53
000 001 011 010 100 110 111 101

Διακριτά Μαθηματικά

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Diakrita Mathimatika

Citation preview

Page 1: Διακριτά Μαθηματικά

�������������� �����������������

000 001

011010

100

110 111

101

����������! #"%$&�'$'(')*,+-�.���! / �10����2 ����'����������435)6 ��)47&85�9 :;0��<�9$=">�&0?;�! @A7CB?D*E���$' �"F)?B� &$'GH&IKJML�NMO ���.�5��7�P$

QSRUT%V�WYX�Z�[�\*],\�^;_�`'aCb!cb'd4cfehgjib�k.gj\�e&lm m m Z;n'`*`&oSprq;q�s?\�^�e4t&cfeugvb4iC`&nwgx^y\;z{g|l;e?q'}4b�[

Page 2: Διακριτά Μαθηματικά
Page 3: Διακριτά Μαθηματικά

������������� �����

������������� ���! #"%$&��')(*',+ -.0/2143�576 �&89�&:�;)<9=!>?��$���+?<9=!: 3 �&@9��+ -A2/2B @9�!C�(%@9= 3�5 >9=DC)@9+!;0=?<9=!:��E$&��')(*',+�: FGH/ "I�0�&@ 3 �!',+)J%KL� 6 �EM%@9= 3 ��<N��OQPR� 3 �&OTSVUXW!YZY\[ �^]_R/2B @9`a<9Oa$&� bD�c��')M%>d� ; 3 ��'0�c� �&;,e&=�;,+Q;,�&: ���

������������� ��f� hgi�&;0� e 5 :��&@9C 5 :���$��&@dj 6�3 =!;0=!: �^k.0/2l @9C)+Q$��!�!����$����&;0�m��; 3 �&no�&>9��p9�&@^<^=!<�(%>q�E$�� ���a')M%> �^kA2/2l @9C)+Q$��!�!����$����&;0�m��; 3 �&no= 3 � rs�&>9��p9�&@N<9=a<t(%>o�E$�� ���!')M%> �^uGH/2B @9`a<9Oa$&� bD�c��')M%>d� ; 3 ��'0�c� �&;,e&=�;,+Q;,�&: f)�

������������� �vk) B @9��C�(%@9= 3�5 >9=v��$&�&@dj 6�3 =!;,= f!k.0/ bD�c� 3 ��@dj ;,�t� :we&���0;,O�>^89O���; 3 ��j 3 �x�E$&�&>^� 6 ��;,= f!kA2/2B �a��Oa(%>9O 3 � e���j�;,O�>N<9�E����;)< 5 : f�-GH/ KL`ybQ�c(%>^O 3 �ce&`Tzx�EM%@9= 3 � f!u_R/R{ O�>98^O��&;)<d� e 5 :w��$&�&8^�Njcp9�t� :X<t�&O!<t�a<9+a<�(%> f�F|2/2B @9`a<9Oa$&� bD�c��')M%>d� ; 3 ��'0�c� �&;,e&=�;,+Q;,�&: f!}

������������� �D~, #"I� ;,��')(*'0+v;)<9= 6 �E(%@djc�v'0@^�&��= 3 ��<�(%> k,�.0/2l $����D',@9�&�0+ 3 ��<t� k,�A2/2� ��@d� e����t�c8d� e��D',@9�&�0+ 3 ��<t� k�kGH/R� $&�a'0@^�&��+ 3 ��<t�Qe&����� ;,� 3 �&@9��jc� k�k_R/R{ O�>9�Ee&<9� e�`!<^=!<t�Qe&���0��$��&;)<9�&;,�t� :w$��&>^(�;,�x',@9�&�0+ 3 ��<t� k�u|2/ b 5 >^<9@9�ve��&�089�&;,= k�}�H/ P���>d� e���n!;0�t� :�<9=!: 5 >9>9���c�&:w<N��OQ',@9�&��+ 3 ��<N��: ~&f� /R� ���!',`&@d� 6�3 �&:X<t�&OD�����,���dW!Y�'��c� �E���&C,� ;)<t�v8 5 >^<9@^� $��&O?$��&@9��',�&O!>o;0�x',@9����+ 3 ��<t� 3 ���&�&@^= ~�k�H/R� ���!',`&@d� 6�3 �&:w��Y��d�&������Wa�7���0WaY�Y�'��c����n�@^�t;,=D��$��&;)<9�&;,�E(%>o$��&>^(�;0�x',@9����+ 3 ��<t� ~&-

������������� ��-� �bD� 3 ��@9+?'0@^�&��+ 3 ��<t��e����)<N�&�m@9�m��; 3 ��<t� ~�F.0/ bD� 3 ��@9+Q',@9�&�0+ 3 ��<t� ~�FA2/ KL���c@d�c�&; 3 ��<t�v;0�x8d� 3 ��@9+Q',@9�&�0+ 3 ��<t� ~��GH/2��5 '0� ;)<t�D<N�&�m@9�m��; 3 ��<t� -)�

Page 4: Διακριτά Μαθηματικά
Page 5: Διακριτά Μαθηματικά

��"�� l��Il�� � �

��� ��� ��

����������������� ��!#"�$&%�')(+*-,/.�$&%�!#����0 1�.1 3�576 �&8^�&:Q<9=!:32&465�78294;:=<?>6@6ACBEDF4HG8IJGK@6A�C)@9=!;0� 3 ��$&�&�m�tj <t���2'0�c��>^� ��$��&89�tjcp9�&O 3 �o$&@9�a<9��;0�t� :?������$���jc�t:?��p9�&@^<NM%>^<t���?L;)<9=!>v��$����&n!;,<^�t@^=�$���@dj $�<�(%;0=&L���$&` 3 �m�T��e 5 @9���c� 3 ��<t������=!<^+9L0=T��$���jc�T;,O�>^+ 6 (%:;LH�������T`!C,�2$��&>^<t��L2;,O 3 ���!��jNM9�E<N�&� 3 �<t��',@9� 3�3 �PO* { O 3 ���!��jNM9�&O 3 �o;,O�>9+ 6 (%: 3 �RQCSTO�U�<^=�> $&@9`a<t�&;,=��&Oa<9+) WV "%<^;��?L+QCSYX�Uo;,= 3 ��j >9�t��`a<d� =�$�@9`!<t�&;,=��tj >9�������= 6 +!:i'��c�ZO\[]X9L^QCS`_aU*`!<9�&�Nj >9�&�&����= 6 +�:i'0�c�bOc[d_;L�e� �� e� { e���$�`&: 3 �&:��tj >9���&>9�Q89�tjmp^�&O 3 ��<9=!>x����+ 6 �t�c�o<9=!:�QCSTO�UeL'0�c�ROgfhO/i�L)`�$��&OjO/i��tj >9��� 5 >^�&:w��e 5 @9��� �&:HL&;,O!>9+ 6 (%: 3 =Q�&@^>9=!<9� e�`&:HL��&@d� 6�3 `&:a %z 5 ���&O 3 � 3 �X���!���?��`a'0�m�Q>9�v89�tjcp9�&O 3 �<9=!>o����+ 6 �t�m�D<�(%>o$&@9�a<9��;0�E(%>

QCSTO i UeklQCSTO i�m _aU=knQCSTO iom)p U=krqEqrqrq1 3�5E6 �&89��:;L)����� $&`!>^L&<9=!:��E$&��')(*',+!:w'0�c� <^=�>o��$�`&89�t�cp9=?<^=�:�$�@9`!<t�&;,=!:

S �9[ '0�c��e�� 6 ��OgfhO/ijsRQCSTO�U=k;,O�>dj ;,<t��<t���);,<^=�>q��$�`&89�t�cp9=?<�(%>q�tp^+�:�8^n��v$&@^�!<^�&;0�E(%>�JSVf�[ QCSYO/iaUe����S k�[ '0�c�ve�� 6 ��O�ftO/iusCQCSTO�U�vwQCSYO m _FUeqP��m�T>9�89�tjcp9�&O 3 �o89=a�0 �`!<9��� ;,C)n��t��= $&@9`a<t�&;0=�'0�c��`!����:q<9� :o<d� 3�5 :o<N��OWO $&��O 6�5 ����O 3 �HL�89=!�, �'0�c�xO)fyO/i;LH89�tj C)>9�&O 3 �$&@NM*<N� `!<9�%� ;0C)n!�t��'0�m�POz[{O/i e���� �E$�j ;0=!:v89�tj C)>9�&O 3 �D`a<d�*�&>T� ;,C,n!�t��'0�c� 3 �c� <9� 3 +<t�&O�O <9`a<9��� ;,C)n��t��e&����'0�m��<9=!>�E$&` 3 ��>9=9L�89=a�0 R'0�m��<t��O m _! 1 SVf�[��!>9� 3 �8M9�E<t���o4r|=}~<�>6@ +W�/46�&<?>8@#DHB�|9��DH:lIo�K7Te��&� = S k�[q�!>9� 3 �8M9�E<t���oBED�4�G8IJG&<�>8��J@62&4� 1 Oa$&` 6 ��;,=QCSTO�Ui;,<t���E$&��')(*'0� e�`D�&+ 3 ���!>9� 3 �^M9�E<N�&�JBEDF4HG8IJG&<�>6@\�8D��F5;B���7�

�������-�������������� Z���~�X��89�t� C�<9�tj0`a<d�?L)'0�c��O�f _;LS ~&[ _ m)p�m��r�r�Fm O\[ _

p O�STO m _FUeq

" 8^M�=?�&@^C0� e�+o<d� 3 +?<9=!:�$&�&@9� 3�5 <9@9��OZO��tj >9���6O\[�_�L���$&`a<9���E� 5 ',C)�&O 3 �L$&@^M*<t�v��$;Va`!���D�&>o� ;0C)n!�N��=o$&@9`a<t�&;,=q'0�c�O\[�_� B @9�&�0�&>^M%:�<t� �&@d� ;,��@9` 3�5 ����:�� ;,�&n!<t��� 3 �Z_o��>^M~L,�&>^<d� e�� 6 � ;)<^M%>N<N��:;L&��� 5 $��&O 3 ��`!<9�0<t�yjc8d� �y� ;0C)n!�N�)e����)'��c�v<t�89��pdj +V l @9� � ;0C)n!�t�0=?���&;0�ce&+?$&��@dj $�<t(%;,=Qe��&�,$&@^��C�(%@9�&n 3 �w>9��89�tjcp9�&O 3 �w<t���E$&��')(*'0� e�`D�&+ 3 �0

1 �E$���')(*'�� e�+qOa$&` 6 ��;0=q�tj >^���)<NM%@9�v=TS ~�[wS 3 �w<^=�>�Oa$&` 6 ��;,=q$��&>^<t�D`a<d�6Ogfy_^[ e&���&$&@ 5 $&�t��C)@9=!;�� 3 ��$&��� M%>^<t�&:�<9=!>>9� 89�tjcp9�&O 3 ��<9=!>Qjc8d�c�v$&@9`a<t�&;,=D`�$&��O?<t�CO 5 C)�N�,�&>^<9�ce&��<t�&;,<t� 6 �tj 3 ��O m _�L�<^=�>?� ;,`!<^=!<t�v89=a���&89+SV-�[ _ m)p~m��r�E�Fm O m STO m _aU�[ _

p STO m _FU=SYO m)p U=qV �x3 (%:;L%C)@9=!;�� 3 ��$&��� M%>^<t�&:�<9=!>�S ~&[�S �&�����c@^M%>N<N��: <^=�>�S ~�[?��$�` <9=!>�SV-�[oe���<^� 3�5 ��=�[�= S�-![q�tj >9���%� ;,�&89n!>9� 3 = 3 �v<9=!>� ;,`!<^=!<t�

O m _�[ _p STO m _aUrSTO mhp U-� _

p O�STO m _FU$&��Oq��nae��a���q�E� 5 ',C)�&O 3 � 3 ����$�� 5 :i$&@^�&p9�t� :�`!<9�)� ;0C)n!�t�\ bQ�tjcp9� 3 �L����� $&`!>we��&��<N�Q��$���')(*'0�ce&`q��+ 3 �Q��$�`!<^�X=o�E$&��',(*'0� e�+��$�`&89�t�cp9=Q�tj >9���0$���+!@9=!:!

Page 6: Διακριτά Μαθηματικά

� ���������� ��

�����������J������� �! ��;�q"�j >9�&�X;,= 3 �&>^<9�ce&`�>9��<t�!>dj ;,�&O 3 � `!<9�L'0�c��>9� 3 $&�&@^�NjL>9� C)@9=!;0� 3 ��$&�&� = 6 �tj�= 3�576 �&8^�&: <^=�:�E$&��')(*',+!:w$&@ 5 $��t�)=q$&�&@^� 3 �E<9@^�&:w<^=�:X$&@9`a<t�&;0=!:qSYO ;,<t�D$�@9�&=a'0��n 3 �t>^�Q$&�&@^�&89�t� ' 3 ��[ ��$&��@9��j <^=!<t�Q>^�D$&��jc@9>9�t��<d� 3�5 :w;0�5 >9��;,n�>9�a���DSV;)<t��$&@9��=!',�&n 3 ��>9�x$��&@9�&8^�N� ' 3 ��+a<N��>L���d��O!;�� e���ja�&@d� 6�3 �&j [H$&�&OX>9� 3 $&�&@9�tja>9����p9�&>^<N��= 6 �Njd�&>Lp^��e�� >^+�;,�&O 3 ���$�`�<^=?���&;�� e�+q$&��@dj $�<�(%;,=Qe����)$&@9�!C�(%@9� 3 �we�� 6 ���0�&@9�ve���<^� 5 >9��

V "%<^;����FB 3 $&��@9�tj&>9�vC)@9=�;0� 3 ��$���� = 6 �tj�= 3�576 �&89�&:�<9=!:w�E$���')(*'0+!:�`!<t�&>w$� C2 �=q$��&@9� 3 ��<^@9�&: 3 $��&@9�tj�>9�Q$&��@9�t�)��$&���c��r89+a$&�a<9�X$&@9��' 3 ��<d� e�+q<d� 3 +)

l :�89�&n 3 ��L�'0�c� $��&@9�&89�t� ' 3 ��L&<9=!>o$&@9`a<t�&;0=QCS�� U�sD� $�@9��' 3 ��<9� e�`&:x��@d� 6�3 `&:����tj >9���0��e 5 @9��� �&:Fq

KL�xQCSYX�UL$�@9�&�0�&>^M%:q� ;,C,n!�t�0e����,<N�Tjc8d� �y� ;0C)n!�t�0e�����=v;,O�>^��$���')(*',+CQCS���U~v QCS�� m _FUeL089��>D� ;,C)n��t��` 3 (%:o=�$�@9`a<N��;0='0�c��`!����:�<d� : S $�@9��' 3 ��<d� e 5 :^[L<d� 3�5 :o<9=!:o$&�&@9� 3�5 <9@9��O���L2���!��� 3 `!>9��'0�c��`&;,�t:?�tj >^����Dn|�F�&< : ��Aw��$&`y<N� �&�&;0� e�`T��@d� 6�3 `X 3 �89�m��89��C,� e 5 :��&O!p9+!;0�t� :ye���<9� �;LL�tj >^����89=a�0 ����= 6 +!:T'0�c� <t�&O!:���O!;�� e���n�:�&@9� 6�3 �&n�:������� `�C,�I'0�c� `a���&O�:y<N��O�:$&@^��' 3 ��<9�ce&�&n�:a

! ��"������ �! ��;��bQ�tjcp^<9�w�E$&��')(*'0� e���`!<9�,'0�c�WO�f _o� ;0C)n!�N�S u�[ _$# mhp # m]�E�r�am O�#�[ _

%O�STO m _aU=S p O m _FUeq

�������-�������������� f&�~�X��89�t� C�<9�tj0`a<d� p�&(' O�)�'0�c�COgfy_EX) P��c� <^=�>o�&@9C,� e�+Q<9� 3 +Oc[�_EXQ$&@ 5 $��t�,>9� 89�tjcp9�&O 3 �

p+* i [d_EX p�,-' _EX ) [�_aX;X;X9k$&��Ov� ;,C,n!�t�

P��c�?<t�Q�E$&��',(*'0� e�`��&+ 3 �?O!$�� 6�5 <t�&O 3 �I`!<9�^Ogfz_aX�e��&��`!<9� p�&�' O�)Le�����$�@ 5 $&�t��>9�?89�tjcp9�&O 3 �i`a<d� p�&�. * ' SYO m _FU/)d B �!�!����$����&;0�m�^M9��>N<N��:o<^=�>v�E$���')(*'�� e�+ 3 �&:?O!$�` 6 �t;,= 3 �Df�$&��jc@9>^�&O 3 � p�&�. * ' p O�)d l @^e&�Nj2����� $&`!>D>9� 89�tjcp9�&O 3 �

`a<d�?L�'0�m��Ogfz_EX9L,� ;,C)n��t� p O�)�fySYO m _aU0)a l O!<^+Q',@9�&���E<t����� ;0�&8^n�>9� 3 �D(%:S p *�1 ) O�U ) f STO m _aU ) k

+p+*�1 ) OgfhO m _�k

+O�f _

p *�1 ) �)_ k$&��Ov� ;,C,n!�t�)'0�c�COgf _aXD�����&nv� ;0C)n!�N��'0�c�WOc[�_EX�S ��$�� 5 :w$&@^�&p9�t� :N[�

! ��"������ �! cf6� l :8^�Njcp9��O 3 �T�E$&��')(*'0� e�� <9=!> �tp^+�:T$�@9`a<N��;0=)J'0�m� e�� 6 �y;0n!>9�a��� ��$�`#O �����!',� STO f _9[Q`a���5 C)�&O�>�<t��jc8d� ��C)@^M 3 �0 P��c�\Oz[ _������a'0��=$&@9`a<t�&;,=�Nj >9�&��$&@9�����&>^M%: ����= 6 � >9+) l : 8^�Njcp9��O 3 �Qe�����<t� ��$���')(*'0�ce&`��+ 3 �� � $�� 6�5 <t�&O 3 �`a<d��� ;,C)n��t�L= $�@9`a<N��;0= '0�m�)O �����a',��e����i<^= 89�tj C)>9��O 3 � '0�c�tO m _! V "I;)<�( ����� $&`!> �����a',�2 * k 2 # krqEqrqrk 2 & k 2 &�. * l $�`?<9=!>x�E$���')(*'�� e�+oOa$&` 6 ��;0=�<t�ZO �����a',� 2 * krqEqrqrk 2 & 5 C)�&O!>x`a���?<t�Djc8d� �qC)@^M 3 �0 *" $&j ;,=�:���$�`<9=!>D�E$&��',(*'0� e�+�Oa$&` 6 ��;0=D<t�xO �����a'0� 2 # kEqrqEq=k 2 &�. * 5 C)�&O!>D`!����<N��jm89� �TC)@^M 3 �� �V l @9� 5 C)�&O!>Q`a��� <N�y�����!',�y<t�jc8d� �C)@^M 3 �0

B �&nv�tj >9���,<t�v��� 6 ��:�3! ��"������ �! k&� � �0��@d� 6�3 ��j0�5476���8,W+9:9;4�<>=nL ?�fy_;L)�&@djNM9�!>^<t���,�&>9�&89@^� 3 � e�� ��$&`

< * [@< # [�_�k�e����A< & [B< &�C * m < &�C # '0�c��O 'tp qbQ�tjcp^<9� 3 ���E$���')(*'0+Q`!<9�,'0�c��O�fy_�� �&@d� 6�3 `�:D< ) & �tj >9���0��@^<d� ��:!

! ��"������ �! ~9�LbQj >^��>^<t���&O��tO 6 �Njc��:X;,<t���E$�j $&��89�� { �X$�`&;,��<t�D$��!��n?C�(%@djc��C�(%@djNM9�&O!>o�&O!< 5 :X<t�v�E$�j $&��89�A3LS�b?�Nj <9�<t� { C,+ 3 ��! c[

! ��"������ �! c-6� { � 3 jc�yC�M%@9�ye�� 6 � 3 �c�T��$&`�<d� :uO f p $&`a���N� :x<9=!:�;0O!>98 5 �E<t��� 3 ��e�� 6 ��������= 3 � 5 >^� 3 �!>9`&8^@9� 3 �0 bQ�tjcp^<9�Q`!<9��Oa$&�&@9C)�t�R<^@9`�$��&:v>9��p9�Ee)� >9+�;,�t�Re���>9�tj :D��$�` 3 jc��$�`!��=y<^=�:vC�M%@9�&:v��O!<^+�:Qe&����>9���E$�� ;)e����0<^�tjRe�� 6 �D���!��=9L��e�@9� ��M%: 3 jm���0�&@9��L)e)� >9�&n 3 ��>9��:x$&�&>N(�;)<N��Oa$&�&@^C,�!>o�&8d� e�`�8dj e&<^O�� S e����0;,�7�&` 3 ��>9�&:x<t�&O!: 3 ��>9`�89@9� 3 �&O�:N[E

Page 7: Διακριτά Μαθηματικά

���������� �� �

12

3

4

56

7

8

9 1011

��������� .0/ K 5 ;,;0��@9�t� :x�tO 6 �Njc��:w$��&OD�&@9j M^�&O�>v�!��C�(%@djc� ;,<t� ��$&j $&��89�

! ��"������ �! u&��bQ�tjcp^<9�w`!<9�,'0�c� e&� 6 � ���� ���_��q� ;,C,n!�t�,��<9na$&��:w'0�c��<^=�>3D�BaD�B�|946�&2�����7xG9BlI�2�Br: |�<?>6@3�6B=< |��S�F![ _ m � m � # m��r�E�am � & [ _~� �A&�. *

_~� �k O�fy_;q

l $&`��&Oa<9`�89�tjcp^<9��`a<d�?L)�&>�� �����y_;L�<9`a<9�x'0�c�v<9=!>���DHBe< |�7cG&B�I+2�BE: |�<?>6@x�6Be< |��Q� ;,C)n��t�S }�[ ��

�! i� � [�_ m � m � # m��r�E�am � & m]�E�r� [ _

_~� �q

.0/V. " #%$'&�(�)+*-,�./)1012-)�3 � &�4/&�(5,�&�.6*7,'8�9;:-&<*=(?>;(�&@, � 2->A2B*7C �ED ,�FHGI&�:J01h3�576 �&89�&: <9=!:���E',` 3 ��>9=!:g<N�a}���|K@&Ac2&465�78294;:=<?>6@6A\BED�4�G8IJGK@6Ay��$&�&8^�N� e�>^n��t� <^=�> ����+ 6 �t�m� 3 �c�&:$�@9`!<t�&;,=!:PQCSTO�UeL'0�c�\O]fdO/i;LR89�tj C)>9��>N<N��:Qe���<rV���@9C)+�>v<9=!>�����+ 6 �t�m�y<9=!:Q$&@9`a<t�&;,=�:bQCSYO/iaUDSV;,�Q��O!<^` <t�&Oa<djNM9�E<t��� 3 �q<9=�;,O!>9= 6 � ; 3�5 >9=�E$&��')(*',+�[����!���D<t� ��$���')(*'0�ce&`Q�&+ 3 ��;,O�>dj ;,<t��<t���);,<^=�>q��$�`&89�t�cp9=?<^=�:�;,O!>9�E$&��')(*',+�:

QCSTO/iFUeklQCSTO/i m _aU=krqrqEq=knQCSYO��)_FUeknQCSYO�U�vwQCSTO m _aUeq� ���������?��`a'��c��L�'0�m�Q>9�D89�tjcp9�&O 3 �i<^=�>x$�@9`a<N��;0=ZQCSYO m _FU 3 �&:w�E$&� <9@ 5 $���<t����>9�DC)@9=!;�� 3 ��$&���c+!;0�&O 3 �i<^=�>x����+ 6 �N�c���LK&IM�<�(%>q$�@9�&=a',�&O 3�5 >^(%>�$&��@d� $�<NM%;0�E(%>^L�e��&�0`!C0� 3 `!>9��<9=!:�� 3�5 ;)(%:�$&@9��=!',�&n 3 ��>9=!:!

�������-����������� �! k&�ONo|/P�: �FA%� 5 ',�E<N�&� 5 >9�&:L�0O�;0� e�`&:i�&@9� 6�3 `&: 3 �E',����n!<^�t@^�&:�<t�&OD���&>X��� 3 `�>9�&��8d�c���c@ 5 <9��:i<t�&O��tj >9���<t���e����)���t��O!<^`&:w<t�&O) %bQ�tj C)>9�&O 3 �X`a<d�,e&� 6 �w��O!;�� e�`�:��&@d� 6�3 `&:�Ogf p �tj >^���,'0� >9` 3 �t>^��$�@^M*<�(%>?��@d� 6�3 M%>�S�� ;,C)n��t�)e����3 �!>9�&89�ce&`!<^=!<t�v<t�&OW4Q��4�D;:SR�GH2&4;: �FAX�&Oa<t�&nQ���!���v89��>q<t����$&��89�t�ce&>9n���O 3 �w�&Oa<9`v��8^M [E

1 ���&;�� e�+?$&��@dj $�<�(%;,=v�Nj >9�&��=ROP[ p l ���&nD<t�yfD�tj >^����$&@^M*<t�&:���@d� 6�3 `&:�=D$&@^`!<t�&;,=v� ;,C)n��t� V "I;)<�(�<^M%@^�3O '�pe����&��:wOa$&� 6�5 ;0��O 3 �L`!<9�)=�$�@9`!<t�&;,=q� ;,C,n!�t��'0�m�Q`!����:�<9� : 3 � e�@9`a<9��@9��:�<d� 3�5 :a � $�� 6�5 <t�&O 3 �i8^=!�, &`a<d�&�&> pUTWV �hO<9`a<9��Q�0O�;0� e�`&:��&@d� 6�3 `�: V 3 $&�&@9�tj&>9�q',@9�&���tj�;,�Q'0� >^` 3 ��>9�q$&@^M*<�(%>��&@9� 6�3 M%>� � ���tj ���&O 3 �i>9�D8^�Njcp9��O 3 �HL�C)@9=!;�� 3 ��$&��� M%>^<t�&:�&Oa<9+Q<^=�>oOa$&` 6 ��;0=&L��a<d�0e&���0�CO ',@9�����E<t���0;,� '0� >9` 3 ��>9� $�@^M*<�(%>�

l >T�\O �tj >9����$�@^M*<t�&:v�&@d� 6�3 `&:?<9`a<9��� ;,C)n��t���0O�;0� e����&O!<^`� CV l @^� 3 $&�&@9��n 3 �Q>9� O!$�� 6�5 ;,�&O 3 �q�!<9� �PO�89��>y�tj >9���$&@NM*<N��:! l Oa<9`q;0= 3 �&j >^�N��`!<9�&O!$��&@9C)�t�!e���$���� �&:���O!;�� e�`&:L��@d� 6�3 `&: V L�89�m�����&@9�E<9�ce&`&:i��$�`q<t���Le�������$�`q<t�jO�L�$��&O�8d�c���c@9�tj<t�3O* l O!<^`T;,O�>^��$���',�E<N�&��`!<9�-_X� V ��O�L��&@^��L�;,n 3 �0(%>9� 3 ��<9=!>Q�E$&��',(*'0� e�+vOa$&` 6 ��;0=&L0�����&@d� 6�3 ��j V e&���KOJY V S '0�c�<t��>Q��$&��j �y�E$�j ;0=!:q� ;0C)n!�t�-_X��OJY V �zOR[�',@9�&�0��>N<N�&�H;,�T'0� >9` 3 �t>^�T$&@^M*<�(%>� wKL�jc8d� �T� ;,C,n!�t��;0O!>9�E$�M%:�e��&�2'0�c�y<t�!>O$&��Ov� ;,�&n!<t��� 3 �X<t��'0� >9` 3 ��>9`&:�<t�&O!:!

! ��"������ �! mF8�L��� 6 �x��e 5 @^���c�v�&pdjc�WOPfy_ p 3 $&�&@9�tj,>9���0<d�c�&C�<^�Nj 3 �we 5 @ 3 ��<t���&pdjc�&:x~Qe�����-� ! ��"������ �! }&� 1 ��e��a���&O 6 jc� 2 & L&Ogfz_;L0��@djNM9�E<N�&�,��$�`v<N��O�:x<^n!$��&O!:

2 * [�_�k 2 # [[Z&k 2 & [ 2 &�C * m 2 &�C # SYO�f\Z�U=qbQ�tjcp^<9�w`!<9� 2 & �yS^]_Y , U & L)'0�c��O�f _!

�6`+�bah0 ��cbdb09%����6'9%ec�0&.�" %y$9%+!�f8*+(-gbd�g .+!

A2/V. h)�$H$ � ,'$ � &�, � 2->i2 �

Page 8: Διακριτά Μαθηματικά

� ���������� ��

B �!�!� 5 :L�0�&@ 5 :w=o$&@^`!<t�&;,=�$&�&O 6�5 ���&O 3 �L>9�Q89�tjmp^�&O 3 �L��p9�&@^<^��<t���&��$&`q$&��@d� ;,;,`!<^�t@^�t:���$�` 3 jm�?$&�&@9� 3�5 <9@9��O�:a � $&��@9�tj�L'0�c� $��&@9�&89�t� ' 3 ��L�>^� $�@9��e��t� <t���*'0�m� 3 �m� $&@^`!<t�&;,= QCS��gk`O�U?$&�&O �tp^�&@^<9��<N�&�I��$�` 8^n�� $&�&@^� 3�5 <9@^�&O�:��gk`O f X, 13�576 �&89�&:y<9=!:��E$&��')(*',+�: 3 $&��@9�tj 3 �t@9�ce 5 :T���&@ 5 :�>^� ������@ 3 �&;)<9�tj%e����I;,�y< 5 <N�&�m��: $&��@d� $�<NM%;0�t� :a { <^=�> ��$����&n!;)<9��@9=$&��@dj $�<t(%;,=?<t��$&@9`!����= 3 �D�&>^<9� 3 �E<�(*$�jNM9�E<t���,;,� 3 �c�y�E$�������=a�&jc� 3 ��>^��$&�&@^� 3 �E<9@9�ce�M%>o$�@9������= 3 ��<t(%>�

{ � 3 �c��<9Oa$�� e�+L< 5 <t���c�x$��t@9jc$�<�(%;0=w��$&�&8^�N� e�>^n��E<t���N$�@^M*<t�q=�$&@^`!<t�&;,=�QCSYX9knX�U=Lde��&� 3 ��<^��89�tj C)>9�&O 3 �*<9=w;0O!>9�E$&��',(*',+S ��[ QCS��gk`O�U�v QCS�� m _;k`O�U=q� � 3 `!>9� �&Oa<9�v<t�y89n!�v�&+ 3 ��<t�v;)<t��� �c��$����&;)<9��;��c`��� 3 �&:�89� 3 $&�&@^�&n 3 �x��e&` 3 =D>^�yp9���0n!',�&O 3 �w��$&`�<9=Q',@9� 3�3 +RO\[zX) l >?` 3 (%:���$&��89�tjmp^�&O 3 �Xe&���,<^=D;0O!>9�E$&��',(*',+S �^]�[ S��� f X V �tO�QCS���k V U`U�v QCSYX9k`O�Uek<9`a<9� 5 C,��O 3 � 3 �c�v$���+!@9=Q��$�`&89�t�cp9=Q'0�c��`!���v<N��M9��na',=Q<�(%>o<9� 3 M%>xS��gk`O�UE

������������

������� � �"!

#%$'&($�)���������+*

��������� A2/ bQ�c$���+?�E$&��')(*',+

l : $���@d� ',@9�-,0�&O 3 �Q��j ',� <t� <9� ;0= 3 ��j >9��O�>y�&O!< 5 : �&� ;0O!>9�E$&��')(*' 5 :v$&�&O 3 ���c�8M9�&O!> S e���� �tj >9���m[��&@^e��E<^� �&O 6 �&jm@^�Er<9��:a l Oa<9`�$&�&O 6�5 ���&O 3 �Q�Nj >9�&� >9����$��&89�tjcp9�&O 3 �Q<^=�>y����+ 6 �N�c� <9=!:v$&@9`a<t�&;0=!:�QCS���knO�U�;,��`!����<t� ��e 5 @9���c� ;,= 3 �tjc�<t�&O�<9�E<t�&@^<^= 3 �&@dj ��O.�gk`O�f X<t�&O�E$�� $ 5 8^�&O, l :y�&>^�&����@ 6 �&n 3 �D;)<t� { C)+ 3 ��f`�$��&O�$&�&@9� ;,<^�&>9�E<t����;,C)= 3 ��<d� e�� <t�<9�E<t�&@^<^= 3 `&@d� �v��O!<^`�

� �y<t� ���&;0� e�` �&+ 3 � <9=!:y�E$&��',(*',+!:T��$��&89�t� e�>9n!�&O 3 �D<9=!>����+ 6 �t�c� <9=!:xQCS � k � U?;,<t� ;,= 3 �Nj � S�X&knX^UE � ��<^��<9=!>��$�`&89�t�cp9=�<9=!:LS ��[ 3 $��&@9�&n 3 ���E$&�Ee&<9�tj >9�&O 3 �R<9=!>I����+ 6 �t�c�L<9=!:+QCS � k � U2;0�*`a����<t�qSV= 3 �c��$��t�m@^��[�� � e��&Oa<dj0/1�2� L^$&��OL��$&�a<9�E���Nj <N�&���$�` `a��� <t� ;,= 3 �tjm� <t�&O�<9na$&��O S � klX�U� ��������&Oa<9` '0�m��<dj�<t� >9`�= 3 ��<^=�:�;,O�>9�E$���')(*'0+!:S ��[��tj >9��� `a<d� =����+ 6 �t�c��<^=�:$&@^`!<t�&;,=�:x��$��Ee&<9�tj >9�E<t������$&`ve�� 6 ��;,= 3 �tj �v;,<t� � 3�5 ;)(%:�89��pd�c��<N��O,

P��c� >^� �E$���e�<9�tj >9�&O 3 ��<9=!>�����+ 6 �t�c� <^=�:�QCS � k � Uqe���� $�@9�&:T<t��$��&>^( C,@^�N�c�8M^��<t���%>9� 5 C,��O 3 � e��&� 5 >9�3� � e��&>9`!>9����$&��O >9� ;,O�>9��'0�t�%<9=!>����+ 6 �N�c��<^=�:3QCS � k � UD;0� 5 >^� ;,= 3 �tj ��',>^(%@djNM9�!>^<t�&:T<^=�> ����+ 6 �t�c���&Oa<9+!:T;,�T;,= 3 �Njc��$��&O �tj >9����&O!;,<^=�@^��C)� 3 =a��`a<9��@9�0 l Oa<9`&:q�tj >9���H��e�@d� ��M%:Q�@9`a����:q<^=�:q;0O!>9�E$&��',(*',+!:TS �^]�[7 l >^L2'0�c��$&��@9�&89�t� ' 3 �KL�',>^(%@djNM9�&O 3 �`a<d�%=gQh����= 6 ��n��t� ;)<N�4� � e���O!<9j�5��2� L�89=a�, *;0� `a��� <t� ;,= 3 �tjm� <N��O <9na$&��O)S��gk V U=L `�$��&O�<t�3� �tj >9���*�a<d�c89+a$&�a<9��e����V � O�L�;0O 3 $��t@^��j >9�&O 3 ��<9`a<9��`a<d� = QCS�X&k`O�UTSV;)<t�3� �c;,= 3 �tj �768�2� [v� ;0C)n!�N� � �y;0= 3 �tj � �&�0�E<9=!@djc�&:y<NM%@9� <t� ;,= 3 �Nj �

Page 9: Διακριτά Μαθηματικά

���������� �� �

6 e���� C)@9=!;�� 3 ��$&��� M%>^<t�&:�p9��>9��<9= ;,O�>9�E$���')(*'0+�����$��Ee&<9�tj >9�&O 3 �Q<^=�>T����+ 6 �N�c��<9=!:WQ#;)<9= ',@9� 3�3 +���e�@d� ��M%: $��&>^(��$�`�<N�e���O!<9j�5� { O!>9��C0jNM9�!>^<t�&: 3 �Q��O!<^`�<N�!>v<9@9`�$&� �E$�V,��$��N�c@9�!>D��� 5 $&�&O 3 �o`a<d�H=T$&@^`!<t�&;,=T����= 6 ��n!�N��$��&>^<t�&nT;)<t�<9�E<t�&@^<^= 3 `&@d� �D$��&O 3 �&:���>98d�c�&� 5 @^�N�

B @ 5 $&�t��>9�Q<t�!>dj ;,�&O 3 �L��8^M `!<9�)Oa$&��@9C)�&O�>X$&�a������j�<^@9`�$�����>9�Q'0j >9�t�)=q�E$&��')(*',+q;0�L$&��@9��$&��>^( ��$&` 3 jc� 3 �E<t������=a<9+&Le����&`a<d���&Oa<9`�:�$��&Oo�&>9�&� 5 @9� 3 �L$��&@9��$��&>^( �tj >9������$���� 5 >9�&:X��$&`?�&O!<t�&n!:a l O!<^`Q$&��OqC)@9�t�c�8M9�E<t���&;,� 3 �c�Q������@ 3 �a',+q<^=�:�E$&��')(*',+!:D�tj >^��� 5 >9����$���')(*'0�ce&`��+ 3 �$&�&OT>9� 3 $&�&@^�NjR>9� � � e&����n ,��t���2�2`a��� <t��;0n!>9�a���<�(%>�<d� 3 M%>�$&�&Oy$&��jc@9>9��O�>����$&��@9� 3 �E<^@9����S��#e����&O ;)<t��>o<9@^`�$&�v$&��OQ$&��@d� ',@9� ,�� 3 �X$��&@9��$��&>^( [ip9�Ee)� >^M%>^<t�&:x��$&` 3 ��@d� e 5 :���$�� 5 :��&��;�� e 5 :w$���@d� $�<^M r;,�N� :! � 8^�&n 5 >9�T�������T$��&@9�&89�t� ' 3 ��J��&:qO!$�� 6�5 ;,�&O 3 �o`!<9�2����$&�&@9� 3 �E<9@9�&��� e���� O <9=!:q$�@9`!<t�&;,+!: 3 �&:q$���jc@9>9�&O!>D`a����:<t�&O!:Q��O!;0�ce&�&n�:Q�&@d� 6�3 �&n!:?(%:D<9� 3�5 :Qe����H`!<9� 3 $��&@9�&n 3 �q��n!e&�!����>9����$&��89�tjmp^�&O 3 ��<9=!> $�@9`!<t�&;,+ 3 �&:D�&>�� [ X�+T�&>O\[�XyS ;,O�>9��@d�c��e 5 :x;,O�> 6 +ae���:^[E "%$�j ;0=!:;L�'��c�De�� 6 ��M9��n!',�&:X<d� 3 M%> � e&���&O�`�$��&Ooe�����<N�v8^n��v�tj >9����<t�&O!���&C,� ;)<t��>q��L�=����+ 6 �t�c��<^=�:�$�@9`a<N��;0=!:�$&@9��e�n!$�<9�t�0��$&`�<9=!>?����+ 6 �t�c� <^=�:�$�@9`a<N��;0=!:�;)<N�y;0= 3 �tjc�PS��{� _;knO3� _FUie��&�-S��{� _;knO�U�S <t�;,= 3 �Njc�?��e�@d� ��M%:X��@d� ;)<9��@9�Qe��&�&�&@d� ;)<9��@9��r�e���<�( ��$�`?<t�xS��gk`O�U%;,<t� { C)+ 3 �vf![� �KL`!<^��=o$�@9`a<N��;0=o����= 6 ��n��t��'0�c�D`a���o<t��gk`Ogf)Xq�&���&n�'0�c�D��$���� �&89+a$&�a<9�I< 5 <t��� �M^�tna',�&: 3 $��&@9�tj�e��&>9�tj : 3 �X89�m��89��C,� e 5 :��&>9��')(*' 5 :w>^�D�&89=a',= 6 �tj&>9�D��p9�&@^<^��<t�����$�`?<9=!>x����+ 6 �t�c�o<9=!:�$�@9`a<N��;0=!:�;,<t�Q;,n!>9�&@9�q<N��Oo<^�E<N��@^<9= 3 �&@9j �&O&L�`�$&�&O�',>^(%@djNM9�&O 3 �L`a<d�&��O!<^+?� ;0C)n!�N� bQ�tj <9��e&����<9=!>V l ;,e�=!;,=T�� �,

! ��"������ �! �&� 1 ��e��a���&O 6 jc� 2 STO�k V Ui�&@9j M^��<t����'0�c�WO�k V ftX9L�e��&��� e��&>9��$&���c�tj)<t�v$&��@9��e���<�(L 2 SYO�knX^U�[�_�k SYO�f X�U=k2 STO�k V U�[�X9k SYO � V U=k

e����2 SYO�k V U�[ 2 STO��)_�k V �)_FU m 2 SYO3�t_;k V UekuSYO�f V f _FUeq

bQ�tjcp^<9�w`!<9�0'0�c��O�f V fy_o� ;,C)n��t�2 STO�k V U�[ O�SYO��)_FU=STOx� p U �E�r� SYO3� Vum _FU

_ �ap�� Z �E�r� V q

A2/\A �;46*=: � 3H)14�8 � (?8Q0�4?,�./F�8 � :J0E,�) D G��@$') DH� &�4 ��� &���/) DH� &B �a�!� 5 :����&@ 5 :HL&e��&��$��&@EVa`a<d�)�EeD$&@NM*<9=!:w`-,0�E(%: 3 $��&@9�tj�>9�v���&j >^��<t���&$��&@9�&89��p9��L&`a<t�&>�$&� 3 ��>9�D89�tjcp9�&O 3 � 3 �w�E$&��',(*',+3 �c�$&@^`!<t�&;,=�Q �tj >9�����tOae��a��`a<9��@9�T>9� 8^�Njcp9��O 3 � 3 �c� <N�a}���|9�E:eB�|�7T$�@9`a<N��;0=�RL 3 �c�$&@9`a<t�&;,=�89=a�0 2'0�c��<^=�>���$���jc� >9�� ;,C)n��t��'��c��e�� 6 ��O =D;0O!>9�E$&��',(*',+�CSTO�U�vwQCSYO�UE

l O!<^`v89��>��tj >^���&e�����<9`&;,�Q$&��@djc��@^',�D�&>�;)e����0<t�&n 3 ��`a<d�);,<t�D�E$���')(*'�� e�`q�&+ 3 ��S k�[I=o$&@9`a<t�&;0=ZQ � 3 ����>djNM9�E<N�&�);)<t�;,O 3 $ 5 @9�&; 3 ���������xe����d;)<9=!>LO!$�` 6 �t;,=) bQ=a�, 9>9��� 3 ��>L89O!;)e��!����n���O 3 ��e���$�(%: <^=�M^(%+ 3 �&:XS $���@9>^M%>^<t�&:I��$&`�<^=�>�Q ;)<9=!>o[i�&����n 5 C,��O 3 �x>9� ��$&��89�tjmp^�&O 3 �Xe&��<d�,89O�;)e��a��`a<9��@9����$�`v$&@d� >^L,��>d� ;,C)n��&O 3 �w` 3 (%:�<t�&Oa<9`!C)@9�!>9�De����0<^=�>o�E$&��',(*'0� e�+3 ��:iO!$�` 6 �t;,=���$�`!<^�I8^�t>X�tj >9���!$�@9�&�0�&> 5 :L`!<9��C)�&>9��O 3 �a { ��$��!�!� 5 :%$&��@d� $�<�(%;,�t� :Ie���@989j M^�&O 3 ��;)<9=!>��tOae��a�&jc����$&`&89�t�cp9=!:!

�������-����������� �! ~9���X�89�t� C�<9�tj2`a<d�2��&@d� 6�3 `&:�_ m Z m� �my�E�r�Hm p Oc�]_�S � 6 @9��� ; 3 �T<�(%>D$�@^M*<�(%>�O $���@d� <^<NM%>��O!;0�ce�M%>?�&@9� 6�3 M%>d[i�tj >^���,< 5 ���t� �D<9�E<^@9��')(%>9��'��c��Ogfz_�

l :q',@9� ,��&O 3 ��'0�c�T��$���`a<9=a<t��� & [ _ m Z mz�r�E�Fmtp O�� _;L���$�`!<^��� &�. * [�� & m)p O m _� LP��c�3Og[ _o$&@9�����&>^M%:� ;,C)n��t�)=D$&@9`a<t�&;0=?�&����n�� * [�_�[d_ #

P��c� <t���E$&��')(*'0� e�`D�&+ 3 �vOa$&� 6�5 <t�&O 3 �w`a<d�0� ;,C,n!�t��� & [�� # '0�c� e���$&��� �v��e 5 @9��� ���E +V " C)�&O 3 �X<9`a<9�� &�. * [�� & m)p O m _�[�� # mhp O m _;q

bQO!;,<^O�C�M%:���$�`Q8^( e��&��$ 5 @9�Q8^�t>xO!$��&@9C)�t��<9@9`�$&�&:�>9�D8^�Njcp9��O 3 �i`!<9��=o$��&;,`!<^=!<t��� # mPp O m _X�tj >9����< 5 ���t� �q<^�E<9@9��')(%>9�0 l >Q` 3 (%:��&>^<9j�>9��89�tjcp9�&O 3 �X<9=!>q$�@9`!<t�&;,=

QCSTO�U�s�� & �tj >9���)< 5 ���N� �D<9�E<9@9��',(%>^�89�tjcp9�&O 3 �X<9=!>?� ;0C)O!@9`!<^��@9=Q$&@^`!<t�&;,=

CSTO�U�s�� & []O # k=���$&��jc� $�@9�&�0�&>^M%:T;,O!>9�E$&��',�E<t����<9=!>�QCSTO�U=L%<9`a<9� 3 �&:y��n�>^��>^<t����<t��C 5 @d�c��L �&�0�&n�$��&@9��$��&>^( ��$�` <9=!>��E$&��',(*'0� e�+Oa$&` 6 ��;0=�� [ O e����R;0�?�&Oa<9+y<^=�>v$��t@9jc$�<�(%;0=y=T$&�&;,`a<9=a<N��� # m�p O m _v�tj >^����j ;0= 3 �xSTO m _aU # LHe���� 5 C)�&O 3 �o����� $&`!>89�tjcp9�t�,<t���E$&��')(*'0� e�`D�&+ 3 ��

Page 10: Διακριτά Μαθηματικά

��� ���������� ��! ��"������ �� Z�^]&��S l >d� ;0`a<9=a<t�����t� 8)�!�,YZY74 [ b?�Njcp^<^� 3 ���E$&��')(*',+�(%:�$&@9�&:~O`a<d�&'0�c�?e�� 6 �L�0O�;0� e�`Q�&@9� 6�3 `bOgftX�e����

$&@^��' 3 ��<9�ce&` ��@d� 6�3 ` �cfy�u_o� ;,C)n��t�S ���^[ S _ m ��U & fy_ m O�� qbQ��e�� 3 �&;)<9�w<NM%@9� >9�y8^�Njcp9�E<^� 3 �w�E$&��')(*',+Q<9=!>q�&; 6 ��> 5 ;,<^��@9=D�&>d� ;0`a<9=a<t�PS _ m ��U & ftO��R

������1�(�0 ����g�.���W� ��f� 09%+��(�$&�������������������������V " ;,<�(! 5 >^��L%$&�E$&��@9�&; 3�5 >9� + ��$��N�c@9�KL%;0n!>9�a��� e&���+/ * kEqrqEq=k / &#" 5 >9� ��R��K:a782&4t�8D �F�/�<�F�LK&IM�D<t�&O$ P��c���$���`a<9=a<t� 3 $��&@9�&n 3 �X>9� 6 �E(%@9+!;,�&O 3 �x`a<d��<t� ;,n!>9�!���% �Nj >9�&�,$&�E$��t@^�&; 3�5 >9��L��&>�e��&�,`a����:w���0��$��&89�tjcp9�t� :w� ;0C)n!�&O!>�e����'0�c� ��$&�t�c@9�& S �������D$&��>^<t��<t��/ = $�@ 5 $&�t�0>^� �tj >9���)$&�E$&��@9��; 3�5 >^��[�

' ��� �8�)(���! ��;��KL�y;)<t��� C)�tjc��� * / * krqEqrqrk�� & / & �!>9� 3 �8M9�!>^<t��� 5 >9����R;��:E762&4+*�� �eIM�b4Q�H:=<�Dn|�F��P�DaI ��S {�,*l ['0�c��<t� ;0n!;)<9= 3 ��;0O!>9`a��(%> / * krqrqEqrk / & ��>q<t� � * kEqrqrqrk0� & �tj >9����`a���v89�m�����&@9�E<9�ce&��

KL��$�@9`�����= 3 �X$&�&O 6 � 3 �&:���$&�&;,C)�!��+�;,�t�9�tj >^���d>9�x�&@^�&n 3 �%;0O!> 6 +!e���:%'0�m��<^=�>�n!$��&@9p9=X��>9`&: {�,*l '0�m� 5 >9��;,n!;,<^= 3 �;,O�>9`a�!(%> -

[e� / * kEqrqEq=k / & �;q1 ��>9� 3 �&;0jc�#. 6 �EM%@9= 3 � <t�&O PR� 3 ��O0/%$&@^� 5 @9C)��<t���I��$&` <9=!> ��p9+!:���>9�����!'0jc��J O!$�� 6�5 <t�&O 3 �y`!<9� 5 C)�&O 3 �xO '0O!>9��j e���:1 * krqEqrqrk21 & e��&��`a<d� / = �tj >9���a<t�?;,n�>^�!����<t(%>X�&>98^@^M%>x$&��O���$&��8 5 C,�E<t���a=�',O�>9�&jce&�31 = (%:L;0O;M9na',�&O�:a KL�o��@^M*<^= 3 �?�tj >9���$&`a<9� 3 $��&@9�&n 3 �X>9� 8d�c��� 5 p9��O 3 �w��$�` 5 >9��;0n;M9Oa'0�v'0�c�ve�� 6 �x',O�>9�&jce&��L���$�` ��O!<t�&n!:w$��&OQ��$��&8 5 C)�E<N�&��L�e����089�m�����&@9�E<9�ce&`'0�c� e�� 6 �D',O�>^��j e��� l Oa<9` ����� $&`!>�'�j >9�E<t������>ye���� 3 `�>^� �&>y=��&�ce&�!' 5 >9�t�c��Oa$&��;0O!>9`a��(%>�/ * krqEqrqEk / & S <t�&O ;,O�>^`!���&O`a��(%>�<�(%>?��>989@^M%>d[ 5 C)�t�,e���$���� �v;,n�;)<9= 3 ��p 5 >^(%>q�&>^<9� $&@9�&;)M*$�(%>�

' ��� �8�)(����! cf6�LP��c��e&� 6 �54 "76 O98R�&@9j M^�&O 3 �/ZS�4JUo[ /;: S<4�U [>=?A@CB / ? q

� 89�tjce�<9=!:-6 ��$&��@9�����Nj $���<t����`a<t�&>o89��>?Oa$&�&@^C,�t�)$&@9`�����= 3 �D;0na',C,� ;0=!:a

"Ij >9�����0�&>9��@9`�$�(%:��&>o<t��;0n!;,<^= 3 �-5 C)�t� 5 >9� {�,*l � � * kEqrqrqEk0� & �o<^`!<^� 5 C)�&O 3 �

S �9f![ D4 "E6 O98�s � /ZS<4�U �8f �F4I� ql O!<^`�'0�c��<9j,<t�y;,n!>9�!��� /ZS�4�Ui$��t@9� 5 C)�t�)<t�&Oa���&C,� ;,<t�!>�<t�(� ? kHG I4+L�<N� ��$���jc�v�tpq�&@d� ; 3 �&nQ�tj >9����`a���v8d�c�&���&@^��<9� e���

1 ;,O�> 6 +ae�=TS �^f�[I� 5 ',��<t����;,O�> 6 +ae�=?<t�&O?UwWaY�Y2e&���,<t���E$&` 3 �t>^� 6 �EM%@9= 3 � 3 ��:x� 5 �t�)`!<9�,�Ee&<^`&:���$�`v�&>9��')e���jc�v�tj >9���e����0� e��&>9+Q'0�c�v<9=!>on!$��&@9p9=D��>9`�: {�,*l '��c�v<t��;0n!;,<^= 3 ��;0O!>9`a��(%>

-

J �LK9���J������ Z����S KL� 6 �EM%@9= 3 �v<t�&ODPR� 3 ��O�[M �Z�HR;��:E782943� �_�F�LK&IM� - � }�Be<0NO�P 4Q�b>�48<�2�� � �Z4Q�Z< �F} R�Be< 7x�/�<�F5^@6>673:;�=�3Q3RTSUSHS �^f�[AV!�W (&�����YX �-�i"%$&��',(*',+�(%:D$�@9`&:O* �P��c�\Ot[ _D<t� 6 �EM%@9= 3 � �tj >9����$�@9�&����> 5 :! � $�� 6�5 <t�&O 3 �o$�(%:�� ;0C)n!�N� 3�5 C)@d�

e����JO\�z_! Q" ;)<�(-

[ � / * krqEqrqEk / & � 5 >9� ;0n!;,<^= 3 � O!$��&;0O!>9`a��(%>D<t�&O� �$��&O�� e��&>^��$&���c�tj�<9=!> S��^f�[E Q" >9��;,n�>9�a���4[Z 6 O98 L94�\[#]&k 6 O98 L�� 5 ',�E<t���J>e|9�N�&< 2�w��>5� /bS<4�U �;[ �^4I�m B ��@dj $�<�(%;0=��N= J%bQ��>qO!$��&@9C)�t�,e�@dj ;�� 3 ��;,n�>^�!���_4*

l $&` <9=!>�S �^f�[x<t� / * 5 C)�t�R<t�&Oa���&C,� ;)<t��> 5 >9��;)<N�&� C)�Nj ��L 5 ;,<�( � * Tzx�E(%@9�&n 3 �o<^M%@^� <t� ;0n!;,<^= 3 � Oa$&��;0O!>9`a��(%>D<t�&O ��:� * � -%`[ �0/

`# krqrqEqrk /

`& ��k

3 � /`? [ / ? �:� * ��LTG[ p kEqrqEq=k`O* " ;,<�(�4 " � p krqEqrq=knO-�! l ����n?<t�a4 89��>��tj >9���&e�@dj ;�� 3 �?'��c�Q<t�D;,n!;,<^= 3 � - 5 C)�&O 3 �

� / :cb S<4�US�wf � / : S<4�U ���)_' �d4O�H�)_f �d4O� k

�&@9� = ;,O�> 6 +ae�=�<t�&O�UXW!YZYQS �9f![v� ;,C)n��t� '0�c� <N� ;,n�;)<9= 3 �- ` l $&` <9=!> �E$&��',(*'0� e�+ Oa$&` 6 ��;0= O!$��&@9C)�t� 5 >9� {�,*l

� # krqEqrq=k�� & '0�c� <t�- ` *"Ij >^������n!e&�!���D<9`a<9�w>9�y8^�Nj)e��&>9�tj :w$�(%:x<t�(� * k�� # krqrqEq=k0� & �tj >9��� 5 >9� {�,*l '0�c�v<t�

-

Page 11: Διακριτά Μαθηματικά

���������� �� ���

B ��@dj $�<�(%;0=�fa= J � $&��@9C)�N�)e���$���� �De�@dj ;�� 3 ��;,n�>^�!���� " ;,<�( 4 5 >9�Te&@dj ;0� 3 �T;,n�>^�!��� 3 �o<t���E���&C,� ;)<N� 89O!>9��<^` 3�5 ',� 6 �&:a wP��c�T��$����&n�;)<9��O!;0= 3 $&�&@^�&n 3 ��>9� 6 �E(%@9+�;,�&O 3 ��`a<d�4 [ ��_;krqEqrqEk V �� X" C)�&O 3 ��<9`a<9� � /bS<4�US�&[ �d4I� l ���&n =�;0O!> 6 +!e�=v<t�&O�UXW!YZY*� ;,C)n��t�0'0�c�T<t�T;,n�;)<9= 3 � - �tj >9���2����>9��@9``a<d� 6 � � ;0C)n!�N� e��&�*'0�c� <t��;,n�;)<9= 3 � / * kEqrqEqrk / � Oa$&�&;,O�>^`!�!(%>T<t�&O /bS<4�UE l �0�&n V � O ;0O 3 $��t@^��j >9�&O 3 �v��$�` <9=!>�E$&��')(*'0� e�+QOa$&` 6 ��;,=Q$�(%:�Oa$&��@9C)�N� {�,*l � * kEqrqrqrk0� � /ZS�4�Ui'0�c�v<N��/ * krqEqrq=k / �

zx�D8^�Njcp9��O 3 �X`a<d�)Oa$&�&@9C)�t��e���� 5 >9� {�,*l '��c�Q<t�D;,n!>9�!��� / � . * kEqrqrqrk / & 3 �w`a���&O�:L<t�&O!:��&>^<d� $�@9�&;)M*$&�&O!:�Y./bS<4�UeLe���� 5 <^;�� 6 � 5 C,�t���a����e&��=!@^( 6 �tj0= ��$&`&8^�N�cp9=) �P��m��O!<^` 6 ��89�tjcp9�&O 3 ��`a<d�2� ;,C)n��t��=�;,O�> 6 +ae�=v<N��O UXWaY�Y�'0�c�y<t��;,n!;,<^= 3 �- `

[ � /`� . * krqrqEq=k /

`&�� O!$��&;,O�>9`a�!(%>�<N��O /ZS�4JU=L 3 �

/`? [ / ? /bS<4�Uek Gb[ Vum _�krqEqrq=knO�q

" ;,<�( ����� $�`�>�� " � Vjm _;krqEqrq=knO��� B @ 5 $&�t�0>9� 89�tjcp9�&O 3 ��� / : b`S��^U �8f � �'�m l $&`�<9=D;,O!> 6 +ae�=Q<t�&O?UwWaY�YH'0�c�v<N� �&@9C,� e�`�;,n�;)<9= 3 �

-5 C)�&O 3 �

� /;: S���$4�U �6f � ��$4I�;[ � �1� m �d4I� ql �������Nj >9�&�0����>9��@9`y`a<d�,�E$�j ;,=�: 5 C,��O 3 �

/ : S��� 4JUo[ / :cb S��8U��./ : S�4�Uek`�$��&OQ= 5 >^(%;,=D�tj >9����p 5 >9=)

"%$&�E<t���,`!<9�� /):cb S��8U � [ � /;: S���$4�US�H� � /;: S<4�U �

[ � /;: S���$4�US�H� �d4I�f � ��$4I�F� �d4I�[ � �1� m �d4I���W�F4I�[ � �1� k

$&��O �Nj >9�&����O!<^` $��&O 6�5 ��� 3 ��>^��89�tjcp9�&O 3 �d l @9��<t��;,n�;)<9= 3 �- `

5 C)�t� {�,*l <N��O ��$&��j �&O = 5 >N(%;0= 3 ��<t� {�,*l� � * kEqrqrqEk0� � ��<t�&OQ;0O!;,<^+ 3 ��<t�&: / * krqrqEqrk / � L 3 �&:�89j >^�N� 5 >9� {�,*l '0�c�v<t�y�&@^C0� e�`�;,n�;)<9= 3 �

- �

� ���bah0���$ ��*+������(-g '��N"���( g��(E��"��-%�" .�"�(�!

! ��"������ �! ��!���ibQ�tjcp^<9��`a<d�,���&@d� 6�3 `&:�}D89�m�&�m@^�Nj)<t��� � �)_�'0�m� V f _� ! ��"������ �! ��^f&�ibQ�tjcp^<9��`a<d�)'0�m�CO�f XQe��&�KX T\V�T O 5 C,��O 3 �

� �� � � � & [

O��STOx� V U�� � &�C � q

! ��"������ �! ��Nk9�ibQ�tjcp^<9���E$���')(*'�� e��v`a<d�,'��c�COgf _o� ;,C)n��t�S �^k�[ _ ) mhp ) m��r�r�Fm O ) [ S _ m)p�m]�E�r�am O�U # q

! ��"������ �! ��t~K�ibQ�tjcp^<9�x<^=�>q� ;,`a<9=a<N��

���! #"%$%$%$ " ��&!'�(�) &+*_

2 * 2 # �r�E� 2 �[ O�k

`�$��&OD;)<N� � 6 @9��� ; 3 � Oa$&�&@9C)�t����e&@d� ��M%: 5 >9��:�$&@9�&; 6 ��< 5 �&:�'0�m��e�� 6 � 5 >9� ��$&`�<t�yOa$&��;0n!>9�a���5� 2 * kEqrqEq=k 2 � �o<t�&O 6 O98/[��_�k p krqrqEqek`O-�! ! ��"������ �! ��^-&�ibDj >9�!>^<t���KO e&n!e&�����);,<t���E$�j $&��89�0 LS�b?�Nj <9�x<t� { C)+ 3 � k) c[ l Oa<t��j0�&@9j M^�&O�>�e���$&���c��C�(%@djc�� bQ�tjcp^<9�

`a<d���&Oa<9� 3 $��&@9�&n!>q>9�yC)@^( 3 ��<d� ;,<t�&n!>?e�`�e&e)� >9��+ 3 $�� 5�3 �x< 5 <t��� ��<9@^`�$&��M%;,<^��C�(%@djc� $��&O 5 C,��O�>oe���� >9` ;0n!>9�&@^� S `�C,���$���M%:xe&��� >9+Q')(%>djc�y�������v�!��`�e&��=!@9�Q<9`�p9� (%:�e&��� >9`�;0n!>9�&@9�&[i>9� 5 C)�&O!>o8d�c�&���&@^��<9� e�`�C,@NM 3 ��

� �2e�nae&���&�0�&@dj ;,e��!>^<t����;,��G&B��a<?>8@�5�����7�JLe�� 6 �q89n!����$&`��O!<t�&n!:o�Nj <9��< 5�3 >^��>^<t���2�tj <^�q�tj >9���Hp 5 >9���*S 89��> 3 $&��@9�&n!>>9� ������$�<N�!>^<t���m[ e&���089��>qO!$��&@9C)�&O!>�<9@d� $����v;,= 3 �Njc�v<t� 3 +!:a

Page 12: Διακριτά Μαθηματικά

��� ���������� ��

�X�+����� GH/ ��nae&�����)$��&OQ��@djNM9�&O!>qC�(%@djc� ;,<t� �E$�j $&��89�

����� �����

� ���� � ���������� _R/�1 ;,��e��a����<t�D<9=!:�V l ;)e�=!;0=!:Q�! ��NuTS�� [ , L6O\[ [eL�e���� 5 >9��e�`-,�� 3 ����$&`v$��&>^(�$�@9�&:x<t�ve���<�(L

! ��"��������� Z�^u&��V " C)�&O 3 � 3 �c��&@ 6 �!')M%>d�c��;,��e��a����<t�y$&��Oy��$��!<^�E���tj <t������$&`T<^��<^@9��')(%>9��e��m�y<N��$&� 6 �E<9= 3�5 >9�T;,� �',@9� 3�3�5 :�e����KO ;,<^+!����:! KL� <9�E<9@9��',(%>^��e)��` 3 (%:�<9=!:�$&�&>N( �&@d� ;)<9��@9�v')(%>djc�&:�S e���� 3 `�>9� �&Oa<9`�[i�tj >9���0�0<d�c��' 3�5 >^�T��$�`;,��$&�&n!>d�,�&>^<dj)'0�m��;,��e��a����<N�0

bQn!�y$���j e&<9��:�$���jNM9�&O!>q<t�T��e�`!���&O 6 �v$���� C)>djc8d� �V � <t�&> 5 @ 6 �t��=�;,�N�c@9� e���$���� �&OQ$���j e&<9=v��O!<^`&:�e�`����t� 5 >9�ye�� 3�3 ��<d�;,��e��a����<t�Qe&���)<t�D<^@^M%�t�\ 1 ����O�;0��e&�!����<t� 3 $��&@9�tj)>9�De���$��Nj��tj <^�w�&@9� M^`�>^<9�c�v�Nj <9��e�� 6 ��<t�D�������Q$���+!@^(%:;L&89=!�, ��&>�=;,��e��a����<t�ve���$��tj0�&@d�NM9`!>^<9�m��<9`a<9�x�&O!<^+vC�(%@djNM9�E<N�&��;0�x89n�� �&@ 6 �a',M%>9�m��:�;,��e��a����<9��:;L 3 �c� V ��O e���� 3 �c��S�� � V U��3O�Le����2�T$���j e&<9=!:o8d�c��� 5 ',�t��e�����<9@NM%�N� 5 >9���$�`y<t�89n!���&@ 6 �a',M%>9�m�ye�� 3�3 ��<d�c�� �x3 ��j (%:HL2�&>v= ;0��e��!����<t��e���$&�tj�e�� 6 �E<t�<9`a<9�wC�(%@djNM9�E<N�&��;0�w89O!� e�� 3�3 ��<d�c��L 5 >9� ��� V e��&� 5 >9� ���gSYO3� V UE �S�bQ�tj <^� { C)+ 3 ��~0 [

�w�&>9�t�H�T$&��j e&<^=�:o$&��O ��>9��')e��8M9�E<t���2>9��0�&�t�2<t�T<^�E<9@9��')(%>9��e)� 3 �q<t��;,��$��&n�>9�\ �zx� 6�5 ����<^�q>^��$&��jNM9��<^��$&@^M*<t�&:+T8^�tna<9��@9��:�3 1 ��$&�&>^<^=�;,=T��p9��@^<9��<t���2��$�`�<t� � e����/O* qgi@9�tj <9� S $� C2 3 �&>^< 5 ,,<9�t[X<^=�>���$��&>^<9=!;,= e��&�R��$��&89�tjcp^<9�o`a<d�5 C)��<^�x8dj e)� � 3 �x�E$&��',(*',+Q(%:�$�@9�&:x<t� 3�5 ',� 6 ��:�<9=!:�;0��e��!����<t�&:?S��3OR[�

Page 13: Διακριτά Μαθηματικά

��"�� l��Il�� � f

� ��� ������� �������� �� ���� � ���������

�������g0'c�. *+�J,�,-(+* ,-(�"��(�"������ (�''f��9��0�$&%+$�db'\f8* � , ��g 'l :oO!$�� 6�5 ;,�&O 3 �x`a<d�,e���$&�&� �&:x$&j >^�N�,<N�!>?e&�&� 5 <t�&O 3 ��+vC�(%@dj :jM9�&C)�&@9=&L 3 ��+vC�(%@dj :�',������ wS � ��$��&;0`a<9=a<9��:x',������<t�&:e���� M9�&C)�&@9=!:v$&�&O 3 $&�&@^�Nj�e&�&>9�tj :D>9� 5 C,�t���tj >9��� ;)<t� 6 �t@ 5 :a b?�t>yO!$��&@9C)�t� 2�B � K�� GK7� c[ B `�;0� 8d�c�&���&@^��<9� e�� �tjc89=��$�`e��&� 5 $�@ 5 $&�t�0>9� 3 $&�&@9�tj,>9�y�,<d�c�&p9�t� 5 >^� e�������>9�tj �DM%;)<9��>9� 3 $��&@9�tj0>^�y��p9Oa$&=!@9�E<9+!;0�t��`a���&O!:w<t�&O!:x$�������<^�t:�3

1 ��$��&>^<^=�;,=D�tj >9���,~,JS��^[ �X(%@dj :x',������L)C�(%@dj :uM^�&C)�&@9=S�f![ �X(%@dj :x',������L 3 � M9�&C)�&@9=SVk�[ � �w',������L)C�(%@dj :uM^�&C)�&@9=S ~�[ � �w',������L 3 � M9�&C)�&@9=l >D;)e����0<t�&n 3 �x��j ',�v$&@9�&;,�Ee&<d� e�`a<9��@9� 6 �T;,O�>9�t�c89=a<t��$&���c+!;0��O 3 �X`a<d� , [ p �ap e�����`a<d��� ��`a',�&:x$&��Ov=v��$&�&>N<9=!;0=

�tj >9���%�&O!<^+ �tj >9���%`!<9�%e&� 6 � 3 �c� ��$�` <d� :y89n!� 89O�>^��< 5 :T�E$&�c���a' 5 : `&;,��> �&�0�&@9��<t��$&��@d�c��C)` 3 ��>9� ;,� ',����� 3 $��&@9�tj%>9�;,O�>98^O��&;)<9�tj 3 ��e�� 6 � 3 jc����$�`�<9� :�89n!��89O!>9��< 5 :��E$&�c���a' 5 :X$&�&O?�&���&@^�&n�>q;)<N�v$��t@9�m��C)` 3 �t>^� ;,� M9��C,��@9=,

! ��"������ f� ��;� B ���c�y=D��$&�&>^<^=�;,=D;)<t�y�&>N(7� � $&@9`!����= 3 �v<N��OQe��&� 5 ��)�&>?�&�0�E$�� ���!' 5 : 3 �&:�(%:�$&@9��:�<9=RM9��C,��@9=v89��>�tj >9���2$�� 5 �!>v���J� l�� L � � � L2���!��� 3 $&�&@^�&n 3 �?�tj <^�o>9� 3 =!> 5 C)�&O 3 �oe�� 6 `a���&O�M9��C,��@9=9LR�tj <^�q>^� 5 C)�&O 3 � 5 >9�����e��E����e���L�tj <9�w89n!� 3

! ��"������ f� cf6� l >v<t��&@9C,� e�`.� � $&@^`�����= 3 ��<t�&Oye&�&� 5 �2�0$&@9�&;)<9� 6 �tjR=y��$&� ���a',+y��� ����{ +���" { K ��{ L�<9=!>v��$���jc�3 $��&@9�&n 3 �w>9� 5 C,��O 3 �x�&>9��p9��@^<9=a<t� ��$&`v<t��',������+Q<9=M9�&C)�&@9=Q$��&OD8d�c��� 5 ',�&O 3 ��L&$&���c���tj >9���0=Q��$&�&>N<9=!;0= 3

1 �&@9C)+�<t�&O ,')�$H$ � ,'$ � :B* � : � )�3 � 4/& ����.�8Q018<>;4 &@,+*7$1)�2�9;4 e&(%89�ce&��$&���c�tjR<^=�> ��$���+y�&O!<^+T$&��@9��<9+!@9=!;0=y$&�&Oe��&>^� 3 �dJ

l :�O!$�� 6�5 ;,�&O 3 �X`!<9� 5 C)�&O 3 �x>9��$&��@9��' 3 ��<t��$����c+�;,�&O 3 � 3 �c� ;0n!> 6 �E<9=D�E$�� ���!',+&L�=v��$���jc� ;,O!>dj ;)<N��<N�&���$�`�<9=!>�$�@9��' 3 ��<N��$&��j =!;0= V �E$&j 3�5 @9��O�:i�E$&�c���a',M%>�Ld$&�&Ox$�@9��' 3 ��<N��$&��� ��n�>^<t����4Q�=B�*@�r|�:a7&:�4x= 3 jc�o��$&`<^=�>����!��=&Ld�tj >9���a89=a�0 d< 5 <t���c��: �����E$�j 3�5 @9��O�:I��$&� ���a' 5 :*M%;)<9�i=w�E$�� ���a',+X<9� 3 M%>L'0�m��e���$&���c��:I��$&`��&Oa< 5 :>9� 3 =�>q�E$&=!@9���8M9�t�&<d� :�8^O�>9��<9`a<9=a<9��:w$��&ODOa$&�&@9C)�&O!>�'0�c��<9� :�Oa$&`a���&�c$���:! �KL`!<^�w<t��;0O!>9�a�&� e�`D$���+ 6 �&:89O!>9��<t�a<9+a<�(%>�$��&O 5 C)�&O 3 �?'0�c��<^=;0n!> 6 �E<9+ 3 ��:v��$&� ���a',+T�tj >9����<t� '�� >9` 3 ��>9� <t(%> V 89O!>9��<t�a<9+a<t(%>'0�c�v<d� :��E$&j 3�5 @9��O�:��E$&�c���a' 5 : 3 �&:a

{ �X$�� �v�&O!;)<9=!@9+q')�!M%;0;,� =Q�&@9C)+q<N��O?$&�a�!����$�����;��c�&; 3 �&no�&>^�tp^�&@^<9+a<�(%>��E$�� ���a')M%>��Ee���@9�^M9�E<N�&�)(%:���p9+!:QS ',��>d� e��3 ��� �&;0O 3 ���a�&jNM9�&O 3 �L<t�!>o$���= 6 �&@d� 6�3 ����$&`&;,�D;)<t��� C)�tjm� 5 C)�t� ��<t�&Oq;0O!>9`a���&O3 [�J

J �LK9���J��� f) Z����� ��K:nI V"! ���9<�>8�FA 4r|�< 5H2��FA >^48<$# : �Z�HR<� � K �Z� K&IM�b:nIM�-�E< 4 ! � |KBr:=<?><P � V&% ���rI �S�� * kEqrqrqEk0� � U

�HD �r� � * # * k�� # '# # krqEqrq=k�� � '# ��( >^48< :e4)# ? Be� ��48< � K^4xD�BEDHB�|946�&2�� �e4W�HR�� �LK�4�V M��r:eB� # �;[ � # * � � � # # � �E�r� � # � � q

!�W (&�����YX �-� l $&`&8^�N�cp9= 3 ���$���')(*',+ (%:$�@9�&: V l > V [ _ $&@^`�e��t� <t��� $���@dj�<t�&O!<t�a���a'0jc�&:;LI�&�0�&n*# [+# * � $&� 6�5 <t�&O 3 �L<^M%@9��`a<d�,=?$&@^`!<t�&;,=D� ;,C)n��t��'0�m� V [�O�e�����<9=Q8^�Nj C,>^�&O 3 �X'0�c� V [ O m _� %z 5 ���&O 3 ��>9� 3 �E<^@9+�;,�&O 3 �L<t�8d�c��<^��<t��' 3�5 >^� ��>^<d� e��tj 3 ��>9�D<^=�: 3 �&@9�0+�:S �N~�[ S�� * kEqrqEqrk0� & k0� &�. * U

���

Page 14: Διακριτά Μαθηματικά

��� � ��� ���������� ������ ������� �� ��� ���`�$��&O�� ? # ? L2'0�c�+Gx[ _�krqEqrq=knO m _! l > # &�. * [ ��� * kEqrqEqrk������v�&Oa<9�T<t����>^<d� e��tj 3 ��>9��S �t~&[XC)(%@9j M^��>^<t���H;)<d� :?�tp^+�:*�� �rB�A 3 �E<N��p9nQ<t�&O!:��D� 3 �&89��:aJ�� * �tj >9�����Ee��tj >9��<t� ��>^<d� e��tj 3 ��>9��$&�&OQ;,<^=�>o<9�E���tOa<t��jc� 6�5 ;,=D<t�&O�: 5 C)�&O!>�� * L089=a�0 )`a���<t���&>^<d� e��tj 3 ��>9�v<^=�: 3 �&@9�0+�:S �9-![ S�� * kEqrqrqEk0� & k�� * U=k 3 � � ? �# ? k� # �tj >^���&�Ee��tj >^�q<t�Q��>^<d� e��tj 3 ��>9� 3 ��� # ;)<9=!>w<^�E����Oa<N�&jm� 6�5 ;0=&L�e� �� e� � ��� 3 �&89��:L�&Oa< 5 :L�tj >9��� 3 ��<t�&p^n�<N��O�:L� ;0��$���= 6 �Nj :;L�&�0�&n9L�$0 C2 3 $��&@9�tj0=�� * >^� <^� 6 �tj0;,�Q��r7�xe&���0�E$�j,�&>^<9� ;,<t��� C0jc� 3 �w<9=�� # 3�5 ;0=Q<^=�:x��$&�t� e�`!>d� ;,=�:�� *�� � #

S�� * kEqrqEq=k0� & k�� * U � S�� * krqEqrqEk0� & k�� # UeqKL��;0O!>9�a�&� e�`D$���+ 6 �&:x����� $&`!>�<t(%>q�&>^<9� e��t� 3�5 >^(%>�<9na$&�&O�S �t~&[��tj >9���S �^u�[ � � * � � �j[ � � * � � � # &�. * � ql ������L)�tj >9���0�0�&>9��@9`�L)<t�v$���+ 6 �&:w;,<t��� C)�tj (%>q<^=�:�� * �Nj >9�&�0`&;,� e&���,<t��8d�c��<9�E<t��' 3�5 >9���&>N<d� e��tj 3 ��>9�

S�� * krqrqEq=k0� & Uek 3 ��� ? # ? k$&��O9LI��`a')( <9=!:�E$&��')(*'0� e�+!:�O!$�` 6 �t;,=!:;LI�tj >^���ij ;,� 3 ��� # * � �r�E� � # & �m l >^<d� e�� 6 � ;)<^M%>N<N��:;,<^=�> S��Nu�[Q$&��jc@9>9��O 3 �y<t���$��!< 5 ����; 3 �� �

! ��"������Qf� k&� B `&;,�&O!:*89�Ee��&8d� e��&n!:*��e���@9�&j �&O!: 3 � <t��$&�a��nI<9@djc� ,0=���jc� 3 $��&@9�tjNe���>9�tj : >9�X'0@^�-,��t�9C)@9=!;�� 3 ��$&��� M%>^<t�&:3 `!>9��<t��',@9� 3�3 ��<N� f6L k&Lc-�3

! ��"������ f� ~9� B `&;0��:�89�m�����&@9�E<9�ce 5 :x;,<^+!����: B � � r B�� O!$��&@9C)�&O!>�S 3 +!e���O�:q�^k&L 3 �q��L fQ+ � ;,�xe�� 6 � 6�5 ;0=�[;3! ��"������ f) -&� B `&;0��: 8d�c�&���&@^��<9� e 5 : <^@d�c�&89��: '0@^� 3�3 ��<�(%> 3 $&��@9�&n!>�>9� � 3 �0�&>d� ;)<t�&n�> ;0���E����=!>d� e 5 :�$�� >9��e)jc89��:

�&Oa<t��e)� >9+a<t(%>+3LS { �x�&O!< 5 :�C)@9=�;0� 3 ��$���� �&n!>^<t��� 3 `!>9��',@9� 3�3 ��<t� $��&OD�&>^+!e���O�>�e����,;,<t���E����=!>d� e�`De����,;,<t������<9� >d� e�`����!r���!�&=a<t�� c[ l >Xe�� 6 ��< 5 <t���c�o<9@d�c�&89�?��e��a����O 6 �tj <t���d��$&` 5 >9�?<^��<^@9�-,0+���� �?�0O�;0� e�`q�&@d� 6�3 `TS 3 �i$�@^M*<t� ,0=���j �Q89�m�����&@9�E<9�ce&`��$�`�<t��]�[�$&`&;,�v<N�v$��!��nQ�&Oa<t��e)j >9=a<t� 3 $&��@9�&n!>�>9� <t�&p9� >^� 3 = 6 ��n�>o;)<9=!>q"%�!���&8^� 3

! ��"������ f) u9� l >D@dj C)>9�E<^�q;,O!>9��C)M%: 5 >9�xM^�tOa',�&@d��<dj 3 �m�3M9�&@d�c��L�$&`&;,�T;,O�C)>9�y$&��@d� 3�5 >9�E<9��>^��� 5 @9�E<9�o89n!���&;,�&O!:�3V l ;0��e����,89n��A3

.0/V. h?$ � GO)�( D ,�)�: D 4/F�$1>;4 &<4/F�(�,'&�,'&<. � : � ��4/) D : D 4/F�$1) D1 $�@^M*<9=Q;0= 3 �&>N<d� e�+D������@ 3 �a',+Q<9=!:��&@9C)+!:x$&�a�!����$�����;��c�&; 3 �&n�<�(%>q�&>9��p9�&@^<^=!<�(%>o�E$�� ���!')M%>o�tj >^���,<t����e�`a����O 6 ��

J �LK9���J��� f) f&� � ���:nI ��R<� � K�1/ 2�B Oz��: �a< }�B=� 4 ( >^48<! WS /�UC: �Q89O!>9� 3 �&;,n�>9�a��� :;�=��/ ( ��7 K9V�:;�W��R<� �LK ���LK&IM�:nIM�C�8D �F� �_�F�LK&IM�j: �r�1/3V�M��r:=B� WS�/�US��[ p & q

!�W (&�����YX �-� � $&��@9�tj*e&�&>9�tj :���n!e��a��� >9� ��$&�&89�tjcp9�t��<t� zx�EM%@9= 3 � 3 ����$���')(*',+�(%: $&@9�&:v<t�gO�L ���!��� �&: 89�&n 3 �$�M%:x��$&�&8^�N� e�>^n��E<t���������&@ 3 `8M9�!>^<t�&:x<^=�>o�&@9C)+q$&�a������$����&;0�c�&; 3 �&n) 1 ���&;0� e�+?$��&@9��<^+�@9=!;,=?�tj >9���,`!<9�,<t�v$���+ 6 �&:X`!�!(%><�(%>O!$��&;,O�>9`a�!(%>y<t�&O / [ � 2 * krqEqrqEk 2 & � 3 $��&@9�tj*>9��<9� 6 �Nj%;,����r7��e����*�E$�j*�&>N<d� ;)<t��� C,jc� 3 �v<t� ;0n!>9�a��� `!�!(%>�<�(%>8d�c��<^��<t��' 3�5 >N(%>jO�rs�&8^(%>S �dFa[ S�� * krqrqEqrk�� & U 3 � � * krqEqrqrk�� & �EX&kE_@��qV � >^<�(%:HLa=��tr�� e&���9�E$�jd�&Oa<9+L�&>^<9� ;)<N�&� C,jm�w�tj >^���d�&O!<^+L$&�&O�;)< 5 ��>^�N�^<t�X<9O!C,`!>iOa$&�&;,n!>9�!��� 5 " / ;,<^=�O�rs�&89�RS�� * kEqrqrqrk0� & U`�$��&O-� ? [d_��&>�e���� 3 `�>^�y�&> G% 5#S\�&�7����� ( 6 �tj <^�w`a<d�,�&O!<^+D=D��$��t�ce&`�>d� ;0=?`�>^<�(%:��tj >9���H�tr��xe����,�E$�jm[�

l >^<dj0>9� 3 �E<9@9+!;0��O 3 �w����� $&`!>�<N��;)<t��� C)�tjm�v<t�&O WS�/�U [ �05 s 5 " / �

3 $��&@9�&n 3 �w>9� 3 �E<9@^+�;,�&O 3 �w<t�v$���+ 6 �&:X<�(%>ZO�rs�&8^(%> S��9F![E %KL����$&�a< 5 ����; 3 �v�Nj >9�&�0<t�yjc8d� �� P��c� >^� 3 �E<9@9+!;0��O 3 ��<NM%@9� <d� :WO�r �&89��: S��9F![q;,e&�t�,<9` 3 �&;)<9�y(%:T�tp^+�:aJT'0�c� >9� �E$�� � 5 p9��O 3 � 3 �c� <9O!C,��n�;,� O�r �&8^�

$&@ 5 $��t�H>^� e&�&>9�&O 3 �jO���>9��p9�&@^<^=!<^�t:q�E$�� ���!' 5 :;L 3 �c�'��c��e�� 6 � � ? LHe����H;,�?e�� 6 � 3 �c���$&`��O!< 5 :q<d� :?�E$�� ���a' 5 : 5 C)�&O 3 �89n!��89O�>^��<9`a<9=a<9��:a -V l @^��L)<N�v$���+ 6 ��:x89O!>9��<t�a<9+a<t(%>�'0�c�v<9=v;,O�>9�a���ce&+?�E$�� ���!',+?�Nj >9�&� p��Ep��E�r�np

" #%$ &&

[ p�& �! ��"������ f� mF8��b?M%;)<9���E$���')(*'�� e�+?��$&`�89�t�mp^=�S (%:�$�@9�&:x<t�COR[�<t�&O�zx�E(%@9+ 3 ��<t�&:xf) f)

Page 15: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� ���������� ������ ������� �� ��� ��� � ��������-������������f� ��;� � 5 $&`&;,�&O!:�<9@9`�$��&O!: 3 $&��@9�tj0e��&>9�tj :�>^���E$�� � 5 p9�t�,89n�� *�� �e4 3 �E<N��p9nD<t�&O�:�Oa$&��;0n!>9�a����/ e����

5 <t�&OD;,O�>^`!���&O 6 O98 [ ��_�k p kEqrqEqek`O-��3�STV l ;)e�=�;,=D;)<t�y8d�c��')M%>d� ; 3 � { �E$�<^� 3 ��@dj �&O?f!]!]!k�[KL� ;0n!>9�a���v��O!<^� 3 $&�&@^�&n�>o�&>q�tj >9���,e&���,e���>9�0 P��c��>9� ��$&�&>^<^+�;,�&O 3 �v;)e����0<^` 3 �&;)<9�D(%: ��p9+!:;L e&��� � <9@^`�$&�&:��&Oa<9`�: ;)e 5 ,�=!:���$&�a<9�E���tj�O!$�`&89�t� ' 3 � '0�c� <t� $�M%:

;)e����0<9` 3 �&;)<9��;)<9=!>$����t� ��>^`!<^=!<t� <�(%> $&��@d� $�<NM%;0�E(%>� P��c� >9� 3 �E<9@9+!;0��O 3 � ����� $&`!>�<t� ;,O!')e��Ee�@9� 3�5 >9� �&>^<9�ce&�Nj 3 �t>^���@dj ;)e��&O 3 ��L�e&��<EV��&@9C)+!>^L 3 �m� 8d�c�&8d� e��&;0jc��'0�c��>9� <t� e���<t�&;)e���O��&;,�&O 3 �d l Oa<9+=89�m��8d� e��&;0jm� $&@ 5 $��t��>9� �tj >9���R< 5 <t���c�M%;)<9�

� �X�e&(%8d� e���$����c�Nj <N�&� 3 � 3 �c����e��!���&O 6 jc����$&`�E$�� ���!' 5 : 3 �E<9� ��$&`�<9� :D��$���jc��:?e���<t����+a'0��O 3 ��;0� 5 >^����$&`�<t��&>N<d� e��tj 3 ��>9�D<9=!:xe&���&;,=�:w$&�&Oq$&@9�&;)$&� 6 �&n 3 �w>9� 3 �E<9@^+�;,�&O 3 ��L

� P��c��e�� 6 � 3 �c� ��$&`�<9� :D89O!>9��< 5 :D��e��a����O 6 jc�t:q�E$�� ���!')M%>v$&�&O e��&>9��O 3 �?>9� $&@^��e�na$�<9�t�2e���� 5 >9� 89�m�����&@9�E<9�ce&`�&>N<d� e��tj 3 ��>9�v��$�`�<^=�>�e&���&;,=9L�e&���

� P��c�De�� 6 �x;)<N�&� C)�Nj �Q<9=!:xe&���&;,=�:�<�(%>q$�@9�&: 3�5 <9@9=!;0=Q�&>^<d� e��t� 3�5 >^(%>oOa$&�&@^C,�t� 3 �c����e��a���&O 6 jc�D�E$�� ���!')M%>vS $&�&O�tj >9���)e���� 3 ��>^�&8d� e�+&L)��$&`v<9=!>�$&@9��=!',�&n 3 ��>9=?��$&��j <9=!;0=�[ $��&O 3 ��:�8dj >9�t�0<t��;,<t��� C)�tj �v�&Oa<9`0

1 e���<N��;,e���O!+�$&�&Oq8dj >9�&O 3 �X'��c�D<t�v;,O!')e��Ee�@d� 3�5 >^�Q$&@9`!����= 3 �D�tj >9���)=Q��p9+!:! B @9�!C�(%@9� 3 ��'0�c� ?�[�_ 5 (%: ?+[]O�e����&'0�c�e�� 6 ��?���$&� � 5 ',�&O 3 �X�&> 6 �T�tj >9����;)<t�y;,n!>9�!����/ZL0;,<t�y;0n!>9�a����5 +v�&>Q8^� 6 �y�Nj >9�&��;0��e&�&> 5 >9� ��$&` �&Oa<9�� �bQ� 3 $��&@9�tj>9� �tj >^���,e��&�0;)<N��89n!� �&���&n?<N��/4e��&� 5 <t� 6�5 ���&O 3 �wp 5 >^� 3 ��<t�&p^nQ<t�&O�:a

"Ij >9���&�0�&>9��@9`o$�(%:L�&> 5 C)�&O 3 �I89n!�q89�m�����&@9�E<9�ce 5 :L��e��!���&O 6 jc��: ��$&`o<d� :oO��&Oa< 5 :L�E$�� ���!' 5 :;Ld<^`!<^�i�&Oa< 5 :i�&8^=!',�&n!>�;0�89n!�y89�m�����&@9�E<9�ce&�y�&>N<d� e��tj 3 ��>9��L,;,��89n!�T8d�c�&�0�&@9�E<d� e���89=a�0 9M9��na',=vp 5 >^(%>QOa$&�&;,O!>9`!�!(%> /Zk 5 " 6 O98� oV "%<9;0�?L0<t��$���+ 6 �&:<�(%>��&>^<9� e��t� 3�5 >^(%> $��&O 3 �&:���>98d�c�&� 5 @9�t� �Nj >9�&�*j ;0� 3 �D<t��$���+ 6 �&:D<�(%>�89O!>9��<NM%>T��e��a���&O 6 � M%>y�E$&�c���a',M%> 3 ��:! "Ij >9����E$�j ;,=!:w�0�&>9��@9`v`a<d�)���8O ��$�� 5 :X�E$�� ���!' 5 :L$&�&Oq��$&��@^<djNM9�&O!>��&Oa<9+o<9=!>���e&�!���&O 6 jc�Q�E$&�c���a',M%>x�Nj >9�&�,�&>^�tp^�&@^<9=a<9��: 3 �E<t�&p9n<t�&O!:;LH�&�0�&nye&� 6 �?���&@^��LHe����H`!<9�Re����H>9� 5 C)�&O 3 �?�E$&�c� 5 p9�t� 3�5 C)@d�R;)<d� ' 3 +�:HLH<9@9�tj :?�tj >^���R�&��89O!>9��< 5 :?�E$�� ���a' 5 : 3 �&:?'0�c�<t��>o<9@ 5 C)�!>^<t���&@d� 6�3 ` ?�L,89=a�0 �>^�y�E$�� � 5 p9�&O 3 � ?I /ZL ?O 5 + ?iY / �.5� +V "%<9;0�?L)<N��<9�E��� e�`v��$&�a< 5 ����; 3 �v�Nj >9�&�

Z �E�r� Z" # $ &

&

[[Z & q

! ��"������ f� }&� � �w$�`&;0��O�:x<^@9`�$��&O�: 3 $��&@9�&n 3 �w>9�y�E$&�c� 5 p9�&O 3 ��89n!��O!$��&;0n!>9�a��� /4e&��� 5 <t�&O 6 O98RM%;,<^� / " 5(3

! ��"�������f) �9� B ���c��=���$��&>^<9=!;,= ;)<t����@^M*<9= 3 �y<N��O B �&@9��89�tj ' 3 ��<t�&:of� ��?�&>Q��$&��� <^+�;,�&O 3 �x<t��;,n!>9�!����/ e�����5>9���tj >^��� 3 =Te���>9� 3S���D�� �FBe< *�7����&�����c@ 5 ;,�E<9�Q��$&`<9=!>���$&�&>N<9=!;0= $&�&O�8^` 6 =ae��?;,<t� B ��@9�&89�t� ' 3 ��f� �� 3 �c� e&��<9���!��=!��=$&��;0`a<9=a<t�D$&�&OD��>^<d� $&@^�&;,(*$���n��t�)��$&� ���a' 5 :X$&�&O?89��>q$���=!@9�&n!>�<t�ve�@d� <^+�@d� �D<9=!: 3 =Qe���>9`a<9=a<t�&:w$��&O 5 C)�&O 3 � 6�5 ;0�t� c[

.0/\A h?$ � GO)�(?: D 4 � .�8 � :-&�>;4 � ,�F :�314/)6$') / :-&5:-3H4/)�$1) 5

� �c�o;0O!>9�&@^<^=�;,=���$�`�<t�q;,n!>9�!��� / ;)<t�q;,n!>9�!��� 54�tj >9���a��$���� 3 �c�o�&>^<9� ;)<N�&j C,� ;0=j>Q�65;B�;,<t��� C)�tj �&O�<t�&O / ;,��>_��D��a< �;)<N�&� C)�Nj �D<N��O85 l >�� /���[ �he������ 55�;[]O $�`&;0��:x< 5 <N�&�m��:w;0O!>9�&@^<^+�;,�t� :�Oa$&�&@^C,��O�> 3 1 ��$&�&>N<9=!;0=?�Nj >9�&�9O��?J

J �LK9���J��� f� k&�PX� / >^48< 5 Be� ��48<��R��DHBED�B |&46�92�� �e4W��R<� � K^4 ( >�48<�2�B 5��z� �E2^�5�LKK�N���r�E2�B : �Z�HR�� �LK �j�LK&IM�:nIM�� �_��4r|�:a@6�6BlIM�Z4�D��b:;� / �K: � 5 ( :E�r:eB

5 � [ � 55�� � q

!�W (&�����YX �-�LKL��>9� �E$�� � 5 p9��O 3 � 3 �c� ;,O!>9�&@^<^=�;,=D��$�`�<t��/ ;)<N��5#S 5 >9� 3�5 ���&:w89=a�0 �<t�&OD;,O!>9`!���&O15��%[I;0= 3 ��j >9�t���$����&n!;)<N��<N��>9�T��$&� � 5 p9�&O 3 �X<9=!>Q�t� e�`!>9�ye�� 6 ��;)<t��� C)�tj �&OQ<t�&O�/ �&>9� 3 ��;0�y;0�o`a����<t�T;)<N�&� C)�Njc��<t�&O�5 � ���E$�� ���!' 5 :�&Oa< 5 :X�Nj >9�&��$�@9�&�0�&>^M%:x��>9��p9�&@^<^=!<^�t: 3 �E<t�&p9no<t�&O!:w�&�0�&nq89��> 5 C)�&O 3 � 6�5 ;0�t��e��&> 5 >9�Q$���@d� �&@d� ; 3 `Q;)<N�D<9�,�tjc89�&O!:�;0O!>9�&@tr<9+!;,�N� : 6�5 ���&O 3 �oS $� C2 L 6 � 3 $��&@9�&n!;,� 3 ��>9� 6�5 ���&O 3 ����r7�w;0O!>9�&@^<^+�;,�t� : 3 `�>^����;,�X�&O!<^+?<^=�>�$��t@9jc$�<�(%;0=q���0�E$&�c���a' 5 :�89�6 �y+a<t�&>o��O!;�� e����&>9��p9��@^<9=a<9��:N[� -V " <^;��,<N�v$���+ 6 ��:x<�(%>?89O!>9��<NM%>?�E$&�c���a',M%>��tj >9���

� 55� �E�r� � 5��" #%$ &

[ � 5�� � �q

Page 16: Διακριτά Μαθηματικά

�0� � ��� ���������� ������ ������� �� ��� ���! ��"������ f� ��N]9� B ��� ��<t�y$���+ 6 ��:x<�(%>Q;,O�>9��@^<9+!;0�E(%> 6 O98 � �FX&kr_���3 B ��@d� ',@9�-,,<9� 3 �c�T��O!;0� �!���a'�� e�+?;0C 5 ;,= 3 �x<t�

Oa$&�&;,n�>^�!���Q<t�&O 6 O98 3! ��"������ f� ��!��� B `�;0����� �3O $&j >^��e���:�Oa$&�&@9C)�&O!> 3 �x;,<t��� C)�tjc�v]9L2��+Dk�3! ��"�������f) Z�9f6� B ��� �y<t� $���+ 6 �&:�<�(%>D;0O!>9�&@N<9+!;0�E(%>�� s 6 O98 ��� [ �EX9kr_;k p kEqrqrq �?$&��OD$���=�@9��n�>q<9=!>Q�&>d� ;0`a<9=a<t�

�+S V UM� V '0�c� e&� 6 � V 6 O98 3! ��"�������f) Z�^k&� l > / [ ���~O�kr�~O m _�krqrqEq=k`Ox�t_;k`O�� $&��� � <t��$���+ 6 �&:D<�(%>�;0O!>9�&@N<9+!;0�E(%>./ � / $&�&O�tj >9���

�&@^<9�c�t:HL�$���=!@9�&n!>�89=!�, ��+S � � U�[��+S���U�'0�m� `a���D<t� � / 3

! ��"������f) Z�N~9� B `�;0������e 5 @^��� ���&�&@9� 6�3 ��j?L 3 � e�@^`!<^�t@^���&��$&`W_aX��HL 5 C)�&O�>we���$&�&� �Qfo;)<N�Q89�Ee��&8d� e�`q<N��O�:��&>9��$�<9Oa' 3 � 3S���DH� �aB=< *�7�� B `&;,���5�FB � 5 C)�&O!> 3c[

! ��"������ f� ��^-&� B `�;0�&O!:�8d�c���c@ 5 <^�t: 5 C)�t�0� ��O!;0�ce&`&:��&@d� 6�3 `�:S �^}�[ O\[��

*�r�r� � &� 3

� O 5 C)�t�a',@9�&�0�tj�;,�&>X'0� >9` 3 ��>9�o89O�>^� 3 �E(%>�p 5 >^(%> 3 �E<t�&p9nx<t�&O!:I$�@^M*<�(%> � �&@d� 6�3 M%>�� ? � $&�&@9�tj <^�I>^�qC)@9=!;0� 3 ��$&�&�m+!;,��<^�<t� 6 � 3 �E�&� M%89��: 6 �EM%@9= 3 �y$��&OD� 5 �t��`a<d��e�� 6 ���0O�;0� e�`&:o�&@d� 6�3 `�: O�',@9�&���E<t����e���<9� 3 �!>9�&8d� e�` <9@9`�$��y;)<9= 3 �&@9��+ S �^}�[eL�Ee&<9`�:�j ;)(%:���$&`D<^=v;0�t�c@9�v<�(%>q$��&@9��',`!>^<�(%>�

�6`+���g0'c�. *+�J,�,-(+* ,-(�"��(�"������]%�� �� E(�''f��9��0K$9%-$�d'\f8* ��, �+g '"Ijm8^� 3 �w;,<^=�>��N��`a<d�)`!<t�&> 5 C)�&O 3 ��>9�D$��&@9��' 3 ��<N��$&���c+!;0�&O 3 � 3 �c�v;0n!> 6 ��<^=?�E$&�c���a'0+o$&��O?��$��!<^�E���tj <t������$&`D$&�a�!� 5 :��E$�j3�5 @9��O�:X�E$�� ���a' 5 :;L����,��$&��jc��:��Nj >9�&�,�&>^�tp^�&@^<9=a<9��:X= 3 �m�v��$&`Q<^=�>����!��=9L 3 $&��@9�&n 3 ��89=a�0 �>^�D$&@9��' 3 ��<t��$&���c+!;0��O 3 ��<d� :w�E$�j3�5 @9��O�:L�E$�� ���!' 5 :L`a����:�<t�&Oa<9`!C)@9��>^��L�<^`!<^�i<t�?$���+ 6 �&:L8^O��&>N<N�a<9+a<�(%>X'0�c�?<^=o;0n!> 6 ��<^=o��$&� ���a',+�� ;,�&n!<t��� 3 �i<t�?'0� >9` 3 ��>9�<�(%>?8^O��&>^��<t�!<^+!<�(%>�'0�m�v<9� :��E$�j 3�5 @9�&O!:��E$�� ���!' 5 :!

