Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΕΛΙΚΟ - blog

- 1 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http//mathhmagic.blogspot.com

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ



ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ –ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ

(Ρητοί είναι οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν την μορφή µν

, οπού μ,ν είναι ακέραιοι

αριθμοί και 0ν ≠ )

Π.χ Οι αριθμοί 5 6

,3 13− είναι Ρητοί

Οι αριθμοί 55 7 5

, ,17 3 4

− + −−

− − είναι Ρητοί , διότι

55 55 7 7 5 5, ,

17 17 3 3 4 4

− + −= = − − =

− −

Οι αριθμοί 2, 5− είναι Ρητοί , διότι 2 5

2 , 51 1

= − = −

Οι αριθμοί 0.2,2.3 είναι Ρητοί , διότι 2 23

0.2 ,2.310 10

= =

Οι φυσικοί αριθμοί είναι Ρητοί.

Οι ακέραιοι αριθμοί είναι Ρητοί.

Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι Ρητοί .

Οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί είναι Ρητοί ( για παράδειγμα ο αριθμός 6.3445454545454..

στον οποίο το δεκαδικό μέρος 45 επαναλαμβάνεται συμβολίζεται ___

6.3445 )

Φυσικοί Αριθμοί είναι οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...... και συμβολίζονται

με το γράμμα ℕ δηλαδή ℕ = 0,1,2,3,4,... το σύνολο των Φυσικών Αριθμών.

Το σύνολο των ακεραίων είναι οι παρακάτω αριθμοί και συμβολίζονται με το ℤ .

..... 7, 6, 5, 4, 3, 2,1,0,1,2,3,4,5,6,7.........αρνητικοι ακεραιοι θετικοι ακεραιοι

= − − − − − −

ℤ

Ρητοί λέγονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με μορφή κλάσματος.



Το σύνολο των ρητών συμβολίζεται με ℚ .

Για να δηλώσουμε ότι ο αριθμός α είναι φυσικός η ακέραιος η ρητός γραφούμε αντίστοιχα

, ,α α α∈ ∈ ∈ℕ ℤ ℚ

Το σύμβολο ∈ διαβάζεται ανήκει .Σε αντίθετη περίπτωση γραφούμε :

α∈ℕ ( α δεν είναι φυσικός )

α∈ℤ ( α δεν είναι ακέραιος )

α∈ℚ ( α δεν είναι ρητός )

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ

Για τους ρητούς αριθμούς ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες των πράξεων :

i) α+β = β+α και αβ=βα ( Αντιμεταθετικη ιδιότητα )

iι) (α+β)+γ = α+(β+γ)και (αβ)γ=α(βγ) ( προσαιτεριστικη ιδιοτητα )

iii) α+0 και α ⋅ 1=α

Ο αριθμός 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση και ο αριθμός 1 λέγεται

ουδέτερο στοιχείο για τον πολ/σμο.

iv) Ισχυει ότι:

α+ (-α)=0 ,για κάθε α ( ο αριθμός α λέγεται αντίθετος του α )

11α

α⋅ = ,για κάθε α ( ο αριθμός

1

α λέγεται αντίστροφος του α )

Ισχύουν ακόμη

i) α β α γ β γ+ = + ⇔ = (Ιδιότητα της διαγραφής)

ii) αβ αγ β γ= ⇔ = (Ιδιότητα της διαγραφής)

iii) ( )α β γ αβ αγ+ = + ( Επιμεριστική ιδιότητα)

Από την Επιμεριστική ιδιότητα και από το γεγονός ότι α-β =α+(-β) προκύπτουν οι

ιδιότητες :

iv) ( )α β γ αβ αγ− = −

v) ( )( )α β γ δ αγ αδ βγ βδ+ + = + + +



Οι βασικές πράξεις στο σύνολο των ρητών είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός .

Την αφαίρεση την ορίζουμε σαν πρόσθεση του αντιθέτου ως εξής :

α -β= α+(-β)

Τη διαίρεση την ορίζουμε ως πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο ως εξής :

1

: , 0α β α ββ

= ⋅ ≠

Οι Ρητοί αριθμοί μπορούν να παρασταθούν πάνω σε μια ευθεία που λέγεται άξονας ,αυτό

γίνεται αν θεωρήσουμε ένα τυχαίο σημείο του άξονα ως 0 (μηδέν).Οι θετικοί βρίσκονται δεξιά από

το μηδέν και είναι μεγαλύτεροι από τους αρνητικούς που βρίσκονται αριστερά από το μηδέν..

έστω ότι το σημείο Α του άξονα αντιστοιχεί ο αριθμός α.

Την απόσταση ΟΑ την λεμέ απόλυτη τιμή του α και την συμβολίζουμε με α .Είναι δηλαδή :

, 0

, 0

α αα

α α≥

= − <

Δηλαδή3 3

7 7, 27 27, , 0 04 4

= − = − = =



ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Ειδικά αν ν φυσικός τότε ο αριθμός -ν είναι ακέραιος ισχύει: 1ννα

α− = ή ( )

νν

ν

α ββ α

− = οπού α,β

όχι μηδέν.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Οπού ν, μ ακέραιοι αριθμοί και α,β ≠ 0 ρητοί αριθμοί

• ν µ ν µα α α +⋅ =

•ν

ν µµ

αα

α−= η :ν µ ν µα α α −=

• ( )ν ν να β α β⋅ = ⋅

• ( )ν

νν

α αβ β

= η : ( : )ν ν να β α β=

• ( )ν µ ν µα α ⋅=

Παρατήρηση

Για α β= τότε ν να β=

Το αντίστροφο δεν ισχύει: πχ 2 25 5 ( 5) 5άαλλ− ≠ − =

ΡΙΖΕΣ

Ορίζεται και 0 0= ρίζα του 0.

Ορισμός

Αν α πραγματικός αριθμός (α ∈ℝ ) και ν φυσικός αριθμός (ν ∈ℕ ) τότε ισχύει:

, 1

....... , 1

1, 0, 0

a aν

ν φορες

α ν

αα α νν α

−

=

= ⋅ ⋅ >

= ≠

Ορισμός

Η τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α ( 0α ≥ , συμβολίζεται α ) είναι ένας θετικός

αριθμός που ικανοποιεί (αληθεύει) την εξίσωση 2χ α= , δηλαδή αν στην θέση του χ

βάλουμε την α ( χ α= ) θα έχω 2( )α α= .



Παράδειγμα

Τετραγωνική ρίζα του 16 , 16 χ= θα είναι ένας θετικός αριθμός (χ > 0 ) που θα αληθεύει την

εξίσωση 2 16χ = .Πράγματι οι αριθμοί +4 και -4 την αληθεύουν αλλά ο -4 δεν καλύπτει τον

ορισμό και απορρίπτεται άρα 16 4= .


Γενικά ισχύει για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό

2

, 0

0, 0

, 0

α αα α α

α α

>

= = =− <

Ιδιότητες ριζών

• α β αβ⋅ = , για α και β θετικά η μηδέν.

•α α

ββ= , οπού α θετικό ή μηδέν και β αυστηρά θετικό .

• 2β α β α⋅ = ⋅ για κάθε β και α>0.

Χρήσιμο σε πολλές ασκήσεις είναι να μπορούμε να μετατρέπουμε ένα κλάσμα με άρρητο

παρανομαστή σε ρητό.

Πολλαπλασιάζουμε και τους δυο ορούς (αριθμητή και παρανομαστή) με τον άρρητο

παρανομαστή.

Πχ 2

1 1 3 3 3

33 3 3 ( 3)

⋅= = =

⋅

ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ

Όμοια λεμέ α < β όταν α – β < 0 και α=β όταν α-β = 0

Από τα παραπάνω προκύπτει : κάθε θετικός είναι μεγαλύτερος του μηδενός

κάθε αρνητικός μικρότερος του μηδενός

Ορισμός

Έστω α και β δυο πραγματικοί αριθμοί .Λεμέ ότι ο α μεγαλύτερος του β και συμβολίζουμε

α > β , όταν η διαφορά α – β >0 δηλαδή είναι θετικός αριθμός

α > β ⇔ α – β >0



Αν τα α και β είναι ομόσημα μπορεί να γίνει σύγκριση του πηλίκου τους με την μονάδα δηλαδή:

• 1αβ> τότε α β>

• 1αβ< τότε α β<

• 1αβ= τότε α β=

Παρατηρήσεις

1. Τα > και < λέγονται σύμβολα της ανισότητας .

2.Η σχέση α < β λέγεται ανισότητα . Τα α λεγεται 1ο μελος της ανισοτητας και το β λεγεται 2ο

μελος .

3.Δυο ανισότητες με το ιδιο συμβολο π.χ α < β και γ < δ λεγονται ομοιοστροφες ενώ με

διαφορετικο ετεροστροφες .

4 . Για πραγματικους α και β που ισχυει : α > β η α = β συμβολιζεται α ≥β.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Α) Αν α > β ⇔ α + γ > β+γ για κάθε α , β , γ πραγματικους .

Αποδειξη

α > β ⇔

α-β > 0 ⇔ (περνάω το β στο πρωτο μελος )

α-β+γ-γ > 0 ⇔ ( προσθέτω το μηδέν σε μορφή αθροίσματος αντιθέτων +γ –γ)

α +γ-β -γ > 0 ⇔ (αντιμεταθετικη -β+γ=+γ-β )

α+γ-(β+γ)> 0 ⇔ (επιμεριστική – ( β +γ )= - β – γ )

α+γ>(β+γ) ⇔ ( περναω στο 2ο μέλος το – ( β+γ) αλλάζει και πρόσημο)

Β) Αν α > β και β > γ τότε α > γ ( Μεταβατική ιδιότητα )

Απόδειξη

α > β ⇔ α-β > 0 το άθροισμα θετικών αριθμών είναι θετικών

β > γ ⇔ β-γ > 0 αρά α - β +β – γ> 0⇔ α– γ> 0⇔ α > γ

Γ)Αν α > β και γ > δ τότε α+γ > β+δ (Πρόσθεση ανισοτήτων κατά μέλη )

Απόδειξη

α > β ⇔ α+γ > β+γ ⇔ ( πρόσθεση στα δυο μέλη του γ)

γ > δ⇔ β+γ >β+ δ⇔ (πρόσθεση στα δυο μέλη του β)

από μεταβατική ιδιότητα έχουμε:

α+γ > β+γ> β+ δ⇔ α+γ > β+ δ

Δ)Αν γ > 0 το α > β ⇔ αγ > βγ ( πολ/σμος των μελών κατά μέλη με θετικό αριθμό δεν

αλλάζει την φορά

Απόδειξη

α > β ⇔ α –β > 0(θετικο) ⇔ και γ > 0 (θετικό ) αρά το γινόμενο οροσήμων ( α – β ) γ > 0



⇔ αγ – βγ > 0⇔ αγ > βγ

Ε) Αν γ <0 το α > β ⇔ αγ < βγ ( πολ/σμος των μελών κατά μέλη με αρνητικό αριθμό

αλλάζει την φορά.)

Απόδειξη

α > β ⇔ α –β > 0(θετικό) ⇔ και γ <0 (αρνητικό ) άρα το γινόμενο ετεροσημων( α – β ) γ < 0

⇔ αγ – βγ < 0⇔ αγ < βγ

ΣΤ) α < β και γ > δ τότε αγ > βδ. Μόνο για α,β,γ,δ θετικούς ισχύει ο πολ/σμος ανισοτήτων

κατά μέλη

Απόδειξη

α > β και γ >0 ⇔ αγ > βγ (1)

όμοια γ > δ και β > 0 ⇔ βγ < βδ (2) μεταβατικά από (1) , (2) έχω αγ > βγ > βδ δηλαδή αγ > βδ.


Πρέπει να γνωρίζουμε ακόμα για α, β πραγματικούς αριθμούς .

Α. Αν α > 0 και β > 0 τότε α+β > 0

Β. Αν α < 0 και β < 0 τότε α+β <0

Γ. Αν α, β ομοσημοι τότε αβ >0 και α:β = α / β > 0 οπού β≠ 0

Δ.Αν α, β ετεροσημοι τότε αβ < 0 και α:β= α / β <0 και β≠ 0

Ε. Για κάθε α ≠ 0 ισχύει 2α > 0 .

Εφαρμογή

Για πραγματικούς και ομοσημους αριθμούς α , β 0≠ (συμβολίζεται αβ > 0) ισχύει:

α < β 1 1

α β⇔ >

Απόδειξη

α < β ⇔ ,

0 0

1 1 1 10 0

α β αβ ετεροσηµαα βα β

αβα βαβ αβ α β α β

−−⇔ − < ⇔ < ⇔

− < ⇔ − > ⇔ >



ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ αχ+β > 0 ⇔ αχ > - β ( προσθέτω και στα δυο μέλη το -β , δηλαδή χωρίζω γνωστούς από

αγνώστους )

1. Αν α > 0 , χ > - β / α η χ > -β : α ( Πολ/ζω και τα δυο μέλη με το θετικό 1/α)

2. Αν α < 0 , χ < - β / α η χ > -β : α ( πολ/ζω και τα δυο μέλη με το αρνητικό 1/α)

3.Αν α = 0 , 0χ > -β α) Αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ αν β θετικό ( -β < 0 )

β)ΑΔΥΝΑΤΗ ,αν β αρνητικό ( -β > 0)


Να λυθούν οι ανισώσεις :

i) 3 21 0x − <

ii) 3( 2) 3 13x x− < −

iii) 2( 1) 3 2 5x x− − ≤ −

Λυση

i) 21

3 21 0 3 21 73

x x x x− < ⇔ < ⇔ < ⇔ <

ii) 3( 2) 3 13 3 6 3 13 3 3 6 13 0 7,x x x x x x− < − ⇔ − < − ⇔ − < − ⇔ < − Αδύνατη.

iii) 2( 1) 3 2 5 2 2 3 2 5 2 2 5 2 3 2 2 5 5 0 0x x x x x x x x− − ≤ − ⇔ − − ≤ − ⇔ − ≤ − + + ⇔ − ≤ − + ⇔ ≤ .

Αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό .

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ )

(βάλε σε κύκλο το κεφαλαίο γράμμα με την σωστή απάντηση)

1. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς χ και ψ ισχύει χ.ψ<0 τότε:

Α. χ>0,ψ>0 Β. χ<0.ψ<0 Γ. χ>0 ,ψ<0 Δ. χ=0,ψ>0 Ε. χ>0 ή ψ=0

2.Αν για τους πραγματικούς αριθμούς χ και ψ ισχύει χ+ψ>0 και χ.ψ<0 και |ψ| < |χ| τότε:

Α. χ>0>ψ Β. χ<0<ψ Γ. χ>ψ>0 Δ. 0<χ<ψ Ε. χ=0 και ψ>0

3. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς χ και ψ ισχύει χ+ψ=0 και 0<ψ τότε:

Α. χ<ψ<0 Β. ψ<χ<0 Γ. χ<0<ψ Δ. χ=ψ=0 Ε. χ>0>ψ

4. Αν για τους πραγματικούς α, β ισχύει α.β = 0 τότε:

Α. α≠ β ,β=0 Β. α=0 ή β=0 Γ. α.1

β=0 Δ. α=2 και β=4 Ε. α, β αντίστροφοι

5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει α ⋅β ⋅γ=0 και β≠0 τότε:

Α. όλοι είναι μηδέν Β. α και γ αντίθετοι Γ. κάποιος των α, γ είναι μηδέν

Δ. α=0 και β, γ διάφοροι του μηδενός Ε. α και γ ετερόσημοι



6. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β≠0 ισχύει αβ

=1 και α+β=20 τότε:

Α.α=3 και β=17 Β. α=β=10 Γ. α=10 και β=-12 Δ. α=0 και β=20 Ε. α=1 και β=19

7. Αν αβ

= 0 και β≠0 τότε ισχύει:

Α. α = 0 και α=β Β. α=0 ή β=0 Γ. α=0 και β≠0 Δ. α=1 και β≠0 Ε. α=β=1

8. Αν 7

5

αβ= και β≠0 τότε ισχύει

Α. α=7 και β=5 Β. α=5 και β=7 Γ. α ⋅β=12 Δ. 7 ⋅β = 5 ⋅ α Ε. α=14 και β=8

9. Για πραγματικούς α, β, χ, ψ ισχύει α = β και χ = ψ τότε:

Α. α.χ = β+ψ Β. α2 = χ2 Γ. α.χ = β.ψ Δ. α+β = χ-ψ Ε. χ2 = β.χ.ψ

10. Για πραγματικούς α, β, χ, ψ ισχύει α = β και ψ = χ τότε:

Α. α.χ=β+ψ Β. α2 = ψ2 Γ. α2 = β.χ.ψ Δ. α-β = χ+ψ Ε. α+χ=β+ψ

11. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει |α| >|β| τότε:

Α. α+β>0 Β. α+β < Γ. δεν μπορούμε να απαντήσουμε Δ. και τα δύο αρνητικά

Ε. ετερόσημοι

12. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς χ>1 και ψ ισχύει χ.ψ=1 (αντίστροφοι) τότε:

Α. χ = ψ Β. ετερόσημοι Γ. ομόσημοι Δ. | χ| = |ψ| Ε. χ >ψ

13. Για πραγματικούς α, β, χ όπου α = β και χ≠ 0 ισχύει:

Α. β+χ = χ+α Β β =χ+ β Γ. α=β = χ =0 Δ. χ2 = α.β Ε. α-β-χ = 0

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ(ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ )

(βάλε σε κύκλο το Σ αν η πρόταση είναι σωστή διαφορετικά σε κύκλο το Λ)

1 . Δύο πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα μηδέν είναι αντίστροφοι . Σ Λ

2 . Αν ο α είναι ο αντίθετος του -β τότε α = β . Σ Λ

3 . Αν α, β πραγματικοί όπου α+β=0 τότε έχουν ίσες απόλυτες τιμές . Σ Λ

4. Αν α, β πραγματικοί τότε α ⋅β = β ⋅α . Σ Λ

5. Αν α, β πραγματικοί που ισχύει α ⋅β=1 τότε |α| = |β| . Σ Λ

6. Για α πραγματικό α ⋅ 1 = α + 1 γιατί 1 ουδέτερο στον πολ/μό . Σ Λ

7. Αν α, β≠ 0 πραγματικοί με α/β=0 τότε α = β . Σ Λ

8. Αν α, β πραγματικοί με γινόμενο μηδέν τότε α=0 ή β=0 . Σ Λ

9. Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο αρνητικό θα έχουν πηλίκο θετικό. Σ Λ

10. Αν α, β, γ πραγματικοί με α ⋅β ⋅γ=2011 τότε α≠ 0 και β≠ 0 και γ≠ 0. Σ Λ

11. Ο αντίστροφος του 1 είναι το -1 . Σ Λ

12. Αν α,β ≠ 0 ,πραγματικοί αριθμοι ώστε αβ

=2 τότε α=8κ και β=4κ,κ ∈ℤ . Σ Λ



13. Αν για τους αρνητικούς αριθμούς α,β ισχύει |α| + |β| = 7 τότε α = β = -3,5 . Σ Λ

14. Αν α, β, γ διαδοχικοί ακέραιοι το άθροισμα α + β + γ διαιρείται με το 3 . Σ Λ

15. Αν α άρτιος ακέραιος τότε το 3 ⋅α + 1 άρτιος . Σ Λ

16. Αν α περιττός ακέραιος τότε το 2 ⋅α + 1 περιττός . Σ Λ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ (ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ )

Αντιστοίχισε με βέλη κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με ένα στοιχείο της δεύτερης στήλης.

Στήλη Α Στήλη Β

(α -β )-4γ 0

α+-[-(-α)] α(γ-β)

(α-2β)+ (β-5γ) -γβ+αβ

α(β +γ)-2αβ 0,25α -

1

4 β

β(α-γ) (α-γ)+β

(α-β):4 α-4γ-β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ )

1)Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα:

i)7 3 1

7 38 2 2− + − ii)

3 1 5 1( ) ( ) ( )

4 2 8 4− − + − − −

2)Να γίνουν οι πράξεις

i) ( 44) : 4 12 5 4( 2) 11− + ⋅ + − + = ii)1

( 12 15) : ( 3) (4 3) : 42

− + − + ⋅ −

3)Χωρίς να γίνουν οι πράξεις , να βρείτε τα πρόσημα των παραστάσεων:

i) ( 4)( 1)( 7)( 9)( 4)− − − − + = ii) ( 10)( 5)(10) : ( 2)(1)( 4)− − − +

4)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

i)

2 101

3 62

13

+ −

− + ii)

1 1 11 1 1

3 2 21 1 1

1 1 13 2 4

− − −+ +

+ + +

iii)

3 1: ( )1 1 4 2(1 ) : ( 1)

4 1 14 2 ( ) : ( )3 2 3

−− − −

− −



5)Να υπολογίσετε το άθροισμα

Α=1

12 3 3 7 2 3 4 9 2 4 5 32

− − + − − − − − + =

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΔΥΝΑΜΕΙΣ )


1.Η δύναμη 1 5(7 )− ισούται με :

Α. 87 Β. 27 Γ. 357− Δ. 5

1

7 Ε. -159

2.Η δύναμη 3 0(2 )− ισούται με :

Α. 302− Β. 32− Γ. 1 Δ. 3

1

2 Ε. -1

3. Αν μ,ν φυσικοί αριθμοί και 1ν µα − = τότε:

Α. α <0 και ν=μ+2 Β. v=1 και μ<0 Γ. α=0 και ν=μ Δ. α≠ 0 και ν=μ Ε. α=0 και ν≠ μ

4. Αν α >0 και ν>1 περιττος (μονός ) τότε:

Α.-α=(-α)ν Β. 1 1( )ν να α+ +− = Γ. 2 1( )ν να α+ +− = − Δ 1( 1) ( )ν να α+− ⋅ = − Ε. 1 2( 1) ( )ν να α+ +− ⋅ = −

5. Αν α ακέραιος αριθμός μη μηδενικός τότε και η δύναμη (αα)α ισούται με:

Α. 2αα + Β. 2α αα + Γ. 2αα Δ. 2αα Ε. 2( )αα

6. Αν ισχύει η ισότητα ( )ν µ ν µα β α β ⋅⋅ = ⋅ όπου α,β >0, πραγματικοί και μ, ν ακέραιοι τότε:

Α. α=β Β. α=ν=1 Γ. β=μ=1 Δ. μ=ν+1 Ε. ν άρτιος και μ περιττός

7. Για την παράσταση Α=(-1)ν+3 το πρόσημο της είναι:

Α. Θετικό Β. Αρνητικό Γ. χωρίς πρόσημο (μηδέν) Δ. Α>0 αν ν άρτιος Ε. Α>0 αν ν περιττός

8. Η παράσταση Α =3 2

1 4

8

4

α ββ α

−

− − ισούται με:

Α. 2

αβ Β. 2 Γ.

7

2αβ

Δ. 7 12α β − Ε. 2

4αβ



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ (ΔΥΝΑΜΕΙΣ)

(βάλε σε κύκλο το Σ αν η πρόταση είναι σωστή διαφορετικά σε κύκλο το Λ)

1. 2 2 1:ν ν να α α −= Σ Λ

2 . ( ) ν ν να β β α− − −⋅ = ⋅ Σ Λ

3. 53 +54 = 53+4 = 57 Σ Λ

4. 0( 5)χ − = 1 για όλα τα χ∈ℝ Σ Λ

5 . 2 1 1:ν ν να α α− − = Σ Λ

6. β2ν+α2ν = 2(α+β)ν αν α=β= ν=2 . Σ Λ

7. Αν α<0 τότε και 5 2( ) 0α − − < , α πραγματικός αριθμός. Σ Λ

8. Αν 0να > τότε και 0να − < Σ Λ

9 . Για πραγματικούς α, β με α = β ισχύει αν = βν όπου ν ακέραιος . Σ Λ

10. Ισχύει (-α)° = -1 για κάθε α≠ 0 πραγματικό αριθμό . Σ Λ

11. Αν ν, μ διαδοχικοί φυσικοί (-1)ν = -(-1)μ (π.χ. v=12 και μ=13) Σ Λ

12. Αν ν άρτιος φυσικός Α= 2 1 2 2 2 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0ν ν ν ν− − + +− + − + − + − = Σ Λ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ(ΔΥΝΑΜΕΙΣ)

1. Αντιστοίχισε με βέλη κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με ένα στοιχείο της δεύτερης στήλης.

Στήλη A - ισότητα Στήλη Β τιμή του χ

2 1 8( )χα α− + = 3

-3

70,( ) 1χαβ

β+≠ =

-5

0

1 3(( ) ) ( )χαβ βα− = 5

-6

5 2 1( )χα α α− −⋅ = +6

+7

2 1 2( )χα α− − = -7



2. Αντιστοίχισε με βέλη κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με ένα στοιχείο της δεύτερης στήλης.

Στήλη Α Στήλη Β

αμ.αν (αβ)μ

αμ.βμ 1

αμ:αν 1/αμ

αν:βν 1/α

α° αν+μ

α -1 αμ-ν

α-μ (α: β)ν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΔΥΝΑΜΕΙΣ)

1)Να βρειτε ποια από τα παρακατω ζευγη αριθμων είναι ισα και ποια αντιθετα.

i) 5 5( 2) , 2− − ii) 8 8( 8) , 8− − ii) 6 61( ) ,3

3−−

2)Να γραψετε τα παρακατω γινομενα με την μορφη μιας δυναμης 4 6

3 2 4

2 5

8 0 7

)( 3) 3

)( 5) 5 ( 5)

)(1.5) ( 1.5)

1 1)( 0.25) ( ) ( )

4 4

i

ii

iii

iv

−

−

−

− ⋅

− ⋅ ⋅ −

⋅ −

− ⋅ ⋅ −

3)Να υπολογισετε τις δυναμεις

2 5

3 2

3 3

2 3 0

)[( 2) ]

1)[( ) ]

10

)[(0.5) ]

)[( 4 ) ]

i

ii

iii

iv

−

−

−

−

−

−



4)Να κανετε τις πραξεις: 3 3

23 3

9 101 2 1

9 7

( 14) ( 27)) 5

7 9

( 5) 2 1) [2 ( ) ]

2 5 5

i

ii − −

− −+ −

−− ⋅

− ⋅ −⋅

5)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

3 5 3 4

2 2 4 3

( 3) 2 ( 2) ( 2):

( 4) 5 2 ( 3)

− + + − −Α =

− − + −

6)Να δείξετε ότι: 4 2 10

36 12 9

)32 1024 4

1 1)( ) 27 ( )

3 81

i

ii − −

= =

− = =

7)Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2 3 1 3 2 2

3 3

[( ) ( ) ]

( )

a a

a

β ββ

−

−

⋅Α = αν οι αριθμοί α , β είναι

αντίστροφοι.

8)Στις παρακάτω ισότητες να υπολογίσετε τον χ. 16 4 1

3 2

2

3

)3 3 3

)(0.2) 5 125

1)( 2) ( ) 32

4

)4 1

i

ii

iii

iv

χ χ

χ

χ χ

χ

+

−

+

− +

= ⋅

⋅ =

− ⋅ − =

=

9)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 3

3 3

3

3

4 3 4

2 ( 2)

40 (0.25)

( 27)

3

[(3 ) ]

−

−

Α = −

Β =

−Γ =

∆ =

10 ) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 2 5 7

15

3 5 15

4

1 1 2

4 4

7 3 2

6 3 2 1

( )

( )

( )

( 2)

2 ( )

y z

z

x y

x y

χ χχ

χ χχ

χχ

−

− − −

−

− − −

Α =

Β =

Γ =

−∆ =



11)Να υπολογίσετε το άθροισμα :

1995 1994 2 1 1 2

1995

1 1 1 1 1 1... ...

1 1 1 1 1 11

....... , 0, 11

α α α α α α

α αα

− − − −Α = + + + + + + ++ + + + + +

≠ ≠ −+

12)Να γράψετε τον αριθμό : 5 5 5 5 55 5 5 5 5α = + + + + ως μια δύναμη.

