พลศาสตร (Dynamics) บทที่5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็ง

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 1/17

พลศาสตร (Dynamics)

บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง (สวนท 2)

5/4 ความเรวสมพทธ ตามทไดกลาวมาในหวขอท 5/1 แลววาการเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ (General

plane motion) เปนการเคลอนททผสมกนระหวางการเลอนทและการหมน ในหวขอนจะกลาวถงการใชวธการการเคลอนทสมพทธเพอหาความเรวของตาแหนงใดๆ ในวตถแขงเกรงทเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ พนฐานของการพจารณาโดยใชการเคลอนทสมพทธ จะเปนการแยกการเคลอนทออกเปนสองสวน คอการเคลอนทสวนของผสงเกตซงเปนการเคลอนทแบบเลอนท และการเคลอนทของจดทถกสงเกตซงจะเปนการเคลอนทแบบหมนรอบผสงเกต เนอหาในหวขอนเปนพนฐานสาคญในการพจารณาหาความเรงทตาแหนงตางๆ ในวตถแขงเกรงซงจะกลาวถงในหวขอตอๆ ไป

พจารณาการเคลอนทของวตถในรปท 1(a) ผสงเกตซงอยบนแกนหยดนง (X-Y) จะมองเหนวตถเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ หากพจารณาการเคลอนทของเสน BA ซงเปนเสนตรงเสนหนงบนวตถแขงเกรง จะพบวาการเคลอนทแบงไดเปนสองขนตอน ขนตอนแรกจะเปนการเคลอนทจากจด BA ไปยงจด AB ′′′ โดยการเคลอนทในสวนนจะเปนการเลอนท ขนตอนท 2 จะเปนการเคลอนทจากจด AB ′′′ ไปยงจด AB ′′ ซงเปนการหมนรอบจด B′

หากผสงเกตอยทจด B ในชวงการเคลอนทจากจด BA ไปยงจด AB ′′′ ผสงเกตท B จะไมพบวาจด A เคลอนทสมพทธเทยบกบจด B หรอกลาวอกอยางหนงวา ผสงเกตท B จะเหนจด A หยดนงนนเอง แตในชวงการเคลอนทจากจด AB ′′′ ไปยงจด AB ′′ ผสงเกตทจด B จะเหนจด A หมนรอบจด B

rθ

rθ

รปท 1 การเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ


การพจารณาการเคลอนทของจด A โดยผสงเกตทจด B อาจจะพจารณาไดโดยใชระบบพกดแบบ r-θ โดยตงแกนพกดดงแสดงในรปท 1(a) เนองจากเสน AB เปนเสนตรงบนวตถแขงเกรง ดงนนความยาว r ระหวางจด A ไปยงจด B จะมคาคงทเสมอ ความเรวในทศทาง r หรอ r& จงมคาเปนศนย ดงนนความเรวของจด A ทปรากฏกบผสงเกตทจด B จะมความเรวในทศทาง θ เพยงอยางเดยว หรออาจไมมความเรวเลย นนคอผสงเกตท B จะเหนจด A ไมเคลอนท ( 0;0 == θvvr ) หรอเคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ( 0;0 ≠= θvvr ) เพยงสองกรณเทานน การเคลอนทในรป 1(a) หากผสงเกตอยทจด B จะเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบตวมนดงแสดงในรปท 1(b) ในทางกลบกนถาใหผสงเกตอยทจด A และสงเกตการณเคลอนทของจด B ดงแสดงในรปท 1(c) ผสงเกตจะพบวาจด B จะเคลอนทเปนวงกลมรอบจด A เชนกน แตจะเหน B หมนรอบ A ในทศทางตรงขามกบทผสงเกตท B มองเหนจด A หมนรอบจด B เมอพจารณาถงเวคเตอรแสดงการเคลอนท จากรปท 1(a) จะไดความสมพนธดงน

BABA rrr /vvv Δ+Δ=Δ (1)

