หน่�วยที่�� 6เวกเตอร์� และการ์

ปร์ะย�กต�• เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตและ การ์ดำ�าเน่�น่การ์เบื้� องต!น่• เวกเตอร์�ใน่ร์ะบื้บื้พิ�ก$ดำฉาก• การ์ค&ณิเชิ�งเวกเตอร์�

ปร์�มาณิสเกลาร์�และปร์�มาณิเวกเตอร์�ปร์�มาณิที่างกายภาพิที่��

สามาร์ถร์ะบื้�ขน่าดำหร์�อจำ�าน่วน่หน่�วยของปร์�มาณิดำ!วยจำ�าน่วน่จำร์�งจำ�าน่วน่หน่,�ง เร์�ยกว�า ปร์�มาณิสเกลาร์�

เวกเตอร์�

ส�าหร์$บื้ปร์�มาณิที่างกายภาพิอ�กปร์ะเภที่หน่,�งที่��เก��ยวข!องก$บื้ที่$ งขน่าดำและที่�ศที่าง เร์�ยกว�า ปร์�มาณิเวกเตอร์�

ใน่เชิ�งเร์ขาคณิ�ตแที่น่ปร์�มาณิเวกเตอร์�ดำ!วยส$ญล$กษณิ�ที่��เป0น่ส�วน่ของเส!น่ตร์งที่��ม�ห$วล&กศร์โดำยใชิ!ความยาวของส�วน่ของเส!น่ตร์ง ซึ่,�งม�ความยาวจำ�าก$ดำแที่น่ขน่าดำใชิ!ห$วล&กศร์ชิ� บื้อกที่�ศที่าง เร์�ยกส$ญล$กษณิ�ดำ$งกล�าวว�า เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ต

B เป0น่จำ�ดำปลายของเวกเตอร์�

เพิ��อให!การ์กล�าวถ,งเวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตม�ความชิ$ดำเจำน่ จำะร์ะบื้�จำ�ดำสองจำ�ดำจำ�ดำหน่,�งเป0น่จำ�ดำเร์��มต!น่ อ�กจำ�ดำหน่,�งเป0น่จำ�ดำปลาย เชิ�น่ A เป0น่จำ�ดำเร์��มต!น่

AB

เวกเตอร์� AB แที่น่ดำ!วย

AB

ความยาวของ แที่น่ขน่าดำของดำ!วย

การ์เที่�าก$น่ของเวกเตอร์� บื้ที่น่�ยามเวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตสองเวกเตอร์�เที่�าก$น่ ก3ต�อเม��อ เวกเตอร์�ที่$ งสองม�ขน่าดำเที่�าก$น่ และม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่

A

B

C

D

S

RP QE

F

A

B

C

D

S

RP QE

F

CD= ม�ขน่าดำเที่�าก$น่และที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่

EF ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ แต�ขน่าดำไม�เที่�าก$น่

AB SR ม�ขน่าดำเที่�าก$น่แต�ที่�ศที่างตร์งข!ามก$น่

AB PQ ม�ขน่าดำและที่�ศที่างต�างก$น่

เวกเตอร์�ศ&น่ย�

O O

เป0น่เวกเตอร์�ที่��ม�ขน่าดำ 0โดำยที่$�วไปจำะไม�กล�าวถ,งที่�ศที่างของ ถ!าจำะกล�าวถ,งให!ถ�อว�าม�ที่�ศที่างใดำก3ไดำ!

OO

บื้ที่น่�ยามเวกเตอร์�ที่��ม�จำ�ดำเร์��มต!น่ และจำ�ดำปลายเป0น่จำ�ดำเดำ�ยวก$น่ เร์�ยกว�าเวกเตอร์�ศ&น่ย� แที่น่ดำ!วย

O

การ์ขน่าน่ก$น่ของเวกเตอร์�เวกเตอร์�สองเวกเตอร์�ขน่าน่ก$น่ก3ต�อเม��อม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ หร์�อม�ที่�ศที่างตร์งข!ามก$น่

C

DS

RP QE

FA

B

C

DS

RE

FA

B

// ,

CD

และ ม�ขน่าดำเที่�าก$น่ แต�ม�ที่�ศที่างตร์งข!ามก$น่ ใชิ!ส$ญล$กษณิ�

SR

RS AB

// EF // ,

SRและ

A

B

ถ!า เป0น่เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตใดำๆ จำะแที่น่เวกเตอร์�ที่��ม�ขน่าดำเที่�าก$น่ก$บื้ แต�ม�ที่�ศที่างตร์งข!ามก$บื้ ดำ!วย

AB

ABAB

ABA

B

A

BAB

ถ!าว$ตถ�หน่,�งเคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ A ไปถ,งจำ�ดำ B เป0น่ร์ะยะที่าง 40 เมตร์

A B40 เมตร์

ถ!าว$ตถ�หน่,�งเคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ A ไปถ,งจำ�ดำ B เป0น่ร์ะยะที่าง 40

เมตร์ แล!วเคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ B ไปจำ�ดำ C ใน่แน่วต$ งฉากก$บื้ AB เป0น่ร์ะยะที่าง 30 เมตร์

