מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים Deterministic Models in Operations research 1. הקדמה

זאב ברזילי 1 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

Deterministic Models in Operations research

. הקדמה1 תחילת הפעילות בחקר ביצועים במלחמת העולם השניה – •הקצאת משאבים )מוגבלים( למבצעים צבאיים.

לאחר המלחמה הגיעו למסקנה שהטכניקות שפותחו •להקצאת משאבים צבאיים יכולות לשמש להקצאת

משאבים בתעשייה, בשירותים ובמוסדות ממשלתיים.גורם נוסף בפיתוח תחום חקר הביצועים הנו התפתחות •

המחשבים. פתרון בעיות בעזרת טכניקות של חקר ביצועים ללא שימוש במחשבים אינו בא בחשבון ברוב המקרים.


(2הקדמה )

חקר ביצועים הנו: גישה מדעית לקבלת החלטות במערכות •ארגוניות.

תהליך קבלת ההחלטות מורכב מהשלבים הבאים:•

ביצוע תצפיות על הבעיה.–

ניסוח הבעיה בצורה מתמטית באופן שמהות הבעיה נשמרת –באופן מדויק מספיק.

פתרון הבעיה – מתן דרכי פעולה מיטביות למחליט.–

חקר ביצועים מתחלק לשני שטחים:•

מודלים דטרמיניסטיים: תכנות לינארי, תכנות דינמי, תכנות –בשלמים, זרימה ברשתות ועוד.

מודלים סטוכסטיים: תורת התורים, תורת המלאי, תהליכי –החלטה מרקוביים ועוד.


. הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי2

.B ו Aמפעל מסוגל לייצר שני מוצרים •במפעל שלוש מחלקות ייצור:•

.A מכינה את מוצר 1 ’מחלקה מס–

.B מכינה את מוצר 2 ’מחלקה מס–

מרכיבה את המוצרים שהוכנו במחלקות 3 ’מחלקה מס–הקודמות.

הנהלת המפעל מעונינת לקבוע את תוכנית הייצור •שתשיא )תביא למקסימום( את הרווחים.


(2הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי )כבסיס לתכנון המיטבי של הייצור בוצע במפעל סקר •

נתוני הייצור. התקבלו הנתונים הבאים:

Product A Product B Production Time Available per Week, Hours

Dept. 1 1 0 4

Dept. 2 0 2 12

Dept. 3 3 2 18

Profit 3 5

Production Time

Per Batch, Hours


(3הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי ) ו A מנות )יחידות( ממוצר X1נניח שמחליטים לייצר כמות של •

X2 מנות )יחידות( ממוצר B.

חייבות לקיים X2 ו X1בהתחשב בנתוני הייצור לעיל הכמויות •( הבאים:Constraintsאת האילוצים )

1( X1 <= 4

2( 2 X2 <= 12

3( 3 X1+ 2 X2 <= 18

4( X1 >= 0

5( X2 >= 0

Objectiveמטרת ההנהלה מבוטאת ע"י פונקצית המטרה )•Function:)

Z= 3 X1+ 5 X2


(4הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי )תכונות הבעיה:•

בעיה דטרמיניסטית.–המשתנים אינם שליליים אך יכולים להיות שברים.–קיימת פרופורציונליות לינארית באילוצים ובפונקצית המטרה. –

כלומר, אם דרושות שתי יחידות משאב כדי להכין יחידה של משאבים.4 יחידות דרושים 2, אזי כדי להכין Bמוצר

השפעות המשתנים על האילוצים ופונקצית המטרה הן – 3מצטברות )תכונת האדטיביות(. כלומר אם במחלקה

X2 2 ו A משאבים עבור הרכבת מוצר X1 3 דרושים אזי סה"כ המשאבים Bמשאבים עבור הרכבת מוצר

.X1 + 2 X2 3 הנדרשים הוא המשתנים חייבים להיות לא שליליים.–

מכיוון שיש לבעיה רק שני משתנים ניתן לפתור אותה באופן • גרפי.