2)Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων

i)A= 2 2 4[ 5 ( 2 3)] [ (5 2 )]− − − − − − − − −

ii)4 2 2

2 2

( 10)( 1) ( 2) ( 3) ( 5)( 2 )

( 1)( 5) ( 2)( 3) ( 4 ) : ( 2)

− − − − − −Β = + +

− − − + − −

13)Να βρειτε τον ακεραιο αριθμο α για τον οποιο ισχυει ότι: 3 4 5 7( 5) ( 25) ( 5) 5 α−− + − =

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΡΙΖΕΣ )


1. Για να ισχύει η σχέση 2α = α πρέπει:

Α. α>0 Β. α < 0 Γ. α πραγματικός Δ. α άρτιος Ε. |α|>0

2. Η ρίζα του ένα ( 1 )ισούται με :

Α. 1 Β.-1 Γ. 0 Δ. -|1| Ε. 2

3. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, ο 2α ισούται με:

Α. 0, μηδέν Β. -α αν α ≥ 0 Γ. -α αν α ≥ 0 Δ. |α| Ε. δεν ορίζεται

4. Αν α πραγματικός, κ ακέραιος η ρίζα 2 1κα + έχει νόημα πραγματικού αριθμού (ορίζεται στο

ℝ ) αν:

Α. κ φυσικός Β. 2κ+1 θετικός Γ. κ περιττός Δ. α≥ 0 Ε. κ άρτιος

5. Όμοια η ρίζα 2 , 0κα κ ≠ , ισχύει και ορίζεται αν::

Α. κ φυσικός Β. πάντα Γ. κ περιττός Δ. ποτέ Ε. κ άρτιος

6. Όμοια η ισότητα 2 1 2 2 1 2( ) ( ( )κ κα α+ += , 0α ≠ ισχύει και ορίζεται αν:

Α. α θετικός Β. πάντα Γ. κ περιττός Δ. ποτέ Ε. 2κ άρτιος

7. Όμοια η ισότητα 2 2 2 2( ) ( )κ κα α= ισχύει και ορίζεται αν:

Α. α αρνητικός Β. πάντα Γ. κ περιττός Δ. ποτέ Ε. κ άρτιος



8. Αν α, β πραγματικοί η ισότητα 2α β α β⋅ = ισχύει και ορίζεται αν:

Α.α=0 Β. α θετικός η μηδεν Γ. πάντα Δ. α αρνητικός Ε. β θετικός

9. Αν α, β >0 πραγματικοί, κ ακέραιος η ισότητα 2κ κα β α β⋅ = ισχύει και ορίζεται αν:

Α. α περιττος Β. αρτιος Γ. πάντα Δ. α αρνητικός Ε. α αρνητικός και κ περιττος

10. Αν α, β πραγματικός, κ ακέραιος η ρίζα 2 1(5 3 ) κα β +− έχει νόημα πραγματικού αριθμού

(ορίζεται) αν:

Α. α, β θετικοί Β. α,β αρνητικοί Γ. 5

3β α≤ Δ.

5

3β α≥ Ε. κ αρτιος

11. Η παράσταση Α=3 2 ισούται με:

Α. 4 2⋅ Β. 4 Γ. 32 Δ. 18 Ε. 12

12.. Η παράσταση Α = 50 ισούται με:

Α. 5 2 Β. 50:2 Γ. 250 Δ.12 4 Ε. 25 2

13 .Η παράσταση 7 3 2 3− = ισούται με:

Α. 5 6 Β. 5 3 Γ. 0 Δ. 5 0 Ε. 3

14 .Η παράσταση2

13 ισούται με:

Α. 0.5 13 Β. 2 13

13 Γ. 0 Δ. 13 Ε. 26

15.Για κάθε α > 0 η παράσταση 1( )α − ισούται με:

Α. α Β. α+ α Γ. 0, μηδέν Δ. α Ε.αα

16. Για α, β πραγματικούς θετικούς αριθμούς η παράσταση ( )( )α β α β− + ισούται με:

Α. α+β Β. α -β Γ. 0, μηδέν Δ. 2 2α β− Ε. 2 α



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ(ΡΙΖΕΣ )

Βαλέ το Σ σε κύκλο αν η πρόταση είναι σωστή διαφορετικά σε κύκλο το Λ)

1. α β α β− = − Σ Λ

2. 16 50 8 2+ = Σ Λ

3. 2α β α β⋅ = Σ Λ

4. 2 , 0α α α= − ≤ Σ Λ

5. 2( 3) 3− = ± Σ Λ

6. 9 3− = − Σ Λ

7. 2( 3) 3− − = − Σ Λ

8. 1 1, 0α β α β β− −⋅ = ⋅ ≠ Σ Λ

9. 2

22= Σ Λ

10. 1 3

33= Σ Λ

11. 2( ) ,α α α− = ∈ℝ Σ Λ

12. 2( 7) 7− = − Σ Λ

13. 2

1, 0α

αα

= − ≤ Σ Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΡΙΖΕΣ)

1)Να γράψετε σε απλούστερη μορφή της παραστάσεις

) 13 4 13 6 13

) 3 27

) 5 6 30

6 68)

17 6

14 21)

6

i

ii

iii

iv

v

+ −



2)Να γίνουν οι πράξεις

) 24 54 96

)2 20 45 5 5

)2 3 4 12 24 24 6

) 3( 12 27)

)3 5 4 20 5 45

i

ii

iii

iv

v

+ +

+ +

⋅ −

+

+ −

3)Να απλοποιηθούν τα κλάσματα

8 8)

2

3 3 12)

3 1

7 98)

14

5 10)

1 2

i

ii

iii

iv

+

− +

−

+

+

+

4) Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή (ρητοποιηση

κλάσματος )

1 3 11 24 27, , ,

7 12 6 24

−

5)Να κάνετε τις πράξεις

)( 2 5)( 2 5)

)( 2 1)( 2 1)

)( 7 1)( 7 1)

i

ii

iii

− +

− +

− +

6)Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων

) 14 1 7 4

) 20 21 2 1 9

) 2 2 3 1

i

ii

iii

+ + +

+ + +

+ + +



7)Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

) 6 5 6 5

) 17 16 17 16

) 20 4 20 4

i

ii

iii

− +

− +

− +

8)Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί , να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 3 3

2 22 2

1 1

a aA

β β

αβ

α βα β

+=

Β = + ⋅ +

9)Αν α= 5 να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

(5 )(5 )

45 3

2

A α α

αα

= − +

−Β =

+

10)Να αποδείξετε ότι η τετραγωνική ρίζα του 14 2 13+ είναι ο αριθμός 1 13+

11)Να αποδείξετε ότι:

2 2(1 3) (1 3)2

3 3

+ −+ =

12)Αν α=5 2 2 5− και β =5 2 2 5+ να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις :

α+β,α-β , ,α α ββ β α

+

13)Να απλοποιήσετε την παράσταση

6 30 56 15 42 16

10 21 48 12 24 35A

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ)


1. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί και ισχύει α>β, πολ/ζω και τα δύο μέλη με -2 τότε:

Α. -2α<-2β Β. -2α>-2β Γ.-2α = -2β Δ.-2α≥ -2β Ε.-2α≤ -2β

2. Αν α>β και πολ/σω τα δύο μέλη με το χ2 όπου χ πραγματικός 0≠ τότε:

Α . 2 2αχ βχ− −< Β. 2 2αχ βχ− −≥ Γ. 2 2αχ βχ− −= Δ. 2 2αχ βχ− −< Ε. 2 2αχ βχ− −≤

3. Αν α < β και πολ/σω τα δύο μέλη με το 2χ − όπου χ πραγματικός 0≠ τότε:

Α . 2 2αχ βχ− −< Β. 2 2αχ βχ− −≥ Γ. 2 2αχ βχ− −= Δ. 2 2αχ βχ− −< Ε. 2 2αχ βχ− −≤

4. Αν α β θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α>β τότε ισχύει:



Α. α>0 και β≥ 0 Β. α-β<0 Γ. α/β=1 Δ. α/β>1 Ε. α/β<1

5. Αν α>β και β>γ όπου α,β,γ πραγματικοί αριθμοί ισχύει:

Α. α<γ Β. α+β>α+γ Γ. α>γ Δ. β<γ Ε. 2β>α-γ

6. Η ανίσωση αχ+β>0 όπου α<0 έχει λύση την:

Α. χ>0 Β. χ>α Γ.χ<α/β Δ. χ<-β:α Ε. χ>αβ

Να απαντήσετε σύντομα στις παρακάτω ερωτήσεις (ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ)

1. Αν 1<α<2 και 3<β<5 τότε μεταξύ ποιών τιμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων:

i) α+β ii) α-β iii) αβ iv) α-2β v) α:3 v) 2α+3β-1

2. Nα λυθούν από κοινού οι ανισώσεις -2(χ-5) < 7 και 2,5χ+3

χ <5,5

(Διάταξης - σε σειρά από μικρότερο προς μεγαλύτερο) (ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ)

1. Αν α, β θετικοί πραγματικοί και α>β να γίνει διάταξη στα παρακάτω:

i)1, ,α ββ α

ii) ,1,α α ββ α β

−+

2.Αν για α πραγματικό ισχύει 0 1α< < να γίνει διάταξη στα: 1 1

, ,0, 1,1,2

αα α

α+

−

3.Ομοια αν 1α > να γίνει διάταξη στα: 1

, , ,0,1α αα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ)

1)Αν χ< 3 y , να συγκρίνετε τους αριθμούς :

α)2(χ+2y) και 10y

β)3(y+x) και 4χ

2) Αν χ >0 και y <0 να βρείτε το πρόσημο της παράστασης

Α=3χ-2[2χ-[2(χ-y)-y]-y]

3) Αν 1 < χ < 2 και 2< y <3 , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές των

παραστάσεων

1)

2) 2 3

)

)

) 2

)2 3

y

y

y

α χ

β χγ χδεστ χ

+

− +

−

−

−

+



4 Έστω χ ένας αριθμός ο οποίος παίρνει τιμές μεταξύ του -2 και του 2, δηλαδή

-2 < χ < 2 και ψ ένας αριθμός ο οποίος παίρνει τιμές μεταξύ του -1 και του 1 , δηλαδή -1 < ψ < 1 .

Να υπολογίσετε μεταξύ ποιών αριθμών παίρνουν τιμές οι παρακάτω παραστάσεις:

α) χ β) ψ γ) χ + ψ δ) 2χ – 3ψ + 4 ε) χ2 + ψ2

5) Να λυθούν οι ανισώσεις

3 13 1)4 (4 3)

2 8 6)6(2 7) 15( 2)

)7(4 3) 3(8 7) 1

2 4 3)

3 23 2

)2 3

x x

x x

x x

x x

x x

α

βγ

δ

ε

− > − −

− < +

− − − >

− −<

+ +>

−

6) Να λυθούν οι ανισώσεις:

)( 4)( 2) 0

)( 1)(1 ) 0

x x

x x

αβ

+ − >

− − <

7)α)Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανώσεων 45

2

2

1−≥−

+x

xx και

2

1

22 +≤− x

x.

β)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανώσεων και να τις σημειώσετε πάνω σε άξονα.:

6

71

20

xx

x −−+−< και 5

3

1

21 −

−+−<

xx

8)Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του χ όταν :

1)0 2 2

31

) 2 2 26

α χ

β χ

≤ + ≤

− ≤ + ≤

10)Αν α <1 και β >1 , να αποδείξετε ότι

α+β>1+αβ

11)Αν χ>1 , να αποδείξετε ότι :

α)χ>0 β) 3χ χ>

ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙΑ

- « Το σπίτι μου είναι ένα τετράγωνο κτίσμα και σε κάθε

πλευρά του υπάρχει ένα παράθυρο. Κάθε παράθυρο όμως

βλέπει στο Νότο».

Που βρίσκεται το σπίτι μου.



ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Εκφράσεις στις οποίες συνδυάζονται πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών (γραμμάτων)

τις ονομάζουμε αλγεβρικές παραστάσεις π.χ 2 324 2 , ,

5

x a yy x y

z yχ

+ ++

Αν σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσω τις μεταβλητές με αντίστοιχες τιμές

(αριθμούς) και εκτελέσω τις πράξεις ο αριθμός που θα βρω (αποτέλεσμα) λέγεται αριθμητική

τιμή τις αλγεβρικής παράστασης. Π.χ. 24 2A x y= + για 1x = − και 2y =

έχω 2 24 2 4( 1) 2 0A x y= + = − + =

Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται κλασματική αν σε αυτή υπάρχει τουλάχιστον ένα

κλάσμα στον παρανομαστή του οποίου υπάρχει μεταβλητή, π.χ.3

2

y

ax

Για να έχει έννοια το κλάσμα πρέπει πάντα ο παρανομαστής να είναι διάφορος το μηδενός

δηλαδή στο παράδειγμα πρέπει 2 0ax ≠ .

Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται άρρητη αν σε αυτή υπάρχει μία τουλάχιστον τετραγωνική

ρίζα στο υπόρριζο της οποίας υπάρχει μία τουλάχιστον μεταβλητή με εκθέτη (περιττό)μονό

ακέραιο,

π.χ. 35 x η 2 x ( η 5 7x δεν είναι άρρητη )

Για να έχει έννοια η παράσταση το υπόριζο πρέπει να είναι θετικό ή μηδέν δηλαδή στα

παραδείγματα χ>0.

Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια όταν δεν είναι κλασματική αλλά ούτε και άρρητη.

Μονώνυμο ονομάζεται η αλγεβρική παράσταση που έχει μοναδική πράξη μεταξύ αριθμού και

μιας ή περισσότερων μεταβλητών τον πολλαπλασιασμό, π.χ. 2 455 , ,4 7

7a yz yβ χ χ

Το μονώνυμο αποτελείται από τον

συντελεστή που είναι μοναδικός αριθμητικός

παράγοντας (συνήθως γράφεται και πρώτος)

και το κύριο μέρος που είναι γινόμενο από

μεταβλητές .

