١

ىعیبطلا عیز و تلا ىلع ةلثما

مثال

مســـجلة یومیـــا خـــالل فصـــل الربیـــع لهـــا متوســـط فـــي مدینـــة صـــغیرة وجـــد أن أعلـــى درجـــة حـــرارة 20°c 5.وانحــــراف معیــــاري°c بفــــرض أن المتغیــــر العشــــوائيX ) أعلــــى درجــــة حــــرارة یومیــــا (

: یخضع للتوزیع الطبیعي، أوجد النسبة المئویة لألیام التي فیها أعلى درجة حرارة c٠°28على األقل ) ب( ٠ c°26و c°22بین ) أ(

:الحــل

یكــون متغیــر عشــوائي طبیعــي X یرمــز ألعلــى درجــة حــرارة مســجلة یومیــا فــان Xإذا كــان ) أ( : المتغیر الطبیعي القیاسي المناظر هو . 5=وانحرافه المعیاري =20متوسطه

X X 20Z5

-

1x عندما 22 فإن:

122 20z 0.4

5

1xوعندما 26 فان:

226 20z 1.2.

5

P(22االحتمال المطلوب هو X 26) التالىشكل الي المساحة المظللة في وهو یساو . :أي أن

P(22 X 26) P(0.4 Z 1.2) 0.3849 0.1554 0.2295.

٢

% هــي) c°26و c°22( بـین حــرارة درجـة علــى أ فیهـا التــي لألیـام أي أن النسـبة المئویــة22.95 .

28x1عندما ) ب( فإن:

.6.15

2028z1

28X(P(االحتمال المطلوب هو أي أن. التالىشكل الي المساحة المظللة في وهو یساو : P(X 28) P(Z 1.6) P(Z 0) P(0 Z 1.6) 0.5 0.4452 0.0548.

. 5.48% هي c°28المئویة لألیام التي فیها أعلى درجة حرارة فوق أي أن النسبة

مثال إذا كانــت مبیعــات الغــاز الطبیعــي فــي األســبوع فــي محطــة لتعبئــة الغــاز یخضــع للتوزیــع الطبیعــي

3000بمتوســط 200جــالون وانحــراف معیــاري وجــد االحتمــال أن المبیعــات أ. جــالون .جالون 3500و 3200في األسبوع ما بین

:الحــل

یكـون متغیـر Xمتغیـر عشـوائي یرمـز لمبیعـات الغـاز الطبیعـي فـي األسـبوع ، فـان X إذا كـان . 200=وانحرافه المعیاري =3000عشوائي طبیعي متوسطه

3200x1ما عند فإن :

.0.1200

30003200z1

٣

3500x2وعندما فإن:

.5.2200

30003500z2

:االحتمال المطلوب هو

)3500X3200(P :أي أن التالىشكل الالمساحة المظللة في وهو یساوي

P(3200 X 3500) P(1.0 Z 2.5)P(0 Z 2.5) P(0 Z 1) 0.4938 0.3413 0.1525.

مثال

إذا كانــت كمیــة المطــر الــذي یســقط ســنویا فــي منطقــة معینــة متغیــر عشــوائي یخضــع للتوزیــع أوجــد المتوسـط السـنوي لســقوط المطـر فــي عـام محــدد . بوصـة = 2الطبیعـي بـانحراف معیــاري

. 0.0548بوصة من المطر في هذا العام یساوي 30إذا كان احتمال سقوط أكثر من

:الحــل

، = 2عــــروف وانحــــراف معیــــاري متغیــــر عشــــوائي طبیعــــي لــــه متوســــط غیــــر م Xبفــــرض أن : المتغیر الطبیعي القیاسي المناظر یكون

.XZ

-

30x1عندما فإن:

٤

.2

30z1

:، كما هو معطى، وعلى ذلك فان 0.0548هو 30ن أكثر م Xولكن احتمال أن

.0548.0)2

30Z(P

:أي أن

.4452.0)2

30Z0(P

:فان ولكن من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي المعطى .4452.0)6.1Z0(P

6.1أي أن 2

30

8.26ومنه . ة بوص

مثال

إذا كانت حموضة الـدم اآلدمـي مقـاس بداللـة األس األیـدروجین متغیـر عشـوائي طبیعـي متوسـطه 7.2 = . یســــــاوي 7.5إذا كـــــان احتمــــــال أن یكــــــون مســــــتوى األس االیـــــدروجیني اكبــــــر مــــــن

. أوجد االنحراف المعیاري للتوزیع 0.0222

:الحــل

1x ندما ع 7.5 فإن:

.3.02.75.7z1

:أي أن

.0222.0)3.0Z(P

: وبالتالي فان

.4778.00222.05.0)3.0Z0(P

:نجد أن ولكن من الجدول الطبیعي القیاسي .4778.0)01.2Z0(P

0أي أن 3 2 01. .

