nekkarntrong.files.wordpress.com.... อกสรปรกอบกรสอน ðรยวช ð314 211 พชคณตชงสน . หน55 บทที่2 ปริภูมิเวกเตอร์

. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .

หนา 55

บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์

2.2 ปริภูมิยอย (Subspaces)

ให (𝕍, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอร พิจารณาเซต 𝕎 เปนเซตยอยของ 𝕍 และไมเปนเซตวาง

ภายใตการด าเนินบวกและการคูณดวยสเกลาร เชนเดียวกันกับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 ในหัวขอนี้จะสนใจ

วา

“เมื่อไร 𝕎 ⊂ 𝕍 จะเปนปริภูมิเวกเตอร”

ซึ่งจากหัวขอ 2.1 พบวา ในการแสดงวา 𝕎 จะเปนปริภูมิเวกเตอรจะตองสอดคลองกับ (VS01)-(VS10)

ดังนั้น สามารถเปรียบเทียบสมบัติ (VS1)-(VS10) ไดดังนี้

ก าหนดให (𝕍, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด ℝ และให 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยท่ี 𝕎 ≠ ∅

ภายใตการด าเนินการบวกและ การคูณดวยสเกลารเดียวกัน และ ให u, v, w ∈ 𝕎 และ a, b ∈ ℝ

(VS01) u + v ∈ 𝕍 u + v ∈ 𝕎 � ทราบ 5 ไมทราบ

เพราะ 𝕎 เปนเพียงเซตยอยของ 𝕍 อาจจะไมมีสมบัติปดก็ได

(VS02) u + v = v + u u + v = v + u 5 ทราบ � ไมทราบ

เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะไดวา u, v ∈ 𝕍

ดังนั้น u + v = v + u

(VS03) u + (v + w)= (u + v)+ w

u + (v + w) = (u + v) + w 5 ทราบ � ไม

ทราบ

เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะไดวา u, v ∈ 𝕍

ดังนั้น u + (v + w) = (u + v) + w

(VS04) มี θ𝕍 ∈ 𝕍 ซึ่งท าให θ𝕍 +u = u

มี θ𝕎 ∈ 𝕎 ซึ่งท าให θ𝕎 + u = u� ทราบ 5 ไม

ทราบ

เพราะทราบเพียง 𝕎 ⊂ 𝕍 เทานั้น ไมมีอะไรบอกวา จะมี

θ𝕎 ∈ 𝕎 ถามี θ𝕎 ∈ 𝕎 เปนจริง จะไดวา θ𝕎 =θ𝕍

(VS05) ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 จะมี

−u ∈ 𝕍 ที่ท าให u + (−u) = θ𝕍

ส าหรับทุก u ∈ 𝕎 จะมี −u ∈ 𝕎

ที่ท าให u + (−u) = θ𝕎 � ทราบ 5 ไมทราบ

𝕍

𝕎

(𝕍, +,⋅ )

(𝕎, +,⋅ )


หนา 56


เพราะทราบเพียง 𝕎 ⊂ 𝕍 เทานั้น

(VS06) au ∈ 𝕍 au ∈ 𝕎 � ทราบ 5 ไมทราบ

เพราะ 𝕎 เปนเพียงเซตยอยของ 𝕍 อาจจะไมมีสมบัติปดก็ได

(VS07) a(u + v) = au + av a(u + v) = au + av 5 ทราบ � ไมทราบ

เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะไดวา a ∈ ℝ

ดังนั้น a(u + v) = au + av

(VS08) (a + b)u = au + bu

(a + b)u = au + bu 5 ทราบ � ไมทราบ

เพราะ จาก u ∈ 𝕎 จะไดวา a, b ∈ ℝ

ดังนั้น (a + b)u = au + bu

(VS09) (ab)u = a(bu) (ab)u = a(bu) 5 ทราบ � ไมทราบ

เพราะ จาก u ∈ 𝕎 จะไดวา a, b ∈ ℝ

ดังนั้น (ab)u = a(bu)

(VS10) มีสเกลาร 1 ที่ท าให 1u = u มีสเกลาร 1 ที่ท าให 1u = u 5 ทราบ � ไมทราบ

เพราะ ใชฟลด ℝ เดียวกัน จึงใชสเกลาร 1 คาเดียวกัน

TutuHut

'W


หนา 57


บทนิยาม 2.2.1 qก าหนดให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 และ 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยท่ี 𝕎 ≠∅ ถา (𝕎, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 แลว 𝕎 จะเรียกวา ปริภูมิยอย (subspace) ของ 𝕍

หมายเหตุ ก าหนดให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร จะไดวา

1. {θ𝕍} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍

2. 𝕍 เปนปริภูมิยอยของ 𝕍

ให 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยท่ี 𝕎 ≠ ∅ จากขางตน พบวา 𝕎 สอดคลองกับสมบัติ (VS02), (VS03), (VS07),

(VS08), (VS09) และ (VS10) ดังนั้น ถาจะแสดงวา 𝕎 เปนปริภูมิเวกเตอร หรือ เปนปริภูมิยอยของ 𝕍

จะตองแสดงวาสมบัติ (VS01), (VS04), (VS05) และ (VS06) เปนจริง แตความเปนจริงแลว แสดงวา

สมบัติ (VS01) และ (VS06) เปนจริงก็เพียงพอ ซึ่งอธิบายไดดวยทฤษฏีตอไปนี้

ทฤษฎีบท 2.2.1 ก าหนดให (𝕍, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 และให 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠

∅

จะไดวา 𝕎 เปนปริภูมิยอยของ 𝕍 ก็ตอเมื่อ

(SS1) u + v ∈ 𝕎 ส าหรับทุก u, v ∈ 𝕎

(SS2) au ∈ 𝕎 ส าหรับทุก a ∈ 𝔽 และ u ∈ 𝕎

จากทฤษฎีบท 2.2.1 พบวาในการแสดงการเปนปริภูมิยอย จะแสดงเพียง สมบัติปดการบวกของ

เวกเตอร และการคูณดวยสเกลารก็เพียงพอ ดังนั้นเพื่อความสะดวกก็สามารถรวมเปนขอเดียวไดโดย

ทฤษฎีบท 2.2.2 ตอไปนี้

ทฤษฎีบท 2.2.2 ก าหนดให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 และให 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠∅

𝕎 จะเปนปริภูมิยอยของ 𝕍 ก็ตอเมื่อ ส าหรับทุก a, b ∈ 𝔽 และ u, v ∈ 𝕎 จะไดวา au + bv ∈𝕎

⑦

②


หนา 58


ตัวอยาง 2.2.1 จงตรวจสอบวาเซตตอไปนี้เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร ℝ2 หรือไม

i) 𝕎1 = {(x, y) ∈ ℝ2: 2x − 3y = 0}

วิธีทํา

*e* ( IR! -1,

. )

① an 190) EW, .: aw

,# ¢

901 E' MY

② ( onion autbvflw, ;ta,bt R , tu,vtµ )

9W a,b EIR Ilo : U,VEN,fav U -- H

, ,y, )

bro ! ✓ = ( Xg , Yg )ISO X

,, Xz , Y, > Yz EIR

0:46 2X, -34=0 110 : 2X

,- 3g,so

Gusto X,= Ly, in : xg = Zay,

Anson au + bit = afx, ,y,) + blxs , Ya)

= fax, tbxz , ay, + by, )

= ( Zay,t3zbyz , 91¥92)- yx

bro : 2( Lay, tf bug ) - 3/99, + bug )- -

x Y= 39g

,t 3byg - 399, - 3by, = O

dado author ElbaRufo H

,sdvddgsddovno, R2 XX


หนา 59


ii) 𝕎2 = {(x, y) ∈ ℝ2: x + 2y = 1}


on 0+2101=0 # I -

'

. 0,94 Nz

dish hllztsibdudogsslovoo> IR'

#


หนา 60


ตัวอยาง 2.2.2 จงตรวจสอบวาเซตตอไปนี้เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร ℝ3 หรือไม

i) 𝕌1 = {(x, 2y, 0) ∈ ℝ3: x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}


ER ER elk

a-

⑦ rn 10,90) EU, I . UI,f- ¢

② ( Check au + be EUN's /

9W a,b E IR gU,V E Uz fav U -- H

, , 24,0 )

un : ✓ = ( Xz , 292,0 ) 18% X, ,Xz , y, ,bz

ER

Dorm author =a( x, ,2y, , o) tbfxz, 292,0)

= ( ax, tbxz , day, + 2by2 , O)

= ( ax, tbxg , 2(ay, + by, ) , o )

•

"

.

au tbv EU,

Grito Ulzidvalogseioovos IR'

xx


หนา 61


ii) 𝕌2 = {(x, y, z) ∈ ℝ3: z = 2x − 7y, x, y ∈ ℝ}


① 10,90)EUz .