1 �&@^C,+ $&�a������$����&;0�c�&; 3 �&n'0j >^��<t���%$&�a��n C)@9=�;0� 3 `a<9��@9= 3 �E<9� ��$&` <^=�>���p9+�: $&�&@^��<9+!@9=!;0=) bQ�yC,@^�N�c�8M^��<t���%����E$�j 3�5 @^�&O�:q�E$�� ���!' 5 : 3 �&:q>9���tj >9���2�&>^�tp^�&@^<9=a<9��:a � $��&@9�&n 3 ��>9�T��$&� <9@ 5 ,0�&O 3 ��=v$&@^M*<^= 3 �&:q��$&j 3�5 @9�&O!:o��$&� ���a',+v>9��E$&=!@9���8M9�t��<d� :�8^O�>9��<9`a<9=a< 5 : 3 �&:x'0�c��<^=D89��na<9��@9=�S +Qe���$����c�v���!��=�[I�E$�� ���!',+&L&�&@Ne��tj0>9� 3 =!>o��$�=�@^�t�^M9�t�)<t�PD K @65+�aA�<�(%>89O!>9��<t�a<9+a<t(%>�'0�c�v<9=!>?�E$�� ���!',+?�&O!<^+, *bQ��>?��$���� <t�&n 3 ��89=a�0 )>^� 3�5 >^�N�)<t�y;,n�>^�!���v89O!>9��<t�!<^+!<�(%>�<9=!:xe�� 6 ���E$&j 3�5 @9��O�:�E$�� ���!',+!:I�&>^��������j (*<t����$�`�e�� 6 �I$&@^�&=!',�&n 3 ��>9+ 3 ��:���$�`&���&;,=&L���@^e��tj!>^� 3�5 >9�t�a<t� 3�5 ',� 6 �&:I<N��Ow;,O�>^`!���&Ox��>9���!����j (*<t�� ��5�3 �w<9`a<9�w`!<9�����,��$&j 3�5 @^�&O�:x��$&� ���a' 5 : 3 ��:��Nj >9�&� 782 < % 4Q�rB2*��=|�:a7&:eB�A �

�������-�����������4f� cf6� l : Oa$&� 6�5 ;0�&O 3 ��`a<d�?L*$&��@9���!��=a��� 3 ��<d� :yOa$&� 6�5 ;0�t� :v<^=�:CV l ;)e�=!;0=!:yf) Z��L%;,� 5 >^��$&��@d� 5 @^',�<9`�$&�q�?e�`&; 3 ��:L89��>w$�j >9�t��$��!< 5 ;,e 5 <t�oe��&� 5 C�(%@dj :L',�����oe�����`!<9�&89��>w$�j >9�t���E$&j ;0=!:i$&�a< 5 ',��Oae�`�S�f�����e��E����e��m�jM9��C,��@9=�[3 �D',������ yKL� $���+ 6 ��:Q<�(%>T89O!>9��<NM%>y<9na$�(%> e��&� 5 �tj >^����$&����� pZ�^p ��>ye����R<^M%@9� ��� �E$�� ���a' 5 :TS '0������L-M9�&C)�&@9=�[�89��>�tj >9����$�� 5 �!>��&>^�tp^�&@^<9=a<9��:HL��&�0�&nQ�&>�e���$&��� ��:X�E$&�c� 5 p9�t�&$&@^M*<t�De��&� 5 C�(%@dj :x',�����Q���,�E$&�c���a' 5 :L<t�&O?(%:X$&@9��:w<9=bM9�&C)�&@9=�tj >9�����q+�fv����e��E����e)�c� �t>NM �&>D�E$�� � 5 p9�t�,e��&� 5�3 ��',�����T�����E$&�c���a' 5 :x<t�&OD(%:o$&@^�&:�<9=�M9�&C)�&@^= �tj >9����]�+�o����e��E����e��\ � ���E$�� ���!',+D8^=!�, 0$��&ODe��&>^�&O 3 �x'0�c�y<t� ',�����T�E$�=�@9���8M^�N�)<d� :o�E$�� ���!' 5 : 3 �&:�'��c��<9=�M9�&C)�&@^=9L0���!��� `�C,�0<t� $���+ 6 �&:�<�(%>�E$�� ���!')M%>��&Oa<^M%>^L,�tj >9���,89=!�, )=D�E$�� ���!',+q<9=!: M9�&C)�&@9=!:�= 3 �c�&>9��p9��@^<9=a<9=?��$&`v<9=!>q��$&� ���a',+q<t�&OQ',������e&<t�&:a

�����������J������� f� ��;��"�j >9�&�H$��&@9�T$��!��ny;,= 3 �&>^<9� e�`�>9��$��&@9��<^=�@9+!;,�&O 3 ����8^M `!<9�R= 5 >^>9���c�T<9=!:Q= 3 � rs�&>9��p9�&@^<^=�;0jc�&:`�$�(%: <^=�> �&@dj ;,� 3 ��$&��@d� ',@9�&��� e�� ��8^M B�*l4r|�:!�;:�48< ��$&` <9= ;,�t�m@^� 3 ��<^=�> ��$&�&jm� $&@^��' 3 ��<t��$���� �&n!>^<t���I�&���E$�j 3�5 @9��O�:�E$�� ���!' 5 :! l >�;)<t� B ��@9�&89�t� ' 3 � f� cf��E$�� � 5 p^�N��e&�&>9�tj :o$&@^M*<t��<t��E$�j $&��89�3M9�&C)�&@9=!:?e��&� 3 �E<9��<t��&> 6 � 5 C)�t�2��e��&� 5 :<t�&OQ',�����y+v`!C,�?L,$��&n!�N�,=v= 3 � r �&>9��p9��@^<9=!;�jc�� l >Q�E$&�c� 5 p9�t�)e&��$&��� �&:���e��&� 5 :�<t�&OD>^�T�tj >9����;)e 5 <t�&:DS e�� 6 `!���&ORM9��C,��@9=�[<9`a<9� 5 C)�t� 3 jm�y�E$�� ���a',+?'0�c�y<t��'0������J%$�@ 5 $&�t�0��$�(%;08^+!$��!<^��>9� �������t�\ l >Q�E$�� � 5 p9�t�R�o����e��E����e��KM9�&C)�&@^= 3 $&�&@^�Nj)�&�����t�',������+T`�C,�?LR�t>NM �&> �E$�� � 5 p^�N�HfT�0��e��E����e)�c�cM9�&C)�&@9=y$&����� 5 C)�t� �v�E$&�c���a'0+)Jw>9� 3 =y�������t�2',�����0 l >y� 6 @9��j ;0�&O 3 �o<t�$���+ 6 �&:�<�(%>�E$�� ���a')M%>T<9`a<9��$&�&jm@^>9�&O 3 �v$&������_ m pZm _\[ , �0O�;0� e��� l ����� $��&@9��<^=�@9�tj ;)<9��`a<d�*�&Oa<9`&:y��<9@9`�$&�&:3 �E<^@9+ 3 ��<t�&:q�Nj >9�&�2$&� �T$��t@9jc$�����e��&: 3 �c��e����289��> 3 $&�&@9��n 3 �o$�� 5 �!>D>9��$��!�!����$����&;��c�&;,�&O 3 �X<d� :q�E$�� ���a' 5 :;L��������y$�@ 5 $&�t�>9� � 6 @9��j ;,�&O 3 �d DP�� V,�&Oa<9`e���� 5 >9� 3 �E',������e&� 3�3 ��<d�R��$&`�<^=�>v< 5 C)>9=T<t�&O 3 �E<9@^+ 3 ��<t�&: 5 ')e��t� <t���H;,<t�>9��8d�c��� 5 p^�&O 3 �3 �c�ve�����+D;,�t�m@^� 3 �E<9@9+ 3 ��<t�&:HL�$&��O 6 �y�&8^=!',+!;0�t�0;,�x��$���` 3�5 <9@9= 3 ��

����������������� �"! #%$'&��)(*$'+,$�-.�)/*$.& 01+321! �"$���45#�!)/*0'+,#%016�7,$'(38�!)(9�):�!%&<;1����016�+,85& $'& /*� #�!)+,=1$'/*;>2'?�(*0@#%0�(9!)$'65#*?@#%016A-'$.&B#%0DC�EAF�E :GE=1/�H<#%0.&I$1/5& J�2'0'K�!%K (�$'&�0'&"L.M"N.MIO.M"P'MQC�C�MRCSN.MI!)(*HT03UV8�!)(W!%K (�$'&I=1/*H�#%01+5M�$1����;9X"Y�Z�[1\)���5�]$1/5& J�21?'+5E�^_=';1/�:.0'6�(`;1=1!%& /*0.&"=1/�H<#%0.&�$'/�& J�210'K�E

��a ?'/*0'+�8*!)(`!%K (*$.&"-'$�JG& !)/�b�2'�)(*0'+5E

Page 17: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� ���������� ������ ������� �� ��� ��� �L��������-����������� f� k&� � �c� �^]dr 3 ����+!:i� 3 ��89�D�E$�� � 5 ',�t���&@^C,=a',`?e��&��SV8d�c�&�0�&@9�E<d� e�`&[%Oa$&��@9C)=!',`� � �i$�`&;,�&O�:L<^@9`�$&��O�:

3 $��&@9�tj0>^� '0j >9�t�0�&Oa<9`A31 ��$&�&>^<^=�;,=��tj >^��� 3 ��_EX � �u[ ��XX8d�c�&�0�&@9�E<d� e��&n!:*<9@9`�$&�&O!:! B @^M*<t����$&� � 5 ',�E<N�&�9���&@9C)=a'0`�:Ie���� 3 ��<^����Oa$&�&@9C)=a',`&:!

P��m�y<N�!>v�&@9C)=a',` 5 C,��O 3 ���N] ��$&� ���a' 5 :a l �0�&nT�E$�� ���E'0�tj��&Oa<9`�:;L 5 ;)<�( � � LH;)<9= 6�5 ;,= <t�&O O!$��&@9C)=a'0��n 3 $&�&@^�&n 3 �o>9��E$�� � 5 p^�&O 3 �D��$���� �!>989+a$&�a<9�v�Ee&<9`�: <t�&O ��L 5 C)�&O 3 �v89=a�0 �� �E$&�c���a' 5 :a B �&@9��<9=!@9�tj ;,<^�v`!<9� �&�%8^n����E$&�c���a' 5 :�89��>��tj >9����&>9��p9��@^<9=a<9��:�&�0�&n = ��$&� ���a',+ <t�&O �&@9C)=a',�&n �E$&=!@9���8M9�t� <t��;,n!>9�!��� <�(%> 89O!>9��<NM%> �E$�� ���!')M%> '��c� O!$��&@9C)=!',`�L�89��>�E$&=!@9���8M9�t�)` 3 (%:�<t�v$���+ 6 �&:X<t(%>q89O!>9��<NM%>?Oa$&�&@^C,=a')M%>� *"Ij >9����89=a�, �����89n!���&Oa< 5 :��E$�� ���!' 5 :w= 3 � rs�&>9��p9�&@^<^=!<^��:!

! ��"������ f� ��Nu9��V " ;)<t( 3 �c��� 3 �&8^� -y�&>989@^M%> e���� 3 �c� � 3 �&89� F ',O!>9��� e&M%>� � �Q$�`&;0��O�:q<9@9`�$��&O!: 3 $��&@9�&n 3 �?>9�$&��>^<9@ 5 ,0�&O 3 �De�����<t�&O!: - ��>989@9��: 3 �v',O�>9�&jce&�t:v��$&` ��O!<^+ <^=�>y� 3 ��89� <�(%> F�3 � ;,C)n���O�>y��� ;0O!>9+ 6 �t� :ve���>9`�>^�t: S `�C,�8d� ',� 3 jc��[�

! ��"������ f� ��9F6��P��c� � T O�$&`&;,��:Q��r7��;,O�>^�t@N<9+!;0�t� :wO!$��&@9C)�&O!>q��$&`v<t� 6 �a8�;)<N� 6 O98 3! ��"������ f� ��N}9� { <9=!>ZV l ;,e�=!;,=vf) Z�^uQ�������&p^<^�w<t�&O!:xe���� >^(%>9�ce&�&n�:�e&�&>9`!>9��:�M%;,<^��>9�y�E$&� <9@ 5 $��&O�>o;,� 3 �c��',O�>9�&jce&�

>9��$&�&>N<9@9��Oa<9�tj)<t�&Oa<9`!C)@9�!>9��`&;0��O�:w�&>^<9@^�t: 6�5 ���t�

A2/V. h?$ � GO)�( � * � 8/&@8 � 2 � �<4/>i4 &@,+*7$1)�2�9;40/�� &@8 � G���:-&<* (?: D 4/F6$') D� �X$&`&;,�&O!:x<9@9`�$&�&O!: 3 $&�&@9��n 3 �x>9� 8d�c��� 5 p^�&O 3 ��L&e���<^��<^@9`�$�� 89�m��<9�E<t��' 3�5 >9��L�?��<t� 3 ����$�`CO 3

J �LK9���J��� f) ~K��M �D K/@65��FA :nIM�-�E< 4;:eBr:�4HG�25� �eI � � % ���rIM��� � T O��S �^��[ S�� * krqEqrqrk�� � U�2�B � ? 6 O98��LK�4 �E< 4 ! � |KBr:=<?>Q�Be� �e48<

O�STOx�t_aU=SYO3� p U �r�r� STOx� � m _aU=q

!�W (&�����YX �-�i"%$�� � 5 '0��O 3 ��$&@^M*<t�X<N� � * �P�� VE�&Oa<9` 5 C)�&O 3 �-O�89O!>9��<^`!<^=!<^�t:a /V " C)��>^<t�&:%�E$�� � 5 p9�t�N<t� � * 89��> 3 $&��@9�&n 3 �$�� 5 ��>x>9�D8d�c��� 5 p9�&O 3 �i<t��jc8d� �D;)<t��� C)�tj �?e��&��'0�c� � # � ��89O!>9��<^`!<^=!<^��:X$��&O 5 C)�&O 3 ���&@^�D'��c�Q<t� � # �tj >9��� 3 jc�Q��� ',`a<9��@9��:;L89=a�0 JOP� _! �V " C,�!>^<t�&:��E$�� � 5 p^�N�H<t� � * k0� # ����89O�>^��<9`a<9=a<9��:Q'0�c� <t� � ) �tj >9����$�� 5 �!>WOP� p L�e���$0 B �&@9��<^=�@^�&n 3 �Q`a<d����H�E$�� ���a' 5 :?�tj >9���R= 3 � rs�&>9��p9�&@N<9=a<9��:! ?bQ��>��E$&=!@9���8M9�&O!>D89=a�, 2��� 3�5 C)@d�Re���$&���c�;)<d� ' 3 +y�E$�� ���a' 5 : 3 �&:Q<t�#D K @65+�aAx<�(%>3 �E< 5 $��t� <t���E$�� ���a')M%> 3 ��:! q" ���&@ 3 `8M9�!>^<t�&:Q<^=�>��&@9C)+ <N��Oy$&�a�!����$�����;��c�&; 3 �&nD$���jc@9>9�&O 3 ��<t� ��$&�a< 5 ����; 3 ��L2�&�0�&ny'0�c�<t� �!� 6 � 5 C)�&O 3 �oOZ� � m _�[ Oj��S����\_FU*89O!>9��<^`!<^=!<^��:L�&���&n 6 � 5 C)�&O!>x+!89=�C)@9=!;�� 3 ��$&��� = 6 �tja��e�@d� ��M%:����P_�;)<t��� C)�tjc���$�`�<t�CO* �

� (9��� �8��� f) Z���+M �cD K @&5��FAC:nI �c: |K�HDEIM��e4 �a< 4;:S�C*;�r�E2 BC�K:a7 �6Be< |�� :e4��K:;�E< }�Be� 4�B ���aAW� �<��� K�=�c2�B O��K: �a< }�Be� 4Be� �e48<

O��8[�_ �Ep�� Z �r�E� O�q� <�E< 4 ! � |KBr:=<?>��a��4&�^: �a��: |K��D��a<�a< �;:e4 *�76A �LK&IM�:nI �Z��: �a< }�B=� I �bB��F�FAu� �_�F� K�r�AK �FG ����:�48< 3 �E<N� 6�5 ;,�N� :: �r��� �<��� K�=�LV

!�W (&�����YX �-�LKL�D>^�Q8d�c��<^�&p9�&O 3 �i<t�Q;)<t��� C)�tjc�?<t�&Oo;0O!>9`a����O�;,<^=q;,�t�c@9�D�tj >9����<t�vjc8d� �o$&@9��' 3 � 3 �L<t�Q>^�D8d�c��� 5 p^�&O 3 �3 �c��8d�c��<^��<t��' 3�5 >^=O�r �&8^� ��$&`��&Oa<9�� " �0�&@ 3 `^M9�&O 3 �x����� $&`!>�<t�Tzx�EM%@9= 3 � f� ~ 3 ��� [�O* �

! ��"������ f� ��N�9��P�@^�-,0<^��`!����:w<9� : 3 �E<t� 6�5 ;0�t� :x<t�&O?;0O!>9`a����O � /Zk 5Wk 6��� ! ��"������4f) f!]&� � ��$&`&;,�&O!:�<9@9`�$&�&O!: 3 $��&@9�&n!> >9� 8d�c��<t�&C 6 ��n�>�<N� ,�=!��jc� �;Lcf6L k&L ~9Lc-�3 � ��$�`&;,�&O�:�<t�7,�=!��jc�

�;L��;L k&L ~9Lc-�3! ��"������ f) f)�;� { � 3 �c��$&`a��= 3 � ��p9�-,�+!���c��<^=!� 5 �0(%>9� $&`&;,��>9��n 3 �t@^��<t� $&�a��n 3 $&�&@^�Nji>^��O!$��&@9C)�&O!> C�(%@dj :

�E$&�&>^����� 3 ���&>9` 3 �t>^�8,�=!��jc� 3

A2/\A � 0 � * � 8/&@8 � 2 � ��4/&�(�&@,+*7$1)�2 ��(�/ �XD 4 �/D1� : � ) �B `&;,��O!$��&;0n!>9�a���D<t�&OQ;0O!>9`a���&O 6 O98 S +9L,��>�' 5 >^�N�?L)��>9`&:�;,O!>9`!���&O 3 ��O ;,<t��� C,�tjc��[ O!$��&@9C)�&O!> 3 � 3�5 ',� 6 �&: V 3

Page 18: Διακριτά Μαθηματικά

�%� � ��� ���������� ������ ������� �� ��� ���J �LK9���J��� f) -&� PX��X T\V�T O):E�r:eBu: �j�HR<� � K � 6 O98 � @ ��D��a< � ��@9D��r:eB���R<� � K�u2�B�Oh�K:;�E< }�Be� 4 � ��}�Be<� O

V�� sN[ O�STOx�t_aU �E�r� SYOx� Vum _FUV �

�8D �F�HR�� �LK�42�BaG��=5+�=��A V ��48>��LK �r��5���RE2�B�:a7���RE2^�/48��7��r:r<A����4xG&< �F�=2�B � � 2�B��DF4r|���G�� �H:eB�A�<N����R�:�48<&2 B�� ( �r:E�&<8X �^[�_ � VKL� ;0n 3 ���a���� & �� $�@9�&� 5 @9�E<t��� J+O �&>9� V � (9��� �8��� f� cf6� P���O�k V�! ���9<�>��a� 4=| < 5H2��a� ( X T V�T O ( :r�r:=B�434=| < 5H2��FA

O�SYO3�t_aU �r�r� STOx� Vum _aUV �

Be� �e48<K46>���|948< �FA V!�W (&�����YX �-� l O!<^`q$��&O M9=a<9� 3 �i>9� 3 �E<^@9+�;,�&O 3 �I�Nj >9�&��<t�q$���+ 6 ��:�<�(%> 3 =�8d�c��<9�E<t��' 3�5 >^(%> V r �&8^(%> 3 �i89�m�����&@9�E<9�ce&�

;)<N�&� C)�Njc�o��$�`q<t� 6 O98s ��5 ',��>^<t�&:L`a<d� 6�5 ����O 3 ��>9� 3 �E<9@9+!;,�&O 3 �). 3 =o8d�c��<9�E<t��' 3�5 >9��:T/ V rs�&89��:i��>9>9��n 3 �i`!<9�&�&>x8^n�� V r �&89��:8d�c�&� 5 @^�&O�> 3 `!>9� (%:v$&@^�&:v<9= ;0�t�c@9� $��&O� 3 �0�&>djNM9�!>^<t����<t� ;)<N�&� C)�Njc� <t�&O�:HL�<^`!<^���&O!< 5 :D<d� : 6 ��(%@^�&n 3 ��jc8d�c�t:ve��&��<d� :3 �E<^@9� 3 � 3 jc� �0�&@9�� l >���O!<^` 89��>yj ;,C,O!��L �&>y89=a�0 R8d�c�&�0�&@9�E<d� e���8d�c��<9�E<t��' 3�5 >9��: V rs�&89��: 6 �E(%@9��n�>^<t�&>y8d�c�&����@9�E<d� e 5 :;L<9`a<9�X<9=!>?��$&�&>^<^=�;,=?<^=v8dj >9�t�,<t�yzx�EM%@9= 3 � f) ~KL)89=a�, 6O�SYO3�t_aU �r�r� STOx� Vjm _aU�

B �&@9��<^@9�tj ;)<9�w<NM%@9��`!<9�0;,�we�� 6 � 3 =Q89�m��<9�E<t��' 3�5 >9= V rs�&89��L�;,�we&� 6 �w89=a�0 V r 3 �E� 5 :XO!$��&;,n�>9�a���Q<t�&O 6 O98 L)�&>^<9� ;)<N�&� rC)�&n!>y��e&@d� ��M%: V �R8d�c��<^��<t��' 3�5 >^�t: V rs�&89��:HL 3 �c��e��&� 3 �?<9`&;,�&O!:D<9@9`�$��&O!: 3 $��&@9�&n!>�>9� 89�m��<N��C 6 �&n!>v<N��;)<N�&� C)�Njc���>9`&:V r 3 �����&n!:x;,O�>^`!���&O�S B `�@d� ; 3 �yf) Z�9[E +V l @^��L�;)<t��>q�&@d� 6�3 `CO�STO��t_aU �E�r� SYO�� Vjm _aU�e�� 6 � V r 3 �E� 5 :�Oa$&�&;,n!>9�!���D<t�&O 6 O985 C)�N� 3 �E<9@^= 6 �tj,��e&@d� ��M%: V �)�0�&@ 5 :! P��c��>9�D�&@^�&n 3 �w;,O!>9�E$�M%:x<t�v$���+ 6 �&:X<t(%> V r 3 �E��M%>oOa$&�&;,O�>^`!�!(%>x<t�&O 6 O98��&@^e��tj)>9�8d�c���c@ 5 ;,�&O 3 �x�&Oa<9`D<t�!>?��@d� 6�3 ` 3 � V �� �

�����������J�������yf) f&�*"Ij >9����;,= 3 �&>^<d� e�`q>9�q<N�!>dj ;,�&O 3 �i��8^M�`!<9�&=�$&@9�&=a',�&n 3 ��>9=���$�`&89�t�cp9=�89�&Oa���tn!�t����e&@d� ��M%:L�E$&�t�c89+e�� 6 � V r 3 �E� 5 :v;0n!>9�a��� �Nj C,� 3 �E<9@9= 6 �tj�: � ��� �a< �x4r|�< 5;2�� ! � |/P � ;)<9=!>T$&��;0`a<9=a<t�PO�STO �y_aU �E�r� SYO�� VCm _FUeL*e���� ��@9�8d� e���� �&n 3 �&;)<N��>�>9�y89�m�&�m@ 5 ;,�&O 3 �X8d�c�y��O!<^`D<N�!>q�&@d� 6�3 `����&@NM%>�

! ��"������ f� cf!f&� B �&�m� �tj >9���,<t��8d� 3 �E��+DOa$&�&;,n�>^�!���Q<t�&O 6 , 8�[e��_;k p k Z9k , �� �������-����������� f) ~K� � �?$�`&;,�&O�:q<9@9`�$&�&O!: 3 $&�&@9��n 3 �q>^��89�m��� 5 p9�&O 3 ��< 5 ;,;,�t@^�N� :D8d�c�&����@9�E<d� e��&n!:?89� ,0+���� �&O!:Q��e&�Er

@9��j �&O�:S 89� 3 �&:��t>^8d�c�&� 5 @9�t� = ;0�t�c@9��<N��O�:N[��&na<t(%:vM%;)<9�v>9� C�(%@djNM9��>N<N�&�%��O!<t��jR;0��89n!��M^�tna',=e�������� ��@d� 6�3 ��j�e�� 6 �M9��na'0��O�:I>9� 5 C)�&O!>L<t�ojm89� �o89��n!<^�t@^�vSVC)� 3 =!��`!<^��@9��[ ,0=���j �o���!�����&@9� 6�3 ��j!;,��89�m�����&@9�E<9�ce&�ZM^�tna',=x>9� 5 C)�&O!>X89�m�����&@9�E<9�ce&`89��na<9��@9��,�=!��j �A3

P��c�T>9� 3 �E<9@^+�;,�&O 3 �x<t�&O!:x<9@^`�$&�&O!:�;)e����0<9` 3 �&;)<9� 3 �x$&���c� 8d�c�&8d� e��&;0jc� 6 ��$&�&@9��'0��O 3 � 3 �!>9�&;,+ 3 �&>^<t� 5 >^� < 5 <t��� ���$��!< 5 ����; 3 �� B �&@9��<9=!@9�&n 3 �L`a<d�&;)<9=q89��n!<^�t@^= 6�5 ;0=qC)@9=!;�� 3 ��$&��� ��n�>^<t������e�@d� ��M%:X8^n�� ,�=!��jc��L 5 >9�D;)<t� 5 >9�M^�tna',�&:�e����5 >9�v'0�m��<t���������� l $&�����&;0jNM9�&O 3 ������� $�`�>�e�� 6 �w<^�E<9@9�&8^� < 5 <t��� (%>o�&@d� 6�3 M%>q>9��<9=Q',@9�����&O 3 �X(%:��tp^+�:aJSVf!]�[ � 2 k � 2 k����Fk ���`�$��&OD� ;,C)n��t�SVf)�^[ 2 k�� �EX9krqEqrq=k��/�;k � k � k��Kk �e ��_;kEqrqEq=k ���^k 2 ' �Fk � ' � k�� ' �ZqKL=!>I<9�E����O!<t��jc�X�&O!<^+L��$&�&j <9=!;0=i<^=����8M9��O 3 ��M%;,<^�*e�� 6 �%<^�E<9@9�&8^�x��$�`x�&Oa< 5 :*$&�&O 6�5 ���&O 3 ��>9� 3 �E<^@9+�;,�&O 3 �*>9�X',@9�&���E<t���3 �j2�� �e4��E<?>8�X<9@9`�$&��;,<^= 3 ��@9��+�SVfa]�[E B ��>^<t� 8^=!�, �`a<N��>?�tj >9���,>9�v'0@^�-,��&O 3 � 3 �c�v<9�E<9@^�&89�ve���<�( '0@^�&���&O 3 �X$&@^M*<t�v<t�M9��Oa'0��@d��`�$��&Oy<t� ,�=!��j � <�(%> 3 �!>9�&8^(%> �tj >9����<t� 3 �E',����n!<^�t@^��L2e���� 3�5 ;0� ;,�Qe�� 6 �M^�tOa',�&@d�H'0@^�&���&O 3 �q$&@^M*<t� �&Oa<9`!><t��>q�&@d� 6�3 `v<t�&O?��$&��j ��<t��,�=!��j ��<�(%>q89�Ee��&8^(%>q�tj >9���,<t� 3 �E',����n!<^�t@^��

KL� �&>^<9�ce&�Nj 3 �t>^�v89=!�, �$&��O 6�5 ���&O 3 �X>9� 3 �E<9@9+!;0��O 3 �x�tj >9���0;,� 5 >9�v$&@^�&: 5 >9� �&>^<d� ;,<t��� C,jc� 3 �X<d� :x�tp^�&89��:S 2 k��Fk���k���k��9k���U

$&��Ox� e��&>^��$&��� �&n�> <9=!>�S�f��^[� �P��c��>9� 3 ��<^@9+!;0�&O 3 �*<9� :���p9�&8^�t:I�&Oa< 5 : 3 �E<9@9� 3 � $�@^M*<t��$&`&;,��:I�tj >9���a���a�E$�� ���a' 5 : 3 �&:�'0�c�x<t�M9��na'0��: 2 k��FL!$�`&;,�t:I'��c��<t�jM9��n!',�&: � k �qe����d$&`&;,��:�'0�m��<t�jM9��na'0��:��Kk �o �"%$&�t�c89+&La��`a')( <^=�:I��n!;0=!:�<9=!:�;,O!> 6 +ae�=!:xSVf)�^[eL�&Oa< 5 :����,�E$�� ���a' 5 :x�tj >9���0��>9��p9�&@^<^=!<^�t: 3 �E<t�&p9nQ<t�&O!: 3 $&�&@9��n 3 �x>9��<d� :w$&�a������$����&;0�c�&;0��O 3 �a l �����v'0�m� >9���E$�� � 5 p^�&O 3 �<t��M9��na'0��: 2 k�� E�aX9krqrqEq=k �/� 3 � 2 ' � 3 $&��@9�&n 3 ����$����y>9���E$�� � 5 p^�&O 3 � 5 >9��8d� 3 ��� 5 :oO!$��&;0n!>9�a����<t�&O��EX9krqEqrqrk����?e����>9�v�!>9� 3 �&;0��O 3 � 2 <t� 3 ��',����na<9��@9�D;)<t��� C)�tj �?<t�&Oqe�������<t� 3 �ce&@9`!<^��@9�� *KL�Q$���+ 6 �&:w�E$&�c���a',M%> 3 �&:w89=!�, &�tj >9��� � * i# e��&��L� 3 ��j (%:�;,e&��$�<9` 3 ��>9���?L&��� 5 $&�&O 3 ��`a<d�0'0�c�v<t�WM^�tna',�&:���k�� 5 C)�&O 3 �����

# �E$�� ���!' 5 :we��&�0� 3 ��j (%:x'0�m��<t��M9��n!',�&:��9k��o

Page 19: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� ���������� ������ ������� �� ��� ��� � �

KL��<9�E���ce&`v��$&�a< 5 ���t; 3 �v�tj >9���,����� $�`�> � _aXp � � �

p � # q�������-����������� f) -&� l $&` 3 �c� ;0O!>9= 6 � ; 3�5 >^=Q<9@9��$&�&Oa��� 3 �x$&`�;0�&O!:x<^@9`�$&��O�: 3 $&�&@^�&n 3 �x>9� �E$�� � 5 p^�&O 3 � 3 ���0��p9��89�

��$�`v��na�����DOa$&`D<t��>�$��t@9� �&@d� ; 3 `Q`!<9�0��e�@9� ��M%:w<^@djc�v��$&`v��O!<^�v�Nj >9�&�0;)$&� 6 �c�S � [ 3 � �,��p9��89��:w$&��OQ�E$�� � 5 ',�&O 3 �L�tj >9��� 3 =8d�c��<^��<t��' 3�5 >^�t:a

P��c�q>^�?��$��&>^<^+�;,�&O 3 � �&@9j ;,e&�&O 3 � 3 �c�q89�m��8d� e��&;0jm��$��&@9��')(*',+�:I<N��Ow<9Oa$�� e���nw��$��!<^�E� 5 ; 3 ��<t�&:a l ����nx���&�c$�`�>i$�@ 5 $&�t�<9@9jm� ��$�` �&Oa<9� <t� C,��@^<d�c� >9� �tj >9���I;,$�� 6 �c� p9�Ee)� >9� 3 ��8d�c��� 5 ',�!>^<t�&:y$�@^M*<t� ��$�V�`!��� �&O!<^�� KL� <^@djc� ��O!<^� �0n!�!����E$�� � 5 ',�!>^<t����C�(%@dj :�e��&> 5 >^��$���@d� �&@d� ; 3 `v��$&`D<t��^kQ;0O!>9�a�&� e��v;)$&� 6 �c�v<9=!:w<9@^��$&�&Oa���&:! �V l @^�y���,89O!>9��<9`a<9=a<9��:X'�� V��&Oa<9+<9=!>o�E$�� ���a',+Q�tj >9��� � * )

) { <^=T;,O�> 5 C)�t�c�T�E$�� � 5 ',�&O 3 ��<t��Oa$&`a����� $&��<9@djc���0n!�!���y$&�&O�$&@ 5 $��N����$����T>9� 3 =�>v�tj >9���2;)$&� 6 �c��L2�E$�� � 5 ',�!>^<t����89=a�0

��$�`�<t� Z �g_ Zj[[Z �D�0n!�!���D$&�&OD8^�t>o�tj >9����;)$&� 6 �c��L)8dj >9�!>^<^�&: 3 �&: � ) �) 89O�>^��<9`a<9=a<9��:a

"%$&�t�c89+D=D$�@^M*<9=Q��$&� ���a',+yS <�(%>Q;)$&� 6 � M%>d[i�tj >^���0�&>^�tp^�&@^<9=a<9=Q��$&`v<9=Q89��n!<^�t@^=Q<t��<^�E�&� e�`v��$��!< 5 ����; 3 �v�tj >9���� _ ZZ � � � Z �Z � q

�������-������������f� u&�i"Ij >9����$&�a��nv;,= 3 �&>^<9� e�`y>^�T<t��>dj ;0�&O 3 �x`!<9��= ��$&�&@dj 6�3 =!;,=D$&�&ODe���>9� 3 ��;)<t� B �&@9�&8^�N� ' 3 ��f� c-�tj >9���0;)(%;)<9+v�E$&�t�c89+D= 3�576 �&8^�&:xe���<t�&;)e���O!+�: 5 C)�t�,<9� :���e&`!���&O 6 ��:w�m89�m`a<9=a<9��:

� "Ij >9���%< 5 <t���c� M%;)<9�T8d�c�&���&@^��<9� e 5 :T�E$�j 3�5 @9�&O!:��E$�� ���!' 5 : S ;)<9= 3�576 �&89� e���<t�&;)e���O!+�:�$&�&O $&��@d� ',@9�-,0� 3 � ����E$�j 3�5 @9��O�:D�E$&�c���a' 5 :q+!<t�&>�89n!��J�$�@^M*<t��=T��$&� ���a',+ <�(%> ;,$�� 6 � M%>�e���� 3 �E<9� =��E$�� ���!',+�<�(%> 3 =�;,$�� 6 �cM%>9[�&8^=!',�&n!>��&>9��')e���;,<9�ce&� ;,��8d�c�&�0�&@9�E<d� e�`���$��!< 5 ����; 3 ��L&e&���

� ��� 6 �x8^O�>9��<9`���$&�a< 5 ����; 3 �v�Nj >9�&�089O!>9��<^`y>9�ve���<N��;,e���O!�&;)<9�tj 3 �x<9= 3�576 ��89` 3 �&:a � �I8^n�� �&Oa< 5 :�c8d�c`a<9=a<9��: 3 �^MdjI��p9�&;,�����&jNM9�&O!> `!<9��Oa$&�&@9C)�t�%� 3 ��� 3 ��>^�&;0+ 3 ��>^<9= �&>N<d� ;)<t��� C,jc� �&>9� 3 �t;,� ;0�T�&O!<^� $&�&Oe���<t�&;)e���O!�8M9�&O 3 �Xe�����;,���&O!<^� $��&O 6�5 ���&O 3 ��>9� 3 �E<9@^+�;,�&O 3 ��L���@9� 3 $&�&@9��n 3 ����$���� >9� 3 �E<^@9+�;,�&O 3 �x<t� $���+ 6 �&:�<�(%>�&>^<9� e��t� 3�5 >^(%>�$&�&OQe&��<t�&;,e&�tO!�8M9��O 3 �a

P��c� >^��<t�!>dj ;,�&O 3 ��<N�v$�`&;0�v;,= 3 �&>^<9� e 5 :��tj >^���,��O!< 5 :w���08^n�� �c8d�c`!<^=!<^��:we�����$&`�;0�v$&@^�&;0�Ee&<9� e���j�$&@ 5 $&�t��>9� �tj 3 �&;)<9�;,�w�&>N<dj ;)<t��� C)� 3 �E<^@9+ 3 ��<t��L&��:w$&��@9���!���&p^�&O 3 �i�&j '0�?<N�Q�t@NM*<9= 3 �D<t�&O B �&@^�&89�tj ' 3 ��<t�&:wf� c-� l :w@^(*<9+!;,�&O 3 �L<N��jc8d� � 3 �3 `!>9=D89�m�����&@9� `a<d�0<NM%@9�y8^�t>o��$���� <t�&n 3 �u46>=|�< �1PoA�<9@djc����na������>9���tj >^����;)$&� 6 �c� �������c: �r�!K1� }�<N��: � �X<^@djc��

l :��&@9��n 3 � 3 �c� 8d�c�&8d� e��&;0jc� e&��<t�&;,e&�tO!+!:�SV;,n!> 6 �E<^= ��$&� ���a',+�[E l �0�&n `�$�(%;,89+a$&�a<9� 6�5 ����O 3 �y<9@9jm� ;)$&� 6 �c� �&:p9�Ee)� >9+!;0��O 3 �q�E$&�c� 5 ',��>^<^�&:o<N�0 �V " C)�&O 3 �q$������ � * )) 89O!>9��<9`a<9=a<9��:o'0� V,��O!<^+ <^=�>v�E$�� ���!',+) { <t��89��na<9��@9�;)<9�&89� � 3�5 >9�t���$�����>9� �E$�� � 5 p9��O 3 �X�������v<9@djc� ��na�����v��$&`v<t� �t>^��$&� 3�5 >9�&>^<t� , �&L)�&�0�&nQ<^M%@^�T89� 3 �&:�$��N�c@9�^M9�t�0>9� 5 C,��O 3 �x�E$�� $�� 5 ��>;)$&� 6 �c�� { <t� 89��n!<^��@9��;)<9�&8d� � ���&�c$�`�> 5 C)�&O 3 � ��� �

) 89O�>^��<9`a<9=a<9��:a �" �9VR`&;,��>�<t� 89n!��;)<9�&89�m� �E$&�c���a'0+!:v�tj >9���%= 3 � r�&>9��p9��@^<9=a<t� S $�@9�&=a'0��O 3�5 >N(%:Q+a<N��>v�&>9��p9�&@^<^=!<t��[ 3 $��&@9�&n 3 ��e����H$&�����2>9�$&�a������$����&;0�c�&;,�&O 3 �xe����2$&�&jm@^>9�&O 3 ��<9�E���ce&`��$��!< 5 ����; 3 � � _ Z

Z � � � , �Z � q�Il z ��{���������Q��`a'0��:X�tj >9����`a<d� 3 $��&@9�&n 3 �L>^� 5 C)�&O 3 �i<t�vjc8d� �Q��$��!< 5 ����; 3 �Q��e&` 3 =oe)���&>�=q;0n!> 6 �E<9=o�E$�� ���a',+ 3 �&:X���!���&p^�N�

P��m�q$&�&@^�&89�t� ' 3 ��L�=�e���<t�&;)e���O�+ 3 �&: 3 $&�&@^�Nj&;)<t�?$�@^M*<t�D;,<^�&8d� �Q>9� 3 �&:w8NM%;0�t��� � L&f � L&k � e����&;)<t�D89��n!<^��@9�?~ � L��� e����)f � � $��&@9�tj��E$�j ;,=�:X>9� 3 �&:x8^M%;,�t�,;)<t�D$&@^M*<t�v;)<9�&89� �T� � L�f � L&~ � e�����;,<t�v89��na<9��@9�v>9� 3 �&:X8^M%;0�t�,k � L��� e����)f � 1 <9�E��� e�+?��p9��89�v�tj >^����;,<9� :x89n!�v�&Oa< 5 :�$&��@d� $�<NM%;0�t� :X=Djc8d�c�� -V l @9�v�v�&@9� 6�3 `&: � * )) � � � �) $��&OqO!$��!���!'0j ;,� 3 �$&@^�&=!',�&O 3�5 >^(%:x�Nj >9�&�0�&O!;,<^=�@^��S e���� 3 ���!����>�e���<^�v$&�a��n�[ 3 ��',����na<9��@9�&:X<9=!:x$&@9��' 3 ��<d� e�`a<9=a<t�&:a

B M%: 3 $&��@9�&n 3 ��>^�?8d� �&@ 6 M%;0�&O 3 �I<9= 3�5E6 �&89` 3 ��:�3 � �c�o��$���+���$��&>^<^=�;,=��tj >9����`a<d� 3 $&��@9�&n 3 ��>^�?8d�c�&C�(%@dj ;0�&O 3 �I<d� :89O!>9��< 5 :I��p9�&89��:i;,�I< 5 ;,;,�t@^�N� :Ie���<^=!',�&@9jm��:aJR�&O!< 5 :I$&��O 5 C)�&O�>L��e�@d� ��M%:Ik9L!��e&@d� ��M%: ~KL!��e�@9� ��M%:i-X+���e�@9� ��M%:�uw;,$�� 6 �m�0 � $&�&@^�&n 3 �?��nae��a���>9� 3 ��<^@9+!;0�&O 3 �q<d� :Q�tp^�&89��:Qe�� 6 �?e&��<9=a',�&@djc�&:HLH�&O�;0�c�&;)<d� e�� 3 �q<9= 3�5E6 �&89� <t�&O B �&@9��89�tj ' 3 ��<t�&:f� c-6L�e����0;)<t�v< 5 ����:�>9��$&@9�&; 6�5 ;,�&O 3 �w�&O!<^�D<t� < 5 ;,;,�t@^� >^�&n 3 ��@9�� +V "%<9;0�0<t����$&�a< 5 ����; 3 �v�Nj >9�&�� _ Z

Z � � Z �Z � m � _ Z

,�� � Z �p�� m � _ Z

�� Z � m � _ Z% �

Page 20: Διακριτά Μαθηματικά

� � � ��� ���������� ������ ������� �� ��� ���`�$��&OT�e�� 6 �?$�@9�&; 6 �E< 5 ��:Q�&>^<9� $&@9�&;)(*$&��n!�t�He��&� 3 �c�e���<^=!',�&@9jm�0 TS gi�7�&�&�c( 6 �tj <9�q`a<d�Re&��<t�����!�&��j >9�E<^�q��O!<^+y<9=!>��&>^<9� r;)<N�&� C,jm�0 c[

�������-����������� f) cF6� l >X�&>9��$�<9n!p9�&O 3 �XS ',@9�-,0�&O 3 �i89=a�, d;,<^= 3 �&@^��+ 2 i m 2 * � m 2 # � # m\�r�r� m 2 & � & [�<t��$&�a��O!M%>9O 3 �S _ m ��U * i $���� �&:w�tj >^������;0O!>^<^������;,<^+�:X<t�&O � � 3

l :T;)e����0<t�&n 3 �D��j ',� $�M%:yOa$&�a���a'0jNM9�t��e��&>9�tj :v<t���&>^��$�<^O!' 3 � ��>9`&:�'�� >9� 3�5 >9�&O&L*'0�m� ��$���`a<9=a<N��<t�&O#S 2 m �=U # [S 2 m �rU=S 2 m �rU%$&�&O 5 C)�t�)8^n�� 3 `!>9�Q$&��@9��',��>N<9��:Xe&���&`�C,���N]q`�$�(%:X�&O!<^`?$��&OjM9=!<^� 3 �d *KL�q�&@dj ;,e���O 3 ��$&��jc@9>^��>^<t�&:Le�� 6 �$&@^�&; 6 �E< 5 ��<t�&O�$&@^M*<t�&Oy� 6 @^��j ; 3 ��<t�&:o$&�a������$����&;0�c�&; 3�5 >9� 3 �oe�� 6 �q$�@9�&; 6 �E< 5 ��<t�&O 89��n!<^��@9�&O&L�e����H� 6 @9��jNM9�&O 3 ��<t���$��!<^��� 5 ; 3 ��<t�� l >����&�c$�`�>�@N(*<9+!;0�&O 3 ��$&�&�m`�:x�tj >9���0��;,O�>N<9�E����;)<9+!:X<t�&O 2 �w;)<t�v�&>9��$�<9Oa' 3 ��L)�tj >9���);0��>9��@^(*<^� 3 � 3 �$&`�;0�&O!:x<^@9`�$&��O�: 3 $&��@9�tj0>9� � 3 ����>d� ;)<9�tj,<t�v'0� >^` 3 ��>9� 2 �Xe&�&>9�!>^<t�&:x<t���&>9��$�<9Oa' 3 ��`�$�(%:x$��&@9��$��&>^(L

� `!')( �&>^<d� 3 ��<t� 6 ��<9�ce&`!<^=!<t�&:�<t�&OQ$&�a�!����$�����;��c�&; 3 �&no�&Oa<9` 3 $&�&@^�Nj,>9��� 3 ����>d� ;)<9�tj0�tj <^�X(%: 2 �w�tj <9�X(%: � 2 *KL� 2 �� 3 �0�&>djNM9�E<t������e�@9� ��M%: 3 jc�T�0�&@9��L0`a<N��>Q;,O�>98^O��8M^�&O 3 ��;)<N�y�&>9��$�<9Oa' 3 ��<N� 2 ��$�` <^=�>q$&@^M*<^=v$&�&@ 5 > 6 ��;0= 3 ��<t� ����$�`<9=o89��na<9��@9=) *bQ��>�Oa$&��@9C)�N���������&:i<^@9`�$&��:! �x3 ��j (%: 3 jc�Q�0�&@9�D� 3 ���&>djNM9�E<t����e��&��<N� � 2 `a<N��>x;,O�>98^O��8M^��<t���!<N� �i��$&`q<9=!>$&@NM*<9=Q$��&@ 5 > 6 �t;,= 3 �w<t� 2 ��$&`v<9=?89��n!<^��@9=, V l @9����;,O�>^<^�E����;)<9+!:w<t�&O 2 �w;)<N���&>^��$�<^O!' 3 �v�tj >9���J_ m _�[ p �x3 ��j (%:<t� 2 # e��&� � #�3 $&�&@9��n�>�<t�ve�� 6�5 >9�v>9�v$&@9��e�n ,0�&O!> 3 � 5 >^� 3 `�>^��<^@9`�$��� *P��m�D<t� 2 # L�$� CH L&$&@ 5 $��t�,>9���E$�� ���E'0�tj&<t� 2 e������$�`?<9=!>x$�@^M*<9=�e����&��$&`Q<^=q8^�tna<9��@9=�$��&@ 5 > 6 �t;,=&L&� 3 ��j (%:�e&����'0�m�?<N� � # "%$&� ���7�&�&�cM%>^��<t��� 5 <^;��&�?'0>N(%;,<^`&: 3 �&:�<9na$&�&:S 2 m �=U # [ 2 # mhp 2 � m � #

l >L@^(*<9+!;,�&O 3 �*'��c�X<N�x;0O!>^<9�E����;,<^+�<t�&O 2 # �*;,<t����>9��$�<^O!' 3 �w<t�&OjS 2 m �=U ) �tj >9���d;,��>9��@^(*<^� 3 � 3 �%$�`&;,�&O�:*<^@9`�$&��O�:3 $��&@9�&n 3 ��>9�v;,O!>989O!�&;0��O 3 � 5 >9� � 3 �w89n!� 2 ��$&`D<9� :w<^@9�tj :�$&�&@9��> 6�5 ;0�t� :ZS 2 m �rU $&�&OqO!$��&@9C)�&O!>�;)<N�D'0� >9` 3 ��>9�� l O!<^`3 $��&@9�tj2>9�T'0j >9�t� 3 �q��e�@d� ��M%:o<^@9�tj :o<9@9`�$��&O!: 3 �m�ye������&@^e&�Nj2>9��$��&n 3 ����$�`y$&�&�m�y$&�&@ 5 > 6 ��;0= �E$�� � 5 ',�&O 3 �x>9�T$&��@9�&O 3 �<t� �d l Oa<9`v$&@9��;08d� �&@djNM9�t�0`a<d�,��$&`v<d� :����!����:x8^n��v$&�&jm@^>9�&O 3 �x��$&` 5 >9� 2

"%$&��>9��@9C)` 3 �&;)<9��<NM%@9�T;)<t�T�&@9C,� e�` 3 �&:o��@^M*<9= 3 � e�����@^(*<^� 3 ��'0�c�y<t�y;0O!>^<9�E����;,<^+D<N��O(� � ;,<t�T��>9��$�<^O!' 3 � <t�&OS _ m � U * i { <t�?��>9��$�<^O!' 3 �q��O!<^`q�&��$&@9��; 6 �E< 5 ���!$�@9��e�na$�<t�&O!> 3 ����$&� ���a',+9La�oe�� 6�5 >9�&:HL���>9`�: _�+���>9`&: ����$�`qe�� 6 � 3 jc���$�`o<9� :x�N]x$&��@9��> 6�5 ;,�t� :! �KL� � � ����� $&`!> 3 $&��@9�tj�>9�o$&@9��e�n ,0�t� 3 � <9`&;,�&O!:�<9@^`�$&�&O!:i`&;,�����tj >9���!���!<^@9`�$�����>9�q�E$�� � 5 p^�&O 3 �<d� :x~D$&��@9��> 6�5 ;,�t� :;L)��$&`v<d� :x��$&��jc��: 6 ��$&�&@9��O 3 �X<t�(�� +V l @9��<N����$��!< 5 ����; 3 �v�tj >9���� _aX

, � q! ��"������ f� cfak&� l $�` 3 �c�� 3 ��89���^] ��<^` 3 (%>^L 3 �q$�`&;0��O�:o<9@9`�$&�&O!: 3 $&�&@9�tj2>9� �E$�� ����',�tj 5 >9��<9@9� 3 �E� 5 :o$&@9�&��89@^�Nj �

C�(%@dj :I8d�c��e�@d� <t�&n!:*@9`a����O�:�3/V " >9�o- 3 �E� 5 :*$&@9���t8^@9�tj � 3 �*$�@9`&��89@9��La��>^<d� $&@^`&��89@9�xe��&�ak 3�5 ��=�3IS���DH� �aB=< *�7��HP��m�w<N�x89��n!<^�t@^���@^M*<9= 3 �KL&�E$�� � 5 pN<9�i<t�?$�@9�&��89@9�tj �?��$&� � 5 ',��>N<N��:i$&@^M*<t�Q<t�!>w$&@^`&��89@9��L 3 �E<9�?<t�!>��&>^<9� $&@9`&��89@^�?e����?L�< 5 ����:;L�<N�q<9@djc� 3�5 ��=3 �^Mdj c[

! ��"������ f� cfd~K� � 5 $�`&;,�&O�:w<9@9`�$��&O!: 3 $&��@9�&n 3 �x>^�T�E$�� � 5 p^�&O 3 ��L���$&` 3 �c� ;0O!>9= 6 � ; 3�5 >^=D<9@9��$��&Oa��� 3 �o-�fQ�0n!�!���S $&�&O C�(%@djNM9��>N<N�&�H;,�o~TC)@^M 3 ��<t�Te���� �Nk �tjc89=�[=L�$ 5 >^<9�o�0n!�!���y��$&`y<N�T��$&��jc�Tf�e�`�e&e)� >9��S�� + � [Le����2k ;,$�� 6 �m�A3�bQ�3 ��:���>98d�c�&� 5 @9�t��=Q;0�t�c@9���E$�� ���a',+�:X<�(%>?�0n!�!��(%>�

! ��"������ f) f�-6� l >cO �&@^<d� � '0�m��$���� � V �aX&kr_�krqEqrq=knOJ� 3 �E'0� ;)<t��$&���c�tj <t���R= $&��;0`a<9=a<t� � & �� 3 K��*'0j >9�E<t���*�&>�O$&��@d� <^<9`�:�3

! ��"������ f� cfau9�ibQ�tjcp^<9�x<^=�>�<t�&Oa<9`a<9=a<t�&�� i

� OV�� [ � O

X � m � O_ � m��r�E�am � O

O3�t_ � m � OO � [ p & k

'0�c��e&� 6 ��Ogf)X, ! ��"������ f� cf�F6�ibQ�tjcp^<9�x<^=�>�<t�&Oa<9`a<9=a<t� � O

V�� [ � OO3� V��

'0�c��e&� 6 ��Ogf)XQe����9X TWV T O* ! ��"������ f� cfa}9� l >���k���k V �Nj >9�&�0��O!;0�ce&��j0�&@9� 6�3 ��j 3 ���f��q8^�Njcp^<^�x`a<d�,�y�&@9� 6�3 `&:�� �,�tj >9���089�m�&�m@ 5 <^=�:X<t�&O

S Vjm _FU=S V m)p U �r�r� S Vjm ��U=q

Page 21: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� ���������� ������ ������� �� ��� ��� � ������bah0���$ ��*+������(-g '��N"���( g��(E��"��-%�" .�"�(�!l >x',@9�&����<9�X8d�c��')M%>d� ; 3 �D;)<9=!>�na��=�$��&O 5 C)�t��$&@^�&=!',= 6 �tj 3�5 C)@d�&e��&��<N�?< 5 ����:X��O!<NM%>x<�(%>�;0= 3 �t� M%;,��(%>w<N�?$&�&@9��e���<�(6�5t3 ��<t� 6 � +!<t�&>o��>989�t� e&<9�ce&�S�fQM%@9��:HL)e&���t� ;)< 5 :w;0= 3 �t� M%;0�t� :N[E "%� 5 ',p^<9�X<t��>q���&O!<^`�;0�&: �

! ��"������ f� cfa�9� � � $&`&;,�&O!:T<9@9`�$&�&O!: 3 $��&@9�&n!> >9� O!$��&@9p9�&O!>cO�M9��Oa',�&@^M 3 ��<N� �&>^� 3 ��;,� ;,�xO �&>989@9��:�e��&� O',O�>^��j e���:�3

! ��"������ f� k!]9� B `�;0�&O!:�8d�c���c@ 5 <^�t: 5 C)�t�0� �&@d� 6�3 `�: p � 3 � ��@d� 6�3 `&: p �AZ & 3

1

2

4

3

3

1

2

4

�X���'�J� |2/q� �089n!�ve�O!e��&� e 5 :w<t��$�� 6 ��<^+�;,�t� :�<t(%>q�&@d� 6�3 M%>��;Lcf6L k&L ~ 3 $&�&@^�&n�>o>9��<t�&Oa<d� ;)<t�&n�> 3 � 3 �m��;)<9@9����+v�!]3 ���c@^M%>^L,�&@9� 6 ��(%@^�&n�>N<N�&��jc8d�c��:xe�Oae&�&� e 5 : 3 �E<t� 6�5 ;,�t� :