(5הדוגמה הבסיסית ופתרונה הגרפי )(Feasible Regionקבוצת הפתרונות האפשריים )•

(. Convex Set היא קבוצה קמורה ) ( הוא feasible Solutionפתרון אפשרי )•

פתרון המקיים את כל האילוצים. הפתרון המיטבי של הבעיה:•

הפתרון המיטבי נמצא בנקודת•פינה אפשרית

(Corner Point Feasible Solution.)

6

2

36

*2

*1

*

X

X

Z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6x1

x2

2

1

3

5

4

Z=15

Z=7.5

Z=36

FEASIBLEREGION


. ניסוח בעיית התכנות הלינארי3

לבעיה הרשומה לעיל נקרא בעיית תכנות לינארי סטנדרטית.•לעיתים מגדירים את הבעיה הסטנדרטית עם אילוצי גדול-שווה •

)=<( ואז הבעיה היא בד"כ בעיית מזעור )מינימום(. לעיתים האילוצים הם שיוויונות.

אילוצי n אילוצים פונקציונליים כלליים ו m משתנים, nלבעיה יש •אי-שליליות.

0,....,0,0

...

.

.

...

...

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nnxcxcxcMaxZ ...2211


( 2ניסוח בעיית התכנות הלינארי )

בכתיב מטריציוני מוגדרת בעיית התכנות הלינארי ע"י •

.0,

..

'

XbXA

ts

XcMaxZ

nnmnmm

n

n

b

b

b

b

x

x

x

X

aaa

aaa

aaa

A..

...

....

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

(,...,,)' 21 ncccc


. שיטת הסימפלקס4Simplex Method

הגדרות:•( הואfeasible solutionפתרון אפשרי )–

פתרון המקיים את כל האילוצים. אם

נוסיף את האילוץ לבעיה שהוצגה

1.5 x1 + x2 >= 9.75 .(6 )מס

הבעיה הייתה הופכת לחסרת פתרון

אפשרי.

(Optimal Solutionפתרון מיטבי )–

הוא פתרון בעל ערך פונקצית מטרה

מיטבי )מזערי או מרבי(.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 x1

x2

2

1

3

5

4

Z=18

FEASIBLEREGION

6


(2שיטת הסימפלקס )

לעיתים קרובות יש לבעיה פתרון מיטבי יחיד. אם יש •יותר מפתרון מיטבי יחיד אזי יש אינסוף פתרונות

מיטביים. אם פונקצית המטרה של בעיית הדוגמה הנה: Z=6 x1 + 4 x2( ו 2,6 אזי כל הנקודות על הישר בין )

( הן מיטביות. 4,3)קורה שלבעיה יש פתרון אפשרי אך אין פתרון מיטבי. •

כלומר,הפתרון המיטבי הנו בלתי חסום. אם אילוצי x1 – x2 2 בעיית הדוגמה הם:

<=6

-6 x1 + 3 x2 <=12

אזי התחום האפשרי והפתרון המיטבי בלתי חסומים.



( היא משוואה המתקבלת Boundary Equationמשוואה גבולית )•מאילוץ ע"י הפיכת סימן האי שוויון לשוויון.

משוואה גבולית מגדירה צורה גיאומטרית שטוחה הנקראת •Hyperplane במרחב הדו מימדי צורה זאת הנה ישר, במרחב .

הגבולות של האזור האפשרי מורכבים התלת מימדי – מישור. מפתרונות אפשריים הנמצאים על משוואה גבולית אחת או

יותר.

(CPF- Corner Point Feasible Solution)נקודת פינה אפשרית •משוואות גבוליות, nהנה נקודה המתקבלת מהפתרון של

, n =2האילוצים. בדוגמה לעיל, היות ו – mוהמקיימת את שאר נקודת קצה מתקבלת מחיתוך של שתי משוואות גבוליות.