B

30

เมตร์C

A B40 เมตร์

ถ!าว$ตถ�หน่,�งเคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ A ไปถ,งจำ�ดำ B เป0น่ร์ะยะที่าง 40

เมตร์ แล!วเคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ B ไปจำ�ดำ C ใน่แน่วต$ งฉากก$บื้ AB เป0น่ร์ะยะที่าง 30 เมตร์ ผลล$พิธ์�จำากการ์เคล��อน่ที่��ที่$ งสองคร์$ งน่� เที่�าก$บื้การ์ที่��ว$ตถ�เคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ A ไปถ,งจำ�ดำ C เป0น่ร์ะยะที่าง 50 เมตร์

50

เมตร์

30

เมตร์

C

A B40 เมตร์

ให! , และ แที่น่การ์เคล��อน่ที่��จำากจำ�ดำ A ไปถ,งจำ�ดำ B จำากจำ�ดำ B ไปถ,งจำ�ดำ C และจำากจำ�ดำ A ไปถ,งจำ�ดำ C ตามล�าดำ$บื้

ACAB BC

การ์เคล��อน่ที่��ของว$ตถ�น่� เป0น่เป0น่ปร์�มาณิที่��สามาร์ถใชิ!เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตแที่น่ไดำ!

50

เมตร์

30

เมตร์

C

A B40 เมตร์

เร์�ยก ว�า ผลร์วม หร์�อผลบื้วกของ และ ใชิ!ส$ญล$กษณิ�

ACAB BC =

+ AC AB BC

= = 50 เมตร์ 22 )30()40(

50

เมตร์30

เมตร์

C

A B40 เมตร์

ชิายสองคน่ต!องการ์เคล��อน่ที่��เร์�อ (Q) ใน่คลองที่��ต� น่เข�น่ ที่$ งสองคน่อย&�บื้น่ฝั่9� งเดำ�ยวก$น่ คน่หน่,�ง (R) ลากจำ&งเร์�อดำ!วยการ์ดำ,งเชิ�อกแล!วเดำ�น่ไปข!างหน่!า อ�กคน่ (P) ใชิ!ไม!ถ�อค� าเร์�อให!เดำ�น่หน่!า และไม�ให!เร์�อเข!ามากร์ะที่บื้ฝั่9� ง ผลของการ์ใชิ!แร์งกร์ะที่�าก$บื้เร์�อของที่$ งสองคน่ที่�าให!เร์�อแล�น่ไปข!างหน่!าตามล�าคลอง

P

Q S

Rแที่น่ แร์งที่��ชิายคน่หน่,�งผล$กดำ$น่เร์�อ

PQ

แที่น่ แร์งที่��ชิายอ�กคน่หน่,�งฉ�ดำดำ,งเร์�อ

QR

QSแที่น่ แร์งที่��เป0น่ผลร์วมของแร์งที่��ที่�าให!เร์�อ แล�น่ไปข!างหน่!า

เข�ยน่แผน่ภาพิใหม� โดำยให!แร์งที่��กร์ะที่�าก$บื้เร์�อม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่��เดำ�ยวก$น่

P

Q S

R

A

O C

Bกล�าวค�อ ให! = , = และ =

OA PQ OB QR

OC QS

A

O C

B

= +

จำะไดำ!ว�า OACB เป0น่ร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ โดำยม�ส�วน่ของเส!น่ตร์ง OC เป0น่เส!น่ที่ะแยงม�มจำะไดำ! OA OBOC

ผลบื้วกน่� เป0น่ไปตามกฎส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ดำ$งน่$ น่ = จำะไดำ! =

+ OB OCAC OA AC

กฏส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ของการ์บื้วกเวกเตอร์�

สร์!างร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ OACB โดำยม�ส�วน่ของเส!น่ตร์ง OC เป0น่เส!น่ที่ะแยงม�ม

ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ต ที่��ม�จำ�ดำเร์��มต!น่เป0น่จำ�ดำเดำ�ยวก$น่ ค�อที่��จำ�ดำ O

OA OB

C

O B

A

O B

A C

ผลบื้วกของ และ เที่�าก$บื้เวกเตอร์�ผลล$พิธ์� เข�ยน่แที่น่ดำ!วย + =

ผลบื้วกน่� เป0น่ไปตามกฏส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่

OA OB

OC

OA OB OC

O B

A C

ดำ!าน่ตร์งข!ามของร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ม�ความยาวเที่�าก$น่ และขน่าน่ก$น่ ดำ$งน่$ น่ = จำะไดำ! +=

OA ACACOB OC

จำะเห3น่ว�า ม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่��จำ�ดำปลายของ เวกเตอร์�ผลล$พิธ์� ม�จำ�ดำเร์��มต!น่เดำ�ยวก$น่ก$บื้ และม�จำ�ดำปลายเดำ�ยวก$น่ก$บื้

OAACOC

OA AC

การ์บื้วกเวกเตอร์�บื้ที่น่�ยาม

ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตใดำๆ

AB CD

ผลบื้วกของ และ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย เป0น่เวกเตอร์�ที่��ม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่��จำ�ดำ A และม�จำ�ดำปลายที่��จำ�ดำ E โดำยม�การ์สร์!าง ดำ$งร์&ปต�อไป

CDAB

AB CD

CDBE

A B C

D

A B C

DE

เม��อสร์!าง =CDBE

จำะไดำ! + = + =

ABBEAB CD

AE

จำากร์&ปที่��ก�าหน่ดำให!