'

. Uzt¢

② ( check auxbv C- Uz )

9W a.be/R,U,tElUzsauU=lx,,yy,2x, -74 )

no : V - ( X, ,Y, ,2Xg- 792$ 180 Xp , Xz , y,> KEIR

Danson autbveafx , ,y , ,2X, -74 )tb( Xz,yz,2Xz -792)

= fax , tbxz , ay, + by, ,2aytdbxz-794-7byd-faqtbxz.ay.tbyg.sn/ax,tbq)-7fayi-byd)!.

autbv E Utz

stuff Ulzlafrrlrlgddovnooslk}

xx


หนา 62


ตัวอยาง 2.2.3 ก าหนดให 𝕍 = {(x, y) ∈ ℝ2: y = 5x}

จงตรวจสอบวา 𝕍 เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร ℝ2 หรือไม

วิธีทํา เขียน 𝕍 ใหมไดเปน 𝕍 = {(x, 5x): x ∈ ℝ}

จากโจทย (0,0) ∈ 𝕍 ดังนั้น 𝕌2 ≠ ∅

ให a, b ∈ ℝ และ (x1, 5x1), (x2, 5x2) ∈ 𝕍 เมื่อ x1, x2 ∈ ℝ

จะไดวา

a(x1, 5x1) + b(x2, 5x2) = (ax1 + bx2, 5ax1 + 5bx2)

= (ax1 + bx2), 5(ax1 + bx2)

เนื่องจาก ax1 + bx2 ∈ ℝ ดังนั้น a(x1, 5x1) + b(x2, 5x2) ∈ 𝕍

นั่นคือ 𝕍 เปนปริภูมิยอยของ ℝ2

① Vl

②checkautbvf Vl

✓


หนา 63


ตัวอยาง 2.2.4 ก าหนดให 𝕍 = {[ x x − 2yx + y + z y − z ∈ 𝕄2×2: x, y, z ∈ ℝ} จงตรวจสอบ

วา 𝕍 เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร 𝕄2×2 หรือไม


① check V f ¢ ( for ooninurononrnhvusnhrMzxz)

② check autbvf V V-a.be/R,V-U,VEVher a,b C- IR

,U,we 1142×2 for u =

n- 24

✓ = I]4+4+7, y, -a,

]

Norm au + bus⑦ E?y


หนา 64


ตัวอยาง 2.2.5 ปริภูมิสูศูนยของเมทริกซ 𝐀 (Null space or kernel of 𝐀)

ก าหนดให AX = 0m×1 เปนระบบสมการเชิงเสนเอกพันธ โดยท่ี A เปนเมทริกซสัมประสิทธิ์อันดับ

m × n

และ X = [

x1x2⋮

xn

∈ 𝕄n×1 เปนเวกเตอรไมทราบคา เซตของผลเฉลยของระบบสมการดังกลาว คือ

Kernel(A) = {X ∈ 𝕄n×1: AX = 0m×1 } จงตรวจสอบวา Kernel(A) เปนปริภูมิยอยของ 𝕄n×1 หรือไม


หมายเหตุ

จากตัวอยาง 2.2.5 จะเรียกปริภูมิเวกเตอร Kernel(A) วาเปน ปริภูมิสูศูนยของเมทริกซ A

(A)

m.nl/n...--0mxi.....i.o:.i:::::::::::::.i:l:i:L.

Iain In. ,

e kernel CA )

ohioio Kernel ( Al f- ¢9W a,b E IR ro: X, ,[email protected]

bxz) = a AX,

+ BAX,

= a Em, ,

t O'nx ,

= Tmx , + Em × ,

= Thx lUd'd ax

,+ bxz E kernel ( A)

.

.

.Kernel CA ) NeidigDerouen Mn ,


หนา 65


ตัวอยาง 2.2.6 จงหาปริภูมิสูศูนยของ A = 1 −5−3 15


.

Kernel CA) = { X E Mz× , / A X = Ox , }I I

¥knkernel IAI - f E Man : f ? , I, If } ) if I ] , x, y ER)

= { f } ) t IM ,× , :x - 59--0 , -3 x tHy-

- o,X, y HR}

= { I } It Man : x = sy , x.yHR)

= { ( 53 ) E IM z× , : y t IR }= {y f ? I c- Man : y HR }

( = ft f : I c- IM a× ,: t t IR))


หนา 66


ตัวอยาง 2.2.7 จงหาปริภูมิสูศูนยของ B = 1 1 1 02 1 0 1


Kernel(B) =

wxyz

∈ 𝕄4×1: 1 1 1 02 1 0 1

wxyz

= 00

Kernel (B) = {XE Man : BX - 9,in th jms

"

2×4

Dormf- 2)R,tRz⇒Rz

( ; ; ; : : : ) rt : 's : 8) . . . . - zoo

~ ( l ll O " O

) c- 1) R2 ⇒ R20 I 2 - I :O

Tdw + x + y = O y =

- w - x

x + zy - Z= O z = Xtzy

Iww -- S,x =L,4EUR

wild w = -X - yy = - S - t

t = x -12gTW x - s

, y = t j s.tt/kZ=tt2fs- t)

IN wi - s - t ko : 2- = stzt

= - t - "

f¥darn kernel (B) ={ EM

,:S.tt/R }


หนา 67


2.3 ผลการแผของเซตของเวกเตอร

2.3.1 ผลรวมเชิงเสน

ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ ให v1, v2, v3, … , vn เปนเวกเตอรใน 𝕍 จะกลาววาเวกเตอร

u เปน ผลรวมเชิงเสน (linear combination) ของเวกเตอร v1, v2, v3, … , vn ถามีสเกลาร

c1, c2, c3, … , cn ท่ีท าให

u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn

ตัวอยาง 2.3.1 เวกเตอร (1,2) ∈ ℝ2 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร (2,1), (3,1) หรือไม


Tw C, .cz ER

farm(1,2) = d,( 2,1) t Cz ( 3,1 ) = ( 24,47+134,4)

= @C , -13g , d , tf )

TN Id,t 3£ = I-①

C,t Cz =L - ②

C-2) x@ ; -2C , -2£= - 4 - ③

① + ③ j d,=-3 no :9or 4=5

Gusto ( n,2) = 5 ( 2,1 ) - 3 ( 3,1 )

Gmtv ( n,2) shfrwosiwro, rohan (2,1)

"N : 13,1) *


หนา 68




9W C, , Cz EIR

Farm(1,2) = C

,( 2,17 + { ( 4,2)

= ( 2C , -144 , C , -124)

HLd, +44

= l -①

C,-124--2 - @

"o :9N 20×2 ,2C

,-144=4

Blohm ①

dat fi ,2)YNNrworwrohNVrb 12,131W :( 4,2)

*


หนา 69




①Quiz # s

⑦ bonbonof 10,07 EIRE of voor>wedge Evasionnor (2, 17,14,2)UPON

X +3g - O

x=-⑦X -15--0

X = - 5


หนา 70


2.3.2 ผลการแผ

เซตของผลรวมเชิงเสนท้ังหมดของ v1, v2, v3, … , vn เรียกวา ผลการแผ (span) ของเซตของ

เวกเตอร {v1, v2, v3, … , vn} เขียนแทนดวย Span{v1, v2, v3, … , vn} กลาวคือ

span{v1, v2, v3, … , vn} = {c1v1 + c2v2 + ⋯ + cnvn| c1, c2, … , cn ∈ ℝ}

ในกรณีท่ัวไป ส าหรับ S ⊂ V และ S ไมเปนเซตวาง นิยามให

spanS = {c1v1 + c2v2 + ⋯ + cnvn | v1, v2, … , vn ∈ S, c1, c2, … , cn ∈ ℝ และ n ∈ ℕ}

ตัวอยาง 2.3.6 จงหา span{(2,1), (3,1)}


Span 411,27 } = { ta , d ) : t t IR }

¥" """

span } ( 2,11 , 13,114 = { 512,1 ) t 'll 3,1 ) : s, t EIR }= { ( IS -13T , St t ) : s