( הן 4,6(, ו )6,0(, )0,9הנקודות קצה אפשריות. הנקודות ) נקודות קצה לא אפשריות.

x



( הן נקודות פינה Adjacent Corner Pointsנקודות פינה סמוכות )•שהקו המחבר אותן מהווה משוואה גבולית. נקודות פינה סמוכות

משוואות n-1נבדלות במשוואה גבולית אחת בלבד כלומר יש להן גבוליות משותפות. שתי נקודות פינה סמוכות מחוברות ע"י קטע

( המוגדר ע"י המשוואות הגבוליות line segmentקו ישר )( של האזור האפשרי. edgeהמשותפות. קטע זה הוא הגבול )

( הן נקודות פינה סמוכות. 2,6( ו )0,6בדוגמה לעיל הנקודות )•:הראשונה מוגדרת ע”י

2 X2 =12, 3X1 + 2 X2 = 18

והשניה מוגדרת ע”י :•

X1 = 0, 3X1 + 2 X2 = 18



תכנות לינארי, ת לכל בעי(.Optimality Testבחן המיטביות )מ•שיש לה לפחות פתרון מיטבי אחד, אזי פתרון פינה אפשרי הוא

הפתרון המיטבי אם הוא עדיף על כל הפתרונות הסמוכים.המבחן ת המיטביות של פתרון נתון.קמפשט מאד את תהליך בדי

קרונות שיטת הסימפלקס:ע•השיטה מתמקדת בנקודות פינה בלבד. לכל בעיית תכנות –

לינארי יש איפה מספר סופי )לא גדול( של נקודות שיש לבדקן. iterativeשיטת הסימפלקס היא שיטה איטרטיבית )–

algorithm כלומר, תהליך הפתרון מורכב מצעדים .)(iterations.חוזרים עד שמשיגים את התוצאה הדרושה )

בתחילה יש לקבוע פתרון )אפשרי( לבעיה.•אחר כך יש לבצע מבחן מיטביות – אם הפתרון מיטבי הסתיים •

התהליך.אם הפתרון אינו מיטבי יש לבצע צעד לשיפור הפתרון הנוכחי, ולחזור •

לבדיקת מיטביות.



כפתרון התחילי במידת האפשר בוחרים בראשית הצירים –( initial solution .) ניתן לבחור בפתרון זה

bכאשר האילוצים הם מסוג קטן-שווה וכל איברי וקטור אינם שליליים.

CPFעבור בצעד הבא ל ל הכי יעיל CPFאשר נתון פתרון כ–שכן – כך לא נדרשים הרבה חישובים. לכן, המסלול לנקודה

לאורך גבול האזור האפשרי.CPFנקודות בהמיטבית עובר טת הסימפלקס בודקת את כל קווי שי CPFאשר נמצאים ב כ–

הגבול המוליכים מהנקודה. כל אחד מהקווים מוליך לנקודת השיפור בו הוא מרבי, ותקבע ה קצבפינה סמוכה. יבחר הקו ש

CPF ו גבול זה. ק הבאה כנקודה שבקצה אין קו גבול שלאורכו יש שיפור בפונקצית המטרה CPFם מ א–

משמע שהנקודה היא המיטבית.



התהליך האלגברי של הפתרון אינו יכול להיות מופעל על מערכת •של אי-שויונים. מסבים איפה את האילוצים הפונקציונליים

( חיובי RHSלשיוויונים. בבעיה עם אילוצי קטן-שווה ואגף ימין ) slackההסבה נעשית ע"י הוספת משתנים הנקראים משתני חסר )

variables.)

.X3, X4, X5נוסיף איפה לבעיית הדוגמה את משתני החסר •

Max Z= 3 X1+ 5 X2Subject to 1( X1+ + X3 = 4

2( 2 X2 + X4 = 123( 3 X1+2 X2 + X5 = 18

Xj >= 0 , j=1,…,5.



Augmented )הצורה המורחבתהבעיה ה"חדשה" נקראת •Form.מכיוון שהבעיה הורחבה במספר משתנים )

( הוא פתרון של הבעיה augmented solutionפתרון מורחב )•המקורית שהורחב וכולל עתה את ערכי משתני החסר. למשל

(.0, 0, 4, 12, 18( יקרא עתה )0,0הפתרון הקודם )

(, הוא פתרון פינתי לבעיה basic solutionפתרון בסיסי )•(. 6, -0, 0, 6, 4המורחבת. למשל )

CPF( הוא פתרון basic feasible solutionפתרון בסיסי אפשרי )•לבעיה המורחבת.