จำงหาผลบื้วกของ , และ

EFAB CD

A B

E

F

C

D

หร์�อหา + +EFAB CD

1. ที่��จำ�ดำ B บื้น่ สร์!าง =

CDAB BP

A B

E

F

C

DP

2 . ที่��จำ�ดำ P บื้น่ สร์!าง =

EFPQBP

Q

จำะไดำ! + + = + +

EFAB CD PQAB BP

=AQเป0น่เวกเตอร์�ผลล$พิธ์�

จำากร์&ปที่��ก�าหน่ดำให!

A

B C

Dจำงหา +AB CD

A

B C

D

C

D+AB CD

จำากร์&ปที่��ก�าหน่ดำให!

A

B C

Dจำงหา +ABCD

A

BABCD+

A

B C

D

การ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์�บื้ที่น่�ยามถ!า เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ และ n เป0น่สเกลาร์�

A

1. ถ!า n0 และ แล!ว ม�ที่�ศที่าง เดำ�ยวก$น่ก$บื้

OA An

A 2 . ถ!า n0 และ แล!ว

ม�ที่�ศที่าง ตร์งข!ามก$บื้

AOA An

3 . ถ!า n = 0 แล!ว

OAn

4 . ขน่าดำของ เที่�าก$บื้ เม��อ n ค�อ ค�าส$มบื้&ร์ณิ�ของ n

An An

ก�าหน่ดำ ดำ$งร์&ป จำงหาเวกเตอร์� และ

A A3 A3

A

A3 A3

สมบื้$ต�เบื้� องต!น่ของการ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์�ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ

m และ n เป0น่สเกลาร์�A B

1. (0) =A O

A 2. (1) =A

3. m(n ) = (mn)AA

A 4. (m + n) = m + nAA

5 . m( + ) = m + mB BAA

การ์ขน่าน่ก$น่ของเวกเตอร์�บื้ที่น่�ยาม

ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ที่��ไม�เป0น่เวกเตอร์�ศ&น่ย� ขน่าน่ก$บื้ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย // ก3ต�อเม��อ ม�สเกลาร์� m 0 ที่��ที่�าให!

A B

A B

A B

BmA

AA3 B

เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยบื้ที่น่�ยามเวกเตอร์�ที่��ม�ขน่าดำหน่,�งหน่�วย เร์�ยกว�าเวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยถ!า เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ที่��ไมเป0น่ศ&น่ย�จำะไดำ!ว�า เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วย ที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$บื้

A

A

AA1

AA

A1

เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม� ที่�ศที่างเดำ�ยวก$บื้

A

AA1

บื้ที่น่�ยามถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ผลต�างของ ก$บื้ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย - หมายถ,ง +

A B

A B

A

B

A )B(

ผลต�างของเวกเตอร์�

A B B A B

+ = - A )B( A B

B A

เร์าอาจำหาเวกเตอร์�ผลต�าง และไดำ!ง�ายๆ โดำยใชิ!แผน่ภาพิที่��ม�จำ�ดำเร์��มต!น่ของเวกเตอร์�ที่$ งสองเป0น่จำ�ดำเดำ�ยวก$น่

BA AB

A BBA AB

B AA

B

ABBA BAAB

สมบื้$ต�เบื้� องต!น่ของการ์บื้วกเวกเตอร์�

1. ABBA

2.

C)BA()CB(A

ถ!า , และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ m และ n เป0น่สเกลาร์�

A B C

สมบื้$ต�การ์เปล��ยน่กล��ม

สมบื้$ต�การ์สล$บื้ที่��

3.

BmAm)BA(m

5. O)A(A

4. AOA

สมบื้$ต�การ์แจำกแจำง

สมบื้$ต�การ์ม�เอกล$กษณิ�ของการ์บื้วก สมบื้$ต�การ์ม�อ�น่เวอร์�สของการ์บื้วก

BA

การ์ค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของเวกเตอร์�บื้ที่น่�ยาม

ผลค&ณิสเกลาร์�(scalar product หร์�อ dot product )ของเวกเตอร์� และ เข�ยน่แที่น่ดำ!วยก�าหน่ดำดำ$งน่� เม��อ เป0น่ม�มร์ะหว�าง และ โดำยที่�� 0 180

A BBA

θcosBABA

A B

ด้�านประชิด้มุ�มุ

ด้�านตรงข้�ามุมุ�มุ

ด้�านตรงข้�ามุ

มุ�มุฉาก

พิ�จำาร์ณิาร์&ปสามเหล��ยมม�มฉาก

มุมุ�มุฉากด้�านตรงข้�า

θมุ�มุด้�านประชิด้θcos

cos 0= 1

cos 90= 0

X

y

O

M(8, 6)

