Embed Size (px)
Citation preview
Алгебра.
19 августа 2014 г.
1 Инвариантные подпространства.Определение. Подпространство Х линейного пространства L инвариантно отности-тельно топератора A : L −→ L если: ∀~x ∈ X A~x ∈ X
Примеры инвариантных подпространств.
1. Любой линейный оператор имеет два тривиальных инвариантных подпространств,это - ~0 и все L.
2. Пусть L = X ⊕ Y . Пусть P - оператор проэктирования на X паралельно Y
∀~x ∈ X P~x = ~x ∈ X∀~y ∈ X P~y = ~0 ∈ Y
3. Пример оператора, который имеет только тривиальные подпространства.
Пусть есть L2, базис e1, e2. ~x = α~e1+β ~e2 Оператор Q отображает ~x в ~y − β ~e1+α~e2.
4. Для любого оператора А ImA и KerA - инвариантны. Они нетривиальны ⇐⇒A 6= ~0, ненулевой.
Если известен базис ин6вариантного подпространства, то в этом базисе вид матрицилинейного оператора можно упрастить.
Пусть Ln (n-мерное) {~ek}nл=1 базис . Xm ⊂ Ln ; {~ek}nk=1 ∈ Xm
Если Xm является инвариантным подпространством относительно А∀~x ∈ Xm A~x ∈ Xm
A~ek =m
Σj=1aj,k ~ek ; k = 1, 2, . . . ,m
A~ek =m
Σj=1aj,k ~ek ; k = m+ 1, . . . n
Am×m
=
(A1,1 A1,2
0 A2,2
)Если Ln = X ⊕ Y , где X, Y - инвариантны A =
(A1,1 0
0 A2,2
)
1
1.1 Собственные векторы и значения.
Определение. Характерестическое уравнение матрициПусть A
n×n
|A− λE| = {λ ∈ R} =
∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1 − λ a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 − λ a2,3 . . . a2,n. . . . . . . . . . . . . . .an,1 an,2 an,3 . . . an,n
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= XA (λ) = |A− λE| =n
Σk=0
(−1)k dkλk {dk − число}
Определение. XA (λ) = |A− λE| - Характерестический многочлен матрици An×n
.
Определение. XA (λ) = 0 - Характерестическое уравнение матрици An×m
Квадратичную матрицу можно использовать как переменную в многочлене. В этомслучае значение многочлена от матрици тоже матрица.
Анулирующие многочлены - это многочлены, значения которых от данной матрициявляется ненулевыми матрицами.
An×n
3 + 5 An×n
2 + 1 = 0 - анулирующий.
Теорема. Кели-ГамильтонаДля любой квадратичной матрицихарактерестический многочлен является её ану-
лирующим многочленом. (Тоесть если вместо λ поставим A и получим нулевую мат-рицу)
Теорема. Характерестические уравнения(многочлены) подобных матриц совподают.
Доказательство. A,A′ - подобные.A′ = P−1 · A · P - подобие.
XA′ (λ) = |A′ − λE| =∣∣P−1 · A · P − λE∣∣ =
∣∣P−1AP − λP−1EP ∣∣ =
=∣∣P−1 (A− λE)P
∣∣ =∣∣P−1∣∣ · |A− λE| · |P | = |A− λP | = XA (λ)
1.2 Характеристическое уравнение линейного оператора.
Пусть A : L −→ L{~b}∈ L
A = |ai,j| =⇒ A− λE для A− λI где I~x = ~x
Определение. Характеристическим многочленом A : L −→ L называют характери-стический многочлен его матрици А, записанном в некотором базисе.
det (A− λE) =n
Σk=0
(−1)k dk · λk
2
Пример. Найти XA (λ)K2 [x], степень степень многочленов не выше 2. 1, x, x2 - базис.Задан линейный оператор дифференцирования1′ = 0 = 0 · 1 + 0 · x+ 0 · x2x′ = 1 = 1 · 1 + 0 · x+ 0 · x2x2′ = 2x = 0 · 1 + 2 · x+ 0 · x2
A =
0 1 00 0 20 0 0
XA (λ) =
∣∣∣∣∣∣−λ 1 00 −λ 20 0 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ3 ; −λ3 = 0 - Характерестическое уравнение.
1.3 Собственные векторы линейного оператора.
Определение. Ненулевой вектор ~x 6= 0 ; ~x ∈ L является собственным вектором линей-ного оператора A : L −→ L если A~x = λ~x ; λ ∈ R ; λ − собственное значение(число)оператора А.
Пример. K2 [x] - оператор дифференцирования.
f (x) = cdf (x)
dx=dc
dx= 0 или 0 · c =⇒ f (x) - собственные векторали λ = 0
Определение. Множество всех собственных значений это спектр линейного оператора.
Теорема. Любому собственному вектору соотвесттвует только 1но собственноезначение.
Доказательство. Пусть будут 2 собственных значения λ, µ ; λ 6= µA~x = λ~xA~x = µ~x
}=⇒ λ~x = µ~x =⇒ λ~x− µ~x = 0 =⇒ (λ− µ) ~x = 0
λ 6= µ =⇒ λ− µ 6= 0 =⇒ ~x = 0 =⇒ противоречие.
A~x = λ~x рассмотрим α~x ; α ∈ R ; α 6= 0A (α~x) = αA~x = α (λ~x) = λ (α~x) =⇒ α~x - собственны вектор =⇒ можно иметь у
значения м.б. ∞ кол-во векторов.
Теорема. Для того чтобы действительное число λ являлось собственным значениемлинейного оператора ⇐⇒ оно должно быть корнем характерестического уравненияэтого оператора.
Доказательство. ” =⇒ ” Пусть λ собственое значение A : L −→ L
A~x = λ~xI~x = ~x
}=⇒ A~x = λI~x =⇒ A~x− λI~x = 0 =⇒
=⇒ (A− λI) ~x = 0
{ {~b}− базис ∈ L
(A− λE) − переводит ~x в нулевой
}
Напишем матрицу =⇒ она выглядит A− λE
3
~x =
x1. . .xn
Получим матрицу
(a1,1 − λ)x1 + a1,2x2 + . . .+ a1,nxn = 0
a2,1x1 + (a2,2 − λ)x2 + . . .+ a2,nxn = 0
. . .
an,1x1 + a2,nx2 + . . .+ (an,n − λ)xn = 0
(1)
~x 6= 0 =⇒ |A− λE| = 0Это и есть характеристическое уравнение, тоесть это есть корень.”⇐= ”Пусть λ - корень XA (λ) = |A− λE| = 0 =⇒матрица (A− λE) в базисе
{~b}∈ L
=⇒ Рассмотрим систему (1) =⇒ система имеет ненулевое решение =⇒ ~x =
x1. . .xn
6=0 =⇒ (A− λI) ~x = 0 =⇒ A~x = λI~x =⇒ A~x = λ~x
Введем L (λ,A) - множество всех собственных значений λ+~0
Теорема. Множество L (A, λ) является линейным подпрпостранством в L
Доказательство.
A (α~x+ β~y) = {(α~x+ β~y) = ~z} = A (β~y) + A (α~x) =
= α (A~x) + β (A~y) = α (λ~x) + β (λ~y) =
= λ (α~x+ β~y)
=⇒ A~z = λ~z =⇒ ~z ∈ L (A, λ)
1.4 Вычисление собственных значений и собственных векторовлинейного оператора.
1. Выбрать базис и сопоставить линейному оператору матрицу в этом базисе.
2. Составить X (λ) =⇒ det (A− λE) = 0, найти корни λ, которые являются соб-ственными значениями линейного оператора.
3. ∀λ нужно найти фундаментальное решение (A− λE) ~x = 0. Столбы координатывекторов некоторого базиса в L (A, λ) =⇒ Эти векторы являются собственнымивекторами. L (A, λ) - собственное подпространство.
Пример. Необходимо найти собственные значения и собственные векторы линейногоорператора А, который задан в некотором базисе.
A =
0 1 24 0 13 −1 1
4
XA (λ) =
∣∣∣∣∣∣−λ 1 24 −λ 13 −1 1− λ
∣∣∣∣∣∣ = λ2 (1− λ) + 3− 8 + 6λ− λ− 4 (1− λ) = λ2 − λ3 − 5 + 5λ− 4 + 4λ =
= −λ3 + λ2 + 9λ− 9 = −λ2 (λ− 1) + 9 (λ− 1) = (λ− 1)(9− λ2
)= 0
λ = −1;±3|A− λE| ~x = 0−λx1 + x2 + 2x3 = 0
4x1 − λx2 + x3 = 0
3x1 − x2 + (1− λ)x3 = 0
λ1 = −33x1 + x2 + 2x3 = 0
4x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 − x2 + 4x3 = 0 3 1 24 3 13 −1 4
∼
3 1 21 2 −13 −1 4
∼
1 2 −13 1 23 −1 4
∼
1 2 −10 −5 50 −7 7
=⇒{x1 + 2x2 − x3 = 0
x2 = x3 = e
б б сx1 x2 x31 −1 1
=⇒ x1 = −2x2 + x3 = −e
c = −1 =⇒ ~x1 =
1−1−1
λ2 = 3 −1 1 2
4 −1 13 −1 0
∼ −1 1 2
0 3 90 2 6
∼ −1 1 2
0 1 30 2 6
∼
б б с−1 1 20 1 30 1 3
x1 x2 x31 3 -1
λ3 = −1 - аналогично.
Свойства собственных векторов
1. Количество λ не больше размерности.
2. Рассмотрим оператор поворота в L2
A =
(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
)=⇒
∣∣∣∣ cosϕ− λ − sinϕsinϕ cosϕ− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 2λ cosϕ+ 1 ; y 6= π
Есть линейные операторы, у которых нету собственных значений.
5
3. Си-коле космических чисел =⇒ имеет хоть один собственный вектор. (так на-писано у Тимура)
4. Размерность собственного подпространства не больше простиости корня.
Пример. L2 ; A =
(λ0 0K λ0
); λ0, K ∈ R∣∣∣∣ λ0 − λ 0
K λ0 − λ
∣∣∣∣ = λ20 − 2λλ0 + λ2 = 0
⇓(λ0 − λ)2 = 0
⇓λ0 = λ∣∣∣∣ 0 0
K 0
∣∣∣∣ ~x = 0{0x1 + 0x2 = 0
Kx1 + 0x2 = 0=⇒ Kx1 = 0 =⇒ α~x = α
∣∣∣∣ 01
∣∣∣∣5. Если характеристический многочлен имеет n-различных корней (собственных
значений), то в Ln мочииио и собственнох векторов.