โดย BAr /vΔ หมายถงการเคลอนทของจด A เมอเทยบกบผสงเกตทจด B

จากรปจะพบอกวา θΔ=Δ rr BA /v (2)

หาอนพนธของสมการ (1) เทยบกบเวลาจะไดความสมพนธของความเรวดงน BABA vvv /

vvv += (3) โดย BAv /

v คอความเรวสมพทธของจด A เมอเทยบกบผสงเกตทจด B จากสมการ (2) จะไดวา ω= rv BA /

v (4) หรอเขยนในรปเวคเตอรไดดงน rv BA

vvv ×ω=/ (5)

รปท 2 การแยกการเคลอนทแบบทวไปในระนาบเปนการเคลอนทแบบเลอนทและการหมน


รปท 2 แสดงการแบงการเคลอนทแบบทวไปในระนาบออกเปนการเคลอนทแบบเลอนท และการเคลอนทแบบหมน เนองจากผสงเกตท B จะมองเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ดงนนทศทางของความเรวสมพทธ BAv /

v จะตงฉากกบเสนตรง BA ซงลากจากจด B ไปจด A เสมอ แนวทางการแกปญหาโจทย แนวทางการแกปญหาโจทยสามารถสรปเปนหลกการและขนตอนการแกปญหาไดดงน หลกการ 1. จดทผสงเกตอย และจดทตองการสงเกตอยบนวตถแขงเกรงชนเดยวกน 2. ผสงเกตท B จะเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต 3. ω= rv BA /

v และมทศทางตงฉากกบเสนตรง BA เสมอ ขนตอนการแกปญหา 1. เขยนสมการ BABA vvv /

vvv += เพอหาความเรวทจดทตองการ เนองจากสมการนเปนสมการเวคเตอร ในปญหาการเคลอนทในระนาบ (2 มต) สมการนประกอบดวยสมการยอย 2 สมการ ซงแสดงการเคลอนทในแนว x และ y ดงนนจะแกสมการนไดจะตองมตวแปรไมทราบคาไมเกน 2 ตว

2. ตรวจสอบวาตวแปรอะไรบางททราบคาและตวแปรอะไรบางทไมทราบคา โดยเขยนตารางแยกเปนขนาด (Magnitude) และทศทาง (Direction) ของตวแปรแตละตว ดงแสดงดานลาง ปญหาโดยสวนใหญจะแบงออกไดเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 กรณท 2

BABA vvv /vvv +=

Mag.

Dir.

××

ωr

AB⊥

Mag.

Dir.

× ×AB⊥

BABA vvv /vvv +=

กรณท 1 ทราบขอมล Bv

v และ BAv /v ทงหมด แตไมทราบขนาดและทศทางของ Av

v กรณท 2 ไมทราบขนาดของ BAv /

v เนองจากไมทราบคา ω แตทราบทศทางของ Avv

3. คานวณคาของความเรวททราบคา และหาคามม และทศทางตางๆ 4. เขยนแผนภาพเวคเตอรตามสมการ BABA vvv /

vvv += ดงรปตวอยางดานลาง โดยเรมเขยนจากเวคเตอรทรขนาดและทศทางเสยกอน เวคเตอรของความเรวทไมทราบคาจะเขยนไดภายหลงเพอใหแผนภาพเวคเตอรปดได

Bvv

Avv

BAv /v ( )AB⊥Bv

v

Avv

BAv /v ( )AB⊥BAv /v ( )AB⊥


5. คานวณหาคาตวแปรไมทราบคา โดยพจารณาแผนภาพเวคเตอรทสรางขน โดยใชกฎของ sine และ cosine ประกอบ หรออาจทาโดยรวมสวนประกอบของเวคเตอรในแนวดงและในแนวระดบใหเทากบเวคเตอรลพธ Av

v กได เรยบเรยงจาก “Engineering Mechanics Statics fifth edition SI version” ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige เพอใชประกอบการเรยนการสอนวชา 2103213 Engineering Mechanics I โดย อ.ดร. ชนตต รตนสมาวงศ