משוואות m( משתנים ורק m+nבבעיה המורחבת יש )• n דרגות חופש ואנו יכולים לבחור n פונקציונליות. כלומר יש לנו

nמשתנים ולקבוע להם ערכים כרצוננו. אנו נבחר לָאפס משתנים.


(9שיטת הסימפלקס )( והמשתנים basisקבוצת המשתנים שלא אופסו נקראת הבסיס )•

(. basic variablesנקראים משתנים בסיסיים )פתרון בסיסי הנו בעל התכונות הבאות:•

משתנה יכול להיות מסווג כבסיסי או כלא בסיסי.–מספר המשתנים הבסיסיים משתווה למספר האילוצים הפונקציונליים.–.0המשתנים הלא בסיסיים מקבלים את הערך –ערכי המשתנים הבסיסיים מתקבלים ע"י פתרון המשוואות –

הפונקציונליות.אם המשתנים הבסיסיים ממלאים את אילוצי האי שליליות הפתרון –

(. basic feasible solutionהבסיסי הנו פתרון בסיסי אפשרי )

יכולים להיות סמוכים גם שני פתרונות בסיסיים CPFכשם ששני • סמוכים ואזי CPF( 2,6( ו )0,6יכולים להיות סמוכים. לדוגמה )

( הנן נקודות בסיסיות 2,6,2,0,0)-( ו0,6,4,0,6גם )סמוכות. נקודות בסיסיות סמוכות קל יותר לזהות מכיוון שהן

.X1 הוחלף ע"י X5נבדלות במשתנה בסיסי אחד –


(10שיטת הסימפלקס )פתרון בעיית הדוגמה בשיטת הסימפלקס. •

קביעת הפתרון התחילי:–Z – 3 X1 – 5 X2 = 0 X1 + X3 = 4 2 X2 + X4 = 12 3 X1 + 2 X2 + X5 = 18

.מקובל לרשום גם את פונקצית המטרה כמשוואה בבעיית מקסימום עם אגף ימין חיובי ואילוצי קטן שווה

בוחרים את הראשית כפתרון התחילי של המשתנים המקוריים. כך נקבעים משתני החסר כבסיס התחילי

(.0,0,4,12,18)מודגשים(. הפתרון התחילי הנו איפה )


(11שיטת הסימפלקס )סידרת נקודות הפינה הנבדקות במהלך הפתרון •

בשיטת הסימפלקס.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 x1

x2

2

1

3

5

4FEASIBLEREGION

1

2

3


(21שיטת הסימפלקס ): מכיוון שמקדמי המשתנים הבסיסיים בפונקצית בדיקת מיטביות–

המטרה הנם אפס הרי שמקדמי המשתנים שאינם בסיסיים מהווים את שיעור השינוי בפונקצית המטרה עם כניסתם לבסיס. לכן קצב

וקצב הגידול 3 ניכנס לבסיס הנו X1הגידול בפונקצית המטרה אם . כניסת שני המשתנים תשפר את 5 ניכנס לבסיס הנו X2אם

משפר בקצב X2משתנה הפתרון אינו מיטבי. פונקצית המטרה ולכן מהיר יותר ולכן הוא ניכנס לבסיס.

לערך הגדול ביותר האפשרי X2: מעונינים להגדיל את צעד השיפור–מבלי שאפשריות הפתרון תפגע. מכיוון שמעונינים לשמור על בסיס

הכולל מספר קבוע של משתנים הרי שכניסת משתנה צריכה להוציא מהבסיס את המשתנה שמתאפס ראשון. כך נשמרת

אפשריות הפתרון. X1 + X3 = 4 2 X2 + X4 = 12 X4=12 – 2 X2 3 X1 + 2 X2 + X5 = 18 X5=18 – 2 X2