Μονώνυμα Συντελεστής Κύριο μέρος

25aβ 5 2aβ

45

7yzχ

5

7

4yzχ

4 7 yχ 4 7 yχ



Δύο ή και περισσότερα μονώνυμα με ίδιο το κύριο μέρος λέγονται όμοια, π.χ. 3 2 3 227 ,

3x yz x yz .

Δύο ή και περισσότερα όμοια μονώνυμα λέγονται ίσα όταν έχουν ίσους (ή ισοδύναμους) αριθμούς

για συντελεστή, π.χ. 3 2 3 2164 ,

4x yz x yz

Παρατήρηση.

Ο αριθμός 0 (μηδέν) μπορεί να θεωρηθεί μονώνυμο με οποιοδήποτε κύριο μέρος,

π.χ. 3 3 2 20 0 0 .....x x yz a β= = = ., ενώ ο συντελεστής 1 παραλείπεται και γράφουμε μόνο το κύριο

μέρος π.χ. 3 31x y x y= . Αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο στα μονώνυμα είναι οι εκθέτες των

μεταβλητών. Αν είναι φυσικοί αριθμοί το μονώνυμο λέγεται ακέραιο, π.χ. 3 24x yz , ενώ αν είναι

αρνητικοί το μονώνυμο λέγεται κλασματικό, π.χ. 3

3 2 22 2

3 3x

x y zy z

− − =

με απαραίτητη προϋπόθεση 2 2 0y z ≠

Βαθμός ενός μονώνυμου είναι ο ακέραιος αριθμός που θα βρω αν προσθέσω όλους τους

εκθέτες του κυρίου μέρους. Δηλαδή το μονώνυμο 4 35x y είναι 7ου βαθμου (4+3 =7) η βαθμού 4ου ως

προς χ και 3ου ως προς ψ.

Άθροισμα όμοιων μονώνυμων.

«Προσθέτω τους συντελεστές και κατόπιν γράφω το ίδιο κύριο μέρος».

Γίνεται με βάση την επιμεριστική ιδιότητα, π.χ. 3 2 3 2 3 2 3 23 5 (3 5) 8α βγ α βγ α βγ α βγ+ = + = .

Η πρόσθεση όμοιων μονώνυμων λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.

Πολλαπλασιασμός μονώνυμων.

Πολ/ζω πρώτα τους συντελεστές και μετά το κύριο μέρος (τις όμοιες μεταβλητές μαζί) με βάση

την ιδιότητα των δυνάμεων αν . αμ = αν+μ.

Π. χ. 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 5 4 3 33 2 3 2 6α βγ α β χ α α ββ γ χ α β γ χ⋅ = ⋅ = .

Διαίρεση μονώνυμων.

Διαιρώ πρώτα τους συντελεστές και μετά το κύριο μέρος με βάση την ιδιότητα των δυνάμεων .

αν : αμ = αν-μ Π. χ. 3 4 2 5 3 2 4 5 16 :3 2 2y y y yχ χ χ χ− − −= =

Το άθροισμα ανόμοιων μονώνυμων είναι μία αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυμο.

Tα μονώνυμα που το αποτελούν λέγονται όροι.

Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα όταν η διαφορά τους μας δώσει αποτέλεσμα μηδέν. Tα μο-

νώνυμα του ενός πρέπει να είναι ίσα με τα μονώνυμα του άλλου.



Tα πολυώνυμα τα ονομάζουμε με ένα γράμμα (συνήθως κεφαλαίο) και εντός παρενθέσεων την

μεταβλητή ή τις μεταβλητές π.χ. P(x)=x3+3x2-5x+7, Q(x,y)=-2x2y3+xy

Πολυώνυμα με μορφή P (x)=c λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το P(x)=0 λέγεται

μηδενικό πολυώνυμο.

Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν δύο ή περισσότερα όμοια μονώνυμα, τότε τα αντικαθιστούμε με

το αλγεβρικό άθροισμα τους.

Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.

π.χ 2 3 4 2 3 4 2 3 42 3 2 5 2 3 5χ χ χ χ χ χ χ χ χ+ + − − + = − − +

Πράξεις με πολυώνυμα

Πρόσθεση

Α(χ)+Β(χ) τα γράφουμε το ένα δίπλα στο άλλο και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Αφαίρεση

Α(χ) - Β(χ) στο Α(χ) το αντίθετο του Β(χ)

Π.χ. (4x2+3x+2)-( χ2+4χ-2) = 4χ2+3χ+2 - χ2-4χ+2 = 3χ2 -χ+4 και γράφουμε τους όρους με σειρά από τη

μεγαλύτερη δύναμη προς τη μικρότερη (φθίνουσα διάταξη).

Πολλαπλασιασμός:

(α) Μονώνυμου με πολυώνυμο (Επιμεριστική ιδιότητα), πολ/ζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του

πολυωνύμου.

Π.χ. (-2χ) · (χ3-3χ+1)= -2χ4 + 6χ2 -2χ,

(β) Πολυώνυμο με πολυώνυμο (Πολ/ζω κάθε μονώνυμο του πρώτου με όλα τα μονώνυμα του

δεύτερου) 3 2 3 2 2

5 4 3 2

( 2)( 5 3) ( 5 3) 2( 5 3)

5 3 2 10 6

χ χ χ χ χ χ χ χ

χ χ χ χ χ

+ + − = ⋅ + − + + − =

= + − + + −

Προσοχή! Κατά την απαλοιφή παρενθέσεων ισχύει ο γνωστός τρόπος που χρησιμοποιούμε και

στους αριθμούς.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΟΝΩΝΥΜΑ

1. Στον παρακάτω πίνακα να συμπληρωθεί η στήλη με το βαθμό του μονώνυμου: 3 23 yχ

3 2 22

3x yχ −

3 1 223

3x yχ −

5 2 24 3x yχ

2 2 124

4x y y

4

2. Nα γίνει αντιστοίχηση μεταξύ ομοίων μονώνυμων 3 23a β 4β

33

5α β

35 5β α

41

4β α

2 64β αβ−−

33αβ 3 221

7a β

18

3δβδ − 1 3 23

, 05β α β β− ≠

3. Για ποιες τιμές της μεταβλητής χ έχει έννοια (ορίζεται) στο R η καθεμία από τις αλγεβρικές

παραστάσεις:

Αλγεβρική

παράσταση

Τιμές ή διάστημα του R

3

4χ −

3

2

χχ+

−

5 4χ χ −

2 2( 1) 1χ χ+ +



4. Nα γίνει αντιστοίχηση μεταξύ αλγεβρικής παράστασης και τύπου αυτής.

2 2

6

y

x

χ +

Κλασματική

23 2 1x x+ − Ακέραια

25 2

5x

χ +

Άρρητη

2

8

χ +

Κλασματική

2 11

2x x+ +

Ακέραια

5. Nα γίνουν οι παρακάτω προσθέσεις μονώνυμων:

i)-13χ5+22χ5-3χ5 v) 2 2 20.3 4.7 5x x x+ + viii)17.8χ3+ 5 χ3+6.2χ3

ii)15χ+ 3 χ vi)22χψ2+11ψ2χ ix)20χ2ψ+6χψ2

ii)5α2+3

8α2-2α2 vii)-2α2β2+αβ

3

44αβ

iv)5αβ+4α+3βα+5α

6. Nα γινουν τα παρακατω γινομενα μονωνυμων

i)3 4a a⋅ v) 2 7 40.5 4.25x x x−⋅ ⋅

ii) 32 ( ) 0.75a a a⋅ − ⋅ vi) 2 7 40.5 4.25x x x−⋅ ⋅

ii) 2 23 7a aβ β⋅ vii) 2 6 47 9 7x x x− ⋅ ⋅

iv) 2 235 3

5χ χ χ− viii) 2 2 4 32

44

x y x y− −⋅

ix) 4 2 3 2 7 21

( 2 ) ( 3 )( )6

x y x y x y−− ⋅ −

x) 3 2 4 5 2 41( ) (7 )( )

7xy x y x yω ω ω− −− ⋅



6. Nα γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις μονώνυμων

i) 4 3 6 2 3 26 :3y yχ ω χ ω v) 3 4 8 3 3 5(4 ) : (16 )y z y zχ χ

ii) 5 3 2 3( 16 ) : ( 4 )y yχ ω χ ω− −

ii) 7 3 2 3 24 3( ) : ( )

3 2y yχ ω χ ω−−

iv) 26 : 2y yκ κχ χ+

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

1. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις

α) α2-αβ-β2+2α2+αβ-β2+α2-αβ+2β2 =

β) χ3-2χ2-2χ-7+3χ2+5χ+2+ χ3 +5 χ 2-6 χ =

γ) χ4 -2χ2 ψ2 –ψ4 -3χ2 ψ+2χ2 ψ2 +6χ3 ψ-ψ4 +χψ3 –χ4 =

.

2)Δίνονται τα πολυώνυμα:

Α = 6χ4+5χ3-2χ+7, Β = 5χ3-2χ2-9χ+4

Γ = -χ4-3χ2+11, Δ = -7χ3+8χ2-χ+6

Nα υπολογίσετε τα Α-Β, (Α+Β)-(Γ+Δ), Α-(Β-Γ)-Δ, Α+Β+Γ+Δ

3. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Ρ(χ) = 7χ2-6χ+2, Q(x) = -4χ2+7χ-8

Nα υπολογίσετε τα A(-l), B(3) όπου Α(χ) = Ρ(χ) + Q(x)

και Β(χ) = Ρ(χ) - 3Q(x).

4. Στις παραστάσεις

Α= 3 5 2 4 3 63 4 7 9χ ψ χ ψ χ ψ ψ− + + − Β= 2 4 3 6χ χ χ χ+ − + +

Γ= 4 5 3 24 65 7

8 15χ χ χ χ χ+ + + + −

Να γίνει διάταξη κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του χ

Να βρεθούν τα 3

,5 , 24Α Β Β+ Γ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ –ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. Nα κάνετε τις πράξεις:

α) (2χ2-3χ-6)(χ2-χ+2) β) (α-2β-3γ)(α-2β+3γ)

γ) (χ2-2χ+5)(χ2+2χ+5) δ) (-χ2-ψ2-3α2)(χ2-ψ2-3α2)

ε) (χ2 +ψ2 )(χ-ψ)(χ 2 + χψ +ψ2 )

2. Nα κάνετε τις πράξεις:



α) (2α +3)(4α -α-2) β)-(β2-1)(α2β + αβ2-α)

γ)-2(5χ2-4χ+3)(2χ-1) δ)(χ-1)(χ2 + χψ+ψ)

ε](χ+ 1)(χ2-χψ + ψ2) στ)(α2-4)(3α + 2)

3. Αν f(x) = χ+1 και g(χ)= -χ+2να βρείτε την παράσταση

[f(x+1)- g(x)] [f(1-x)- g(x)]

4. Av f(x)= χ2-2|x|+l g(x)= 2|x| -1 να βρείτε το f(x) ⋅ g(x)

5. Για ποιες τιμές των α ,β,γ τα πολυώνυμα είναι ίσα;

(2α-1)χ2 -2βχψ+γψ2 , 5χ2+8χψ+ψ2

6. Αν f(x) = χ(χ2 -2) - (χ+2)[χ2 -(1-χ)], να εκτελέσετε τις πράξεις και μετά να υπολογίσετε την τιμή

f(-3).

7. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(χ)=(χ+7)(χ-2) και Q(χ) =(χ+3)(χ+4).

Nα λυθεί η εξίσωση P(x)-Q(x) = 0

8. Nα αποδείξετε ότι το Α(χ) = (7-2χ)(7+2χ) ≤ 49 για κάθε πραγματική τιμή του χ.

9. Αν τα πολυώνυμα Α(χ)=χ3+2χ2+χ+1 και Β(χ)=χ-χ2-1 να υπολογίσετε:

α) A(2) , B(2) β) Α(2).Β(2) γ) Γ(χ)=Α(χ).Β(χ) δ) Γ(2)

10)Nα γίνουν οι πράξεις:

2χ(χ2-1)-χ2(1+3χ)-χ+5(1-χ2)

(α2β+αβ2-α)(1-β2)

(6χν+1)(2χν - 3) αν v≥ 1

(9χν+1-2)(χν+2) αν v≥ 1

3χ(χ2-1)-4χ2(χ+2)-3χ+4(χ2-1)

11) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3− 6x2 + 11x −6 αν γνωρίζετε ότι

διαιρείται (ακριβώς) με το διώνυμο (x −1).


(Ο ονηρός ξενοδόχος) Ένα γκρουπ από ταξιδιώτες , επτά τον αριθµό , έφθασαν σε ένα ξενοδοχείο και

ρώτησαν αν υπήρχαν δωµάτια να περάσουν την νύχτα .Ο ιδιοκτήτης του

ξενοδοχείου είχε µόνο 6 δωµάτια διαθέσιµα , αλλά υποσχέθηκε να κάνει ότι

µπορεί. Πρώτα τοποθέτησε τον πρώτο ταξιδιώτη στο πρώτο δωµάτιο και

παρακάλεσε τον άλλο ταξιδιώτη να περιµένει λίγα λεπτά. Έπειτα τοποθέτησε τον

τρίτο ταξιδιώτη στο δεύτερο δωµάτιο , τον τέταρτο ταξιδιώτη στο τρίτο δωµάτιο

,τον πέµπτο ταξιδιώτη στο τέταρτο δωµάτιο , τον έκτο ταξιδιώτη στο πέµπτο

δωµάτιο και έπειτα γυρίζοντας σε αυτόν που τον είχε αφήσει να περιµένει τον έβαλε

στο έκτο δωµάτιο .Είναι όλα εντάξει;



ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ .

1) (α+β)2 = α2+2αβ+β2 «Τετράγωνο αθροίσματος ή τέλειο τετράγωνο»

Απόδειξη

Α μελος :(α+β)2 =

(α+β)(α+β)=

α2+αβ+βα+β2=

α2+2αβ+β2

2. (α-β)2 = α2-2αβ+β2 «Ανεξάρτητη απόδειξη από την 1.»

