Неперово число

У ч е б н о з а в е д е н и е : Софийски университет „Св.Климент Охридски

Преподавател: ас.Албена Антонова

1 1 / 1 3 / 2 0 1 1

:Изготвила ТеодораКаврошилова

Стопанско управление, група 1; курс 1; факултетен номер: 700510

СЪДЪРЖАНИЕВъведение.................................................................................................... 2

Джон Непер.................................................................................................. 3

Число на Непер.............................................................................................4

История на Неперовото число......................................................................6

Графично изобразяване на Неперовото число............................................7

Таблица с приближенията на Неперовото число........................................8

Къде в математиката и в живота ни се среща Неперовото число ?..........10

Леонард Ойлер...........................................................................................11

Естествен логаритъм...................................................................................12

Заключение.................................................................................................14

Референции................................................................................................15

Приложения................................................................................................16

1 | P a g e

Въведение

В ежедневието си,ние, хората постоянно се сблъскваме с числа – цените на стоките в магазина,рождените дни на нашите роднини и приятели или просто номерата на транспортните средства,които използваме.Тези числа понякога остават напълно незабелязани от нас,но те всъщност могат да бъдат използвани за по-задълбочено разбиране на света,който ни заобикаля.Физиците и математиците са открили числа или константи1,чрез които те успяват да опишат физични явления.Общият брой на тези константи е 37 и те се наричат „световни константи“.Те живо са интересували Айнщайн2,който се чудел откъде произлизат те,но според него всяко едно от тях е до невероятност съвършено.

Физическите константи са повече от числа. Те са нещо като таен код, с разгадаването на който може би ще бъде разгадана и загадката на сътворението на света.

Десет от тези тридесет и седем числа се смятат за най-важни.Сред тях са числото на пространството или числото пи ( π ),числото на хаоса или числото на Файхенбаум със стойност равна на 4, 66920016. Други такива са и числото на светлината,числото на околния свят и числото на Големия взрив.

Числото на Непер или числото на времето също се смята за едно от фундаменталните числа и затова смятам да посветя същината на тази курсова работа на него.

1 Постоянна непроменлива величина2 Алберт Айнщайн – немски физик-теоретик,философ и писател

2 | P a g e

ДжонНепер

Числото на Непер е споменато за пръв път през 1618 година от Джон Непер.Той е бил шотландски математик,физик,астроном и астролог.По-

известен е с откритието си на логаритъма.Допринасяйки със своята творба „Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614)“ 3, Джон Непер

поставя основите на една нова тема в математиката,а именно на логаритмичното смятане,което навремето доста улеснило сметките на

хората.Чрез предварително подготвени логаритмични таблици били правени изчисления в сферата на науката и техниката.

Джон Непер (1550 – 1617)

3 „Описание на удивителните таблици на логаритмите (1614)“ бълг.пр.

3 | P a g e

Число наНепер

Дефиниция:

Числото на Непер е ирационално число,което е в основа на естествените логаритми4. То се представя по два начина:

Като граница на числова редица е= limn→∞ (1+ 1n )

n

или,

Като сума на безкраен ред

Други представяния на е :

4 ln❑ - натурален логаритъм

4 | P a g e

История наНеперовото число

За първи път константата негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има

само таблица на естествените логаритми, а константата не е определена. Предполага се, че автор на приложението е английският математик

Уилям Оутред.Самата константа е изведена за първи път от Якоб

Бернули при опит да изчисли следната граница:limn→∞ (1+ 1n )

n

.

Първото известно използване на тази константа, означена с b, се среща в писмата на Лайбниц5 до Хюйгенс6 (ок. 1691 г.). Буквата е първи използва

Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата "Механика или Наука за движението, изложена аналитично". Поради

това е понякога е наричано "число на Ойлер". Не е известно точно защо е избрана тази буква за означаване на константата. Най-вероятната

причина е, че с нея започва думата exponential (показателен).

Неперовото число е ирационално (доказано от Ойлер,1737) и трансцендентно (доказано от Ермит,1879).Връзката между Неперовото

число и пи се вижда от формулата на Ойлер:

5 Готфрид Вилхелм фон Лайбниц - немски философ, математик, дипломат, библиотекар и юрист6 Кристиан Хюйгенс - холандски механик, физик, астроном и математик, създател на вълновата теория на светлината.

5 | P a g e

Графичноизобразяване на Неперовото число

6 | P a g e

фигура 1

фигура 2

На фигура 1 е показано доказателството,че Неперовото число е ирационално,тъй като се изобразява върху единична окръжност.

Фигура 2 представлява изобразяването на Неперовото число върху декартовата координатна система.Числовата му стойност отговаря на точката с координати x=2,718 и y=1.

