1

§ 6.6 定积分的应用 定积分的应用极其广泛 , 以下仅介绍它在几何与经济上的应用 ; 并希望同学们通过本章的学习能熟练地的运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法——一 . 微元法的基本思想

o x

y=ƒ(x)

a b

BA

x+Δxx

H

CD

E F

如图 : 曲边梯形 AabB 的面积为定积分 ( ) ,

b

af x dx

y

微元法 .( 元素法 )

表达式 ƒ(x)dx, 正好是区间 [a , b] 上的任意小区间 [ x, x + ∆ x] 上的窄曲边梯形

而这个积分的被积

DEFH 面积 ΔS 的近似值 , 而

2

(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx 为被积表达式 , 在 [a , b] 上作定积分

根据微分的定义有 ƒ(x)dx = dS. 即求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为 :

(1) 在 [a , b] 上任取一个小区间 [x , x + dx], 并求出总量 S 的微分 dS = ƒ(x)dx ;

( )b b

a aS dS f x dx

当∆x = dx→0 时 ,ΔS=ƒ(x)dx + o(dx).

o x

y=ƒ(x)

a b

BA

x+Δxx

H

CD

E F

y

( 面积微元 )

即可。( 面积微元进行求和累加 )

3

抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象 , 就得到微元法思想的表述 :

数学上将这种思想方法称之为微元法 . 总量 A 的微分 dA=ƒ(x)dx, 称为总量 A 的积分微元 .

则有 dA=ƒ(x)dx 且总量为 ( ) .b

aA f x dx

可加性 ( 即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和 );

若总量与变量 x 的变化区间 [a, b] 有关 , 且对区间具有

在区间 [x , x + d x ] 上对应分量的近似值为 ƒ(x)dx ,

4

二 . 平面图形的面积o

y

y=ƒ(x)

a b x+dxx

y=g(x)

(2) 写出面积微元 dS

x

求平面图形面积的步骤 :

(1) 选取积分变量 x

或 y

(3) 作定积分 ( )b

aS f x dx

注 : 在选择积分变量时 , 还要考虑图形特征 .

( 过点 x 作垂直于 x 轴的直线穿区域 D, 是一进一出 )( 过点 y 作垂直于 y 轴的直线穿区域 D, 是一进一出 )

及积分区间 .

ox=φ(y)

c

d

y+dy

y x=ψ(y)

x

y

5

1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a 与 x = b 之间 , 且其上下边界的方程分别为 y = ƒ(x) 和 y = g(x) 则图形的面积为 [ ( ) ( )]

b

aS f x g x dx

则以 dx 为底 , ƒ(x) – g(x) 为高的小窄矩形面积微元

o

y

y=ƒ(x)

a b x+dxx

y=g(x)

x

分析 : 对任意的 x [∈ a , b],

作垂直于 x 轴的直线穿区域 D,

是从 g(x) 进 , 从 ƒ(x) 出 ;

dS = [ƒ(x)–g(x)]dx

6

例 24 计算由两条抛物线 : 所围成图形的面积。,2 2y x y x

解

o x

2y x

(1,1)

x x+dx 1

2y x

y x

y

为了求出面积 , 一般先划出两条曲线所围成的图形。为了定出图形的所在范围 , 应先求出这两条抛物线的交点，为此 , 解方程组

2

2

y xy x

0 1,

0 1x xy y

即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及 (1, 1) 。从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间。取 x 为积分变量 , 且 x [0,1], ∈ 微元为 2( )dS x x dx

1 2

0( )S x x dx 则 3 3

212 1[ ]03 3 3

xx

7

2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左右边界的方程分别为 x =φ (y) 及 x =ψ (y), 则图形的面积为 [ ( ) ( )]

d

cS y y dy

ox=φ(y)

c

d

y+dy

y

x=ψ(y) x

则以 dy 为底 , φ(y)–ψ(y) 为高的小窄矩形面积微元

y

分析 : 对任意的 y [∈ c, d],

作垂直于 y 轴的直线穿区域D, 是从 ψ(y) 进 , 从 φ(y) 出 ;

ds = [φ(y)–ψ(y)] dy

8

o

y

– 4

(2,– 2)y

y+dy

y=x–4

2 2y x 为了定出图形的所在范围 , 应先求出抛物线和直线的交点，为此 ,

212

x y

例 25 计算由抛物线 与直线 y = x - 4 所围成图形的面积。

2 2y x

解 为了求出面积 , 一般先划出两条曲线所围成的图形。(8,4)

即这两条抛物线的交点为 (2, -2) 及 (8, 4) 。解方程组 2 2

4y x

y x

2 8,

2 4x xy y

从而知道这图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。取 y 为积分变量 , 且 y [-2, 4], ∈ 微元为 21( 4 )

2dS y y dy

x

x=y+4

9

4 2

2

1( 4 )2

A y y dy

2 3 41 1( 4 ) 1822 6

y y y 则

思考 : 若选 x 为积分变量，应该如何做 ? 请同学们课后 自己作一下 .

