засечём на окружности остальные точки искомого пятиугольника - точки E и F.


21


П о с т р о е н и е . На стороне АВ как на основании строим золотой треуголь-ник АВС (см. Приложение 1, постро-ение П.33). Через середины сторон АС и ВС проводим перпендикуляры. Они пересекутся в точке О — центре описанной вокруг искомого пятиуголь-

ника окружности. Из точки О как из центра проводим окружность радиу-сом ОА. Она пересечёт перпендикуля-ры к сторонам АС и ВС в точках D и E. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках A, B, D, C, E.


22


П о с т р о е н и е . Проведём через точ-ку В перпендикуляр к АВ. Проведём через середину отрезка АВ перпенди-куляр. Получим точку D. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом АВ. Получим точки С и F. Проведём прямую АС. На прямой DF получим точку E. Поделим отрезок EF попо-

лам. Получим точку G. Из точки G как из центра проведём окружность радиусом АВ. Отметим точки H и K. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АВ. На окружности получим точку I. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, K, H, I.


23


П о с т р о е н и е . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из цен-тров проведём две дуги. Они пересе-кутся в точке С. Из точки С проведём дугу, которая даст точки D и Е. Через точки А и В проведем перпендикуляры к отрезку АВ. На пересечении с дугой из точки С получим точки F и G. Из

точек F и G на перпендикулярах засе-чём точки H и I соответственно. Про-ведём прямые АI и ВН. На пересече-нии с дугами из точек А и В получим точки K и L соответственно. Из точек K и L проведем две дуги, которые пе-ресекутся в точке M. Точки А, В, K, M и L образу-ют правильный пятиугольник.


24


П о с т р о е н и е . Все окружности и дуги выполняются одним и тем же ра-диусом, равным АВ. Из точек А и В как из центров проведём две окруж-ности. При их пересечении получим точки C и D. Проведём прямую CD. Из точки С как из центра проведём

окружность, которая даст точки E, F и G. Проведём прямые EF и GF. По-лучим точки H и I соответственно. Из точек H и I проведём две дуги, кото-рые пересекутся в точке K. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, H, K, I.


25

И с х о д н ы е д а н н ы е : Диагональ пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Разделим диагональ АВ в золотом сечении точкой С так, чтобы отрезок ВС был большей ча-стью АВ. Из точек А и В как из цен-тров проведём две дуги радиусом ВС. Они пересекутся в точке D. Из точек

А и В проведём две дуги радиусом АВ. Получим точки E и F. Точки A, D, B, F и E являют-ся вершинами искомого правильного пятиугольника.

22. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

26


П о с т р о е н и е . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пере-секутся в точках С и D. Проведём прямую CD. Из точки D проведём дугу, которая на прямой CD засечёт точку E. Из точки E проведём дугу, которая на прямой CD засечёт точку F. Из точки F проведём дугу, которая

пройдёт через точку E и засечёт точки G и Н. Из точки H проведём дугу и на прямой CD получим точку K. Из точки K проведём дугу и на прямой CD получим точку L. Из точки L проведём дугу и на дугах с центрами в А и В получим точки M и N. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках A, L, B, N, M.

23. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

27


П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 1 . Рас-твор циркуля в течение всего построе-ния постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пересекутся в точках С и D. Про-ведём прямую CD. Получим точку Е. Из точки Е проведём окружность. На прямой CD получим точки N и G. Из точки C на прямой CD засечём точку

F. Из точки F проведем дугу, которая при пересечении с дугами из точек А и В даст точки H и I, а при пересечении с прямой CD даст точку M. Проведём прямые AI и ВН. На пересечении с окружностью получим точки L и K. Из точек L и K засечём на окружно-сти точки O и P соответственно.

24.1. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

28

И с х о д н ы е д а н н ы е : Построе-ние, выполненное в части 1.

П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 2 . Рас-твор циркуля в течение всего построе-ния постоянен и равен АВ. Проведём прямую ОР. При пересечении с пря-мой CD получим точку Q. Из точки Q на прямой CD засечём точку R. Из

точки G как из центра проведём дугу. Из точки R также проведём дугу. На их пересечении получим точки S и T. Проведём прямые GS, GT, ON, PN. Они образуют контур искомого пятиу-гольника.