(31שיטת הסימפלקס )מבדיקת מערכת המשוואות האחרונה מתברר:–

•X3 אינו מושפע מהגידול של X2.•X4 קטן עם גידול X2 אסור להגדיל את .X2 -6 מעבר ל

(.12/2=6 יעשה לשלילי )X4אחרת •X5 קטן עם גידול X2 אסור להגדיל את .X2 -9 מעבר ל

(.18/2 יעשה לשלילי )X5אחרת יוצא )המינימום מבין השינויים X4 נכנס ו- X2בסיכום •

האפשריים(. המשתנה היוצא מהבסיס הוא זה שהיה בסיסי באילוץ שבו

התקבלה תוצאה מזערית מחלוקת אגף ימין של האילוץ במקדם של המשתנה הנכנס לבסיס )בתנאי שהמקדם חיובי(.

נבצע עתה סידרת פעולות שמטרתן הבאת הבעיה לצורה דומה לזושהייתה בפתרון התחילי: כל משתנה בסיסי מופיע רק פעם אחת,

, במערכת המשוואות. הסדרה נקראת התמרה צירית. 1עם מקדם


(14שיטת הסימפלקס )( התמרה ציריתPivot Operation:)

Z – 3X1–5X2 = 02. ומוסיפים לכאן5 החדש ב 2מכפילים אילוץ . X1 +X3 = 43. משאירים אילוץ זה ללא שינוי. 2X2 +X4 =12 1. -2מחלקים את המשוואה ב . 3X1+2X2 +X5=18 4. ומחסירים מכאן2 החדש ב 2מכפילים אילוץ

הפעולות שבוצעו הן פעולות אלגבריות בסיסיות(elementary algebraic operations והן אינן משנות את מרחב פתרונות)

הבעיה. כתוצאה מהפעולות נקבל:Z – 3 X1 +5/2 X4 = 30 X1 +X3 = 4 X2 +1/2 X4 = 6 3 X1 -X4 + X5 = 6

הפתרון שהתקבלZ=30, X3=4, X2=6, X5=6.חוזרים לבדיקת מיטביות .


(15שיטת הסימפלקס ) X1בדיקת מיטביות: מכיוון שקצב הגידול בפונקצית המטרה אם –

אין הפתרון מיטבי. אין משתנה נוסף שהכנסתו 3ניכנס לבסיס הנו ניכנס לבסיס. X1לבסיס משפרת את פונקצית המטרה. משתנה

לערך הגדול ביותר X1צעד השיפור: מעונינים להגדיל את –האפשרי מבלי שאפשריות הפתרון תפגע. מכיוון שמעונינים

לשמור על בסיס הכולל מספר קבוע של משתנים הרי שכניסת משתנה צריכה להוציא מהבסיס את המשתנה שמתאפס ראשון.

Z – 3 X1 +5/2 X4 = 30

X1 +X3 = 4 X3=4 - X1

X2 +1/2 X4 = 6

3 X1 -X4 + X5 = 6 X5=6 – 3 X1



:מבדיקת מערכת המשוואות האחרונה מתברר•X3 קטן עם גידול X1 אין להגדיל את .X1

.4מעבר ל- •X2 אינו מושפע מהגדלת X1 .•X5 קטן עם גידול X1 אין להגדיל את .X1

(.6/3 יעשה לשלילי )X5 אחרת 2מעבר ל- יוצא )המינימום מבין X5 נכנס ו X1בסיכום •

השינויים האפשריים(. :נבצע עתה את ההתמרה הצירית השניה


(17שיטת הסימפלקס )( התמרה ציריתPivot Operation:)

Z – 3X1 +5/2 X4 = 302. ומוסיפים לכאן3 החדש ב 3מכפילים אילוץ . X1 +X3 = 4 3. החדש מכאו3מחסירים אילוץ . X2 +1/2 X4 = 6 4. .3משאירים אילוץ זה ללא שינוי X1 - X4

+X5 = 6 1. 3מחלקים האילוץ ב . :כתוצאה מהפעולות נקבל

Z +3/2 X4 +X5 = 36 X3 + 1/3 X4 – 1/3 X5 = 2 X2 +1/2 X4 = 6 X1 -1/3 X4 + 1/3 X5 = 2

הפתרון שהתקבלZ=36, X3=2, X2=6, X1=2.חוזרים לבדיקת מיטביות .