Απόδειξη

Α μελος :((α -β)2 =

(α -β)(α -β)=

α2 -αβ -βα+β2=

α2-2αβ+β2

Παρατηρήσεις:

Tα α, β μπορεί να είναι οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός, μπορεί να είναι μονώνυμα, ακόμη

και πολυώνυμα. Θα ονομάζουμε το α πρώτο από τους δύο προσθετέους και το β δεύτερο. Το 2° μέλος των παραπάνω ταυτοτήτων ονομάζεται ανάπτυγμα. Στο ανάπτυγμα τα πρόσημα είναι συν (+) στο τετράγωνο, στο διπλάσιο γινόμενο εξαρτάται

από τα πρόσημα των α, β. Δηλαδή σε ομόσημα α, β είναι (+) και σε ετερόσημα (-)

(α-β)2 = (β-α)2 γιατί και τα δύο μας κάνουν α2 -2αβ+β2

(α+β)2 = (-α -β)2 γιατί και τα δύο μας κάνουν α2 +2αβ+β2

Προσοχή! Δεν ισχύει (α+β)2 = α2+β2 γιατί α2+β2=(α+β)2 - 2αβ

3. (α+β)(α-β)=α2-β2 «γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά »

Απόδειξη

Α μελος :(α+β)(α-β) =

α2 -αβ +βα -β2 =

α2-β2

Ορισμος : Ταυτότητα είναι μία ισότητα με μία ή περισσότερες μεταβλητές που αληθεύει

για κάθε τιμή των μεταβλητών

μετασχηματίζω την δύναμη σε γινόμενο

πολλαπλασιάζω πολυώνυμα κάνω

αναγωγή όμοιων όρων

μετασχηματίζω την δύναμη σε γινόμενο

πολλαπλασιάζω πολυώνυμα

κάνω αναγωγή ομοίων όρων

πολλαπλασιάζω πολυώνυμα

κάνω αναγωγή ομοίων όρων α2-β2




Ονομάζεται διαφορά τετραγώνων από το δεύτερο μέλος, δηλαδή το α2-β2

Μειωτέος και στα δύο μέλη πρέπει να είναι το ίδιο γράμμα, εδώ είναι το β.

4. (α+β)3 = α3+3α2β+3αβ2+β3 «Κύβος αθροίσματος»

Απόδειξη

(α+β)3 = (α+β)2(α+β)=

(α2+2αβ+β2)(α +β)=

α3+α2β+2α2β+2αβ2+β2α+β3=

α3+3α2β+3αβ2+β3

(α-β)3 = α3-3α2β+3αβ2-β3 «Ανεξάρτητη απόδειξη από την 4.»

Απόδειξη

(α-β)3 = (α-β)2(α-β)=

(α2-2αβ+β2)(α-β)=

α -α β-2α β+2αβ +β α-β =

α3-3α2β+3αβ2-β3


Tα α, β μπορεί να είναι οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός, μπορεί να είναι μονώνυμα, ακόμη

και πολυώνυμα.

Στο ανάπτυγμα του (α+β)3 τα πρόσημα είναι όλα συν (+), ενώ στο ανάπτυγμα του (α-β)3

εναλλάσσονται το συν με τα πλην.

Πρακτικός τρόπος πρόσημων: το πρώτο δηλαδή το α δίνει το πρόσημο του στο πρώτο και

τρίτο όρο του αναπτύγματος ενώ το δεύτερο β στον δεύτερο και τέταρτο όρο.

♦ (α-β)3 = (β-α)3 γιατί (α-β)3 = [-(β-α)]3 = -(β-α)3

♦ (α+β)3= (-α-β)3 (-1)3=-1

Προσοχή! Δεν ισχύει (α+β)3 = α3+β3 γιατί α3+β3=(α+β)3 - 3αβ(α2+β2)

7. α3 +β3 = (α +β)(α2 -αβ +β2) «άθροισμα κύβων»

8. α3 - β3 = (α -β)(α2 +αβ +β2) «διαφορά κύβων»

9· (χ+α)(χ+β) = χ2+(α+β)χ+αβ

Αποδείξεις

7. Β μέλος : ( ) 3 2 2 3 3 3)( α β α αβ β α α β αβ βα αβ β α β+ − + = − + + − + = +2 2 2 2

8. Β μέλος : ( ) 3 2 2 3 3 3)( α β α αβ β α α β αβ βα αβ β α β− + + = + + − − − = −2 2 2 2

9. Εκτελούμε παράλληλα πράξεις και στα δυο μελή:

Β μέλος : ( )χ α β χ αβ χ αχ βχ αβ+ + + = + + +2 2

Α μέλος : ( )( )χ α χ β χ αχ βχ αβ+ + = + + +2

μετασχηματίζω την 3η δύναμη (χ3 = χ2 χ1)

αναπτύσσω την (α+β)2 ταυτότητα

Πολλαπλασιάζω πολυώνυμα


μετασχηματίζω την 3η δύναμη (χ3 = χ2 χ1)

αναπτύσσω την (α+β)2 ταυτότητα

Πολλαπλασιάζω πολυώνυμα




Εφαρμογές

22

22

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 4 2

2

1)(2 3) (2 3) (2 ) 2 2 3 3

4 12 9 4 12 9

β β βα αα

βαβα

χ χ χ χ

χ χ χ χ

+ = + = + ⋅ ⋅ + =

+ + = + +

22

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2

2)(2 3 ) (2 3 ) (2 ) 2 2 3 3

4 12 9 4 12 9

y y y y

y y y y

α αβ β βα

αβα β

χ χ χ χ

χ χ χ χ

− = − = − ⋅ ⋅ + =

− + = − +

22

22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 4 2 2 4

2

3)( 3 5 ) (5 3 ) (5 3 ) (5 ) 2 5 3 3

25 30 9 25 30 9

y y y y y

y y x y y x

β βα α βα

βαβα

χ χ χ χ χ

χ χ

− + = − = − = − ⋅ ⋅ + =

− + = − +

222 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

4)( 3 5 ) ( (5 3 )) (5 3 ) (5 3 )

(5 ) 2 5 3 3 25 30 9 25 30 9

y y y y

y y y y x y y x

βα

ββα αββα α

χ χ χ χ

χ χ χ χ

− − = − + = + = + =

+ ⋅ ⋅ + = + + = + +

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας ζητάνε να αποδείξουμε μία ταυτότητα Χ = Υ, τότε θα εφαρμόσουμε μία από τις

παρακάτω μεθόδους.

1. Αρχίζουμε από το ένα μέλος της ταυτότητας, συνήθως αυτό που έχει τις περισσότερες

εκτελέσιμες πράξεις και με κατάλληλους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς (πράξεις)

καταλήγουμε στο άλλο μέλος, δηλαδή από το Χ⇒Υ ή Υ⇒ Χ.

2. Κάνουμε πράξεις στο 1° μέλος της ταυτότητας και καταλήγουμε σε μια περισσότερο

απλουστευμένη μορφή του δηλαδή Χ=Α . Μετά κάνουμε ομοίως πράξεις και στο 2° μέλος και

καταλήγουμε στην ίδια απλουστευμένη μορφή Υ=Α τότε μεταβατικά διαπιστώνουμε ότι Χ =

Α = Υ

3. Παίρνουμε την διαφορά των δύο μελών και αποδεικνύουμε ότι είναι μηδέν (X-Υ=0).

(α+β)2 = α2+2αβ+β2

(α-β)2 = α2+2αβ+β2

(α-β)2 = α2+2αβ+β2



2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

5)(5 7 )(5 7 ) (5 7 )(5 7 ) (5 ) (7 )

25 49 25 49

y y x y x y x y

x y x y

α αβ β α β

α β

χ χ− + = − + = − =

= − = −

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

6)( 3 4 )(3 4 ) ( (3 4 ))(3 4 ) ((3 4 )(3 4 ))

((3 4 )(5 4 )) ((3 ) (4 ) )

9 16 9 16

y y y y y y

y x y x y

x y x y

αα β β α β

α β

χ χ χ χ χ χ

χ

− − − = − + − = − + − =

− − + = − − =

= − = −

2 33 2

2 33 2

3 3 3 2 2 3

3 2 3 2

7)(3 1) (3 1) (3 ) 3 (3 ) 1 3 3 1 1

27 3 9 1 3 3 1 1 27 27 9 1

β β β βα αα α

β β βαα α

χ χ χ χ χ

χ χ χ χ χ χ

+ = + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + + +

2 33 2

2 33 2

3 3 3 2 2 3

3 2 3 2

8)(3 1) (3 1) (3 ) 3 (3 ) 1 3 3 1 1

27 3 9 1 3 3 1 1 27 27 9 1

β β β βα αα α

β β βαα α

χ χ χ χ χ

χ χ χ χ χ χ

− = − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = − + −

3 3

2 33 2

2 3 2 32 23 3

223

( )3 3 3 3 2 2 3

3 2 3 2

3 2

8)( 5 4) ( (5 4)) (5 4) [(5 ) 3 (5 ) 4 3 5 4 4 ]

[125 3 25 4 3 5 16 64] [125 3 25 4 3 5 16 64]

125 3 25 4 3 5 16 64

χ χ

β β βαα α

β ββ β β βα αα αα α

β βααα

χ χ χ χ χ χ

χ χ χ χ χ χ

χ χ χ

− =

− − = − + = − + = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

− + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

− − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

3 3

3 2125 300 240 64β β

χ χ χ= − − − −

3 23 2

22

3 3 3 3 2 2

2

9)27 4 (3 ) 4 (3 4)((3 ) 3 4 4 )

(3 4)(9 12 16)

ββ βα αβα α

β βα αβα

χ χ χ χ χ

χ χ χ

− = − = − + ⋅ + =

− + +

(α+β)2 = α2+2αβ+β2

(α+β)(α-β)=α2-β2



ΟΙ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ.

•Αν χωρίσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου που

έχει μήκος α + β σε δύο μέρη α, β θα σχηματιστούν

δύο τετράγωνα εμβαδού α και β , καθώς

και δυο ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν .

Έτσι το αρχικό τετράγωνο πλευράς α + β με εμβαδόν (α + β)2 χωρίζεται σε μικρότερα εμβαδά:

α2 , αβ, βα, β

Δηλαδή (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

Σημείωση:

Έτσι λοιπόν βλέπουμε πως όταν κάποιος κάνει το συνηθισμένο λάθος και ξεχάσει

τον όρο 2αβ είναι σαν να μην έχει δει ότι το αρχικό τετράγωνο χωρίστηκε και σε

δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα εκτός από τα δύο τετραγωνο

•Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να βρούμε το

ανάπτυγμα μιας άλλης ταυτότητας της

(α-β)2 =α2-2αβ +β2

Προσέχοντας το σχ. 1 βλέπουμε πως αν

από το αρχικό τετράγωνο πλευράς α

και εμβαδού α2, αποκόψουμε τα δύο

ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν

αβ δηλαδή αφαιρώντας - 2αβ θα μείνει το

β2 που παρουσιάζεται δύο φορές αφού

το επικαλύπτουν τα δύο ορθoγωνια

παραλληλόγραμμα.

Έτσι: (α-β)2= α2-2αβ +β2

•Η διαφορά των τετραγώνων α2-β2= (α + β)(α-β)

Πάνω σε τετράγωνο εμβαδού α τοποθετούμε

άλλο μικρότερο τετράγωνο εμβαδού β2 όπως

φαίνεται στο σχήμα .' Ετσι η διαφορά α2 - β2

είναι το σχήμα που μένει.

Αυτό χωρίζεται σε δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

Tα επανατοποθετούμε κατάλληλα και παίρνουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που έχει

εμβαδόν (α + β)(α-β).



•Η ταυτοτητα (α + β)3 =α3+3α2β+3αβ2+β3

Κόβουμε τον κύβο του σχήματος , δύο φορές κατακόρυφα και σε απόσταση α από μία κορυφή,

έτσι ώστε οι τομές να είναι κάθετες μεταξύ τους, και μια φορά οριζόντια πάλι σε απόσταση α από

την ίδια κορυφή και στις τρεις περιπτώσεις το άλλο μέρος της ακμής το θεωρούμε β. Παρατηρούμε

το σχήμα μας για να δούμε σε πόσα στερεά θα χωριστεί ο κύβος.

Αν μεταφέρουμε τον κύβο που υπάρχει εμπρός μας, αυτόν με όγκο α3, γιατί μας εμποδίζει να

δούμε, θα μετρήσουμε άλλα επτά στερεά. Ένας ακόμη κύβος, όγκου β3, τρία ορθογώνια

παραλληλεπίπεδα όγκου α2 β και ακόμη τρία ορθογώνια παραλληλεπίπεδα όγκου αβ2.

Έτσι (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρεθούν τα αναπτύγματα:

(χ-3)2 , (2x+y)2 , (-x-y)2 , (xy+2x)2 , (2x-xy)2

(10χ2-3)2 , (5χ2+2χ)2 , (2α3-3β2)2 , (α2β + β2α)2 , (-α3-α2)2

21( 2 )2

y χ+ , 21

( 2 )2

y χ+

2. Nα βρεθούν τα γινόμενα:

(χ -1)(χ+1) (3χ -2)(3χ+2) (2χ+1

2)(2χ -

1

2)-

(χ+3χ)(χ -3χ) (2x+y)(y -2χ) (1

2χ -

3

2 y) (

1

2χ +

3

2 y)

(αx3+2xy)(2xy - αχ3) (2x+y)(2x - y)(4x2) (2x+3y)(2x -3y)(4x2+9y2)

(x+2y - 3z)(x+2y + 3z) (x + 2y-z)(x - 2y-z) (x+y - z+(o)(x+y + ζ-ω)

3. Δίνονται τα πολυώνυμα: Ρ(χ)=(2χ+3)2 - 4χ2, Q(x)=(x+2)(x+3) - 2χ2 -6

ι] Nα γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις

ιι] Nα βρεθεί το γινόμενο P(x)Q(x)

4. Nα αποδειχθεί ότι οι παραστάσεις είναι ανεξάρτητες από την μεταβλητή χ:

(χ+2)2+ (χ+1)2 - 2(χ -Ι)2 - 5(2χ+1)

5.Να εκτελέσετε τις πράξεις : 2 2

2 2 2 2

( 2) (3 ) 2( 2)( 3)

( 2 ) (2 ) 5( ) 1

χ χ χ χ

α β α β α β

Α = − + − − − −

Β = + + − − + +

6.Αν 999α β+ = και 1001α γ+ = , να υπολογιστεί το γινόμενο

(2 )( )α β γ γ βΓ = + + −

7)Να συμπληρωθούν τα κενα

• 2 2(... ...) 2 .......µ µν+ = + +

• 2 2(... ...) 4 12 .......χ αχ+ = + +

• 2 2 2(... ...) 49 .... 4yχ+ = + +

• 2 2(... ...) 8 .....µ µ− = − +

• 2(... ...) 1 2 .....αµ− = − +

• 2 2(... ...) .....χ βχ− = − +

• 2 21 1(... ...) .....