วธทา ในขอนรขอมลความเรวจด B ทงขนาดและทศทาง (ชลง) และรทศทางความเรวจด A วาตองอยในแนวระดบ (ไปทางขวา) สวนจด C ทโจทยถามนนไมรทงขนาดและทศทาง ดงนนจะพจารณาสวน AB กอน

5/78 The elements of a switching device are

shown. If the vertical control rod has a

downward velocity v of 0.9 m/s when θ =

60º and if roller A is in continuous contact

with the horizontal surface, determine the

magnitude of the velocity of C for this

instant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,

Meriam & Kraige, prob.5/78]

BABA vvv /vvv +=

Av

BvAv

Bv

เขยนสมการความเรวสมพทธระหวางจด A และ B

ขนาด

ทศทาง

X X

AB⊥

9.0

o60=θ o60=θ

จากสมการจะพบวามตวแปรไมทราบคา 2 ตวเทานน ดงนนจงหาคาตอบไดนาเวคเตอรในตารางมาเขยนตอเปนรปปดไดดงน

BAv /v

Avv

Bvv

o60

จะเหนวาทศทางของ จะตองเฉยงขน 60 เทานนจงจะทาใหสมการ เปนจรงได BABA vvv /

vvv +=BAv /

vจะเหนวาทศทางของ จะตองเฉยงขน 60 เทานนจงจะทาใหสมการ เปนจรงได BABA vvv /

vvv +=BAv /

v

จากรป

9.060sin/ == BBA vv o

m/s 0392.1/ =BAv

[ ]ABv ABBA ω=/ 075.00392.1 ⋅ω= AB

rad/s 856.13=ωAB CCW


เนองจากชนสวน ABC เปนวตถแขงเกรง ดงนน จงมคาเทากนตลอดทงชนสวน

BCv /v

ABω

พจารณาสวน BC เพอหาความเรวทจด C ในขณะนน

BCBC vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X

X AB⊥

9.0

o60=θ o60=θ

CBABω

จากสมการจะพบวามตวแปรไมทราบคา 2 ตวเทานน ดงนนจงหาคาตอบไดนาเวคเตอรในตารางมาเขยนตอเปนรปปดไดดงน

จากตาราง พบวาในตอนนจะรขนาดและทศทางของ แนนอนแลว เนองจากรทศทางของ

BCv /v

ABω

จากตาราง พบวาในตอนนจะรขนาดและทศทางของ แนนอนแลว เนองจากรทศทางของ

BCv /v

ABω

m/s 0392.1075.0856.13/ =⋅=ω= CBv ABBC

Bvv

Cvv

o150

βกฎของ cosine

o150cos2 /2

/22

BCBBCBC vvvvv −+=

o150cos)0392.1)(9.0(20392.19.0 222 −+=Cv

m/s 8735.1=Cv Ans

หมายเหต ทศทางของ หาไดดงนCvv

กฎของ sineo150sinsin

/ CBC vv=

β

o150sin8735.1

sin0392.1

=β

o1016.16=β


วธทา โจทยกาหนด ωOB ทาใหรอตราเรวจด B และทศทางซงตงฉากกบเสนตรง BO โดยชไปทางดานขวา และรทศทางความเรวจด A เนองจากจด A ตองหมนเปนวงกลมรอบจด C ทศทางความเรวของแตละจดแสดงในรปดานลาง

5/81 The elements of the mechanism

for deployment of a spacecraft

magnetometer boom are shown.

