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1.7.1 定积分在几何中的简单应用定

积分的简单应

用

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1 、定积分的几何意义：

O x

y

a b

yf (x)

b

af (x)dx f (x)dxf (x)dx。

xa 、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当f(x)0时，积分dxxf

b

a)(在几何上表示由y=f (x)、

x

y

O a b

yf (x)

b

af (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S

当 f(x)0 时，由 yf (x) 、 xa 、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，

一、复习回顾

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定理 （微积分基本定理）2 、牛顿—莱布尼茨公式

( ) |( ) ( ) ( )bb

a af x dx F bx FF a或

(F(x) f (x) ,f (x) F(x) )叫做 的原函数 就是 的导函数

如果 f(x) 是区间 [a,b] 上的连续函数 ,

并且 F’(x)=f(x), 则b

af x dx F b F a ( ) ( ) ( )

一、复习回顾

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二、热身练习1 dxx

2

2

24

解： 如图由几何意义22

2

2 221

4 dxx

2

计算 :

计算：

xdxsin

解：如图由几何意义

0sin

xdx

定积分的简单应

用

xy sin

0

y

x

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定积分的简单应

用3.

2 2y x计算由 与 x 轴及 x= － 1 ， x ＝ 1 所围成的面积

1 2( ) ( )b b

a as f x dx f x dx

x

y

NM

O a b

A

BC

D

4 ．用定积分表示阴影部分面积

)(1 xfy

)(2 xfy

二、热身练习

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A2

a b

曲边梯形（三条直边，一条曲边）

a b X

A

0

y

曲边形

面积 A=A1-A2

a b

1

三、问题探究 曲边形面积的求解思路

定积分的简单应

用

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四、例题实践求曲边形面积例１．计算由曲线 2xy

2

2

xy

xy

与 所围图形的面积

解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积

解方程组

xy 2

得交点横坐标为 0x 1x及

Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ

＝ dxx1

0dxx

1

0

2

1

0

3

3

1x ＝＝

3

2

3

1

3

11

0

2

3

3

2x＝

定积分的简单应

用

A

BC

D

2xy xy 2

x

y

O 1

1

-1

-1

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归纳

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：

（ 1）画草图，求出曲线的交点坐标

（ 3）确定被积函数及积分区间

（ 4）计算定积分，求出面积

定积分的简单应

用

（ 2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积

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4 x

y

O 8

4

2

2

B

xy 24xy

S1S2

44

2

122

8

4

4

021 dxxdxxsssＡ：

4

y

O 8

4

2

2

A

S1S2

例 2 ．计算由曲线 xy 2 直线 4xy 以及 x轴所围图形的面积Ｓ定

积分的简单应

用

四、例题实践求曲边形面积

442

12

8

021 dxxsssＢ：

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x

y

O

1

2

xy cos xy sin

五、巩固练习书本 P58 练习提高 :书本 P66 复习参考题 A组 16 题

定积分的简单应

用

4

xyxy cos,sin 求曲线 与直线 2,0

xx

所围成平面图形的面积

S1

dxxdxxS 4

0

4

01 sincos

dxxdxxS 2

4

2

4

2 cossin

21 SSS 解题要点 : S2

有其他方法吗？

S1=S2

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七、作业1 、书本 P60 习题 A 组 1 B 组 32 、全优设计 P48 － 493 、思考 B 组 1 ， 2

六、小结

1 ．本节课我们做了什么探究活动呢？2 ．如何用定积分解决曲边形面积问题呢？3 ．解题时应注意些什么呢？4 ．体会到什么样的数学研究思路及方法呢？

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思考

h

b

如图 , 一桥拱的形状为抛物线 , 已知该抛物线拱的高为常数 h, 宽为常数 b.

bhS3

2求证 : 抛物线拱的面积

定积分的简单应

用

建立平面直角坐标系 确定抛物线方程

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

课本 P60 习题 B 组 2

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x

h

b

y

0

),2

( hb

证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为)0(2 aaxy

2)2

(b

ah 则有 2

4

b

ha 得

22

4x

b

hy 所以抛物线方程为

于是，抛物线拱的面积为

dxx

b

hh

bs

b

)4

(2

22 22

2

0

2

0

32

)3

4(

22

b

xb

hh

bbh

3

2

代抛物线上一点入方程

S

2S

定积分的简单应

用