Теорема. Собственные векторы ~x1 . . . ~xnлинейного оператора A имеющие собственныезначения λ1 . . . λn - линейно независимы.
Доказательство. По мат. индукции.
1. n = 1 =⇒ ~x 6= ~0
2. ~x1 . . . ~xn−1 - линейно незавимы.
3. Пусть ~x1 . . . ~xn - линейно независимы =⇒α1 ~x1 + . . .+ αn−1 ~xn−1 + αn~xn = 0 =⇒ λ1 6= 0
A (α1 ~x1) + . . .+ A (αn ~xn) = α1λ1 ~x1 + . . .+ αnλn ~xn
α1λ1 ~x1 + . . .+ αnλn ~xn − λn (α1 ~x1 + . . .+ αn−1 ~xn−1 + αn~xn) =
= α1 (λ1 − λn) ~x1 + . . .+ αn−1 (λn−1 − λn) ~xn−1
λ1 6= 0 ; λn 6= 0
Теорема. (1) Пусть λ1 . . . λp - попарно различные собственные значения линейногооператора , который действует в L (A : Ln −→ Ln), тогда dimL (A, λ1)+dimL (A, λ2)+. . .+ dimL (A, λn) ≤ n.
Доказательство. У Тимура не написано.
6
Теорема. (2) Пусть λ1 . . . λp - собственные значения оператора А, L (A, λi) ; i = 1, p -собственное подпространство =⇒ А приводится к диаганальному виду⇐⇒ dimL (A, λi)+. . .+ dimL (A, λp) = dimL = n
Доказательство. ” =⇒ ” Пусть матрица приводится к диагональному виду =⇒ Ay = λ1 . . . 0. . . . . . . . .0 . . . λp
”⇐= ” Ибо они независимы (хз кто и еще более хз почему)
Определение. Размерность собственного подпространства L (A, λ) - геометрическаякратность собственного числа.
Определение. Кратность λ - как корня характеристического уравнения оператора А,это алгебраическая кратность.
Теорема. Для A : Ln −→ Ln геометрическая кратность не привосхрдит алгебраиче-скую.
Доказательство. L (A, λ0) =⇒ dimL (A, λ0) = mf1 . . . fm - базис в L, собственныеДополним f1 . . . fm до поного базиса gm+1 . . . gn{f1 . . . fm, gm+1 . . . gn} - базис в Ln
Выпишем А в этом базисе Am×n
=
A0m×m
A12m×m
0 A22m×m
A0m×m
=
λ1 . . . 0. . . . . . . . .0 . . . λm
|A− λE| = (λ− λ0)mQn−m (λ) = 0 =⇒ геометрическая
кратность не болшьше алгебраической кратности
Теорема. Для того, чтобы матрицу линейного оператора можно представить в видедиагональной матрици ⇐⇒ геометрическая кратность = алгебраической кратности.
Доказательство. Дома...
1.5 Каноническое разложение матрицы линейного оператора.
Определение. Линейный оператор в L называется оператором простой структуры еслив L существует базис состоящих из любых собственных векторов.
Определение. Замена матрици А диаганальной матрицей А’, подобной А, это приве-дение А к диаганальному виду.
A = U−1AU - каноническое разложение.Чтобы найти матрицу U:
1. Найди собственные значения (лямбды).
2. Найти собственные векторы.
3. Эти векторы и будут столбцами матрици U.
7
1.6 Основные свойства собственных векторов.
1. Если все собственные значения λ1 . . . λn линейного оператора А попарно различ-ны, то система собственных векторов собственных значений этого оператора будетнезависимой.
2. Если матрица А задана в каком либо базисе, то все векторы этого базиса будутсобственными.
3. Если характеристическое уравнение линейного оператора A : Ln −→ Ln имеютn-порядка различных действительных корней =⇒ ∃ базис, в котором она будетиметь диагональный вид.
4. Если характеристическое уравнение квадпатной матрици n × n, имеет n-попарноразличных вещественных корней, то она подобна диаганальной.
5. Если XA (λ) имеет хотябы 1 вещественный корень, то линейный оператор имеетодномерное инвариантное подпространство.
6. Одноверное подпространство H ⊂ L ; H = span (векторы A) является инвариант-ным относительно А.
2 Инварианты линейных операторов.
Лемма. d (x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1 + x a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 + x . . . a2,n. . . . . . . . . . . .an,1 an,2 . . . an,n + x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = xn + C1xn−1 + . . . + Cn−1x + Cn =
n
Σk=0
Ckxn−k
2.1 Инвариантные подпространства линейного оператора в ве-щественным пространстве.
A : Ln −→ Ln ; Ln = Rn. В любом базисе в матрице будут вещественные коофиценты =⇒XA (λ) = 0 будет алгебраическим уравнением с вещественными коофицентами. Корнимогут быть как и вещественнные, так и комплексные.
λ - вещественный корень =⇒ |A− λE| ~x = 0 =⇒ A~x = λ~x =⇒ ∃одномерное инвари-антное подпространство L (A, λ), в противном случае его не существует.
Теорема. Каждому комплексному характеристическому числу матрици А соответ-ствует двумерное инвариантное подпространство матрицы А.
Доказательство. λ1 = α + iβ ; λ2 = α− iβ|A− λ1E| ~z = 0 ; ~z = x+ iy ; A~z = λ~z ; ~x, ~y ∈ Rn
A~z = Ax+ iAy = (α + iβ) (x+ iy) = (αx− βy) + i (αy + βx) = λxAx = αx− βyAy = βx+ αy обруем L2 натянутоя на ~x и ~y~a = γx+ δy ∈ L2
8
A~a = A (γx) + A (δy) = γ (Ax) + δ (Ay) = γ (αx− βy) + δ (βx+ αy) = x (γα + δβ) +y (αδ − βγ) ∈ L2=⇒ инвариантно.
2.2 Инвариантное подпространство линейного оператора в ком-плексном пространстве.
A : L −→ L ; H ⊂ L - инвариантно относительно A. Рассмотрим А на Н. ~x ∈ H =⇒A~x ∈ H в этом случае А пораждает на Н другой линейный оператор (A|H). (A|H) ~x =A~x. (A|H)- идуцированный оператор поражденный оператором А. А - пораждающийоператор.(A|H) совподает с А и неопределен вне Н. (A|H) имеет хотябы 1н собственный=⇒ и А тоже 1н.
Теорема. XA (λ) идуцированного оператора, поражденный на нетривиальном подпро-странстве является делитенли X (λ) пораждающего оператора.
Теорема. Любой линейный оператор А действующий в n-мерном комплексном про-странстве имеет хотябы 1но инвариантное подпространство размерностью n-1.
Теорема. Любой линейный оператор A : L −→ L ; detL = n существуют инвариант-ные подпространства Hp ; 1, n− 1
H0 ⊂ H1 ⊂ . . . ⊂ Hn−1 ⊂ Hn ⊂ Ln
Теорема. Если X (λ) ......
3 Жорданова форма матрицы. Жорданов базис.Определение. Блочно диагональная матрица
A =
Cr1 (α1β1) 0 . . . 0 0 . . . 00 Cr2 (α2β2) . . . 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 0 . . . Crm (αmβm) 0 . . . 00 0 . . . 0 Is1 (M1) . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 0 . . . Isk (Mk)
, где αi, βi ; i =
1,m и Ml ; l = 1, kгде α, β,M ∈ R называется Жордановой матрицей, а блоки по диагоналям - Жор-
дановыми клетками.
Определение. Жордановая матрица А подобная А’ называется Жордановой нормаль-ной формой.
Определение. мина...
Определение. Жоржановым Блоком, отвечающим собственному значению λ0 называ-ется блочная диагональная матрица, каждый блок каторой представляется Жорданивуклетку вида
A (λ0) =
Ji1 (λ0) 0 0 . . . 0
0 0 Ji2 (λ0) 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . Jis (λ0)
.
9
Пример. Пусть матрици линейного операторра имеет вод такой вид X (λ) = (λ− λ0)m ,
тогда m = 3 s = 1. A (λ0) =
λ0 1 00 λ0 10 0 λ0
. (m - алгебраическая кратность λk)
Пример. m = 3; s = 2 =⇒ A (λ0) =
λ0 0 00 λ0 10 0 λ0
и A (λ0) =
λ0 1 00 λ0 00 0 λ0
.
Пример. m = 4; s = 2 =⇒A (λ0) =
λ0 1 0 00 λ0 0 00 0 λ0 10 0 0 λ0
; A (λ0) =
λ0 0 0 00 λ0 1 00 0 λ0 10 0 0 λ0
;
A (λ0) =
λ0 1 0 00 λ0 1 00 0 λ0 00 0 0 λ0
.
Теорема. О Жордановой форме матрици оператора.Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве, и имеет вид
Ln(A : Ln −→ Ln).
X (λ) = (λ− λ1)m1 (λ− λ2)m2 . . . (λ− λp)mp
(λi 6= λj i 6= j m1 +m2 + . . .+mp = n)
Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных неприсо-едененных векторов
A′ =
A (λ1) 0 0 . . . 0
0 A (λ1) 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . A (λ1)
A (λj) - Жорданов блок.
Пример. X (λ) = (λ− λ1)2 (λ− λ2)(n = 3 m1 = 2 m2 = 1 s1 = 1 s2 = 1) .
A′ =
λ1 1 00 λ1 00 0 λ2
Пример. X (λ) = (λ− λ1)2 (λ− λ2)2
(n = 4 m1 = 2 m2 = 2 s1 = 1 s2 = 1).
A′ =
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ2 10 0 0 λ2
10
Пример. X (λ) = (λ− λ1)2 (λ− λ2)2(n = 4 m1 = 2 m2 = 2 s1 = 1 s2 = 2).
A′ =
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ2 00 0 0 λ2
3.1 Построение Жорданового базиса и Жордановой матрицы
B = A− λJe1, e2 . . . emBe1 = 0 Be2 = e1 . . . Bem = em−1Bem = em−1 B2em = em−2 . . . Bm−1em = e1Пусть λ- собственное знгачение линейногог оператора. Опишем построение линейно
независимой совокупгости изm векторов(собственных и присоедененных). Соответству-ющему собственному значению λ. Совокупности матрицици A′ будет соответствоватьЖордановый блок A (λ).