Determine the angular velocity of the

boom when the driving link OB

crosses the y-axis with an angular

velocity ωOB = 0.5 rad/s if tanθ = 4/3 at

this instant. [Engineering Mechanics Dynamics

5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/81]

BABA vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X X

AB⊥

3/4tan =θ

[ ]OBv OBB ω=

Avv

Bvvφ

Avv

Bvvφ

เขยนสมการความเรวสมพทธระหวางจด A และ B

AC⊥

θφ

จากสมการจะพบวามตวแปรไมทราบคา 2 ตวเทานน ดงนนจงหาคาตอบได

หาอตราเรว และมมตางๆ

m/s 06.0)12.0(5.0 ==Bv

o1301.53=θ

12.01301.53cos2.012.01301.53sin2.0

12.0cos2.012.0sin2.0tan

+−

=+θ−θ

=φo

o

o4623.9=φ


นาเวคเตอรในตารางมาเขยนแผนภาพไดดงน

Ans

m/s 06.0=Bv

θφ

Av BAv /

θ−90φ+90

φ−θ กฎของ sine

)sin()90sin( φ−θ=

φ+BA vv

)4623.913.53sin(06.0

)4623.990sin( oooo −=

+Av

m/s 0857.0=Av

พจารณาชนสวน CA

[ ]CAvACA /=ω rad/s 429.02.0/0857.0 ==ωCA CW


วธทา การหาคา ωAB จาเปนตองทราบความเรว 2 จดบนชนสวน AB จด A เปนจดทรความเรว เนองจากรความเรวรอบหมนของ flywheel และรทศทางของความเรวซงตงฉากกบเสน OA อยางไรกตามยงไมมจดอนบนชนสวน AB ทรความเรว

5/77 The flywheel turns clockwise with a constant speed of 600 rev/min, and

the connecting rod AB slides through the pivoted collar at C. For the position

θ = 45º, determine the angular velocity ωAB of AB by using the relative-

velocity relation. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/77]

ADAD vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X X

AD⊥

φ

สมมตใหจด D เปนจดบนชนสวน AB ซงในขณะนนอยตาแหนงเดยวกบจด Cพจารณาสมการความเรวสมพทธ

X OA⊥o45=θ φ

βo135

γAv

ADv /

o45

จะพบวามตวไมทราบคา 3 ตว ดงนนยงไมสามารถจะหาคาอะไรได

พจารณาจด C และ D CDCD vvv /

vvv +=

A

O D

เนองจากจด C เปนจดยดแนนไมเคลอนท 0=Cvv

CDD vv /vv =

ในขอนจด C และจด D เปนจดซงอยคนละชนสวน จงไมสามารถคดเหมอนกรณทจด C และจด D อยบนวตถแขงเกรงชนเดยวกนได (ไมสามารถคดวา C มองเหน D เคลอนทเปนวงกลมรอบตวมนได)เนองจากจด C เปนจดบน Slot และจด D เปนจดบนชนสวน AB ซงเคลอนทผาน Slot ดงนนจด C จะเหนจด D เคลอนทไปมาตามแนว Slot เขาหาตวมน หรอออกจากตวมนเทานน


ADAD vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X X

AD⊥

φ

OA⊥o45=θ φ

βo135

γ

Av

ADv /

o45

A

O DDv

AD//

φ

มตวไมทราบคาในสมการ 2 ตว จงหาคาไดนาเวคเตอรในตารางมาเขยนแผนภาพไดดงน

Av

ADv /

Dv

γ

หาคามม และอตราเรวทรคาo135cos)400)(200(2400200 222 −+=AD

mm 5865.559=AD

หามม β จากกฎของ sine ไดดงน

β=

sin135sinODAD

o β=

sin400

135sin5865.559

o

o3612.30=βoooo 6388.593612.309090 =−=β−=γ

หาอตราเรว vA

m/s 42.0602600 π=⋅

π⋅=⋅ω= OAvA

จากแผนภาพเวคเตอรo6388.59sin4sin/ π=γ= AAD vv m/s 843.10/ =ADv

ADv ADABAD /// =ω=ω

rad/s 38.195865.559

1000843.10=

×=ωAB AnsCW

CDD vv /vv = จงมทศทางไปตามแนว Slot

นาขอมลนไปเพมในตารางไดดงน


5/5 Instantaneous Center of Zero Velocity ในหวขอ 5/4 ไดกลาวถงการหาความเรวของจดใดๆ บนวตถแขงเกรงโดยใชวธการของความเรวสมพทธ จากสมการท (3) และ (5) จะได

rvv BAvvvv ×ω+= (6)