24.2 ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

29


П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 1 . Рас-твор циркуля в течение всего построе-ния постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пересекутся в точках С и D. Проведём прямую CD. Получим точ-ку Е. Из точек С и Е на прямой СD засечём точки F и G. Из точки G как из центра проведём окружность. Из точки F проведём дугу, которая засе-

чёт точки H и I. Из точек H и I как из центров проведем две дуги, которые пересекутся в точке K. Проведём две прямые: HK и IK. На окружности по-лучим точки L и M. Из точек L и M засечём на окружности точки N и О. Из точки Е на окружности заcечём точки P и Q. Проведём прямую PQ и на пересечении с прямой CD отметим точку R.


30

И с х о д н ы е д а н н ы е : Построе-ние, выполненное в части 1.

П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 2 . Рас-твор циркуля в течение всего построе-ния постоянен и равен АВ. Проведём прямые AR и BR. На окружности по-лучим точки S и T. Из точек S и T на окружности засечём точки U и V. Проведём прямые UG и VG. При пе-

ресечении прямых OR и NR с окруж-ностью отметим точки X и Z. Прове-дём прямые XN и ZO. Таким образом, получен кон-тур искомого правильного пятиуголь-ника. Он ограничен прямыми UG, GV, OZ, AB и XN.


31

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правиль-ный треугольник АВС.

П о с т р о е н и е . Через точку А про-ведём перпендикуляр к стороне АВ. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АВ. Она пересечёт перпендикуляр в точке 5. Поделим дугу В-5 на пять равных частей. По-лучим точки 1, ..., 4. Из точки 5 как из центра провдеём дугу радиусом 5-4. Получим точку 6. Проведём прямую А-6. Поделим отрезок АВ пополам. Получим точку D. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом

АD. На прямой А-6 получим точку E. Проведём прямую ED. На сторо-не СВ получим точку F. Через точку F проведём прямую, параллельную АВ. На стороне AC получим точку G. Проведём прямые DG и С-6. При их пересечении получим точку H. Через точку Н проведём прямую, параллель-ную AB. При пересечении с прямой DF получим точку K. Из точек H и K проведём две дуги радиусом HD, которые на сторонах АС и СВ дадут точки I и L. Искомый пятиугольник имеет вершины D, K, L, I, H.

26. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

32

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правиль-ный треугольник АВС.

П о с т р о е н и е . Из точки С на АВ опустим перпендикуляр. Получим точ-ку D. Поделим отрезок DB на шесть равных частей. На одной шестой от точки В отметим точку Е. Проведём прямую EC. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом в половину отрезка DB. На стороне BC получим точку F. Проведём прямую DF. Она пересечёт прямую CE в точке H. Из точки H как из центра проведём дугу радиусом HD. На стороне BC полу-

чим точку K. Через точку K проведём прямую, параллельную АВ. На сторо-не АС получим точку L. Из точек D и L как из центров проведём дуги ради-усом DH. Они пересекутся в точке I. Искомый пятиугольник имеет вершины D, H, K, L, I. Как видно по пунктирной окружности, построение весьма при-ближенное. Окружность была прове-дена для иллюстрации погрешности.

27. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

33


П о с т р о е н и е . Поделим окруж-ность на пять частей любым способом. Получим точки 1, ..., 5. Проведём от-резок 1-2 и поделим его точкой А в зо-лотом сечении так чтобы отрезок 1-А был большей частью отрезка 1-2. Из

точек 1, ..., 5 как из центров проведём окружности радиусом 1-А. Окружно-сти пересекутся в точках В, С, D, E и F. Соединив эти точки, получим ис-комый пятиугольник.

28. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК,ОПИСАННЫЙ ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ

34


П о с т р о е н и е . Поделим окруж-ность на пять частей любым способом. Получим точки 1, ..., 5. Провдём к эитим точкам радиусы: О-1, ..., О-5. Через точки 1, ..., 5 проведём перпен-

дикуляры к соответствующим радиу-сам. Точки их пересечения обозначим как A, B, C, D, E, которые и будут вершинами искомого пятиугольника.

29. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК,ОПИСАННЫЙ ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ

35


П о с т р о е н и е . Чтобы найти центр вписанной/описанной окружности можно сделать следующее 1) провести бискетрисы любых двух углов. Точка их пересечения будет искомым центром; 2) провести перпендикуляры через се-редины любых двух сторон. Точка их пересечения будет искомым центром;

3) Провести перпендикуляр через се-редину одной из сторон и бисектису одного из углов. Точка их пересечения будет искомым центром. После определения центра О, проведём вписаную окружность ра-диусом ОF или описанную радиусом ОА.

30. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ/ВПИСАННАЯ В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

36


П о с т р о е н и е . Проведём диагональ EC. Через точку Е проведём перпен-дикуляр к прямой EC. Из точки Е как из центра проведём дугу радиу-сом EC. На перпендикуляре получим точку F. Проведём прямую FD. На стророне EA получим точку G - одну из вершин искомого квадрата. Через точку G проведём две прямые - па-раллельную АВ и параллельную EF.

На стороне BC получим точку K, на стороне DE получим точку H. Точку I на стороне DC найдём, проведя через точку H прямую, параллельную АВ или через точку K прямую, параллель-ную EF, или, проведя бисектрису угла HGK, или же, проведя дугу радиусом GH из точки H или K. Искомый квадрат имеет вер-шины G, H, I, K.

31. КВАДРАТ, ВПИСАННЫЙВ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

37


П о с т р о е н и е . Из точки D на сто-рону АВ опустим перпендикуляр. Из точки D как из центра прове-дём окружность произвольного ради-уса. На перпендикуляре получим точ-ку 1. Из точки 1 как из центра прове-дём еще одну окружность того же ра-диуса. На первой окружности полу-чим точку 2. Из точки 2 как из цен-

тра проведём третью окружность, рав-ную двум предыдущим. Получим точ-ку 3. Проведём прямую D-3. На сто-роне ВС получим точку G. Через точ-ку G проведём прямую, параллельную АВ. На стороне AE получим точку F. Искомый треугольник имеет вершины D, G, F.

32. ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

38


П о с т р о е н и е . Найдём центр (точ-ку О) описанной вокруг пятиугольника окружности и проведём её. Из верши-ны D как из центра проведём дугу ра-диусом DO. На окружности получим точку F. Поделим дугу FO пополам.

На стороне EA получим точку G. Че-рез точку G проведём прямую, парал-лельную АВ. На стороне BC получим точку H. Искомый треугольник имеет вершины D, G, H.

33. ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

39

И с х о д н ы е д а н н ы е : Полуо-кружность с центром в точке С.

П о с т р о е н и е . Проведём через точку С перпендикуляр к диаметру АВ. На полуокружности получим точ-ку D. Поделим отрезок CD пополам и получим точку E. Проведём отрезок BE. Из точки Е как из центра про-ведём дугу радиусом EC. На прямой BE получим точку F. Из точки B как из центра проведём дугу радиу-

сом BF. На полуокружности получим точку G. Проведём прямую CG. При пересечении с дугой FG получим точ-ку H. Проведём прямую BН. На по-луокружности получим точку I. Через точку H проведём прямую, параллель-ную AB. Из точки Е как из центра проведём дугу через точку H и на этой прямой отметим точку L. Из точки D как из центра проведём дугу радиусом DI, которая на полуокружности засе-чёт точку K. Чтобы начертить звёздчатый пятиугольник, соединим последова-тельно точки С, K, L, H, I, C.

34. ЗВЁЗДЧАТЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПОЛУОКРУЖНОСТЬ

40

И с х о д н ы е д а н н ы е : Исходный пятиугольник A, B, C, D, E, отрезок заданной длины.

П о с т р о е н и е . Построим бисектри-сы углов при вершинах E и С. При их пересечении получим точку О - центр описанной или вписанной окружности. Проведём радиусы АО, ВО, DO. На любой стороне (например на ED) от-ложим отрезок заданной длины. По-лучим точку F. Через точку F про-

ведём прямую, параллельную радиусу EO. При пересечении с радиусом DO получим точку G. Из точки О как из центра проведём окружность радиусом GO. Получим точки 1, 2, 3, 4. Искомый пятиугольник имеет вершины G, 1, 2, 3, 4.

35. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИКС ЗАДАННОЙ СТОРОНОЙ

41


П о с т р о е н и е : Поделим заданную окружность на пять частей любым способом. Получим точки 1, ..., 5. Проведём радиусы О-1, ..., О-5. Че-рез точку 1 проведём перпендикуляр к радиусу О-1. На пересечении с ра-диусом О-4 получим точку А. Поде-лим угол 1-А-О пополам. Бисектриса угла пересечёт радиус О-1 в точке В.

Из точки О как из центра проведём окружность радиусом ОВ. На ней лежат центры искомых вписанных окружностей (точки 2', ..., 5'), радиус которых равен отрезку В-1. Из точек В, 2', ..., 5' как из центров проведём искомые окруж-ности.

36. ПЯТЬ РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ, ВПИСАННЫХ В ОКРУЖНОСТЬ

42

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окруж-ность с центром с точке О.

П о с т р о е н и е : Поделим окруж-ность на пять частей любым способом. Получим точки А, B, C, D, Е. Про-ведём радиусы ОА, ОВ, ОС, ОD и ОЕ. Через точку О проведём пер-пендикуляр, например, к прямой ОА. На окружности получим точки F и G. Проведём прямую FA или GA. По-делим угол EOA пополам. Бисектриса

угла пересечёт прямую FA в точке Н. Из точки Н опустим перпендикуляр на ОА. Получим точку О1. Из точки О как из центра проведём окружность радиусом ОО1. Получим точки О2, О3, О4, О5. Из точек О1, ..., О5 как из центров проведём дуги радиусом О1А. Все необходимые построения выпол-нены.

37. ПЯТЬ ДУГ, ВПИСАННЫХ В ОКРУЖНОСТЬ

43


П о с т р о е н и е : Найдём центр впи-саной или описанной окружности. Обозначим его точкой О. Из точки О на сторону АЕ опустим перпендику-ляр. Получим точку F. Из точки Е как из центра проведём дугу, которая пере-

сечет продолжение стороны АЕ в точ-ке G. От точки G вправо (по рисунку) отложим расстояние GH = AE. На отрезках OF и FH построим прямоу-гольник, площадь которого будет рав-на площади пятиугольника.

38. ПРЯМОУГОЛЬНИК, РАВНОВЕЛИКИЙПРАВИЛЬНОМУ ПЯТИУГОЛЬНИКУ

44

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отрезок АВ или дуга АВ .

П о с т р о е н и е . Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиу-сом, большим половины расстояния АВ. Они пересекутся в точках С и D.

Проведём прямую СD. Она пересечёт отрезок АВ или дугу АВ в середине. Более того, прямая CD перпендику-лярна отрезку АВ.

П.1. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ИЛИ ДУГИ ПОПОЛАМ

47

И с х о д н ы е д а н н ы е : Угол с вер-шиной в точке А.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла в точках В и С. Из точек В и С как из центров проведём две дуги того же ра-

диуса или любого другого, но так, что-бы они пересеклись. Точку пересече-ния дуг обозначим D. Прямая АD де-лит заданный угол пополам, то есть яв-ляется его бисектрисой.

П.2. ДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОПОЛАМ

48

И с х о д н ы е д а н н ы е : Угол с вер-шиной в точке А.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём две дуги разных ра-диусов. Они пересекут стороны угла в точках В, С и D, E. Проведём прямые

BD и CE. Они пересекутся в точке F. Прямая АF делит заданный угол по-полам, то есть является его бисек-трисой.

П.3. ДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОПОЛАМ

49

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отре-зок АВ.

П о с т р о е н и е . Вне прямой возь-мём произвольно точку С. Из точки С как из центра проведём окружность радиусом СА. Она пересечёт прямую

АВ в точке D. Проведём прямую CD. Она пересечёт окружность в точке E. Прямая, проведённая через точки А и Е перпендикулярна отрезку АВ.