,t t IR Y


หนา 71


ตัวอยาง 2.3.7 จงหา span{(2,1,0), (3,1,0)}


ตัวอยาง 2.3.8 ก าหนดให e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) และ e3 = (0,0,1) เปนเวกเตอรใน ℝ3

(i) จงแสดงวา span{e1, e2} = {(a, b, 0) ∶ a, b ∈ ℝ}


(ii) จงแสดงวา span{e1, e2, e3} = ℝ3


Span ) ( 2,401,13, 1,0))

=/ SCI, 1,01 + tis,I,o) : s.tt IR }✓

=/ ( 25+3-1 , sit, o) : S,

-LER}

= { SIT,go) t ECG, 1,0) : ft c- IR}

span 're , , ez ) -

- face ,go) tbfo, so) : a,b ER }= Ks

,-1,o) : s, talk } r

={ la , b, o) : a,b TRY ✓

spanfenez.es/--fxCi,o,0l-ylqi,o7tzCqgD:x.y,ZtRJ--{ ( x, 3,7 ) :X, y, z EIR } = IR

}


หนา 72


ทฤษฎีบท 2.3.1 ให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอร

ถา u, v ∈ 𝕍 แลว span{u, v} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍

ทฤษฎีบท 2.3.2 ให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอร

ถา v1, v2, … , vn ∈ 𝕍 แลว span{v1, v2, … , vn} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍


1. span{v1, v2, … , vn} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍 ท่ีเล็กท่ีสุดที่มี v1, v2, … , vn เปนสมาชิก

นั่นคือ ถา 𝕎 เปนปริภูมิยอยของ 𝕍 และ v1, v2, … , vn ∈ 𝕎 แลว

span{v1, v2, … , vn} ⊂ 𝕎

2. ถา 𝕍 = span{v1, v2, … , vn} แลวจะกลาววา เซต {v1, v2, … , vn} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร

(span the vector space) 𝕍 นั่นคือ ส าหรับทุกเวกเตอร u ∈ 𝕍 จะเปนผลรวมเชิงเสนของ

v1, v2, … , vn กลาวคือ

จะมีสเกลาร c1, c2, … , cn ท่ีท าให u = c1v1 + c2v2 + ⋯ + cnvn

3. ส าหรับ S ⊂ V และ S ไมเปนเซตวาง ถา 𝕍 = spanS แลวจะกลาววา S แผท่ัวปริภูมิ

เวกเตอร 𝕍

HEY, X =

a,V, tbqvzt 9, v>t - - -t 9 nvm


หนา 73


ตัวอยาง 2.3.9 จงพิจารณาวา {(2,1), (1,2)} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℝ2 หรือไม


span 412,139,234 RE

Ii (x, y ) EIR

'd9W I a,b ER

(x, y ) = a ( 2,17 tb( 1,2)

= (Satb,a + 2b )

x = 2.at b - ①

y -- a + ab - @ } m a,b= ?

② x2ha" ay -

- 2A + 4b - ③

③ - ① Tor ay - X = 3b I b -- 2y EIR

① x 2 IN 2X = 4at2b - ④

④ -② for 2x -y = za .

"

.

a = 25-1HR

diver Hip = (2×-3+112,1) + (2y ( 12)

Kroto spank 411,4274 = Rd#


หนา 74


ตัวอยาง 2.3.10 จงพิจารณาวา {(2,1,0), (3,1,0)} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℝ3 หรือไม


span -42,101,1%04 ? 1123

9W (x, y, Z) ER

'bro :S a , b E IR nd

CX,4,7 ) = a ( 2,1 , o ) tbf

3, 1,0 )

= ( sat zb , atb,O )② ×3 ; 3g = 39+3 b

-⑤

TN x = 2A +3 b -① ⑤ -① ;3y-x

y = atb- ② ② xd ; dy = 29 + 2b - ④

-③① -④ ; x-zg

dorm CX,y,i ) Iwrriuvnm

a,b IN

.

'

. span912,101,131,014 FR'xx

(2, 1,5) f- a ( 2,1 , o) tbc 3,10)


หนา 75


ตัวอยาง 2.3.11 จงพิจารณาวา {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℝ3 หรือไม


9W (x, y , 't) ER

'soo:9Wd a,b , C EIR ri

(X, 4,7) = all, 2,0) + b( 3,1 , o) t d(1,93)

= ( at 3b -1C, 2A + b +2C,Oto -13C)

too ,a +3 b + d = X

da + b tac - y3d = Z

"odd- I - b

- 2 : -2X

I 3 1 : x

(§ to } ! If Info -5 o : y-2X ) tuk, +Rater,

o o n : 7g R,⇒ R,

I: ! ! ! REM

townsat 3 btc = X

b = 2×-1 ER5

C = Zg f IR

:.a -1312×51) + I =

"

a = x - ¥(2x - y ) -125C- R

Vuolo spanflip ,07,131,07, G , 2,374=1123 xx


หนา 76


ตัวอยาง 2.3.12 จงพิจารณาวา {1, x, x2} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℙ2หรือไม


9W pix,EPzfonplxt-axdtbxtdjqb.de/R7Npixi=a(x4tblxltdll)

d. or spank,x,x4 =p's

*


หนา 77


ตัวอยาง 2.3.13 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, x2} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℙ2 หรือไม


•

GW pane Pa forplxt-axdtbx-ciqb.at/Rrwwdbi8a,ptRndriihrax2tbx-iC=L ( i - x 's +1311 +x)

=L - snxdtptpx= -xx

'd+pxtcxtp)

a = - L

b -- p

tab-⑧oh 18on a = 0

,b = I

,2=0 f - O -11

pal =@xd tax to c- Pg

loin ⑧ Tom

:. span 41 -xd, it x ) t Pg


หนา 77


ตัวอยาง 2.3.13 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, x2} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℙ2 หรือไม


9W Pex) ft Pg Tor pox, = ax? bxtc ; a.HER

ruwrrlw at a, p, y

E R rt

axttbxtd = LG - x's +ph +x) thx'D

= C-a + g) x Ipx + Cd -113)

Tor - x x f = a

P =b

x +13 = C

wing. : : : : )I 0 1 : c

n f : g ; : g gr.⇐ Rs

- l l O : a

nf.io. : : : ) Rer,O O 1 : b

/ o l : d

~[! ? ! !.ae?cfHRytR, ⇒Reo o n : b

I 0 0 : c - b

Yoro : a.s.fi:} :& : :O O 7 : b o o

- i :-b

Hurt x = d - b;:a÷÷:Abu panga - x

'd

,itx, nil = Plz*


หนา 79


ตัวอยาง 2.3.15 จงพิจารณาวา 0 11 1 , 1 0

1 1 , 1 10 1 , 1 1

1 0 แผทั่วปริภูมิเวกเตอร

𝕄2×2 หรือไม


① BW ( ¥ Yw ) e 1142×2 ; x.4,7 , wEIR

rants a,b, C , d EIRri

CETI -

- al 1+4191+4: : )-al : :]

= ( ① ② )① =x

① ④② -

- y2×2 ① = 't

④ =w

ma÷÷÷÷on:ion-air .

'

. span 44%-4= 1142×2

Minato rains us"osh8oulrnhorv

-

'

. span 4"G ¥ Man

IFI ①Fai f: Yw ) t Mz, i x. hit , weR

rousts a,b,c,d EIR and

II. II -- al: :] -14191+4: :L -1dL : :]

= (b +Ctd ate + d

yatb 1- d atb -1C

Void b + c + d = x

a + c + d = yAtb t d = z

a + bed = w

①oilohwnrhorrrohrourroi Io

i : : : : :÷¥fi ! ! :

"

: :/ "".

O l l 7 : X

- 7 - 7 - I O - W

1 I 1 O : w

f: : : : :*:p::÷: ::° I 7 I

'

.X

f: : o

' -9 : :) err.⇒r.O O 7 - 7 : w-Z C- 1) R,⇒ R,

O 7 7 7 : X

"÷÷÷:÷÷ti: : : :i:÷t :":*::::

O O 1 2 : xty - w

f ! ! ! ! ! I , err, try

⇒ Ry

: : : :' :*;¥! o - in : z

- w

i ::÷÷÷÷÷:*! ""

no:L ora t- b t C = w

b - d = w -yC - d = w -Z

d = Ig (x +y t t

- aw )

In-oh

C = ( } ( x ty t t - z w)) + w - Zb = ( Ig ( x x y t z

- zu)) t w -y

a = - f q2 ( x t y t t- Iw) - W ty

- W tz TW

:. spank: ill : : I . It : :D .-Ma..