N(11, 0)

ก�าหน่ดำจำ�ดำ M(8, 6) และ N(11, 0) บื้น่ร์ะน่าบื้ใน่ร์ะบื้บื้พิ�ก$ดำฉาก จำงหา

ONOM

X

Y

O P

จำากร์&ป จำะไดำ! 10

68OM 22

11ON

108

θcos

88

cosONOMONOM

10

8(10)(11)

θ 8หน่�วย

6หน่�วย

10

หน่�วย

M(8, 6)

N(11, 0)

สมบื้$ต�เบื้� องต!น่ของผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�

1. สมบื้$ต�การ์สล$บื้ที่�� ABBA 2. สมบื้$ต�การ์

แจำกแจำง CABA)CB(A

3. สมบื้$ต�การ์เปล��ยน่กล��ม

)BA(m)Bm(AB)A(m

5. อสมการ์ของโคชิ�-ชิวาร์�ชิ BABA 4. ก�าล$งสองของขน่าดำของ

เวกเตอร์� 2AAA

ถ!า , และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ m และ n เป0น่สเกลาร์�

A B C

6 . อสมการ์สามเหล��ยม BABA

ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ที่��ไม�ใชิ�เวกเตอร์�ศ&น่ย� ต$ งฉากก$บื้ ก3ต�อเม��อ 0BA

A B

A B

บื้ที่น่�ยามถ!า และ ต$ งฉากก$น่ก3ต�อเม��อ ม�มร์ะหว�างเวกเตอร์�ที่$ งสองม�ขน่าดำเที่�าก$บื้หน่,�งม�มฉาก หร์�อ

90 องศา

A B

การ์ต$ งฉากก$น่ของเวกเตอร์�

บื้ที่น่�ยามเวกเตอร์� ค�อค&�อ$น่ดำ$บื้ (a, b) เข�ยน่แที่น่ดำ!วย เม��อ a และ b เป0น่จำ�าน่วน่จำร์�ง เร์�ยก a ว�าองค�ปร์ะกอบื้ที่��หน่,�ง และเร์�ยก b ว�าองค�ปร์ะกอบื้ที่��สอง

A

)b,a(A

เวกเตอร์�ใน่ร์ะบื้บื้พิ�ก$ดำฉากเวกเตอร์�ใน่ร์ะบื้บื้พิ�ก$ดำฉาก

สองม�ต�

ใน่เชิ�งเร์ขาคณิ�ต สามาร์ถแที่น่เวกเตอร์�ซึ่,�งม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่��จำ�ดำ O(0, 0) และม�จำ�ดำปลายที่�� A(a, b) ดำ!วย

)b,a(A

O X

Y

A(a, b)

a

bA

ส�าหร์$บื้เวกเตอร์�ศ&น่ย�ใน่ R2 เป0น่เวกเตอร์�ที่��ที่$ งสององค�ปร์ะกอบื้เป0น่ 0กล�าวค�อ

)0,0(O

ขน่าดำของเวกเตอร์�บื้ที่น่�ยามเม��อ เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R2 ขน่าดำของ ก�าหน่ดำดำ$งน่�

A)b,a(A

22 baA

ก�าหน่ดำ จำงหา A)5,2(A

295)2(A 22

การ์เที่�าก$น่ของเวกเตอร์�บื้ที่น่�ยามเม��อ และ เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R2 กล�าวว�า ก3ต�อเม��อ a1= a2 และ b1= b2

)b,a(A 11 )b,a(B 22

BA

การ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์�

A

บื้ที่น่�ยามเม��อ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ใน่ R2 และ m เป0น่สเกลาร์� ผลค&ณิของ m ก$บื้ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย m ก�าหน่ดำดำ$งน่� m = (ma, mb)

AA

)b,a(A

A

ผลบื้วกและผลต�าง

A

บื้ที่น่�ยามเม��อ และ เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ใน่ R2 ผลบื้วกและผลต�างของเวกเตอร์� ก�าหน่ดำดำ$งน่� = (a1+ a2, b1+ b2)

= (a1- a2, b1- b2)

BA

)b,a(A 11 )b,a(B 22

BA

พิ�จำาร์ณิา จำากร์&ป AB

x

y

O

B

(a2,b2)

A

(a1,b1)

AB(a2- a1, b2 - b1)

A

AB

จำะเห3น่ว�าเวกเตอร์� ม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่��จำ�ดำ O และจำ�ดำปลายที่�� (a2 – a1, b2 – b1) ซึ่,�งเที่�าก$บื้เวกเตอร์�ที่��ม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่�� (a1, b1) และม�จำ�ดำปลายที่�� (a2, b2)

AB

จำะเห3น่ว�า

212212 )bb()aa(AB

เม��อ A(a1, b1) และ B(a2, b2) เป0น่จำ�ดำใน่ R2 จำะไดำ!เวกเตอร์�ซึ่,�งม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่�� Aและจำ�ดำปลายที่�� B = (a2- a1, b2- b1)

