١

ت باستخدام االحصاء واالحتماال Mathematicaبرنامج

تالیف

الدكتورة ثروت محمد عبد المنعم محمد

استاذ مشارك كلیة العلوم بالدمام –جامعة الدمام

)سابقا(قسم الریاضیات م٢٠١٣

٢

٣

قطان عبد العزیز احمد االستاذ سعادة المكرم فى مصرسفیر المملكة العربیة السعودیة الى لى ا و

العریفى محمد الدكتور المكرم سعادة لى ا و

الشیخ عائض القرنى المكرم سعادة لمصر الحبیبة الصادق بهموذلك لح لى إایضا اهدى كتابى و

االستاذ الدكتور عبد الرحمن محمد ابو عمة سعادة المكرم اخى فى اهللا لىو ا

الصادق لمصر لحبهماوذلك عقیلمد ابراهیم حمالدكتور االستاذ سعادة المكرم فى اهللا خىا الحبیبة

لما قدماه لى من تشجیع خالل اقامتى فى السعودیة و عالم باكملهال بجد لصالح الى كل من یعملرا یواخ

وال یبغى اال وجه اهللا ثروت محمد عبد المنعم. د

٤

بسم اهللا الرحمن الرحیم تمهید

الحمـد هللا رب العــالمین والصـالة والســالم علـى أشــرف المرسـلین محمــد وعلـى آلــه وصــحبه بكتابـة أما بعد، فالحمد هللا الـذي هـدانا ومـا كنـا لنهتـدي لـوال أن هـدانا اهللا الـذي أنعـم علـي . أجمعین

.هذا الكتاب تلبیة لنداء التعریب الذي یتبناه الكثیر من العلماء والمثقفینقطاعا كبیرا من التخصصـات العلمیـة المختلفـة Mathematicaیخدم برنامج الماثیماتیكا

المتعــارف علیهــا Numerical Calculationsحیــث یقــوم بــإجراء العملیــات الحســابیة العددیــةمثـــل الجمـــع والطـــرح والقســـمة وحســـاب االســـس واللوغارتمـــات و الـــدوال المثلثیـــة و الزائدیـــة ســـواء

Symbolicلالعــداد الحقیقیــة او االعــداد المركبــة وكــذلك یقــوم بــإجراء العملیــات الریاضــیة الرمزیــة ء والتفاضـل والتكامـل المتعارف علیها فى فروع كثیرة من الریاضیات مثل الجبـر الخطـى واالحصـا

كمـــا یقـــوم برســـم . والـــدوال الخاصـــة والمعـــادالت التفاضـــلیة والتحلیـــل العـــددى والبرمجـــة الخطیـــة برنــــامج كمــــا یمكـــن اســــتخدام . الـــدوال ســــواء المباشــــرة او البارامتریـــة فــــى بعــــدین او ثـــالث ابعــــاد

ت كثیـرة مثـل الریاضـیات الماثیماتیكا كلغة برمجة لكتابـة بـرامج تحـل مشـكالت كبیـرة ، فـى مجـاالولقــد اعتمــدت فــى . یعجــز حلهــا امـر واحــد وهــذا هــدفنا فــى هـذا الكتــاب واالحصـاء واالحتمــاالت،

لبرنـــامج الماثیماتیكـــا ویمكــــن للمســـتخدم الى اصـــدار اخــــر 5وضـــع هـــذا الكتـــاب علــــى االصـــدار .االعتماد علیه النه یتناول االساسیات والموجودة فى اى اصدار

عتبـــــر هــــــذا الكتــــــاب كجــــــزء ثــــــانى لكتــــــابى مــــــدخل حــــــدیث للبرمجــــــة باســــــتخدام برنــــــامج ی Mathematica والقابـــل فـــى الكتـــب والمراجـــع العربیـــة والمنشـــور فـــى منتـــدى االحصـــائیین العـــرب

مــدخل حــدیث للبرمجــة باســتخدام برنــامج كتـابى للتصـفح والتحمیــل و لــذلك انصــح البــاحثین بقــراءة Mathematica الكتـــــاب الـــــذى بـــــین ایـــــدیكم االن النـــــه یحتـــــوى علـــــى المبـــــادئ هـــــذا قبـــــل قـــــراءة

.االساسیة، كمــا یصـلح ألن یكــون مقــررا اى كلیـة یــدرس فیهـا االحصــاء هـذا الكتــاب یصـلح كمقــرر لطــالب

لتســاعدهم ، فــى رســالة الماجســتیر والــدكتوراه ، فــى فــى مجــال االحصــاء لطــالب الدراســات العلیــا .فى مجال الفرع الذى یعملون فیه Mathematicaبلغة عمل برامج

وفــي وضــع هــذا الكتــاب اســتعنت بعــدد مــن المراجــع واألجنبیــة كمــا اســتعنت بخبرتــي فــي .تدریس هذا المقرر لطالب الدراسات العلیا في مرحلة الماجستیر والدكتوراه

فى العالم العربى فـى هـذا المجـال كمـا اعتبـره ال یقـل عـن الكتـب كتاب اول ویعتبر هذا الكتاب ولقد الفت من قبل كتـاب فـى البرمجـة باسـتخدام الماثیماتیكـا فـى . االجنبیة وسوف اترك الحكم لكم

مجال االستدالل االحصائى وهو فى منتدى االحصائیین العرب فى الكتـب والمراجـع العربیـة ولمـا ا الى عضو هیئـة تـدریس لشـرحة او ان یكـون المسـتخدم عنـده معلومـات كان هذا الكتاب یحتاج ام

٥

Mathematicaمــدخل حــدیث للبرمجــة باســتخدام برنــامج عــن البرنــامج لــذلك اقــدمت علــى تــالیف والــــذى یبــــدا مــــن نقطــــة الصــــفر وینتهــــى بمعرفـــــة البرمجــــة فــــى مجــــاالت كثیــــرة مثــــل الریاضـــــیات

ا سـهل جـدا ویحتـاج الـى ممارسـة والتـى تعطـى المسـتخدم وااللمام بالبرمجة بالماثیماتیكـ. واالحصاءخبــرة فــى التعامــل مــع البرنــامج وانــا تعلمــت هــذه اللغــة بنفســى بــاالطالع والممارســة وعلمتهــا لكثیــر

. من الزمالء ذىوالـ Kevin Hastingsبالـدكتور ةالخاصـبـبعض البـرامج هـذا وقـد سـتعنت فـى وضـع كتـابى

:یعمل فى جامعة Knox College Galesburg Illnois . وتبـدا القصـة عنـدما اشـتریت كتابـة مـن النـت

Introduction To Probability with Mathematica واعجبـت بـه الن الكتـاب لـه برنـامجوهــذا البرنــامج عبــارة عــن الكتــاب فــى صــورة الكترونیــة وقــد اتصــلت بالــدكتور KnoxProbیســمى

علــى ان اكتــب بعــض البــرامج وقــد رحــب بشــدة باســتخدام البرنــامج وتداولــه الســتاذنه فــى اســتخدام .المصدر

بـــدا العمـــل ببرنـــامج لشـــرح وافـــى فصـــول، یقـــدم الفصـــل األول عشـــرةیحتـــوي هـــذا الكتـــاب علـــى KnoxProb برنـــــــــامج ببرمجـــــــــة مواضــــــــیع االحصـــــــــاء واالحتمـــــــــاالت بوالفصــــــــول الباقیـــــــــة تهـــــــــتم

Mathematica .الثالـــث، بینمـــا یهــتم الفصــل یقـــدم مقدمــة فــى االحتمــاالت الفصــل الثــاني ف عـــرض ووصـــف فیتطـــرق الـــى الرابـــع أمـــا الفصـــل ، بـــالمتغیرات العشـــوائیة وتوزیعاتهـــا االحتمالیـــة

اما الفصـل السـادس فیتطـرق الـى . الدوال المولدة للعزوم یتطرق الفصل الخامس إلى و، البیانات والفصــل الثــامن .تم بــبعض التوزیعــات المتصــلة هــی الســابع والفصــل بعــض التوزیعــات المتقطعــة ،

، والفصل التاسـع یهـتم باساسـیات تحلیـل البیانـات المتعـددة، یهتم بتولید االرقام العشوائیة والمحاكاه .المشتركة لتوزیعاتخیرا الفصل العاشر یهتم بااو بعـــض البــرامج الطویلـــة او الجــاهزة فـــى كــل فصـــل و KnoxProbبرنــامج ســوف یلحــق بالكتـــاب

، وبصــورة عامــة یمكــن للمســتخدم الى برنــامج اى یســتبدل والمســماه باســم المثــال التــى تنتمــى الیــه بیاناتــة بالبیانــات الموجــودة فــى البــرامج لیحصــل علــى نتــائج تخصــة بــدون معانــاه مثــل اى برنــامج

لتجــب حـــدوث نــه قبـــل تنفیــذ برنــامج اخــر اخــر وینصــح فــى كــل مـــره یشــغل البرنــامج اى یخــرج مكمــا ینصــح عنــد اســتخدام البــرامج الجــاهزة اخــذ نســخة والعمــل علیهــا .مشــاكل فــى بعــض االحیــان

.حتى ال یحدث تغییر فى البرامج االصلیة وأسأل اهللا أن أكون قد وفقت في هذا المجهود المتواضع خدمة لقضایا البحـث العلمـي فـي

نن .وطننا العربي .ي أرحب بكل نقد بناء یهدف إلى األفضل، وما الكمال إال هللا وحدهوا واهللا ولي التوفیق

ثروت محمد عبد المنعم . د

٦

KnoxProbبرنامج مع بدا العمل : الفصـل األول مقدمة فى االحتمال : الثانى الفصل فراغ العینة واالحداث )١ - ٢( طرق العد )٢ - ٢( االحتمال )٣ -٢(

الممیزة لقیم االحتمال الخواص )٤- ٢( بعض قوانین االحتمال )٥ - ٢( االحتمال الشرطى )٦- ٢( االحتمال الكلى وقاعدة بییز )٧ -٢(

المتغیرات العشوائیة وتوزیعاتها االحتمالیة: الثالث الفصل العشوائى المتغیر )١- ٣( )المنفصلة(ات االحتمالیة المتقطعة التوزیع )٢ -٣(

) المستمرة(التوزیعات االحتمایة المتصلة )٣-٣( عرض ووصف البیانات : الرابع الفصـل

المجتمعات والعینات )١- ٤( ادخال البیانات فى الماثیماتیكا )٢- ٤( عرض الرسوم البیانیة )٣- ٤( التوزیع التكرارى )٤- ٤( مقاییس النزعة المركزیة )٥- ٤( الربیعات والعشیرات والمئینات )٦- ٤( مقاییس التشتت )٧- ٤( االلتواء والعالقة بین الوسط الحسابى والوسیط والمنوال )٨- ٤( بعض مقاییس االلتواء والتفلطح )٩- ٤(

الدوال المولدة للعزوم : الخامس الفصـل الدالة المولدة للعزوم )١- ٥( الدالة الممیزة )٢ - ٥(

توزیعات متقطعة خاصة : السادس الفصـل التوزیع المنتظم )١ -٦( توزیع ذى الحدین )٢-٦( التوزیع الهندسى الزائدى )٣-٦( توزیع بواسون )٤-٦(

٧

توزیع ذى الحدین السالب )٥ -٦( توزیعات متصلة خاصة: السابع الفصل

التوزیع المنتظم )١-٧( التوزیع الطبیعى )٢-٧( نصف التوزیع الطبیعى )٣-٧( توزیع جاما )٤-٧( توزیع مربع كاى )٥-٧( توزیع كاى )٦-٧( التوزیع االسى )٧-٧( توزیع وایبل )٨-٧( تمي الطبیعى ر التوزیع اللوغا )٩-٧( توزیع بیتا )١٠-٧( extreme valueتوزیع )١١-٧( توزیع كوشى )١٢- ٧( توزیع ت )١٣- ٧( Fتوزیع )١٤- ٧( توزیعات اخرى )١٥- ٧(

تولید االعداد العشوائیة والمحاكاه: الثامنالفصل یعات متصلة لها دالة توزیع غیر تناظریة ز بیانات تتبع تو )محاكاة(تولید )١- ٨( یعات متقطعة ز بیانات تتبع تو ) محاكاة(تولید )٢- ٨( یعات متصلة لها دالة توزیع غیر تناظریة ز بیانات تتبع تو ) محاكاة(تولید )٣- ٨( نظریة النزعة المركزیةالمحاكاة و )٤- ٨( القانون الضعیف لالعداد الكبیرة )٥- ٨( یرةلالعداد الكب ةقانون القو )٦- ٨( اكاة فى حل المشاكلحالم )٧- ٨(

اساسیات تحلیل البیانات التعددة: التاسعالفصل المتغیرات تنظیم بیانات )١-٩( االحصائیات الوصفیة )٢-٩(

التوزیعات المشتركة: العاشر الفصل التوزیعات المتقطعة المشتركة )١-١٠( التوزیعات المتصلة المشتركة )٢-١٠( المتغیرات العشوائیة المستقلة )٣-١٠( طیة ر التوزیعات الش )٤-١٠(

٨

خواص القیم المتوقعة )٥-١٠( التوقع الشرطى )٦-١٠( المشتركة ال المولدة للعزومو الد )٧-١٠( التوزیع الطبیعى الثنائى )٨-١٠(

٩

الفصل االول

KnoxProbبدا العمل مع برنامج

١٠

KnoxProb االن سوف نشرح كیف یمكن االستفادة من برنامج بالدكتور الخاص والمرفق مع الكتاب الكترونىوالذى یعتبر كتاب

Kevin J. Hastings (2000) : كالتالى یمكن تنفیذ البرامج علیهو

.KnoxProb محمال ثم یحمل برنامج Mathematica ال بد ان یكون برنامج فى البدایة :نتبع التالى Mathematica متواصل مع برنامج KnoxProb ولجعل برنامج

الملفناخذ نسخة من و KnoxProb نذهب الى برنامج . Utilites.m والمسمى المحدد فى الشاشة التالیة

١١

ثم نختار الدلیل Local Disk( C ) ومنه نختار Computer ومن سطح المكتب نختار

: كما هو موضح فى الشاشة التالیة Program Files

السابقةمن الشاشة Program Files وبالضغط على الدلیل : الماثیماتیكا والمسمى بعد تحدید الدلیل الرئیسى لبرنامج وذلك الشاشة التالیة اتظهر لن

: WolfResearch

١٢

WolfResearch من الشاشة السابقة الدلیل وبالضغط على : Mathematica د الدلیل تحدی بعدالتالیة تظهر الشاشة

الدلیل وبالضغط على Mathematica من الشاشة السابقة تظهر الشاشة التالیة

بعد تحدي الدلیل 5.0 :

الدلیل بعد تحدیدعلى الشاشة التالیة صل نحمن الشاشة السابقة الدلیلوبالضغط على 5.0 : AddOns

١٣

الدلیل على وبالضغط AddOns من الشاشة السابقة : ExtraPackage بعد تحدیدنحصل على الشاشة التالیة الدلیل

من الشاشة السابقة ExtraPackage الدلیل وبالضغط على بعد عمل دلیل باسمنحصل على الشاشة التالیة

KnoxProb وبعد تحدیده :

KnoxProb من برنامجوالماخوذ نسخة منه فیه ، Utilites.m تحمیل الملف االن یتمفى الدلیل ،)كما سبق ان وضحنا( KnoxProb الموضح فى الشاشة السابقة .

KnoxProb واخیرا نبدا فى تشغیل KnoxProb من الدلیل الموجود به وذلك بالضغط على

:من القائمة التالیة

١٤

:كما یلى ) للكتاباى الفصول المختلفة ( تظهر لنا قائمة بمحتویات الكتابف

١٥

، فعلى سبیل المثال اذا كان اهتماما بالتوزیعات نختار منها الفصل المطلوب التعامل معه : فى القائمة التالیة كما هو موضح Sec2.1 المتقطعة نضغط على

والخـاص بالتوزیعـات المتقطعـة ) الفصـل الثـانى ( Chapter 2مـن 2.1 الجـزء اى الوصـول الـى

: والموضح فى الشكل التالى ویمكن تصفحه كما سنوضح عند استخدامه

١٦

الفصل الثانى

مقدمة فى االحتمال

١٧

Sample Space and Eventsفراغ العینة واألحداث ) ١ـ٢(

د ي مجال الطب ق أثیر دواء تجرى األبحاث في مجاالت كثیرة، فف تم باحث بدراسة ت یھالث سلع تم باحث بدراسة أسعار ث د یھ معین على الشفاء من مرض ما، وفي مجال االقتصاد قائي أثیر سماد كیم تم باحث بدراسة ت د یھ مختلفة في فترات زمنیة مختلفة، وفي مجال الزراعة ق

ول ة المحص ى كمی ن .عل ات ع ى معلوم ول عل ث للحص د للباح ق الوحی ع الطری اھرة موض الظان experimentالدراسة ھو إجراء تجربة سواء ) مشاھدة(وھى أي إجراء نحصل بھ على بی

. في الطبیعة أو في المعمل وھذا البیان قد یكون رقمي أو وصفى ى عوامل الصدفة د عل ة تعتم عوامل خارجة ( نجد في معظم الحاالت أن نتیجة التجرب

ة ) هللا عن إرادة الباحث أي في علم ن یمكن وصف فئ وال یمكن التنبؤ بھا بشيء من التأكید، ولك . كل النتائج الممكنة لھا قبل إجرائھا

.الفئة التي عناصرھا تمثل جمیع النواتج الممكنة لتجربة تسمى فراغ العینة :تعریف

)١-٢(مثال

ض لكل الفئات التى عروالمطلوب فضاء العینة الذى یمثل 1,2,3,4,5االرقام لدینا بفرض .مع االھتمام بترتیب العناصر داخل الفئة االرقاممن تلك رقمینتحتوى على

:الحـل

:نتبع التالى KnoxProbمن برنامج الحلوللحصول على اى ( من الدلیل المحفوظ فیه حیث تظهر لنا قائمة بمحتویات الكتاب نبدا فى تشغیل البرنامج

: یةالتال الصفحة ظهر تف sec1.2 الجزء ثم نضغط على) الفصول المختلفة للكتاب

١٨

:حتى نصل الى الصفحة التالیة sec1.2 الجزء وبتصفح

:كما یلى لتحدیدهالجزء الرمادى من حیث یتم الضغط على القوس االیسر

evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell وتظهر الرسالة التالیة:

١٩

: الحل فیظهر okفنضغط

ل عرض لكل ویمكن تغییر البیانات لمثال اخر فمثال ذى یمث ة ال وب فضاء العین اذا كان المطلب العناصر التى تحتوى على ثالث عناصرالفئات ام بترتی من تلك العناصر االربعة مع االھتم

:داخل الفئة نحصل على التالى

امج یودائما ى برن ر ف ث KnoxProb فضل عدم اجراء تغیی یاخـذ نسـخة مـن الجـزء الرمـادى حی

ر فـــى البیانـــات التـــى تخـــص بعـــد تنفیـــذ البیانـــات االصـــلیة وقبـــل اجـــراء تغییـــ( مـــن الشاشـــة الســـابقة ر وتنقــل الــى ملــف جدیـــد فــى برنــامج الماثیماتیكــا Copy باســتخدام االمــر ) المســتخدم تم تغیی وی

٢٠

م ا ث تخص مثلن ات ل مــن قائمــة kernelالتنفیــذ فــى برنــاج الماثیماتیكــا وذلــك بالضــغط علــى البیان .فتظهر الرسالة التالیة evaluate cell برنامج الماثیماتیكا ثم على

تظهر الرسالة KnoxProbوعند الخروج من البرنامج فتظهر نفس النتیجة السابقة okفنضغط : التالیة

.ر فى البرنامج یوذلك حتى ال یحدث تغی Don'tsaveونضغط

. sample pointیسمى أي عنصر في فراغ العینة نقطة عینة :تعریف .ھي أي فئة جزئیة من فراغ العینة eventالحادثة :تعریفة بسیطة :تعریف ط تسمى حادث د فق ى عنصر واح وى عل ة تحت ة الجزئی ت الفئ simpleإذا كان

eventة ٠ ة المركب ا الحادث ن اتحاد أحداث compound eventأم تج م ي تن فھي الت .بسیطة

)٢-٢(مثال

: ألقیت عملتین مرة واحدة اذكر الحادثة . ظھور كتابة واحدة على األقل ) ب( . ظھور كتابة واحدة) أ(

: الحــل ) صورة نىتع H تعنى كتابة و Tحیث ( A = {(TH),(HT)}) أ( B = {(TH),(HT),(TT)}) ب(

٢١

)٣-٢(مثال

ى كل االحداث الممكنة من فضاء العینة فان ) ١-٢(مثال لل ات الت والتى تمثل عرض لكل الفئام ن االرق اخو ذة م ام م الث ارق ى ث وى عل ل علیھ 1,2,3,4,5 تحت امج انحص ن برن م

KnoxProb والمسماه)H ( كالتالى:

یالحظ من الحل ظھور .من الكتاب sec1.2 وذلك باتباع نفس الخطوات السابقة فى نفس الجزء . اى تمثل الفئة الفارغة الحدوث ، ةالمستحیل ةوھذه تمثل الحادث {}الفئة

: تعریف

, Aیقال أن B متنافیتان( حادثتان مانعتان (exclusive events إذا كان وقوع إحداھما

Aیمنع وقوع اآلخر وفي ھذه الحالة فإن B .

)٤-٢(مثال

٢٢

م ور رق ة ظھ ا حادث م زوجي وم ور رق ة ظھ ي حادث ا ھ دة، م رة واح رد م رة ن اء زھ د إلق عن فردي؟ وھل الحادثتین متنافیتین؟

:الحــلAحادثة ظھور رقم زوجي ھي {2,4,6} ظھور رقم فردى ھي وحادثةB {1,3,5}

Aو B Aوعلى ذلك فإن . .حادثتان مانعتان Bو Counting Methods طرق العد ) ٢ – ٢(

ة ددھا :نظری ا بطرق ع ة م راء عملی ن إج 1nإذا أمك رق ة بط ة ثانی ن إجراء عملی وإذا أمكات knبطرق عددھا kوإذا أمكن إجراء عملیة ... و 2nعددھا ذه العملی ، فإنھ یمكن إجراء ھ

1معا بطرق عددھا 2 kn n ... n .

)٥-٢(مثال

د ن بل ى Aشركة طیران لھا ست رحالت م ن Bإل ى Bوسبع رحالت م ( Cإل ا ا ) یومی م ؟ Cإلى Aعدد الرحالت التي تنجزھا یومیا من

:الحــل6 7A B C

1 2n 6 , n 7

:إذن عدد الرحالت المنجزة یومیا یساوي1 2n n 6 7 42.

ن األشیاء ة لمجموعة م ات الممكن ذي عناصره كل الترتیب ة ال ٠عادة یكون االھتمام بفراغ العیندة ى مائ خاص عل تة أش وس س ة لجل ات الممكن دد الترتیب ة ع تم بمعرف د نھ ال، ق بیل المث ى س عل

٠ Permutationsالترتیبات المختلفة تسمى تبادیل ٠مستدیرة .من فئة من األشیاء التبدیل ھي ترتیب لكل أو جزء :تعریف : نظریة

nعدد تبادیل . !nمن األشیاء الممیزة مأخوذة جمیعا في نفس الوقت ھو

ھ وفر ل ما عدد الطرق الممكنة لشخص داخل محل مالبس الختیار ربطة عنق وقمیص إذا ت قمصان في المحل؟ 5أربطة عنق و 4

: الحــل :عدد طرق اختیار ربطة العنق یساوي

1n 4 :عدد طرق اختیار القمیص یساوي

2n 5. :إذن عدد الطرق یساوي

٢٣

1 2n n =4 5 20.

زة عددھا ل ألشیاء ممی دد التبادی ام بع د یكون االھتم ان ق أخوذة nفي بعض األحی ي كل rم ف :مأخوذة اثنین في كل مرة ھو a,b,c فعلى سبیل المثال عدد تبادیل الحروف . مرة

ab ba ac ca bc cb . :نظریة

-:في كل مرة ھو rمن األشیاء الممیزة مأخوذة nعدد تبادیل n!P(n,r) n (n 1) (n r 1) .

(n r)!

)٧-٢(مثال

والمطلوب فضاء العینة الذى یمثل 1,2,3,4,5 االرقام لدینا حیث )١- ٢(بالرجوع الى مثال مع االھتمام بترتیب االرقام من تلك رقمینعرض لكل الفئات التى تحتوى على

!n وبعد عدد الطرق نجدھا داخل الفئة االرقامالعناصر 5! 20(n r)! (5 2)!

كما فى

.المثال

ة تج الصیغة العام اثال وتن یراد أحیانا معرفة عدد تبادیل مجموعة من األشیاء یكون بعضھا متم

.لھذا العدد من النظریة التالیة :نظریة

ة ألشیاء عددھا ل المختلف ث nعدد التبادی وع و 1nحی ن ن اني و 2nم وع ث ن ن ن knو…م م :ھو kالنوع رقم

1 2 k

n! .n !n !...n !

)٨-٢(مثال

ة ي نھای ق ف ة یستطیع الفری م طریق إذا لعب فریق كرة القدم ثمانیة مباریات خالل الموسم بك ؟1ویتعادل 3ویفقد 4الموسم أن یكسب

: الحــل :عدد الطرق یساوي

. 8! 40320 = = 280 4! 3! 1! 144

: من برنامج الماثیماتیكا كالتالى یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال

280

:نظریة

8431

٢٤

n عدد الطرق لتجزئة فئة ى 1nمن الخالیا بعناصر عددھا rمن األشیاء إلى ة األول ي الخلی ف :یكون rمن العناصر في الخلیة رقم rnو ...من العناصر في الخلیة الثانیة و 2nو

1 2 r

n! .n !n !...n !

:حیث

1 2 rn n ... n n ى ة فعل تكن الفئ ال ل بیل المث س a, b, c, d وى ین تحت ى خلیت ھ ال ذه الفئ ة لھ ات الممكن التجزئی

:االولى على ثالث عناصر والخلیھ الثانیة تحتوى على عنصر وحد ھى a,b,c ,d , a,b,d ,c , b,c,d ,a , a,c,d ,b .

ب :الترتیب على شكل دائرة ى nعدد الطرق التي یمكن بواسطتھا ترتی زة عل ن األشیاء الممی م :شكل دائرة ھو

(n 1)!

)٩-٢(مثال

شجرات على شكل دائرة؟ 8بكم طریقة یمكن زراعة

: الحــل :عدد الطرق لزراعة الشجرات بشكل دائرة یساوي

(8 1)! 7! 5040. : كالتالى من البرنامج یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال

(8-1)! 5040

زة rفي كثیر من المشاكل یكون اھتمامنا بعدد الطرق الختیار أشیاء عددھا ین أشیاء ممی ن ب م

ددھا ب nع ة الترتی ار لطریق ق . ودون اعتب مى التوافی ارات تس ذه االختی combinationsھى ھو ت combination في الحقیقة التوفیقة ٠ وى عل ن األشیاء rجزئة بخلیتین، خلیة تحت م

n)والخلیة األخرى تحتوى على r) الرمز ھ ب ق یرمز ل ذه التوافی من األشیاء الباقیة وعدد ھnr

.

:نظریة :كل مرة ھو rمأخوذة nعدد التوافیق ألشیاء ممیزة عددھا

n n! .r r!(n r)!

)١٠-٢(مثال

؟ 14كم عدد الطرق الختیار ثمانیة أشخاص لفریق كرة القدم من شخصا

: الحــل

٢٥

:شخص یساوي 14عدد طرق اختیار ثمانیة أشخاص من بین 14 14! 3003.8 8! . 6!

: كالتالى بطریقتین من البرنامج یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال

3003 Binomial[14,8] 3003

Probabilityاالحتمال ) ٣-٢(

تتراوح من الصفر weightsتمدنا نظریة االحتماالت بفئة من األرقام تسمى األوزانوقوع األحداث التي تنتج من ) فرصة(إلى الواحد الصحیح والتي تمكننا من تقدیر إلمكانیة

لكل نقطة في فضاء العینة نعین وزن بحیث یكون مجموع األوزان یساوى . تجارب إحصائیةفضاء إذا كان لدینا سبب لكي نعتقد أن ھناك إمكانیة كبیرة لوقوع نقطة في ٠الواحد الصحیح

من الواحد الصحیح قریبا ومن ناحیة أخرى یعین وزن قریب من . العینة فإننا نعین لھا رقماللنقاط خارج نطاق العینة، أي النقاط التي ٠الصفر لنقاط العینة التي إمكانیة وقوعھا ضئیل

البند في ھذا .یستحیل حدوثھا فإننا نعین لھا الرقم صفر وتسمى األحداث المستحیلة الحدوث) المفھوم الكالسیكي(المفھوم القدیم : سوف نناقش ثالثة مفاھیم مختلفة لقیاس االحتماالت وھى

.و مفھوم التكرار النسبي، والمفھوم الشخصي (Classical Concept))المفھوم الكالسیكي ( المفھوم القدیم ) ١-٣-٢(

قبل الحقیقة ( a priori دیرھا قبليتبعا لھذا المفھوم تحدد أرقام االحتماالت أو یمكن تقbefore fact (وعلى ذلك، االحتمال بالضبط ٠exact probability أن حادثة ما تقع تحدد

المفھوم القدیم لالحتمال مبنى على أساس أنھ إذا كانت تجربة تحتوى .قبل وقوع الحادثةوكانت ھذه النواتج متساویة في Mمن النقاط، أي أن عدد النواتج الممكنة لتجربة ما ھو Mعلى

:من النقاط فإن احتمال الحادثة ھو mعلى عدد Aإمكانیة الحدوث وإذا احتوت الحادثة mP(A)M

)١١-٢(مثال

:ثالث أجزاء من كتاب موضوعة على رف ما احتمالان ) ب( األجزاء في وضعھا الصحیح؟) أ( ي المك اني ف زء الث الج

األول؟

:الحــل : فضاء العینة ھو

S 1 2 3 , 1 3 2 , 2 1 3 , 2 3 1 , 3 1 2 , 3 2 1

1486

٢٦

(أ)1 A 1 2 3 P(A)6

)ب( 2 1B 2 1 3 ,(2 3 1 P(B)= .6 3

Relative Frequency Concept)(النسبي مفھوم التكرار ) ٢-٣-٢( یشترط ھذا المفھوم إجراء التجربة عدد كبیر من المرات ومعرفة نتائجھا وبعد ذلك

التي أجریت بھا تجربة ) trailsالمحاوالت ( تمثل عدد المرات Nفإذا كانت .قیاس االحتمالمن Nخالل Aظھور الحادثة ) التكرار(تمثل عدد مرات nما تحت نفس الظروف و

- :ھو Aالمرات التي كررت فیھا التجربة فإن احتمال وقوع الحادثة

N

nP(A) lim N

nحیث N

. Nفي ھذه التجارب التي عددھا Aھو التكرار النسبي للحادثة

ا 100000في مصنع إلطارات السیارات تبین أن كل ن بینھ تج یكون م إطار 300إطار من فما احتمال اختیار إطار تالف؟ .تالف

:الحــلnعدد اإلطارات التالفة N=100000عدد اإلطارات 300وعلى ذلك احتمال ٠ - :اختیار إطار تالف ھو

300P(A) 0.003.100000

Subject Probabilityالمفھوم الشخصي) ٣-٣-٢(

المفھوم، االحتمال ھو درجة الثقة في وقوع حادثة ما والمقررة من شخص ما تبعا لھذا على سبیل .ھذا الدلیل قد یكون أي معلومات كمیة أو غیر كمیة ٠بناء على دلیل متوفر لدیھ

للحادثة أن شحنة 0.25المثال قد یحدد الشخص القائم على المشتریات في شركة ما االحتمال ھذا المفھوم یختلف من شخص إلى آخر وذلك ٠وحدات تالفة %2 ما تحتوى على األكثر

٠لعوامل كثیرة منھا الخبرة ال) ٤-٢( یم االحتم زة لق Characteristics of Probabilityالخواص الممی

Numbers 1فراغ العینة المرافق لتجربة وإذا كانت Sإذا كان 2A ,A تمثل كل األحداث الممكنة ...,

- :فإن قیم االحتمال المقدرة لألحداث السابقة البد أن تتوافر فیھا الشروط اآلتیة P(A)ویحقق Aیسمى احتمال P(A)عدد معین Aیرافق كل حادثة ) أ( 0 . P(S)احتمال وقوع حادثة مؤكدة یساوى الواحد الصحیح، أي أن ) ب( 1 1إذا كانت) ج( 2 3A ,A ,A عدد إلنھائي من الحوادث المانعة بالتبادل أي ...

i jA A , i j فإن :

1 2 3 1 2 3P(A A A ...) P(A ) P(A ) P(A ) ....

٢٧

1ویمكن إثبات أنھ إذا كانت 2 nA ,A ,...,A تمثلn حادثة مانعة بالتبادل فإن: - 1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ).

1أیضا إذا كانت 2 nA ,A ,...A تمثل تجزئة لفراغ العینةS فإن: 1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) 1.

)٣١-٢(مثال

ا م آخر، بینم ة أضعاف أي رق رقم واحد ثالث ور ال صنعت زھرة نرد بحیث یكون احتمال ظھاء . كل الوجوه األخرى لھا نفس الفرصة في الظھور د إلق ین عن رقم اثن ما ھو احتمال ظھور ال

النرد مرة واحدة؟ وما ھو احتمال ظھور الرقم واحد؟

:الحــل P(1)نفرض أن احتمال ظھور الرقم واحد ھو -Aبحیث P(A)نفرض أن احتمال ظھور أي رقم آخر ھو - 1 P(S)احتمال فراغ العینة - 1.

P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 : وبما أن P(1) 5 P(A) 1 P(1): وعلى ذلك 3P(A),

13P(A) 5P(A) 1 8P(A) 1 P(A)8

:ھو (2)إذن احتمال ظھور الرقم 1P(2)8

:ھو) ١(واحتمال ظھور رقم 3P(1)8

)١٤-٢(مثال

ى وي عل ن رف یحت وائیا م ب عش ة كت رت ثالث اریخ و 5اختی ي الت ب ف وم 3كت ي العل ب ف كت :وقاموس ما ھو احتمال

علوم 2وقاموس ) ب( تاریخ 2قاموس و) أ( قاموس وتاریخ وعلوم) ج(

:الحل

:كتب 9كتب من 3عدد طرق اختیار : فضاء العینة9

843

: أذن) تاریخ 2قاموس و(مكونة من A) أ(

٢٨

3 1 50 1 2 10 5P(A)

9 84 423

:أذن) علوم 2قاموس و(مكونة من B) ب( 5 1 30 1 2 3 1P(B)

9 84 283

: أذن) قاموس وتاریخ وعلوم(مكونة من C )ج( 1 5 31 1 1 15 5P(C)

9 84 283

: كالتالى من البرنامج )ا(یمكن الحصول على المطلوب فى

:كالتالى ) ب(یمكن الحصول على المطلوب فى

: من البرنامج كالتالى ) ج(یمكن الحصول على المطلوب فى

) ٥١-٢(مثال

اح ن لق اح الصنوبر وخمسة م وب لق ن حب مستحضر في أنبوبة اختبار یحتوي على عشرین م : ، اختیرت عینة عشوائیة تحتوي على أربعة حبوب لقاح ، ما ھو احتمال أن البلوط

. تحتوي العینة على أربع حبوب من الصنوبر) أ(

ABinomial3,0Binomial1,1Binomial5,2

Binomial9,35

42

Binomial5,0Binomial1,1Binomial3,2Binomial9,3

1

28

cBinomial1,1Binomial5,1Binomial3,1

Binomial9,35

28

٢٩

. تحتوي العینة على ثالث حبوب من البلوط) ب( . تحتوي العینة على األقل على ثالث حبوب لقاح الصنوبر) ج(

:الحــل :احتمال تحتوي العینة على أربع حبوب من الصنوبر ھو ) أ(

20 54 0 969P(A)

25 25304

.حادثة الحصول على أربع حبوب من الصنوبر Aحیث :كالتالى من البرنامج )ا(یمكن الحصول على المطلوب فى

:احتمال أن تحتوي العینة على ثالث حبوب من البلوط) ب(

20 51 3 40P(B)

25 25304

. حادثة الحصول على ثالث حبوب من البلوط Bحیث :كالتالى ) ب(الحصول على المطلوب فى یمكن

: تحتوي العینة على األقل على ثالث حبوب لقاح الصنوبر) ج(

20 54 0 969P(A)

25 25304

و

20 53 1 1140P(C)

25 25304

1140 969 2109P(C A) P(C) P(A)2530 2530 2530

.حادثة الحصول على ثالث حبة من حبوب الصنوبر وحبة واحدة من البلوط Cحیث :كالتالى من البرنامج )ج(یمكن الحصول على المطلوب فى

Binomial20,4Binomial5,0Binomial25, 4

969

2530

Binomial20,1Binomial5,3Binomial25, 4

4

253

٣٠

a+c

Some Probability Laws بعض قوانین االحتمال) ٥-٢(

المعروفة لألحداث األخرى عادة یكون من السھل حساب احتمال حادثة ما من االحتماالت

في ھذا . وھذا یكون صحیح إذا أمكن تمثیل الحادثة كاتحاد لحادثتین أخرتین أو مكملة لحادثة .البند سوف نعرض بعض القوانین التي تسھل عملیة حساب االحتماالت

, Aألي حادثتین :نظریة B فإن: P(A B) P(A) P(B) P(A B).

)٦١-٢(مثال

اح، %20في مستعمرة كبیرة لذبابة الفاكھة، ي الجن ي %35من الذباب بھ طفرة ف رة ف ھ طف بن المستعمرة عشوائیا. بھ طفرة بكل من الجناح والعین %10العین، ة م ا ھو . اختیرت ذباب م

احتمال أن یكون بھا أحد الطفرتین على األقل؟

:الحــلP(A)احتمال بھ طفرة في الجناح 0.2 P(B)احتمال بھ طفرة في العین 0.35

P(Aاحتمال بھ طفرة في الجناح والعین B) 0.10

P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0.2 0.35 0.10 0.45 .

Aإذا كانت :نظریھ :فإن الحادثة المكملة لھا cAحادثة وكانت cP(A) 1 P(A ).

)٧١-٢(مثال

ال ان احتم وم، إذا ك حقنت ثمانیة فئران بعقار معین وتم رصد عدد الفئران التي ماتت خالل یو 0.03موت ستة بالضبط ھو ة ھ ال أن یموت سبعة أو ثمانی ال 004واحتم ، أوجدي احتم

: أن

aBinomial20,3Binomial5,1

Binomial25, 4114

253

cBinomial20,4Binomial5,0

Binomial25, 4969

2530

2109

2530

CBA BAC

10% 25% 10%

BA

٣١

.أقلیموت خمسة أو ) ب( . یموت ستة فئران أو أكثر) أ(

:الحــل احتمال أن یموت ستة فئران أو أكثر ) أ(

A الحادثة موت ستة بالضبط ھو: P(A) 0.03

B الحادثة موت سبعة أو ثمانیة ھو: P(B) 0.04

1P(E ) P(A B) 0.03 0.04 0.07 .الحادثة أن یموت ستة فئران أو أكثر 1Eحیث

. یموت خمسة أو أقل) ب(2 1P(E ) 1 P(E ) 1 0.07 0.93

.الحادثة أن یموت خمسة فئران أو أقل 2Eحیث conditional probabilityاالحتمال الشرطي ) ٦-٢(

بالمعلومات عن حدوث ) Aلتكن (في بعض التجارب یتأثراالحتمال الذي یخصص لحادثة ما

احتمال وقوع : في ھذه الحالة سوف نستخدم العبارة . Bأو عدم حدوث حادثة أخرى ولتكن P(A|B)والذي یسمى االحتمال الشرطي ویرمز لھ بالرمز B بشرط وقوع حادثة Aحادثة ". Bالشرط وقوع Aاحتمال وقوع " ویقرأ

P(Aیمثل بالصیغة Bشرط Aاالحتمال الشرطي للحادثة : تعریف | B) و یعرف بالمعادلة: P(A B)P(A | B) , P(B) 0.

P(B)

على أحداث متساویة في إمكانیة یعتبر ھذا التعریف عام وال یعتمد على فراغ عینة یحتوى :الحدوث وبنفس الشكل یمكن القول أن

P(A B)P(B | A) , P(A) 0.P(A)

:إذا كان عدد النواتج لتجربة عشوائیة متساویة فى امكانیة الحدوث فإنn(A B)P(A | B)

n(B)

n(Aحیث B) عدد نواتج الحادثةA B وn(B) عدد نواتج الحادثةB . :نفس الشئ

n(A B)P(B | A) n(A)

:فإن Bفي تجربة ما، یتبعھا حادثة A إذا وقعت حادثة ما :نظریة

P(A B) P(A)P(B | A). أوال مضروبا في احتمال Aفي ترتیب ھو احتمال أن تقع A ,Bوعلى ذلك احتمال وقوع

A، شرط أنBوقوع - :كما یمكن أن یكون ٠وقعت

٣٢

P(A B) P(B)P(A | B). ٠یتوقف على أي الحادثتین قد تقع أوالوھذا

:نظریة :، وھكذا ، فإن 3A، یتبعھا الحادثة 2A، یتبعھا الحادثة 1Aفي أي تجربة إذا وقعت الحادثة

1 2 3 1 2 1 3 1 2P(A A A ...) P(A )P(A | A )P(A | A A )... ال یتأثر وال یعتمد على وقوع أو عدم وقوع Aفي بعض األحیان ، احتمال وقوع حادثة ما

وعلى ذلك Bمستقلة عن Aبعبارة أخرى وفي ھذه الحالة یقال أن ٠ Bحادثة أخرى P(A | B) P(A) وفي ھذه الحالة فإن :

P(A B)P(A | B) =P(A).P(B)

: ومنھاP(A B) P(A)P(B).

:ألن Aتكون مستقلة عن Bفإن Bمستقلة عن Aإذا كانت

P(A B) P(A)P(B)P(B | A) P(B).P(A) P(A)

: ومنھاP(A B) P(A)P(B).

: ، إذا وفقط إذا independentمستقلتین A ،Bیقال أن الحادثتین :تعریف P(A B) P(A)P(B).

)٨١-٢(مثال

:الحــل80P(A C) 80 n(A C)230P(A C) .180P(C) 180 n(C)230

:كالتالى من البرنامج یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال

aa1={{80,100},{20,30}}

ن ة م ة، أخذت عین ي مركز لتسویق األغذی في استطالع للرأي عن تأثیر اإلعالنات على البیع فابتھم 230 ى المركز وسجلت إج الي یوضح . فرد من المترددین عل الى المزدوج الت الجدول الت

راء ب الش راد حس ع األف تري(توزی تري وال یش ات ) یش اھدة اإلعالن ب مش اھد وال (وحس یشاھد حبت اس). یش ال أن س و احتم ا ھ ات م اھد اإلعالن خص یش م أن الش إذا عل وائیا ف تمارة عش

یشتري؟ المجموع (B)ال یشترون )A(یشترون 80 100 180 (C) یشاھد

20 30 50 (D)ال یشاھد 230 130 100 المجموع

٣٣

{{80,100},{20,30}} bb1=Apply[Plus,aa1] {100,130} cc1=Apply[Plus,bb1] 230 dd1=Transpose[aa1] {{80,20},{100,30}} ee1=Apply[Plus,dd1] {180,50} cc1=Apply[Plus,ee1] 230

بفرض .وانتھز ھذه الفرصة الوضح كیف یمكن عمل جدول باستخدام برنامج الماثیماتیكا

الجدول المعطى فى المثال ونرید انشاء جدول مثلة او ان نواتج برنامج نرید ان نستخرجھا على :المثال كالتالى ھذا سوف نشرح الطریقة االن على الجدول الذى فىشكل جدول

rt2=List["A ","B ","total"]; rt3=List[80,100,180]; rt4=List[20,30,50]; rt5=List[100,130,230]; zz1=TableHeadings->{{ "","C ","D "},{adress }}; uu1=TableForm[{rt2,rt3,rt4,rt5},zz1]

وقد اضطررت لكتابتھ باللغة االنجلیزیة الن الكالم العربى ال یظھرویمكن للمستخدم ان یحاول . وانا واضحت الطریقة فقط

Total Probability and Bayes` Ruleاالحتمال الكلى وقاعدة بییز) ٧-٢(

1بفرض أن األحداث 2 nA ,A ,...,A بعض ة لبعضھا ال ة ومانع راغ العین ا لف ل تجزیئ تمث )mutually exclusive and exhaustive أحداث مانعة وشاملة ( Sواتحادھم ھو

nكما في الشكل التالى حیث 6 بفرض أن٠ E فإن أي حادثة أخرى:- 1 2 n

1 2 n

E S E (A A ... A ) E =(A E) (A E) ... (A E)

nn1aa11,1

cc1ee11cc1

4

9

adressA B total

C 80 100 180D 20 30 50

100 130 230

٣٤

: total probability)نظریة االحتمال الكلى( :نظریة 1بفرض أن 2 nA ,A ,...,A تمثلn حادثة مانعة وشاملة، وعلى ذلك ألي حادثةE فإن:-

n

i ii 1

P(E) P(A )P(E | A ).

)Bayes` Theoremنظریة بییز ( :نظریة 1إذا كانت 2 nA ,A ,...,A تمثلn ھ تج عن داھما ین ور إح حادثة مانعة وشاملة وكان ظھ

-:فإن ) تقع إذا وقعت واحدة من الحوادث المانعة Eأي أن( Eظھور حادثة أخرى k k

nk

i ii 1

P(A )P(E | A )P(A | E) ,k 1,2,...,n.P(A )P(E | A )

1

1

P A E 0.06P A | E 0.22 .P E 0.27

)٩١-٢(مثال

ات ل الطالب ا %30تمث ة م ي كلی ین ف م الدارس ن حج درس . م ادة %30ی الب م ن الط مد . من الطالبات مادة الریاضیات %20الریاضیات وتدرس ة ووج ن الكلی را واحد م إذا اختی

إذا اختیرا واحد من الكلیة و ما ھو احتمال أن یكون المختار طالبة؟، انھ یدرس الریاضیاتد ما ھو احتمال أن یكون المختار طالب؟، ووجد انھ یدرس الریاضیات را واح إذا اختی

إذا و ا ھو احتمال أن یكون المختار طالبة؟م، من الكلیة ووجد انھ یدرس الریاضیاتھ د ان ة ووج ن الكلی د م را واح یاتال اختی درس الریاض ار ، ی ون المخت ال أن یك و احتم ا ھ م

طالب؟

:الحــل الحادثة اختیار طالب من الكلیة 2A ھ والحادثة اختیار طالبة من الكلی 1A: نفرض

.واحد من الكلیة ال یدرس ریاضیات CEوواحد من الكلیة یدرس ریاضیات Eو

P E 0.06 0.21 0.27 .

CP E 0.24 0.49 0.73 .

1

1

P A E 0.06P A | E 0.22 .P E 0.27

E

2A

3.0)A(P 1

7.0)A(P 2

06.0)AE(P,2.0)A|E(P 11

24.0)AE(P,8.0)A|E(P 1C

1C

21.0)AE(P,3.0)A|E(P 22

49.0)AE(P,7.0)A|E(P 2C

2C

E

1ACE

CE

٣٥

2

2

P A E .21P A | E .78 .P E 0.27

C1C

1 C

P A E 0.24P A | E 0.33 .P E 0.73

C2C

2 C

P A E .49P A | E 0.67 .P E 0.73

:من البرنامج كالتالى یمكن الحصول على المطلوب لهذا المثال

0.222222

0.777778

0.328767

0.671233

.06

.27

.21

.27

.24

.73

.49

.73

٣٦

الفصل الثالث

المتغیرات العشوائیة وتوزیعاتھا االحتمالیة

٣٧

Random Variableالمتغیر العشوائي ) ١-٣(

ھ وإن ) كما ذكرنا سابقا(تستخدم كلمة تجربة ة ل ألي إجراء نعلم مسبقا جمیع النواتج الممكنن الضروري دراسة ٠كنا ال نستطیع أن نتنبأ بأي من ھذه النواتج سیتحقق فعال ا ال یكون م ربم

ة واتج الممكن ل الن ة ك ة(فئ راغ العین یم ) ف ى ق ا منصبا عل ون اھتمامن ن یك ة إحصائیة ولك لتجربة واتج الممكن ذه الن ة بھ ة مرتبط ر إن ٠رقمی یم المتغی ھ بق ر عن ا نعب ي م ذه ھ ة ھ یم الممكن الق

٠العشوائىة :تعریف الدالة المعرفة على فراغ العینة لتجربة ما والتي تخصص عددا حقیقیا لكل نقطة عین

٠تسمى المتغیر العشوائى ٠لواحدة من قیمھ xلیمثل المتغیر العشوائي، Xسوف نستخدم الرمز

)١-٣(مثال

ا حمراء ذور زھورھ ى خمس ب وى عل ن كیس یحت ات مزھر عشوائیا م ن نب اختیرت بذرتان م :فراغ العینة یكون ٠وثالث بذور زھورھا صفراء وذلك الستخدامھا في تجربة معینة

S {yy,ry, yr,rr} ٠ترمز إلى البذرة التي زھورھا صفراء yترمز إلى البذرة التي زھورھا حمراء، rحیث

ة Xبفرض أننا عرفنا الدالة ي العین ة ٠التي تمثل عدد البذور التي زھورھا حمراء ف ذه الدال ھي ٠المرافق لتجربتنا اإلحصائیة Sعینة سوف تخصص عدداحقیقیا لكل نقطة عینة في فراغ ال ف

X٠الجدول التالي نجد أن كل نقطة في فراغ العینة ارتبطت بعددحقیقي واحد عن طریق الدالة 2 1 1 0 x rr yr ry yy نقطة العینة

, 0متغیر عشوائي یأخذ القیم Xوعلى ذلك 1 , 2.

د یكون ال السابق، أو ق ي المث ا ف نقط كم ن ال قد یحتوى فراغ العینة على عدد محدود مدود ائي مع وى sample space countable infiniteفراغ العینة ال نھ ذي یحت راغ ال و الف وھ

ي اء النق ن الم ر م ي لت ا ف دد البكتری ل ع د ، مث ل للع ھ قاب ن العناصر لكن ائي م ى عدد ال نھ علة منفصل وی راغ عین ة ف ذه الحال ي ھ ة ف discrete sample space٠) متقطع(سمى فراغ العین

وائ ر عش مى متغی ة منفصل یس راغ عین ى ف وائي المعرف عل ر العش ع(ي منفصل المتغی ). متقطنقط ن ال ائي م دد ال نھ ى ع وى عل ة یحت راغ العین ان ف infinite sample spaceأیضا إذا ك

راغ ...الغیر معدودة مثل كل األطوال الممكنة، األوزان، درجات الحرارة ، ول أن ف ا نق الخ فإننراغ المتغیر العشوائي المعرف ع continuous sample space٠) مستمر(العینة متصل ى ف ل

ل وائي المتص ر العش مى المتغی ل یس ة متص وائیة . عین رات العش ات المتغی م التطبیق ي معظ فن ي صفحة م ي السنة، عدد األخطاء ف وادث ف دد الح ل ع د، مث ة للع ات قابل ل بیان المنفصلة تمث

ح ن القم دان م ي ف ران ف دد الفئ اموس، ع خ٠٠٠ق ل ٠ال لة فتمث وائیة المتص رات العش ا المتغی أم ٠مقاسة بیانات

)٢-٣(مثال -:صنف المتغیرات العشوائیة التالیة إلى منفصلة ومتصلة

. الزمن الالزم إلنھاء امتحان) ب( . الزمن الالزم لوصول طائرة) أ( . مصابیح 5عدد المصابیح التالفة في صندوق یحتوى على ) ج( . عدد األخطاء التي یتعرض لھا شخص ما عند كتابة خطاب على اآللة الكاتبة) د(

٣٨

. كمیة اللبن الحلیب التي تدرھا بقرة في العام) ھـ( .عدد البیض الذي تضعھ دجاجة في الشھر) و(

:الحــل .منفصل) ج( .متصل) ب( .متصل) أ( .منفصل) و( .متصل) ھـ( .منفصل) د( )المتقطعة(ات االحتمالیة المنفصلة التوزیع) ٢-٣(

Discrete Probability Distribution

ال ي مث تحسب ) ١-٣(كل قیمة من قیم المتغیر العشوائي المنفصل یفرض لھا احتمال ففي Xاالحتماالت المختلفة لقیم المتغیر العشوائي ا حمراء ف ي زھورھ ذور الت دد الب ل ع ذي یمث ال

-:كالتالي) إذا كان االختیار بدون إرجاع(العینة

3 2 6P(X 0) P(yy) ( ) ( ) ,8 7 56

5 3 3 5 30P(X 1) P(ry) P(yr)=( ) ( ) ( ) ( ) , 8 7 8 7 56

5 4 20P(X 2) P(rr) ( ) ( ) .8 7 56

-:معطاة في الجدول التالي مع احتماالتھا Xالقیم المختلفة للمتغیر العشوائي

2 1 0 x 2056

3056

656

P(X=x)

٠مجموع االحتماالت في الجدول السابق تساوى الواحد الصحیحمع كل جدول أو صیغة تعطى جمیع القیم التي یأخذھا متغیر العشوائي منفصل، :تعریف

٠احتمال كل قیمة منھا یسمى توزیع احتمالي منفصل

)٣-٣(مثال

إن Xإذا كان دة ف ین مرة واح اء عملت د إلق ي تظھر عن متغیرا عشوائیا یمثل عدد الصورة التx 0,1,2 . فما ھو التوزیع االحتمالي للمتغیرX؟

:الحــل :یمكن تمثیلھ بالجدول التالي X التوزیع االحتمالي للمتغیر العشوائي

2 1 0 x

٣٩

0.25 0.5 0.25 f(x)

٠كما في الشكل التالى bar chartیمكن عرض ھذا التوزیع بیانیا باستخدام طریقة األعمدة

)١-٢(شكل

یم xحیث یمثل المحور األفقي قیم x(f( ویمثل المحور الرأسي ق د ثال عن 0xفم ود ام عم یق

و ة وھ ذه النقط د ھ ة عن ة الدال ع قیم ب م ھ یتناس د 25.0ارتفاع ذلك عن 1xوك ود ام عم یق2xوعند 5.0ارتفاعھ ا وجود 25.0 یقام عمود ارتفاعھ یس لھ ة ل ٠وبخالف ھذه النقط فالدال

الي درج االحتم ا یسمى بالم ى م ل الشكل السابق إل ن تحوی probability histogramكما یمكاع كل ث یكون ارتف ى مستطیالت بحی كما في الشكل التالى وذلك بتحویل األعمدة الموجودة إل

ة ال قیم اویا الحتم تطیل مس تطیلالxمس دة المس ف قاع ي منتص ة ف إن ٠واقع ك ف ى ذل وعل)xX(P ع ذي تق تطیل ال احة المس اوى مس ھ xیس ف قاعدت ي منتص اب ٠ف وم لحس ذا المفھ ھ

٠االحتماالت ضروري في التوزیع االحتمالي المتصل

)٤-٣(مثال

: متغیرا عشوائیا من النوع المتقطع بدالة كثافة احتمال على الشكل التالى Xإذا كان

44! 1f (x) , x 0, 1, 2, 3, 4x!(4 x)! 2

= 0 e.w.

٤٠

)elsewhereاختصارا لـ .e.wحیث (P(Xالیجاد . ( 1 = !0)وكالعادة 0 or X 1) نتبع االتى: :

4 44! 1 4! 1 5P(X 0 or X 1) .

0!4! 2 1!3! 2 16

وفیمـــا یلـــى برنـــامج مكتـــوب بلغـــة الماثیماتیكـــا تـــم اعـــداده الیجـــاد التوزیـــع االحتمـــالى لهـــذا المثـــال

ـــة . b,cبطـــریقتین ـــة كثافـــة االحتمـــال بالدال 4وعـــدد القـــیم للمتغیـــر العشـــوائى fوقـــد تـــم تعریـــف دالاى الزالــة Clearوســوف نســتخدم االمــر . aو قــیم المتغیــر العشــوائى المســماه n والمســماه

. fمسمیات سابقة للدالة

Clear[f] n=4 4

a={0,1,2,3,4} {0,1,2,3,4} b=Table[f[n,x],{x,0,n}]

c= {f[n,0],f[n,1],f[n,2],f[n,3],f[n,4]}

:واخیرا تم ایجاد 4 44! 1 4! 1 5P(X 0 or X 1) .

0!4! 2 1!3! 2 16

:كالتالى d والمسماه d=f[n,0]+f[n,1]

)٥-٣(مثال

fn, x_: Binomialn, x12n

1

16,1

4,3

8,1

4,

1

16

1

16,1

4,3

8,1

4,

1

16

5

16

٤١

ذا كان Xإذا كان :متغیرا عشوائیا من النوع المتقطع واx1f (x) , x {1,2,3,...}

2

:إذا كانت لدینا الحادثة

B {x x 1, 3, 5, 7,...} :فـإن

3 51 1 1 2P[X B] ( ) ( ) ... .2 2 2 3

:وباستخدام برنامج الماثیماتیكا فان

b=Sum[f[x],{x,1,,2}]

ذا كانت و :ا

C {x x 2,4,6,8,...} :فـإن

2 4 6 81 1 1 1P[X C] ( ) ( ) ( ) ( ) ....

2 2 2 2

:وباستخدام برنامج الماثیماتیكا فان c=Sum[f[x],{x,2,,2}]

:او یمكن حسابها بطریقة اخرى كالتالى

2 1P[X C] 1 P[X B] 1 .3 3

:وباستخدام برنامج الماثیماتیكا فان

b=Sum[f[x],{x,1,,2}]

c=1-b

fx_: 12x

2

3

1

3

fx_: 12x

2

3

٤٢

:إذا كانت

D {x x 1,2,3,4,...} :فـإن

2 3 41 1 1 1P[X D] ( ) ( ) ( ) ...2 2 2 2

P[X B] P[X C] 1.

. النه یمثل فضاء المتغیر العشوائى :وباستخدام برنامج الماثیماتیكا فان

d=Sum[f[x],{x,1,}] 1

:او بالصیغة القیاسیة

1

)٦-٣(مثال

قام باحث في مكتبـة الجامعـة فـي األسـبوع األول مـن الدراسـة بمالحظـة الطالـب التـالي ومـا 1متغیـرا عشـوائیا یأخـذ القیمـة Xلـیكن . Bأو مـن نـوع Aإذا كان قد أشترى آلة حاسبة مـن نـوع

مـن %20فـإذا أشـترى . Bإذا أشترى الطالـب النـوع 0ویأخذ القیمة Aإذا أشترى الطالب النوع :هي Xللمتغیر f.d.pفإن Aلطلبة اآللة من نوع ا

f(0) = P( X = 0 ) = .8 f(1) = P ( X = 1 ) = .2

f(x) = 0 e.w .

:على الصورة Xللمتغیر العشوائي .p.d.fویمكن وضع f(x) = .8 x = 0

= .2 x = 1

= 0 e.w.

:نتبع التالى KnoxProbمن برنامج f(x)وللحصول على المدرج االحتمالى للدالة

:محفوظ فیه وذلك بالضغط على االیقونة الخاصة التالیة نبدا فى تشغیل البرنامج من الدلیل ال

1

3

x1

fx

٤٣

:كما یلى ) اى الفصول المختلفة للكتاب( حیث تظهر لنا قائمة بمحتویات الكتاب

: كماهو موضح فیما یلى sec2.1ثم نضغط على

٤٤

: والخاص بالتوزیعات المتقطعة كما یلى Chapter 2من Sec2.1اى الوصول الى الجزء

:حتى الوصول الى الشكل التالى Chapter 2من Sec 2.1ثم نتصفح

٤٥

:حیث یتم الضغط على القوس االیسر لتحدیدة كما یلى

evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell وتظهر الرسالة التالیة:

:فیظهر التالى okفنضغط

٤٦

الخاصــة بمثالنــا f(x)وللحصــول علــى المــدرج االحتمــالى للدالــة . ویــتم ذلــك لتحمیــل هــذا الجــزء

الننـــا اســـتنبطنا هـــذا البـــرامج مـــن البرنـــامج االصـــلى حتـــى یالئـــم (یاخـــذ نســـخة مـــن البرنـــامج التـــالى :وتنقل الى ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا Copyباستخدام االمر )مثالنا

ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},AxesLabel{"x","f{x}"}]

: كما هو موضح في الشكل التالى

:حیث یتم الضغط على القوس االیسر لتحدیده كما یتضح فیما یلى

٤٧

evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell فتظهر الرسالة التالیة.

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط

ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},AxesLabel{"x","f{x}"}]

Graphics

األفقيویالحظ أن العمودین المرسومین فوق قیمتي المتغیر العشوائي على المحور .تتناسب مع احتمال هاتین القیمتین

نفســه وذلــك بعــد تغییــر البیانــات ثــم KnoxProbهــذا ویمكــن الحصــول علــى الحــل فــى برنــامج .evaluateمن قائمة برنامج الماثیماتیكا ثم على kernelوذلك بالضغط على تنفیذ البرنامج

مـن المشـترین اختـاروا اآللـة الحاسـبة مـن %20ألن f(1) = .2 , f(0) = .8في المثـال السـابق عمومـا المتغیـر العشـوائي . f(0) = .1 , f(1) = .9فـي مكتبـة أخـرى یمكـن أن تكـون . Aنـوع

إذا أمكـن التعبیــر عــن Bernoulliیســمى متغیـرا عشــوائیا یتبـع برنــولي 0أو 1الـذي یأخــذ القیمـة :دالة كثافته االحتمالیة كالتالي

0 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

fx

٤٨

1 p x 0f (x;p) p x 1

0 e.w.

p < 1 > 0.حیث

ویمكــن ایجــاد المــدرج االحتمــالى الى دالــة اخــرى فعلــى ســبیل المثــال اذا كــان المتغیــر یاخــذ القیمــة :على التوالى فاننا نغیر فقط فى االمر كالتالى 4.,2.,4.باحتماالت 0,12

ProbabilityHistogram[{0,1,2},{.4,.2,.4},AxesLabel{"x","f{x}"}]

Graphics

:تظهر الرسالة التالیة Knoxprobوبعد الخروج من البرنامج . وهكذا الى دالة اخرى

.Don'tsaveونضغط

)٧-٣(مثال :كالتالي .p.d.f متغیرا عشوائیا له دالة كثافة احتمال Xإذا كان

f(x) = .2 , x = 1, 2, 3, 4, 5 .

0 1 2x

0.1

0.2

0.3

0.4

fx

٤٩

فاننـا ) ٦-٣(رسم هذا المدرج االحتمالى مع المـدرج االحتمـالى الخـاص بالمثـال عند الرغبة فى :نتبع التالى

:كما اوضحنا من قبل حتى الوصول الى الشكل التالى Chapter 2من Sec2.1 نتصفح

:حیث یتم الضغط على القوس االیسر لتحدیدة كما یلى

evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell وتظهر الرسالة التالیة:

:فیظهر التالى okفنضغط

٥٠

وللحصول على المـدرجین االحتمـالین معـا یاخـذ نسـخة مـن الجـزء . ویتم ذلك لتحمیل هذا الجزء

جدیــد فــى برنــامج الماثیماتیكــا وتنقــل الــى ملــف Copyالرمــادى المحــدد الســابق باســتخدام االمــر :ویتم تعدیل البیانات فى الجزء المنقول ثم یتم تنفیذه كما سبق ان اوضحنا فنحصل على التالى

g1=ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},DisplayFunctionIdentity,DefaultFont{"Times-Roman",8}]; g2=ProbabilityHistogram[{1,2,3,4,5},{.2,.2,.2,.2,.2},DisplayFunctionIdentity,DefaultFont{"Times-Roman",8}]; Show[GraphicsArray[{{g1,g2}}],DisplayFunction$DisplayFunction];

ة ومـع كـل تعتمـد علـى كمیـة والتـي یعـین لهـا أي رقـم مـن األعـداد الحقیقیـ f(x)بفرض أن :تعریف parameterمثــل هــذه الكمیــة تســمى المعلمــة . قیمــة تقــدر دالــة كثافــة احتمــال مختلفــة

التجمـــع لكــل التوزیعـــات االحتمالیــة لقـــیم مختلفـــة مــن المعلمـــة تســمي عائلـــة مـــن . للتوزیــعفعلــى . family of probability distributions التوزیعــات االحتمالیــة

. f ( x ; .5 )تختلف عن f ( x ; .6 )سبیل المثال

0 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

٥١

)٨-٣(مثال

عند زمن محدد إذا تم مالحظة الجنس لكل طفـل حـدیث الـوالدة فـي مستشـفي مـا حتـى والدة ترمــز للحادثــة أن الطفــل أنثــى (g)وبفــرض أن p = P({b})بفــرض أن (b).طفــل ذكــر

:وبفرض أن المحاوالت مستقلة فإن f(1) = P ( X = 1 ) = P ({b}) = p,

f(2) = P ( X = 2 ) = P({g b}) = P({g}) P({b}) = ( 1-p ) p,

f(3) = P( X = 3 ) = P ({ggb}) =P({g}) P({g}) P({b})= ( 1- p )2 p.

ـــة كثافـــة االحتمـــال وباالســـتمرار علـــ ى هـــذا المنـــوال فإنـــه یمكـــن الحصـــول علـــى الصـــورة عامـــة لدال

:كالتالي x 1(1 p) p x 1,2,3,...

f (x)0 e.w.

.ویمثل معلمة لدالة كثافة االحتمال . 0 ,1في الصیغة السابقة تمثل عدد ینحصر بین pالكمیة

)٩-٣(مثال

:كالتالي .p.d.f متغیرا عشوائیا له دالة كثافة احتمال Xإذا كان f(x) = .25 , x = 1, 2, 3, 4 .

:موضح في الشكل التالى f(x)بیان

g1=ProbabilityHistogram[{1,2,3,4},{.25,.25,.25,.25},AxesLabel{"x","f{x}"}]

٥٢

Graphics

P ( X=x ) = .25یسـمى التوزیــع فــي هــذه الحالـة بــالتوزیع المنــتظم وذلــك ألن االحتمــاالت .متساویة لجمیع قیم المتغیر العشوائي

)١٠-٣(مثال

:متغیرا عشوائیا له دالة كثافة االحتمال التالیة Xإذا كان

f(x) = 1 , x = x1

= 0 , e.w.

. x = 3موضح في الشكل التالى عندما f(x)بیان

. degenerated distributionیسمى التوزیع الذي یأخذ قیمة واحدة بالتوزیع الخامل

g1=ProbabilityHistogram[{0,3},{0,1},AxesLabel{"x","f{x}"}]

1 2 3 4x

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

fx

٥٣

Graphics

)١١-٣(مثال

ذا كانــت الوجــوه مرقمــة باألرقــام 12وكــل نــرد لــه ) المتــزن(إذا ألقــي زوج مــن النــرد وجــه وا. متغیر عشوائي یمثل أعلـى رقـم یظهـر علـى النـردین Xوبفرض أن . 12إلي 1الصحیحة من

Xدالـة كثافـة االحتمـال للمتغیـر العشـوائي . 12,… ,3 ,2 ,1سـوف یأخـذ القـیم Xوعلى ذلـك :سوف تكون

f(x) = c (2 x-1 ) x = 1, 2, …,12 = 0 , e.w .

: نتبع اآلتي cللحصول على الثابت . xهى عدد الطرق لوقوع أي قیمة (x – 1 2 )حیث 12 12 12

1 f (x) c (2x 1) c 2 x 12x 1 x 1 x 1

2(12)(13) 2c 12 c(12)2

:وعلى ذلك 2c 1 (12) 1/144.

للتوزیــع االحتمــالى لهـــذا cوفیمــا یلــى برنــامج مكتــوب بلغـــة الماثیماتیكــا تــم اعــداده الیجـــاد الثابــت

وسـوف نسـتخدم االمـر . cبالمسمى cوالثابت fتمال بالدالة المثال وقد تم تعریف دالة كثافة االحClear الزالة اى مسمیات سابقة للدالةf ان وجدت:

Clear[f]

0 3x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fx

٥٤

144

The Dstribution Functionدالة التوزیع ) ١-٢-٣(

فئــة فــي البعــد Bحیــث P(B) االحتمــالمتغیــرا عشــوائیا مــن النــوع المتقطــع لــه Xبفــرض أن ذا كــان . األول . xحیــث تشــتمل علــى النقطــة xإلــي فئــة مــن Bعــدد حقیقــي وكانــت xوا

:فإن Bلمثل هذه الفئات .P(B) P[X B] P(X x)

ـــة فـــي النقطـــة xحیـــث یعتمـــد االحتمـــال علـــى النقطـــة یرمـــز لدالـــة . x، أي أن هـــذا االحتمـــال دال

xX(P)x(F(النقطــــة هــــذه بــــالرمز . تســــمى الدالــــةF(x) دالــــة التوزیــــع ( دالــــة التوزیــــعوبمــــا أن . Xللمتغیــــر العشــــوائي ) cumulative distribution functionالتجمیعــــي

)xX(P)x(F حیث ،f(x) دالة كثافة االحتمال ، فإن: )w(f)x(F

xw

)١٢-٣(مثال :متغیرا عشوائیا له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان

.ومثلها بیانیا F(x)أوجد

:الحــلF(1) P(X 1) P(X 1) f (1) .4,F(2) P(X 2) P(X 1 or 2) = f(1) + f(2) = .7,

d x1

12fx

c1d

1

144

x 1 2 3 4

P(X=x) .4 .3 .2 .1

٥٥

F(3) P(X 3) P(X 1 or 2 or 3)f (1) f (2) f (3) .9,

F(4) P(X 4) f (1) f (2) f (3) f (4)1,

:وعلى ذلك

F(x) 0 x 1.4 1 x 2.7 2 x 3.9 3 x 41 4 x.

: نتبع التالى F(x)للحصول على بیان بیان

Sec 2.1حتـى الوصـول الـى الفصـل الثـانى ) ٦-٣(نتبع نفس الخطوات التى اتبعت فى المثال حتــى یــتم الوصــول الــى الشــكل التــالى حیــث یــتم الضــغط علــى Sec2.1وهنــا یــتم تصــفح الجــزء

:القوس االیسر للجزء المظلل باللون الرمادى

٥٦

مـــن قائمـــة برنـــامج الماثیماتیكـــا ثـــم علـــى kernelثـــم یـــتم تنفیـــذ البرنـــامج وذلـــك بالضـــغط علـــى evaluate cell وتظهر الرسالة التالیة.

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط

یحــدد الجــزء الرمــادى كمــا فــى F(x)وللحصــول علــى بیــان للدالــة . ویــتم ذلــك لتحمیــل هــذا الجــزء

: الشكل التالى

٥٧

وتنقل الى ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا Copyویاخذ نسخة منه باستخدام االمر

ویتم تغییر البیانات الى بیانات مثالنا ثم یتم الضغط على القـوس االیسـر لتحدیـده كمـا یتضـح فیمـا :یلى

evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell فیظهر التالى:

٥٨

F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,.4,2x<3,.7,3x<4,.9,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,4.6},{1,2,3,4},DotSize.02,AxesOrigin{0,-.01},PlotRange{-.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

.كحل لهذا المثال Wordوفى النهایة یاخذ نسخة من الرسم وتنقل الى

:تظهر الرسالة التالیة KnoxProbوعند الخروج من البرنامج

1 2 3 4 4.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 4.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٥٩

.وذلك حتى ال یحدث تغیرات فى البرنامج Don'tsaveونضغط

)١٣-٣(مثال

:متغیرا عشوائیا له دالة كثافة االحتمال Xإذا كان

.ومثلها بیانیا F(x)أوجد

:الحــلF(x) 0 x 1

.2 1 x 2

.5 2 x 3

.9 3 x 41 4 x.

.موضح في الشكل التالى F(x)بیان

F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,.2,2x<3,.5,3x<4,.9,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,4.6},{1,2,3,4},DotSize.02,AxesOrigin{0,-.01},PlotRange{-.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

x 1 2 3 4

P(X=x) .2 .3 .4 .1

٦٠

)١٤-٣(مثال

:متغیرا عشوائیا من النوع المتقطع ودالة كثافة االحتمال له هي Xإذا كان f(x) = x/6 , x = 1, 2,3 = 0 e.w.

: هي Xفإن دالة التوزیع للمتغیر

F(x) 0 x 11 1 x 263 2 x 361 3 x.

دالــة ســلمیة والتــي تكـون ثابتــة فــي أي فتــرة ال تحتــوي F(x)هنـا كمــا هــو موضــح فــي الشـكل التــالى

ولكــن لهــا قفــزات بارتفاعــات 3أو 2أو 1علــى 61,

62,

6أیضــا . عنــد تلــك الــنقط علــى التــوالي 3

.متصلة من الیمین F(x)یالحظ أن

F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,1/6,2x<3,3/6,x1,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,3.6},{1,2,3},DotSize.02,AxesOrigin{0,-.01},PlotRange{-.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

1 2 3 4 4.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٦١

سـوف نسـتخدم الرمـزین . نـذكر بعضـها Xهناك بعض الخواص لدالة التوزیع لمتغیـر عشـوائي )(F و)(F لتعني)x(Flim,)x(Flim

xx . على التوالي

x(F0(1) أ( . xxبمعنى أنه إذا كانت xغیر تناقصیة في F(x)الدالة ) ب( فإن:

F(x ) F(x ) F)(1) ج( 0و)(F . b(F)b(F)bX(P() د(

Xوعلـى ذلـك االحتمـال أن . x = bعنـد F(x)هي النهایة من الیسار للدالـة F(b-)حیث

= b هو طول القفزة التي تأخذهاF(x) عندx = b . F( a+) - F(a) = 0 : أي أن . xمتصلة من الیمین عند كل نقطة F(x)الدالة ) هـ(

متصـلة مـن F(x)وعلـى ذلـك . x = aعنـد F(x)هي النهایة مـن الیمـین للدالـة F(a+)حیث . الیمین عند كل نقطة

یعطــى الجــدول التــالي الصــیغ المختلفــة لحســاب االحتمــاالت ألحــداث متعــددة وذلــك باســتخدام دالــة . F(x)التوزیع

الحادثة الصیغة االحتمالیة الحادثة

x = a {X = a}عند F(x)مقدار القفزة على بیان

1- F(a) {a < X } 1- F(a) + P {X = a } { a < X }

1 2 3 3.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٦٢

F (b) X < b F(b) – P {X = b } X < b F(b) – F(a) – P{ X = b } {a < X < b } F(b) – F(a) + P{X = a } {a < X < b } F(b) – F(a) + P(X = a } – P{X = b } {a < X < b } F(b) – F (a) { a < X < b }

)١٥-٣(مثال

:إذا كانت دالة التوزیع التجمیعي لمتغیر عشوائي هي 0 ,x 01 ,0 x 184F(x) ,1 x 287 ,2 x 381 ,x 3

. f(x): أوجد

:الحــلfیمكن حساب (x) من الدالةF(x) حیث:

1 1P(X 0) F(0) F(0 ) 08 8

4 1 3P(X 1) F(1) F(1 )8 8 8

7 4 3P(X 2) F(2) F(2 )8 8 8

7 1P(X 3) F(3) F(3 ) 18 8

:معطاة بالجدول التالي f(x)دالة كثافة االحتمال 4 3 2 1 x

٦٣

18

38

38

18

f (x)

Mathematical Expectationالتوقع الریاضى ) ٢-٢-٣(

-:متغیر عشوائي منفصل ومنتھي لھ التوزیع االحتمالي التالي Xإذا كان :تعریفnx … 2x 1x x

)x(f n … )x(f 2 )x(f 1 )xX(P ع ( فإن التوقع الریاضي ة أو متوسط المجتم ة المتوقع ر ) population meanالقیم لمتغی

-: ھو Xعشوائي n

i ii 1

E(X) x f (x ) .