#


หนา 80


ตัวอยาง 2.3.16 จงตรวจสอบวา [−17

−611

เปนเวกเตอรใน span {[121

, [−2

02

} หรือไม


9W a,bflR fav

E:I=aKl+bT:L

'÷:LIN

a - 2b = - 17

ayLa =

- b- z -2b = - 17

q + 2b = 11 14 - 2b

"aid a = - s no :b .- a .,+%!ab i 14i. III. c- spank}H)* BE


หนา 81


ตัวอยาง 2.3.17 ให p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 3 และ q(x) = 3x3 − 5x2 − 4x − 8 เปน

พหุนามในปริภูมิเวกเตอร ℙ3จงตรวจสอบวาพหุนามตอไปนี้ เปนผลรวมเชิงเสนของ p(x) และ q(x)

หรือไม

(i) f(x) = −2x3 + 3x2 − x + 5


9W a,b e- IR fav fans apex) + bqcx)

- 2X 't 3x! X -15 =a(x3-2×2-5×-3) + b (3×15×74×-8)w

= ( a -13b) x'tf-da -54×2

tf -sa - 4b) x tf - za- Sb)nm

Toa + zb =

- 2

- 2A - 5b = 3

-sa - 4b =- I

→ a - 8b = 5

""" t÷÷i÷÷t. ..

I 3 : - 2

Yo i : . . ) 's:* :#¥:O 11 : - y

(5) R,+ R,⇒ R,

O 1 : - y(3) R

,+ Re, ⇒ Ry

3 9 :- 6

I 3 : - 2 o- 17 : 17

N (O l : - y ) EHR, + R, ⇒ R,

O o : OC- 1) R,

+ Ry⇒ Ryo O : o

O - 7 : y

giilwloioia + 3b = - 2

b = - l

.

'

. A = I

dnt fix ) idrworswbvirnirns pan might#


หนา 82


(ii) g(x) = −2x3 − 2x2 + x + 5


9W a,b c- R nd gun = apex, + bgcx)

i:÷÷÷÷ii÷÷÷÷÷lA + Bb = - 2

b = - 6

0 = 57

o = s } Xf.waswrong


หนา 83


2.4 การเปนอสิระเชิงเสน ฐานหลัก และ มติ ิ

2.4.1 การเปนอิสระเชิงเสน

บทนิยาม 2.4.1 ให S = {v1, v2, v3, … , vn} เปนเซตของเวกเตอรในปริภูมิเวกเตอร 𝕍

1. จะเรียกเซต S วาเปน อิสระเชิงเสน (linearly independent) ถา c1, c2, c3, … , cn ∈ ℝ

ท่ีท าให

c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn = θ𝕍 แลว c1 = c2 = c3 = ⋯ = cn = 0

2. จะเรียกเซต S วา ไมเปนอิสระเชิงเสน (linearly dependent) ถามี c1, c2, c3, … , cn ∈ ℝ

อยางนอย 1 ตัวทีไ่มเปนศูนย ท่ีท าให

c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn = θ𝕍

ในกรณีท่ัวไป ส าหรับ S ⊂ V และ S ไมเปนเซตวาง จะกลาววา S เปนอิสระเชิงเสน ถา ทุกๆ เวกเตอร

ท่ีแตกตางกันจ านวนจ ากัดใน S เปนอสิระเชิงเสน

ตัวอยาง 2.4.1 จงพิจารณาวาเซต S1 = {(2,1), (3,1)} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม


Mw a,b HR nd a(2,171-43,17=10,01

(dat 3b , a tho ) - Ca, o)

Indo La -133=0 - ①

at b - o - ②

"drums ; IN a = - b

under ① j 21 -Ht Sb -- o

& 'M S,bohemia, :b, ,gub -

-

oxy.

'

.

a -- o


หนา 84


ตัวอยาง 2.4.2 จงพิจารณาวาเซต S2 = {(1,2), (2,4)} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม


9W a ,b c- IR & all ,2) + b12, 4) = ( go )

( a + 2b, 2.at 4b) = ( go)

for a + 2b = O

da -14 b -- O

uol.lk a = - 2b

inion b = 1 IN a = - 2

C-2) ( 1,2 ) t (1) ( 2,67 = f -2+2,- y -191=190)

.

'

.

S,bdvirnldosmrsro.ir


หนา 85


ตัวอยาง 2.4.3 ก าหนดให e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) และ e3 = (0,0,1) เปนเวกเตอรใน ℝ3

จงพิจารณาวาเซต S3 = {e1, e2, e3} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม


IN a,b , C EIR nd

aeitbeztdez = 10,90 )

( 90,0 ) -110,40) -110,9C) = ( 0,90)

( a ,b , C ) = 190,0)

.

'

.

a=b= d = O

dash S,of uirnosr : idiot #


หนา 86


ตัวอยาง 2.4.4 จงพิจารณาวาเซต S4 = {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม


AW a,b , c e IR nd

Afl , 2,0) t b ( 3 , 1,0) t d ( 1,2, 3)= ( 0,90 )

m a ,s, c - ?

oh ① a = Ss Ceorotor,

② 8 auto b un d ndlshdro

④horror :


หนา 87


ตัวอยาง 2.4.5 จงพิจารณาวาเซต S5 = {[120

, [310

, [123

} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม


Bair a. b. c EIR ai

411+411+411=1%1

iToi a -135 + d ' O

Lat b -12C - o

3d = 0 .

'

.

D= O

Ho : at > b - O

Lat b -

- o .

'

.

b = - 2A

Torah a +3/-291=0-59=0 .

'

.

a = o un :b-

- o

dvIo 5,iooutoraoouirasidv A


หนา 91


ตัวอยาง 2.4.9 จงพิจารณาวาเซต {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม


Bai a. b. CER ri

9ft - xD tbfitx) -145×44×-2) = o

f - a -15C)xF( b -14C) x + (atb -24--0Join

a + b - Id = o

-a! !: ::}

" "" = ?

""

i:i÷÷~ (

'

o

'

, -24:

?o ) GR, -1123 ⇒ R,

0 I 3 : O

f: :-

: : : ) eiriiriiii.O O - l : O

~ (¥ ! ! ! ! ) HR,⇒ Rs

=

O O 1 : o

=

dish a t b - Id = O

b t 4 d = O

C = O

h

- .b = 0

,a = O

MA behindhand

*

f-a -15C)xF( b -14C)x + (atb -24--0

Wmv X - O,

Atb - Id =O

"no X - l , fat 5C + b -14 d fat b - Id - O

2b +9C = O

"nr X = - l, fat 5C -4 - Lid +4+4-21=0

- d = 0

.

'

.C = O

b so

a = O

gtfo practitioners .-idiot *


หนา 94


ตัวอยาง 2.4.12 จงพิจารณา 0 11 1 , 1 0

1 1 , 1 10 1 , 1 1

1 0 เปนเซตอิสระเชิงเสน

หรือไม


Tai a,b,c,d f R nd

al : : list : : I + cc : : I+ al : : 1=1 : :3

i: :c:: : : : e : :SId b + Ctd = 0

a t d t d -

- O

a + b t d -

- o

Atb t d = O

www Al"

l: : :* :H:LI 1 I 0

=

dorm0 I 7 7

i÷÷÷H÷.÷÷÷i.

- i o - I - l

R,# R,

=/ ! ! ! 1. R.# he1 0 I 1

I 1 0 I

=/ a 1 O - t ) R,+ Ry ⇒ Ry

O 7 7 7- I - I O - I

O - l l - I

O - I O l

l l O lc - I > R2tRg⇒R3=) o l O - t ) R,

+ Ry ⇒ ReO O 0 I

0 0 I -2 o y o- I

= - / ! ! ! ! ) R,⇐ Re

O O O l =- I

def A =- i Fo

I . r:worms ornoisome iW③-

shoto 9=b=C=dd.or nonfiction

idiot *

A¥⑦ det A to ⇒

srwoioouramhioia =5=c -

-doo

② At A =o ⇒srwoiooro.irvon on

wososuross

.