! ��"�������f) k,�;� B `&;0��:u>9��> KK<?> ��A�2�BE:�465����6Be<NA�<N��Oq;,O!>9`!���&O 6 O982Oa$&�&@^C,��O�> 3 � �c�Qe�Oae&�&� e�+ 3 �E<9� 6 ��;0=�<t�&O 6 O98��tj >9���5 >9�&:v<9@^`�$&�&:�>9� '0@^�-,��&O 3 �D<t��;)<t��� C)�tjc��<t�&O ;,�De�n!e���� S M%;)<9��e�� 6 �v;)<N�&� C)�Nj � >9� 5 C)�t� 5 >9� $�@9�&=a',�&n 3 ��>9��e&��� 5 >9��E$&` 3 ��>9��[eL����!����8^n��e�Oae&���ce 5 : 3 �E<t� 6�5 ;,�t� :Q$��&O 3 $��&@9�&n!>�>9� <N��O!<9� ;,<t�&n!> 3 � 3 �c� ;)<9@^�&��+<t�&OTe�nae&���&O 6 �E(%@9�&n!>^<t���jc8d�c��:! *P��c�v$&�&@9��89�t� ' 3 ��L�'0�c�CO\[ , L)��� 3 �E<t� 6�5 ;,�t� :RS _ p , Z�U e&��� S Z9_ p , U 6 �E(%@9�&n!>^<t���0jm89�m��:a �S�b?�Nj <9�w<t� { C)+ 3 � -) [

! ��"������ f� k�f&� l >jO��tj >9���)$&��@d� <N<9`&:x�&@d� 6�3 `&:�8^�Njcp^<^�x`a<d�� OX � m � O

p � m � O, � m]�E�r�Fm � O

Ox�)_ � [ � O_ � m � O

Z � m � O � m]�E�r�am � O

O � q! ��"������ f� k!k&� l $�` 3 �c�;0O!>9= 6 � ; 3�5 >^= <^@9��$&��O!��� 3 �q$�`&;0��O�:o<9@9`�$&�&O!: 3 $&�&@^�&n 3 �o>9��E$�� � 5 p9��O 3 ��uTC)�&@^<9�m� S 89�

3 ��:x��>98d�c�&� 5 @^�N�)=D;,�t�m@^�D<N��O�:N[I��$�`Q<t����$&��jc�Q<t�D<^@djc�v>9���Nj >9�&�)e�`�e&e)� >9�S�� + � [ e�����<t�D<9@djc� 3 �&n�@^�S�� + � [eL�e����&<t�89n!����$&`v<t�v<9@djc��e�`�e&e)� >9��>9���tj >9����jc8d� �&OQ�tjc89�&O!:DS �&@d� 6�3 �&n�[�

! ��"�������f� ka~9� B `&;,��:�8d�c�&����@9�E<d� e 5 :X� 5 p9�t� : 3 �o�^]o',@9� 3�3 ��<t�vO!$��&@9C)�&O!>x$&��O?>9� 5 C)�&O!> 3�5 ;,�D<9@djc�D',@9� 3�3 ��<t� l L< 5 ;,;0��@9�og e����a;)<d� :IO!$�`!����� $&��:*� 5 p9�t� :I��$&�&�m��89+!$��!<^�%�������x',@9� 3�3 ��<t��S ��$&`�<t�ofd~xe�����������jc��<^=�:I���!��=�>d� e�+!:*')��M%;,;0��:^[ 3

Page 22: Διακριτά Μαθηματικά
Page 23: Διακριτά Μαθηματικά

��"�� l��Il�� � k

�����?�c� ��� ����� � �� ���� � �������

����� ����(��Of60�� "bf �N! ��(��o"��-'�� �-(�"�� �����Of f8*-(�'9� ��f6" %

l :v;0O 3 ���a�&j ;,�&O 3 � 3 �QCSTO�k��HUx<t��$���+ 6 ��:?<�(%>v<9@9`�$�(%> 3 �?<t�&O!:Q��$���j �&O!: 3 $&��@9�&n 3 �q>9�'0@^�-,��&O 3 �o<t��>��0O�;0� e�`�&@d� 6�3 `CO (%:�� 6 @^��� ; 3 ��� 3 =v�&@9>9=a<d� e&M%>o��e&�t@^��j (%> � * krqrqEqrk��!�aJ

Oc[B� * m]�E�r�am �!�;qP��m�v$��&@9�&89�t� ' 3 ��L)�&>uO\[[ZQe������j[ p ���,<^@9`�$&�&�0�&Oa<t��j,�tj >9���,���SVf�f![ Zj[[Z m XZ[ p�m _�[�_ m)p [�X m Ze����&��@9�RQCS Z9k p U+[ , 1 ;0�t�c@9�Q<�(%>x$�@9�&; 6 �E< 5 (%>�� * krqrqEq=k0� � 5 C,�t�&;,= 3 �&;0jm�0 *KL=�>X$&�&;,`a<9=a<N�bQCSYO�k �HU*<9=!>��!>9� 3 �^M9�&O 3 �D K/@65��FAD�a< 4F2�B�|9�N�6BlIM�Z:;�=�jOt�6B��x>��e2J2+�;:r< 4� B �&@9��<^=�@^�Nj ;,<^�x`a<d��89��>q��$&�&� <t�&n 3 �X<t���D>^�y�tj >9��� T O �����&nD<t� 3�5 ',� 6 �&:<�(%>qe&� 3�3 ��<d� M%> 3 $&��@9�tj,>9� �tj >9���,e&���KX)

J �LK9���J��� k, Z��� PX��OgftXx>^48< �f)X�:E�r:eB�<N�a} R�Be<SVf!k�[ QCSTO�k���Uo[ � O m ���t_

O � [ � O m ���)_���t_ � q

!�W (&�����YX �-� B �&@d� ;)<9��>9�&O 3 �D<t��>y�&@d� 6�3 `gO�;0�gO 3 $&������:v;)<9=�;0�t�c@9� e&����<9=!>T<9O!C)�&n!;0��8d�c� 3�5 @d� ;0=<t�&OcO�L*89=a�0 <t��>D<^O�C)`!>^<t�T<9@^`�$&�>9��',@9� ,��&O 3 �jOh[ � * my�r�E��m � �HLH;0��> 5 >^�C)(%@9� ; 3 `�&Oa<9+!:q<^=�:?;0�t�c@9�&:?��$&` 3 $&������: 3 � �u�]_<t��� C�M 3 ��<N� S 89�tj <9� { C)+ 3 � u�[E

� ����� ���

� � � � � ��� � ��� � ��� � �� � ��� � � � ���

��������� �H/ �X(%@djNM9�!>^<t�&: O\[�_;_ 3 $�������:w;0���u[d_EXQ� 3 �&89��: 3 ���D��>98d�c� 3 �t;,�v<t��� C�M 3 ��<t�

1 <9� 3 +?<t�&O � * �&@dj ;,e��E<t�����&> 3 ��<^@9+!;0�&O 3 ��$&`�;0��: 3 $&������:wOa$&��@9C)�&O�>x��$&`D<t����� 5 (%:x<t�D$&@NM*<N�D<t��j C)( 3 ��L&<t� � #�&> 3 �E<9@9+!;,�&O 3 �x<d� : 3 $&������:���$�` <t��$&@^M*<t� 5 (%:�<t�y8^�tna<9��@9��<t��j C�( 3 �KL0e&�!$� �K 5 ���&:w<N��� ����@dj ;)e��E<t���0�&> 3 �E<9@^+�;,�&O 3 �<d� : 3 $�������:w��$&`v<t� <^�E����Oa<N�&j ��S O!$;V!�&@d� 6�3 `!> ���t_^[�<N�&j C�( 3 � 5 (%:x<t� m �

V l @9��L9'0�c�x>^� 3 ��<^@9+!;0�&O 3 ��<N�X$���+ 6 �&:�<�(%>i89�m� 3 ��@dj ;,�E(%>oQCSTO�k���UR�&@Ne��tj^>9� 3 �E<9@9+!;0��O 3 ��$&`&;,�X8d�c�&���&@^��<9� e��x;,C)+ 3 ��<t�;,�&>�e&���I�&Oa<9` <t�&O { C,+ 3 ��<N��:�u�Oa$&�&@9C)�&O!>^LI�&����n��tj >^���I�0�&>9��@9` `!<9�I;,�Te�� 6 �y< 5 <t��� � ;0C)+ 3 � �&>^<9� ;,<t��� C,�tj*e���� 3 �c�8d�c�&�0�&@9�E<d� e�+D89�m� 3�5 @d� ;,=9L�e����0��>^<dj ;)<9@^�&����

� ��$&�&�m� 8d�c�&8d� e���;�jc� 3 $��&@9�&n 3 �x����� $&`!>o>9�ye&��<t�&;,e&�tO!�&;,�&O 3 � 3 �!>9�&;,+ 3 �&>^<t� 5 >9��< 5 <t��� ��;,C,+ 3 �A3�<t� e&�&>9�&O 3 �x(%:��p9+!:!JL���8M9�&O 3 ��$&@NM*<N�T;,<^=T;,�N�c@9��O m �u�]_Q�&>^<d� e��tj 3 ��>9�ye�����e���<^`�$�� >D�!>9� 3 �8M9�&O 3 �o<t�xO ��$&`���O!<^� 3 $�������:oe�����<t�Oa$&`a����� $�� �j��_?<t��� C)M 3 ��<t�� l O!<^` 3 $&��@9�tjH>^� '0j >9�t�H��e�@d� ��M%: 3 � � &�. � C *

& <9@9`�$��&O!:! 1 89��n!<^�t@^=T� ;,`a<9=a<N� 3�5 ;0�;)<t�;,O 3 $ 5 @9�&; 3 ��<t�&O�zx�E(%@9+ 3 ��<N��:�k) ��i�tj >9���!��$���+X;0O!> 5 $&�t�c��<9=!:I<t�&Oa<9`a<9=a<t�&: � � � [ � �� C � SV89�tj <^� <^=�>�V l ;,e&=�;,=�f� cf�F![E �

���

Page 24: Διακριτά Μαθηματικά

��� � ������ ���!�� � ���� � ������ �� ��� �P��c� $��&@9�&8^�N� ' 3 �;0n 3 �,(%>9� 3 �?<t��zx�EM%@9= 3 � k) ��v� ;0C)n!�N�JQCS Z9k p U�[ � ) . # C *

) [ � �) [ , <t����$&��j �;,O 3 �0(%>^�Nj 3 �

<9=!>�S�f!f![� ! ��"�������k) ��;�Lgi@9�tj <^�w`a���t:w<d� :�89�m� 3 ��@dj ;,�t� :w<t�&OQ~D;0��k?e�� 3�3 ��<d�c�� BX5 @9�T��$�`y<^=v;0= 3 �&;0jc�y$��&O 5 C,�t�0<t�Tjm89� � <t� $&@9`�����= 3 ��<t�&Ov>^� 3 �E<^@9+�;,�&O 3 �x<t��$���+ 6 �&:�<�(%>Q89�m� 3 ��@dj ;,�E(%>?<t�&ORO

;,� �qe�� 3�3 ��<9�m�KL&<t�D��@^M*<9= 3 ����$���e&<9� 3 �E',����na<9��@9=q;,= 3 �&;�jc�Q'0�c��<9j,�tj >9��� 5 >9�&:�� ;0�&8^n�>9� 3 �&:X<9@9`�$��&:w<t�&Oq>9��@^(*<^+�;,�&O 3 �<t���tp^+�:aJ

� ��$&`&;,�&O!:�<9@9`�$��&O!: 3 $&�&@9��n 3 ��>9���E$�� � 5 p^�&O 3 � V ��$&`3O ;,<t��� C)�tjc�T`a<t�&>Qe�� 6 �o;,<t��� C,�tj �y��$&` <t�xO3 $&�&@9�tj)>9���E$�� ���E',�tj 5 >9�v��$&��@d�c`&@d� ;)<t�v�&@d� 6�3 `���$�`v���&@ 5 :HL�e����,`!<t�&>o89� 3 �&:���>989�m��� 5 @9�t�,=Q;0�t�c@9�v<�(%>�E$�� ���E' 5 >^<�(%>�;)<t��� C)�tjc(%>+3

V " >9�&:?� ;,�&89n!>9� 3 �&:�<9@9`�$��&:o>9� 6�5 ;0�&O 3 ��<t��jc8d� �T��@^M*<9= 3 �T�Nj >9�&������e�`a����O 6 �&:a �V " C,��O 3 � 5 >^��;0��e��y$��&O 5 C)�t� 3�5 ;,�xO3 $������t:a � � 3 $&������:x� 5 @9�&O!>?=Qe&� 6 � 3 �c�v<t��>q�&@d� 6�3 `v<9=!:a "%$&�&>9����� 3 �&��>9�&O 3 � V ���&@ 5 :w<9=!>q$�@9�&p9=)J

B ��jc@9>9�&O 3 � 3 �c� 3 $&��������$�`�<t� ;0��e�� e&���,',@9�&�0�&O 3 ��;6V 5 >9� C)�&@^<9j0<t��>q�&@d� 6�3 `�<9=!:! +V " $��t� <t� �E$��&>9��r<t��$�� 6 �E<t�&n 3 �L<9= 3 $&�����v;)<N� ;,��e���

{ <t� < 5 ���&:w$&�&@9��<9=!@9�&n 3 �w<t�&O!: V �&@9� 6�3 �&n�:�$��&OQ',@9�-,0� 3 ��L0C�(%@dj :�>9� 3 �&:���>9�&89�m��� 5 @9�t��=v;,�N�c@9��<t�&O!:! B `�;0� �tj >^���0<t�89O!>9��<^� 89�m�����&@9�E<9�ce&� ��$&�a<9�E� 5 ; 3 ��<t� 3 l $�`��&O!<^+Q<9=!>o��>9���!����e�<d� e�+o$&��@d� ',@9�&�0+Q$&@^��e�na$�<9�t�&e����)<t�y`!>9� 3 �\� �<� �F�;46�&2��a�Oh��: �a< }�Be� IM�Z4Q� � V 2�B BED�4Q� �65;B��K7) �KL� $���+ 6 �&:x�&Oa<^M%>o<�(%>?;,O!>989O!�&; 3 M%>?;,O 3 ���!��jNM9�E<N�&� 3 ��� & ���

�������-����������� k, Z��� � �,;0O!>989O!�&; 3 ��j)<t�&OQ;,O�>^`!���&O � /jk 5%�o�&>9� k 3 ���E$&�&>9� 6 ��;,=Q�tj >9���0�&�/ / /jk / / 5Wk / 515�k 515 5�q

P��m�o$&��@9�&89�t� ' 3 �KL��q;,O�>98^O��&; 3 `�: / 515 6 �E(%@9�tj <t����jm89� �&: 3 ��<t��> 5 / 5 3 �c�oe�����<t�q;,<t��� C)�tjc�o8d�c�&� 5 @9�&O!> 3 `!>9�?;)<9=�;,�t�c@9�� 3 �0�&>d� ;,=�:a

! ��"�������k) cf6��bQ�tjcp^<9�w`!<9�,'0�c� e&� 6 ��O � ;,C)n��t� � &* � [ O* *"%$�j ;,=�:x`!<9��L�'0�c��Ogf p L,� ;,C)n��t� � &

# � []O m � &#

{ <t�< 5 ���&:Q�&Oa<9+!:?<^=�:?8d�c�&8d� e��&;0jc�&:Q�E$&�c���a'0+!: V ;)<N�&� C)�Nj (%> 3 �Q�E$&�&>^� 6 ��;,= 5 C)�&O 3 �q;,<t� C 5 @9�m� 3 �&: V �&@d� 6�3 �&n!:;L`!C0�&e���<EVa�&>^��')e�=?89�m�����&@9�E<9�ce&�&n�: 3 ��<t�&p^nq<t�&O!:;L�e�� 6 � 5 >^�&:x��$�`Q<t�&O!:X��$&��j ��O�:��&>9+ae��t�&;)<N�v;,n!>9�!��� ��_;kEqrqEq=k`O-�! -V " ;,<�(�A=nL ?b[ _�krqEqrq=knO�L%<t� $���+ 6 ��:y�&Oa<^M%>y<t(%> �&@9� 6�3 M%>�$&�&O �tj >9��� j ;0�&� 3 ��?� "%$&�t�c89+ 8^� 3 �&:T��>989�m��� 5 @9�t�*= ;,�t�m@^��$&�&O� 3 �0�&>djNM9�E<t���0e�� 6 � 5 >9�y��$&`v<t� >9�&n 3 ��@9��$&�&OD�E$&�c� 5 ',�&O 3 ��L����!��� 3 `!>9��<t� $�`&;0��:��0�&@ 5 :�� 3 ����>djNM9�E<N�&��L)'0j >9�E<t��������>9��@9``a<d�SVfa~�[ � * m��r�E�Fm � & [ Ve����*`a<d�*e�� 6 �y89�m�����&@9�E<9�ce&`���$&�a< 5 ����; 3 � <9=!:y�E$&�c���a'0+!: 3 � �E$&�&>9� 6 ��;,= �&>N<d� ;)<t��� C)�tj�e����%;0� 3 �c� 8d�c�&�0�&@9�E<d� e�+\O�r �&8^�� * krqEqrq=k�� & $��&Ov� e��&>9��$&���c�tj)<^=�>�SVfa~�[E +V " C,��O 3 � 5 <9;0�0��$��&89�tjcp9�t�,<t����e�`a����O 6 �� J �LK9���J��� k) cf6�3M�4 �F�<�e4;:S�C4�D �r:eB K ���&2&4;:e4BED;< K�FGK@6A V 4Q��:r<�>8Be< 2�� �eIM� 4�DH��O#2�B�BED�4Q� �65;B��K7RB=� ��48<&�N��4W: �jD K @&5��FA2�B :=<NAD�F�_��4;: ��AD�E< 4a2 B�|9� �6B=< A : �r� V �6B�Oh>��e2�2+�;:=< 4�V � } �=�a2�B ��7 K�4���@� O

V [ � O mEV �t_V � q

! ��"������yk) k&� l >w�E$�� � 5 p9��O 3 � V ��>^<d� e��tj 3 ��>9�o��$�`jO 3 �i�E$��&>9� 6 ��;0=xe&����89��>X��',>9�&+!;0�&O 3 � <9=�;,�t�m@^�q<�(%>X��$&� ���a')M%>S $� C2 L���> �E$&�c� 5 ',�&O 3 �okT�&>^<9� e��tj 3 ��>9���$&`�<t� l LHg 3 �Q�E$��&>9� 6 ��;0=&L2<t���$&�a<9�E� 5 ; 3 ��<N� lwl g e���� l g l 6 �E(%@9�&n!>^<t���<^M%@^�y8d�c�&�0�&@9�E<d� e��&[=L�$�`&;0��:�89�m�����&@9�E<9�ce 5 :x��$&� ���a' 5 :wO!$��&@9C)�&O!> 3

�������-����������� k) cf6�DS l ��O�;0jc89��:��� ��4e���<^����W��D���X[ � �c������O�;0jc89���� �� �Nj >9�&� 3 �c� $&�E$&��@9��; 3�5 >^=�;,�t�c@9����$�`C)= 3 � e 5 :����&;,�t� :! � �0���&;,�t� :o�&O!< 5 :q�tj >9����',>^(%;)< 5 : 3 ��<t��;,n 3 �&�a������������� e&������ KV " >9�T� 3 � >9�&p^ny�tj >9��� 3 �c�y����O!;0jm8^��� ��4e����,�tj >^���,',>^(%;)<9`y`!<9�0Oa$&�&@9C)�&O!>���e�@9� ��M%:�fa]D� 3 � >^�&p 5 �� l >?Oa$&� 6�5 ;,�&O 3 �w`a<d�,`!���v<t� � 3 � >9�&p 5 ���tj >9���0����O!;�jc89��:3 � <t�?jc8d� � 3 +!e&�&:;Ld<^`!<^����nae��!���x��� 5 $&��O 3 � `a<d�a<t� 3 +!e&�&:��&Oa<9`o89� 3 $��&@9�tj!>^�?�tj >9���)�L+�f� B @9��' 3 ��<d��Oa$&�&@^C,��O�>L��e&@d� ��M%:~q����O�;0jc89��: 3 +!e&�&O�:��?S ��� �ZL ��L � e�������[*e���� , # [d_ % ����O�;0jc89��: 3 +ae��&O!:wfvS �&Oa<9`Q'0�c��<dj 3 �c�Q< 5 <t���c�?����O!;�jc89�?�&@djNM9�E<t�����$�`D89n!�D�E$�� ���a' 5 : 3 ��~Q89O!>9��<^`!<^=!<^��:�'0�c�D<9=!>xe�� 6 � 3 jc��[E l $&`D<^=�>�������= 3 ��@d�c�D��������O�;0jc89��:�� �� 3 +ae��&O!:�k?�tj >9���&<t�$���+ 6 �&: , )�[ % , L��tj >9����8^=!�, �$&��@d� ;,;,`!<^�t@^�t:w��$&` fa],

KL�q�^��-a~�����!"��W��D��� $�@9`!<^�t� >^� `!<9�^89n!�w����O!;�jc89��:#�� �� e&(%8d� e���$&��� ��n�>*<t�xjc8d� �X� 3 � >9�&p9n��&>%e���� 3 `!>9�x�&>%$&��@d� 5 C)�&O!><d� :Djc8d�c��:q���&;0�t� :q�&>9��p9��@^<9+a<�(%:Q;,�N�c@9��:! � �2����O�;0jc89��:Q89=a�0 $���%� e&���&�'����L��&>De����H8d�c�&����@9�E<d� e 5 :;L2e�(%8d� e���$&�&� �&n!>?<t�

Page 25: Διακριτά Μαθηματικά

� ������ ���!�� � ���� � ������ �� ��� � �n�jc8d� ��� 3 � >^�&p9n) l >Q=QO!$�` 6 ��;,=Q<t�&O ��W��D��� �Nj >9�&��;,(%;)<9+D$�`&;,�y8d�c�&�0�&@9�E<d� e���� 3 � >9�&p 5 ��e&(%8d� e���$���� �&n!>^<t��� 3 ������O!;�jc89��:�� �� 3 +ae��&O!:ik�3 � �i�&j ',=�;)e 5 ,�=x��� 5 $��&O 3 � `!<9��<N�o$���+ 6 �&:I<t(%>w8d�c�&����@9�E<d� e&M%>x� 3 � >9�&p 5 (%>w�Nj >9�&��<N�?jc8d� � 3 ��<t�o$���+ 6 �&:<�(%>D8d�c�&�0�&@9�E<d� e&M%>D;,O!>989O!�&; 3 M%>Q<�(%>Q<9��;,;0��@^(%>Q',@9� 3�3 ��<�(%> �jL���L�� e������4�&>^�T<9@djc��L 3 ���E$&��>9� 6 �t;,=) � �&@d� 6�3 `&:�&Oa<9`&:x�Nj >9�&�089=a�0 � ,

Z�� [ � ,�m Z �)_Z � [ � %

Z � [ % � ��:,Z � [ p X9k

;,O 3 �0(%>9�tjL89=a�0 I= O!$�` 6 ��;,=�<t�&O ��W �D��� 3 ��<t� $��N�c@9� 3 ��<9�ce&� 8d�c��$&� ;)<t( 3�5 >9� ',�E',��>9`�:�`a<d�LOa$&�&@^C,��O�>���e�@d� ��M%:�f!]� 3 � >^�&p 5 �� +V �x3 (%:;L)'0�c� �������&O!:w��`!',�&O!:;L&=DO!$�` 6 �t;,=?<t�&O ��W �D��� 5 C)�N�,��$&��89�t� C 6 �tj)`!<9�089��>?� ;0C)n!�t�\

! ��"�������k, ~K� � �v$&`�;0�&O!:�<9@9`�$��&O!: 3 $&�&@9��n 3 � >^��<N��$&� 6 �E<9+!;0�&O 3 �bO ` 3 ���c��: 3 $&������:y;,� V e&�&O!<9�c� $&�&O �tj >9����&@d� 6�3 = 3�5 >9� 3 �w<t�&O!:��&@d� 6�3 �&n!:Q� 5 (%: V 3

�������-����������� k) k&�DS 1 e���<t�&>^� 3 + �������tr�� 4 8,��� � 4 8T;)<9=v;)<t��<d� ;)<d� e�+ 3 =!C)�&>d� e�+�[ { <9=;)<t��<d� ;)<d� e�+ 3 =�C)�&>9�ce&+�tp^�Er<9�^M9�&O 3 � 5 >9�o;,n�;)<9= 3 �o��$�` � ;)( 3 ��<9�m��e�� 6 � 5 >9�o��$�`�<N�o��$���jc� 3 $��&@9�tj�>9����@dj ;)e��E<N�&�!;,� ��8d�c�&�0�&@9�E<d� e 5 : e���<t�&;)<9�&;,�t� :;L$� C2 �;,� � 89�m�����&@9�E<9�ce&� ��>9��@^',�t�m��e�� �E$&jc$���89�� � �c�)>^4;:!�6��:�46�K7�<t�&O ;0O!;)<9+ 3 ��<t�&:v�tj >9����$��t@9� ',@9�-,���O 3 �v;0�D$����c� e���r<9��;,<t�&;,= �Nj >9�&��<t� e�� 6 �v;)( 3 ��<9� �� xV � <t�&> <t� ;)( 3 ��<9�m� �tj >^���*jc8d�c� 3 �E<t�&p9n�<t�&O!:vOa$&� 6�5 <N��O 3 �Q;,O�>9+ 6 (%: `a<d� 8^�t> 5 C)�t�;,= 3 �&;�jc�D$����c�D��$&`?<N� �I;)( 3 ��<d�c�v�tj >^���,;)<t�De�� 6 �w��>9��@^',�t�c��e�`?��$&j $&��89�D���!��� 3 `!>9�D$&`�;0�� 1 Oa$&` 6 ��;0=q`!<9��`!����:w�&Oa< 5 :���)e���<t�&;)<9�&;,�t� :x�tj >9������pqj ;,�&OQ$&� 6 �&> 5 :w� 5 ',�E<N�&�)e���<N��>9� 3 + ����� ��r�� 478,��� � 4 8H

{ <t� 3 �!>^< 5 ���_�I�����tr�� 4 80��2�:478$�`&;,�t:q8d�c�&�0�&@9�E<d� e 5 :oe���<t�&;)<9�&;,�t� :�<N��Oy;,O�;)<9+ 3 ��<N��:qOa$&��@9C)�&O�>+3 l > 6�5 ;,�&O 3 � � =`L?+[�_;kEqrqrqrk ��L)>9�y�tj >9����<t�v$���+ 6 �&:w<�(%>o;)( 3 ��<9jc(%>q;)<N����>9��@^',�t�c��e�`v�E$�j $&��89� ?lL�<9`a<9�w$�@ 5 $&�t�)��$����D>9� 8d�c��� 5 p^�&O 3 �L<N��O�:3 =o�&@^>9=!<9� e��&n!:L��e���@9��j ��O�: �A=�M%;)<9��>9� 5 C)�&O!>x� 6 @9�&� ; 3 � �E %b?=!���&89+�<t�Q$���+ 6 ��:ie���<t�&;)<9�&;,�E(%>w<t�&Oo;0O!;)<9+ 3 ��<t�&:L�tj >9���j ;,� 3 �x<t�v$���+ 6 �&:X<t(%>q8d�c� 3 �t@9j ;0�E(%>o<t�&O ��;0�V�Te�� 3�3 ��<d�c��L)8^=!�, � � m �C�t_

� � q��� 6 � 3 �c� ��$�`��&Oa< 5 :v<d� :�e���<t�&;)<9��;0�t� : 5 C)�t�%;,O!>9�E$�M%:��$�� 6 �&>9`a<9=a<t� /�� 3 ���&>9� ;0=!: j ;,= 3 � <t� �&>^<dj ;,<^@9�&��� �&O!<t�&n<t�&O�&@d� 6�3 ��n,

! ��"������Tk, -&� { <^=�>Xe���<t�&>9� 3 +o�0�t� � 4Zr � 4���W+9LOa$&� 6�5 <t�&O 3 ��`a<d��<t� � ;,( 3 ��<d�c�D�tj >9���&`a���q` 3 ���c�?e�����`!<9�&89� 3 $&��@9�&n!>89n!� ;)( 3 ��<9�c��>9� ��@dj ;)e��!>^<t����;)<N��jm89� � ��>9��@^',�t�c��e�`���$&j $&��89��S Oa$&�&@9C)�&O!>>����>9��@^',�t�c��e�� �E$&jc$���89��[E l > � T � $�`&;0��:8d�c�&�0�&@9�E<d� e 5 :De���<t�&;)<9��;0�t� :D<t�&O;,O�;)<9+ 3 ��<N��:v;,( 3 ��<dj (%>�Oa$&�&@^C,��O�> 3 SVbQ�tj <9�D<t� B �&@^�&89�t� ' 3 � k, k�e�����<^=�>�V l ;)e�=!;0=k) ~, c[

�6`+�bah�J,D��d' � � � ������" �-'�$1f8,�f6"o$ �6!

V " C)�&O 3 ��89�tj�`a<d���&> 6�5 ���&O 3 ��>9�T��$&� � 5 p9�&O 3 � V �&>^<9�ce&�Nj 3 �t>^�y��$�`WO�L�C�(%@dj :o�E$&�&>9� 6 ��;,=9L,<t� $���+ 6 ��:�<t(%>?<9@9`�$�(%>>9��'0j >^�N�,�&Oa<9`��tj >^��� � O

V � [ O�STO��t_aU �E�r� SYOx� Vum _FUV � [ O��

V ��SYO3� V U � qK���'�j >9�E<t���,�&> 6�5 ���&O 3 ��>9����$&� � 5 p9�&O 3 ��L�$&������C)(%@9j :��E$&�&>^� 6 ��;,=9L 3 �c�v� 3 ��89��;,<t��� C)�tj (%>�<t�&O �;_;kEqrqEq=k`O-� 3 �E' 576 ��O�: V * L3 �c�y� 3 �&8^� 3 �E' 576 ��O�: V # L�e&�!$�L,e����,< 5 ����: 3 �c�T� 3 �&89� 3 �E' 576 �&O!: V �;L�`�$&��OD'��c��G�[ _;krqEqrq=k�� 5 C)�&O 3 �uX T V ? T O e�����E$�� $�� 5 ��>Q� ;,C,n!�t� V * m �r�r�;m V �b[dO 3 � �o$&`&;,�&O!:q<^@9`�$��&O�:q89=a�0 3 $��&@9�&n 3 �o>9�8d�c� 3 ��@dj ;,�&O 3 ��<N� �^_;kEqrqrqrk`O-�Q;0� 5 >9�;,n�>9�a��� 3 �E' 5E6 �&O!: V * L);0� 5 >^�y;,n�>^�!��� 3 �E' 576 �&O!: V # e����,< 5 ���&:x;0� 5 >^�y;,n�>^�!��� 3 �E' 576 �&O!: V ��3J �LK9���J��� k) k&� M � D K/@65��FAc: |K�HDEIM� �e4B�E< 4a2 B�|9� ���r�E2 B ����4 ��R<� � K�\2�BRO �K:;�E< }�Be� 4)�6B��t��R<� � K^4h2�B�2�BFG �r5�7V * krqEqrqEk V � ( 2�B V * m]�E�r�am V � []O ( �r:e4Q� �FB�2&46AuB � �a< 4 ! ��|KBe</7x�6Be< |��3:nIM�b�K:;�E< }�Be�NI �j2�����43�K:e4W��R<� � K^4�46�^:S� ( Be� �e4^<SVf�-![ � O

V * krqEqrq=k V � � [ O��V * � V # � �E�r� V � �

q

!�W (&�����YX �-�LKL�v$&@NM*<N� ;,n�>9�a��� 3 $&��@9�tj0>9� �E$�� ���E',�tj 3 �� OV * � [ O��

V * �?STOx� V * U �

Page 26: Διακριτά Μαθηματικά

� � � ������ ���!�� � ���� � ������ �� ��� �<9@^`�$&�&O!:a � �E<9� ��$�`�<9=!>��E$&�c���a'0+ <t�&O $�@^M*<t�&O ;,O!>9`!���&O ��$&� 3�5 >9�&O!>�O � V * ;)<t��� C)�tjc� �&C)@9=�;0� 3 ��$���j =a<N�KL%�&@9��<t�89��na<9��@9��;0n!>9�a��� 3 $&�&@^�Nj,>9� ��$&� ���E',�tj 3 � � O�� V *V # � [ STOx� V * U��V # �?STO�� V * � V # U �<9@^`�$&�&O!:a { O!>9��C0jNM9�!>9�&:�e���<rVH�&Oa<9`!>T<t��>y<9@9`�$�� $&�&jm@^>9�&O 3 ��`!<9�*= �E$�� ���!',+<t�&O$&@9�a<9�E����O!<t��j ��O�;0O!>9`a����O S 3 � V � C *;)<N�&� C)�Njc��[ 3 $&��@9�tj0>9�v'0j >9�t� 3 � � Ox� V * � �r�E� � V � C #V � C * ��SYO3� V * � �E�r� � V � C * U�� �<9@^`�$&�&O!:a *" $&j ;,=�:HL)�&����n 5 C)�&O!>q��$&� ���E',�tj)<t��� �t_x$&@^M*<t� ;0n!>9�a����89��>qO!$��&@9C)�t�,$�� 5 ��>�e�� 3 �c�y�E$&�c���a'0+q>9��'0j >^�N�0�&���&O<t��Oa$&`a����� $�� V �q;)<N�&� C)�Njc�T$��&O ��$&� 3�5 >9�&O!>D��e�` 3 =y��C,@^=�;0� 3 ��$���j =!<t� �&>9��')e���;,<9�ce&�T$&�&>^�q;)<t��<9�E���tOa<t��j � ;0n!>9�a���y$&�&O$&@ 5 $��t�,>9� �E$�� � 5 p^�&O 3 �d

V "%<^;���$��!�!����$����&;��c�8M^��>^<t�&: <d� :8^O�>9��<9`a<9=a<9��:��E$�� ���!')M%> 3 �&:'0�c� <t� $&@^M*<t� �C��_ ;,n!>9�!����LIe����Ie���>9��>N<N��:�<d� :��$�����$����c+�;,�t� :L$&��jc@9>^�&O 3 �w<t�!>o<^n!$�� S�f!-�[E �

KL��;0n 3 ���a��� � &� #"%$%$%$ " ���� ��>9� 3 �8M9�E<t���oD�� K9��I ���E2 <�>8�FAb�/�<�H:eB K^B���:E@6AvS e&��<EV0�&>9�����a'0jm� 3 �?<t� � & �� $&�&Oy��>9� 3 �8M9�!>^<t����a< IM�;�E2 <?> �a� � �_��:eB K8B��K: �lA7[E B �&@9��<^=�@9�tj ;)<9�w�E$�j ;,=�:w`!<9�� O

V k`Ox� V�� [ � OV�� [ � O

O3� V�� q�����������J������� k, Z��� � $��!��O!(%>^O 3 �ce&`&:x;,O�>N<9�E����;)<9+!: � &� #"%$%$%$ " ��� 89��>q���!���8M^�N�,�&>o<N� V * krqEqrq=k V ���&>^<d� e���<N��;,<t� 6 �&n!>��$�` 3 �c� 3 �E<9� 6 ��;0+Q<t�&O!:DS �&>q�������&p9�t�)89=a�0 )��$���M%:x=D;0�t�c@9�v<t�&O!:^[E ! ��"������ k) u&��V " C)�&O 3 �T�N]�&@d� 6�3 = 3�5 >9��: 3 $&������:De�����<^@djc� e��&Oa<d�c� 3 �vC�(%@9=a<d� e�`a<9=a<9��:�-6L�ke��&� f 3 $�������:a � �

$&`�;0�&O!:x<^@9`�$&��O�: 3 $&��@9�&n 3 �x>^�v�������&O 3 ��<d� : 3 $&������:x;)<t� e���O!<9�m�A3LS�b?�t>qOa$&�&@9C)�t�)�t;)(*<9��@d� e�+Q;0�t�c@9� ;,<t�ve��&Oa<d�c�� [

����� ������� db' �-� � � ��� f� 09%+��(

KL�bQ�c(%>^O 3 �ce&`zx�EM%@9= 3 � S�zx�EM%@9= 3 �Tk) ~ �tj >9��� 5 >9�� ;0C)O!@9`!<t��<t� ��@^',�����tj ��'0�c�TOa$&�a���a'0� ; 3 �&n!:x$&�&Ov��>9�&� 5 @9�!>^<t���;,�o$��&;,`!<^=!<^�t: 3 ��8d� (%>9O 3 � e��&n!:o;0O!>^<9�E����;,< 5 :a i"Ij >9���2�E$�j ;,=!:�=�$�@^M*<9= ;,n�>98^�t;,=v<�(%>D;0O!>989O!�&;)<d� e&M%>q$&�&;,�!<^+!<�(%>q$&�&O;,O�>9��>^<9� 3 � 3 �Q����',�7��@d� e 5 : 3 � 6 `&89�&O!:a l @^',`a<9��@9� 6 ��89�&n 3 �?e����R<9� :D',��>9>9+a<9@d�c��:D;,O�>9��@^<9+!;0�t� :Q��e��a���&O 6 �cM%>v;,� 3 �c���O!;0�ce&+D�E$ 5 e&<t�&;,=?<9=!: 3 � 6 `&89��O,

J �LK9���J��� k, ~K����< 4W>Q�65;B 2 k��A5� ( >�48<�46> � |&48< ��Ogf)X3<N�a} R;Be<SVf!u�[ S 2 m �=U & [ &�

� i� OV�� 2 � � &�C � q

!�W (&�����YX �-�LKL� �&@d� ;)<9��@9` 3�5 ���&:��tj >9��� 5 >9��'0� >9` 3 ��>9��O�$��&@9��',`!>^<�(%>Qj ;)(%> 3 �CS 2 m �=UE V � <N��>oe&�&>9�&O 3 ��`a���t:w<d� :$&@^�&p9�t� :HL�`a<t�&> 89=!�, R�����&@ 3 `&;,�&O 3 �?<^=�> �E$�� 3 ��@d� ;)<d� e�+T�c8d�c`!<^=!<t��LR�&Oa<9` $&�&Oye��&>9�&O 3 �?�tj >^����`a<d��;,C)= 3 ��<djNM9��O 3 �D`!����<t�'0� >9` 3 ��>9� $&�&O 3 $&�&@^�&n 3 ��>9�y�0<d�c�&p^�&O 3 ��8d�c��� 5 '0�!>^<t�&: 5 >9� $&@9�&; 6 ��< 5 �y��$�`ye�� 6 �x$��&@9��',�!>^<t� S 89�tj <9�we���� B �&@9�&89�t� ' 3 �f� mFa[Ie����)<N�v$�@9�&; 6�5 <t�&O 3 ��L 3 �8M^�tn!�!>^<t�&: 3 �8Mdj�jc8d�c� 3 �!>^M%>9O 3 ��

"Ij >9���H���&>^�t@^`�`!<9�?L2����`&;,��>Q����$&@9�&; 6 ��< 5 ������$&`ye�� 6 �o$��&@9�&8^�N� ' 3 �T�tj >9��� 2 +���e�����<t�T$���+ 6 ��:o<�(%>Q$��&@9��',`!>^<�(%>�tj >9���9O�L,`a���D<t� 3 �!>^M%>9O 3 �v$&��O 6 � � 3 �0�&>d� ;)<t�&n�>o�tj >9���)<9=!: 3 �&@^��+!:

2 � � &�C � kuS�X T V�T O�U=qKL� 3 �!>^M%>9O 3 � �&O!<^`�� 3 ���&>9j M^��<t���,��$&�a<9��89+a$&�a<9� 5 C)�&O 3 �x�E$�� � 5 p9�t�)<t� 2 ��$&`���e�@d� ��M%: V ��$�`v<N��O�:x$��&@9��',�!>^<9��:a l �!����&Oa<9`y;0O 3 ����j >9�t� 3 �o��e�@9� ��M%:o<9`&;,�&O!:o<^@9`�$��&O�:o`&;,���2�tj >9���2����<9@9`�$&����>9�T��$&� ���E',�&n!> V $&��@9��',��>N<9��:?��$&`y<t�&O!:uO�L289=a�0 � & �� L,e&���0�&Oa<9`���e&@d� ��M%:��tj >9���)<t��$���@d�c�tC)` 3 ��>9�v<N��O 6 ��(%@^+ 3 ��<t�&:! �

! ��"�������k) mF8� B ��� ���tj >^���,<t���&>9��$�<9Oa' 3 �v<t�&O�S _ m ��U��o;,�x89O!>9� 3 �N� :x<t�&O ��3

KL�ybD� (%>9O 3 � e�`yzx�EM%@9= 3 � Sszx�EM%@9= 3 ��k) ~�[ 5 C,�t�)$&�a��� 5 :x�����&@ 3 �a' 5 :�;,�xOa$&�a���!'0� ; 3 �&n!:X� 6 @^��� ; 3 ��<�(%>�

Page 27: Διακριτά Μαθηματικά

� ������ ���!�� � ���� � ������ �� ��� � � ��������-����������� k, ~K�Xz 5 <t�!>^<t�&: 2 [ ��[d_�;)<9=!>ySVfau�[I$���jc@9>9�&O 3 ��<9=!>o<N��O!<^`!<^=!<t�S 89�tj <9�Xe����,<^=�> V l ;,e&=�;,=vf� cfau�[

p & [ &�� i

� OV�� q

�������-����������� k) c-6�Xz 5 <t��>N<N��: 2 [d_�k���[ �u_�;,<^=�> S�fau�[�e�����C�(%@djNM9�!>^<t�&:�<t�&O!:��&@9>9=a<d� e���n�:���$&`v<t�&O�: 6 �E<d� e���n�:`&@9��O�:�$&��jc@9>^�&O 3 �v`!<9� '��c� e&� 6 ��O <t��� 6 @9��� ; 3 � <t(%>89�c(%>^O 3 �ce�M%>;0O!>^<9�E����;,<NM%> � & �� '0�c� V �&@^<9� ���tj >9���%j ;,� 3 �v<t�� 6 @9��� ; 3 �v'0�c� V $&��@d� <N<9`

SVf�Fa[ ���� & ���

������� � ��

� OV�� [ �

��� & �������� �� �

� OV�� q

l O!<^`��tj >9���R���&>^�t@^`�`a<t�&>v<t�\O �tj >9���R$���@d� <^<^`�L 3 �c�e����H<9`a<9�?����8d� (%>9O 3 � e��&jR;,O�>N<9�E����;)< 5 : 3 �Q�&@N<d� � V ��@dj ;)e��!>^<t���H;0�5 >9�D$&@^�&: 5 >9�Q�&>^<d� ;,<t��� C,jc� 3 ��<t�&O!:X;0O!>^<9�E����;,< 5 : 3 �L$��t@9� <^<^` V S �&�0�&nQ� ;0C)n!�N�&$��&>^<t� � & �� [ � &

&�C � �&89�tj <^��e&���^V l ;)e�=!;0=f� cf�F![eL)���!���v89��>q�tj >^���0��p?j ;0��OQ��n!e&�!���D'0�m���&@N<d� � V �������-����������� k) u&�wz 5 <N��O 3 � 2 [ ��k���[ _Q;)<9=!>�SVf!u�[ie�����$&�&@^��')(*'�jNM9��O 3 ��<9=�;0C 5 ;,= $��&Ov$&@9��e&n!$�<9�t�0(%:o$&@9�&:

�R B ��jc@9>^�&O 3 � 5 <9;0�

O�S _ m ��U &�C * [ &�� *

V � O V�� � � C * qz 5 <t��>^<t�&:X<^M%@9�(�x[�_�$���jc@9>9�&O 3 ��<9=Q;0C 5 ;0=

&�� *

V � O V � []O p &�C * q

! ��"�������k) }&� � $&�a���!'0j ;)<9�L<t��� 6 @^��� ; 3 ��� & � i p � � & �� ! ��"�������k) �&� � $&�a���!'0j ;)<9�L<t��� 6 @^��� ; 3 ��� & � # V S V �t_aU � & � ! ��"�������k) ��N]9�Lz 5 <N�!>^<t�&: 2 [ � k��~[d_�Y ��e���� p O ;,<^= 6�5 ;,=D<t�&OO ;,<^=�> SVf!u�[�89�tjcp^<9�X<9=!>q<t�&Oa<9`a<9=a<t�� p O

O � [ &�� i

� OV � # k

��p9�E<9�8M^��>^<t�&:w<N��;,O�>N<9�E����;)<9+Q<t�&O?;,<t� 6 ��@9�&nD`�@9�&O) ! ��"������ k) ��!�;� B ��� �&:w� ;,O!>^<9�E���t;)<9+!:�<N��O-�A) � ��;)<t�v�&>9��$�<9Oa' 3 �D<t�&OxS _ m � m �&U * # 3*" e&��@9�&;)<9�w<9=!>���$&�&>N<9=!;0+

;,�&: 3 �X$&�a��Oa(%>9O 3 � e��&n!:w;,O!>^<9�E���t;)< 5 :a LSVbQ�tj <9�X<9=!>��7f� c[

� ������� ' � � (�"�$�� ���6! (+*-���'f � �'f � ! $&(���$&� $&.+$�d'

{ �o�&Oa<9+D<^=�>Q$��&@9��',@9����� 6 �T89��n 3 �o$�M%: 3 $&��@9�&n 3 ��$&�a�!� 5 :��0�&@ 5 :?>^����$&��89�t�ce&>9n���O 3 �w<t�&Oa<9`a<9=a<9��:�C�(%@dj :?�m89�m�&j r<9��@9��:�$&@^�&p9�t� :HL���$���� ��@ 3 =!>9��n!��>^<t�&:�<t�y�&@d� ;)<9��@9`�e�����<t�T8^�tp9j 3�5 ����: 3 ��;0O!>989O!�&;)<d� e�`�<9@9`�$&�ye&����$&�&@^��<9=!@^M%>^<t�&:�`a<d���$��&@d� 6�3 �&n!>�<t� jm89�m� ��>^<d� e��tj 3 ��>9� S �&@9� �tj >9���*e�����j ;0��[E l Oa<9+ = <9��C)>d� e�+ ��>9� 3 �8M9�E<t���*e���� �a<�D K���2��r: |�782&4 3 �c� e����3 �E<^@9� 3 �X<t�Tjc8d�c���&>^<9�ce&�Nj 3 �t>^�v89n�� ����@ 5 :;L)�&@^� <t��89n!� ��$&�a<9�E� 5 ; 3 ��<t�v�tj >9���0j ;0�0

�������-����������� k, cF6��S KL@dj ')(%>9��<t�&O��*W!� 9tWaY\[ bQ�tjcp^<9�X<9=!>q<t�&Oa<9`a<9=a<t�

SVf!}�[ � OV � [ � Ox�)_

V �t_ � m � Ox�t_V � q

KL�D�&@9� ;,<^��@9` 3�5 ���&: 3 �E<9@9���N�&<t� V r 3 �E��+oOa$&�&;,n�>^�!���?<t�&O 6 O98 [e��_;krqEqrqEk`O��� l O!<^�D` 3 (%:w�tj >^����89O��?e���<9=a',�&@d� M%>�J*��O!<^�$&��Oo$���@d� 5 C)�&O!>�<N�?;,<t��� C,�tj �jO�e��&��<N�?O!$�`!����� $&�0 �KL�q$���+ 6 �&:��&Oa<^M%>X$&�&O�$&��@d� 5 C)�&O!>X<t�bO��Nj >9�&� � &�C *� C * �&�0�&n�e�� 6 � 5 >9���$�`w�&Oa<9��<t� V r 3 �E��+iOa$&��;0n!>9�a���Le�� 6 �&@djNM9�E<t��� 3 �!>9�&;,+ 3 �&>^<t�x��$�`X<^=�> <t� 3 +i<t�&O 3 ��<t�x;,n�>9�a��� 6 O �j_A8�[e��_;kEqrqEq=k`Ox�)_��$&��O 5 C)�t� 3�5 ',� 6 ��: V �t_� �KL�yO!$�`!����� $&��Oa$&�&;,n�>^�!������$&j ;,=�:xe&� 6 ��@djNM9��>N<N�&� 3 �!>9�&;,+ 3 �&>^<t�T��$�` <^=�>?<N� 3 +D<t�&O!: 3 ��<t�6 O3�t_A8 L 3 `!>9�v$&��OD�&Oa<9+Q<NM%@9� 5 C)�t� 3�5 ',� 6 �&: V L)�&@9��<t��$���+ 6 �&:w<t�&O!:��tj >9��� � &�C *�

Page 28: Διακριτά Μαθηματικά

� � � ������ ���!�� � ���� � ������ �� ��� ��������-����������� k, }9� { � 3 �c��;0Oa')e 5 >^<9@N(%;0=v���&@d� 6�3 `�:x<�(%>qe�������; 3�5 >^(%>o$&�&O?�&>^<t�����&;0;,�&O!>�$&��@d� <N< 5 :w<t�v$���+ 6 �&:

C)�t�m@^�-,�jc��:��tj >9���0��@^<d� ��:! V " ;)<�(#Q * krqrqEq=knQ & ����e�������; 3�5 >9��� zx��(%@^�&n 3 �i<t�?;,n�>^�!���q<�(%> M^�tOa')M%>SYQ = klQ ? U < 5 <t���c�oM%;,<^���Q = C)���c@9�E<9�&�t��<t�!>Q ? LRe����R�&:D�tj >9����� = � �&@d� 6�3 `&:?<t(%>�C)�t�c@9�-,�� M%>�$&�&OT�&>^<t�����&;0;,�t�R�\Q = e&��� ����;0O!>9�a�&� e�`�:?�&@9� 6�3 `&:DC)�t�m@^�-,�� M%>�$&�&O

�&>^<t���!���&;0�!>^<t��� IKL� $���+ 6 ��:�<t(%>bM9��O!')M%>3S�Q = knQ ? U�� ;0��n!<t���?L)��$�`y<9= 3 �c� 3 ��@d�c��L 3 � � &= * � = L0e&���?L���$�` <^=�>?���!��=&L 3 �p � L)�&����nD;0�we�� 6 �xC)�t�m@^�-,�jc���&>^<9� ;,<t��� C,��n�>���e&@d� ��M%:�8^n���M9��Oa'0��@d�c�PSYQ>=`klQ ? U�e���� SYQ ? knQ>= U� +V " <^;�� 5 C)�&O 3 �p �[ &�

= *� =

�&@9�v<t��$���+ 6 �&:w<�(%>o$&��@d� <N<^M%> � = �tj >9���,�&>9��')e���;,<9�ce&� ��@^<d� �0 �������-����������� k, �9�LP��c�CO * k`O # f Xv� ;0C)n!�N�

��� i

� O *V�� � O #� � V � [ � O * m O #� � k S�� T � 478;�rO * knO # �FU=q

bQ��pd�c� 3 �E<9@9� 3 ��<N�TO!$��&;0n!>9�a��� 3 �E' 576 ��O�: � <t�&O 6 O * m O # 8s wgi�&����O 3 �o<t�xO * �&>^<9� e��tj 3 ��>9�T�&;)$&@^�Te�����<t�T���!���3 ��n�@9�0 KL� Oa$&�&;,n�>^�!��� 3 �E' 5E6 �&O!:8��$��&O 3 �&:���>98d�c�&� 5 @9�&O!>TC�(%@djNM9�!>^<t���*;,<9� : � m _�<t� $���+ 6 �&:De&��<9=a',�&@djc��:�6 � LV [�X9krqEqrq=k � 1 e���<9=a',�&@djc�86 � $��t@9�c��� 3 �&�&>^�N��`!���?<t� � r 3 �E��+oO!$��&;0n!>9�a���o<t�&O 6 O * m O # 8�$��&O�$&��@d� 5 C,��O�>���e�@d� ��M%: V�&;)$&@9�0 B @9�&����>^M%: 5 C)�&O 3 �%� 6 � �8[ � & � � &

� C � �&����nD'��c�y>9�y�,<d�c�&p9��O 3 � 5 >^�yOa$&�&;,n!>9�!���ve���<^=!',�&@djc�&: 6 � $&@ 5 $��N�0>9��E$�� � 5 p^�&O 3 � V �&;)$&@9�?e�����<t�DOa$&`a����� $��jOb� V 3 �&n�@^�� -V l @9�Q<t�Q�&@9� ;,<^��@9` 3�5 ���&:L<9=!:w� ;0`a<9=a<t�&:L�tj >9���)j ;,� 3 � � � �! i � 6 � �m

�������-����������� k, Z�^]&�iP��c��e&� 6 ��O�f p � ;,C,n!�t� J� p Op � [ p � O p�� m O # q

l @d� ;)<9��@9� 3 �E<^@9� 3 �X8d� 3 �E��+QOa$&�&;,n!>9�!���?<t�&O 6 p O98s V " ;,<�(�`a<d�)C)@^( 3 ��<djNM9�&O 3 ��O ��$&`Q<t� p O ��>^<d� e��tj 3 ��>9�v;,�w��;,$�@9�e����a<t�q������� 3 �&n!@9�� �KL�o8d� 3 �E��+wO!$��&;,n�>9�a���x<t�&O 6 p O98,�tj >9���!<^@d� M%>X<^n!$�(%>�JIS l [ 89n!�q;)<t��� C)�tjc���&;,$�@9��L0SVgi[�89n!�q;)<t��� C)�tjc�3 ��n�@9�KL�S P�[ 5 >9�?�&;,$�@9�?e�� 5 >9� 3 �&n�@^�� KL�qO!$��&;,n�>9�a���o<^n!$��&ODS l [%�tj >9��� � &

# <t�q$���+ 6 ��:i�&����nq89�m��� 5 ',�&O 3 ��8^n��q��$&`o<t�O���;,$�@9�� IKL`&;0� �tj >9���0e��&�,<t�yOa$&��;0n!>9�a���D<^n!$��&O�S gL[� 0KL� ;0n!>9�a���v<9na$&��OTS P�[L�tj >9���0<t��$���+ 6 �&:�O � O�L 3 �c��e����,$�@ 5 $&�t�>9�?8d�c��� 5 p9��O 3 � 5 >9�Q��$&`jO�&;)$&@9�qe���� 5 >9�?��$&`jO 3 ��n�@9�0 KL�Q;,n!>9�!����'0�m�q<d� :i<^@9�t� :Le���<^=!',�&@djc��:i;,O�>^`!�!(%>x� 3 �0�&>djNM9�E<t���;)<N��89��pdj 3�5 ����:!