)١٦-٣(مثال

5أشخاص من بین 3أوجد القیمة المتوقعة لعدد الرجال الذین یتم اختیارھم لمھمة علمیة من ) .السحب بدون إرجاع(رجال وسیدتین

: الحــل

x: ھي Xقیم المتغیر العشوائي 1,2,3 والتي تمثل عدد الرجال الذین یتم اختیارھمnلمھمة علمیة في عینة من 3 .

:الصیغة العامة االحتمالیة ھي 5 2x 3 x

P(X x) , x 1,2,373

5 21 2 5P(X 1) ,

35 35

, 3520

3512

25

)2X(P

. 3510

3502

35

)3X(P

٦٤

:ھو X المتغیر العشوائيإذن التوزیع االحتمالي

3 2 1 x

3510

3520

355 )xX(P

. 143.2)3510(3)

3520(2)

355(1f(x) x)X(E

3

1x

وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده الیجاد القیمة المتوقعة للمتغیر :لهذا المثال X العشوائى

nو fوقد تم تعریف دالة كثافة االحتمال بالدالـة 3 ن تمثل حجم العینة المختارة من مجتمع م

م ث m=7الحج تمثـــل عـــدد النســـاء فـــى n2=2 الرجـــال فـــى المجتمـــع وتمثـــل عـــدد n1=5حی :ان وجدت fالزالة اى مسمیات سابقة للدالة Clearالمجتمع وسوف نستخدم االمر

Clear[f] n=3;n1=5;m=7;n2=2 2

a=Table[f[x],{x,1,n}]

b=Table[x,{x,1,n}] {1,2,3} c=Transpose[{a,b}]

MatrixForm[c]

2.14286

) ١٧-٣(مثال

fx_: Binomialn1,xBinomialn2,nxBinomialm,n

17,4

7,2

7

17, 1, 4

7, 2, 2

7, 3

17

1

47

2

27

3

x1

nxfx N

٦٥

متغیرا عشوائیا یمثل عدد أجھزة الحاسب اآللي التي تتعرض للتلف من بین خمسة Xإذا كان بفرض 0.25أجھزة وذلك أثناء توصیلھا إلى مركز أبحاث، بفرض أن احتمال التلف ، أیضا

.أن كل جھاز مستقل عن اآلخر في التلف أو عدم التلف أوجد القیمة المتوقعة لألجھزة التالفة

:الحــل

x 0,1,2,3,4,5 ي ھو از حاسب آل ف جھ pبما أن احتمال تل 0.25 از ال أن الجھ ك احتم ى ذل وعل

qاآللي سلیم ھو 0.75 وعلى ذلك فإن:

.x 5 x5P(X x) (0.25) (0.75) , x 0,1,2,3,4,5

x

, 1024243)75.0()25.0(

05

)0X(P 50

, 1024405)75.0()25.0(

15

)1X(P 41

, 1024270)75.0()25.0(

25

)2X(P 32

, 1024

90)75.0()25.0(35

)3X(P 23

, 1024

15)75.0()25.0(45

)4X(P 14

. 1024

1)75.0()25.0(55

)5X(P 05

3

x o

243 405 270E(X) xf (x) 0 ( ) 1 ( ) 2( )1024 1024 1024

90 15 13( ) 4( ) 5( ) 1.251024 1024 1024

التوقــع الریاضـى للمتغیــر العشــوائى لحسـاب وفیمـا یلــى برنـامج مكتــوب بلغـة الماثیماتیكــا تـم اعــداده وعـدد االجهــزة الموصــلة فــى fوقـد تــم تعریــف دالــة كثافـة االحتمــال بالدالــة . الخـاص بهــذا المثــال

وسـوف نسـتخدم االمـر . aو قـیم المتغیـر العشـوائى المسـماه n المركز والمعرضة للتلف والمسماه

5 4 3 2 1 0 x

10241

102415

102490

1024270

1024405

1024243 )xX(P

٦٦

Clear الزالة اى مسـمیات سـابقة للدالـةf االحتمـاالت المختلفـة تـم الحصـول علیهـا . ان وجـدتاثبـــت ان مجمـــوع cاالمـــر . dماه والطریقـــة الثانیـــة والمســـ bبطـــریقتین، الطریقـــة االولـــى والمســـماه

االحتمــاالت علــى فضــاء العینــة یســاوى واحــد صــحیح ، وقــد تــم كتابتــه البرنــامج بصــیغة االدخــال وقد تـم حسـاب القیمـة المتوقعـة بطـریقتین مـرة بصـیغة االدخـال ومـرة بالصـیغة . وبالصیغة القیاسیة

. القیاسیة تحت المسمى n=5;p=.25 0.25 Clear[f]

a=Table[x,{x,0,n}] {0,1,2,3,4,5} b=Table[f[x],{x,0,n}] {0.237305,0.395508,0.263672,0.0878906,0.0146484,0.000976563}

1. c=Apply[Plus,b] 1. d=Map[f,a] {0.237305,0.395508,0.263672,0.0878906,0.0146484,0.000976563} cc=a*b {0,0.395508,0.527344,0.263672,0.0585938,0.00488281} =Apply[Plus,cc] 1.25

1.25

)١٨-٣(مثال

، اوجد القیمة 0.3احتمال أن یحصل العب كرة التنس على ھدف في أي مباراة یلعبھا ھو .المتوقعة لعدد األھداف التي یكسبھا في خمس مباریات قادمة

:الحــل 5,4,3,2,1,0x

pبما أن احتمال أن یحصل على ھدف في أي مباراة یلعبھا ھو 0.3 وعلى ذلكqاحتمال أن ال یحصل على ھدف ھو 0.7 وعلى ذلك فإن:

fx_: Binomialn, xpx1pnx

cx0

nfx

x0

nxfx

٦٧

.x 5 x5P(X x) (0.3) (0.7) , x 1,2,3,4,5

x

, 16807.0)7.0()3.0(05

)0X(P 50

, 36015.0)7.0()3.0(15

)1X(P 41

, 3087.0)7.0()3.0(25

)2X(P 32

, 1323.0)7.0()3.0(35

)3X(P 23

, 02835.0)7.0()3.0(45

)4X(P 14

. 002.0)7.0()3.0(55

)5X(P 05

. 1.5025(0.00243)(0.02835) 4(0.1323) 3(0.3087) 2(0.36015) 1(0.16807) 0)X(E

وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده لحساب التوقع الریاضى للمتغیر العشوائى .الخاص بهذا المثال

n=5;p=.3 0.3 Clear[f]

a=Table[x,{x,0,n}] {0,1,2,3,4,5} b=Table[f[x],{x,0,n}] {0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243}

1. c=Apply[Plus,b] 1. d=Map[f,a] {0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243} cc=a*b {0,0.36015,0.6174,0.3969,0.1134,0.01215} =Apply[Plus,cc] 1.5

fx_: Binomialn, xpx1pnx

cx0

nfx

5 4 3 2 1 0 x 002.0 02835.0 1323.0 3087.0 36015.0 16807.0 )xX(P

٦٨

1.5

The Expected Value of a Functionالقیمة التوقعة لدالة ) ٣-٢-٣( أكثــــر مــــن االهتمــــام بالقیمــــة u(X)عــــادة یكــــون االهتمــــام بالقیمــــة المتوقعــــة لــــبعض الــــدوال

فعلـى سـبیل المثـال فـإن مسـاحة قـرص یكـون دالـة فـي نصـف القطـر أي أن . Xالمتوقعـة للمتغیـر 2Y X .

) ١٩-٣(مثال :متغیرا عشوائیا بدالة كثافة احتمال Xإذا كان

8 6 4 x .2 .3 .5 f(x)

ذا كانت :وا2Y u(X) 20 3X .5 X

:هي Yللمتغیر g(y)فإن دالة كثافة االحتمال 76 56 40 y

.2 .3 .5 g(y)

:وعلى ذلك فإن

y

x

E(Y) E[u(X)] yg(y)

(40)(.5) (56)(.3) (76)(.2)u(4).(.5) u(6).(.3) u(8).(.2)

u(x).f (x) 52.

ــى برنـــــــامج مكتـــــــوب بلغـــــــة الماثیماتیكـــــــا تـــــــم اعـــــــداده الیجـــــــاد ـ وفیمـــــــا یلـــــ ة ل ة المتوقع القیم2Y u(X) 20 3X .5 X وھذه الدالة تم تعریفھا باالسمu و قـیم المتغیـر العشـوائى

X المسماهa . االحتماالت المختلفة فى القائمة المسماهb و قیم المتغیـر العشـوائى Y المسـماهy و هو التوقع المطلوب.

Clear[u,f]

a={4,6,8}

x0

nxfx

ux_: .5x23x20

٦٩

{4,6,8} b={.5,.3,.2} {0.5,0.3,0.2} y=Map[u,a] {40.,56.,76.} c=b*y {20.,16.8,15.2} =Apply[Plus,c] 52.

ــابقة یكــــون مــــن الضــــرورى تقــــدیر دالــــة كثافــــة االحتمــــال للمتغیــــر العشــــوائي Yتبعــــا للمعادلــــة الســ

أن القیمـة المتوقعــة المطلوبـة هـي المتوســطة المـرجح لكــل فــبــدال مـن ذلـك . E(Y)للحصـول علـى .X(u(قیم

ذا كانــــت f(x)متغیــــرا عشــــوائیا متقطعــــا بدالـــة كثافــــة احتمــــال Xإذا كـــان : نظریــــة قیمــــة u(x)وا

:فإن Xحقیقیة لدالة مجالها كل القیم الممكنة من

x

E u(X) u(x) f (x)

u(x)فیمـا عـدا E (X)یمكـن حسـابها بـنفس طریقـة حسـاب E [u (x)]تبعـا للنظریـة السـابقة فـإن . xتحل محل

)٢٠-٣(مثال

:الحــل 2

2 2

I 1

2 2 1 2

E(X 1) (x 1) f(x)

[( 1) 1] f(-1) [(0) -1] f(0) [(1) 1] f(1) [(2) 1] f(2)1 1 3 1 1(0)( ) ( 1)( ) (0)( ) (3)( )8 4 8 4 2

القیمة المتوقعة لـ وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده الیجاد 2(X 1) :-

متغیرا عشوائیا بتوزیع احتمالي معطى في الجدول التالي أوجد القیمة المتوقعة Xإذا كان

للمتغیر 2(X 1):-

2 1 0 1 x

41

83

41

81

)xX(P

٧٠

ان وجـدت وقـد تـم تعریـف اخـر u f,الزالـة اى مسـمیات سـابقة لــ Clearوسـوف نسـتخدم االمـر االحتمـاالت المختلفـة . aو قـیم المتغیـر العشـوائى المسـماه n قیمـة للمتغیـر العشـوائى والمسـماه

القیمة المتوقعة لـ هو و bفى القائمة المسماه 2(X 1) .

n=2 2 Clear[u,f]

a=Table[x,{x,-1,n}] {-1,0,1,2}

b=Table[u[x],{x,-1,n}] {0,-1,0,3} c=f*b

=Apply[Plus,c]

)٢١-٣(مثال

:متغیرا عشوائیا متقطعا بدالة كثافة احتمال موضحة في الجدول التالي Xإذا كان 6 5 4 3 2 1 0 x

161

161

165

163

163

162

161

)x(f

. E[u(X)]باستخدام الصیغة u(X) = Y = (X – 3 )2أوجد القیمة المتوقعة للمتغیر

:الحــل

161)36(...

161)30(

)x(f)3x()3X(E)]x(u[E

22

26

0x

2

Y19 .8

:Yالقیمة المتوقعة للمتغیروفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده الیجاد

ux_: x21

f 18,14,38,14

18,1

4,3

8,1

4

0, 1

4, 0,

3

4

1

2

٧١

u(X) = Y = (X – 3 )2 وسـوف نسـتخدم االمـرClear الزالـة اى مسـمیات سـابقة لــu, f و fاالحتمـاالت المختلفـة فـى القائمـة المسـماه . aقـیم المتغیـر العشـوائى المسـماه . ان وجـدت

.هو التوقع المطلوب

Clear[u,f]

a=Table[x,{x,0,6}] {0,1,2,3,4,5,6}

c=Table[u[x],{x,0,6}] {9,4,1,0,1,4,9} d=c*f

=Apply[Plus,d]

:وسوف نحل نفس المثال بطریقة اخرى اكثر اختصارا

x={0,1,2,3,4,5,6}; f={1/16,2/16,3/16,3/16,5/16,1/16,1/16};

{9,4,1,0,1,4,9} c=u*f

Apply[Plus,c]

X()X(u(2بوضع یمكن الحصول على قیمة متوقعة خاصة ومهمة: :هو Xالتباین لمتغیر عشوائي :تعریف

2Var(X) E[(X ) 2أو 2هناك رموز أخرى للتباین مثل

X أوV(x) . الجذر التربیعـي للتبـاین یسـمي االنحـراف :أي أن . Xللمتغیر العشوائي standard deviationالمعیاري

X Var(X) لدالــة كثافــة االحتمــال spreadأو كمیــة االنتشــار variabilityیعطــي التبــاین مقیــاس للتشــتیت

. Xللمتغیر

ux_: x32

f 116

,216

,316

,316

,516

,116

,116

1

16,1

8,

3

16,

3

16,

5

16,

1

16,

1

16

9

16,1

2,

3

16, 0,

5

16,1

4,

9

16

19

8

u x32

9

16,1

2,

3

16, 0,

5

16,1

4,

9

16

19

8

٧٢

)٢٢-٣(مثال

: متغیرا عشوائیا متقطعا بداله كثافة احتمال Xإذا كان

. Xأوجد التباین االنحراف المعیارى للمتغیر العشوائي

:الحــل :یحتوي الجدول التالي على الحسابات الالزمة لحساب التباین

)x(f)x( 2

2)x( )x( )x(fx )x(f x

12849

1649

47

81

81

1

12818

169

43

84

82

2

1283

161

41

89

83

3

12850

1625

45

88

82

4

1281202

822

المجموع

:أي أن

x 1 2 3 4

f(x) 81 2

8 3

8 2

8

٧٣

x

2 2

2

x

22E(X) xf (x) ,8

Var(X) E[X ]120(x ) f (x) .128

: KnoxProbوفیما یلى خطوات الحصول على الوسط الحسابى من برنامج

مــن Sec 2.1حتــى الوصــول الــى الجــزء ) ٦-٣(نتبــع نفــس الخطــوات التــى اتبعــت فــى المثــال وهنـــا یـــتم تصـــفح هـــذا الجـــزء حتـــى یـــتم الوصـــول الـــى الشـــكل التـــالى حیـــث یـــتم . الفصـــل الثـــانى

:الضغط على القوس االیسر للجزء المظلل باللون الرمادى

مـــن قائمـــة برنـــامج الماثیماتیكـــا ثـــم علـــى kernelثـــم یـــتم تنفیـــذ البرنـــامج وذلـــك بالضـــغط علـــى evaluate cell لتالیة وتظهر الرسالة ا.

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط

٧٤

:ثم یتم تحدید الجزء الرمادى كما فى الشكل التالى . ویتم ذلك لتحمیل هذا الجزء

وتنقل الى ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا Copyویاخذ نسخة منه باستخدام االمر

ضغط على القوس االیسر لتحدیده ویتم تغییر البیانات الى بیانات مثالنا ثم یتم ال evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell وتظهر الرسالة التالیة.

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط

٧٥

.كحل لهذا المثال Wordوفى النهایة یاخذ نسخة من النتیجة وننقلها الى

:تظهر الرسالة التالیة Knoxprobوعند الخروج من البرنامج

.Knoxprobوذلك حتى ال یحدث تغیرات فى برنامج Don'tsaveونضغط

نتصفح نفس الخطوات سوف نتبعها للحصول على التباین و االنحراف المعیارى حیث

:حتى نصل الى الصفحة التالیة Sec 2.1 الجزء

٧٦

وباتباع نفس الخطوات التى شرحناها فى ایجاد الوسط الحسابى نحصل على التباین واالنحراف

:المعیارى كما یلى

0.9375

0.968246

ذا كـان f(x)متغیرا عشوائیا متقطعا بدالـة كثافـة احتمـال Xإذا كان :نظریة مقـدارین a, bوا :فإن Xقیمتان حقیقیتان لدالتین مجالهما كل القیم الممكنة من g(x) , h(x)ثابتین وكان

E[a g(X) b h(X)] aE [g(X)] bE[ h(X)] : نتیجة

E a X + b = a E(X) + b :نتیجة

:فإن b = 0إذا كانت E ( a X ) = a E (X)

:نتیجة

: فإن a = 0إذا كانت

squared N1218 2228 32384228

Nsquared

٧٧

E (b) = b 2The Expected A Shortcut Formula صیغة مختصرة للتباین

یمكـــن اختزالهـــا باســـتخدام الصـــیغة البدیلـــة 2عـــدد العملیـــات الحســـابیة الضـــروریة لحســـاب :التالیة

2 2 2

2 2

x

Var(X) E(X) [E(X)]x f (x) .

كمـــا ذكرنـــا ســـابقا فـــإن التبــــاین یمـــدنا بمقیـــاس لكمیـــة االنتشــــار فـــي دالـــة كثافـــة االحتمــــال أو فــي P(X=c) =1یأخــذ قیمــة واحــدة فقــط ، أي أن Xإذا كــان . التشـتت حــول عناصــر المجتمــع

. Var(X) = 0و E(X) = cهذه الحالة

)٢٣-٣(مثال :متغیرا عشوائیا متقطعا بدالة كثافة احتمال Xإذا كان

f(x) = .5 x = 2 = .25 x = 4, 8

:التباین لهذه الدالة یحسب كالتالي E(X) = (2) (.5) + (4) (.25) + (8) (.25) = 4 ,

E(X2) = (22) (.5) + 42 (.25) + 82 (.25) = 22 .

:التباین هو 2 2 2

2

E(X ) [E(X)]22 4 6.

:االنحراف المعیاري هو 6 2.45 .

وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده الیجاد التباین واالنحراف المعیارى لهذا Sgmasg الوسط الحسابى ومسمى المثال باستخدام الصیغة المختصرة حیث

االن یمكن للقارئ ان یفهم خطوات ( مسمى االنحراف المعیارى sigmaمسمى التباین و ):السابق البرنامج من الشرح

xx={2,4,8} {2,4,8}

{4,16,64} fx={.5,.25,.25} {0.5,0.25,0.25}

x2 xx2

٧٨

c=xx*fx {1.,1.,2.}

{2.,4.,16.} =Apply[Plus,c] 4. ex=Apply[Plus,d] 22.

6.

2.44949

) ٢٤-٣(مثال

).٢٢-٣(أوجد التباین بالصیغة المختصرة للمثال )x(fx2

2x )x(fx )x(f x

81

1 81

81

1

88

4 84

82

2

827

9 89

83

3

832

16 88

82

4

868)X(E 2

822

المجموع

:وعلى ذلك

x

2 2

x

2 2

2

22E(X) x f (x) ,8

68E(X ) x f (x) ,8

Var(X) E(X ) [E(X)]68 22( ) 0.9375.8 8

d xx2fx

sgmasq ex 2

sgmasgmasq

٧٩

15 0.937516

وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده الیجاد التباین واالنحراف المعیارى لهذا sgmasg الوسط الحسابى ومسمى المثال باستخدام الصیغة المختصرة حیث

:مسمى االنحراف المعیارى sigmaمسمى التباین و xx={1,2,3,4} {1,2,3,4}

{1,4,9,16} fx={1/8,2/8,3/8,2/8}

c=xx*fx

=Apply[Plus,c]

ex=Apply[Plus,d]

0.9375

0.968246

:ثابتین فإن b, aمتغیرا عشوائیا وكان Xإذا كان :نظریة

Var ( a X + b ) = a2 Var (X) غیـر الموقـع bال یـؤثر علـى التبـاین وذلـك ألن إضـافة bالنتیجة السابقة تعنـي أن إضـافة الثابـت

.ولم یؤثر على انتشار القیم ) القیمة المتوسطة (

:نتیجة X

2 2 2aX ax xa , a .

قـــد تكـــون ســـالبة aســـببها أن aXوجــود القیمـــة المتوقعـــة فـــي صـــیغة االنحــراف المعیـــاري .بینما االنحراف المعیاري ال یمكن أن یكون سالب

x2 xx2

18,1

4,3

8,1

4

18,1

2,9

8, 1

d xx2fx

18, 1,

27

8, 4

11

4

17

2sgmasq Nex2

sgma Nsgmasq

٨٠

:نتیجة 2 2X b X .

ـــــرا عشـــــوائیا بمتوســـــط Xإذا كـــــان ـــــاري متغی ـــــر العشـــــوائي وانحـــــراف معی فـــــإن المتغیXu(X) Y

:من السهل إثبات أن. Xللمتغیر ) أو القیاسي( یسمى الشكل المعیاري

E(Y) 0 , Var(Y) =1.

)٢٥-٣(مثال

ذا كانـت دالـة كثافـة Xإذا كان متغیرا عشوائیا یمثل عدد األسرة التي تـزور عیـادة طبیـة سـنویا وا :هي Xللمتغیر االحتمال

Yحیث Yللمتغیر العشوائي القیم المختلفة أوجد (X ) / .

:الحــل2

X X X.97 .9891 , .9891 .9945 . .Yیعطي الجدول التالي القیم المختلفة للمتغیر العشوائى )yY(P)xX(P القیمة المعیاریة

y [(x E(X)]/ x

.37

.40

.15

.05

.03

-.98 .03 1.04 2.04 3.05

0 1 2 3 4

. Y الیجاد قیموفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده

X الوسط الحسابى والتباین للمتغیرالیجاد KnoxProb ببرنامجوقد استعنا

a={0,1,2,3,4} {0,1,2,3,4} =N[(0)(.37)+(1)(.4)+(2)(.15)+(3)(.05)+(4)(.03)] 0.97

x 0 1 2 3 4

f(x) .37 .40 .15 .05 .03

٨١

0.9891 0.994535

y=Map[f,a] {-0.97533,0.0301648,1.03566,2.04115,3.04665}

)٢٦-٣(مثال

1ef (x) , x 0,1,2,

x!

): أوجد ( 1)) .

:الحــل

1

x 0

e( ( 1)) x(x 1)x!

1 1

x 2 y 0

e e .(x 2)! y!

و هــذا یعنــي أن التوقـع أعــاله موجــود و eالحـظ فــي هـذه الحالــة أن المجمــوع متقـارب نحــو العـدد 1eمساو إلى e 1 .

: ( ( 1)) وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده الیجاد

a=Sum[f[x],{x,0,}] 1

Momentsالعزوم ) ٤-٢-٣( :حول نقطة األصل یعرف كالتالي rفإن العزم من الدرجة = rX u(X)بفرض أن

,...3,2,1r, )x(fx)X(E rr'r

:فإن r = 0عندما یكون ) أ(

squared 02.3712.422.1532.0542.03Nsquared

fx_: x

fx_: Exp1x

xx1

٨٢

' 0 00

x x

E(X ) x f (x) f (x) 1

1rعندما تكون ) ب( فإن: '1

x

E(X) x f (x) .

r)X()X(uبفرض أن فإن العزم من الدرجةr حول المتوسط یعرف كالتالي: r r

rx

E(X ) (x ) f (x),r 1,2,3,...

01فإن r = 1عندما ) أ( . 2فإن r = 2عندما ) ب(

2 . :یمكن التعبیر عن العزم حول المتوسط بداللة العزم حول الصفر كالتالي

:فإن r = 2على سبیل المثال عندما

2

2 2 j '2 j

j 0

2( )

j

. 2

)(12

)(

'2

22

'2

'1

'0

2

:أي أن

.2'2

2

:فإن u(X) = X(X-1) (X-2) …(X-j+1) بفرض أن :هو jمن الدرجة ) العزم العاملى ( عزم المضروب

)]1jX)...(2X)(1X(X[E]j[ . :عزم المضروب األول هو ) أ(

[1]x

E(X) x f (x) .

:عزم المضروب الثاني هو ) ب(2 2

[2]x x

'2

E[X(X 1)] x f (x) x f (x) E(X ) E(X)

.

:و على ذلك فإن

.]2['2

٨٣

:عزم المضروب الثالث هو ) ج(

[3]

' '3 2

E[X(X 1)(X 2)]

3 2 .

:ومنها

بفــــرض أن rXu(X)

لمتغیــــر ) المعیــــاري ( rفــــإن العــــزم القیاســــي مــــن الدرجــــة

Xعشوائي :یعرف كالتالي

,....3,2,1r

)x(fxXEr

x

r

r

:فإن r = 1عندما 01 .

: فإن r = 2عندما

2 1 . :فإن r = 3عندما

33 3 / 2

2

.

.والذي یسمي معامل االلتواء :فإن r = 4عندما

44 2

2

.

.والذي یسمي معامل التفلطح

)٢٧-٣(مثال :متغیرا عشوائیا له داله كثافة احتمال X إذا كان

'3 [3] [2] [1]3 .

x 2 3 4 3 f(x) 0.25 0.5 0.25

٨٤

.أوجد العزوم األربعة األولى حول الصفر وحول المتوسط ) أ( .حساب عزوم المضاریب األربعة) ب( .ومعامل االلتواء ومعامل التفلطح العزوم القیاسیة ) ج(

:الحــل :البیانات الالزمه لحساب العزوم األربعة األولى حول الصفر معطاه في الجدول التالي ) أ (

:الجدول نجد أن العزوم حول الصفر هي من1 2 3 43 , 9.5 , 31.5 , 108.5.

:البیانات الالزمة لحساب العزوم األربعة األولى حول المتوسط معطاة في الجدول التالي

1 2 3 40 , 0.5 , 0 , 0.5.

:حساب عزوم المضاریب األربعة یترك كتمرین هى ) ب(

1 2 3 43 , 6.5 , 9 , 6

xfx 4 xfx 3 xfx 2 xxf x

4 2 1 5.0 25.0 2

5.40 5.13 5.4 5.1 5.0 3

64 16 1 25.0 4

المجموع 1 3 5.9 5.31 5.108

xfx 4 xfx 3 xfx 2 xfx x x

25.0 25.0 25.0 25.0 1 25.0 2

0 0 0 0 0 5.0 3

25.0 25.0 25.0 25.0 1 25.0 4

المجموع 1 0 0 0.5 0 5.0

xf

4

xf

٨٥

:الیجاد العزوم القیاسیة الجدول التالي یعطي الحسابات الالزمة ) ج ( بفرض أن : ولكن أوال

XZ u X

:الجدول سیكون على الصوره التالیه

1 2 3 40 , 1 , 0 , 1.998 2. : هو مقیاس االلتواء و یعطى بالعالقة 3 من الواضح أن

33 2

32

: هو مقیاس التفلطح و یعطى بالعالقة 4 و أن

4

4 22

وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده حیث 2 3 4, , ,

: والصفر األربعة األولى حول المسمى للعزوم

z11, z22, z33, z44

: والمسمى لعزوم المضاریب االربعة االولى ex1, ex 2,ex3, ex4

zgz 4 zgz3 zgz 2 zzg zg z xf x

1999.0 706.0 5.0455.0 3535.0 25.0 1.414 25.0 2

0 0 0 0 5.0 0 5.0 3

1999.0 706.0 5.0455.0 3535.0 25.0 414.1 25.0 4

2999.1 0 1 0 1 0 1 المجموع

٨٦

: والمسمى للعزوم االربعة حول الوسط الحسابى

و z1, z2, z3, z4

.المسمى للعزوم القیاسیة االربعة alf 3, alf 4 و

المسمى لـ : ومن المعلوم ان . معامل االلتواء والتفلطح على التوالى

3 4 =alf3 , =alf4 =(2)(.25)+(3)(.5)+(4)(.25) 3. xx={2,3,4}; fx={.25,.5,.25}; c=xx*fx; d=xx^2*fx; e=xx^3*fx; 4=Apply[Plus,f] f=xx^4*fx; 108.5 =Apply[Plus,c] 3. 2=Apply[Plus,d] 9.5 3=Apply[Plus,e] 31.5 4=Apply[Plus,f] 108.5 cc=(xx-)*fx {-0.25,0.,0.25}

{0.25,0.,0.25}

{-0.25,0.,0.25}

{0.25,0.,0.25} ex1=Apply[Plus,cc] 0. ex2=Apply[Plus,dd] 0.5 ex3=Apply[Plus,ee] 0. ex4=Apply[Plus,ff1] 0.5

0.707107

dd xx 2fx

ee xx 3fx

ff1 xx 4fx

ex4

٨٧

a1=xx*fx {0.5,1.5,1.} a2=xx(xx-1)*fx {0.5,3.,3.} a3=xx(xx-1)(xx-2)*fx {0,3.,6.} a4=xx(xx-1)(xx-2)(xx-3)*fx {0,0,6.} z11=Apply[Plus,a1] 3. z22=Apply[Plus,a2] 6.5 z33=Apply[Plus,a3] 9. z44=Apply[Plus,a4] 6.

{-0.353553,0.,0.353553}

{0.5,0.,0.5}

{-0.707107,0.,0.707107}

{1.,0.,1.} z1=Apply[Plus,r1] 0. z2=Apply[Plus,r2] 1. z3=Apply[Plus,r3] 0. z4=Apply[Plus,r4] 2.

0.

2.

) المستمرة( المتصلة االحتمالیة التوزیعات) ٣-٣(

Continuous Probability Distributions

r1 xx

fx

r2 xx

2fx

r3 xx

3fx

r4 xx

4fx

alf3z3

z223

alf4z4z22

٨٨

ق ال موجب مراف من صفات المتغیر العشوائي المتصل انھ ال یمكن أن یكون ھناك احتمP(Xلكل قیمة من قیم المتغیر أي أن x) 0 رة لكل مرافق احتمال ھناك یكون ولكن ن فت م

ر االحتمالي التوزیع تمثیل یمكن ال ولھذا. المتغیر فترات ن بجدول المتصل العشوائي للمتغی ولكر ھ نعب یغة عن ة بص f دال (x) ي مى والت ة تس ة دال ال كثاف probability density االحتم

function .ل اني التمثی ة البی f للدال (x) وف ون س ذ متصل یك كال ویأخ رة أش د. كثی ن واح مذه كال ھ ح األش ي موض كل ف الى الش د الت ون أن والب احة تك ت المس ى تح ة منحن f الدال (x)

ة X العشوائي المتغیر یأخذ أن احتمال أیضا. الصحیح الواحد تساوي بمحور والمحددة ین قیم ب2x x 1 وx x ة دالة تحت المظللة المساحة یساوي ال كثاف ین االحتم 1x ب x 2 وx x احة. بط المس ن بالض ول یمك ا الحص تخدام علیھ رق باس ل ط احات وألن. التكام ل المس تمث

. x منحنى فوق تكون أن البد االحتمال كثافة دالة فإن، موجبة قیم واالحتماالت احتماالت

:تعریفf الدالة (x) متصل عشوائي لمتغیر االحتمال كثافة دالة تسمى X ة المساحة كانت إذا الكلید تساوي x بمحور والمحددة المنحنى تحت ى تحت المساحة أیضا. الصحیح الواح المنحن1x قیمتین أي بین x 2 وx x ع العشوائي المتغیر أن احتمال تعطي ین یق 1x ب x و

2x x .

)٢٨-٣( مثال

ي العام النقل وسیلة یستقل I الشخص أن بفرض ذھاب ف ي ال ھ إل كل أن وبفرض. عمل

ة ائق خمس ل دق یارة تص ى س ة إل ان إذا. المحط X ك را متغی وائیا ال عش ل متص ن یمث زم : احتمال كثافة بدالة [ 5 , 0 ] الفترة في المحطة على الشخص لھذا االنتظار

1f (x) ,0 x 5,5

= 0 e.w .

٨٩

: التالیة االوامر من علیة الحصول یمكن f (x) االحتمال كثافة لدالة البیانى التمثیل

Plot[f[x],{x,0,5}]

Graphics

x(f(0 أن الواضح من 1 تساوي المنحنى تحت المساحة وأن51.5

.

: ھو دقائق 3 إلي 1 من ینتظر سوف I أن احتمال

dx51dx)x(f)3X1(P

3

1

3

1

52

5x 3

1 .

: كالتالى البرنامج من علیھ الحصول ویمكن

وذلك بالذهاب الى الجزء KnoxProbهذا االحتمال یمكن توضیحة بیانیا باستخدام برنامج Sec3.1 من الفصل الثالث.

:وبتصفح هذا الجزء حتى الوصول الى الصفحة التالیة

fx_: 15

1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

fx_: 15

1

3fxx2

5

٩٠

. المطلوب على نحصل قبل من تناولناه الذى نفس واتباع البیانات وبتغییر

: الشكل وبنفس

dx0dx51dx)x(f)4X(P

5

5

44

51

5x 5

4 .

: كالتالى البرنامج من علیھ الحصول ویمكن

PlotContsProb15, x, 0, 5, 1, 3,

Ticks 0, 1, 3, 5, Automatic,AxesOrigin 0,0, PlotRange All,DefaultFont "TimesRoman",8;

1 3 5

0.05

0.1

0.15

0.2

fx_: 15

٩١

:كالتالى KnoxProbباستخدام برنامج هذا االحتمال یمكن توضیحة بیانیا

. المنتظم التوزیع یسمي السابق التوزیع (٣- ٣-٣) دالة التوزیع

، حقیقــى عــدد ألي ، F(x) متقطــع عشــوائي لمتغیــر التوزیــع دالــة أن الثــاني الفصــل مــن عرفنـا X ، هـي x ) <P(X بجمـع علیهـا الحصـول ویمكـن f(y) قـیم جمیـع علـى y الشـرط تحقـق التـي یمكـن ولكـن x ) <P(X هـي متصـل عشـوائى لمتغیـر التوزیـع دالـة فـإن أیضـا . x <y أن

. xحىت من f(y)االحتمال كثافة بتكامل دالة علیها الحصول

: كالتالي تعرف x حقیقى عدد ألي متصل عشوائي لمتغیر F(x) التوزیع دالة : تعریف

. dy)y(f)xX(P)x(Fx

یســار علــى االحتمــال كثافــة لدالــة المنحنــى تحــت المســاحة x حقیقــي عــدد ألي F(x) الدالــة تمثــل زیــادة تزیــد F(x) أن F(x) بیــان مــن یالحــظ أیضــا. التــالى شــكلال فــي موضــح هــو كمــا x العــدد

. x زیادة مع مضطردة

4

5fxdx

1

5

PlotContsProb15, x, 0, 5, 4, 5,

Ticks 0, 4, .5, 5, Automatic,AxesOrigin 0,0, PlotRange All,DefaultFont "TimesRoman",8;

40.5 5

0.05

0.1

0.15

0.2

٩٢

: التالیة الشروط متصل عشوائي لمتغیر F(x) التوزیع دالة تحقق0 ) أ( F(x) 1 فـي قیمتـین a , b كانـت إذا أنـه أي ،x قـیم لجمیـع مضـطردا تزایـدا تتزاید F(x) الدالة ) ب(

b(F)a(Fba( فإن F(x) الدالة نطاق . . x قیم جمیع عند متصلة F(x) الدالة) ج(

مـــن وذلــك المختلفــة للفتــرات االحتمـــاالت حســاب یمكــن أنــه فـــي F(x) التوزیــع دالــة أهمیــة یرجــعـــة خـــاص جـــدول أو F(x) صـــیغة كثافـــة بدالـــة عشـــوائیا متغیـــرا X كـــان فـــإذا. F(x) التوزیـــع بدالf احتمال (x)توزیع ودالة F(x) قیمتین ألي فإنه a , b حیث a < b یكون:

)a(F)b(F)bXa(P .

:التالى الشكل في والموضح

٩٣

)٢٩-٣(مثال

:االحتمال كثافة دالة وله متصال عشوائیا متغیرا X كان إذا 1f (x) , 0 x 660 , e.w.

االحتمـال كثافـة لدالـة المنحنـى تحـت مسـاحة وجـود لعدم وذلك F(x) = 0 فإن x < 0 لقیم إلـي تتجمـع المسـاحة كـل ألن وذلـك F(x) = 1 فـإن x < 6 لقـیم X القیمـة یسـار علـى

0 لقیم النهایة في X من الیسار x 6 فإن x

0

x x

0

1 1 xF(x) f (y) dy dy y .6 6 6

-: هي التوزیع دالة فإن ذلك وعلىF(x) 0 x 0

x 0 x 661 x 6.

:التالى شكلال في موضح F(x) بیان

٩٤

فـي موضـحكمـا هـو f(x) , F(x) بیـان كـل مـن وایضـا الیجـاد F(x) الیجـاد البرنـامج التـالى : ینالتالى یینشكلال

Plot[g[x],{x,0,6},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

0

x16t

x

6gx_: x

6

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٩٥

Plot[f[x],{x,0,6},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

)٣٠-٣(مثال

: الشكل على X عشوائي لمتغیر االحتمال كثافة دالة كانت إذا

0xexa0x0

)x(f ax2

: التوزیع دالة أوجد موجب ثابت a حیث

:الحــل

0 x 0xxF(x) f (y)dy 2 aya y e dy x 00

: فإن بالتجزئة التكامل وبإجراء u = ay بوضع

ax

0

ax

0

x ax ax2 ay u u u

0 0 0

ax u

ax

a y e dy u e du u( e ) ( e )du

ax e ( e )

1 (1 ax)e ,

:ذلك وعلى

fx_: 16

1 2 3 4 5 6

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

٩٦

F (x) = 0 x < 0

ax1 (1 ax)e , x 0.

.تترك كتمرین

Percentile(٣-٣-٢) المئینات .المئینات تسمى كمیات خالل من االحتمالیة للتوزیعات أخرى خصائص وصف یمكن

أو( المتصـل النـوع مـن لتوزیـع (100p) الرتبـة ذو المئـین فـإن ، p < 1 > 0 كـان إذا : تعریـف : التالیة للمعادلة xp الحل هو) X عشوائي لمتغیر

xpp F(x ) f (y) dy .p

أن بحیـــث االحتمــالي للتوزیـــع األفقــي المحـــور علــى القیمــة هـــو px فــإن ، الســـابقة للصــیغة تبعــا 100p% منحنـــــى تحـــــت المســـــاحة مــــن f (x) یســـــار علـــــى یقــــع px 100 و(1-p)% علـــــى تقـــــع

منحنــــي تحــــت المســـاحة والــــذي والســـبعین الخــــامس المئـــین وه x.75 المثــــال ســـبیل علــــى. یمینهـــاf (x) القیمة یسار على x.75 هو p=0.75 .التعریف التالى یوضح الشكل :

المعادلـة تكـون والتـي p القـیم بعـض یوجد سوف ذلك وعلى متصل غیر التوزیع یكون قد ، عموما p = F (xp) 100 ) الرتبـة ذو المئـین حیـث للمئـین عـام تعریـف وضـع و یمكـن حـل مـن أكثـر لها

p) عشوائي متغیر لتوزیع X القیمة هو xp أن بحیث :

٩٧

.P [ X x ] p and P [ X x ] 1-p p p

: تعریف

یحقــق m0 ذلــك وعلــى الخمســین المئــین هــو ، m0 بــالرمز لــه یرمــز ، مــا متصــل لتوزیــع الوســیط و m0 یسـار علـى تقـع االحتمـال كثافـة دالـة تحـت المسـاحة نصنف أن أي. F(m0) = .5 العالقة المتوســط مــن بـدال الوســیط یســتخدم التطبیقـات مــن كثیــر فـي. m0 یمــین علــى یقـع اآلخــر النصـف . المركزیة للنزعة كمقیاس

F(x) من f(x) إیجاد

بـین بـالفرق علیهـا الحصـول یمكـن f(x) فـإن متقطـع عشـوائي لمتغیر أنه سبق مما عرفنا f(x) احتمــال كثافــة بدالــة متصــال عشــوائیا متغیــرا X كــان إذا بینمــا. F(x) للدالــة قیمتــین : فإن معرفة F(x) األولي المشتقة أن حیث x نقطة أي عند فإنه F(x) توزیع ودالة

dF(x)f (x)dx

)٣١-٣(مثال

:التالیة F(x)أوجد دوال كثافة االحتمال المقابلة للدالة

٩٨

1 exp x ,0 xF(x)

0 , e.w.

:الحــل

exp x ,x 0f (x)

0 , e.w.

.السابقة F(x)دالة كثافة االحتمال المقابلة للدالة البرنامج التالى الیجاد

D[F[x],x]

The Expected Value (٣-٣-٣) القیم المتوقعة

یمكـن الحصـول علیـه بجمـع E(X)لمتغیر عشوائي متقطع ، كما عرفنا من الفصل الثاني ، فإن x f(x) لجمیــع قــیم المتغیــر العشـــوائيX . ســـوف ) بالنســبة لمتغیـــر عشــوائي متصــل ( هنــا

.نستبدل المجموع بالتكامل

احتمالیـــة كثافــة دالــة لــه متصــل عشــوائي لمتغیــر المتوســطة القیمــة أو المتوقعــة القیمــة : تعریــفf (x)هو :

.E(X) xf (x) dx

: كان فقط إذا و إذا موجودة E(X) أن ویقال

E x x f (x) dx

) ٣٢-٣( مثال

: هي ما لسلعة األسبوعیة للمبیعات االحتمال كثافة دالة كانت إذا

23f (x) (1 x ) 0 x 120 , e.w.

التوقع ؟ أوجد

:الحــل

Fx_: 1 x

x

٩٩

1

0

1 2

02 41 3

0

3E(X) xf (x) dx x (1 x )dx2

3 3 x x 3(x x )dx ( ) .2 2 2 4 8

:البرنامج التالى الیجاد التوقع

)٣٣-٣( مثال

: الشكل على احتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا

21/f (x) x .

1 x

.X للمتغیر المتوقعة القیمة أوجد

:الحــلhx / 1 2E(X) dx lim ( log(1 x ) .2 h2h1 x

.غیر موجود والتى تمثل قیمة غیر معلومة ، أي أن

:البرنامج التالى الیجاد التوقع

.رسالة یالحظ ان الناتج اثبت ان التوقع غیر موجود واخرج لنا مرة اخرى المدخل بعد ارسال

0

1x

321x2x

3

8

x

11x2

x

Integrate ::idiv :

Integral ofx

x2does not converge on , . More…

x

1 x2 x

١٠٠

) ٣٤-٣( مثال :متغیرا عشوائیا بدالة كثافة االحتمال X إذا كان

1 0 x 1f (x) 2 x

0 , e.w.

2و E(X)أوجد X٠

:الحــل1 1 1E(X) x dx .

32 x0

1 1 12 2E(X ) x dx .52 x0

2 2 2E(X ) [E(X)] ,X 1 1 4 .

5 9 45

.البرنامج التالى الیجاد المطلوب مع تمثیل دالة كثافة االحتمال بیانیا

Plot[f[x],{x,0,1},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}]

Graphics

fx_: 1

2x

0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

4

6

8

10

12

xx1 0

1xfxx

١٠١

var=xx2-xx1^2

.الوسیط هو المئن الخمسین : تعریف

)٣٥ -٣( مثال

: الشكل على X عشوائي لمتغیر التوزیع دالة أن بفرض2(x / 3)F(x) 1 e x 0

0 , e.w.

:الوسیط هو 2

0(m / 3)0.5 1 e

.وعلى ذلك 120m 3[ ln(1 .5)] 3 ln 2 2.498.

:الحــل

البرنامج التالى الیجاد الوسیط وسوف ناخذ الحل ان الوسیطx2.49766 یساوى

{{x-2.49766},{x2.49766}}

)٣٦ -٣( مثال

: االحتمال كثافة دالة له متصال عشوائیا متغیرا X لیكن 3f (x) 4x 0 x 1

= 0 , e.w.

1

3

xx2 0

1x2fxx

1

5

4

45

Solve1x32 0.5 0,x

١٠٢

٠أوجد الوسیط

:الحــل

x

0

4x 3 4

0

F(x) 0 x 0

4y4y dy x4

:وعلى ذلك

5.)m(

5.)m(F4

0

0

: أن أيm0 = (.5)1/4 =0.840896415.

:البرنامج التالى الیجاد الوسیط

Solve[aa1-0.50,m]

{{m-0.840896},{m0. -0.840896 },{m0. +0.840896 },{m0.840896}} x0.840896

m سوف ناخذ الحل ان الوسیط هو 0.840896 :حل اخر

.وهو الوسیط mومن المخرج نحسب

x عنـد وحیـدة عظمـى قیمـة لهـا X عشـوائي لمتغیر االحتمال كثافة دالة كانت إذا : تعریف

= m للدالة العظمى القیمة أن أي f (x) تساوى f(m) فـإن ذلك وعلى m المتغیـر منـوال یسـمى . X العشوائى

) ٣٧ -٣( مثال

:متغیر عشوائي له دالة التوزیع التالیة Xإذا كان

aa1 0

m4t3t

m4

0

m4x3x 12

m41

2

١٠٣

0 x 0

F(x) x 0 x 11 x 1

٠أوجد والمدى

:الحــل

xالمدى هو x0.75 0.25 :

،وبما أن2

0.750.75 x x (0.75)0.7520.25 x x (0.25)0.25 0.25

إذن2 2x x (0.75) (0.25) 0.5.0.75 0.25

)٣٨ -٣( مثال

: التالیة للدوال المنوال أوجد

) أ(2f (x) 12x (1 x) , 0 x

= 0 , e.w.

) ب(2 x1f (x) x e

2 = 0 , e.w.

:الحــل

df) أ( (x) 224x 36x ,dx

df: للمعادلة الحل هو المنوال (x) 0dx

2mهو المنوال ذلك وعلى 3

)ا(البرنامج التالى لحل

aa1=D[f[x],x] fx_: 12x21x

١٠٤

Solve[aa10,x]

.3/2سوف نختار من المخرج المنوال یساوى

df للمعادلة الحل هو المنوال) ب( (x) 0dx

:أي أن x 2 x2xe x e 0

mالمنوال هو ذلك وعلى 2 . :الیجاد المنوال البرنامج التالى

Solve[%==0,x] {{x0},{x2}}

.وقد اعطانا حلین ولكن ناخذ الحل المنوال یساوى اثنین

ــــة فیهــــا یكــــون حــــاالت هنــــاك ولكــــن المنــــوال عــــن الوســــیط عــــن المتوســــط یختلــــف ، عمومــــا الثالثf بیـــان كـــان إذا symmetric متماثـــل أنـــه للتوزیـــع یقـــال. متســـاویین (x)مـــا نقطـــة یســـار علـــى ،

. التماثـــل نقطـــة c النقطـــة تســـمى. النقطـــة هـــذه یمـــین علـــى المـــرآة فـــي الصـــورة هـــى ، c لـــتكن قســمین إلــى التوزیـع العمــود یقسـم بحیــث األفقـى المحــور علــى عمـود أقامــة أمكننـا إذا آخــر وبمعنـى نقطـــة تســـمى العمـــود إقامـــة مـــن تمكننـــا التـــي c النقطـــة. االنطبـــاق تمـــام بعضـــهما علـــى ینطبقـــانf كانـــــــت إذا. التماثــــــل (x)النقطــــــة حـــــــول متماثلـــــــة c فـــــــإن موجـــــــود المتوســـــــط وكـــــــان c .

f للدالـــة كانـــت إذا ذلـــك علـــى وباإلضـــافة (x) عنـــد وحیـــدة عظمـــي نقطـــة m )ووســـیط) المنـــوال 0mmفإن m0 وحید شكل التالى ال في موضح هو كما.

241 x x 12x2

x 0, x 2

3

xx1

2xx2

c

١٠٥

فـي موضـح هـو كمـا الیمـین ناحیـة ملتویـا یكـون وقـد ملتویـا یكـون فإنـه متماثل غیر التوزیع كان إذا التوزیـع یكـون. الشـكل التـالى فـي موضـح هـو كمـا الیسـار ناحیة ملتویا أو الذى یلیه الشكل فـــي التنــاقص معــدل كــان إذا positive skewed االلتــواء موجــب أو الیمــین ناحیــة ملتویــا

مـن أطـول المنحنـى مـن األیمـن الجانـب یكـون بحیـث الیسـار جهـة منـه الیمـین جهـة أسـرع المنحنـى إذا negative skewed االلتــواء وســالب الیســار إلــى ملتویــا التوزیــع یكــون بینمــا األیســر الجانــب

األیسـر الجانـب یكـون بحیـث الیمـین جهة منه الیسار جهة أسرع المنحنى في التناقص معدل كان الفصـــل فـــي تناولنـــاه ،الـــذي االلتـــواء معامـــل یســـتخدم. األیمـــن الجانـــب مـــن أطـــول المنحنـــى مـــن

العشــوائي للمتغیــر القیــاس وحــدات علــى یعتمــد ال نســبي مقیــاس ویعتبــر االلتــواء قیــاس فــي الثــاني : حیث

33

3 3/ 22

XE .

١٠٦

33 من كل یأخذ , اإلشـارة فـي متفقـان یكونـان ودائمـا الصـفر أو السـالبة أو الموجبـة القیمة القیمـــة بینمــا الیســـار ناحیــة ملتویـــا التوزیــع یكـــون عنــدما توجـــد دائمــا 3 مـــن الســالبة القیمــة.

. الیمین ناحیة ملتویا التوزیع یكون عندما دائما توجد 3 من الموجبة

وعلــى ، احتمــالي لتوزیــع التــدبب أو للــتفلطح كــدلیل المتوســط حــول الرابــع العــزم یســتخدم : هو 4 التفلطح معامل فإن ذلك

44

4 22

XE .

لتوزیــــع القمــــة تــــدبب لتقــــدیر. X العشــــوائي للمتغیــــر القیــــاس وحــــدات علــــى یعتمــــد ال والــــذي السـادس الفصـل فـي نتناولـه سـوف الـذي الطبیعـي التوزیـع وهـو مشـهور توزیـع یسـتخدم احتمالي مـــن تــدببا أكثــر التوزیـــع أن نقــول آخــر توزیــع ألي. 3 تســـاوي التوزیــع لهــذا 4 ألن كمقیــاس4 كـــان إذا الطبیعــي التوزیــع التوزیـــع مــن تفلطحـــا أكثــر التوزیــع أن نقـــول أیضــا. 3 <

4 كان إذا الطبیعي . شكل التالىال في موضحة التوزیعات من الثالثة األنواع. 3 >

١٠٧

. المدببــة القمــة ذو ، A ، المنحنــى. الـتفلطح كمیــة فــي مختلفــة منحنیـات ثــالث الســابق شــكلال ففـي المفلطـح ، C ، المنحنـى وأخیـرا . الـتفلطح متوسـط یكـون المعتدل وهو ، B ، الثاني المنحنى

التشــتت عــن المعلومــات وأخیــرا . المعتــدل المنحنــى قمــة عــن قمتــه وتــنخفض منبســطا یكــون والــذى . التوزیع عن صورة إعطاء في مفیدة تكون ما عادة لتوزیع والتفلطح وااللتواء والموقع

العـــزم فـــإن X(E( المتوســـط حـــول متماثـــل X العشـــوائي المتغیـــر توزیـــع كـــان إذا : نظریـــة03 أن أي صفر یساوي المتوسط حول الثالث .

03 كان إذا أنه السابقة النظریة تعني صـحیح غیـر والعكـس متماثل یكون ال التوزیع فإن 03 یكون أن الممكن فمن متماثل غیر التوزیع كان إذا أنه بمعني .

)٣٩ -٣( مثال متغیرا عشوائیا له دالة كثافة اإلحتمال Xإذا كان

2(1 x) 0 x 1f (x)

0 , e.w.

٠حول الصفر rأوجد العزوم من الرتبة

:الحــل

١٠٨

1r rE(X ) 2 x (1 x)dx,0

1 r r 12 (x x )dx,0

1r 1 r 2x x 22 .r 1 r 2 (r 1)(r 2)

0

.االربعة حول الصفر البرنامج التالى الیجاد العزوم

f[1]

f[2]

f[3]

f[4]

) ٤٠ -٣( مثال

له دالة كثافة اإلحتمال امتغیر Xإذا كان 1 0 x 1

f (x)0 , e.w.

٠العزوم االربعة األولى حول الصفر) أ:أوجد ٠العزوم االربعة األولى حول المتوسط) ب ٠معامل اإللتواء ومعامل التفلطح) ج

:الحــل )أ

fr_: 0

12xr1xx

1

3

1

6

1

10

1

15

١٠٩

1r 11 xr rE(X ) x dx ,r r 10 01 r 1,2,3,

r 1

:وعلى ذلك 1 1 1 1 , , , .1 2 3 42 3 4 5

)ب1r rE(X 0.5) (x 0.5) dx,r0

1r 1(x 0.5) 1 r 1 r 10.5 ( 0.5) .r 1 r 1

0

:وعلى ذلك0 , 0.083 , 0 , 0.0125.1 2 3 4

:معامل اإللتواء هو)ج3 0.3 32

2

:معامل التفلطح هو0.01254 1.81.4 2 2(0.083)2

:البرنامج التالى الیجاد الحل

f[1]

f[2]

f[3]

fr_: 0

1xrx

1

2

1

3

1

4

١١٠

f[4]

g[1] 0 2=g[2]

3=g[3] 0 4=g[4]

0

1.8

1

5

gr_: 0

1x mrx

1

12

1

80

33

232

44

22 N

١١١

الفصل الرابع

عرض ووصف البیانات

١١٢

Populations and Samplesالمجتمعات والعینات ) ١-٤(

ل وصفى ة أو تمثی ة رقمی ال . تسجل نتیجة كل تجربة إحصائیة، إما بقیم ى سبیل المث فعلوي ى السطح العل ي تظھر عل اط الت دد النق ام بع ان االھتم دة وإذا ك عند إلقاء زھرة نرد مره واح

ة ة رقمی ا نسجل قیم رد فإنن ة . للن ا عن الحال ة م ي ھیئ املین ف ن الع ؤال مجموعة م د س ا عن بینمة .االجتماعیة لكل منھم، فإن التمثیل الوصفي یكون أكثر فائدة القیم الرقمی عادة یھتم اإلحصائي بة یم عددی ى ق ھ إل ن تحویل في یمك ل الوص إن التمثی ذلك ف ة . ل ة تجرب ن نتیج جل م ي تس ة الت القیم

اس(إحصائیة تسمى بیان أو مشاھدة ا ) . مقی ي شركة م املین ف وم باحث بتصنیف الع دما یق عنن المشاھدات حسب الحالة االجتماعیة، في ھذه الحالة یكون لدیھ عدد محدود اء . م د إلق ا عن بینم

ى زھرة نرد عدد النھائي من المرات وتسجیل عدد النقط التي تظھر في كل مرة فإننا نحصل علكل المشاھدات تحت الدراسة، سواء كانت محدودة أو غیر محدودة، تسمى . فئة النھائیة من القیم

ع ی population٠مجتم ع تش ة مجتم ت كلم یة كان نوات الماض ي الس ن ف اھدات م ى مش ر إلخاص مل أش ائیة تش ات إحص ى . دراس یر إل ة لتش ذه الكلم تخدم ھ ائي یس إن اإلحص ا اآلن ف أم

ات ات، نبات ن األشخاص، حیوان ھ سواء مجموعة م ….مشاھدات عن أي شيء موضع اھتمام .الخ

.یتكون المجتمع من كل األشیاء التي نھتم بھا :تعریف الرمز عدد المشاھدات في المجتمع تسمى ع ب م المجتم ع وعادة یرمز لحج م المجتم حج

Nع محدود د تصنیف . ، وفي ھذه الحالة نقول أن المجتم ال عن ى سبیل المث ي 500فعل شخصا فھ دود وحجم ع مح ول أن المجتم ا نق ة، فإنن ة االجتماعی ا حسب الحال األطوال N=500٠شركة م

دد . تمعات محدودةواألوزان والدخل السنوي لمجموعة من األشخاص أمثلة لمج ة الع في كل حالع . الكلى للمشاھدات رقم محدود ل مجتم ر محدود، مث ع غی م المجتم في بعض األحیان یكون حج

ان ي دم إنس ي تسرى ف دم البیضاء الت اس . كرات ال ن قی ا م ي نحصل علیھ أیضا المشاھدات الت . الضغط الجوى كل یوم من الماضي إلى المستقبل تمثل مجتمع غیر محدود

ر العشوائي یم المتغی د . Xكل مشاھدة في المجتمع تمثل قیمة من ق ال عن ى سبیل المث علرد كل X إلقاء زھرة نرد عدد النھائي من المرات وإذا كان ى الن ي تظھر عل نقط الت یمثل عدد ال

رة، أي أن ـیر x=1,2,3,4,5,6م یم المتغـ ن ق ة م ل قیم ع تمث ي المجتم اھدة ف ل مش إن ك ، ف . Xالعشوائـي

.القیم العددیة التي توصف المجتمع تسمى معالم :تعریفن ون م ادة یك ن ع ع، ولك الم المجتم ص مع تنتاجات تخ ى اس ول إل ث بالوص تم الباح یھ

وعلى ذلك البد من االعتماد على .المستحیل أو غیر عملي مالحظة كل قیم الفئة الممثلة للمجتمعى فئة جزئیة من قیم المجتمع ذنا إل ذا یأخ الم، وھ ى استدالالت عن المع لتساعدنا في الوصول إل

. theory of samplingنظریة المعاینة . ھي فئة جزئیة من المجتمع sampleالعینة :تعریف

ة ع والعین ین المجتم ة ب م العالق ن فھ د م حیح الب تدالل ص ون االس ى یك د أن .حت ن المؤك مزة ر متحی ون غی د أن تك ذلك الب ع ل ل المجتم وف تمث ة س وائیة unbiasedالعین ة عش أي عین

random sample . ا nالعینة العشوائیة من الحجم :تعریف ة حجمھ ة جزئی ث أن كل فئ ن nھي عینة تختار بحی م

.مشاھدات المجتمع لھا نفس االحتمال في االختیارن . statisticالمحسوبة من العینة تسمى اإلحصاءالقیمة رة یمك وبما أن عینات عشوائیة كثی

ك ى ذل ى أخرى، وعل ة إل ن عین ف اإلحصاء م ع أن یختل ا نتوق ع فإنن س المجتم ن نف اختیارھا م . یعتبر اإلحصاء متغیر عشوائي

. اإلحصاء متغیر عشوائي یعتمد فقط على قیم العینة المختارة :تعریف

١١٣

Entering Data into ادخال البیانات فى الماثیماتیكـا ) ٢-٤(Mathematica

)١ -٤( مثال البیانات فى الجدول التالى تمثل عدد الطلبة وعدد الطالبات وعدد اعضاء هیئة التدریس فى

:احدى الجامعات السنة عدد الطلبة عدد الطالبات اعضاء هیئة التدریس

20 300 555 1997 23 200 662 1998 26 250 721 1999 28 300 800 2000 30 250 880 2001 36 330 900 2002 40 400 932 2003 41 430 981 2004

سوف نضع هذه البیانات فى . الماثیماتیكا نامجوفیما یلى كیفیة التعامل مع تلك البیانات فى بر :كالتالى aa1قائمة تحت المسمى

aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}};

. حیث یتم ادخال البیانات الموجودة فى الجدول صف صف .TableForm ویتم وضع البیانات فى جدول باستخدام االمر

TableForm[aa1]

1997 555 300 201998 662 200 231999 721 250 262000 800 300 282001 880 250 302002 900 330 362003 932 400 402004 981 430 41

١١٤

Selecting Rowsختیار الصفوف ا) ١-٢-٤(للحصول على معلومات عن و. Partالختیار صفوف معینة من قائمة سوف نستخدم االمر

:االمر التالى دمهذا االمر نستخ?Part

:فعلى سبیل المثال بادخال االمر

Part[aa1,2] {1998,662,200,23}

:او aa1[[2]] {1998,662,200,23}

. aa1نحصل على الصف الثانى من :وباستخدام االمر

Part[aa1,{2,4,5}] {{1998,662,200,23},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30}}

:او aa1[[{2,4,5}]]

{{1998,662,200,23},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30}}

. aa1الخامس من القائمة و الرابع ونحصل على الصفوف الثانى :كالتالى Takeسوف نستخدم االمر aa1من القائمة للحصول على الصفوف الثالثة االولى

Take[aa1,3] {{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26}}

سوف نستخدم االمر aa1من القائمة للحصول على معلومات عن الصفوف الثالثة االخیرة Take كالتالى:

Take[aa1,-3] {{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}

aa1من القائمة للحصول على معلومات عن الصفوف من الصف الثالث الى الصف السادس :كالتالى Takeسوف نستخدم االمر

Take[aa1,{3,6}]

{{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}}

expri or Partexpr, i gives the ith part of

expr. expri counts from the end. expr0gives the head of expr. expri, j, ... or

Partexpr, i, j, ... is equivalent to expri j ... . expr i1, i2, ... gives

a list of the parts i1, i2, ... of expr.More…

١١٥

Selecting Columnsختیار االعمدة ا) ٢-٢-٤(والموجودة DataManipulationالختیار اى اعمدة من قائمة سوف نستخدم الحزمة الجاهزة

.Statisticsفى الدلیل Helpالنافذة البرنامج نختار القائمة الرئیسیة للحصول على معلومات عن هذه الحزمة ومن

:لنحصل على النافذة التالیة Help Broswerومنها نختار

:نكتب ما یلى تحمیل هذه الحزمة ل

<<Statistics`DataManipulation`

:سبیل المثال بادخال االمر االن وعلى Column[aa1,3] {300,200,250,300,250,330,400,430}

، اى العمود الثالث من الجدولمن 1997 2004-نحصل على عدد الطالبات خالل االعوام aa1

:وباستخدام االمر

١١٦

Column[aa1,{2,4}] {{555,20},{662,23},{721,26},{800,28},{880,30},{900,36},{932,40},{981,41}}

. )aa1او من (نحصل على العمود الثانى والعمود الرابع من الیسار من الجدول

:وباستخدام االمر

ColumnTake[aa1,{2,4}]

{{555,300,20},{662,200,23},{721,250,26},{800,300,28},{880,250,30},{900,330,36},{932,400,40},{981,430,41}}

. )aa1او من (بع من الیسار من الجدولنحصل على االعمدة من الثانى الى الرا عرض الرسوم البیانیة) ٣-٤( :یمكن عرض انواع الرسوم البیانیة التى یقدمها البرنامج كالتالى االعمدة البیانیة) ١-٣-٤( إجمالیة قیم لمتغیر او اكثر بحیث تعطى فكرة بسیطة بتقدم االعمدة البیانیة رسوما تتعلق

فاالعمدة البیانیة من االدوات التى تقوم بتمثیل القیم . وسریعة ومنظورة للقارئ او صاحب العمل .تمثیال بیانیا بحیث یسهل فهم واستیعاب هذة القیم من خالل نظرة فاحصة سریعة

Graphics فى الدلیل Graphics وسوف نستخدم الحزمة

فمن القائمة الرئیسیة لنافذة البرنامج نضغط . وذلك للحصول على معلومات عن هذه الحزمة :لنحصل على النافذة التالیة Help Broswerومنها نضغط على Helpعلى

١١٧

.حیث نحصل منها على معلومات وامثلة عن الحزمة موضع االهتمام

:بیانیة بكتابة االمر التالى وتنفیذة ایضا یمكن الحصول على معلومات عن االعمدة ال?BarChart BarChart[list1, list2, ...] generates a bar chart of the data in the

lists.

:هناك ثالث اشكال من االعمدة البیانیة

Simlpleاالعمدة البیانیة البسیطة ) أ(

لدراسة التطور الذى یحدث فى ظاهرة معینة او موضوع البسیطةتستخدم االعمدة البیانیة قد معین خالل فترات من الزمن حیث یتناسب ارتفاع االعمدة مع احجام او اوزان او اعداد البیانات

. التى تمثلها

١١٨

وبفرض اهتمامنا بالعمود االول والثانى من الجدول من الیسار ، اى البیانات ) ١- ٤(للمثال وسوف نعرض هذه البیانات على شكل 2004-1997ة خالل االعوام التى تمثل عدد الطلب :اعمدة بیانیة كالتالى

<<Graphics`Graphics` <<Statistics`DataManipulation` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}; ruthruns=Column[aa1,{2,1}]; BarChart[ruthruns];

وبفرض اهتمامنا بالعمود االول والرابع من الجدول من الیسار ، اى البیانات التى ) ١-٤(للمثال وسوف نعرض هذه البیانات على 2004-1997تمثل عدد اعضاء هیئة التدریس خالل االعوام

:شكل اعمدة بیانیة كالتالى <<Graphics`Graphics` <<Statistics`DataManipulation` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}; t2=Column[aa1,{4,1}]; BarChart[t2];

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

200

400

600

800

1000

١١٩

من الجدول من الیسار ، اى البیانات التى الثالثوبفرض اهتمامنا بالعمود االول و )١-٤(للمثال وسوف نعرض هذه البیانات على شكل اعمدة 2004-1997خالل االعوام الطالباتتمثل عدد

:بیانیة كالتالى <<Graphics`Graphics` <<Statistics`DataManipulation` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}; t2=Column[aa1,{3,1}]; BarChart[t2];

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

100

200

300

400

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

١٢٠

الوان بثالثتلون ویمكن اجراء بعض التحسینات او االضافات الى االعمدیة البیانیة حیث

:ایضا سوف نستخدم الخیار . BarStyle باستخدام الخیاروذلك حسب مختلفة طول العمود

.شكل شبكى للحصول على وذلك GridLines -> Automatic

اعضاء التدریسالبیانات التى تمثل عدد على من خالل البرنامج التالىوسوف یتم ذلك :1997-2004 خالل االعوام

<<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}; t2=Column[aa1,4] {20,23,26,28,30,36,40,41} BarChart[t2, BarStyle -> (Which[ # >36, RGBColor[0,1,0], # < 26, RGBColor[1,0,0], True, RGBColor[1,1,0]]&), GridLines -> Automatic ,BarLabels{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"}]

(Graphics)

SimlplClusteredاالعمدة البیانیة المزدوجة ) ب(

لمقارنة ظاهرتین او اكثر لعدد من السنوات كمقارنة اعداد ةتستخدم االعمدة البیانیة المزدوج .الذكور واالناث لعدة سنوات

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

١٢١

)٢ -٤( مثال

كما یلى 2004-1997اظهرت البیانات المتعلقة بودائع احد البنوك خالل السنوات من )ملیون جنیه(

ودائع االجل الودائع التجاریة ودائع التوفیر السنة1997 22 51 31 1998 25 56 32 1999 27 58 36 2000 28 61 39 2001 30 59 37 2002 35 68 40 2003 37 71 42 2004 37 75 45

المطلوب تمثیل ودائع البنك بانواعها الثالثة على اساس االعمدة المزدوجة على مدى .السنوات المذكورة

<<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"}]

١٢٢

Graphics

:ویمكن اجراء بعض التحسینات او االضافات الى االعمدیة البیانیة كالتالى <<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"},BarOrientation->Horizontal]

Graphics

:المثال التالى خالل مناضافات اخرى الى االعمدیة البیانیة یمكن التعرف علیها ھناك

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

50

60

70

10 20 30 40 50 60 70

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

١٢٣

)٣ -٤( مثال .وسوف نستخدم االعمدة البیانیة المزدوجة لتمثیل ودائع البنوك ) ٢-٤(للرجوع الى مثال

<<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; b1=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarStyle->{GrayLevel[0.3],GrayLevel[0.6]},BarLabels->{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"},DisplayFunction->Identity]; b2=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels->{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"},BarEdges->None,DisplayFunction->Identity]; b3=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarSpacing->0.2,BarLabels->{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"},DisplayFunction->Identity]; b4=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarSpacing->-0.2,BarLabels->{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"},DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{b1,b2},{b3,b4}}]]

GraphicsArray

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

50

60

70

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

50

60

70

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

50

60

70

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

50

60

70

١٢٤

لعدد داخل كل بین قائمتین من االعداد وال یشترط تساوى ا ةیمكن استخدام االعمدة للمقارن . التى فى القائمة التالیة البیاناتمن البرنامج التالى یتضح ذلك من حیثقائمة

<<Graphics`Graphics` [{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}] <<Graphics`Graphics` BarChart[{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}]

Graphics

business chart حیث یتم استخدام لـ مثال البرنامج التالى فى االعمدة التالیة رتعتب البیانات التى فى القائمتین التالیتین {3 ,5 ,2 ,3} ,{3 ,3.5 ,5 ,4 ,3 ,1}

.TextStyle الخیارمثل قیاسیة مع خیارات <<Graphics`Graphics` BarChart[{1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, {3, 2, 5, 3}, BarSpacing -> -.3, BarGroupSpacing -> .5, BarStyle -> {GrayLevel[.6], Hue[0]}, BarEdgeStyle -> {{Dashing[{.01}],Hue[0]},GrayLevel[0]}, BarLabels -> {"Apr","May","Jun","Jul","Aug","Sep"}, PlotLabel -> "Projected and Current Profit, Tourist Season", TextStyle -> {"FontFamily" -> "Helvetica", "FontSize" -> 9} ]

1 2 3 4 5 6

-2

2

4

6

Apr May Jun Jul Aug Sep

1

2

3

4

5Projected and Current Prof it, Tourist Season

١٢٥

Graphics

Stackedاالعمدة البیانیة المجزاة ) ج(تستخدم االعمدة البیانیة المجزاة ایضا لمقارنة ظاهرتین او اكثر لعدد من السنوات كمقارنة

.ر مدخنین لعدة سنوات یالمدخنین والغ

:یمكن الحصول على معلومات عن االعمدة المجزاة كالتالى ?StackedBarChart

المجزئة باستخدام البرنامج على اساس االعمدة) ٢-٤(االن سوف نمثل ودائع البنك فى المثال :التالى

<<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; sb2=StackedBarChart[kk1,kk2,kk2,BarLabels->{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"}]

Graphics

والخاصة اضافات اخرى الى االعمدیة البیانیة یمكن التعرف علیها من البرنامج التالى هناك

: )٢- ٤(بالمثال

StackedBarChartlist1, list2, ... generates a

stacked bar chart of the data in the lists.More…

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

25

50

75

100

125

150

175

١٢٦

<<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; w=BarLabels->{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004"} sb1=BarChart[kk1,kk2,kk3,w,DisplayFunctionIdentity]; sb2=StackedBarChart[kk1,kk2,kk3,w,PlotRangeAll,DisplayFunctionIdentity]; sb3=StackedBarChart[kk1,kk2,kk3,w,PlotRangeAll,DisplayFunctionIdentity]; sb4=StackedBarChart[kk1,kk2,kk2,w,PlotRangeAll,DisplayFunctionIdentity,BarOrientationVertical]; Show[GraphicsArray[{{sb1,sb2},{sb3,sb4}}]]

GraphicsArray

وذلك باستخدام االعمدة بین قائمتین من االعداد ةهذا ویمكن استخدام االعمدة البیانیة للمقارن :حیث تكون االعمدة متساویة فى الطول كما یلى percentile bar المئویة

:فى هذا المثال یتم المقارنة بین القائمتین

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

25

50

75

100

125

150

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

25

50

75

100

125

150

175

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

10

20

30

40

50

60

70

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

25

50

75

100

125

150

١٢٧

{1, -3, 4, 5, 2, 3},{3, 6, 4, 3} <<Graphics`Graphics` PercentileBarChart[{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}]

Graphics

وذلك باستخدام )او االعمدة بصورة عامة (ویمكن الحصول على اشكال مختلفة لالعمدة المئویة

:التالیة خیارات لرسم االعمدة من البیانات فى القائمة :كما یلى {1,3,-4,5,3.5,3},{-3,2,5,3}

PercentileBarChart[{1,3,-4,5,3.5,3}, {-3,2,5,3}, BarStyle -> {RGBColor[0,1,0], RGBColor[1,1,0]}, BarOrientation -> Horizontal, Axes -> False, Frame -> True]

Graphics

دوجةاالعمدة البیانیة للبیانات الموضوعة فى جداول مز ) د(

1 2 3 4 5 620%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

60% 40% 20% 0% 20% 40% 60% 80% 100%

1

2

3

4

5

6

60% 40% 20% 0% 20% 40% 60% 80% 100%

1

2

3

4

5

6

١٢٨

) ٤-٤(مثال

فرد والمطلوب وضع ھذه البیانات 27البیانات التالیة جمعت من استیبانة وزعت على عینة من

:ترمز الى ذكر mترمز الى انثى و fحیث فى البعد الثالث فى جدول مزدوج وتمثیلھا بیانیا الجنس الون المفضل العمر الجنس

٢٠ ١ brown f ٢٠ ٢ brown f ٢١ ٣ black f ٢٣ ٤ black m ٢١ ٥ brown f ٢٢ ٦ red f ٣٠ ٧ black f ٣٤ ٨ brown f ٢٢ ٩ brown f

٢٣ ١٠ blond m ٢٢ ١١ red f ٢١ ١٢ black m ٢٦ ١٣ blond f ٢٥ ١٤ brown m ٣٢ ١٥ brown m ٢٣ ١٦ blond f ٢٣ ١٧ red f ٢٠ ١٨ brown m ٢٠ ١٩ blond f ٢٢ ٢٠ brown m ٢٣ ٢١ blond f ٢٢ ٢٢ black m ٢٠ ٢٣ blond f ٢١ ٢٤ brown m ٢٤ ٢٥ red f ٢٠ ٢٦ brown f ٤٤ ٢٧ brown m

.بنفس اسم المثال سوف نستخدم البرنامج الجاھز التالى وھناك نسخة منھ ملحقة مع الكتاب : dataset فى القائمة المسماه فى الجدول السابق موضوعة البیانات

.لیناسب بیانات اخرى ویمكن تعدیل البرنامج dataset={{f,20,brown},{f,20,brown},{f,21,black},{m,23,black},{f,21,brown},{f,22,red},{f,30,black},{f,24,brown},{f,22,brown},{m,23,blond},{f,22,red},{m,21,black},{f,26,blond},{m,25,brown},{m,32,brown},{f,23,blond},{f,23,red},{m,20,brown},{f,20,blond},{m,22,brown},{f,23,blond},{m,22,bla

١٢٩

ck},{f,20,blond},{m,21,brown},{f,24,red},{f,20,brown},{m,44,brown}}; <<Statistics`DataManipulation` Clear[contingencyarray] contingencyarray[dataset_,{rows_,columns_}]:=Module[{data,rowvars,columnvars}, data=Column[dataset,{rows,columns}]; rowvars=Column[dataset,rows]//Union; columnvars=Column[dataset,columns]//Union; rowsandcolumns=Table[Count[data,{rowvars[[i]],columnvars[[j]]}],{i,1,Length[rowvars]},{j,1,Length[columnvars]}]; {rowvars,columnvars,rowsandcolumns} ] Clear[contingencyTableCategory] contingencyTableCategory[dataset_,{rows_,columns_},opts___]:=Module[{array}, array=contingencyarray[dataset,{rows,columns}]; TableForm[array[[3]],opts,TableHeadings->{array[[1]],array[[2]]}] ] contingencyTableCategory[dataset,{1,3}] contingencyTableCategory[dataset,{1,3},TableHeadings->{{"Female","Male"},{"Black","Blond","Brown","Red"}}] <<Graphics`Graphics3D` Clear[contingencyGraphCategory] contingencyGraphCategory[dataset_,{rows_,columns_},opts___]:=Module[{array}, array=contingencyarray[dataset,{rows,columns}]; BarChart3D[array[[3]],opts,AxesLabel->{array[[1]],array[[2]],None},Ticks->{None,None,Automatic}] ] contingencyGraphCategory[dataset,{1,3}]

black blond brown redf 2 5 6 4m 3 1 6 0

Black Blond Brown RedFemale 2 5 6 4Male 3 1 6 0

١٣٠

Graphics3D

شكل االنتشار) ٢-٣- ٤(

) ٥-٤(مثال تمثل البیانات التالیة المرتب لعینة من االشخاص باحدى الشركات وذلك وفق المستوى التعلیمى . والمطلوب عرض هذه البیانات على شكل رسم بیانى باستخدام شكل االنتشار .