Hydra


หนา 95



1 1 , 1 10 1 , 1 1

1 1 เปนเซตอิสระเชิงเสน

หรือไม


Ara,b,qdtRWal : :] -14 : :] .cl : :]

-idk ,'ll ::]

E::: : :c:c.se: :STd btdtd = 0

a td td-9tb td = 0

btc + d = o

Hurford Ax - Did

i:÷ :*:",

any:÷÷:L .Tudo AX -

- B8woiaouodvwywfroioo.org

.

'

.

irnrridrarnorohrrsrourot *


หนา 96


ในการตรวจสอบวาเซตใดไมเปนอิสระเชิงเสนหรือไม สามารถตรวจสอบไดจากทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎีบท 2.4.1 ก าหนดให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ S = {u1, u2, … , un} เปนเซตยอยของ

𝕍 โดยท่ี S ไมมีสมาชิกเปนเวกเตอรศูนย จะไดวา S ไมเปนอิสระเชิงเสน ก็ตอเมื่อ มีเวกเตอรใน S

ท่ีเปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอรท่ีเหลือใน S

ตัวอยาง 2.4.14 จากตวัอยาง 2.4.6 จะไดวา

[1

−23

= (−1) [56

−1+ 2 [

321

จะไดวา [1

−23

เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร [56

−1 และ [

321

จากทฤษฏีบท 2.4.1 จะไดวา {[1

−23

, [56

−1, [

321

} ไมเปนอิสระเชิงเสน


5x2 + 4x − 1 = (−5)(1 − x2) + 4(1 + x)

นั่นคือ 5x2 + 4x − 1 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร 1 − x2 และ 1 + x

ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} ไมเปนอิสระเชิงเสน


1 11 1 =

12

0 11 0 +

12

1 01 1 +

12

1 10 1

นั่นคือ 1 11 1 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร 0 1

1 0 , 1 01 1 , 1 1

0 1

ดังนั้นเซต 0 11 0 , 1 0

1 1 , 1 10 1 , 1 1

1 1 ไมเปนอิสระเชิงเสน

stiff .lk/.lH3


หนา 97


2.4.2 ฐานหลัก และ มติิ (Basis and dimension)

บทนิยาม 2.4.2 ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ S = {v1, v2, v3, … , vn} เปนเซตยอยของ 𝕍

จะเรียก S วาเปนฐานหลัก (basis) ส าหรับ 𝕍 ก็ตอเมื่อ

(i) เซต S เปนอิสระเชิงเสน และ

(ii) เซต S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍 กลาวคือ span S = 𝕍

ในกรณีท่ัวไป ส าหรับ 𝑆 ⊂ 𝕍 ท่ี 𝑆 ไมเปนเซตวาง จะกลาววา 𝑆 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍 ก็ตอเมื่อ S

เปนอิสระเชิง

เสน และ S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍


ปริภูมิเวกเตอรท่ีคุนเคยและทราบฐานหลักไดงาย ไดแก

1. ปริภูมิเวกเตอร ℝ𝑛 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

Eℝn = 1, 0,0,0, … ,0n−1 ตัว

, 0,1, 0,0, … ,0n−2 ตัว

, … , 0, … ,0,0n−2 ตัว

, 1,0 , 0, … ,0,0,0 ,n−1 ตัว

1

และจะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ ℝn

เชน {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} เปนฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ ℝ3

2. ปริภูมิเวกเตอร ℙ𝑛 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

Eℙn = {1, x, x2, x3, … , xn} จะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ ℙn

เชน Eℙ2 = {1, x, x2} เปนฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ ℙ2

3. ปริภูมิเวกเตอร 𝕄m×n จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

E𝕄m×n = {eij ∈ 𝕄m×n: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

เมื่อ epq = [aij m×n ภายใตเงื่อนไข aij = 1 เมื่อ i = p, j = q และ aij = 0 เมื่อเปนอยาง

อ่ืน

Epp

Ep,

= 41, x, x! x'}


หนา 98


และจะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ 𝕄m×n

เชน E𝕄2×2 = 1 00 0 , 0 1

0 0 , 0 01 0 , 0 0

0 1 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2

4. ปริภูมิเวกเตอร 𝕄 ×1 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ

E𝕄 ×1 = {ei ∈ 𝕄 ×1: 1 ≤ i ≤ m}

เมื่อ ep = [aij m×1 ภายใตเงื่อนไข ap1 = 1 และ aij = 0 เมื่อเปนอยางอื่น

และจะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ 𝕄m×1

เชน {[100

, [010

, [001

} เปนฐานหลักธรรมชาติส าหรับ 𝕄3×1

e."ill

'

: is.÷m÷ :L .

c:÷%c÷.si: : :L .c::÷n:::si: ::B


หนา 99


ตัวอยางตอไปนี้ ไดแสดงการเปนเซตอิสระเชิงเสนและการแผทั่วปริภูมิเวกเตอรในหัวขอ 2.3

และ 2.4 เพ่ือเปนการยืนยันวาฐานหลักของปริภูมิเวกเตอรใดๆ จะมีไดหลายรูปแบบดังนี้

ตัวอยาง 2.4.17 จงตรวจสอบวา {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3 หรือไม


ตัวอยาง 2.4.18 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, x2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2 หรือไม


-

① check for:Border

9W a,

b,C EIR of

all, 2,0 )

+ BC 3,1,9 -141, 2,3)

= CO, 0,0)

( )

(at 3b -1C , dat b -12C, 3C)= (0,90)

Tor at zbtd = O

da t b +2C= 0

3d = O .

.

.

d = O

Mohd b = - saunder a + 3b + C -0

Td a t 3C- 297 to= O

- 59 = 0

A = o .

'

.

b = O

[email protected],44314 ¥ R} )9W ( x, y,H c- 11238 a,b, C EIR

si

(x,y,t) = all, 2,0)

+ b(3,40) td ( 433)

= ( Atsb -1C , 29 tb -12C , 3d)

Td at 3 b t c = x

da t b -12 d -

y3 d = Z

"

rt: : ::

: 't. . .

. . . :*

~ f: ¥ !:

faf ear , tr,⇒ r,

O o 1! I (f) Rz ⇒ Rs

f: : : : :÷g⇐µ⇒r.O O 7 = I

}

ohioa + 3 b t d = X

b = 2×-95C -

- I• 3. . A = x - 31217) - I

Gear span { ( i , 2 , o ) , G, i, o ), 11,43)} = IR}

roil din

{ did , O ) , (3, I, 01, Cl, d, 37} Idrag ,ruin Indo R'

*


หนา 100


ตัวอยาง 2.4.19 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2

หรือไม



1 1 , 1 10 1 , 1 1

1 0 เปนฐานหลักส าหรับ



S,= ft - xd, I + X, 5×2+4x - I }

18'

oooh S,Ish dvronohrr : idiot

.

'

.

S,4duty,wait rn Pz


หนา 101



1 1 , 1 10 1 , 1 1

1 1 เปนฐานหลักส าหรับ



ตัวอยาง 2.4.22 จงตรวจสอบวา {[1

−23

, [56

−1, [

321

} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม


HW # 15 .

01.2020

89dam oh Yi - ax ? it qaxdfidrywuonr.info/Pgu9o9si


หนา 102


ทฤษฎีบท 2.4.2 ให S = {u1, u2, … , un} เปนฐานหลักส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 จะไดวา

(i) ส าหรับแตละเวกเตอรใน 𝕍 สามารถเขียนเปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอรใน S ไดเพียงแบบ

เดียวเทานั้น

(ii) ถา S1 = {v1, v2, … , vm} และ span S1 = 𝕍 แลวจะมีเซตยอยของ S1 ท่ีเปนฐานหลัก

ส าหรับ 𝕍

(iii) ถา S2 = {v1, v2, … , vk} เปนอิสระเชิงเสน แลว k ≤ n

(iv) ถา S3 = {v1, v2, … , vm} เปนอิสระเชิงเสน และ m < n แลว S3 ไมเปนฐานหลักส าหรับ

𝕍 (v) ถา S4 = {v1, v2, … , vk} เปนเซตยอยของ 𝕍 และ k > n แลว S4 ไมเปนอิสระเชิงเสน

(vi) ถา S5 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍 แลว n(S5) = n(S)

