量子力学教程 ( 第二版 )

第 6 章

电磁场中粒子的运动

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6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量

质量，荷电 q 的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton 量为

一、荷电 q 粒子在电磁场中的 Newton 方程（经典描述）

21

(1)2

qq

c

P A

A：电磁矢势 ；：电磁标势 ；P：正则动量。

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将（ 1 ）式代入正则方程，有

,Η

rP

Η

P

r(2)

即可得出1

( )r E υ Bqc

（ 3 ）

式中 B A 磁场强度

1

c t

E A 电场强度 （ 4 ）

上式（ 3 ）即为荷电 q 的粒子在电磁场中的 Newton 方程 .式（ 3 ）中右边第二项即 Lorentz 力，实验证明是正确的 .

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证明（ 3 ）式

1( )x x

x

H qx P A

P c

x x x

q qP x A υ Ax

c c

以 x分量为例，按式 (1)和 (2)有

P υ Aq

c

（ 5 ）

（ 6 ）

所以

因而

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可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量并不相等 .

将式 (5)对 t 微分，利用 (4) 和 (6) 得

υ.,机械动量P υ Aq

c 正则动量

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x x x

q H qx P A A

c x c

所以1 1

( ) ( )r A υ A E υ Bq

q qc t c c

3

1

1 ii i x

i

Aq q qP A q A

c c x x c

3 3

1 1

i x xi i

i i i

A A Aq qr q r

c x x c t r

1 yx zx x x x

AA Aqq A x y z x A y A z A

x c t c x x x x y z

1( )A υ A

xx

qq

c t c

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二、电磁场中荷电粒子的 Schrödinger 方程

换成算符 ,即P

P̂

按照量子力学中的正则量子化程序，把正则动量

ˆ i (7)P P

则电磁场中荷电 q 的粒子的 Hamilton 算符可表为2

1 ˆ (8)2

qH q

c

P A

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因而 Schrödinger 方程可表为2

1 ˆi (9)2

qq

t c

P A

一般说来， ,P A不对易 .

按照证明对易关系的一般方法 , 可以证明ˆ ˆ i (10) P A A P A

22 2

2

1 ˆ ˆi (11)2 2

q qA q

t c c

P A P

利用电磁波的横波条件 0 A ，方程（ 9 ）表示为

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讨 论 1. 定域的概率守恒与流密度

式 (11) 取复共轭 , A与 为实，在坐标表象中

*ˆ ˆP P

2* 2 2 *

2

1 ˆ ˆi (12)2 2

q qA q

t c c

P A P

得*×((12) , 利用 0 A

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* * 2 2 * * *1 ˆ ˆ ˆ ˆi ( ) [ ] ( )2

q

t c

P P A P A P

即0 (13)

t

j

式中 *

* * *1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )2

q

c

P P P P A

* * *i 2ˆ ˆ( )2

q

c

P P A

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* * *1 ˆ ˆ( )2

q

c

j P P A

1 1ˆˆ i (15)υ P A Aq q

c c

流密度算

符

理解为粒子的 速度算符

* * *1 ˆ ˆ( ) ( )2

q q

c c

P A P A

* * * *1ˆ ˆ ˆ( ) Re( ) (14)

2υ υ υ

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2. 规范不变性电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时

' ( , )(16)1

( , )

t

tc t

A A A r

r

电、磁场强度都不改变 . 其规范不变性是显然的 .

但 Schrödinger 方程（ 9 ）中出现 A和，是否违反规范不变性？ 否！！

可证明

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波函数如做相应的变换ie (17)q c

则 ' 满足的 Schrödinger 方程，形式上与同，即

21 ˆi (18)

2

qq

t c

P A'