o x

y

(2,– 2)

(8,4)

4 8

– 4

10

例 26 设曲线 x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形被曲线 分为面积相等的两部分，试确定的值。

21 ,y x

2 ( 0)y ax a

解 如图，1( , )

11a

aa 得交点

而 12 21

1 0(1 )aS x ax dx

23 1 a

再由 112

S S1 2

0

2 1 (1 )23 1

x dxa

2

2

1y xy ax

3

11[ (1 ) ] 13

0x a x a

得3a 解之得

13

21y x

2y ax

1a

a

11 a

y

x0 1

1S

2S

解方程组

11

于 [a,b] 上的任意点 x 处， ox

y

a bx

S(x)

二 . 立体的体积以下只讨论两种特殊立体的体积 .1. 平行截面面积已知的立体的体积

设某立体被夹在过 x 轴上的点 x = a 与 x = b 并垂直于 x 轴的两平面之间 , 对应垂直于 x 轴的截面面积 S(x) 是 x 的连续函数 , 下面用微元法来求它的体积 .

12

dV = S(x)dx

( )b

aV S x dx在 [a, b] 上作定积分得

o x

y

a bx x+dx

S(x)

在 [a, b] 上任取一个小区间 [x, x+dx], 得一薄片的体积微元 ( 近似值 ) 为

13

类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点 y = c 与 y = d并垂直于 y 轴的两平面之间 , 在 [c, d] 上的任意点 y 处垂直于 y 轴的截面面积 S(y) 是 y 的连续函数 , 则立体的体积为( )

d

cV S y dy

14

例 27 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成角 α, 计算这平面截圆柱体所得立体的体积 .解 建立如图所示的坐标系 ,

o

x

y

x y

2 2 2x y R – R

α

α

R

S(x)

2 2 2x y R

面积为 S(x), 则由三角形的面积公式 , 有

设 x 为 [–R,R] 上之任意一点 ,过该点且垂直 x 轴的截面21 1( ) tan tan

2 2S x y y y 2 21 ( ) tan

2R x

( )R

RV S x dx

2 21 ( ) tan

2R

RR x dx

32 tan

3R 则

从而底面圆的方程为

15

都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体 , 所以它们都是旋转体。

2. 旋转体的体积

圆柱、圆锥、圆台、球体o x

yy=ƒ(x)

a b

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 . 这直线叫做旋转轴 .

上述旋转体都可以看作是由连续曲线 y =ƒ(x) 、 直线x = a 、 直线 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴

16

旋转一周而成的立体 .

的体积微元 ( 近似2[ ( )]dV f x dx

2[ ( )]b

aV f x dx 在 [a, b] 上作定积分得

下面用微元法来求它的体积 .

o x

y=ƒ(x)

a bx x+dx

y

在 [a, b] 上任取一个小区间 [x, x + dx],

窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片则此小区间上的

近似值 ) 为

o x

yy=ƒ(x)

a bx x+dx

17

注 1 若此图形绕 y 轴旋转一周 ,对应的薄片体积微元为

则所得的旋转体的体积为2 ( )xf x dx

2 ( )b

aV xf x dx

o x

y

y=ƒ(x)

ab

x x+dx

2 2[ ( ) ] ( )dV x dx x f x

18

o x=φ(y)

c

d

y+dy

y

x

y

类似地 , 由曲线 x =φ(y) 、 直线 y = c 、 = d(c<d)与y 轴所围成的曲边梯形 , 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2[ ( )]

d

cV y dy

19

注 2 一般地 , 由连续曲线 y =ƒ(x) 、 y =g(x) 和直线 x = a 、 x = b 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积为

o x

yy=ƒ(x)

a bx x+dxy=g(x)

2 2[ ( ) ( )]b

x aV f x g x dx

20

o x

yy=ƒ(x)

a bx x+dx

y=g(x)

则平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为

2 [ ( ) ( )]b

y aV x f x g x dx

o x

y

y=ƒ(x)

ab

x x+dx

2 ( )b

x aV xf x dx

由前第 17 张幻灯片知：

21

2 2[ ( ) ( )]d

y cV y y dy

绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2 [ ( ) ( )]

d

x cV y y y dy

类似地，由曲线 x =φ(y), x =ψ(y)(φ(y) ≤ψ(y)) 及直线 y = c, y = d(c<d) 与 y 轴所围成的曲边梯形 , 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为

22

例 28 求曲线 和 y = 0 所围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积 .

22y x x

o

y22y x x

(1,1)

(2,0)x

解 为了确定积分区间 , 应先求两曲线之交点 .