П.4. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ ЧЕРЕЗ КОНЕЧНУЮ ТОЧКУ

50


П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса r. На отрезке АВ получим точку D. Из точки D как из центра проведём вторую дугу того же радиуса. Точку пересечения дуг обозначим C.

Из точки С как из центра снова про-ведём дугу того же радиуса и проведём прямую CD. При их пересечении по-лучим точку Е. Прямая АЕ перпенди-кулярна отрезку АВ.


51


П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём дугу произвольно-го радиуса r. В ходе дальнейшего по-строения раствор циркуля не изменя-ется и остаётся равным r. На отрезке АВ получим точку D. Из точки D как из центра проведём вторую дугу. Точ-

ку пересечения дуг обозначим C. Из точки С как из центра проведём тре-тью дугу. Получим точку F. Из точки F проведём последнюю дугу и получим точку E. Прямая АЕ перпендикуляр-на отрезку АВ.


52

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отре-зок АВ. Точка С на нём.

П о с т р о е н и е . Из точки С как из центра проведём дугу произвольного радиуса. На отрезке АВ получим точ-ки D и Е. Из точек D и Е как из цен-

тров проведём две дуги, радиус кото-рых больше половины расстояния DE. Они пересекутся в точках F и G. Пря-мая FG перпендикулярна отрезку АВ.

П.7. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЁМ

53

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка А на ней.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём две дуги. Одну ра-диусом 3 единицы и вторую радиусом 4 единицы. Единицы можно выбрать произвольно, так как важно отноше-ние радиусов, а не их величина. Ма-лая дуга пересечёт прямую в точке В. Из точки B как из центра проведём дугу радиусом 5 единиц. Она пересе-

чет дугу радиусом 4 единицы в точке С. Прямая АС перпендикулярна пря-мой m. Построение основано на том, что треугольник, стороны которого от-носятся как 3 : 4 : 5, является прямо-угольным. Такой треугольник также на-зывается Египетским или Священным.

П.8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЕЙ

54


П о с т р о е н и е : Начиная из точки А как из центра, произвольным ради-усом АВ на прямой засечём три рав-ных расстояния в одну сторону и че-тыре в другую. Получим точки С и D. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АС, из точки D как из центра проведём дугу радиусом DB.

Дуги пересекутся в точке Е. АЕ - ис-комый перпендикуляр. Построение основано на том, что треугольник, стороны которого от-носятся как 3 : 4 : 5, является прямоу-гольным. Такой треугольник также на-зывается Египетским или Священным.


55


П о с т р о е н и е : На прямой m про-извольно возьмём точку В и через неё проведём произвольную прямую. На ней отметим точку С так, чтобы отре-зок ВС был равен отрезку АВ. Про-ведём прямую АС и на ней отметим точку D так, чтобы отрезок АD был равен отрезку АВ. Вправо (по ри-

сунку) от точки А на прямой m отме-тим точку Е, причём отрезок АЕ дол-жен быть равен отрезку АС. Прове-дём прямую ED и на ней отметим точ-ку F так, чтобы отрезок ED был ра-вен отрезку FD. Прямая, проведённая через точки А и F, перпендикулярна прямой m.

П.10. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЕЙ

56

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая, заданная точками А и В. Точка С на ней.

П о с т р о е н и е . Возьмём на прямой произвольную точку D. Из точек C и D как из центров произвольным ра-диусом проведём две окружности так, чтобы они пересеклись. Точку пересе-

чения отметим как E. Проведём пря-мую DE. От точки E отложим отре-зок EF = DE в сторону, противопо-ложную от точки D. Прямая FC будет искомым перпендикуляром.


57

И с х о д н ы е д а н н ы е : Произ-вольная прямая m и точка А вне её.

П о с т р о е н и е : Возьмём на пря-мой произвольную точку В. Проведём отрезок АВ и поделим его пополам. Получим точку С. Из точки С как

из центра проведём полуокружность радиусом CA, которая пересечёт пря-мую в точке D. Прямая AD перпенди-кулярна заданной прямой.