0.149ومنه = .

٥

مثال

نحـــراف معیـــاري $15000إذاكـــان دخـــل األســـر فـــي مدینـــة مـــا یتبـــع التوزیـــع الطبیعـــي بمتوســـط وا :ماهو إحتمال أن یكون دخل أسرة اختیرت عشوائیآبین 3000$

$18000 إلى $16000 من )أ

$12000 أقل من )ب

$15000 أعلى )ج

:الحــل

15000, 3000 : هو $18000إلى $16000 یكون دخل األسرة من أن احتمال )أ

16000 15000 18000 15000P(16000 X 18000) P( Z ) P(0.33 Z 1).3000 3000

P(0.33 Z 1) P(0 Z 1) P(0 Z 0.33) 0.3413 0.1293 0.212.

: $12000أقل من )ب12000 15000P(X 12000) P(Z ) P(Z 1),

3000P(Z 1) P(Z 0) P(0 Z 1) 0.5 0.3413 0.1587.

: $15000أعلى )ج15000 15000P(X 15000) P(Z ) P(Z 1),

3000 P(Z 0) 0.5.

مثال

درجـــة وتبـــاین 60تتبــع التوزیـــع الطبیعـــي بمتوســط إذا كانــت الـــدرجات التـــي حصــل علیهـــا طالـــب اختیر طالب بطریقة عشوائیة 0.5

؟ 72ماهو احتمال أن تزید درجته عن )أ ؟ 56ماهو عدد الطالب الذین تقل درجاتهم عن )ب

:الحــل

)أ72 60P(X 72) P(Z ) P(Z 16.9),

0.5P(Z 0) P(0 Z 16.9) 0.5 0.5 0.

٦

)ب

56 60 4P(X 56) P(Z ) P(Z )0.5 0.5

P(Z 5.65) P(Z 5.65), P(Z 0) P(0 Z 5.65) 0.5 0.5 0.

0إذآ عدد الطالب یساوي 100 0 ٠

مثال

25إذا كان الزمن الـالزم لهضـم وحـدة واحـدة مـن طعـام معـین یتبـع التوزیـع الطبیعـي بمتوسـط قـدره 30 مــاهو احتمــال أن تهضــم وحــدة طعــام فــي أقــل مــن.دقیقــة وانحــراف معیــاري قــدره ثــالث دقــائق

.دقیقة

:الحــل3, 25,

30 25 5P(X 30) P(Z ) P(Z )3 3

P(Z 1.66) P(Z 0) P(0 Z 1.66) 0.5 0.4515 0.9515.

مثال

:أوزان الدجاج في مزرعة ما تتبع التوزیع الطبیعي بمتوسط رطل وانحراف معیاري أوجد .إحتمال ان یكون وزن دجاجة اختیرت عشوائیآ أكبر من سبعة أرطال )أ

. نسبة الدجاج الذي وزنه أقل من أربعة أرطال )ب

:الحــل

1.5 , 6

)أ

7 6P(X 7) P(Z ) P(Z 0.66)1.5

P(Z 0) P(0 Z 0.66) 0.5 0.2454.

احتمال اختیار دجاجة عشوائیآ وزنها أقل من أربعة أرطال )ب4 6P(X 4) P(Z ) P(Z 1.33)1.5

P(Z 1.33) P(Z 0) P(0 Z 1.33) 0.5 0.4082 0.0918.

٧

:إذن النسبة المطلوبه تساوي 0.0918 100 9.18%.