المرتب المستوى التعلیمى رقم الموظف1 1 85 2 2 90 3 2 80 4 4 100 5 4 120 6 4 130 7 4 200 8 3 210

f, m

black , blond , brown , red

0

2

4

6

f, m

black , blond , brown , red

١٣١

9 3 100 10 3 120 11 2 190 12 4 160 13 4 85 14 4 140

الحل : سوف نستخدم البرنامج التالى لعرض بیانات هذا المثال فى شكل االنتشار وسوف ندخل البیانات

: aa1 فى قائمة تسمى

aa3={{1,85},{2,90},{2,80},{4,100},{4,120},{4,130},{4,200},{3,210},{3,100},{3,120},{2,190},{4,160},{4,85},{4,140}}; sp1=ListPlot[aa3,AxesOrigin->{0,7},PlotRange->{{0,5},{5,220}},Ticks->{{{1,"1"},{2,"2"},{3,"3"},{4,"4"}},Automatic},PlotStyle->PointSize[0.02]] Graphics

1 2 3 4

50

100

150

200

١٣٢

tParetoPloرسم باریتو) ٣-٣-٤(

)٦ -٤( مثال

وعة من االشخاص حسب خاصیة ما موالتى تمثل تصنیف لمج عرض البیانات التالیةالمطلوب ذلك بما یسمى رسم باریتوو

a, b, c, d, d, d, e, d, e, e, f, a, b, c

:الحل

Statistics StatisticsPlots فى الدلیل سوف نستخدم الحزمة

: ParetoPlot مع االمر المطلوب وذلك للحصول على

<<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ {a, b, c, d, d, d, e, d, e, e, f, a, b, c} ]

)٧ -٤( مثال

والموضوعة فى القائمة التالیة المتداخلة حیث كل قائمة داخلیة البیانات التالیة المطلوب عرض:وذلك باستخدام رسم باریتو تمثل المحصول والكمیة المنتجة منه

{{"Oats", 34.3},{"Wheat", 72.1}, {"Rye", 10.2}, {"Soy", 68.2}}

الحل :Statistics StatisticsPlots فى الدلیل سوف نستخدم الحزمة

: ParetoPlot مع االمر وذلك للحصول على المطلوب

d e c b a f

0.2

0.4

0.6

0.8

1

١٣٣

<<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ {{"Oats", 34.3},{"Wheat", 72.1}, {"Rye", 10.2}, {"Soy", 68.2}} ]

Graphics

)٨ -٤( مثال

عشرة وسوف نستخدم رسم بارتو فى عرضهم سوف نولد خمسون رقما صحیح من واحد الى .مع استخدام خیارات متعددة

Statistics StatisticsPlots فى الدلیل سوف نستخدم الحزمة

: ParetoPlot مع االمر المطلوب وذلك للحصول على <<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ Table[Random[Integer, {1,10}], {50}], BarLabels -> None, BarOrientation -> Horizontal, BarStyle -> GrayLevel[1], BarEdgeStyle -> Dashing[{0.02}], PlotJoined -> False, SymbolShape -> PlotSymbol[Box] ]

Wheat Soy Oats Rye

0.2

0.4

0.6

0.8

1

١٣٤

Graphics

PieChartالدوائر البیانیة )٤-٣-٤(

تستخدم الدوائر البیانیة عند وجود بیانات معینة یمكن تقسیمها الى عدة اجزاء او حصص .بحیث یمثل كل جزء او حصة نسبة مئویة معینة من المجموع الكلى للمتغیر

)٩ -٤( مثال

حسب 2006-2005اذا كان عدد الطلبة فى احدى الجامعات خالل العام الدراسى : الكلیات كما یلى

عدد الطلبة الكلیاتarts 3000 law 2500

engineering 1200 economic 4600 computer 3300 pharmacy 1100 medicin 800

agriculture 900

0.2 0.4 0.6 0.8 1

١٣٥

المطلوب عرض البیانات المتعلقة باعداد الطلبة حسب الكلیات بیانیا من خالل استخدام

.الدوائر البیانیة :الحل

: spending سوف نستخدم البرنامج التالى فى الحل والبیانات موضوعة فى القائمة المسماه <<Graphics`Graphics` spending={3000,2500,4600,1200,3300,1100,800,900}; PieChart[spending,PieLabels->{"arts","law","economics","engineering","computer","Mpharmacy","medicine","agriculture"},PieExploded->{{9,0.1}}] (Graphics)

كما یتضح من حسب خیارات معینة ) ٩- ٤(لنفس مثال وهناك شكل اخر للدائرة البیانیة :البرنامج التالى

<<Graphics`Graphics` grays=Table[GrayLevel[i],{i,0.4,1,0.6/8}]; PieChart[spending,PieLabels->{"arts","law","economics","engineering","computer","Mpharmacy","medicine","agriculture"},PieExploded->{{1,0.1},{2,0.3},{3,0.1}},PieStyle->grays]

arts

law

economics

engineering

computer

Mpharmacy

medicine

agriculture

١٣٦

Graphics

)١٠ -٤( مثال :التالیة بشكل اخر للدائرة البیانیة القائمة موضوعة فىالبیانات الاعرض

590,157,484,57,15,19,32 الحل :

سوف یتم حل هذا المثال باستخدام البرنامج التالى حیث البیانات فى القائمة المسماه

: Revenue <<Graphics`Graphics` revenue={590,157,484,57,15,19,32}; PieChart[revenue]

arts

law

economics

engineering

computer

Mpharmacy

medicine

agriculture

١٣٧

)١١ -٤( مثال

القائمة وهناك شكل اخر للدائرة البیانیة حسب خیارات معینة لبیانات اخرى موضوعة فى :

: Spending المسماه

<<Graphics`Graphics` spending={274,20,252,333,157,89,92,114,232}; PieChart[spending,PieLabels->{"Defense","International","National","SS","Medicare","Medicaid","Entitlements","Other","Net Interest"},PieExploded->{{9,0.1}}]

1

2

3

4567

١٣٨

Graphics

: Spending للقائمة السابقةوهناك شكل اخر للدائرة البیانیة حسب خیارات معینة

<<Graphics`Graphics` grays=Table[GrayLevel[i],{i,0.4,1,0.6/8}]; PieChart[spending,PieLabels->{"Defense","International","National","SS","Medicare","Medicaid","Entitlements","Other","Net Interest"},PieExploded-

Defense

InternationalNational

SS

Medicare

MedicaidEntitlementsOther

Net Interest

١٣٩

Graphics

. وباوضاع مختلفةوهناك اشكال اخرى للدائرة البیانیة حسب خیارات معینة

)٢١ -٤( مثال : اشكال اخرى للدائرة البیانیة فى البرنامج التالى نحصل علىمن خالل البیانات

<<Graphics`Graphics` DisplayTogetherArray[ PieChart[{.2,.3,.1}], PieChart[{.2,.3,.1}, PieExploded->All], PieChart[{.2,.3,.1}, PieExploded->{{3,.2}}] ]

GraphicsArray

Defense

InternationalNational

SS

Medicare

MedicaidEntitlementsOther

Net Interest

1

2 3

1

2 3

1

2 3

١٤٠

)١٣ -٤( مثال : من البرنامج التالى التالیةمن خالل البیانات وقد یكرر التلوین

<<Graphics`Graphics` PieChart[{.1, .2, .3, .4}, PieStyle->{ GrayLevel[.3], GrayLevel[.8]}]

Graphics

)١٤ -٤( مثال

:توضع العناوین كالتالى من خالل بیانات جدیدة من البرنامج التالى <<Graphics`Graphics` PieChart[{12, 21, 18}, PieLabels -> {"Joe", "Helen", "Bob"}, PlotLabel -> "Sales" ]

Graphics

PieLine Chartsالخطوط البیانیة ) ٥-٣- ٤(

1

2

3

4

Sales

JoeHelen

Bob

١٤١

یمكن تمثیل البیانات على اساس خطوط بیانیة مع مقارنتها مع شكل االنتشار وذلك بهدف توضیح االتجاه العام لظاهرة ما او عدة ظواهر خالل فترات زمنیة متتالیة وهناك ثالث اشكال

:من الخطوط البیانیة :الخطوط البیانیة البسیطة ) أ(

حالة متغیر واحد لمراقبة تطورة على مر الفترات تستخدم الخطوط البیانیة البسیطة كثیرا فى .الزمنیة )١٥ -٤( مثال

2004-1997واذا كان اهتمامنا بالبیانات التى تمثل اعداد الطلبة خالل االعوام ) ١-٤(للمثال

:فنحصل علیهما كالتالى <<Statistics`DataManipulation` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}; ruthruns=Column[aa1,{1,2}];

:على شكل خطوط بیانیة بسیطة ومقارنتها مع شكل االنتشار نتبع التالى ruthruns لعرض البیانات فى lp1=ListPlot[ruthruns,PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity]; lp2=ListPlot[ruthruns,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{lp1,lp2}]]

GraphicsArray

:بكتابة االمر التالى وتنفیذة ListPlotایضا یمكن الحصول على معلومات عن االمر

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

700

800

900

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

700

800

900

١٤٢

??ListPlot ListPlot[{y1, y2, ... }] plots a list of values. The x coordinates for each point are taken to be 1, 2, ... . ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ... }] plots a list of values with specified x and y coordinates. Attributes[ListPlot] = {Protected} Options[ListPlot] = {AspectRatio -> GoldenRatio^(-1), Axes -> Automatic, AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic, AxesStyle -> Automatic, Background -> Automatic, ColorOutput -> Automatic, DefaultColor -> Automatic, Epilog -> {}, Frame -> False, FrameLabel -> None, FrameStyle -> Automatic, FrameTicks -> Automatic, GridLines -> None, ImageSize -> Automatic, PlotJoined -> False, PlotLabel -> None, PlotRange -> Automatic, PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic, Prolog -> {}, RotateLabel -> True, Ticks -> Automatic, DefaultFont :> $DefaultFont, DisplayFunction :> $DisplayFunction, FormatType :> $FormatType, TextStyle :> $TextStyle} <<Statistics`DataManipulation`

Multipleالخطوط البیانیة المتعددة) ب( ویرید الباحث ان یراقب متغییرین فاكثر ،یستخدم هذا النوع من الرسوم البیانیة فى حالة وجود

.على اساس ان یكون ذلك فى نفس الرسم،التطورات لهذین المتغیرین على مر فترات من الزمن )٦١ -٤( مثال

لبیانات التالیة تمثل اعداد الطلبة فى ثالث جامعاتا A,B,C خالل االعوام 2000-2005 .

.المتعددة الخطوط بوالمطلوب تمثیلها A=1000,1223,1400,1500,1600,1600 B=1300,1600,1820,1880,1890,1900 C=2000,2200,2450,2460,2500,2550

الحل :

:سوف ندخل البیانات بالمسمیات االتیة تمثل اعداد الطلبة فى الجامع B و rr2 و A تمثل اعداد الطلبة فى الجامعة rr1

. C تمثل اعداد الطلبة فى الجامع rr3 MultipleListPlot سوف نستخدم البرنامج التالى وسوف نحمل الحزمة

Graphics تحت الدلیل

١٤٣

.نحصل على الرسم MultipleListPlot وباستخدام االمر <<Graphics`MultipleListPlot` rr1={1000,1223,1400,1500,1600,1600}; rr2={1300,1600,1820,1880,1890,1900}; rr3={2000,2200,2450,2460,2500,2550}; <<Graphics`MultipleListPlot` MultipleListPlot[rr1,rr2,rr3,PlotJoined->True,PlotLegend->{"A","B","C"}]

(Graphics)

تقابل االعوام من 2000-2005 . ر االفقىاالرقام على المحو 1,2,3,4,5,6

)٧١ -٤( مثال

:بتنفیذ البرنامج التالى للمثال السابق سوف نحصل على اشكال اخرى <<Graphics`MultipleListPlot` rr1={1000,1223,1400,1500,1600,1600}; rr2={1300,1600,1820,1880,1890,1900}; rr3={2000,2200,2450,2460,2500,2550}; mpl1=MultipleListPlot[rr1,rr2,PlotJoinedTrue,PlotLabel"Number of Students",DisplayFunctionIdentity]; mpl2=MultipleListPlot[rr1,rr3,PlotJoinedTrue,PlotLabel" Number of Students",DisplayFunctionIdentity]; MultipleListPlot[rr2,rr3,PlotJoinedTrue,PlotLabel"Number of Students",PlotLegend{"B","C"}] Show[GraphicsArray[{{mpl1,mpl2}}]]

1 2 3 4 5 6

1250

1500

1750

2000

2250

2500

C

B

A

١٤٤

Graphics

GraphicsArray

B,C حیث الرسم فى الصف االول یخص الطلبة فى الجامعتین A,B والرسم فى الصف الثانى على الیسار یخص الطلبة فى الجامعتین

A,C والرسم فى الصف الثانى على الیمین یخص الطلبة فى الجامعتین

رسوم اخرى )ج(

) ٨١-٤( مثال

فعلى سبیل المثال من حیث توفر شروط معینة بیاناتاختبار فى بعض االحیان نحتاج الى .او من الدرجة الثالثة یناسبها توفیق معادلة لها من الدرجة الثانیة البیانات فى هذا المثال هل

الثانیة ومعادلة من الدرجة ةمع معادلة من الدرجونقارنها نولد بیانات سوفالتالى فى البرنامج : الثالثة

data = Table[{n/15, (n/15)^2 + 2 + Random[Real,{-.3,.3}]},

1 2 3 4 5 6

1600

1800

2000

2200

2400

Number of Students

C

B

1 2 3 4 5 6

1200

1400

1600

1800

Number of Students

1 2 3 4 5 6

1250

1500

1750

2000

2250

2500

Number of Students

١٤٥

{n, 15}]; fit = Fit[data, {1, x, x^2}, x]

altfit = Fit[data, {1,x^3}, x]

aa1=Plot[altfit, {x,0,1}, PlotStyle -> Hue[.6],DisplayFunction->Identity]; aa2= ListPlot[data, PlotStyle -> {Hue[0], PointSize[.03]},DisplayFunction->Identity]; aa3= Plot[fit, {x,0,1}, PlotStyle -> {GrayLevel[0], Dashing[{.03}]},DisplayFunction->Identity] Show[aa1,aa2,aa3,DisplayFunction->$DisplayFunction] Graphics

Graphics

)٩١ -٤( مثال Statistics تحت الدلیل StatisticsPlots فى هذا المثال سوف نستخدم الحزمة

واختبــار هــل وذلــك للمقارنــة مــن مجمــوعتین مــن البیانــات QuantilePlotســوف نســتخدم االمــر و

المســتقیم طواذا تحقــق هــذا الشــرط فنجــد ان التــوزیعین یلتفــان حــول الخــ ینتمــون الــى نفــس التوزیــع -Quantileویســـمى هـــذا الرســـم والمتماثلـــة المثـــالهـــذا ها فـــىدكمـــا یتضـــح مـــن البیانـــات التـــى نولـــ

Quantile Plots. <<Statistics`StatisticsPlots` QuantilePlot[ Table[Random[], {300}], Table[Random[], {300}] ]

1.60225 1.12205x 0.148019x2

1.94133 1.10294x3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

2.8

3

١٤٦

)٢٠ -٤( مثال

. بخیارات متعددة Quantile-Quantile Plotsرسم سوف ن السابقمثال لل<<Statistics`StatisticsPlots` QuantilePlot[Table[Random[], {300}], Table[Random[], {300}], SymbolShape -> None, PlotJoined -> True, ReferenceLineStyle -> {Hue[0], Dashing[{0.02}]}]

Graphics

)٢١ -٤( مثال

العالقة بین المتغیرین اختبار هل مع بین بیانات متغیرین شكل االنتشار المطلوب ایجاد لقیم المتغیر الممثل على المحور aa1حیث القائمة )على سبیل المثال (عالقة خطیة

والعالقة الخطیة ممثلة . الراسى لقیم المتغیر الممثل على المحور aa2القائمة االفقى و . fبالدالة

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

١٤٧

الحل ::سوف نستخدم البرنامج التالى ویمكن تغییرة المثلة اخرى او حاالت اخرى

aa1={1,2,3,4,5,6}; aa2={11,15,19,32,23,34}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}] {{1,11},{2,15},{3,19},{4,32},{5,23},{6,34}} f[x_]:=3+4x sp1=ListPlot[aa3,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,10},{0,36}},PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity]; sp2=Plot[f[x],{x,0,10},AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,10},{0,36}},DisplayFunction->Identity]; Show[sp1,sp2,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRangeAll]

Graphics

)٢٢ -٤( مثال

من الجدول من الیسار ، اى البیانات التى الثانىوبفرض اهتمامنا بالعمود االول و ) ١-٤(للمثال

عرض هذه البیانات على شكل اعمدة وقد تم 2004-1997خالل االعوام الطلبةتمثل عدد :بیانیة كالتالى

2 4 6 8 10

10

20

30

40

١٤٨

والموجود فى الحزمة TextListPlot باستخدام االمرعرضها بیانیا بوالمطلو االن

Graphics فى الدلیل Graphics :

<<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}}; {{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41}} aa2=Column[aa1,2] {555,662,721,800,880,900,932,981} TextListPlot[aa2]

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

200

400

600

800

1000

2 3 4 5 6 7 8

700

800

900

1

2

3

4

56

7

8

١٤٩

:كالتالى ر االفقى بقیم االعوام فى المثال و واستبدال قیم المح Paint یمكن الذهاب الى الفرشاة

)٣٢ -٤( مثال

بفى احدى الشركات فى عام ما والمطلو ینتمثل المبیعات لثمانیة موظفالبیانات التالیة فى الدلیل Graphicsوالموجود فى الحزمة TextListPlot باستخدام االمرعرضها بیانیا

Graphics :

:الحل

<<Graphics`Graphics` aa1={30,40,100,50,90,60,150,180} {30,40,100,50,90,60,150,180} TextListPlot[aa1]

١٥٠

)٤٢ -٤( مثال

LabeledListPlot باستخدام االمربیانیا هعرض بالمطلو المثال السابق : Graphics فى الدلیل Graphicsوالموجود فى الحزمة

:الحل <<Graphics`Graphics` aa1={30,40,100,50,90,60,150,180}; LabeledListPlot[aa1]

Graphics

)٥٢ -٤( مثال

2 3 4 5 6 7 8

60

80

100

120

140

160

180

12

3

4

5

6

7

8

2 3 4 5 6 7 8

60

80

100

120

140

160

180

12

3

4

5

6

7

8

١٥١

فعلى سبیل المثال . مصنف تبع صفة ما ما رقمى هناك متغیرما یكون دعن A,B,Cمرتبات مجموعة من العاملین فى شركة ما مصنفة تبعا لدرجاتهم الى

.والمطلوب تمثیل البیانات بیانیا بشكل االنتشار :الحل

تمثل ازواج aa1البرنامج التالى للتوضیح حیث البیانات فى القائمة المسماه . A=1,B=2,C=3القیم للمتغیرین حیث

aa1={{2,13},{2,8},{2,18},{2,18.7`},{2,16},{2,22},{3,26},{2,19},{2,11.6`},{2,7.5`},{3,16},{2,21},{2,19},{2,15},{3,20},{2,17},{1,15.4`},{2,20},{1,19},{2,18.5`},{1,21},{2,15},{2,20},{3,18.2`},{2,11.03`},{2,20},{1,24.1`},{2,21.5`},{1,18.6`},{2,10.5`},{3,17},{3,22.89`},{3,22.3`},{1,17},{2,21},{2,17},{3,22},{2,22.4`},{2,26},{2,16},{1,18},{2,20},{3,20},{2,19},{1,16},{2,17.7`},{2,23},{1,20.35`},{2,22.2`},{2,9}}; sp1=ListPlot[aa1,AxesOrigin->{0,7},PlotRange->{{0,5},{7,26}},Ticks->{{{1,"A"},{2,"B"},{3,"C"}},Automatic},PlotStyle->PointSize[0.02]]

Graphics

)٦٢ -٤( مثال فى هذا المثال سوف یتم تولید ازواج من القیم ثم تمثیل العالقة بینهم باستخدام االمر

.وهذا اختیارى یساوى واحد صحیح ل نقطةالخط عند ك حیثب ErrorListPlot

<<Graphics`Graphics` expdata = Table[ {x, .92 10^(.94 x) + Random[Real, {-1.0, 1.0}]}, {x, 0.2, 1.2, .1}]

A B C7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

١٥٢

{{0.2,1.82859},{0.3,1.71064},{0.4,2.37924},{0.5,2.3441},{0.6,4.35803},{0.7,3.23384},{0.8,4.72316},{0.9,5.73992},{1.,7.40686},{1.1,9.33359},{1.2,12.4843}} erexpdata = Map[Append[#, 1.0]&, expdata] {{0.2,1.82859,1.},{0.3,1.71064,1.},{0.4,2.37924,1.},{0.5,2.3441,1.},{0.6,4.35803,1.},{0.7,3.23384,1.},{0.8,4.72316,1.},{0.9,5.73992,1.},{1.,7.40686,1.},{1.1,9.33359,1.},{1.2,12.4843,1.}} errorp=ErrorListPlot[erexpdata]

Graphics

Frequency Distribution التوزیع التكراري) ٤-٤(

بیانات متصلة) ١-٤-٤(روف ر مع وائي غی ر عش الي لمتغی ع االحتم ون التوزی ا یك ا م ات .غالب ر البیان تعتب

ر العشوائي إذا ي دراسة سلوك المتغی اإلحصائیة التي یجمعھا الباحث بكمیات كبیرة مفیدة جدا فم عرضھا بشكل مناسب ات .ت ي فئ ات ف ع البیان ا بتجمی ن الحصول علیھ رة یمك ات الكثی المعلوم

classes ع التك .وحساب عدد المشاھدات في كل فئة ذا التنظیم یسمى التوزی ل ھ دما . راريمث عنا ى أحسن صورة للمجتمع موضع الدراسة ولكنن ا نحصل عل نقوم بتجمیع البیانات في فئات فإنن

ة خاصة .في المقابل نفقد الكثیر من التفصیالت عن المشاھدات في العینة ي فئ عدد المشاھدات فة رار الفئ مى تك الرمز class frequencyیس ھ ب ز ل ل . fویرم الى یمث دول الت ع الج التوزی

ال .)المشاھدات معطاة ألقرب عدد صحیح(نبات من نوع ما 22التكراري ألطوال ذا المث ي ھ فیشار إلى أصغر وأكبر . 64-60 , 59-55 , 54-50 , 49- 45 , 44-40 , 39-35 :فئات وھم 6لدینا

ة ى سبیل المث. class limitsالقیم التي تقع في فئة معطاة بحدود ھذه الفئ ة فعل 59 – 55 ال للفئو م ھ ة 55أصغر رق ى للفئ د األدن ل الح و lower class limitویمث م ھ ر رق د 59وأكب ل الح ویمث

إن ٠ upper class limitاألعلى للفئة م صحیح، ف وحیث أن البیانات األصلیة مسجلة ألقرب رقن أو یساوى یمثلون كل المشاھدات في العینة التي قیم 59-55مشاھدات تقع في الفئة 4 ر م ھم أكب

ن 54.5 ام . 59.5وأصغر م ة 59.5و 54.5األرق ة class boundariesتسمى الحدود الفعلی للفئد 59.5والرقم lower class boundaryیسمى الحد األدنى الفعلي 54.5الرقم . 59-55 یسمى الح

ة یسمى ا 59.5أیضا الرقم upper class boundary٠األعلى الفعلي ة التالی ي للفئ ى الفعل د األدن لح

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

2

4

6

8

10

12

١٥٣

ة ر . 64-60أي الفئ ن غی ھ م تركة إال أن ة مش دود فعلی ا ح ات لھ ن أن الفئ الرغم م ھ ب ظ أن ویالحى وى عل ات تحت الممكن أن تقع مشاھدة واحدة على أحد ھذه الحدود وذلك ألن الحدود الفعلیة للفئ

.خانات عشریة أكبر من تلك الموجودة في البیانات نفسھا

حدود الفئة 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 التكرار 1 2 3 4 4 8

ة ة بطول الفئ ي للفئ ى الفعل د األدن ي والح ى الفعل ین الحد األعل class widthیعرف الفرق ب

ن دة م ة، أي وح دة دق دا وح ة زائ ى للفئ د األدن ى والح د األعل ین الح رق ب ا الف اوى أیض ویسد الصحیح (الوحدات التي قربت إلیھا األعداد في البیانات ة ھي الواح دة الدق ال وح ذا المث ي ھ ف

م صحیح ات ألقرب رق ا البیان ات ذات .)ألننا قربن ى فئ ة یفضل الحصول عل ة العملی ن الناحی مالرمز .وال متساویة ما أمكنأط سوف نرمز لطول الفئة ب ي . ات ف جدول السابق الأطوال الفئ

.5متساویة وتساوى

ة ة midpointمنتصف الفئ ز الفئ ا class markأو class midpointتسمى مرك ونحصل علیھ

ى ة وقسمة المجموع عل ك تحت فرض 2بجمع الحد األدنى الفعلي والحد األعلى الفعلي للفئ وذلة ز الفئ ع مرك ابق م ا تتط ذ قیم ة تأخ اھدات داخل الفئ ع المش راض أن .أن جمی ك افت ال ذل 8مث

ة 62تأخذ القیمة 64-60تكرارات في الفئة ن الحصول أیضا یمك .والتي تمثل مركز ھذه الفئى ة وقسمة المجموع عل ى للفئ ى والحد األعل ن الجدول . 2على مركز الفئة بجمع الحد األدن م

م ل الجدول السابق ٠ 62 , 57 , 52 , 47 , 42 , 37 :السابق مراكز الفئات ھ ع تكراري یمث توزیحف ي الص اریر المنشورة ف ي التق ذي نشاھده ف وع ال ن الن ن لألغراض اإلحصائیة یكون .م م

نفس الى ل ي الجدول الت ا ھو موضح ف األفضل الحصول على توزیعات ذات تفصیالت أكثر، كم .البیانات المعطاة في الجدول السابق

الحدود الفعلیة مركز الفئة التكرار

الفئة حدود الفئة

\ 37 34.5-39.5 35-39 2 42 39.5-44.5 40-44 3 47 44.5-49.5 45-49 4 52 49.5-54.5 50-54 4 57 54.5-59.5 55-59 8 62 59.5-64.5 60-64

)٢٧-٤(مثال

::: اذا كان لدیك البیانات التالیة

60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70

المطلوب وضعها فى جدول تكرارى بحیث یكون عدد الفئات 6

١٥٤

:الحــل::

دد .فى البدایة نقرر عدد الفئات والتي سوف تتوزع فیھا البیانات عادة یفضل أن تكون عي یكسبھا عادة . 20إلى 5الفئات من إذا زاد عدد الفئات عن عشرین خسر الباحث البساطة الت

ى ضیاع 5عند وضع البیانات في التوزیع التكراري، وإذا قل عدد الفئات عن ؤدى إل ك ی إن ذل فات .الكثیر من التفصیالت الموجودة في البیانات ، لحساب 6بفرض أننا قررنا أن یكون عدد الفئ

ة طول الفئة فإننا أو ي العین ر وأصغر مشاھدة ف ین أكب رق ب ارة عن الف ال نحسب المدى وھو عبدى ون الم ك یك ى ذل ة أي . 29=45-74 وعل ات المقترح دد الفئ ى ع دى عل م الم ا نقس ثانی

29 4.833336 م صحیح ى أقرب رق ات الخام (ویقرب الناتج من خارج القسمة إل ألن البیان

حیح ةأصال مقاس م ص رب رق ة سوف یكون .)ألق 5أي أن طول الفئ ة . ة الفئ دد بدای نحذلك 45والذي غالبا ما یكون أصغر رقم في البیانات وھو ) الحد األدنى للفئة األولى(األولى ، وك

ى، ة األول ى للفئ د األدن ى الح ة إل ة بإضافة طول الفئ ة الثانی ى للفئ د األدن ین نحدد الح ذا لتعی وھكھ بإضافة .الحدود الدنیا لباقي الفئات ن تعیین أما بالنسبة لتحدید الحد األعلى للفئة األولى فإنھ یمك

ن ة م دة دق دار وح ع مق ل الجم ن حاص رح م م نط ى ث ة األول ى للفئ د األدن ى الح ة إل ول الفئ طدد ال. 1الوحدات التي قربت إلیھا األعداد في المشاھدات، أي ة وكذلك نح ة الثانی ى للفئ حد األعل

ك بإضافة طول الفئة إلى الحد األعلى للفئة األولى، وھكذا لتعیین الحدود العلیا لباقي الفئات، وذل .تحت شرط أن الفئات متساویة األطوال

: x سوف یتم حل ھذا المثال بالبرنامج التالى حیث البیانات معطاه فى القائمة المسماه

x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; b=Max[x] 74 n=Length[x] 50 a=Min[x] 45 r=b-a 29

4.83333 del=Round[d] 5 c1=Table[i,{i,a,b,del}] {45,50,55,60,65,70} c2=c1+del-1 {49,54,59,64,69,74}

{47,52,57,62,67,72} <<Statistics`DataManipulation` RangeCounts[x,c1] {0,5,9,4,13,10,9}

ff=Drop[%,1] {5,9,4,13,10,9}

d r6 N

mid c1c2

2

١٥٥

TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

.جدول التوزیع التكرارى لمثالنا المخرج السابق یمثل

من جدول فى بعض االحیان یكون االهتمام بجدول التوزیع التكرارى النسبى ونحصل علیه بقسمة كل قیمة فى عمودوذلك السابقالتوزیع التكراري

.السابق على عدد التكرارات Frequency aa2=ff/Length[x]//N; {0.1,0.18,0.08,0.26,0.2,0.18} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa2}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

من جدول ونحصل علیه المئوىفى بعض االحیان یكون االهتمام بجدول التوزیع التكرارى بضرب كل قیمة فى عمودوذلك النسبى السابق التوزیع التكراري

. 100 فى Frequency السابق aa3=aa2*100 {10.,18.,8.,26.,20.,18.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa3}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

: كالتالىیمكن الحصول التوزیع التكراري المتجمع

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 550 54 52 955 59 57 460 64 62 1365 69 67 1070 74 72 9

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 0.150 54 52 0.1855 59 57 0.0860 64 62 0.2665 69 67 0.270 74 72 0.18

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 10.50 54 52 18.55 59 57 8.60 64 62 26.65 69 67 20.70 74 72 18.

١٥٦

aa5=CumulativeSums[ff] {5,14,18,31,41,50} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa5}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

عمودالمتجمع النسبى وذلك بقسمة كل قیمة فى یمكن الحصول جدول التوزیع التكراري

: التكرارات السابق على عدد Frequency

aa6=N[aa5/n] {0.1,0.28,0.36,0.62,0.82,1.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa6}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

عمودكل قیمة فى بضربوذلك المئوىالمتجمع التكراري یمكن الحصول جدول التوزیع

السابق فى 100. Frequency

aa7=aa6*100 {10.,28.,36.,62.,82.,100.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa7}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

م إذا ي الفھ المعلومات التي نحصل علیھا من التوزیع التكراري في شكل جدولي تصبح أسھل ف

ا ھا بیانی م عرض ا ٠ت ة م ات الرقمی ل البیان ي تمثی ار ف عة االنتش ة الواس كال البیانی ر األش ن أكث م

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 550 54 52 1455 59 57 1860 64 62 3165 69 67 4170 74 72 50

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 0.150 54 52 0.2855 59 57 0.3660 64 62 0.6265 69 67 0.8270 74 72 1.

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 10.50 54 52 28.55 59 57 36.60 64 62 62.65 69 67 82.70 74 72 100.

١٥٧

ات المتصلة histogramیعرف بالمدرج التكراري ذي یناسب البیان ل .وال ھ بتمثی ونحصل علیاوى تكر ھ یس ة وارتفاع ك الفئ ة لتل دود الفعلی ھ الح تطیل قاعدت ع بمس ات التوزی ن فئ ة م ل فئ ار ك

ي .تكرار الفئة ى المحور األفق ي واآلخر رأسي ونرصد عل ویتم ذلك برسم محورین أحدھما أفقاع یساوى ة مستطیل ارتف ى كل فئ یم عل ع التكراري ونق ات التوزی الحدود الفعلیة لكل فئة من فئ

: المدرج التكراري لمثلنا موضح كما یلى باستخدام البرنامج التالى .لك الفئةتكرار ت<<Graphics`Graphics` x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; b=Max[x] 74 n=Length[x] 50 a=Min[x] 45 r=b-a 29

4.83333 del=Round[d] 5 c1=Table[i,{i,a,b,del}] {45,50,55,60,65,70} c2=c1+del-1 {49,54,59,64,69,74}

{47,52,57,62,67,72} <<Statistics`DataManipulation` RangeCounts[x,c1] {0,5,9,4,13,10,9} ff=Drop[%,1] {5,9,4,13,10,9} aa3=Transpose[{ff,mid}] {{5,47},{9,52},{4,57},{13,62},{10,67},{9,72}} BarChart[aa3,BarSpacing->-.2,PlotLabel->" histogram",AxesLabel->{"limits","frequency"}]

d r6 N

mid c1c2

2

١٥٨

Graphics

ن األفضل وضع التكرار النسبي أو ى المحور الرأسيفي بعض المشاكل یكون م وي عل .المئبي راري النس درج التك مى الم ة یس ذه الحال ي ھ راري ف درج التك relative frequencyالم

histogram وي درج التكراري المئ ، ویكون percentage frequency histogramأو المدرج التكراري ا دة للم لنسبي لھما نفس شكل المدرج التكراري، كما أن مجموع مساحات األعم

.تساوى الواحد الصحیح :ومما یلى نحصل على المدرج التكراري النسبي

aa4=ff/Length[x]//N {0.1,0.18,0.08,0.26,0.2,0.18} aa5=Transpose[{aa4,mid}] {{0.1,47},{0.18,52},{0.08,57},{0.26,62},{0.2,67},{0.18,72}} BarChart[aa5,BarSpacing->-.2]

Graphics

:ویمكن الحصول على المدرج التكرارى المئوى كما یلى aa6=aa4*100 {10.,18.,8.,26.,20.,18.} BarChart[aa6,BarSpacing->-.2] {10.,18.,8.,26.,20.,18.}

47 52 57 62 67 72limits

2

4

6

8

10

12

frequency histogram

47 52 57 62 67 72

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

١٥٩

{10.,18.,8.,26.,20.,18.}

(Graphics)

راري لع التك تخدام المض و اس ا ھ ة بیانی ات الرقمی ل البیان دة لتمثی ة المفی ة الثانی الطریقfrequency polygon درج تنوالذي نحصل علیھ ي الم صنیف األضالع العلویة للمستطیالت ف

البعض اط بعضھا ب ذه النق ھ .التكراري ثم نوصل ھ ذي حصلنا علی ق الخط المنكسر ال ولكي نغلرة ة األخی ة للفئ ة الالحق ز الفئ ى ومرك ة األول ابقة للفئ ة الس ز الفئ ي مرك ى المحور األفق نحدد عل

.ونغلق المضلعر ي واآلخ دھما أفق ورین أح م مح ك برس راري وذل لع التك م المض رى لرس ة أخ اك طریق وھن

ات .رأسي ز الفئ ل المحور الرأسي التكرارات یمثل المحور األفقي مراك ر مركز كل .ویمث نعتبك النقطة داثي الرأسي لتل ة أإلح ذه الفئ ق الخط .فئة إحداثیا أفقیا لنقطة ونعتبر تكرار ھ ولكي نغل

ى ومركز ة األول ابقة للفئ ة الس ز الفئ ي مرك ى المحور األفق ھ نحدد عل المنكسر الذي حصلنا علی .المضلعالفئة الالحقة للفئة األخیرة ونغلق

:)٢٧-٤(فیما یلى برنامج لرسم المضلع التكرارى للبیانات فى مثال aa11={{42,0},{47,5},{52,9},{57,4},{62,13},{67,10},{72,9},{77,0}}; ListPlot[aa11,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphics

:)٢٧-٤(للبیانات فى مثال فیما یلى برنامج لرسم المضلع التكرارى النسبى

1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

45 50 55 60 65 70 75

2

4

6

8

10

12

١٦٠

bb1={{42,0},{47,.1},{52,.18},{57,.08},{62,.26},{67,.2},{72,.18},{77,0}}; ListPlot[bb1,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphics

)٢٧-٤(للبیانات فى مثال مئوىفیما یلى برنامج لرسم المضلع التكرارى ال bb2={{42,0},{47,10},{52,18},{57,8},{62,26},{67,20},{72,18},{77,0}}; ListPlot[bb2,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphicsل ن تمثی ھ یمك ا فإن دد مفرداتھم ي ع ین ف ات مختلفت ن البیان ین م ة فئت ي مقارن ة ف د الرغب عن

ن استخدام التكرارات النسبیة أو . المضلعین التكراریین على نفس الرسم د م ة الب في ھذه الحال .المئویة

45 50 55 60 65 70 75

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

45 50 55 60 65 70 75

5

10

15

20

25

١٦١

ع راري المتجم لع التك مى المض ا یس اك م ة فھن ة المتجمع ات التكراری بة للتوزیع ا بالنس أمcumulative frequency polygon ر ي واآلخ دھما أفق ورین أح م مح ھ برس ل علی ونحص

ع وبتوصیل ة والتكرار المتجم ي للفئ ى الفعل داثیاتھا الحد األعل م إح ى الرس رأسي وكل نقطة عل . النقاط نحصل على المضلع التكراري المتجمع

)٢٧-٤(فیما یلى الرسم للمضلع التكرارى المتجمع للبیانات فى مثال

bb3={{42,0},{47,5},{52,14},{57,18},{62,31},{67,41},{72,50}}; ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphics

ا، وي بیانی ع المئ راري المتجم ع التك بي والتوزی ع النس راري المتجم ع التك ل التوزی ن تمثی یمكرارات تخدام التك ك باس ا، وذل ع بیانی راري المتجم ع التك ا التوزی ا بھ ي مثلن ة الت نفس الطریق ب

٠المتجمعة النسبیة والتكرارات المتجمعة المئویة

)٢٧-٤(النسبى للبیانات فى مثال فیما یلى الرسم للمضلع التكرارى المتجمع aa11={{42,0},{47,.1},{52,.28},{57,.36},{62,.62},{67,.82},{72,1}}; lp2=ListPlot[aa11,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphics

)٢٧-٤(فیما یلى رسم المضلع التكرارى المتجمع المئوى للبیانات فى مثال

45 50 55 60 65 70

10

20

30

40

50

45 50 55 60 65 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

١٦٢

bb3={{42,0},{47,10},{52,28},{57,36},{62,62},{67,82},{72,100}}; ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphics

راري ى التك تخدام المنحن ك باس ا وذل ة بیانی ات التكراری ل التوزیع رى لتمثی ة أخ اك طریق ھن

frequencycurve . ي رة الت وط المنكس د الخط راري وتمھی لع التك م المض ھ برس ل علی ونحصنقط ذه ال ین ھ ل ب ى .تص ر المنحن ترط أن یم یة وال یش رق ریاض د أو بط د بالی ون التمھی د یك وق

إن .بجمیع رؤوس المضلع التكراري دد المشاھدات ف ات وزاد ع ا ضاقت أطوال الفئ ا كلم عموم .التكراري المضلع التكراري یؤول إلى المنحنى

ر عشوائي متصل الي لمتغی ع االحتم دیر التوزی ي تق ى Xعند الرغبة ف د المنحن وم بتمھی نق

بي راري النس كل ٠التك راح ش ي اقت اعدنا ف ى یس كل المنحن fش (x) ل وائي المتص ر العش للمتغیدیر .موضع الدراسة ة على الرغم من أننا تمكنا من الحصول على تق fللدال (x) زال ال ن ا ف بیانی

ة fنجھل الصیغة الریاضیة أو المعادلة الخاصة بالدال (x) دیرات الي ال نستطیع حساب تق وبالتاقوس . لالحتماالت ى شكل الن ى عل ا بمنحن ا بیانی bellكثیر من التوزیعات المتصلة یمكن تمثیلھي ا ف كل لاكم الىش ة ٠ الت ة بالدال ة الخاص یغة أو المعادل fالص (x) ة ة (معروف ة كثاف دالال ین ) االحتم ى معلمت د عل , وتعتم ات . ن البیان ا م دیر لكل منھم ى تق بمجرد الحصول عل

٠یمكن كتابة المعادلة المقدرة ثم استخدام الجداول المناسبة لحساب أي مساحة تحت المنحنى

45 50 55 60 65 70

20

40

60

80

100

x

f(x)

١٦٣

ة ا المجھول دیر معالمھ ا بتق ن اشتقاق معادلتھ رة ویمك مشاكل .عادة تأخذ المنحنیات أشكال كثی .التقدیر صعبة جدا وتنتمي إلى فرع اإلحصاء الریاضي

.المجھولةعادة تأخذ المنحنیات أشكال كثیرة ویمكن اشتقاق معادلتھا بتقدیر معالمھا

ل ھ متماث ع أن ال للتوزی ود symmetricalیق ة عم ا إقام ابق إذا أمكنن كل الس ي الش ا ف ، كم

ام ھما تم ى بعض ان عل مین ینطبق ى قس ع إل ود التوزی ذا العم م ھ ث یقس ي بحی ور األفق ى المح علدم أما التوزیعات .النقطة التي تمكننا من إقامة العمود تسمى نقطة التماثل .االنطباق التي یكون ع

ة ین أو موجب . skewedالتماثل واضحا فتسمى توزیعات ملتوی ى الیم ا إل ع ملتوی ون التوزی یكواء ھ positive skewed االلت ین من ة الیم ى أسرع جھ ي المنحن اقص ف دل التن ان مع إذا ك

ي ا ف ب األیسر كم ن الجان ى أطول م ن المنحن ن م شكل ال جھة الیسار بحیث یكون الجانب األیم :التالى

واء الب االلت ار وس ى الیس ا إل ع ملتوی ون التوزی ا یك دل negative skewed بینم ان مع إذا كى التناقص في المنحنى أسرع جھة الیسار منھ جھة الیمین بحیث یكون الجانب األیسر من المنحن

: أطول من الجانب األیمن كما في الشكل التالى

)٧-٣(شكل

داھما .عند مقارنة المنحنیات وحیدة القمة قد نجدھا تختلف من حیث شكل القمة ة إح فقد تكون قمم األخرى ن بعض القم ي ٠أكثر تدببا أو تفرطحا م ة ف ات مختلف الث منحنی الى ث ي الشكل الت فف

تفلطح ة ال ى، ٠كمی ة Aالمنحن ة المدبب دة leptokurtic، ذو القم ز بش یم تترك ع بق ل توزی یمثط ة الوس ول نقط اني، ٠ midpointح ى الث دل Bالمنحن و المعت ون mesokurtic، وھ یك

دبب ى الم ل حول نقطة الوسط عن المنحن یم تتركز بدرجة أق ٠متوسط التفلطح ویمثل توزیع بقى را المنحن ح Cوأخی نplatykurtic ، المفلط ھ ع نخفض قمت طا وت ون منبس ذي یك ة وال قم ٠وھذا یدل على أن قیمھ تقع حول نقطة الوسط في مدى غیر ضیق ٠المنحنى المعتدل

x

x

f(x)

١٦٤

بیانات وصفیة وبیانات متقطعة ) ٢-٤-٤(

)٢٨-٤(مثال

اء تم یم 100عمالت 10إلق ي xمرة وتسجیل ق ا ف ور الصورة كم ل عدد مرات ظھ ي تمث التوب ل عدد مرات : الجدول التالى، والمطل ذي یمث ع التكراري ال درج التكراري للتوزی إیجاد الم

.ظھور الصورة

:الحــل .بما أن البیانات متقطعة فسوف تستخدم طریقة األعمدة لتمثیل ھذه البیانات

)f(التكرار i عدد الصور

)x( 8 0

12 1 16 2 20 3 15 4 3 5

12 6 4 7 5 8 0 9 5 10

100 وطبعا یمكن استخدام الخیارات .البرنامج التالى یرسم البیانات السابقة بطریقة االعمدة البسیطة

.او للمحاور للرسمالتى تعرفنا علیها فى عمل عنوان <<Graphics`Graphics` ruthruns={{8,0},{12,1},{16,2},{20,3},{15,4},{3,5},{12,6},{4,7},{5,8},{0,9},{5,10}} BarChart[ruthruns];

١٦٥

)٢٩-٤(مثالونریــد وضــعها فــى aa1 اذا كانــت لــدینا البیانــات التالیــة المنفصــلة فــى القائمــة المســماه

ج التـــالى وســـوف مســوف نســـتخدم البرنــا.جــدول تكـــرارى ثــم عرضـــها باســتخدام االعمـــدة البســـیطة االمـــر و Statisticsتحـــت الـــدلیل DataManipulationالحزمـــة نســـتخدم

:Frequencies <<Statistics`DataManipulation` aa1={1,2,2,4,4,4,4,3,3,3,2,4,4,4}; Frequencies[aa1] {{1,1},{3,2},{3,3},{7,4}} Frequencies[aa1]//TableForm

<<Graphics`Graphics` BarChart[Frequencies[aa1],PlotRange->All]

Graphics

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

20

1 13 23 37 4

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

١٦٦

:نتبع التالى Frequencies للحصول على معلومات عن االمر

?Frequencies

Measures of Central Tendencyالمركزیةمقاییس النزعة ) ٥-٤(

في بعض األحیان التمثیل البیاني وحده ال یمد الباحث بكل المعلومات التي یحتاج إلیھا واحد من الطرق لوصف .من فئة المشاھدات تحت الدراسة، فالبیانات البد أن توصف وتحلل

مقاییس ( averages فئة من المشاھدات، سواء عینة أو مجتمع ، ھو استخدام المتوسطاتفي ھذا البند . فالمتوسط ھو القیمة التي تتركز حولھا معظم المشاھدات ) . النزعة المركزیة

. سوف نستعرض أربعة مقاییس للنزعة المركزیة

Arithmetic Mean الوسط الحسابي) ١-٥-٤(

.سط الحسابي من أفضل مقاییس النزعة المركزیة لتمثیل مركز فئة من المشاهدات یعتبر الو 1إذا كانت الفئة من المشاهدات :تعریف 2 Nx ,x ,..., x لیس من الضروري أن تكون ،

، فإن الوسط N، تمثل مشاهدات مجتمع محدود من الحجم كلها مختلفة :الحسابي للمجتمع یمكن حساب من الصیغة التالیة

N

ii 1

x.

N

)٣٠-٤(مثال

11,9,10,12,10,11,7,9,13,10,8. :لمجتمع مشاهداته هي الحسابيأوجد الوسط

: الحــلN

ii 1

x 8 10 13 9 7 11 10 12 10 9 11N 11

110 10.11

باستخدام الحزمة الحل باستخدام البرنامج كالتالى : Statistics تحت الدلیل DescriptiveStatistics

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11,10}; Mean[aa1]

Frequencieslist gives a list of the

distinct elements in list, together with

the frequencies with which they occur.More…

١٦٧

10 1إذا كانت الفئة من المشاهدات :تعریف 2 nx ,x ,..., x لیس من الضروري أن تكون كلها ،

، فإن الوسط الحسابي للعینة یمكن nمختلفة ، تمثل مشاهدات عینة من الحجم :حسابه من الصیغة التالیة

n

ii 1

xx .

n

) ٣١-٤(مثال

8,7,7,6.: أوجد الوسط الحسابي لعینة مشاھداتھا ھي

: الحــل

التالى البرنامج الحل باستخدام : باستخدام الحزمة

: Statistics تحت الدلیل DescriptiveStatistics

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={6,7,7,8}; Mean[aa1] 7

. نفقد الھویة ألي مشاھدة في العینةعند وضع البیانات في توزیع تكراري فإننا لحساب الوسط الحسابي من .المعلومات التي تبقى ھي عدد المشاھدات التي تقع في كل فئة

.توزیع تكراري نفترض أن كل المشاھدات داخل فئة معطاة تقع عند مركز الفئة k21إذا كانت :تعریف x,...,x,x ھي مراكز الفئات لتوزیع تكراري مع تكراراتھا المقابلة

k21 f,...,f,f )حیثk فإن الوسط الحسابي یحسب من الصیغة ) تمثل عدد الفئات :التالیة

.f

xfx k

1ii

k

1iii

n

ii 1

x6 7 7 8x

n 428 7.4

١٦٨

)٣٢ -٤(مثال

: الحــل :فئة المشاھدات التي مثلت الجدول نوجدھا من القانون التالى ) أ(

n(x)P(X x)n N

. عدد مشاھدات المجتمع N(x)و x عندعدد المشاھدات n(x)حیث مع التوزیع التكرارى فى الجدول التالىى معط Xوبالتالى التوزیع االحتمالى للمتغیر

للبیانات المتقطعة والتي تعتبر حالة خاصة من توزیع تكرارى لبیانات متصلة حیث طول الفئة توضیح العالقة بین ومما ھو جدیر بالذكر ان ھذا المثال خیر مثال ل. تساوى واحد صحیح

.المجتمع والتوزیع االحتمالى

if )xX(P ix 25 25.0 1 25 25.0 2 50 5.0 3

الوسط الحسابي ) ب( :الطریقة األولى باستخدام التوزیع االحتمالى

.25.2)5.0(3)25.0(2)25.0(1)x(Px)X(E ii : الطریقة الثانیة باستخدام بیانات المجتمع

.25.2100

)50(3)25(2)25(1n

)x(fx ii

:باستخدام البرنامج كالتالى الحل aa1=1(.25)+2(.25)+3(.5) 2.25

2.25

.االن سوف نشرح كیفیة ایجاد الوسط الحسابى یدویا

) ٣٣-٤(مثال

aa2 N125 225350100

:التالى إذا أعطیت التوزیع االحتمالي المعطى في الجدول

3 2 1 x 5.0 25.0 25.0 )xX(P

100Nأوجد قیم قئة المشاھدات من الحجم ) أ( مثلت ھذا التوزیع التي. بطریقتین أوجد الوسط الحسابي ) ب(

١٦٩

: الحــل

1= وحدة الدقة : مقاییس النزعة المركزیة 101= وحدة الدقة +الحد األدنى للفئة التقریبي –الحد األعلى للفئة التقریبي = طول الفئة

:اآلن نوجد الوسط الحسابي من الجدول التالى

iifx مراكز الفئاتix التكرارif حدود الفئة 7650 450 17 500400

13775 551 25 601501 18908 652 29 702602

753 25 803703 23912 854 28 904804 المجموع 124 83070

:الحسابي یساوي إذا الوسط

i i

i

x f 83070x 669.919.f 124

) ٣٤-٤(مثال

:سوف نستخدم البرنامج التالى الیجاد الوسط الحسابى للعینة ) ٢٧-٤(للمثال

x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; b=Max[x] 74 a=Min[x] 45 r=b-a 29

4.83333 del=Round[d] 5 c1=Table[i,{i,a,b,del}]

18825

d r6 N

الجدول التالى یمثل التوزیع التكراري للضرائب التي تم تحصیلھا من مجموعة من . 1990الموظفین في شركة لتسخین البترول في عام

904804 803703 702602 601501 500400 حدود الفئة التكرار 17 25 29 25 28

المطلوب حساب الوسط الحسابى

١٧٠

{45,50,55,60,65,70} c2=c1+del-1 {49,54,59,64,69,74}

{47,52,57,62,67,72} <<Statistics`DataManipulation` RangeCounts[x,c1] {0,5,9,4,13,10,9} ff=Drop[%,1] {5,9,4,13,10,9} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

n=Length[x] 50 <<Statistics`DescriptiveStatistics`

61.1

: ممیزات الوسط الحسابي وعیوبھ

لوسط الحسابي أنھ مألوف وسھل الفھم كما أنھ معرف ألي فئة من من ممیزات ا أما عیوبھ فھي تأثره .أیضا كل قیمة في فئة المشاھدات تدخل في حسابھ .البیانات وقیمتھ وحیدة

أیضا ال یمكن .بالقیم الشاذة ولذلك ال ینصح باستخدامھ للبیانات التي منحناھا شدید االلتواء وأخیرا ال یمكن حسابھ بالرسم . تقدیره من التوزیعات التكراریة التي تحتوى على فئات مفتوحة

اعمدة بیانیة بسیطة تعتمد على الوسط الحسابى تستخدم هذه االعمدة لبیان المقارنة بین متغیرات منفصلة عن بعضها مثل المقارنات القبلیة

.والبعدیة لنفس الظاهرة تحت الدراسة

)٣٥ -٤( مثال البیانات التالیة تمثل قیمة المبیعات التى قام بها عشرة موظفین قبل وبعد حضور دورة التدریبیة

.وبعدها والمطلوب تمثیلها بیانیا باالعمدة

mid c1c2

2

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 550 54 52 955 59 57 460 64 62 1365 69 67 1070 74 72 9

xbDotmid, ff

n N

١٧١

قیم المبیعات بعد الدوة قیم المبیعات قبل الدورة

200 210 210 220 230 240 300 410 210 220 231 240 600 610 210 220 231 240 312 330

:الحل :هنا سوف نعتمد على متوسطات كل عمود والذى یتم حسابه من البرنامج كما یلى

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312}; aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330}; cc1=Mean[aa1]

cc2=Mean[aa2] 294 <<Graphics`Graphics` BarChart[{cc1,cc2}];

13975

١٧٢

)٣٦-٤( مثال

موظفا من العاملین فى باحدى الشركات وذلك وفق 14تمثل البیانات التالیة المرتب لعینة من . الجنس وایضا وفق المستوى التعلیمى

الموظفمرتب المستوى التعلیمى الجنس رقم الموظف1 1 1 85 2 2 2 90 3 1 2 89 4 1 4 100 5 2 4 120 6 2 4 130 7 1 4 200 8 2 3 210 9 1 3 100 10 2 3 101 11 2 2 90 12 1 4 120 13 1 4 130 14 1 4 140

1 2

50

100

150

200

250

300

١٧٣

اى البیانات التى توضح . بفرض اهتمامنا بالعمود االول والثانى من الیسار من الجدول السابق

سوف نعرض هذه البیانات باستخدام االعمدة . العالقة بین مرتب الموظف ومستواه التعلیمى .البیانیة البسیطة

حسب المستوى تمثل مرتبات الموظفین مرتبة aa1وسوف نحتاج الى عمل برنامج لذلك حیث تمثل مرتبات الموظفین عند {89,90,.90}فعلى سبیل المثال القائمة الداخلیة . التعلیمى

ثم یحسب المتوسط الحسابى لمرتبات الموظفین لكل مستوى ، وهكذا 2المستواهم التعلیمى . fتعلیمى باستخدام الدالة

تحت الدلیل DescriptiveStatisticsوسوف نحتاج الى الحزمة Statistics ویمكن فهم بقیة البرنامج.

aa1={{85.},{90.,89,90},{210.,100,101}, {100.,120,130,200}}; <<Statistics`DescriptiveStatistics` f[x_]:=Mean[x] aa2=Map[f,aa1] {85.,89.6667,137.,137.5} aa3={1,2,3,4}; aa4=Transpose[{aa2,aa3}] {{85.,1},{89.6667,2},{137.,3},{137.5,4}} <<Graphics`Graphics` BarChart[aa4]

Graphics

fإذا كانت الدالة :تعریف (x) لھا القیمif (x فإن الوسط الحسابي او القیمة المتوقعة (

:للدالة تحسب من الصیغة التالیة

1 2 3 4

20

40

60

80

100

120

140

١٧٤

n

ii 1

1 f (x )n

1من القیم nاذا كان لدینا 2 nx ,x ,..., x فان الوسط الحسابى ھو: n

ii 1

1 xn

:سوف نستخدم البرنامج التالى لحساب الوسط الحسابى للعینة) ٣٠-٤(للمثال <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11,10}; Mean[aa1] 10 f[y_]:=y ExpectedValue[f[y],aa1,y] 10

عند حساب الوسط الحسابي یفترض أن كل قیمة لھا نفس األھمیة ، مثل ھذا الفرض قد

ط في الحقیقة، إذا كانت القیم لیس لھا نفس األھمیة یكون من األفضل حساب الوس. یكون خاطئ1فإذا كانت .الحسابي المرجح 2 nx ,x ,..., x تمثل قیم المتغیرX 1، وكانت 1 nw ,w ,...,w

:األوزان المناظرة لھا فإن الوسط الحسابي المرجح یكون

n

i ii 1

nw

ii 1

w xx .

w

قاعدة لتحدید األوزان وتخضع یعاب على الوسط الحسابي المرجح ھو عدم وجود یعتبر الوسط الحسابي حالة خاصة من الوسط الحسابي المرجح إذا كانت .للتقدیر الشخصي .األوزان متساویة

) ٣٧-٤(مثال

د Aقمصان من الشركة 4یشتري شخص ن الشركة 4و $22بسعر الواح Bقمصان مد عر الواح ركة 7و$25بس ن الش ان م د Cقمص عر الواح عر . $30بس ط س د متوس أوج

. القمیص

: الحــل :إلیجاد متوسط سعر القمیص نوجد الوسط الحسابي المرجح الذي یساوي

n

i ii 1

w n

ii 1

w xx

w

1 2 3

1 2 3

x 22,x 25,x 30w 4,w 4,w 7

١٧٥

:اآلن نعوض في القانون الذي یعطي قیمة الوسط الحسابي المرجح

w

22 4 25 4 30 7 398x 26.53.4 4 7 15

:الحسابي المرجح سوف نستخدم البرنامج التالى لحساب الوسط

26.5333

Medianالوسیط) ٢-٥-٤( سوف نرمز لوسیط المجتمع . یعتبر الوسیط ھو المقیاس األفضل بعد الوسط الحسابي ) أو تنازلیا ( الوسیط لفئة من المشاھدات مرتبة تصاعدیا . ~xووسیط العینة بالرمز ~بالرمز

ھو العدد األوسط منھا إذا كان عددھا فردیا وھو الوسط الحسابي للعددین األوسطیین إذا كان . عددھا زوجیا

1إذا كانت :تعریف 2 nx ,x ,..., x فإن ) أو تنازلیا ( تمثل فئة من المشاھدات المرتبة تصاعدیا

nالوسیط لھذه الفئة ھو العدد 1( )2

x إذا كانnفردیا وھو العددn n 2( ) ( )2 2

1[x x ]2 إذا

. زوجیا nكانت

) ٣٨-٤(مثال

. 10,9,8,6,7أوجد الوسیط للمجتمع الذي مشاھداتھ

:الحــلفردیا ولذلك فإن n، ھنا عدد المشاھدات 6,7,8,9,10بترتیب المشاھدات تصاعدیا أي

8الوسیط ھو القیمة الوسطیة أي أن وسیط المجتمع ھو . : البرنامج التالى لحساب وسیط المجتمع

aa1=Sort[{10,9,8,6,7}] {6,7,8,9,10} n=Length[aa1] 5 aa1=If[OddQ[n],aa1[[(n+1)/2]],(aa1[[(n+2)/2]]+aa1[[n/2]])/2] 8

:لحساب وسیط المجتمع برنامج اخر <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={10,9,8,6,7}; Median[aa1] 8

aa1 N224 254307447

١٧٦

) ٣٩-٤(مثال

. 10,9,6,1,2,7أوجد الوسیط للعینة التي مشاھداتھا ھي

:الحــلزوجي ولذلك الوسیط ھو n، عدد المشاھدات 10,9,7,6,2,1بترتیب البیانات تصاعدیا أي

: الوسط الحسابي للقیمتین الوسطیتین أي أن وسیط العینة ھو 6 7 13x 6.50

2 2 .

:البرنامج التالى لحساب وسیط العینة aa1=Sort[{10,9,6,1,2,7}]; n=Length[aa1] 6 aa1=If[OddQ[n],aa1[[(n+1)/2]],(aa1[[(n+2)/2]]+aa1[[n/2]])/2]

N[%] 6.5

:لحساب وسیط العینة برنامج اخر <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa2={10,9,6,1,2,7}; Median[aa2]

N[%] 6.5

: ممیزات الوسیط وعیوبھ

كما یمكن استخدامھ في .من ممیزات الوسیط أنھ سھل الفھم وال یتأثر بالقیم الشاذة ومن عیوب الوسیط أن كل المشاھدات ال تدخل في .التوزیعات التي تحتوى على فئات مفتوحة

، artificialكما أنھ مثل الوسط الحسابي ، في بعض األحیان ، یكون قیمة صناعیة . حسابھ .بمعنى عدم وجود قیمة في فئة المشاھدات ، في الحقیقة ، تمثل الوسیط

medianألي توزیع تكراري فإن الفئة التي تحتوى على الوسیـط تسمى الفئة الوسیطة : تعریفclass .

: ویمكن حساب الوسیط من الصیغة التالیة

m

n F2x L .

f

: حیث L ، الحد األدنى الفعلي لفئة الوسیط F ، التكرار المتجمع السابق لفئة الوسیط ، طول فئة الوسیط mf . تكرار فئة الوسیط

13

2

13

2

١٧٧

على یمكن إیجاد الوسیط بالرسم من المضلع التكراري المتجمع ویتم تحدید موقع الوسیطالوسیط على المضلع التكراري المتجمع وعند المحور الرأسي ثم نسقط عمود من نقطة موقع

.التقائھ بالمضلع نسقط عمود على المحور األفقي فتكون ھي قیمة الوسیط

) ٤٠-٤(مثال

.اوجد الوسیط ) ٣٣-٤(للمثال

: الحــل

.سوف یتم حل المثال یدویا لمعرفة طریقة الحل 1= وحدة الدقة 101= وحدة الدقة +الحد األدنى للفئة التقریبي –الحد األعلى للفئة التقریبي = طول الفئة

: الوسیط ھو

m

n F2x L .

f

التكرار المتجمع السابق لفئة الوسیط = Fالحد األدنى الفعلي لفئة الوسیط ، = Lحیث = ، طول فئة الوسیطmf = تكرار فئة الوسیط.

نحسب فئة الوسیط والتي تساوي 62نحسب أوال التكرار المتجمع وثانیا2

1242n حیث ،

n الىیساوي مجموع التكرارات وذلك كما ھو موضح في الجدول الت :

:فئة الوسیط ھي الفئة الثالثة

:اآلن نعوض في القانون 62 42x 601.5 101 601.5 69.655 671.155.

29

.

الحدود العلیا التكرار المتجمع للفئات

الحدود الفعلیة ifالتكرار للفئة

5.5005.399 17 5.500أقل من 17 5.6015.500 25 5.601أقل من 42 5.7025.601 29 5.702أقل من 71 5.8035.702 25 5.803أقل من 96

5.9045.803 28 5.904أقل من 124 المجموع 124

١٧٨

) ٤١ -٤(مثال

.الوسیط ومثلھ بیانیااوجد ) ٢٧-٤(للمثال : الحــل

انات فى جدول تكرارى اي من یالبرنامج التالى الیجاد الوسیط حسابیا ودون الحاجة لوضع الب البیانات االصلیة ورسم المضلع التكرارى المتجمع وایجاد الوسیط منھ وذلك بتحمیل الحزمة

Statistics`DescriptiveStatistics

:وذلك بكتابة االمر التالى Statisticsمن الدلیل <<Statistics`DescriptiveStatistics`

x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70};

:الوسیط فیما یلى Median[x] 63

:مضلع التكرارى المتجمع لالخطوات التالیة للحصول على ا

x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; b=Max[x] 74 n=Length[x] 50 a=Min[x] 45 r=b-a 29

4.83333 del=Round[d] 5 c1=Table[i,{i,a,b,del}] {45,50,55,60,65,70} c2=c1+del-1 {49,54,59,64,69,74}

{47,52,57,62,67,72} <<Statistics`DataManipulation`

d r6 N

mid c1c2

2

١٧٩

RangeCounts[x,c1] {0,5,9,4,13,10,9} ff=Drop[%,1] {5,9,4,13,10,9} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

aa5=CumulativeSums[ff] {5,14,18,31,41,50} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa5}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

bb3={{42,0},{47,5},{52,14},{57,18},{62,31},{67,41},{72,50}}; ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}]

Graphics

:یمكن ایجاد الوسیط من الرسم السابق كالتالى لعمل الخطوط Paintحیث یاخذ الرسم الى الفرشة 25.5=50/2بما ان ترتیب الوسیط هو

:الظاهرة على الرسم

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 550 54 52 955 59 57 460 64 62 1365 69 67 1070 74 72 9

Lower Upper Midpoint Frequency45 49 47 550 54 52 1455 59 57 1860 64 62 3165 69 67 4170 74 72 50

45 50 55 60 65 70

10

20

30

40

50

١٨٠

بیانیا 60اى ان الوسیط تقریبا یساوى

Modeالمنوال) ٣-٥-٤(

في بعض . یعرف المنوال بأنھ القیمة األكثر شیوعا أو التي تتكرر أكثر من غیرھا

األحیان ال یوجد منوال لفئة من المشاھدات حیث ال تتكرر القیم أكثر من مرة ، وإذا وجد قد ال . یكون وحیدا

) ٤٢-٤(مثال

3,5,5,5,5,5,5,5,7,7,9أوجد المنوال للمشاھدات

: الحــل . 5التوزیع أحادي المنوال وقیمة المنوال تساوي

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={3,5,5,5,5,5,7,7,9}; Mode[aa1] 5

) ٤٣-٤(مثال

.2,4,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9أوجد المنوال للمشاھدات

: الحــل . 6,7التوزیع في ھذه الحالة یكون ثنائي المنوال حیث المنوال ھو

<<Statistics`DescriptiveStatistics`

١٨١

aa2={2,4,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9}; Mode[aa2] {6,7}

البیانات ال للفئات الصغیرة من . یعتبر المنوال أقل مقاییس النزعة المركزیة استخداما ومن ممیزاتھ أنھ ال یحتاج . یكون لھ فائدة ، فقط یكون لھ معنى إذا كان حجم البیانات كبیرا

.إلى عملیات حسابیة، كما یمكن استخدامھ للبیانات الوصفیة

. مركز الفئة التي یقابلھا أعلى تكراربانھ المنوال للبیانات التكراریة یعرف

62 مركز الفئةذلك عند و 13اعلى تكرار ھو ) ٤١- ٤(ثال في التوزیع المعطى فى م . 62، أي أن المنوال یساوي

نصل الرأس األیمن العلوي حیث ویمكن حساب المنوال بالرسم من المدرج التكراري

أیضا نصل الرأس ،للمستطیـل الذي یمثـل أكبر تكرار بالرأس األیمن للمستطیل السابق لھاألیسر العلوي ألطول مستطیل بالرأس األیسر العلوي للمستطیل التالي لھ فیتقاطع المستقیمان

. منوالفي نقطة، نسقط عمود من ھذه النقطة على المحور األفقي فیكون ھو ال

) ٤٤-٤(مثال ) :٤١-٤(للمثال وبیانیا ابیااوجد المنوال حس

: الحــل

:یمكن ایجاد المنوال مباشرة من البیانات االصلیة من البرنامج التالى <<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; Mode[x] 54

وقد تم ایجاد المدرج التكرارى لھ وفیما یلى نسخة منھ بعد ارسالھا الى الفرشاة

١٨٢

fالبیانات التكراریة فإن المنوال لدالة كثافة االحتمالفي حالة (x) ھو قیمةx التي عندھا یأخذوعلى ذلك یمكن اعتبار مركز الفئة التي یقابلھا أعلى تكرار ھو تقدیر . المنحنى أعلى قیمة

.للمنوال The geometric Meanالوسط الھندسي ) ٤-٥-٤(

في الحقیقة ، فإن الوسط الهندسي له استخدامات خاصة في المشاكل االقتصادیة وفي

.المجال السكانيn21إذا كان لدینا الفئة من المشاھدات :تعریف x,...,x,x فإن الوسط الھندسي یمكن حسابھ ،

:الصیغة التالیة من n

1 2 nG x x ... x .

2nولتسهیل حساب الوسط الهندسي تستخدم الصیغة التالیة إذا كان : n

ii 1

log xLogG .

n

) ٤٥-٤(مثال

و ا ھ عب م خم لش دل التض ان مع ى و %3إذا ك نة األول ي الس ة و %4ف نة الثانی ي الس %8ف . للسنة الثالثة أوجد الوسط الھندسي لمعدالت التضخم

: الحــل : لحساب الوسط الھندسي نستخدم القانون التالي

n

ii 1

log x 1LogG G log3 log 4 log8n 3

1 1 0.4771 0.6020 0.9030 1.9821 0.6607.3 3

Gوالتي تساوي الوسط الھندسي Gاآلن نحسب قیمة 4.5782 . :التالى یمكن حساب الوسط الهندسى االمرمن

4.57886

:لحساب الوسط الھندسى باالعتماد على االمر التالى ایضا البرنامج :واستخدام القانون ExpectedValue

n

ii 1

log xLogG .

n

:للحصول على الوسط الھندسى Exp ثم استخدام الدالة <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={3,4,8}

N3483

١٨٣

f[y_]:=Log[y] aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]

aa3=Exp[aa2]//N 4.57886

یمكن حسابھ كما أن الوسط الھندسي ال . دائما یكون الوسط الھندسي أصغر من الوسط الحسابيیمكن حساب الوسط الھندسي من جداول .إذا كانت إحدى القیم مساویة للصفر أو رقم سالب

.تكراریة من التعریف التالي1إذا كانت :تعریف 2 kx ,x ,..., x تمثل مراكز الفئات لتوزیع تكراري مع تكراراتھا المقابلة

1 2 kf , f ,..., f )حیثk یحسب من G فإن الوسط الھندسي) تمثل عدد الفئات :الصیغة التالیة

1 2 nf f fn

1 2 nG x x ... x . :او من القانون

k

i ii 1

k

ii 1

f log xLogG .

f

) ٤٦-٤( مثال ة ا البیانات في الجدول التالى تمثل التوزیع التكراري ألطوال عین وع م ن ن ات م ن خمسین نب م

٠والمطلوب إیجاد الوسط الھندسى

:الحــل -:من الجدول التالى فإن

k

i ii 1

k

ii 1

f log x 55.1799LogG 1.103598.50f

Gوعلى ذلك فإن الوسط الهندسي هو 12 69399. .٠ f xi ilog log xi مركز الفئةxi

حدود الفئة fiالتكرار

5.0706 0.8451 7 6 6-8 10.0000 1.0000 10 10 9-11 16.7085 1.1139 13 15 12-14 14.4492 1.2041 16 12 15-17 8.9516 1.2788 19 7 18-20

المجموع 50 55.1799

1

3Log3 Log4 Log8

١٨٤

:یحسب من الصیغة التالیة G حیث الوسط الھندسيسوف يتم حل هذا المثال بالبرنامج التالى

1 2 nf f fn

1 2 nG x x ... x .

: m={6,10,15,12,7}; d=Apply[Plus,m] 50 xx={7,10,13,16,19}; bb1=xx^m; bb=Apply[Times,bb1];

12.6943

,Decilesuartiles, Percentilesالربیعات والمئینات والعشیرات ) ٦-٤(

ي ة الت إن القیم اعدیا ف ا تص ب قیمھ اھدات حس ن المش ة م ا فئ ابقا، إذا رتبن ا س ا ذكرن كمدد ھي الوسیط ي الع ى قسمین متساویین ف ات إل م البیان یم ٠تكون في المنتصف والتي تقس وبتعم

ب المشاھدات تصاعدیا ( الفكرة وتقسیم البیانات إلى أربعة أجزاء متساویة د ترتی إن نق) بع اط فع األول 1Qحیث 3Q،2Q ،1Qالتقسیم یرمز لھا بالرموز ع ( first quartileیسمى الربی الربی

ى اني 2Qو ) lower quartileاألدن ع الث و) نفسھ الوسیط( second quartile یسمى الربی3Q ى ( third quartile یسمى الربیع الثالث ع األعل و upper quartile الربی الربیع األول ھ ف

ة ات 1Qالقیم اع البیان ة أرب ا ثالث ات ویلیھ ع البیان بقھا رب ي یس اني ٠الت ع الث ا (والربی و أیض وھات 2Qھو القیمة) وسیطال ا نصف البیان ات ویلیھ ع ٠التي یسبقھا نصف البیان ة الربی ي النھای وف

ات 3Qالثالث وھو القیمة ة ٠التي یسبقھا ثالثة أرباع البیانات ویلیھا ربع البیان د استخدام فئ عنو ع األول ھ ع الربی ا أوال فموق ین موقعھ ابھا بتع تم حس ة ی ات الثالث إن الربیع اھدات ف ن المش م

n 24 والربیع الثاني موقعھ ھوn 1

2 3ھ ھو والربیع الثالث موقعn 2

4 ٠

) ٤٧-٤( مثال

و ع األول ھ ع الربی الى موق كل الت ي الش اھدات ف 12للمش 2 3.54 ي ھ فھ ا قیمت إم

ة أي ة والرابع ة الثالث 1متوسط القیم

5 7Q 62 ا ٠ ث ھم اني والثال ع الث ع الربی أیضا موق

c Nbbd

١٨٥

12على التوالي 1 6.52 ،36 2 9.5

4 ى ث عل اني والثال ع الث ة الربی وعلى ذلك فإن قیم

2التوالي ھما

11 13Q 122 ،3

17 19Q 182 ٠

19 20 22 13 16 17 7 10 11 1 4 5

قائمة المدخالت : aa1 التالى الیجاد الربیعات حیث البرنامج

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={1,4,5,7,10,11,13,16,17,19,20,22}; Median[aa1] 12

:المخرج لالمر التالى هو الربیعات bb2=Quartiles[aa1] {6,12,18}

.الربیع الثانى العنصر الثانى فى قائمة المخرجات ھو الوسیط وفى الوقت نفسة

:عند استخدام التوزیعات التكراریة فإن قیمة الربیع األول والثالث تحسب من المعادلتین

1

1Q

n F4Q L .f

،3

3Q

3n F4Q Lf

:حیث L ، الحد األدنى الفعلي لفئة الربیع F التكرار المتجمع السابق لفئة الربیع ، طول فئة الربیع Qf ٠تكرار فئة الربیع ة نفس الطریق ویمكن الحصول على الربیع األول والثالث بیانیا من المضلع التكراري المتجمع ب

استخدام موقع الربیع بدال من موقع التي استخدمت في حساب الوسیط بیانیا مع

ن المشاھدات ة م م فئ ي تقس یم الت ا تصاعدیا(أیضا یمكن إیجاد الق د ترتیبھ ى عشرة أقسام ) بع إلالرموز یم ب نقط التقس ز ل 921ونرم D,...,D,D ث ي 1Dحی ة الت ل القیم و یمث یر األول وھ العش

بقھا یس10ا 1 ات ویلیھ ن البیان م

10ات و 9 ن البیان ي 2Dم ة الت ل القیم و یمث اني وھ یر الث العش

یسبقھا 10من البیانات ویلیھا 2

10ذا للعشیرات األخرى 8 ات وھك ن ٠من البیان نفس الشكل یمك ب

یم اد الق اھدات إیج ن المش ة م م فئ ي تقس اعدیا(الت ا تص د ترتیبھ نقط ) بع ز ل م ونرم ة قس ى مائ إلالرموز یم ب 9921التقس P,...,P,P ث بقھا 1Pحی ي یس ة الت ل القیم و یمث ین األول ھ المئ

100ن 1 م

١٨٦

ا ات ویلیھ البیان100ات و 99 ن البیان بقھا 2Pم ي یس ة الت ل القیم و یمث اني وھ ین الث المئ

100ن 2 م

البیانات ویلیھا 100ات 98 اقي المئین ذا لب ات وھك ن البیان ن ٠م ة یمك ات التكراری ة التوزیع ي حال ف

ع استبدال حساب العشیرات و المئینات بنفس طریقة حساب ال وسیط م2n ـ ب

10n للعشیر األول

و10

n2 یرات اقي العش ذا لب اني وھك یر الث تبدال ٠للعش ا اس أیض2n ـ ب

100n ین األول و للمئ

100n2

٠للمئین الثاني وھكذا الباقي المئینات

:للمثال السابق یمكن ایجاد العشیرات والمئینات كالتالى <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={1,4,5,7,10,11,13,16,17,19,20,22}; Median[aa1] 12

:المخرج لالمر التالى هو الربیعات bb2=Quartiles[aa1] {6,12,18}

:المخرج لالمر التالى هو الوسیط وفى الوقت نفسة المئین الخمسین وایضا العشیر الخامس

InterpolatedQuantile[aa1,.5] 12.