Таблица с приближенията на Неперовото число

Дата Цифри след десетичната запетая

Пресметнато от :

1748 23 Леонард Ойлер1853 137 Уилям Шанкс1871 205 Уилям Шанкс1884 346 Дж.Маркъс Борман1946 808 Неизвестен1949 2,010 Джон фон Нойман1961 100,265 Даниел Шанкс и Джон

Ренч1978 116,000 Стефан Гари Возняк

01.04.1994г. 10,000,000 Робърт Немиров и Джери Бонел

Май 1997 18,199,978 Патрик ДемишълАвгуст 1997 20,000,000 Бъргърт Зайфелт

Септември 1997 50,000,817 Патрик ДемишълФевруари 1999 200,000,579 Себастиан ВеденивскиОктомври 1999 869,894,101 Себастиан Веденивски

21.11.1999г. 1,250,000,000 Хавиер Гордон10.07.2000г. 2,147,483,648 Шигиру Кондо и Хавиер

Гордон16.07.2000г. 3,221,225,472 Колин Мартин и Хавиер

Гордон02.08.2000г. 6,442,450,944 Шигиру Кондо и Хавиер

Гордон16.08.2000г. 12,884,901,000 Шигиру Кондо и Хавиер

Гордон21.08.2003г. 25,100,000,000 Шигиру Кондо и Хавиер

Гордон18.09.2003г. 50,100,000,000 Шигиру Кондо и Стийв

Пеглиаруло27.04.2007г. 100,000,000,000 Шигиру Кондо и Стийв

Пеглиаруло06.05.2009г. 200,000,000,000 Шигиру Кондо21.02.2010г. 500,000,000,000 Александър Дж. Йе05.07.2010г. 1,000,000,000,000 Шигиру Кондо и

Александър Дж. Йе

7 | P a g e

Самото число е като запис от числа изглежда по следния начин:

Това всъщност са първите 200 знака след десетичната запетая,които са били изчислени със специална таблица от цифри,чрез която се

извършвали аритметичните операции: събиране,изваждане,умножение и деление.

Числото на времето е освен ирационално и трансцендентално.Доказателството за този факт за пръв път направил

Чарлс Ермит 7през 1873г.То е първото число,което се оказва трансцендентално без първоначално да е било създадено с такава

цел.Това означава,че числото на Непер не е корен на нито едно полиномно уравнение с променливи и рационални коефициенти,т.е. не е алгебрично число. Друг пример за подобно число е числото пи,което

има огромно значение в математиката,тъй като на него се базират повечето от познатите ни формули,в които участва по някакъв начин

окръжност.

7 Чарлс Ермит е френски математик,който направил проучвания върху теорията на числата.

8 | P a g e

Къде вматематиката и вживота ни ?се срещаНеперовото число

Стойността на числото на Непер се среща в много математически формули.Пример за такива са тези,които описват нелинейното

нарастване или намаляване като прираст и смъртност,функции,изчисляващи сложна лихва,статистическата функция на Гаус 8,формата на висящ кабел или неподвижна арка. “Е“ се появява също така и в някои задачи от вероятност,някои изчислителни задачи и дори в проучването на разпространението на простите числа.В сферата на неразрушимото изчисление,то може да бъде открито във формули

като тази,която описва отслабването на ултразвука в материална среда.Енергията на звука отслабва,когато се отдалечаваме от източника на звук и това зависи от фактор,който е в съотношение с „е“. Както вече

споменахме,числото на Непер се използва като основа на естествения ( натуралния ) логаритъм.На него се базира и формулата на Ойлер,която

се свързва с експоненциалната (нарастваща безкрайно) функция.Фундаменталната константа намира широко приложение дори в програмирането.Информатиците я използват в своите пресмятания на

по-сложни суми или за изчисляването на стойности на функции – показателни или логаритмични.

Глобалният максимум на функцията се получава при х=е.

8 Карл Фридрих Гаус - немски математик и астроном. Занимавал се е освен това и с геодезия.

9 | P a g e

ЛеонардОйлерЛеонард Ойлер (на немски: Leonhard Euler) е швейцарски математик, физик и астроном, работил през голяма част от живота си в Германия и Русия. Смятан е за един от най-великите математици на 18 век, както и за един от най-значимите математици на всички времена.

Ойлер е автор на важни открития в различни области на математиката, от математическия анализ до теорията на графите. Той пръв използва голяма част от съвременните обозначения, най-вече в областта на анализа, сред които знаците за функция,косинус, синус, тангенс. Известен е и с работата си в областта на механиката, динамиката на флуидите, оптиката и астрономията.