مثال

بفـرض أن كمیـة .أوقیـات مـن العصـیر لكـل كـوب 7كینـة لللمشـروبات البـاردة فـي المتوسـط تنتج ما :أوجد.أوقیة 0.5الشراب تتبع التوزیع الطبیعي بانحراف معیاري

أوقیة 7.8نسبة األكواب التي تحتوي على األقل )أ أوقیة 7.9إلى 6.7إحتمال أن كوب یحتوي من بین )ب

:الحــل

7 , 0.5 P(X 7.8) 1 P(X 7.8),

7.8 7 1 P(Z ) 1 [P(Z 1.6)],0.5

1 [P(Z 0) P(0 Z 1.6)] 1 [0.5 0.4452] 0.0548.

: النسبة المطلوبة هي إذا0.0548 100 5.48

:أوقیة یساوي 7.9إلى 6.7اختیار كوب عشوائیا یحتوي من بین احتمال )ب6.7 7 7.9 7P(6.7 X 7.9) P( Z ),

0.5 0.5P( 0.6 Z 1.8) P(0 Z 0.6) P(0 Z 1.8), 0.2257 0.4641 0.6898.

مثال

دقیقــة فـي المتوســط بــانحراف 24یقطـع شــخص المسـافة مــن منزلـه إلــى عملـه یومیــا فـي زمــن قـدره دقیقــة بفــرض أن الــزمن الــذي یســتغرقه علــى األقــل یومیــا یتبــع التوزیــع الطبیعــي 3.8معیــاري قــدره

أوجد احتمال أن الزمن الذي یستغرقه على األقل نصف ساعة

:الحــل

3.8 , 24 :یساوي )دقیقة 30( احتمال أن الزمن الذي یستغرقه على األقل نصف ساعة

٨

P(X 30) 1 P(X 30),30 24 1 P(Z ) 1 [P(Z 1.57)]

3.8 1 [P(Z 0) P(0 Z 1.57)] 1 [0.5 0.4418] 0.0582.

مثال

ــــاري 68.5إذا كانــــت أطــــوال طالــــب تتبــــع التوزیــــع الطبیعــــي بمتوســــط 2.7بوصــــة وانحــــراف معی بوصة كم عدد الطلبة التوقع أن تكون أطوالهم

بوصة 74أكبر من )ج بوصة 71و 67.5بین )ب بوصة 63أقل من )أ

:الحــل

2.7 , 68.5

)ا

63 68.5P(Z 63) P(Z )2.7

P(Z 2.03) P(Z 2.03) P(Z 0) P(0 Z 2.03) 0.5 0.4788 0.0212.

:بوصة یساوي 63أن تكون أطوالهم أقل من عدد الطالب الذین یتوقع أى أن0.0212 1000 21.2.

)ب67.5 68.5 71 68.5P(67.5 X 71) P( Z )

2.7 2.7 P( 0.37 Z 0.92) P(0 Z 0.37) P(0 Z 0.92) 0.1443 0.3212 0.4655.

:ساويبوصةی 71إلى 67.5إذا عدد الطالب المتوقع أن تكون أطوالهم بین 0.4655 1000 465.5.

)ج74 68.5P(X 74) P(Z ) P(Z 2.03)

2.7P(Z 0) P(0 Z 2.03) 0.5 0.4788 0.0212

:بوصة یساوي 74عدد الطالب المتوقع أن یكون طولهم أكبر من أى أن

٩

0.0212 1000 21.2 21.

مثال

جنیـــه إذا 5جنیـــه لكـــل ســـاعة بـــانحراف معیـــاري 100تـــدفع شـــركة أجـــور العـــاملین فیـــه بمتوســـط تقریبا تتبع التوزیـع الطبیعـي مـاهي النسـبة المئویـة مـن العـاملین الـذین أجـورهم تتـراوح كانت األجور

٠في الساعة 90إلى 80بین

:الحــل

5 , 100 80 100 90 100P(80 X 90) P( Z )

5 5 P( 4 Z 2) P(2 Z 4) P(0 Z 4) P(0 Z 2) 0.5 0.4772 0.0228.

:النسبة المئویة تساوي اى أن0.0228 100 2.28.