B = A− λJ ; Bk = (A− λJ)k ; Nk = ker(Bk).
dim (Nk) = nk ; rk = rang (B) ; k = 0, 1, . . . , n ; B0 = J ; r0 = n ; n0 = 0rk + nk = n ; rk+1 ≤ rk =⇒ nk+1 ≥ nk =⇒ N1 ⊂ N2 ⊂ N3 ⊂ . . . ⊂ Nn
Теорема. Существует такое натуральное значение q (∃q ∈ N).
N1 ⊂ N2 ⊂ N3 ⊂ . . . ⊂ Nq = Nq+1 = Nq+2
...cовпадает с ядром Nq
dim (Nq) = m ; rang (B2) = rang (A− λE)2 = n−mq - кратность λ в минимальном многочелене.
3.2 Алгоритм построения Жорданового базиса.
1. Возьмем матрицу B и будем возводить ее последовательно в натуральные степени.
(B1, B2..)
Найдем показатель q, начиная с которого ранг степеней матрици B перестанетуменьшаться.
rang (A− λE)2 = n−m
(q - количество векрторов в Жордановой цепочке или максимальный размер Жор-данеовой клетки)
2. N1 ⊂ N2 ⊂ N3 ⊂ . . . ⊂ Nq = Nq+1 = Nq+2
В подпространчсвеNq−1 выбераем любой произвольный базис, тогда f1, f2 . . . ∈ Nq
Количество этих векторов будет равно nq − nq−1.Эти вектора являются присоедененными векторами высоты q. Каждый из нихпораждает цепочку из q векторов.
11
Эти вектора войдут в состав Жорданового базиса и каждой такой цепочке будетсоответствовать Жорданова клетка.
nq − nq−1 = (n− rq)− (n− rq−1) = rq−1 − rq
3. Bf1, Bf2 . . . ; q1, q2 . . . ∈ Nq−1.
Если ут нас есть собственгное значение λ, максимальный размер Жордановойклетки равен
q(rq−1 − rq = nq − nq−1)
Помимо максимальных клеток могуть буть и другие.
(nq−1 − nq−2)− (nq − nq−1) = −nq + 2nq−1 − nq−2 = rq − 2rq−1 + rq+2
Общая формула, количество клеток размерности k:
tk − nk+1 + 2nk − nk−1 = rk+1 − 2rk + rk−1
Nq f1 f2 . . .Nq−1 Bf1 Bf2 . . . q1 q2 . . .Nq−2 B2f1 B2f2 . . . Bq1 Bq2 . . . h1 h2 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N1 Bq−1f1
Bq−1f2
. . . Bq−2fq1
Bq−2fq2
. . .
12
3.3 Примеры
Пример. A =
0 1 0−4 4 0−2 1 2
∣∣∣∣∣∣−λ 1 0−4 4− λ 0−2 1 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = (2− λ)
∣∣∣∣ −λ 1−4 4− λ
∣∣∣∣ = (2− λ) (−λ (4− λ) + 4) = (2− λ)3
λ = 2 ; m = 3
B = A− λEB2
B3 . . .
Bq; rq = n−m = 0
B =
−2 1 0−4 2 0−2 1 0
=⇒ r1 = 1
x1 x2 x31 2 00 0 1
N1;
120
;
001
B2 =
0 0 00 0 00 0 0
=⇒ r2 = 0
q = 2
Максимальный размер Жордановой клетки и цепочки, которую мы будем стро-ить = 2.
N2 ;
120
;
001
;
100
= f1, f1- первый присоедененный вектор, его мы
взяли от болды.
Bf1 =
−2−4−2
= f2
Bf2 = 0
N1 f1N2 f2 g2
13
Базисные векторы:
e1 = f2 =
−2−4−2
e2 = f1 =
100
e3 = g2 =
001
Жорданова матрица
A′ =
2 1 00 2 00 0 2
или A′ =2 1 00 2 00 0 2
A′ = T−1 · A′ · T
Жорданов базис
T =
−2 1 0−4 0 0−2 0 1
14
Пример. A =
1 −3 3−2 −6 13−1 −4 8
χA(λ) =
∣∣∣∣∣∣1− λ −3 3−2 −6− λ 13−1 −4 8− λ
∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)3
λ = 1 ; m = 3 ; rq = 3− 3 = 0
B =
0 −3 3−2 −7 13−1 −4 7
∼ 0 −3 3
0 1 −1−1 −4 7
=⇒ rang = 2
{x2 = x3
−x1 − 4x2 + 7x3 = 0
x1 = −4x2 + 7x3
N1 ;
311
B2 =
3 9 −181 3 −61 3 −6
=⇒ rang (B2) = 1
x1 = −3x2 + 6x3
x1 x2 x3
-3 1 06 0 1
N2;
311
;
601
B3 =
0 0 00 0 00 0 0
=⇒ rang (B3) = 0
N3 ; f1 =
100
Bf1 =
0−2−1
f3 = Bf2 =
311
N1 f1N2 Bf1N3 B2f1
15
e1 = f3
e2 = f2
e3 = f1
A′ =
1 1 00 1 10 0 1
Пример. A =
4 −5 25 −7 36 −9 4
χA(λ) =
∣∣∣∣∣∣4− λ −5 2
5 −7− λ 36 −9 4− λ
∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)λ2
λ1 = 0 ; m = 2 ; rq = n−m = 1
– B =
4 −5 25 −7 36 −9 4
∼ 4 −5 2
1 −2 12 −4 2
rang (B) = r1 = 2 ; n1 = 1
1 -2 10 3 -2x1 = 2x2 − x33x2 = 2x3
. . .
N1 ;
123
– B2 =
3 −3 13 −3 13 −3 1
=⇒ r2 = 1
x3 = −3x1 + 3x2x1 x2 x31 0 -30 1 3
N2 ;
10−3
;
013
f1 =
013
f2 = Bf1 =
123
16
N2 f1N1 f2
λ = 1 ; m = 1 ; rq = 3− 1 = 2
– B =
3 −5 25 −8 36 −9 3
=⇒ r1 = 2 ; n1 = 1
g1 =
111
=⇒ rang (B2) = 2
N2 f1N1 f2 g1
e1 = f2
e2 = f1
e3 = g1
A′ =
0 1 00 0 00 0 1
или A′ =0 1 00 0 00 0 1
Пример. (Второй способ построения Жорданового базиса)
A =
3 0 00 3 03 0 3
∣∣∣∣∣∣
3− λ 0 00 3− λ 03 0 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = (3− λ)3
λ = 3 ; m = 3 ; rq = 0
B =
0 0 00 0 03 0 0
; r1 = 1 ; s = 2 ; 3x1 = 0 ; x1 = 0
Be1 = 0Be2 = e1Be3 = e2
x = C1
010
+ C2
001
=
0C1
C2
0 0 0
0 0 03 0 0
· y1
y2y3
=
0C1
C2
0 0 0
0 0 03 0 0
|0C1
C2
C1 = 0, потому что ранги матриц должны совподать.
17
0 0 00 0 03 0 0
· y1
y2y3
=
0C1
C2
=
00C2
e2 =
C2
300
e3 =
z1z2z3
0 0 0
0 0 03 0 0
· z1
z2z3
=
C2
300
e3 =
z1z2z3
=
C2
300
0z1 =
C2
30z2 = 03z1 = 0 0
0C2
;
C2
300
;
010
C2 = 3, возьмем так.
e1 =
003
; e2 =
100
; e3 =
010
A′ =
3 1 00 3 00 0 3
18
4 Функции от матриц.An×n
ϕ (λ) = (λ− λ1)m1 . . . (λ− λs)ms - минимальные многочлены.
m =s∑
k=1
mk
Рассмотрим 2 произвольных многочлена g(λ) и h (λ)g (A) = h (A) ; g (A)− h (A) = 0d (λ) = g (λ)− h (λ)∃ q (λ) : d (λ) = ϕ (λ) q (λ) =⇒ d (λk) = 0d′ (λk) = 0, . . . d(mk−1) (λk) = 0
Определение. Пусть функция f (λ) - функция общего вида скалярного аргумента λ.И имеется ϕ (λ) - минимальный многочлен матрици A. Тогда совокупность n чиселf (λk) , f
′ (λk) , . . . f(kk−1) (λ) называются значениями функции f на спектре матрирциA.
Если такие числа существуют, то гворяят, что f опрежелена на спектре матрици A.
Пример. Задана A =
2 1 1−1 2 21 0 0
Находим зарактерестипческий многочлен матрицы∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 1−1 2− λ 21 0 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ · (λ− 2)2
Минимальный многочлен
ϕ (λ) = λ · (λ− 2)2
λ1 = 0 ; m1 = 1 ; λ2 = 2 ; m2 = 2
f (λ) = eλ ; f (0) = 1 ; f (2) = e2 = f ′ (2)
f (λ) =1
λ; f (0)− неопределено.
Если f (λ)- многочлен =⇒ он всегда определен на спектре матрицы A.
Утверждение. g (A) = h (A)⇐⇒ g (λ) , h (λ) : g (ΛA) = h (ΛA) , ΛA - спектр матрици A.Если задана матрица A, то значение многочлена на спектре матррицы A полностьюопределдяет значение g (A).
Определение. Если f (λ) - определена на спектре матрицы A и g (λ) - любой много-член, совподающей с функцией f (λ) - на спектре матрицы A, то функция отматрициопределяются значениями многочлена.
Среди этих чисел существует только один многочелен степени меньшеm. Обозначимего r (λ).
r (λk)− f (λk) , r′ (λk) = f ′ (λk) . . . r(mk−1) (λk) = f (mk−1) (λk)
Определение. Многочлел r (λ) - интерпаляционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
19
4.1 Свойства функции от матриц
Теорема. Для ∀ An×n
; f (λ) , f1 (λ) , f2 (λ) - функции определенные на спектре матри-рци A.
1. (f1 + f2) (A) = f1 (A) + f2 (A)
2. (c · f) (A) = c · f (A)
3. (f1 · f2) (A) = f1 (A) · f2 (A)
Доказательство. Оно следует из того, что значения f (A) полностью определяется зна-чениями функцуии на спектре матрици A
n×n.