:المخرج لالمر التالى ھو الربیع الثالث InterpolatedQuantile[aa1,.75] 18.

: االولالمخرج لالمر التالى ھو الربیع InterpolatedQuantile[aa1,.25]

Measures of Dispersionمقاییس التشتـت ) ٧-٤(

افي ي إلعطاء وصف ك د السابق ال تكف ي البن ي تمت مناقشتھا ف ة الت مقاییس النزعة المركزی

ط . لتوزیع فئة من المشاھدات فال توضح طبیعتھا وال كیفیة توزیع مشاھداتھا اد فق ا أن االعتم كمن ة، فم ة المقارن ار حقیق على أي مقیاس للنزعة المركزیة لمقارنة عدة مجموعات ال یكفي إلظھالممكن أن یكون لعدة مجموعات من البیانات نفس الوسط الحسابي والوسیط ولكنھم یختلفوا عن

تالف ام االخ ھم تم ض . بعض ن بع ھا م ة بعض ات متقارب دى المجموع اھدات إح ون مش د تك فق ) . متشتتة (أو مبعثرة ) متمركزة حول متوسطھا (

.أھمیةفي الجزء التالي سوف نقدم بعض مقاییس التشتت األكثر المدى ونصف المدى الربیعي ) ١-٧-٤(

The range and semi interquartile range

١٨٧

یعتبر المدى مقیاس للتشتت من السھل جدا حسابھ ویعطى فكرة سریعة جدا عن طبیعة ولكن من عیوبھ ٠البیانات ویستخدم كثیرا في مراقبة الجودة وكذلك في وصف األحوال الجویة

لقیم الشاذة ویعطى معلومات خاطئة عن االنتشار الحقیقي لمعظم البیانات كما أنھ ال أنھ یتأثر با ٠یستخدم جمیع البیانات في حسابھ

ة ة التالی ا الطریق عند استخدام التوزیعات التكراریة فإن المدى یحسب بعدة طرق سوف نذكر منھ:

.للفئة األولى الحد األدنى الفعلي-الحد األعلى الفعلي للفئة األخیرة= المدى ٠ھناك مقاییس أخرى للتشتت یمكن استخدامھا بدال من المدى في حالة وجود قیم شاذة

تعتمد ھذه المقاییس على إھمال جزء من البیانات عند طرفي التوزیع حتى نتخلص من القیم منھا 10% من المشاھدات وأصغر 10%فمثال بحذف أعلى ٠الشاذة وتسمى شبیھات المدى

1090نحصل على المدى المئیني أي PP . منھا نحصل على المدى الربیعي أي 25%من البیانات وأصغر25%أیضا بحذف أعلى

13 QQ الربیعي وھو نصف المدى الربیعي وأخیرا ھناك مقیاس آخر یستنتج من المدى ٠ونحصل علیھ بقسمة المدى الربیعي على semi interquartile range)االنحراف الربیعي ( - :فإن MRفإذا رمزنا لھ بالرمز 2

.

2QQ

MR 13

)٤٨-٤(مثال

ي ابیع ھ دى األس ام إح الل أی دن خ دى الم ي إح ة ف رارة المئوی ة الح ت درج : إذا كان9,15,18,12,13,9,22 : أحسب ما یلي

.الوسیط والوسط الحسابي والمنوال) ا ( .المدى الربیعى ونصف المدى الربیعي والمدى) ب (

:الحــل الوسیط ) أ(

22,18,15,13,12,9,9بالترتیب تصاعدیا الوسیط ھو العدد الذي یقع في المنتصف 7وبما أن العدد فردي 13إذا

:الوسط الحسابي 14

798

7229131218159

: المنوال 9ھو القیمة األكثر شیوعا )ب(

3المدى الربیعى 1Q Q :موقع الربیع الثالث یحدد من الصیغة التالیة

,75.54

2n3

وعلى ذلك یكون قیمة الربیع الثالث ھو الوسط 6والمشاھدة رقم 5أي یقع بین المشاھدة رقم :أي 6والمشاھدة رقم 5الحسابي للمشاھدة رقم

١٨٨

.5.162

1815Q3

:موقع الربیع األول یحدد من الصیغة التالیة .25.2

42n

وعلى ذلك یكون قیمة الربیع االول ھو الوسط 3والمشاھدة رقم 2أي یقع بین المشاھدة رقم :أي 3والمشاھدة رقم 2الحسابي للمشاھدة رقم

3المدى الربیعى 1Q Q MR 16.5 10.5 6.

االنحراف الربیعي 2

QQMR 13

.32

5.105.162

QQMR 13

:أصغر قیمة –أكبر قیمة : المدى13922

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={22,9,13,12,18,15,9}; Median[aa1] 13 Mode[aa1] 9 Mean[aa1] 14 bb2=Quartiles[aa1]

c1=bb2[[3]]-bb2[[1]]//N 7.5 (Last[bb2]-First[bb2])/2

N[%] 3.75

.یدویا وذلك لعملیة التقریب ةیالحظ اختالف بسیط فى النتیجة االخیرة عن المحسوبالیجاد InterquartileRange ویمكن الحصول على نفس النتائج باستخدام االمر

.المدى الربیعى ثم قسمته على اثنین الیجاد نصف المدى الربیعى <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; c1=InterquartileRange[aa1]//N 7.5 b1=%/2 3.75

:التالى االمرالمدى یحسب من

394, 13,

69

4

15

4

١٨٩

SampleRange[aa1] 13

:كما یمكن حسابة كما یلى aa3=Max[aa1] 22 aa4= Min[aa1] 9 m=aa3-aa4 13

BoxPlotرسم الصندوق . یقوم شكل الصندوق اساسا على مفهوم المئینات ویستخدم كاداة لتمثیل عملیة توزیع البیانات

یعرض شكل الصندوق ثالث ربیعات ، الربیع االول والربیع الثانى او الوسیط والربیع الثالث اما طول الصندوق فهو عبارة عن .،حیث یمثل الربیع االول والربیع الثالث حافة الصندوق

وهو المدى الربیعى ) اعلى الصندوق(والربیع الثالث ) اسفل الصندوق(مسافة بین الربیع االول الوهناك خط اوسط داخل الصندوق یمثل الوسیط او الربیع الثانى ، فاذاوقع خط الوسط فى .

منتصف الصندوق فان التوزیع یعتبر توزیعا متماثال غیر ملتو ، اما اذا كان اقرب الى قاعدة واذا كان خط الوسط اقرب الى قمة المستطیل فان . طیل فان توزیع القیم ملتویا التواء موجباالمست

اذا كانت تبعد عن قمة او قاعدة Extremeوتعتبر القیم متطرفة. توزیع القیم ملتویا التواء سالبا ا اما القیم الشاذة والتى یرمز له. المستطیل مسافة تزید عن ثالث اضعاف طول المستطیل

فهى تمثل المشاهدة او المشاهدات التى تبعد قیمتها عن قمة او قاعدة المستطیل outliesبالرمز . مسافة بین مرة ونصف وثالث اضعاف طول المستطیل

)٤٩-٤( مثال

1998موظفا فى احدى الشركات فى سنة 24االرقام التالیة تمثل حجم مبیعات 71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,72,68,66,70,35

1999موظفا فى نفس الشركة فى سنة 23تمثل حجم مبیعات ومجموعة اخرى

75,64,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,85,71,72,68,88,188

١٩٠

.والمطلوب تمثیل تلك البیانات باستخدام رسم الصندوق :الحل

. سوف نستخدم البرنامج الجاھز التالى للحصول على المطلوب

وبنفس اسم المثال تابع للفصل الرابع وسوف نلحق ھذا البرنامج كمرفقات مع الكتاب :اوال یتم تنفیذ البرنامج التالى . بحیث ال یعاد كتابتھ مرة اخرى

Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Statistics`DescriptiveStatistics` Horizontal Box and Whiskers boxandwhiskers[list_,i_]:=Module[{data,min,max,iqr,lif,uif,lof,uof,n,lav,uav,lov,uov}, data=Sort[list]; min=Min[data]; max=Max[data]; med=Median[data]; quarts=N[Quartiles[data]];

iqr=quarts3-quarts1;

lif=quarts1-1.5 iqr;

uif=quarts3+1.5 iqr;

lof=quarts1-3 iqr;

uof=quarts3+3 iqr;

outliers=Select[data,#1<lif&&#1lof||#1>uif&&#1uof&];

١٩١

outliers=Point/@({#1,i}&)/@outliers; extremeoutliers=Select[data,#1<lof||#1>uof&]; extremeoutliers=Thread[Circle[({#1,i}&)/@extremeoutl

iers,0.1]];box=Graphics[{Line[{{quarts1,i-

0.2},{quarts1,i+0.2},{quarts3,i+0.2},{quarts3,i-

0.2},{quarts1,i-

0.2}}],Line[{{lif,i},{quarts1,i}}],Line[{{quarts3,i},

{uif,i}}],extremeoutliers,Thickness[0.01],Line[{{quarts2

,i-

0.2},{quarts2,i+0.2}}],PointSize[0.01],outliers}];Show[

box,FrameTrue,FrameTicks{Automatic,None},DisplayFunctionIdentity]]

boxplotLists[lists_,options___]:=If[ListQ[lists1],graph

١٩٢

s=Table[boxandwhiskers[listsi,i-

1],{i,1,Length[lists]}];Show[graphs,options,DisplayFunction$DisplayFunction],graph=boxandwhiskers[lists,0];Show[graph,options,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{All,{-3,3}}]] boxplotArray[dataset_,columns_,options___]:= Module[{data}, data=ToExpression[Table[Column[dataset,columns[[j]]],{j,1,Length[columns]}]]; data=Map[DropNonNumeric,data]; boxplotLists[data,options]] Vertical Box and Whiskers boxandwhiskersv[list_,i_]:=Module[{data,min,max,iqr,lif,uif,lof,uof,n,lav,uav,lov,uov}, data=Sort[list]; min=Min[data]; max=Max[data]; med=Median[data]; quarts=N[Quartiles[data]];

iqr=quarts3-quarts1;

lif=quarts1-1.5 iqr;

uif=quarts3+1.5 iqr;

lof=quarts1-3 iqr;

١٩٣

uof=quarts3+3 iqr;

outliers=Select[data,#1<lif&&#1lof||#1>uif&&#1uof&];outliers=Point/@({i,#1}&)/@outliers; extremeoutliers=Select[data,#1<lof||#1>uof&]; extremeoutliers=Thread[Circle[({i,#1}&)/@extremeoutliers,0.1]];box=Graphics[{Line[{{i-

.2,quarts1},{i+.2,quarts1},{i+.2,quarts3},{i-

.2,quarts3},{i-

.2,quarts1}}],Line[{{i,lif},{i,quarts1}}],Line[{{i,qu

arts3},{i,uif}}],Thickness[0.01],Line[{{i-

.2,quarts2},{i+.2,quarts2}}],PointSize[0.01],outliers

}];Show[box,FrameTrue,FrameTicks{None,Automatic},DisplayFunctionIdentity]]

boxplotListsV[lists_,options___]:=If[ListQ[lists1],grap

١٩٤

hs=Table[boxandwhiskersv[listsi,i-

1],{i,1,Length[lists]}];Show[graphs,options,DisplayFunction$DisplayFunction],graph=boxandwhiskersv[lists,0];Show[graph,options,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{-3,3},Automatic}]] boxplotArrayV[dataset_,columns_,options___]:= Module[{data}, data=ToExpression[Table[Column[dataset,columns[[j]]],{j,1,Length[columns]}]]; data=Map[DropNonNumeric,data]; boxplotListsV[data,options]] <<Statistics`DataManipulation`

:یتم ادخال البیانات كالتالى وسوف نسمى المجموعة االولى من البیانات اسم

Column4 والمجموعة الثانیة column2 column2={71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,72,68,66,70,35}; column4={75,64,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,85,71,72,68,88,188}; bp1=boxplotLists[column2,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; bp2=boxplotLists[column4,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; bp3=boxplotListsV[column2,PlotLabel->"Year 1998",PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; bp4=boxplotListsV[column4,PlotLabel->"Year 1999",PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{bp1,bp2},{bp3,bp4}}]]

GraphicsArray

60708090

Year 1998

5060708090100

Year 1999

40 50 60 70 80 90 40 60 80100120140160180

١٩٥

الرسم فى الصف االول على الیسار یمثل بیانات المجموعة لسنة 1998

وهى خارجةویتضح من الرسم وجود قیمة 35 والموضحة بالخط الراسى . على الیسار

الرسم فى الصف االول على الیمین یمثل بیانات المجموعة لسنة 1999 وهى خارجةویتضح من الرسم وجود قیمة 188 والموضحة بالخط الراسى

.ولم یوضح البرنامج ان كانت شاذة ام متطرفة على الیمین الرسم فى الصف الثانى على الیمین یمثل بیانات المجموعة لسنة 1999. الرسم فى الصف الثانى على الیسار یمثل بیانات المجموعة لسنة 1998.

كما ان وقد تم عرض الرسم بشكل اخر عن الصف االول كما یتضح من الرسم القیم المتطرفة او الشاذة ال تظهر فى الرسم فى الصف الثانى وهذا یعنى ان المستخدم اذا كان

.فى الصف االول یرید معرفة القیم الخارجة یلتزم بالرسوم التى

.فى البرنامج التالى سوف یضم المجموعتین الى مجموعة واحدة وبشكلین مختلفین

both=Join[column2,column4]; bothbp=boxplotLists[both,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; bothbpv=boxplotListsV[both,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{bothbp,bothbpv}]]

GraphicsArray

موظفا فى احدى الشركات فى سنة 23تمثل حجم مبیعات مجموعة اخرى وبفرض ان ھنال:وبیاناتھا ھى 2000

50 75 100 125 150 17540

50

60

70

80

90

١٩٦

61,90,65,88,75,75,67,57,73,98,66,71,65,64,69,88,67,35,81,72,68,66,70

:طریقتین بم عرض الثالث مجموعات فى نفس الوقت تواالن سوف ی column6={61,90,65,88,75,75,67,57,73,98,66,71,65,64,69,88,67,35,81,72,68,66,70}

percents={column2,column4,column6}; percentsbp=boxplotLists[percents,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; percentsbpv=boxplotListsV[percents,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{percentsbp,percentsbpv}]]

GraphicsArray

)٥٠-٤( مثال

ویشرصندوق ما یسمى) ٢٧-٤(والخاصة بمثال المطلوب تمثیل البیانات التالیة باستخدام : BoxWhisker

60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70

الحل : Statistics StatisticsPlots فى الدلیل وسوف نستخدم الحزمة

.x االعمدة وذلك للبیانات تحت المسمى تلك وذلك للحصول على <<Statistics`StatisticsPlots`

50 75 100 125 150 175

5060

7080

90100

١٩٧

x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; BoxWhiskerPlot[x]

Graphics

)٥١-٤( مثال

:صندوق ویشر المطلوب عرض المجامیع التالیة من البیانات معا باستخدامعة االولى والمجم 12,14,16,18,30,50

13,16,18,20,60,56 المجموعة الثانیة الثالثةالمجموعة 20,22,30,40,90,40

:الحل Statistics StatisticsPlots فى الدلیل سوف نستخدم الحزمة

المطلوب وذلك للحصول على : <<Statistics`StatisticsPlots` bb1={12,14,16,18,30,50}; bb2={13,16,18,20,60,56}; bb3={20,22,30,40,90,40}; bb4=Transpose[{bb1,bb2,bb3}]; BoxWhiskerPlot[bb4]

45

50

55

60

65

70

١٩٨

Graphics

)٥٢ -٤( مثال تمثل قیمة المبیعات التى قام بها عشرة موظفین قبل والتى ) ٣٥- ٤(الخاصة بمثال البیانات

.وبعد حضور دورة التدریبیة وبعدها والمطلوب تمثیلها بیانیا باالعمدة :الحل

Statistics StatisticsPlots فى الدلیل سوف نستخدم الحزمة

المطلوب وذلك للحصول على : <<Statistics`StatisticsPlots` aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312}; aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}]; BoxWhiskerPlot[aa3]

1 2 3

20

40

60

80

١٩٩

Graphics

)٥٣ -٤( مثال

الخاصة بالمثال السابق وبشكل اخر لرسم الصندوق مع مجموعة اخرى یمكن عرض البیانات : من البیانات التالیة

:الحل

Statistics StatisticsPlots فى الدلیل سوف نستخدم الحزمة

المطلوب وذلك للحصول على : <<Statistics`StatisticsPlots` aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312}; aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}]; aa4={200,240,400,500,330,600}; BoxWhiskerPlot[ aa3,aa4, BoxOrientation -> Horizontal, BoxLabels -> {"a", "b"}, BoxExtraSpacing -> {0, 0.5}, BoxStyle -> {Hue[0], Hue[0.5]}, BoxMedianStyle -> Dashing[{0.05}]

1 2

200

300

400

500

600

٢٠٠

] Graphics

)٥٤-٤( مثال

.متطرفة او الشاذة لاعرض البیانات ا )٥٠- ٤(الخاصة بالمثال بیانات لل

الحل : Statistics StatisticsPlots فى الدلیل وسوف نستخدم الحزمة

مع عمل برنامج لتوضیح البیانات الشاذة والتى یرمز لها بالرمز نجمة او المتطرفة والتى یرمز x وذلك للبیانات تحت المسمى رسم الصندوقوذلك للحصول على لها بالرمز مربع

x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; BoxWhiskerPlot[Join[x, {100,150,200, 2.5, 3.,9}], BoxQuantile -> 0.4, BoxOutliers -> All, BoxOutlierShapes -> {PlotSymbol[Star], PlotSymbol[Box]} ]

200 300 400 500 600

a

b

a

٢٠١

Graphics

The average Deviationاالنحراف المتوسط) ٢-٧-٤(

ل |x|تمث i أو|xx| i ابي ط الحس ن الوس ة ع راف أي قیم ة النح ة المطلق القیم ٠للمجتمع أو العینة على التوالى

n21إذا كانت لدینا الفئة من المشاھدات :تعریف x,...,x,x إن االنحراف المتوسط ن ، ف یمك -:حسابھ من الصیغة التالیة

.n

|xx|D.M

n

1ii

) ٥٥-٤(مثال

ن وائیة م ة عش ي عین الل 20ف ب خ ل طال اب لك ام الغی دد أی جیل ع م تس ا ت ة م ي كلی ب ف طال 1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1: الفصل الدراسي األول وكانت كالتالي

:أحسب .االنحراف المتوسط

0

50

100

150

200

٢٠٢

:الحــل

:الوسط الحسابيn

ii 1

x1 2 2 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 5 4 3 0 1x

n 20

65.12033

: االنحراف المتوسط

n

ii 1

x x25.6M.D 1.28.

n 20

: االنحراف المتوسط البرنامج التالى باستخدام الحزم الجاهزة لحساب<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1};

:المتوسط للمجتمع االنحراف االمر التالى لحساب MeanDeviation[aa1]

N[%] 1.28

: االنحراف المتوسط برنامج اخر لحساب aa1={1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1}; b1=Length[aa1] 20 b2=Apply[Plus,aa1] 33 b3=b2/b1

b3=N[%] 1.65 bb4=Abs[aa1-b3] {0.65,1.65,1.35,2.35,3.35,2.35,0.65,0.65,0.65,0.65,0.65,1.65,1.65,1.65,1.65,1.35,1.35,0.35,0.35,0.65}

32

25

33

20

٢٠٣

b5=Apply[Plus,bb4] 25.6 b6=b5/b1 1.28

ف ت :تعری k21إذا كان x,...,x,x ة ا المقابل ع تكراراتھ راري م ع تك ة لتوزی ز الفئ ل مراك تمثk21 f,...,f,f فإن االنحراف المتوسط ھو:-

.f

|xx|fD.M k

1ii

k

1iii

)٦٥-٤(مثال

: الحــل

1.64xالوسط الحسابي ھو وعلى ذلك فإن االنحراف المتوسط من الجدول السابق ٠:-

.288.14100

8.1428

f

|xx|fD.M k

1ii

k

1iii

:البرنامج التالى للحصول على المطلوب <<Statistics`DescriptiveStatistics` mid={34.5,44.5,54.5,64.5,74.5,84.5,94.5}; ff={11,12,16,23,17,11,10};

:أوجد االنحراف المتوسط للبیانات في الجدول التالي

|xx|f ii xx i التكرارif ixمركز الفئة 325.6 -29.6 11 34.5 235.2 -19.6 12 44.5 153.6 -9.6 16 54.5

9.2 0.4 23 64.5 176.8 10.4 17 74.5 224.4 20.4 11 84.5 304 30.4 10 94.5

المجموع 100 1428.8

٢٠٤

bb1=Apply[Plus,ff]; bb2=mid*ff {379.5,534.,872.,1483.5,1266.5,929.5,945.} bb3=Apply[Plus,bb2] 6410. xb=bb3/bb1; 64.1

14.288 aa3=Abs[mid-xb] {29.6,19.6,9.6,0.4,10.4,20.4,30.4} aa4=aa3*ff {325.6,235.2,153.6,9.2,176.8,224.4,304.} aa5=Apply[Plus,aa4] 1428.8 aa5=aa5/bb1 14.288

The Varianceالتباین ) ٣-٧-٤(

N21إذا أعطیت مجتمع محدود :تعریف x,...,x,x فإن تباین المجتمع هو: -

.N

)x(N

1i

2i

2

.یمكن الحصول علیه بأخذ الجذر التربیعي للتباین االنحراف المعیاري، ویرمز له بالرمز - :في حالة التوزیعات التكراریة فإن تباین العینة یحسب من المعادلة التالیة

].n

)fx(fx[

1n1s

k

1i

2iik

1ii

2i

2

) حیث

k

1ii nf (

)٧٥-٤(مثال

:أوجد 8,10,6,14,14,12,18,20:أطفال، أعمارھم كالتالي 8أسرة لدیھا .االنحراف المعیارى للمجتمع

:الحــل : الوسط الحسابي للمجتمع ھو

n

ii 1

x 8 10 6 14 14 12 18 20 102 12.75.N 8 8

:التباین للجتمع ھو

ccDotAbsmid xb, ff

bb1 N

٢٠٥

28

i2 i 1

x

N

:المعیاري للمجتمع ھوواالنحراف

2 19.93 4.46.

:البرنامج التالى لحساب االنحراف المعیارى للمجتمع

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={8,10,6,14,14,12,18,20}; VarianceMLE[aa1]

N[%] 19.9375

4.46514

n21 إذا سحبت العینة العشوائیة :تعریف x,...,x,x فإن تباین العینة الغیر متحیز ھو:- n

2i

2 i 1(x x)

s .n 1

:واالنحراف المعیاري للعینة ھو

2s s

)٨٥-٤(مثال

م صیدھا بواسطة م 10إذا كان عدد أسماك السالمون التي ت ن الموس وم األول م ي الی صیادین ف .االنحراف المعیاري: ، أوجد 10,9,8,7,7,7,7,6,5,3: ھي

:الحــل :التباین هو

874.3

987.34

1n

xxs

n

1i

2i

2

:هو االنحراف المعیاري96.1874.3s

:البرنامج التالى لحساب االنحراف المعيارى للعينة

319

16

aa2%

٢٠٦

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={3,5,6,7,7,7,7,8,9,10}; Variance[aa1]

N[%] 3.87778

1.96921

-:هناك صیغة أخرى لحساب تباین العینة تفید عند استخدام اآللة الحاسبة وهي

.]n

)x(x[

1n1s

2i2

i2

.874.3]10

)69(511[91 2

:االنحراف المعيارى للعينة بالصيغة السابقةالبرنامج التالى لحساب

aa1={3.,5.,6.,7.,7.,7.,7.,8.,9.,10.}; f[x_]:=Apply[Plus,x] aa2=f[aa1] 69. aa3=f[aa1^2] 511. n=Length[aa1] 10

3.87778

1.96921

:االنحراف المعیارى من بیانات تكراریة یاخذ الصیغة التالیة 2

i i2 2i i i

( x f )1s [ x f ] ,n xn 1 n

)٩٥-٤(مثال

349

90

aa2%

aa41

n1aa3 aa22

n N

aa5aa4 N

٢٠٧

:الحــل

:التباین للعینة ھو2k

i ik2 2 i 1

i ii 1

x f1s x fn 1 n

:االنحراف المعیاريs 2.1637 1.46.

:سوف یتم ایجاد االنحراف المعیارى للعینة من جدول تكرارى من البرنامج التالى mid={0,1,2,3,4,5,6} {0,1,2,3,4,5,6} ff={180,1,2,3,5,6,6} {180,1,2,3,5,6,6} n=Apply[Plus,ff] 203 aa1=ff*mid {0,1,4,9,20,30,36} aa2=Apply[Plus,aa1] 100 aa3=mid*mid*ff {0,1,8,27,80,150,216} aa4=Apply[Plus,aa3] 482

2.14227

1.46365

یمكن الحصول على تقریر یحتوى على الوسط الحسابى والوسیط واوساط اخرى من االمر LocationReport كالتالى:

)٦٠-٤(مثال

s21

n1aa4 aa2^2

n N

ss2 N

فیما یلي التوزیع التكراري لعدد الدقائق التي یتأخرھا مجموعة من الطلبة في دخولھم المحاضرة :بعد دخول األستاذ

التأخیر بالدقائق 0 1 2 3 4 5 6 التكرار 180 1 2 3 5 6 6

. أوجد االنحراف المعیاري لھذا التوزیع

٢٠٨

یمكن الحصول على تقریر یحتوى على الوسط الحسابى والوسیط واوساط ) ٢٧- ٤(من المثال :كالتالى LocationReportاخرى من االمر

<<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; LocationReport[x]//N {Mean61.02,HarmonicMean60.0657,Median63.}

:یمكن الحصول على معلومات عن ھذا االمر كالتالى

?LocationReport

یمكن الحصول على تقریر یحتوى على التباین واالنحراف المعیارى والمدى واالنحراف المتوسط

:كالتالى DispersionReportوتقدیرات اخرى للتشتت من االمر

<<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; DispersionReport[x]//N {Variance56.1424,StandardDeviation7.49283,SampleRange29.,MeanDeviation6.2184,MedianDeviation7.,QuartileDeviation6.}

:یمكن الحصول على معلومات عن هذا االمر كالتالى ?DispersionReport

Coefficient of Variationمعامل االختالف ) ٤-٧-٤(

تعتبر كل مقاییس التشتت السابقة مقاییس مطلقة ألنھا تأخذ تمییز الوحدات األصلیة لذلك سوف نناقش . ولذلك ال تصلح للمقارنة بین مجموعتین وحدات القیاس بینھما مختلفة

مقیاس نسبي یسمى معامل االختالف والذي یحول االنحراف المعیاري إلى مقیاس نسبي باعتبار ویمكن حساب معامل االختالف. أنھ نسبة مئویة من الوسط الحسابي

LocationReportlist gives the Mean, HarmonicMean,

and Median location statistics for list.More…

DispersionReportlist gives the Variance,

StandardDeviation, SampleRange, MeanDeviation,

MedianDeviation, and QuartileDeviation

dispersion statistics for list.More…

٢٠٩

:من إحدى المعادلتین التالیتین

100xsV

100أوV

لتسھیل استخدام معامل االختالف نقدم المثال التالي والذي یوضح كمیة اإلنتاج في شركة ما شھرا وقد تم حساب الوسط 15ثم كمیة اإلنتاج خالل فترة ثانیة مقدارھا شھرا 80خالل

.االختالف لكل مجموعة والنتائج موجودة في الجدول واالنحراف المعیاري ومعامل الحسابيحسابي أكبر ومعامل اختالف أقل والذي شھرا لھ وسط 15نالحظ من النتائج أن اإلنتاج خالل

.معامل االختالف نتاج وانخفاض ة اإلوالذي یھتم بزیاد یعتبر نتائج جیدة لمدیر اإلنتاج إال أنھ یمكن القول بناء على 15إلى 2.13وبالرغم من أن االنحراف المعیاري قد زاد من

معامل االختالف أن الفترة الثانیة أقل تشتتا من الفترة األولى كما ھو موضح فى الجدول التالى.

100xsV

s x الفترة

375.956.10

152.13

160125

1580

) ١٦-٤(مثال

ي المتوسط تاذ ف اري 15,000$في جامعة ما یتقاضى األس انحراف معی ا 5,000$دوالر ب بینمدره ر ق تاذ أج ى األس رى یتقاض ة أخ ي جامع اري 10,000$ف انحراف معی د 3,000$ب أوج

أي الجامعتین أكثر تشتتا ؟ معامل االختالف لكل جامعة و

: الحــل .الحسابات الالزمة إلیجاد معامل االختالف لكل جامعة معطاة في الجدول التالى

المتوسط االنحراف المعیاري معامل االختالف

333.0150005000

xsV

1

11 5000 15000 الجامعة األولى

3.0100003000

xsV

2

12 3000 10000 الجامعة الثانیة

.إذن الجامعة األولى أكثر تشتتا

) ٢٦- ٤(مثال

>>>>>>>>>>

٢١٠

: الحــل

حدود الفئة الحدود الفعلية تكرار اإلناث تكرار الذكور مركز الفئة5.15 110 100 5.165.14 1615 5.17 131 125 5.185.16 1817 5.19 150 130 5.205.18 2019 5.21 146 160 5.225.20 2221 5.23 200 190 5.245.22 2423

737 705

اإلناث الذكور02.20737/5.14861x 10.20705/5.14272x

822.2737/)5.14861()25.306272(736/1

S2

2

799.2

]705/)5.14272(75.295138[704/1

S2

1

1409.002.20/822.2V2 = 0.13920.20/799.2V1

. نستنتج أن الذكور أكثر تشتتا :البرنامج التالى لحل المثال

<<Statistics`DescriptiveStatistics` c1={15,17,19,21,23} {15,17,19,21,23} c2={16,18,20,22,24}

. الجدول التالى یمثل التوزیع التكراري ألعمار مجموعة من الذكور واإلناث في كلیة ما

2423 2221 2019 1817 1615 العمر

اإلناث 100 125 130 160 190

الذكور 110 131 150 146 200

.أوجد الوسط الحسابي واالنحراف المعیاري لكل من الذكور واإلناث ) أ( )ب( .أوجد معامل االختالف لكل من الذكور واإلناث وأي المجموعتین أكثر تشتتا

٢١١

{16,18,20,22,24}

{15.5,17.5,19.5,21.5,23.5} ff1={100,125,130,160,190} {100,125,130,160,190} ff2={110,131,150,146,200} {110,131,150,146,200} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff1}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff1}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

n1=Apply[Plus,ff1] 705 n2=Apply[Plus,ff2] 737

20.1099

20.0292

7.82657

7.95336

2.7976

2.82017 v1=s1/xb1

mid Nc1c22

Lower Upper Midpoint Frequency15 16 15.5 10017 18 17.5 12519 20 19.5 13021 22 21.5 16023 24 23.5 190

Lower Upper Midpoint Frequency15 16 15.5 10017 18 17.5 12519 20 19.5 13021 22 21.5 16023 24 23.5 190

xb1Dotmid, ff1

n1 N

xb2Dotmid, ff2

n2 N

var1Dotmid xb12,ff1

n1 N

var2Dotmid xb22,ff2

n2 N

s1var1

s2var2

٢١٢

0.139115 v2=s2/xb2 0.140803

االلتواء والعالقة بین الوسط الحسابي والوسیط والمنوال) ٨-٤( and the Relation of the Mean , Median , and Skewness

Mode

فإذا كان التوزیع ٠عرفنا مما سبق أن االلتواء ھو بعد التوزیع التكراري عن التماثل

٠من القیم تقع على كل جانب من المنوال كما في الشكل التالى %50متماثال فسوف نجد أن

د وال واح ھ من ع ل الى أن التوزی ن الشكل الت وال(unimodal أیضا نالحظ م د المن ) وحیابي ط الحس یط= وأن الوس وال= الوس ین ٠المن ة ب اك عالق د أن ھن الى نج كل الت ي الش ا ف بینم

ث وال حی یط والمن ابي والوس ط الحس ابيالوس ط الحس یط <الوس ك ألن <الوس وال وذل المن ٠التوزیع ملتویا جھة الیسار

المنوال وذلك ألن التوزیع ملتویا >الوسیط >بینما في الشكل التالى نجد أن الوسط الحسابي

وفي كلتا الحالتین فإن الوسیط یقع بین الوسط الحسابي والمنوال كما أن الوسط ٠جھة الیمین ٠الحسابي یقع دائما في اتجاه القیم الشاذة

الوسط =الوسيط=المنوال الحسابي

50% 50%

x

f(x)

f(x)

x

الوسيط

املنوال

الوسط احلسايب

٢١٣

: ) leaf -and–stem( عرض البيانات بطريقة الساق والورقةیســتخدم شــكل الســاق والورقــة لبیــان توزیــع البیانــات المتعلقــة بــالمتغیر الكمــى ویشــبه هــذا الشــكل

ــه یعطــــى فكــــرة افضــــل للقــــارئ عــــن االرقــــام والتكــــرارات المتعلقــــة بــــالمتغیر المــــدرج التكــــرارى اال انــن مـــن خانـــة ویتكـــو ) الســـاق(الجـــزء االول :بموجـــب هـــذا الشـــكل فـــان كـــل رقـــم یقســـم الـــى قســـمین .

ویتكــون مــن الخانــة او الخانــات ) الورقــة(والجــزء الثــانى . Leading Digitsاساســیة او اكثــر .Remainingالباقیة

)٣٦ -٤( مثال

وحده30 على عینه مكونه من) الساق والورقة ( إذا أردنا تطبیق طریقة العرض

216 202 208 208 212 202 193 208 206 206 206 213 204 204 204 218 204 198 207 218 204 212 212 205 203 196 216 200 215 202

الحل :

.سوف یتم حل المثال یدویا لتوضیح الطریقة ثم باستخدام البرنامج :نتبع التالى بما أن األرقام هنا من ثالث خانات فسوف

:التالي لخیاراتا إلى إحدى نقسم الوحدات -١ . الخانتین االخریتین= أول خانة والورقة = الساق .الخانة األخیرة= أول خانتین والورقة= الساق

f(x)

املنوال

الوسيط

الوسط احلسايب

x

٢١٤

وسوف نختار الخیار المناسب هنا للبیانات وهـو الخیـار الثـاني ألننـا سـوف نحصـل منـه علـى عـدد بینمــا لــو اســتخدمنا الخیــار األول فســوف نحصــل علــى ، ن األوراقوعــدد معقــول مــ) ثــالث ســیقان(

.مع أوراق كثیرة وهو خیار غیر مناسب) ساقین (عدد .نرتب كل ساق داخل عمود -٢ .نرتب األوراق في الصفوف المناسبة لها -٣

Frequency leaf stem

8 8 6 6 5 3 2 2 27 6 6 6 8 8 8 5 4 4 4 4 4 3 2 2 2 0

8 6 3

212019

30 total الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكاسوف یتم االن

ســوف نســتخدم البرنــامج الجــاهز التــالى والســتخدامة یوجــد نســخة ملحقــة بالكتــاب وســوف یوجــد فــى :ونقوم بتحمیلة ثم تنفیذه . برامج الفصل الرابع

Off[General::spell1]; <<Statistics`DescriptiveStatistics` <<Statistics`DataManipulation` Functions printStats[]:=Module[{}, Print["N: ",n]; Print["Minimum: ",mn]; Print["First Quartile: ",q1]; Print["Median: ",med]; Print["Third Quartile: ",q3]; Print["Maximum: ",mx]] rDigits[x_]:=Module[{}, If[Head[x]==Integer,digitString=intToRealDigits[x]]; If[And[Head[x]==Real,x==0.],digitString={{0},1}]; If[And[Head[x]==Real,x!=0.],digitString=RealDigits[x]]; digitString] intToRealDigits[x_]:=Module[{}, intDigits=IntegerDigits[x]; addDigitsToLeft[intDigList_]:={intDigList,Length[intDigList]}; addDigitsToLeft[intDigits]]

9183

٢١٥

leaf[x_]:=Module[{}, rd=rDigits[x]; r=rd[[2]]; Take[rd[[1]],{r}]] Clear[stemlist] stemlist[x_]:=Module[{m,r}, rd=rDigits[x]; m=Length[rd[[1]]]; r=rd[[2]]; Drop[rd[[1]],-(m-r+1)]] lub[list1_,val_]:=Module[{newlist}, k=1; newlist=Sort[list1]; While[newlist[[k]]<=val,k=k+1]; newlist[[k]]] glb[list1_,val_]:=Module[{newlist,n}, k=1; n=Length[list1]; newlist=Sort[list1]; While[And[k<=n,newlist[[k]]<val],k=k+1]; newlist[[k-1]]] intQ[x_]:=Module[{rd,k}, rd=rDigits[x]; k=Length[rd[[1]]]; If[k==rd[[2]],True,False]] intListQ[list1_]:=Module[{}, tflist=Map[intQ,list1]; int=Intersection[tflist]; If[int=={True},True,False]] mult[list1_]:=Module[{}, fact=fact+1; 10.0*list1] intConvert[list1_]:=Module[{m,list2}, list2=list1; m=Map[rDigits,list1]; df[rdList_]:=Length[rdList[[1]]]-rdList[[2]]; dfList=Map[df,m]; fct=Max[dfList]; 10^fct*list2] integerCheck[valueList_]:=Module[{}, intFlag=0; intermed=valueList; headInt=Map[Head,valueList]//Intersection; If[headInt=={Integer},intFlag=1]; If[intFlag==1,intermed=1.0*valueList]; intermed] subadd[x_]:=Module[{}, j=1; While[And[j<=Length[inter],MatchQ[inter[[j]],stemlist[x]]]==False,j=j+1];

٢١٦

AppendTo[sub[[j]],x]] dp[y_]:=Drop[y,1] addto[x_]:=Module[{sec}, sec=SequenceForm[x]; chars=Join[chars,sec]] trnc[x_]:=Module[{rd,t}, rd=rDigits[x]; r=rd[[2]]; If[r>0,t=rd[[1,r]],t=0]; (x-t)/10] stemchars[st_]:=Module[{m,i}, tempSet=st; If[tempSet=={},tempSet={0}]; m=Length[tempSet]; chars=SequenceForm[tempSet[[1]]]; i=2; While[i<=m,addto[tempSet[[i]]];i++]; chars] leafList[valueset_]:=Module[{}, If[Length[valueset]==0,chars=" ",leaftable[valueset]]; chars] leaftable[valueset_]:=Module[{m}, leaftab=Map[leaf,valueset]//Flatten; m=Length[leaftab]; sortleaftab=Sort[leaftab]; chars=SequenceForm[sortleaftab[[1]]]; i=2; While[i<=m,addto[sortleaftab[[i]]];i++]; chars] printStemAndLeaves[valueset_]:=Module[{}, st=stemlist[valueset[[1]]];stemPrint=stemchars[st]; leafPrint=leafList[valueset]; Print[stemPrint," ",leafPrint]] Clear[modify] modify[n_]:=Module[{}, counter=counter+1; ic=Map[trnc,ic]; statcalc[ic]; If[And[ns<=20,n/ns>1.5],flag=0]] statcalc[vals_]:=Module[{}, mn=Min[vals]//N; mx=Max[vals]//N; q1=Quantile[vals,0.25]//N; med=Median[vals]//N; q3=Quantile[vals,0.75]//N; iqr=q3-q1; lif=q1-1.5(iqr); uif=q3+1.5(iqr);

٢١٧

lof=q1-3(iqr); uof=q3+3(iqr); n=Length[vals]; lav=lub[vals,lif]; uav=glb[vals,uif]; lov=lub[vals,lof]; uov=glb[vals,uof]; lovt=trnc[lov]; uovt=trnc[uov]; ns=uovt-lovt+1] findOutsideVals[vals_]:=Module[{m}, m=Length[vals]; outerlist={0}; i=1; While[i<=m,outside[i];i++]; Drop[outerlist,1]] outside[i_]:=Module[{}, If[Or[lof<=vals[[i]]<lif,uif<vals[[i]]<=uof],AppendTo[outerlist,vals[[i]]]]] findFarOutVals[vals_]:=Module[{}, m=Length[vals]; i=1; outerlist2={0}; While[i<=m,farOutside[i];i++]; Drop[outerlist2,1]] farOutside[i_]:=Module[{}, If[Or[vals[[i]]<lof,vals[[i]]>uof],AppendTo[outerlist2,vals[[i]]]]] Options[stemAndLeaf]={printStatistics->False}; Clear[stemAndLeaf] stemAndLeaf[valslist_,opts___]:=Module[{}, vals=valslist; fct=0; counter=0; statPrint=printStatistics/. {opts} /. Options[stemAndLeaf]; statcalc[vals]; Print["Title: Stem-and-Leaf Plot"]; If[statPrint===True,printStats[]]; valsOutside=findOutsideVals[vals]; valsOutside=Sort[valsOutside]; valsFarOutside=findFarOutVals[vals]; valsFarOutside=Sort[valsFarOutside]; ic=intConvert[vals]; statcalc[ic]; flag=0; counter=0; If[Or[ns>20,n/ns<=1.5],flag=100]; While[flag>0,modify[n]];

٢١٨

leafDigitUnit=N[10^(-fct+counter)]; stmlist=Map[stemlist,ic]; inter=Intersection[stmlist]; sub=Table[{0},{j,1,Length[inter]}]; sublists=Table[subadd[ic[[j]]],{j,1,Length[ic]}]; subtable=Table[sub[[j]],{j,1,Length[inter]}]; newsubtable=Map[dp,subtable]; Print["Leaf Unit: ",leafDigitUnit]; If[And[2<=ns<=4,n/ns>13],splitIntoFiveParts[newsubtable], If[And[2<=ns<=4,n/ns<=13],splitIntoTwoParts[newsubtable], If[And[5<=ns<=10,n/ns>6.5],splitIntoTwoParts[newsubtable], If[ns==1,splitIntoFiveParts[newsubtable],onePiece[newsubtable]]]]]; Print["Outside Values: ",valsOutside]; Print["Far Outside Values: ",valsFarOutside]]; onePiece[newsubtable_]:=Module[{}, Do[printStemAndLeaves[newsubtable[[j]]],{j,1,Length[newsubtable]}]] findNonEmpty[valueset_]:=Module[{}, j=1; While[valueset[[j]]=={},j=j+1]; st=valueset[[j]]] Split Stem into 2 Parts: splitIntoTwoParts[newsubtable_]:=Module[{n}, n=Length[newsubtable]; ts=Table[split2[j],{j,1,n}]; printpairsFirst[ts[[1]]]; Do[printpairs[ts[[i]]],{i,2,n-1}]; printpairsLast[ts[[n]]]] split2[j_]:=Module[{m1}, sub1={0}; sub2={0}; m1=Length[newsubtable[[j]]]; sortsubtable=Sort[newsubtable[[j]]]; i=1; While[i<=m1,fives[i];i++]; Map[dp,{sub1,sub2}]] fives[i_]:=Module[{}, lf=sortsubtable[[i]]; If[leaf[lf][[1]]<=4,AppendTo[sub1,lf],AppendTo[sub2,lf]]]

٢١٩

printpairs[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]; printit[stem2,lf2one]; lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]; printit[stem2,lf2two]] printpairsFirst[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; flag2=1; If[twosubsets[[1]]=={},flag2=100]; If[flag2<100,lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]]; If[flag2<100,printit[stem2,lf2one]]; lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]; printit[stem2,lf2two]] printpairsLast[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; flag2=1; If[twosubsets[[2]]=={},flag2=100]; lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]; printit[stem2,lf2one]; If[flag2<100,lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]]; If[flag2<100,printit[stem2,lf2two]]] Split Stem into 5 Parts: splitIntoFiveParts[newsubtable_]:=Module[{n}, n=Length[newsubtable]; ts=Table[split5[j],{j,1,n}]; If[n==1,specialPrintFive[ts[[1]]]]; If[n>1,printfivepartsFirst[ts[[1]]]]; If[n>=2,Do[printfiveparts[ts[[i]]],{i,2,n-1}]]; If[n>=3,printfivepartsLast[ts[[n]]]]] split5[j_]:=Module[{}, sub1={0}; sub2={0}; sub3={0}; sub4={0}; sub5={0}; n=Length[newsubtable[[j]]]; sortsubtable=Sort[newsubtable[[j]]]; i=1; While[i<=n,twos[i];i++]; Map[dp,{sub1,sub2,sub3,sub4,sub5}]] findNonEmpty[valueset_]:=Module[{}, j=1; While[valueset[[j]]=={},j=j+1]; st=valueset[[j]]]

٢٢٠

twos[i_]:=Module[{}, lf=sortsubtable[[i]]; If[leaf[lf][[1]]<=1,AppendTo[sub1,lf]]; If[2<=leaf[lf][[1]]<=3,AppendTo[sub2,lf]]; If[4<=leaf[lf][[1]]<=5,AppendTo[sub3,lf]]; If[6<=leaf[lf][[1]]<=7,AppendTo[sub4,lf]]; If[8<=leaf[lf][[1]]<=9,AppendTo[sub5,lf]]] printfiveparts[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]; printit[stem5,lf5one]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]; printit[stem5,lf5five]; ] specialPrintFive[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag1=0; flag5=0; If[fivesubsets[[1]]=={},flag1=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; If[flag1<100,lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]]; If[flag1<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; If[fivesubsets[[5]]=={},flag5=100]; If[flag5<100,lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5five]]; ] printfivepartsFirst[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag5=0;

٢٢١

If[fivesubsets[[1]]=={},flag5=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; If[flag5<100,lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]; printit[stem5,lf5five]; ] printfivepartsLast[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag5=0; If[fivesubsets[[5]]=={},flag5=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; If[flag5<100,lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5five]] ] printit[st_,lf_]:=Print[st," ",lf]

column2 سوف نسمى قائمة البیانات باالسم

:وندخل البیانات كالتالى column2={216,202,208,208,212,202,193,208,206,206,206,213,204,204,204,218,204,198,207,218,204,212,212,205,203,196,216,200,215,202};

:ونكتب االمر التالى stemAndLeaf[column2,printStatistics->True]

:وننفذ البرنامج فتظهر النتائج التالیة Title: Stem-and-Leaf Plot N: 30 Minimum: 193. First Quartile: 203. Median: 206.

٢٢٢

Third Quartile: 212. Maximum: 218. Leaf Unit: 1. 1 9 3 1 9 6 8 2 0 0 2 2 2 3 4 4 4 4 4 2 0 5 6 6 6 7 8 8 8 2 1 2 2 2 3 2 1 5 6 6 8 8 Outside Values: {} Far Outside Values: {}

. ئ عن الحل الیدوى ولكن النتیجتین صحیحتیننالحظ ان مخرج البرنامج قد اختلف بعض الش

)٤٦ -٤( مثال

:المطلوب عرض البیانات التالیة باستخدام رسم الساق والورقة 71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,72,68,66,70

الحل :

. نقوم تحمیل البرنامج المخصوص وتنفیذه: اوال column2 نسمى قائمة البیانات باالسم: ثانیا

:وندخل البیانات كالتالى column2={71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,7

2,68,66,70}; :ونكتب االمر التالى

stemAndLeaf[column2,printStatistics->True]

:وننفذ البرنامج فتظهر النتائج التالیة

Title: Stem-and-Leaf Plot N: 23 Minimum: 60. First Quartile: 66. Median: 70. Third Quartile: 75. Maximum: 97.

٢٢٣

Leaf Unit: 1. 6 0 4 6 5 5 5 6 6 7 8 8 9 7 0 1 1 1 2 3 7 5 8 9 8 8 7 8 9 9 7 Outside Values: {97} Far Outside Values: {}

(شكل الورقة والساق فى هذا المثال یتضح انه تم اختیار القیم التالیة لتمثیل الساقوباستعراض الى ساقیین وقد قام البرنامج على سبیل المثال بتقسیم رقم 6 .6,6,7,7,8,8,9,9 : (Stems

والساق الثانى من 6.5-6.9 . 6.0-7.4 االول من الساق :ویمكن معرفة القیمة الحقیقة للمشاهدات من خالل المعادلة التالیة

.عرض الورقة X (.1X قیمة الورقة+ ( قیمة الساق = القیمة الحقیقیة للمشاهدة :فاذا استعرضنا السطر االول نجد ان هناك مشاهدتین

60=10 X(.1X0)+ 6 االولى القیمة الحقیقیة للمشاهدة= 64=10 X(.1X4)+ 6 الثانیة القیمة الحقیقیة للمشاهدة=

)٥٦ -٤( مثال

:المطلوب عرض البیانات التالیة باستخدام رسم الساق والورقة 13,12,15,16,18,19,20,33,22,12,23,34,34,34

:سوف نستخدم البرنامج الجاهز

column2 سوف نسمى قائمة البیانات باالسم

:وندخل البیانات كالتالى

column2{=13,12,15,16,18,19,20,33,22,12,23,34,34,34}; :ونكتب االمر التالى

stemAndLeaf[column2,printStatistics->True]

:وننفذ البرنامج فتظهر النتائج التالیة

٢٢٤

Title: Stem-and-Leaf Plot N: 14 Minimum: 12. First Quartile: 15. Median: 19.5 Third Quartile: 33. Maximum: 34. Leaf Unit: 1. 1 2 2 3 1 5 6 8 9 2 0 2 3 2 3 3 4 4 4 Outside Values: {} Far Outside Values: {}

)٦٦ -٤( مثال

من مجتمع ما المطلوب عرض هذه البیانات بطریقة الساق n=25سحبت عینه حجمها :والورقة

1.17 1.61 1.16 1.38 3.53 1.23 3.76 1.94 0.96 4.75 0.15 2.41 0.71 0.02 1.59 0.19 0.82 0.47 2.10 2.01 0.92 0.75 2.59 3.07 1.40

:نحل البرنامج االول یدویا كالتالى: اوال

ثـالث خانـات سـیكون لنـا وبما إن الوحـدات مكونـه مـن، نقسم الوحدات إلى قسمین ساق وورقه_ ١ خیارین الخانتین األخیرتین = أول خانه والورقة =الساق

الخانة الخیرة= أول خانتین والورقة = الساق : او ولهذه البیانات سوف نختار الخیار األول فهو األنسب

.نرتب السیقان في عمود -٢ . من البیانات نختار األوراق ونضعها في الصف المناسب لها -٣

و باإلمكــان وضــع الفاصــلة فــي . وهكــذا 0.15والعنصــر الثــاني ، 0.02وواضــح أن أول عنصــر .مكانها الصحیح كما في البیانات

٢٢٥

Leaf frequency

stem

0 2 15 19 47 71 75 82 92 69 9

0

16 17 23 38 40 59 61 94 8

1

01 16 41 59 4

2

07 53 76 3

3

75 1 4 25 total

:سوف نستخدم البرنامج الجاهز : ثانیا

mm1 سوف نسمى قائمة البیانات باالسم

وندخل البیانات كالتالى mm1={1.17,1.61,1.16,1.38,3.53,1.23,3.76,1.94,0.96,4.75,0.15,2.41,0.71,0.02,1.59,.19,.82,.47,.75,2.59,3.07,1.4};

:ونكتب االمر التالى stemAndLeaf[mm1,printStatistics->True]

:النتائج التالیة وننفذ البرنامج فتظهر Title: Stem-and-Leaf Plot N: 15 Minimum: 0.15 First Quartile: 0.75 Median: 1.23 Third Quartile: 1.61 Maximum: 2.41

Part ::partw :

Part 17 of 2, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0does not exist . More…

٢٢٦

Outside Values: {} Far Outside Values: {}

.وهذا یوضح ان بعض البیانات ال تسجیب الى البرنامج

)٧٦ -٤( مثال

:المطلوب عرض البیانات التالیة باستخدام رسم الساق والورقة 2.16,2.02,2.08,2.12,2.02,1.93,2.08,2.06,2.06,2.06,2.04,2.04,2.04,2.18,2.04,1.98,2.07,2.18,2.04,2.12,2.12,2.05,2.03,1.96,2.16,2.00,2.15,2.00,2.00,2.15

الحل :

:الجاهز سوف نستخدم البرنامج :وندخل البیانات كالتالى

cc1={2.16,2.02,2.08,2.12,2.02,1.93,2.08,2.06,2.06,2.06,2.04,2.04,2.04,2.18,2.04,1.98,2.07,2.18,2.04,2.12,2.12,2.05,2.03,1.96,2.16,2.00,2.15,2.00,2.00,2.15};

:ونكتب االمر التالى stemAndLeaf[cc1,printStatistics->True]

:وننفذ البرنامج فتظهر النتائج التالیة Title: Stem-and-Leaf Plot N: 30 Minimum: 1.93 First Quartile: 2.02 Median: 2.055 Third Quartile: 2.12 Maximum: 2.18 Leaf Unit: 0.01 1 9 3 1 9 6 8 2 0 0 0 0 2 2 3 4 4 4 4 4 2 0 5 6 6 6 7 8 8 2 1 2 2 2 2 1 5 5 6 6 8 8 Outside Values: {} Far Outside Values: {}

Part ::partw :

Part 17 of 2, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0does not exist . More…

Leaf Unit: 1.1016

٢٢٧

بعض مقاییـس االلتـواء والتفلطـح) ٩-٤(

Some Measures of Skewness and Kurtosis

بالنسبة لمقاییس االلتواء، سوف نتناول مقیاسین لاللتواء األول ویسمى معامل بیرسون أوال تعرف معادلة معامل بیرسون لاللتواء كالتالي Pearsonian coefficient for skewnessلاللتواء

k3(x x)S .

s

xحیث s الوسیط و ~xالوسط الحسابي و ینحصر قیمة . االنحراف المعیاري للعینة 0Skعندما .3إلى 3معامل بیرسون بین وإذا كانت قیمة . فھذا یعنى أن التوزیع متماثل

kS موجبة فھذا یعنى أن الوسط الحسابي أكبر من الوسیط ومن المنوال وبذلك یكون المنحنىسالبة فھذا kSوأخیرا وإذا كانت قیمة . ملتویا ولھ ذیل ناحیة الیمین ویكون االلتواء موجبا

.یعنى أن الوسط الحسابي أصغر من الوسیط ومن المنوال

)٨٦-٤(مثال

ارب ، قوارب للصید 10تمتلك شركة ما الیف صیانة كل ق دوالر(قامت الشركة بتسجیل تك ) بال :أوجد 500,505,460,470,530,506,994,880,600,460: وكانت كما یلي

.مقیاس بیرسوف لال لتواء

:الحــل

الوسط الحسابي ) أ(5905x 590.5.10

: لحساب الوسیط ترتب البیانات ترتیب تصاعدي كالتالي

460,460,470,500,505,506,530,600,880,994.

~ 505 506x 505.5.2

:مقیاس بیرسون لاللتواء یحسب من الصیغة التالیة

k

3(x x)S .s

:حیث 2 2

2 ( x)1 1 (5905)s x (3808497) 189.03.n 1 n 9 10

k

3(590.5 505.5)S 1.3489.189.031

٢٢٨

.كمیة من االلتواء الموجبأي أن ھناك

:البرنامج التالى لحساب مقیاس بیرسون لاللتواء

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={500,505,460,470,530,506,994,880,600,460}; aa2=N[Mean[aa1]] 590.5 aa3=Median[aa1]//N 505.5 s=N[StandardDeviation[aa1]] 189.031 sk=(3(aa2-aa3))/s//N 1.34899

ي ا ف یعتمد المقیاس السابق لاللتواء على أنھ في التوزیعات الملتویة فإن الوسیط یقع تقریب31

ا ر صحیح دائم ذا غی ذلك . المسافة بین الوسط الحسابي والمنوال في اتجاه الوسط الحسابي وھ ول .المقدر من بیانات العینةحول المتوسط م وسوف نتناول مقیاس آخر لاللتواء یعتمد على العز

n21حول المتوسط لفئة المشاھدات rالعزم :تعریف x,...,x,x ھو:-

.n

)xx(m

n

1i

ri

r

ع یتم حساب العزوم لھ حول المتوسط ) ٢٧-٤(للمثال ى الراب انى ال العزم االول حول ( من الث :من البرنامج التالى ) المتوسط یساوى صفر

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; Clear[f] f[y_]:=(y-Mean[aa1])^2 aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N 55.0196 Clear[f] f[y_]:=(y-Mean[aa1])^3 aa3=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N -127.001 Clear[f] f[y_]:=(y-Mean[aa1])^4 aa4=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N 6736.33

:المقیاس الثاني لاللتواء و الذي یعتمد على العزم الثالث حول الوسط الحسابي ھو

.sma 3

3

1

٢٢٩

ت 0a1إذا كان ل ع متماث ى أن التوزی دل عل ذا ی ان. ، فھ 0a1وإذا ك ع موجب ون التوزی یك0a1وإذا كان ٠اإللتواء . یكون التوزیع سالب االلتواء

تفلطح اییس ال بة لمق ا بالنس ط ثانی ول المتوس ع ح زم الراب ى الع د عل اس یعتم اول مقی وف نتن س -:معادلتھ ھي

.sma 4

4

2

ت 3a2إذا كان تفلطح ط ال ع متوس ى أن التوزی ذلك یعن ان. ، ف 3a2وإذا ك ى أن ذلك یعن ف3a2التوزیع لھ قمة مدببة وإذا كان .فھذا یدل على أن التوزیع مفلطحا

)٦٩-٤(مثال

ت 10اختیرت عینة عشوائیة من ة الضغط الضروري لكسر المسمار وكان دیر كمی مسامیر لتقالي ائج كالت ن 18,22,26,25,27,26,19,17,22,20: النت ابي :أحسب كال م –الوسط الحس

یط وال –الوس ط –المن راف المتوس اري –االنح راف المعی واء -االنح اس االلت اس 1aمقی ومقی .2aالتفلطح

: الحــل : الوسط الحسابي

2.2210

20221719262725262218n

xx

n

1ii

:االنحراف المعیاري ھو

n2

n i2 i 1

ii 1

( x )1s x ,n 1 n

s 3.64.

:مقیاس االلتواء یحسب من الصیغة التالیة 3

1 3

mas

:حیث n

3i

3 i 1

1 3

(x x) 15.84m 1.58 ,n 10

1.584a 0.0327.(3.645)

.أي أن ھناك التواء سالب بسیط ألن قیمتھ سالبة :مقیاس التفلطح یحسب من الصیغة التالیة

٢٣٠

4

2 4

ma ,s

:حیث n

4i

4 i 1(x x)

mn

2

2179.95 217.9 ,10217.9a 1.234.

176.510

. 3أي أن التوزیع مفلطح ألن قیمتھ أقل من دلیل DescriptiveStatisticsفیما یلى برنامج لحل المثال یعتمد على الحزمة تحت ال

Statistics وعلى االمرExpectedValue حیث البیانات تحت المسمىaa1 اس و مقی : a2ومقیاس التفلطح تحت المسمى a1االلتواء تحت المسمى

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; f[y_]:=(y-Mean[aa1])^3 s=N[StandardDeviation[aa1]] 3.64539 aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N -1.584 a1=aa2/(s^3) -0.0326981 ff[y_]:=(y-Mean[aa1])^4 aa3=ExpectedValue[ff[y],aa1,y]//N 217.995 a2=aa3/(s^4) 1.23444

:بعمل البرنامج التالى المقیاسینھذا ویمكن الحصول على aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; f[x_]:=Apply[Plus,x] g[x_]:=Length[x] n=g[aa1] 10 xb=f[aa1]/n//N 22.2

13.2889

3.64539 aa3=((aa1-xb)^3)//N

s21

n1faa1^2 faa1^2

n N

ss2

٢٣١

{-74.088,-0.008,54.872,21.952,110.592,54.872,-32.768,-140.608,-0.008,-10.648} b1=f[aa3]/n -1.584 a1=b1/(s^3) -0.0326981 aa4=(aa1-xb)^4//N {311.17,0.0016,208.514,61.4656,530.842,208.514,104.858,731.162,0.0016,23.4256} b2=f[aa4]/n 217.995 a2=b2/(s^4) 1.23444

:CentralMoment یمكن حل المثال بطریقة اخرى تعتمد على االمر <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; var=Variance[aa1]

aa2=Table[CentralMoment[aa1,r],{r,2,4}]//N {11.96,-1.584,217.995}

-0.0326981 a2=aa2[[3]]/(var*var)//N 1.23444

) ٠٧-٤( مثال

٠أوجد مقیاس للتفلطح ومقیاس لاللتواء للمشاھدات في الجدول التالى

6-2 11-7 16-12 21-17 26-22 المجموع

حدود الفئةمركز الفئة 4 9 14 19 24

x i fiالتكرار 2 3 5 3 7 20

330 168 57 70 27 8 x fi i 7.5 2.5 -2.5 -7.5 -12.5 ( )x xi 52.5 7.5 -12.5 -22.5 -25 ( )x x fi i 925 393.75 18.75 31.25 168.75 312.5 ( )x x fi i 2

-2250 2953.1 46.9 -78.1 -1265.6 -3906.3 ( )x x fi i 3

598

45

a1 aa22 varvar N

٢٣٢

80781.7 22148.3 117.3 195.3 9492.0 48828.8 ( )x x fi i 4 :الحــل

: من الجدول السابق فإن الوسط الحسابي ھو

xx f

f

i ii

k

ii

k

1

1

33020

16 5.

:والتباین یساوى 2S 46.25

1523.2370s , 6896.339s 43 , ( )x x fi ii

k

3

12250 .

mx x f

f

i ii

k

ii

k3

3

1

1

225020

112 5

( )

( ). .

-:وعلى ذلك یمكن الحصول على مقیاس االلتواء كما یلي

.331185.06896.339

5.112sma 3

3

1

)وذلك من الجدول السابق a2ویمكن إیجاد مقیاس التفلطح ) .x x fi ii

k

4

1807817 ,

mx x f

f

i ii

k

ii

k4

4

1

1

80781720

4039 085

( ) . . .

- :الحصول على مقیاس للتفلطح كما یلي وعلى ذلك یمكن

.704146.11523.2370085.4039

sma 4

4

2

:فیما یلى برنامج لحل المطلوب لھذا المثال <<Statistics`DescriptiveStatistics` c1={2,7,12,17,22}; c2={6,11,16,21,26};

mid Nc1c22

;

٢٣٣

ff={2,3,5,3,7}; TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

n=Apply[Plus,ff] 20

16.5

46.25

6.80074

-112.5

4039.06 a1=m3/(s^3) -0.357672 a2=m4/(s^4) 1.88824

Lower Upper Midpoint Frequency2 6 4. 27 11 9. 312 16 14. 517 21 19. 322 26 24. 7

xbDotmid, ff

n N

varDotmidxb2,ff

n N

svar

m3Dotmid xb3, ff

n N

m4Dotmid xb4, ff

n N

٢٣٤

الفصل الخامس

الدوال المولدة للعزوم

٢٣٥

یمكـن المولـدة الـدوال فباسـتخدام ، االحتمـاالت نظریـة فـي قویـة أداة للعـزوم المولـدة الـدوال تعتبـر الحســــاب طــــرق مــــن تعقیــــدا واقــــل مباشــــرة بطریقــــة لتوزیعــــات عــــزوم أو توزیعــــات علــــى الحصــــول

وأیضــا المشـاكل مـن مختلفـة ألنـواع مفیـدة واحـدة وكــل ، المولـدة الـدوال مـن العدیـد یوجـد. األخـرى . العشوائیة المتغیرات من مختلفة ألنواع

Moments Generating Function للعزوم المولدة الدالة )١-٥(

tXE(e التوقـع یكـون h < t < h- للفتـرة بحیـث h موجـب رقـم وجـود بفـرض ) موجـود : فان لذلك تبعا . Xعشوائي لمتغیر

tX txE(e ) e f (x) dx

:أو المتصل النوع من عشوائیا متغیراX عندما tX tX

xE(e ) e f (x),

للمتغیــر للعــزوم المولــدة الدالــة یســمى التوقــع هــذا. المتقطــع النــوع مــن عشــوائیا متغیــراX عنــدماXM الرمز لها ویرمز) التوزیع أو(X العشوائي (t)حیث :

tXXM (t) E(e )

0t عنـــدما فـــإن XM (0) 1 .أو المجمـــوع بكـــون مـــرتبط للعـــزوم المولـــدة الدالـــة وجـــود إن ذا مطلق نحو على متقارب التكامل ایضـا اذا. موجـودة غیـر الدالـة أن یقـال فعندئـذ كذلك یكن لم وا

.وجدت الدالة المولدة للعزوم فانها تكون وحیدة

)١ -٥( مثال :االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا

xf (x) e ,0 x = 0 , e.w.

أوجد الدالة المولدة للعزوم؟

:الحــل

:الدالة المولدة للعزوم هي

٢٣٦

. 1tt1

1et1

1

dxedxee)t(M

0

x)t1(

X)t1(

0

xtx

0X

:الدالة المولدة للعزوم ویمكن استخدام البرنامج التالى للحصول على

f[x_]:=Exp[t*x]

.t<1المخرج یعنى ان الدالة معرفة عندما

)٢ -٥( مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا

2 26f (x) , x = 1, 2, 3,...x

أوجد الدالة المولدة للعزوم؟

:الحــل

f للدالة للعزوم المولدة الدالة (x)هي : tx

tX txX 2 2

x x 1

6eM (t) E(e ) e f (x) .x

t عنـدما تباعدیـه المتسلسـلة أن إثبات یمكن 0 ال ذلـك وعلـى النسـبة اختبـار باسـتخدام وذلـك XMحیــث h موجــب عــدد یوجــد (t) و موجــودة تكــونh t h .لــذلك وتبعــا f (x) لهــذا .للعزوم مولدة دالة لها لیس المثال

:لهذا المثال الدالة المولدة للعزوم للكشف عن وجود ویمكن استخدام البرنامج التالى

f[x_]:=Exp[t*x];

0

Expxfxx

IfRet 1, 1

1 t,

Integrate1tx, x, 0, , Assumptions Ret 1

x1

62x2

fx

6PolyLog2, t2

٢٣٧

.یتضح من المخرج عدم الحصول على صیغة صریحة للدالة

)٣ -٥( مثال

XM الدالة تكون أن یمكن هل (t) الشكل على :

XtM (t) .

1 t

؟ ولماذا X وذلك لمتغیر عشوائي

:الحــل

XM الدالـــة تكـــون أن یمكـــن ال (t)للعـــزوم المولـــدة الدالـــة شـــرط الن وذلـــك المعطـــى الشـــكل علـــىXM (t) عند t 0 هو:

XM (0) 1.

XM الدالة أن نجد ولكن (t) 0 عند المعطاةt تساوي X0M (t) 0

1 0

. وبالتالي التمثل دالة مولدة للعزوم

)٤ -٥( مثال f كانت إذا (x)عشـوائي لمتغیـر االحتمال كثافة دالة هي X ذا المتقطـع مـن النـوع قـیم كانـت وا

X هي : a, b, c. d للمتغیر للعزوم المولدة الدالة وكانت X الشكل على:

tx t 2t 3t 4tX

x

1 2 3 4M (t) e f (x) e e e e10 10 10 10

: وهذا یعني أن

٢٣٨

1a 1 , f (a)10

2b 2 , f (b)103c 3 , f (c)

104d 4 , f (d)

10

: أو ببساطة

xf (x) , x = 1, 2, 3, 410

0 , e.w.

فــى ســهلة لیســت للعــزوم المولــدة الدالــة خــالل مــن االحتمــالي التوزیــع علــى التعــرف عملیــة إنX كـان إذا المثـال سـبیل فعلـى. الحاالت كل مولـدة بدالـة المتصـل النـوع مـن عشـوائیا متغیـرا

: الشكل على للعزوم. 1t

)t1(1)t(M 2X

:وعلى ذلك

. 1t,dx)x(fe)t1(

1 tx2

من بالرغم وذلك السابقة الصیغة من f(x) على التعرف الصعب من أنه الواضح من

: التالیة االحتمال كثافة دالة أن إثبات یمكن أنه-xf (x) x e 0 x

0 e.w .

: الشكل على للعزوم مولدة دالة لها1. t ) t - 1 ( )t(M 2-

X :ویمكن اثبات ذلك من البرنامج التالى

f[x_]:=Exp[t*x];

٢٣٩

XM للعـزوم مولـدة دالة له لتوزیع الممیزة الخصائص بعض (t)مباشـرة علیهـا الحصـول یمكـن XM من (t). ـــة تفاضـــل أمكـــن فـــإذا ـــدة الدال r فـــإن المـــرات مـــن r للعـــزوم المول r

XE(X ) M (0) .ســـبیل علـــى tكان إذا المثال 1 , 1

XM (t) (1 t) الدرجة من المشتقة فان r للدالة XM (t) هي : (r ) r 1

XM (t) r!(1 t) rE(X العزوم حول الصفر : یمكن الحصول علیه كالتالي، r من الدرجة (

r (r )XE(X ) M (0) r!

:هو المتوسطE(X) 1! 1

2 :التباین 2 2 2E(X ) 2 (1) 1. حساب یمكننا بالطبع , 2 حیث االحتمال كثافة دالة من :

،xf (x)dx

.2 2 2x f (x)dx

)٥ -٥( مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذاx1 2f (x) , x 1, 2,3,...

2 3

2E(X الدالة المولدة للعزوم واحسباوجد ),E(X).

:الحــل

0

xExpxfxx

IfRet 1, 1

1 t2,

Integrate1txx, x, 0, , Assumptions Ret 1

٢٤٠

xtX tx

Xx 1

xt

x 1

t

t

t t

1 2M (t) E(e ) e2 3

1 2e2 3

2e1 e 33 , t log

2e2 3 2e 213

t

X 2t

t t

X 3t

X2

X

3eM (t)3 2e

3e (3 2e )M (t)3 2e

M (0) E(X) 3M (0) E(X ) 15

حیث باستخدام البرنامج ثال للم الحلسوف یتم االن الوسط الحسابى و ex2 هو

:2 E(X )

f[x_]:=Exp[t*x];

aa3=D[aa2,t]

Ex2 3 aa4=D[aa2,{t,2}]

ex2=aa4/.t0 15

:البرنامج بطریقة اخرى والحصول على نفس النتائج ویمكن كتابة

x1

12 2

3xfx

t

3 2 t

3 t

3 2 t2

3

2

82t

32t3

2t

3 2t2

٢٤١

f[x_]:=Exp[t*x];

aa3=D[aa2,t]

=aa3/.t0 3 aa4=D[aa3,t]

ex2=aa4/.t0 15

)٦ -٥( مثال

مــن n متزنــة عملــة إلقــاء عنــد (H)الصــورة ظهــور مــرات عــدد یمثــل عشــوائیا متغیــرا X كــان إذا

2 أوجد المرات , E(X).

:الحــل

:هي X العشوائي للمتغیر االحتمال كثافة دالة

x n xn 1 1f (x) ,x 0,1,2,3,...x 2 2

:الدالة المولدة للعزوم هي x n xn tx

Xx 0

x n xn t

x 0

n 1 1M (t) ex 2 2

n 1 1ex 2 2

: ومن نظریة ثنائي الحدین فان

x1

12 2

3xfx

t

3 2 t

3t

3 2 t2

122t

3 2t3

3t

32t2

٢٤٢

tX

nt

n

1 1M (t) e2 2

1 e

2

2 ویمكن حساب , E(X) كما یلي: t n 1 t

X nt 0

n 1

n

n(1 e ) eM (0)2

n(1 1) n 22

t n 2 t 2 t t n 1 t

t 02 X n

n(n 1)(1 e ) (e ) e n((1 e ) eμ' M" 0

2

n 2 n 1

n

2

2222 2

n(n 1)(1 1) n(1 1)2

n(n 1) 2n n n4 4

n n n nσ E X E X .4 2 4

:التباین 2 الوسط الحسابى و حیث باستخدام البرنامج للمثال الحلسوف یتم االن

f[x_]:=Exp[t*x];

aa2=D[aa1,t]

=aa2/.t0

aa3=D[aa2,t]

gx_: Binomialn, x 12x12nx

aa1x0

nfxgx

2n1 tn

2nt 1 t1nn

n

2

2nt 1 t1nn 2n2t 1t2n1 n n

n

٢٤٣

ex2=aa3/.t0

2=Simplify[ex2-^2]

)٧ -٥( مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائي متغیر X كان إذا1f (x) , a < x < b

b a = 0 , e.w.