ตัวอยาง 2.4.23 พิจารณา S0 = {[120

, [110

, [001

} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1

i) ให xyz

∈ 𝕄3×1 โดยท่ี

xyz

= a [120

+ b [110

+ c [001

และ xyz

= k [120

+ l [110

+ m [001

จากทฤษฎีบท 2.4.2 (i) จะไดวา a = k, b = l และ c = m

ii) พิจารณาเซต S1 = {[120

, [110

, [001

, [234

} เปนเซตยอยของ 𝕄3×1

จะไดวา span S1 = 𝕄3×1 และ

S = {[120

, [110

, [001

} , T = { [110

, [001

, [234

} และ U = {[120

, [001

, [234

}

เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 สอดคลองกับ ทฤษฎีบท 2.4.2 (ii)


หนา 103


iii) พิจารณาเซต S1 = {[120

, [110

, [001

, [234

}

เนื่องจาก n(S1) > n(S0) โดยทฤษฎีบท 2.4.2 (v) จะไดวา S1 ไมเปนอิสระเชิงเสน

iv) พิจารณาเซต S2 = {[120

, [110

} เปนเซตยอยของ 𝕄3×1

เนื่องจาก S2 เปนอิสระเชิงเสน แต n(S2) = 2 < 3 = n(S0)

โดยทฤษฎีบท 2.4.2 (iv) จะไดวา S2 ไมเปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1

ดังนั้น span S3 ≠ 𝕄3×1

นั่นก็คือมีเวกเตอรใน 𝕄3×1 ท่ีไมเปนผลรวมเชิงเสนของ [120

และ [110

ตัวอยางเชน [001

ไมเปนผลรวมเชิงเสนของ [120

และ [110

บทนิยาม 2.4.3 ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร จะเรียกจ านวนเวกเตอรในฐานหลักส าหรับ 𝕍 วา มิติ

(dimension) ของปริภูมิเวกเตอร 𝕍

หมายเหตุ 1. ถา S = {u1, u2, … , un} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍 จะไดวาปริภูมิเวกเตอรมีมิติเปน n

และ จะเขียนแทนดวย dim 𝕍 = n และจะกลาววา 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอรมิติจํากัด

(finite dimensional vector space)

2. ถาปริภูมิเวกเตอร 𝕍 มีฐานหลักเปนเซตอนันต แลวจะกลาววา 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอรมิติอนันต

(infinite dimensional vector space) ซึ่งจะไมกลาวถึงในการศึกษานี้ และจะพิจารณาเฉพาะ

กรณีปริภูมิเวกเตอรมิติจ ากัดเทานั้น

3. ในกรณี 𝕍 = {θ𝕍} จะก าหนดให dim 𝕍 = 0

2


หนา 104


ตัวอยาง 2.4.24.

1. dim ℝ3 = 3

เนื่องจาก {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3

2. dim ℙ2 = 3

เนื่องจาก {1, x, x2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2

3. dim 𝕄3×1 = 3

เนื่องจาก {[100

, [010

, [001


4. dim 𝕄2×2 = 4

เนื่องจาก 1 00 0 , 0 1

0 0 , 0 01 0 , 0 0

0 1 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2

ทฤษฎีบท 2.4.3 ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ dim 𝕍 = k โดยท่ี k ≥ 1 และ S =

{u1, u2, … , uk} เปนเซตของเวกเตอรใน 𝕍 ซึ่งมี n(S) = k จะไดวา

(i) ถา S เปนอิสระเชิงเสน แลว S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍

(ii) ถา S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍 แลว S เปนอิสระเชิงเสน

(iii) ถา S เปนเซตอิสระเชิงเสน หรือ S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍 แลว S เปนฐานหลักส าหรับ

𝕍

-


หนา 105


ตัวอยาง 2.4.25 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2

หรือไม

วิธีทํา จากตัวอยาง 2.4.9 จะไดวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนอิสระเชิงเสน

เนื่องจาก 𝑛({1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2}) = 3 = จ านวนฐานหลักธรรมชาติส าหรับ

ℙ2

จะไดวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2

ตัวอยาง 2.4.26 จงพิจารณาวา {[210

, [310

, [123

} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม

วิธีทํา จากตัวอยาง 2.4.9 จะไดวา {[210

, [310

, [123

} เปนอิสระเชิงเสน

เนื่องจาก n {[210

, [310

, [123

} = จ านวนฐานหลักธรรมชาติ = 3

จะไดวา {[210

, [310

, [123

} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3

4. x ;x4

dim IM,×,

= 3

vii. civil


หนา 106


ตัวอยาง 2.4.27 จงพิจารณาวาเซต S = {(2,1), (−1,1)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ2 หรือไม


⑦ ( ariosovon S www.wigdkuoolsi)

TW ( x,g) C- k£ 8 a,b EIR

Wn;lw

(x, y )

= a ( 2,1 ) tbf- 1,1 ) = ( sa- b, a +

b)

Tor Ia - b = x - ①

a + b -

-

y- @

① t@ , za = xxy .

'

.

a = TIL

2×20 ; La tab = ay - ③

③ -① ; 3b = ay -x .

'

.

b -- 2¥

3

duh spans = Rd un : on dim lR&= 2 = HIS )Q

Busto S edu grunion Imru IR xx


หนา 106


ตัวอยาง 2.4.27 จงพิจารณาวาเซต S = {(2,1), (−1,1)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ2 หรือไม


② ( oiriooovin Sidunrnooo:iBWvu8oh)

9W a ,b EIR nd

912,1 ) tbh , , ) = (go )

(da - b,

atb) -494

Nde sa - b -

- o

a t b -

- o

n

'

.

39=0 IN a =o.

'

.

b -- o

dash S sorriness : resent reasondim1R&=2=n1S)

2

Guido S sJv§wu5n3iu8u R #


หนา 107


ตัวอยาง 2.4.28 จงพจิารณาวาเซต S = {[121

, [−2

10

, [101


หรือไม


( arrow Sorrier , :rohdruBohi)9W a,b,c c- IR Tour

al 's,1+b +411=1 !)

⇐÷:S ."Fulvio AX = B

c: : :X:L -t:L-0 I O - 4

mm I = . - it.

= 4 to

④ 1 O O

i , a -- b -- C -- o

.

.

.

S oefvirnoooiir, Nv un : HSI -- 3 = dim 1M, × ,

dude S retry ' rush what IM> × ,

*


หนา 108


ตัวอยาง 2.4.29 ก าหนดให

𝕎 = a b−b c ∈ 𝕄2×2 ∶ a, b, c ∈ ℝ

เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร 𝕄2×2 จงหาฐานหลักส าหรับ 𝕎 และ dim 𝕎


HW# 20.01.

2020

1W -

- fall. ! ) -14.9 ! ) -149914M¥ : aimer }

to "'m 11191,19 :/

.fi:1/inrrrywurnmiwu9oiiyhnrmfl::1.f9:1.Lggjjww.wuinriur'm noir'

?

AW 22.01 . 2020

69 2401.2020 I 12.008.

uriah 7219


หนา 109


2.5 พิกัด และ การเปลีย่นฐานหลัก

2.5.1 พิกดั

ในหัวขอตอไปนี้ จะกลาวถึงเฉพาะปริภูมิเวกเตอร 𝕍 ท่ีมีมิติ n เหนือฟลด ℝ

บทนิยาม 2.5.1 ให B = {v1, v2, v3, … , vn} เปนฐานหลักลําดับ (ordered basis) (เปนฐาน

หลัก และ ถือล าดับของเวกเตอรในฐานหลักเปนส าคัญ) ส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 และ u เปนเวกเตอร

ใน 𝕍 ถา

u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn

เมื่อ c1, c2, c3, … , cn เปนสเกลาร จะกลาววา [

c1c2⋮

cn

เปน พิกัด (coordinate) ของ u เทียบกับฐาน

หลกัล าดับ B และจะใชสัญลักษณ [u]B = [

c1c2⋮

cn

ตัวอยาง 2.5.1. จงหาพิกัดของ (1, −3) เมื่อเทียบกับ B = {(1,0), (0,1)} ซึ่งเปนฐานหลัก

ล าดับส าหรับ ℝ2


9W qb C- IR nd

C- 1,3 ) = a ( 1,07 + b(0,1 )

= (a ,b )

.