Теорема. Имеют место следующие утверждения:
1. Если λ1 . . . λs — характерестические числа матрицы A, то значения f (λ1) . . . f (λs)— характерестические числа f (A).
A,B(n× n); A = T−1 ·B · T
2. Если определена на A то она определена на B
f (A) = T−1 · f (B) · T
3. Если матрица А - блочная диагональная матрица (A = diag {A1 . . . At}) и функ-ция f (λ) определена на спектре матрици A, то тогда будет иметь следующийвид
A = diag {f (A1) . . . f (At)}
f (A) =
f (λ1) 0 0 . . . 0
0 f (λ2) 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . f (λn)
Данная теорема позволяет находить f (A) - Жорданову форму А.f (A) : A = T−1JT =⇒ f (A) = T−1f (J)T
J =
J1 0 . . . 00 J2 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . Jt
=⇒ f (J) =
f (J1) 0 . . . 0
0 f (J2) . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . f (Jt)
Рассмотрим отдельную Жорданову клетку JS (λ0) =
λ0 1 0 . . . 00 λ0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . λ0
, ϕ (λ) =
(λ− λ0)Sf (λ) : рассмотрим на спектре λ0 : f (λ0) , f ′ (λ0) , . . . , f (S−1) (λ0) =⇒
=⇒ r (λ) = f (λ0)+f ′ (λ0)
1!(λ− λ0)+
f ′′ (λ0)2!
(λ− λ0)2+. . .+f (S−1) (λ0)
(S − 1)!(λ− λ0)S−1 =⇒
20
=⇒ f (JS) = f (λ0)E +f ′ (λ0)
1!(JS − λ0E) + . . .+
f (S−1) (λ0)
(S − 1)!(JS − λ0E)S−1 =⇒
=⇒ f (JS) =
f (λ0)
f ′ (λ0)1!
. . .f (S−1) (λ0)
(S − 1)!
0 f (λ0) . . .f (S−2) (λ0)
(S − 2)!. . . . . . . . . . . .0 0 . . . f (λ0)
Пример. Пусть у нас имеется матрица A =
2 0 00 1 10 0 1
ϕ (λ) = (λ− 2) (λ− 1)2
J1 = (2)
J2 =
(1 10 1
)f (A) =
(f (J1) 0
0 f (J2)
)f (J1) = f (2)
4.2 Алгоритм нахождения функции от произвольной матрици.
4.2.1 Первый способ
1. Привести матрицу к Жордановой форме: J = T−1 · A · T
2. Составить f (J) =
f (J1) 0 . . . 0
0 f (J2) . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . f (Jt)
3. f (A) = T · f (J) · T−1
4.2.2 Второй способ
1. f (A) =s∑
k=1
[f (λk)Zk,1 + f ′ (λk)Zk,2 + . . .+ f (mk−1) (λk)Zk,mk
]2. Zk-матрици, которые не зависят от вида функции f (λ), поэтому это компонента
матрицы A. Находить с помощью системы уравнений.
3. gl (A) =s∑
k=1
[gl (λk)Zk,1 + gl′ (λk)Zk,2 + . . .+ g
(mk−1)l (λk)Zk,mk
]
Пример. Найти функцию от матрици A =
3 1 1−1 1 00 0 1
(1− λ)
∣∣∣∣ 3− λ 1−1 1− λ
∣∣∣∣ = (λ− 1) (λ− 2)2
21
g (λ) = (λ− 1) (λ− 2)2
g1 (λ) = 1
g2 (λ) = λ− 2
g3 (λ) = (λ− 2)2
Найдем Z
g1 (A) = g1 (1) · Z1,1 + g1 (2) · Z2,1
f (A) = f (2) · Z1,1 + f ′ (2) · Z1,2 + f (1) · Z2,1
g1 (A) = g (2) · Z1,1 + g′ (2)Z1,2 + g (1) · Z2,1
g2 (A) = g2 (2) · Z1,1 + g2′ (2)Z1,2 + g2 (1) · Z2,1
A− 2E = Z1,2 − Z2,1
g2 (A) = g3 (2) · Z1,1 + g3′ (2)Z1,2 + g3 (1) · Z2,1
(A− 2E)2 = Z2,1
Z2,1 =
0 0 0
0 0 −1
0 0 0
Z1,1 =
1 0 0
0 1 1
0 0 0
Z1,2 =
1 1 1
−1 −1 −1
0 0 0
Z1,1 + Z2,1 = E =
1 0 00 1 00 0 1
f (A) = f (2) ·
1 0 00 1 10 0 0
+ f ′ (2) ·
1 1 1−1 −1 −10 0 0
+ f (1) ·
0 0 00 0 −10 0 0
5 Линейные операторы в Евклидовом пространстве.
5.1 Сопряженные операторы
Определение. Линейный оператор A∗ : En −→ En называется сопряженным с опера-тором A, если ∀~x, ~y ∈ En (A~x, ~y) = (~x,A∗~y)
Сопряженный оператор существует и он единственнен.
22
5.1.1 Свойства сопряженного оператора.
1. (A∗)∗ = A
Доказательство. (A~x, ~y) = (~x,A∗~y) ; (~x,A~y) = (A~y, ~x) = (~y, A∗~x) = (A∗~x, ~y)
2. (A+B)∗ = A∗ +B∗
Доказательство. ((A+B) ~x, ~y) = (~x,A∗~y +B∗~y) . . .
3. (αA)∗ = αA∗
4. (A ·B)∗ = B∗ · A∗
Пусть A - матрица, а A1 - матрица сопряженного оператора , и тогда они связяныопредененным соотношением:
A1 = Г−1 · AT · Г
Г =
(e1, e1) (e1, e2) . . . (e1, en)(e2, e1) (e2, e2) . . . (e2, en). . . . . . . . . . . .
(en, e1) (en, e2) . . . (en, en)
Пример. A =
1 0 02 1 03 2 1
e11 = (1, 1, 1) ; e12 = (0, 1, 1) ; e12 = (0, 0, 1)
Г =
(e1, e1) (e1, e2) (e1, e3)(e2, e1) (e2, e2) (e2, e3)(e3, e1) (e3, e2) (e3, e3)
=
3 2 12 2 11 1 1
A1 = Г−1 ·AT ·Г =
1 −1 0−1 2 −10 −1 2
· 1 2 3
0 1 20 0 1
· 3 2 1
2 2 11 1 1
=
6 5 3−3 −2 −1−2 −2 −1
A = T · A · T−1e −→ e′
T =
1 0 01 1 01 1 1
A =
1 0 01 1 01 1 1
· 1 0 0
2 1 03 2 1
· 1 0 0−1 1 00 −1 1
=
1 0 02 1 03 2 1
A1 = AT =
1 2 30 1 20 0 1
A1 = T−1 · A1 · T =
1 0 0−1 1 00 −1 1
· 1 2 3
0 1 20 0 1
· 1 0 0
1 1 01 1 1
=
6 5 3−3 −2 −1−2 −2 −1
23
Теорема. Область значения A∗y - это подпространство, ортогональное оператору А.A∗~y ⊥ KerA
Доказательство. ~x ∈ KerA ; ∀~y A∗~y ⊥ ~x(~x,A∗~y) = (A~x, ~y) = (0, ~y) = 0
Теорема. Если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора A,то ортогонатьное дополнение инвариентно относительно A∗.
Доказательство. A∗~y ∈ X⊥~x ∈ X ; ~y ∈ X⊥
}- Доказать самим.
A~x ∈ X ; (~x,A∗~y) = (A~x, ~y) = 0
Теорема. Характерестические многочлены и собственные значения сопряженных опе-раторов равны.
Доказательство. Ибо матрици подобны.
Теорема. Каждый собственный вектор оператора A∗ортогонален всем собственнымвекторам оператора А , принидлежащим другим собственным значениям.
Доказательство. ~y ∈ A∗ ; A∗~y = λj~y~x- собственный вектор А. A~x = λi~x ; (λi 6= λj)(A~x, ~y) = (~x, (λj~y)) = λj (~x, ~y)(A~x, ~y) = (~x,A∗~y) = λi (~x, ~y)
=⇒ λi (~x, ~y) = λj (~x, ~y) =⇒ (λi − λj) (~x, ~y) = 0 =⇒
(~x, ~y) = 0
Теорема. Каждый собственный вектор матрицы AT ортоганален ко всем собствен-ным векторам матрицы А принадлежащим другим собственным значениям.
5.2 Самосопряженные операторы
Определение. Линейный оператор A : En −→ En называется самосопряженным (си-метрическим, рмитовым) если ∀~x, ~y ∈ En ((A~x, ~y) = (~x,A~y))
5.2.1 Cвойства самосопряженного оператора
1. У самосопряженного оператора в любом ортонормированом базисе имеет симет-ричную матрицу.
2. Все корни характерестического оператора действительны.
3. Собственные векторы самосопряженного опеаторы, принадлежащие различнымсобственным значениям ортогональны.
4. В эвклидовом пространстве существует ортонормированый базис, состоящий изсобственных векторов этого самосопряженного оператора. Это значит что этотоператор является оператором простой структуры.
Пример. Требуется найти ортонормированный базис и еще что то там...
24
A =
11 2 −82 2 10−8 10 5
B = T−1 · A · T
Определение. Самосопряженный линейный оператр A : L −→ L называется положи-тельно определенным (неотрицательным) если ∀~x 6= 0, ~x ∈ (L (A~x, ~x) > 0) {(L (A~x, ~x) ≥ 0)}Обозначают A > 0 и A ≥ 0.
Теорема. Сакмомсопряженный оператор называется положительно определенным(неотцицательным⇐⇒ кoгда все собственные значения положительны(неотрицательны).
Доказательство. Докажем необходимость и достаточность
Необходимость
Пусть А - положительно определенный оператор. Тогда для него выполняетсяL (A~x, ~x) > 0, предположим обратнное:
Пусть λ0 < 0 =⇒ (A~x, ~x) = (λ0~x, ~x) = λ0 (~x, ~x) = λ0 |~x|2 < 0
Достаточность. λ1, λ2 . . . λn > 0
Пусть ~x1, ~x2 . . . ~xn - базис в А.