XM أن واثبت للعزوم المولدة الدالة) أ( أوجد (0) 1. . الصفر حول األولى األربعة العزوم أوجد)ب( . الحسابي الوسط حول العزوم) ج(

:الحــل

) أ(

b txtX

Xa

b tb tatx

a

eM (t) E(e ) dxb a

1 e ee dx , t 0b a t(b a)

XM الدالـــــة مـــــن یالحــــظ (t) X أن 0M (0)0

أن المعـــــروف ومـــــن محـــــدد غیـــــر شـــــكل وهـــــو

XM (0) 1 أن إثبات ویمكن XM (0) 1 كاآلتي :

tb ta

1X

2

g (t)e eM (t)t(b a) g (t)

1: كان إذا أنه على تنص والتي لوبیتال قاعدة باستخدام 2g (y) 0,g (y) 0 : فإن

1 1t 0 t 02 2

g (t) g (t)lim lim g (t) g (t)

tb، أن وبما ta1g (t) b e a e 2 وg (t) b a إذن

.tb ta

Xt 0 t 0

be ae b alim M (t) lim 1b a b a

n

21

41 n n

n

4

٢٤٤

للحصول على الدالة المولدة للعزوم وعلى باتباع نفس االسلوب المسخدم فى البرامج السابقة :حصلنا على التالى العزوم حول الصفر

f[x_]:=Exp[t*x];

:الدالة المولدة للعزوم یتم الحصول علیها من المخرج لالمر التالى

:اما الحصول على العزوم حول الصفر فلم نستطع الحصول علیها الن

X0M (0)0

aa2=D[aa1,t]

=aa2/.t0

Indeterminate aa3=D[aa2,t]

ex2=aa3/.t0

Indeterminate 2=ex2-^2 Indeterminate Simplify[2] 0

gx_: 1ba

aa1 a

bfxgxx

at bt

at bt

ab at bt

at bt2aat bbt

at bt

Power ::infy : Infinite expression1

02encountered . More…

::indet : Indeterminate expression0 ab ComplexInfinity encountered . More…

Power ::infy : Infinite expression1

0encountered . More…

2a b2at btat bt3

2a b a at b btat bt2

a2 at b2bt

at bt

Power ::infy : Infinite expression1

03encountered . More…

::indet : Indeterminate expression

0 ab2 ComplexInfinity encountered . More…

Power ::infy : Infinite expression1

02encountered . More…

Power ::infy : Infinite expression1

0encountered . More…

General ::stop : Further output of Power ::infy willbe suppressed during this calculation . More…

٢٤٥

لـــذلك، معقـــدة تبـــدو الصـــفر حـــول العـــزوم إیجـــاد فـــي للعـــزوم المولـــدة الدالـــة اســـتخدام أن بمـــا) ب(

حــول r الرتبــة مــن العــزوم صــیغة اشــتقاق خــالل مــن الدالــة هــذه عــن نســتعیض ســوف :یلي كما الصفر

bb r 1r r

a ar 1 r 1

(r )X

1 xE(X ) x dxb a (b a)(r 1)

b a M (0) , r 1, 2,3,(b a)(r 1)

)ج(

r 1 r 1br r

a

b (a )1E(X ) (x ) dx(b a) (r 1) (b-a)

: أن وبما

:وأن

خراج وبالتعویض :على نحصل مشترك عامل واr 1 r 1

rr 1

(b a) [1 ( 1) ]E(X ) .2 (r 1) (b a)

:أن السابقة الصیغة من ویتضح

r , زوجي r

rr

(b a)E(X )2 (r 1)

r = 0 , فردي

.تترك كتمرین The Characteristic Function الممیزة الدالة )٢-٤(

X دالــــةلل الرئیســـــي العیــــب فــــإن، ســـــابقا الحظنــــا كمــــا (t) لـــــبعض ةموجــــود غیـــــر اأنهــــ Fourier فــــوریر تحویلــــه أو( الممیــــزة الدالــــة فــــإن ذلــــك خــــالف علــــى. االحتمالیــــة التوزیعــــات

a b b a(b ) b2 2

a b a b(a ) a2 2

٢٤٦

transform (عشـــوائي لمتغیـــر الممیـــزة الدالــــة. االحتمالیـــة التوزیعـــات لجمیـــع معرفـــة X تعــــرف :كاآلتي

itxX

X

(t) e f(x)

: بینما المتقطع النوع من العشوائي المتغیر یكون عندماitx

X (t) e f (x) , - < t <

i هنا. متصل عشوائي متغیر X یكون عندما 1 التخیلي العدد أي . :من العالقة بینهم حیث والعكس یمكن ایجاد الدالة الممیزة من الدالة المولدة للعزوم

X X X Xt(t) M (it), M (t) M ( )i

: الممیزة الدالة بداللة العزوم

tووضــــع t إلــــى بالنســــبة الممیــــزة الدالــــة بتفاضــــل 0 فــــإنx (0) i . ایضــــا2

x 2(0) i :هو الصفر حول r الدرجة من العزمعموما

(r)r r

1 (0).i

)٨ -٥( مثال

عـدد یمثـل X عشـوائي لمتغیـر الصـفر االولـى حـول الخمسـة العـزوم و للعـزوم المولدة الدالة أوجدوجد الدالة المولدة للعـزوم ثـم اوجـد منهـا الدالـة ا. واحدة مرة زهرتین إلقاء عند 6 رقم الظهور مرات

. الممیزة

:الحــل

: هي Xداله كثافة االحتمال للمتغیر

٢٤٧

2 1 0 x

1/36 10/36 25/36 f(x)

tx t (0) t (1) t (2)X

t 2tX

t 2t1 X t 0 t 0

t 2t2 X t 0 t 0

t 2t3 X t 0 t 0

4

25 10 1M (t) e f (x) e ( ) e ( ) e ( )36 36 36

25 10 1M (t) e ( ) e ( )36 36 36

10 2 12M (t) e ( ) e ( )36 36 3610 4 14M (t) e ( ) e ( )36 36 3610 8 18M (t) e ( ) e ( )36 36 36

(4) t 2tX t 0 t 0

(5) t 2t5 X t 0 t 0

10 16 26M (t) e ( ) e ( )36 36 3610 32 42M (t) e ( ) e ( ) .36 36 36

ج حیث م البرنامباستخدال االن الح العزم الثالث حول الصفر و العزم الرابع حول الصفر و

. العزم الخامس حول الصفر

aa3=D[aa2,t]

=aa3/.t0

aa4=D[aa3,t]

ex2=aa4/.t0

2=ex2-^2

aa2 Exp0t2536

Exp1t 1036

Exp2t 136

25

365 t

182t

36

5 t

182t

18

1

3

5 t

182t

9

7

18

٢٤٨

aa5=D[aa4,t]

3=aa5/.t0

aa6=D[aa5,t]

4=aa6/.t0

aa7=D[aa6,t]

5=aa7/.t0

: نتبع اآلتي X العشوائي للمتغیر الممیزة الدالة إلیجاد :أن بما

.t 2 tX

1(t) (25 10e e )36

:هي X العشوائي للمتغیر الممیزة الدالة فإن

it 2itX X

it 2itX

1(t) M (it) (25 10e e )36

25 10 1(t) e e .36 36 36

:وباستخدام البرنامج

aa2/.tit

)٩ -٥( مثال

5

18

5t

1822t

9

1

2

5 t

184 2t

9

13

18

5 t

188 2t

9

7

6

aa2 Exp0t2536

Exp1t 1036

Exp2t 136

25

365 t

182t

36

25

365 it

182it

36

٢٤٩

: احتمال كثافة دالة له متصل عشوائیا متغیرا X كان إذا

a X a , 1f (x ) ,

2a

الدالة الممیزة ؟) ب( ؟X للمتغیر للعزوم المولدة الدالة) أ: أوجد

:الحــل

)أa

tx txX

aa tx

tx aa

a

ta ta

M (t) E(e ) e f (x)dx

1 1 e e dx2a 2a t1 (e e ).

2at

)ب a

itx itxX

aitx

aa

ita ita

1(t) E(e ) e dx2a

1 e 2a it1 (e e ).

2ait

:أو بإستخدام العالقة بین الداله للعزوم والداله الممیزة حیث

X X

ita ita

M (it) (t)1 = e e .

2a it

.تترك كتمرین

)١٠ -٥( مثال

:التالي الجدول في المعطاة اإلحتمال كثافة دالة له عشوائي متغیر X كان إذا

٢٥٠

5 4 3 2 1 x 18

18

48

18

18 f(x)

أوجد الدالة الممیزة ؟

:الحــل5

itx itxX

x 1

it (1) it (2) it (3) it (4) it (5)

(t) E(e ) e f (x)

1 1 4 1 1e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ).8 8 8 8 8

:یمكن ایجاد الحل باالمر التالى

aa118x1

5itx

1

8it 2it 3it 4it 5it

٢٥١

الفصل السادس

توزیعات متقطعة خاصة

٢٥٢

Uniform Distributionالتوزیع المنتظم ) ١-٦( 1هـــو Xإذا كـــان فـــراغ المتغیــر العشـــوائي : تعریــف 2 nR {x ,x ,...,x } فــإن التوزیـــع المنـــتظم

:یأخذ الصیغة التالیة

1 2 n1f (x;n) , x x , x ,..., x .n

لتوضـیح أن التوزیـع المنـتظم یعتمـد علـي المعلمـة f(x)بدال من f(x; n)سوف نستخدم الصیغة n . ســوف نكتــبX ~ DU(n) للداللــة علــي أن X متغیــرا عشــوائیا یتبــع التوزیــع المنــتظم

.المتقطع

یتم تحمیل من برنامج الماثیماتیكا ةوللتعرف على الخصائص االساسیة للتوزیعات المتقطع :وذلك بكتابة Statisticsتحت الدلیل DiscreteDistributions لحزمةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` ثم تنفیذة كما شرحنا سابقا.

Helpافذة البرنامج نختار لنالقائمة الرئیسیة للحصول على معلومات عن هذه الحزمة ومن :لنحصل على النافذة التالیة Help Broswerومنها نختار

٢٥٣

)١ -٦( مثال

جــزء ، فــإذا كــان المطلـــوب 20یتكــون الكتــاب الخــاص بــدائرة المعلومــات البریطانیــة لعــام مــا مــن الـذي یمثـل رقـم الجـزء المختـار Xأوجد التوزیع االحتمالي للمتغیر العشوائي . اختیار جزءا عشوائیا

.

:الحــل

جـــــزء فــــــإن كـــــل عنصــــــر فــــــي فـــــراغ المتغیــــــر العشــــــوائي 20عنـــــد اختیــــــار جـــــزءا عشــــــوائیا مــــــن

}x,...,x,x{R 2021 یقــع باحتمــال20وعلــي ذلــك یكــون لــدینا توزیــع منــتظم بدالــة كثافــة 1

:االحتمال 1f ( x ; 2 0 ) , x 1, 2 , . . . , 2 0 .

2 0

: حزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعة نكتبل الولتحمی

<<Statistics`DiscreteDistributions`

٢٥٤

. 20 المنتظم بمعلمة لتعریف ان المتغیر العشوائى یتبع التوزیعنكتب االمر التالى dist=DiscreteUniformDistribution[20]

:العامة لھذا االمر ھى الصیغة dist=DiscreteUniformDistribution[n]

.عدد صحیح موجب n حیث :االمر التالى ولتعریف فضاء المتغیر العشوائى نكتب

Domain[dist] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

:االمر التالى یعطى نفس نتیجة االمر السابق b=Table[i,{i,1,20}] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

وفیما یلى برنامج الیجاد قائمة بالتوزیع االحتمالى والمعطاه

. e فى القائمة المسماه

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[20] DiscreteUniformDistribution[20] Domain[dist] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} b=Table[i,{i,1,20}] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} f[x_]:=PDF[dist,X] c=Table[f[x],{x,1,20}]

e= Transpose[{b,c}]

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20,

1

20

1, 1

20, 2, 1

20, 3, 1

20, 4, 1

20, 5, 1

20,

6, 1

20, 7, 1

20, 8, 1

20, 9, 1

20, 10, 1

20,

11, 1

20, 12, 1

20, 13, 1

20, 14, 1

20, 15, 1

20,

16, 1

20, 17, 1

20, 18, 1

20, 19, 1

20, 20, 1

20

٢٥٥

: التوزیعحصول على المدرج االحتمالى لهذا االن سوف نشرح خطوات ال

الجزءمن نصل الى الصفحة التالیة حتى )٦-٣(فى مثال المتبعةنفس الخطوات وباتباع Sec2.1 من برنامج من الفصل الثانى KonoxProb وبعد تحدید الجزء

:فى الشكل التالى الرمادى كما هو واضح

:الشكل التالى تنفیذ البرنامج كما سبق ان شرحنا نحصل على بو

٢٥٦

وتنقـل الـى Copyویاخذ نسخة من الجزء الرمادى باسـتخدام االمـر . ویتم ذلك لتحمیل هذا الجزء

ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا ویتم تغییر البیانات الى بیانات مثالنا ثم یتم الضغط على القوس االیسر لتحدیده

evaluateمن قائمة برنامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط على

cell وتظهر الرسالة التالیة.

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط dist1=DiscreteUniformDistribution[20]; statelist=Table[i,{i,1,20}]; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,20}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

٢٥٧

.كحل لهذا المثال Wordوننقلها الى من النتیجة وفى النهایة یاخذ نسخة

:تظهر الرسالة التالیة KnoxProbوعند الخروج من البرنامج

.KnoxProbوذلك حتى ال یحدث تغیرات فى برنامج Don'tsaveونضغط

)٢ -٦( مثال

مـالقی من n = 2الحجم من اختیارها العینات الممكن لكل االحتمالي التوزیع أوجد { 1, 2, 3, 4 } .

:الحــل

ـــــــــــــــــــات الممكــــــــــــــــــــن اختیارهــــــــــــــــــــا هــــــــــــــــــــو 6عــــــــــــــــــــدد العینـ24

وهــــــــــــــــــــي علــــــــــــــــــــي التــــــــــــــــــــوالي

كــل العینــات الســابقة لهــا نفــس الفرصــة فــي الظهــور . }2,1,{}3,1,{}4,1,{]3,2,{}4,2,{}4,3{توزیـع العینـات یتبـع التوزیـع . {1,2,3,4}مـن القـیم n = 2عند اختیار عینة عشوائیة من الحجـم

:المنتظم بدالة كثافة احتمال

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

٢٥٨

6 ,...,2,1x,61)6;x(f

مـال اختیـار وعلـي ذلـك فـإن احت. الـخ … {1,3}تعنـي العینـة {1,2} ,2تعنـي العینـة 1حیـث

هو 1العینة 61)1X(P})2,1({P . عموما عند اختیار عینة عشـوائیة مـن الحجـمn مـن

في صیغة التوزیع المنتظم تعطي من cفإن قیمة Nمجتمع محدود حجمه

nN .

ذلك الماثیماتیكا و باستخدام برنامج لهذا المثال یمكن التعرف على خصائص التوزیع المنتظم

:باستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة <<Statistics`DiscreteDistributions`

:وتعریف التوزیع فى المثال كالتالى dist=DiscreteUniformDistribution[6];

:على سبیل المثال نستخدم االمر التالى و a=PDF[dist,2]

f ( 2 ) P ( X 2 ) لحساب

الثبات ان مجموع قیم المتغیر العشوائى تساوى واحد )السابقكتكملة للبرنامج (الخطوات التالیة :وهى احدى شروط دالة كثافة االحتمال

f[x_]:=PDF[dist,x]

1

P ( X 2 ) لحساب

:على سبیل المثال نستخدم االمر التالى CDF[dist,2]

:نستخدم االمر التالى ایضا

1

6

x1

10fx

1

3

٢٥٩

CDF[dist,5]

P ( X 5 ) لحساب

:یستخدم االمر التالى فضاء المتغیر العشوائى للتعرف على Domain[dist] {1,2,3,4,5,6}

:یستخدم االمر التالى توزیع لللحساب الوسط الحسابى Mean[dist]

:یستخدم االمر التالى لحساب تباین التوزیع

Variance[dist]

:یستخدم االمر التالى لحساب االنحراف المعیارى للتوزیع

StandardDeviation[dist]

:یستخدم االمر التالى للتوزیع معامل االلتواءلحساب

Skewness[dist] 0

:یستخدم االمر التالى للتوزیع معامل التفلطح لحساب Kurtosis[dist]

:یستخدم االمر التالى 2E ( X ) لحساب

:یستخدم االمر التالى 3E ( X ) لحساب

:یستخدم االمر التالى 4E ( X ) لحساب

5

6

7

2

35

12

353

2

303

175

ExpectedValuex2, dist, x91

6

ExpectedValuex3, dist, x147

2

٢٦٠

: كالتالىالتمثیل البیاني للتوزیع المنتظم بالمدرج االحتمالى یمكن الحصول على

dist1=DiscreteUniformDistribution[6]; statelist={1,2,3,4,5,6}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,6}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

باستخدام برنامج الماثیماتیكا بصورة عامة یمكن التعرف على خصائص التوزیع المنتظم :كالتالى وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[n]; Domain[dist] Range[n] PDF[dist,x]

Mean[dist]

Variance[dist]

StandardDeviation[dist]

Skewness[dist] 0

ExpectedValuex4, dist, x2275

6

1 2 3 4 5 6

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

1

n

1 n

2

1

121 n2

1n2

23

٢٦١

Kurtosis[dist]

:الدالة الممیزة له هى CharacteristicFunction[dist,t]

وباستخدام التالى نستخدم برنامج الماثیماتیكا 6بمعلمة تتبع التوزیع المنتظم عشرة قیم لتولید

:الجاهزة للتوزیعات المتقطعة الحزمة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[6]; RandomArray[dist,10] {6,4,2,1,4,5,6,4,1,6}

:لتولید قیمة واحدة نتبع التالى <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[6]; Random[dist] 1

)٣ -٦( مثال

واحـد اسؤال من نوع صح وخطأ وكـل سـؤال لـه أربـع أجوبـة محتملـة منهـ 20یحتوي امتحان علي حیــث Xألي ســؤال معطــي فــإن اإلجابــة العشــوائیة تمثــل متغیــر عشــوائي . هــو اإلجابــة الصــحیحة

X ~ DU(4) مثـل . والتي تمثل أرقـام اإلجابـات المحتملـة 3,4 ,2 ,1وقیم المتغیر العشوائي هي .دالة كثافة االحتمال ودالة التوزیع بیانیا

3

53 4

1n2

1

61n 1 2n

1

4n1n2

1

301n 1 2n 13n 3n2

t 1 nt1 t n

٢٦٢

:الحــل

: كالتالى بالمدرج االحتمالى ن تمثیلهایمكدالة كثافة االحتمال

statelist={1,2,3,4}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,4}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8},AxesLabel{"x","f{x}"}];

: یمكن الحصول علیها كالتالى ودالة التوزیع

F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,1/4,2x<3,1/2,3x<4,3/4,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,406},{1,2,3,4},DotSize.02,AxesOrigin{0,-.01},PlotRange{-.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

1 2 3 4x

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

f x

٢٦٣

باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة معلومات اخرى عن التوزیع یمكن الحصول علیها

:كالتالى للتوزیعات المتقطعة الجاهزة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[4]; f[x_]:=PDF[dist,x]

1 CDF[dist,3]

CDF[dist,5] 1 Domain[dist] {1,2,3,4} Mean[dist]

Variance[dist]

StandardDeviation[dist]

Skewness[dist] 0 Kurtosis[dist]

1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

1fx

1

4

x1

10fx

3

4

5

2

5

4

52

41

25

٢٦٤

25

)٤ -٦( مثال

ذا كـان متغیـرا عشـوائیا یمثـل الـرقم الـذي یظهـر علـي Xإذا ألقیت زهرة نرد متزنة لها أربعة أوجه وا :بدالة كثافة احتمال علي الشكل X ~ DU(4)سطح النرد ، وعلي ذلك

1f (x;4) x 1,2,3,44

0 , e.w .

P(Xأوجد 2).

.یترك كتمرین

)٥ -٦( مثال

:لحــل

2

22 2X

n 1E(X ) E(X ) .12

وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا

ExpectedValuex2, dist, x15

2ExpectedValuex3, dist, x

ExpectedValuex4, dist, x177

2

:أي أن ، متغیر عشوائي منفصل یتبع التوزیع المنتظم X إذا كان 1f (x;n) , x = 1,2,...,nn

.باستخدام البرنامج Xوتباین E(X)أوجد

N

x 1

n 1E(X) xf (x) .2

٢٦٥

. لهذا المثال Xوتباین E(X)وذلك الیجاد

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[n]; Mean[dist]

Variance[dist]

)٦ -٦( مثال

:الحــل

:Xالتوزیع االحتمالي للمتغیر العشوائي ) أ (

1f (x) , x 1,2,3,4,5,66

P(X )ب( 3 0) , P(X 4)

.

2 1P ( X 4 ) P ( X 5 ) P ( X 6 )6 3

2 1P ( X 3 0 ) P ( X 3) P ( X 1) P ( X 2 )6 3

. Xالتوقع والتباین للمتغیر العشوائي ) ج(6

x 12

2 .

6 1 7E ( X ) x f ( x )2 2

6 1 3 6 1 3 51 2 1 2 1 2

یترك كتمرین یحل بالبرنامج

1 n

2

1

121 n2

ذا كـــان ، إذا ألقیـــت زهـــرة نـــرد متزنـــة مـــرة واحـــدة یمثـــل عـــدد الـــنقط التـــي تظهـــر علـــى Xوا .الوجه العلوي للزهرة عند الرمي

Xالتوزیع االحتمالي للمتغیر العشوائي )أ : ( المطلوب . Xالتوقع والتباین للمتغیر العشوائي ) ج( P(X-3<0) , P(X>4)) ب(

٢٦٦

)٧ -٦( مثال

:الحــل

:هي Xقیم المتغیر العشوائي x = 1,2,…10 ,

1f (x) 10 P(X<5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

1 1 1 1 4 .10 10 10 10 10

یترك كتمرین یحل بالبرنامج

)٨ -٦( مثال

E(X)و P(X=90)أوجد التوزیع المنتظم لفئة جزئیة حجمها ثالثة أشهر من السنة ثم أوجد

:الحــل

وعلیــــه فإنــــه یمكــــن إختیــــار ثالثــــة أشــــهر بشــــكل ، شــــهرا 12حیــــث أن عــــدد اشــــهر الســــنة یســــاوي 12عشـــوائي بطـــرق عـــددها

2203

فـــإن 220الـــى 1وبتـــرقیم الفئـــات الجزئیـــة مـــن ، طریقـــة

:التوزیع اإلحتمالي هو1 x =1,2,3,...,220

f (x) 2200 , e.w.

1P(X 90)220

n 1 220 1E(X) 11.052 2

22 2 2 n 1E(X ) [E(X)] 4033.25

12

الــذي یمثــل رقــم الكــرة المختــارة عشــوائیا Xأوجــد صــیغة للتوزیــع االحتمــالي الخــاص بــالمتغیر العشــوائي . 10كرات مرقمة من واحد الى 10من وعاء یحتوي على

؟ 5ما هو االحتمال أن یكون الرقم المختار أقل من

٢٦٧

یترك كتمرین یحل بالبرنامج Binomial Distributionتوزیع ذي الحدین ) ٢-٦(

مـن المحــاوالت المتكـررة المسـتقلة بحیــث nفـي كثیـر مـن األحیــان قـد تشـتمل تجربــة مـا علـي یكون لكل محاولة نتیجتین اثنتین فقط ، تسمي األولي نجاح وتسمي األخرى فشـل ، حیـث احتمـال

تســمي التجربــة التــي تحقـق هــذه الشــروط بتجربــة ثنــائي . q = 1-pواحتمــال الفشــل pالنجـاح مـرات حیـث كـل 5 فعلي سبیل المثال عند إلقـاء عملـة متزنـة . binomial experimentالحدین

هنـا المحـاوالت . محاولة قد تكون صورة أو كتابة وذلك تحت فرض أن النجاح هو ظهـور الصـورة

المتكررة مستقلة كمـا أن احتمـال النجـاح ثابـت مـن محاولـة إلـي أخـرى ویسـاوي 21p . ویجـب

ریــف النجــاح والفشــل عكــس ذلــك تمامــا ، أي جعــل ظهــور الكتابــة نجــاح ، مالحظــة أنــه یمكــن تع . p , qوفي هذه الحالة تتبدل قیمتي

مـع ( nوهناك أمثلة كثیرة علي تجـارب ذي الحـدین مثـل اختیـار عینـة عشـوائیة مـن الحجـم وذلــك كـل وحــده فـي المجتمــع تصــنف إلـى واحــد مـن نــوعین. مــن مجتمـع تحــت الدراســة ) اإلرجـاع

علـــي ســـبیل المثـــال ، الوحـــدة قـــد تكـــون شـــخص والصـــفة قـــد تكـــون مـــا إذا كـــان . وفقـــا لخاصـــیة مـــاإذا كانـت الوحـدة جـزء مـن آلـه، هـذه . الشخص قال نعم أوال في التصـویت علـي تأییـد شـخص مـا

إذا كانـت الوحـدة ورقـة شـجرة فالصـفة قـد تكـون . الصفة قد تكون ما إذا كان الجزء سلیم أو تالف عمومـــا یمكـــن القـــول أن تجربـــة ذي الحـــدین هـــي . الورقـــة تالفـــة مـــن اإلصـــابة بالحشـــرات أم ال

:التجربة التي تحقق الشروط اآلتیة .من المحاوالت المتكررة nالتجربة التي تتكون من - أ

.نتیجة كل محاولة یمكن تصنیفها إلي نجاح أو فشل - ب .ي محاولة یبقي ثابت من محاولة إل pاحتمال النجاح ، وهو - ج .المحاوالت المتكررة مستقلة بعضها عن بعض -د

مــن المحــاوالت المسـتقلة حیــث یوجــد أكثــر مــن ) nعــددها ( قـد تشــتمل تجربــة علــي متتابعـة فــي هـــذه الحالــة یمكـــن اعتبارهــا تجربـــة ذي الحــدین بعـــد تقســیم النتـــائج . نتیجتــین فــي أي محاولـــة ذا كـــان 10یل المثـــال إذا ألقینـــا زهـــرة نـــرد متزنـــة علـــي ســـب. الممكنـــة إلـــي مجمـــوعتین Xمـــرات وا

باحتمـــال ) نجـــاح( متغیـــرا عشـــوائیا یتبـــع ذي الحـــدین ویمثـــل ظهـــور الـــرقم واحـــد 61p فـــإن قـــیم

,2أي ظهور 1الفشل هنا هو عدم ظهور . ,0 10 ,… ,2 ,1كون تسوف Xالمتغیر العشوائي

والفشل یحدث هنا باحتمال 6,…,365q .

٢٦٨

عشـوائي مـن المحـاوالت لتجربـة ذي الحـدین یسـمي متغیـر nفـي Xعدد حـاالت النجـاح :تعریف . binomial random variableیتبع ذي الحدین

binomialیتبـع ذي الحـدین یسـمي توزیـع ذي الحـدین Xالتوزیـع االحتمـالي لمتغیـر عشـوائي

distribution وسوف نرمز له بالرمزb(x; n, p) وذلك ألن قیمـة تعتمـد علـي عـدد المحـاوالت :الصیغة العامة لتوزیع ذي الحدین سوف تكون علي الشكل .واحتمال النجاح في محاولة معطاة

x n xn

p q ,x 0,1,2,...,nb(x,n,p) x

0 e.w.

:كتابتها علي الشكل یتبع ذي الحدین یمكن Xدالة التوزیع لمتغیر عشوائي

x

k 0

B(x;n,p) b(k,n,p) x 0,0 e.w.

. n, pلقیم مختلفة من ) ١(معطاة في الجدول في ملحق B (x; n, p)بعض قیم باســـتخدام ) ١(قـــیم دالـــة كثافـــة االحتمـــال یمكـــن الحصـــول علیهـــا بســـهولة مـــن الجـــدول فـــي ملحـــق

:الصیغة التالیة b (x; n, p) = B (x; n, p) – B (x –1 ; n , p ) .

nمتغیرا عشـوائیا یتبـع ذي الحـدین ویعتمـد علـي Xلتوضیح أن X ~ BIN (n, p)سوف تكتب . pمن المحاوالت باحتمال نجاح

باستخدام برنامج الماثیماتیكا ذى الحدین زیع تو بصورة عامة یمكن التعرف على خصائص :كالتالى وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[n,p]; Domain[dist] Range[0,n] PDF[dist,x]

Mean[dist] n p Variance[dist] n (1-p) p

1 pnxpxBinomialn, x

٢٦٩

StandardDeviation[dist]

Skewness[dist]

Kurtosis[dist]

n1 p p

1 2p n1 p p

3161 p pn1 p p

ExpectedValuex2,dist, xn1 pn p1 p np

1 p

1 pn

ExpectedValuex3,dist, xn1 pn p

1 p

1 pn1 3p 3np 2p2 3np2 n2p2

ExpectedValuex4, dist, x

٢٧٠

CharacteristicFunction[dist,t]

: فعلى سبیل المثال المئین الخامس والعشرین ،المئینات لتوزیع ذى الحدین یمكن الحصول علیها

Quantile[DiscreteUniformDistribution[10],0.25] 3

. فیما یلى جدول بالمئین 25,50,75 Table[Quantile[DiscreteUniformDistribution[10],0.25k],{k,

2,1,3}] {3,5,8}

)٩ -٦( مثال

بفـرض أن المستشــفي .أطبـاء یقــررون دواء مـا 40أطبـاء یوجـد 100فـي بلـد مـا وجــد أنـه مـن بــین أنـه علـى مـا هـو االحتمـال المطلـوب تمثیـل الدالـة بیانیـا ، أطبـاء عشـوائیا 10 رشـح للعمـلتسـوف

.یقررون هذا الدواء منهم األكثر یوجد اثنین

:الحــل4p , n= 10

10

n1 p1n p

6p2 1 p1p

4n

1 p2

9np2 1 p1p

4n

1 p2

3n2p2 1 p1p

4n

1 p2

2np3 1 p1p

4n

1 p3

3n2p3 1 p1p

4n

1 p3

n3 p31 p1p

4n

1p3

6p1 p1p

3n

1 p

6np1 p1p

3n

1 p

3np2 1 p1p

3n

1 p2

3n2 p21 p1p

3n

1p21 p

1 p2n

np1 p1p

2n

1 p

1 p tpn

٢٧١

:االحتمال المطلوب هو

P(X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2)

سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة :كالتالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[10,.4]; CDF[dist,2] 0.16729

التالى تخدم برنامج الماثیماتیكا نستتبع توزیع ذى الحدین ) على سبیل المثال(قیم لتولید عشرة :وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[10,.4]; RandomArray[dist,10] {3,4,2,4,3,2,3,2,5,8}

:لتولید قیمة واحدة نتبع التالى <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[10,.4]; Random[dist] 6

حتمال لتوزیع ذى الحدین االل البیانى لدالة كثافة ثیالحصول على التماالن سوف نشرح خطوات

:باستخدام المدرج االحتمالى الجزءمن حیث نصل الى الصفحة التالیة )٦-٣(فى مثال التىنفس الخطوات وباتباع

حدید الجزء الرمادى بعد ت KonoxProb من الفصل الثانى من برنامج Sec2.1 :فى الشكل التالى كما هو واضح

٢٧٢

:وبتنفیذ البرنامج كما سبق ان شرحنا نحصل على الشكل التالى

Copyویاخـــذ نســـخة منـــه مـــن الجـــزء الرمـــادى باســـتخدام االمـــر . ویـــتم ذلـــك لتحمیـــل هـــذا الجـــزء

:كما هو واضح فى الشكل التالى وتنقل الى ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا

:ویتم تغییر البیانات الى بیانات مثالنا ثم یتم الضغط على القوس االیسر لتحدیده

٢٧٣

evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell وتظهر الرسالة التالیة.

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط dist1=BinomialDistribution[10,.4]; statelist={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,10}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

.كحل لهذا المثال Wordوننقلها الى من النتیجة وفى النهایة یاخذ نسخة

:تظهر الرسالة التالیة Knoxprobد الخروج من البرنامج وعن

.Knoxprobوذلك حتى ال یحدث تغیرات فى برنامج Don'tsaveونضغط

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

٢٧٤

)١٠ -٦( مثال

بنایـة جدیـدة فـي المدینـة ال 20أبنیة من كـل 6أشارت احدي البحوث الخاصة بفحص األبنیة بان ابنیــه عشــوائیا بغــرض فحصــها فمــا احتمــال وجــود بنایـــة 10تطــابق مواصــفات البنــاء فــإذا أخــذت

ومـــا احتمـــال وجـــود علـــي األقـــل بنـــایتین غیـــر مطـــابقتین واحـــدة غیـــر مطابقـــة لمواصـــفات البنـــاء؟ للمواصفات ؟

:الحــل

:حیث ) ١(بإستخدام جدول ذى الحدین فى ملحق سوف یتم الحل

1 9

0 10 1 9

10P(X 1) (0.3) (0.7)

1P(X 1) P(X 0) 0.149 .028 .121.

P(X 2) 1 P(X 2) 1 [P(X 0) P(X 1)]

10 10 1 [ (.3) (.7) (.3) (.7) ] =1-.149=.851.

0 1

سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة :كالتالى

P(X :كالتالى لطریقة االولى احیث یمكن حلها بطریقتین 1) <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[10,.3]; PDF[dist,1] 0.121061

P(X 1) P(X 1) P(X 0) الطریقة الثانیة حیثCDF[dist,1]-CDF[dist,0]

0.121061

P(X 2) 1 P(X 1) :االن

٢٧٥

1-CDF[dist,1] 0.850692

)١١ -٦( مثال

1pإذا كانــت نســبة اإلنــاث فــي مجتمــع مــا2

. و تحــت فــرض أن شــخاص أ 5أخــذت عینــة مــن

:اوجد 5 .احتمال أن یكون الطفل ولد هو .والد أ 3) أ

.عدد األوالد اقل من عدد البنات ) ب

:الحــل

:یأخذ القیم التالیة X یمثل عدد البنات في العینة فان X إذا كان )أx = 0, 1, 2,3,4,5

ذا كان :یأخذ القیم التالیة Yیمثل عدد األوالد في العینة فان Yواy = 0, 1, 2,3,4,5

3 2

n 5 , p .5,5

P(Y 3) (.5) (.5) .3

: هو ) ١(من الجدول فى ملحق أي أن االحتمال المطلوب ) ب(P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5) 1 P(X 3) 1 P(X 2) 1 .5 .5.

:سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[5,.5]; PDF[dist,3] 0.3125 1-CDF[dist,2] 0.5

)٢١ -٦( مثال

1pنسبة اإلناث في مجتمع ما إذا كانت2

. شخاص أ 10أخذت عینة من:

ما احتمال أن یكون كل أفراد العینة إناث ) أ(

إناث في العینة8 ما احتمال أن یوجد علي األقل ) ب(

P) ج( ( 4 X 6 )

:الحــل

٢٧٦

:) ١(من الجدول فى ملحق

)أ10 010 1 1P(X 10) ( ) ( ) P(X 10) P(X 9)

10 2 21 .999 .001.

)ب10

x 10 x

x 8

10 1 1P(X 8) ( ) ( )x 2 2

1 P(X 7) 1 .945 .055.

)ج6

x 10 x

x 4

10 1 1P(4 X 6) ( ) ( )x 2 2

P(X 6) P(X 3) .828 .172 .656.

:برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة سوف نوجد الحل باستخدام <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[10,.5];

PDF[dist,10] 0.000976563 CDF[dist,10]-CDF[dist,9] 0.000976563 1-CDF[dist,7] 0.0546875 CDF[dist,6]-CDF[dist,3] 0.65625

)٣١ -٦( مثال

إذا ٠مــن الحــاالت التــي وصــف لهــا %30طویلــة وجــد أن دواء لــه تــأثیر علــى فــي فتــرة زمنیــةمرضــي مــا هــو االحتمــال أنــة ســوف یكــون لــه تــأثیر فــي ثالثــة 4 أعطــي الطبیــب هــذا الــدواء إلــي

.مرضي علي األقل

3 1 4 0

P(X 3) P(X 3) P(X 4)4 4

(.3) (.7) (.3) (.7)3 4

1 P(X 2)

٢٧٧

سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة :كالتالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[4,.3];

:ویمكن الحل بطریقتین مختلفتین كما یلى 1-CDF[dist,2] 0.0837 PDF[dist,3]+PDF[dist,4] 0.0837

)٤١ -٦( مثال

طــــائرة تشــــتغل بــــاربع محركــــات مســــتقلة عــــن بعضــــها الــــبعض و احتمــــال توقــــف أي منهــــا یســــاوي فـإذا ، ولكي تواصل الطائرة رحلتها یجب أن یشـتغل علـى األقـل اثنـان مـن هـذه المحركـات 0.002

قامت الطائرة برحلة جویة فما احتمال أنها ستكمل الرحلة ؟

:الحــل

هــذه التجربــة تتضــمن أربعــة محــاوالت مســتقلة عــن بعضــها الــبعض وكــل محاولــة تتضــمن أمــا یمثـــل احتمـــال أن المحـــرك pو علیـــه إذا كـــان ) فشـــل ( أو ال یشـــتغل ) نجـــاح ( محـــرك یشـــتغل

متغیـر عشـوائي X وهـو متسـاوي لكـل محـرك وعلـى ذلـك p = 1-0.002=0.998یشـتغل فـإن p = 0.998 , n = 4ع توزیـع ذي الحـدین بمعلمتـین بـیتو ي تشـتغل یمثـل عـدد المحركـات التـ

: وعلى ذلك

4x 4 x

x 2

4p(X 2) (0.998) )0.002)

x

= 1-P(X < 2)= 1- P(X = 0) + P(X = 1) .

:سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[4,.998]; 1-CDF[dist,1] 1.

)٥١ -٦( مثال

15، فــــإذا كــــان معــــروف أن 0.2 احتمـــال أن یشــــفى مــــریض مــــن مــــرض نــــادر فــــي الــــدم هــــو :احتمال أن أوجدشخص عندهم هذا المرض

٢٧٨

. هذا المرض على األقل من 9یشفى ) أ( .من هذا المرض 8 إلى 4یشفى من ) ب( ؟ على األكثر أثنین من هذا المرض یشفى) ج(

:الحــل

:تمثل عدد المرضى الذین سوف یشفوا من هذا المرض فإن Xبفرض أن ) أ(

8

x 0

P(X 9) 1 P(X 9) 1 P(X 8)

1 b(x;15,0.2) 1 0.999 0.001.

:من هذا المرض 8 إلى 4احتمال أن یشفى من ) ب(8 3

x 0 x 0

P(4 X 8) b(x;15,0.2) b(x;15,0.2)

0.999 0.648 0.351.

:احتمال أن یشفى على األكثر أثنین من هذا المرض ) جـ(2

x 0

P(X 2) b(x;15,0.2) 0.3980.

سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة :كالتالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[15,.2]; 1-CDF[dist,8] 0.000784985 CDF[dist,8]-CDF[dist,3] 0.351053 CDF[dist,2] 0.398023

:نظریھ

:هما b(x ; n , p) الوسط الحسابي والتباین لتوزیع ذي الحدین2np , npq.

)٦١ - ٦( مثال

:من موالید ساللة معینة من األرنب بشعر طویل أوجد %30يولد .التوزیع االحتمالي لعدد الحیوانات التي تولد بشعر طویل في بطن من أربعة أرانب ) أ( P(X = 1)أوجد ) ب( . X واالنحراف المعیاري للتوزیع االحتمالي للمتغیر أوجد المتوسط) ج(

٢٧٩

:الحــل

:التوزیع االحتمالي لعدد الحیوانات التي تولد بشعر طویل في بطن من أربعة أرانب هو) أ( p 0.3 , n = 4

x 4 x4b(x;4,0.3) 0.3 0.7 , x 0,1,2,3,4.

x

:تحسب كالتالي P(X=1)) ب(

1 34b(1;4,0.3) 0.3 0.7 .

1

:هما X العشوائي المتوسط واالنحراف المعیاري للمتغیر) ج(

2

E(X) = n p = (4) (0.3) = 1.2

npq 0.916.

:سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[4,.3]; PDF[dist,1] 0.4116 Mean[dist] 1.2 StandardDeviation[dist] 0.916515

)٧١ -٦( مثال

فـإذا . سـاعة 72أعطیت ستة فئران جرعة معینة مـن سـم ولـوحظ عـدد الفئـران التـي تمـوت خـالل خــالل تمــوت أوجــد التوزیــع االحتمــالي لعــدد الفئــران التــي. 0.2كــان احتمــال مــوت كــل فــأر هــو

. Xساعة وأوجد المتوسط والتباین للمتغیر العشوائي 72

:الحــل

pحیث 0.2 , n = 6

:ساعة هو 72فإن التوزیع االحتمالي لعدد الفئران التي تموت خالل

x 6 x6b(x;6,0.2) 0.2 0.8 , x 0,1,2,3,4,5,6.

x

:المتوسط والتباین یساوي

2

np (6)(0.2) 1.2npq (6)(0.2)(0.8) 0.96.

٢٨٠

سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة : كالتالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[6,.2]; Mean[dist] 1.2 Variance[dist] 0.96

)٨١ -٦( مثال

الرافعـــة لمـــس بفـــرض أن احتمـــال. درب حیـــوان علـــى لمـــس واحـــدة مـــن رافعتـــین إذا أمـــر بـــذلك أوجـد التوزیـع االحتمـالي لعـدد مـرات لمـس الرافعـة الصـحیحة . 0.8الصحیحة إذا أمر بذلك هو

.وأوجد المتوسط والتباین للتوزیع االحتمالي الذي حصلت علیه 10في محاوالت عددها

:الحــل

p = 0.8 n = 10 ,حیث :فإن التوزیع االحتمالي لعدد مرات لمس الرافعة الصحیحة هو

x 10 x10b(x;10,0.8) (0.8) (0.2) ,x 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

x

:والمتوسط والتباین یساوي

2

np (10)(0.8) 8,npq (10)(0.8)(0.2) 1.6 .

:الجاهزة للتوزیعات المتقطعة سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[10,.8]; Mean[dist] 8. Variance[dist] 1.6

)١٩ -٦( مثال

متغیــرا X كـان افــإذ .فـي نهایــة التجربـة 0.2فـي تجربـة زراعیــة كانـت نســبة اإلصـابة بفطــر مـا :نباتات ، أوجد 10عشوائیا یمثل عدد النباتات المصابة بالفطر في عینة من

.التوزیع االحتمالي لعدد النباتات المصابة -أ

2 -ج . P(X = 0)أوجد -ب , .

:الحــل

٢٨١

.التوزیع االحتمالي لعدد النباتات المصابة ) أ(

x 10 x10b(x;10,0.2) (0.2) (0.8) ,x 0,1,2,...,10.

x

:تحسب كالتالي P (X=0) ) ب(

0 1010b(0;10,0.2) (0.2) (0.8) .

0

.یترك كتمرین

)٢٠-٦( مثال

، فـــإذا أغـــارت خمـــس طـــائرات علـــى 0.9احتمـــال أن تصـــیب أي طـــائرة أحـــد أهـــداف العـــدو هـــو :الهدف ، أوجد

.التوزیع االحتمالي لعدد الطائرات التي تصیب الهدف ) أ(

.متوسط التوزیع وكذلك االنحراف المعیاري ) ب(

:الحــل

احتمـال عـدم إصـابة الطـائرة p = 0.9: احتمال إصابة الطائرة للهدف n = 5: عدد الطائرات x = 0,1,2,3,4,5: هي Xقیم المتغیر العشوائي و q = 0.1: للهدف

:التوزیع االحتمالي لعدد الطائرات التى تصیب الهدف هو ) أ(x 5 x5

b(x;5,0.9) (0.9) (0.1) .x

:متوسط التوزیع هو ) ب(

np (5)(0.9) 4.5. :االنحراف المعیاري هو

2 npq (5)(0.9)(0.1) 0.6708. .یترك كتمرین

The Characteristic Function الدالة الممیزة

:ي هیتبع ذي الحدین X الدالة الممیزة لمتغیر عشوائيit n

X (t) [p e +q] .

٢٨٢

Skeweness and Kurtosisااللتواء والتفلطح :معامل االلتواء لتوزیع ذي الحدین یحسب من العالقة التالیة

33 3 2

2

.

: الحدین هووعلي ذلك معامل االلتواء لتوزیع ذي 3

3 3 2 3 22

npq(1 2p) 1 2p .(npq) npq

nعندما 4فان ٠یؤول إلي الصفر : معامل التفلطح لتوزیع ذي الحدین هو

44 2

2

1 6pq3 .npq

nعندما 4فان ٠ 3یؤول إلي

)١٢ -٦( مثال

فــإذا تــم اختیــار عینــة عشــوائیة ، مــن المصــابین بمــرض معــین یــتم شــفاؤهم %10إذا علمــت أن یمثــــل عـــــدد Xأشـــــخاص یعــــانون مـــــن هــــذا المــــرض وكـــــان المتغیــــر العشـــــوائي 6تتكــــون مــــن

المطلـوب X BIN(6,.1)االشـخاص الـذین سـیتم شـفاؤهم مـن هـذا المـرض فـإن

: ایجادX M (t)ومعامل التفلطح ومعامل االلتواء

:الحــلit n it 6

X (t) (q pe ) (0.9 0.1e ) . : وعلي ذلك معامل االلتواء لتوزیع ذي الحدین هو

33 3 2 3 2

2

npq(1 2p) 1 2p .(npq) npq

: لتوزیع ذي الحدین هومعامل التفلطح 4

4 22

1 6pq3 .npq

:سوف نوجد الحل باستخدام برنامج الماثیماتیكا وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions`

٢٨٣

dist=BinomialDistribution[6,.1]; CharacteristicFunction[dist,t]

Skewness[dist] 1.08866 Kurtosis[dist] 3.85185

lli DistributionernouB توزیع برنولى

1یأخـذ القـیم Yحیـث Yفي كل محاولة من تجربة ذي الحدین یمكن تعریف المتغیـر العشـوائي

:بدالة كثافة احتمال 0أو y 1-y1

f (y,p) p q y=0,1y

= 0 , e.w.

.n=1وعموما هو حالة خاصة من توزیع ذى الحدین عندما باستخدام برنامج الماثیماتیكا التعرف على خصائص التوزیع المنتظم یمكننابصورة عامة یمكن

:كالتالى وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BernoulliDistribution[p]; Domain[dist] {0,1} BDF[dist,x] BDF[BernoulliDistribution[p],x] CDF[dist,x] 1-p Mean[dist] p Variance[dist] (1-p) p StandardDeviation[dist]

Skewness[dist]

Kurtosis[dist]

0.9 0.1t6

1 p p

1 2p 1 p p

٢٨٤

CharacteristicFunction[dist,t]

DistributionHypergometricالتوزیع الهندسي الزائدي ) ٣-٦(

مــن ، kوأن هنــاك ، Nولـیكن ، بفـرض أن مجتمــع یتكـون مــن عـدد محــدود مـن الوحــدات وبفــرض أن عینــة عشــوائیة ، )فشــل( Bوالوحــدات الباقیــة مــن نــوع ) نجــاح( Aالوحــدات مــن النــوع

تمثـل عـدد الوحـدات مـن النـوع xبفـرض أن .من هـذا المجتمـع وبـدون إرجـاعسحبت nمن الحجم A اهتمامنا سوف یكون في إیجاد. التي تظهر في العینةP(X=x) .

تحقـق تجربـة . Hypergometric experimentالتجربة السـابقة تسـمى تجربـة الهندسـي الزائـدي :الهندسي الزائدي الشروط التالیة

من الوحدات Nتختار من مجتمع یحتوي على nعینة عشوائیة من الحجم - أ

.تصف فشل N-kمن الوحدات تصف نجاح و kفإن Nفي المجتمع الذي حجمه - ب

عــــدد حــــاالت النجــــاح فــــي تجربــــة الهندســــي الزائــــدي یســــمى متغیــــر عشــــوائي یتبــــع :تعریــــف .الهندسي الزائدي

التوزیع االحتمالي لمتغیر عشوائي التوزیع الهندسـي الزائـدي یسـمى التوزیـع الهندسـي الزائـدي الموجـودة فـي kتعتمـد علـى xوذلـك الن عـدد حـاالت النجـاح h(x;N,n,k)ویمثـل بـالرمز

:ولالختصار تكتب كالتالى . nوحدات عددها N حیث یختار من ، Nالفئة k N kx n

f (x) , x = 0,1,2,3,4,n.Nn

)٢٢ -٦( مثال

3161 p p

1 p p

1 p tp

٢٨٥

طبعــة ثانیــة ، 8طبعــة أولـى و 12نسـخة مــن كتــاب فـى مقدمــة االحصـاء ، مــنهم 20یوجـد مكتبــة ذا كانــت n=5فــإذا أختیــرت عینــة عشــوائیة مــن الحجــم مختــارة مــن طبعــة التمثــل عــدد الكتــب Xوا

.؟ مالحظة السحب بدون إرجاع P(X=2)أوجد ثانیة

:الحــلN = 20 , n = 5 , k = 8

8 12x 5 x

f (x) , x = 0,1,2,3,4,5205

8 122 3 28(220) 6160P(X = 2) = = = = 0.397.

20 15504 155045

:فیما یلى الحل باستخدام البرنامج

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[8,5,20]; a=PDF[dist,2]

N[%] 0.397317

:ھو HypergeometricDistribution[8,5,20]الصیغة العامة لالمر HypergeometricDistribution[k,n,N]

الخاصة بالبرامجومما یجدر االشارة الیه ان هناك جداول لحساب االحتماالت ولكن اكتفینا هنا .ببرنامج الماثیماتیكا

رج االحتمالى دذى الحدین نحصل على المفى توزیع التى استخدمناها نفس الخطوات وباتباع

:للتوزیع الهندسى كالتالى

dist1=HypergeometricDistribution[8,5,20]; statelist={0,1,2,3,4,5}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,5}];

385

969

٢٨٦

ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

)٣٢ -٦( مثال

تالفـــة فـــإذا تقـــرر اختیـــار عینـــة 3جیـــدة و 10صـــندوق یحتـــوي علـــى رقـــائق بالغـــة الصـــغر منهـــا ذا كانـــت یعشـــوائ تمثـــل عـــدد الوحـــدات التالفـــة فـــى العینـــة المختـــارة أوجـــد Xة مـــن ثالثـــة رقـــائق وا

P(X3) ؟ مالحظة السحب بدون ارجاع.

:الحــل

N =13 , k = 3 , n = 3

:فیما یلى الحل باستخدام البرنامج

0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

٢٨٧

3

x 0

3 10x 3 x

P(X 3)133

3 10 3 10 3 10 3 100 3 1 2 2 1 3 0

= .13 13 13 133 3 3 3

:فیما یلى الحل باستخدام البرنامج

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[3,3,13]; f[x_]:=PDF[dist,x]

1

)٤٢ -٦( مثال

رجـــال والمطلـــوب إیجـــاد التوزیـــع 5ســـیدات و 4یـــراد اختیـــار لجنـــة مـــن ثالثـــة أشـــخاص مـــن بـــین .االحتمالي لعدد السیدات في اللجنة المختارة

:الحــل

الشـروط لتجربـة الهندسـي . یمثل عدد السـیدات فـي اللجنـة المختـارة Xبفرض أن المتغیر العشوائي :الزائدي متوفرة وعلى ذلك

P(X 0) h(0;9,3,4)4 50 3 10

9 843

P(X 1) h(1;9,3,4)4 51 2 40

9 843

x03 fx

٢٨٨

P(X 2) h(2;9,3,4)4 52 1 30

9 843

P(X 3) h(3;9,3,4)4 53 0 4 .

9 843

:ویمكن تمثیل التوزیع الهندسي الزائدي بالجدول التالي3 2 1 0 x 4

84 30

84 40

84 1 0

8 4 P(X=x)

وفیما یلى برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا تم اعداده لتحمیل لحزمة الخاصة بالتوزیعات :وحساب قیم دالة كثافة االحتمال للتوزیع الهندسى الزائدى المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[4,3,9]; Table[PDF[dist,x],{x,0,3}]

)٥٢ -٦( مثال

كــرات 4كــرات حمــراء و 5مــن صــندوق یحتــوي علــى n = 3اختیــرت عینــة عشــوائیة مــن الحجــم .ما هو احتمال ظهور ثالث كرات حمراء في العینة المختارة. سوداء

:الحــل

:فإن x = 3, k = 5, n = 3, N = 9باستخدام التوزیع الهندسي الزائدي حیث 5 43 0

P(X 3)93

5

42,10

21,

5

14,

1

21

٢٨٩

:كالتالى ویمكن الحصول على هذا االحتمال باستخدام برنامج الماثیماتیكا

)٦٢ -٦( مثال

أوجـد k =5, n =4 , N=25متغیـرا عشـوائیا یتبـع التوزیـع الهندسـي الزائـدي حیـث X إذا كـان :االحتماالت التالیة

P(X 2) -ب P(X=2) -أ

:الحــل )ا(

5 202 2

P(X 2)254

)ب(

P(X 2) P(X 0 or X=1 or X=2)

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا ویمكن حساب االحتماالت السابقة باستخدام

: لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا Clear[f] <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[5,4,25]; a=PDF[dist,2]

:سوف تحل بطریقتین )ب( f[x_]:=PDF[dist,x]

CDF[dist,2]

aBinomial5,3Binomial4,0

Binomial9, 35

42

38

253

x0

2fx

2489

2530

٢٩٠

, k =5, n =4الهندسي الزائدي حیث توزیع التتبع ) على سبیل المثال( قیملتولید عشرة

N=25 وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة التالى تخدم برنامج الماثیماتیكا نس: <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[5,4,25]; RandomArray[dist,10] {6,3,5,5,4,1,4,2,4,3}

:لتولید قیمة واحدة نتبع التالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[5,4,25]; Random[dist] 1

)٧٢ -٦( مثال

فــإذا أختیــرت عینــة عشــوائیة .مــنهم ثالثــة غیــر صــالحة N=200لــدى مركــز لبیــع اجهــزة الرادیــو أوجـد احتمـال أن عـدد األجهـزة الغیـر صـالحة . بدون إرجاع وتم إرسالها الـى عمیـل n = 3حجمها

. 2في العینة تساوي

:الحــل

3 1972 1

P(X 2)2003

لحزمة وبعد تحمیل ابرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا مكن حساب االحتمال السابق باستخدام ی: الخاصة بالتوزیعات المتقطعة

Clear[f] <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[3,3,200]; a=PDF[dist,2]

2489

2530

197

437800

٢٩١

)٨٢ -٦( مثال

وحـدات مـن الجرانیـت 10وحدات من صـخور البازلـت و 10في علم الجیولوجیا بتجمیع قام باحث :وحدة للتحلیل أوجد 5فإذا كان للباحث معمل وطلب من مساعده ان یختار عینة عشوائیه من

.التوزیع االحتمالي لعدد وحدات البازلت في العینة المختارة) أ( . ثالثةالجرانیت تساوى إحتمال أن الوحدات المختارة من) ب(

:الحــل

N = 20 , k = 10 , n = 5 )أ(10 10x 5 x

f (x) , x = 0,1,2,3,4,5.205

باستخدام برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا وبعد تحمیل الحزمة الخاصة )ا(حل یمكن aa4المسمى للتوزیع االحتمالى لعدد وحدات البازلت فى العینة و fx بالتوزیعات المتقطعة حیث

.واحد صحیح تثبت ان مجموع االحتماالت تساوى Clear[f] <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[10,5,20]; aa1=Table[x,{x,0,5}] {0,1,2,3,4,5} aa2=Table[PDF[dist,x],{x,0,5}]

aa4=Apply[Plus,aa2] 1 fx=Transpose[{aa1,aa2}]

0,1,2,3,4,5 یاخـذ القـیم xیمثل عدد الوحدات مـن صـخور البازلـت فـإن Xإذا كان ) ب(

ــــــت فــــــان Yذا كــــــان ا و یأخــــــذ القــــــیم Yیمثــــــل عــــــدد الوحــــــدات مــــــن صــــــخور الجرانی : وعلى ذلك 5,4,3,2,1,0

x 0,1,2,3,4,5y 5,4,3,2,1,0

21

1292,

175

1292,225

646,225

646,

175

1292,

21

1292

0, 21

1292, 1, 175

1292, 2, 225

646,

3, 225

646, 4, 175

1292, 5, 21

1292

٢٩٢

: أي أن10 102 3

P(Y 3) P(X 2)205

لحزمة وبعد تحمیل ابرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن حساب االحتمال السابق باستخدام : الخاصة بالتوزیعات المتقطعة

Clear[f] <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[10,5,20]; a=PDF[dist,2]

)٢٩ -٦( مثال

إذا ســــحبنا عینــــة acesمــــن نــــوع 2أوجــــد احتمــــال أن تحتــــوي مجموعــــة ورق اللعــــب علــــى عــــدد

یمثــل عــدد حــاالت acesوفرضــنا أن عــدد الــورق مــن النــوع ، ورقــات اربعــةتحتــوي علــى عشــوائیة . acesغیر )فشل ورقات(تمثل حاالت N-k=52-4=48والحاالت المتبقیة k = 4النجاح

:الحــل

4 482 2

P(X 2)524

لحزمة وبعد تحمیل ابرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن حساب االحتمال السابق باستخدام : الخاصة بالتوزیعات المتقطعة

197

437800

٢٩٣

Clear[f] <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[4,4,52]; a=PDF[dist,2]

)٣٠ -٦( مثال وحـــدات عشـــوائیة مـــن 10أختیـــرت . تالفـــة 20جیـــدة و 80وحـــدات منهـــا 100وعـــاء یحتـــوي علـــى

.عدد الوحدات التالفة في العینةXحیث P(X 3)الوعاء بدون إرجاع أوجد

:الحــل

X یتبع التوزیع الهندسي الزائدى حیثk = 20 , N = 100 , n =10 وعلى ذلك:

.یترك كتمرین

:هما الوسط الحسابي والتباین للتوزیع الهندسي الزائدي :نظریة 2nk N n k k , .n. (1 ).

N N 1 N N

فإنــه یمكــن إســتخدام توزیــع ذي الحــدین كتقریــب للتوزیــع Nصــغیرة بالنســبة الــى nاذا كانــت

kpالهندسي الزائدي حیث N

. كالتالىوعلى ذلك یمكن تقریب الوسط الحسابي والتباین: 2nk k knp , npq n. (1 ).

N N N

)١٣-٦( مثال

مـــنهم 3000تلیفـــون تـــم تـــركیبهم فـــي منطقـــة حدیثـــة یوجـــد 4000فـــي ســـنترال وجـــد أنـــه مـــن بـــین لعـدد الـذین اوجـد المتوسـط والتبـاین، أشـخاص عشـوائیا 5تحـدث . اللـون األسـود عـنیختلف لـونهم

. یتكلمون من تلیفون لونه اسود فى العینة العشوائیة

6768

270725

3

x 0

20 80x 10 x

P(X 3) .10010

٢٩٤

:الحــل

لحزمة وبعد تحمیل ابرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا باستخدام المتوسط والتباین ایجاد یمكن

: الخاصة بالتوزیعات المتقطعة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[3000,5,4000]; Mean[dist]//N 3.75 Variance[dist]//N 0.936562

)٢٣ -٦( مثال

5أطفــــال وتـــم ســــحب 50 و مــــنهم بـــالغین 950، شـــخص 1000لنفـــرض أن لــــدینا قائمـــة تضــــم اشخاص بصورة عشوائیة بدون ارجاع فما هو احتمال أن یكون الخمس اشخاص من البالغین؟

:الحــل

:باستخدام التوزیع الهندسي الزائدي فإن950 505 0

P(X 5) 0.773410005

باستخدام توزیع ذي الحدین كتقریب للهندسي الزائدي فإن k 950p 0.95 , n 5,N 1000

:وعلى ذلك

5 0

5

5P(X 5) .95 .05

5

= .95 0.7738.

.نالحظ أن النتیجة متقاربة مع النتیجة التي حصلنا علیها عند حساب االحتمال المضبوط وبعد برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال باستخدام

: لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةتحمیل ا <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=HypergeometricDistribution[950,5,1000];

٢٩٥

N[PDF[dist,5]] 0.773373 dist=BinomialDistribution[5,.95]; PDF[dist,5] 0.773781

Poisson Distributionتوزیع بواسون ) ٤ – ٦(

إن التجـــارب التـــي تعطینـــا عـــدد حـــاالت النجـــاح والتـــي تحـــدث فـــي فتـــرة زمنیـــة معینـــة أو فـــي الفتـرة الزمنیـة قــد تكـون دقیقــة، experiment Poisson٠منطقـة محـددة تســمي تجـارب بواسـون

وعلي ذلك تجربة بواسون قـد تنـتج مشـاهدات لمتغیـر عشـوائي ٠وم ، أسبوع ، شهر أو حتى سنة ی Xالمــات التلیفونیــة فــي الســاعة والمســتقبلة مــن مكتــب ، أو عــدد األیــام فــي الســنة یمثــل عــدد المك

والتي تغلق فیها بعض المدارس بسبب الصقیع في بلد مـا ، المنطقـة المحـددة یمكـن أن تكـون خـط یمكـن أن تمثـل Xفـي هـذه الحالـة ٠األعداد الطبیعیة ، مساحة ،حجم أو ربمـا قطعـة مـن المعـدن

ان من القمح ، عدد البكتیریا في لتر من الماء النقي، عدد األخطـاء فـي صـفحة عدد الفئران في فد :التوزیع االحتمالي لمتغیر عشوائي یتبع بواسون هو .من قاموس

xef (x; ) , x = 0,1,2,...

x!

و أو المنطقــــة الخاصــــة تحــــدث فــــي الفتــــرة المعطــــاة متوســــط حــــاالت النجــــاح التــــي حیــــث e 2.71828 .ســوف نكتـــب X POI( ) للداللـــة علـــي أنX متغیـــرا عشـــوائیا یتبـــع توزیـــع ٠ بواسون بمعلمة

Xحیث X دالة التوزیع للمتغیر POI( ) تأخذ الشكل التالي : [x]

k 0

F(x; ) f (k; ),x 0, 0 e.w.

لحســـاب ) ٢(ال یمكـــن وضـــعها فـــي صـــیغة بســـیطة وهنـــاك جـــداول فـــي ملحـــق F(x; )الدالـــة f (x; ) وذلك لقیم مختلفة من وx .

: المتوسط والتباین لتوزیع بواسون هما2E(X) .

)٣٣ -٦( مثال

٢٩٦

5یســتقبلها عامــل علــى لوحــة ســویتش هــي التــى إذا علمــت أن متوســط عــدد المكالمــات التلیفونیــةذا كان أقصى ما یمكن للوحة السویتش التعامل معها هـو ، مكالمات في الدقیقة مكالمـات فـي 8وا

:الدقیقة أوجد خالل دقیقة ؟احتمال عدم استطاعة لوحة السویتش من التعامل مع جمیع المكالمات في -أ

؟ ةاحتمال وصول مكالمتین على األكثر خالل دقیق -ب

:الحــل

هنا هو عدد المكالمات التلیفونیة التي تصل الى لوحة السویتش حیث Xالمتغیر العشوائي ) أ( XPOI(5) والمطلوب حسابP( X > 8) أي أن:

k85

k 0

5P(X 8) 1 P(X 8) 1 e 0.068.k!

) ب(P(X 2) 0.125.

وبعد برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةتحمیل ا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist= PoissonDistribution[5.]; 1-CDF[dist,8] 0.0680936 CDF[dist,2] 0.124652

التالى تخدم برنامج الماثیماتیكا نس بواسونتتبع توزیع ) على سبیل المثال(قیم لتولید عشرة :وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=PoissonDistribution[5]; RandomArray[dist,10] {5,11,4,8,3,2,4,8,3,5}

:قیمة واحدة نتبع التالى لتولید

<<Statistics`DiscreteDistributions` {5,11,4,8,3,2,4,8,3,5} Random[dist] 6

:للحصول على المدرج االحتمالى لتوزیع بواسون

٢٩٧

من نصل الى الصفحة التالیة حتى )٦- ٣(فى مثال استخدمناها التىنفس الخطوات وباتباع

Sec 2.1 من برنامج KonoxProb وبعد تحدید الجزء الرمادى كما هو واضح الجزء:فى الشكل التالى

:وبتنفیذ البرنامج كما سبق ان شرحنا نحصل على الشكل التالى

وتنقـل Copyویاخذ نسخة منه من الجزء الرمـادى باسـتخدام االمـر . ویتم ذلك لتحمیل هذا الجزء

الى ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا

٢٩٨

ویتم تغییر البیانات الى بیانات مثالنا ثم یتم الضغط على القوس االیسر لتحدیده evaluateمـن قائمـة برنـامج الماثیماتیكـا ثـم علـى kernelثم تنفیذ البرنامج وذلك بالضغط علـى

cell وتظهر الرسالة التالیة.

:هر الشكل التالى فیظ okفنضغط

dist1=PoissonDistribution[5]; statelist=Table[x,{x,0,40}]; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,40}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

)٤٣ -٦( مثال إذا كـــان معـــدل عـــدد األیـــام التـــي تغلـــق فیهـــا بعـــض الطـــرق بســـبب ســـقوط الثلـــوج خـــالل فصـــل

أیـام خـالل الشـتاء 8أیـام فمـا هـو احتمـال أن تغلـق هـذه الطـرق لمـدة 5الشتاء في مدینة ما هي .القادم

:الحــل

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

٢٩٩

8 7

k 0 k 0

= 5,

P(X 8) f (k;5) f (k;5)

=0.932-0.867=0.065.

برنامج مكتوب بلغة یمكن الحصول على المطلوب بطریقتین فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةوبعد تحمیل االماثیماتیكا

<<Statistics`DiscreteDistributions`; dist= PoissonDistribution[5.]; CDF[dist,8]-CDF[dist,7] 0.065278 PDF[dist,8] 0.065278

PoissonDistribution[5.] تم وضع نقطة بعد الرقم خمسة فى االمر: ملحوظة .حتى یكون على صورة عشریة وحتى یتم الحل

)٥٣ -٦( مثال

تعطــل ماكینــة لتصـــنیع الحلــوى فــي المتوســـط خمــس مـــرات فــي االســبوع مـــا هــو االحتمـــال أن .تعطل الماكینة ثالث مرات في االسبوع

:الحــل

:فإن ) ٣(ومن جدول بواسون في ملحق = 5 , x = 3باستخدام توزیع بواسون حیث 5 3 3 2

k 0 k 0

e 5f (3;5) f (k;5) f (k;5)3!

= 0.2650-0.125=0.14.

برنامج مكتوب بلغة یمكن الحصول على المطلوب بطریقتین فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةوبعد تحمیل االماثیماتیكا

<<Statistics`DiscreteDistributions`; dist= PoissonDistribution[5.]; CDF[dist,3]-CDF[dist,2] 0.140374 PDF[dist,3] 0.140374

)٦٣ -٦( مثال

٣٠٠

٠روة ز ســیارة فــي الدقیقــة مــن أمــام كشــك رســوم المــرور خــالل ســاعة الــ 20تمــر فــي المتوســط ٠سیارات من أمام الكشك خالل دقیقة عشوائیا 7اوجد احتمال مرور

:الحــل

:الكشك خالل دقیقة هو سیارات من أمام 7احتمال مرور 20 7e (20)P(X 7) .

7!

برنامج مكتوب بلغة یمكن الحصول على المطلوب بطریقتین فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةوبعد تحمیل االماثیماتیكا

<<Statistics`DiscreteDistributions`; dist=PoissonDistribution[20.]; CDF[dist,7]-CDF[dist,6] 0.000523468 PDF[dist,7] 0.000523468

Xإذا كــــان :نظریــــة BIN(n,p) وعلــــي ذلــــك لكــــل قیمــــةx = 0,1,…….,n وعنــــدماp 0 حیثnp ثابت فان:

xx n x

n

n elim p (1 p)x x!

.صغیرة pكبیرة وn عندما b(x;n,p)تفید النظریة السابقة في تقریب لكـــل مـــن توزیـــع بواســـون وتوزیـــع ذى x=12الـــى x=0البرنـــامج التـــالى یعطـــى االحتمـــاالت مـــن

:والذى یثبت النظریة n=100,p=.04الحدین عندما الجزءمن نصل الى الصفحة التالیة حتى )٦-٣(مثال نفس خطوات وباتباع

:KonoxProb برنامج الفصل الثانى من من Sec2.4

٣٠١

.بعد تحدیده وبعد تصفح هذا الجزء نصل الى الشكل التالى وذلك

٣٠٢

:وبتنفیذ البرنامج كما سبق ان شرحنا نحصل على الشكل التالى

Needs["Statistics`DiscreteDistributions`"]; Poissonpmf[x_]:=N[PDF[PoissonDistribution[4],x]]; Binomialpmf[x_]:=PDF[BinomialDistribution[100,.04],x]; TableForm[Join[{{"x","Poisson","binomial"}},Table[{x,Poissonpmf[x],Binomialpmf[x]},{x,0,12}]]]

:البرنامج التالى لرسم الدالتین

x Poisson binomial0 0.0183156 0.01687031 0.0732626 0.0702932 0.146525 0.1449793 0.195367 0.1973334 0.195367 0.1993885 0.156293 0.1595116 0.104196 0.1052337 0.0595404 0.05888038 0.0297702 0.02852019 0.0132312 0.012147510 0.00529248 0.0046059111 0.00192454 0.001570212 0.000641512 0.000485235

٣٠٣

Poissonlist=Table[{x,N[Poissonpmf[x]]},{x,0,12}]; Binomiallist=Table[{x,N[Binomialpmf[x]]},{x,0,12}]; g1=ListPlot[Poissonlist,PlotJoined->True, PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity]; g2=ListPlot[Binomiallist, PlotJoined->True,PlotStyle->RGBColor[0,0,1],DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

.دالتین متقاربتان المنحنیین للان الشكل السابق یتضح من )٧٣ -٦( مثال

مـن القـوى العاملـة القومیـة فـي بلـد مـا یصـابون بمـرض خطیـر 0.002تشیر الدراسات علي أن :أوجد ٠شخص عشوائیا n = 30فإذا اختیر ٠خالل عام

٠القیمة المتوقعة لعدد الذین یمرضون في العام -أ .توزیع بواسون كتقریب ذي الحدین استخدم. یمرضون خالل عاماحتمال أن عاملین -ب

:الحــل

:القیمة المتوقعة لعدد الذین یمرضون في العام تحسب كالتالي ) أp 0.002 , n=30 , = np = 30×0.002 = 0.06

:احتمال أن عاملین یمرضون خالل عام هو ) ب0.06 2e (0.06)f (2;0.06) .

2!

وبعدبرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةتحمیل ا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=PoissonDistribution[.06];

2 4 6 8 10 12

0.05

0.1

0.15

0.2

٣٠٤

Mean[dist] 0.06 PDF[dist,2] 0.00169518

فمــا احتمــال 0.0004هــروب جــزئ مــن الوعــاء هــو احتمــالجــزئ فــإذا كــان 10000وعــاء بــه )بإستخدام تقریب بواسون( جزیئات ؟ 5هروب أكثر من

:الحــل

:جزیئات یساوى 5احتمال هروب أكثر من

4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5

P(X 5) 1 P(X 5) =1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)]

e 4 e 4 e 4 e 4 e 4 e 4 1-[ ].0! 1! 2! 3! 4! 5!

وبعد برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةتحمیل ا

<<Statistics`DiscreteDistributions`; dist= PoissonDistribution[4.]; 1-CDF[dist,5] 0.21487

)٣٩ -٦( مثال

ما هـو احتمـال الحصـول 0.1في عملیة تصنیع كرات التحمیل وجد أن احتمال وجود كرة تالفة وحدة ؟ 1000كرات تالفة من عینة عشوائیة بها 10علي

:الحــل

x 1000 x

n 1000 p= 0.1 q = 0.91000

f(x)= (0.1) (0.9) x

تـــؤول إلـــي الصـــفر فـــان توزیـــع ذي الحـــدین یمكـــن أن یعبـــر عنـــة بتوزیـــع pكبیـــرة جـــدا و nبمـــا أن : بواسون حیث

٣٠٥

100 x

100 10

np 1000(0.1) 100,

e (100)f (x; ) x=0,1,...x!

e (100)P(X=10)=10!

وبعد برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال باستخدام : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةتحمیل ا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist= PoissonDistribution[100.]; PDF[dist,10]

:الدالة المولدة للعزوم

Xإذا كان POI فان:

1(e 1)XM (t) e

: The Characteristic Functionالدالة الممیزة :الدالة الممیزة لتوزیع بواسون هي

it- (1 e )

X (t)= e

)٠٤ -٦( مثال أى أنـه سـفینتین فـي السـاعةتمثل عملیة وصول السفن التجاریة إلي المیناء توزیع بواسون بمعدل

لكل ساعة والوقت الـذي یسـتغرقه التفریـغ یمثـل عملیـة بواسـون 2یتم تفریغ بضائع السفن بمعدل .ثم اوجد الدالة الممیزة ما احتمال عدم وجود سفینة تنتظر دورها في التفریغ ؟ ٠

:الحــل

1.025151030

٣٠٦

2 02e 2P(X 0) e 0.135.

0!

برنامج مكتوب یمكن الحصول على المطلوب فى هذا المثال باستخدام الداله المولده للعزوم : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةوبعد تحمیل ابلغة الماثیماتیكا

<<Statistics`DiscreteDistributions`; dist=PoissonDistribution[2.]; PDF[dist,0] CharacteristicFunction[dist,t] 0.135335

)١٤ -٦( مثال

خطأ تتـوزع عشـوائیا علـى صـفحاتها سـحبت 100صفحة وتحتوي على 100مجلة تحتوي على ن ثــم أوجــد الدالــه ئــیتحتــوي صــفحة علــى األقــل علــى خطاحســب احتمــال أن . صــفحة عشــوائیا

.الممیزة

:الحــل

1من الواضح أن وعلى ذلك :

1 0 1 1

P(X 2) 1 P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1)

e (1) e (1) 1 1 [0.736 0.368] 0.632.0! 1!

.تترك كتمرین

)٢٤ -٦( مثال فــي الدقیقــة تتبــع توزیــع بواســون قكــان عــدد الســیارات التــى تمــر عنــد نقطــة مــا علــى الطریــ اإذ

4 بمعلومیة أوجد: .بعة سیارات تمر في الدقیقة احتمال أر -أ

. تیناحتمال أن تمر ثمانیة سیارات خالل دقیق -ب

:الحــل

)أ( 4 4e (4)P(X 4) 0.629 0.433 0.1964!

(4)(2) )ب( 8,

2.1t

٣٠٧

(8) 88 eP(X 8) 0.593 0.453 .148!

.تترك كتمرین Negative Binomial Distributionتوزیع ذي الحدین السالب ) ٥-٦(

بفـرض أن تجربــة مـا لهــا نفـس الخصــائص التـي ســبق أن ذكرناهـا لتوزیــع ذي الحـدین ، ولكــن وعلـى ذلـك ، بـدال . مع تكرار المحاوالت حتى یمكن الحصول على عدد ثابت من حـاالت النجـاح

مـن المحــاوالت ، فـإن االهتمــام سـوف یكــون فــي nنجــاح فــي xمـن إیجــاد احتمـال الحصــول علـى التجــارب مــن هــذا النــوع تســمى . xســوف یحــدث فــى المحــاوالت رقــم k م إیجــاد أن النجــاح رقــ

. Negative Binomial Distributionتجارب الحدین السالب

. مــــن المحــــاوالت %80بفــــرض أن العــــب كــــرة الســــلة یــــنجح فــــي التصــــویب نحــــو الهــــدف فــــي سـوف نرمـز . 8المطلوب إیجاد احتمال أن یـنجح فـي تصـویب الهـدف الخـامس فـى المحاولـة رقـم

، وعلـــى ذلـــك لترتیـــب Dونرمـــز للفشـــل فـــي التصـــویب بـــالرمز 'Dللنجـــاح فـــي التصـــویب بـــالرمز :والذي یحدث باحتمال 'D'D'DDDD'D'Dمطلوب سوف نحصل على

ویمكـن حصـر كـل الترتیبــات . 3(0.2)5(0.8)=(0.8)(0.8)(0.8)(0.2)(0.2)(0.2)(0.8)(0.8)ـــة األخیـــرة والتـــى البـــد أن تكـــون النجـــاح رقـــم بإعـــادة ترتیـــب حـــاالت النجـــاح والفشـــل ماعـــد المحاول

مـن نـوع 4عناصـر منهـا 7العدد الكلي من الترتیبات الممكنة یساوى عـدد الطـرق لتبـدیل . خمسة دث بطــرق متنافیــة عــددها هــذا العــدد الكلــي مــن الترتیبــات الممكنــة یحــ. مــن نــوع فشــل 3نجــاح و

74

:أهداف ، فإن 5تمثل عدد المحاوالت الالزمة للحصول على Xوحیث أن .

5 37P(X 8) (0.8) (0.2) 0.0917504.

4

یسـمى حاالت نجـاح فـي تجربـة ذي الحـدین السـالب kمن الحاالت والذي ینتج Xالعدد : تعریف .متغیر عشوائي یتبع ذي الحدین السالب

یتبــــع توزیــــع ذي الحــــدین الســــالب متغیــــر عشــــوائي Xللداللــــة علــــى X~NB(k,p)ســــوف نكتــــب . k , pبمعلمتین

:لها متغیر عشوائي ذي الحدین السالب كثیرة منها التى كلابعض المش .عدد الوحدات التي تختبر للحصول على عدد محدد من الوحدات التالفة - ١ .عدد القذائف التي تطلق حتى الوصول إلى عدد ثابت من األهداف - ٢

٣٠٨

لمتغیــر عشــوائي یتبــع ذي الحــدین الســالب یســمى توزیــع ذي الحــدین الســالب ، التوزیــع االحتمــالى :توزیع ذي الحدین السالب یأخذ الصیغة التالیة

* k x kx-1b (x;k,p) p q ,x k,k 1,k 2

k-1

:في الحقیقة اشتق اسم توزیع ذي الحدین السالب من أن كل حد فى المفكوك pk(1-q)-k یقابل قیمة من قیمb*(x; k, p) حیثx = k, k +1 ,k + 2,... .