4 3yχ χ− = − +

• 2 2 29 1(... ...) .......

16 9a β+ = + +

• 3 3 2(...... ........) 27 ... ...... 8yχ+ = + + +

• 3 3(...... ........) 64 ... 12 ......xχ+ = − + −



• 3 3(10 ........) ...... ... ......... 27x y− = − + −

• ( )( ) ...................................a β β α− − + =

• 225 ( .....)(...... .......)α α− = − +

8)Να αποδείξετε τις ταυτότητες 2 2 4 4( )( )( )α β α β α β α β+ − + = −

2 2 2 2( ) ( ) ( )( )χ α χ β α β β α− − − = + −

2 21 1( ) ( ) 4α α

α α+ − − =

2 2 3 3 3( ) ( ) ( )αβ β α α β α α β α− + + = +

9.Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τα ο Σ (Σωστό ) η το Λ (Λάθος)

1.Για όλους τους πραγματικούς α και β ισχύει: 2 2 2( ) 2α β α β αβ− − = − − − Σ ή Λ

3 3( ) ( )α β β α− = − − Σ ή Λ 2 2 2( ) 2 ( )α β α β α β β+ = + + − Σ ή Λ

2.Αν οι αριθμοί α+1 , 1-β είναι αντίθετοι τότε β-α ισούται με -2 Σ ή Λ

3.Η τιμή της παράστασης 2 2666 2 666 566 566− ⋅ ⋅ + ισούται με 10000 Σ ή Λ

4.Αν 0α ≠ τότε οι τιμές του α για τις οποίες ισχύει η ισότητα

1 13

3α

α+ = + είναι 3α = και

1

3α = . Σ ή Λ

5.Η τιμή της παράστασης 2 2

3

43 11

4 (36 27)

−−

ισούται με 3 . Σ ή Λ

6. .Η τιμή της παράστασης 2 21 1(2011 ) (2011 )

2011 2011+ − − ισούται με 4 . Σ ή Λ


Στο βασιλειο του Γριφισταν ,ψηλα στο βουνο Κοντοιθαρος , βρίσκεται ενας θεορατο οκταγωνικο κτισµα οου λεγεται ότι υηρξε το θησαυροφυλακιο του βασιλια Τσιφουτη .Στην είσοδο του κτισµατος δεσοζει µια τεραστια γρανιτενια ορτα η οοία είναι αδυνατο να αραβιαστει µε τα µέσα του βασιλειου του Γριφισταν.Οοίος φτάνει στην ορτα αυτή διαβάζει την εξής αναγλυφη ειγραφη: «Για να ανοιξει η ορτα και να αρεις τα λουτη του βασιλια Τσιφουτη θα ρέει να ροφερεις τον αριθµό εκείνο ο οοίος το τελευταιο του ψηφίο είναι το 4 αλλά όταν µετακινησουµε το 4 αό την θεση του τελευταιου ψηφιου και το βαλουµρ ρωτο τότε ο αριθµός ου θα ροκύψει θα είναι τετραλασιος αό τον αρχικό αριθµό.» Μορεις να βρεις οιος είναι ο αριθµός;



ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

Επιμεριστική ιδιότητα

( )

( )

α β γ αβ αγα β γ αβ αγ

+ = +

− = −

Μέθοδοι παραγοντοποιήσης

1)Όλοι οι οροί του πολυωνύμου έχουν κοινό παράγοντα .Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζω

μονό την επιμεριστική ιδιότητα .

Παραδείγματα :

2 2

2 2

1)6 6 6( )

2)3 3 3( 1)

3)7 7 7 ( )

x y x y

x x

x y xy xy x y

+ = +

+ = +

+ = +

Ο κοινός παράγοντας των μονώνυμων είναι : από τους συντελεστές ο ΜΚΔ των συντελεστών και

από το κύριο μέρος το κάθε κοινό γράμμα με μικρότερο εκθέτη

2)Ομαδοποίηση των παραγόντων του πολυωνύμου που έχουν κοινό παράγοντα

Παραδείγματα

1) ( ) ( ) ( )( )ya y y a y aχα χβ β χ α β β χ β+ + + = + + + = + +

2) 2 2 2 21 ( 1) ( 1) 1 ( 1)( 1)x y x xy x y x y x y y y x x− − + + − = − − − + − = − − +

3.Το πολυώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτοτητας

(α-β)2 = α2-2αβ+β2 , (α+β)2 = α2+2αβ+β2

(α+β)(α-β)=α2-β2

(α+β)3 = α3+3α2β+3αβ2+ β3 , (α-β)3 = α3-3α2β+3αβ2- β3

α3 - β3 = (α -β)(α2 +αβ +β2) α3 + β3 = (α +β)(α2 -αβ +β2)

Παραδείγματα

α) 2 2 2 26 9 2 3 3 ( 3)x x x x x+ + = + ⋅ + = +

β) 2 2 2 216 40 25 (4 ) 2 4 5 5 (4 5)x xy x x x+ + = + ⋅ ⋅ + = +

γ) 2 236 4 (6 2 )(6 2 )x y x y x y− = − +

δ) 2 2 27 ( 7) ( 7)( 7)x x x x− = − = − +

Ορισμός :

Παραγοντοποιήση μιας αλγεβρικής παράστασης (πολυωνύμου) είναι μια διαδικασία για

την μετατροπή της σε γινόμενο



ε) 3 2 3 2 2 2 36 12 8 3 2 3 2 2 ( 2)x x x x x x x− + − = − ⋅ + ⋅ ⋅ − = −

4.Πολυωνυμο το οποίο έχει την μορφή 2 ( )x xα β αβ+ + +

2 ( ) ( ) )x xα β αβ χ α χ β+ + + = + +

Παραδειγματα 2 25 6 (2 3) 2 3 ( 2)( 3)x x x x xχ+ + = + + + ⋅ = + +

(Θα επανελθουμε για την λυση αυτου του ειδους των ακησεεων με πιο ευκολο τροπο )

Πως εργαζομαστε για να παραγοντιοποιησουμε

Ελεγχουμε αν ολοι οι οροι του πολυωνυμου εχουν κοινο παραγοντα και αν :

ΝΑΙ βγαζω τον κοινο παραγοντα και συνεχιζω την παραγοντοποιηση

ΟΧΙ ψαχνω για ομαδες ορων που εχοουν κοινο παραγοντα

Ελεγχω μηπως είναι αναπτυγμα ταυτοτητας

•Αν οι οροι είναι δυο τις ταυτοτητες :α2-β2 , α3-β3 , α3+β3

•Αν οι οροι είναι τρεις την ταυτοτητα : α2± 2αβ+β2

•Αν οι οροι είναι τεσσερεις την ταυτοτητα α3± 3α2β+3αβ2± -β3

Ελεγχουμε μηπως είναι συνδυασμος κοινου παραγοντα και ταυτοτητας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα παραγοντοποιησετε τα πολυώνυμα:

3 2 2y y yλ λ µ µ− − + 3 212 60 4 20χ χ χ+ + +

2 6 5 5 6 12 12α αβ α β α β α β− + − + −

2 4 4 2 3 3 2 25 5y y y y yχ χ χ χ χ+ + + − −

2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4a a y a z a y zχ ω χ ω+ + + − − − −

2 2 2 2( 1)y y y y yχ χ χ χ− + − − + 2 2 2 2 2 23 3 2 2y x yα χ α− − +

3 23 3y y yβ β− − +

2 2 2 2 2 2α χ α β χ β− − +

2. Nα αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα:

α) 2( ) 16yχ − −

β) 2( 3) 1a + −

γ) 4 2 29 ( 5)x y− −

δ) 281 ( )a β− −



ε) 2 2( ) ( )aα β β+ − −

στ) 2 2(2 2) ( 2)aα + − −

ζ) 2 2(4 3 ) ( 3 4 )aα β γ β γ− + − − +

η) 2 2( ) ( )aα β γ β γ+ − − − +

θ) 2 2(2 3 ) (3 2 )y y yχ− − + −

2. Nα αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα:

α) 4 281 36 4xχ − +

β) 2 29 30 25y xyχ − +

γ) 4 6 2 3 2 4100 40 4y x yχ ω ω− +

δ) 2 29 30 25y xyχ − +

ε) 6 36 9y y− +

στ) 2 14 2

4χ χ− +

ζ) 4 636 12y xy χ− +

η) 6 3 2 4 22z z x y x y− +

θ) 4 2 2 264 80 25a a βγ β γ− +

3. Ομοια

α) 3 1χ +

β) 3 8y −

γ) 2 6 125x y −

δ) 364 27x −

ε) 3 3( 1)a β+ −

στ) 3( ) 27x y+ −

ζ) 3 3( ) ( )x y x y+ − −

η) 8 8a β−

θ) 2 2 2 2a β α γ−

ι) 5 5aβ α β−

4. Nα παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα

1) 4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2a β γ α β β γ α γ+ + − − −

2) 2 2 2 2( ) ( )aβ γδ β δ αδ βγ+ + − − +

3) 2 2 24 ( ) 6 ( ) 2 ( )y x y x x y x x yχ − − − + −

4) 2 2(7 ) 4(7 )(2 1) 4(2 1)x y x y x y x y− − − + − + + −

5) 2 2 24 9 4 12 6x y xy x yω ω ω+ + − + −

6) 2 2( 2 ) 6( 2 )(3 ) 9(3 )α β α β α β α β− − − + + +

7) 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )y y x y y xαχ β α β γχ δ γ δ+ + − + + + −



8) ( ) ( ) ( )aγ α γ αβ α β βγ β γ+ + − − +

9) 2 2 2 2( )( ) ( )( )α β α γ α γ α β− − − − −

10) 1 ( ) ( ) (1 )xy a x y x y a xy+ + + − + − +

5. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

i) Κοινός

παράγοντας 2223 936 xyyxxy ++ 432735 864 yxyxyx +−

)1()1(3)1( −−−−− yyyxxx 623 ⋅−

ii) Ομαδοποίηση ax ay x yγ γ+ + +

xyyxx 123416 2 −−+ 12345 −+−+− aaaaa

2(1 ) 1κ λ κ λ− − + + −

iii) Διαφορά

τετραγώνων

12 −x

( ) 222 xyx −+

249 81x −22 )(36)(49 λκλκ −−+

2

16 16

13x

x y

−

−

iv) Ανάπτυγμα

ταυτότητας

9124 2 +− xx 2 0,25µ µ− +

( ) ( ) 122 ++−+ yxyx

µµνν 22 25204 yyxx +−

v) Συνδυασμός

περιπτώσεων

2422 −− xx 22 32 yxyx −+

154 24 +− xx 6011 24 −+ xx

92 22 +−+− yxyx 3579 xxxx +−−

4 25 6x x+ −

22 2 yxyxyx +−+−

( ) ( ) 652 +−−− yxyx

( ) ( )2222 βαβ +++ axyyx322)2( xxx −++



ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

• Κάθε πολυώνυμο που μετά από αναγωγή ομοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

δυνάμεις του χ έχει πάρει την μορφή αχ2+βχ+γ όπου α,β,γ πραγματικοί αριθμοί και α ≠ 0

λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού.

Παράδειγμα: 3χ2+5χ - 12, εδώ έχω α=3, β=5 και γ= -12

(α συντελεστής του χ2, β συντελεστής του χ και γ ο σταθερός όρος.)

• Έστω P(x)=αχ2+βχ+γ τριώνυμο, αν στη θέση της μεταβλητής χ αντικαταστήσω κάποιο αριθμό

ρ η παράσταση θα πάρει τη μορφή αριθμητικής παράστασης P(ρ)=αρ2+βρ+γ και αν εκτελέσω τις

πράξεις ο αριθμός που θα βρω λέγεται αριθμητική τιμή.

Παράδειγμα: P(x)=2χ2-χ -6 για χ=1 έχω P(1)=2 ⋅12 -1-6=2-1-6=-5, παρατηρώ όμως για

χ=2 P(2)=2 ⋅ 22 -2 -6=8 -2 -6=0

Θα λέμε ρίζα του τριωνύμου P(χ) κάθε πραγματικό αριθμό ρ για τον οποίο ισχύει

P(ρ)=0. (δηλαδή δίνει τιμή μηδέν)

•Θα λέμε εξίσωση β' βαθμού κάθε παράσταση της μορφής αχ2+βχ+γ =0 όπου α,β,γ

πραγματικοί αριθμοί και α ≠ 0 και ρίζα (λύση) κάθε πραγματικό αριθμό ρ που κάνει την ισότητα

αρ2+βρ+γ =0 σωστή (την αληθεύει).

Παράδειγμα: 2χ2-χ -6 =0 είναι μία εξίσωση β' βαθμού

για χ=1 έχω 12 - 1-6=2-1-6=-5 Λάθος

για χ=2 έχω 2 22 -2 -6=8 -2 -6=0 Σωστή άρα το 2 είναι

μία ρίζα της εξίσωσης.

• Στην εξίσωση β' βαθμού οι συντελεστές β, γ σαν πραγματικοί αριθμοί δεν αποκλείεται

να είναι και μηδέν και προκύπτουν εξισώσεις ελλειπούς μορφής.