AB

ให! A(-1, 2) และ B(3, 5) เป0น่จำ�ดำใน่ R2 จำงหา AB

= (3 - (-1), 5 - 2) = (4, 3) AB

= (-4, 1) + (2, 5)

BA= (-4 + 2, 1 + 5)= (-2, 6)

ให! (-4, 1) และ (2, 5) จำงหา

BAและBA,B3A2,BA A B

ให! (-4, 1) และ (2, 5)

A B

B3A2 = 2(-4, 1) + 3(2, 5)= (-8, 2) +(6, 15) = (-2, 17)

BA = (-4, 1) - (2, 5)= (-4 - 2, 1 - 5)= (-6, -4)

ให! (-4, 1) และ (2, 5)

A B

BA22 )4()6(

521636

22 )51()24(

)4,6(BAเมุ��อ ให! (-4, 1) และ (2, 5)

A B

บื้ที่น่�ยามถ!า = (a, b) เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ใน่ R2 ที่��ไม�ใชิ�เวกเตอร์�ศ&น่ย� แล!ว

เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้

A

)b,a(ba

1A

A1

22

A

เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วย

ให! (12, -5) จำงหาเวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้

AA

เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้ A

13169)5()12(A 22 เน่��องจำาก

135

,1312

)5,12(131

AA1

จำะไดำ!

A

ผลบื้วกและผลต�าง

jbia

(1, 0)

(1, (1, 0)0)

Y

XO ij

ให! = (1, 0) เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยตามแกน่ x

i = (0, 1) เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยตามแกน่ y j

A

ให! = (1, 0) เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยตามแกน่ x

i = (0, 1) เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยตามแกน่ y

j

= (a, b) เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ใน่ R2

A

จำะเห3น่ว�า = (a, b)A = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi j

จำงเข�ยน่เวกเตอร์� (2 ,- 1) และ - 3 5( , ) ให!อย&�ใน่ร์&ป

A

B jbia

)1,2(A

ji2)5,3(B

j5i3

ให! j2Cและj4i2B,j3i4A

BA )j4i2()j3i4( ji6

C2BและC2B,CA,BA จำงหา

CA )j2()j3i4(

ji4j2j3i4

ให! j2Cและj4i2B,j3i4A

C2B

i2

)j2(2)j4i2( )j4()j4i2(

ให! j2Cและj4i2B,j3i4A

224

2

C2B i2เน่��องจำาก

C2Bดำ$งน่$ น่

ให! j2Cและj4i2B,j3i4A

จำงหาผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของเวกเตอร์�

ii 0cosii)1)(1)(1(

1

j

iX

Y

jjและji,ji,ii

จำงหาผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของเวกเตอร์� jjและji,ji,ii

ji 90cosji j

iX

Y

)0)(1)(1(0

จำงหาผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของเวกเตอร์�

ij 90cosij j

iX

Y

)0)(1)(1(0

jjและji,ji,ii

จำงหาผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของเวกเตอร์�

jj 0cosjj)1)(1)(1(

1

j

iX

Yjjและji,ji,ii

ผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�

A

บื้ที่น่�ยามถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R2 ผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของ และ ก�าหน่ดำดำ$งน่� = a1a2 + b1b2

BA

)b,a(A 11 )b,a(B 22

A B

ให!จำงหา

j8j2Cและ,ji4B,j3i2A CBและBA

BA

CB

= (2)(4) + (-3)(1)

= (4)(2) + (1)(-8)

= 5

= 0

ม�มร์ะหว�างเวกเตอร์�

A

ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ตใดำๆ ที่�� และ ต$ งฉากก$น่ ก3ต�อเม��อ

0BA

A BA B

A

จำากบื้ที่น่�ยามของการ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์� จำะไดำ!

θcosBABA

BABA

θcos

เม��อ เป0น่ม�มร์ะหว�าง และและ 0 180

A B

O Y

X

Z

X

Y

Z

ร์ะบื้บื้พิ�ก$ดำฉากสามม�ต�R3

O Y

X

Z

แกน่ x และแกน่ y ก�าหน่ดำร์ะน่าบื้อ!างอ�ง เร์�ยกว�า ร์ะน่าบื้ xy แกน่ y และแกน่ z ก�าหน่ดำร์ะน่าบื้อ!างอ�ง เร์�ยกว�า ร์ะน่าบื้ yz แกน่ x และแกน่ z ก�าหน่ดำร์ะน่าบื้อ!างอ�ง เร์�ยกว�า ร์ะน่าบื้ xy

O Y

X

Z

yz

xy

xy

หร์�อ

เม��อก�าหน่ดำจำ�ดำ P ใดำๆ ใน่ R3 การ์ร์ะบื้�ต�าแหน่�งหร์�อพิ�ก$ดำของจำ�ดำ P จำะใชิ!จำ�าน่วน่จำร์�งสามจำ�าน่วน่เร์�ยงก$น่ตามล�าดำ$บื้ เร์�ยกว�า ไตร์อ$น่ดำ$บื้ ใน่ร์&ป (a, b, c) เม��อ a, b, c เป0น่ร์ะยะที่��ม�ที่�ศที่างตามแกน่ x, y, z ตามล�าดำ$บื้ เร์�ยก (a, b, c) ว�าพิ�ก$ดำของจำ�ดำ P บื้างคร์$ งเข�ยน่เป0น่ P(a, b, c)