ولكــن یتعامــل مــع المتغیــر Xقیقــة فــان البرنــامج ال یتعامــل مباشــرة مــع المتغیــر العشــوائى فــى الحوعلــى لــذلك . مــن النجاحــات kاى عــدد حــاالت الفشــل حتــى الحصــول علــى Y=X-kالعشــوائى

.Yبداللة التمغیر العشوائى Xیمكن الحصول على مطلوب یخص المتغیر العشوائى : من حاالت النجاح هي kحتى الحصول على Yدالة كثافة االحتمال لعدد حاالت الفشل

k yy + k - 1b y k,p = p q , y = 0 , 1 , 2 , ...

k - 1 = 0 , e.w.

عطي الدالة تهناك جداول b y k,p للقیم الصحیحة ...y = 0 ,1 ,2, p.و kلقیم مختلفة من

)٣٤ -٦( مثال

1كـان احتمـال والدة ذكـر فـي أي والدة تمـر بهـا سـیدة هـو اإذ2

أوجـد احتمـال أن تضـع

.بعد أربع والدات ذكرین

:الحــل

1pباستخدام توزیع ذي الحدین السالب حیث ,k 2,x 42

:فإن

2 2

2 2

3b *(4;2,0.5) 0.5 0.5

1

3! 1 1 3 . .1875.1!2! 2 2 16

xیاخذ القیم Xالمتغیر العشوائى 2,3,4,... P(X 4) P(Y k 4) P(Y 4 k)

P(Y 4 2) P(Y 2).

٣٠٩

لحزمة وبعد تحمیل ابرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام ل هذا االحتما: الخاصة بالتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5]; a=PDF[dist,2] 0.1875

)٤٤ -٦( مثال

قررت عائلة تنظیم اإلنجـاب إذا رزقهـا اهللا بخمسـة ذكـور ، فـإذا كـان احتمـال والدة ذكـر فـي هـذه ــــــــع االحتمــــــــالي لعــــــــدد مــــــــرات الحمــــــــل 0.4العائلــــــــة هــــــــو اوجــــــــد . ) الوضــــــــع ( أوجــــــــد التوزی

P(X 8),P(X 10)

:الحــل

.تمثل عدد مرات الحمل Xباستخدام توزیع ذي الحدین السالب حیث p = 0.4 , q = 0.6 , k = 5

5 x 5x-1f (x) 0.4 0.6 , x = 5 , 6 , ...

5-1

من النجاحات kاى عدد حاالت الفشل حتى الحصول على Y=X-kبفرض المتغیر العشوائى yیاخذ القیم Yوعلى ذلك 0,1,2,....

P(X 8) P(Y k 8) P(Y 8 k)P(Y 8 5) P(Y 3),

P(X 10) P(Y 5).

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتماالت السابقة : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4]; PDF[dist,3] 0.0774144 PDF[dist,5] 0.100329

تخدم برنامج الماثیماتیكا نس السالب تتبع توزیع ذى الحدین) على سبیل المثال( yقیم لتولید عشرة :وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة التالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4]; RandomArray[dist,10]

٣١٠

{17,1,10,6,6,13,9,11,2,15}

:لتولید قیمة واحدة نتبع التالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4]; Random[dist] 2

)٥٤ -٦( مثال

.من النجاحات kعدد حاالت الفشل حتى الحصول على یمثل Yبفرض ان المتغیر العشوائى نتبــع نفــس p=.2,k=20حیــث Yللحصــول علــى التمثیــل البیــانى لدالــة كثافــة االحتمــال للمتغیــر

اختیـــار حتـــى الوصـــول الـــى محتویـــات الكتـــاب ثـــم )٦-٣(الخطـــوات التـــى اتبعـــت فـــى المثـــال :كما یلى من الفصل الثانى Sec 2.3 الجزء

:نحصل على وبالضغط علیه

٣١١

: كما شرحنا من قبل ه تحدید هوذلك بعد حتى الوصول الى الشكل التالى هذا الجزءونتصفح )للعلم لن نغیر فیه النه نفس مثالنا(

مـــن قائمـــة برنـــامج الماثیماتیكـــا ثـــم علـــى kernelثـــم یـــتم تنفیـــذ البرنـــامج وذلـــك بالضـــغط علـــى

evaluate cell وتظهر الرسالة التالیة.

٣١٢

:فیظهر الشكل التالى okفنضغط f[x_]:=PDF[NegativeBinomialDistribution[20,.2],x]; pmf=Table[{x,f[x]},{x,20,140}]; ListPlot[pmf,PlotJoined->True,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

:تظهر الرسالة التالیة KnoxProbوعند الخروج من البرنامج

.وذلك حتى ال یحدث تغیرات فى البرنامج Don'tsaveونضغط

.)Xولیس المتغیر Yوللعلم فان البرنامج یتعامل مع المتغیر (مـن البرنـامج السـابق بتبـاع خطـوات Xویمكن الحصول عل دالة كثافة االحتمال للمتغیر العشـوائى

:التالیة

20 40 60 80 100 120 140

0.005

0.01

0.015

0.02

٣١٣

f[x_]:=PDF[NegativeBinomialDistribution[20,.2],x]; pmf=Table[{x,f[x]},{x,20,140}]; ListPlot[pmf,PlotJoined->True,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

: Y حیث الرسم البیانى السابق یخص المتغیر aa1=Transpose[pmf]; aa2=aa1[[1]]; aa3=aa2+20; aa4=aa1[[2]]; aa5={aa3,aa4}; aa6=Transpose[aa5]; ListPlot[aa6,PlotJoined->True,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

: X حیث الرسم البیانى السابق یخص المتغیر

20 40 60 80 100 120 140

0.005

0.01

0.015

0.02

60 80 100 120 140 160

0.005

0.01

0.015

0.02

٣١٤

)٦٤ -٦( مثال

فـــى Aفـــي سلســلة مــن المباریــات فـــإذا كــان احتمــال أن یكســب Bمــع الفریــق Aیلعــب الفریــق Bأو Aسـوف تنتهـي السلسـلة مـن المباریـات عنـدما یكسـب إمـا . 0.6هـو Bمباراة یلعبهـا مـع

.فى المحاولة السادسة Bأو Aاوجد احتمال فوز . أربع مباریات

:الحــل

P(للمرة الرابعة فى المباراة السادسة A یفوز ) = b*(6;4,.6)

4 2P(X 6) P(Y 2)=5

= (.6) (.4) .20736.3

P(للمرة الرابعة فى المباراة السادسة B یفوز ) = b*(6;4,.6)

4 25P (X 6 )= (.4) (.6) P (Y 2 ) .0 9 2 1 6 .

3

P( 6 عند الفوز للمرة الرابعة عدد المباریات تكون ) =.20736+0.09216 = 0.29952. وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتماالت السابقة

: لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[4,.6]; a1= PDF[dist,2] 0.20736 dist=NegativeBinomialDistribution[4,.4]; a2= PDF[dist,2] 0.09216 a1+a2 0.29952

)٧٤ -٦( مثال :أوجد إحتمال أن 0.25إذا كان احتمال تصدیق خبر معین هو

.المصدقین للخبرالشخص الثاني عشر هو رابع

٣١٥

:الحــل

ویكــون رقــم الشــخص المصــدق للخبــر هــو عبــارة . تمثــل رقــم الشــخص الســامع للخبــر Xنفــرض أن .عن حالة نجاح

حیــث أن الشــخص الثــاني عشــر یســمع الخبــر وســیكون رابــع المصــدقین لــه وهــذا یعنــي أن حالــة أي أن توزیع ذي الحدین السالب عند 12النجاح الرابع توجد في المحاولة رقم

p = 0.25 , x = 12, k=4 وعلى ذلك:

4 12 4

4 8

12 1P(X 12) 0.25 0.75

4 1

11 1 3 = .3 4 4

:وعلى ذلك P(X 12) P(Y k 12) P(Y 12 k)

P(Y 12 4) P(Y 8).

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[4,.25]; PDF[dist,8] 0.0645259

)٨٤ -٦( مثال

1 إذا كان احتمال والدة ذكر في أي والدة تمر بها سیدة هو 2

ذكور 3أوجد احتمال أن تضع

.بعد أربع والدات

:الحــل

1pباستخدام توزیع ذي الحدین السالب حیث , k = 3, x = 42

فإن:

3 1* 3b (4;3,0.5) 0.5 0.5 .

2

:وعلى ذلك

٣١٦

P(X 4) P(Y k 4) P(Y 4 k)P(Y 4 3) P(Y 1)

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[3,.5]; PDF[dist,1] 0.1875

)٤٩ -٦( مثال یكسب في المبارة Aفإذا كان احتمال أن . سلسة من المباریات Bمع Aیلعب فریق

ذا كانت المباریات مستقلة ، أوجد احتمال أن الفریق 0.6الواحدة التي یلعبها قد یكون Aوا .كسب أربعة مباریات في المحاولة السادسة

:الحــل

:فإن , x = 6 , k = 4 p = 0.6باستخدام توزیع ذي الحدین السالب حبث

45 23b (6 4,0.6) = 0.6 (0.4) .

:وعلى ذلك P(X 6) P(Y k 6) P(Y 6 k)

P(Y 6 4) P(Y 2).

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[4,.6]; PDF[dist,2]

0.20736 The Characteristic Functionالدالة الممیزة

٣١٧

: یتبع ذي الحدین السالب هو Yالدالة الممیزة لمتغیر عشوائي

kk itY t p 1 q e .

:له هى الدالة الممیزةفان ) ٤٤-٦(للمثال : الدالة الممیزة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5]; CharacteristicFunction[dist,t]

: یمكن الحصول على یتبع ذي الحدین السالب والذى Yلمتغیر عشوائيلالدالة الممیزة ومن

: هو و Yالمتوسط للمتغیر

Ykq = p

: هو و Yللمتغیر والتباین

2Y 2

kqp

:هما Yبداللة المتوسط والتباین للمتغیر Xللمتغیر المتوسط و التباینو

2X X 2

kq kqk, .p p

bالذي له الدالة Xالدالة الممیزة للمتغیر العشوائي و (x k,p) هي :

k kit itX t p e 1 qe .

: الدالة المولدة للعزوم :هى Yللمتغیرالدالة المولدة للعزوم

k kt tX t p e 1 qe .

: معامل االلتواء والتفلطح

0.25

1 0.5t2

٣١٨

:هما Yمعامل االلتواء والتفلطح للمتغیر 2

3 41 q 1 4q q , .

kqkq

. Yومن البرنامج التالى یمكن الحصول على التالى للمتغیر العشوائى ) ٤٤-٦(للمثال <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5]; Mean[dist] 2. Variance[dist] 4. StandardDeviation[dist] 2. Skewness[dist] 1.5 Kurtosis[dist] 6.25 CharacteristicFunction[dist,t]

Geometric Distribution التوزیع الهندسي

فإننـا نحصـل علـى الحالـة الخاصـة مـن توزیـع الحـدین السـالب ، أي نحصـل علـى k = 1عنـدما توزیـع ذي الحـدین . التوزیع االحتمالي لعدد المحاوالت المطلوبة للحصول علـى حالـة نجـاح واحـدة

: السالب سوف یختزل إلى الشكل x 1b x p pq , x = 1,2,3,...

و الذي یسمي التوزیع الهندسي و سوف نرمز له بالرمز .g x p

متغیـرا عشـوائیا یتبـع التوزیـع الهندسـي Xللدالـة علـى أن المتغیـر ~ GEO(p) Xسـوف نكتـب

أیضا p.بمعلمة 22

q 1. , E Xp p

)٠٥ -٦( مثال : أوجد

التوزیـــع االحتمـــالي لعـــدد المحـــاوالت االزمـــة للحصـــول علـــى صـــورة واحـــدة وذلـــك عنـــد القـــاء -أ .عملة متزنة

0.25

1 0.5t2

٣١٩

.احتمال الحصول على صورة في المحاولة الرابعة - ب

:الحــل

1pباستخدام التوزیع الهندسي حیث 2

نحصل على:

التوزیـع االحتمــالي لعــدد المحـاوالت االزمــة للحصــول علـى صــورة واحــدة وذلـك عنــد القــاء ) أ ( :عملة متزنة هو

x 1g(x;0.5) (0.5)(0.5) , x = 1,2,3,... احتمال الحصول على صورة في المحاولة الرابعة هو ) ب(

31 1g(4; ) (0.5)(0.5) 0.0625 P(X 4)2 16

P(Y 1 4) P(Y 4 1) P(Y 3)

یمثل عدد حاالت الفشل حتى الحصول والذى ( Yوللعلم فان البرنامج یتعامل مع المتغیر ایضا ویمكن ان نحصل على ما ).Y=X-1 حیث Xولیس المتغیر )على حالة نجاح .كما حدث فى توزیع ذى الحدین السالب Yبداللة المتغیر Xیخص المتغیر

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا باستخدام علیه یمكن الحصولواالحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[.5]; PDF[dist,3] 0.0625

وسوف نمثل البیانات بیانیا باستخدام الهندسىاالن سوف نقدم برنامج لتولید بیانات تتبع توزیع حیث الهندسىلتوزیع لالمدرج االحتمالى المدرج التكرارى النسبى وسوف نقارنها مع

p=.5). المتغیر هنا هوY نجاح حالةالوصول الى يوالذى یمثل عدد حاالت الفشل حت. من Sec 3.2الجزءوالوصول الى )٣٧- ٦(وباتباع نفس الخطوات التى اتبعت فى مثال

بعد تحدیده كما شرحنا من وذلك حتى الوصول الى الشكل التالى الجزءونتصفح الفصل الثالث :كما یلى قبل

٣٢٠

:وننفذه كما سبق ان وضحنا فنحصل على التالى

f[x_]:=PDF[GeometricDistribution[.5],x]; geomprobs=Table[f[x],{x,0,8}]; states={0,1,2,3,4,5,6,7,8}; g1=ProbabilityHistogram[states,geomprobs,DisplayFunctionIdentity,DefaultFont{"Times-Roman",8}]; geomdatalist=RandomArray[GeometricDistribution[.5],500]; g2=Histogram[geomdatalist,9,DistributionDiscrete,DisplayFunctionIdentity]; Show[GraphicsArray[{g1,g2}],PlotRange->All,DisplayFunction$DisplayFunction];

.یالحظ ان المدرجین تقریبا متطابقین مما یدل على نجاح تولید البیانات

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.10.20.30.40.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.10.20.30.40.5

٣٢١

Xوفیمـــا یلـــى برنـــامج لحســـاب المـــدرج االحتمـــالى للتوزیـــع الهندســـى حیـــث المتغیـــر العشـــوائى هنـــا :وفیما یلى الخطوات .KnoxProbوسوف نعدل فى برنامج مكتوب فى برنامج Yولیس

:الوصول الى الصفحة االتیة حتى 3.2 الثانى الجزء نتصفح الفصل

:وبعد تنفیذ البرنامج كما شرحنا من قبل نحصل على الشكل التالى

dist1=HypergeometricDistribution[5,10,20]; statelist={0,1,2,3,4,5}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,5}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

وتنقل الى ملف جدید فى برنامج الماثیماتیكا Copyویاخذ نسخة منه باستخدام االمر

:ویتم تغییر البیانات لتناسب مثلنا وبعد تنفیذ البرنامج نحصل على التالى

0 1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

٣٢٢

dist=GeometricDistribution[.5]; f[x_]:=PDF[dist,x] aa1=Table[x,{x,1,21}]; aa2=Table[f[x],{x,0,20}]; ProbabilityHistogram[aa1,aa2,AxesLabel{"x","f{x}"}]

:تظهر الرسالة التالیة Knoxprobوعند الخروج من البرنامج

.وذلك حتى ال یحدث تغیرات فى البرنامج Don'tsaveونضغط

)١٥ -٦( مثال أوجد احتمال أن . 0.7احتمال أن طالب یجتاز امتحان للحصول على رخصة قیادة طائرة هو

: الشخص ینجح في األمتحان

.في المحاولة الرابعة ) ب . ( في المحاولة الثالثة ) أ (

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

fx

٣٢٣

:الحــل

: باستخدام توزیع الهندسي

x 1g(x,0.7) (0.7)(0.3) , x = 1 , 2, ...

: احتمال أن ینجح في المحاولة الثالثة ) أ ( : فإن , x = 3 p = 0.7حیث

2

b (3 1,0.7) = g (3,0.7) = (0.7) (0.3) =P(X=3)=P(Y=2)= 0.063.

: احتمال أن ینجح في المحاولة الرابعة ) ب ( :فإن , x = 4 p = 0.7حیث

3

b (4 1,0.7) = g (4,0.7) = (0.7) (0.3) ==P(X=4)=P(Y=3)= 0.0189.

وبعد تحمیل ب بلغة الماثیماتیكا برنامج مكتو یمكن الحصول باستخدام االحتماالت السابقة : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[.7]; PDF[dist,2] 0.063 PDF[dist,3] 0.0189

)٢٥ -٦( مثال

السابعة ؟ أوجد احتمال أن شخص یلقى عملة سوف یحصل على صورة في المحاولة

:الحــل

6 7

p = q = 0.5g(7,0.5) = (0.5)(0.5) = (0.5) =P(X=7)=P(Y=6)=.0078 .

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[.5];

٣٢٤

PDF[dist,6]

0.0078125

)٣٥ -٦( مثال : عند إلقاء عملة متزنة ، أوجد

.التوزیع االحتمالي لعدد المحاوالت الالزمة للحصول على صورة واحدة ) أ( :احتمال الحصول على صورة في المحاولة الرابعة ) ب(

:الحــل

1xباستخدام التوزیع الهندسي حیث 4,p2

نحصل على :

) أ( x 1g x p 0.5 0.5 , x = 1,2,3,...

) ب( 31 1g 4 ;1, p

2 2

. یترك كتمرین

: هي X ~ GEO(p)حیث Xدالة التوزیع لمتغیر عشوائي

x x x

i 1 i 1 i 1

i 1 i 1 i 1x x 1

i 1 i 1 x

i 1 i 2

G x p pq q 1 p q

= q q 1 q .

)٤٥ -٦( مثال فـي إحـدى المنــاطق ، إذا كـان احتمــال حـدوث عاصــفة برقیـة فـي أي یــوم مـن أیــام الصـیف فــي

و تحت فرض االستقالل من یـوم إلـى آخـر فمـا هـو احتمـال . 0.1شهري یولیو و أغسطس هو أن تحدث أول عاصفة برقیة في فصل الصیف في یوم الثالث من أغسطس ؟

:الحــل

حتــى حــدوث أول عاصــفة ) ابتــداء مــن أول یولیــو ( متغیــرا عشــوائیا یمثــل عــدد األیــام Xبفــرض أن : أي أن X=34 [. P [برقیة فإن المطلوب هو حساب

33P X 34 .9 .1 .003.

٣٢٥

.یترك كتمرین

)٥٥ -٦( مثال

فمـا هـو احتمـال الحصـول علـى أقـل 0.4احتمال أن یؤدي اختبار معین إلى رد فعل موجب هو من خمس ردود فعل سالبة قبل أن یتحقق أول رد موجب ؟

:الحــل

. متغیرا عشوائیا یمثل عـدد ردود الفعـل السـالبة قبـل وقـوع رد الفعـل الموجـب Y=X-1بفرض أن : وعلى ذلك

yP Y y q p y = 0,1,2,... = 0 , e.w .

: االحتمال المطلوب هو

4

y

y 0P Y 5 .6 .4 .92.

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[.4]; CDF[dist,4] 0.92224

)٦٥ -٦( مثال یمثـل عـدد Xفـإذا كـان المتغیـر العشـوائي . 1بفرض أنه ألقي زهرة نرد متزنة حتى ظهور الرقم

: أوجد . ألول مرة 1المحاوالت المطلوبة حتى ظهور الرقم

Xدالة كثافة االحتمال للمتغیر العشوائي ) أ ( P ( X = 3 )) ب( E ( X ) ,2) ج (

:الحــل

: هي Xدالة كثافة االحتمال للمتغیر العشوائي ) أ(

٣٢٦

x 15 1

f x x = 1 ,2 ,3 ,...6 60 , e.w.

) ب( 3 15 1 25P X 3 P Y 2

6 6 216

) ج(

1E X E Y 1 E(Y) 1 5 1 6.p

222

5q 6 30 Var(Y 1) Var(Y) 30.p 1

6

لحزمة وبعد تحمیل ابرنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا باستخدام المطلوبیمكن الحصول على :كالتالى الخاصة بالتوزیعات المتقطعة

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; PDF[dist,2]

Mean[dist] 5 =%+1 6 Variance[dist] 30

.الوسط الحسابى حیثالتالى تخدم برنامج الماثیماتیكا نس الهندسى توزیع التتبع ) على سبیل المثال( y قیملتولید عشرة

:وباستخدام الحزمة الجاهزة للتوزیعات المتقطعة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; RandomArray[dist,10] {2,1,1,0,1,0,10,2,0,2}

:نتبع التالى yلتولید قیمة واحدة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; 5

25

216

٣٢٧

قـد وقعـت Aیقال أن التوزیـع الهندسـي لالحتمـاالت لـیس لـه ذاكـرة بمعنـى أنـه إذا لـم تكـن الحادثـة األولـــى للتجربـــة فـــإن احتمـــال عـــدم وقوعهـــا خـــالل التكـــرارت التـــي jخـــالل التكـــرارات التـــي عـــددها

. األولى kالتالیة هو نفسه االحتمال بأن الحادثة لن تقع خالل التكرارت التي عددها kعددها )٧٥ -٦( مثال

وبفــرض 3.إذا كـان احتمــال أن العــب كــرة السـلة یحصــل علــى هــدف فـي أي محاولــة هــو فــإن احتمــال احتیاجــه إلــى خمــس محــاوالت للحصــول علــى أول هــدف هــو . أن المحـاوالت مســتقلة

4. g(5 .3) = .7 .3 بفرض أنه قام بعشرة محاوالت دون الحصول علـى أي هـدف فـإن احتمـالاحتیاجـه إلــى خمـس محــاوالت للحصــول علـى أول هــدف مــا زال 47 أیضـا احتمــال احتیاجــه . 3.

: أول هدف هو على األكثر خمس محاوالت للحصول على

5i 1 5

i = 15

G 5 .3 = pq = 1- q

= 1- .7 = .83193=P(Y 4).

وبعد تحمیل برنامج مكتوب بلغة الماثیماتیكا یمكن الحصول باستخدام االحتمال السابق : لحزمة الخاصة بالتوزیعات المتقطعةا

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[.3]; CDF[dist,4] 0.83193

٣٢٨

السابعالفصل

توزیعات متصلة خاصة

٣٢٩

Uniform Distributionالتوزیع المنتظم ) ١-٧( متغیرا عشوائیا متصال یأخذ قیمه في فترة محدودة ، لتكن الفترة المفتوحة Xبفرض أن

( a, b) وبفـرض أن دالـة كثافـة االحتمـال لهـذا المتغیـر هـي ،f (x) = c فـي الفتـرة( a, b) .

fالبـــــــــــــد أن تحقـــــــــــــق الشـــــــــــــرط أن f (x)الدالـــــــــــــة (x)dx 1

وهـــــــــــــذا یعنـــــــــــــى أن :b

ba

a

1 c dx c x c ( b-a ) وعلــى ذلــك) a-b (1/ c .بوضــعf(x)=0 خــارج

x(f( 0 الفتـرة فـإن الخاصـیة یسـمى هـذا التوزیـع بـالتوزیع المنـتظم فـي الفتـرة . أیضـا تتحقـق(a, b) بدالة كثافة احتمال على الشكل التالى:

1f (x; a, b) a x bb-a

0 , e.w.

متغیـرا عشـوائیا متصـال یتبـع التوزیــع Xللداللـة علـى أن X ~ UNIF (a , b )سـوف نكتـب

أهـم تطبیـق لهـذا . (a , b )یعطى هذا النموذج احتمال اختیار نقطة عشـوائیا فـي الفتـرة . المنتظم التوزیع هو تولید األرقام العشوائیة باستخدام الحاسب اآللى وتحت فـرض أن البیانـات التـى نحصـل

. UNIF (0, 1 )نتظم علیها مأخوذة من توزیع م :تكون على الشكل X ~ UNIF (a, b)دالة التوزیع للمتغیر

x. b 1

b x a a-ba-x

a x 0 b) a, x;(F

:وذلك من العالقة التالیة (p 100 )یمكن الحصول على المئین ذو الرتبة

. p abax

) b a, ;(x F pp

:أي أن xp = a + ( b – a ) p .

.هذا التوزیع لیس له منوال

)١ -٧( مثال

٣٣٠

إذا كان الزمن الذى یسـتغرقه شـخص للـذهاب مـن منزلـه إلـى محطـة القطـار یتبـع التوزیـع المنـتظم حتــى یلحـق القطــار 7:30فـإذا كــان الشـخص یغـادر منزلــه عنـد السـاعة . دقیقـة 15 , 20بـین

.المطلوب حساب احتمال أن یلحق الرجل القطار . 48 :7والذى یغادر المحطة عند الساعة

:الحــل المطلـوب . [ 20 ,15 ]متغیـرا عشـوائیا متصـال یتبـع التوزیـع المنـتظم فـي الفتـرة Xبفـرض أن

18X 15(P(حســــاب االحتمــــال دقیقــــة مــــن 18وذلــــك ألن القطــــار یغــــادر المحطــــة بعــــد :وعلى ذلك b – a = 20 – 15 = 5بما أن . مغادرة الشخص لمنزله

. 53

5x

dx 51 ) 18 X 15 (P

18

15

18

15

:االمر التالى االن سوف یتم الحل باستخدام البرنامج من

وللتعرف على الخصائص االساسیة للتوزیع المنتظم بصورة خاصة و للتوزیعات المتصلة بصورة

:لحزمة ا عامة یتم تحمیل

ContinuousDistributions تحت الدلیلStatistics وذلك بكتابة:

<<Statistics`ContinuousDistributions` ثم تنفیذة كما شرحنا سابقا.

Helpافذة البرنامج نختار لنالقائمة الرئیسیة للحصول على معلومات عن هذه الحزمة ومن :لنحصل على النافذة التالیة Help Broswerومنها نختار

15

18 12015

x

3

5

٣٣١

سبیل فعلى على كیفیة االستفادة من البرنامج فیما یخص التوزیع المنتظم االن سوف نتعرف: االتى بالنسبة لمثالنا نكتبالمثال

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=UniformDistribution[15,20] UniformDistribution[15,20] a=PDF[dist,18]

P ( X =18)لحساب :نستخدم االمر التالى

االحتمالالثبات ان مجموع قیم المتغیر العشوائى تساوى واحد وهى احدى شروط دالة كثافة : نكتب

CDF[dist,20]-CDF[dist,15] 1

1

5

٣٣٢

P ( X 1 8 ) لحساب

:نستخدم االمر التالى CDF[dist,18]

P ( X 3 ) لحساب

:نستخدم االمر التالى CDF[dist,3] 0

P ( X 3 0 ) لحساب

:نستخدم االمر التالى CDF[dist,30] 1

:یستخدم االمر التالى فضاء المتغیر العشوائىللتعرف على Domain[dist] Interval[{15,20}]

:توزیع یستخدم االمر التالى لللحساب الوسط الحسابى Mean[dist]

: یستخدم االمر التالىلحساب تباین التوزیع

Variance[dist]

:یستخدم االمر التالى لحساب االنحراف المعیارى التوزیع

StandardDeviation[dist]

: یستخدم االمر التالى للتوزیع معامل االلتواءلحساب

Skewness[dist] 0

3

5

35

2

25

12

5

23

٣٣٣

:یستخدم االمر التالى للتوزیع معامل التفلطح لحساب Kurtosis[dist]

:یستخدم االمر التالى 2E ( X ) لحساب

:یستخدم االمر التالى 3E ( X ) لحساب

:یستخدم االمر التالى 4E ( X ) لحساب

97625

:یستخدم االمر التالى لتولید عشرة قیم RandomArray[dist,10] {16.6861,19.8197,17.1564,19.9501,17.4936,16.0747,19.2026,15.2206,17.5121,16.2474}

:لتولید قیمة واحدة نتبع التالى Random[dist] 15.603

وهناك بعض الحسابات یمكن اجرائها باستخدام التكامل العادى ودون استخدام الحزم، فعلى الثبات ان مجموع قیم المتغیر العشوائى تساوى واحد وهى احدى شروط دالة كثافة سبیل المثال

: نكتب االحتمال

1

1

1

9

5

ExpectedValuex2, dist, x

925

3

ExpectedValuex3, dist, x21875

4

ExpectedValuex4, dist, x

15

20 12015

x

٣٣٤

: نتبع التالى f(x), F(x) للحصول على بیان

حتــــى )٦-٣(نتبــــع نفــــس الخطــــوات التــــى اتبعــــت فــــى المثــــال KnoxProb مــــن برنــــامج الجزء حتـى یـتم الوصـول الـى الشـكل هذا وهنا یتم تصفح Sec 3.2 الجزء الوصول الى

:التالى

والتنفیــذ كمــا ســبق ان حیــث یــتم الضــغط علــى القــوس االیســر للجــزء المظلــل بــاللون الرمــادى

f(x), F(x)تى والذى یوضح بیان اوضحنا فنحصل على الشكل اال .لتوزیع اخر وقد تم ایجاد الرسمتین معا

٣٣٥

انــات ونرســم كــل رســمة علــى حــدة كمــا یوبالنســب لمثالنــا فلــم نســتطع لــذلك ســوف نغیــر فــى الب :یتضح فیما یلى

g[x_,a_,b_]:=PDF[UniformDistribution[a,b],x]; Plot[g[x,15,20],{x,15,20},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

G[x_,a_,b_]:=CDF[UniformDistribution[a,b],x]; Plot[G[x,15,20],{x,15,20},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

تولید بیانات تتبع التوزیع المنتظم وذلك بتولیـد عینتـین كـل منهمـا مـن (0,10)بفرض اننا اجرینا محاكاة لتوزیع منتظم فى الفترة

ثــم RandomArrayوذلــك باســتخدام االمــر (0,10)قیمــة تتبــع التوزیــع المنــتظم فــى الفتــرة 100 ة اعمدة سوف نجـد ان المـدرج لـه نفـس تسـطح اوجدنا المدرج التكرارى لتلك البیانات باستخدام عشر

:مثل التوزیع وذلك من خالل البرنامج التالى

16 17 18 19 20

0.1

0.2

0.3

0.4

16 17 18 19 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٣٦

uniflist1=RandomArray[UniformDistribution[0,10],100]; uniflist2=RandomArray[UniformDistribution[0,10],100]; Show[GraphicsArray[{Histogram[uniflist1,10,Endpoints{0,10},DisplayFunctionIdentity,NumDigits1],Histogram[uniflist2,10,Endpoints{0,10},NumDigits1,DisplayFunctionIdentity]}],DisplayFunction$DisplayFunction];

.)٦-٣(نفس الخطوات التى اتبعت فى المثال باتباعوقد تم الحصول على البرنامج السابق

)٢ -٧( مثال

قام باحث في مجال علم األحیاء بوضـع مجموعـة مـن الحمـام فـي غرفـة مظلمـة لعـدة أیـام ثـم بعـد : فإذا كان اتجاه الطیران للطائر یتبع التوزیع المنتظم حیث. ذلك تم إطالقهم في الضوء

X ~ [ 0, 360 ] . 220 ( أوجد X 210 (P .

:الحــل

:فإن X ~ UNIF (0, 360)تحت فرض أن

. 361

03600210

0-3600-220

(210) F - (220) F ) 220 X 210 (P

:البرنامج سوف یكون كالتالى الحل باستخدام

:المتوسط والتبایــن

:فإن X ~ UNIF (a, b)إذا كان

0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5

0.020.040.060.080.1

0.120.14

0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5

0.020.040.060.080.1

0.120.14

Statistics ContinuousDistributionsdist UniformDistribution0, 360;CDFdist, 220CDFdist, 210

136

٣٣٧

,2

ba )ab(2

)ab)(ab()ab(2

ab

dx a-b

1 x E(X)

22

b

a

)ab(3

)ab)(aabb()ab(3

ab

dx a-b

1 x )E(X

2233

2b

a

2

. 3

aabb 22

:وعلى ذلك

. 12

a)-(b

4)ba(

3aabb)X(Var

2

2222

وعلى ذلك یمكننا استنتاج أن متوسط التوزیع هو نقطة الوسط والتباین یتناسب مع طول الفترة ( a, b ) . عنــد نقطــة ) مقــاس بالفهرنهیــت ( علــى ســبیل المثــال إذا كانــت قــراءة درجــة الحــرارة

ذا كانـت القـراءة فـي موقـع X ~ UNIF (50 , 90 )زمنیـة مختـارة عشـوائیة فـي موقـع مـا یتبـع واواحــــد حیــــث X , Yالمتوســـط للمتغیــــرین . Y ~ UNIF (30, 110)آخـــر یتبــــع

70YX 3/4002بینماX 3/16002أصغر من

Y . :والتباین باستخدام البرنامج سیكون كالتالى المتوسط

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=UniformDistribution[a,b]; Mean[dist]

Variance[dist]

فى البرنامج . a,bلقد اثبتنا ان الوسط الحسابى للتوزیع المنتظم یقع فى منتصف المسافة بین

حیث تم تولید Sec3.3 الجزء الفصل الثالث منKnoxProb التالى والماخوذ من برنامج وقد تم ایجاد المتوسط لكل (2,6)تتبع التوزیع المنتظم فى الفترة 10عینة من الحجم 1000

a b

2

1

12a b2

٣٣٨

وهو 4عینة ثم تمثیل هذه المتوسطات بیانیا وقد وجد من الرسم ان الوسط الحسابى یقترب من قانون القوة (Stronge Law of Large Number الوسط الحسابى للتوزیع وهو یحقق نظریة

.) لالعداد الكبیرة والذي سوف نتناوله بالتفصیل فى الفصل الثامن Needs["Statistics`ContinuousDistributions`"] SimMeanSequence[distribution_,nummeans_,m_]:= Module[{nextsample,meanlist,runningsum,currnumobs}, currnumobs=0; runningsum = 0; meanlist = {}; While[currnumobs<nummeans, nextsample=RandomArray[distribution,m]; currnumobs = currnumobs+m; runningsum=runningsum + Apply[Plus,nextsample]; AppendTo[meanlist,runningsum/currnumobs]];

ListPlot[meanlist,PlotStyle->PointSize[.02],PlotJoined->True,DefaultFont{"Times-Roman",8}]]

SeedRandom[439873]; SimMeanSequence[UniformDistribution[2,6],1000,10];

)٣ -٧( مثال

واوجـدنا المتوسـط (0,2)لتوزیع منـتظم فـى الفتـرة 40عینة من الحجم 100بفرض اننا قمنا بتولید

لكل عینة ثم قمنا بتمثیل تلك المتوسطات بیانیا باستخدام المـدرج التكـررى وذلـك باسـتخدام برنـامج KnoxProb الجزءSec4.1 كالتالى:

SeedRandom[98996]; sampmeans=Table[Mean[RandomArray[UniformDistribution[0,2],40]],{i,1,100}]; g1=Histogram[sampmeans,8,Type->Scaled];

20 40 60 80 100

3.85

3.9

3.95

4.05

4.1

٣٣٩

من الرسم السابق نجد ان معظم متوسطات العینات تقترب من الوسـط الحسـابى للتوزیـع وهـو واحـد

لطبیعــى وهــذا مــا تــنص علیــه صــحیح كمــا ان الرســم یقتــرب مــن شــكل الجــرس ، اى شــكل التوزیــع ا .ریة النزعة المركزیة ان تویع العینات یقترب من التوزیع الطبیعى عندما تكبر حجم العینة ظن

:الدالـة المولـدة للعـزوم

)ab(tee dx

abe)e(E)t(M

atbttxb

a

txX

:ویمكن ایجادها باالمر التالى

)٤ -٧( مثال

) فـــي الفتـــرة ا لـــه التوزیـــع المنـــتظمعشـــوائی ا متغیـــر X إذا كـــان 2,2). أوجـــد دالـــة كثافـــة اإلحتمـــال :ماهو .E(X) ماهو . للمتغیر

P(X 1),P(X 0),P(X 0.2),P(X 2),P(X 1)

:الحــل1 1 1f (x)

b a 2 ( 2) 4

0.81 0.87 0.92 0.98 1.04 1.1 1.16 1.22

1

2

3

4

a

bExpxt 1

bax

at bt

at bt

٣٤٠

fأي أن (x) التاليتأخذ الشكل: 1 -2 x 2

f (x) 40 , e.w

a bE(X)2 هنا a 2,b 2 وعلى ذلك:

. .02

22)X(E

.4121

41x

41 1

2

1

2dx

41)1X(P

.2120

41x

41 0

2

0

2dx

41)0X(P

.02

2dx

41)2X(P

.4321

41x

41 1

2

1

2dx

41)1X(P

.12241x

41 2

2

2

2dx

41)2X(P

.رین میترك كت

The Normal Distribution:التوزيع الطبيعـى ) ٢-٧(

أول مـن نشـر بحـث عـن التوزیـع الطبیعـى Abraham de Moivre (1733)یعتبـر العـالم ویمكـن القـول أن التوزیـع . وذلك كتقریب لتوزیـع مجمـوع متغیـرات عشـوائیة تتبـع توزیـع ذى الحـدین

یعتبـر أهـم توزیـع احتمـالى ) Gaussian distributionأحیانـا یسـمى توزیـع جـاوس ( الطبیعـى للمجتمعات العددیة یقتـرب منحناهـا كثیـرا مـن فى مجال االحتمال واإلحصاء فكثیر من التوزیعات

المنحنى الطبیعى على سبیل المثـال األطـوال ، األوزان ، قیاسـات األخطـاء فـى التجـارب النفسـیة ، أیضـا حتــى . الــخ …قیاسـات الـذكاء، الــدرجات فـى االختبــارات المختلفـة ، القیاســات اإلقتصـادیة

٣٤١

سطها یتبـع تقریبـا التوزیـع الطبیعـى وذلـك تحـت شـروط لو كان التوزیع متقطع فإن مجموعها أو متو یقــال . ثـامنمناسـبة والـذى یعتبــر أسـاس نظریــة النزعـة المركزیــة التـى سـوف نتناولهــا فـى الفصــل ال

إنـــــــــه یتبـــــــــع التوزیـــــــــع الطبیعـــــــــى بمعلمتـــــــــین Xللمتغیـــــــــر العشـــــــــوائى , , ),( حیـــــــــث ، 2 معلمــــة القیــــاس إذا كــــان دالــــة الكثافــــة معلمــــة الموقــــع و حیــــث 0 , -

: على الشكل Xاالحتمالیة للمتغیر العشوائى

x - e 2

1 ) , (x; f )2/()-(x 22

بــتاثتمثــل ال بینمــا 2.71828ترمــز ألســاس اللوغــاریتم الطبیعــى وتســاوى تقریبــا eحیــث N~X),(ســوف نكتـب . 2.14159المشـهور فـى الریاضــیات والـذى قیمتــه تقریبـا 2 للداللــة

متغیـــــرا عشـــــوائیا یتبـــــع التوزیـــــع الطبیعـــــى بمعلمتـــــین Xعلـــــى أن ـــــان . 2, x(f; , (بی 2 التالىشكل الموضح فى

ویتقـــارب ) أو النـــاقوس ( ویأخـــذ شـــكل الجـــرس حیـــث یظهـــر المنحنـــى الطبیعـــى متماثـــل حـــول . xأو xطرفا المنحنى من الصفر عند

x(f; , (تحقق الدالة 2 شرطى دالة كثافة االحتمال وهما:

x(f; , (0 ) أ( 2

x(f; , ( dx 1 ) ب( 2

:نحمل الحزمة للتعرف على التوزیع الطبیع من البرنامج :كالتالى Statistics تحت الدلیل NormalDistribution

٣٤٢

<<Statistics`NormalDistribution`

:فمثال للحصول على دالة التوزیع بصورة عامة نستخدم االمرCDF[NormalDistribution[,],x]

:نستخدم االمر (100 p) من الرتبة المئیینوللحصول عل Quantile[NormalDistribution[,],p]

Standard Normal Distribution :التوزیع الطبیعي القیاسي

إذا كان التوزیع الطبیعي متوسطه صفر وتباینه الواحد الصحیح فإنه یسمي التوزیع ترمز لمتغیر عشوائي متصل له توزیع طبیعي قیاسي فإن Z بفرض أن .الطبیعي القیاسي

:دالة الكثافة االحتمالیة لذلك المتغیر تأخذ الشكل اآلتي 2z21f (z) e , - z

2

z )1عدد حقیقي موجب فان االحتمال 1zإذا كان Z 0 ) یساوي المساحة المظللة في) . ٣(الشكل التالى ، ویمكن الحصول علیها من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي في ملحق

لمساحات الواقعة تحت المنحني الطبیعي القیاسي غیر معطاة في جدول التوزیع الطبیعي اzالقیاسى لقیم . السالبة یمكن حسابهم باستخدام خاصیة التماثل للمنحنى الطبیعي

zالمساحة الواقعة تحت المنحنى الطبیعي القیاسي بین 0 1وz z تسـاوي المساحة1z الواقعة بین z وz 0 أي أن:

1 1P( z Z 0) P(0 Z z )

(3,3-)معظم المساحات تحت المنحنى الطبیعي القیاسي تقع في الفترة ونادرا ما نجد قیم تقع .خارج ھذه الفترة

)٥-٧(مثال

متغیر عشوائي یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي احسب االحتماالت اآلتیة مع توضیح Zإذا كان

٣٤٣

.ذلك بیانیا 05.1Z0(P() أ( )06.1( )بZ06.1(P 95.0Z47.0(P()ج( )2( )دZ6.1(P 02.2Z(P()ھـ( 45.0Z(P( )و( )07.1( )زZ(P

: الحــل 05.1Z0(P(إلیجاد قیمة االحتمال ) أ( نبحث في العمود األول على الشمال من جدول

ثم نتحرك أمام ھذه القیمة أفقیا حتى نصل إلى 1.0 عن القیمة التوزیع الطبیعي القیاسي :فتكون ھي المساحة المطلوبة أي أن 0.05العمود الذي رأس عنوانھ الرقم

P(0 Z 1.05) 0.3531 . :التالى شكلالوالتي تمثل المساحة المظللة في

KnoxProb الجزء الرسم السابق یمكن الحصول علیھ من برنامج

مع ) ٦-٣(باتباع الخطوات التى ذكرناھا فى مثال Sec3.1

: الشكل التالى نحصل على ف لیناسب مثالنا البرنامج بعض االوامر فى فى تغییر

<<Statistics`Continuous Distributions` f[x_]:=PDF[NormalDistribution[0,1],x] PlotContsProb[f[x],{x,-3,3},{0,1.05},Ticks{{-3,0,1.05,3},Automatic},AxesOrigin{0,0},PlotRangeAll,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

٣٤٤

06.1Z06.1(P(االحتمال المطلوب ھو )ب( شكلالوھو یساوي المساحة المظللة في

:التالى

:ونظرا لتماثل المنحنى الطبیعي فان

P( 1.06 Z 1.06) P( 1.06 Z 0) P(0 Z 1.06)2P(0 Z 1.06) 2(0.3554) 0.7108.

95.0Z47.0(P(االحتمال المطلوب ھو )ج( شكلالوھو یساوي المساحة المظللة في

:التالى

:ونظرا لتماثل المنحنى الطبیعي فإن

.5097.03289.01808.0)95.0Z0(P)47.0Z0(P)95.0Z0(P)0Z47.0(P)95.0Z47.0(P

3 1.05 3

0.1

0.2

0.3

0.4

٣٤٥

2Z6.1(P(االحتمال المطلوب ھو )د( :التالى شكلالوھو یساوي المساحة المظللة في

:أي أن

.032.04452.04772.0)6.1Z0(P)2Z0(P)2Z6.1(P

0Z(P(وباستخدام حقیقة أن التالى شكلالمن )ھـ( یساوي نصف المساحة الكلیة تحت

0Z(P(5.0المنحنى الطبیعي أي أن وعلى ذلك:

.0217.04783.05.0)02.2Z0(P)0Z(P)02.2Z(P

45.0Z(P(المطلوب ھواالحتمال )و( : التالى شكلالوھو یساوي المساحة المظللة في

:نظرا لتماثل المنحنى الطبیعي فإن و

.3264.01736.05.0)45.0Z0(P)0Z(P

)45.0Z(P)45.0Z(P

07.1Z(P(االحتمال المطلوب ھو)ز( : التالى شكلالوھو یساوي المساحة المظللة في

٣٤٦

للقیم قدر القیم2

z00001,.0001,.001,.01,.05,.1.

:فان 0.5والن المنحنى الطبیعي متماثل ومساحة كل جانب من جانبي المنحنى تساوي

.8577.03577.05.0)07.1Z0(P)0Z(P)07.1Z(P

. االحتماالت السابقة یمكن اعتبارھا تمارین تحل بالبرنامج

جداول التوزیع الطبیعى القیاسى من البرنامج 1بحساب القیمة Mathematicaیقوم برنامج

2

z z حیث:

1 1P( z Z 0) P(0 Z z )

.كما یتضح من المثال التالى

)٦-٧(مثال

:الحــل

:وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematica بإستخدام برنامجسوف یتم حل ھذا المثال Statistics`ContinuousDistributions وذلك من خالل االمر التالى:

<<Statistics`ContinuousDistributions`

. تتحمل تلقائیا DiscriptiveStatisticsالحزمة الجاھزة وللتذكیر فإن

٣٤٧

حیثzdist=NormalDistribution[0,1] : االمر zdist یستخدم االمر ولحساب قیم عدیدة لـ توزیع الطبیعى القیاسيال یعرف:

commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100-#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]//

N

وذلك لتقدیر القائمة

:بحیث ان X=90,95,99,99.9,99.999 :لكل من القیم

:باستخدام االمر

التالى یتم اظھار الجدول

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`ContinuousDistributions` zdist=NormalDistribution[0,1];

commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100-#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]//N;

2

z

2

{x,(100 x) /100,(100 x) / 200,z }

(100 x) (100 x), .100 200 2

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Confidence Level", , 2, z2

Confidence Level 2

z2

90. 0.1 0.05 1.6448595. 0.05 0.025 1.9599699. 0.01 0.005 2.5758399.9 0.001 0.0005 3.2905399.99 0.0001 0.00005 3.89059

99.999 0.00001 5.106 4.41717

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Confidence Level", , 2, z2

٣٤٨

:استخدام التوزیع الطبیعي القیاسى الستخراج المساحات تحت المنحنى الطبیعي اآلن نعود مرة أخري إلى حالة متغیر عشوائي طبیعي متوسطھ وانحرافھ

المعیاري باستخدام الصیغة إلى متغیر طبیعي قیاسيXیمكن تحویل المتغیر . :التالیة

.XZ

Xالتحویل من بتغیر لمقیاس الرسم إلى عندما .یمثل انتقال لنقطة األصل مصحوباx 0zفإن وعندما ،x z -1فإن وعندما ، 2x2إن فz أي .ھكذا

أن مقیاس الرسم قد تغیر حیث تناظر مسافة على محور السینات مسافة قدرھا واحد على zمحور لحساب االحتماالت ألي ، وعلى ذلك یمكن استخدام جداول التوزیع الطبیعي القیاسي

.متغیر عشوائي طبیعي كما یتضح من األمثلة التالیة

)٧-٧(مثال

في مدینة صغیرة وجد أن أعلى درجة حرارة مسجلة یومیا خالل فصل الربیع لھا متوسط 20 c 5انحراف معیاري c ) أعلى درجة حرارة یومیا ( X بفرض أن المتغیر العشوائي

:خضع للتوزیع الطبیعي، أوجد النسبة المئویة لألیام التي فیھا أعلى درجة حرارة ی22بین )أ( c 26و c )28على األقل )ب c

: الحــل یكون متغیر عشوائي طبیعي Xیرمز ألعلى درجة حرارة مسجلة یومیا فان Xإذا كان )أ(

20متوسطھ 5وانحرافھ المعیاري :المتغیر الطبیعي القیاسي المناظر ھو .

.5

20XXZ

-

22x1 عندما فإن:

.4.05

2022z1

26xوعندما 2 :فان

.2.15

2026z2

Confidence Level 2

z2

90. 0.1 0.05 1.6448595. 0.05 0.025 1.9599699. 0.01 0.005 2.5758399.9 0.001 0.0005 3.2905399.99 0.0001 0.00005 3.89059

99.999 0.00001 5.106 4.41717

٣٤٩

26X22(p(االحتمال المطلوب ھو :التالى شكلالوھو یساوي المساحة المظللة في

:أي أن

.2295.01554.03849.0)2.1Z4.0(P)26X22(P

c26وc22(أي أن النسبة المئویة لألیام التي فیھا أعلى درجة حرارة بین %ھي) . 28x1عندما ) ب( :فإن

.6.15

2028z1

28X(P(االحتمال المطلوب ھو :التالى شكل الوھو یساوي المساحة المظللة في

:أي أن

.0548.04452.05.0)6.1Z0(P)0Z(P

)6.1Z(P)28X(P

. 5.48 %ھي c28أي أن النسبة المئویة لألیام التي فیھا أعلى درجة حرارة فوق

. االحتماالت السابقة یمكن اعتبارھا تمارین تحل بالبرنامج Xالمتوسط والتباین للمتغیر

N~X), (حیث 2 2فإنVar(X) ,E(X)

Sec4.1الجزء KnoxProb الرسم التالى یمكن الحصول علیه من برنامج فى هذا الرسم اعتبرت دالة . ) ٦- ٣(باتباع الخطوات التى ذكرناها فى مثال

كثافة االحتمال للتوزیع الطبیعى دالة فى . . ثابت ویساوى اثنیناالنحراف المعیارى بینما x,

٣٥٠

Plot3D[f[x,,2],{x,-8,8},{,-2,2},PlotPoints->30, ViewPoint->{-0.012, -3.293, 0.779},AxesLabel->{"x","",None},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

:الوسیط والمنوال ونقاط االنقالب N~X), (إذا كان 2 الوسط الحسابى = المنوال = فإن الوسیط.

xو نقطتى االنقالب تكون عند

)٨ -٧( مثال

100متغیــــــر عشــــــوائي یتبــــــع التوزیــــــع الطبیعــــــي بمتوســــــط Xإذا كــــــان ــــــاري وانحــــــراف معی500 أوجدP(X 100) ؟ وبدون إستخدام الجداول.

:الحــلX 100 100 100P(X 100) P( ),

500 500 P(Z 0) 0.5.

Xحیث 100Z500٠

:الحل باستخدام البرنامج كالتالى <<Statistics`NormalDistribution`

1-CDF[NormalDistribution[100,500^2],100]//N 0.5

5 0 5x

21

01

2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

01

2

٣٥١

2Xإذا كان :نظریة ~ N( , ) فإن:

) أ(21t 2

2XM (t) e

) ب( 2r2r

r

2!E(X ) , r =1,2,...

r!2

2r) ج( 1E(X ) 0 , r = 1,2,...

:معامل االلتواء للتوزیع الطبیعى هو 2 3 / 2

1 3 2/ 0 :معامل التفلطح هو

22 4 2/ 3.

.یترك ذلك كتمرین الستخراجه من البرنامج

)٩ -٧( مثال

لتوزیـــع منــتظم فـــى 40عینـــة مــن الحجــم 100بفــرض اننــا قمنـــا بتولیــد ) ٦-٣(للرجــوع الــى مثـــال واوجدنا المتوسـط لكـل عینـة ثـم قمنـا بتمثیـل تلـك المتوسـطات بیانیـا باسـتخدام المـدرج (0,2)الفترة

:كالتالى Sec4.1الجزء KnoxProbالتكررى وذلك باستخدام برنامج SeedRandom[98996]; sampmeans=Table[Mean[RandomArray[UniformDistribution[0,2],40]],{i,1,100}]; g1=Histogram[sampmeans,8,Type->Scaled];

من الرسم السابق نجد ان معظم متوسطات العینات تقترب من الوسـط الحسـابى للتوزیـع وهـو واحـد صــحیح كمــا ان الرســم یقتــرب مــن شــكل الجــرس ، اى شــكل التوزیــع الطبیعــى وهــذا مــا تــنص علیــه

0.81 0.87 0.92 0.98 1.04 1.1 1.16 1.22

1

2

3

4

٣٥٢

العینـــات یقتـــرب مـــن التوزیـــع الطبیعـــى عنـــدما تكبـــر متوســـطات یـــعز ریـــة النزعـــة المركزیـــة ان تو ظن .حجم العینة

2)2هو واحد والتباین هو (0,2)االن المتوسط للتوزیع المنتظم فى الفترة 0) /12 1/3 المتوسط لعینة عشوائیة مختارة من توزیع له متوسط Xومن المعروف ان التوزیع العینى لـ

وتباین یكون له متوسط 2وتباین 2

n .حالتنا فان وعلى ذلك فىX له متوسط یساوى

(1/3)واحد صحیح وتباین یساوى / 40 1/120 . وعلى ذلك فان االنحراف المعیارى سوف1/120یكون 0.09. البرنامج التالى یوضح لنا ان التوزیع لX یقترب من التوزیع

.وهو تكملة للبرنامج السابق n=40الطبیعى بمتوسط واحد صحیح حیث

Normal Distribution -Half:التوزيع الطبيعـى نصف ) ٣-٧(

تعرف ببرنامج الماثیماتیكا على ) معلمة التوزیع (دالة كثافة االحتمال لمتغیر عشوائى یتبع :الصیغة التالیة

g2 Plotfx,1,1120, x,.75,1.25,DisplayFunction Identity,DefaultFont "TimesRoman",8;

Showg1,g2, DisplayFunction $DisplayFunction,Ticks 0,.75,1,1.25, Automatic;

0.75 1 1.25

1

2

3

4

2 2- x2f (x; , ) e 0 x

٣٥٣

Truncated normalویعتبر هذا التوزیع حالة خاضة من التوزیع الطبیعى المبتور

distribution العامة لهذا التوزیع هى الحالة .والذى یعرف على الفترة:

و فى برنامج یعرف فى الفترة عموما توزیع نصف التوزیع الطبیعى بمعلمة .تساوى صفر الماثیماتیكا یهتم بالحالة عندما یمكن Half-Normal Distributionالتوزیع الطبیعي المسمى للحصول على معلومات عن

تحت الدلیل ContinuousDistributionsالرجوع الى برنامج الماثیماتیكا من الحزمة

Statistics وفیما یلى برنامج للحصول على بعض المعلومات عن هذا التوزیع: <<Statistics`ContinuousDistributions` f[_,x_]=PDF[HalfNormalDistribution[],x]

Mean[HalfNormalDistribution[]]

Variance[HalfNormalDistribution[]]

pdfplot[_]:=Plot[f[,x],{x,0,20},DisplayFunction->Identity] graphs=Table[pdfplot[],{,0.1,0.4,0.1}]; Show[Evaluate[graphs],DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

Gamma Distributionتوزیع جاما ) ٤-٧(

a x b

2 2 2 2(x- ) /(2 ) (x- ) /(2 )

-1b

a

1 1f (x; , ) e e dx a x b2 2

X

2Ex22

1

2

2 2

5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

٣٥٤

یعتبــر توزیــع جامــا واحــد مــن التوزیعــات المتصــلة الشــائعة االســتخدام فــي التطبیــق، فكثیــر مــن

المتغیــرات العشــوائیة تتبــع توزیــع جامــا مثــل زمــن الخدمــة فــي مركــز للبیــع أو الــزمن الــالزم إلعــادة . gamma functionزیع من عالقته بدالة تسمى دالة جاما لقد أشتق اسم التو . تجدید السیارة

:تعطى كالتالى k > 0، ألي k((دالة جاما ویرمز لها بالرمز :تعریف

.dt e t)k( t1k

0

)1dt e )1فإن k = 1على سبیل المثال عندما t

0

.

12

n 1,2,3,... (n 1) n!

إذا كانــت k , 0 0أنــه یتبـع توزیـع جامــا بمعلمتـین Xیقـال للمتغیــر العشـوائي : نظریـة :دالة كثافته االحتمالیة على الشكل

k-1 x/k

1f (x; , k) x e , x 0 (k)

0 , e.w .

k) , (x; fتحقـــق الدالـــة 0شـــرطي دالـــة كثافـــة االحتمـــال حیـــث k) , (x; f وبوضـــع

x / t فـــي التكامــــلdx k) , (x; f0

)k(/)k(1نحصــــل علــــى . ســــوف

k) ,( GAM ~Xنكتـب للداللــة علـى أنX متغیـرا عشــوائیا لــه دالـة كثافــة االحتمــال.

k) , (x; f k) , (x; fیوجد ثالث أشكال أساسیة للدالة كان تعتمد على ما إذا:

k < 1 أوk = 1 1 < أو k. عنـدما k = 1 فـإن 1/ ) 1 , 0, ( f وعنـدما k > 1 فـإن

0k) , (0; f . عندماوk<1 فإن المحور الراسي يحاذىy= .

) k , (x; f

٣٥٥

k) , (x; fأشكال مختلفة للدالة وذلك لقیم مختلفة من التالیینشكل الموضحة في ,k .

ويمكــن الحصــول علــى الرســـمتين ) ٦-٣(وباتبــاع نفــس الخطــوات التــى اســتخدمناها فـــى مثــال

: KnoxProbمن برنامج السابقتين من البرنامجين التالىين g[x_,k_,_]:=PDF[GammaDistribution[k,],x]; Plot[{g[x,2,2],g[x,2,3],g[x,3,2]},{x,0,20},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

٣٥٦

g[x_,k_,_]:=PDF[GammaDistribution[k,],x]; Plot[{g[x,.5,.5],g[x,1,5]},{x,0,8},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

ــة k) , (x; f كمــا يمكــن الحصــول رســم للدال باســتخدام البرنــامج التــالى ، فعلــى ســبیل المثــال

k=3 ,2 عند .

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[3,2] ChiSquareDistribution[6] Plot[PDF[dist,x],{x,0,20}]

5 10 15 20

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٥٧

Graphics

k) ,( GAM ~Xدالة التوزیع للمتغیر ھي:

.dte t)k(

1 k) , (x; Ft

1-kk

x

0

بوضع /tu فـي التكامـل فـإنk) , 1 ; F( k) , (x; F x

حیـثF (. , k ) تسـمى دالـة) معلمـة القیـاس ( فقـط والتـى تعتمـد علـى incomplete gamma functionجامـا الناقصـة

. x / وذلك من خالل المتغیر باســتخدام البرنــامج التــالى ، فعلــى ســبیل المثــال F(x; , k) كمــا يمكــن الحصــول رســم للدالــة

k=3 ,2 عند .

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[3,2] ChiSquareDistribution[6] Plot[CDF[dist,x],{x,0,20}]

5 10 15 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٥٨

Graphics

كمــا هــو متبــع فــى (باســتخدام البرنــامج التــالى F (x; , k) كمــا يمكــن الحصــول رســم للدالــة : KnoxProb , kمن برنامج لقیم مختلفة من ) ٦-٣(مثال

G[x_,k_,_]:=CDF[GammaDistribution[k,],x]; Plot[{G[x,2,2],G[x,2,3],G[x,3,2]},{x,0,20},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

k) ,( GAM ~Xحیــث Xعمومــا دالــة التوزیــع للمتغیــر ال یمكــن وضــعها فــي شــكل

.عدد صحیح موجب فإن التكامل یمكن التعبیر عنه كمجموع kصیغة ولكن إذا كانت :نظریة

.e !i

)/x( -1 )k , x;( F x/i1-k

0i

)١٠ -٧( مثال

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٥٩

:أوجد X ~ GAM (1, 2 )إذا كان زمن التفاعل یمثل متغیرا عشوائیا حیث P( 3 X 5) ) أ( ٠ P( X > 4 )٠) ب(

:الحــل

:كالتالي ) ٥(یمكن إیجادها باستخدام الجدول في ملحق ) ب(و ) أ(االحتماالت في

) أ( . .15872

.80085 - .95957 ) 2 (3, F - ) 2 (5, F ) 5 X 3 P(

)X P( - 1 ) 4 X P 4 () ب( = 1 – F (4; 2) = 1 - .90842 = .09158 .

:مثال من البرنامج التالى لیمكن الحصول على الحل لهذا ا <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[2,1] GammaDistribution[2,1] CDF[dist,5]-CDF[dist,3]//N 0.158721 1-CDF[dist,4]//N 0.0915782

Sec4.4بالذهاب الى الجزء KnoxProbبیانیا باستخدام برنامج ) ا(یمكن تمثیل االحتمال فى : وتغییر البیانات الى بیانتنا كالتالى

Needs["KnoxProb`Utilities`"]; f[x_]:=PDF[GammaDistribution[2,1],x]; PlotContsProb[f[x],{x,0,18},{3,5},Ticks{{1,3,5,7,9,11,13,15},Automatic},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

1 3 5 7 9 11 13 15

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

٣٦٠

.االحتمال المطلوب یمكن ایجاده كالتالى

0.158721

)١١ -٧( مثال

لــذكر الفــأر المعــالج بأشــعة جامــا یتبــع المتغیــر العشــوائى ) مقــاس باألســبوع ( إذا كــان زمــن البقــاء X حیثX ~ GAM (15, 8 )

.أسبوع 60 , 120أوجد االحتمال أن الفأر سوف یبقى على قید الحیاة بین

:الحــل

:كالتالي جاماباستخدام جدول ل المطلوباالحتمایمكن ایجاد ) 60 X P( - ) 120 P(X ) 120 X P(60

= F (120 / 15 ; 8 ) - F( 60/15 ; 8 ) = F (8; 8 ) - F (4; 8 ) = .54704 - .05113 = . 49591 .

:مثال من البرنامج التالى لیمكن الحصول على الحل لهذا ا

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[8,15] GammaDistribution[8,15] CDF[dist,120]-CDF[dist,60]//N 0.495906

)١٢ -٧( مثال

N3

5fxx

٣٦١

5بفرض أن المكالمات المستقبلة في سویتش تتبع عملیـة بواسـون حیـث مكالمـات فـي الدقیقـةیتبـع توزیـع X متغیر عشوائي یمثل الزمن بالدقائق حتـى اسـتقبال مكـالمتین حیـث Xفإذا كان .

1جاما بمعلمتین , k 25

أوجدP(X 1) ٠

:الحــل

xx1P(X x) xe dx.2 02 5xP(X 1) 25 xe dx0

5P(X 1) 1 e (1 5) 0.959.

.یترك كتمرین

)١٣ -٧( مثال

تمثل متغیرا عشوائیا حیث) مقاس بالبوصة ( إذا كانت كمیة الترسیب في نهر X ~ GAM (.2, 6) .

P ( X > 2 )٠ :المطلوب

:الحــل

6-1 (x/.2) 6

2

i5 10

i 0

1P( X 2 ) x e dx(.2) (6)

1- F ( 2; .2, 6 )10 e 0.067 .i!

.10عند )٢(فى ملحق والتي یمكن حسابها من جدول توزیع بواسون:من البرنامج التالى لهذا المثال یمكن الحصول على الحل

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=PoissonDistribution[10] PoissonDistribution[10] CDF[dist,5]//N 0.067086

٣٦٢

:مثال من البرنامج التالى لیمكن الحصول على الحل لهذا ا ایضا <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[6,.2] GammaDistribution[6,0.2] 1-CDF[dist,2]//N 0.067086

)١٤ -٧( مثال

X ~ GAM (0.5, 10 )بفرض أن متغیر عشوائي حیث

P(X أوجد 5),P(5 X 7) ٠

:الحــلP(Xعدد صحیح موجب فإن k=10بما أن 5) یمكن حسابها من الصیغة حیث :

P(X 5) F(5,0.5,10)5 5i( ) i9 9 (10) 100.5 0.51 e 1 e 0.542.i! i!i 0 i 0

حیث i9 (10) 10e

i!i 0

10حیث ) ٢(یمكن حسابها من جداول بواسون فى ملحق

P(5 X 7) F(7) F(5)i i9 9(14) (10)14 10(1 e ) (1 e ) 0.349.

i! i!i 0 i 0

التالى حیث نتیجة الحل فى البرنامجالحل لهذا المثال باستخدام

.على التوالى aa1,aa3 <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=PoissonDistribution[10] PoissonDistribution[10] aa1=1-CDF[dist,9]//N 0.54207 dist1=PoissonDistribution[14] PoissonDistribution[14] aa2=1-CDF[dist1,9]//N 0.890601 aa3 =aa2-aa1 0.34853

٣٦٣

)١٥ -٧( مثال

1Xإذا كان الدخل لألسرة الواحدة في بلد ما یتبع توزیع جاما حیث ~ GAM ( , 2 )2

. P ( X > 2 )المتوسط و أوجد ). 10000 $مقاس (

:الحــل

1هــو المعنــى البلــد فــي الــدخل لألســرة الواحــدة متوســط 212. ) k ( ) مقــاس$

، ألسـرة مختـارة 1000 $ یمثـل الـدخل ، بوحـدات متغیـرا عشـوائیا X فإنوعلى ذلك ). 10000 :كالتالي P( X > 2 ) حساب یتم

1 2 1 2xP ( X 2 ) x e dx,1 2( ) (2) 22

2x 4 x e dx,2

x 2x 2x 4 ( - e ) 2 e dx,2 2 2

2x 2x (-2 . e - e ) ,2

2x - ( 2x 1 ) e ,2

4 5 e .0916 .

:مثال من البرنامج التالى لیمكن الحصول على الحل لهذا ا

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[2,.5] GammaDistribution[2,0.5] 1-CDF[dist,2] 0.0915782

:العزوم حـول الصفـر :حول الصفر من الدالة المولدة للعزوم حیث rیمكن الحصول على العزم من الدرجة

٣٦٤

k 1 x/tx

X k0

k 1 (t-1/ )xk

0

x eM (t) e dx (k)

1 x e dx(k)

x)1/ -(t - u بوضع فإن: -k

k 1 u X k

0

1 1M (t) t u e du. (k)

:أي أن -k

XM (t) 1 t t 1/ . :، في هذه الحالة ، هي rالمشتقة من الدرجة r-k-r)r(

X t)-(1 k ) 1(k )... 1- r k ( )t(M

r -k-r(k r) ( 1- t) .(k)

M)0(:وعلى ذلك )r(X تعطى العزم من الدرجةr حول الصفر حیث:

. )k(

)rk()X(E rr

kومن النتائج السابقة یمكن الحصـول علـى الوسـط الحسـابى لهـذا التوزیـع وهـو والتبـاین2kوهو . كما یمكن الحصول على هذه النتیجة من البرنامج التالى:

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[2,.5] GammaDistribution[2,0.5] Mean[dist] 1. Variance[dist] 0.5 <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[k,] GammaDistribution[k,] Mean[dist] k Variance[dist]

k /2 , 2عنــدما نحصــل علــى صــورة خاصــة لتوزیــع جامــا تســمى توزیــع مربــعتوزیـع مربـع كـاي . تسـمى درجـات الحریـة بمعلمـة chi – square distributionكـاي

نحصـل علـى حالـة خاصـة تسـمى k = 1عنـدما ) . ٤-٧( سـوف نناقشـه بالتفصـیل فـي البنـد

k2

٣٦٥

اقشـــه بالتفصـــیل فـــي البنـــدوالـــذى ســـوف نن exponential distributionالتوزیـــع األســـى )٦-٧ . (

:الدالة الممیزة : هىالدالة الممیزة لتوزیع جاما

k-X ) it - 1 ( )t(

)١٦ -٧( مثال

Xإذا كان ~ GAM (3, 2) أوجدrf (x) , M (t) , E(X ) , F(x)X ٠

:الحــلx

1 3f (x) xe , x 09

12M (t) (1 3t) , tx 3 k 6.x

2 2 k 18.r rE(X ) 3 (r 2) ,r 1,2,3...

xux1 x 33F(x) ue du 1 ( 1)e .9 30

.بالبرنامج یحل ترك كتمرینی

)١٧ -٧( مثال

Xإذا كــــان ~ GAM ( , k) 1حیـــــث بـــــرهن علـــــى أن الوســــط التـــــوافقي 1( E( ))H X مســـــاو

rE(X للمنوال ثم اشتق صیغة )و r ٠عدد صحیح موجب

:الحــل

٣٦٦

:حسب تعریف الوسط التوافقي فإنx

1 1 1 1 k 1E( ) x e dx,kH X x(k) 0x

1 (k 1) 1x e dx,k(k) 01 1k 1(k 1) .k (k 1)(k)

:وعلى ذلكH (k 1).

.بالبرنامج یحلتترك كتمرین square Distribution –The chiتوزیع مربع كاي ) ٥-٧(

كمــا ســبق أن ذكرنــا یعتبــر توزیــع مربــع كــاي حالــة خاصــة مــن توزیــع جامــا ویلعــب دور هــام k /2 , 2متغیـرا عشــوائیا یتبـع توزیـع جامـا بمعلمـة Xلـیكن . فـي اإلحصـاء حیــث

دالة كثافة االحتمال للمتغیر . عدد صحیح موجب یسمى درجات الحریةX هي: /2-1 x/2

/2

1f (x; ) x e , 0 x .( /2)2

0 , e.w.

2)(یستخدم الرمز للداللة على أنX یتبع توزیع مربع كاي بدرجات حریة. المتوسط :هما والتباین لتوزیع مربع كاي بدرجات حریة

. 2 k , k 22 وهذا یعنى أن المتوسط یساوى عدد درجات الحریة ، والتباین یساوى ضعف عدد درجات الحریة

من النتائج التي تم الحصول علیها من توزیع جاما ، فإنه یمكن القول أن الدالة المولدة للعزوم . 2)(لتوزیع هي:

.21 t )2t -1 ( )t(M /2-

X

2)(یعطى شكل التالى ثالث منحنیان لتوزیع 5,3,2عند.

٣٦٧

.KnoxProb من برنامج صول على الرسمة السابقة البرنامج التالى للحchisq1= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[2],x],{x,0,12},DisplayFunction->Identity]; chisq2= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[3],x],{x,0,12},DisplayFunction->Identity]; chisq3= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[5],x],{x,0,12},DisplayFunction->Identity]; Show[chisq1,chisq2,chisq3,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

2)(یعطى شكل التالى منحنیات لتوزیع من برنامج عند قیم مختلفة من KnoxProb. f[x_,r_]:=PDF[ChiSquareDistribution[r],x] Plot[{f[x,5],f[x,6],f[x,7],f[x,8]},{x,0,20},

2 4 6 8 10 12

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٣٦٨

PlotStyle{Dashing[{.01}],GrayLevel[.5],Thickness[.004],Thickness[.01]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

: توزیع مربع كاي االمر التالى الیجاد صیغة دالة كثافة االحتمال

PDF[ChiSquareDistribution[n],x]

تكون على توزیع مربع كاي بدرجات حریة یتبعX دالة التوزیع لمتغیر عشوائي

:الشكل التالى

. dwe w/2)2(1);x(F w/21-/2

/2

x

0

. والتي ال یمكن وضعها في شكل صیغة

ذا كان بفرض أن توزیع مربع كاي بدرجات یتبع متغیرا عشوائیا X احتمال موجب واحریة 2)( فإن هو العدد بحیث أن:

. ) )(X (P 2

2)(أي أن 100)1(و هو المئین ذو الرتبة كما هو موضح في الشكل التالى .

5 10 15 20

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

2n2 Ex2x1n2

Gamma n2

٣٦٩

2)(وألن توزیع مربع كاي ذات أهمیة كبیرة في التطبیقات فإن هناك جداول إلیجاد قیمة 2)(یعطى قیم ) ٤(الجدول في ملحق . وذلك لقیم مختلفة من و حیث تأخذ

:القیم .995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005

40إلى 1ودرجات حریة من والعمود یوضح الصف الثاني من الجدول قیم . 2)(األول من الشمال قیم درجات الحریة أما محتویات الجدول فهي لقیم . وعلى ذلك

2)6( للحصول على القیمة

فإننا نبحث 05.تساوى ة على یمینهاوالتي تكون المساح وعلى ذلك 05.مع العمود6 في الجدول عند تقاطع الصف الذي به

592.12)6(205. . فال بد من استخدام ولعدم تماثل منحنى توزیع مربع كاي2)6(635.1الجدول إلیجاد

95. .

):١٨-٧(مثال : )٤(في ملحق أوجد النقاط التالیة من جدول توزیع

ν=12، -أ

ν=1 ، -ب

:لــالح = 5.226 -أ

= 3.843 -ب

)١٩ -٧( مثال

2)14(أوجد القیمة 01. لتوزیع مربع كاي.

:الحــل

عند تقاطع الصف ) ٤(بالبحث في جدول توزیع مربع كاي في ملحق 14 0.01 = مع العمود 2 )14(141.29نجد أن

01. .

)٢٠ -٧(مثال

22.95

2.05

2.95

2.05

٣٧٠

2 ١٥الى١وذلك بدرجات حریة من للقیم قدر القیم

2.995,.99,.01,.975,.95

X كــانإذا 2أوجــد قیمــة متغیــرا عشــوائیا یتبــع توزیــع مربــع كــاي بــدرجات حریــة (4) التــي . 0.99تكون المساحة على یسارها تساوى

:الحــل

2القیمة (4) وتكون المساحة على یمینها 99.تكون المساحة على یسارها تساويهي تلك القیمة في وعلى ذلك فإن القیمة 01. = 99. -1تساوى

4 جدول توزیع مربع كاي التي تقع عند تقاطع الصف والعمود = .01 .

.من خالل المثال التالى و لقیم مختلفة من وفیما یلى برنامج یحسب

)٢١-٧(مثال

:الحل

:وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematica برنامج سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدامStatistics تحت الدلیل ContinuousDistributions وذلك من خالل االمر التالى:

<<Statistics`ContinuousDistributions` :لحساب القیم المطلوبة یكتب ما یلى

m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.005`,0.01`,0.025`,0.05`}]; cv[n_]=Flatten[{n,m}];

من االمر التالىالمطلوب یتم اظھار الجدول

:وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

2.01(4) 13.277

2

TableForm t, TableHeadings

, "DegreesofFreedom

", .9952, .992, .9752, .952,

TableSpacing 1

٣٧١

<<Statistics`ContinuousDistributions` m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.005`,0.01`,0.025`,0.05`}]; cv[n_]=Flatten[{n,m}];

ذا تم حساب تباین من توزیع طبیعى تباینه nإذا تكرر سحب عینات من الحجم وا2sالعینة له S2التوزیع العینى لإلحصاء . S2لكل عینة فإننا نحصل على قیم لإلحصاء

والتي تحسب قیمته من X2االهتمام یكون في توزیع المتغیر . تطبیقات قلیلة في اإلحصاء :الصیغة اآلتیة

.

بدرجات حریة ) توزیع مربع كاى ( یسمى توزیع X2توزیع المتغیر العشوائى . 2sتساوى المقام في صیغة حیث

TableForm t, TableHeadings

, "DegreesofFreedom

", .9952, .992, .9752, .952,

TableSpacing 1

DegreesofFreedom

0.9952 0.99

2 0.9752 0.95

2

1 0.0000392704 0.000157088 0.000982069 0.003932142 0.0100251 0.0201007 0.0506356 0.1025873 0.0717218 0.114832 0.215795 0.3518464 0.206989 0.297109 0.484419 0.7107235 0.411742 0.554298 0.831212 1.145486 0.675727 0.87209 1.23734 1.635387 0.989256 1.23904 1.68987 2.167358 1.34441 1.6465 2.17973 2.732649 1.73493 2.0879 2.70039 3.3251110 2.15586 2.55821 3.24697 3.940311 2.60322 3.05348 3.81575 4.5748112 3.07382 3.57057 4.40379 5.2260313 3.56503 4.10692 5.00875 5.8918614 4.07467 4.66043 5.62873 6.5706315 4.60092 5.22935 6.26214 7.26094

2

22

2(n 1)s

2

n 1

٣٧٢

والتى حجمها بیانیا crimeratesالبرنامج التالى لعرض البیانات التى فى القائمة المسماه 25.

crimerates={7.08,7.04,6.27,5.03,4.75,4.44,4.43,4.33,4.28,4.09,3.87,3.76,3.67,3.66,3.37,3.22,2.88,2.86,2.73,2.72,2.65,2.59,2.55,2.54,2.42,1.68}; DotPlot[crimerates,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

:لحساب تباین العینة واالنحراف المعیارى نتبع التالى Ssquared=Variance[crimerates] S=StandardDeviation[crimerates] 1.92459 1.3873

:تحسب كالتالى %90فترة ثقة للتباین

:تحسب كالتالى من البرنامج a,bحیث

a=Quantile[ChiSquareDistribution[25],.05] b=Quantile[ChiSquareDistribution[25],.95] 14.6114 37.6525

:تكون %90وعلى ذلك فترة ثقة للتباین

{5.39647,8.99452}

25حیث n 1 .