Ι ) για β= 0 τότε αχ2+γ =0

ΙΙ ) για γ=0 τότε αχ2+βχ =0

ΙΙΙ ) για β = 0 και γ = 0 τότε αχ2 =0



ΛΥΣΗ ΤΗΣ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αχ2+βχ+γ ,α ≠ 0

1. Μορφή ελλειπής αχ2+γ=0

αχ 2+γ=0 ο αχ 2= -γ ⇔ χ 2=-γ/α

α) αν το κλάσμα γα

− είναι θετικό η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις γα

+ − και γα

− −

β) αν το κλάσμα γα

− είναι αρνητικό η εξίσωση δεν έχει δύο λύσεις (Αδύνατη).


α) 2 2 2 2 2 2273 27 0 3 27 9 9 3

3χ χ χ χ χ χ− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ±

β) 2 2 2 2322 32 0 2 32 16( )

2χ χ χ χ δυνατη+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − Α

2. Μορφή ελλειπής αχ2+βχ=0 έχει πάντα λύση την χ=0 αναλυτικότερα:

2 0 ( ) 0αχ βχ χ αχ β+ = ⇔ + =

χ=0 ή ή χ= - β/α


α) 24 8 0 (4 8) 0 0 4 8 0 0.. .. 2ήχ χ χ χ χ χ χ η χ+ = ⇔ + = ⇔ = + = ⇔ = = −

3. Μορφή ελλειπής αχ2=0 έχει πάντα λύση την χ= 0

Παράδειγμα α) 27 0 0χ χ= ⇔ =



ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ αχ2+βχ+γ , α ≠ 0

Βήμα 1ο Βρίσκω την τιμή της παράτασης Δ= β2-4αγ που ονομάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης.

Βήμα 2ο Συγκρίνω την διακρίνουσα Δ με το μηδέν:

α] Αν Δ< 0 (αρνητικό) η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες - Αδύνατη

β] αν Δ=0 η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα την ρ =2

βα−

γ] αν Δ > 0 (Θετικό) η εξίσωση έχει δύο ρίζες διαφορετικές που δίνονται από τον

τύπο 1,2 2

βρ

α− ± ∆

= όπου Δ η διακρίνουσα


α) 2 7 6 0χ χ− + = οπού

1, 7, 6α β γ= = − = και η διακρινουσα είναι : 2 24 ( 7) 4 1 6 49 24 25 0β αγ∆ = − = − − ⋅ ⋅ = − = >

Άρα έχουμε δυο άνισες λύσεις

1

2

( 7) 25 7 5 126

2 2 1 2 2

( 7) 25 7 5 21

2 2 1 2 2

a

a

βχ

βχ

− + ∆ − − + += = = = =

⋅

− − ∆ − − − −= = = = =

⋅


α) 2 7 6 0χ χ− + = οπού



1

2

( 7) 25 7 5 126

2 2 1 2 2

( 7) 25 7 5 21

2 2 1 2 2

a

a

βχ

βχ

− + ∆ − − + += = = = =

⋅

− − ∆ − − − −= = = = =

⋅



Προσοχή !!! Ο τύπος επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης εφαρμόζεται μόνο όταν φέρουμε την

εξίσωση στην μορφή 2 0ax βχ γ+ + = .


Να λυθεί η εξίσωση 22 7 13 ( 3) 2x x x x+ − = − −

Εκτελούμε επιμεριστική ιδιότητα στο δεύτερο μέλος , πάμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και

εκτελούμε ανάγωγες όμοιων όρων έτσι ώστε να φέρουμε την εξίσωση στην μορφή 2 0ax βχ γ+ + =

2 2 2 2 2

2

2 7 13 ( 3) 2 2 7 13 3 2 2 7 13 3 2 0

10 11 0

x x x x x x x x x x x x

x x

+ − = − − ⇔ + − = − − ⇔ + − − + + =

+ − =

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα Δ

2 24 10 4 ( 11) 100 44 144 0β αγ∆ = − = − ⋅ − = + = >

Δυο άνισες λύσεις έχει η εξίσωση:

2

1,2

10 12 2211

4 10 144 10 12 2 210 12 22 2 1 2

12 2

ax

a

β β γ− − − = = −− ± − − ± − ±

= = = = − +⋅ = =

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ αχ2+βχ+γ , α ≠ 0

Εργάζομαι όπως παραπάνω και βρίσκω τις ρίζες του.

α] Αν Δ<0 (αρνητικό) δεν έχει ρίζες . Δεν παραγοντοποιείται.

β] Αν Δ=0 έχει μία διπλή ρίζα την την ρ =2

βα−

, το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο και

ισχύει : αχ2+βχ+γ=α(χ-ρ)2

γ] αν Δ>0 (Θετικό) η έχει δύο ρίζες διαφορετικές 1,2 2

βρ

α− ± ∆

= και

αχ2+βχ+γ=α(χ-ρ1) (χ-ρ2)




Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα

α) 2 4 9 0χ χ+ + =

β) 2 4 4 0χ χ− + =

γ) 2 7 6 0χ χ− + =

Λύση

α) 2 4 9 0χ χ+ + = οπού

1, 4, 9α β γ= = = και η διακρινουσα είναι : 2 24 (4) 4 1 9 16 36 20 0β αγ∆ = − = − ⋅ ⋅ = − = − < Αδύνατη άρα δεν παραγοντοποιείται.

β) 2 4 4 0χ χ− + = οπού

1, 4, 4α β γ= = − = και η διακρινουσα είναι : 2 24 ( 4) 4 1 4 16 16 0β αγ∆ = − = − − ⋅ ⋅ = − =

Άρα έχουμε μια διπλή ρίζα την

( 4) 4

22 2 1 2a

βχ

− − −= = = =

⋅

το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο και ισχύει

δηλ

2 2( )2 24 4 ( 2)

αχ βχ γ α χ ρ

χ χ χ+ + = −

− + = −

γ) 2 7 6 0χ χ− + = οπού



1

2

( 7) 25 7 5 126

2 2 1 2 2

( 7) 25 7 5 21

2 2 1 2 2

a

a

βχ

βχ

− + ∆ − − + += = = = =

⋅

− − ∆ − − − −= = = = =

⋅

το τριώνυμο γίνεται :

21 2αχ ( )( )

2 7 6 1( 6)( 1)βχ γ α χ ρ χ ρ

χ χ χ χ+ + = − −

− + = − −



ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ αχ2+βχ+γ , α ≠ 0

Αν Δ >0 οι δυο ριζες 1 2

βρ

α− + ∆

= , και 2 2

βρ

α− − ∆

=

Αν πάρουμε Σ= 1 2 2 2 2

β β β β βρ ρ

α α α α− + ∆ − − ∆ − + ∆ − − ∆ −

+ = + = =

και

2

2 2

1 2 2 2

22 2 24

2 2

( )( ) (( ) )( )( )

2 2 4 4

( ) ( 4 )

4 4

β αγ

β β β β βρ ρ

α α α α

ββ β αγ βα α

∆= −

− + ∆ − − ∆ − + ∆ − − ∆ − ∆ −Γ = ⋅ = = = =

−− ∆ − − − −= =

24αγ β+ +24

γα α

=

2.Ομοια αν Δ=0 τότε Σ= 2 22

β βρ

α α− −

= =

22 2

2 2

4( )2 4 4

β β αγ γρ

α α α α−

Γ = = = = =

3.Καθε εξίσωση αχ2+βχ+γ, α ≠ 0 γράφεται .. ..

2 2 2

2 21 2 1 2( )

διαιρω µε α α β γ β γαχ βχ γ χ χ χ χ

α α α α αχ ρ ρ χ ρ ρ χ χ

+ + = + + = + + =

− + + = −Σ +Γ

Άρα από την εξίσωση βρίσκω τις ρίζες και αντίστροφα

από τις ρίζες βρίσκω την εξίσωση.


α) 2 7 6 0χ χ− + = το άθροισμα των ριζών θα είναι :

Σ= 1 2

( 7)7

1

βρ ρ

α− − −

+ = = =

και το γινόμενο των ριζών θα είναι :

1 2

66

1

γρ ρ

αΓ = ⋅ = = =



ΛΥΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Κλασματικές εξισώσεις λέγονται οι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα με άγνωστο στους

παρονομαστές.

Επίλυση κλασματικών εξισώσεων με βήματα.

1. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.

2. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρονομαστών, παίρνοντας τον κάθε διαφορετικό εμφανι-

ζόμενο παράγοντα και με το μεγαλύτερο εκθέτη.

3. Θέτουμε περιορισμούς: το Ε.Κ.Π. ≠ 0 και βρίσκω τις αντίστοιχες τιμές.

4. Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών πολλαπλασιάζοντας τα μέλη με το Ε.Κ.Π.

5. Απλοποιούμε και εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα (πολλαπλασιάζουμέ).

6. Κάνουμε αναγωγές όμοιων όρων, διατάσουμε κατά τις φθίνουσες δυνάμεις το x και

λύνουμε.

7. Τέλος, ελέγχουμε αν οι ρίζες που βρήκαμε ικανοποιούν τον περιορισμό. Όσες δεν τον

ικανοποιούν τις απορρίπτουμε.

Παραδειγμα

Να λυθεί η εξίσωση 2

1 1

2 2 4

x

x x x+ = −

+ − −

Λύση

Παραγοντοποιούμε οπού είναι δυνατόν τους παρανομαστές : 24 (2 )(2 )x x x− = − +

Το Ε.Κ.Π των παρανομαστών είναι (2 )(2 )x x− + για να ορίζονται τα κλάσματα πρέπει

(2 )(2 ) 0x x− + ≠ η (2 ) 0 2x x− ≠ ⇔ ≠ και (2 ) 0 2x x+ ≠ ⇔ ≠ −

Η εξίσωση γίνεται 1 1

2 2 (2 )(2 )

x

x x x x+ = −

+ − + −

(2 )x+ (2 )2

xx

x−

+(2 ) (2 )x x+ + −

1

2 x−(2 )(2 )x x= − + −

1

(2 )(2 )x x+ − (Απαλοιφή παρανομαστών)

(2 ) (2 ) 1x x x− + + = − (Επιμεριστική ιδιότητα) 22 2 1x x x− + + = − ( 2ου βαθμού εξίσωση τα πάμε όλα στο α μέλος και εκτελούμε αναγωγές ) 2 22 2 1 0 3 3 0x x x x x− + + + = ⇔ − + + =

α=-1 , β=3 , γ=3 2 24 3 4( 1)(3) .. 21β αγ∆ = − = − − = =

Έχει δυο λύσεις : 1

3 21 3 21

2 2( 1) 2a

βχ

− + ∆ − ± − ±= = =

− −

2

3 21 3 21 3 21

2 2( 1) 2 2a

βχ

− + ∆ − − − − += = = =

− −

Είναι δεκτές γιατί διαφέρουν από το 2, -2 .



ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)Έστω η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 με χ≠ 0 . Να συμπληρώσετε τα κενά :

• Αν Δ > 0 , έχει …………………. , τις χ = ………..

• Αν Δ ……. , έχει διπλή λύση , τις χ = ………..

• Αν Δ < 0 , τότε ………………….

2) Να λυθούν οι παρακάτω 2/βάθμιες εξισώσεις:

α) x2-5x+6 = 0 β)2x2-10x+12 = 0 γ)-2x2+1 0x-12 = 0

δ)x2+8x+12 = 0 ε)3x2+24x+3 6 = 0 στ)-3x2-24x-3 6 = 0

ζ) x2-6x+12 = 0 η)3x2-18x+24 = 0 θ)-3x2+18x-24 = 0

3.) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: x2 -25 = 0 -x2+25 = 0 3x2-75 = 0 -3x2+75 = = 0

x2+15 = 0 -x2-15 = 0 3x2+45 = 0 -3x2-45 = 0

x2-7x = 0 -x2+7x = 0 5x2- 35x = 0 -5x2+35x =0

0

4) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α)(2x2-18)2 + (x-3)2 = 0 β)5 + (x-3)2 = 0 γ)5(x2-5x+6)2004 = 0

δ)(2x2-18)2012 + (x-3)2 = 0 ε)(x-3)2+(x+3)2 = 0 στ)5(x-5)+(x+5)2=5(x-5)

ζ)(5x2-6x+18/10)(x2+5)=0 η )(2x+5)(2x2-32)(x2+13) = 0 θ) (x-2)(x2-4) = 0

5) Να λυθούν οι εξισώσεις: 2

2

)3 ( 2 3) 2 0

)4 2( 3 1) 3 0

α χ χ

β χ χ

− − − =

− + + =

6)Να λυθούν οι εξισώσεις:

α)1 1

5 6

χ += β)

2 3

7 5

χ χ −= γ)

2 30

2 5

χ χ+ −+ =

δ)5 12

5 1

χχ

+=

+ ε)

4 1 2 1

5 4

χ χχ

− −=

− στ)

2

2

5 60

8 15

χ χχ χ

− +=

− + ζ)

2

2

5 61

8 15

χ χχ χ

− +=

− +



6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α)2

1 2 2

3 9 3

χχ χ χ

= +− − +

β) 2 2 3 1

3 ( 3)( 3) 8 3

χχ χ χ χ

+ = +− − − −

γ)2

2 1 11

4 2 2

χχ χ χ

+ = +− + −

δ)2

2 1 6 1

5 15 2 6

χχ χ χ χ

+− =

− + − −

ε)2

2 2

3 9

3 9 3 9

χ χχ χ χ χ− − −

+ = ++ − − −

στ) 2

10 20

1 1 1

χχ χ χ

+ + =− + −

ζ)5 5 10

5 5 3

χ χχ χ− +

+ =+ −

η)2

3 2 1

3 2 3 1χ χ χ χ= +

+ − − +

θ)2

3 2 3 4

5 6 2 3

χχ χ χ χ

+= −

− + − − ι)

5 1 3

2 3 6 5χ χ χ χ− =

− −

κ)2 2

2 4 2

3 2 2 8 2χ χ χ χ+ =

− + − + λ)

2

3 2 1 6

( 1) 2 3 2

χχ χ χ χ χ

−+ =

+ + +

μ)2

2

3 2

2 3 2

χ χχ

χ χ− + −

=− −

ν)

13

1 811

χχ

χ

+

= −−

−

ξ)

111

13 1

χχ χ

χ

+=

−+

ο) 2

2

2 4 51

2

χ χχ− +

=+

7) α) Nα λύσετε την εξίσωση: 012

2

1

122

=+−

+−+

xxx

x

β) Nα λύσετε την εξίσωση: 012

5

1

122

=+−

−−+

xxx

x

γ) Να λύσετε την εξίσωση: 2)3()2()1( 222 ++−=−+− xxxx

δ) Να λύσετε την εξίσωση: 02)21(2 =++− xx



8) Να λυθεί η εξίσωση: 6x2 − 3x (x −1) =( x + 3)2 – 4

9) Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 3x2 + x − 2= 0

β) 2

2 2 8 1 3

2 4 2

χ χχ χ χ− −

− =− − +

και να γράψετε την κοινή τους λύση.