�������-����������� k, Z���;�LbQ�tjcp^<^��`!<9�SVf!��[ O p &�C *�[ &�

� *V � O V��

S 89�tj <9���E$&j ;0=!:T<t� B �&@^�&89�t� ' 3 � k, u�[D��@d� 6�3 M%>^<t�&: 3 �8^n�� 8d�c�&����@9�E<d� e��&n!:T<9@^`�$&�&O!:T<t�tM^�tna',= S�� k���UD< 5 <t���c� M%;)<9���� "76 O98s

� $��&@9C)�&O!>� & �� ;,n�>9�a����� " 6 O98 3 � 3�5 ',� 6 ��: V L2e����2'0�m��e&� 6 � 5 >9���$�`��&Oa<9� 3 $��&@9�&n 3 �o>9��E$&�c� 5 p9�&O 3 ��(%: ���$���� �&89+a$&�a<9�L��$&`Q<t� V ;,<t��� C,�tjc�Q<t�&O&L&�&@^�D<N�D$���+ 6 �&:L<t(%>uM^�tOa')M%>CS���k���UI< 5 <t���c�QM%;)<9� � �� " 6 O98R� ;0�&na<t��� 3 �L<t�89��pdj 3�5 ���&:X<9=!:DSVf!��[�

V �x3 (%:Q<t��M9��na'0= �&Oa<9� 3 $&�&@9��n�>D>^��&@d� 6�3 = 6 �&n!>D�E$�� � 5 '0�!>^<t�&:�$&@NM*<N��<t� � e���� 3 �E<9���E$&�c� 5 ',��>^<t�&:o<t�#�8D��LK �a<�D�4;)<N�&� C)�Njc��<t�&O�� L!<t�o;,n�>9�a����89=!�, �� �� �+�� V �x3 (%:i`!����<t�o;0= 3 �tjc��<N��O 6 O98,�Ee&<^`&:�<t� ��;0O 3�3 �E< 5 C)�&O�>L;)<t��>Le�� 6 �&@9� ; 3 `<t�&O�� ;�$�+�;LHe����H�&@9� ���H89O�>^��<9`a<9=a<9��:o'�� V0�&Oa<9`�tj >9��� p &�C * L���@9� ���R8^O�>9��<9`a<9=a<9��:q'0�c�<t�cM9��n!',=T�tj >9���/O p &�C * LH$&�&O�tj >9���,<t� �&@d� ;)<9��@9` 3�5 ���&:a

���+�bah0���$ ��*+������(-g '��N"���( g��(E��"��-%�" .�"�(�!l >x',@9�&����<9�X8d�c��')M%>d� ; 3 �D;)<9=!>�na��=�$��&O 5 C)�t��$&@^�&=!',= 6 �tj 3�5 C)@d�&e��&��<N�?< 5 ����:X��O!<NM%>x<�(%>�;0= 3 �t� M%;,��(%>w<N�?$&�&@9��e���<�(6�5t3 ��<t� 6 � +!<t�&>o��>989�t� e&<9�ce&�S�fQM%@9��:HL)e&���t� ;)< 5 :w;0= 3 �t� M%;0�t� :N[E "%� 5 ',p^<9�X<t��>q���&O!<^`�;0�&: �

! ��"�������k) ��^f&� � �w$&`�;0�&O!:w<^@9`�$��&O�: 3 $&��@9�&n 3 �X>9� 3 ���c@9�&;,�&O 3 �xf)�x89�&����@9�E<d� e��D��� ���&jc�D;)<t�y��<N� 3 � l L0g e��&�0P�L�&na<�(%:xM%;,<^����� l e����0g 3 �^Mdj0>9��$&��@9�&O!>q89�c$�����;��c�Q�&� ����jm�v��$&`D<t��>qP 3

Page 29: Διακριτά Μαθηματικά

� ������ ���!�� � ���� � ������ �� ��� � � �! ��"������ k) ��Nk9� � �c� � 3 �&8^� fa]���<^` 3 (%> 6�5 ���t�R>^� �,<d�c�&p9�t�R<^@9�t� :HL�p 5 >^�t: 3 �E<t�&p9nT<t�&O!:;LH�E$&� <9@9��$ 5 : 3 �Qu&L -ye&���H~

��<t� 3 ��= e&� 6 � 3 jc�� DS � 5 ;0�;,�oe�� 6 �?�E$�� <9@9��$�+v89��>vO!$��&@9C)�&O!>DC�(%@d� ;)<9��&p9�cM 3 ��<t����<N� 3�5 ��=v<t�&O!:?�tj >9���R� ;,�&89n!>9� 3 �� c[� �w$�`&;0��O�:x<^@9`�$��&O�: 3 $&��@9�tj0>9�v'0j >9�t���&Oa<9` 3

! ��"�������k) ��t~K� � $&�a���a'0j ;)<9�L<t� � 6 @9�&� ; 3 �&�� *

V # � O V�� q! ��"�������k) ��^-&� � $&�a���a'0j ;)<9�L<t� � 6 @9�&� ; 3 �

&�� i

_Vjm _

� OV�� q

! ��"�������k) ��Nu9�ibQ�tjcp^<9�x<9� :x<t�&Oa<9`a<9=a<9��:S k�]�[ � O

V�� � V� � [ � O

� � � O3� �

V � � �e����

S k,�^[��= i

� �? � � O

V � ? � [ � � m OV � q

! ��"�������k) ��9F6�ibQ�tjcp^<9��`a<d�?L�'0�c�COgfy_�� ;0C)n!�t�S k�f![ � p O m)p

O m _ � [ � p OO m _ � m)p � p OO � m � p O

O��t_ � q

Page 30: Διακριτά Μαθηματικά
Page 31: Διακριτά Μαθηματικά

��"�� l��Il�� � ~

� � ����� �� ��� � � ��� ���� �������������~� �

��������*-,D�eg�0 (�1�.+� (+$&(V " >9��',@9�&�0= 3 �vS 3 �t@9�ce 5 :I���&@ 5 :I;,<^=�>L�E�!��=!>d� e�+i�&� ����� �!',@9����jc�X'0j >9�E<t���9��`a',�&:%e����d'��c� 5 >9��',@9������[��tj >9���d�x���&;0�ce&`!<^�t@^�&:;L$&��@9�&;)<N��<d� e�`a<9��@9�&:�e&����$�� 5 ��>���n!C,@^=�;)<t�&:�',��>d� e�`&:i<9@^`�$&�&:�;,<t� � � 6 = 3 ��<9�ce&� S ���!����e��&��;,<9� :i"%$�� ;)<9+ 3 ��:�',��>d� e�`a<9��@9��[>9�T$��&@9�&;)<9+!;,�N��e���>9�tj :�$���=�@9�����&@djc�y;0O!>989��; 3 �a���a'0jm��:;L0>9��$&��@d� '0@^�-,��t��89=a�0 3 �c��� 3 �&89����>^<d� e��t� 3�5 >^(%> 3 ��@d� e�����$�`y<t���$���jc�v;0O!>98 5 �!>^<t��� 3 �E<t�&p9nq<t�&O�:HL�e����,��>989��C)� 3�5 >^(%:�e��&�,$���=!@9�&����@djc�t:X'0�m�v<^=D;0O!>989��; 3 �a���a'0jc��

' ��� �8�)(�� ~0 Z���oS l $���`�',@9����= 3 ��[ "I>^��4�D K��WGa|6� ! 762&4 � [ S�� k #ZUw��$��!<^�E���tj <t���,��$&` 5 >9�T;0n!>9�a��� e��&@9O!�0M%>�e���� 5 >^� ;,n�>^�!��� ��e 3 M%> #CL�<t����$&��j ���tj >9��� 5 >^� ;,n�>^�!��� ��$&` �a<N��R<� � K^4 <t�&O�D TPR@9�&�0�&O 3 �D�E$�j ;0=!:� [���S �jU�e����#d[ #WS �jU�'0�c� <t��;0n!>9�a���De&�&@9O!�0M%>oe����0��e 3 M%>o<t�&OQ',@9�&�0+ 3 ��<t�&: �D

� �c����e 3 + �&>9� 3 �t;,� ;,��89n!� e��&@^O�� 5 :� e����� �&>^<d� $�@9�&;)(*$&��n��t��e&��$&���c� 5 >9>9���c� ;,n!>989��;0=!:�<t(%>T89n���e��&@9O!�0M%>� { O!>9= 6 jNM9�&O 3 �>9��$��&@d� ;)<9��>9�&O 3 � 5 >9��',@9�&�0= 3 � �&>^<9� ;,<t��� C)M%>N<N��: 5 >9��;,= 3 �tj � <t�&O �E$�� $ 5 89��O ;,�e�� 6 ��e&�&@9O!��+ e����<9@^����M%>N<N��: 3 �c��'0@^� 3�3 +Q$&�&OQ�t>NM%>9�t�089O!�ve��&@9O!� 5 :��&>oe���� 3 `!>9� �&>?��O!< 5 :w��>^M%>9�!>^<t��� 3 � 3 �c� ��e 3 +Q;,<t� �D

"%$�� ;0= 3 ��j >9��O 3 �*�t8NM`!<9�9�&Oa<9+�=L'0@^�&��� e�+L$&��@9�&;)<N��;0=L��>9`&:*',@9�&�0+ 3 ��<t�&: 5 C,�t�9�E$&��$�<d� e�+ 3 `!>9�x;,= 3 �&;0jm�0 � $��&@9C)�&O!>',@9�&�0+ 3 ��<t��;)<t� ��$&��jc�89�DC)@9=!;0� 3 ��$&�&� �&n 3 �o$&�a< 5 e&��$&���c��',@9�&��� e�+T$&��@9�&;)<N��;0=�S ;,O�>9+ 6 (%:D��`a')( 3 ��' 576 �&O�:N[we��&�R<t�',@9�&�0+ 3 ��<t��$��&O 3 $&�&@9��n�>o>9�v$&��@9�&;)<N� 6 �&n!>�',@9�&��� e�� 3 �w8d�c�&����@9�&O!:x<9@9`�$&�&O!:!

� (*H��"!%& $

� /*;1-1��!%& 0

� 0.K /�!)+

� =����1&

� ��J�6�21(�0

� ��J�6�21(�0

� (�H<�"!%& $

� /�;�-'��!%& 0

� 0'K /*!)+� =����1&

�X���'�J� � / ����$&���c��:X$�`!���t� :x;)<9=!>q��@9+!<^=?e��&�0�&8d� e 5 :�;,O!>98 5 ;0�t� :w(%:�'0@^�&��= 3 �

P��c�Q$&�&@^�&89�t� ' 3 ��L�;,<t� { C)+ 3 ��F�89�tj C)>9�&O 3 � 3 ��89n��Q8d�c�&���&@^��<9� e��&n!:�<^@9`�$��&O�:L<t�vjc8d� �?'0@^�&��= 3 �Q$��&Oq;,e���$&` 5 C)�t��>9�89�tjcp9�t�H<^=�>Q�&8d� e�+T;,O!>989��; 3 �!���a'�jc�y�&>9� 3 �t;,�;,�?$ 5 >^<^��$&`a���t� :�<9=!:Q��@^+!<^=�:a 1 na$&��@9p9= 3 �c�&:Q��e 3 +!:?��>9� 3 ��;,�;0�q89n!�e��&@^O�� 5 :QS $�`!���t� :^[ O!$��&89=a��M%>^�N��<9=!>on!$��&@9p9=Q�t>^`&:�89@9` 3 �&O) %KL��;0n!>9�a���De���@9O��,M%>?;,���&Oa<9`v<t�v',@9�&��= 3 � �tj >9���,<t�

�d[e� 1 @9��e&���t� ��L$� 576 O 3 >9��L l >NM*'0�t�c��L � ��jc@9��:;L { $�+!��� �� �

Page 32: Διακριτά Μαθηματικά

� � �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� �����>^M�<t��;,n�>9�a��� ��e 3 M%>q�tj >^���,<t�

# [ ��� 1 @9��e&���t� ��L$� 576 O 3 >9�H��kS� 1 @9��e&���t� ��L l >^M*',�t�m�1�;k!� l >^M*',�t�c��L�� 5E6 O 3 >9�1�;k� � 576 O 3 >9�KL { $�+!���7�;kS� { $�+!���?L � �&jm@^�t:���kS� � ��jc@9��:HL 1 @9��e&���t� �6���oq

{ <9=!>���@d� ;)<9��@9+L',@9�&��� e�+L$��&@9�&;)<t�&;0=i<t�&OL',@9�&�0+ 3 ��<t�&: 5 C,��O 3 �+M^(*',@9�&��j ;0�t�9<d� :%$�`!���t� : ;,� < 5 <t���c� 6�5 ;0=LM%;)<9�%=�;0C)�E<d� e�+<t�&O!: 6�5 ;,=X>^� 3 �&�m�^M9�t� 3 �*�&Oa<9+i$��&O 5 C)�&O!>I$&��>^(;)<N�wC)�&@^<9=&L9��>^M�89��pd�c� 5 C)�&O 3 �+M^(*',@9�&��j ;,�N�^<t�xjm89� �X',@9����= 3 �X���8M9�!>^<t�&:��$�����`a���t:�<9� :?$�`!���t� :�<9= 3 �c��e���<�( ��$�`�<9=!>D���!��= ;0�q����������=a<d� e�+v;,�N�c@9�0 oKL��>djNM9��O 3 �qp^�&>9�`a<d�2e�����<t�89n��T;0C 5 8d�c�$&��@d� ;)<9�&>9��O�>�<t� jm89� �v'0@^�&��= 3 ��

1

3

4 5

6

2�X�+����� �2/ " >9�y��$���`D',@9�&��= 3 � 3 �wuQe��&@^O�� 5 :we�����Fq��e 3�5 :

�������-����������� ~, ��;� { O�>^+ 6 (%:q<t�y��>9` 3 ��<t�y$��&O��E$�� � 5 ',�&O 3 �x'0�c�y<9� :�e��&@9O!� 5 :o�tj >9���2��$����T��@d� 6�3 ��j �V " >9�T<^O!$&�ce&`',@9�&�0= 3 �y�tj >9���)$� C2 �<t��'0@^�&��= 3 �v<t�&O { C)+ 3 ��<t�&:�}?$&�&O 5 C)�t�0;,n!>9�!���ve��&@9O!�0M%>o<t�

�d[ ��_�k p k Z&k , k k % �e����,;0n!>9�a���v��e 3 M%>o<t�

#�[e�<�;_�k p �^k!�;_�k , �^k!� p k Z���k!� Z9k ��k!� Z9k % ��k!� , k % �^k!� k % �_�;q�������-������������~0 f&� { <t� { C)+ 3 ���D89�tj C)>9�&O 3 �w`!���D<t� 89�m�����&@9�E<9�ce&� ��$�����',@9����+ 3 ��<t� 3 �wkDe��&@9O!� 5 :a

����������� / KL��8d�c�&�0�&@9�E<d� e�����$����v',@9�&�0+ 3 ��<t� 3 ��kQe&�&@9O!� 5 :

! ��"������ ~0 Z��� B `&;0� 8d�c�&����@9�E<d� e�� ',@9����+ 3 ��<t��O!$��&@9C)�&O!> 3 �RO�e��&@9O!� 5 :�3 B `&;0� 3 �RO�e&�&@9O!� 5 :De���� V ��e 3�5 :�3SYX T V�T OR[

l >D89O!� e&�&@9O!� 5 : � e���� y��>^M%>9�!>^<t����;,<t� � S 89=!�, 0�&> � �-k H�U�#q[ 6 � ',@9�&����O 3 ��;0O!>9+ 6 (%: ��� T+De&��� �� �&> 6�5 ���&O 3 ��>9� <N�!>dj ;,�&O 3 �x'0�c�y$���� �v',@9�&�0= 3 � 3 � ��� 3 �d �x3 ��j (%: 6 � ',@9�&����O 3 � � * � � # '0�c�y8^n��y��e 3�5 :�� * e����!� # �&>�&Oa< 5 : 3 ���c@9�8M9�!>^<t��� 3 �c� ��$&`v<d� :x89O�`v<t�&O!:xe��&@^O�� 5 :a

' ��� �8�)(��X~0 f&�IS P��t� <t�!>d� e 5 :we��&@^O�� 5 :we����0��e 3�5 :HL�'0�t� <t�!>d� 5 :^[ bQn!�we��&@^O�� 5 :%$&��OX;,O!>98 5 ��>N<N�&� 3 �%��e 3 +qS �&>^<� 9��e 3�5 :$&��O 5 C)�&O!> 3 �c�?e��&� >^+�e��&@9O!��+�[ 6 �q� 5 ',��>N<N�&�/G9Be< :;� �a<?>��lA%+xG&B=� : � �rB�A*e��&��<t�Q;,n�>9�a���q<�(%>w',�t� <^`�>^(%> 3 �c�&:ie���@9O��0+�:oS �&>^<� ��e 3 +�:N[ � 6 � � 5 ',��<t���)=\G9Be< : � �F< �?<N��O �e���� 6 � ;,O 3 �&�a�&jNM9�E<t����;,O�>9+ 6 (%: 3 ���#S �/UE

Page 33: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� � ��������-������������~0 k9� { <t�v',@9�&�0= 3 ��<t�&O { C,+ 3 ��<N��:�} 5 C)�&O 3 �

�#S`_aU�[e� p k , �;k �#S p U�[e��_;k Z��;k �#S Z�U�[e� p k �;k �#S , U�[e��_;k % �;k �#S U�[e� Z&k % �;k �#S % U�[e� Z&k �;q1 ',�t� <t��>d�c�D<^=�:���e 3 +!:�� Z9k % �o�tj >^���,<t��;0n!>9�a������e 3 M%>

�#S`S Z&k % U`U�[ ��� p k Z���k!� Z9k �^k!� , k % �^k!� , k �^k!� Z9k % ���^qB �&@9��<^=�@9�tj ;)<9�v`a<d� 3 �c� ��e 3 + �Nj >9�&��$&�&>^<t��'0�tj <t�!>9�&:D<t�&O ���&Oa<N��nT<9=!:�;0n 3 �,(%>9� 3 �D<t�!>T�&@d� ; 3 ` $&�&O 5 C)�&O 3 �v8^M%;,�t�?L��>^M 3 �c�e��&@9O!��+T$��!< 5 8^�Q',�N� <N�!>9��n!�N� 3 �?<t��>����&Oa<9`�<^=�:D;,� 5 >9� ��$���`�',@9����= 3 � SV��O!<^`�������8M9�t�H�&@^',`a<9��@9� `!<t�&> 6 ���p9�E<9�8M^�&O 3 �w',��>d� e�`a<9��@9�v',@9�&��+ 3 ��<N�&[�

' ��� �8�)(��D~, k&��S gi� 6�3 `&:�e&�&@9O!��+!:;L)��e 3 +!:! *����>9��>9�ce&`D'0@^�&��= 3 �� [ ��465H2��FA 3 �m��:xe��&@9O!��+!: �� S 6 � ;,O 3 �&�a�&j rM9�E<t��� 3 �o����� ��[�� 5 ',��<t���,<N� $���+ 6 �&:�<�(%>v��e 3 M%>Q$&��O 5 C)�&O!>?<^=�> � (%:q��e�@9� <t�&O�:a wbQ=a�0 0����� �P[ � �#S �/US� �x3 ��j (%:�&@djNM9�E<t���,�v��� 6�3 `&: 3 �c�&:���e 3 +!:!

�4Q� � �a<?>8�Q��>9� 3 �8M9�E<t��� 5 >9� ',@9�&�0= 3 � `a<t�&>T`a����:D�&��e��&@9O!� 5 :D<t�&O 5 C)�&O!> <t�!>�jc8d� ����� 6�3 `� l >y� e��&� >^`&:v�&Oa<9`&:��� 6�3 `&:��tj >9�����Q<9`a<9�X� 5 ',�E<t�����Nrse��&>^��>d� e�`0

�������-����������� ~, ~9� { <t� { C)+ 3 �y}v`!����:����0e��&@^O�� 5 : 5 C)�&O!>o��� 6�3 `�f6L,�&@9�y�Nj >9�&��<N��',@9�&�0= 3 �T�&Oa<9`yfdr�e��&>9�!>d� e�`� { <t� { C,+ 3 �yF?�v��� 6�3 `&:x<�(%>oe��&@9O!�0M%> 1 @^��e&���N� �De���� � 576 O 3 >9�y�tj >9���,kQe����)<�(%>?���!�!(%>oe&�&@9O!�0M%>q�Nj >9�&��f)

! ��"������ ~, cf6�LP�j >^��<t���,;0� 5 >9� ',@9����= 3 ��`!����:����)e��&@9O!� 5 :�>9� 5 C)�&O�>o8d�c�&�0�&@9�E<d� e�`D��� 6�3 ` 3! ��"������ ~0 k9� B `&;,��:q��e 3�5 : 5 C,�t� 5 >9� �^rse���>9��>9�ce&`y',@9�&�0= 3 � 3 � O e���@9O�� 5 :�3 � $��&@9C)�t�'Zar�e��&>9�!>d� e�`�',@9�&��= 3 � 3 �

]qe���@9O�� 5 :�3! ��"������T~0 ~K��bQ�tjcp^<9��`a<d�);0� 5 >9�D',@9�&�0= 3 ���d[�S ��k #ZU <t�v� 6 @9��� ; 3 �Q<�(%>x�&� 6�3 M%>�`a�!(%>x<�(%>�e��&@9O!�0M%>o� ;,�&na<t���

3 � p � # � ! ��"������ ~, c-6��bQ�tjcp^<9�w`!<9�0;,����$���� �&89+a$&�a<9�L',@9�&�0= 3 � <t�v$���+ 6 �&:we��&@9O!�0M%> 3 �w$&��@d� <N<9`D�&� 6�3 ` �tj >9���,�&@^<9� ��

�6`+��� f60�� � �ef ����� � � g�0 (�1�.+��(+$&(

KL� e&�t>^` ',@9�&�0= 3 � 3 �CO�e���@9O�� 5 : 5 C)�t� ;0n!>9�a����e��&@9O!�0M%> 6 O98�[ �^_;kEqrqrqrk`O��ye���� ;,n�>^�!��� ��e 3 M%>'# [ ]� KL�;,O 3 �&�a�&jNM9��O 3 � 3 ��# &

KL� $���+�@9��: ',@9����= 3 � 3 ��O�e���@9O�� 5 : 5 C)�t��;,n�>^�!���ve��&@9O!�0M%> 6 O98�e�����`a����:x<9� :�89O!>9��< 5 :���e 3�5 :HL08^=!�, #� `a���v<t�8d� 3 �E��+�O!$��&;0n!>9�a���v<t�&O 6 O98� { O 3 ���a�&jNM9�E<t��� 3 �� & e&��� 5 C,�t� � & # [ & � &�C *��

#��e 3�5 :! XKL����@d� ;)<9��@9`y',@9����= 3 ��;)<t� { C2

�N]D�tj >^���,<t�� � KL��$���+!@9��:x8d� 3 ��@ 5 : ',@9����= 3 � 3 ��� e����;O e��&@^O�� 5 : 5 C,�t�!;0n!>9�a����e���@9O��,M%>L<N� �d[ / � 5WL 3 � / [ � 2 * krqEqrqrk 2 � ��L5 [ � � * kEqrqEqrk�� & �;L�e���� 2 = � � ? L�'0�c�?e�� 6 � ?+[d_;krqEqrq=k ��L Gb[d_;kEqrqrqrk`O* { O 3 ���a�&jNM9�E<t��� 3 �� � " & e&��� 5 C)�N� � � O��e 3�5 :! � e�nae&���&: 3 ��O�e&�&@9O!� 5 : 5 C)�t��;0n!>9�a���Qe&�&@9O!�0M%>�<t� 6 O98�e�����? � GD�&>�e���� 3 `�>9�v��> � ?�� G'�;[d_w+ �:?�kHG6��[e�;_�k`O���

{ O 3 ���!��jNM9�E<N�&� 3 � 6 & e���� 5 C)�t�9O ��e 3�5 :a

��������*-��g�0 (�1�.���(+$&(���(�� �N"�������0 1 �?(

GH/V. ��,�)62-. ���-����� 8 �' ��� �8�)(�� ~, ~9�yS � $&�a',@9�&�0= 3 ��[ " >9��',@9�&�0= 3 � �

`[ S��

`k #`U 6 � � 5 ',�E<t���u�8D ��Ga|6� ! 762&4��t>^`&:�',@9����+ 3 ��<t�&:

��[dS ��k #ZUi�&> �`" � e���� #

`" #v

� �����!���D��`a'0�m�KL&<t� �`�tj >9���,O!$��!',@9����= 3 �D<t�&O�� �&> 3 $&��@9�&n 3 �X>9�v<N�v$��&@9�&O 3 �X��$&`v<t� � �������c@^M%>^<t�&:�e&��$&���c��:

e��&@^O�� 5 :�e&���Ie���$����c��:���e 3�5 :a " >9>9�&�tj <t������8^M `!<9���&> ��$&�&�0�&;�j ;0�&O 3 �y>9� �&�����c@ 5 ;,�&O 3 ����$�` <t� � 3 �c� e��&@9O!��+ ��&Oa<9` 3 ��<t�v8d�c��',@9�&�0�&O 3 �we��&�0`a����:x<9� :���e 3�5 :x$&�&Oq$&��@d� 5 C)�&O�>�<^=�> �-L 3 �c� e��&�089��> 5 C)�&O!>�$�� 5 ��>�. >9`&= 3 � /Z

Page 34: Διακριτά Μαθηματικά

��� �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���

1

2 3

4

1

2

4

5

3��������� .��H/ KL��89��pdj0',@9�&�0= 3 �y�tj >9���,O!$��!',@9�&�0= 3 �D<t�&OD�&@d� ;,<^�t@^�&n�������-����������� ~, c-6� { <t� { C)+ 3 ���N]q<t�Q',@9�&�0= 3 �v89��pd�c�D�tj >9����O!$��!',@9����= 3 �Q<t�&Oo',@9�&��+ 3 ��<N��:w�&@9� ;,<^��@9�� B �&@9��<^=ar

@9�tj ;)<9�I`!<9�!<t��'0@^�&��= 3 �q89��pd�c�o�Nj >9�&��M^(*',@9�&��� ; 3�5 >9��. 8d�c�&����@9�E<d� e�� /a��$;Vt`!<9��<t�o�&>^<dj ;,<t��� C)`�<t�&O���@d� ;)<9��@9�� l :�<t�!>dj ;,�&O 3 ���8^M `a<d���&Oa<9` 89��> 5 C)�t��;0= 3 ��;�jc��L 3 �c� e���� 5 >9� '0@^�&��= 3 � 3 $&��@9�tj�>9�xMN(*'0@^�&��� ;)<9�tj 3 �w$&�a�����&n!:x<9@9`�$&�&O!:�;,<t� �E$�j $&��89�� l O!<^` $��&O 5 C)�N�,;0= 3 ��;�jc� �Nj >9�&�0<t��$����c��;0O!>989��; 3 �a���a'0jm� S $&���c��:���e 3�5 :^[iOa$&��89=!�!M%>9�!>^<t���)��$&`�<t� ;,C)+ 3 �� l $�` e&�N�,e����$ 5 @9�q�tj 3 �&;)<9�L�E���tn 6 �t@^����>9�?�E$�� � 5 p9��O 3 �I>9�q$&�&@^�&;,<^+�;,�&O 3 ��<t�o',@9�&��= 3 �q(%:�;0C)+ 3 � 3 �i`�$���� �o<9@9`�$��q$�@9�&;,� 5 @9�E<t����'0�c�<t�&O!:�;,e&��$&�&n!: 3 �&:a

' ��� �8�)(���~, c-6��S B ��+�@^�t:w'0@^�&��= 3 ��[ KL� D K @r|KB�A\GE|�� ! 78294 & 3 �3O e&�&@9O!� 5 :��tj >9��� <t� ',@9�&�0= 3 � 3 �T;,n�>9�a���e��&@^O��,M%>��d[ �^_;krqEqrq=knO-��e&���0;,n�>^�!���v��e 3 M%>q<t� ;0n!>9�a���v`a��(%>�<�(%>q8d� 3 �E��M%>qOa$&�&;,O�>^`!�!(%>�<t�&O �v � $&�&@^C,��O�>o89=a�0 `a����:x�&��89O!>9��< 5 :���e 3�5 :a LS { <t� { C)+ 3 ��^]&L)�&@d� ;)<9��@9�KL)����j >9�E<t���0<t�� � [

! ��"������ ~0 u9� B `&;,�t:q��e 3�5 : 5 C)�t��<N� $���+�@^�t:�',@9�&�0= 3 � & 3 B `&;,��Oa$&�a'0@^�&��+ 3 ��<t� 5 C,�t��<t� & 3DS 1 ��$&�&>N<9=!;0=;)<N�v<^������O!<t��j �D�tj >^��� 5 >9��� 6 @9��� ; 3 ��$&�&O 3 ���!����>o89��>q��$�����$&�&�m�tj <t��� [

� �c���t�c8d� e�+ve���<9=a',�&@djc�TOa$&�a',@9�&�0= 3 ��<�(%>Q�tj >9����<t�T����',` 3 ��>9��BEDF4HG9�e2�B �e4DO!$��!',@9�&�0+ 3 ��<t��L,<N�y��$&�&jm� $&@9��e�n!$�<t�&O�>��$�` 5 >9�v',@9�&�0= 3 �y89�m��'0@^�&���!>^<t�&:���$���M%:w�&@d� ; 3�5 >9��:xe���@9O�� 5 :xe����,C)(%@9j :�$&��@d� <N< 5 :�8d�c��',@9��� 5 :���e 3 M%>�

' ��� �8�)(��D~, u&� l > � ` " �CL)<9`a<9�X<N��Oa$&�a',@9�&��= 3 �D<t�&O ��[ S�� k #ZU�$&�&O3BaD���G9Br:e4^<&��$�`v<N��;,n�>^�!���De��&@9O!�0M%> �`

�tj >9���,<t��',@9�&��= 3 � �`[dS��

`k #`U=L 3 �

#`[ ����[e� �-k 6� '# s � k %�

`��q

{ <t� { C)+ 3 �T�N]q<t�q'0@^�&��= 3 �v89��pd�c�D8^�t>x�Nj >9�&�)�E$���',` 3 ��>9�DOa$&�a',@9�&�0= 3 �Q�&�0�&nq���tj $&�&O!>w�&�)��e 3�5 : � p k , �we����1��_�k ZQ�� l > <9� :T$�@9�&; 6�5 ;,�&O 3 �y;,�T��O!<^`�<9`a<9��'�j >9�E<t���%<N� Oa$&�a',@9�&�0= 3 � <t�&O �&@9� ;,<^��@9�&n ',@9����+ 3 ��<t�&: $&�&O ��$���',�E<N�&�%��$&`�<t�;,n�>9�a���De��&@9O!�0M%> �d[ �;_;k p k Z&k , ��

! ��"������ ~, mF8� B `&;0� �E$&��',` 3 ��>9�vO!$��!',@9����+ 3 ��<t� 5 C)�N� 5 >9�v'0@^�&��= 3 � 3 ��O�e��&@^O�� 5 :�3

GH/\A � :�) � )�. � � � 2-. ��� 0 � �'8<>;4' ��� �8�)(��o~, mF8�ibQn!�?',@9����+ 3 ��<t����[ S�� k #bU%e������

`[ S��

`k #`U � 5 ',�!>^<t���K<N�9�e2�� | ! 4o�&>�Oa$&�&@^C,�t� 3 �m�y�tr��Le������E$�j

�Ps � � �`< 5 <N�&�m�DM%;)<9�x>9� 5 C)�&O 3 �

S k�k�[ � k %�� s�� � � ��Rv �+S � U b� �+S 6U��q� �����!���v��`!'0�c��L)89O!��'0@^�&��+ 3 ��<t��� 5 ',�!>^<t����� ;,` 3 �&@9��� �&> 3 $&��@9�&n 3 �x>^�y�&>N<d� ;)<t��� C,j ;,�&O 3 �X<9� :�e��&@^O�� 5 :�<t�&O!:Q��r7�

3 �w< 5 <t��� �D<9@^`�$&�vM%;)<9��>9� 8d�c��<^=�@9�tj <t����=D;,O!>989��; 3 �!���a'�jc�� ! ��"������~, }&�Lb?�Njcp^<^�x`a<d�)=v� ;,� 3 ��@9��jc�D',@9�&�0= 3 ��<�(%>q�tj >9��� 3 �c�v;,C 5 ;,=v� ;,�&89O!>9� 3 jm��:! bQ=!�, )�&> <RL�� e���� �tj >9���

��$����D',@9�&�0+ 3 ��<t� <^`!<^�dJ

� PX�e46>SK^46�K:r<�>6@3< �a< �r:a7&:�4�� < �Nj >9�&��� ;,` 3 ��@9��� 3 �X<N��<RL� Nu�E2J2�BE: |�<?>6@�< �E< �r:E79:�4�� l >o<N�(< �Nj >9�&��� ;,` 3 ��@9��� 3 �X<N� � <9`a<9�xe��&�,<t� � �tj >9����� ;0` 3 �&@9�0� 3 �w<t�(<RL,e&������ Br:�4r�/4;:=<?>6@< �a< �r:a7&:�4�� l > < � ;,` 3 �&@9��� 3 �L<t��� e������ � ;,` 3 �&@^��� 3 ��<t� #<^`!<^��e&����<t� < �tj >^���)� ;0` 3 �&@9�0�3 �w<t��

! ��"������ ~, �&��bQ�tjcp^<9�w`!<9�,<t� 89n��v',@9�&�0+ 3 ��<t�v<N��O { C)+ 3 ��<t�&:?�!��89��>q�Nj >9�&��� ;,` 3 ��@9����

Page 35: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� �n�

�X���'�J� .0.0/ bQ�tjcp^<^�x`a<d�0<t��89n!��',@9����+ 3 ��<t��89��>?�tj >9���0� ;,` 3 �&@^���

�������-������������~0 u9�wKL��',@9����= 3 � <N��O { C)+ 3 ��<t�&:T�NkTe����H<N� ',@9�&�0= 3 ��<t�&O { C)+ 3 ��<t�&:Df�fT�tj >9����� ;,` 3 �&@^����L�e����3 ���&� ;)<t� 3 � �+S�? U�[ ?7

�������-����������� ~, mF8� { <t� { C)+ 3 � �9fT8^�Nj C,>^�&O 3 �Q`a����<t� 3 =dr � ;,` 3 �&@9��� 3 ��<t�&p^nT<t�&O�:?'0@^�&��+ 3 ��<t� 3 �Dk�e&�&@9O!� 5 :! ��� 6 �w�������D89=a�0 �',@9�&��= 3 � 3 �xkoe��&@9O!� 5 :?SV�0��j >9��>N<N�&�0;)<N� { C)+ 3 �v��[I�tj >9���,� ;,` 3 �&@^���v��e�@9� ��M%: 3 � 5 >9�v��$&`Q<t�D~D��O!<^�',@9�&�0+ 3 ��<t�� B �&@^��<9=!@9�tj ;)<9�q`!<9�H<t�$���+ 6 �&:o<t�&O�:q�tj >9���Re&��<9��$��!��n 3 � e�@9`a<9��@9��<t�&O�$���+ 6 �&:Q`a�!(%>D<t(%>v',@9�&�0= 3 ��<�(%>3 �xkQe��&@9O!� 5 :HL,� ;,� 3 `&@^�0(%> 3 �E<t�&p9nQ<t�&O!:x+v`!C,�\

�X���'�J� .)A�/ KL� 3 =dr � ;,` 3 ��@9���D',@9�&�0+ 3 ��<t� 3 �xkQe&�&@9O!� 5 :

1 ��$&�t� e�`!>d� ;,= �4S $��&O ��>9� 3 �8M9�E<t���o<N���e2�� | ! <N�&2��FA�[q89��>��tj >9��� 3 ��>9��8d� e�� e�� 6 �&@d� ; 3�5 >^= e&��� �&na<9�v�tj >9���*;0O!>9+ 6 (%:$&@^�&���&>^+�:q=Tna$&�&@^p9+v<9=!:! B C2 2=y��$&�t� e�`!>d� ;,= ����$&`T<t��',@9�&�0= 3 �T<t�&O { C,+ 3 ��<N��: �Nky;)<t�T',@9�&�0= 3 ��<N��O { C)+ 3 ��<t�&:f!f?$&�&O 5 C,�t�

�+S _FU�[�_�k��+S p U�[ k��+S Z^U�[ % k��+S , U�[ ]6k��+S U�[ , k��+S % U�[WZ&k5�+S^];U�[ p k�tj >9���,e����&Oa<9+ 5 >9��:�� ;,� 3 �&@^��� ; 3 `&:���$&`v<t��$�@^M*<t�v'0@^�&��= 3 � ;,<t��89��na<9��@9��

� ;,��>q�&�0�&@9�v<9= 6 �E(%@djc� ',@9����= 3 ��<�(%>^L,89n!� � ;0` 3 �&@9�0�v'0@^�&��+ 3 ��<t��;,O�>9+ 6 (%:�89��>o<t��p9��C�(%@djNM9�&O 3 � 3 �E<t�&p9nQ<t�&O!:! B C2 6 � 6 �E(%@9�&n 3 � 5 >9�',@9�&�0= 3 � � Oa$&�a',@9�&��= 3 �T�t>^`&:Q',@9�&�0+ 3 ��<t�&: �

`�&>D<t� � �tj >9����� ;,` 3 �&@^��� 3 �qe���$���� ��Oa$&��r

',@9�&�0= 3 � <t�&O �` *"%<9;0�0<t��',@9����= 3 � �

�)�t���c�t�t���S <9@9�tj :Le��&@^O�� 5 :Le��&�&89n��Q��e 3�5 :N[ 6 �E(%@9�tj <t���&Oa$&�a',@9�&��= 3 �o<t�&O�',@9�&��+ 3 ��<N��:�<t�&O { C)+ 3 ��<t�&:�f!f�$&�&@9�q<t�Q`a<d�&<t�Q;,n�>9�a���e��&@^O��,M%>q<t�&OD8^�t>o�tj >9���0e&�&>oO!$��&;0n!>9�a���D<t�&O?;0O!>9`a����O?<�(%>qe&�&@9O!�0M%>o<N��O { C)+ 3 ��<t�&:�f!f)

! ��"������ ~, ��N]9�xzx�E(%@9�tj ;)<9�Q<t� '0@^�&��= 3 ��� $&��O 5 C,�t��(%:De&�&@9O!� 5 :D<d� :v= 3�5 @9��:D<^=�:v�7��89� 3 ��89�&:HL�e��&��`�$��&O�89n!�3�5 @9��:w;0O!>989O 5 ��>^<t��� 3 ��<t�&p^nq<t�&O!: 3 �w��e 3 +q�&>�e���� 3 `!>9���&>�= 3 �c�v�Nj >9�&�,=q�E$&` 3 �t>^=q<^=�:w������=!:! �" $&j ;,=�:�<t�D'0@^�&��= 3 ���3 �w;0n!>9�a���De&�&@9O!�0M%>�<t�5�FX&kE_;krqEqrqek % ��`�$&�&O?89n��ve���@9O�� 5 :x;,O�>98 5 �!>^<t��� 3 �E<t�&p9nq<N��O�:w�&>�e���� 3 `�>^� ��>q=?8d�c�&����@9�v<N��O�:�D��� ]D� ;,�&n!<t��� 3 �wk, b?�Njcp^<^�x`a<d�)<N�v',@9�&�0+ 3 ��<t��� e���� ���tj >9����� ;0` 3 �&@9�0��

! ��"������ ~, ��!���izx�E(%@9�tj ;)<9��<N�v',@9�&�0= 3 �� $&��O 5 C)�N��(%:xe���@9O�� 5 :x<t�&O?<9� :we���@9O�� 5 :���>9`&:w<^@d� ;,8d�c�&;)<N��<N��O?e�nd�&��O9Le�����<t�D',@9�&��= 3 ��5 $&�&O 5 C)�t��(%:we��&@^O�� 5 :w`!����:w<t�v;)<N�&� C)�Njc�Q<t�&O?;0O!>9`a����O%�aX&kE_@� ) L�`a���t:w89=a�0 �<d� :X<9@d�c�&89��:w��$&`v]?+y�! bQn!�y<^@d�c�&89��:o;0O!>98 5 �!>^<t����;,<t� 5 �&>?e���� 3 `!>9�y�&>D8d�c�&� 5 @^�&O�>?;0� 3 �c����e�@d� ��M%:�;0O!>^<^��<t��' 3�5 >^=, XbQ�tjcp^<^��`!<9��<N� e����5 �tj >9����� ;0` 3 �&@9�0��

KL��>9�v��$��&����;�j ;,�t�)e&�&>9�tj :X`!<9�,89n!�D',@9�&�0+ 3 ��<t�v�Nj >9�&�0� ;,` 3 �&@9���v��$&��� <^�tj);,O!>9+ 6 (%:��&@Ne��E<9+q89�&Oa���t�c��L 3 �c�De����?L�e���<rV�&@9C)+!>X<t�&Oa���&C,� ;,<t�!>^Ld$&@ 5 $��t��>9�q��p9�E<9�&;,�t�!e�� 6 � 3 �m�q��$�`o<9� :i89O!>9��< 5 :L;0O!>9�&@^<^+�;,�t� :�$��&O���$��N� e��!>djNM9�&O!>i<d� :ie��&@9O!� 5 :�<t�&O��>9`&:o',@9�&��+ 3 ��<N��:q;)<d� :qe���@9O�� 5 :q��>9`�:?���!���&ODe�����>9�T��� 5 ',p9�t���&>D�tj >9���H� ;,� 3 �&@^��� ; 3 `&:a �V �x3 (%:o$&�a��� 5 :����&@ 5 : 3 $��&@9�tje��&>^�Nj :X>^�v��$&�&�0�&> 6 �tj)`a<d��89n!�Q',@9�&�0+ 3 ��<t� �FB �X�tj >9���)� ;,` 3 �&@9���vC)@9=!;0� 3 ��$&�&�cM%>N<N��:�e&��$&���c�?��$����Qe�@d� <9+!@d�c��L&`�$�(%:w��O!<^�<9=!:�V l ;,e&=�;,=�:w~0 Z�9f�

! ��"������ ~, ��^f&�+V " ;)<�( � e���� #89n��q��$����o',@9�&��+ 3 ��<N�0 *bQ�tjcp^<9��`!<9�&;0��e&� 6 � 3 �c�?��$�`q<9� :i$&��@9��e���<�( $&��@d� $�<NM%;0�t� :�&Oa<9��89��>q�Nj >9�&��� ;,` 3 ��@9����

S��^[ � ��S �jU � \[ � ��S PUS�

Page 36: Διακριτά Μαθηματικά

� � �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���S�f![ � #WS �jU � \[ � #�S �U �SVk�[ � 3�5 '0� ;)<N��:w�&� 6�3 `&:xe��&@^O��0+�:X<N��O�� �tj >9���,8d�c�&���&@^��<9� e�`&:���$�`v<N� 3�5 '0� ;)<t�D�&� 6�3 `ve���@9O��0+�:w<N��O S ~�[ye�� 6 �xe&�&@9O!��+D<t�&O�� ;,O!>98 5 �E<N�&� 3 ��e�� 6 ��������= 3 �we���$&�&� � 3 ��>^��$&��<9�?L0��>^M�O!$��&@9C)�&O!>q8^n���e��&@9O!� 5 :�<t�&O

$��&OQ89�x;0O!>98 5 �!>^<t��� 3 ��<t�&p^nQ<t�&O�: 3 � 3 ��>^��$&��<9� bQ�tjcp^<9� �E$�j ;,=!: `a<d�aOa$&�&@9C)�&O!>�8^n�� 3 =x� ;,` 3 �&@9����',@9����+ 3 ��<t� � e���� ;,<t����$���jc��89��>�� ;,C,n!�t�^e��&> 5 >9����$&`x<t��$&��@9��$&��>^(e�@d� <9+!@d�c� 3 =�� ;,� 3 ��@9��jc�&:a

� �X�������?��`a'��c�?89n��q',@9�&��+ 3 ��<N�Q�Nj >9�&�,� ;0` 3 �&@9�0��L��&>xe&��� 3 `!>9�D�&>^L 3 $&��@9�tj�e&�&>9�tj :�>9�Q$��&@9�t����$&`q<N� 5 >^�Q<t�D���!����L��$���� 3 � 3 �c� 3 �E<t��>^� 3 �&;0jc�v<t(%>oe��&@^O��,M%>q<t�&O!:!

! ��"������ ~, ��Nk9��gi@9�tj <^�x`a���D<t� 3 =dr � ;,` 3 ��@9���D',@9�&�0+ 3 ��<t� 3 �w< 5 ;,;,�t@^�N� :xe��&@9O!� 5 :a

� ������� ''f ��$�� � ��$9%-$&( ��(��o(+*-��"�$9��"bf �N! *���'�d "Mf g�0 (�1�.+��(+$&(

' ��� �8�)(��D~, }&��S � ��>9��$&��<9�,e���� 3 +ae��&:x<t�&O�[ � ��� ��D@�;:=<);,<t� � 6 ��� 5 ',�E<N�&� 3 �m����e&�!���&O 6 jc�De��&@^O��,M%>� *��

� � � # �� � �r�r� � ��� � � � & k

`�$��&O = ��e 3 + � ? ;,O�>98 5 �t��<9� :�e��&@9O!� 5 : � ? e���� � ? . * L Gz[ _;krqEqrq=knO#�d_� KL� $���+ 6 ��:�<t(%> ��e 3 M%>�STO)��_^[D$&�&O� 3 �0�&>djNM9�!>^<t���0;,� 5 >9� 3 �!>9��$���<d� 6 ��� 5 ',�E<t���/2 @6>��FAL<t�&O 3 �!>9��$���<d� ��n,

�������-����������� ~, }&�X" >9� 3 ��>^��$&��<9�R;,� 5 >^����$���`T',@9�&�0= 3 � 3 $��&@9�&n 3 �o>9��<t��$&��@d� '0@^�-,��&O 3 ����>9�&� 5 @9�!>^<t�&: 3 `!>9�<d� :Qe��&@9O!� 5 :�� ? �����&n��&����e 3�5 :D��>9>9�&�&n!>^<t��� B C2 R;)<N�',@9�&�0= 3 ��<t�&OT;0C)+ 3 ��<t�&:?}T<t�#_ � p � Z � % �tj >9��� 5 >9�3 �!>9��$���<d� { <t�v',@9�&�0= 3 � <t�&O { C)+ 3 ��<t�&:�F?<t� 1 @9��e����t� �)� l >^M*',�t�c� ��� 576 O 3 >9�y�tj >9��� 5 >9� 3 ��>^��$&��<9� 3 +!e���O�:w89n��0

! ��"������T~0 Z�N~9� { <N�?'0@^�&��= 3 �85 <9=!:~V l ;)e�=!;0=!:X~, ��!�L�&@^�Nj <9� 5 >9� 3 ��>9��$&��<9��$&�&Oq>9�D;,O�>^8 5 �N�&<9� :Le��&@9O!� 5 :ZS�X&klX&knX^Ue�����S`_;kr_�kr_FUE

' ��� �8�)(��D~, �&��S ��n!e���( 3 ��L&e�nae&���&:^[ ��R;> K&I�2&4q� 5 ',�E<N�&� 5 >9� 3 �!>9��$���<d�,`�$&��OD=Q<9�E����O!<t��jc�De��&@^O��0+D�tj >^����jc8d�c� 3 �<9=!>v$&@^M*<^=, � <N��> 6�5 ���&O 3 �?>^� 3 �c��+!;0�&O 3 ��'0�c�e�O!e���M 3 ��<t�C)(%@9j :v�E$&�&>9����� 3 �&��>9` 3 ��>9��:o��e 3�5 : 6 � <t���$&��e������&n 3 �>�R;> K �r��AN

�������-����������� ~0 �9� { <t� { C)+ 3 �v}?<t��_ � p � Z � % � , � _x�Nj >9�&� 5 >9�De�nae&�!( 3 �Q$��&Oq�Nj >9�&�)<t�&Oa<9`!C)@9��>^�De����e�nae&���&:x�&�0�&nDe�� 3 �c�y��$�`v<d� :���e 3�5 :x$&��OD;0O 3�3 �E< 5 C)�&O�>o;,���&Oa<9`�89��>?�E$��&>9����� 3 ���&>9�E<t��� { <t� { C)+ 3 ��F?<t� 1 @^��e&���N� �� l >^M*',�t�c� � 1 @9��e&���t� � � � 5E6 O 3 >9� � l >NM*'0�t�c� � 1 @9��e&���t� �y�tj >^�����E$�j ;,=�: 5 >9� e�n!e���( 3 � 3 +ae��&O!:q-&L����!���y`�C,�e�nae&���&:x�&�0�&nD=D��e 3 + 1 @9��e����t� �)� l >^M*',�t�m��C)@9=!;�� 3 ��$&���c�tj <t���)kD����@ 5 :!