"

. a = - I,

b s 3

Hiroo di , 3D,=[ 'z ) *


หนา 110


ตัวอยาง 2.5.2. จงหาพิกัดของ (1, −3) เมื่อเทียบกับฐานหลักล าดับ B1 = {(1,2), (0,1)}

ส าหรับ ℝ2


ตัวอยาง 2.5.3 จงหาพิกัดของ (1, −3) เมื่อเทียบกับฐานหลักล าดับ B2 = {(0,1), (1,2)}

ส าหรับ ℝ2


9W a. b EIRnd

Cl,

- 3) = all, 2) +b. (91 )

= ( a , Latb)

TN a = I no : La + b =-3 .

"

.

b = -5

oui di , -317,3,

= [ Is] XX

Pr a,b EIR minibar

( l,-3) = Aca

,1) tbh, 2)

= ( b,at 2b )

Tor b =L no : a + 2b =-3I

.a = -5

d. or di , -3dB,

= [It *


หนา 111


ตัวอยาง 2.5.4 ให B3 = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} เปนฐานหลักล าดับส าหรับ ℙ3

จงหาพิกัดของ p(x) = 2x3 + x2 + 5x + 5 เทียบกับฐานหลักล าดับ B3


9W a ,b,c , dearndni9w

2113-1×45×+5 -

- all )+b(ltxltdfxd-D-d12xtx3-dx3-dxdtcbtadlx-ca.to- d)

Toro's d- 2

D= I

b -121=5 Yar b -12127=5 .

'

,

b - I

no :Atb - C e- 5 You a -11 - 1--5 .

'

.

9=5

dont [play,,=[ 2×4×45×+51,3, -_ ( Ez ) *


หนา 112


ตัวอยาง 2.5.5 ให B4 = 0 11 0 , 1 0

1 1 , 1 10 1 , 1 0

1 0 เปนฐานหลักล าดับส าหรับ

𝕄2×2

จงหาพิกัดของ P = −1 2−1 0 เทียบกับฐานหลักล าดับ B4


9W a ,b , c. d EIRsinister

PI 'ol -- al : :/ + bl : : ) -1cL I -1dL : :]

= fbtdtda + c

atbtd btc )Tor b +Ctd = - I

a + C = 2

Atb + d =- I

b t d = O

Bourn

O l l l : - l

l: :÷:÷÷H: : :÷÷gn⇒.O 7 7 O : O

to :÷÷÷:p ::*:÷:O 7 7 0 : O

! ! ! f : : : : : :/ " 'm .ir.O O -2 O : - 2

° o o - i ; yl -1) Rg 1- Ry#RyO - I - I - l i 1

I 0 I O'

.

L

f: : : : : ;ft⇒rs⇒r,o o o 1 : - I C- 1) Re

,⇒ Ry

Toi a + d = 2

btc + d = - I

C = I

d = - y

.

'

,

a = 2,bi - I

•*

e: :D..

.- fi:L *


หนา 113


ทฤษฎีบท 2.5.1 ให B เปนฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 จะไดวา

(i) พิกัดของเวกเตอร u เทียบกับฐานหลักล าดับ B มีเพียงตัวเดียว

(ii) [cu + dv]B = c[u]B + d[v]B ส าหรับเวกเตอร u, v และสเกลาร c, d ใดๆ

(iii) [u]B = 0n×1 ก็ตอเมื่อ u = θ𝕍

ขอสังเกต ถาเซต B มี k สมาชิก และเปนฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 จะไดวา พิกัดของ

เวกเตอร u เทียบกับฐานหลักล าดับ B จะเปนเมทริกซอันดับ k × 1

ตัวอยาง 2.5.6 ให B3 = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} เปนฐานหลักล าดับของ ℙ3

a) จงหา [3x3 + x2 + 5x]B3 และ [−x3 − 4x2]B3


✓

④ (3×75+5×1,3=(11/1)+1 Hux ) t f) ( x'- 1) +C) (ex xx'D}9W a,b, c, d ER

ndn99w

3×7×2+511 = all ) + bfitx) -14×2-1 ) + d. (2x -1×4

→ 3-4×2= d×3+cx2+ cbtadlxt ( atb - C)

for d =3 D= - IC -- I C = - 4

b + ad = 5 .

"

.be -1 bead =o I . b=2

Atb - C = 0 .

'

.A = 2 Atb - C = 0 .

'

.

a= - G

- 6

did [ 3×7×45×1,3,

= (÷ ) i. [ - X'-451,3;=¥)#


หนา 114


b) 2[3x3 + x2 + 5x]B5 + 6[−x3 − 4x2]B5


'3

'3

213×4×2-15 x) B t 6 [ - 43 - 4x4 B3 3

=t÷ti÷li:


หนา 115


c) [2(3x3 + x2 + 5x) + 6(−x3 − 4x2)]B3


d) จงหาพหุนาม p(x) ท่ีท าให [p(x)]B3 = [

−3 2 0 9


[ 213×4×45×1 -161-X'- 4×31,3=1-22×710×1,3

,

Gofa,b,qdfRW -22×2+1011 = all) tblltxltccx? , > + d (2x -1×3

= dx3 + cxdtcbtadgx + (atb - C)

.

'

-d- O

,C = - 22

bead - lo I.

be 10

Atb - Ceo .

'

.

a = - 32

d > we [ - 22×410×7,3,

= [ 72g!) #

Td pan = (-37117+12) Atx) -11071×11) -1191/2×-1×7

= 9×3-120×-1XX


หนา 116


ทฤษฎีบท 2.1 ถา B เปนฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vk} เปนเซตของ

เวกเตอรใน 𝕍

แลว D เปนอิสระเชิงเสน ก็ตอเมื่อ {[v1]B, [v2]B, [v3]B, … , [vk]B} เปนอิสระเชิงเสน

ทฤษฎีบท 2.2 ถา B เปนฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vk} เปนเซตของ

เวกเตอรใน 𝕍 แลว D เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍ก็ตอเมื่อ {[v1]B, [v2]B, [v3]B, … , [vk]B} เปนฐาน

หลักส าหรับ 𝕄k×1

ทฤษฎีบท 2.3 ถา B เปนฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vn} เปนฐานหลัก

ส าหรับ 𝕍 แลว P = [[v1]B [v2]B [v3]B … [vn]B] เปนเมทริกซไมเอกฐาน

ตัวอยาง 2.5.7 เนื่องจาก D = {(1,2,0), (3,1,0)} เปนอิสระเชิงเสนใน ℝ3 และ

[(1,2,0)]B = [210

, [(3,1,0)]B = [310

โดยทฤษฎีบท 2.2 จะไดวา {[210

, [310

} เปนอิสระเชิงเสนใน 𝕄3×1

พิจารณา B = {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3 และ

[(1,2,0)]B = [210

, [(3,1,0)]B = [310

, [(1,2,3)]B = [123

โดยทฤษฎีบท 2.3 จะไดวา P = [210

[310

[123

= [210

310

123

เปนเมทริกซไมเอกฐาน


หนา 117


2.5.2 การเปลี่ยนฐานหลัก (Change of Basis)

ก าหนดให B = {v1, v2, v3, … , vn} และ

C = {u1, u2, u3, … , un}

เปนฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 และ u เปนเวกเตอรใดๆ จะไดวา

u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn

และ

u = d1u1 + d2u2 + d3u3 + ⋯ + dnun

เมื่อ c1, c2, c3, … , cn, d1, d2, d3, … , dn เปนสเกลาร ดังนั้น

[u]B = [

c1c2⋮

cn

และ

[u]C = [

d1d2⋮

dn

พิจารณา

v1 = a11u1 + a21u2 + a31u3 + ⋯ + an1un

v2 = a12u1 + a22u2 + a32u3 + ⋯ + an2un

⋮ vn = a1nu1 + a2nu2 + a3nu3 + ⋯ + annun

ในกรณีท่ัวไป ส าหรับแตละ i = 1,2,3, … , n ให

vi = a1iu1 + a2iu2 + a3iu3 + ⋯ + aniun

เมื่อ a1i, a2i, a3i, … , ani เปนสเกลาร

ดังนั้น

[vi]C = [

a1ia2i

⋮ani


หนา 118


พิจารณา

[u]C = [c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn]C

= c1[v1]C + c2[v2]C + c3[v3]C + ⋯ + cn[vn]C

= c1 [

a11a21

⋮an1

+ c2 [

a12a22

⋮an2

+ c3 [

a13a23

⋮an3

+ ⋯ + cn [

a1na2n

⋮an𝑛

= [

c1a11 +c1a21 +

⋮c1an1 +

c2a12 +c2a22 +

⋮c2an2 +

c3a13 +c3a23 +

⋮c3an3 +

⋯⋯

⋯

+cna1n+cna2n

⋮+cnann

= [

a11a21

⋮an1

a12a22

⋮an2

a13a23

⋮an3

⋯⋯

⋯

a1na2n

⋮ann

[

c1c2⋮

cn

= P[u]B

ดังนั้น สรุปไดวา

[u]C = P[u]B ส าหรับทุกๆ เวกเตอร u ใน 𝕍

เมื่อ

P = [

a11a21

⋮an1

a12a22

⋮an2

a13a23

⋮an3

⋯⋯

⋯

a1na2n

⋮ann

และจะเรียก P วาเมทริกซเปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักลําดับ B ไปยังฐานหลักลําดับ C