~y = α1 ~x1 + . . .+ αn ~xn
(A~y, ~y) = (A (α1 ~x1 + . . .+ αn ~xn) , α1 ~x1 + . . .+ αn ~xn) = (α1λ1 ~x1 + . . .+ αnλn ~xn, α1 ~x1 + . . .+ αn ~xn) =α21λ1 | ~x1|
2 + . . .+ α2nλn | ~xn|
2
Утверждение. ∀ самосопряженного неотрицательного оператора А ∃ линейный опера-тор B, такой что ∀m (Bm = A)
Определение. Самосопряженный неотрицательный оператор В который удовлетворя-ет условию Bm = A называют корнем m степени из А.
Пример. Неотрицательный самосопряженный оператор.A∗ · A или A · A∗.(A∗ · A · ~x, ~x) = (A~x,A~x) ≥ 0
Замечание.√A∗A и
√AA∗ - правый и левый конень оператора А.
Определение. Симметричная матрица А называется положительно определенной (неот-рицйательной) если ∀~x (A~x, ~x) = ~xT · A · ~x > 0
{(A~x, ~x) = ~xT · A · ~x ≥ 0
}Теорема. Матрица положительно определенная(неотрицательная) когда все ее ха-рактерестические числа будет положительны(нееотрицательны).
Определение. В - орифмитический корень m-той степени если Bm = A обозначаютm√A = B (Доказывается аналогично операторам).
25
5.3 Ортогональный линейный оператор
Определение. Линейный оператор A : En −→ En называется ортоганальным, если онсохраняетт скалярное произведение ∀~x, ~y ∈ En
5.3.1 Свойства ортогонального оператора
1. Он сохраняет длины векторов
(A~x, ~x) = (~x, ~x)
2. Он сохъраняет углы между векторами
cosϕ =(~x, ~y)
|~x| · |~y|
3. Он переводит любую орто нормированную систему векторов переводит в орто нор-мированую систему векторов
4. Оперетор A∗- сопряженный с ортогональному операьтору А
A∗ = A−1
AT = A−1 - для матриц
5. Корни характерестического многочлена ортогонгальноего оператора(в том числеи компелексные) по абсолютноц величине равны еденице. Действительные = ±1 .
(A~x,A~x) = λ2 (~x, ~x) = (~x, ~x) λ2 = 1
6. Собственные векторы ортогональног7о оперетора пренадлежажии разным соб-ственным значнениям ортогональны.
(A~x,A~y) = (λ1~x, λ2~y) = λ1λ2 (~x, ~y) = (~x, ~y) λ1, λ2 = 1=⇒ (~x, ~y) = 0
7. Ортогональный оператор с люббом орто нормированом базисе эвклидова про-странства имеет ортогональную матрицу =⇒ произведение ортогональных опе-раторов будет так де ортогональным оператором.
5.3.2 Примеры ортоггональных операторов.
Пример. Оператор простого вращения.
Матрица оператора: A =
(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
){En, n = 2}
Пример. Оператор отражения.Он переаодит каждый вектор в симмертричный вектор относительно (n− 1)- плос-
кости.
A =
1 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 −1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
26
Теорема. ∀ ортоганального оператора в евклидовом пространстве существует орто-нормированный базис в котором матрица лин оператора имеет следующий вид:
A =
1 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 00 1 0 0 . . . . . . 0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 −1 . . . . . . 0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 cosϕ − sinϕ 0 0 0 00 0 0 0 sinϕ cosϕ 0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 0 . . . 0 cosϕk − sinϕk0 0 0 0 0 0 . . . 0 sinϕk cosϕk
Теорема. Любой оператор в эвклидовом пространстве можно представить в видепроизведегния операторов отношения или вращения.
Теорема. Любой линейный оператор A : En −→ En разлагается в виде произведенениясамосопряяженного и ортогонального.
Пример. A =
2
3−1
3
2
32
3
2
3−1
3
−1
3
2
3
2
3
|A− λE| =
=1
27
∣∣∣∣∣∣2− 3λ −1 2
2 2− 3λ −1−1 2 2− 3λ
∣∣∣∣∣∣ =1
27
∣∣∣∣∣∣3− 3λ 3− 3λ 3− 3λ
2 2− 3λ −1−1 2 2− 3λ
∣∣∣∣∣∣ =
=1
9(1− λ)
∣∣∣∣∣∣1 1 12 2− 3λ −1−1 2 2− 3λ
∣∣∣∣∣∣ =1
9(1− λ)
∣∣∣∣∣∣1 1 10 −3λ −30 3 3− 3λ
∣∣∣∣∣∣ =
= (1− λ)
∣∣∣∣ λ 11 1− λ
∣∣∣∣ = (1− λ)(λ2 − λ+ 1
)
(1− λ) (λ2 − λ+ 1) = 0 =⇒λ1 =1
λ2,3 =1± i
√3
2=
1
2± i√
3
2
λ = 1 −1 −1 22 −1 −1−1 2 −1
∼ −1 −1 2
0 −3 30 3 −3
x1 = (1, 1, 1)
e1 =
(1√3,
1√3,
1√3
)
27
λ =1
2+ i
√3
2
(A− λE) = . . . ∼
1 1 1
4 1− i3√
3 −2
−2 4 1− i3√
3
∼ 1 1 1
0 1 + i√
3 2
0 2 1− i√
3
∼ 1 1 1
0 2 1− i√
3
0 2 1− i√
3
{x1 + x2 + x3 = 0
2x2 =(−1 + i
√3)x3
x3 = −1 + i√
3
x2 = −1− i√
3
x1 = 2
ω =
2
−1− i√
3
−1 + i√
3
=
2−1−1
+ i
0
−√
3√3
= x+ iy
e2 =x
|x|=
(√6
2,−√
6
6,−√
6
6
)
e3 =y
|y|=
(0,−√
2
2,
√2
2
)
6 Линейные операторы в унитарном пространстве.Определение. Унитарное простраство - комплексное n-мерное пространства, в кото-ром определена операция скалярного умножения.
~x = (x1, x2 . . . xn)~y = (y1, y2 . . . yn)~x, ~y ∈ Un(~x, ~y) = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn(~x, ~y) = (~y, ~x)
В унитарном простраснтве усть сопряженный линейный оператор.
Определение. Линейный оператор A∗ ∈ Un сопряженный к A если (A~x, ~y) = (~x,A∗~y).
A1- матрица сопряженногог оператора к A то A1 = Г−1 · AT · ГЕсли матрица А задана в ортонoрмированом базите то A1 = AT .Тоесть матрицей сопряженного оператора является сопряженная матрица.
Определение. Матрица A∗- сопряженная к А если A∗ = AT .
28
Определение. Линейный оператор A : Un −→ Un, действующий в унитарном про-странстве называют самосопряженным или Эрмитогвым если он совпадает со своимсопряженным оператором: (A~x, ~y) = (~x,A~y). Матрицей самосопряженного оператора вунитарном пространстве будет являться Эрмитова матрица. Матрица А Эрмитова еслиона равна сопряженной матрице: A = A∗ = AT .
Определение. Линейный оператор А, действующий в унитарном пространстве, назы-вают унитарным, если он не изменяет скалярного произведения векторов: (A~x, ~y) =(~x, ~y). Матрицей унитарного оператора будет являться унитарная матрица.
Определение. Матрица А называется унитарной, если A · A∗ = A∗ · A = E.
Теорема. Линейный оператор А - унитарный тогда и только тогда если для неговыполняется равенство: A∗ · A = A · A∗ = J .
Доказательство. Докажем необходимость и достаточность
1) Необходимость.
Пусть А - унитарный оператор. Тогда должно выполняться A∗ · A = A · A∗ = J .Рассмотрим (A∗ · A~x, ~y) = (A~x,A~y) = (~x, ~y) =⇒ A∗ · A~x = ~x.
Дальше сами.
2) Достаточность.
Пусть A∗ · A = A · A∗ = J - выполсяется. Тогда А - унитарный. (A~x,A~y) =(~x,A∗ · A~y) = (~x, J~y) = (~x, ~y)
Дальше сами.
Теорема. Следствие: Отсюда следует что А - невырожденый, и A−1 = A∗.
Основным свойством унитарного оператора является - он всегда имет орто норми-рованный базис, состоящий из собственных векторов.
~x, ~y ∈ Un- ортогональны если (~x, ~y) = 0.
7 Нормальный линейные операторы.Определение. Линейный оператор A : Un → Unесли он перестоновачнен со своимсопряженным оператором: A∗A = AA∗.
Определение. Матрицей в ортонормированым базиса этого оператора перестановач-ная со своей сопряженной матрицей: AAT = ATA.
Теорема. Свойство: только нормальный оператор имеет ортонормированый базис,состоящий из собственных векторов.
Теорема. (Шура)Для любого линейного оператора в униторном пространстве существует ортонор-
мированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет треугольный вид.
29
Доказательство. Для ∀ A : Ln −→ Ln существуют вложенные инвариантные подпро-странства, размерности p = 0, 1, 2, 3, . . . , (n− 1) , n.
Огто нормированный базис будем строить следующим образом.Выбераем e1 ∈ H1 - 1й базисный вектор.e2 ∈ H2- он нормированый и ортогональный пространству H1: e2⊥H1
И так далее...То получается верхняя треугольная матрица.
Теорема. Ae1 = x1 ∈ H1 = αe1 + 0 · e2 + . . .+ 0 · en
Теорема. Если треугольная матрица перестановочна со своей сопряженной, то онадиагональна.
B ·B∗ = B∗ ·B
Доказательство. B =
b1,1 b1,2 b1,3 . . . b1,n0 b2,2 b2,3 . . . b2,n0 0 b3,3 . . . b3,n. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 bn,n
; B∗ =
b1,1 0 0 . . . 0
b2,1 b2,2 0 . . . 0
b3,1 b3,2 b3,3 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .
bn,1 bn,2 bn,3 . . . bn,n
BB∗ =
|b1,1|2
|b1,2|2 + |b2,2|2
|b1,3|2 + |b2,3|2 + |b3,3|2. . .
B∗B =
|b11|2 + · · ·+ |b1m|2
|b22|2 + · · ·+ |b2m|2
|b33|2 + · · ·+ |b3m|2. . .
|bmm|2
Сумма квадратов =0 если все элементы равны 0.Из этой теоремы получаем что все недиагональные элементы = 0.
Теорема. Для того чтобы линейный оператор А действующий в униторном про-ствонстве был нормальным необходимо и достаточно чтобы в этом пространствесуществовал ортонормированном базис, состоящий из собственных векторов.