' ��� �8�)(���~, ��N]&�QS B @^�&;�� <9+Qe���@9O��0+�[ zx� � 5�3 �?`!<9��=Te���@9O��0+ ��tj >^����D`|��a�9< :a@��$&`<9=!> e&�&@9O!��+ � �&> Oa$&�&@9C)�t�3 �!>9��$���<d�)$&�&OQ>9��p9�Ee)� >9�&�t�0��$�`v<9=!> �e��&�0>9��e���<t����+!',�t��;,<^=�> �

�������-������������~0 Z�^]&� { <t�v',@9�&��+ 3 ��<N��<�(%> { C,= 3 ��<t(%>QFqe��&�0}D`a����:��&�,e��&@^O�� 5 :x�Nj >9�&�,$&@^�&;�� < 5 :���$�` `a���t:a "Ij >9������n!e&�!����>9�Q8^�N� C)<^�tj�`a<d�&=�;,C 5 ;,=%. q$&@9�&;0� <^`?��$�` �D/!�Nj >9�&� 3 jc�q;0C 5 ;0=q� ;,�&89O!>9� 3 jc�&:i$&�&>N(�;)<N�?;0n!>9�a��� �4<�(%>

e��&@^O��,M%>� oV l @9��<N� ;,n�>9�a����� 8d�c� 3 ��@djNM9�E<N�&�0;,�xe&���&;0�t� :�� ;0��89O�>^� 3 jc�&:�$��&OQ<d� :���>9� 3 �8M9��O 3 ��/�<�rB=>6:=<?>���A��/�<�F< ��: Po�6B�AN � �v���!�����`!'0�c� 8^n���e��&@9O!� 5 :v��>9`&:v',@9�&�0+ 3 ��<t�&:v�tj >^��� ;,<^=�>Tjc8d�c� ;,O�>^��e�<d� e�+;,O�>d� ;,<NM%;0� �&>ye��&� 3 `!>9� ��>TOa$&�&@9C)�t�3 �!>9��$���<d�)$&�&O?<d� :���>^M%>^�N�

�������-������������~0 Z���;� { <t�;0C)+ 3 � �Nky89�tj C)>9��O 3 � 5 >9��',@9�&�0= 3 ��<t�&OT��$���j �&O����R;0O!>9�Ee&<9�ce 5 :q;,O�>d� ;,<NM%;0��:Q�tj >9���H�����_<�;L'� p k Z9k , ��e��&�+� k % k ]<��

' ��� �8�)(���~, ��!�;�DS { O�>9�Ee&<9� e�`v'0@^�&��= 3 ��[ " >9� ',@9�&��= 3 � �!>9� 3 �^M9�E<N�&��� �_�=Br>8:r<?>^���&> 5 C)�t� 3 `�>^� 3 jm� ;,O!>9�Ee&<d� e�+;,O�>d� ;,<NM%;0��L,�&>q89=a�0 �e�� 6 �xe��&@9O!��+Q;0O!>98 5 �E<t��� 3 �xe�� 6 �x������= 3�5 ;)(���>9`�: 3 �!>9��$���<d� ��n,

�������-����������� ~0 Z�9f6�iKL�D',@9����+ 3 ��<t�v<�(%> { C)= 3 ��<�(%>qFqe&���,}?�tj >^���0;,O�>^��e�<d� e��D��>^M �&Oa<9`D<t�&O { C)+ 3 ��<t�&:q�^k?89��>�tj >9���

! ��"������?~0 Z�9-6�RbQ�tjcp^<9�*`a<d� 5 >9�x;0O!>9�Ee&<d� e�`�',@9�&�0= 3 � 3 �+OQe��&@9O!� 5 :*e����^��� ',`!<^��@9��:*��$&`�Ov��e 3�5 : 5 C)�t�9�&>9��')e���;,<9�ce&�3 �c�ve��&@^O��0+?�&� 6�3 �&nT�!

Page 37: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� � �

1

2 45 6

73�X�+����� .&GH/ "I>^� ',@9�&�0= 3 � 3 �iZv;,O�>^��e�<d� e 5 :x;,O�>9� ;,<NM%;0��:

! ��"������~, ��Nu&�ibQ�tjcp^<^�w`a<d�)�&> 5 C)�&O 3 � 5 >^�v;0O!>9�Ee&<d� e�`?'0@^�&��= 3 �v$&��Oq$��t@9� 5 C)�t� 5 >^�De�n!e�����L�e����)8d�c��',@9�-,0�&O 3 � 3 �c���e 3 +D�&Oa<t�&nQ<t�&OQe�nae&���&O&L&<t� ',@9�&�0= 3 � $��&@9� 3�5 >9�t�0;,O�>9�Ee&<9� e�`� ����<d�)< 5 <t��� ��89��;,O 3 ����j >9�t��L)��>o' 5 >^�N�?L,�&>o<t� ',@9�&�0= 3 �89��> 5 C)�t�,e&n!e&���S 8^M%;,<^�x$&��@9�&89�t� ' 3 �&[�

zx�?�&@dj ;,�&O 3 �i<^M%@^� 3 �c�Q;,O!>9�&@^<^=�;,= � s � ��� � ��$&��O 6 � 5 C)�t��<9=!> 5 >9>9�&�m�q<9=!:���$&`&;)<t�&;,=�:a 1 $&��;0`a<9=a<t�Q89=a�0 � S �-k 6U 6 � . 3 �E<^@9�&�t� /�<N�v$�`&;0�ve��!>^<^�y�tj >9���,���089n!��e��&@9O!� 5 : �e��&� �<t�&O?',@9�&�0+ 3 ��<t�&:a ' ��� �8�)(���~, ��^f&��S l $&`&;)<t�&;0=?e��&@9O!�0M%>d[ l >D=ve��&@9O!��+� 89��>Q�tj >9����$&@9��;�� <^+v��$&` <9=!>?e���@9O��0+ T<9`a<9����@djNM9�&O 3 �

� S �-k 6U�[ � S Kk � U�[ m �]L%= ��$�`&;,<t�&;,=�89=!�, ��>9� 3 ��;,� ;0� 89n!��e��&@9O!� 5 :���e���� �$��&O 8^�y;,O�>^8 5 ��>^<t��� 3 � e���> 5 >9�3 �!>9��$���<d� 6 �E(%@9�tj <t������$��t�m@^=, l �!�&� M%:��&@9j M^�&O 3 � � S �-k 6UL>9���tj >9���,<N� 3 +ae��&:�<t�&Ov�E����C0� ;,<t�&O 3 ��>^��$&��<9� �&nQ$��&O�;0O!>98 5 �t�<d� : �e���� �L,89=a�0 �<t�&O 3 ��>^��$&��<9� �&n?��e&�Nj >9��O 3 �w<d� :x��� ',`a<9��@9��:x��e 3�5 :!

P��c�x$&�&@^�&89�t� ' 3 �X;,<t� { C)+ 3 �q�^k � S p k , U�[ � S k ];U�[ p L � S Z&k p U�[�_�L^e���� � S _;k���U [ m ��L^'��c�Xe�� 6 � � � p krqEqrq=k ]_�� "%$�j ;,=!:�;,<t� { C)+ 3 ���N]&L��&@d� ;)<9��@9�KL � S �-k 6U [d_;L�'0�m�ve�� 6 � �-k ��_;krqEqrq=k �;L � \[ �

� $�(%:qe�� 6 �q��O!;�� �!���!'0� e�+ 5 >9>^���c����$&`�;,<t�&;,=�:q;)<N� � � 6 = 3 ��<9� e���L�= ;,O�>9��@^<9=!;0= ��$�`&;,<t�&;,=!:o$��&O 3 `a�&� :o�&@9j ;0� 3 �� e��&>9��$&���c�tj)<^=Q����',` 3 ��>9=x: | < G8I �F<�>6@x4Q�F< �K�r:a7&:�4�JS k!~�[ � k Kk�� � s � S � k 8U T � S �-k ��U m � S �jk 8U=qP��m�v>^�v89�tj)e���>9�tj :w'0�c��<dj)� ;,C)n��t�)�&Oa<9`�L&$��&@9��<^=�@^�Nj ;,<^�L`!<9�0�&>�$��&@9�&O 3 ����$���� �&89+a$&�a<9� 3 ��>^��$&��<9�,��$&`D<t���;)<t� � e����&<t�;,O�>9��C,j ;,�&O 3 � 3 � 5 >9�T��$&��� �&89+a$&�a<9� 3 ��>^��$&��<9�2��$&` <N� � ;)<t�� KL�<9`a<9��$&�&jm@^>9�&O 3 � 5 >9� 3 ��>^��$&��<9����$&` <t� � ;)<t� � � �����$�<t� 3�5 @9�t�c��:X<^=�:���$&`&89�t�cp9=!:��&�0+�>9�!>^<t���,;,<t�!>q��>9��',>^M%;)<9=)

! ��"������ ~, ��9F6� l $��&89�tjcp^<9�X<9=!>yS ka~&[ 3 �x`a����:x<9� :x���E$�<t� 3�5 @9�t�c��:X<^=�:x��$&`&8^�N�cp9=!:a " C)��>N<N��:�&@dj ;,�t� 3 �m� 5 >9>9�&�m� ��$�`&;)<N��;0=!:;L 3 $&�&@9��n 3 � <NM%@9� >^� 3 � ��+!;0��O 3 � '0�c��<9= �E< �a2 Br: |��y��>9`&:T',@9����+ 3 ��<t�&:

��[dS ��k #ZUeL)$&�&OQ<^=D;,O 3 �&�a�&jNM9��O 3 � 3 ����4 W�� �D ' ��� �8�)(��L~, ��Nk9� SVbD�c� 3 �E<^@9�&:N[ 1 �E< �a2 Br: |��aA���>9`&: ',@9����+ 3 ��<t�&: ���&@9j M^��<t���N>9�x�tj >9���9= 3�5 '0� ;)<9=L��$&`&;)<t�&;0=L��>9� 3 ��;,�

;,��89O!`�e&�&@9O!� 5 :x<t�&O��DJS k�-![ ��4�W � �d[ �vW��

� " � @�� � S � k 8U=q"Ij >9��������>9��@9`D`a<d� 5 >9�Q',@9�&�0= 3 � � �tj >9���&;,O�>^��e�<d� e�`q�&>xe���� 3 `�>^�Q�&>�89�m� 3 � � � *P��m�q$&�&@^�&89�t� ' 3 ��L!<t�D�&@d� ;,<^�t@^`

',@9�&�0= 3 � <t�&O { C,+ 3 ��<N��:x~ 5 C)�N�,8d�c� 3 �E<^@9�c_o�t>NM�<t��89��pd�c` 5 C)�t�08d�c� 3 �E<9@9� p ! ��"������ ~, ��N}9� B �&�m� =D8d�c� 3 �E<9@9�&:w<N��OQ',@9�&��+ 3 ��<N��: 5 <9=!:�V l ;,e�=!;,=�:X~0 Z����3! ��"�������~0 Z�^�&��b?�Njcp^<^��`!<9�%= 8d�c� 3 �E<9@9�&: ��>9`&: ;0O!>9�Ee&<9�ce&�&n�',@9�&��+ 3 ��<N��: 3 �CO e��&@9O!� 5 : �Nj >9�&��<N� $&�a��n�O��y_!

B �t@9� ',@9�-,0<^��L 3 �i$���+!@9=���$&`&89�t�cp9=&L!`!���q<t�q'0@^�&��+ 3 ��<t� 3 ��O�e&�&@9O!� 5 :ie�����89�m� 3 �E<9@9�ZOj�P_! �"%$&j ;0=!:L`a���o<t�?',@9�&�0+ 3 ��<t�3 �x8d�c� 3 �E<9@^��O3� p e&���0`a���v<t�v',@9�&��+ 3 ��<N� 3 ��8d�c� 3 �E<^@9���

! ��"������ ~0 f!]&��V � ����������e&��<t��� e���� 3 �m��:qC�M%@9��:;L0<9=!:q��$&��jc�&:�<t���������!�&=a<t� 5 C)�t���^]v',@9� 3�3 ��<t��L 5 C)�&O�>q(%:?`!>9� 3 �3 �c�o� 5 p9= 3 +ae��&O!:L��e�@d� ��M%:�F� l >��4�tj >9����<t�o'0@^�&��= 3 � 3 �ie���@9O�� 5 :�<t�&O�:ie&��<t��j e��&O!:;Lde��&��89n!�qe���<N�&�ce&���!;,O!>98 5 ��>N<N�&� 3 ���e 3 +Q�&>�e��&� 3 `�>9� �&>�<t����>^` 3 ��<^�v<N��O�:w8d�c�&� 5 @9�&O!>�;,�x��e�@9� ��M%: 3 �c� 6�5 ;0=&L�$&�&�m�v�tj >9���)= 3�5 '0� ;)<9=q<d� 3 +q<9=!:�8d�c� 3�5 <^@9�&O<t�&O�� 3

Page 38: Διακριτά Μαθηματικά

� � �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���! ��"�������~, cf�����V "I>^�y',@9�&�0= 3 � 5 C)�t�0(%:�e��&@9O!� 5 :�<t�yua~v<9�E<^@9��')(%>9��e)�c� 3 �c�&:�;,O�>^= 6 � ; 3�5 >9=!:�;,e���e)� 5 @^�&:;L)e��&�089n!�

<9�E<^@9��')(%>9��e)�c� ;0O!>98 5 �!>^<t��� 3 ��<t�&p^nD<N��O�: 3 ����e 3 +v�&>qe&��� 3 `!>9�y�&> 5 C)�&O!> 3 �m��$�����O�@^��e&��� >9+, B ���c�T=v8d�c� 3 ��<^@9�&:�<t�&O',@9�&�0+ 3 ��<t�&:�3

! ��"������ ~, cf!f&�wbQ�tjcp^<^�Q`a<d��;,�Qe�� 6 �?;0O!>9�Ee&<d� e�`�',@9����= 3 ��O!$��&@9C)�t� 3 �m�e���@9O��0+T< 5 <t���c��M%;)<9�D�&> 8d�c��',@9�-,0�&O 3 ��&Oa<9+Q<^=�>�e���@9O��0+Qe����)<d� :x��e 3�5 :x$��&OQe���<N����+a',�&O�>x;0����O!<^+?<t���t>^��$&� 3�5 >9��>�',@9�&�0= 3 � $��&@9� 3�5 >9�t�0;,O�>9�Ee&<9� e�`�

! ��"������ ~, cfak&� l >�;0� 5 >9�'0@^�&��= 3 � Oa$&�&@9C)�&O!>D��e&@d� ��M%:?89n��e���@9O�� 5 : 3 �q$&��@d� <N<9`T��� 6�3 `�LH�&Oa< 5 :q$&@ 5 $&�t�H�&>9��r')e��&;)<d� e���>9� ;0O!>98 5 �!>^<t��� 3 �we���$&��� � 3 ��>^��$&��<9� �S�bQ�tj <^�w<^=�> V l ;,e�=!;,=Q~0 -) [

! ��"������ ~, cfd~K� � ��$�����n�;)<9��@9�&:Tj ;)(%:�<9@9`�$��&:HL��&> e���� `�C,�%$&�&>^<t� � $�� � ��$��!<^�E����; 3 ��<9�ce&`&:T��$�` ��$&�-,0= Oa$&��r���!'0� ;)<d� e�+&L2'0�m� >9�$��&@9�&;)<9+!;0�t�2e��&>9�tj : 5 >^����$���`�'0@^�&��= 3 � �tj >9��� 3 �?<t����E',` 3 �t>^�)DF� �e48>^4\�/�<� �FB��&2��LK �FG&� 46AN q" ;,<�(��[dS ��k #ZU 5 >9�o��$���`�',@9�&�0= 3 � 3 � �d[e� * kEqrqrqrk & �! � $�j >9��e���:i;0O!>989��; 3 �a���a'0jc�&: / �tj >9���a<9`a<9� 5 >9��:�O ��Oy$&j >^��e��&:3 �

/ = ? [ � _ �&> = � ? kX ���!�&� M%:�qgi�8M^�&O 3 ��89=a�0 R�q;,<^= 6�5 ;,=�?�kHGy��>?e���� 3 `�>^�T�&>D= ?�rs�&;)<9+De�����=3G!rs�&;)<9+ve��&@9O!��+v;,O!>98 5 ��>N<N�&� 3 ��e���$����c�y��e 3 +) l $�`<t��>q�&@d� ; 3 `�$�@9��e�na$�<^�t�,� 3�5 ;,(%:�`a<d�0��$&j >9��e��&: / �Nj >9�&��;0O 3�3 �E<9@d� e�`&:Xe���� 5 C)�t��XQ$��&>^<t�&nq$&�&>^(�;,<^=D8d�c��')M%>d� �0

� ���E$&��')(*',+(%: $�@9`&: V 89�tjmp^��<^�v`!<9� � $�j >9��e��&:�/ � L V f X&LLS '�� >9` 3 ��>9� <t�&O$�j >9��e��4/ 3 �D<t�!>����&O!<^`�<t�&O V����@ 5 :^[ 5 C)�N�0;,<^= 6�5 ;,= ?�k�Gv<t��>?�&@d� 6�3 ` �?�&>oe���� 3 `!>9�T�&>q�T��@d� 6�3 `&:�<�(%> 3 ��>^��$&��<9� M%> 3 +ae��&O!: V ��$&`�<9=!>?e��&@^O��0+ ?;)<9=!> G?�tj >9������e�@9� ��M%: �� LS Nj4=|94;:a@r|�76�K7 � " >9� 3 �!>9��$&��<d� 3 +ae��&O!: V ��$&`q<t� �y;,<t�� 3 $&��@9�tj&>9�Q�E$&��>9����� 3 ���&>9�t����e 3�5 :! P��m� $&�&@^�&89�t� ' 3 ��L0�&> � � � * � �L�<^`!<^��<t� 3 �!>9��$���<d� � � � * � � � � * � T�tj >9��� 5 >9� 3 �!>9��$&��<d����$�`y<t��� ;,<t� 3 +ae��&O!: , c[

! ��"������ ~, cf!-&� l > � �tj >9��� 5 >^� ;,O!>9�Ee&<d� e�`v',@9�&�0= 3 � 3 ��O�e��&@9O!� 5 :HL 3�5 '0� ;,<t�D��� 6�3 ` � <^`!<^�O T _ m � S � �)_FU���� ��� �)_

� � p q

���+� ���6'�$�0 (���(��o�9��" %KL��8 5 >^<^@9� �Nj >9�&��L�e&��<9�ve���$���� �D<^@9`�$&�KL,<t��;,O�>9�Ee&<9� e��D',@9�&��+ 3 ��<N� C�(%@dj :x$���@d� <^< 5 :���e 3�5 :a

' ��� �8�)(�� ~0 Z�N~9�DSVb 5 >^<9@^��L,89�&;,=�[ " >9� ;,O�>^��e�<d� e�` ',@9�&�0= 3 ��$&�&O�89��>$&��@d� 5 C)�N� e�nae&���&O!: �!>9� 3 �8M9�E<t��� � � �H: |�9 " >9��'0@^�&��= 3 ��L,;,O�>^��e�<d� e�`v+ 3 =&L�$&��OD89��>�$&��@d� 5 C,�t�)e�n!e����&O!:X��>9� 3 �8M9�E<t����� �6���FAt

�X�+����� .�_R/ V "I>^�y89��;0�&:���$&`v~v8 5 >^<^@9�

1 89��n!<^��@9=o��>9� 3 �&;0jc�D�tj >^���&;0O 3 ����<^+ 3 �i<9=!>x$&@NM*<9=o�&����nqe�� 6 �i< 5 <t��� �q',@9�&�0= 3 � 3 $��&@9�tj&>9�Q<t�?89�t��e&�&>9�tj :L;,�&>x<t�;,n�>9�a���o<�(%>w;0O!>9�Ee&<d� e&M%>�;,O�>9� ;,<�(%;)M%>w<t�&O) l ������e�� 6 ��< 5 <t���c�o;0O!>9�Ee&<9�ce&+�;0O!>d� ;)<^M%;,�q�tp^��e��a���&O 6 �Nja>9� 3 =!>X$���@d� 5 C)�t�e�nae&���&O�:?SV�����&n��tj >9����Oa$&�a',@9�&��= 3 �v<t�&Ov�&@^C0� e���n�[eL,�&@9� �Nj >9�&� 5 >^�y8 5 >^<^@9��L089=a�0 )e�� 6 �x',@9�&�0= 3 �yC�(%@dj :oe&n!e&���&O!:x�tj >9���3 �c�_. p 5 >9=0/HS 89=a�0 &C)(%@9j : 3 �E<t�&p9nq<t�&O�:w;0O!>98 5 ;,�t� :^[ 5 >^(%;0=Q��$&`v8 5 >^<^@9�� � �X�������D��`!'0�c��L 5 >9�D',@9�&�0= 3 ���Nj >9�&�,89��;0�&:x�&>e���� 3 `!>9� �Nj >9�&� 3 �c� 5 >^(%;,=v��$&`�L)��;0n!>989�E<t� 3 �E<t�&p9nQ<t�&O!:;L&8 5 >^<9@9�0

Page 39: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� � �KL��8 5 >N<9@9� 5 C)�&O!>D��>98d�c�&� 5 @^��>D�E$��N�c89+&L,e���<9�ye���$&�&�m� 5 >9>9���c��L��Nj >9�&��<N�$.c�E����C0� ;,<t� /,;,O�>9�Ee&<9� e��y',@9�&�0+ 3 ��<t��Jie�� 6 �

;,O�>9�Ee&<9� e�`�',@9�&��= 3 � � [ S�� k #ZUw$&��@d� 5 C)�t� 5 >9�Oa$&�a',@9�&��= 3 � 3 �q<9� :Djc8d�c��:?e&�&@9O!� 5 :;LR;,O�>^��e�<d� e�`Te��&�RC�(%@dj :?e�n!e����&O!:S �&@9� 8 5 >^<9@9�&[�

�������-����������� ~, ��Nk&� l :$&��n 3 �T`a<d� 5 C)�&O 3 � 5 >9� '0@^�&��= 3 � S { C)+ 3 � �9-![ 3 �T<t� 89@9� 3 �!��`!'0�c� $&�&O ��e�<9�E���tj 3 �c��&��@9��$��&@d� e�+q�E<N�&�m@^�Njc�D��>9� 3 ��;,�v;0� ��$�`!���t� :a ����$����c�t:�$&`a���N� :X;,O!>98 5 ��>N<N�&� 3 ��<t�&p^n?<t�&O!:w��$;V!��O 6 �tjm��:;L&e&��$&���c��: 3 � 3 jc���>98d�c� 3 �t;,=D;)<9�&;,=&L,e� �, $� �

����� �����

�� �� � �

���� � � � ���� � ���

� ��������

� � � � � � � �� ���

�� �� � �

���� � � � ������ � �

� ������ �

� � � � � � � ��� ���

� � � �!��� ��� � � � �!��� ���

��������� .)|2/ KL�y8^@9� 3 �a��`!'0�c� 3 �c�&:����t@^��$&�&@9�ce&+�:w��<t���c@9�tjc�&:HL&$&@9� >oe���� 3 �E<9�v<9� :x$&��@d� e���$ 5 :

{ � e���$&�&�m� �&;0C)= 3 = ��� e���>^� 3 � e�+�;0Oa')e�O!@djc��= �E<t���c@9�tjc����$&�����&;0jNM9�t�%$�(%:�89��>�tj >^��� $�� 5 �!>�;0� 6�5 ;,= >9� �Ee&<^�����tj<9`�;0��$��!�!���T89@9� 3 �!��`!'0�c�ye&���R`a<d�2$&@ 5 $��t�H>^� e&��<t�&@^',+�;,�t�2`&;0��$&� �T$��!�!��� 3 $&��@9�tj\ 1 ��<t���c@9�tjc�T8^� 6 ��N� ;0��',��',�t�2> 5 �89@9� 3 �a��`a'0�m�KLI��$��!M%: 6 � e&��<t�&@^',+�;,�t� 3 ��@d� e��� P��c� ��`a',�&O!: $��!��� <d� e�+!:�` 3 (%:= �E<N�&�m@^�Njc� 89� 3 $��&@9�tj >^� ;)<t� 3 ��<9+!;0�t�>9���p9Oa$&=!@9�E<9�tj�e�� 3 jc����$&`�<9� : � $�`!���t� :�$&�&O 3�5 C)@d�2<9`a<9�o��p9O!$�=�@^��<t�&n!;,�a w"%$�j ;,=�:HL�$�@9�&;,��')'0� ;)<d� e���L�`!����:?����$�<9+!;0�t� :e��&;)<djNM9��O�>�<t� jm89� ��;,<^=�>q�E<N�&�m@^�Njc��L&�&>9��p9�&@^<^=!<t����$�`�<^=�>o��$�`&;)<N��;0=)

bQ�tj C)>9��O 3 �x;)<N� { C)+ 3 � �9-o<9=Q��n�;,=Q$��&OQ�E$ 5 ����p9�X<^�E�&� e���=D�E<t���c@9�tjc�� B �&@9��<^=�@^�Nj ;,<^�x`a<d� J

� P��c��<9� :oFq$�`!���t� :XC,@^=�;0� 3 ��$���� �&n!>^<t���&$�� 5 ��>ouQ$�<9+!;0�t� :?SV��e 3�5 :�;,<t�v',@9�&�0= 3 ��[� � P��c��e�� 6 ��M^�tna',�&: $&`a���E(%>���p9��e&�!���&O 6 �tj�>9� �tj >9����89O!>9��<^`�>9��$&���N�ie���>9�tj : ��$&`�<^= 3 �c� ;)<9=!>����!��=&L 3 �e���<9���!��=a���t:���>98d�c� 3 ��;0��:�;)<9�&;,�t� :HL,e&���

� P��c�Qe�� 6 ��M9��n!',�&:�$&`a���E(%>�Oa$&��@9C)�N� 3 `�>9� 5 >9��:X<^@9`�$&��:x>9�D<t�&pd�c8 5 ,0�N�&e���>9�tj :���$&`D<^= 3 �m�v;)<9=!>����!��=�S C�(%@dj :HL��>9>9���Nj <N�&��L&>9�v$&�E<9�&�t� 3 $&@^�&:x$�j ;,( [E

' ��� �8�)(�� ~0 Z�9-6�oSVb 5 >^<9@9��e����,89�&;,=Q$&��OQ$&�&@^��',�&O�>9[ " >9�8 5 >^<^@9�#"jL�Oa$&�a',@9�&��= 3 � <t�&O � e��&� 3 ��<d� :?jc8d�c�t:oe���r@9O!� 5 :HL�� 5 ',�E<N�&���$����: |�bD �r�WDF4r|���G9Be<�:;� � S �%$,W�8 8 478 � ��� � �^[� l >�<t�&" 89��>o�tj >9���)8 5 >^<9@9�����!���D�tj >^���,8^�&;0��:;L�e��&�)e�� 6 �;,O�>9�Ee&<9� e�+Q;,O�>9� ;,<NM%;0��<t�&O�� $&�&@9��'0�E<t���)��$&`ve���$&��� �v8 5 >N<9@9��<t�&O'"jL�<9`a<9�w<N��" � 5 ',�E<N�&��� �8���FAjD �r�3DF4r|���G9Be<

J �LK9���J����~0 Z�����X�85�B��/�<�rB=>6:=<?>8�Ga|�� ! 782&4 � D�B |�< � }�Be<� �e4 � � �H: |�CD �r��: �bDF4r|���G9Be<YV!�W (&�����YX �-�i" ;)<t(�`!<9�,<t��;0O!>9�Ee&<d� e�`v',@9�&�0= 3 � �d[dS�� k #ZUi$&��@d� 5 C,�t��e���$���� �De�nae&���

6 s�� * � � � � # �

� � �E�r� � � � � � � & [ � * ql : �E$�� � 5 p^�&O 3 �<9O!C,�&jm� 3 �c� ��$&` <d� : ��e 3�5 :�<N��O e�nae&���&O&LX$0 C2 i<^=�> � * Lxe&���X��: <9= ;)��+!;0�&O 3 � ��$�`�<t��',@9�&��= 3 �0 � ;,C,O!@d�NM9` 3 �&;)<9�*`a<d�N<t�w',@9����= 3 �w$��&@9� 3�5 >9�t�^;0O!>9�Ee&<9�ce&`� S�bQ�tj <^��e����^<^=�>�V l ;,e�=!;,=�~, ��Nu) c[ B @9��' 3 ��<d� e���Ld��: Oa$&� 6�5 ;,�&O 3 �$�(%:x=Q��e 3 + � * $&�&O?;)��+!;0� 3 �w;,O 3�3 �E<^�Nj C,��;)<t��',@9����= 3 � � ;,��e���$&�&� � 3 �!>9��$���<d��(�$��&O?;,O!> 5 89���w89n!�ve��&@9O!� 5 : ve�����-L)`�$�(%:����&j >^��<t���,;,<t� { C2 H�^u)

Page 40: Διακριτά Μαθηματικά

�2� �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���

!

� 7

��X�+����� .&�H/ bD�c��',@9�&��+D<^=�:�� * 8d�c��<9=!@9�tj�<9=D;,O�>^��e�<d� e�`a<9=a<N�

"Ij >9���*����>9��@9` `a<d�?L $��&@9� <t��`!<9��<^M%@9� $��c� = ��e 3 + � * 5 C)�N� 89�m��'0@^�&���tj?L 3 $&�&@9��n 3 �De�����$����&��>9� $�� 3 �v��$�`�<t� ;)<N�� 8d�c�&>9n!�!>^<t�&:Q<t� 3 �!>9��$&��<d��`�$�(%:Qe����H$&@d� > ���!��� `a<N��> 6 ��C,@^�N�c�&;)<9�tj�>^��$��t@^�&;0��O 3 �q<^=�> � * 3 $��&@9�&n 3 �q>9� <9=!>�&>^<9� e���<t�&;)<9+!;0�&O 3 �X8d�c��',@9�&�0��>N<N��:x<t�yOa$&`a���&�c$��?<t�&OQe&n!e&���&O 6Q KL=!>q$�@9�&p9=Q�&O!<^+9L�$��&O 3 `!��� :x8^�Njcp9� 3 ��`a<d��89�m��<9=!@9�tj)<^=v;0O!>9�Ee&<d� e�`a<9=a<t��L&<^=�>q��>^� 3 �8M^�&O 3 �3. ;,$��&;�� 3 �&OQ<t�&OQe�nae&���&O

6 ;)<9=!>���e 3 + � * /� �"%$��&>9����� 3 ���&>9�!>^<t�&:I�&O!<^+w<^=�>L$&@^�&p9=�`&;,�q�tp^��e��a���&O 6 �&n�>�>9�oO!$��&@9C)�&O!>ie�n!e������a;)<N��',@9�&�0= 3 ��L!e�����&�0�&n 3 ��<^�o��$&`�e�� 6 �%< 5 <t���c��$&@9��p9=x���a��e 3�5 :I��� ',�&;,<^��n��&O!>�e���<9� 3 jc��L!�tj >9���a���&>^�t@^` S ����`&;,�!> 3 �c��� 3 � '0�c��$&�E$&��@9��; 3�5 >^�',@9�&�0+ 3 ��<t��[*`!<9� 6 �?�0<9��;0�&O 3 �L;,� 5 >9�Qna$&�a',@9�&�0= 3 �o<t�&O � 3 �i<d� :�jc8d�c��:Le��&@9O!� 5 :�S �&Oa< 5 :L89��>x���!���8M9�&O!> 3 �i<9=!>w$�@9�&p9=<9=!:�8d�c��',@9����+!:x<9=!:���e 3 +�:N[=L);,O!>9�Ee&<d� e�`De��&�0C�(%@dj :�$�� 5 �!>oe&n!e&���&O!:;L�89=a�0 );,� 5 >9��8 5 >^<9@^��

l >�<N�D',@9����= 3 � � 8^�t>��tj >9���,;0O!>9�Ee&<9�ce&`D�����&@ 3 `8M9�&O 3 ��<t�D$&@^M*<t�De�� 3�3 ��<d�HS $��&O 3 `!��� :X��$&�&8^�Njcp9� 3 �t[%<t�&ODzx�E(%@9+ar3 ��<N��:x~0 Z��;,�xe�� 6 �x;,O�>^��e�<d� e�+?<t�&OQ;0O!>d� ;)<^M%;,� e&���,$���jc@9>9�&O 3 � 5 <^;��,��$&` 5 >9� 8 5 >989@9��'0�c��e&� 6 �x;0O!>d� ;)<^M%;,��L)$&�&Oq<9=!>$&��@9��',�t�\ �

KL���E$&` 3 ��>9� 6 ��M%@^= 3 � 3 �&:w� 5 �t�)`a<d�?L)�&>N<dj 6 ��<t� 3 �X<t�D',��>d� e��D',@9�&�0+ 3 ��<t��L�<t�D$���+ 6 �&:�<t(%>���e 3 M%>o;,� 5 >9�v8 5 >^<^@9��tj >9���,$���+!@^(%:xe&� 6 ��@d� ; 3�5 >9����$&`v<t�v$���+ 6 �&:x<�(%>oe��&@9O!�0M%>�<t�&O)

J �LK9���J����~0 f&���X�85�B � � �H: |�b2�B�Oh>�� |/� ! ��A � }�Be<�46>=|�< �HPoA�O��t_b46>^2���A V!�W (&�����YX �-� � ���E$&��',(*',+q(%:�$&@9`&: O* P��c�CO\[�_��tj >^���,$�@9�&����> 5 :! *" ;)<t( � 8 5 >^<^@9� 3 ��O�e��&@9O!� 5 :a � ;,C)O�@d� ; 3 `&:!J � $��&@9C)�t�)e���@9O��0+Q<t�&O�� 3 �X��� 6�3 `c_!

" ;,<�( `a<d��`a���t:x���0e��&@^O�� 5 : 5 C)�&O!>��&� 6�3 `\f p S �&����nDe�� 3 jc� 89��> 5 C)�t�,�&� 6�3 `3XD��`!')( ;0O!>9�Ee&<9�ce&`!<^=!<t�&:N[� � $&��@9�&n 3 �<9`a<9�L>^�?�&@^�&n 3 � 3 �!>9��$���<d�c�?�&;0��O�89+a$&�a<9� 3 �E',������O 3 +ae��&O!:L;,<t� � ;)<t�Q��$���jc�q$��!< 5 89��>�� 3 �0�&>djNM9�E<t����e���<9��<9=!: 3 �&@9�0+�:

�r�r� � �� � �� � � �E�r��&�0�&n $��&>^<t� 3 $&�&@9��n 3 ��>^� ��na'0��O 3 ����$&`�e���$&���c��e���@9O��0+ C)@9=!;0� 3 ��$&�&�cM%>N<N��:�e���$&���c��������= ��e 3 + ��$�`��&Oa<9+ $&�&OC)@9=!;�� 3 ��$&���c+!;0� 3 �?'0�c� >9� 3 $&�&n 3 ��LHe���� 3 $&�&@^�&n 3 �Q>9� e)� >9�&n 3 ��;,<^� 5 <9;0���E$�V���$&�t�c@9�!>� l >y<t� 3 ��>^��$&��<9� 5 C)�t���&@^e��E<^�3 �E',����� 3 +ae��&: 6 � Oa$&�&@9C)�t�H;�j ',�&O!@9��e���$&���c�Te���@9O��0+y$��&OT� 3 �0�&>djNM9�E<t���H��e&�Nj2$&��>^( ��$&` 3 jc�����@9�� Q"%$&�c� 5 ',�&O 3 � 3 �c�< 5 <t���c��e��&@9O!��+ ��$&�&O 5 C)�t���E$&�c$�� 5 �!>i<9=!>X�m89�m`a<9=a<t�o`!<9��=���$�`&;)<N��;0=���>9� 3 ��;,�o;,<9� :i89n!�?� 3 ���&>dj ;0�t� : <9=!:i�tj >^�����E����C0� ;,<^=,

1 e���<9�&;)<t�&;0=Q��$&�t� e��!>djNM9�E<N�&�,;)<t� { C)+ 3 ��dF& 1 �E$�� $�� 5 �!>o�m89�m`a<9=a<t���&O!<^+?<^=�: � ;,O�>^��$���',�E<N�&�,`a<d��;)<t�ve�n!e���( 3 �$&��O?��$��t�ce&��>djNM9�E<t����;)<t�v;0C)+ 3 �D$��&>^( ��$�`D<N� ��89��>�Oa$&�&@9C)�t�����!��=o�E$&�&>^����� 3 ���&>9` 3 �t>^=�e��&@9O!��+q+?��e 3 +&L��&@9�Q�&O!<^`Q<t�e�nae&�!( 3 ���tj >^���,e�nae&���&:HL&$&@9��' 3 �v$&�&OD��$&��',�&@9��n!�E<N�&�);,��8 5 >^<^@9��L)e���� 5 C,��O 3 �w��$��&89�tjcp9�t�,<t�!>?� ;0C)O!@d� ; 3 `� �

" ;)<t( ���&�c$�`�>v����� �#[ _Qe&�����&@9j M^�&O 3 �q<t�Oa$&�a',@9�&��= 3 � �`<t�&O � $��&OT�E$���',��<t���2��$�`�<d� :QO!$�`!����� $&��:�e��&@9O!� 5 :

�[ �� �J�;L,;)��+�>^�&O 3 �w8^=!�, �<9=!> �e����,<^= 3 �!>9�&8d� e�+Q��e 3 +?$&�&Oqe���<t����+!',�t�,;)<9=!> �� �SVbQ�tj <9� { C)+ 3 � �N}) c[

��� !%K #*!_-'$.&�#���(� �� -�� �� �E CSO

Page 41: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� � �

�X�+����� . � / " >9� 3 �!>9��$���<d� 3 � 3 �c�y�E$��&>9����� 3 ���&>9` 3 ��>9=oe��&@9O!��+��

��`

�X���'�J� .&�H/?{ ��+�>^�&O 3 �L<9=!>qe���@9O��0+��e����)<9= 3 ��>^�&8d� e�+D��e 3 +Q$��&OQe���<t����+a'0�t��;,���&Oa<9+?'0�c� >9�v$&�&@9��O 3 �w<t�O!$��!',@9����= 3 ���

`��$&`v<t� �D

� :�Oa$&�a',@9�&��= 3 �KL�<N� �`$&@^�&���&>NM%:q8^�t> 5 C)�N�)e�nae&����O�:�e�������p9��e��!���&O 6 �tj�>9� �tj >^���0;,O�>^��e�<d� e�`��&����nD�tj >^��������>9��@9`

`a<d�?LH�E$&�t�c89+y= � 5 C)�N����� 6�3 ` _�LH8^�t> 3 $&�&@^�NjH>9� C)@9=!;�� 3 ��$&��� 6 �tj�'��c�<9=y;0n!>989��;,=T89n!����!��(%>?e��&@9O!�0M%>� l �����T<t� �`

5 C)�N�^OZ�P_Xe&�&@9O!� 5 :Le����&��$�`?<9=!>x�E$���')(*'�� e�+ 3 �&:�O!$�` 6 ��;,= 5 C,�t�&;,O�>^��$�M%:~Ob� p ��e 3�5 :a l @9�Q<t� � 5 C)�t�^Ob�P_qSV�&Oa< 5 :<t�&O��

`;,O�>q�&Oa<9+?$��&OQe���<N����+a',�N��;)<9=!> ��[� �

! ��"������ ~, cfau&� l $��&89�tjcp^<9�q`!<9� 5 >9�8^�&;0��: 3 �jO e��&@9O!� 5 :qe������ ;0O!>9�Ee&<9�ce 5 :q;,O�>d� ;,<NM%;0��:TS�� 8 5 >^<^@9�89=a���&8^+�[5 C)�N�,��e�@d� ��M%:�Ox� ����e 3�5 :a

! ��"������ ~, cf�F8��bQ�tjcp^<9� `a<d�*e�� 6 �3M9��na',�&:ye���@9O��,M%> �t>^`&:T8 5 >^<^@9�&O �t>NM%>9��>N<N�&� 3 ��<t�&p^n <t�&O!: 3 � 5 >9� 3 ��>9��8d� e�`3 �!>9��$���<d�)<t�y��$���j ��89��>o$&��@9>9� 89n!�y�0�&@ 5 :���$&`v<^=�>?jc8d�c�y��e 3 +) bQ�tjmpN<9���E$�j ;0=!:�`a<d���&>?� ;,C)n��t�0��O!<^`�'0�c� 5 >^� ',@9�&�0= 3 �� <^`!<^�x�&Oa<9`��tj >9������>9��')e��&;)<d� e��v8 5 >^<^@9��

! ��"������T~0 f!}&�ib?�Njcp^<^�w`a<d���&>�$�@9�&; 6�5 ;,�&O 3 � 3 �c�v��e 3 +?;,� 5 >^�v8 5 >^<9@9�D<^`!<^�w8^= 3 � �&O!@^',�&n 3 �L��e�@d� ��M%: 5 >9�De&n!e&���� " nae��!��� 5 C,��O 3 �X<NM%@9��J� (9��� �8��� ~, ��;� l > 5 >9��;0O!>9�Ee&<9�ce&`�',@9����= 3 � � 3 ��O e&�&@9O!� 5 : 5 C)�N�&O��t_���e 3�5 :x<^`!<^�x�tj >9���,8 5 >^<9@9�0 !�W (&�����YX �-�LKL� � $���@d� 5 C)�t��e���$&�&� �D8 5 >^<^@9� $��&O?$��&@9��',�t�?L 5 ;,<�( "ZL�<N����$���j � 5 C)�t�&O3�)_���e 3�5 :x;,n 3 �0(%>^� 3 �w<t�

zx�EM%@9= 3 �v~0 f) l @9� ��[ "o �! ��"������ ~0 f!�&��V " >9�y'0@^�&��= 3 �T� 5 ',��<t�����a<�D KH�x� �<�rB=>6:r<�>8���&>?$&�&@9� 3�5 >9�t��;,O�>9�Ee&<9� e�`T��e&` 3 =De)����>D;)��+!;0�&O 3 � 3 �c�

��$����c�&89+a$&�a<9�o��e 3 +y<t�&O) B `&;,��:;LH<t���&� '0`a<9��@9�KL2��e 3�5 :?$&@ 5 $&�t�2>9� 5 C)�N� 5 >9��< 5 <t��� ��',@9����= 3 � 3 �ZO e&�&@9O!� 5 :�3qgi@^�Nj <9�5 >9�v',@9�&��= 3 ��$&��OD>9� . $&�m��>9�t�U/�<t�!>?�E���&C,� ;)<N�v��O!<^`v�&@d� 6�3 ` ��e 3 M%>�

Page 42: Διακριτά Μαθηματικά

� � �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���! ��"������ ~0 k�]&��bQ�tjcp^<9�o`a<d� 5 >9�T',@9�&�0= 3 � � �tj >^���28d� $����T;,O�>9�Ee&<9� e�` S 89�tj <9� V l ;,e&=�;,=v~0 f!��[L�&>De���� 3 `�>9���>D89��>

5 C)�N�2e��&@^O�� 5 : 3 �o�&� 6�3 `] SV��$�� 3 �!>^( 3�5 >^�t:qe��&@9O!� 5 :?`�$�(%:Q� 5�3 �t[Xe&���He&� 6 �ZM9��na'0��:D��e 3 M%>v��@dj ;)e��E<t����$&�&>N( ;6V 5 >9�e�nae&����

������Af6'�� �Of$� "bf � ! $9%+! �6' ' ����(�! $&���[g�0 (�1�.+��(+$&��!' ��� �8�)(��D~, ��Nu&��S ����<9��O 6 O!>9` 3 �t>^�D'0@^�&��+ 3 ��<t��[ �4;:eBr��58�_�F�e2 B ��43Ga|94 ! @8294;:�4Q�tj >^���KM9��Oa',�&@d�c�cS ��k #ZUeL,`�$&�&O?e����

$&���&� � �Nj >9�&� 5 >9�x;0n!>9�a���xe&�&@9O!�0M%>^La���!���w<t��;,n�>9�a����# <t(%>L��e 3 M%>L�tj >9���9<^M%@^��`�C,� 5 >9��;0n!>9�a���w8d� 3 �E�!M%>LO!$��&;0O!>9`a��(%><t�&O� ������� 5 >^� ;,n!>9�!���v8d�c��<^��<t��' 3�5 >N(%>bM9��Oa')M%> 3 �x;)<N�&� C)�Njc�v��$�`v<N���RL,89=!�, # " � � �v

l >9�����!',� 3 ��<9=!>�$&��@dj $�<�(%;,= 3 $&�&@9�tj�e��&>9�tj :w>9���E$�� <^@ 5 $&�t��+Q`!C0��e����9M9��O!',�&@9�m�D<^=�: 3 �&@^��+!:RS Kk 8U�S < 5 <N�&�m��:w��e 3�5 :�!>9� 3 �^M9��>N<N�&�^�;|K��GE} �a< [E KL�y;,= 3 �&>^<9�ce&`�$��&>^<�(%:��tj >9����`a<d�,89� 3 $&�&@9�tj)$�� 5 �!>�e��&>9�tj :x>9� � 5 �t�,`a<d��. ? ;0O!>98 5 �E<t��� 3 �x<t� G0/���!���D$�@ 5 $&�t�0>^��$�@9�&;,8d� �&@9j M^�N�)e����)<9=!>oe&��<9��n 6 O!>9;,=Q<9=!:�;,n�>98^�t;,=!:!