والذى یعطى Sec4.5من الجزء KnoxProbالبرنامج التالى تم الحصول علیه من برنامج عینة 200التوزیع التجریبى لتباین العینة ممثل بالمدرج التكرارى والتى تم الحصول علیه من

حیث . من توزیع طبیعى متوسطه صفر وتباینه واحد صحیح 10تم تولیدها من الحجم numvars ترمز لعدد العینات و sampsizeحجم العینة وترمز ل, هما معالم التوزیع

2 3 4 5 6 7

n 1S2 b , n 1S2 a

25 Sb

,25 Sa

٣٧٣

توزیع مربع كاى یشبة یالحظ ان المدرج التكرارى ملتوى ناحیة الیسار وهو تقریبا . بیعى طال : 39اى (n-1)بدرجات حریة

Needs["KnoxProb`Utilities`"]; SimSampleVariances[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[Variance[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize]],{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[SimSampleVariances[200,10,0,1],8];

.,=6 ولكن هنانفس الكالم عن المدرج السابق

Needs["KnoxProb`Utilities`"]; SimSampleVariances[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Variance[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize]]-)((sampsize-1)/(^2)),{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[SimSampleVariances[200,10,60,6],8];

0.34 0.64 0.94 1.25 1.55 1.85 2.15 2.46

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

11.97 9.24 6.52 3.79 1.07 1.66 4.38 7.11

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

٣٧٤

nDistributioChi كاى توزيع ) ٦-٧(0دالة كثافة االحتمال لتوزیع كاى بدرجة حریة هى:

2-1 x /2

12

1f (x; ) x e , 0 x , >0( /2)2

0 , e.w.

هو متغیر عشوائى یتبع Xمتغیراعشوائیا یتبع توزیع مربع كاي فان الجذر التربیعى لـ Xاذا كان والن تباین العینة لعینات ماخوذة من توزیع طبیعى لها توزیع مربع كاي فان. كاي

.االنحراف المعیارى االنحراف المعیارى لعینات الماخوذة من توزیع طبیعى تتبع توزیع كاي

1,2,5لهذا التوزیع فان تمثیل دالة كثافة االحتمال بیانیا عند باستخدام البرنامج تتم كالتالى chi1= Plot[PDF[ChiDistribution[1],x],{x,0,5},DisplayFunction->Identity]; chi2= Plot[PDF[ChiDistribution[2],x],{x,0,5},DisplayFunction->Identity]; chi3= Plot[PDF[ChiDistribution[5],x],{x,0,5},DisplayFunction->Identity]; Show[chi1,chi2,chi3,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

یمكن الحصول على اى معلومات عن هذا التوزیع بنفس الطریقة التى حصلنا بها على توزیع .مربع كاي

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

٣٧٥

The Exponential Distributioالتوزيع األسى ) ٧-٧(

تعطى عائلة التوزیعات األسیه نماذج احتمالیة مفیدة في مجال الهندسة والعلوم حیث تصف كثیر من الظواهر مثل أعمار بعض السلع الكهربائیة ، الوقت الالزم حتى تتعطل بعض

.وقت االنتظار لوقوع حادثة ما –األنظمة اإللكترونیة

وزیع األسى إذا كانت دالة كثافته االحتمالیة على أنه یتبع الت Xیقال للمتغیر العشوائى :الشكل

x1f ( x; ) e , x 0

0 , e.w .

حیث x eبعض المؤلفین یستخدمون الصورة ( تسمى معلمة المقیاس حیث 1

X ~ EXP (سوف نكتب . متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع Xللداللة على أن (

X ~ exp (بما أن . األسى بمعلمة فإن k = 1حالة خاصة من توزیع جاما حیث (هما على التوالى Xالمتوسط والتباین للمتغیر أي أن كال من . 22 ,

. المتوسط واالنحراف المعیاري یساویان

:الصیغة العامة لدالة كثافة االحتمال للتوزیع االسى فى البرنامج تكتب كالتالى

PDF[ExponentialDistribution[ ],x] :انه تعریف لدالة كثافة االحتمال التى على الشكل التالى اى

xf ( x; ) e , x 0 0 , e.w .

حیث1

.

وفیما یلى برنامج للحصول على بیان f x; 5.عندما , 2

, 2سوف نستخدم فى البرنامج 1/ 2 .

٣٧٦

<<Statistics`ContinuousDistributions` f[x_]:=PDF[ExponentialDistribution[2],x] g[x_]:=PDF[ExponentialDistribution[1/2],x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0,2}]

Graphics

بیاناالمر التالى الیجاد f x; 2.4موضح في الشكل التالى عندما . Plot[PDF[ExponentialDistribution[1/2.4],x],{x,0,8}]

Graphics

:هي Xدالة التوزیع للمتغیر x/F (x; ) 1 - e , x 0

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8

0.1

0.2

0.3

0.4

٣٧٧

بیانالیجاد یلى برنامجوفیما F x; .5 ,2عندما .

<<Statistics`ContinuousDistributions` f[x_]:=CDF[ExponentialDistribution[5],x] g[x_]:=CDF[ExponentialDistribution[1/2],x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0,2}]

Graphics

)٢١ -٧( مثال :أوجد X ~ Exp (5)عشوائیا یتبع التوزیع األسى حیث متغیرا X إذا كان

P( X 10 )٠ )أ( P( 5 X 10 )) ب( ٠

:الحــل10 X (P ( F ) 10 ; (5 ) أ(

. .865 .135 - 1 e - 1

e - 1 2

(10) (.2)

)ب(

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٧٨

. 233 . )e - 1 ( )e - (1

5) 5, ( F - 5) (10; F ) 10 X 5 (P12

) ب(والحل aa1تحت المسمى ) ا(البرنامج التالى لحل المثال بطریقتین حیث الحل : aa2تحت المسمى

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/5]; aa1=CDF[dist,10]//N 0.864665

0.864665 aa2=CDF[dist,10]-CDF[dist,5]//N 0.232544

0.232544

)٢٢ -٧( مثال

مقاس بالساعات بین حوادث السیارات في تقاطع ما حیث( الزمن Xإذا كان X ~ Exp (10) أوجد :P(X 24).

:الحــل

24x/10

0

x/10 24/10 0

24/10

P ( X 24 ) 1- P( 0 X 24 )1 1 - e dx

1024

1 e 1 e - e0

e .091 .

:aa1البرنامج التالى لحل المثال بطریقتین حیث الحل تحت المسمى <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/10]; aa1=1-CDF[dist,24]//N 0.090718

0.090718

aa1 0

10 15Exp x

5x N

aa2 5

10 15Exp x

5x N

aa1 10

24 110

Exp x10

x N

٣٧٩

تطبيقات للتوزيع األسـى Applications of the Exponential Distribution

) نجاحات ( عادة ، یستخدم التوزیع األسى كنموذج لتوزیع األزمنة بین وقوع أحداث . مثل العمالء الذین یصلون إلى مركز الخدمة أو المكالمات التى تستقبلها لوحة سویتش

.اسونیرجع ذلك إلى االرتباط الوثیق بین التوزیع األسى وبین عملیة بو

یتبع توزیع tالتي تقع في فترة زمنیة طولها X(t)بفرض أن عدد األحداث :نظریة القیمة المتوقعة لوقوع األحداث في وحدة واحدة من الزمن حیث ( t بواسون بمعلمة

مستقلة عن ) متنافیة ( وأن عدد مرات وقوع األحداث في فترات زمنیة غیر متقاطعة ) فإن أطوال الفترات الزمنیة التي تفصل بین لحظات وقوع األحداث وعلى ذلك. بعضها

. تكون متغیرا عشوائیا متصال یتبع التوزیع األسى بمعلمة

)٢٣ -٧( مثال

.5تتبـع توزیـع بواسـون حیـث 24بفرض أن المكالمات المسـتقبلة علـى لوحـة السـویتش خـالل 5.بـین حــدوث مكالمــات یتبــع التوزیــع األســى بمعلمــة Xوعلــى ذلــك عــدد األیــام . مكالمـة لكــل یــوم

:وعلى ذلك احتمال أن أكثر من یومین تفصل بین المكالمات هو

(.5) (2)

P( X 2 ) 1 - P( X 2 ) e .368 .

.یوم 2 = 5. /1الزمن المتوقع بین مكالمات ناجحة هو

EXP ~X )(فإن Xلمتغیر عشوائى متصل :نظریة إذا وفقط إذا :

] t X [ P ] a X t a X [ P

. t > 0 , a > 0لكل قیم

وهذا یوضح أن التوزیع األسى هو التوزیع aأي أن االحتمال السابق ال یعتمد على وهذا یعنى أنه إذا كان جهاز no – memoryالمتصل الوحید الذي یحقق فقد الذاكرة

وحدة زمنیة أو اكثر ال یعتمد tوحدة زمنیة فإن احتمال أن یعیش aقد استخدم لمدة

٣٨٠

وهذا یعنى أن الجهاز غیر . لى المدة التى سبق استخدامها فیها ، أي ال یعتمد عa على . معرض الن یبلى باالستعمال

)٢٤-٧( مثال

Xیتبع التوزیع األسي حیث ) مقاس بالدقائق(متغیرا عشوائیا یمثل الزمن لقراءة رسالة Xإذا كان

~ EXP (2) أوجد: P(X )أ 1)

Xلتوزیع المتغیر (90)المئین من الرتبة ) ج(الوسیط ) ب

:الحــل

)أx

1 22 f (x) e2

P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(0 X 1)1x x1 1 2 21 e dx 1 (e )

200

1 102 21 (e e ) e 0.60653 0.607.

)ب الوسیط

٣٨١

x2F(x) 1 e ,

1F(m ) .2

m m1 12 21 e e ,2 2

1 m 1ln 2ln m2 2 2

m 1.38629.

(90)المئین من الرتبة ) ج(

P F(x ) P(x x )p px0.9

20.9 1 ex0.9

x0.92e 0.1 ln(0.1)2

x 4.60517 4.601.0.9

تحت ) ب(و aa1تم حله بطریقتین تحت المسمى )ا(وقد تم حل المثال بالبرنامج حیث :aa3 تحت المسمى ) ج(و aa2المسمى

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/2];

0.606531 aa1=1-CDF[dist,1]//N 0.606531 aa2-Quantile[dist,.5]//N 1.38629 aa3=Quantile[dist,.90]//N 4.60517

)٢٥ -٧( مثال

: عند فشل ترنزستور متغیر عشوائي حیث ) مقاس بالساعات(بفرض أن الزمن X ~ EXP (100) P(Xأوجد ) أ 15) وP(X 10) ٠

aa1 1

12Exp x

2x N

٣٨٢

٠ Var(X)أوجد ) ب

:الحــل

) أP(X 15) 1 P(X 15) 1 F(15),

15100100 F(15) 1 e ,

15 15100 100P(X 15) 1 [1 e ] e 0.8607.

P(X 10) 1 P(X 10) 1 F(10),10

100F(10) 1 e ,

20 10100 100P(X 20) 1 [1 e ] e 0.8607.

2التباین هو ) ب 2 26 (100)

:وفیما یلى برنامج لحل المثال <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/100];

0.860708 aa1=1-CDF[dist,15]//N 0.860708

0.818731 aa2=1-CDF[dist,20]//N 0.818731 Variance[dist] 10000

Weibull Distributionتوزيع وايبـل ) ٨- ٧(

توزیع وایبل الستخدامه في التطبیقات الرقمیة مثل أزمنة W. Weibullأقترح العالم .الحیاة أو قوة الكسر للمعادن

إذا كانت 0 , 0أنه یتبع توزیع وایبل بمعلمتین Xیقال للمتغیر العشوائي :دالة كثافته االحتمالیة على الشكل

aa1 15 1100

Exp x100

x N

aa2 20

1100

Exp x100

x N

٣٨٣

-1 (x/ )f ( x; , ) x e , x 0

0 , e.w .

WEI~ X ) , (سوف نكتب للداللة على أنX متغیرا عشوائیا یتبع توزیع وایبلبمعلمتین یوجد . معلمة الشكل وذلك كما هو الحال في توزیع جاما تسمى المعلمة . ,

حیث لتوزیع وایبل ثالثة أشكال وذلك باالعتماد على المعلمة أو 1 > أو 1 = >

عندما . 1 f ;0) , ( 0فإن 1 < وعندما فإن 1 =

1 ) 1 , (0; f أي أن

1عندما. /1المنحنى یقطع المحور األسى عند النقطة

y = f (x; , ) فإن المحور الراسي یحاذى . أشكال مختلفة من توزیع وایبل موضحة : فیما یلى

:أشكال مختلفة من توزیع وایبل فیما یلى برنامج الیجاد <<Statistics`ContinuousDistributions` plotWeibullpdf[ _, _]:=Plot[PDF[WeibullDistribution[ , ],x],{x,0,4},DisplayFunction->Identity]; wgraphs=Table[plotWeibullpdf[a,1],{a,1,4}]; Show[Evaluate[wgraphs],DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All]

٣٨٤

Graphics

:هي Xدالة التوزیع للمتغیر

.(x/ )F (x; , ) 1 e x 0

/F ( xیمكن كتابة دالة التوزیع على الشكل ; , 1 , ) والتي تعنى أن هي عندما. معلمة المقیاس Rayleighفإننا نحصل على توزیع یسمى ریألي 2 = distribution .

2, 3 مع بیان دالة كثافة االحتمال عندما وایبل دالة التوزیع بیان فیما یلى برنامج الیجاد .KnoxProbمن برنامج )٦- ٣(وذلك باتباع نفس الخطوات التى استخدمناها فى مثال

g[x_, _, _]:=PDF[WeibullDistribution[ , ],x]; G[x_, _, _]:=CDF[WeibullDistribution[ , ],x]; Plot[{g[x,2,3],G[x,2,3]},{x,0,8},PlotStyle->{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٨٥

)٢٦ -٧( مثال

بـین التصـویب للهـدف ومركـز الهـدف یتبـع توزیـع وایبـل حیـث ) مقاس بالبوصـة( إذا كانت المسافة X ~ WEI (10, 2 ) أوجدP( X < 5 ) .

:الحــل

. 221.e - 1 ) 2 10, 5; ( F ) 5 X ( P210)(5/

تعریف التوزیع فى البرنامج یكون كالتالى dist=WeibullDistribution[,]

: لبرنامج التالى لحل المثالا <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=WeibullDistribution[2,10]; CDF[dist,5]//N 0.221199

:المتوسط والتبایـن

),( X ~ WEI المتوسط للمتغیر هو: 1E(X) (1 ),

:والتباین هو

2 22 1Var (X) (1 ) (1 )].

:كالتالي (p 100)من دالة التوزیع یمكن الحصول على المئین ذو الرتبة 1

x [ ln(1 p)]p

:ومن البرنامج فان <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=WeibullDistribution[,]; Mean[dist]

Variance[dist]

Quantile[dist,p]

Gamma1 1

2Gamma1 1

2 Gamma1 2

٣٨٦

,2ایضا على سبیل المثال یمكن ایجاد المتوسط للتوزیع عندما 3 كالتالى من

:االمر التالى

1.78596

Pareto Distributionتوزيـع باريتـو ) ٩-٧( إذا كان دالة k > 0 , a > 0زیع بارتیو بمعلمتین \أنه یتبع تو Xیقال لمتغیر عشوائى

:كثافته االحتمالیة على الشكل (k 1)k xf ( x; a , k) 1 , x 0

a a 0 e.w.

. متغیرا عشوائیا یتبع توزیع باریتو Xللداللة على أن X ~ PAR ( a, k)سوف نكتب . مة الشكلتسمى معل kالمعلمة

:دالة التوزیع تعطى كالتالى

0 x ax 1 1 k) , a x;( F

k

.

تكون معلمة aفإن F (x/a ; 1, k )والن المعادلة السابقة یمكن وضعها على الشكل یستخدم توزیع باریتو كنموذج في مجال الطب حیث یصف زمن الحیاة بعد عملیة . المقیاس

.زرع القلب

:زیع وتباینه هما فإن متوسط التو X ~ PAR (a, k)إذا كان

1)-(k / a E(X) , ]1)-(k 2)-[(k / ka (X)Var 22

1p)-(1 [ ax[: هو (100p )أیضا المیئن ذو الرتبة 1/kp

:هناك شكل آخر لتوزیع باریتو وهو (k 1)k yf ( y; , k) , y

0 , e.w.

Log1 p1

2 Gamma1 13 N

٣٨٧

k > 0 , 0 . ,حیث

.یهتم البرنامج بالصیغة االخیرة من توزیع باریتو

: بیان دالة كثافة االحتمال لهذا التوزیع نحصل علیها لقیم معینة من المعالم كالتالى <<Statistics`ContinuousDistributions` Ppdf[_,k_,x_]=PDF[ParetoDistribution[,k],x]

Plot[{Ppdf[1,.5,x],Ppdf[1,1,x]},{x,1,5}]

Graphics Plot[{Ppdf[10,5,x],Ppdf[10,10,x]},{x,10,15}]

Graphics

:التوزیع اللوغاریتمى الطبیعى ) ١٠-٧( Distribution The Lognormal

kx1k k

2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

11 12 13 14 15

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٣٨٨

Yأنه یتبع التوزیع اللوغاریتمى إذا كان المتغیر العشوائى Xیقال للمتغیر العشوائى = ln (X) یتبع التوزیع الطبیعى بمعلمتین Xدالة كثافة االحتمال للمتغیر العشوائى . 2 ,

: تكون على الشكل 2 2[ln(x)- ] /(2 )

11f ( x; , ) e x 0

2 x 0 , e.w.

LOG ~ X) , ( سوف نكتب للداللة على أنX متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع اللوغاریتمىبمعلمتین ویجب أن تعلم أن . , Xهنا لیست المتوسط واإلنحراف المعیارى للمتغیر ,

. ln (X)ولكنها للمتغیر

:حول الصفر هو rالعزم من الدرجة 2 2rr2 e r 1, 2, 3,...

:ومنها فإن

2

2 2

/ 2

2 .

e ,

Var(X) e (e 1).

موضح فى الشكل التالى حیث منحنى التوزیع اللوغاریتمى الطبیعى له إلتواء بیان

. موجب

) , ;x(f

٣٨٩

یمكن الحصول علیها بداللة دالة Xیتبع التوزیع الطبیعى فإن دالة التوزیع للمتغیر ln (X)ألن :أى أن . x< 0لقیم Z ~ N (0, 1 )حیث Zللمتغیر العشوائى z( (التوزیع

1F (x, , ) P ( X x ) P ( ln (X) ln x )ln(x)- P ( Z )

ln (x)- .

:الرسومات السابقة من البرنامج التالى یمكن الحصول على <<Statistics`ContinuousDistributions` LNrml[_,_,x_]=PDF[LogNormalDistribution[,],x]; Plot[{LNrml[0,.3,x],LNrml[0,.5,x],LNrml[0,1,x]},{x,0,5},PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLevel[0.1],GrayLevel[0.5]}]

Graphics Plot[{LNrml[2,1,x],LNrml[2.5,1,x],LNrml[3,1,x]},{x,0,50},PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLevel[0.1],GrayLevel[0.5]}]

Graphics

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

10 20 30 40 50

0.02

0.04

0.06

0.08

٣٩٠

:المنوال هو 2m exp ( - ).

)٢٧ -٧( مثال

P ( 50 X 250 ) وأوجد Var (X) , E(X)أوجد X ~ LOG (3.5 , 1.2 ) إذا كان

:الحــل E (X) = e3.5 + .72 = 68

Var (X) = e8.44 ( e1.44 – 1) = 14907.2 .

) 250 X 50 ( P

= F (250; 3.5, 1.2 ) – F (50, 3.5 , 1.2 )

ln (250) - 3.5 ln (50) - 3.5 - 1.2 1.2

(1.68) - ( .34) .9535 - .6331 .3204 .

) .٣(لقیاسى فى ملحق وذلك من جدول التوزیع الطبیعى ا

:یمكن حل المثال باستخدام البرنامج كالتالى <<Statistics`ContinuousDistributions` Mean[dist] 68.0335 Variance[dist] 14907.2 CDF[dist,250]-CDF[dist,50] 0.319629

Beta Distributionتوزیـع بیتـا ) ١١-٧(

إذا B , A , ( a > 0 , b > 0 ) a , bأنه یتبع توزیع بیتا بمعالم Xیقال لمتغیر عشوائى : كان له دالة كثافة االحتمال

٣٩١

1 b 11 (a b) x-A B xf (x, a, b, A, B) . A x B B-A (a) (B) B-A B A

0 , e.w.

:هما A, B, a, bیتبع توزیع بیتا بمعالم Xالمتوسط والتباین لمتغیر عشوائى

22

2

a A ( B-A) . ,a b

(B A) a b .(a b) (a b 1)

)٢٨ -٧( مثال

ـــــــــــــــــــــــــــــــا حیـــــــــــــــــــــــــــــــث Xإذا كـــــــــــــــــــــــــــــــان ـــــــــــــــــــــــــــــــع توزیـــــــــــــــــــــــــــــــع بیت ـــــــــــــــــــــــــــــــرا عشـــــــــــــــــــــــــــــــوائیا یتب متغی a = 2, b = 3 A = 2 , B = 5 :

P ( X < 3 )و أوجد المتوسط للتوزیع

:الحــل

) أ(

E(X) 2 3 (.4) 3.2 ,23 1 4! x 2 5-xP( X 3) . dx

3 1! 2! 3 3234 4 11 42 (x 2) (5-x) dx . .407.

27 27 4 272

f (x; a, b, A, B )بیان ).القیاسى(نحصل على توزیع بیتا المعیارى A = 0 , B = 1عندما .البرنامج یهتم بهذه الحالة من التوزیع . A,Bموضح فى الشكل التالى لقیم مختلفة من

fالتكامل للدالة ( x; a, , A, B ) سهلة فقط عندماA,B تأخذ قیم صحیحة .

٣٩٢

. a, bموضح فى االشكال التالیة لقیم مختلفة من f (x; a, b )بیان

:یمكن استخدام البرنامج للحصول على الرسوم السابقة كما یلى <<Statistics`ContinuousDistributions` p1=Plot[PDF[BetaDistribution[2,3],x],{x,0,1},PlotRange->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p2=Plot[PDF[BetaDistribution[3,2],x],{x,0,1},PlotRange->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p3=Plot[PDF[BetaDistribution[2,2],x],{x,0,1},PlotRange->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p4=Plot[PDF[BetaDistribution[1/2,2],x],{x,0,1},PlotRange->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p5=Plot[PDF[BetaDistribution[1/2,1/2],x],{x,0,1},PlotRange->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p12=Show[p1,p2,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{p12,p3},{p4,p5}}],DisplayFunction->$DisplayFunction]

٣٩٣

GraphicsArray

)٢٩ -٧( مثال

ـــى یـــــــــوم معطـــــــــى نتبــــــــع توزیـــــــــع بیتـــــــــا بمعلمتـــــــــین إذا كانــــــــت نســـــــــبة القـــــــــوة العاملـــــــــة العاطلــــــــة فــــــa = 2 , b =1 8 أوجد:

P ( 0.2 < X < 1 ) .

:الحــل.1

17

.2

.117

0.2

18 19

(20)P(.2 X 1 ) x (1 x) dx(2) (18)

(19.18) x(1 x) dx

1-x(1-x) (1 x) ( 19. 18) .218 18.19

18 19 1 19 x (1-x) - ( 1-x) .0829.

.2

:البرنامج التالى للحصول على المطلوب <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[2,18]; CDF[dist,1]-CDF[dist,.2] 0.0828662

:هو a ,bله توزیع بیتا بمعلمیتن Xحول الصفر لمتغیر العشوائي rالعزم من الدرجة

0.2 0.4 0.6 0.8 10.250.50.75

11.251.51.75

2

0.2 0.4 0.6 0.8 10.250.50.75

11.251.51.75

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.250.50.75

11.251.51.75

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.250.50.75

11.251.51.75

2

٣٩٤

r 1 B( a r , b) (a r) (a B)E(X) . B(a,b) B(a,b) (a) (a b r)

r 0حیث وبوضعk = 0 1فإن dx b) a, ;x(f1

0 0وبما أن b) a, ;x(f لجمیع قیم

x فإن هذا یبرهن أن [ 1 ,0 ]فى الفترةf (x; a, b ) دالة كثافة احتمال بوضع r = 2, r = 1 فإن:

2

(a+1) (a-b) aE(X) ,(a) (a b 1) a b(a+2) (a-b) (a 1) (a)E(X ) ,

(a) (a b 2) (a b 1) (a b)

:وعلى ذلك

2 2 2

2

a E (X) ,a b

E(X ) - E (X) ab .

(a b) (a b 1)

: للتذكیر

:یستخدم االمر التالى 2E من البرنامج ( X ) لحساب

:یستخدم االمر التالى 3E ( X ) لحساب

:یستخدم االمر التالى 4E ( X ) لحساب

:البرنامج التالى للحصول على معلومات عن العزوم حول الصفر والتباین

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[a,b];

ExpectedValuex2, dist, x

ExpectedValuex3, dist, x

ExpectedValuex4, dist, x

٣٩٥

Mean[dist]

Variance[dist]

:فإن a = b = 1عندما

a-1 b-1 0 0(a b) (2) . x ( 1-x) x ( 1-x) 1(a) (B) (1) (10)

:وعلى ذلك تصبح دالة كثافة احتمال بیتا على الشكل 1 0 x 1

f (x)0 , e.w.

. ( 0 ,1 )أى تصبح دالة التوزیع المنتظم فى الفترة

)٣٠ -٧( مثال

aعشوائیا یتبع توزیع بیتا بمعلمتین ا متغیر Xإذا كان 2,b 3 2أوجد , .

:الحــلa 2

a b 5ab 12 .2 25(a b 1)(a b)

:البرنامج التالى للحصول على الحل

a

a bExpectedValuex2,dist, x

a1aa b 1a bExpectedValuex3,dist, xGamma3 a Gammab

Betaa, b Gamma3 a bExpectedValuex4,dist, x

Gamma4 a GammabBetaa, b Gamma4 a b

ab

a b21 a b

٣٩٦

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[2,3]; Mean[dist]

Variance[dist]

Extreme Valueتوزيـع ) ١١-٧(

:تعریف :له توزیع وایبل بـ Tإذا كان المتغیر العشوائي

1 tf (t) t e , t 0 , 0 , 0

Xالعشوائيفإن المتغیر ln T یتبع توزیعExtreme Value حیث: 1u ln b

:فان x u

bx u eb1f (x) e , x

b

:دالة التوزیع

x u

beF(x) 1 e , x , b 0

ویمكــن الحصــول علــى التوزیــع القیاســي بوضــع. معلمــة الموقــع uمعلمــة المقیــاس و bحیــث u 0 , b 1 وعندها تكون دالة كثافة االحتمال

xx ef (x) e , x

:العزوم تعطى الدالة المولدة للعزوم كما یلي

XM (t) (t 1)

2

5

٣٩٧

22

M (t) (t 1) M (0) (1)E(T) (1) 0.5772M (t) (t 1)

M (0) (1)6

2 22 2Var(T)

6 6

Xولــیكن uTb

حیــثT متغیــر عشــوائي یتبــع توزیــع القــیم الحرجــة القیاســي، عنــدها فــإن

X یتبع توزیع القیم الحرجة بالمعالمu,b.

22 2

E(X) b( ) u

Var(X) b var(T) b .6

: المئینات

:من المعادلة 100pویعطى المئین ذو الرتبةx up

b

x upb

p

p

ep

e

x ub

x ub

p

p

F(x ) p 1 e p

1 p e

ln(1 p) e

ln(1 p) ex u

ln( ln(1 p))b

x bln( ln(1 p)) u

تعریف التوزیع فى البرنامج یكون كالتالى

dist= ExtremeValueDistribution[u,b] : الحزمة التالیة للتعرف على خصائص التوزیع من البرنامج نحمل

<<Statistics`ContinuousDistributions`

:نستخدم االمر التالى u=0,b=1للحصول على بیان لدالة كثافة االحتمال حیث

٣٩٨

Plot[PDF[ExtremeValueDistribution[0,1],x],{x,-2.5,7.5},AxesOrigin->{-2.5,0}]

Graphics

البرنامج التالى الیجاد بعض المئینات ومقیاس لاللتواءومقیاس : u=0,b=1 للتفلطح عندم

<<Statistics`ContinuousDistributions` Table[Quantile[ExtremeValueDistribution[u,b],0.25k],{k,1,3}] {-0.326634 b+u,0.366513 b+u,1.2459 b+u} Table[Quantile[ExtremeValueDistribution[0,1],0.25k],{k,1,3}] {-0.326634,0.366513,1.2459} Skewness[ExtremeValueDistribution[u,b]]//N 1.13955 Kurtosis[ExtremeValueDistribution[u,b]]//N 5.4

كوشى توزيع ) ٢١-٧( :تأخذ الشكل التالي یتبع توزیع كوشي بمعلمة Xدالة كثافة االحتمال لمتغیر عشوائي

2

1 1f (x; ) x1 (x )

هنـــا توزیـــع كوشـــي . یشـــبه بیـــان دالـــة كوشـــي دالـــة التوزیـــع الطبیعـــي فـــي أنـــه متماثـــل حـــول نقطـــةوالشــكل التــالي یوضــح دالــة . معلمــة الموقــع لهــذا التوزیــع وعلــى ذلــك تعتبــر. متماثــل حــول .ة كثافة االحتمال لمتغیر یتبع التوزیع الطبیعيكوشي مع دال

-2 0 2 4 6

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

4 2 2 4

.05.1

.15.2

.25.3

0 , 1/ .67449

0

٣٩٩

: یمكن الحصول على الشكل التالى من البرنامج كما یلى

<<Statistics`ContinuousDistributions` p1= Plot[PDF[CauchyDistribution[0,1],x],{x,-5,5},PlotStyle->{GrayLevel[0]},DisplayFunction->Identity]; p2= Plot[PDF[NormalDistribution[0,1/.67449],x],{x,-5,5},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

.له توزیع كوشي فإن متوسطه غیر موجود Xإذا كان

:یتبع توزیع كوشي بمعلمتین یأخذ الشكل Xدالة كثافة االحتمال لمتغیر عشوائي

2 2

1f (x; , ) , x(x )

:دالة كثاف االحتمال المعرفة فى البرنامج كالتالى PDF[CauchyDistribution[ , ],x]

fالدالة المولدة للعزوم للدالـة (x; , ) والوسـیط یمكـن الحصـول . غیـر معرفـة وكـذلك كـل العـزوم

:علیه بحل المعادلة التالیة0m

0 2 2

1F(m ) dx 0.5(x )

-4 -2 2 4

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

٤٠٠

0m11 xtan 0.5

1 01 x mtan 0

0mأو . :ویمكن الحصول على المنوال بحل المعادلة

2 21d

(m )0

dx

mومنها حیث2

2

d f (x; , ) 0dx

عندماm .

onThe t Distributi ت توزیع) ٣١-٧(

مــــن التوزیعــــات اإلحصــــائیة الهامــــة التــــى تســــتخدم فــــى مجــــال اإلحصــــاء t یعــــد توزیــــع االســــتنتاجى إلجــــراء العدیــــد مــــن اختبــــارات الفــــروض المتعلقــــة بتحلیــــل التبــــاین وتصــــمیم التجــــارب

.واختبار معنویة خطوط االنحدار وغیر ذلك من التطبیقات اإلحصائیة :یعي القیاسي أي أن متغیر عشوائي یتبع التوزیع الطب Zإذا كان :نظریة

Z ~ N (0, 1) ذا كان 2متغیر عشوائي یتبع توزیع مربع كاي أي أن W، وا( )W ~ ،

ذا كان :مستقلین فإن Z , WواZT

W /

بدرجات حریة tله توزیع :وذلك بدالة كثافة احتمال على الشكل

2 ( 1) / 2

[( 1) / 2]f (t) , t( / 2)(1 t / )

مـن برنـامج r بـدرجات حریـة tتوزیـع لدالة كثافة احتمـال . tهو معلمة توزیع یعتبر العدد

KnoxProb التالى تعرف على الشكل:

f[x_,r_]:=PDF[StudentTDistribution[r],x] f[x,r]

rrx2

1r2

r Beta r2, 1

2

٤٠١

2,20حیث tالشكل التالى یوضح منحنیان لتوزیع .

1,3,7بدرجات حریة Tیوضح ثالثة المنحنیات للمتغیر التالى شكلال ومنحنيZ . یالحظ

.اوسع من التوزیع الطبیعي tأن ذیل توزیع التالىشكل المن

:یمكن الحصول على الشكل السابق من البرنامج كما یلى studentpdf[_,x_]=PDF[StudentTDistribution[],x]; normalpdf[_,_,x_]=PDF[NormalDistribution[,],x]; p1= Plot[studentpdf[1,x],{x,-3,3},PlotStyle->{GrayLevel[0]},DisplayFunction->Identity]; p2= Plot[studentpdf[5,x],{x,-3,3},PlotStyle->{GrayLevel[0.1]},DisplayFunction->Identity];

٤٠٢

p3= Plot[studentpdf[10,x],{x,-3,3},PlotStyle->{GrayLevel[0.5]}, DisplayFunction->Identity]; p4= Plot[normalpdf[0,1,x],{x,-3,3},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,p3,p4,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics

أي یساوي صفر،التوزیع البد وأن أن متوسطفإننا نتوقع t = 0عند tلخاصیة التماثل لتوزیع

أن E T 0 ــــدما .عن 2 ــــدما 1عن یصــــبح التوزیــــعt ویمكــــن كوشــــيهــــو توزیــــع1 إثبات أن المتوسط غیر موجود عندما . تباینT هو:

2Var(T) E(T ) 32

.

tجــدول توزیــع . Tعمومــا یكــون مــن الصــعوبة تقــدیر دالــة التوزیــع التجمیعــي لمتغیــر عشــوائي P[Tیعطــــــــــــــي ) ٥( فــــــــــــــي ملحــــــــــــــق t ( )] شــــــــــــــكلالكمــــــــــــــا هــــــــــــــو موضــــــــــــــح فــــــــــــــى

tحیـــث التـــالى ( ) ترمـــز لقیمـــةt التـــي توجـــد علـــى المحـــور األفقـــي تحـــت منحنـــى توزیـــعt . والتي المساحة على یمینها قدرها بدرجات حریة

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

٤٠٣

tیعطى قیم ) ٥(الجدول في ملحق ( ) التي تناظر االحتمال لدرجات حریة حیث ودرجات 0005. ,001. ,005. ,01. ,025. ,05. ,10.: تأخذ القیم التالیة

1 الحریة تأخذ القیم من إلى یوضح الصف الثاني من الجدول قیم .tأما محتویات الجدول فهي القیم . والعمود األول من الشمال قیم درجات الحریة ( ) .

1tوألن المنحنى متماثل فإن ( ) t ( ) كما هو موضح فى الشكل التالى:

)٣١ -٧( مثال

) أ(أوجد .005 15t .) ب( , ,995 15t

:الحــل

15 عنــــد تقـــاطع الصــــف ) ٥(ملحـــق فــــي tجــــدول توزیـــع فـــيبالبحـــث ) أ( والعمــــود.005 نجد أن .005 15 2.947t .

:فإن tالتماثل لمنحنى توزیع باستخدام خاصیة) ب( .995 .00515 15t t أي أن .995 15 2.947t .

)٣٢ -٧( مثال

:حیث أوجد قیمة t (16) 1.746

٤٠٤

١٥الى١وذلك بدرجات حریة من للقیم القیمقدر 2

t.05,.025,.01,.005,.001,.0005

:الحــل

وباستخدام خاصیة التماثل tسالبة فإنها تقع فى الذیل األیسر من توزیع tحیث أن قیمة :فإن tلمنحنى توزیع

1t (16) t (16) 1.746 . = 95.ومنها -1 = 05.فإن ) ٤(فى ملحق tومن جدول توزیع

.من خالل المثال التالى و لقیم مختلفة من وفیما یلى برنامج یحسب

)٣٣-٧(مثال

:الحل :وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematica سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

Statistics`ContinuousDistributions وذلك من خالل االمر التالى: <<Statistics`ContinuousDistributions`

االمرQuantile[StudentTDistribution[n],1-#]

:یستخدم االمرین التالیین و لحساب القیم المطلوبة لـ tتوزیع یعرف

tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1-#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten; commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15}];

:باستخدام االمر التالى

المطلوب یتم اظھار الجدول

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`ContinuousDistributions` tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1-#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten;

2

t

2

t

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Degrees of Freedom", t.1, t.05, t.025,t.01, t.005, t.001, t.0005

٤٠٥

commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15}];

للعینات . في معظم األبحاث وغالبا یكون تباین المجتمع الذى تختار منه العینات مجهوال n< 30إذا كانت . 2sهو 2فإن التقدیر الجید للمعلمة n<30العشوائیة من الحجم

:فإن

أما إذا كان حجم العینة . تقریبا یتبع التوزیع الطبیعى القیاسى Zهي قیمة لمتغیر عشوائى في . ال تتبع التوزیع الطبیعى القیاسى فإن قیم ( n < 30 )صغیر

، والذى قیمه Tهذه الحالة یكون اهتمامنا بتوزیع إلحصاء ما سوف نرمز له بالرمز : تعطى من الصیغة التالیة

TableFormcommonvalues,TableHeadings, "Degrees of Freedom", t.1, t.05, t.025,t.01, t.005, t.001, t.0005

DegreesofFreedom t0.1 t0.05 t0.025 t0.01 t0.005 t0.001 t0.00051 3.07768 6.31375 12.7062 31.8205 63.6567 318.309 636.6192 1.88562 2.91999 4.30265 6.96456 9.92484 22.3271 31.59913 1.63774 2.35336 3.18245 4.5407 5.84091 10.2145 12.9244 1.53321 2.13185 2.77645 3.74695 4.60409 7.17318 8.61035 1.47588 2.01505 2.57058 3.36493 4.03214 5.89343 6.868836 1.43976 1.94318 2.44691 3.14267 3.70743 5.20763 5.958827 1.41492 1.89458 2.36462 2.99795 3.49948 4.78529 5.407888 1.39682 1.85955 2.306 2.89646 3.35539 4.50079 5.041319 1.38303 1.83311 2.26216 2.82144 3.24984 4.29681 4.7809110 1.37218 1.81246 2.22814 2.76377 3.16927 4.1437 4.5868911 1.36343 1.79588 2.20099 2.71808 3.10581 4.0247 4.4369812 1.35622 1.78229 2.17881 2.681 3.05454 3.92963 4.3177913 1.35017 1.77093 2.16037 2.65031 3.01228 3.85198 4.2208314 1.34503 1.76131 2.14479 2.62449 2.97684 3.78739 4.1404515 1.34061 1.75305 2.13145 2.60248 2.94671 3.73283 4.07277

xz sn

(x ) /(s / n)

xt ,sn

٤٠٦

هما المتوسط الحسابى والتباین على التوالي لعینة عشوائیة من الحجم s2و إذا كان n مأخوذة من مجتمع طبیعى له متوسط وتباین2 غیر معروف فإن:

بفرض ان المتوسط . بدرجات حریة tله توزیع Tهي قیمة لمتغیر عشوائى طبیعى وكانتماخوذة من توزیع n=25 الحسابى لعینة من الحجم

2x 26.5,s 2.7, 28 فان القیمة التالیة هى قیمة من قیم المتغیر العشوائىT .4.5الجزء KnoxProbوذلك من برنامج

-2.77778

:كالتالى 24وذلك عند درجة حریة P(T<-2.7778)ایضا من البرنامج یمكن حساب CDF[StudentTDistribution[24],-2.7778]

0.00522692

بعد تعدیلة حیث تم تولید Sec 4.5الجزء KnoxProbالبرنامج التالى ماخوذ من برنامج وانحراف 60مسحوبة من توزیع طبیعى بمتوسط 10عینة عشوائیة من الحجم 200

6معیارى

n 2i

i 1(x x)

s ,i 1,2,...,nn 1

x

xt sn

n 1

t26.528

2.7 25

٤٠٧

Tلتلك العینات بمدرج احتمالى وهو یعطى التوزیع التجریبى لـ tوقد تم تمثیل قیم .درجة حریة ونالحظ ان التوزیع ملتوى من الیسار 39اى (n-1) بدرجات حریة

tt[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Mean[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize]]-)/,{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[tt[200,10,60,6],8];

مسحوبة من 20عینة عشوائیة من الحجم 200نفس الخطوات السابقة ولكن تم تولید 6وانحراف معیارى 10توزیع طبیعى بمتوسط

tt[numvars_,sampsize_,_,_]:=

Table[(Mean[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize]]-)/,{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[tt[200,20,10,2],8];

0.61 0.4 0.19 0.02 0.23 0.44 0.65 0.86

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.55 0.38 0.22 0.05 0.12 0.29 0.46 0.63

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

٤٠٨

F onDistributi FThe توزیع) ٤١-٧( متغیــرین عشــوائیین مســـتقلین كــل منهمــا یتبــع توزیــع مربــع كـــاي W , Vإذا كــان :نظریــة

1حریة بدرجات 2 , على التوالي ، فإن: 1

2

W /FV /

1 . بدرجات حریة Fتوزیع له 2 , حتمال دالة كثافة اF سوف تكون على الشكل:

1 1

1 2

/ 2 / 2 11 2 1 2

( ) / 21 2 1 2

( ) / 2]( / ) uf (u) 0 u( / 2) ( / 2) (1 u / )

معرفة KnoxProbمن برنامج m,nبدرجات حریة توزیع دالة كثافة االحتمال لتوزیع

:كالتالى

f[x,m,n]

1علــى معلمتــین Fیعتمــد توزیــع 2 , 1المعلمــة األولــى . بــنفس الترتیــب هــي عــدد درجــات

یوضح منحنیات لدالة التالىشكل ال. هي عدد درجات حریة المقام 2حریة البسط والثانیة . لزوجین من درجات الحریة Fزیع كثافة احتمال تو

F

mm2 nn2x1m2 n m x

12 mn

Beta m2, n

2

٤٠٩

من KnoxProbمن برنامج 20,20بدرجات حریة توزیع بیان دالة كثافة االحتمال لتوزیع :معطاه كما یلى 4.5الجزء

f[x_,m_,n_]:=PDF[FRatioDistribution[m,n],x]; Plot[f[x,20,20],{x,0,6},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

F),(بفرض أن 21 ترمز لقیمة من قیم المتغیر العشوائيF على المحور األفقي والتي تكون المساحة على یمینها تساوى 2و 1 بدرجات حریة Fتحت منحنى توزیع

1: شكل التالى أى أنالوالموضحة فى 2P { F F ( , )] .

F

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

٤١٠

یم در الق F),(ق 21 ث یم حی ذ الق یم و 1,2,3,4 تاخ ذ الق تاخ و 15,…,1,2,3,4,5,6

120.05

F),(الستخراج قیم 21 األول عند ) ٧(وملحق ) ٦(یوجد جدوالن فى ملحق ،=.05 أما 2والعمود األول لقیم 1وفى كل منهما یكون الصف األول لقیم = .01واآلخر عند

F),(محتویات الجدول فهو لقیم 21 . على سبیل المثال من جدول توزیعF نالحظ أن:

.01 .05F (5,7) 7.46 , F (1,4) 7.71

.01 .05F (9,10) 4.94 , F (4,1) 224.6

)٣٤ -٧( مثال

1سوف نرمز له بالرمز ( F إذا كان توزیع 2F ( , ) 1بدرجات حریة ) 2 , أوجد : ) أ( .05 7,8F )ب( .01 9,4F

:الحــل

1عندما ) أ( 7 , 2 8 فإن .05 7,8 3.5F . 1عندما ) ب( 9 , 2 4 فإن 0.01 9,4 14.66F . 1فى إیجاد Fیمكن استخدام جدول توزیع 1 2F ( , ) من العالقة االتیة

.1 2 11 2

1F ( , )F ( , )

وعلى سبیل المثال قیمة .95 7,12F هي:

.95.05

1 1F (7,12) 0.2801F (12,7) 3.57

حیث أن .05 12,7F مستخرجة من جدول توزیعF عند مستوى معنویة ) ٦(في ملحق 1ودرجات حریة 05. = 12 , 2 7 . 1وفیما یلى برنامج یحسب 2F ( , ) لقیم مختلفة من

حیث

.وذلك من خالل المثال التالى

)٣٥-٧(مثال

1 2, .05

٤١١

:وذلك بإستخدام الحزمة الجاھزة Mathematica سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامجStatistics`ContinuousDistributions وذلك بتحمیل االمر التالى:

<<Statistics`ContinuousDistributions`

یستخدم الدالتین التالیىینلحساب القیم المطلوبة

f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1-.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}]

من االمر التالىالمطلوب یتم اظھار الجدول

TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}]

.والمخرجات وفیما یلى خطوات البرنامج <<Statistics`ContinuousDistributions` f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1-.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}] n1={1,2,3,4} {1,2,3,4}

TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}]

1 2 3 41 161.448 199.5 215.707 224.5832 18.5128 19. 19.1643 19.24683 10.128 9.55209 9.27663 9.117184 7.70865 6.94427 6.59138 6.388235 6.60789 5.78614 5.40945 5.192176 5.98738 5.14325 4.75706 4.533687 5.59145 4.73741 4.34683 4.120318 5.31766 4.45897 4.06618 3.837859 5.11736 4.25649 3.86255 3.6330910 4.9646 4.10282 3.70826 3.4780511 4.84434 3.9823 3.58743 3.3566912 4.74723 3.88529 3.49029 3.2591713 4.66719 3.80557 3.41053 3.1791214 4.60011 3.73889 3.34389 3.1122515 4.54308 3.68232 3.28738 3.05557

٤١٢

1الستخراج قیم 2F ( , ) یكون الصف األول من الجدول السابق المستخرج من البرنامج1أما محتویات الجدول فھو لقیم والعمود األول لقیم لقیم 2F ( , ) . على سبیل

:المثال F (1,4) 7.70865,F (1,4) 224.583

من التوزیعات االحتمالیة الهامة التى تستخدم في مجال اإلحصاء یعتبر توزیع . التطبیقى

:نظریة تمثالن تبایني عینتین عشوائیتین مستقلتین من الحجم إذا كانت

:على التوالي فإن مأخوذتین مجتمعین من طبیعیین بتباینتى

.بدرجات حریة یتبع توزیع هي قیمة لمتغیر عشوائي

بعد تعدیلة حیث تم تولید Sec 4.5الجزء KnoxProbالبرنامج التالى ماخوذ من برنامج وانحراف 60مسحوبة من توزیع طبیعى بمتوسط 10عینة عشوائیة من الحجم 200

مسحوبة من توزیع طبیعى بمتوسط 10عینة عشوائیة من الحجم 200، ثم تولید 6معیارى :وقد تم استخدامهم فى حساب القیم .5وانحراف معیارى 50

Fلتلك العینات بمدرج احتمالى وهو یعطى التوزیع التجریبى لـ fوقد تم تمثیل قیم .ونالحظ ان التوزیع ملتوى من الیسار (1-9) , (1-9) بدرجات حریة

ff[numvars_,sampsize_]:= Table[(Variance[RandomArray[NormalDistribution[60,6],sampsize]]/6^2)/(Variance[RandomArray[NormalDistribution[50,4],sampsize]]/5^2),{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[ff[200,10],8];

12

F

2 22 1s , s2 1n , n

2 22 1,

2 2 2 21 1 2 12 2 2 22 2 1 2

s / sf .s / s

FF1 2,

2 2 2 21 1 2 12 2 2 22 2 1 2

s / sf .s / s

٤١٣

فى ایجاد فترة ثقة للنسبة بین تبایننین Fالجزء التالى سوف نوضح كیف یمكن االستفادة من .

على year2 و year1تم حساب تباین العینة للبیانات فى القائمتین KnoxProbمن برنامج :التوالى

year1={9,14,16,8,19,7,14,17,16,7,13,16,11,9,30,14,9,9,9,11,13,16,6,17,18,11,12,18,3,12,20,8,13,14,21,11,27,26,5}; year2={16,21,12,19,13,14,9,29,21,5,7,11,4,8,17,5,10,8,13,19,14,16,15,8,6,8,15,9,6,23,19,8,19,7,16,27,13,13,28,9,7,18,12,9,10,7,8,20,19}; Length[year1] Length[year2] VarX=N[Variance[year1]] VarY=N[Variance[year2]] 39 49 35.4103 39.5323

38,48وذلك عند درجات حریة 95ایضا المئین الخامس والمئین من الرتبة a=Quantile[FRatioDistribution[38,48],.05] b=Quantile[FRatioDistribution[38,48],.95] 0.594734 1.65219

0.68 1.86 3.03 4.21 5.38 6.56 7.73 8.91

0.1

0.2

0.3

0.4

2 22 1,

٤١٤

وبما ان الواحد الصحیح . للنسبة بین تباینین تحسب كالتالى للمثال السابق %90فترة ثقة داخل الفترة فهذا یعنى ان التباینین للمجتمعین المسحوبین منهما العینتین متساویان وهذا یسمى

:اختبار التجانس

{0.542148,1.5061}

والختبار . فى ایجاد فترة ثقة للمثال السابق یفترض ان العینة ماخوذة من توزیع طبیعى ان البیانات تتبع التوزیع الطبیعى یمكن تمثیل البیانات بمدرج تكرارى مع التوزیع الطبیعى

على نفس الرسم بمتوسط و تباین العینة التى نختبرها وذلك كما فى البرنامج التالى على ) :٢٧-٣(ثال الم

f1={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; g1=Histogram[f1,8,Type->Scaled,DisplayFunction->Identity]; g2=Plot[f[x,61,7.4],{x,20,100},DefaultFont{"Times-Roman",8},Ticks->{{20,61,100},Automatic,},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2, DisplayFunction->$DisplayFunction,Ticks->{{20,61,1100},Automatic}];

20 61

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

٤١٥

اخرى ات توزیع) ٥١-٧(افذة البرنامج نختار لنالقائمة الرئیسیة منالتوزیعات فاننا حصول على معلومات عن هذه لل

Help ومنها نختارHelp Broswer النافذة التى سبق ان تكلمنا عنها فى اول لنحصل على اوالتنفیذ یمكن الوصول الى `Statistics`ContinuousDistributionsوبكتابة الفصل

.معلومات عن تلك التوزیعات Noncentral Chi Distributionمركزى توزیع مربع كاى الغیر ) أ(

Distribution FNoncentralمركزى الغیر فتوزیع ) ب( Distribution tNoncentralمركزى الغیر تتوزیع ) ت(

Distribution Rayleigh توزیع ) ث(

n Distributio Logisticتوزیع ) ج( Distribution Laplaceتوزیع ) ح(

٤١٦

الفصل الثامن

تولید االعداد العشوائیة والمحاكاه

٤١٧

Physical methodsالطـــرق الفیزائیـــة : یوجـــد طـــریقتین عـــامتین لتولیـــد االعـــداد عشـــوائیة ومـن امثلـة الطـرق الفیزائیـة سـحب كـرة مـن وعـاء . methods arithmetricوالطـرق الریاضـیة

ــرد امـــــا الطــــــرق الریاضــــــیة فتعتمــــــد علـــــى خطــــــوات ریاضــــــیة مختلفــــــة او القـــــاء عملــــــة او القــــــاء نــــmathematical algorithms . ـــــى تولـــــد ـــــاالعـــــداد العشـــــوائیة الت تســـــمى الریاضـــــیة الطرقب

pseudorandom number والمطلـب االولـى لتولیـد تلـك االعـداد هـو تولیـد اعـداد تتبـع التوزیـعلالعـداد . Random فـى الماثیماتیكـا هـذة الكفـاءة تـتم مـن خـالل دالـة . (0,1)المنتظم فى الفتبرة

والتـى ال تتبـع التوزیـع المنـتظم ، اى االعـداد pseudorandom numbersالعشـوائیة المسـماه Randomع توزیع اخر غیر التوزیع المنظم فان الماثیماتیكا تقدم لنـا الدالـة المطلوب تولیدها وتتب

ـــــــاءة RandomArrayوالدالـــــــة ـــــــى تمـــــــدنا بهـــــــذه الكف ـــــــى الحـــــــزم . والت ـــــــدوال موجـــــــودة ف تلـــــــك الContinuousDistributions و DiscreteDistributins فى الدلیل Statistics.

للحزمــة االولــى وتنفیــذها او 'Statistics`DiscreteDistributions>>تلــك الحــزم نحملهــا بكتابــة .الثانیة وتنفیذها ةللحزم 'Statistics`ContinuousDistributions>>كتابة

فاننــــا نكتــــب RandomArrayاوالدالــــة Randomالدالــــة للحصــــول علــــى معلومــــات عــــن :االمرین التالیین وننفیذهما

` ?Random Random[ ] gives a uniformly distributed pseudorandom Real in the range 0 to 1. Random[type, range] gives a pseudorandom number of the specified type, lying in the specified range. Possible types are: Integer, Real and Complex. The default range is 0 to 1. You can give the range {min, max} explicitly; a range specification of max is equivalent to {0, max}. Random[distribution] gives a random number with the specified statistical distribution. ?RandomArray RandomArray[distribution, n] generates a list of length n, where each element is a random number with the specified statistical distribution. RandomArray[distribution, {n1, n2, ...}] generates an

n1 X n2 X ... array of nested lists of random numbers. : تعریف

او نمـوزج mathematical modelاضـى تعرف المحاكاة علـى انهـا عملیـة لتصـمیم نمـوزج ری لنظـام حقیقـى ثـم اسـتخدام الحاسـب االلـى لوصـف او التنبـا بسـلوك هـذا logical modelمنطقـى .ویمكن توضیح ذلك من االمثلة التالیة . النموزج

بیانات تتبع توزیعات متصلة لها دالة توزیع تناظریة ) محاكاة(تولید) ١-٨( .(0,1)االن نبدا بكیفیة تولید بیانات تتبع توزیعات متصلة وال تتبع التوزیع المنتظم فى الفترة

٤١٨

الحزمــــــــة االولـــــــى تعتمـــــــد علـــــــى . ســـــــوف یـــــــتم ذلـــــــك باســـــــتخدام برنـــــــامج الماثیماتیكـــــــا بطـــــــریقتینContinuousDistributions والثانیة تعتمد على النظریتین التالیتین ، :

مـــن النـــوع المتصـــل F(x)متغیـــرا عشـــوائیا لـــه دالـــة التوزیـــع التجمیعـــي X لـــیكن ):١-٨(نظریـــةلـه توزیـع Y = F(X)والمعـرف بالعالقـة Yوعلـي ذلـك المتغیـر العشـوائي . ومتزایـدة بإضـطراد

. (1 ,0)منتظم في الفترة

)١ -٨( مثال

: علي الشكل) توزیع لوجستي ( متغیرا عشوائیا بدالة كثافة احتمال Xإذا كان x

X x 2ef (x) , x

(1 e ) 0 , e.w.

:تكون علي الشكل Xدالة التوزیع التجمیعي للمتغیر wx

w 2 x

e 1F(x) dw , x(1 e ) 1 e

:وعلي ذلك

x

1Y F(X)1 e

:لها دالة كثافة االحتمال g (y) = 1 , 0 < y < 1 = 0 , e.w,

.( 0,1 )متغیرا عشوائیا یتبع التوزیع المنتظم في الفترة Yأي أن أي أن (1 ,0)متغیـرا عشـوائیا یتبـع التوزیـع المنـتظم فـي الفتـرة Yلـیكن :) ٢-٨(نظریـة

Y ~ UNIF(0, 1 ) لتكن ،F(x) لها الخصائص لدالة التوزیـع التجمیعـي مـن النـوع المتصـل a < x < bمتزایـدة بإضـطراد مـن الفتـرة F (x)، وبفـرض أن F(b) = 1 , F(a) = 0حیـث Xوعلــي ذلــك المتغیــر العشــوائي . علــي التــوالي ,مــن الممكــن أن یكونــان b , aحیـث 1Xحیث F (Y) هو متغیر عشوائي من النوع المتصل بدالة توزیع تجمیعيF (x) .

)٢ -٨( مثال

٤١٩

أوجـد دالـة كثافـة االحتمـال للمتغیـر Y ~ UNIF ( 0, 1 )متغیـرا عشـوائیا حیـث Yإذا كـان X 2 Y .

:الحــل

X

2

2

F (x) P[X x] P[2 Y x]

P[Y x / 4]x / 4.

:هي Xوعلي ذلك دالة كثافة االحتمال للمتغیر X

Xd F (x) 2x xf (x) ,0 x 2

dy 4 20 , e.w.

:یرتبطان بالعالقة التالیة x , yنالحظ هنا أن 2xy F(x)

4

:والتي تكافيء 1x 2 y F (y)

1Xفــإن Y ~ UNI( 0, 1 )أي أنــه إذا كانــت F (Y) 2 Y یكــون لهــا دالــة كثافــة :إحتمال تجمیعیة علي الشكل

2

XxF x 0 x 2.4

1بفـــــــــــرض أننـــــــــــا حصـــــــــــلنا علـــــــــــي فئـــــــــــة األعـــــــــــداد العشـــــــــــوائیة 2 n, ,....,y y y فـــــــــــإن األعـــــــــــداد1

1 1 2 2 n nx F (y ) 2 y,x 2 y ,...,x 2 y تمثـــــــــل n مـــــــــن المشـــــــــاهدات لمتغیـــــــــریعطـي الجـدول التـالى أول . Xیوضـح الشـكل التـالى دالـة كثافـة االحتمـال للمتغیـر . Xعشوائي

1، لـــتكن 15 أعـــداد عشـــوائیة ، عـــددها 2 n, ,...,y y y والمـــأخوذة مـــن العمـــود األخیـــر مـــن جـــدول1وبالتـالي تعتبـر القـیم 410 وذلـك بعـد قسـمة كـل عـدد علـي اعـداد عشـوائیة 2 n, ,....,y y y

مشاهدات تقریبا تتبع التوزیـع المنـتظم فـي الفتـرة 0,1 . هـذا ویمكـن اسـتخدام الحاسـب اآللـي .فى الحصول على مشاهدات تتبع التوزیع المنتظم

:ملحوظة .جداول االعداد العشوائیة موجودة فى كثیر من الكتب االحصائیة

٤٢٠

y2x

y

0.7782 1.6367 0.4591 1.3783 1.0770 0.9704 1.9659 0.1311 0.6334 1.9175 1.4101 1.7080 1.900 1.8138 1.5382

0.1514 0.6697 0.0527 0.4749 0.2900 0.2304 0.9662 0.0043 0.1003 0.9192 0.4971 0.7293 0.9118 0.8225 0.5915

م یتبعون التوزیع اقار البرنامج التالى لتولید 10 ارقام یتبعون توزیع X . حیث یتم تولید 10 X ارقام یتبعون توزیع ثم استخدام العالقة بین X,Y لتولید 10 المنتظم فى الفترة (0,1)

:فى جدول باستخدام االمر X وقیم Y ثم وضع قیم xx وذلك فى القائمة المسماه .برنامج تختلف عن االرقام فى الجدول السابق ویالحظ ان االرقام المولدة بال . Transpose

<<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],15] 0.905693,0.204137,0.57258,0.663607,0.4576,0.770183,0.154581,0.987772,0.320891,0.652021}

{1.90336,0.903631,1.51338,1.62924,1.35292,1.7552,0.786336,1.98773,1.13294,1.61496} Transpose[{y,xx}]//TableForm

xx 2y N

٤٢١

)٣ -٨( مثال

:الحــل

:یتبع توزیع كوشى یمكن الحصول علیها كالتالى Xدالة التوزیع التجمیعي لمتغیر عشوائي

1

1

1

1

1 tan x2

1y tan x2

y tan x2

y tan x2

: تكافئ أن

x tan y2

یعطي الجدول التالى قیم عشرة أرقام عشوائیة في العمود األخیر في جدول األرقام العشوائیة في .المقابلة لها xمع قیم 410وذلك بعد قسمة كل رقم علي

0.905693 1.903360.204137 0.9036310.57258 1.513380.663607 1.629240.4576 1.352920.770183 1.75520.154581 0.7863360.987772 1.987730.320891 1.132940.652021 1.61496

تتبع توزیع كوشي ؟ n = 10عینة عشوائیة من الحجم ) محاكاه(المطلوب تولید

2

x1

1 1F x dt1 t

1 tan t

٤٢٢

x y

-1.9415 0.5901 -5.9847 -0.0790 -0.7757 -1.0962 9.3820 -74.021 -3.0678 3.8595

0.1514 0.6697 0.0527 0.4749 0.2900 0.2354 0.9662 0.0043 0.1003 0.9192

:بطریقتین X البرنامج التالى لتولید 10 ارقام یتبعون توزیع : )مثل المثال السابق ( الطریقة االولى

10 ارقام یتبعون التوزیع یتم تولید X ارقام یتبعون توزیع ثم استخدام العالقة بین X,Y لتولید 10 فى الفترةالمنتظم (0,1)

:فى جدول باستخدام االمر X وقیم Y ثم وضع قیم xx وذلك فى القائمة المسماه .ویالحظ ان االرقام المولدة بالبرنامج تختلف عن االرقام فى الجدول السابق . Transpose

ContinuousDistributions الطریقة الثانیة وتعتمد على الحزمة . xx1 المسماهوذلك فى القائمة X ارقام یتبعون توزیع حیث یتم لتولید 10

<<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10] {0.19519,0.682411,0.679846,0.272077,0.211702,0.510403,0.275044,0.543511,0.191376,0.772952}

{-1.42105,0.645295,0.633942,-0.870087,-1.27505,0.0326947,-0.853843,0.137551,-1.45786,1.15571} Transpose[{y,xx}]//TableForm

xx Tan

2 y N

٤٢٣

xx1=RandomArray[CauchyDistribution[0,1],10] {3.92816,8.81074,0.586835,0.452596,2.77515,-10.5211,10.7721,-

4.24567,0.826059,-0.0334645} )٤ -٨( مثال

؟ تتبع األسي بمعلمة n = 10عینة عشوائیة من الحجم ) محاكاه(المطلوب تولید

:الحــل

:هي Xدالة التوزیع التجمیعي للمتغیر

xX

0 , x 0F x

1 e , x 0

:وعلى ذلك بوضع X

Y 1 e

: فإن X ln 1 Y .

.یتبع التوزیع األسي بمعلمة Xحیث 1بفـــرض أن ونریـــد تولیـــد عینـــة عشـــوائیة مـــن الحجـــمn 10 مـــن التوزیـــع االســـي1بمعلمه . 1أوال نولد عینة عشوائیة 2 10y , y ,..., y تتبع التوزیع المنتظم :

0.19519 1.421050.682411 0.6452950.679846 0.6339420.272077 0.8700870.211702 1.275050.510403 0.03269470.275044 0.8538430.543511 0.1375510.191376 1.457860.772952 1.15571

٤٢٤

1 1

2 2

3 3

4 4

y 0.55463 x ln(0.55463) 0.589y 0.15389 x ln(0.15389) 1.872y 0.85941 x ln(0.85941) 0.151y 0.61149 x ln(0.05219) 0

5 5

6 6

7 7

8 8

.492y 0.05219 x ln(0.05219) 2.053y 0.41417 x in(0.41417) 0.881y 0.28357 x ln(0.28357) 1.260y 0.17783 x ln(0.17783) 1

9 9

10 10

.727y 0.40950 x ln(0.40950) 0.893y 0.82995 x ln(0.82995) 0.186

:وبالتعویض فى المعادلة

i ix ln(1 y ) 1نحصــــــل علــــــى 2 10x ,x ,..., x 1تتبــــــع التوزیــــــع االســــــى بمعلمــــــة .ــــــه ویمكــــــن اخــــــذ التحویل

X ln Y بدال منX ln(1 Y) 1)وذلك الن Y) ایضا تتبع التوزیع المنتظم. :بطریقتین X البرنامج التالى لتولي 10 ارقام یتبعون توزیع

: )مثل المثال السابق ( الطریقة االولى 10 رقم یتبعون التوزیع یتم تولید

X ارقام یتبعون توزیع ثم استخدام العالقة بین X,Y لتولید 10 المنتظم فى الفترة (0,1) وقیم X فى جدول باستخدام االمر Y ثم وضع قیم xx وذلك فى القائمة المسماه

.ان االرقام المولدة بالبرنامج تختلف عن االرقام فى الجدول السابق ویالحظ . Transpose ContinuousDistributions الطریقة الثانیة وتعتمد على الحزمة

. xx1وذلك فى القائمة المسماه X ارقام یتبعون توزیع حیث یتم لتولید 10<<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10] {0.839409,0.569581,0.903264,0.899301,0.333996,0.00953819,0.0936295,0.769578,0.594237,0.489813} xx=-(Log[1-y])//N {1.8289,0.842995,2.33577,2.29562,0.40646,0.00958397,0.0983071,1.46784,0.901985,0.672978} Transpose[{y,xx}]//TableForm

٤٢٥

f[x_]:=ExponentialDistribution[1] xx1=RandomArray[f[x],10]

{0.796751,1.47951,0.294558,0.360798,2.80808,0.366114,1.60385,1.73506,

0.297923,0.328113} )٥ -٨( مثال

200تولیــد ل Sec4.3الجـزء الفصــل الرابـع مـن KnoxProbالبرنـامج التـالى مـاخوذ مــن برنـامج 2عینة تتبع التوزیع االسى بمعلمة ثم استخدامهم فـى الحصـول علـى المـدرج االحتمـالى مـع

مــنوقــد اسـتخدم فــى تولیـد البیانــات الطریقـة االولــى . 2بمعلمــة دالــة كثافـة االحتمــال االسـیة بیـان .المثال السابق

Needs["KnoxProb`Utilities`"] SeedRandom[13645]

0.839409 1.82890.569581 0.8429950.903264 2.335770.899301 2.295620.333996 0.406460.00953819 0.009583970.0936295 0.09830710.769578 1.467840.594237 0.9019850.489813 0.672978

SimulateExpn_, _:

Table 1

Log1Random, n

datalist SimulateExp200, .5;g1 Histogramdatalist, 8, Type Scaled,

Endpoints .5, 11,DisplayFunction Identity;

g2 Plot.5E.5t, t, 0, 10,DefaultFont "TimesRoman", 8,DisplayFunction Identity;

Showg1, g2, DisplayFunction$DisplayFunction;

٤٢٦

)٦ -٨( مثال

:متغیرا عشوائیا یتبع توزیع وایبل على الشكل Xإذا كان

1x exp (x / ) , 0 < x < f (x)

0 , e.w.

.اشرح كیفیة تولید مشاهدات تتبع توزیع وایبل

:الحــل

: یتبع توزیع وایبل تأخذ الشكل التالى Xدالة التوزیع التجمیعى لمتغیر عشوائي

XF(X) 1 exp , 0 < X <

: أذن

1.16 2.47 3.78 5.09 6.41 7.72 9.03 10.34

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٤٢٧

1

1

XY 1 exp

X1 y exp

Xln(1 Y)

Xln(1 Y)

X( ln(1 Y))

( ln(1 Y)) X

.من المشاهدات تتبع توزیع وایبل nویمكن استخدام العالقة التالیة فى تولید

1

( ln y) x :بطریقتین X البرنامج التالى لتولید 10 ارقام یتبعون توزیع

: الطریقة االولى 10 رقم یتبعون التوزیع یتم تولید

X ارقام یتبعون توزیع ثم استخدام العالقة بین X,Y لتولید 10 المنتظم فى الفترة (0,1) وقیم X فى جدول باستخدام االمر Y ثم وضع قیم xx وذلك فى القائمة المسماه

.ان االرقام المولدة بالبرنامج تختلف عن االرقام فى الجدول السابق ویالحظ . Transpose : الطریقة الثانیة

ContinuousDistributions وتعتمد على الحزمة

. xx1وذلك فى القائمة المسماه X ارقام یتبعون توزیع حیث یتم لتولید 10<<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10] {0.882496,0.476891,0.413881,0.617387,0.400027,0.943363,0.371596,0.828755,0.656483,0.694251}

{1.06067,2.58151,2.81773,2.08335,2.87159,0.724385,2.98488,1.30018,1.94621,1.81226} Transpose[{y,xx}]//TableForm

xx 3Logy12 N

٤٢٨

f[x_]:=WeibullDistribution[2,3] xx1=RandomArray[f[x],10] {1.24877,4.76207,4.12441,1.18024,0.238233,3.49064,3.27543,2.42055,1.8

9561,1.05821}

)٧ -٨( مثال :متغیرا عشوائیا یتبع توزیع جاما على الشكل Xإذا كان

1exp x / x,0 x

( )f (x)o ,x 0

.اشرح كیفیة تولید مشاهدات تتبع توزیع جاما :الحــل

1بفرض ان 2Y ,Y ,...,Y (0,1)تمثل متغيرات عشوائية مستقلة تتبع التوزيع المنتظم فى الفترة

:فان

i ii 1 i 1

X log Y log Y

:تتبع توزيع جاما على الشكل 1exp x / x

,0 x( )f (x)

o ,x 0

1من القيم وهذا يتطلب 2Y ,Y ,...,Y على وذلك لتوليد قيمة واحدة تتبع توزيع جاما

:الشكل

0.882496 1.060670.476891 2.581510.413881 2.817730.617387 2.083350.400027 2.871590.943363 0.7243850.371596 2.984880.828755 1.300180.656483 1.946210.694251 1.81226

٤٢٩

11 xf (x) x exp( ), 0 x( )

0 elsewhere

Xم النتیجة أن استخدیمكن ا هبدال من استخدام العالقة السابقة فإن. قیمة صحیحة حیث

1تمثل المجموع لمتغیرات عشوائیة مستقلة 2X ,X ,...,X وتتبع التوزیع االسى بمعلمة على : الشكل

1 xf (x) exp( )

:ویمكن برهنة ذلك كالتالى

:تكون على الشكل التالى لتوزیع االسى بمعلمة الدالة المولدة للعزوم 1

X (t) (1 t )

:وعلى ذلك

ii 1

1

x i 1

(t) (1 t )

(1 t )

. م لتوزیع جامازو والتي تمثل الدالة المولدة للع . =2 , =3 حیث بثالث طرق لتولید رقم عشوائى یتبع توزیع جاماالبرنامج التالى

مستقلة تمثل المجموع لمتغیرات عشوائیة X الطریقة االولى تعتمد على ان . تتبع التوزیع االسى بمعلمة 1 2X ,X ,...,X

. yy والمشاهدة التى تم تولیدها تحت المسمى :الطریقة الثانیة تعتمد على العالقة التالیة

i ii 1 i 1

X log Y log Y

. xx والمشاهدة التى تم تولیدها تحت المسمى ContinuousDistributions الطریقة الثالثة تعتمد على الحزمة

: dd والمشاهدة التى تم تولیدها تحت المسمى <<Statistics`ContinuousDistributions` ff[x_]:=ExponentialDistribution[3] dd=RandomArray[ff[x],2] {0.087505,0.14882} yy=Apply[Plus,dd] 0.236325

٤٣٠

y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],2] {0.669605,0.592058}

2.77565 f[x_]:=GammaDistribution[2,3] dd=Random[f[x]] 7.416

):٨-٨(مثال

:على الشكل) توزيع لوجستي(متغيرا عشوائيا بدالة كثافة احتمال Xإذا كان

x

2x

ef x , x1 e

0 e.w.

:الحــل :على الشكل Xدالة التوزیع للمتغیر

x t

2t

2xt t

xt

x

eF x dt1 e

e 1 e dt

1 e1

1F x , x1 e

xx 3Logi1

2yi N

٤٣١

1

x

1 x

x

x F z1y F x

1 e

1y 1 ey

1 11 e ln 1 xy y

1x ln 1y

:لتولید عشرة ارقام عشوائیة یتبع لتوزیع كوشىالبرنامج التالى :و تعتمد على العالقة التالیة

1x ln 1y

<<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10] {0.448093,0.433954,0.417999,0.675836,0.136709,0.118162,0.200579,0.57476,0.273067,0.710582}

{-0.208378,-0.265738,-0.330993,0.7347,-1.84289,-2.00995,-1.38268,0.301298,-0.979115,0.898213} Transpose[{y,xx}]//TableForm

):٩-٨(مثال

xx Log 1y1 N

0.448093 0.2083780.433954 0.2657380.417999 0.3309930.675836 0.73470.136709 1.842890.118162 2.009950.200579 1.382680.57476 0.3012980.273067 0.9791150.710582 0.898213

٤٣٢

:متغيرا عشوائيا بدالة كثافة احتمال تتبع توزيع بيتا على الشكل Xإذا كان 1 1( )x (1 x) ,0 x 1

f (x) ( ) ( )0 e.w.

:متغير عشوائي يتبع توزيع بيتا بدالة كثافة احتمالية Xليكن

1 1

1

211

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 11

1 2 11

2 2 2

1 2

1 11 2

1 2

( )x (1 x) ,0 x 1f (x) ( ) ( )

0 e.w.Z UniformZ Uniform

Y Z ,Y Z

Y Z ,Y Zf (y , y ) f (z ,z ) | J |

z zy y y 0

| J |z z 0 yy y

y y

0 y 1, 0 y 1

٤٣٣

:باخذ التحويلة التالية

11 2

1 2

1

2 1

1 1

2 2

YX ,W Y YY Y

y xwy w y w wx w(1 x)

dy dydx dxJdy dydx dx

٤٣٤

1

01 1

0 0

1 11 1 1

0 0

11 1

01 1

1 1 1 1

0 0

w xw 1 x

w(1 x) xw

w wx wx w

h(x | 0 W 1)

g(x,w)dw(1 1)

g(x,w)dxdw

sin ce :

g(x,w)dw x (1 x) w dw

wx (1 x)

x (1 x) (1 2)

sin ce :

x (1 x)g(x,w)dxdw

1

0

( , ) ( ) ( ) (1 3)( ) ( )

:فان (1-1)والتعويض في (3-1)و ) (2-1من

1 1

1 1

x (1 x)h(x | 0 w 1)

( ) ( )1 x (1 x) ,0 x 1,

٤٣٥

:من توزيع بيتا بالمعالم داتعينة عشوائية من اربعة مشاه بفرض اننا نرغب فى الحصول على

12 4and :باستخدام البيانات التالية والتى تتبع التوزيع المنتظم

: 0.706, 0.392, 0.020, 0.882, 0.670, 0.922,0.441, 0.717, 0.577, 0.799, 0.055, 0.628z

:االن سوف نرتب البيانات السابقة فى ازواج ونتبع الخطوات التى تلى ذلك1

212

1 14

2 2

1 2

1

1 2

0.706 0.020 0.670 0.441 0.577 0.0550.392 0.882 0.922 0.717 0.799 0.6280.840 0.141 0.819 0.664 0.760 0.235

0.024 0.605 0.722 0.264 0.408 0.1560.864 0.746 1.541 0.928 1.168 0.3910.972 0.189 Re 0.7

ZZ

Y ZY ZY Y

Y jectXY Y

16 Re 0.601ject

:بيتا بالمعالم ات من توزيع دالبرنامج التالى للحصول على عينة عشوائية من اربعة مشاه12 4and

<<Statistics`ContinuousDistributions` z1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4] {0.479289,0.949933,0.884424,0.261462} z2=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4] {0.348875,0.775947,0.74622,0.342095}

{0.692307,0.974645,0.940438,0.511333}

{0.0148143,0.362517,0.310076,0.0136957}

{0.97905,0.728891,0.752041,0.973914}

)١٠-٨(مثال

y1 z112

y2 z24

xy1

y1 y2

٤٣٦

لذلك سوف نستخدم F(x)صيغة صريحة لدالة التوزيع يوجد البالنسبة للتوزيع الطبيعى -٨(التى تعتمد على النظريتين وفى توليد بيانات تتبع التوزيع الطبيعى برنامج الماثيماتيكا

).٢-٨(و)١1xمن العالقة xفى برنامج الماثیماتیكا یمكن الحصول على قیمة ف F (y) وذلك باستخدام

:حیث xفعلى سبیل المثال المطلوب ایجاد . Quantile[distribution,x]االمر 1x F (.77337) اثنین انحراف معیارىلتوزیع طبیعى بمتوسط صفر و .