مثال

ســـنة أوجـــد 2ســـنوات بـــانحراف معیـــاري 10ولـــد كهربـــائي صـــغیر هـــو إذا كـــان متوســـط العمـــر لم ٠سنة 8احتمال ان یقل عمر المولد عن

:الحــل

2 , 10 8 10P(X 8) P(Z )

2 P(Z 1) P(Z 1) P(Z 0) P(0 Z 1) 0.5 0.3413 0.1587.

مثال

درجــة وانحــراف معیــاري 20إذا كانـت درجــة الحــرارة فــي مدینـة مــا یتبــع التوزیــع الطبیعـي بمتوســط ٠درجة 25درجات أوجد احتمال أن تكون درجة الحرارة في أحد األیام أقل من 3

١٠

:الحــل

3 , 20 25 20P(X 25) P(Z )

35 P(Z ) P(Z 1.66)3

P(Z 0) P(0 Z 1.66) 0.5 0.4515 0.9515.

مثال

مللیمتـــر 8إذا كـــان قطـــر الســـلك الكهربـــائي مـــن إنتـــاج شـــركة مـــا یتبـــع التوزیـــع الطبیعـــي بمتوســـط ش 0.0004وتباین مللیمتر 8ترى شخص سلك فما هو إحتمال أن الیزید قطره عن مللیمترا

:الحــل

0.0004 0.02 , 8 8 8P(X 8) P(Z ) P(Z 0) 0.5.0.02

مثال

ســم مــن 120ذا كــان التوزیــع التكــراري لضــغط الــدم طبیعیــا وكــان متوســط الضــغط الطبیعــي هــوإ بق سم من الزئ 15الزئبق واإلنحراف المعیاري هو

سم فأكثر؟ 150ماهي نسبة األشخاص الذین من المحتمل أن یكون ضغطهم )أمــثال 1aإذا علمــت أن إحتمــال الحصــول علــى شــخص ضــغط دمــه أقــل مــن قیمــة معینــة هــي )ب

؟ 1aفما هي قیمة 0.8942هو

:الحــل

: یساوي سم فأكثر 150ن من المحتمل أن یكون ضغطهم إحتمال األشخاص الذی) أ150 120P(X 150) P(Z ) P(Z 2)

15 1 P(Z 2) 1 [P(Z 0) P(0 Z 2)] 1 [0.5 0.4772] 1 0.9772 0.228.

١١

)بa 1201P(X a ) P(Z ) 0.8942.1 15

وحیث أنa 120 a 1201 1P(Z ) P(Z 0) P(0 Z ),

15 15a 1201 0.5 P(0 Z ) 0.8942.

15a 1201P(0 Z ) 0.8942 0.5 0.3942.

15

نجــــــد أنهـــــا تتحقـــــق عنــــــدما 0.3942عـــــن القیمـــــة نبحـــــث فـــــي داخــــــل جـــــداول التوزیـــــع الطبیعــــــي P(0 Z 1.25) تقریبا أي أن:

a 1201 1.25 a 120 18.75,115 a 138.75.1

مثال

إذا كان معدل الذكاء لمجموعة من الطلبة الراغبین في اإللتحاق بجامعـة مـا یتبـع التوزیـع الطبیعـي 120٠یكون معدل الذكاء أكبرمن أن مالإحت أوجد 12 وانحراف معیاري 115بمتوسط

:الحــل

12 , 115 120 115P(X 120) P(Z ) P(Z 0.416),

12 P(Z 0) P(0 Z 0.416) 0.5 0.1628 0.3372.

مثال

مــن الطــالب علــى جــوائز بســبب إرتفــاع درجــاتهم فمــا هــي أدنــى درجــة یجــب أن %10إذا حصــل یحصل علیها الطالب حتى یحصل على جائزة مع العلم أن درجات الطـالب تتبـع التوزیـع الطبیعـي

0.5وتباین 60بمتوسط

:الحــل

یها الطالب حتى یحصل على جائزة وبالتالي بفرض أن هي أدنى درجة یجب أن یحصل عل :فإن

١٢

x 60 x 60P(Z ) P(Z 0) P(0 Z ) 0.1,0.5 0.5x 60P(0 Z ) 0.5 0.1 0.4.

0.5

P(0 عن القیمة نجد أنها تعطى عندوبالبحث في جداول التوزیع الطبیعي Z 1.29) أي :أن

x 60 1.29 x 60 0.912,0.5x 60.921.