(transition matrix from the ordered basis B to the ordered basis C)

เราสามารถพิสูจนไดวา

1. P เปนเมทริกซไมเอกฐาน (non-singular matrix)

2. มีเมทริกซ P เพียงตัวเดียวท่ีท าให

[u]C = P[u]B


หนา 119


ส าหรับทุกๆ เวกเตอร u ใน 𝕍

เพื่อความชัดเจนจะแทนเมทริกซเปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C ดวย

PC←B กลาวคือ

[u]C = PC←B[u]B ส าหรับทุกๆ เวกเตอร u ใน 𝕍

ดังนั้น

[u]B = PC←B−1[u]C

นั่นคือ PC←B−1 จะเปนเมทริกซเปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ B

กลาวคือ

PC←B−1 = PB←C

หมายเหตุ ในการหา PB←C สามารถหาไดจากวิธีการดังนี้

1. หาไดเชนเดียวกันกับวิธีการการ PC←B จากวิธีการขางตน

2. หาไดจากการอินเวอรสของ PC←B

I

ftp.lhk =p" TB


หนา 120


ตัวอยาง 2.5.8 ให B = {1, x, x2, x3}, C = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} และ D =

{1, x, x + x2, 2 + x3} เปนฐานหลักล าดับส าหรับ ℙ3

a) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C


-

67 P← B

① m Cio . Cxlc , [ x'lo ,

[ " Ic

(② E. B -- fuk "'c "

'

'c"%)

*

① 2 = ( 1) 4) + ( O ) ( i + x ) +( O ) (XII ) + ( o ) (2x tx)

[ "c- ( log ) 1. a +biixstclx

'-Dtdkxtx)

=dx3-idxd-cbtadjxxca.be)

Hd -- O

C-- o

b tadeo .

'

.bio

Atb - C = 7 -i a =/

X = f- 7) (1) + ( 1) ( i- x ) 1- (O ) ( x't 1) + ( O) ( 2x xx)

do"'il Ea :: :S'Atb - C -- o i. a =

- I

Xd = ( 1) (1) + (o) ( Itx )-11771×41) -1/0112×-1×3)

d - oC =L

[ X' Ig =/ ! ) btzd -

- o i. 3=0

a + be -0 i. a = I

113=(21/1) + f-2) fix) -110 ) ( x'ti) -14112×-1×3D= I

[ x'k -

- f ?;) "II: i. be -2atb - C -0 .

'

,a = 2

owe.it:"

: : *


หนา 121


b) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ D


Quiz a 13,3=47,1×1,1×7,1×7,1# 20.01.2010

*I = ( H fi ) + lol H ) + (

o) ( x txt) -110112K¥-

I een a ,b,C,d

[ 7)D= (a) NOEL

, ah, + bcxi-ccxtxi-dk.tk)°

o x'to x'tox -11= d ×

>+ Cx Qt Cbtc) x + (at 2nd)O

.

'

,d -- o÷÷i÷÷÷÷÷:x

X = ( 01h) + (7) (x ) -11071×-1×3-10112*7*2=(07117*4-1)( x) -111 ) ( xxx') (0112 #xD

Ox' tfhxtoxto 4 Be

b x = 9117 +blxi-clxtx3-dldtx4-X-dx3.cl/dt4tC)XtCa-ad)ox'tox4"¥d-- o

C -

- O C = I

an:c. l÷:÷oa::÷:}÷:: :

i. uh, -- 19g ) Cx 's,#fog)

X? f-2) G) + ( o ) ( x ) i- fo 'll x -1×7+012*7

(1) X't lol X

"t lol X t = d X' text ( b tax Hand)

#d = 1

:÷÷÷l÷÷ :.

'

.[ xD,= f?)

B. B = [ HI , 1×1, hit, Lx ! )

ti: : : *


หนา 122


c) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ B


ax3tbxh-CX-dd-flgltx.nl! ' ,2Xtx'

} B = 41, X , x? x'y Pg

Bec - ( ( ' 1B l 't 't ,* -D,

C" -"7, ]

I = ( 1) 117 + ( O ) ( x ) + ( 0745 + HIX )

gtx = ( 1) ( t )t (1) ( x ) + ( 031×5 x ( o) ( x )

XE , = f -7) ( n ) t ( O ) ( x ) + (1) ( x) + Co) ( x)

2×-1×3 = ( o ) ( t ) + (2) ( x ) 1- ( O ) ( x) + (1) (x)

is::c : :"

: :L .


หนา 123


d) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ D


C-

- fi , HX ,

x'-1,2×-1×3 } ,D -

- fi ,x , xxx'd

,atx)

Ppc - ( ( ' ID l ' -1×7 ,CK - if, Czxtx't,]

7-14-10×404 ' -1+0×+440×3 042×-10×4×3

Tai a,b,c,d f R

nd

o x'tox'

tox -17

I = am + box + ccxtxd) 1- dC2tx}

= dx3 + Cx Lt Cbtc ) x t lated)

Toi d -

- o

C -

- O

b + c -- o -

'

.

3=0

at zd = 1.

'

.

a =L

an Gtx} , ( x'- Dp lzxtxfg" ' D= f ! )

now .,r8ndv


หนา 124


e) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ D ไปเปนฐานหลักล าดับ C


C = 11 , HX ,

x! ',2x xx

'

} ,D -

- fi , x , x + xd, atx)

Pce , -

- fuk Ext ( xxx't lax't ]9W a ,b , c , d EIR

1 =all ) t b ( it x) tax

'- l ) t d ( 2x -1×3 )

= dx 't cxdxcbtzd ) x t ca + b- C )

Tor d -- o

d = 0

bed = O ÷.

b - O

atb - C = 1.

.

.

a = I

-

'

. [ 1)c= fig ) ⇒

mcxk.cxtxyc.cz -1×34


หนา 125


f) จงหาพิกัด [p(x)]B , [p(x)]Cและ [p(x)]D โดยท่ี p(x) = 2 + 5x − x2 + 3x3


13=41,1×9×3) d=fi,i- X. X'- 32×-1×3) D - fi , x. xxx'd

,2tx'

}

[ 2+5×-543×31,3=(121/1)+1511×1 + HIX) -11311×7],

1¥

my 9wqb.c.dfknhi.fr2-15×-1143×3=94 ) -14×1+4×3 + dcx

})

= axbxtdx't dx3

:.

D= 3

C =- I

b = 5

A = 2

C -

- fi , i ex , X'- 32×-1×3)

, pix) = 2+5 X - X

Z-13×3

④*Dc = ( ( 2) (1) + G) ( tix ) tf - 1) ( x'- ht 12×-1×34

'⇒m2 for a ,b , c , d EIR

rt

21-54 - Xd-13×3=911 ) t blltxltccxhtltdczxtx')

= dx3tdx 4- ( b -12dm tlatb-C )

.

'

.

D= 3

C = -1

bed = 5 .

.

.

b- - I

a + b -d = 2 : . 9=2

D= 41 , x , xtxd, 2-1×3} , pix) = 2-15×-7143×3

[ PM) D= (f -4)Htt 6) Htt Cx -1×7+13112+91,

= I *

ng9- a

,b. c. dead

2t5X - x&t3x3_ a tbxtccxtxdytdfaxx}

= dx3 + cxdt ( b +c)X t @tzd)

.

'

-

d =3

d = - 1

bed = 5 .

'

.b - 6

atzd = 2 .

.

.

a =- 4

Documents

nekkarntrong.files.wordpress.com.... อกสรปรกอบกรสอน ðรยวช ð314 211 พชคณตชงสน . หน55 บทที่2 ปริภูมิเวกเตอร์