П.12. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВНЕ ЕЁ

58


П о с т р о е н и е : Возьмём на прямой две произвольные точки: В и С. Из точек В и С как из центров проведём через точку А две дуги: радиусами ВА

и СА. Точку пересечения дуг обозна-чим D. Прямая AD перпендикулярна заданной прямой.


59


П о с т р о е н и е : Из произвольной точки прямой (например, О) как из центра проведём дугу так, чтобы про-екция точки А приблизительно попа-дала на диаметр полуокружности. По-лучим точки В и С. Проведём прямые ВА и СА. При их пересечении с ду-гой получим точки D и E. Проведём прямые BE и CD. Они пересекутся в

точке F. Прямая AF перпендикулярна прямой m. Данное построение основа-но на том, что высоты, опущенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, а также на том, что угол, построенный на диаметре окружности, является прямым.


60

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка А вне её.

П о с т р о е н и е : Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла пря-мую m в двух точках: В и С. Из точек В и С как из ценров радиусом, чуть

большим, чем половина расстояния ВС, проведём две дуги. Они пересе-кутся в точке D. Проведя через точку пересечения дуг и точку А прямую, по-лучим искомый перпендикуляр.


61


П о с т р о е н и е : Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла пря-мую m в двух точках. Отметим точку В. Из точки В как из центра прове-

дём дугу того же радиуса и на прямой m получим точку С. Из точки С как из ценра снова проведём дугу того же радиуса и отметим точку D. Прямая АD - искомая.

П.16. ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЗАДАННОЙ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ТОЧКУ

62


П о с т р о е н и е : На прямой m возь-мём произвольную точку В. Проведем прямую АВ. На её продолжении возь-мём произвольную точку С. Из точ-ки С как из центра проведём дугу ра-диусом СВ до песечения с прямой m. Получим точку D. Проведём прямую

CD. Из точки C как из центра про-ведём дугу радиусом CA. При пере-сечении с прямой CD получим точку E. Прямая АЕ параллельна заданной. Построение основано на тео-реме Фалеса.


63


П о с т р о е н и е : На прямой m возь-мём две произвольные точки В и С. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом ВС, из точки С как из

центра проведём дугу радиусом АВ. Дуги пересекутся в точке D. Прямая АD - искомая.


64


П о с т р о е н и е : Из точки А опустим на прямую перпендикуляр. Получим точку В. На прямой m произвольно возьмём точку С и проведём через неё

перпендикуляр к прямой m. Из точки С как из центра проведём дугу радиу-сом АВ. Получим точку D. Искомая прямая пройдет через точки А и D.


65

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка P вне её.

П о с т р о е н и е : Из точки P прове-дём произвольным радиусом R дугу так, чтобы она пересекла прямую m. Получим точку А. Из точки А как из центра проведём тем же радиусом еще одну дугу. На прямой m полу-

чим точку B. Из точки B как из цен-тра проведём третью дугу того же ра-диуса и получим точку С. Так как фи-гура PABC - ромб, то прямая PC па-раллельна прямой m.


66

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка P вне её.

П о с т р о е н и е : Из произвольно взятой на прямой m точки А прове-дём дугу радиусом АР. Она пересечёт прямую m в точках В и D. Из точки D

как из центра проведём дугу радиусом BP. Получим точку С. Через точки P и C проведём прямую. Она будет па-раллельна прямой m.


67


П о с т р о е н и е : Возьмём на прямой m две произвольные точки B и C и найдём третью, расположенную посе-редине между ними (точка O). Про-ведём прямые BA и CA и на прямой CA выше точки А произвольно возь-мём точку P. Проведём прямые OР и BP. Прямая OP пересечет прямую

BA в точке D. Проведём прямую CD, которая пересечет прямую BP в точке E. Прямая AE будет параллельна за-данной прямой m. Этот способ построения осно-ван на понятиях гармонических лучей и гармонических точек.