Неперовото число бива наричано понякога и константа на Ойлер,тъй като за пръв път Ойлер дава обозначението на това число,а именно „е“.

Източник: Уикипедия

10 | P a g e

Естествен логаритъм

Естественият логаритъм (от лат. logarithmus naturalis), наричан понякога и натурален, е логаритъм с основа числото e = 2,718 281 828 459 045 235

360 287 471 35.... . Числото "e" е ирационално и се дефинира като границата на (1+1/n)n при n, клонящо към безкрайност. Естественият

логаритъм ln x е дефиниран за всички реални положителни стойности на x, както и за всички ненулеви комплексни стойности. Въпреки че не е въведена от Джон Непер, тази функция понякога се нарича неперов

логаритъм, а числото e се нарича неперово число.

Ако y = eх, тогава x = ln y. Естественият логаритъм от е е равен на 1, тъй като e1 = e, а естественият логаритъм от 1 е 0, тъй като e0 = 1.

Естественият логаритъм може да се дефинира като обратна функция на показателната функция с равенствата:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Y-Values

Y-Values

Графика на натурален логаритъм 1

11 | P a g e

С други думи, той е биекция9 на множеството на реалните положителни числа върху множеството на всички реални числа, а още по-прецизно

погледнато, той е изоморфизъм10 между групата на реалните положителни числа относно умножението и групата на реалните числа

относно събирането:

Свойства на натуралния логаритъм:

1.

2.

3.

4.

5.

Из„Уикипедия“

9 съответствие едно към едно.10 идентичност,сходност,паралелност,подобие

12 | P a g e

ln(x) ln(y) ln(xy)

Заключение

Всеки човек намира своя начин,за да си обясни случващото му се.Някои от нас са открили числата и чрез тях те успяват да опишат много голяма

част от живота си.Джон Непер,Леонард Ойлер,Карл Гаус и всички познати на света математици,а и физици,са посветили голяма част от

съществуването си в опит да разгадаят някоя от тайните на математиката и взаимовръзката между числата – променливите и постоянните

величини.Въвеждайки наименования за дадени величини и използването им в приложната или теоретичната част на математиката и физиката,тези учени значително разширяват познанията на човечеството за заобикалящия ни свят.Те допринасят и за науката,и за обществото.Със сигурност можем да кажем,че техните дългогодишни проучвания не са напразни.Някои от тях биват ознаменувани и чрез Нобелови награди в

сферата на съответната наука (било то математика,физика,химия).

z = Re(ln(x+iy)) z = Im(ln(x+iy)) z = |ln(x+iy)| Суперпозиция на трите графики

Източник: Уикипедия

13 | P a g e

Референции

1. Неперово число , Уикипедия 2. http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant) 3. A list of notable computations of e 4. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of

Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.5. The Constant E 6. http://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier 7. "John Napier." Math & Mathematicians: The History of Math

Discoveries around the World. 2 vols. U*X*L, 19998. http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler 9. James, Ioan (2002). Remarkable Mathematicians: From Euler to von

Neumann. Cambridge. p. 2. ISBN 0-521-52094-0.10.Естествен логаритъм 11.http://www.math10.com/bg/algebra/logarithm-log-ln-lg.html 12.http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm 13.Георги Далаков,“Компютърът: От пещерата до Интернет“ 2006

14 | P a g e

Приложения

Пръчици наНепер

Джон Непер изобретил начин за пресмятане,в който се използвали т.нар. Пръчици на Непер или първоначално наречени – Кости на Непер,тъй като те били правени от слонова кост. В предговорана публикуваната през 1617 год. книга „Rabdologiaе seu Numerationis per Virgulas libri duo“ 11. Непер пише, че се съгласил книгата му да бъде публикувана само защото пръчиците много са се харесали на приятелите му и са получили широко разпространение, включително и в чужбина.

Терминът „рабдология“ идва от гръцките думи ραβδoς (пръчка) и λόγος(дума). Изобретеният от Непер метод за смятане с помощта на пръчки улеснява много умножението и делението, като позволява да сесведе първото действие до събиране, а второто — до изваждане.

В предговора към „Рабдология“, Непер пише, че е изобретил пръчиците си за онези, които вместо с логаритми, предпочитат да смятат с естестествени числа. И наистина, дори след популяризирането на логаритмите и публикуването на подробни таблици, все още много хора предпочитатда смятат с помощта на пръчките на Непер, а не чрез метода на логаритмите.

Из ,“Компютърът: От пещерата до Интернет“ 2006

11 „Две книги за смятането с помощта на пръчки“ бел.авт.

15 | P a g e

16 | P a g e