. x=1.5 ان وقد وجد

<<Statistics`ContinuousDistributions`

CDF[NormalDistribution[0,2],1.5] Quantile[NormalDistribution[0,2],.773373] 0.773373 1.5

)١١-٨(مثال

Statistics فى الدلیل ContinuousDistributions سوف نستخدم الحزمة

60 وانحراف رقم عشوائى یتبع التوزیع الطبیعى بمتوسط فى البرنامج التالى تم تولید 20 معیارى ستة

<<Statistics`ContinuousDistributions` z1=RandomArray[NormalDistribution[60,6],20]

{65.6032,51.7716,38.0498,65.8617,55.6379,65.9767,59.2237,59.4782,64.5115,50.4035,55.781,59.4861,56.2899,55.4536,46.6084,61.3402,62.633,61.

7094,63.8373,68.3}

)١٢-٨(مثال

رقم 200فى تولید من الفصل الثالث 3.2الجزء KnoxProbسوف نستخدم برنامج .یتبعون التوزیع الطبیعى بمتوسط صفر وانحراف معیارى اثنین وسوف نمثل البیانات بیانیا

SimNormal[n_,_,_]:= Table[Quantile[NormalDistribution[,],Random[]],{n}] datalist=SimNormal[200,0,2]; DotPlot[datalist,DefaultFont{"Times-Roman",8}];

٤٣٧

)١٣-٨( مثال

یتبعون التوزیع الطبیعى رقم 1000سوف نستخدم برنامج الماثیماتیكا التالى فى تولید تحت رقم 10000 ثم تولید dataتحت المسمى اثنینوانحراف معیارى بمتوسط عشرون

وسوف نمثل البیانات بیانیا باشكال مختلفة وهناك نسخة منه مع الكتاب بنفس dataالمسمى .المثال رقم

والثـــــــانى باســـــــم scaleHistogramاالول باســـــــم .وســـــــوف نحمـــــــل برنـــــــامجین جـــــــاهزین لـــــــذلك normalHistogram

:حیث االول هو scaledHistogram Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` Clear[scaledHistogram] scaledHistogram[datalist_,classes_:10,opts___]:=Module[{minimum,maximum,classwidth,lowerlimits,counts,step1,step2,step3,step4,frequencylist,heights,midpoints,tograph}, minimum=Min[datalist]; maximum=Max[datalist]; classwidth=(maximum-minimum)/(classes); lowerlimits=Table[i,{i,minimum,maximum, classwidth}]; counts=RangeCounts[datalist,lowerlimits]; step1=Drop[counts,1]; step2=Take[step1,-2];

4 2 0 2 4

٤٣٨

step3=Apply[Plus,step2]; step4=Drop[step1,-2]; frequencylist=Append[step4,step3]; heights=frequencylist/(classwidth Length[datalist]); midpoints=Table[i,{i,minimum+classwidth/2,maximum, classwidth}]; tograph=Table[{midpoints[[i]],heights[[i]],classwidth},{i,1,classes}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,AxesOrigin->{.98minimum,0},opts] ]

:والثانى هو normalHistogram Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` Clear[scaledHistogram] scaledHistogram[datalist_,classes_:10,opts___]:=Module[{minimum,maximum,classwidth,lowerlimits,counts,step1,step2,step3,step4,frequencylist,heights,midpoints,tograph}, minimum=Min[datalist]; maximum=Max[datalist]; classwidth=(maximum-minimum)/(classes); lowerlimits=Table[i,{i,minimum,maximum, classwidth}]; counts=RangeCounts[datalist,lowerlimits]; step1=Drop[counts,1]; step2=Take[step1,-2]; step3=Apply[Plus,step2]; step4=Drop[step1,-2]; frequencylist=Append[step4,step3]; heights=frequencylist/(classwidth Length[datalist]); midpoints=Table[i,{i,minimum+classwidth/2,maximum, classwidth}]; tograph=Table[{midpoints[[i]],heights[[i]],classwidth},{i,1,classes}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,AxesOrigin->{.98minimum,0},opts] ] <<Statistics`ContinuousDistributions` Clear[normalHistogram] normalHistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{p1,mu,sigma,p2},

٤٣٩

p1=scaledHistogram[data,bars,DisplayFunction->Identity]; mu=Mean[data]; sigma=StandardDeviation[data]; p2=Plot[PDF[NormalDistribution[mu,sigma],x],{x,mu-3 sigma,mu+3 sigma},DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,PlotRange->All,opts,DisplayFunction->$DisplayFunction] ]

یــتم تولیــد مــدرج بحیــث ان المســاحة تحــت كــل االعمــدة تســاوى scaleHistogramفــى البرنــامج فیكـــون علـــى الرســـم مـــع المـــدرج التكـــرارى رســـم normalHistogramامـــا البرنـــامج الثـــانى .واحـــد

المولدةبیانات اللدالة كثافة االحتمال للتوزیع الطبیعى بمتوسط وانحراف معیارى محسوب من ـــــذلك باســـــتخدام تختـــــارعـــــدد االعمـــــدة فـــــى كـــــل طریقـــــة و ـــــار اخـــــر ل عشـــــرة ویمكـــــن اســـــتخدام خی

GeneralzedBarChart. :ثم ننفذ البرنامج التالى

<<Statistics`ContinuousDistributions` <<Statistics`DiscreteDistributions` <<Statistics`DataManipulation`

وانحراف معیارى 2 : 20 االمر التالى لتعریف توزیع طبیعى بمتوسط dist=NormalDistribution[20,2];

1000 رقم عشوائى : التالى لتولیداالمر data=RandomArray[dist,1000];

: الظهار جزء من البیانات فقط للتوضیح Short االمر التالى Short[data,5] {16.6229,18.6393,21.6272,21.1272,16.8867,991,22.278,21.2962,17.0944,19.2237}

: قیمة فى البیاناتواكبر قیمةلحساب اصغر االمرین التالیین min=Min[data] max=Max[data] 13.207 25.7216

:للبیانات المولدة لحساب والمتوسط واالنحراف المعیارى االمرین التالیین Mean[data] 19.9573 StandardDeviation[data] 1.9818 <<Graphics`Graphics`

٤٤٠

scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{min-stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsize},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,opts] ]

.التكرارى النسبى ممثلة بیانیا باستخدام المدرج بیان 1000الناتجة من تولید البیانات p1=scaledhistogram[data]

Graphics

ممثلــة بیانیــا باســتخدام المــدرج التكــرارى النســبى مــع نبیــا 1000 الناتجــة مــن تولیــد البیانــات المحســوبة فــى بیانــات المولــدةلل انحــراف المعیــارى التمثیــل البیــانى للتوزیــع الطبیعــى بمتوســط و

.التكرارى یتكون من عشرة اعمدة والمدرج البرنامج p2=Plot[PDF[dist,x],{x,14,26},DisplayFunctionIdentity]; Show[p1,p2]

16 18 20 22 24 26

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

٤٤١

Graphics data=RandomArray[dist,10000];

بیــان ممثلــة بیانیــا باســتخدام المــدرج التكــرارى النســبى مــع 10000الناتجــة مــن تولیــد البیانــات والمـدرج المحسـوبة فـى البرنـامج تبـاین البیانـات المولـدة التمثیل البیانى للتوزیع الطبیعى بمتوسط و

.التكرارى یتكون من اربعین عمود p1=scaledhistogram[data,40,DisplayFunctionIdentity];Show[p1,p2,DisplayFunction$DisplayFunction]

Graphics

من البرنامج تم الحصول على المتوسط واالنحراف المعیارى للبیانات التى تم تولیدها فـى القائمـة

data حیث 10000وعدهم : Mean[data] 19.9573 StandardDeviation[data] 1.9818

البیانــات منــه والــذى تولیــد الــذى تــم عمــن المتوســط واالنحــراف المعیــارى للمجتمــ ان یقتربــ انذلــوال .اثنین یساوى تباین رونیتبع التوزیع الطبیعى بمتوسط عش

16 18 20 22 24 26

0.05

0.1

0.15

0.2

12.5 17.5 20 22.5 25 27.5

0.05

0.1

0.15

0.2

٤٤٢

بیانات تتبع توزیعات متقطعة ) محاكاة(تولید) ٢-٨( .)١-٨(النظریة التالیة تعتبر تعمیم للنظریة

:هى G(y)إذا كانت ، دالة التوزیع التجمیعي F(x)اذا كانت ): ٣- ٨( نظریة G(y) min x y F(x) , 0 < y < 1

ذا كانت و : فإن Y ~ UNF (0, 1)ا

X = G (Y) ~ F (x) .

مـن توزیعـات متقطعـة " pseudo “أهـم تطبیـق للنظریـة السـابقة فـي تولیـد متغیـرات عشـوائیة تـم تولیـدها y1 , y2 ,…. , ynاعـداد عشـوائیة ، لـتكن nإذا كـان . معینة باستخدام الحاسـب اآللـي

x1 , x2 , ….. xnوتبعـا لـذلك فـإن (1 ,0)علـي الحاسـب اآللـي مـن توزیـع منـتظم فـي الفتـرة :تحسب كاآلتي

i ix G(y ) i 1,2,...,n

F(x)بــالطبع فــي كثیــر مــن األمثلــه فــإن . F(x)والتــي تقابــل تولیــد عینــة عشــوائیة مــن توزیــع لــه

1 تكون تناظریة وعلي ذلك یمكن استخدام i ix F (y ) .

فـي هــذه . A = { b1 , b2 , b3 ,….}هـو Xللتوضـیح بفـرض أن فضـاء المتغیـر . b1 < b2 < …. < b6 > 0وأن Aالمناقشـة سـوف نفتـرض وجـود سـتة قـیم فقـط فـي الفضـاء

iحیـث pi = p(X = bi) = f(bi)لـیكن 1,2,3,...,6 . هـذه االحتمـاالت موضـحة مـعF(x) یتبـع Yحیـث Y = y، نقـوم بتولیـد عـدد عشـوائي Xلتولیـد أي مشـاهدة مـن . شـكل التـالى الفي

1yإذا كانــــت (0,1)التوزیــــع المنــــتظم فــــي الفتــــرة p فــــإنX = b1 ذا كانــــت وا1 1 2p y p p فـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــإنX=b2 وهكـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــذا حتـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــى الوصـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــول

1 2 1 6p ... p y p .... p 1 6فإنX b .

٤٤٣

)١٤ -٨( مثال

متغیر عشوائي له داله الكثافة اإلحتمالیة التالیة Xإذا كان

:المطلوب تولید مشاهدات تتبع هذا التوزیع بحیث f (x) 1/ 6 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 0 , e.w.

:الحــل10 y x 16

1 2y x 26 62 3y x 36 63 4y x 4,6 6

x 1 2 3 4 5 6

P(X=1) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

٤٤٤

4 5y x 56 65 6y x 66 6

اربعــة ارقــام عشــوائیة تولیــد االن بفــرض اننــا نریــد . (0,1)تتبــع التوزیــع المنــتظم فــى الفتــرة yحیــث الوجـه رقـم القـاء نـرد اربعـة مـرات والمطلـوب تجربـة ة كاالمثال اى محا هذا تتبع التوزیع الذى فى

:اوال نولد اربع ارقام عشوائیة تتبع التوزیع المنتظم .الظاهر <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=UniformDistribution[0,1]; z1=RandomArray[dist,4]

{0.337838,0.298263,0.551268,0.818108}

z1الرقم االول فى نختبر2 3y x 36 6

z1الرقم الثانى فى نختبر1 2y x 26 6

z1الرقم الثالث فى نختبر3 4y x 46 6

z1الرقم الرابع فى نختبر4 5y x 56 6

باستخدام برنامج الماثیماتیكا وذلك باستخدام الحزم الجاهزة التالىسوف نحل المثال DiscreteDistributions .

)١٥ -٨( مثال

. مرة 12القاء نرد متزن تجربة استخدم البرنامج فى محاكاة :الحــل

نمـوزج لـه وذلـك ك6 نختـار لـه التوزیـع المنـتظم المتقطـع بالمعلمـة مـرة 12القـاء نـرد متـزن لتجربـة

1,2,3,4,5,6والذى له القیم

٤٤٥

:التالى فنحصل على النتیجة بعد كتابة <<Statistics`DiscreteDistributions` <<Statistics`DataManipulation` trial3=RandomArray[DiscreteUniformDistribution[6],12] {3,3,3,6,3,5,3,5,6,4,2,4}

:مرة نحصل علیها كالتالى 100القاء نردین متزنین التجربة الثانیة وهى <<Statistics`DiscreteDistributions`

trial4=RandomArray[DiscreteUniformDistribution[6],{100,2}]

{{5,2},{6,6},{5,6},{1,2},{1,2},{2,6},{2,4},{4,2},{4,1},{2,1},{5,5},{4,3},{1,3},{3,5},{3,2},{6,6},{6,5},{4,6},{3,1},{4,2},{3,1},{3,4},{3,6},{3,4},{2,1},{4,4},{2,2},{2,1},{1,6},{4,6},{5,6},{3,4},{1,5},{2,5},{1,5},{1,1},{5,1},{3,3},{2,5},{1,2},{6,1},{6,2},{2,2},{5,1},{1,5},{6,6},{3,5},{4,3},{1,5},{3,4},{3,1},{3,2},{6,5},{2,5},{6,6},{5,5},{6,6},{2,2},{2,3},{6,6},{1,2},{1,6},{5,1},{5,5},{1,6},{4,6},{3,2},{3,3},{1,4},{6,2},{1,4},{4,4},{4,2},{1,5},{1,6},{6,1},{2,2},{2,3},{4,3},{1,5},{3,4},{1,2},{5,3},{6,2},{1,5},{1,5},{1,6},{6,1},{4,1},{4,2},{4,6},{3,1}

,{5,3},{1,1},{1,1},{2,4},{4,6},{3,5},{3,3},{6,2}} فــى كــل مــرة ننحصــل علــى مجمــوع الــوجهین الظــاهرین علــى النــردی Plusمــع Mapباســتخدام

القاء sums=Map[Apply[Plus,#]&,trial4] {7,12,11,3,3,8,6,6,5,3,10,7,4,8,5,12,11,10,4,6,4,7,9,7,3,8,4,3,7,10,11,7,6,7,6,2,6,6,7,3,7,8,4,6,6,12,8,7,6,7,4,5,11,7,12,10,12,4,5,12,3,7,6,10,7,10,5,6,5,8,5,8,6,6,7,7,4,5,7,6,7,3,8,8,6,6,7,7,5,6,10,4,8,2,2,6,10,8,6,8}

. Frequencie ناستخدم االمر لنرى كیف كل مجموع یحدث Frequencies[sums]

{{3,2},{8,3},{9,4},{9,5},{20,6},{20,7},{12,8},{1,9},{8,10},{4,11},{6,

12}}

)١٦ -٨( مثال فــإن دالــة التوزیــع التجمیعــي تكــون X ~ BIN(1,1/2)متغیــرا عشــوائیا بحیــث أن Xإذا كــان

:علي الشكل F(x) 0 x 0

1/ 2 0 x 11 1 x.

:سوف تكون علي الشكل G(y)والدالة

٤٤٦

G(y) 0 0 y 1/ 211/ 2 y 1.2

.والمطلوب تولید اربعة ارقام تتبع هذا التوزیع <<Statistics`ContinuousDistributions` z1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4] {0.2352,0.846453,0.537056,0.974374}

z1الرقم االول فى نختبر10 y x 02

z1الرقم الثانى فى نختبر1 y 1 x 12

z1الرقم الثالث فى نختبر1 y 1 x 12

z1الرقم الرابع فى نختبر1 y 1 x 12

)١٧ -٨( مثال

.1000مرات ثم 10استخدم البرنامج فى محاكاة القاء عملة :الحــل

یمكـن محاكـاة .1/2تعتبر القاء عملة تجربة تتكـون مـن محـاوالت متكـررة برنـولى باحتمـال نجـاح ـــــع برنـــــولى باحتمـــــال نجـــــاح ـــــاء عملـــــة عشـــــرة مـــــرات باســـــتخدام توزی بفـــــرض ان الحزمـــــة . 1/2الق

DiscreteDistributions قد تم تحمیلها فاننا سوف نسـتخدمRandomArray لتولیـد قائمـة بطـولفـان نتیجـة ، headةتمثـل ظهـور الصـور Hوان tailتمثـل ظهـور الكتابـة Tبفـرض ان . عشـرة : اكاهالمح

.فى المتتابعة التالیة headsو اربعة tailsقد تكون ستة العلى سبیل المث

T,T,T,T,T,H,H,T,H,H یةالتالاالوامر وذلك عند كتابة : <<Statistics`DiscreteDistributions` trial1=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],10] {0,0,0,0,0,1,1,0,1,1}

٤٤٧

:مرة فاننا نكتب التالى 1000 عند محاكاة القاء العملة <<Statistics`DiscreteDistributions`

DataManipulation مة منئوبدال من اظهار قا 1000 عنصر فاننا نحمل الحزمة وعلى صفر ثم نستخدم Frequencies والتى توضح لنا الحصول على 486

514 واحد صحیح .trial2=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],1000]; <<Statistics`DataManipulation` Frequencies[trial2] {{486,0},{514,1}}

)١٨ -٨( مثال

x 1f (x) p(1 p) ,x 1,2,... .اشرح كیف یمكن تولید مشاهدات تتبع التوزیع الهندسي

:الحــل

: سوف نشرح طریقتین لتولید ارقام تتبع التوزیع الهندسى

.الطریقة االولى فى هذا المثال والطریقة الثانیة فى المثال التالى :لحساب هذا المجموع سوف نستفید من العالقات التالیة

k 1k w

w 0

a = 1 p1 aa k = x 11 a

x t 1

xx

x

x

1 (1 p)P(X x) F(x) p1 (1 p)

1-(1-p) = p 1 (1 p) ,x 11 1 p

= P(Y 1-(1-p) ) = P(Y (1 p) )

1یتبع التوزیع المنتظم و Yحیث y یتبع التوزیع المنتظم ایضا.

x x 1

P(X x) P(X x) P(X x 1)= p[(1-p) Y (1 p) ]

بإیجاد اصغر رقم صحیح بحیث ان xفإننا نولد مشاهدة Y من yوعلى ذلك إذا كانت مشاهدةx(1 p) y

٤٤٨

x log (1-p) log y log yx

log(1 p) x = s

. s اصغر رقم صحیح یساوى أو اكبر من sحیث :لیكن

y 0.21p2

log y slog(1-p)

s

. sاصغر رقم صحیح اكبر أو یساوى 0.69899 2.32.0.3010

. x =3أى أن 3هو sاصغر رقم صحیح اكبر من أو یساوى

)١٩ -٨( مثال

: اشرح كیف یمكن تولید مشاهدات تتبع التوزیع الهندسي الذى على الشكلx 1f (x) p(1 p) ,x 1,2,...

:الحــل

الطریقة الثانیة :الذى على الشكل تتبع التوزیع الهندسي مشاهدات 10سوف نستخدم البرنامج التالى لتوليد

yf (y) p(1 p) ,x 0,1,2,...

: Xمشاهدات للمتغير 10نحصل على x=y+1ثم باستخدام العالقة <<Statistics`DiscreteDistributions` y=RandomArray[GeometricDistribution[.5],20] {1,0,0,1,0,0,2,0,0,7,0,0,0,0,0,2,0,0,1,0} x=y+1 {2,1,1,2,1,1,3,1,1,8,1,1,1,1,1,3,1,1,2,1}

٤٤٩

)٢٠ -٨( مثال

:اشرح كیف یمكن تولید ارقام تتبع ذى الحدین على الشكل x n xn

P(X x) p (1 p) , x 0,1,2,...,nx

:الحــل

:الحدين بطريقتين سوف نولد رقم عشوائى يتبع توزيع ذى :الطریقة االولى

nسوف نستفيد من ان

ii 1

X X

1حيث 2 nX ,X ,...,X متغيرات عشوائية مستقلة تتبع توزيع .n,pيتبع توزيع ذى الحدين بمعلمة Xو pبرنولى بمعلمة

n=10 , p=1/2بمعلمة سوف نستخدم البرنامج التالى لتوليد رقم عشوائى يتبع ذى الحدين :كالتالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` y=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],10] {0,1,1,1,0,1,0,1,1,0} x=Apply[Plus,y] 6

:الطریقة الثانیة :ارقام عشوائىة تتبع توزیع ذى الحدین كالتالى 10 سوف نولد

<<Statistics`DiscreteDistributions` y=RandomArray[BinomialDistribution[10,.5],10] {4,6,5,5,6,5,6,5,6,5}

)٢١ -٨( مثال

:تولید رقم تتبع ذى الحدین على الشكل 10000لتولید برنامج سوف نقدمx n xn

P(X x) p (1 p) , x 0,1,2,...,nx

التمثیل البیانى والبیانات بیانیا باستخدام المدرج االحتمالى وتمثیل. /n=20, p=1 4حیثى الطبیعى والذى له متوسط الحدین معا الذى تم تولید البیانات منه وایضا مع المنحنلتوزیع ذى

.وانحراف معیارى مساوى للبیانات المولدة

٤٥٠

:الحــل

scaledHistogram سوف نحمل البرنامج :اوال

:ثم نكتب البرنامج التالى

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[20,1/4]; simulate=Table[Random[dist],{10000}];

.البیانات بیانیا باستخدام المدرج االحتمالى تمثیل p1=scaledHistogram[simulate,14]

Graphics t1=Table[PDF[dist,x],{x,0,20}]

2 4 6 8 10 12

0.05

0.1

0.15

0.2

٤٥١

t1//N

التمثیل البیانى لتوزیع ذى الحدین معا الذى والبیانات بیانیا باستخدام المدرج االحتمالى وتمثیل .تم تولید البیانات منه

p2=ListPlot[t1,PlotStylePointSize[0.03],DisplayFunctionIdentity];Show[p1,p2]

Graphics

3486784401

1099511627776,

5811307335

274877906944,

36804946455

549755813888,

36804946455

274877906944,

208561363245

1099511627776,13904090883

68719476736,

23173484805

137438953472,

7724494935

68719476736,

33472811385

549755813888,

3719201265

137438953472,

2727414261

274877906944,

413244585

137438953472,

413244585

549755813888,

10596015

68719476736,

3532005

137438953472,

235467

68719476736,

392445

1099511627776,

7695

274877906944,

855

549755813888,

15

274877906944,

1

1099511627776

0.00317121, 0.0211414, 0.0669478, 0.133896, 0.189685,0.202331, 0.168609, 0.112406, 0.0608867, 0.0270608,

0.00992228, 0.00300675, 0.000751688, 0.000154192,

0.0000256987, 3.4265106, 3.56927107, 2.79942108,

1.55524109, 5.456971011, 9.094951013

5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

dist2 NormalDistribution200.25,200.250.75;p2a PlotPDFdist2, x, x, 0, 20,DisplayFunction Identity;

Showp1, p2, p2a

٤٥٢

التمثیل البیانى لتوزیع ذى الحدین معا الذى والبیانات بیانیا باستخدام المدرج االحتمالى تمثیلى الطبیعى والذى له متوسط وانحراف معیارى مساوى تم تولید البیانات منه وایضا مع المنحن

.للبیانات المولدة

بیانات تتبع توزیعات متصلة لها دالة توزیع غیر تناظریة ) محاكاة(تولید) ٣-٨(

)٢٢ -٨( مثال

:متغیرا عشوائیا من النوع المتصل بدالة كثافة احتمال X إذا كانf(x) = ½ 1 < | x – 2 | < 2

= 0 , e.w.

لیســت دالــة F(x)یالحــظ أن . شــكل التــالى المعطــي فــي Xبیــان دالــة التوزیــع التجمیعــي للمتغیــر ینطبـق علیهـا شـروط ال Xأي أن . x <1> 3معرفة لكل قـیم ½تناظریة وذلك ألن القیمة

) .٢-٨(و النظریة ) ١-٨(النظریة

5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

٤٥٣

فـي تولیـد مشـاهدات مـن التوزیـع والمعطـي تیناآلن سوف نشرح كیفیة إستخدام النظریتین السابق :في المثال التالى

)٢٣ -٨( مثال :أشرح كیف یمكن تولید مشاهدة لها داله كثافة االحتمال التالیة Y ~ UNF (0, 1)إذا كان

1

1221f (x) (x (1 x) ) , 1 x 1

4 = 0 , e.w.

:الحــل

:یمكن كتابة الدالة في علي الشكل

1 2f (x) a f (x) (1 a) f (x) 0 a 1

:حیث

1 2f x dx a x 1 a x dx 1f f

حیث دالة كثافة االحتمال 1f x علي الشكل:

1

1f (x) 0 x 12 x

:فـإن دالة التوزیع التجمیعي على الشكل

٤٥٤

1F (x) x 0 x 1

1 x 1

1Yبوضع F (X) X 1فإن 21X F (Y) Y ایضا دالة كثافة االحتمال 2

xf :تكون على الشكل

2

121f (x) (1 x) , 0 x 1

20 , e.w.

:بدالة توزیع تجمیعي على الشكل

2

12F (x) (1 x) 0 x 1

0 x 01 x 1

بوضع

2

12Y F (X) (1 X)

:فـإن 1 2

2X F (x) 1 Y fأي أن الدالة (x) یمكن كتابتها على الشكل:

1

1 221 1 1f (x) x 1 x

2 2 2

2Xاآلن نلقى عملة ونكتب Y اذا كان الناتج صـورة بینمـا 2X 1 Y اذا كـان النـاتج .كتابة

:فیما یلى برنامج الیجاد رقم عشوائى یتبع التوزیع المذكور <<Statistics`DiscreteDistributions` yy=Random[BernoulliDistribution[1/2]] 0 y=Random[UniformDistribution[0,1]] 0.398923

0.84086 x 1 y2

٤٥٥

فى هذا البرنامج نقوم بتولید رقم یتبع توزیع برنولى وذلك لمحاكاه القاء عملة وبما ان الناتج صفر سوف تكون Xفهذا یقابل ظهور الكتابة وعلى ذلك قیمة 2X 1 Y اى تساوى قیمة

.فى البرنامج السابق x المخرج للمدخل المسمى )٤٢ -٨( مثال

:الحــل

fالدالة (x) یمكن كتابتها علي الشكل: 1 1

2 2 212 1 3 3f (x) (x ) (1 2x) (2x 1)4 2 8 8

1 2 3

12 3 3f (x) f (x) f (x).8 8 8

حیث دالة كثافة االحتمال 1 xf تكون علي الشكل:

1

21f (x) 12(x ) 0 x 12

0 , e.w.

:بدالة توزیع تجمیعي على الشكل

1

31 1F (x) 4(x ) , 0 x < 12 2

0 x 01 x 1

:بوضـع3

11 1Y F (X) 4(x )2 2

فـإن 1

1 3Y 1 1X F (Y) ( )4 8 2

دالة كثافة االحتمال ایضا 2 xf تكون على الشكل:

للحصـول Yأشـرح كیـف یمكـن اسـتخدام Y ~ UNlF (0,1 )متغیرا عشـوائیا حیـث Yإذا كان :علي متغیر عشوائي بدالة كثافة احتمال

1

2 21 1f (x) 3 ((x ) ) 1 2x ) , 0 x 12 8

= 0 , e.w.

٤٥٦

2

1122 1f (x) (1 2x) 1 2x 0 x

20 , e.w.

:لهذة الدالة ناخذ 21X (1 Y )

2

هنا متغیرعشوائي لة دالة كثافة االحتمال Xحیث 2f x الن وذلك:

1

2 21P X x P 1 x 1 1 2xY2

تمثل دالة التوزیع المقابلة لدالة االحتمال 2f x . واخیرا دالة كثافة االحتمال 3f xعلى الشكل:

12

3

12 1f (x) (2 x 1) 1 2x x 1

2 = 0 , e.w.

21Xلهذة الدالة ناخذ (1 )Y2

:وذلك النة یمكن اثبات ان دالة التوزیع

12

3F (x) (2x 1)

لمتغیر عشوائي له الدالة 3f x وعلي ذلك لتولیـد مشـاهدة تتبـع دالـة كثافـة االحتمـالf (x) نلقـى

B) فـي أي ترتیـب ( ظهور ثالثـة وجـوه أو ثالثـة كتابـة الحادثة Aن وبفرض أعملة ثالث مرات كتابـة الحادثـة الحصـول علـي أثنـین Cالحادثة الحصول علـى صـورتین وكتابـة فـى أي ترتیـب و

:كالتالي Xوعلي ذلك نعرف المتغیر العشوائي ) في أي ترتیب ( صورة

Aإذا وقعت 13

12

Y 1X4 8

B 21Xإذا وقعت (1 Y )2

C 21Xإذا وقعت (1 Y )2

:لمذكور البرنامج التالى لتولید رقم یتبع التوزیع ا

٤٥٧

<<Statistics`DiscreteDistributions` yy=Random[BinomialDistribution[3,1/2]] 2 y=Random[UniformDistribution[0,1]] 0.865914

0.125096

ثالثة مرات وذلك لمحاكاه القاء عملة ذى الحدین فى هذا البرنامج نقوم بتولید رقم یتبع توزیع

سوف تكون Xوعلى ذلك قیمة Cالحادثة فهذا یقابل اثنین وبما ان الناتج 21X 1 Y2

.فى البرنامج السابق x قیمة المخرج للمدخل المسمى تساوى اى

نظریة النزعة المركزیة المحاكاة و ) ٤-٨( غالبا فى التطبیقات االحصائیة یفترض ان المجتمع الذى اختیرت منھ العینة یتبع التوزیع

,2ویكون االھتمام بتقدیر المعلمتین المجھولتین 2وتباین الطبیعى بمتوسط او اجراء .وذلك من بیانات العینة 2او اختبارات فروض تخص

1اذا كانت 2 nX ,X ,...,X عینة عشوائیة ماخوذة من توزیع لھ دالة كثافة االحتمالf (x)

متوسط العینة فn

ii 1

1X Xn

متغیر عشوائى یعتمد على بیانات العینة اى ، یمثل احصاء

ایضا تباین العینة .فقط n

2 2i

i 1

1S (X X)n 1

یمثل احصاء .

التوزیع االحتمالى الى احصاء یسمى التوزیع العینى لـمتوسط من المرات فاننا نحصل على قیمة معروفة nبمجرد اجراء التجربة وتكررھا

والتى نامل ان تساعدنا فى الحصول على معلومات عن على التوالى 2x,s وتباین العینة . )المعلمة المجھولة ( 2و تباین المجتمع )المعلمة المجھولة ( متوسط المجتمع

من 2x,sاى ان قیم ، على التوالى 2X,Sمن قیم االحصاء تینقیم 2x,تبرتعاھتمامنا سوف یكون فى الحصول على معلومات .الممكن ان تختلف من عینة الى اخرى

. والمسمى 2X,S كل من العینى ل عن توزیع

متوسط الھو حیث التباین و المتوسطالعینى للمتوسط لھ التوزیع

تتبع iXاذا كان كل . iXواالنحراف المعیارى على التوالى لكل متغیر عشوائى .یتبع التوزیع الطبیعى Xفان σوانحراف معیاري µالتوزیع الطبیعي بمتوسط

x121y2

2

n,

٤٥٨

:نظریة

ذنا نإذا أخ ة م ات الممكن ل العین ط ك بمتوس ا طبیعی ا ع توزیع ھ یتب روف أن ع مع µمجتم

اري ي لإلحصاء σوانحراف معی ع العین إن التوزی بمتوسط Xف ا طبیعی ا ع توزیع Xیتب

Xوانحراف معیاري n

حیثX وX ى اري عل یرمزان للمتوسط واالنحراف المعی

Xو .Xالتوالي للتوزیع العیني لإلحصاء n

. standard errorیسمى الخطا القیاسى

م ھل فھ وف نس ة س ذه النظری الى ھ ال االت البرنــــامجین الجــــاهزین اوال وســــوف نحمــــل بالمثscaleHistogram normalHistogram والذى سبق ان تكلمنا عنهما.

)٥٢ -٨( مثال

100مـن مجتمـع یتبـع التوزیـع الطبیعـى بمتوسـط 3مـن الحجـم عینـة 10000تولیـد ب سوف نقومبیانیــا باســتخدام متوســطات العینــات تمثیــلالعینــات فــى نســتخدم تلــك ثــم 16 انحــراف معیــارى و

توزیــع المنحنــى هــذا المــدرج مــع ة قارنــمو )الــذي یعتبــر التوزیــع العینــى التجریبــى ( المـدرج التكــرارى .10000محسوب من متوسطات العینات التى عددها تباین والطبیعى بمتوسط

الحل : normalHistogram و scaleHistogramبرنامجین السوف نحمل : اوال

:سوف نستخدم البرنامج التالى <Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{min-stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsize},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,opts] ]

٤٥٩

انحراف معیارى و 16 : 100 االمر التالى لتعریف توزیع طبیعى بمتوسط dist=NormalDistribution[100,16];

: 3 10000 عینة عشوائیة من الحجم لتولید االمر التالى randomsample=RandomArray[dist,{10000,3}];

: لعرض خمسة عینات فقط للتوضیح Take االمر التالى Take[randomsample,5] {{91.9725,82.9789,102.084},{134.97,124.844,102.083},{83.4281,77.5136,85.4568},{127.699,92.6188,105.86},{111.52,108.268,92.7449}}

: لحساب متوسط العینات االمر التالى meanrandomsample=Map[Mean,randomsample];

: لعرض خمسة متوسطات فقط للتوضیح Take لىاالمر التا Take[meanrandomsample,5] {92.3453,120.632,82.1328,108.726,104.177}

:االوامر التالیة لحساب اصغر متوسط واكبر متوسط

min=Min[meanrandomsample] 65.0632 max=Max[meanrandomsample] 131.885

:العینات االوامر التالیة لحساب المتوسط واالنحراف المعیارى والتباین لمتوسطات

Mean[meanrandomsample] StandardDeviation[meanrandomsample] Variance[meanrandomsample]

99.8608 9.2705 85.9422

99.8608 یالحظ هنا ان متوسط التوزیع العینى التجریبى والمحسوب من البرنامج

وهو قریب من متوسط التوزیع الطبیعى الذى تم تولید البیانات منه والذى له المتوسط 100 :ھو كما ان التباین للتوزیع العینى التجریبى والمحسوب من البرنامج

2 2(16) 85.33n 3

85.9422 وهو قریب من

.الذى تم تولید البیانات منه الطبیعى تباین التوزیع

2 حیث

٤٦٠

.النظریة السابقة وهذا یوضح

.عمود 40باستخدام متوسط العینات ممثلة بیانیا باستخدام المدرج التكرارى النسبى raph1=scaledhistogram[meanrandomsample,40]

Graphics

مـــع التمثیـــل البیـــانى للتوزیـــع . متوســـط العینـــات ممثلـــة بیانیـــا باســـتخدام المـــدرج التكـــرارى النســـبى .العینات المحسوبة فى البرنامج متوسطات تباین الطبیعى بمتوسط و

normalhistogram[meanrandomsample,40]

Graphics

یالحظ من الرسم السابق تقریبا یتطابق التوزیع التجریبى للمتوسط مع التوزیع االحتمالى الطبیعى.ریة السابقة ظالن ناوضحنكون قد وبالتالى .

:فیما یلى خطوات ایجاد التوزیع العینى التجریبى لتباین العینة variancerandomsample=Map[Variance,randomsample]; Take[variancerandomsample,5]

80 90 100 110 120 130

0.01

0.02

0.03

0.04

80 90 100 110 120 130

0.01

0.02

0.03

0.04

٤٦١

{91.3596,283.699,17.0321,313.823,100.671} min=Min[variancerandomsample] 0.0387583 max=Max[variancerandomsample] 2126.48 Mean[variancerandomsample] StandardDeviation[variancerandomsample] Variance[variancerandomsample] 255.392 251.167 63084.8

تباینات العینات ممثلة بیانیا باستخدام المدرج التكرارى النسبى scaledhistogram[variancerandomsample,40]

Graphics <<Graphics`Graphics` <<Statistics`DataManipulation` pdfapprox[data_,plotpoints_:100,opts___]:=Module[{min,max,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(plotpoints-1); counts=BinCounts[data,{min-stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]]},{i,1,plotpoints}]; ListPlot[tograph,PlotJoined->True,PlotRange->All,opts] ]

:تفید المحاكاة فى فهم النظریة التالیة

500 1000 1500 2000

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

٤٦٢

ویتطلب االمر فى كثیر من الحاالت یكون التوزیع االصلى للمجتمع االصلى غیر طبیعى للمجتمعات الكبیرة او . على التوالى 2X,S عینةالوتباین للمتوسط لىمعرفة التوزیع االحتما

:تنص النظریة التالیة على سواء كانت متصلة او متقطعة الالنهائیة :نظریة النزعة المركزیة بمتوسط النهائىمن مجتمع كبیر او nاذا اختیرت كل العینات الممكنة من الحجم

تقریبا یتبع توزیع طبیعا بمتوسط Xفان التوزیع العینى لالحصاء 2وتباین

nعندما وانحراف معیاري .

التقریـــب .كبیـــرة بدرجـــة كافیـــة nفـــى التطبیـــق تســـتخدم نظریـــة النزعـــة المركزیـــة عنـــدما : ملحوظـــة nالطبیعــى ســوف یكــون جیــدا اذا كانــت 30 بصــرف النظــر عــن شــكل التوزیــع االصــلى الــذى

nاذا كانــت . اختیــرت منــه العینــات 30 التقریــب یكـــون جیــد فقــط اذا كــان المجتمــع ال یختلـــف .كثیرا عن التوزیع الطبیعى

ســوف نســهل فهــم هــذه . تعتبــر هــذه النظریــة مــن اهــم النظریــات فــى مجــال االســتدالل االحصــائىــــــــــة ــــــــــباســــــــــتخدام بر النظری ــــــــــامجین الجــــــــــاهزین ن ــــــــــالى وســــــــــوف نحمــــــــــل البرن امج الماثیماتیكــــــــــا الت

scaleHistogram و normalHistogram االمثلة التالیةوباستخدام .

)٦٢ -٨( مثال

من مجتمع یتبـع التوزیـع المنـتطم ثمانیةواربعة و اثنینعینة من الحجم 10000تولید ب سوف نقوم تمثیـــل متوســـطات العینـــات بیانیـــا باســـتخدام العینـــات فــى نســـتخدم تلـــك ثـــم (95,105)فــى الفتـــرة

ومقارنــة هــذا المــدرج مــع منحنــى التوزیــع ) الــذي یعتبــر التوزیــع العینــى التجریبــى (المـدرج التكــرارى . محسوب من متوسطات العینات تباین والطبیعى بمتوسط

الحل : :normalHistogram الجاهز بعد تحمیل البرنامج التالى سوف نستخدم البرنامج

<<Statistics`ContinuousDistributions` <<Statistics`DataManipulation` dist=UniformDistribution[95,105]; sample1=RandomArray[dist,{10000,2}]; Take[sample1,3] {{102.725,101.689},{103.266,104.99},{103.905,104.456}}

X

X n

٤٦٣

mean1=Map[Mean,sample1]; Mean[mean1] StandardDeviation[mean1] Variance[mean1] 100.031 2.05377 4.21795 g1=normalhistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity]; sample2=RandomArray[dist,{10000,4}]; mean2=Map[Mean,sample2]; g2=normalhistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity]; sample3=RandomArray[dist,{10000,8}]; mean3=Map[Mean,sample3]; g3=normalhistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{g1,g2,g3}]]

GraphicsArray

یالحظ هنا ان متوسط التوزیع العینى التجریبى للعینة من الحجم اثنین والمحسوب من البرنامج

الذى تم تولید البیانات منه والذى له المنتظموهو قریب من متوسط التوزیع هو 100.031

105 95 1002

المتوسط

:ھو للتوزیع العینى التجریبى والمحسوب من البرنامج التباینكما ان

22 (105 95) 8.333

12

حیث 2

n 4.21795 وهو قریب من

.

28.333

2 4.1665n

تباین التوزیع المنتظم الذى تم تولید البیانات منه و

2

یتضح من الرسوم السابقة ان التوزیع التجریبى لمتوسط العینة یقترب من التوزیع الطبیعى اكم.ریة السابقة ظالن وهذا یوضحكلما زادت حجم العینة

)٧٢ -٨( مثال

96 98 100102104106

0.05

0.1

0.15

0.2

98 100 102 104

0.050.10.150.20.25

98 99100101102103

0.1

0.2

0.3

0.4

٤٦٤

مـن مجتمـع یتبـع توزیـع مربـع 5,10,25,35 عشـوائیة مـن الحجـم عینـة 2000تولیـد سوف نقوم بتمثیـل متوسـطات العینـات فـى نسـتخدم تلـك ثـم )بمعلمـة واحـد صـحیح ( 2وتبـاین 1بمتوسـط كـاى

ومقارنــة هــذا ) الــذي یعتبــر التوزیــع العینــى التجریبــى (العینــات بیانیــا باســتخدام المــدرج التكــرارى . محسوب من متوسطات العینات تباین والمدرج مع منحنى التوزیع الطبیعى بمتوسط

الحل : :البرنامج التالى سوف نستخدم

<<Statistics`ContinuousDistributions` <<Statistics`DataManipulation` dist=ChiSquareDistribution[1];

بمعلمة تساوى التالىدالة كثافة االحتمال لتوزیع مربع كاى ممثلة بیانیا فى الشكل

. واحد صحیح Plot[PDF[dist,x],{x,0,2},PlotRange->{0,2},AspectRatio->1]

Graphics sample1=RandomArray[dist,{2000,5}]; Take[sample1,3] {{1.33814,0.143846,1.53564,0.15573,0.0660311},{0.754176,0.0473923,0.106248,0.0108476,0.412087},{0.38653,2.05138,0.0587793,0.03298,3.0722}} mean1=Map[Mean,sample1]; Mean[mean1] StandardDeviation[mean1] Variance[mean1]

0.5 1 1.5 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

٤٦٥

1.01425 0.640086 0.40971 g1=normalhistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity]; sample2=RandomArray[dist,{2000,10}]; mean2=Map[Mean,sample2]; g2=normalhistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity]; sample3=RandomArray[dist,{2000,25}]; mean3=Map[Mean,sample3]; g3=normalhistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity]; sample4=RandomArray[dist,{2000,35}]; mean4=Map[Mean,sample4]; g4=normalhistogram[mean4,50,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{g1,g2},{g3,g4}}]]

GraphicsArray یالحظ هنا ان متوسط التوزیع العینى التجریبى للعینة من الحجم خمسة والمحسوب من البرنامج

1.01425 وهو قریب من متوسط توزیع مربع كاى الذى تم تولید البیانات منه والذى له هو

ھو كما ان التباین للتوزیع العینى التجریبى والمحسوب من البرنامج .المتوسط واحد صحیح

22 22 2(1) 2, 0.4

n 5

حیث 2

n 0.40971 وهو قریب من

. تباین توزیع مربع كاى الذى تم تولید البیانات منه

2 و

0.5 1.5 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

0.5 0.75 1.25 1.5 1.75 2

0.250.5

0.751

1.251.51.75

-1 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

٤٦٦

التوزیع االحتمالى الطبیعى من یقترب التوزیع التجریبى للمتوسط ان السابقیالحظ من الرسم هذه ناوضحنكون قد وبالتالى . النزعة المركزیة ةكلما زادت حجم العینة والذى یثبت لنا نظری

.ریة ظالن

)٨٢ -٨( مثال

,30,25,10 5عینـــة مـــن مجتمـــع یتبـــع التوزیـــع االســـى مـــن الحجـــم 2000تولیـــد ســـوف نقـــوم تمثیـــل متوســـطات العینـــات بیانیـــا باســـتخدام المـــدرج العینـــات فـــى نســـتخدم تلـــك بمعلمـــة اثنـــین ثـــم

ومقارنـة هـذا المـدرج مـع منحنـى التوزیـع الطبیعـى ) الذي یعتبر التوزیع العینى التجریبـى (التكرارى . محسوب من متوسطات العینات تباین وبمتوسط

الحل : :البرنامج التالى سوف نستخدم

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/2]; Plot[PDF[dist,x],{x,0,8}]

Graphics sample1=RandomArray[dist,{2000,5}]; sample2=RandomArray[dist,{2000,10}]; sample3=RandomArray[dist,{2000,25}]; sample4=RandomArray[dist,{2000,30}]; mean1=Map[Mean,sample1]; mean2=Map[Mean,sample2]; mean3=Map[Mean,sample3]; mean4=Map[Mean,sample4]; g1=normalHistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity]; g2=normalHistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity]; g3=normalHistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity];

2 4 6 8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٤٦٧

g4=normalHistogram[mean4,50,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{g1,g2},{g3,g4}}]]

GraphicsArray

الحظ من الرسم السابق ان التوزیع التجریبى للمتوسط یقترب من التوزیع االحتمالى الطبیعى كلما زادت حجم العینة والذى یثبت لنا نظریة النزعة المركزیة

القانون الضعیف لالعداد الكبیرة ) ٥-٨( E(X) اذا كان یمثـل متوسـط التوزیـع لمتغیـر عشـوائى المشـكلة تقـدیر. مـن المعـروف

مشـكلة فاننـا نالحـظ اىفـى . Xهو المتوسط لعدد النهائى من قیم المتغیر العشـوائى E(X)ان السـؤال االن هـل هـذا العـدد و ) nعینـة عشـوائیة مـن الحجـم (عدد محدود من قیم المتغیر العشـوائى

ذلــــك بمــــا یســــمى بالقــــانون و ابــــة نعــــم ، واالجE(X)تكفــــى لالســــتدالل عــــن Xالمحــــدود مــــن قــــیم یـنص هــذا القـانون علــى انــه اذا . weak law of large numberالضـعیف لالعــداد الكبیـرة

E(X)حیـث ( f(x)او اكبر وذلك بدالـة كثافـة احتمـال nاختیرت عینة عشوائیة من الحجم

Xان متوسط العینة ) حسب الرغبة (فیمكننا جعل االحتمال یقترب من واحد ،) بصورة اوضح فان القانون الضعیف لالعداد الكبیرة.بمقدار اختیارى صغیر جدا ینحرف عن

,ن اختیــــاریین عــــددیى ال nانــــه یوجــــد عــــدد صــــحیح ىیــــنص علــــ 0حیــــث 1, 0 واذا كــان متوســـط f(x)او اكبــر مــن دالـــة كثافــة احتمــال nوبحیــث اذا اختیــرت عینــة مـــن الحجــم

1یــتم حسـابه ، فــان االحتمـال ســوف یكـون اكبــر مـن nXالعینـة هـو ) ان ) یقتــرب مـن واحــدnX ینحــرف عــن

بقیمــة اقـــل مــن ) وبالمثـــل یقتــرب مـــن.( ویمكــن التعبیـــر عــن القـــانون

:الضعیف لالعداد الكبیرة كالتالى ,عــــددین اختیــــاریین الى 0حیـــــث 1, 0 یوجــــد عــــدد صـــــحیحn بحیــــث انــــه لكـــــل

mاالعداد الصحیحة n فان: mP(| X | ) 1

1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.20.40.60.81

1.2

1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.20.40.60.81

1.2

0 1 2 3 4 5 6

0.10.20.30.40.50.6

0 1 2 3 4

0.10.20.30.40.50.60.7

٤٦٨

)القانون الضعیف لالعداد الكبیرة(:نظریة ــة كثافــة االحتمــال بمتوســط f(x)اذا كانــت nXواذا كــان 2وتبــاین منتهــى دال

ـــة العشـــوائیة مـــن الحجـــم ـــیكن f(x) مـــن nمتوســـط العین ,ول عـــددین بحیـــث ان0 1, 0 . اذا كانn اى عدد صحیح اكبر من

2

2

:فان

nP( X ) 1 اىnP(| X | ) 1 . )٢٩ -٨( مثال

مـــا حجـــم العینـــة االزم .بفـــرض ان توزیـــع لـــه متوســـط غیـــر معلـــوم وتبـــاین یســـاوى الواحـــد الصـــحیح |)nPان الفرق المطلق 0.95اختیاره بحیث یكون لدینا على االقل احتمال قدره X | )

.0.5اقل من الحل

2 1, 0.05, 0.5 وعلى ذلك: 2

2 2

1n 800.05(0.5)

)٣٠ -٨( مثال |)nP مــا هــو حجــم العینــة الــالزم اختیــاره بحیــث یكــون الفــرق المطلــق X | ) 0.5اقــل

؟0.99 باحتمال قدره على االقل الحل

0.5 , 0.01 وعلى ذلك: 2 2

2 2 2n 4000.01(0.5)

فى فهم هـذه النظریـة مـن خـالل المثـال Sec5.1فى الجزء KnoxProbسوف نستفید من برنامج . التالى

)٣١ -٨( مثال مـن (0,1)مـن مجتمـع یتبـع التوزیـع المنـتظم فـى الفتـرة عشـوائیة عینة 100سوف نقوم بتولید

مــن المعــروف ان متوســط .ثــم ایجــاد المتوســط لكــل عینــة فــى كــل حالــة 100,200,300الحجــم 04.و سوف نختار 1/2 یساوى (0,1)التوزیع المنتظم فى الفترة .

٤٦٩

التوزیع العینى التجریبى للمتوسط عند احجام مختلفة من لتمثیل سوف نستخدم البرنامج التالى :العینات

Needs["KnoxProb`Utilities`"] SimulateSampleMeans[nummeans_,distribution_,sampsize_]:=Table[Mean[RandomArray[distribution,{sampsize}]],{nummeans}] SeedRandom[18732] list1=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],100]; list2=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],200]; list3=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],300]; Histogram[list1,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list2,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list3,6,Endpoints{.38,.62}];

0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٤٧٠

اى من 54.الى 46.یالحظ ان العمودین االوسطین فى كل مدرج ینحصران من الى

) 04.حیث ( متوسطات العینات خارج هذه الفترة تمثل بالطول الكلى نسبة حیثالى الصفر كلما زادت یالحظ ان هذه النسبة تؤول .للعمودین على االطراف فى كل مدرج

،حجم العینة وهذا ما یفسر القانون الضعیف لالعداد الكبیرة :نحصل على التالى 500,800,1000باعادة البرنامج مع جعل حجوم العینات

Needs["KnoxProb`Utilities`"] SimulateSampleMeans[nummeans_,distribution_,sampsize_]:=Table[Mean[RandomArray[distribution,{sampsize}]],{nummeans}] SeedRandom[18732] list1=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],500]; list2=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],800]; list3=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],1000]; Histogram[list1,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list2,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list3,6,Endpoints{.38,.62}];

0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٤٧١

خارج الفترة من اى 54.الى 46.الفترة من خارج العینات متوسطات نسبةیالحظ ان

الى ) حیث( .04 500,800,1000جم حالى الصفر لعینات من التؤؤل. لالعداد الكبیرة ةقانون القو ) ٦-٨( .یطبق هذا القانون على اى متتابعة من المتغیرات العشوائیة المستقلة والتى لها نفس التوزیع

1فعلـى سـبیل المثـال اذا كـان 2 nX ,X ,...,X بحیـث ان كـل متتابعـةiX لهـا المتوسـط والتبـاین2 واذا كــان

n

ii 1

1X Xn

تمثــل متوســط العینــة ، فــان االحتمــال انX تقتــرب مــن یــؤول

ایضــــــــــا االحتمــــــــــال ان تبــــــــــاین العینــــــــــة .تكــــــــــون كبیــــــــــرة nالــــــــــى الواحــــــــــد الصــــــــــحیح عنــــــــــدما n

2i

i 1

1S (X X)n

2یقترب من یؤول الى الواحد الصحیح عندماn تكون كبیرة.

فــى فهــم هـــذه النظریــة الســابقة مـــن Sec5.1فــى الجـــزء KnoxProbســوف نســتفید مـــن برنــامج . خالل المثال التالى

)٢٣ -٨( مثال

0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٤٧٢

ثـم تعـدیل المتوسـط 2,3عینـة مـن مجتمـع یتبـع توزیـع جامـا بمعلمتـین 2000سوف نقوم بتولیـد رقـم المالحظـة یحسـب المتوسـط وعنـد تولیـد ةالعاشـر المالحظـةبعد عشـرة مالحظـات اى انـه عنـد

.المالحظـات فیحسـب المتوسـط لجمیـع 2000المالحظـةیحسب المتوسط حتى الوصول الى 20 6=2.3من المعروف ان متوسط توزیع جاما هو

:البرنامج التالى یقوم بعمل المطلوب

SeedRandom[44937]; SimMeanSequence[GammaDistribution[2,3],2000,10];

.وهو متوسط التوزیع 6 نالحظ من الرسم ان المتتابعة من المتوسطات تؤول الى

)٣٣ -٨( مثال والدة فــى 200والثانیــة ســعة الیــوم والدة فــى 20ة االولــى ســعة دبفــرض ان لــدینا مستشــفیتین للــوال

اكثـر حـوالى والدةبفرض انه فى عام ، تم حساب عدد االیام والتى كل مستشـفى یـتم فیهـا .الیوم السؤال االن ما هى المستشفى التى نتوقع ان تكون اكثر فـى عـدد .ذكور من الموالید %60من

. االیام ؟ وذلك تحت الفرض ان احتمال والدة طفل ذكر تساوى احتمال والدة انثى

الحل :

50 100 150 200

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

٤٧٣

االجابة على هذا السؤال تقع فى النظریة السابقة والتى تنص على ان االحتمال مرتفع فى كل وعلى ذلك . %50الذكور فى كل یوم والدة یقترب من نسبةیوم والدة فى المستشفى الكبرى ان

یتم فیها سوف نتوقع فى المستشفى الصغرى ان عدد االیام اكثر من المستشفى الكبرى والتى .سوف نقوم بعمل محاكاة للتحقق من تلك االجابة .من الموالید ذكور %60اكثر من ة والد

لحساب نسبة االطفال الذكور . تمثل والدة انثى 0تمثل والدة طفل ذكر و 1بفرض ان :المولودون فى قائمة من المولودون فى یوم ما نستخدم البرنامج التالى

f[x_]:=Module[{sum}, sum=Apply[Plus,x]; boys=sum/Length[x]//N]

الحزمة بفرض ان .ر 1/2 ذكر ویمكن اختیار توزیع برنولى كنموزج لمحاكاة والدة طفل باحتمالDiscreteDistributions

.طفل كل یوم لمدة عام فى المستشفى الصغرى رون سوف نعمل محاكاه لوالدة عش. تم تحمیلها .Shortباالمر smallوسوف نعمل اختصار للنواتج فى smallالنتیجة فى القائمة المسماه

%60لحساب عدد االیام التى عدد الذكور اكثر من

وبعد تحمیل الحزمة smallفى القائمة fلجمع Mapسوف نستخدم DataManipulation نستخدمBinCounts من االیام تكون نسبة 57والتى تخبرنا ان

الخطوات السابقة سوف نتبعها فى المستشفى الكبرى . %60والدة الذكور اكثر من . %60والتى تخبرنا بعدم وجود ایام تكون فیها تكون نسبة والدة الذكور اكثر من

<<Statistics`DiscreteDistributions` Let 0 represent the birth of a boy and 1 represent the birth of a girl. Clear[f,x] f[x_]:=Module[{sum}, sum=Apply[Plus,x]; boys=sum/Length[x]//N] small=RandomArray[BernoulliDistribution[0.5],{365,20}]; Short[small,5] {{0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0},{1,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1},361,{1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,0},{1,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,0}} smallboys=Map[f,small]; <<Statistics`DataManipulation` BinCounts[smallboys,{0,1,.1}] {0,1,16,64,123,104,45,12,0,0} BinCounts[smallboys,{.6,1,.4}] {57} large=RandomArray[BernoulliDistribution[0.5],{365,200}]; largeboys=Map[f,large]; BinCounts[largeboys,{0,1,.1}] {0,0,0,2,187,176,0,0,0,0}

٤٧٤

BinCounts[largeboys,{.6,1,.4}] {0}

من االیام 48 برنامج اخر اسهل یمكن استخدامه وقد وجد ان هناك تكون نسبة والدة الذكور اكثر من %60 للمستشفى الصغرى

. 60% بعدم وجود ایام تكون فیها نسبة والدة الذكور اكثر منو n=20; p=0.5; q=0.5; smallboys=RandomArray[BinomialDistribution[n,p],365]/n//N; BinCounts[smallboys,{0,1,.1}] {0,3,17,89,110,98,41,7,0,0} BinCounts[smallboys,{.6,1,.4}] {48} n=200; p=0.5; q=0.5; largeboys=RandomArray[BinomialDistribution[n,p],365]/n//N; BinCounts[largeboys,{0,1,.1}] {0,0,0,0,188,177,0,0,0,0} BinCounts[largeboys,{.6,1,.4}] {0}

(Monte Carlo Methods)المحاكاة فى حل المشاكل ) ٧-٨(االســلوب المســتخدم هــو .المشــاكل التــى تحــل باســتخدام المحاكــاه تســمى محاكــاه مونــت كــارلو

فعلـى سـبیل المثـال عنـد دراسـة االوزان او االطـوال . تولید بیانـات تـرتبط بتوزیعـات احتمالیـة تمثلهـا . ســتخدم التوزیــع االســـى او توزیــع وایبـــل قــد یســتخدم التوزیـــع الطبیعــى وفــى اختبـــارات الحیــاة قـــد ی

لالعــداد الكبیــرة والتــى تــنص علــى انــه كلمــا اجریــت ةتعتمــد محاكــاة مونــت كــارلو علــى قــانون القــو المحاكاة عدد اكبـر مـن المـرات كلمـا كـان االحتمـال كبیـر ان حـل المحاكـاة یكـون قریـب مـن القیمـة

.الحقیقیة

)٤٣ -٨( مثال

٤٧٥

النتـاج علـب دهـان لتقدیر نسبة علـب الـدهان البنیـة المنتجـة فـى شـحنة مشـتراه مـن انتـاج مصـنع

والن عـدد علـب . حسب عدد علب الدهان البنیة فـى العینـة تعلبة و 30 تاخذ عینة عشوائیة من الــدهان البنیـــة قــد تختلـــف مــن عینـــة الــى اخـــرى ولــذلك یكـــون االهتمــام بالحصـــول علــى الدقـــة فـــى التقـــدیر والتـــى یتحصـــل علیهـــا مـــن عینـــة واحـــدة وعلـــى االخـــتالف بـــین التقـــدیرات الممكنـــة مـــن

) ب(مــوزج لمحاكـاة الــوان العلـب فــى المصـنع الــذكور ایجـاد ن) ا.(العینـات االخــرى لـذلك المطلــوب اســتخدام المحاكــاة لتمییــز الدقــة لالختالفــات الممكنــة فــى قــوة التقــدیرات لنســبة العلــب البنیــة وذلــك

.من كل شحنة 30باالعتماد على عینة من الحجم

الحل :

%10و orangeلونهم برتقالى %10فان لعلب الدهان تبعا لفروض المصنع المنتج ) ا(لونهم %20و brownلونهم بنى %30و blueلونهم ازرق %10و greenلونهم اخضر

لمحاكاة تلك النسب سوف نقسم الفترة من صفر . redلونهم احمر %20و yellowاصفر، ثم نستخدم الدالة mالى واحد صحیح الى فترات متناسبة مع نسب العلب ونعرف الدالة

Random[ ] والتى تولد لنا قیمة من صفر الى واحد ونستخدمTable تحت المسمىbag1 .وبالتالى نحصل على قائمة من االلوان لثالثون علبة اختیرت عشوائیا

m[x_]:=o /; 0<x<=.1; m[x_]:=g /; .1<x<=.2; m[x_]:=bl /; .2<x<=.3; m[x_]:=br /;.3<x<=.6; m[x_]:=y /;.6<x<=.8; m[x_]:=r/; .8<x<=1; bag1=Table[m[Random[]],{30}] {bl,g,br,y,br,y,r,y,o,r,r,br,bl,y,o,g,br,br,y,br,br,bl,r,r,br,g,y,g,o,br}

.التوزیع التكرارى لاللوان یتم الحصول على countable الدالةباستخدام نحصل على رسم لالعمدة حیث كل عمود یمثل عدد Graphics بعد تحمیل

.العینة العلب فى <<Statistics`DataManipulation` Clear[countTable] countTable[datalist_,opts___]:=Module[{column1,column2,gooddata},column1=Column[Frequencies[datalist],2];column2=Column[Frequencies[datalist],1];gooddata=Transpose[{column1,column2}];

٤٧٦

TableForm[gooddata,opts]] countTable[bag1]

<<Graphics`Graphics` freq1=Frequencies[bag1]; BarChart[freq1,BarStyle->{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[.6,.4,.2]},{RGBColor[0,1,0]},{RGBColor[.9,.2,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,1,0]}}]

Graphics

brpercent )الدالةسوف ) ب m وذلك لمحاكاة عینة عشوائیة من شحنة المصنع باستخدام الدالة

100 العینات التى عددهم فى كل عینة منثم حساب نسبة علب الدهان البنیة .brownsimulation1 ویتم تخزینهم فى

.Take اول نتائج یمكن اظهارها باستخدام . كل واحدة من 100 قیمة تمثل تقدیر للقیمة الحقیقیة 0.3

. نسبة علب الدهان البنیة المنتجة فى المصنع اى Clear[brpercent] brpercent[n_]:=Module[{bag}, bag=Table[m[Random[]],{n}]; Count[bag,br]/n//N ] brownsimulation1=Table[brpercent[30],{100}] {0.333333,0.266667,0.3,0.266667,0.5,0.3,0.4,0.366667,0.366667,0.333333,0.2,0.466667,0.2,0.266667,0.266667,0.333333

bl 3br 9g 4o 3r 5y 6

bl br g o r y

2

4

6

8

٤٧٧

,0.266667,0.333333,0.266667,0.4,0.3,0.2,0.4,0.266667,0.3,0.2,0.3,0.433333,0.433333,0.266667,0.233333,0.233333,0.2,0.233333,0.266667,0.266667,0.166667,0.433333,0.233333,0.466667,0.3,0.3,0.233333,0.4,0.166667,0.233333,0.433333,0.266667,0.266667,0.2,0.233333,0.2,0.466667,0.3,0.433333,0.3,0.233333,0.2,0.233333,0.333333,0.366667,0.266667,0.133333,0.166667,0.233333,0.166667,0.266667,0.433333,0.3,0.233333,0.166667,0.333333,0.333333,0.166667,0.233333,0.2,0.2,0.4,0.3,0.366667,0.433333,0.366667,0.3,0.333333,0.2,0.3,0.5,0.433333,0.3,0.333333,0.233333,0.3,0.266667,0.433333,0.3,0.0666667,0.333333,0.333333,0.333333,0.366667} Take[brownsimulation1,5] {0.333333,0.266667,0.3,0.266667,0.5}

.والذى سبق تناوله یمكن عرض مدرج لمئة تقدیر normalHistogram باستخدام برنامج .0.3 قیمة الحقیقیة لا تتجه نحو اى المركز نحو ان المئة تقدیر تتجه ومما یجدر االشارة الیه

بانحراف معیارى 0.0891008. 0.297333 المتوسط الحقیقى للمئة تقدیر هو

Graphics Mean[brownsimulation1] StandardDeviation[brownsimulation1] 0.297333 0.0891008

واحد معیارى داخل انحراف باستخدام الدالة Select و Length فاننا نقدر ان 62% n=30 فان 62% p نسبة الدھان البنى فى عینة من الحجم بفرض ان اى انھ (0.09 اى حوالى )

یقعوا فى الفترة منھم (0.389, 0.211)وهذه الفترة تحتوى على النسبة الحقیقیة

وهى 0.3.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1

2

3

4

5

٤٧٨

(1 ) 0.3(0.7)p 0.3n 30

الرقم 389.فى االمر التالى یمثل

(1 ) 0.3(0.7)p 0.3n 30

التالى یمثلفى االمر الرقم و 211.

onesigma1=Select[brownsimulation1,And[#<.389,#>.211]&]; Length[onesigma1]/100//N 0.62

18.) النتیجة 97%. اى حوالى باستخدام انحرافین معیارین (

(1 ) 0.3(0.7)p 2 0.3 2n 30

الرقم 0.478 فى االمر التالى یمثل

(1 ) 0.3(0.7)p 2 0.3 2n 30

فى االمر التالى یمثل الرقم و 0.122

twosigma1=Select[brownsimulation1,And[#<.478,#>.122]&]; Length[twosigma1]/100//N 0.97

وتكرار الخطوات السابقة نحصل على نتائج الى 75 30 بزیادة حجم العینة من .افضل

brownsimulation2=Table[brpercent[75],{100}] {0.32,0.32,0.293333,0.213333,0.32,0.373333,0.213333,0.186667,0.253333,0.28,0.293333,0.28,0.4,0.28,0.226667,0.2,0.28,0.306667,0.306667,0.293333,0.373333,0.226667,0.386667,0.253333,0.146667,0.28,0.333333,0.333333,0.213333,0.306667,0.253333,0.293333,0.293333,0.4,0.173333,0.32,0.386667,0.253333,0.32,0.373333,0.28,0.266667,0.226667,0.4,0.306667,0.306667,0.293333,0.306667,0.32,0.24,0.28,0.293333,0.28,0.266667,0.373333,0.293333,0.346667,0.266667,0.24,0.4,0.266667,0.32,0.36,0.293333,0.346667,0.32,0.24,0.253333,0.333333,0.28,0.2,0.306667,0.306667,0.386667,0.346667,0.333333,0.32,0.346667,0.306667,0.333333,0.346667,0.36,0.373333,0.32,0.346667,0.333333,0.28,0.24,0.306667,0.173333,0.213333,0.2,0.293333,0.373333,0.32,0.293333,0.293333,0.293333,0.32,0.32} Take[brownsimulation2,5] {0.32,0.32,0.293333,0.213333,0.32} normalHistogram[brownsimulation2]

٤٧٩

Graphics Mean[brownsimulation2] StandardDeviation[brownsimulation2] 0.297467 0.0555659 onesigma2=Select[brownsimulation2,And[#<.356,#>.244]&]; Length[onesigma2]/100//N 0.67 twosigma2=Select[brownsimulation2,And[#<.411,#>.189]&]; Length[twosigma2]/100//N 0.96

)٥٣ -٨( مثال سـوف نشـاهد التغیـر فـى 10000 ثـم الـى 100الـى 30فى المثال السابق بزیادة حجم العینة مـن

مـن خــالل البرنـامج التــالى ونجـد ان نســبة العلـب البنیــة تقتـرب مــن المـدرج التكـرارى الممثــل بیانیـا . 0.3نسبة العلب المفترضة فى المصنع وهى

الحل :

<<Statistics`DataManipulation` <<Statistics`ContinuousDistributions` m[x_]:=o /; 0<x<=.1; m[x_]:=g /; .1<x<=.2; m[x_]:=bl /; .2<x<=.3; m[x_]:=br /;.3<x<=.6; m[x_]:=y /;.6<x<=.8; m[x_]:=r/; .8<x<=1; bag1=Table[m[Random[]],{100}] {br,bl,o,r,br,y,r,g,r,y,br,r,r,r,y,o,r,bl,o,y,bl,r,y,o,r,br,y,g,br,r,y,o,br,br,g,o,br,br,br,o,y,o,br,br,br,bl,r,br,br,y,bl,g,r,y,br,g,br,br,br,o,r,o,r,o,g,o,br,y,y,y,br,bl

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

2

4

6

8

٤٨٠

,br,o,br,o,br,br,r,r,r,r,br,r,o,r,br,r,r,r,g,bl,g,g,y,r,y,o,bl,r} freq1=Frequencies[bag1] {{8,bl},{27,br},{9,g},{16,o},{25,r},{15,y}} <<Graphics`Graphics` BarChart[freq1,BarStyle->{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[.8,.4,0]},{RGBColor[0,1,0]},{RGBColor[.9,.4,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,1,0]}}]

Graphics percents[list_]:=Module[{step1}, step1=Frequencies[list]; Map[{#[[1]]/Length[list]//N,#[[2]]}&,step1] ] percents[bag1] {{0.08,bl},{0.27,br},{0.09,g},{0.16,o},{0.25,r},{0.15,y}} bag2=Table[m[Random[]],{10000}]; freq2=Frequencies[bag2] {{953,bl},{2975,br},{999,g},{1012,o},{2058,r},{2003,y}} BarChart[freq2]

Graphics

bl br g o r y

5

10

15

20

25

bl br g o r y

500

1000

1500

2000

2500

3000

٤٨١

)٦٣ -٨( مثال وحجـــم 60ســـوف نقـــوم بعمـــل مقارنـــة بـــین النتـــائج عنـــدما حجـــم العینـــة ) ٣٤-٨(كتكملـــة المثـــال

. عینة فى كل حالة 100تم تولید قد و 200العینة

الحل : وباتباع نفس الخطوات نحصل على التالى )٣٤- ٨(مثال المستخدم برنامجالسوف نستخدم نفس

: percents[bag2] {{0.0953,bl},{0.2975,br},{0.0999,g},{0.1012,o},{0.2058,r},{0.2003,y}} m[x_]:=o /; 0<x<=.1; m[x_]:=g /; .1<x<=.2; m[x_]:=bl /; .2<x<=.3; m[x_]:=br /;.3<x<=.6; m[x_]:=y /;.6<x<=.8; m[x_]:=r/; .8<x<=1; bag3=Table[m[Random[]],{60}] {y,br,y,o,r,r,y,r,br,br,g,br,br,bl,g,bl,bl,r,r,br,g,o,g,r,br,br,br,r,y,br,r,r,bl,bl,y,br,r,o,br,g,y,o,y,y,br,o,br,y,o,y,o,y,br,o,bl,r,bl,y,br,br} Count[bag3,br] 17 Count[bag3,br]/60//N 0.283333 Clear[brpercent] brpercent[n_]:=Module[{bag}, bag=Table[m[Random[]],{n}]; Count[bag,br]/n//N ] brpercent[60] 0.283333

والمحسوبة من عینة المخرج السابق ان نسبة العلب البنیة تقترب من مننالحظ 0.3 . من الحجم 60

n=60 عینة من الحجم 100 القائمة التالیة تمثل نسب العلب البنیة فى brownsimulation=Table[brpercent[60],{100}] {0.283333,0.333333,0.416667,0.233333,0.366667,0.316667,0.35,0.283333,0.3,0.25,0.283333,0.216667,0.3,0.333333,0.333333,0.25,0.25,0.4,0.25,0.3,0.233333,0.316667,0.35,0.25,0.

٤٨٢

35,0.316667,0.25,0.233333,0.333333,0.233333,0.383333,0.35,0.333333,0.333333,0.283333,0.366667,0.3,0.4,0.2,0.283333,0.316667,0.3,0.316667,0.333333,0.233333,0.2,0.316667,0.416667,0.3,0.383333,0.25,0.183333,0.433333,0.4,0.25,0.216667,0.45,0.35,0.366667,0.266667,0.416667,0.333333,0.266667,0.3,0.3,0.25,0.333333,0.283333,0.3,0.183333,0.316667,0.316667,0.283333,0.316667,0.333333,0.316667,0.35,0.25,0.283333,0.2,0.233333,0.233333,0.233333,0.383333,0.333333,0.35,0.383333,0.35,0.233333,0.183333,0.3,0.316667,0.316667,0.35,0.233333,0.366667,0.283333,0.283333,0.133333,0.233333} <<Graphics`Graphics` scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{min-stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsize},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,opts] ] graph1=scaledhistogram[brownsimulation]

: n=60 عینة من الحجم 100 نسب العلب البنیة فىلالتمثیل البیانى موضح فیما یلى :

ل Graphics

بانحراف معیارى 0.0624428. 0.301 المتوسط للمئة تقدیر هو

0.15 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

1

2

3

4

5

6

٤٨٣

Mean[brownsimulation] Variance[brownsimulation] StandardDeviation[brownsimulation] 0.301 0.0038991 0.0624428 =0.3; n=60;

0.0591608 dist=NormalDistribution[,sd]; graph2=Plot[PDF[dist,x],{x,0,.6},DisplayFunction->Identity]; Show[graph1,graph2]

عینة من الحجم n=60 مع التمثیل البیانى التمثیل البیانى لنسب العلب البنیة فى 100 للتوزیع الطبیعى بمتوسط =0.3 وانحراف معیارى :

موضح فیما یلى :

Graphics

ان الشحنة تحتوى على االكثر االحتمال 0.2 فى محسوب المخرج :لالمر التالى

CDF[dist,.2] 0.0454845

sd 1 n

sd 1 n

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1

2

3

4

5

6

٤٨٤

ان الشحنة تحتوى على االكثر االحتمال 0.5 فى محسوب المخرج :لالمر التالى

CDF[dist,0.5] 0.999638

فى محسوب المخرج االقل ان الشحنة تحتوى على االحتمال 0.5 :لالمر التالى

1-CDF[dist,0.5]

n=200 عینة من الحجم 100 القائمة التالیة تمثل نسب العلب البنیة فى brownsimulation2=Table[brpercent[200],{100}] {0.365,0.28,0.255,0.37,0.305,0.28,0.245,0.305,0.305,0.24,0.3,0.28,0.27,0.3,0.265,0.31,0.25,0.32,0.315,0.29,0.295,0.26,0.295,0.315,0.325,0.335,0.275,0.295,0.305,0.305,0.325,0.3,0.33,0.29,0.34,0.29,0.3,0.335,0.275,0.31,0.32,0.29,0.25,0.265,0.36,0.275,0.32,0.235,0.335,0.285,0.3,0.3,0.24,0.29,0.325,0.305,0.32,0.3,0.355,0.32,0.285,0.345,0.315,0.3,0.3,0.3,0.265,0.32,0.305,0.31,0.305,0.3,0.245,0.285,0.305,0.31,0.285,0.325,0.335,0.33,0.325,0.33,0.285,0.34,0.32,0.27,0.255,0.28,0.31,0.335,0.29,0.335,0.275,0.24,0.275,0.315,0.295,0.275,0.31,0.24} graph3=scaledhistogram[brownsimulation2]

Graphics

0.0324037 dist=NormalDistribution[,sd]; graph4=Plot[PDF[dist,x],{x,0,.6},DisplayFunction->Identity]; Show[graph3,graph4]

0.24 0.26 0.28 0.32 0.34 0.36 0.38

2

4

6

8

10

12

14

n 200;

sd 1 n

٤٨٥

عینة من الحجم n=200 مع التمثیل البیانى التمثیل البیانى لنسب العلب البنیة فى 100 للتوزیع الطبیعى بمتوسط =0.3 وانحراف معیارى :

موضح فیما یلى :

Graphics

فیما یلى مقارنة بین التمثیل البیانى للتوزیع الطبیعى بمتوسط =0.3 وانحراف معیارى :

. n=200 , n=60 عندما Show[graph2,graph4,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All]

Graphics

sd 1 n

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

10

12

14

sd 1 n

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

10

12