จากสมการท (6) พบวาหากสามารถเลอกตาแหนงทมความเรวเปนศนย ใหเปนตาแหนงทผสงเกตทาการสงเกตไดแลว สมการท (6) จะสามารถลดรปลงไดเปนสมการท (7)

rvAvvv ×ω= (7)

เขยนในรปสเกลารไดดงน

AA rv ⋅ω= (8) สมการนแสดงใหเหนวาความเรวทจดใดๆ ในวตถแขงเกรง สามารถหาไดโดยคดเสมอนวาจดเหลานนกาลงหมนรอบจดศนยกลางการหมน (จดทผสงเกตอย) ซงมความเรวเปนศนยอย จดศนยกลางการหมนซงมความเรวเปนศนยในขณะนนเรยกวา “จดหมนเฉพาะกาล หรอ Instantaneous Center of Zero Velocity: I.C.Z.V.” หากทราบตาแหนงจด I.C.Z.V แลวจะสามารถหาความเรวจดอนไดโดยงายโดยสมการ (8) การหาตาแหนงจด I.C.Z.V รปท 3 แสดงการหาตาแหนงของจด I.C.Z.V. ในกรณตางๆ จากสมการท (7) จะพบวาทศทางของความเรว vv จะตองตงฉากกบเวคเตอร rv ทลากจากจด I.C.Z.V. ไปยงจดทตองการหาความเรวเสมอ ในกรณททศทางความเรวของจด A และจด B ไมเหมอนกน ดงรปท 3(a) ตาแหนงจด I.C.Z.V. สามารถหาไดโดยลากเสนตงฉากกบทศทางความเรวทง 2 จด จดตดกนของเสนตงฉากจะเปนตาแหนงจด I.C.Z.V.

รปท 3 ตาแหนงจด I.C.Z.V ในกรณตางๆ


ในกรณทความเรวของจด A และจด B มทศทางขนานกน ดงรปท 3(b) และ 3(c) ตาแหนงจด I.C.Z.V. สามารถหาไดโดยใชความสมพนธทวาอตราเรวของจด A และจด B จะตองเปนสดสวนกนตามสมการ (8) จากรปท 3(b) และ 3(c) จะพบวาจด I.C.Z.V. สามารถหาไดโดยใชความสมพนธทางเรขาคณต จากรปเมอทศทางความเรวไปทศทางเดยวกน ตาแหนงจด C จะอยดานนอกของเสนตรง AB แตถาทศทางความเรวตรงกนขามกน ตาแหนงจด C จะอยบนเสนตรงระหวางจด A และ B ตวอยางการใชวธการหาจด I.C.Z.V เพอหาความเรวตาแหนงอนๆ ในวตถแขงเกรง พจารณาชนสวน AB ในรปท 4(a) เมอกาหนดใหชนสวน OB หมนรอบจด O ดวยทศทางตามเขมนาฬกาดงแสดงในรป จะหาความเรวทจด D ไดดงน

1. การจะหาตาแหนงจด I.C.Z.V. ไดจาเปนจะตองทราบทศทางความเรวของจด 2 จด บนวตถแขงเกรงนนเสยกอน

2. จากรปพบวาจด B และจด A เปนจดทรทศทางของความเรว เนองจากจดทงสองหมนเปนวงกลมรอบจด O และจด O’ ตามลาดบ ดงนนทศทางความเรวจงตงฉากกบเสน OB และ O’A ตามลาดบ

3. หาตาแหนงจด I.C.Z.V. โดยลากเสนตงฉากกบทศทางความเรวของจด B และ A ดงแสดงในรปท 4(b) เสนทงสองจะไปตดกนทจด C จด C เปนจด I.C.Z.V ของชนสวน AB ในขณะนน