Доказательство. ” =⇒ ” Пусть А- нормальный оператор. =⇒ по теореме Гпура мы мо-жем выбрать орто нормированый базис, в котором матрица будет именть треугольныйвид.
Тогда матрица сопряженного оператора будет иметь тоже треугольный вид.Тоесть у нас получится 2 треугольных матрици.Так как А- нормальный то они пперестановычны: AA∗ = A∗A.Значит она будет диагональной, согласно преведужей теореме, так же как и A∗и для
этого базиса ∀~x (A~x = λ~x).Достаточность(” ⇐= ”). Пусть линейный оператор в унитарном пространстве уме-
ен ортонормироный базис, состоящий из собственнх векторов, нужно доказать что оннормальный. Это означает что его матрица имеет диагональный вид. Ну а матрица со-пряженного топератора тоже имеет диагональный вид. Ну а диагональные матрици ониперестановочные: AA∗ = A∗A. Это означает что линейный опператор - это нормальныйлинейный оператор.
30
Теорема. Следствие 1.Если оператор А - нормальтный то всякая орто нормированная система собствен-
ных векторов оператора А является ортонормированой системой собственых векто-ров оператора A∗.
Теорема. Следствие 2.Если А - нормальный, то собственные значения опекраторов А и A∗соответствующие
одному собственному вектору являются комплексно сопряженными.
Доказательство. λ- собственное значение А соответствуюшее ~x : A~x = λ~x. A∗~x = µ~x.λ = λ (~x, ~x) = (λ~x, ~x) = (A~x, ~x) = (~x,A∗~x) = (~x, µ~x) = µ (~x, ~x) = µЛюбой линейный оператор можно представить в виде произведения некоторый Эр-
митовых и унитарный операторов.
7.1 Норма матрицы.
Определение. Нормай матрици А называется такое действительное число, поставлен-ное в соответствии матрици, удовлетворяющее следующим условиям:
1. ||A|| ≥ 0 ; ||A|| = 0⇐⇒ A = 0
2. ||λA|| = |λ| · ||A||
3. ||A+B|| ≤ ||A||+ ||B||
4. ||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
Если выполняются 1е 3 условмя - то норму называют обобщенной нормой
Примеры
1. ||A||1 = maxj
n
Σi=1|ai,j|
2. ||A||∞ = maxi
n
Σj=1|ai,j|
3. ||A||E =
√maxi
n
Σi=1
n
Σj=1
(ai,j)2
Определение. Норму матрици А называют согласованной с нормай вектора, если∀~x ||A~x|| ≤ ||~x|| · ||A||
||A|| = supx 6=0
||A||||~x||
= sup||x||≤1
||A~x|| - норма матрици, подчиненная векторной норме.
1. ||~x|| =n
Σi=1|xi| - норма вектора.
2. ||~x||∞ = maxi|xi|
3. ||~x||E =
√n
Σi=1
(xi)2
Замечание. ||A|| =√
maxλA∗A - спектральная норма. λ - собственные числа матрициA ∗ A.
31
8 Квадратичные формы.
8.1 Определение и преобразование квадратичнеой формы.
Определение. Однородный многочлен 2й степени от n переменных с действительнымикоофицентами
n
Σi=1ai,ix
2i + 2 Σ
1≤i<j≤nai,jxixj ; ai,j ∈ R называется квадратичной формой.
Если мы выберем базис, то квадратичной формой можно рассматривать какую нитьфункцию f (x1, x2 . . . xn)
f = XT · A ·X ; X =
x1x2. . .xn
f (x1, x2 . . . xn) =
n
Σi=1ai,ix
2i + 2 Σ
1≤i<j≤nai,jxixj = a1,1x
21 + a1,2x1x2 + . . .+ a1,nx1xn + a2,1x2 + a2,2x
22 + . . .+ a2,nx2xn + . . . . . . . . .+
+ an,1xnx1 + an,2xnx2 + . . .+ an,nx2n =
= x1 (a1,1x1 + a1,2x2 + . . .+ a1,nxn) + x2 (a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ a2,nxn) + . . .+
+ xn (an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn) =
=(x1 x2 . . . xn
)·
a1,1x1 + a1,2x2 + . . .+ a1,nxna2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ a2,nxn
. . .an,1x1 + an,2x2 + . . .+ an,nxn
=
=(x1 x2 . . . xn
)· A ·
x1x2. . .xn
Определение. Рангом и детерминантом квадратичной формы называются соответ-ственно ранг матрицы А и ее определитель.
Определение. Если матрица А имеет максимальный ранг, то квадратичная форманазывается невыражденной.
Определение. Если ранг матрицы А меньше числа переменных, то квадратичная фор-ма называется вырожденной.
Примеры
1. x2 − 4x1x2 + 6x1x3
A =
1 −2 3−2 0 03 0 0
- она вырождленная.
2. 7x21 + 5x22 + 2x23− 8x1x2 + 2x1x3− 6x2x3 - она невырожденна, так как ранг = 3 (таксказал учителъ, а на самом деле хз)
32
Рассмотрим некоторую квадратичную форму в некотором линейногм пространстве:Базис: ~b1, ~b2 . . . ~bnf (x1, x2 . . . xn) = XT
b AXb
Давайте перейдем от базиса {b} к базису {e}.U - матрица пререхода {b} −→ {e}~xb = U ~xef (x1, x2 . . . xn) = XT
b AXb = (U · xe)T · A · (Uxe) = XTe U
TAUXe = XTe · A′ ·Xe
A′ = UTAUПреобзазование матрици квадратичной формы с помощью матрицы U называется
методом замены переменных, в данном случае это линейная замена переменных.
Пример.
x1 = y1 + y2 + y3
x2 = y1 + 2y2 + 2y3
x3 = y1 + y2 + 2y3
UT =
1 1 11 2 11 2 2
A′ = UTAU =
1 1 11 2 11 2 2
· 7 −4 1−4 5 −31 −3 2
· 1 1 1
1 2 11 2 2
= . . . =
2 0 00 3 00 0 −1
=
2y21 + 3y22 − y23
8.2 Квадратичные формы канонического вида
Определение.n
Σi=1ai,ix
2i = a1,1x
21 + a2,2x
22 + . . . + an,nx
2n ; ai,i ∈ R- квадратичная форма
не имеющая попарных произведения называется квадратичной формой каноническоговида. x1, x2 . . . xn - канонические переменные.
8.2.1 Метод Лагранжа
Метод приведение квадратичной формы к кананическому виду, прутем последователь-ного выделения полных квадратов.
Сначало рассмотрим на примерах ее, потом выпищим общую формулу.
Пример.
x2 − 4x1x2 + 6x1x3 = x21 − 2x1 (2x2 − 3x3) = x21 − 2x1 (2x2 − 3x3) + (2x2 − 3x3)2 − 4x22 − 9x23 + 12x2x3 =
= (x1 − 2x2 + 3x3)2 − 4x22 − 9x23 + 12x2x3 =
= (x1 − 2x2 + 3x3)2 −
(4x22 − 12x2x3
)− 9x23 =
= (x1 − 2x2 + 3x3)2 −
((2x2)
2 − 22x23x3 + 9x23)
=
= (x1 − 2x2 + 3x3)2 − (2x2 − 3x3)
2 = z21 − z22
Метод Лагранжа буквами.
33
f (x1, x2 . . . xn) =n
Σi=1ai,ix
2i + 2 Σ
1≤i<j≤nai,jxixj = anx
21 + 2
n
Σj=2a1,jx1xj +
n
Σi=2ai,ix
2i + 2 Σ
2≤i<j≤nai,jxixj =
= a1,1
(x21 + 2
n
Σj=2
a1,ja1,1
x1xj
)+
n
Σi=2ai,ix
2i + 2 Σ
2≤i<j≤nai,jxixj =
= a1,1
(x21 + 2
n
Σj=2
a1,ja1,1
x1xj +
(n
Σj=2
a1,ja1,1
xj
)2)− a1,1
(n
Σj=2
a1,ja1,1
)2
+n
Σi=2ai,ix
2i + 2 Σ
2≤i<j≤nai,jxixj =
=
{α1,j =
a1,ja1,1
; j = 1 . . . n
}=
= a1,1
(x1 +
a1,2a1,1
x2 + . . .+a1,na1,1
xn
)2
− a1,1n
Σj=2α1,jx
2j − 2a1,1 Σ
2≤i<j≤nα1,iα1,jxixj +
+n
Σi=2ai,ix
2i + 2 Σ
2≤i<j≤nai,jxixj =
= a1,1 (α1,1x1 + α1,2x2 + . . .+ α1,nxn)2 + f1 (x2, x3 . . . xn) =
= . . . =
= a′1
(n
Σj=1α1,jxj
)2
+ a′2
(n
Σj=2α2,jxj
)2
+ . . .+ a′r
(n
Σj=rαr,jxj
)2
f (x‘1, x‘2 . . . x‘n) = a‘1x‘21 + a‘2x‘22 + . . .+ a‘rx‘2rx′1 = α1,1x1 + α1,2x2 + . . .+ α1,nxnx′2 = α2,2x2 + α2,3x3 + . . .+ α2,nxn. . .x′r = αr,rxr + αr,r+1xr+1 + . . .+ αr,nxnНу как то так.В f (x‘1, x‘2 . . . x‘n) = a‘1x‘21 + a‘2x‘22 + . . .+ a‘rx‘2r если r = n ⇐⇒ ai,i 6= 0 ; ∀i ∈ [1, n] .Если квадраттичная форма не содержит не 1го квадрата, то ее нада предварительно
преобразовать специальным способом, путем специальной замены переменных.
8.3 Ортоганальные преобразования квадратичных формул.
Теорема. При ортоганальном преобразовании квадратичной формы характерестиче-ское уравнение ее матрици не меняется.
Теорема. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду орто-ганальным преобразованием.
Если у нас есть квадратичная форма, то ее матрица будет симетрична, это значит,что у этой матрици существует некая подобная матрица, матрица которой будет иметьдиаганальный вид.
A′ = P−1APРассмотри некоторое n-мерное линейное пространство. Там матрица А квадратичной
формы симетрична, и поэтому она соответствует некоторому самосопряженному опера-тору A : En −→ En, и она задана в базисе b1 . . . bn.И для этой матрици существует ортонолрмированный базис, и в этом базисе матрица сомосопряженного оператора имеетдиагональный вид. Поскольку у нас Р - матриця перехода от B к орто нормированномубазису, эта матрица будет являться ортогональной.