O Y

X

Z

a

b

cP(a, b, c)

ร์ะยะที่างร์ะหว�างจำ�ดำสองจำ�ดำการ์หาร์ะยะที่างร์ะหว�างจำ�ดำสอง

จำ�ดำใดำๆ ใน่ R3 อาศ$ยที่ฤษฎ�บื้ที่ป>ที่าโกร์$สและความร์&!เร์��องร์ะยะที่างร์ะหว�างจำ�ดำบื้น่ร์ะน่าบื้ จำะไดำ!ส&ตร์ดำ$งน่� ร์ะยะที่างร์ะหว�างจำ�ดำ P(x1, y1, z1) Q(x2, y2, z2) หร์�อ ร์ะยะ PQ เที่�าก$บื้

2122

122

12 zzyyxx

จำงหาร์ะยะที่างร์ะหว�างจำ�ดำ A (1, 2, -4) และ B (3, -1, 2)ร์ะยะ AB

222 422113

3694 49

= 7 หน่�วย

222 4232

เวกเตอร์� ใน่ R3 ค�อสามส��งอ$น่ดำ$บื้(a, b, c) เม��อ a, b, c เป0น่จำ�าน่วน่จำร์�งเร์�ยก a, b, c ว�าองค�ปร์ะกอบื้ที่��หน่,�ง ที่��สอง และที่��สามของ ตามล�าดำ$บื้

A

A

aY0

X

Z

(a, b, c)A

b

c

ขน่าดำของเวกเตอร์�

ให! = (a, b, c) เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 น่�ยามขน่าดำของ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย ดำ$งน่�

A

A

A

222 cbaA

เป0น่ร์ะยะที่างจำากจำ�ดำก�าเน่�ดำถ,งจำ�ดำปลาย (a, b, c) น่$�น่เองA

เห3น่ไดำ!จำากบื้ที่น่�ยามของขน่าดำว�า ก3ต�อเม��อ OA

0A

การ์เที่�าก$น่ของเวกเตอร์�ให! = (a1, b1, c1) และ = (a2, b2, c2) เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 จำะกล�าวว�าเวกเตอร์� และ เที่�าก$บื้ก3ต�อเม��อ a1 = a2, b1 =

b2, c1 = c2 และจำะเข�ยน่แที่น่ดำ!วย

A B

A B

BA

การ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์�

ให! = (a, b, c) เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 และ m เป0น่สเกลาร์� ผลค&ณิของ ก$บื้ m ค�อเวกเตอร์� ใน่ R3 น่�ยามดำ$งน่�

A

Am

A

mc,mb,maAm

พิ�จำาร์ณิาเวกเตอร์�เชิ�งเร์ขาคณิ�ต = m(a, b, c) = (ma, mb, mc) เป0น่เวกเตอร์�ที่��ขน่าน่ก$บื้ ถ!า m > 0 จำะไดำ! ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$บื้ และถ!า m < 0 จำะไดำ! ม�ที่�ศที่างตร์งข!ามก$บื้

Am

A

Am

A

A

Am

เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยถ!า = (a, b, c) เป0น่เวกเตอร์�ใดำๆ ใน่ R3 ที่��ไม�ใชิ�เวกเตอร์�ศ&น่ย� แล!ว

เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้

A

Acba

1A

A

1222

A

222 )3(14A

ให! = (4, -1, 3) จำงหาเวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้

A

A

9116 26

AA1

เป0น่เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้ ที่��ต!องการ์

A

263

,261

,264

3,1,4261

ให! = (4, -1, 3) จำงหาเวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยที่��ม�ที่�ศที่างเดำ�ยวก$น่ก$บื้

A

A

ถ!า , จำงหาเง��อน่ไขที่��ที่�าให! และ ขน่าน่ก$น่

OA OB

A B

ให! = (a1, b1, c1) และ = (a2, b2, c2) ถ!า และ ขน่าน่ก$น่ ดำ$งน่$ น่ม�สเกลาร์� m ซึ่,�ง น่$�น่ค�อ (a1, b1, c1) =

m(a2, b2, c2) = (ma2,

mb2, mc2)

A B

A B

BmA

ดำ$งน่$ น่ a1 = ma2, b1 = mb2, c1 = mc2m

c

c

b

b

a

a

2

1

2

1

2

1 จำะไดำ!