68

69


П о с т р о е н и е : Через точки А и В проведём в разные стороны перпен-дикуляры к прямой АВ. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АВ. Получим точку C. Из точки B как из центра проведём дугу радиусом АВ. Получим точку D. Соединим точ-ки С и D. Получим точку О. Из точ-ки О как из центра проведём окруж-ность радиусом ОС. При пересечении с продолжением отрезка АВ получим

точку E . Отрезок ВE откладываем на отрезке АВ от точки А или от точки В. Получаем точку F, которая делит АВ в золотом сечении. Такое же простроение исполь-зуется, если нужно по большей части отрезка, поделенного в золотом сече-нии восстановить меньшую. В этом случае отрезок АЕ поделен точкой B в золотом сечении.

П.23. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ

70


П о с т р о е н и е : Поделим отрезок АВ пополам. Через точку А проведём прямую, перпендикулярную АВ. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АС. На перпендикуляре по-лучим точку D. Из точки D как из

центра проведём дугу радиусом DB. Она пересечёт прямую АD в точке Е. Из точки A как из центра проведём дугу радиусом АЕ. При пересечении с АВ получим точку F. Точка F делит отрезок АВ в золотом сечении.


71


П о с т р о е н и е : Поделим отрезок АВ пополам и получим точку С. На-пример, из точки B как из центра про-ведём дугу радиусом ВС. Через точ-ку В проведём перпендикуляр к отрез-ку АВ. Он пересечёт дугу в точке D. Соединим точки А и D. Из точки D

как из центра проведём дугу радиусом DB. Она засечёт на прямой АD точку E. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АЕ. Она пересечёт от-резок АВ в точке F. Точка F делит от-резок АВ в золотом сечении.


72

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отре-зок АВ — большая часть золотого се-чения.

П о с т р о е н и е : Через середину от-резка АВ проведём перпендикуляр. Получим точку С. На нём отметим точку D так, чтобы CD = AB. Про-должим отрезок АВ вправо (по рисун-ку). Из точки С как из центра прове-

дём дугу радиусом AD. Она пересе-чёт прямую АВ в точке E. Отрезок АЕ делится точкой В в золотом сече-нии так, что АВ — большая его часть, а ВЕ — меньшая.

П.26. МЕНЬШАЯ ЧАСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ ПО БОЛЬШЕЙ

73

И с х о д н ы е д а н н ы е : Исходный отрезок АВ.

П о с т р о е н и е : Поделим отрезок АВ в золотом сечении. Получим точку С. Пусть отрезок СВ будет меньшей частью отрезка АВ. От точки В впра-во (по рисунку) откладываем отрезок ВD, равный АC. Теперь отрезок АD делится точкой B в золотом сечении. Далее от точки D вправо откладываем

отрезок, равный большей части АD, то есть отрезок АB. Получаем точку E и теперь отрезок АE делится точкой D в золотом сечении и т.д. Полученные отрезки можно использовать для формирования раз-личных модульных сеток.

П.27. ПОСТРОЕНИЕ РЯДА ОТРЕЗКОВНА ОСНОВЕ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отрезок АВ.

П о с т р о е н и е : Поделим отрезок АВ, например, на пять частей. Через точку А проведём произвольную пря-мую под острым углом к АВ. На ней, начиная от точки А, циркулем отложим пять равных отрезков (точки 1, ..., 5).

Через точки 5 и В проведём прямую. Через точки 1, ..., 4 проведём прямые, параллельные отрезку 5-В. Они пере-секут отрезок АВ в точках 1', ..., 4', которые и разделят АВ на пять рав-ных частей.

П.28. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

74

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отрезок АВ.

П о с т р о е н и е : Поделим отрезок АВ, например, на пять частей. Через точку А проведём произвольную пря-мую под острым углом к АВ. На ней, начиная от точки А циркулем отложим пять равных отрезков (точки 1, ..., 5). Через точку В проведём прямую, па-раллельную прямой А-5. На ней от-

ложим циркулем те же пять равных от-резков (точки 1', ..., 5'), но в проти-воположную сторону, чем на прямой А-5. Через точки 1 и 1' проведём пря-мую. То же через точки 2 и 2', 3 и 3' и т.д. На отрезке АВ получим точки 1'', ..., 5'', которые и разделят АВ на пять равных частей.

П.29. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

75

И с х о д н ы е д а н н ы е : Полуо-кружность радиусом АО.