34
Привести квадратичные формы к кананическому виду ортогональным преобразова-нием.
f (x1, x2) = x21 − 4x1x2f (x1, x2) = 5x21 + 8x1x2 + 5x22
1. A1 =
(1 −2−2 0
)λ =
1±√
17
2
f1 (y1, y2) =1 +√
17
2y21 +
1−√
17
2y22
2. A2 =
(5 44 5
)λ1 = 1, λ2 = 9
f2 (y1, y2) = y21 + 9y22
λ1 = 1(4 44 4
)x = 0
e1 = (1,−1)
λ2 = 9(−4 4−4 4
)x = 0
e2 = (1, 1)
P =
1√2
1√2
− 1√2
1√2
A′ = P−1AP =
(1 00 9
)Теорема. Пусть A : En −→ En - самосопряженный линейный оператор, действую-щий в эвклидовом пространстве, ттогда f (~x) = (A~x, ~x)является квадратичной фор-мой. Верно и обратное. Вэтом пространстве существует такой самосопряженныйлинейный оператор, что f (~x) = (A~x, ~x) ,причем этот оператор определен однозначно.
Доказательство. Необходимость. Пусть А - самосопряженный оператор, нужно чтобы(A~x, ~x)была квадрнатичной формой.
Скалярное произведение в эвклидовом пространстве можно записать с помощью мат-рици Грамма.
(~x, ~y) = ~xTГ~y~xT~y , а ортонормированный базис Г - симметрична и диаганальна.(A~x, ~x) = (~x,A~x) = ~xT (A~x) = ~xTA~xДостаточность. Пусть f (~x) = ~xT
A~x = ~xT (A~x) = (~x,A~x) = (A~x, ~x)
35
А - симметрична, следовательно она задает самосопряженнный олператор (A~x, ~x).Пусть (αx, x) = (βx, x)xTAx = xTBx - решим систему уравнений =⇒ A = B =⇒ α = β =⇒ ∃! оператор А.
8.4 Закон Энерции.
Теорема. Ранг квадратичной формы не меняется при не выраражденных заменахнепеременных и равен:
1. Числу 6= 0 коофицентов в любом ее каноническом виде.
2. Количество ненулевых собственных значений матрици квадратичной формы сучетом их проимости.
Доказательство.
1.
f (y1 . . . ym) = λ1y21 + λ2y
22 + . . .+ λmy
2m
f (z1 . . . zk) = µ1z21 + µ2z
22 + . . .+ µkz
2k
λi 6= 0 i = 1,m, µj 6= 0 j = 1, k
A′ = UTAU , оба канонрических вида представляют собой 1ну и туже функцию вразных базисах, поэтому (A′ = UTAU) - в разультате замены базиса можно перей-ти от одного базиса к другому =⇒ rangA′ = rangA поскольку при умножении наневырожденную матрицу ранг не меняется =⇒ ранги квадратичных форм равены,и так как в каноническом разложении квадратичная форма имеет диоквид. =⇒ранг равен количеству диагональных элементов, тоесть коофиценту перед квад-ратами.
2.
Квадратичную форму можно привести к диагональному виду путем ортогональ-ного преобразования =⇒ по диагонали стоят собственные значения.
Теорема. (Закон Инерции). Для любых: f (y1 . . . ym) = λ1y21 + . . .+ λmy
2m
f (z1 . . . zk) = µ1z21 + . . .+ µkz
2k
- канониче-
кие виды одной и той же квадратичнгой формы:
1. m = k = r ; r− ранг квадратичной формы.
2. Количество положительных коофицентов λi совподает с количеством положи-тельных коофицентов µj.
3. Количество отрицательных коофицентов λi совподает с количеством отрица-тельных коофицентов µj.
Доказательство.
1. Доказательство в преведущей теореме.
36
2. f (y1, y2 . . . yn) = α1y21 + α2y
22 + . . .+ αpy
2p − αp+1y
2p+1 − . . .− αmy2m
f (z1, z2 . . . zk) = β1z21 + β2z
22 + . . .+ βqz
2q − βq+1z
2q+1 − . . .− βkz2k
Нужно доказать что q = p
Доказательство от противного, пусть p > q.Введем 2 базиса{e} = e1, e2, . . . en для 1й{f} = f1, f2, . . . fn для 2йzj = uj,1y1 + uj,2y2 + . . .+ uj,nyn
Покажем что при этом существует некоторый вектор ~x , координаты которогомогут быть записаны в обоих базисах и для него, если его записать в {e} то yj =0 ; j = 1, n и, если в базисе {f} то zi = 0 ; i = 1, q.yp+1 = 0 ; . . . ; yn = 0
u1,1y1 + u1,2y2 + . . .+ u1,nyn = 0
. . .
uq,1y1 + uq,zy2 + . . .+ uq,nyn = 0
Получаем количество уравнений равно n− p+ q = n− (p− q) < n
f (y1 . . . yn) = α1y1 + . . .+ αpyp > 0
f (z1 . . . zk) = −βq+1z2q+1 − . . .− βkz2k > 0
И получилось что f (~x) 6= f (~x). Противоречие, следовательно предположение неверно.
Определение. Канонический вид квадратичной формы f = z21 + z22 + . . .+ z2k − z2k+1 −. . .− x2n - это ее нормальный вид.
Замечание. Число положительных квадратов в нормальном виде квадратичной формыназывается ее положительным индексом инерции и обозначается i+ и число отрица-тельных квадратов это отрицательным индексом инерции и обозначается i−, i+ + i− =k ; i+ − i− = s - это сигнатура квадратичной формы.
9 Эквивалентные квадратичные формы.Определение. Если квадратичная форма f (x1 . . . xn) некоторым невырожденным ли-нейным преобразованием(~x = Q~y) приведенина к кфадратичной форме g (y1 . . . yn) то fи g называются эквивалентны и обозначаются f ∼ g.
Свойства эквивалентности.
1. Рефлексивтость (f ∼ f)
2. Симметричность (f ∼ g , g ∼ f)
3. Транзитивность (f ∼ g&g ∼ h =⇒ f ∼ h)
Из закона инерции для нормальных форм вытекает признак эквивалентности квадра-тичных форм: Две квадратичные формы эквивалентны между собой только если равныих ранги и сигнануры.
37
9.1 Критерий Сильвестра.
Определение. Все квадратичные формы f (~x) = xTAx называются положительной(отрицательной) определенной, если ∀~x f (~x) > 0 (f (~x) < 0).
Замечание. Называется неотрицательной(неположительной) если ∀~x f (~x) ≥ 0 (f (~x) ≤ 0)причем ∃~y f (~y) = 0.
Замечание. Называется знакопеременной или неопределенной ∃~x f (~x) > 0 & ∃~y f (~y) <0.
Критерий типа квадратичногй формы в зависимости от собственгого занчетия мат-рици кватратичной формы.
1. Если ∀λi > 0 i = 1, n =⇒ ∀~x f (~x) > 0 =⇒квадратичная форма положительноопределена.
2. Если ∀λi < 0 i = 1, n =⇒ ∀~x f (~x) < 0 =⇒квадратичная форма отрицательноопределена.
3. Если ∃λi > 0 & ∃λj < 0 тогда ∃~x f (~x) > 0 & ∃~y f (~y) < 0 и тогда форма знакопе-ременна.
4. Если хотябы 1но значение λi = 0 то ∃~x 6= 0 f (~x) = 0 - то тогда квадратичнаяформа является вырожденной.
Определение. Угловыми(Главныви) минорами квадратной матрици n-ого порядка на-зывают миноры, расположенные на пересечении первых k строк и первых k столбцов.
Теорема. (Критерий Сильвестра)1) Для того чтобы квадратичная форма f (~x) = xTAx была положительно опреде-
ленной необходимо и достаточно чтобы все последовательные угловые миноры мат-рици А были положительны.
2) Для того чтобы квадратичная форма f (~x) = xTAx была отрицательно опре-деленной необходимо и достаточно чтобы значи послежовательных угловых миноровчередавались начиная с минуса.
Доказательство. (“Мы его не будем проводить, ну оно такое длинное” - Липина). Чтд!
Пример. f (~x) = 2x21 + x22 + 11x23 − 2x1x3 + 4x1x3 − 6x2x3
A =
2 −1 2−1 1 −32 −3 11
41 = 2 > 0
42 =
∣∣∣∣ 2 −1−1 1
∣∣∣∣ = 1 > 0
43 =
∣∣∣∣∣∣2 −1 2−1 1 −32 −3 11
∣∣∣∣∣∣ =? > 0
38
9.2 Пары квадратичных форм.
Пусть у нас даны 2 квадратичные формы: f (x1 . . . xn) и g (x1 . . . xn) записанные в од-ном базисе. Если 1на из этих 2х форм будет положительно опредлеленной , то тогдасуществует некоторое невырожденное линейное преобразование , которое одну формуприводит к ......
10 Кривые второго порядка
10.1 Окружность
Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся наодинаковом расстоянии от точки, называемой центром окружности.
Выведем уравнение окружности из формулы расстояния между 2мя точками. О -центр окружности, М - чочка окружности, R - расстояние от точки окружности до еецентра|MO| = R√x2 + y2 = R
x2 + y2 = R2 - Каноническое уравнение окружности.При переносе центра окружности из точки (0; 0) в точку (a; b), уравнение окружности
примет вид: (x− a)2 + (y − b)2 = R2 .
Пример. Составить уравнение окружности, которая проходит через началот коорди-нат, и центр ее находится на одинаковом расстоянии от 2х прямых, прямая 1 : 2x−y+1 =0 , прямая 2: 2x− y − 1 = 0.
M1 (0, 7) ; M1 ∈прямой 1
d = 2R =|2 · 0− 1 · 7− 7|√
22 + (−1)2=
14√5
=⇒ R =7√5
(x− a)2 + (y − b)2 =49
5a2 + b2 =
49
52a− b+ 1√
5= ± 7√
5a2 + b2 =49
52a− b+ 7 = ±7a2 + b2 =
49
5[b = 2a
b = 2a+ 14
b = 2a
a2 =49
5b = 2a+ 14
5a2 + 56a+ 196 =49
5
39
25a2 − 280a+ 931 = 0
D = 19600− 23500 < 0 =⇒
a = ±7
5
b = ±14
5
=⇒(x± 7
5
)2
+
(y ± 14
5
)2
=49
5
10.2 Элипс
Определение. Множество точек плоскости, сумма расстояния от 2x данных точек,называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фо-кусами.