(0,0),(2,0); (1,1)得交点 顶点

220

y x xy

0 2, 0 1x y 从而

则绕 x 轴旋转的体积微元为2 2(2 )xdV x x dx

x解方程组

在 [0, 2] 上作定积分得 2 2 2

0

16(2 )15xV x x dx

23

2 2 2 ( 1) 1y x x x y 因 1 1x y

则绕 y 轴旋转的体积微元为o x

y(1,1)

(2,0)1

2 2[(1 1 ) (1 1 ) ]ydV y y dy

1

04 1yV ydy

1 1x y 1 1x y

4 1 ydy

11

20

84 (1 ) (1 )3

y d y

故

24

四 . 经济应用 在经济问题中 , 经常都要涉及到各种经济量的总量 . 这些总量 , 在一定条件下 , 也可用定积分来进行计算 .

1. 已知边际 ( 变化率 ), 求总量 .下面介绍两个常用问题 :

若总量 P(t) 在某区间 I 上可导 , 且 [a, x]∈I, 则有( ) ( ) ( )

x

aP x P t dt P a

注 1 在上式中 ,当 x 为产量且 a = 0 时 ,只要将 P(x) 代之以总成本 C(x) 、总收益 R(x) 、总利润 L(x), 则有

25

0( ) ( ) (0)

xC x C t dt C

0 0( ) ( ) (0) ( )

x xR x R t dt R R t dt

0 0( ) ( ) (0) ( ) (0)

x xL x L t dt L L t dt C

注 2 当 x 从 a 变到 b 时 , P(x) 的改变量即为( ) ( ) ( )

b

aP P b P a P t dt

26

例 29 设某产品的总成本 C(单位 :万元 ) 的边际成本是产量x(单位 : 百台 ) 的函数 总收入 R(单位 :万元 ) 的边际收入 是产量 x 的函数

( ) 44x

C x

( ) 9R x x

(1) 求产量由 1百台增加到 5 百台时总成本与总收入各增加多少 ?(2) 已知固定成本 C(0)=1万元 . 分别求出总成本、总收益、

总利润与产量 x 的函数关系式 ;(3)产量为多少时 , 总利润最大 ; 并求此时的最大总利润 ,总成本及总收益各为多少 ?

27

5

1(4 ) 19( )

4x

C dx 万元5

1(9 ) 24( )R x dx 万元

0( ) (0) ( )

xC x C C t dt

2

0

1( ) (9 ) 92

xR x t dt x x

解 (1) 由注 2 知产量由 1百台增加到 5百台时总成本与总收入分别为

(2)因总成本是固定成本与可变成本的和 , 则总成本函数为总收益为

2

0

11 (4 ) 1 44 8

x tdt x x

则总利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) = 255 18

x x

28

注 3: 第一问可这样求解 ΔC=C(5)–C(1).

(4) 0L 而

故当产量 x = 4(百台 ) 时 , 有最大利润 L(4) = 9(万元 ).

25 ( ) 5 18

L x x x 由5( ) 54

L x x 得

( ) 0L x 令 得驻点 x = 4

2. 已知净投资函数 (流量 ), 求总资本量 .

此时的总成本为 C(4) =19 (万元 )

R(4) = 28 (万元 ).及总收入为

29

由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程 , 而资本总量又是随时间的变化而变化的 , 所以资本总量是时间 t 的函数 , 即 K = K(t ), 称之为资本函数 .

( )dK tdt

当资本函数 K = K(t ) 可导时 , 总资本形成率为 由经济学知资本总量的新增部分就是净投资 . 因而净投资 I=I(t) 是一个关于 t的连续函数 , 从而投资者在时刻 t处的净投资 I(t) 即为总资本在时刻 t处的瞬时增量 .

而由第三章导数定义的引入知 : “一个量在某点的瞬时增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改变量的极限 (导数 ), 即

30

0

( ) ( ) ( )lim

t

K t t K t dK tt dt

( ) ( )dK t

I tdt

此式两边从 0 到 t 作定积分 , 有0

( ) ( ) (0)t

K t I x dx K

任意时刻 t的总资本量 K(t) 等于区间 [0, t ] 内的新增资本 与初始时刻 t = 0 时的资本（即初始资本 )K(0) 之和 . 0

( )tI x dx

此公式的经济意义 :

这三量的直观意义如下图 :

31

o t

K

t

K=K(t)

K(0)

0( )

tI x dx﹜

o t

I

t

I=I(t)

0( )

tI x dx

显然在时间间隔 [a, b] 上 , 总资本的追加部分 ( 即[a, b] 上的净投资量 ) 为

( ) ( ) ( )b

aI x dx K b K a

32

例 30 设净投资函数 (百万元 /年 ) 且当 t = 0 时资本总量为 100(百万元 ), 试求 :

12( ) 10I t t

解 1 32 2

0

20(1) ( ) 10 (0) 1003

tK t x dx K t

3220(2) (9) 9 100 280( )

3K 百万元

9

4(3) ( ) (9) (4) 226.67( )I t dt K K 百万元

(3) 从第 4 年末到第 9 年末这段时间间隔内总资本的追 加部分的数量 .

(1) 资本函数 K(t) 的表达式 ;(2) 第 9 年末的资本总量 ;