בדיקת מיטביות. מכיוון שאין בפונקצית המטרה משתנים שהמקדמים שלהם שליליים – הגענו לפתרון המיטבי.

.


(18שיטת הסימפלקס )פתרון בעיית סימפלקס בעזרת טבלה.•

.2 ב 2מחלקים את משוואה – ומוסיפים לפונקצית המטרה.5 החדשה ב 2מכפילים את משוואה – ללא שינוי.1משאירים את משוואה –.3 ומחסירים ממשוואה 2 החדשה ב 2מכפילים את משוואה –

Basic Variable

Eq. Z X1 X2 X3 X4 X5 RHS Ratio

Z 0 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 1 0 1 0 1 0 0 4

X4 2 0 0 2 0 1 0 12 12/2=6

X5 3 0 3 2 0 0 1 18 18/2=9

Coefficient of:



.3 ב 3מחלקים משוואה –

.3 החדשה מוכפלת ב 3 את משוואה 0מוסיפים למשוואה –

החדשה.3 את משוואה 1מחסירים ממשוואה –

ללא שינוי.2משאירים את משוואה –

Basic Variable


Z 0 1 -3 0 0 5/2 0 30

X3 1 0 1 0 1 0 0 4 4/1=4

X2 2 0 0 1 0 1/2 0 6

X5 3 0 3 0 0 -1 1 6 6/3=2



הגענו לפתרון המיטבי – אין מקדמים שליליים למשתנים –בפונקצית המטרה.

Basic Variable


Z 0 1 0 0 0 3/2 1 36

X3 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

X2 2 0 0 1 0 1/2 0 6

X1 3 0 1 0 0 -1/3 1/3 2


(21שיטת הסימפלקס )סיכום האלגוריתם לפתרון בעיית תכנות לינארי סטנדרטית בשיטת •

הסימפלקס בטבלה:

תחילה יש להוסיף משתני חסר. משתני החסר יהיו הבסיס –התחילי.

מבחן המיטביות: הפתרון הבסיסי הנוכחי הנו מיטבי אם ורק אם – הנם לא שליליים. אם יש משתנים 0כל המקדמים בשורה

שמקדמיהם שליליים זה שמקדמו הוא הגדול בערכו המוחלט נכנס לבסיס. נציין ע"י ~ את האיברים בפתרון הנוכחי של הסימפלקס.

משתנה נכנס לבסיס.

מסמנים מלבן הכולל את כל מקדמי האילוצים של המשתנה הנכנס לבסיס. עמודה זאת נקראת עמודת ציר ההתמרה.

},...,2,1,0~;~{~ mnjccMinc jjl

lx


(22שיטת הסימפלקס )צעד סדרתי )איטרטיבי(: קבע את המשתנה היוצא –

מהבסיס כדלקמן:

אם לא קיים הבעיה אינה חסומה, אחרת יוצא מהבסיס. אילוץ kהמשתנה שהיה בסיסי באילוץ

k.הנו שורת ציר ההתמרה. נסמן מלבן סביב שורה זו

` מחלקים את שורת ציר ההתמרה ב . נסמן ע"י את האיברים בטבלת הסימפלקס הבאה ונקבל:

klkililil abmiaabMinx ~/~

},...,2,1,0~;~/~

{

0~ ila

kla~

mnjaaa klkjkj ,...,2,1,~/~'


(23שיטת הסימפלקס ) )i, )i=1,2,..,m מקדמי המטריצה הטכנולוגית בשורה

הם:

מקדמי אגף ימין החדשים הם:

מקדמי פונקצית המטרה החדשים הם:

kimnjaaaaa klkjilijij ,,...,2,1(,~/~)~~'

kiababb klkilii (,~/~

)~~'

mnjaaccc klkjljj ,...,2,1(,~/~()~)~'

Documents

מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים Deterministic Models in Operations research 1. הקדמה