٠ 60.921ي إذن أدنى درجة یجب أن یحصل علیها الطالب حتى یحصل على جائزة تساو

مثال

ذا كـان 70إذا كان متوسط أطوال مجموعة من الجنود في معركة هـو مـن الجنـود %10بوصـة وابوصــة بفــرض ان أطـوال الجنــود فــي هـذه المعركــة یتبــع التوزیـع الطبیعــي مــاهو 72مـن أطــول مـن

٠اإلنحراف المعیاري

:الحــل

? , 70 P(Xتعني أن " 72من الجنود أطول من %10إذا كان " 72) 0.1

72 70P(X 72) P(Z ) 0.1

2 2P(Z ) P(Z 0) P(0 Z ) 0.1

2P(0 Z ) P(Z 0) 0.1 0.5 0.1 0.4.

تقریبـــا 1.29والتـــي تســـاوي 0.4عـــن القیمـــة التـــي تعطـــي نبحـــث داخـــل جـــداول التوزیـــع الطبیعـــي :وبالتالي

2 1.29

2 1.55.1.29

مثال

١٣

نحـراف 110الجیش في سـنة مـا التوزیـع الطبیعـي بمتوسـط تتبع درجات إختبار الذكاء لمتطوعي وامـاهي .مـن درجـات إختبـار الـذكاء %10ویرید الجیش أن یعطي تدریبا متقدما ألعلى 10معیاري

أقل درجة في إختبارات الذكاء التي تقبل لحضور التدریب المتقدم؟

:الحــل

10 , 110 :وعلى ذلك xت الذكاء التي تقبل لحضور التدریب المتقدم هي بفرض أن أقل درجة في إختبارا

x 110P(X x) P(Z ) 0.110

x 110 x 110P(Z ) P(Z 0) P(0 Z ) 0.110 10

x 110P(0 Z ) P(Z 0) 0.1 0.5 0.1 0.4.10

تقریبـــا 1.29والتـــي تســـاوي 0.4عـــن القیمـــة التـــي تعطـــي نبحـــث داخـــل جـــداول التوزیـــع الطبیعـــي :وبالتالي

.9.1221109.12x

,29.110110x

مثال

رطـل فـإذا 25رطـل بـانحراف معیـاري 600فـي المتوسـط میا تستهلك شركة ما كمیة من الثلج یو :كانت الكمیة المستهلكة یومیا تتبع التوزیع الطبیعي أوجد

رطل یومیا 700إحتمال أن تستهلك الشركة أكثر من )أ یومیا 800إلى 500احتمال أن تستهلك من )ب

:الحــل

)أ700 600P(X 700) P(Z ) P(Z 4)

25P(Z 0) P(0 Z 4) 0.5 0.5 0.

)بx عندما 5001 فإن

500 600z 41 25

٠

١٤

x وعندما 8002 800فإن 600z 82 25

٠

: وعلى ذلكP(500 X 800) P( 4 Z 8) P(0 Z 4) P(0 Z 8) 0.5 0.5 1.

مثال

ــــذهب هــــي ــــانحراف )فــــي المتوســــط( C 1.06إذا كــــان معــــروف أن نقطــــة الــــذوبان لل معیــــاري ب0.3C احتمالأوجد P(X 1.77)٠

:الحــل1.77 1.06P(X 1.77) P(Z ) P(Z 2.36),

0.3P(Z 0) P(0 Z 2.36) 0.5 0.4909 0.01.

مثال

تقریبــا یتبــع التوزیــع الطبیعــي ،خــالل أســبوع ، إذا اكـان الطلــب علــى اللحــوم فــي مخــزن لبیــع اللحـوم نحراف معیاري 5000بمتوسط P(Xرطل أوجدي 300رطل وا 5300) في أسبوع

:الحــل5300 5000P(X 5300) P(Z ) P(Z 1),

300 P(Z 0) P(0 Z 1) 0.5 0.3431 0.1587.

2Xإذا كان :نظریة ~ N( , ) فإن:

) أ(21t 2

2XM (t) e

) ب( 2r2r

r

2!E(X ) , r =1,2,...

r!2

2r) ج( 1E(X ) 0 , r = 1,2,... :معامل االلتواء للتوزیع الطبیعى هو

2 3/ 21 3 2/ 0

:معامل التفلطح هو 2

2 4 2/ 3.