' ��� �8�)(��q~0 Z�dF8�wS B �!�!����$�� 5 :w��e 3�5 :^[ ��|94 ! @82&4;:e4�2�B�D�� K<K^4�D K�lA�48>^2���A��tj >9�����&Oa<9�S e���<^��O 6 O�>^` 3 ��>9�D+ 3 =�[I;)<t���$���jc� 3 �m�y��e 3 + 3 $&�&@^�Nj0>9� 3 =!>QOa$&��@9C)�N�,e�� 6 `!���&O&L0>^�TOa$&�&@9C)�t� 3 �m�y���&@^��L�89O!�T�0�&@ 5 :HL�e&�!$� � �&@d� 6�3 `&:�<�(%>D�0�&@^M%>$&��OD� 3 ����>djNM9�E<N�&� 3 �c����e 3 +Q� 5 ',�E<t����$&�a������$���`a<9=a<N�q<9=!:���e 3 +�:a

�K|94 ! @62&4;:�4C2�B~4&�^: �F� �_� � ���6Be<NA%�tj >9�����&Oa<9�Q;,<t�D��$���jc�Q�E$�� <9@ 5 $&��O 3 � 3 �c�Qe���@9O��0+?>^�D;0O!>98 5 �E<t��� 3 �L<t��>x�t��O!<^`Q<9=!:! ' ��� �8�)(���~, ��N}9��S gi�&@^=D;,<9� :���e 3�5 :^[ �K|94 ! @62&4;:�42�B��'�r|�7��K>8�F�K:a7��tj >9���&�&Oa<9� S e���<9��O 6 O!>9` 3 ��>9�?+ 3 =�[*;)<t�Q��$���jc�

e�� 6 �x��e 3 + 5 C)�t�,e��&� 5 >9�v�&�&@^�&:��9e�`&;)<t�&:a

l O!<^�y<t�v�&�&@^=v�Nj >9�&��;0O!>9+ 6 (%: 3 =v��@9>9=a<d� e���j���@d� 6�3 ��j?L����������&O!<^`y8^�t>?�tj >^������$&��@9��j <^=!<t�ve�������p9��@^<9��<t���0��$&`�<9=!>�����&@ 3 �a'0+) *P��c�D$&�&@9��89�t� ' 3 ��L��&>�����e��&@9O!� 5 :w$��&@d� ;)<9��>9�&O!>x$&`a���t� :�;,� 3 jc�vC)M%@^�De����)���,��e 3�5 :�e���$&�&� �&O!:X8^@9` 3 ��O�:X$&�&O<d� :�;0O!>98 5 �&O!>^L�<t�D�&��@9= 3 $��&@9�&n!>o>9��$&�&@d� ;,<^�&>9�&O!>�<t� 3 +!e&=Q<�(%>?89@^` 3 (%>�

1 2

3 4

1 2

34

5

0.9

0.1

0.1 0.2

0.1

0.10.1

0.1

�X���'�J� . � /o� =D��$����v',@9�&�0+ 3 ��<t�

{ <t� { C)+ 3 �T�N�o89�tj C)>9�&O 3 �L89n!�Q',@9�&�0+ 3 ��<t�� *KL�D�&@9� ;,<^��@9`Q�tj >9��� 5 >9�Qe���<9��O 6 O!>9` 3 ��>9�q',@9�&��= 3 �KL&e�����<t�D89��pdj��tj >9���5 >9�',@9�&��= 3 � 3 �?$��!�!����$�� 5 :o��e 3�5 :;LH��O!<t�&;,O�>^8 5 ;0�t� :oe������&��@9=, q"Ij >9�����0�&>9��@9` `a<d� 3 $&�&@^�&n�>v>^��Oa$&��@9p9�&O!>D8d�c�&�0�&@9���< 5 <t��� �&�,;,O�>^89O���; 3 ��j

1 5 >9>9���c� <t�&O 3 �!>9��$���<d� ��nT�tj >9����;,C)�t8^`�> <N��O!<^`&;0= 3 = 3 �D�&Oa<9+�$��&O� ;,C)n��t�R;,<t� ��$���� ',@9����+ 3 ��<t��L��&>T` 3 (%:D<t�',@9�&�0= 3 ��Nj >9�&�2e&��<9��O 6 O!>9` 3 �t>^�y<9`a<9�o�0O�;0� �a���a'0�ce&�T��$���� <t�&n 3 �����2��e 3�5 :?>^� 5 C)�&O!>D`a����:o����@9���$&` 3 �c�Te��&@^O��0+ <t�&O3 �!>9��$���<d� �&n?$�@9�&:x<^=�>q�E$&` 3 �t>^=,

"I�c8d� e��D'0�c�Q<t�Q',@9�&��+ 3 ��<N� 3 � 3 =q�&@9>9=a<d� e��q�&�&@^=qOa$&��@9C)�N� 3 �c�D�E$�� $�� 5 ��> 5 >^>9���c�Q<9=!:X��$&`&;)<t�&;,=�:��&>9� 3 ��;0�Q;0��89n!�e��&@^O�� 5 :w$&�&OQ��� 3 �&�&>^�N�)Oa$&`-,0=�>�<^=�:�<t� . 3 +!e�=�/2S +Q�&��@9=�[ <t(%>q��e 3 M%>�

' ��� �8�)(�� ~0 Z�^�&�oS l $�`&;,<t�&;,=D;,�x',@9�&�0+ 3 ��<t� 3 �X���&@9=�[ "%<9;0�?L2<t��2 @&> �FAx��>9`�: 3 �!>9��$���<d� �&n�;0� 5 >9��',@9�&�0= 3 � 3 ����&@9=T�tj >9���R��$��!M%:?<t� � 6 @9��� ; 3 �<�(%>D�&��@^M%> <�(%>���e 3 M%>v$&�&O�;,O 3�3 �E< 5 C)�&O!>v;)<N� 3 ��>9��$&��<9�\ 1 4�D��F��:�46�K7T��>9� 3 ��;,�

Page 43: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� ���;)<d� :ie���@9O�� 5 : ��e���� q�&@9j M^��<t���a(%:L<N� 5 ���&C,� ;,<t� 3 +ae��&: 3 �!>9��$&��<d� �&nX$&�&Ox;0O!>98 5 �t��<d� : ��e���� S m � �&>w8^�t>w;0O!>98 5 �!>^<t���3 ��e���$���� � 3 ��>^��$&��<9�m[=L%e����%= �a< �F2�BE: |�FAD<t�&O '0@^�&��+ 3 ��<t�&: � ��@djNM9�E<N�&�*(%:T= 3�5 '0� ;)<9= ��$&`�;,<t�&;,= ��>9� 3 ��;,� ;0� 89n!�e�` 3 �&��O�:X<N��O��RL,`�$�(%:xe&���,$�@d� >�

! ��"������y~0 k,�;� bQ�tjcp^<9�L`a<d�&=�<^@d� ')(%>d� e�+o�&>d� ;,`a<9=a<N� S k!~�[*�tp^��e��a���&O 6 �Nj!>9�v� ;,C)n��t��e&����'0�m�q<9=o> 5 � 5 >9>^���c�Q��$�`&;,<t��r;,=�:a

��� ��� (+,�g ��0�� ������!�$&��������� �9��� g �?( f8, �Bc � "�$&()� �6'�$�0 ()*-��� *+(�09�-g����-'�"bf�g�0 (�1�.���(+$&(t�Of�����09%

" ;)<t( ��[ S�� k #ZU 5 >9�y;,O!>9�Ee&<d� e�`D',@9�&�0= 3 � 3 � 3 =v�&@9>9=a<d� e��Q���&@9=D;)<d� :���e 3�5 :w<N��O��s�# � � . q� �&:x��>989�m��� 5 @9�t��>9�v�E$�� � 5 p9��O 3 �i�Ee��tj >^�Q<t�v8 5 >^<9@9�&" ��$&`v`a���q<N�Q89O�>^��<9�v8 5 >^<^@9�D$&��Oo$��&@9��',�&O!>x<t��� $&�&O�<t�Q���&@9�&:<t�&O&L08^=!�, )<N� � 6 @9��� ; 3 � <�(%>Q��e 3 M%>?$��&OD;,O 3�3 �E< 5 C)�&O!>?;)<t�T8 5 >^<^@9��L0>9�T�tj >9����`�;0� '�j >9�E<t���0$&� � 3 � e�@9`0 �z 5 ����O 3 �x89=a�0 >9� �E���&C,� ;)<t��$&�&�m+!;,�&O 3 �i<9=!>�$&�&;,`!<^=!<t� �ZS "�Uo[ �

�@�� �ZS ��U=k

`�$��&O <t�� 6 @9��� ; 3 ��$&��jc@9>9�E<t����$&��>^( ��$ / �a���t:�<9� :Q��e 3�5 :?$��&Oy� 3 ���&>djNM9�!>^<t���H;,<t� 8 5 >^<^@9��L2e����2<t�#" �tj >9��� 5 >9�8 5 >^<^@9�$&��OQ$&�&@^��',�N��<t� �D

l >qe&���0=Q$��&;,`!<^=!<t� �ZS "�U 5 C)�t� 3 �!>9�&89�ce&` �E���&C,� ;)<N�KL��&Oa<9` 3 $��&@9�tj,>^� . $��c�&>9�E<t��� /&'0�c��$��&@9��$��&>^( ��$&` 5 >9��8 5 >^<^@9�$&��OQ$&�&@^��',�&O�>� � ���v��O!<^��<t��8 5 >^<^@9� 3 ���E����C0� ;,<t�Q���&@9�&:x<t���!>9� 3 �^M9�&O 3 �bB KH� }�<N�K:�4(� � �H: |94Q<t�&O �D

� $&��@9�tjRe��&>^�Nj :D;0C)�E<d� e�� ��nae��!����>9��89�tjcp9�t��`a<d���$��&@9��e���<t( ���!',`&@d� 6�3 �&:?`�>^<�(%:Q��@dj ;)e��t� 5 >9���E����C0� ;,<t�8 5 >^<^@9�$&��OQ$&�&@^��',�N�);)<N� �D # � $H2-F�.6* G � )�(�8<) D��������������

S��^[�bQ= 3 � �&O�@N'0��n 3 � 5 >9� 89�&;,�&:D< ��$&`�8 5 >^<^@9� `�$&�&Oqe�� 6 �we���@9O��0+Q<t�&O�� ��$&�a<9�E���Nj�e���� 5 >9��8 5 >^<9@9�0 S�f![�bQ= 3 � �&O�@N'0��n 3 � 5 >9��;,n�>9�a��� � $&��O�$��t@9� 5 C)�t��`a����:v<d� : ��e 3�5 :�<t�&O �RL%8d�c��<^��<t��' 3�5 >^�t:�;,���&n�p^�&O�;,� ;,�t�c@9�

���&@9�&O!:a SVk�[WV � ;,� � ;,C,n!�t��� \[ ]Q�E$&��>9����� 3 ���&>9�&O 3 �L<t�v$&�&@^��e���<�(LJ

S � � [ l �����c@9��n 3 � <^=�>i$�@^M*<9=���e 3 +�<t�&O � S $��&Ox�tj >9��� 3 �c�o��$�`��&Oa< 5 :I$��&O 5 C)�&O!>i<t�q�E���&C,� ;)<N���&��@9�&:���>9� 3 ��;,�;)<d� :x��e 3�5 :x$��&OQ$��t@9� 5 C)�!>^<t���,;)<t� �%[E

S �� [ l >v�&Oa<9+ =T��e 3 +y��>^M%>^�N� 3 �E<t�&p9n�<t�&O!:?89n!��8d�c�&�0�&@9�E<d� e��8 5 >N<9@9��<t�&O 89�&;,�&O!: <RL�<^`!<^�q$�@9�&; 6�5 <t�&O 3 ��&Oa<9+v<^=�>v��e 3 + ;,<t� <RL2��>^M%>^��>^<t�&: 5 <9;0�H;,� 5 >^��89n!�8 5 >^<9@9�y<N��O <D l �!�&� M%:o<9=!>Q$&�E<9� 3 �o�&Oa<9+v<9=!>��e 3 +)

{ <t�v< 5 ����:x<t�&OD���!',�&@dj 6�3 �&Oq<N��89��;0�&:�< $&��@d� 5 C)�t� 3 `�>9� 5 >9� 8 5 >^<9@9�v$��&OD�tj >9��� 5 >9� �E����C0� ;,<t�v8 5 >^<^@9� <t�&O �D �J �LK9���J��� ~, k&� � 4 KFG9� |�< 5H2��FA\: �r�"!$#&% ')(CR S�D �r�)D�B�| < Ga|��+*K4a2 BcDn|��7�G��r�E2�� �eIoA\����:nIoAb��|9� �K>8Be< ����4tB KH� }�<N�K: �

� � ��: |��G&< 43: �CGE|�� ! 78294 �&V!�W (&�����YX �-�LKL��`a<d�*<t� ',@9�&�0= 3 � $&�&O $&��@9��',�E<N�&� ��$&` <t�!>����!',`&@d� 6�3 � <t�&O �����,���dW!Y��tj >^���*�&>9� $��&;0� C,@^��>d� e�+

;)<d� ' 3 + 5 >9�89�&;,�&:D�tj >9���H���&>^�t@^`�LR�&���&n e�� 6 �q< 5 <N�&� �T',@9�&�0= 3 � $�@9��e�na$�<^�t����$&`�<t��$&@^�&=!',�&n 3 ��>9� 3 �?<^=�>D$�@9�&; 6 +ae�=3 �c�&:X��e 3 +�:�=q��$&�&jm�?��>^M%>9�t�,8^n��?8d�c�&���&@^��<9� e��D8 5 >^<^@9�D<t�&O�$&@9�&=a',�&O 3�5 >9�&O&L�e&������$��t�m8^+��Nj >9�&�)�0�&>9��@9`v`a<d���&>���>^M%;,�&O 3 �3 � 3 �c����e 3 +Q89n���8 5 >^<^@9� 3 �x89�m�����&@9�E<9�ce&` ;,n!>9�!���ve��&@9O!�0M%>o$&�&jm@^>9�&O 3 ��$&����� 5 >9� 8 5 >^<^@9��

"%$�j ;0=!:?<t�89�&;,�&:-< �tj >9���?LH;)<t��< 5 ����:?<t�&O ����',�&@9j 6�3 �&O9L 5 >^��e���� 3 `!>9� 8 5 >^<9@^�� l �!�&� M%:o<t� < 6 ��$&��@d�c�tj C)��<d� :;,O�>9�Ee&<9� e 5 :q;,O!>d� ;)<^M%;,�t: 6 * kEqrqrqEk 6 � L V ' _;L�e��&��L���$&` <t��>Q<^@9`�$��T$&�&O�89��O!����n��t�0�T����',`&@9� 6�3 �&:;L��&Oa<9`T;,O!>9�E$&��',�E<t���`a<d�0e�� 3 �c�y��$&`�<d� :���e 3�5 :�<t�&O�� 89��>?�t>NM%>9�t� 3 �E<t�&p9nQ<t�&O!:�89n!�y8d�c�&�0�&@9�E<d� e�� 6 ? l Oa<9` ;0= 3 �&j >^�N�0` 3 (%:o`a<d�0<t� � 89��>�tj >9���0;,O!>9�Ee&<d� e�`�L)��<N��$&��

� � !�#�& + -'$�#�;���� ����!)+]8�0121�)+_8�!)8*0'21�)(�b�( 0V$����"?1/5& J�2'01+ #%016�,.-0/21436567I:�/*!%& ;98�! #%$'&�:�/�?�(*0;:=<?>�7A@&B�>DC<�I& $W(�$W#�! ��!%& H !%& M�?�=10'6�> !%K (�$'&#%0 =1? !)+�$�-.21�)+��):�!%&I#%0 �"/*;�E ��21$GF`E

Page 44: Διακριτά Μαθηματικά

��� �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���"Ij >9��������� $&`!>i<t� < 5 >9��e���� 3 `!>9�q8 5 >^<9@9��e��&� 3 ���&� ;)<t��$&�&@^��',�N�a<t� � e���� 3�5 >9�t��>^�q8^�N� C)<^�tj�`a<d�!<t� < �Nj >9�&���E$�� $�� 5 ��>

e����0�����&C,� ;)<t� 8 5 >N<9@9� $&�&OQ$��&@9��',�t�0<t� �D l :q�tj >9���,����� $�`�>�" 5 >9�y�����&C,� ;)<t� 8 5 >N<9@9�y��$&` �&Oa<9�v$&�&OD$��&@9��',�&O!>o<N� �$&��O?<t�v�E$�� � 5 ',�&O 3 ���&na<�(%:wM%;)<9�x>^� ;,O 3 �0(%>^�Nj 3 ��<N�(< '0�m�D<t� 3�5 '0� ;)<t�v89O�>^��<9`v8d�c�&;)<9= 3 ��KL�v8d�c�&;)<9= 3 ��;,O 3 �0(%>djc�&:�tj >9�����vC)@9`�>^�&: 3�5 C)@d��>9�Q��@9� 6 �Nj�=o$&@^M*<^=?��e 3 + S 3 �X<^=?89�m��<N��p9=q<t�&O �%[ =?��$&�&jm�?�&>9+ae��t��;,<t� 5 >9�D�������D`!C0��;)<t�D���!���� l >�`!����:i���&��e 3�5 :i<t�&O�:i<t�&Oa<djNM9�!>^<t����<^`!<^� 5 C,��O 3 � <�[ " e�������@9�?<t� < �Nj >9�&��e����&�&Oa<9`q�E����C0� ;,<t�� JV l @^� 3 $��&@9�&n 3 ��>9�Oa$&� 6�5 ;0�&O 3 �w`!<9��Oa$&�&@9C)�t� 3 �m� ��e 3 +��q$��&OD$&��@d� 5 C)�E<N�&�0;)<N��< e��&��`�C,��;)<t��"jL)e����0�&:�$&�&@^�&O 3 ��>9� �tj >^����=��?=D$�@^M*<9=��$�`�<9� :���e 3�5 :x$&��OQe���� <^�&�t�,�����!',`&@d� 6�3 �&:w'��c�v<9=!>o��$&�&jm��;,O 3 �&�&j >^�N�,�&Oa<9`�

1 $�@^M*<9=D$��&@9��<^+�@9=!;,=Q�tj >9���0`a<d�S k�u�[ � <[ "�q� ��`!',�&:L�tj >9���&`a<d��`a<t�&> 3 �m�?��e 3 +��tp^��<^�8M9�E<t���&��$�`q<t�!>����!'0`�@d� 6�3 �q<t�&Oo��� �0���dWaY,e&���&��$&��@9@dj $�<^��<t���!�&Oa<9`Q;,O!>9�E$&��',�E<t���`a<d���Ee��tj >9=X<9=�;)<d� ' 3 +w<t�o89n�����e�@9��<9=!:i�tj >9���a+�89=x;0O!>989��89� 3�5 >9��;)<t� <D l ������L 3�5 C)@d���Ee��tj >9=X<9=x;)<d� ' 3 +x<t�"�;,O 3 �0(%>9�tj3 �q<t� <RL���@9��<t��8^n����e&@9��<9=!: ���tj >9���H+�89=y;0O!>989��89� 3�5 >^� e&���R;)<t�#"jL2$&@9��' 3 � $��&O ��$&��',�&@^�tn!�t�2;,<^=�> �v>9� �&>9+ae��t�;)<N��" �&���&nQ�&O!<^`��Nj >9�&��8 5 >^<9@^�� +V l @^� =Q��e 3 +Q�&O!<^+D89��>q��$&�&@^@dj $�<9�E<t������$�`�<t�!>?����',`&@d� 6�3 �De&����� ;,C)n��t�)=�SVk!u�[�

!

� 7 ���

�X���'�J� A �2/ gi�&= 6 =!<9�ce&`v;0C)+ 3 ��'��c�v<9=!>o��$&`�89�t�mp^=Q<t�&Ovzx�E(%@9+ 3 ��<t�&:w~0 kl :Q��;)<d�c�&;,�&O 3 ��<9=!>D$&@9�&;,�!C,+ 3 ��:?;)<9=yC,@^��>d� e�+ ;)<d� ' 3 +�$&��Oy��p9�E<9�^M9�E<N�&�H��$&`T<t�!>v����',`&@9� 6�3 �T=T��e 3 + �Qe����2�&:

�tj >9����< * e��&��< # <t��89n���8 5 >N<9@9��<t�&O?S <^@ 5 C,�!>^<t�&:N[5< <t����$&�&jm��=w��e 3 +w�&Oa<9+X��>^M%>9�t� l ���&n��5Y " ��>�<^=�>i$�@9�&; 6�5 ;,�&O 3 �;)<N�#" 8^= 3 � �&O!@^',�Nj <N�&� 5 >9�&:?e&n!e&���&:16 e���� 5 $&�E<t����`a<d�2O!$��&@9C)�t��e���$&�&�m�y��$&`y<d� :q��e 3�5 :o<t�&O 6 i���_�;L 5 ;,<�( = �-L�$&�&O5 C)�N���&��@9�&: �ZS �/U�f �ZS ��U=ql O!<^`?;,O 3 �&�&j >^�N�a'0�m��<dj�;)<9=!>w��>^<dj 6 �E<9=x$��t@9jc$�<�(%;0=�`a���t:�������e 3�5 :i<N��O 6 -���_� 6 �q�tj C)�&>w��p9�E<t�&;)<9�tj���$&`o<N�!>X����',`&@9� 6�3 �$&@9� > ��$&` <^=�> �^Lwe&���?LL��`a')( <9=!: ;,O 3 �0(%>djc�&: 3 �E<t�&p9n < e���� "h(%:���e&�Nj >9= <9= ;)<d� ' 3 +&L�e����i�E$&�t�c89+ ���L��e 3�5 :�<t�&O6E b� �_�x�&>9+ae��&O!>�`!����:w;)<t�&"jL 5 $&�E<t����`!<9� 6 ���&>9+ae��&O!>xe����);)<N� <RL�$&@9��' 3 �v�&;0O 3 �&j �&��;,<t� 3 �X<t�v`a<d�)= ��;,O�>98 5 �t��89n!�8d�c�&�0�&@9�E<d� e 5 :�;,O�>^��e�<d� e 5 :x;,O�>9� ;,<NM%;0��: < * e����A< # �SVbQ�tj <9�X<t� { C)+ 3 � fa], [

zx�E(%@9�&n 3 �X<^M%@9��<t��8 5 >^<9@9� " ` [ " � � �_� ��ql O!<^`T<t��8 5 >^<9@^��Nj >9�&�H�E$&j ;0=!:o�E���&C,� ;)<t� e&���2��$&j ;,=�:o;,O 3 �0(%>9�tj 3 ��<t� < '0�m��$��&@9��$��&>^( C)@9`!>9���$;V)`a<d��<t� "jL���<t��$��8d�c`a<d�,<t� " �tj C)�wO!$��!<^� 6 �tj,`a<d� 3 �E'0� ;,<t��$����c�tj)��O!<^`�<t��C)@9`!>9�y;,O 3 �0(%>9jm��:! �V l @9�(<�[ " e����)<t� < �tj >^���0�E���&C,� ;,<t�� �

! ��"������ ~, k�f&� " �0�&@ 3 `�;,<^� 3 ��<t�?C 5 @d��<t�!>w���!',`&@d� 6�3 �o<t�&O������,���dW!Y,;)<t�q',@9�&�0= 3 �?<t�&O { C)+ 3 ��<t�&:�f��ie��&�!�&@^�Nj <9�5 >9���E���&C,� ;)<t�v8 5 >^<9@^� $��&OQ<t�v$&�&@9��'0�t�

! ��"������ ~0 k�k&� � ����$����c�Nj ;,<^�q<t�!>����!'0`�@d� 6�3 � <t�&O��� �0���dWaY�;)<9=!>���',��$�= 3�5 >^=;0�&:v')�!M%;0;,� $&@^�!',@9� 3�3 ��<9� ; 3 �&n3 ��<^@9`�$��yM%;)<9�o��C)@9`!>9�&:o�Ee&< 5 ���t;,=!:�>9���tj >9����<9=!:�<9�&p^=�:�<t�&O8� Y�� ����L�`�$��&O8� �tj >9����<t� $���+ 6 �&:�<�(%>D��e 3 M%>�S $&�&O�&>9��',e&�&;,<9� e�� �Nj >9�&�R<t�&Oa���&C,� ;)<t��>bO���_;L�`�$&�&OxO �tj >9���R<t�$���+ 6 �&:q<�(%> e���@9O��,M%>^L 3 �c�e����R<t�',@9�&�0= 3 ��Oa$&�a<dj 6 �E<t���;,O�>9�Ee&<9� e�`� " p9=a',�Nj ;,<^�w<t��C,@^`�>9� �Ee&< 5 ����;0=!:w<t�&OD����',�&@dj 6�3 ��O,

Page 45: Διακριτά Μαθηματικά

�;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ��� �l�

1 2

3

45

6

1.0

3.0

1.0

2.5

1.0

3.0

0.5

1.5

1.5

2

2

�X���'�J� AH.,/ V " >9��',@9�&��= 3 � 3 �X�&�&@^=

� ����',`&@9� 6�3 �&:�<t�&O���� �0���dWaY)�&>9+ae��t��; 5 e&�Nj >9=w<9=!>Xe���<9=a'0��@djc�q����',�&@dj 6�3 (%>�$&��O���>^� 3 �8M^��>^<t����. 3 Oa(*$�� e��&jU/)S �!�2� �^���)[3 �c�oe�����$�@9�&;)$&� 6 �&n!>�>9�q$��E<9n!C,��O�> 3 �c�q;0O!>9�a�&� e�+X�&�E�!<d� ;)<t��$&��j =!;,=qS ;)<9=!>w$&��@dj $�<t(%;,+ 3 �&:i<9=!>w��n!@9��;0=x�t>^`&:L�E���&C,� ;)<t�&O8 5 >^<^@9�&O�[v���E��<9� ;,<t��$���� M%>^<t�&:HLie���<^��<9= 8d�c�&@^e&�N�c��<^=�:��Ee&< 5 ����;0=!:�<t�&O�:HLLe�� 6 � �E$�� ���a',+�$&�&O 5 C)�&O�> >9��e��&>^�&O�> 3 �e���$����c�ye�@9� <9+!@d�c�[. <^=�:q;)<d� ' 3 +!:T/� �K 5 <t��� �&������',`&@9� 6�3 ���2;,$��&>dj (%:o���E��<9� ;)<N��$&��� ��n�>�<t��;,O�>9�a���ce&`y$&@^`�����= 3 ��L0e����2�&Oa<9`&:� ���!',`&@d� 6�3 �&:�'0�m� �E���&C,� ;)<N� 8 5 >^<9@^� �tj >9��� 3 �c� ��$�` <d� :T��p9���c@ 5 ;,�N� : `�$&�&O���$&��89��89�t� ' 3�5 >9���E$�� <9Oa'0C)�&>^��<t��� ;,O!>9�!��� e�+�����!<d� ;,<t��$���j =�;,=)

����� � (+,Jg ��0�� ������!��3��������>� �� �����ig ��(ef$�-01f6" %�(+*-��"�$9��"Mf6d')* ��'�dw"bf g�0 (�1�.���(+$&(

" 8^M 6 �v$&��@d� '0@^�-,��&O 3 � 5 >9�v���!',`&@d� 6�3 �D$��&Oo��@dj ;)e��t��`!����:w<9� :x��$��&;)<9�&;,�t� :w��>9� 3 ��;,�v;0�Xe�� 6 ��M^�tOa',�&@d��e��&@9O!�0M%>�L;,� 5 >^�y',@9�&�0= 3 � � 3 �vS 3 =��&@^>9=!<9� e���[I���&@9=v;)<d� :o��e 3�5 :o<t�&O) B @ 5 $&�t��>9� <t��>dj ;0�&O 3 �x`!<9��<N��$&@^`�����= 3 ��$&�&OD��n�>^�&O 3 ���8^M ���!',�&@d� 6�3 � e���tj >9����<t� $&@9`!����= 3 �<t(%> ��$��&;,<^�&;,��(%>y��$&` . ��$&���c�&8^+!$��!<^�?;,�v��$&�&�m��89+!$��!<^� /�e��&@9O!��+) { <t��< 5 ���&:<t�&OT����',�&@dj 6�3 ��OT89=a�0 6 � 3 $��&@9�&n 3 �q>9� ��$&��>^<9+!;0��O 3 �?� 3 ��;0� S ;0�?;,<t� 6 ��@9` C,@^`�>9�KL�`�$�(%:Q� 5t3 �t[w;,�?e�� 6 �Q��@^M*<^= 3 �. $����c�?�tj >9���&=���$&`&;)<t�&;0=���>9� 3 ��;,�Q;)<d� :Le���@9O�� 5 : ?�e���� Gq<t�&O�',@9�&�0+ 3 ��<t�&:�3 /� l >x8^� 3 �&:���>98d� 5 ����@9�L�&Oa<9+�=�',��>d� e�`a<9=a<t����!��� 6�5 ��� 3 ��L&$0 C2 �L&>9�D',>^(%@djNM9�&O 3 ��L 3 ��<^�D<t�Q$ 5 @9�&:�<t�&Oq����',�&@9j 6�3 �&O9L�`!����:L<d� :w��$&�&;)<9��;0�t� :���$�`Q<9=!>�e��&@9O!��+�_X$&@9�&:`a����:D<d� : ��������:;L�<9`a<9� 6 � C,@^=�;0� 3 ��$���� �&n!;0� 3 �Q89�m�����&@9�E<9�ce&` ���!',`&@d� 6�3 �� � ����',`&@d� 6�3 ��:�$��&O 8dj >9�&O 3 �v;,���&O!<^+�<9=!>$&��@9��',@9�&�0� 6 � ��$&�a<9�E���&n�;,� . ��� �N� ��4�YZYH/&'0�c� 5 >^� < 5 <t��� �v�t@NM*<9= 3 ��J*Oa$&�a���!'0jNM9�t�&$&�a�����v�&8d�c�&�0�&@9�v$&@9��' 3 ��<t��

zx�E(%@9�&n 3 ��L&(%:x;0O!>9+ 6 (%:HL&<t�v;0n!>9�a���?e��&@9O!�0M%>�<t�&Oo'0@^�&��+ 3 ��<t�&:w>9�v�tj >9����<N� 6 O98 [ �;_�k p kEqrqEq=k`O-��e��&��',@9�����&O 3 ��ZS�?lk�G8U�'0�c��<N�D���&@9�&:w<9=!:���e 3 +�:RS�?�kHG8UxS <t�y��$���j �v;,O 3 �0(%>9��n 3 ��>9� 6 �E(%@9��n 3 � m ���&>q=D��e 3 +D�&Oa<9+Q8^�t>qOa$&�&@9C)�t�m[� � $&�&@9��e���<�(�����',`&@d� 6�3 ��:x<9@9��$&��$����c�Nj);,�we�� 6 ���E$&��>9����= ,0+?<t�&OQ<t�!>jO �xO $&j >9��e���/ � ��$&��j �&:w$���jc@9>9�t�0�&@^C0� e 5 :

<d� 3�5 :x;,<t�v�&+ 3 ����e&���0��>9= 3 ��@^M%>9�E<t���&O�����@ 5 :�;,<t�v�&+ 3 �vk) � $12-F�.6* G � )�(�� ����������� � ����� ���4�S��^[z 5 <t�&O 3 � / � i �= ? [ �ZS�?�kHG8U=L,'0�c�(?lk�Gb[�_;krqEqrq=knO* S�f![y"%$&��>9����� 3 ���&>9�&O 3 �L'0�c� V [d_;k p krqEqrq=knO�<t��$��&@9��e&��<�( ��+ 3 �� SVk�[./ � � �= ? [ � 4 8 ��/ � � C * �= ? k / � � C *��= � m / � � C *��� ? ! L)'0�m�(?�kHGZ[d_;kEqrqEq=k`O* J �LK9���J����~0 ~K��N�: �W: � K �FAR: �r�\Dn|��7�G�� RE2�B � �r��4 KFG�� |9� 5H2��r��7P4�D��F�K:�46��7\4Q���a2 Bl��4P��:=<NA> � |/� ! �lAD?u>^48< G B=� ��48<

�N�K7W2�B / � & �= ? V!�W (&�����YX �-�Xzx��89�tjcp9�&O 3 � 3 �v��$���')(*',+�(%:�$�@9�&:D<t� V `!<9� / � � �= ? � ;,�&n!<t��� 3 ��( � � �= ? [ <t� 3 +!e&�&:D<t�&O�E���&C,� ;)<t�&O

3 �!>9��$���<d� �&nQ��$�`v<N� ? ;)<N� GD<t�y��$���j �v` 3 (%:�C)@9=�;0� 3 ��$����c�tj,��>98d�c� 3 ��;0��:xe���@9O�� 5 : 3 `!>9� ��$&`v<t��;0n!>9�a���5��_�krqrqEq=k V �! P��c� V [ X <t� $&�&@^��$&�&>N( ;0n!>9�a��� �Nj >9�&�*e&�t>^` e���� � � ;,C)O�@9� ; 3 `&:�;0= 3 �&j >^�N�*`a<d�+/ � i �= ? � ;0��n!<t��� 3 ��<t� ���&@9��: <^=�:

$�����O�@^�&:uS�?lk�G8U 3 �c�qe�����<t�Q;,n�>^�!���q<�(%> 3 ��>^��$&��<9� M%>���$&`q<t�-? ;)<t� G?$��&O �FB%C)@9=!;�� 3 ��$&��� ��n�>�e�� 3 jm�?��>98d�c� 3 ��;,=�e��&@9O!��+��$��!<^�����tj <t������$&`v<^=�>o��e 3 +�S�?�k�G^U�e���� 3 `�>^�� +V l @^� �y� ;,C)O�@d� ; 3 `&:��tj >9���0����= 6 +!:w'0�c� V [zX)

Page 46: Διακριτά Μαθηματικά

� � �;����� ��� +� �� ���A� ���� �� � �������� ��� ���� $�� 6�5 <t�&O 3 �X<^M%@9�y`!<9����� ;,C)O�@d� ; 3 `&:o� ;,C,n!�t� 3�5 C)@d��e&���0'0�c� V � _;L 6 �E(%@9�&n 3 � 5 >9� �E����C0� ;,<t� 3 �!>9��$&��<d����$�` <t�(?

;)<N�3GQ$��&OQC)@9=!;�� 3 ��$&���c�tj���>98d�c� 3 ��;,��:xe��&@9O!� 5 : 3 `!>9����$&`D<t�v;,n�>9�a�����^_;krqEqrq=k V �;L�e����)p9��C�(%@djNM9�&O 3 �x8^n��D$��t@9�c$�<^M%;,�t� :! S ��[iKL�������&C,� ;)<t� ��O!<^` 3 �!>9��$&��<d���aBLC)@9=�;0� 3 ��$����c�tj)<^=�>�e��&@^O��0+ V S\��[��w@9=!;�� 3 ��$&���c�tj)<^=�>�e���@9O��0+ V

{ <^=�>o$&@^M*<^=Q$&��@dj $�<t(%;,= 5 C)�&O 3 �X��O!;�� e���( � � �= ? [ ( � � C *��= ? " ;)<t( `!<9��� ;,C)n��t�2<t� S\�&[� � $��&@9�&n 3 �?��n!e��a����>9� 89�tjcp9�&O 3 �q`!<9��`�$���� ��e����H>9� �tj >9���R<t� �E����C0� ;,<t� 3 ��>9��$&��<9����$�`

<t� ?�;)<t� G $��t@9� 5 C)�t��<t� V ��e�@d� ��M%: 3 �c�����&@^� SV�&>y<N� $&��@d� 5 C,�t��8^O���+ $&��@9��$&��>^( 3 $��&@9�&n 3 �v>^��<N� 3 � e�@9��>9�&O 3 �D<t�3 �!>9��$���<d��$��&@9�����tjc$���>N<N��: 5 >9��e&� 3�3 ��<d�2�&>9� 3 ��;0�;,�q89n��T� 3 ���&>9j ;0�t� :o<t�&O V [E o"%$�j ;,=�:HL�<t�Te�� 3�3 ��<d�2<N��O 3 ��>9��$&��<9� �&n��$�`q<t� ?�;)<t� V �tj >9��� 5 >9�q�E���&C,� ;)<t� 3 �!>9��$&��<d����$�`q<t� ?�;)<t� V $��&O�C)@9=!;�� 3 ��$&���c�tj���>98d�c� 3 ��;0��:ie��&@^O�� 5 :L��$&`o<N�q;,n�>9�a�����_�krqEqrq=k V �t_@�� l @9� <t� 3 +!e&�&:v<N��O��tj >9��� ( � � C *��= � e&���?L*� 3 �&jc(%:HL <t� 3 +!e&�&:v<N��O 3 ��>^��$&��<9� �&n��$�` <t� V ;)<t� G �tj >9���( � � C *��� ? %KL� ;0O!>9�a�&� e�` 3 +!e&�&:w<t�&O 3 ��>^��$&��<9� �&n?�Nj >9�&�,����� $&`!>q;,�&Oa<9+Q<^=�>�$��t@9jc$�<�(%;0=

( � � �= ? [ ( � � C * �= � m ( � � C *��� ? q"%$�j ;0=!:;L);,�xe�� 6 �X$&��@dj $�<�(%;,=9L 5 C)�&O 3 �w<9� :��&>9� ;0`a<9=a<9��:( � � �= ? T ( � � C * �= ? e���� ( � � �= ? T ( � � C *��= � m ( � � C *��� ? k

=?$�@^M*<9=Q��$&`D<t�!>q��@d� ; 3 `D<t�&O?<t�&O?;0O 3 ��`a���&O ( e&��� 3 `�>^��e&���,=Q89��n!<^�t@^=q$��&@9��<^=�@^M%>N<N��:x`a<d� 3 $&�&@^�&n 3 �w>^��$�� 3 �X��$�`<t� ?L;)<t�&G S 3 �o��>98d�c� 3 �t;,�&O!:o��$&` <N� 6 V 8 [���e��a���&O 6 M%>^<t�&:�$�@^M*<t� 5 >9���E����C0� ;,<t� 3 �!>9��$&��<d����$�`T<t� ?L;)<t� V e���� 3 ��<^�5 >9���E���&C,� ;)<t� 3 �!>9��$���<d�,��$&`v<t� V ;,<t� GS 3 ����>98d�c� 3 ��;,�&O!:���$&`v<t� 6 V �)_ 8\[�

l $&`�<t��$��&@9��$��&>^( $&@9��e�n!$�<9�t�)`!<9�( � � �= ? [ � 478 � ( � � C *��= ? k%( � � C * �= � m ( � � C * �� ? !

e����i��@9��LL��$�` <t�!> <9@^`�$&� O!$��!���!'0� ; 3 ��n <�(%> $&� >^��e&(%>4/ � � � L 5 C)�&O 3 � /ZS V U = ? [ ( � � �= ? LL'0�c� e&� 6 � ?lk�G�[ _�krqrqEq=k`O�LV [�X9krqEqrq=knO* �

� $&��@9�tj2e&�&>9�tj :q�tnae��a���y>9��89�tjH`!<9�2�����',`&@9� 6�3 �&:o��Y��d���&����Wa�7� �,WaY�YR$&�&O�$&��@d� '0@^�-,�� 3 ��$&��jc@9>9�t��$&��@dj $��&OCO�)?Oa$&��r���!'0� ;)<d� e��Q��+ 3 ��<t�D'0�m��>9��<9�E���t�cM%;,�t�

! ��"������q~, ka~K� B `&;,�t:*$�@9�&p9�t� :LS $&@9��; 6�5 ;0�t� : e��&�^$&�a������$����&;0�c�&; 3 �&n!:^[)C)@9�t�m�^M9�E<N�&�^�w����',`&@d� 6�3 ��:*��Y��d���&����Wa�7� �,WaY�Y'0�c� >^�yOa$&�a���a'0j ;,�N�&<t��M9=a<N��n 3 �t>^� 3 B `&;,�yC�M%@9��S 6�5 ;0�t� :�'0�c���&@d� 6�3 �&n!:N[�C)@9�t�m�^M9�E<N�&�,� ���!'0`�@d� 6�3 �&:x��O!<^`&:�3

! ��"������ ~, k�-&��P�@^�-,0<^� 5 >9�v$&@9`a',@9� 3�3 �v$&�&O 6 � O!����$����c�Nj&<t�!>q����',`&@d� 6�3 ����YZ�d���&�s� W!��� �,W!YZY�e����)�����&@ 3 `&;)<9�x<t�!>;)<N�v',@9�&�0= 3 � <t�&O { C,+ 3 ��<N��:�f���

Page 47: Διακριτά Μαθηματικά

��"�� l��Il�� � -

� ���y�I��� �x� �c� � � �L� ��� � �L�y� ��� ��� � �����

����� �����Of609. g�0 (�1�.+� (+$&(1 e����&;,=T<�(%> 8d� 3 ��@^M%>�'0@^�&��= 3 ��<�(%>�e&(%8d� e���$����c�tjR�0O�;0� �a���a'0�ce&�;0C 5 ;0�t� :Q�&>9� 3 �t;,� ;0�Q89n�� 8d�c�&�0�&@9�E<d� e���n�:Q$���= 6 Oar; 3 �&n!:! P��c� $��&@9�&89�t� ' 3 � ��:�O!$�� 6�5 ;,�&O 3 �X`!<9� 5 C,��O 3 �x89n!�yp 5 >^� $���$���@9�&; 3�5 >9��;0n!>9�a���0J*<N��/jL,$��&OD�tj >9��� 5 >9� ;,n�>9�a���89�&;)e����!(%>^L�e�����<t�15WL�$&�&O��tj >9��� 5 >9�?;0n!>9�a��� 3 � 6 =a<^M%>� � @djNM9�&O 3 � 5 >9�q',@9�&��= 3 � 3 �L;,n�>^�!����e��&@9O!�0M%>X<N���d[ / � 5<t�o��$&��j � 6 �oe&(%8d� e���$����c�Njd<9=�;,C 5 ;0=�89�m8^�&;,e&���&jc�&:HLd�&�^M9�&O 3 ��8^=!�, 3 �c�o��e 3 +��&>9� 3 �t;,�o;0��89n��oe��&@^O�� 5 : �-k ��4�&>�e����3 `!>9���&>o<t� � 8d�c89�&;)e��t�,<t� �+D�&>^<9j ;,<^@9�&�0�� *"Ij >^���0�0�&>9��@9` `!<9�,`a����:w���0��e 3�5 :�;)<N�v',@9�&�0= 3 ���&O!<^`v;0O!>98 5 �&O!> 3 �E<t�&p9n<t�&O!: 3 �c�ve��&@^O��0+Q<t�&O /4e��&� 3 �m�v<t�&O85� bQ��>oO!$��&@9C)�&O!>�89=a�0 )��e 3�5 :w$��&OD>9��;,O�>98 5 ��O�>o�&>9� 3 ��;0�v<t�&O!:x89n!�ve��&@9O!� 5 :<t�&O8/4+Q89n��v<t�&O85� � jc� ������=?$��t@9jc$�<�(%;0=&L��&@^e&��<^�ve���� >9+D;)<9=!>�$&@9�&p^=9L)�tj >9���,�&O!<^+D`�$��&O 5 C)�&O 3 � 5 >^� ',@9�&�0= 3 �v$&�&O$&��@d� '0@^�&���t�,<^=D;,C 5 ;,=D�&>9� 3 ��;0� ;,����p9O!$�=�@^��<^=!< 5 :?S � �t��� �N���7[%e����0��p9Oa$&=!@9�E<t�&n 3 ��>9�&O!:?S�9�Y74Y�:8 ���7[E

' ��� �8�)(���-� ��;��SVbD� 3 ��@ 5 :�',@9�&�0= 3 ��[ "I>^� ',@9�&�0= 3 � ��[ S�� k #ZU 6 ���!>9� 3 �8M9�E<t�����a< 2�B�|A��A��&>?Oa$&��@9C)�N� 3 �c��8d�c� 3�5 r@d� ;,=Q<�(%>oe��&@9O!�0M%>

��[ / �.5�k 3 � /��.5 [ ]8k< 5 <t���c�yM%;)<9�q����',�tj <t��>9��:�e�� 6 ��e��&@9O!��+!:�<t�&O�/ �&>9+ae��&O!>Q;)<t� 5�S <t����$���j �y;0O!>9�E$&��',�E<t����`a<d��e���������',�tj <t��>^�t:�e�� 6 �e��&@^O��0+�:x<t�&O 5 �&>9+ae��&O!>o;,<t��/x[E IbQ��>?Oa$&��@9C)�&O�>�8^=!�, )��e 3�5 :x��$&`v<t��/ ;,<t��/ +v��$&`D<t��5 ;)<N��5�

�������-����������� -� ��;� { � 5 >9�T;,n!>9�!�����&> 6 @^M*$�(%>Q= ;,C 5 ;0=v<t�&OD',� 3 ��Ov�&@djNM9�t� 5 >9�T8d� 3 �t@ 5 :�',@9����= 3 �� l > 5 C)�&O 3 �89=a�0 5 >9� ',@9�&�0= 3 � 3 � ;,n!>9�!��� e&�&@9O!�0M%> � e���$���� ��;0n!>9�a��� �&> 6 @^M*$�(%>�L e&�����&�����&O 3 � 3 �c� ��e 3 + �&>9� 3 ��;0��;,�v89n!�e��&@^O�� 5 :��&>x�&O!< 5 :L�&>^<d� $�@9�&;)(*$&��n���O�>X;0O;M9na',�&O�:HL!<9`a<9�L<t�?',@9�&�0= 3 �Q�tj >9���&8d� 3 ��@ 5 : 3 �L;,n�>^�!���qe&�&@9O!�0M%> / <t�Q;,n�>9�a���<�(%>q',O!>9��� e&M%>�e����,;0n!>9�a���ve���@9O��,M%> 5 <N� ;,n�>9�a���D<t(%>q�&>98^@^M%>�

1

2

3

4

5

6

7

1

3

6

2

4

5

7

(a) (b)�X���'�J� A0A2/ V " >9� 8d� 3 ��@ 5 :x',@9����= 3 ��L,;,C,��8d�c�&; 3�5 >9� 3 ��89n!��<^@9`�$��&O�:�����������J�������-� ��;�iKL�v8d� 3 �t@^+?',@9�&�0+ 3 ��<t�D<N�v;,C)��8d�c�8M9�&O 3 �X;0O!>9+ 6 (%:QSV���!���D`�C,��$&�&>N<N�&[ 3 ��<d� :x89n!�v� 3 ��89��:QS�/

e�����5Q[x<�(%>�e��&@9O!�0M%>�<t�&O!:D;0���0M%:vC�(%@d� ; 3�5 >9��:HL�;,O�>^+ 6 (%:v;0�Q�&@d� ;)<9��@9�e����R89��pd�c�� �P��m�$��&@9�&89�t� ' 3 ��LH<N�',@9�&�0= 3 �;)<N� { C2 0f�f&S W^U��tj >9���,8d� 3 ��@ 5 : 3 �

/ [e��_�k Z&k % ��k 5 [e� p k , k k ]<��qbQ��> �Nj >9�&�R$&��>^<t��$&@9�&�0�&> 5 :HL���$�����e&��� <^M%>N<N��: 5 >9� '0@^�&��= 3 ��LR�&> �tj >9������O!<^`8d� 3 ��@ 5 :D+�`!C,�\ DKL� ',@9����= 3 ��;,<t� { C2 f!f9S�6KU��tj >^���0<t� jm89� � 3 �w<t�v',@9�&�0= 3 �y;)<t��S W^UI�������v$&@ 5 $��N��e��&>^�Nj :�>9��;,e&�t�,<9�tj0'0�c��>9�y8^�Nj,`!<9�0`!>^<�(%:��tj >^���08d� 3 �t@ 5 :a

� �

Page 48: Διακριτά Μαθηματικά

� � � ��� � � ��� �� � ��� ����� ��� � �A� ���� ��� � ���A�

�����������J��������-� cf6� B ��@9��<9=!@9�tj ;)<9�L`a<d��=o8d�c� 3�5 @d� ;0= �d[ / �15 89��>��tj >9��� 3 ��>9��8d� e�+9L 3 �c�Qe��&� 6 � 3 $&�&@^�&n�;,� 3 �L>9��tj C)� 3 �X<t��$&� 6 �E<9+!;0�t�?L&'0�c�v$&�&@9��89�t� ' 3 ��L�<t�c_�;)<N��;,n�>^�!����5 �&>^<dj)'0�m�v<t��/q

! ��"������ -� ��;�Lgi@9�tj <^� 3 �c� 3�5E6 �&89�v'0�c�y>^� ��$&�&�0�&;�jNM9�E<^�x�&> 5 >9�v<9O!C,`!>q��$���`D',@9�&��= 3 � �tj >9���089� 3 ��@ 5 :�+v`�C,� J �LK9���J��� -) Z����� � K^43:�4�� � �H: |94xBe� ��48<�a< 2�B�|�@\Ga|&4 ! @82&4;:�4�V!�W (&�����YX �-� 1 ��$&`&8^�N�cp9= �tj >9��� 3 �o�E$&��')(*',+y(%:q$&@9�&:q<t�xOh[ � ���m l >RO#[ _;L�<9`a<9�o<t� 3 �!>9�&8d� e�`�8 5 >N<9@9��tj >9���

�&Oa<9` 3 � 3 �c��e��&@9O!��+ �ve����!e&� 3 �c�o��e 3 +, � @djNM9�&O 3 � <9`a<9�I<t�o8d�c� 3 �t@9� ; 3 `�<N��Ox;,O�>9`a���&O �d[e� ����;)<N�o;,n�>^�!��� / [e� �J�e�����5 [ ]�

P��c� <t� �E$&��')(*'0� e�`T��+ 3 ��LRO!$�� 6�5 <t�&O 3 �o`a<d��= $&@9`a<t�&;,=� ;,C,n!�t�R��>�<t� 8 5 >^<^@9� 5 C)�t�R<t�$&�a��nWO\��_De��&@^O�� 5 :?e����$&�&jm@^>9�&O 3 � 5 >9��8 5 >^<^@9� " 3 �O e��&@9O!� 5 :a �z 5 ���&O 3 �q>9� 8^�Njcp9��O 3 �Q`a<d���tj >9����89� 3 ��@ 5 :! PR>^(%@djNM9�&O 3 �D` 3 (%:S 89�tj <9�Q<t�!>� ;,C)O�@d� ; 3 ` 3�5 ;,�T;)<9=!>Q��$�`&89�t�cp9=D<t�&Oyzx�E(%@9+ 3 ��<t�&:�~, cf![�`a<d��e&� 6 ��8 5 >N<9@9� 5 C)�t� 3 �c� e��&@9O!��+D��� 6�3 �&n�� oV " ;,<�( � 3 �c�< 5 <t���c�Te���@9O��0+y<t�&O 8 5 >^<9@^�&O�"jL�e��&� � 3 ��>^�&8d� e�`&:q'0�tj <t�!>9�&:o<9=!:! l >���$&`y<N�#" �&�0���c@ 5 ;0��O 3 �o<^=�>De&�&@9O!��+�� e����<9=!>q��e 3 + � �L,<9`a<9�w<N�v',@9�&�0= 3 �y$��&OQ$&@^��e�na$�<9�t�?L 5 ;)<t( " ` �tj >9���,e����0$����&�,8 5 >^<9@^� S �&����nv�tp^��e��a���&O 6 �Nj)>9��$&�&@^� 3�5 >9�t�;,O�>9�Ee&<9� e�`?',@9�&�0= 3 ��L�C�(%@dj :Xe�nae&����O�:N[ 3 �~OR� _Xe��&@9O!� 5 :a l $&`Q<^=�>��E$���')(*'�� e�+ 3 �&:xOa$&` 6 ��;0= 5 $&�E<t���&`a<d�&<t� " ` �tj >9���8d� 3 ��@ 5 : 3 �D;,n�>9�a��� e&�&@9O!�0M%>�<N� /

`e&��� 5

`SV`a����:D�&����e 3�5 :Q<t�&O " ` 89=!�, 2$&��>9�Q��$�`<N� /

`;)<t� 5

`[E 1 e��&@9O!��+�

�&>9+ae��t�);0� 5 >9� ��$�`D<N� 89n!���&O!<^��;0n!>9�a����L 5 ;)<�(�;)<t��/`

� ;,C)O�@d�NM9` 3 �&;)<9�*<^M%@^��`!<9�9<N�w8 5 >^<9@^� " �tj >^���98d� 3 ��@ 5 :%'0@^�&��= 3 � 3 �%;0n!>9�a���Xe��&@9O!�0M%>I<N� /z[ /`e��&�05 [ 5

` � � ���! P��m� >9� <t� �E� 5 ',e&;0�&O 3 � �&Oa<9`�LIe��������0`&;0�!> '0>N(%@djNM9�&O 3 ��`a<d��8^�t>�Oa$&�&@9C)�&O!> ��e 3�5 :T��$&` <t� /

`;,<t� 5

`LL�&@^e��tj >9�

�E� 5 ')e�;,�&O 3 �L`a<d��89��>�O!$��&@9C)�&O!>x��e 3�5 :w��$&`Q<t���y$&@9�&:Xe���$����c�?e��&@^O��0+q<t�&O 5` l O!<^`D` 3 (%:w�tj >^���&$&@9�&�0�&> 5 :X�&���&no<t�

� 5 C)�N� 3 `!>9� 5 >^��',�tj <t�!>9��L�<t� �L,�y��$&��j ��:x�tj >9���0;)<t� /o �! ��"������ -� cf6� l > 5 >9�v',@9�&�0= 3 �y�tj >9���,8d� 3 ��@ 5 :x<9`a<9�we����,e&� 6 �wO!$��!',@9����= 3 �v<t�&OQ�tj >9��� ! ��"������ -� k&� � e�n!e����&: 6 & �tj >9���)<t� ',@9�&�0= 3 � 3 ��;,n�>^�!���De��&@9O!�0M%>o<t���^_;k p krqEqrqeknO-��e����0;,n!>9�!������e 3 M%>q<t�

# [e�^S _�k p UekES p k Z�UekEqrqEqekESTO��t_;knO�UekESYO�kr_FU �;qbQ�tjcp^<9�w`!<9�0<t��6 & �tj >9���,8d� 3 ��@ 5 :�',@9�&��= 3 ���&>oe���� 3 `!>9� �&>�<N��O �Nj >9�&�0�&@^<9� ��

! ��"�������-� ~9�xKL� $���+�@^�t:v89� 3 ��@ 5 :D'0@^�&��= 3 � 3 �8� e�����O�e��&@^O�� 5 :HL�$��&OT<t��;0O 3 ���!��jNM9�&O 3 � 3 � � & �Nj >9�&� 5 >9�8d� 3 ��@ 5 :L',@9�&�0= 3 � 3 ��;,n�>9�a���qe���@9O��,M%> / [e� 2 * kEqrqrqrk 2 � �we&��� 5 [e��� * krqEqrq=k�� & ��L&`�$��&O�<t�Q;,n�>9�a���q<�(%>���e 3 M%>��tj >9���<t� 3�5 '0� ;,<t��89O!>9��<^`� S��^[ B `&;,�t:x��e 3�5 : 5 C)�t�,<t�� � & 3S�f![TP��c� $����c�t:�<9� 3�5 :�<�(%> ��e����KO �tj >9���,<N� � & e���>9��>9�ce&` 3�S�zxO 3 jNM9�&O 3 �x`a<d� 5 >9� ',@9�&��= 3 ��� 5 ',�E<t���0e���>9��>9�ce&`�&>o`a����:��&�,e��&@^O�� 5 :w<N��O 5 C)�&O�>�<t�!>Qjc8d� �D��� 6�3 `� [SVk�[ B ��@d� ',@9�-,,<9��<t��;0O 3 $���=!@^( 3 ��<d� e�`T',@9����= 3 �T<t�&O � & vSHNu�a2JD K 7r|6I�2&4;:r<�>8����>9`&:o',@9�&�0+ 3 ��<t�&: � �tj >9����<t�

',@9�&�0= 3 � �`3 �Djc8d� ��;,n!>9�!���Te���@9O��,M%> e&���H< 5 <N�&� ��M%;,<^� 3 �m� ��e 3 +�Oa$&�&@^C,�t�2;)<N� �

`�&>ve���� 3 `!>9� �&>�89��>

Oa$&�&@^C,�t�);,<t� �D c[! ��"������ -� c-6� � $&�&@^�Nj 5 >9��8 5 >^<9@9� >9� �tj >^���,$���+!@9��:x8d� 3 �t@ 5 :w'0@^�&��= 3 � 3�SVbQ�tj <^�x�&@d� ; 3 `y;)<9=!> V l ;)e�=!;0=v-� ~, c[! ��"������ -) u9�wbQ�tjcp^<9�o`a<d�2�&>v���2;,O�>^��e�<d� e 5 :?;,O!>d� ;)<^M%;,�t:q��>9`&:o',@9�&��+ 3 ��<N��:Q�tj >9���28d� 3 ��@9+�',@9�&��+ 3 ��<N�y<9`a<9�oe����

<t��`!���v'0@^�&��= 3 ���tj >9����8d� 3 �t@ 5 :a

KL� 8d� 3 ��@9+Q',@9����+ 3 ��<t��C)�&@9��e&<^=�@9j M^��>^<t���,��$&`v<t� 3 +ae�=?<�(%>oe�Oae&��( 3 ��<�(%>�<N��O�:aJJ �LK9���J��� -) f&��� ;��4\GE|�� ! 782943Be� �e48< �a< 2�B |���A�4Q�b>^48<K2���� �j4Q�b� K^43:�4W>9��> K6P�2&4;:S�3: �r�(� } �r�<�U�r|�:r< �j2 @6>��FA V!�W (&�����YX �-��V " ;)<�( � 89� 3 ��@ 5 :�'0@^�&��= 3 �ve���� 6 e�nae&�!( 3 ��;,�x�&Oa<9`�J

6 s�� *�� � # � �E�r� � � & � � * qKL� 3 +ae��&:Q<t�&O 6 �Nj >9�&� O�e��&� 6�5 ���&O 3 �?>9� 8^�Njcp9��O 3 �Q`a<d���&Oa<9` �tj >9������@^<d� �0 � $��&@9�&n 3 �?>9� Oa$&� 6�5 ;,�&O 3 �Q`a<d��<t� � *�&>9+ae��t��;)<t�Q;,n�>^�!����e��&@9O!�0M%> /q -V l @9�q<N� � # ��>9+!e&�N��;,<t�q;0n!>9�a���oe��&@9O!�0M%> 5WL!<t� � ) �&>9+ae��t��$&������;)<t� /jL�e���$0 *bQ=a�0 <t� � ? 3 �x�&@^<d� ��G �&>9+ae��&O!>?;)<t� 5 e����0�&O!<^� 3 ��$&��@d� <N<9`3Gy;)<t�./o oV �x3 (%:�<N��� & �Nj >9�&�0',�Nj <N�!>9�&:�<t�&O � * L0�&@9� �&>9+ae��t�;)<N��5�L)<N� ��$���j �v;,O�>9�E$���',��<t���)`a<d�,<t�CO��tj >9���,�&@^<9� ��

Page 49: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� � � ��� �� � ��� ����� ��� � �A� ���� ��� � ���A� � �l >^<dj ;,<^@9�&���KL 5 ;)<t( � 5 >9��',@9�&��= 3 �KL 3 �I;,n!>9�!���xe���@9O��,M%> ��L!;)<N����$&��j �x`!���x<t��e�Oae&��M 3 ��<t� 5 C)�&O�>L��@^<d� � 3 +!e&�&:!