П о с т р о е н и е : Поделим радиус АО в золотом сечении. Получим точку С. Пусть АС будет большей частью АО, тогда из точки А как из центра проведём дугу радиусом АС. На по-

луокружности получим точку 1. Далее тем же радиусом на полуокружности засечём остальные точки деления - 2, 3 и 4.

П.30. ДЕЛЕНИЕ ПОЛУОКРУЖНОСТИ НА ПЯТЬ РАВНЫХ ЧАСТЕЙ

76

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямой угол с вершиной в точке А.

П о с т р о е н и е : На одной из сто-рон угла возьмём произвольно точку В и поделим отрезок АВ точкой F в зо-лотом сечении так, чтобы отрезок АF был большей частью АВ. Из точки А как из центра проведём дугу радиу-сом АF. На стороне угла получим точ-

ку 1. Из точки В как из центра прове-дём дугу радиусом ВА. При пересече-нии дуг получим точку 2. Далее, начи-ная из точки 2, засечём радиусом 1-2 на дуге с центром в точке А точки 3, 4 и 5. Лучи А-2, ..., А-5 поделят пря-мой угол на пять равных частей.

П.31. ДЕЛЕНИЕ ПРЯМОГО УГЛА НА ПЯТЬ РАВНЫХ ЧАСТЕЙ

77

И с х о д н ы е д а н н ы е : Бокова-я сторона золотого треугольника АВ.

П о с т р о е н и е : Поделим сторону АВ точкой С в золотом сечении так, чтобы отрезок АС был меньшей ча-стью. Из точки А как из центра про-ведём дугу радиусом АС. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом АВ. Дуги пересекутся в точке D.

Треугольник с вершинами АВD является золотым, поскольку содержит в себе золотое сечение и угол при вершине А вдвое больше угла при вершине В. Кроме того, этот треуголь-ник содержится в правильном пятиу-гольнике.

П.32. ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПО БОКОВОЙ СТОРОНЕ

78

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отрезок АВ - основание золотого треугольни-ка.

П о с т р о е н и е : Через точку В про-ведём перпендикуляр к отрезку АВ. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом АВ. На перпендикуля-ре получим точку D. Через середину отрезка АВ проведём перпендикуляр. Получим точку С. Из точки С как из

центра проведём дугу радиусом CD. Она пересечёт продолжение отрезка АВ в точке Е. Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиусом АЕ. При их пересечении получим точ-ку F. Треугольник АВF - искомый.

П.33. ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПО ОСНОВАНИЮ

79

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК В ДЕКОРАТИВНОМ ИСКУССТВЕ И АРХИТЕКТУРЕ

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

Одна из эмблем СССР. Пятиконечная звезда обозначает объединение пяти континентов

Знак качества СССР. Схема пропорций золотой чаши, созданной эллинами на основе правильного пятиугольника

92

93

Sebastiano Serlio (1475–1554)Пятиугольный храм

94

Sebastiano Serlio (1475–1554)Дворец в крепости

95

96

Le château de MaulnesВторая половина XVI века

Villa Farnese (Villa Caprarola). Начало строительства — первая половина XVI века

Antonio da Sangallo il Giovane, Michelangelo di Buonarroti Simoni, Giacomo da Vignola

97

Театр Советской армии. 1934–1940 гг. К. Алабян, В. Симбирцев

98

Схема цитадели в Кортрейке (нидерл. Kortrijk, фр. Courtrai)

99

Схема укреплений крепости Пиллау (Pillau, с 1946 года г. Балтийск)Начало XVII века

100

Замок Krzyżtopór (Krzysztopor)Начало XVII века

101

Схема типовой крепости из руководства по военному искусству

102

Здание министерства обороны США. Джордж Бергстром (George Edwin Bergstrom). Окончание строительства — январь 1943 года

103

И.В. Жолтовский. Дом Советов в Махачкале. 1927 год

104

План типового этажа (2-9 этажи) 9-этажного дома башенного типа жилого комплекса Слоттсбергет в Гётеборге (Slottsberget Göteborg)

105

Documents

Правильный пятиугольник. Геометрия. Декоративное искусство. Архитектура