10)Αναφερόμενοι στην εξίσωση 0 ,02 ≠=++ αγβxax ,

να αντιστοιχίσετε κάθε πρόταση της στήλης Α σε μια πρόταση της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1. Δ<0 α Πραγματικές και άνισες

ρίζες.

2. Δ=0 β Ακέραιες ρίζες.

3. Δ>0 γ Ρητές ρίζες.

4. Δ>=0 δ Πραγματικές ρίζες.

ε Η εξίσωση είναι αδύνατη.

στ Οι ρίζες είναι ίσες μεταξύ

τους,

11) οι Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = (x + 1)2 + (x −1)3 – x3 + 7

α) Να αποδείξετε ότι P(x) = − 2x2 + 5x + 7

β) Να παραγοντοποιήσετε το P(x)

γ) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

12) Να βρεθουν οι αριθμοι α και β για τους οποιους ισχυει :

2 24 8 2 5 0a aβ β+ + + + =

13)(θεμα Ε.Μ.Ε) Να λυθει η παρακατω εξισωση

16 12 8 4 1988 1992 1996 2000

1988 1992 1996 2000 16 12 8 4

χ χ χ χ χ χ χ χ− − − − − − − −+ + + = + + +



Προβλήματα που λύνονται με εξίσωση 2ου βαθμού

1. Να βρεθεί ο αριθμός του οποίου το μισό του τετραγώνου του αν αυξηθεί κατά 2 θα

γίνει ίσο με το διπλάσιο του αριθμού αυτού.

2. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα Σ = 16 και γινόμενο Γ = 63.

3. Όμοια Σ = 10/3 και Γ = 1, Σ = -12 και Γ = 35, Σ = -3 και Γ = -40 .

4. Να βρείτε δύο αριθμούς με διαφορά Δ = 13 και γινόμενο Γ = 140

•όμοια με διαφορά Δ = -25 και γινόμενο Γ =-150

•όμοια με διαφορά Δ = 17 και γινόμενο Γ = 200.

5. Να βρεθεί ο αριθμός του οποίου το γινόμενο με τον αυξημένο κατά 4 εαυτό του δίνει

21.

6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη κάθετων πλευρών 3x+2, 4x-3 και υποτείνουσα

5x-1 να βρεθεί το x και μετά τα μήκη των πλευρών του.

7. Όμοια για κάθετες πλευρές 12x+4, 5x-2 και υποτείνουσα 13x-2.

8. Σε τετράγωνο αν οι πλευρές αυξηθούν κατά 2 μονάδες το εμβαδό του γίνει 49 τετραγωνικές

μονάδες να βρείτε την πλευρά και το εμβαδό του αρχικού τετραγώνου.

9. Να βρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου με περίμετρο 34 μ. και διαγώνιο 13 μ.

10. Αν αυξήσουμε τις δύο απέναντι πλευρές ενός τετραγωνου κατά 5 μ. και τις άλλες δύο κατά 3

μ., προκύπτει ορθογώνιο που έχει εμβαδό 168 τ.μ. Να βρεθεί η πλευρά και το

εμβαδό του τετραγώνου.

11. Να βρείτε τις κάθετες πλευρές και το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα 13 μ.

αν γνωρίζουμε ότι η μία κάθετη είναι μικρότερη της άλλης κατά 7 μ.

12. Να υπολογιστεί η περίμετρος ενός ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές x-20 μ.

και x+40 μ. εμβαδό 2750 τ.μ.

13.Να υπολογίσετε δύο διαδοχικούς περιττούς φυσικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα

τετραγώνων 514.



14. Σήμερα ηλικία του Νίκου είναι διπλάσια από την ηλικία του Βασίλη. Πριν από πέντε χρόνια η

ηλικία του Νίκου ήταν τα 10/4 της ηλικίας του Βασίλη. Πόσων χρονών είναι σήμερα και οι δύο;

16. Η κυρία Σοφία έχει την τριπλάσια ηλικία από τον γιο της τον Γιάννη . Ο κύριος Αχιλλέας

είναι μεγαλύτερος κατά τέσσερα χρόνια από την σύζυγο του την κυρία Σοφία. Είναι παράξενο

αλλά ,και οι τρεις έχουν γενέθλια την ιδία μέρα και χρειάζονται συνολικά 88 κεριά για την

τούρτα γενεθλίων.Ποσών χρονών ήταν ο καθένας;

15.Τρεις φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 270.Αν από τον καθένα αφαιρέσουμε τον ίδιο φυσικό

αριθμό, παίρνουμε τους αριθμούς 24,81,132.Να βρείτε τους τρεις αριθμούς .

16.(Ο ελέφαντας και το κουνούπι)

Είναι δυνατόν το βάρος ενός ελέφαντα να ισούται με το βάρος ενός κουνουπιού;

Έστω χ το βάρος ενός ελέφαντα και ψ το βάρος ενός κουνουπιου.Το άθροισμα του βάρους του

ελέφαντα και του κουνουπιού ισούται με 2κ, δηλ

(1) χ+ψ=2κ. Από την εξίσωση (1) μπορούμε να έχουμε τις εξής δυο:

χ-2κ= - ψ

χ= -ψ+2κ Τις πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και

έχουμε:

χ2 –2κχ=ψ2-2κψ Προσθέτουμε και στα 2 μέλη το όρο κ2:

χ2-2κχ+κ2=ψ2-2κψ+ κ2 ή

(χ-κ)2=(ψ-κ)2 Παίρνουμε τετραγωνικές ρίζες:

χ-κ=ψ-κ ή

χ=ψ. Δηλαδή το βάρος του ελέφαντα

ισούται με αυτό του κουνουπιού .

Που είναι το λάθος;



ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Γραμμική εξίσωση

• Μια εξίσωση με μορφή αχ + βy = γ, όπου χ και y άγνωστοι και α, β, γ σταθεροί, λέγεται

γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης αχ+βy=γ με

α 0≠ ή β 0≠ είναι ευθεία γραμμή.

• Το συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων έχουν η μπορούν κατόπιν πράξεων να έρθουν

στην γενική μορφή:

1 1 1

2 2 2

y

y

αχ β γ

αχ β γ

+ =

+ =

Για την λύση του υπάρχουν τρεις τρόποι (μέθοδοι):

α) Αντικατάστασης, β) Αντίθετων συντελεστών, γ) Και η μέθοδος γραφικής επίλυσης

Οι γραφικές παραστάσεις των δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους, παριστάνεται στο

Καρτεσιανό επίπεδο με δύο ευθείες, οι οποίες μπορεί να:

1. Τέμνονται και το σύστημα θα έχει μία λύση που είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής.

2. Να είναι παράλληλες άρα να μην τέμνονται, καμία λύση - Αδύνατο

3. Να ταυτίζονται, άπειρα κοινά σημεία - Αόριστο

Στη γραφική επίλυση συστήματος πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής με

απόλυτη ακρίβεια.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Η πιο γενική μέθοδος επίλυσης συστημάτων δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους.

• Βήμα 1. Λύνουμε ως προς έναν άγνωστο τη μια από τις δύο εξισώσεις του συστήματος .

• Βήμα 2. Αντικαθιστούμε την παράσταση που βρήκαμε στην άλλη εξίσωση του συστήματος,

οπότε προκύπτει μια εξίσωση ενός άγνωστου, που μπορούμε να λύσουμε.

• Βήμα 3. Τη λύση που βρήκαμε την αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση του βήματος 1,

οπότε βρίσκουμε και τον δεύτερο άγνωστο.

Παρατήρηση: Η µέθοδος της αντικατάστασης µπορεί να εφαρµοστεί και σε συστήµατα που δεν

είναι γραµµικά.




Να λυθεί το σύστημα

3

1

y

x y

χ + =

− =

Λύση

. x: x 3 –y 23 3 3 3

1 1 (3 ) 1 3 2 1

3 3 3 3

2 3 1 2 2 1

ύ ώ ώ ίy y y y

x y x y y y y

y y y

y y y

ηνω την πρ τη ως προς ντικαθιστ στη εξ σωσηχ χ χ χ

χ χ χ χ

Λ = Α + = = − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ − = − = − − = − =

= − = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = − + − = − =

1

1

1

2

1

y

y

χ

−⇔ =

= =

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

• Βήμα 1. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της μιας ή και των δύο εξισώσεων με κατάλληλο

αριθμό ώστε οι συντελεστές ενός εκ των αγνώστων να γίνουν αντίθετοι αριθμοί. (η μετά

τον πολ/μό εξίσωση θα είναι ισοδύναμη της αρχικής)

• Βήμα 2. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις, οπότε προκύπτει εξίσωση με ένα μόνο

άγνωστο την οποία και λύνουμε.

• Βήμα 3. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές

εξισώσεις

του συστήματος, οπότε βρίσκουμε και τον άλλο άγνωστο.



Να λυθει το συστημα:

Λυση

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

1..Δίνεται η εξίσωση x +2y = 7. α) Να δείξετε ότι το ζεύγος (-1, 4) είναι λύση αυτής της εξίσωσης. β) Για x = 5 να βρείτε y ώστε το ζεύγος (5, y) να είναι λύση της εξίσωσης. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της εξίσωσης 2y + x = 7.

2. Στην εξίσωση 5x+y=6. Να Αποδείξτε ότι το ζεύγος (x = κ, y = 6 - 5κ), κ∈R επαληθεύει την εξίσωση.

3. Δίνεται η εξίσωση ε: 8x+2y=7. Να γραφεί μία εξίσωση ευθείας που να είναι: α)ταυτίσιμη δηλαδή το σύστημα αόριστο β)τέμνουσα - μία λύση γ) Παράλληλη -αόριστο

4. Να επιλύσετε τα παρακάτω σύστηματα :

α)

=+

=−

−−

834

04

2

3

1

yx

yx

β)

−+=+−

−=−+

5.0)(32)1(5.0

)(72)4(3

yxyx

yxyx

5. Να λυθούν τα συστήματα: α) x - 2 = 0 β) - 3x - 7y + 13 = 0

2x - 3y + 7 = 0 y = 2

2 3

3 5 13

y

x y

χ − = −

+ =

/ 3 :( 3) 2 3 3 6 9 3 6 9 3 6 9

(1) : 3 5 13 3 5 13 0 11 22 2

3 6(2) 9 3 6(2) 9 1

2 2 2

ίy y y y

x y x y x y y

y y y

ολ ζω την πρωτη εξισωση µε και γ νεταιχ χ χ χ

χ χ χ

Π − + − − = − − + = − + = − + = − ⇔ ⇔ ⇔ + = + = + = =

− + = − + = = ⇔ = = =



γ) 2

χ +

3

y = 0 δ) 3x + 2y = 5

3

χ +

7

y= 0 7x + 5y=12

6. Να λυθούν τα συστήματα: (Προτείνεται η μέθοδος των αντιθέτων )

α) 3x - 4y = 17 β) 5x - 7y - 47 = 0 γ) 0,5x + 0,2y = 16 -3x + 8y = 37 2x + 7y - 16 = 0 1,5x + 0,5y = 23

7. Να γίνουν πράξεις απλοποίησης και να λύσετε τα συστήματα:

α)3(x-4) + 2(y + 2) = -9 β )3

14

x −=

0.5

5

y −

(x - 5) - 4 (y - 3) = 26 3 (x - 3) - 8 (y - 0,5) = 1

8. Να λυθεί το σύστημα : 4

3 1

χ ψχ ψ− + =

− = −

9. Να λυθεί το σύστημα :

( )

1 25

3 43 1 2( 6) 15

χ ψ

χ ψ χ

+ − + = − − − = −

10.Να λύσετε με τη μέθοδο της αντικατάστασης και των αντίθετων συντελεστών το σύστημα:

2χ- y =3

2χ+ y =1

Να παραστήσετε τις εξισώσεις και τη λύση του σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

11. Α. Να βρεθουν τα κ, λ ώστε η εξισωση κχ+λy=9 να εχει τα ζευγη (1,1) και (-1,5) λυσεις .

Β. Να βρεθει η εξισωση της ευθειας που διερχεται από τα σημεια Α( 3,3),Β( 1.2,1.2)

12.Α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(2,5) και β(1,3)

Β) Να λυθεί το σύστημα

=−

=−

64

322yx

yx και να γίνει επαλήθευση.

13) Αν η ευθεία ε:y = αx +β διέρχεται από τα σημεία Α(-2, +2) και Β( 1, -3 )

Να βρεθούν αριθμοί α και β.

14) α) Να βρείτε το σημείο Κ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες με εξισώσεις :



ε 1: 2x + y = 10 και ε 2 : 3x − y = 5

β. Αν η ευθεία με εξίσωση ε : (λ −1) x +(3λ − 2) y = 0 διέρχεται από το σημείο Κ

που βρήκατε στο α. ερώτημα, να βρείτε την τιμή του λ.

15)Να λυθει η εξισωση 3 1 2 5 0y yχ χ− + + + − =

16) Να λύσετε τα συστήματα:

=−

=+

2

523

4

1934

βα

βa και

4 3 7

2 1 2 3 2

3 2 1

2 1 2 3 2

x y x y

x y x y

+ = + − + + − = − + − + +

17) Να λύσετε τα συστήματα:

=−

=+

1

5

βαβa

και

=+

=+

2324967513249

2675132496751

yx

yx

Documents

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΕΛΙΚΟ - blog