� $&� 6�5 <t�&O 3 ��$&@^M*<t��`!<9�,<t� � �tj >9���0;,O!>9�Ee&<d� e�`De��&�0;)<N� 6 ��@9��$���� �&n 3 � 3 �c�ve��&@^O��0+Q<t�&O��� � @djNM9�&O 3 �/z[ �� � s � S �-k 6UL�&@^<9� ���

e����5 [ �[ /jq

bQ�tj C)>9�&O 3 ��`a<d�&<t��� �Nj >9�&�)89� 3 ��@ 5 : 3 �X;,n�>9�a���?e��&@^O��,M%>�<N� / e���� 5� %P�� Va�&Oa<9`Q�&@^e��tj�>9�v89�tjcp9�&O 3 ��`a<d���tj >^���,��89n�>^��<t�>9� Oa$&�&@^C,�t�*��e 3 + ��>9� 3 ��;,� ;0� 89n!��e��&@9O!� 5 :�<t�&O / + �&>^� 3 ��;,� ;0� 89n!��e��&@9O!� 5 :�<N��O 5� V " ;,<�( 2 * e��&� 2 # 89n!�e��&@^O�� 5 :�<t�&O�/ S ��$&� C)�t�m@^= 3 ��<t�!���!',�&n 3 �L<^�����tj (%:�` 3 ���c��'0�m�y89n!�ye��&@^O�� 5 :�<t�&O 5?[Le������&:oOa$&� 6�5 ;0��O 3 �HL,�&>N<dj 6 ��<t� 3 ��&Oa<9`�$&�&O 6�5 ���&O 3 �w>9����$��&89�tjcp9�&O 3 ��L,`!<9��O!$��&@9C)�t��;)<N� � =���e 3 + 2 * 2 # �V " ;)<�(�� * e������ # 89n��y�E���&C,� ;)<t� 3 ��>^��$&��<9�c�;)<N� � ��$�` <^=�> ��;,<9� :�e��&@9O!� 5 : 2 * e��&� 2 # �zx�E(%@9�&n 3 �x<t�!>qe&n!e&��� 6 $&��Ov��$&�&@N<djNM9�E<t���0��$�` <t��� * ��e��a���&O 6 �&n 3 ��>9���$�`�<^=�>o��e 3 + 2 * 2 # e��&�,< 5 ���&:���$�`v<N��� # 8d�c�&>9O 3�5 >9� 3 �x�&>9��$��&89=Q;,�t�c@9�� %KL� 3 +ae��&:x<t�&O86 �tj >9���

� 6%�;[ � � * � m _ m � � # � k$&��OD�tj >^���0�0�&>9��@9` `!<9�0�tj >9���,$���@d� <^<^`&:��&@9� 6�3 `&:;L�$�@9��' 3 ����<t��$���

V " C)�&O 3 �v����� $&`!>�89�tjcp9�t�*<^= ;,O!>9�E$&��')(*',+ .c�&@^<9�c� e�Oae&��M 3 ��<t� ;,O�>^��$���',�E<N�&� 8d� 3 ��@ 5 : ',@9����= 3 � /*;)<9=!>T$��t@9jc$�<�(%;0=$&��OQ<t� � �tj >9���0;0O!>9�Ee&<d� e�`0 l >?<t� � 89��>Q�tj >9���0;0O!>9�Ee&<d� e�`v$��&@9��<^=�@9��n 3 �x`a<d�0e�� 6 ��;,O!>9�Ee&<d� e�+D;,O!>d� ;)<^M%;,�y<t�&OD�tj >9���8d� 3 ��@9+!:HL)�&@9��e����,<t� jc8d� �v<t� � S 89�tj <9��V l ;)e�=!;0=v-� u�[E �

! ��"�������-� mF8� � }�|6I�2&4;:=<?>8�FAC4r|�< 5H2��FAq�t>^`&:D',@9�&��+ 3 ��<N��: �RL�$&�&O;,O 3 �&�a��j M^��<t��� 3 ���oS �jU=L*�tj >9��� � �E���&C,� ;)<t�&:��e 5 @9�&� �&: V < 5 <t��� �&:vM%;)<9� >9� 3 $��&@9�tj e��&>9�tj : 3 � V 8d�c�&�0�&@9�E<d� e�� C,@NM 3 ��<t��>9� C)@^( 3 ��<dj ;0�t� <d� :ve���@9O�� 5 : <t�&O �RL 3 �< 5 <t��� � <9@9`�$&�yM%;)<9�q�&>D8^n�� e��&@9O!� 5 :q;0O!>98 5 �!>^<t��� 3 �o��e 3 + <^`!<^��>9� 5 C)�&O!>D8d�c�&����@9�E<d� e��TC)@^M 3 ��<t�� �P��c�y$��&@9�&89�t� ' 3 ���C,@N( 3 ��<9�ce&`&:��&@d� 6�3 `&:v��>9`&:D<^@d� ')M%>9�&O S ) [��tj >9����k) TbQ�tjmpN<9�D`a<d� 5 >9��',@9�&��= 3 � � �tj >9����89� 3 ��@ 5 :v�&>ye��&� 3 `!>9� �&>�oS �jU Ttp

! ��"������ -) }9� l > / [ �^_;kEqrqrqrk%� � e���� 5 [ �;_;kEqrqEq=k`O-�^L�$�`&;0��8d� 3 ��@9+ '0@^�&��+ 3 ��<t��Oa$&��@9C)�&O�> 3 � ;,n�>9�a���e��&@^O��,M%>q<t��/4e�����5�3

! ��"�������-) �9� l >8/�[ �;_;kEqrqrqrk%� �qe��&��5 [ �;_�krqEqrq=knO-��L�'0�c�y$����c��:�<d� 3�5 :�<�(%> �gk`O�e���� �DO!$��&@9C)�t�!�^rse&�&>9�!>d� e�`',@9�&�0= 3 � 3 �x;,n�>9�a����e&�&@9O!�0M%>�<t� /4e��&� 5(3

! ��"������ -� ��N]9�LK�� 3 �&@9�0+ 5 C)�t���y$&j >9��e��&:�;,O!>989��; 3 �!���a'�jc�&:x�t>^`&:o8d� 3 ��@9�&n!:�',@9�&��+ 3 ��<N��:vS 3 ��<^�T��$�` e&��<9���!��=!��=�&@dj 6�3 =!;,=Q<�(%>qe���@9O��,M%>q<t�&O�[ 3

�6`+� �W(���0��Y��"���(+$&(�"bf �����Of609. g�0 (�1�.+��(+$&(� �c�v$&�a��n?C)@9+�;0� 3 = 5 >9>^���c� �tj >9���,= 5 >9>9���c�v<t�&O?<t���c@d�c�&; 3 ��<t�&:x;0� 5 >^� ',@9�&�0= 3 ��

' ��� �8�)(���-� cf6�QS l >9��p9�&@^<^=!<^�t:x��e 3�5 :HL,KL���c@d�c�&; 3 ��<t��[ b?n�����e 3�5 :D� 5 ',��>^<t����4Q�rB2*��r|�:E7&:=BlAo�&>y8^�t> 5 C,��O�>�e���� >9+e��&@^O��0+, V " >9��;,n�>9�a���y�&>^�tp^�&@^<9+a<�(%>?��e 3 M%> � ;0� 5 >9� ',@9�&��= 3 � � 5 ',�E<t���0<t��jc@d�c�&; 3 ��S �vW � 97��4 8 �&[E l >?<t�y',@9�&�0= 3 ��tj >9���089� 3 ��@ 5 : 3 �x;,n!>9�!���ve��&@9O!�0M%>1/4e�����5 <9`a<9� 5 >^� <t��jc@d�c�&; 3 � � � 5 ',�E<N�&� D K/@r|KBlA :�48� |�< 48�92&4?<N��O8/ SV� 3 ��j (%:x'0�c�<t��5Q[i�&>oe�� 6 �we&�&@9O!��+Q<t�&O8/4$���@d� 5 C)�E<t���);0�Xe���$&�&�m����e 3 +Q<t�&O �

�������-������������-� cf6� { <t� { C2 &f!k9SVW�U*<N�Q;0n!>9�a���q<t(%>x��e 3 M%>�$��&O 5 C,��O�>�;,C)��8d�c�&;,<^�tj 5 >^<t�!>9�D��$��!<^�E���tj 5 >9�Q<t��jc@d�c��r; 3 �� { <t� { C2 )fakKS�6KU 5 C)�&O 3 � 5 >9�v8d� 3 ��@ 5 :w',@9����= 3 � 3 � 5 >9�D<t��jc@d�c�&; 3 �Q<t�&Oq$���+�@9��:�;,O�>9`a���&Oqe&�&@9O!�0M%> / S �&@d� ;,<^�t@ 5 :e��&@^O�� 5 :N[E �KL�y<t��jc@d�c�&; 3 �T��O!<^`y89��>D��$&�a<9�E���tj0$���+!@9��:�<t��jc@d�c�&; 3 ��<N��O�5 �&�0�&n�=ve��&@9O!��+��v<t�&O 5 8^�t>�. e�����na$�<9�E<t��� /��$�` ��e 3 +Q<t�&O?<N�&�m@9�m��; 3 ��<t�&:!

�������-����������� -) k9� l :LOa$&� 6�5 ;0��O 3 �I`a<d� 5 C)�&O 3 �%$&@^��e�=!@9n�p^�N�de���$����c��: 6�5 ;0�t� :i��@^',�&;0jc�&: 4 * kEqrqEqrkA4 & e����!`!<9� 5 C)�&O!>e��&>^�N���&j <9=!;0=D'0� V���O!< 5 :�e���$&��� �&��O!$��-,�+!��� ����6 * kEqrqrqEk 6 � L 3 � �wf�O* XbQ��> 5 C)�t��e���<EV&�&>9��')e�=!>?e&�&>9�t����j <^=�;,=v�ye�� 6 �Oa$&�-,0+���� �&:v'0�m� `a���t:v<9� : 6�5 ;0�t� :HL ���!����e�� 6 � Oa$&� ,�+!��� �&: 5 C)�N� e���>9�t�%�&j <9=!;0='0�c��e���$����c�t:���$�` <d� : $�@9�&;,����@9` 3 �t>^�t:6�5 ;,�t� :a { e���$�`&: 3 �&:D�tj >9���R>9�'0� 3 j ;0��O 3 �?`a����:q<d� : 6�5 ;,�N� :D��@^',�&;�jc�&:a vb?� 3 $��&@9�&n 3 �q��O!;0�ce&��>^� $�@9�&;)���!�&�&O 3 ��'0�c�3 �c� 6�5 ;,=��@^',�&;�jc�&:?e���$&�&� ��>v$��&O�89��> 5 C)�t��e���>9�t����j <^=�;,=T'0� V���O!<^+, 3�I<9�m��C,>^�&O 3 � 5 >9��8d� 3 ��@ 5 :Q',@9�&�0= 3 � 3 �D;,n�>9�a���e��&@^O��,M%>8/d[ � 4 * kEqrqEq=kA4 & �Qe��&��5 [ �(6 * kEqrqrqrk 6 � �Qe��&�0�&�8M^�&O 3 � 3 �c�T��e 3 + �&>9� 3 ��;0�y;,<9� :qe&�&@9O!� 5 :%4 � e��&��6�� �&>e���� 3 `!>9�y��>?� O!$��-,�+!��� �&: 6�� 5 C)�t�0e��&>^�N�,��j <^=�;,=Q'0�c� <^= 6�5 ;,=_4 � "Ij >^�������&>^�t@^` <NM%@9�T`a<d� 3 $&�&@^�&n 3 �x>9��',� 3 j ;,�&O 3 �`a����:w<9� : 6�5 ;0�t� :���@^',�&;0jc�&:��&>�e���� 3 `!>9� �&>?Oa$&��@9C)�N��$���+!@9��:w<t��jc@d�c�&; 3 �v<t�&O8/ ;)<N�v',@9�&�0= 3 �y��O!<^`�

Page 50: Διακριτά Μαθηματικά

� � � ��� � � ��� �� � ��� ����� ��� � �A� ���� ��� � ���A�

1

3

6

4

5

6

7

8

(a) (b)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B

�X���'�J� A0G2/q� �,��e 3�5 : 3 � 5 >^<t�!>9=Q',@9� 3�3 +v��$��!<^�����&n!>�<t��jc@d�c�&; 3 �

! ��"������ -� ��!��� l > 5 >9��8d� 3 ��@ 5 :Q',@9����= 3 � 3 �Q;,n!>9�!���e��&@9O!�0M%>�/ e�����5 5 C)�N�H$���+�@^�t:?<N�&jm@9�m��; 3 � <t�&O / <9`a<9�� 5��8f � /X�m

�����������J������� -� k&�oV " ;)<t( 5 >9�v$&�E$&��@9�&; 3�5 >9�v;,n!>9�!���% �e����0;,n!;,<^= 3 � / * kEqrqEq=k / & O!$��&;,O�>9`a�!(%>x<t�&O, � $&�&@9C)�t�5 >9�&:x$��!��nQ�0O�;0� �a���a'0� e�`&:�<9@9`�$��&:�>9� �&>^<9� ;)<N�&� C,j ;0��O 3 �X;,���&Oa<9`v<t��;0n!;)<9= 3 ��O!$��&;,O�>9`a�!(%> 5 >^�y8d� 3 �t@ 5 :w'0@^�&��= 3 ��J;,n�>^�!���T�&@9� ;,<^��@^M%>Qe��&@^O��,M%>D�tj >^����<N�y;0n!>9�a��� / * krqEqrqEk / & e����2;0n!>9�a��� 89��pd� M%>De��&@^O��,M%>D�tj >^����<N� " >^M%>9��O 3 �x<9=!>?��@d� ;)<9��@9+?e&�&@9O!��+8/ = 3 �w<^=v89��pd�c�ve��&@9O!��+ � ��>qe��&� 3 `!>9���&> � / =

"Ij >9���a���&>9��@9`�`a<d�d;,�I89�m�����&@9�E<9�ce&��;0O!;)<9+ 3 ��<t�xOa$&��;0O!>9`a��(%> <N��O) �&>^<9� ;)<N�&� C)�&n�>I8d�c�&����@9�E<d� e���8d� 3 �t@^+X',@9�&�0+ 3 ��<t�xe���r<t�&;)e���O��&; 3�5 >9�we���<9����O!<^`�>i<t�!>�<^@9`�$���e����d�tj >^�����E$�j ;0=!:I�0�&>9��@9`�$�M%:i>9��e���<t�&;)e���O!�&;0��O 3 � 5 >^�q;,n!;,<^= 3 ��O!$��&;0O!>9`a��(%>`a<N��> 3 �&:�8^M%;,�&O!> 5 >9��8d� 3 ��@ 5 :�',@9�&�0= 3 ��

' ��� �8�)(��?-� k&� { � 5 >9�?8d� 3 ��@ 5 :X',@9����= 3 ��L�'��c�Qe&� 6 �L;,n!>9�!����4�&@d� ;)<9��@^M%>xe&�&@9O!�0M%>^L�;0O 3 ���!��jNM9�&O 3 � 3 � �#S�4�U*<t�;,n�>9�a���v`!�!(%>q<�(%>q89��pd� M%>qe&�&@9O!�0M%>o$&�&O?�t>NM%>9��>N<N�&� 3 �Xe���$&�&�m�ve���@9O��0+Q��$�`v<N� 4*

KL����$&�a< 5 ����; 3 � $��&O���e&�!���&O 6 �tj2$&��@d� ',@9�&�0�t����e�@9� ��M%:Q$�`!<^� 5 >9� 89� 3 ��@ 5 :Q',@9�&��= 3 � 5 C)�N�R$���+�@9��:q<N�&jm@9�m��; 3 ��<^=�:3 �c�&:w$����tO!@9�&:X<t�&O,

J �LK9���J��� -) k9� N�B�� �e4 �a< 2�B |���AjGa|6� ! 762&4W2�B���R<� �LK�4W>�� |/� ! PM� / >�48< 5 �8D��r|=}�Be</D K/@r|KBlA :�48� |�< 48�92&43: �r� / 4Q�>^48<K2���� �j4Q�CG&< 4W>Q�65;Bj�8D �F��R<� �LK � 4 " / <N�a} R;Be<S k&Fa[ � �#S�4�US�8f �F4I� q

!�W (&�����YX �-�LKL�ozx�EM%@9= 3 ��-) kw��$��!<^�E���tj^�&O!;0�m��;,<9�ce&� 3 �c���&>^�&8d�c��<9na$�(%;,=L<t�&O�zx�E(%@9+ 3 ��<N��:%<t�&OXPR� 3 �&OoS�zx�EM%@9= 3 ��! ��^[� ��I<9�m��C,>^�&O 3 ����$&` <t�T8d� 3 ��@ 5 : 3 ��:q',@9�&�0= 3 � 5 >9��;,n!;,<^= 3 �TOa$&�&;,O�>^`!�!(%>q<t�&O�5�L�`�$�(%:o;,<^=�> B �&@9��<9+!@9=�;,= -) k, 1 ;,O!> 6 +ae�=v<t�&Oyzx�E(%@9+ 3 ��<t�&:q-) ky��$&�a<9�E���tj���$����T�&>9��8d�c��<9na$�(%;,= <^=�:o;,O�> 6 +ae�=!:yS �9f![L<N��O UXWaY�Y� xKL�T',@9�&�0= 3 � 3 �&:5 C)�N�&$���+!@9��:X<t��jc@d�c�&; 3 �?<N��O / �&>�e���� 3 `!>9�v�&>�<t�D;,n!;,<^= 3 �vO!$��&;0O!>9`a��(%>X<t�&O 5 $&�&Oq�0<9�c�&p9� 3 � 5 C)�t�);,n!;,<^= 3 �Dp 5 >^(%>�&>^<9� $&@9�&;)M*$�(%>�L2$&@9��' 3 ��$&�&O&L�;,n 3 �0(%>9� 3 �o<t��zx�EM%@9= 3 �T<t�&O PR� 3 �&O&LH� ;,C)n��t����e&@d� ��M%:q`!<t�&>�� ;0C)n!�N�2= ;0O!> 6 +!e&= <t�&OUXW!YZY L,89=a�0 )=D;,O!> 6 +ae�=q$&�&OD89�m��<9Oa$�M%>9�E<t���);,<t�Tzx��M%@^= 3 �y-� k) �

! ��"������ -� ��^f&� { � 5 >9��8d� 3 ��@ 5 :x',@9�&�0= 3 � 3 �x;,n�>^�!���ve��&@9O!�0M%>1/4e�����5 � ;0C)n!�t�� �#S�4�U �8f �d4O��� k '0�c��e&� 6 �34 " /bq

bQ�tjcp^<9�w`!<9��Oa$&�&@9C)�t��<N�&jm@9�m��; 3 � � $&��OD>9��$&��@d� 5 C,�t��<t�&O!���&C,� ;)<t��> � /X��� e&�&@9O!� 5 :x<t�&O /o � �c�y��nae��a��=q;0O!> 5 $&�t�c�D<t�&O 6 �E(%@9+ 3 ��<t�&:x<t�&ODPR� 3 �&OD�tj >9���0=Q�tp^+�:aJ� (9��� �8��� -� ��;�L��� 6 �we��&>^��>d� e�`�8d� 3 �t@ 5 :w'0@^�&��= 3 � 5 C)�N�)<t��jc@d�c�&; 3 ��

Page 51: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� � � ��� �� � ��� ����� ��� � �A� ���� ��� � ���A� � �!�W (&�����YX �-�i" ;)<t( `a<d��<t� � [ S / � 5�k #bUX�tj >^��� �Nrse��&>^��>d� e�`KL �xf _� ozx����$&��89�tjmp^�&O 3 ��`!<9��� ;0C)n!�N��= Oa$&` 6 ��;0=

<t�&O zx�E(%@9+ 3 ��<t�&:�-� k) �" ;)<�( 4 " / e&��� # * <t� ;,n�>^�!��� <�(%>���e 3 M%>T$��&O p9�Ee)� >9�&n!>T��$�` e���$����c� e���@9O��0+<N��O 4 "%$&�t�c89+Q<t� � �tj >9�����^rse���>9��>9�ce&` 5 C)�&O 3 �x`a<d�J� # * �;[ �6�^4I�m " ;)<t( �E$�j ;0=!:�# # <t� ;,n�>^�!��� <�(%>���e 3 M%>T$��&Oe���<t����+!',�&O!>y;,�ve���$����c� ��$�` <9� : e&�&@9O!� 5 :v<N��O �#S<4�UeL%89=!�, �;0�

e���$���� �v��$�`v<N��O�:x',�tj <t�!>9��:w<t�&Oa4* , ��>9� 5 C)�&O 3 �X� # # �;[ �6� �#S<4�U �m l �����v$&@9�����&>^M%:o� ;0C)n!�N� # * " # # l @9� �6�^4I� T �6� �#S�4JU � L,<t����$���j �v;,O�>9�E$���',��<t���

� �#S�4�US�8f �F4I� q�

������� ��g� "o$&(y$&(���0��Y��"���(+$&(� $&��@9C)�&O�> $&�a�!� 5 :��>98d�c�&� 5 @^�&O�;,��:$&��@d� $�<NM%;0�t� :8d� 3 �t@NM%>�'0@^�&��= 3 ��<�(%> $��&O 89��> 5 C)�&O!> $���+!@9=�<t���c@d�c�&; 3 ��<t� <t�&O;,O�>9`a���&ODe��&@9O!�0M%> /q {�5 < 5 <N�&�m��$&��@dj $�<t(%;,=���>98d�c�&����@9` 3 �&;)<9��>9���&@^�&n 3 �b2��aG&<N�K:e4x:�48< |�< �8�92&4;:�46L�<t���c@d�c�&; 3 ��<N� 89=a�0 $&��Oqe�����na$�<t�&O!>w<t� 3�5 '0� ;)<t�D89O!>9��<9`v��@d� 6�3 `De��&@9O!�0M%>vS ��>9���!����e&<d� e���L�$&�&O 5 C)�&O�>x`&;0�D'0j >9�E<t����$&��@d� ;,;0`a<9��@9��:X��e 3�5 :N[E

' ��� �8�)(��D-) ~K�xS " >9���!����e&<d� e�� 3 ��>9��$&��<9�m�KL)��$��&O!p9�&>9�!>^<t� 3 �!>9��$���<d�c��[ � �c�De��&@9O!��+D��>9`�:x8d� 3 ��@9��n�:x',@9����+ 3 ��<t�&:$&��OD89��>�e�����n!$�<9�E<t������$&`ve���$����c����e 3 +Q�t>^`&:x<t���c@d�c�&; 3 ��<t�&:X� 5 ',�E<N�&�/4;:�48� |�< 46��:E7�S (%:�$&@9�&:w<N�v<t��jc@d�c�&; 3 ���&Oa<9`�[E

{ � 5 >9�D8d� 3 �t@ 5 :�',@9�&�0= 3 � 3 ��;,n�>9�a���Qe��&@9O!�0M%> / e����-5 e���� 5 >9�Q<t��jc@d�c�&; 3 � � 5 >9� 3 �!>9��$���<d�?L�C)(%@9j :x�E$&��>9����� 3 r���&>9` 3 �t>^�t:x��e 3�5 :HL�$&�&OQ�&@9C,jNM9�t�0��$�` 3 �c� ��<N�&jm@9�m��;,<^=Qe��&@9O!+?<t�&O /ZL)e����)$&��@d� 5 C)�N�,��>9���!����e�<d� e��D��e 3�5 :���$�` <t��#[ �e����)<t� � L)� 5 '0�E<t���/B �e4 K<K^48>6:r<�>8�u2�� � �HD@�;:=<

l > 5 >9�Q��>9���!����e&<d� e�` 3 ��>9��$&��<9��<9�E���t� M%>9�t�&;,� 3 �c�Q��<t��jc@d�c�&;)<9=�e���@9O��0+�<N��O15 <9`a<9�i� 5 ',��<t���9BaDF46� *��Q� � ��2��� ��D@�;:=<Z

1

2 3

4A

B

�X�+����� A)_R/ KL� 3 �!>9��$���<d�H�9fd~�k?�tj >9�����E$��&O�p^�&>9�!>o'0�c�v<t� ;,= 3 �t� ( 3�5 >9�v<t��jc@d�c�&; 3 �

�������-������������-� ~9� { <t� { C2 2fd~v<t� 3 ��>9��$&��<9���9fd~�kv�Nj >9�&����$��&O!p9�&>9�!>q'0�c�y<t� <N�&jm@9�m��; 3 � $��&O 5 C)�t��;,= 3 �t�c( 6 �tj 3 �5 >^<t��>^�t:w'0@^� 3�3�5 :a

�����������J��������-� ~9��KL���E$��&O�p^�&>9�!>^<t� 3 �!>9��$���<d�c� �Nj >9�&�%;,= 3 �&>^<9� e�� '0�c��<dj*=�n!$��&@9p9= ��>9`&:�< 5 <t��� �&O 3 ��>9��$&��<9� �&n;,O�>9�E$���',��<t���t<9=!>�na$&�&@9p^=X��>9`�: 3 �E'0����na<9��@9�&Oi<t���c@d�c�&; 3 ��<N��:*��$&`X<N�wO!$��&@9C)�!>� B @9��' 3 ��<d�?Ld;,� 5 >^�x�E$&�&O!p9�&>^��> 3 �!>9��$&��<d����2��e 3�5 :q�tj >9���2��>9���!����e&<d� e�� �Ee&<9`�:o<t�&O � L2��$&`y<t��� L��Ee&<9`&:�<t�&O � L�e� �� e� �L�e&����<9�E���t� M%>9�&O!> 3 � 3 �c�T��e 3 + ��e�<9`&:<t�&O � L 3 �m�ye�����=�<9�E����Oa<t��jc� e���@9O��0+v<N��O 3 ��>^��$&��<9� �&nv�tj >9���2;)<N�.5 e��&����<t��jc@d�c�&;,<^=�;,<t�T<t��jc@d�c�&; 3 � � l >Q����� $&`!>�&�0���c@ 5 ;0�&O 3 ����$�`?<t� � <9� :w��e 3�5 :�<N��Oo$��&Oq;0O 3�3 ��< 5 C,��O�>w;0� 5 >9�D�E$&�&O!p9�&>^��> 3 �!>9��$&��<d� � e�����$&@^�&; 6�5 ;0��O 3 �X;)<t� �<d� :q��e 3�5 :�<t�&O�� $&�&Ov89��>D��>9+!e&�&>Q;)<t��� L0$���jc@9>9�&O 3 � 5 >9�y���!���y;0n!>9�a��� ��e 3 M%> �

`$��&Ov�tj >^��� 3 �E',����n!<^�t@^�y<t�&O �

e���<^� 3 jc����e 3 +, *KL�v;,= 3 �&>^<9� e�`v��8^M��tj >9���,`!<9�)e&���)<t� �`�tj >9���)<N�&jm@9�m��; 3 ��L��&@9�KL)C,@^=�;0� 3 ��$���� M%>^<t�&:X<t����e���<t�&� 5 @9� 3 �

>9� �&O!p9+�;,�&O 3 ��<t� 3�5 '0� 6 �&:x<t�&OD8^� 6�5 >^<t�&:w<N�&�m@9�m��; 3 ��<t�&:! �������-����������� -) -&� { <N�v<t��jc@d�c�&; 3 �v<t�&O { C2 0fa~Q�&>q�&�����c@ 5 ;,�&O 3 ��<9=!>?��e 3 +Dfd~De��&�,$&@^�&; 6�5 ;0��O 3 �w<d� :Q�9foe����,k!~

$&�&jm@^>9�&O 3 ��$&����� 5 >9�v<t��jc@d�c�&; 3 �ve���<^� 3 jc�y��e 3 + 3 �E'0����na<9��@9����$�`�$�@d� >� ! ��"������ -� ��Nk&� l $��&89�tjcp^<9��<t��>�� ;0C)O!@d� ; 3 `T<^=�: B �&@^��<9+!@9=!;0=!:Q-� ~9L2`a<d��<t�;0n!>9�a���T��e 3 M%> �

`�Nj >9�&�H<t��jc@d�c�&; 3 ��

{ O!>9�E$�M%:��&>o<t� � �tj >9��� 3�5 '0� ;,<t�v<t��jc@d�c�&; 3 �v<9`a<9��8^�t>oOa$&�&@^C,��O�>o�E$&�&O!p9�&>^��>^<t� 3 ��>9��$&��<9�m�0

"Ij >9����;,= 3 �&>^<9� e�`�`!<9��� ;,C,n!�t�)e&���,<t� �&>^<dj ;,<^@9�&���v<^=�:�V l ;)e�=�;,=!:�-) Z�^k&L&e��&�0�&Oa<9`�89��>q�Nj >9�&�,e�� 6 `a���&Oq$&@9�����&> 5 :a

Page 52: Διακριτά Μαθηματικά

� � � ��� � � ��� �� � ��� ����� ��� � �A� ���� ��� � ���A�J �LK9���J��� -) ~K� PX�-� �e4x:�48� | < 46�&2&4��FB �-��}�Be<�BaDF46� *��Q� � �H:�4�2�� � �HD��;:r< 4W:E�r:eB Be� �e48<K2��FG6<N��: �Z:�48� |�< 48�92&4�V!�W (&�����YX �-��V " ;)<�( � * 5 >9� <t��jc@d�c�&; 3 � SV��>9`&: 8d� 3 ��@9��n�:v',@9�&�0+ 3 ��<t�&: �RL 3 �v;0n!>9�a����e��&@9O!�0M%>./ e��&��5?[�$&�&O

89��> 5 C)�N���E$��&O�p^�&>9�!>^<t� 3 �!>9��$���<d�c��L0e���� � # 5 >9� 3�5 '�� ;,<t�T<t��jc@9�&; 3 �0 ozx�E(%@9�&n 3 ��<t�T',@9�&�0= 3 � �`3 �o;,n�>^�!������e 3 M%>

<t� � * � � # S <N��;,n�>9�a����&O!<^` �Nj >9�&��= � �a2J2�Br: |�<?>8@ �a< 4 ! � |��T<�(%> � * e���� � # L �&����e 3�5 :D�Ee��tj >^�t:?<N��O � 89=a�, 2$&�&O�&>9+ae��&O!>�;,����e�@d� ��M%: 5 >9� ��$&`D<t� ;0n!>9�a��� � * e���� � # [E

"%$&�t�c89+q<N� � * e���� � # �tj >^���)<t���c@d�c�&; 3 ��<N� 5 $��E<N�&�)`a<d�)����e��&@9O!� 5 :X<N��O �`5 C)�&O!>�`!����:���� 6�3 `T�x+DfyS ;)<N���

`L)`�C,�

;)<N� �o[� l $�`T�&Oa<9`�$&@9��e�n!$�<9�t�0`a<d��e&� 6 �x;0O!>9�Ee&<d� e�+v;,O!>d� ;)<^M%;,�y<t�&O��`�tj >9���0�Nj <9� 5 >9�&:�e�nae&���&:��tj <^� 5 >9� 3 ��>9��$&��<9�\

�����&;)<d� :�89n!�Q��O!< 5 :i$���@d� $�<^M%;,�t� :����&��e 3�5 :X;,�ie�� 6 �L;,O�>9�Ee&<9� e�+o;0O!>d� ;)<^M%;,�?$�@9� 5 @9C)��>N<N�&�&�t>^�������&pX��$&`q<t� � * e&����<t�� # �V � <t�&>X=�;0O!>d� ;)<^M%;,�?�tj >9���!e�n!e����&:�C,@^=�;0� 3 ��$���� �&n!>^<t���a;0�i��O!<^+�j ;,�q$���+ 6 ��:i��e 3 M%>w��$�`q<t� � * e����!<t� � # �V � <t�&>=�;,O�>9� ;,<NM%;0��89��> �Nj >9�&��e�nae&����:Q���!��� 3 ��>^��$&��<9�?L�� 3 `!>9�&:Q<^@9`�$��&:v>9��� 3 ���&>9j M^��>^<t���R;0�Q�&O!<^+T��� ',`!<^�t@^�t: � * rs��e 3�5 :��$;V�`a<d� � # r ��e 3�5 :q�tj >9���,<N� 3 �!>9��$���<d���&Oa<9` >9����@9C,j M^�N�,e�����>9� <9�E���t� M%>9�t� 3 � � # r ��e 3 +&L0$�@9��' 3 � $&�&O 6 �T;,+ 3 ��� >9��`a<d�<t� 3 ��>9��$&��<9���&Oa<9` 6 �T+a<t�&>Q�E$��&O�p^�&>9�!>q'0�c�y<t�y<t��jc@d�c�&; 3 � � # L 3 ����>989��C)` 3 �t>^=v�t>^��������',+D<�(%>Q@9`a�!(%>?<�(%>Q$�����O�@NM%>/4e�����5

"%$&�t�c89+ 5 C,��O 3 �iO!$�� 6�5 ;,�t�&`!<9����$��&O!p9�&>9�!>^<t� 3 ��>^��$&��<9�c�Q89��>�Oa$&�&@^C,��O�> 5 $&�E<t���&`!<9��e����&;,���&O!<^+�<9=!>x$&��@dj $�<�(%;,=vSV=;,O�>d� ;,<NM%;0��tj >9��� 3 �!>9��$���<d��e��&jH`!C,��e�n!e����&:N[LC)@9=�;0� 3 ��$���� �&n!>^<t���0<t�&Oa���&C,� ;,<t�!>?<^`&;0��: � * rs��e 3�5 :q`&;,�t:oe���� � # �������&�0�&n�<N� � # �Nj >9�&� 3�5 '0� ;,<t�q<N�&jm@9�m��; 3 � 5 $&�E<t����`a<d��<t�o$���+ 6 �&:L��e 3 M%>x<t�&O � * �tj >^����j ;,� 3 �L�&O!<^`?<t�&O � # e�������@9�Q�tj >9���e)�,�&O!<^` 3�5 '0� ;,<t��L)`�$�(%: 5 $&@^��$��x>9��89�tjcp9�&O 3 �d �

�����������J������� -� c-6� � `!')( <t�&Ozx�E(%@9+ 3 ��<N��:Q-� ~ 3 $&��@9�&n 3 �o>9� ��e��a����O 6 +�;,�&O 3 ��<^=�>v��p9+!:Q8d�c�&89�ce&�&;�jc��'0�c��<9=!>��n�@^�t;,=v��>9`&: 3�5 '0� ;)<t�&OQ<t���c@d�c�&; 3 ��<t�&:x�t>^`&:�8d� 3 ��@9�&n!:�',@9�&�0+ 3 ��<t�&:!J p9�Ee)� >9� 3 ����$�` 5 >9� ��$&�&� �&89+a$&�a<9��<t��jc@d�c�&; 3 � S $� C2 <t�Qe���>9`�[%e���� ,���C,>^�&O 3 ��>9�Q�&@^�&n 3 �L�E$&�&O!p9�&>9�!>^<t� 3 ��>9��$&��<9�m�0 ��� 6 �����&@9�D$��&O��&@dj ;,e���O 3 � 5 >^�Q< 5 <t��� �D��e��!���&O 6 ��n 3 �<9=Q8d�c�&8d� e��&;0jc��<^=�: B �&@9��<9+!@9=�;,=!:�-) ~DM%;)<9��>9� �&O!p9+!;0�&O 3 ��e���<^� 3 jc� <t��;,n�>9�a����<�(%>q��e 3 M%>q$��&OD;,O 3�3 �E< 5 C)�&O!>q;)<t�<t��jc@d�c�&; 3 � 3 �&:a V � <t�&>w89� 3 $��&@9�&n 3 �i$�� 5 �!>w>9�q�&@9��n 3 �i�E$&�&O!p9�&>9�!> 3 �!>9��$&��<d�&�tj 3 �&;)<9�L;0j ',�&O!@9���?L���$&`o<N�Dzx�EM%@9= 3 �D-� ~`a<d� 5 C)�&O 3 ���&@9�tj 5 >^� 3�5 '�� ;,<t�v<t��jc@d�c�&; 3 ��

' ��� �8�)(��o-� c-6��S ������O 3�3 �De��&@9O!�0M%>9[ V " >9�q;0n!>9�a����e��&@^O��,M%>�� ;,� 5 >9�o',@9�&��= 3 ��� � 5 ',��<t���6>Q� K&�E2J294Z>�� |/� ! P �<t�&O�� �&>�e�� 6 ����e 3 +Q<t�&O � 5 C)�t� 3 �c��<t�&Oa���&C,� ;,<t�!>�e��&@9O!��+Q;,<t���D

�������-����������� -) u9� { <t� { C2 0f!k9SVW�U <t� ;0n!>9�a���5��_;k % k��Q���Nj >9�&�,e�����O 3�3 �ve���@9O��,M%>� J �LK9���J��� -) -&�DSV�����8 4 � �~_ �<Z9_;L*e���� � �C�t����W!� � ��_ �<Z9_^[3N�B � �e4 �a< 2�B�|A��A�Ga|�� ! 782&4):;��2��aG9B=5��FA3B �F�FAx2�BaG&�N�K: �r�

:�48< |�< �8�92&4;: �FA�<N��� R^:�48<K2 B�: �j2��aG9B=5��FA B ���aAuB K�4 }~�N�K: �r�R>^4 K1RE2J2&4;:;�aA >�� |/� ! PM� V!�W (&�����YX �-��V " ;)<�( �h8d� 3 �t@ 5 :�',@9�&�0= 3 � 3 � ;0n!>9�a����e��&@9O!�0M%>�<t�3/ e���� 5�e���� � 5 >9� <t��jc@d�c�&; 3 � <t�&O � 3 �

3�5 '0� ;)<t� $���+ 6 ��:T��e 3 M%>� zx� e���<N��;,e���O!�&;,�&O 3 � 5 >9� ;,n�>9�a��� e&�&@9O!�0M%>�L 3 �E' 576 �&O!:�� �%�~[ � � � Li$��&O 6 � �tj >9���e�����O 3�3 ��e���@9O��,M%>w<t�&O �D l Oa<9` 6 �q;0= 3 ��j >9�t�&`a<d��<t�?�����&C,� ;)<t� 3�5 '0� 6 �&:ie�����n 3�3 ��<N��:�e��&@9O!�0M%>X<t�&O �4�tj >9����<t�q$��!��n� � �m l $&`y<^=�>?���!��= 3 �t@9�m�y` 3 (%:HL���nae��a���D��� 5 $&�t�)e��&>9�tj :�`a<d��e�� 6 ��e�����O 3�3 � e���@9O��,M%>?$�@ 5 $&�t��>9� 5 C)�t��<t�&Oa���&C,� ;)<t��>� � ��e&�&@9O!� 5 :;L)��$&`a<9�x=Q��$&`&8^�N�cp9=?<N��O�zx�E(%@9+ 3 ��<t�&:�-� c- 6 ���tj >9���0$���+!@9=!:!

"%$�� � 5 '0��O 3 ������� $&`!>x>^�Q�&�����&O 3 �L;)<t�v;0n!>9�a����� 3 �m�v��e�@d� ��M%:�e��&@^O��0+?��$�`Qe�� 6 �X��e 3 +o<t�&O � -V " ;,<�( � �� L3 � �[ /jk E 5� l >yO!$��&@9C)�t����>9���!����e&<d� e�` 3 �!>9��$���<d�R$&�&Oe���<t����+a'0�t�H;,<t� <9`a<9�Q���8M9��O 3 �Q<9=!> e&�&@9O!��+ ;)<t�;,n�>9�a�����RL,���!���cM%:��&�^M9�&O 3 �w<^=�>�e���@9O��0+��� �"�j >9�&�����&>^�t@^`y`a<d� 3 �x�&Oa<9+?<9=!>oe&��<t�&;,e&�tO!+D� ;0C)n!�N�

� � �;[ � � � ql $&� 3�5 >^�N�R>9� 89�tjcp9�&O 3 �Q`a<d�H<t��;,n!>9�!��� � $��&Oye���<N��;,e���O!�&;,� 3 �q�tj >^���Re�����O 3�3 ��e��&@9O!�0M%>�<t�&Oy',@9�&�0+ 3 ��<t�&:a V " ;,<�(����� $&`!> 2 � 3 �c� ��e 3 +<N��O�'0@^�&��+ 3 ��<t�&: 3 � 2 /jk��5 5� B @ 5 $��t� >9� 89�tjcp9�&O 3 �Q`!<9��<N��O!���&C,� ;)<N�!> 5 >^� ��$�` <t� 2 k���&>9+ae��t��;)<t���D l > 2 � � �&O!<^` �Nj >9�&��$&@9�����&> 5 :D��$&`a<9�QOa$&� 6�5 <t�&O 3 �q`!<9� 2 � Y � v"%$��N�c89+y<N� � �tj >^��� 3�5 '0� ;)<t�<t��jc@d�c�&; 3 � 5 $��E<N�&��`!<9��O!$��&@9C)�t� 2

` � ` � L 3 � 2 [ 2`+ ��[ � ` l >D= 2 �tj >9������<t��jc@d�c�&;)<9=D<^`!<^� ��[ � ` e�����=���e 3 + 2 �

��$��!<^�����tj,��>9��������e&<9�ce&` 3 �!>9��$&��<d�?L)��$&`a<9�w=De��&@9O!��+?<9=!: 2` � ` $&��OD�E$�� � 5 C�<9=ae���'0�m�v<t��� +a<N��>?= � ` [ �FL�e����0�&@9�v$&�����

89�tjcp9� 3 �x�&Oa<9`v$&��O 6�5 ���&O 3 �d � $&��@9�&n 3 �q;0O!>9�E$�M%:D>^��Oa$&� 6�5 ;,�&O 3 �o`!<9� 2 [ 2

` l >v<t� 2 [ 2

`89��>��tj >^����;)<t� � <9`a<9� � ` ��LR�&@9�Oa$&�&@9C)�t�

e���$���� ����>9��������e&<9�ce&` 3 �!>9��$���<d� � $&�&O e���<t����+!',�t��;)<N� � ` ?KL`a<9�q` 3 (%:DO!$��&@9C)�t��e����2e���$&�&� ����>9���!����e&<d� e�` 3 �!>9��$&��<d�$&��Ooe&��<t����+a',�t��;)<N� �dJ��tj <9�i<t� � ` [ � ��S �&> �� �R[ �tj <^�i<t� � ` [�� � ` 2 ` �9 �"%$&�t�c89+o<N� � �tj >9��� 3�5 '0� ;)<N�q<t� �

`$ 5 @^�Q��$�`

��>9���!����e&<d� e�`q89� 3 $��&@9�tj&>9�D�tj >9���&e������E$&��O�p9��>9��> 3 �!>9��$���<d�?L&��@9�Q<t� �L�tj >9���&<t���c@d�c�&; 3�5 >9�Q;)<t� � e����&�tj C)�L�E$�� ����',�tj�'0�c�<t���D �

Page 53: Διακριτά Μαθηματικά

� ��� � � ��� �� � ��� ����� ��� � �A� ���� ��� � ���A� � ������������J��������-� u&��KL� zx��M%@^= 3 ��-� c- 3 �&: 8dj >9�t� <9= 89O!>9��<^`!<^=!<t� >^�]D;<N�K: �HD��E<�@6���r�E2�B 5 >9� 3�5 '0� ;)<t� <t��jc@d�c�&; 3 ��

���&>^<t�&;)<9�tj <^� '0�c� $&�&@^�&89�t� ' 3 � `a<d� 5 C)�E<9� 3 �c� �E<N�&�m@^�Njc��$��&O $��&O!���&�t� 3�5 '0� ;,<t��<t���c@d�c�&; 3 ��<t� ;,��8d� 3 ��@9+�',@9�&��+ 3 ��<N�0 V " @9C)�E<t��� 89=a�0 R� $��E����<^=�:v;,�&:ve�����;0�&:�8dj >9�t� 5 >9��S <9��@9��;,<9� ��[�8d� 3 ��@ 5 :D',@9�&�0= 3 ��L e����+M^=!<^� ��$�` ;,�&:�>9����@9�tj <^� 5 >9�3�5 '0� ;)<t�D<N�&jm@9�m��; 3 �D'�� V!�&Oa<9`0 *P��c�v>9�v;,�&:x$���=!@^M%;,�t�,` 3 (%:�M9=a<9���N��e����)�E')'0O!+!;0�t� :X`!<9�)<t�D<t��jc@d�c�&; 3 �D$��&O?<t�&O��&@^+!e���<9��tj >9��� `!>^<�(%: 3�5 '0� ;)<t�� �KL`!<^�v��;0�tj :�89��> 5 C)�E<9�D$&��@9��>9��<N��O�8NM%;0�E<9��L 3 �8Mdj 3 �D<t� <t��jc@d�c�&; 3 � � $&�&O Oa$&�a���a'0j ;,��<9��Le���� 5 >9� ;0n!>9�a����e���@9O��,M%> �L 3 �q<9`&;,��:Qe��&@^O�� 5 :Q`&;0��:Q<t�<t��jc@d�c�&; 3 � 5 C,�t�H��e 3�5 :HLHe����H< 5 <t��� ��M%;)<9�Q<t��� >9� �tj >9���e�����O 3�3 �`a�!(%>D<t(%> ��e 3 M%>v<N��Oy',@9�&�0+ 3 ��<t�&:�S e�� 6 �Q��e 3 +y<t�&O '0@^�&��+ 3 ��<t�&:Q89=!�, 2>9�$��t@9� 5 C)�t�He&��$&���c��e���@9O��0+y<t�&O��[� �K 5 <t��� � ;,n�>^�!����e&�&@9O!�,��> � Oa$&�&@^C,�t����`a',( <N��O�zx��(%@^+ 3 ��<t�&:�-) ~0 TKL`!<^��L $&�����R��`a',( <N��O�zx��(%@^+ 3 ��<t�&:�-) ~KL�$&�E����<9=!:?;,�&:ySV� ��$���j �&:q��n!e��a��� 3 $��&@9�tjR>^���E$&� ���7�&�&�cM%;,�t��<t��> � ;,C)O�@d� ; 3 `;0�&:?`!<9�M� � ��[ � � ��e&���R`a<d�H<t� � �tj >9���e�����O 3�3 �De&�&@9O!�0M%>d[L�tj >9���)� 5 �&�&� �&:X`!<9�0<t� � �tj >9��� 3�5 '�� ;,<t�v<t��jc@d�c�&; 3 ��

! ��"�������-� ��t~9�ibDjc89�E<t��� 5 >9�&: � �WO $&j >^��e��&: / 3 �X;,<t��� C,�tjc�8/ = ? �aX&kr_��� � �bB=��5�Be� 4�<t�&Oq$�j >9��e��Q�t>^>9�&n 3 � 3 �����$����c�&89+a$&�a<9�x',@9� 3�3 +y+ ;)<9+a��= <t�&O) �b?�Njcp^<^�o`!<9�2<t���E���&C,� ;)<N� $���+ 6 �&:o��O 6 �t� M%>Q$&�&Ov$��t@9� 5 C)�t��`!���y<t� �q<t�&O�/ �tj >9���j ;,� 3 �x<t� 3�5 '0� ;)<N�v$���+ 6 ��:x��$�` �x$&�&OD��>9��89n���89�X�&@dj ;,e��!>^<t����$&�&>N(�;)<9=!>Qjc8d�c����O 6 �tjm�0

�����������J������� -� mF8� l :?89�tjcp9�&O 3 ��<^M%@9� `a<d��<t��zx�EM%@9= 3 �-� k 3 $&��@9�tjH>^���$&�&8^�N� C 6 �tj���n!e��a���TC)@9=!;�� 3 ��$&��� M%>^<t�&:<t�yzx��M%@^= 3 �y-� c-�

B @9��' 3 ��<d���&:TO!$�� 6�5 ;,�&O 3 ��`!<9�I;,� 5 >9� 8d� 3 ��@ 5 :T',@9����= 3 � � ;0C)n!�t� = ;0O!> 6 +!e�=�SVk�F![q���!��� 89��>�O!$��&@9C)�t�%$���+!@9��:<t��jc@d�c�&; 3 �Q<t�&O1/q l $�`Q<t� zx��M%@^= 3 �v-) -�O!$��&@9C)�t�);,n!>9�!���?e&�&@9O!�0M%> �L 3 �U� � ���e� /�� L&$��&O?�tj >9���&e�����O 3�3 �Qe��&@9O!�0M%>�L5 ;,<�( � [ /

` � 5`3 �1/

`" / e�����5

`" 5 �V " $��E<N�&�H`a<d�O� 5

`�'� � /E /

`� �"%$��N�c89+�<t� � �tj >^����e�����O 3�3 �Te���@9O��,M%>

5 C)�&O 3 �x`a<d�,89��>?Oa$&�&@^C,��O�>�;)<t� � ��e 3�5 :���>9� 3 ��;,��;,<t� ;0n!>9�a��� / /`e&��� 5 5

`L,�&@9�

� �#S / /`U � T � 5

`��� � /E /

`� k

e����,�&Oa<9`��&>^<9�m�0�&;)e��t� 3 �w<9=!>q;,O!> 6 +ae�=�S k�F![I'0�c�v<t� ;,n!>9�!��� 4\[ /E /`