4. จากรปจะพบวาจด I.C.Z.V. อาจอยนอกชนสวนทพจารณาได

5. หาความเรวเชงมมของชนสวน AB จาก CBvB

AB =ω หรอ CAvA

AB =ω (ถาร Av )

6. ใชความเรวเชงมม ABω ทหาได หาอตราเรวของจด D จาก )(CDv ABD ⋅ω= ทศทางของความเรวทจด D จะตงฉากกบเสนตรง CD ดงแสดงในรปท 4(b)

(a) (b) รปท 4 ตวอยางการใชจด I.C.Z.V. เพอหาความเรวในวตถแขงเกรง


การเคลอนของตาแหนงจด I.C.Z.V เมอวตถเคลอนท

เนองจากความเรวทตาแหนงตางๆ ของวตถมการเปลยนแปลงตลอดเวลาทวตถเคลอน-ท ดงนนตาแหนงของจด I.C.Z.V. กจะเปลยนไปดวย

พจารณารปท 5 ซงแสดงการกลงของวตถทรงกระบอก จากตวอยางทแสดงในหวขอทแลวจะพบวาความเรวทจดสมผสพนของทรงกระบอกมคาเปนศนย ดงนนจดสมผสพนจงเปนจด I.C.Z.V. เมอทรงกระบอกนกลงไป จดทสมผสพน (จด I.C.Z.V.) กจะเปลยนไปจากจดสแดงไปเปนจดสเขยว เมอพจารณาแนวการเคลอนทของจด I.C.Z.V. ในวตถ (เปรยบเสมอนผสงเกตอยบนทรงกระบอก) จะพบวาแนวการเคลอนทเปนไปตามแนวความโคงของทรงกระบอก (แสดงดวยจดสามเหลยมประ) เรยกแนวการเคลอนทของจด I.C.Z.V. ในวตถวา Body centrode

ในทางตรงขามหากพจารณาการเคลอนทของจด I.C.Z.V. เทยบกบแกนเฉอย (ผสงเกตอยนง) แลว จะพบวาแนวการเคลอนทของจด i.C.Z.V. จะเปนไปตามแนวจดสมผสพน (แสดงดวยจดวงกลมประ) เรยกแนวการเคลอนทของจด I.C.Z.V. เมอเทยบกบแกนเฉอยวา Space centrode

t1 t2

I.C.Z.VI.C.Z.VI.C.Z.VI.C.Z.V

รปท 5 การเคลอนของตาแหนงจด I.C.Z.V.

ขอสงเกต ถงแมวาจด I.C.Z.V. มความเรวเปนศนยในขณะนน แตจดนไมไดมความเรงเปนศนย ดงนนจงไมสามารถใชแนวคดทานองเดยวกบจด I.C.Z.V. กบปญหาความเรงได เรยบเรยงจาก “Engineering Mechanics Statics fifth edition SI version” ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige เพอใชประกอบการเรยนการสอนวชา 2103213 Engineering Mechanics I โดย อ.ดร. ชนตต รตนสมาวงศ


วธทา การทจะหาจด I.C.Z.V. ได จะตองรทศทางความเรว 2 จดบนวตถแขงเกรง (ชนสวน AB) เสยกอน จดทรทศทางความเรวคอ

1. จด A ซงมทศทางของความเรวตงฉากกบเสนตรง OA 2. จด D ซงเปนจดบนชนสวน AB และอยตาแหนงเดยวกบจด C ทจดน

เนองจากถกยดดวยปลอก ทาใหไมสามารถเคลอนทในทศทางตงฉากกบเสนตรง AB ได ทจดนจงมความเรวในทศทางขนานกบเสนตรง AB