ดำ$งน่$ น่ และ ขน่าน่ก$น่ ถ!าผลหาร์ของแต�ละองค�ปร์ะกอบื้ของเวกเตอร์�ที่$ งสองม�ค�าเที่�าก$น่

A B

ก�าหน่ดำให! = (6, -2, 4) และ =(-3,1,-2) จำงตร์วจำสอบื้ว�า และ ขน่าน่ก$น่หร์�อไม�

A B

A B

จำะเห3น่ว�า = -2

A

B

A B

ดำ$งน่$ น่ และ ขน่าน่ก$น่

22

412

26

พิ�จำาร์ณิ

า

ผลบื้วกและผลต�างให! = (a1, b1, c1) และ = (a2, b2, c2) เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 น่�ยามผลบื้วกและผลต�างของ และ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย และ ดำ$งน่� = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)

= (a1 - a2, b1 - b2, c1 - c2)

A B

A B

BA BA

BA

BA

Y

Z

X

0

(a1, b1, c1)

(a2, b2, c2)

A

(a2-a1, b2-b1, c2-c1)

AB

ABB

พิ�จำาร์ณิา จำากร์&ป AB

เม��อ A(a1, b1, c1) และ B(a2, b2, c2) เป0น่จำ�ดำใน่ R3 จำะไดำ!เวกเตอร์�ซึ่,�งม�จำ�ดำเร์��มต!น่ที่�� Aและจำ�ดำปลายที่�� B = (a2- a1, b2- b1, c2- c1)

AB

สมบื้$ต�ที่��ส�าค$ญเก��ยวก$บื้การ์บื้วกและการ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์�

ถ!า , , เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 และ m, n เป0น่สเกลาร์� แล!ว

A CB

2. CBACBA

1. ABBA

3. BmAmBAm

5. AOA

4. AnAmAnm

6. OAA

การ์เข�ยน่เวกเตอร์�ใน่ร์&ป

kcjbia

ให! = (1, 0, 0)

i

O Y

X

Z

i

jkk

j

= (0, 1, 0)= (0,

0, 1)

= (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a + b + c

A

i

k

j

ส�าหร์$บื้ = (a, b, c) ใดำๆ ใน่ R3

A

จำะไดำ!

ก�าหน่ดำให! = (5, -3, 2), = (4, 0, -4) และ = (0, -6, 3) จำงเข�ยน่ ให!อย&�ใน่ร์&ป

kcjbia

A

C B

A

CB

k2j3i5

k4i4

k3j6

)3,1,2(A

)5,3,1(B

จำงเข�ยน่เวกเตอร์�และ ให!อย&�ใน่ร์&ป (a, b, c)

k3ji2A

k5j3iB

การ์ค&ณิสเกลาร์�ก$บื้เวกเตอร์� การ์บื้วก และการ์ลบื้เวกเตอร์� ม�ส&ตร์ดำ$งน่� ถ!า ,

และ m เป0น่สเกลาร์� แล!ว

kcjbiaA 111 kcjbiaB 222

kmcjmbimaAm 111

kccjbbiaaBA 212121

kccjbbiaaBA 212121

ถ!า ,

kcjbiaA 111 kcjbiaB 222

เวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยใน่ที่�ศที่างเดำ�ยวก$บื้ A ค�อ

26314A 222

AA1

จำงหาเวกเตอร์�หน่,�งหน่�วยใน่ที่�ศที่างเดำ�ยวก$บื้ k3ji4A

k26

3j

26

1i

26

4

หาขน่าดำของเวกเตอร์� A ไดำ!ดำ$งน่�

k3ji426

1

ผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ให! และ เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 น่�ยามผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของ และ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย ดำ$งน่� เม��อ = a1a2 + b1b2 + c1c2

kcjbiaA 111

B

kcjbiaB 222

A

BA

BA

ก�าหน่ดำให! และ จำงหาผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ของ และ

k3ji2A kjiB

BA

จำากบื้ที่น่�ยาม จำะไดำ! = (2)(1) + (-1)(1) + (3)(-1)

BA

= -2 = 2 -1 - 3

212121 ccbbaaBA

บื้ที่น่�ยามของผลค&ณิเชิ�งสเกลาร์�ใน่ R3 สามาร์ถแสดำงไดำ!ว�าม�ความสอดำคล!องก$บื้ข!อความต�อไปน่�

cosBABA

เม��อ เป0น่ม�มร์ะหว�างเวกเตอร์� และ และ 0 180

BA

ให! และ เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 แล!ว

kcjbiaA 111 kcjbiaB 222

Y

Z

X

0

(a1, b1, c1)

(a2, b2, c2)

A

B

การ์ต$ งฉากก$น่ของเวกเตอร์�เวกเตอร์� และ ใน่ R3 ต$ ง

ฉากก$น่ ก3ต�อเม��อม�มร์ะหว�าง และ เที่�าก$บื้ 90

BA

BA

เง��อน่ไขที่��เพิ�ยงพิอและจำ�าเป0น่ส�าหร์$บื้การ์ต$ งฉากก$น่ค�อ เม��อ และ ไม�ใชิ�เวกเตอร์�ศ&น่ย�

0BA BA

จำงตร์วจำสอบื้ว�าเวกเตอร์�แต�ละค&�ใน่ข!อต�อไปน่� ต$ งฉากก$น่หร์�อไม�

1( ) และ 2( ) และ

kj3i2A k2iB

k2jiC kj2i2D

(1 ) เน่��องจำาก = (2)(1)+(3)(0)+(-1)(2) = 0

BA

ดำ$งน่$ น่ และ ต$ งฉากก$น่A B

การ์ค&ณิเชิ�งเวกเตอร์�ถ!า และ เป0น่เวกเตอร์�ใน่ R3 ผลค&ณิเชิ�งเวกเตอร์�ของ และ เข�ยน่แที่น่ดำ!วย (อ�าน่ว�า A คร์อส B) เป0น่เวกเตอร์�ซึ่,�งก�าหน่ดำดำ$งน่�

B

kcjbiaA 111

BA

A

kcjbiaB 222

222

111

cba

cba

kji

kba

baj

ca

cai

cb

cb

22

11

22

11

22

11

kbabajcacaicbcb 122121121221

BA

kbabajcacaicbcb 122121121221

BA

21

21

bbj

aai

222

111

cba

cba

kji

jacicbkbakbajacicb 121212212121

ให! และ

จำงหา และBA

k3j2iA k4ji2B

BA

BA412

321

kji

k

12

21j

42

31i

41

32

k41j64i38 k5j2i11

BA 222 5211

15065

BA k5j2i11

254121

625625

สมบื้$ต�ของการ์ค&ณิเชิ�งเวกเตอร์�ถ!า , , เป0น่เวกเตอร์�

ใน่ R3 และ m เป0น่สเกลาร์� จำะไดำ!ว�า

A CB

1. ABBA

2. CABACBA

3. BmABAmBAm

4. OBAA

6. 2222

BABABA

5. OBAB

7 . เม��อ เป0น่ม�มร์ะหว�าง A และ B และ 0 180

sinBABA

ให! และ จำงหา และ BA

k3ji2A k2j4iB

AB

241312kji

BA

k9j7i10

41

j

12i

j4i12kk12j3i2

ให! และ จำงหา และ BA

k3ji2A k2j4iB

AB

312241

kjiAB

j12i2k8kj4i12

14j

21i

k9j7i10

222 9)7(10BA

จำงหาขน่าดำของ

230

BA k9j7i10

8149100

AA

k0j0i0

y

y

j

x

x

i

zyx

zyx

kji

จำงแสดำงว�า ส�าหร์$บื้ที่�ก ใน่ R3

AOAA

ให! kzjyixA

O

จำะไดำ!ว�า ก3ต�อเม��อ และ ต$ งฉากก$น่

BABA A B

เม��อ เป0น่ม�มร์ะหว�าง และ และ 0 180

A B

เน่��องจำาก sin = 1ดำ$งน่$ น่ = 90

sinBABA

ขน่าดำของผลค&ณิเชิ�งเวกเตอร์�พิ�จำาร์ณิาร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่

ซึ่,�งม�จำ�ดำยอดำอย&�ที่��จำ�ดำ P, Q, R และ S ม� เป0น่ม�มร์ะหว�างดำ!าน่ PQ และดำ!าน่ PS, ST เป0น่ส�วน่ส&งของ □PQRS

P Q

S R

T

B sinB

BsinB

P Q

S R

T

B

STsin

ดำ$งน่$ น่

sinBST

ให! และพิ�จำาร์ณิาร์&ปสามเหล��ยมม�มฉาก SPT

PQA PSB

P Q

S R

T

B sinB

PQA

เน่��องจำาก

พิ� น่ที่��ของร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ PQRS

sinBA

BA

= ฐาน่ ส&ง

P Q

S R

T

B sinB

PQA

sinBABA

ขน่าดำของผลค&ณิเชิ�งเวกเตอร์� หร์�อ ค�อ พิ� น่ที่��ของร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ที่��ม� และ เป0น่ดำ!าน่ปร์ะชิ�ดำสองดำ!าน่ของร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่น่$ น่

BA

A B

BA

ร์&ปสามเหล��ยมที่��ม�ฐาน่และส�วน่ส&งเที่�าก$บื้ฐาน่และส�วน่ฐาน่ของร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ จำะม�พิ� น่ที่��เป0น่คร์,�งหน่,�งของพิ� น่ที่��ของร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่

P Q

S R

PSPQ

พิ� น่ที่��ร์&ปส��เหล��ยมดำ!าน่ขน่าน่ PQRS

พิ� น่ที่��ร์&ปสามเหล��ยม PQS

PSPQ2

1

จำากร์&ป P Q

S R

ใน่ R3 ก�าหน่ดำจำ�ดำ P(2, 0, 1), Q(1, -2, 2) และ S(2, 1, -3) จำงหาพิ� น่ที่��ของร์&ปสามเหล��ยม PQS

PQ k12j02i)21(

kj2i

PS k13j01i)22(

k4j

PSPQ1

2

j

0

1

i

410

121

kji

kj4i7

j4iki8

PQ kj2i PS k4j

PSPQ kj4i7

222 147

66

พิ� น่ที่��ของ PQS

PSPQ21

6621

ตาร์างหน่�วย