5/109 The flywheel turns clockwise with a constant speed of 600 rev/min, and

the connecting rod AB slides through the pivoted collar at C. For the position

θ = 45º, determine the angular velocity ωAB of AB by using I.C.Z.V.. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/109]

o45=θ φ

βo135

γ

Av

Dv

CW rad/s 377.19105281.648

43 =

×π

==ω −ACvA

AB

A

O D

C

mm 5865.559=ADo3612.30=β

จากตวอยางกอนหนา (5/77) จะได

m/s 4π=Av

mm648.5281 3612.30cos

5865.559cos

=

=β

=o

ADAC

พจารณาสามเหลยม ACD

Ans


วธทา ระบบเฟองในขอนประกอบดวยชนสวนหลายๆ ชนสวน ตองพจารณาแตละชนสวนใหด เพราะวธการหาความเรวทกลาวมาในหวขอนจะใชไดเฉพาะในวตถแขงเกรงชนเดยวกนเทานน

5/117 The shaft at O drives the arm OA at a

clockwise speed of 90 rev/min about the fixed

bearing at O. Use the method of the

instantaneous center of zero velocity to

determine the rotational speed of gear B (gear

teeth not shown) if (a) ring gear D is fixed and

(b) ring gear D rotates counterclockwise about

O with a speed of 80 rev/min. [Engineering

Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/117]

m/s 3))(602(90)(A aaav OA π=

π×=ω=

ระบบเฟองนประกอบดวยชนสวนยอยๆ 5 ชนสวนดงน

B

D

A

O A

(a) ring gear D is fixed

OO

พจารณาชนสวน OA : จด O เปนจดยดแนนมความเรวเปนศนย จงเปนจด I.C.Z.V.

O A

Av

พจารณาเฟอง A

Aจด A ของเฟอง ยดกบจด A ของชนสวน OA จงมความเรวเทากนจดทเฟอง A สมผสกบ เฟองวงแหวน D มความเรวเปนศนย เนองจากเฟองแหวน D ถกยดแนน จดนเปนจด I.C.Z.V.Av

ABv


(b) ωD = 80 rev/min CCW

rad/s 62

32

π===ωa/πa

a/vA

A

m/s 6)( aav AAB π=ω=

พจารณาเฟอง B จดทเฟอง B สมผสกบเฟอง A ตองมความเรวเทากน และเทากบ vAB

จด O เปนจดยดแนน มความเรวเปนศนย จดนเปนจด I.C.Z.V.

B

O

ABvrad/s 21

2/6

2/π=

π==ωaa

avAB

B

Ansrev/min 36026021 =π

×π=ωB

m/s 3))(602(90)(A aaav OA π=

π×=ω=

พจารณาชนสวน OA : จด O เปนจดยดแนนมความเรวเปนศนย จงเปนจด I.C.Z.V.

O A

Av

พจารณาเฟองแหวน D เฟองแหวนหมนรอบจดยดแนน O จด O จงมความเรวเปนศนย จดนเปนจด I.C.Z.V.

D

OADv

m/s 4)23)(

602(80)

23( aaav DAD π=

π×=ω=

พจารณาเฟอง A

A

จด A ของเฟอง ยดกบจด A ของชนสวน OA จงมความเรวเทากนจดทเฟอง A สมผสกบ เฟองวงแหวน D มความเรวเทากบ vAD

AvABv

ADv

C

rad/s 142/43

2/π=

π+π=

+=ω

aaa

avv AAD

A


พจารณาเฟอง B จดทเฟอง B สมผสกบเฟอง A ตองมความเรวเทากน และเทากบ vAB

จด O เปนจดยดแนน มความเรวเปนศนย จดนเปนจด I.C.Z.V.

B

O

ABvrad/s 20

2/01

2/π=

π==ωaa

avAB

B

Ansrev/min 00626020 =π

×π=ωB

A

หาตาแหนงจด C จากสามเหลยมคลาย

AvABv

ADv

C ACaAC

aa

vv

AD

A

−=

ππ

=2/4

3

143aAC =

m/s 10)14

10(14)214

3( π=π=+ω= aaaav AAB

Documents

พลศาสตร (Dynamics) บทที่5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็ง