Выведем каноническое уравнение Элипса.|F1F2| = 2c ; c > 0|MF1|+ |MF2| = 2a ; a > cr1 = |MF1|r2 = |MF2|r1, r2 - фокальные радиусы точки М.√
(x− c)2 + y2 = a− xc
aa− xc
a≥ 0
x2 − 2xc+ c2 + y2 = a2 − 2xc+x2c2
acx2 (a2 − c2)
a2+ y2 = a2 − c2
Возьмем за b2 = a2 − c2
x2
a2+y2
b2= 1 (2)
(2) - Каноническое уравнение Элипса.a, b - полуоси Элипса.O~x, O~y - оси симметрии Элипса.Точки пересечения Элипса с осями называются верщинами Элипса. (±a; 0) ; (0;±b)Эксцентриситетом Элипса называется отношение половины расстояния между фо-
кусами к большой полуоси. e =c
a; a > b
(e =
c
b; b > a
)c < a0 < e =
c
a< 1
e =
√a2 − b2a
=
√1−
(b
a
)2
, чем больше a −→∞, тем больше e −→ 1.
Определение. Две прямые, перпендикулярные большей оси Элипса,и расположенныесимметрично относительно начала координат на расстоянии
∣∣∣ae
∣∣∣ называются директри-
сами Элипса.∣∣∣ae
∣∣∣ > 1
Замечание. Уравнение касательной к Элипсу, заданному уравнением (2) в точкиA (x1, y1)
Элипса имеет вид:xx1a2
+yy1b2
= 1
40
Замечание. Уравнение Элипса со смешенным центром в точку A (x1; y1) имеет вид:(x− x1)2
a2+
(y − y1)2
b2= 1
Пример. Составить уравнение Элипса фокусы которого расположены на оси абсцис,симетрицчна относительно начала координат. |F1F2| = 6 и e = 0.6
x2
a2+y2
b2= 1 ; a > b
c = 3
e =c
a=⇒ 0.6 =
3
a=⇒ a = 5 =⇒ b =
√a2 − c2 = 4 =⇒ x2
25+y2
16= 1
Пример. 9x2 + 5y2 = 45x2
5+y2
9= 1 =⇒ a =
√5 ; b = 3 =⇒ a > b на оси O~x
c = 2 , F1F2 (0;±2)
e =2
3
10.3 Гипербола
Определение. Множество точек плоскости, модуль разности рассстояний которых додвух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньше чем расстояниемежду фокусами.
M (x, y) - точка Гиперболы.|F1F2| = 2c|r1 = r2| = 2a ; 2a < 2c ; c > a
1. r1 > r2
r1 − r2 = 2a√(x+ c)2 + y2 −
√(x− c)2 + y2 = 2a
c2 − a2 = b2 ; b > 0
−x2b2
a2+ y2 = −b
x2
a2− y2
b2= 1 - Каноническое уравнение Гиперболы.
2. r2 > r1
Тоже самое.
На основе произведенных расчетов, можно дать следующее определение Гиперболы:
Определение. Гипербола, это кривая 2го порядка, которая задается уравнениемx2
a2−
y2
b2= 1.
Замечание. a,b - вещественная и мнимая полуось. Вещественная, это большая из осей,мнимая, меньшая из осей.
41
Замечание. Гипербола симетрична относительно начала координат(центра симметри) ипрямых O~x и O~y(осей симметрии).
Замечание. Точки пересечения графика Гиперболы с осями координат называются вер-шинами Гиперболы.
Замечание. Прямоугольник ABCD ; A (a, b) ; B (a;−b) ; C (−a;−b) ; D (−a; b) назы-вается основным прямоугольником Гиперболы.
Определение. Эксцентрисететом Гиперболы называется отношения половины рассто-яния между фокусами к вещественной полуоси. e =
c
aВычислим осимптоты Гиперболы.
limx−→+∞
b · aa(x+√x2 − a2
) = 0
y = ±bxa
- осимптоты Гиперболы.
Теорема. Эсли r это расстояние от произвольной точки ЭлипсаM , а d - это рассто-яние до соответствующей фокусу директрисы, то
r
d= e
Определение. Две прямые, перпендикулярные вещественной оси Гиперболы и сим-метричные относительно начала координат, и которые находятся на расстоянии
∣∣∣ae
∣∣∣ на-зываются директрисами Гиперболы.
∣∣∣ae
∣∣∣ < 1.
На основе произведенных вычислений можно дать еще 1но определение Гипербьолы.
Определение. Множество точек плоскости, для которых отношения расстояний дофокуса и соответствующей ей директрисы равно e называется Элипсом, если e < 1 илиГиперболой если e > 1.
Пример. Составить уравнение Жлипса, фокусы которого расположенны на оси абс-цисс, симметрично начала координат, если дана точка Элипса M
(√5; a).
x2
a2+y2
b2= 1 ; a > b
5
a2+
4
b2= 1
2a
e= 10 5
a2+
4
b2= 1
a2
c= 5
a4 = 25 (a2 − b2)
b2 =25a2 − a4
255
a2+
100
a2 (25− a2)= 1
125− 5a2 + 100 = 25a2 − a4a4 − 30a2 + 225 = 0a2 = 15
42
b2 =15− 10
25= 6
Ответ:x2
15+y2
6= 1
10.4 Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных отданной точки, называемой фокусом, и и данной прямой, называемой директрисой.
Выведем каноническое уравнение параболы.p - расстояние от фокуса до директрисы, называется параметром параболы (p ≥ 0).x = −p
2- директриса параболы.
Точка, находящаяся на середине минимального отрезка между фокусом и директри-сой называется вершиной параболы.
Выведем каноническое уравнение параболы.
x+p
2=
√(x− p
2
)2+ y2 ; x ≥ −p
2
x2 + xp+p2
4= x2 − xp+
p2
4+ y2
y2 = 2px - каноническое уравнение параболы.x ≥ 0 из y2 = 2px√(
x− p
2
)2+ y2 =
√x2 − px+
p2
4+ 2px =
√x2 + px+
p2
4=
√(x+
p
2
)2=∣∣∣x+
p
2
∣∣∣Определение. Парабола, это прямая 2го порядка, которая задаетсмя уравнением y2 =2px ,где p - параметр Парабола.
Замечание. Парабола не имеет центра.
Пример. Составить уравнение параболы, если F (7; 2) а уравнение директрисы имеетвид x− 5 = 0.
(y − 2)2 = 4 (x− 6)
10.5 Общее уравнение кривой 2го порядка.
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Px+ 2Ey + F = 0 (3)
A, B, C, D, E, F - константы.A2 +B2 + C2 6= 0(3) - Общее уравнение кривой 2го порядка.
Лемма. Пусть в прямоугольной системе координат кривая 2го порядка задается урав-нением (3) и AC − B2 6= 0. Тогда с помощью парадельного переноса поворота коорди-натных осей можно получить A′ (x′′)2 + C ′ (y′′)2 + F ′ = 0.
Доказательство. ∃O′ (x0, y0){x′ = x− x0y′ = y − y0
43
{x = x′ + x0
y = y′ + y0
A (x′ + x0)2 + 2B (x′ + x0) (y′ + y0) + C (y′ + y0) . . .
A (x′)2
+ 2Bx′y′ + C (y′)2
+ 2x′ (Ax0 +By0 +D) +
+2y′ (Bx0 + Cy0 + E) + Ax20 + 2Bx0y0 + Cy20 + 2Px0 + 2Ey0 + F = 0
Ax20 + 2Bx0y0 + Cy20 + 2Px0 + 2Ey0 + F = F ′{Ax0 +By0 +D = 0
Bx0 + Cy0 + E = 0(4)
4 = AC −B2 6= 0(x0; y0)- центр кривой 2го порядка.(4) - уравнение центра кривой 2го порядка.A (x′)2 + 2Bx′y′ + C (y′)2 + F ′ = 0Теперь повернем график на хз какой угол чтобы избавиться от 2Bx′y′.{x = x′ cosα− y′ sinαy = x′ sinα + y′ cosα
A (x′ cosα− y′ sinα)2+2B (x′ cosα− y′ sinα)·(x′ sinα + y′ cosα)+C (x2 sinα + y2 cosα)2+
F ′ = 0
(x′)2 (
cos2 α + 2B cosα sinα + C sin2 α)
+
+ (y′)2 (A sin2 α− 2B sinα cosα + C cos2 α
)+
+2x′y′(A cosα sinα +B cos2 α−B sin2 α− C sinα cosα
)+
+F ′ = 0
A cosα sinα +B cos2 α−B sin2 α− C sinα cosα = 0cos2 α + 2B cosα sinα + C sin2 α = A′
A sin2 α− 2B sinα cosα + C cos2 α = C ′
2 cos 2α− A− C2
sin 2α = 0
A 6= C
tg2α =2B
A− C
α =1
2arctg
2B
A− CA = C
– B = 0
– cos 2α = 0
α =π
4
44
1. AC −B2 > 0 - Эллептический тип
2. AC −B2 < 0 - Гиперболический тип
3. AC −B2 = 0 - Параболический тип
A′C ′ − (B′)2 = AC −B2
10.5.1 Кривые Элептического типа
Ax2 + Cy2 + F = 0
1. AC > 0
(a) F = 0
Пара мнимых пересекающихся прямых.
(b) F < 0
A > 0x2
−FA
+y2
−FB
= 1 ;x2
a2+y2
b2= 1
A < 0x2
a2+y2
b2= −1 - Мнимый Элипс
(c) F > 0 - тоже самое.
2. AC < 0
(a) F = 0
Ax2 +By2 = 0
A > 0
a2x2 − b2y2 = 0[ax− by = 0ax+ by = 0
Это пара вещественных пересекающися прямых.
Элептический тип:
1. Мнимый Элипс
2. Элипс
3. Пара мнимых пересекающихся прямых.
45
Ax2 + Cy2 = −FF > 0A > 0x2
−FA
+y2
−FB
= 1
−FA< 0 ; −F
C> 0
y2
b2− x2
a2= 1
Перенесем из Леммы 2й способ.Ax2 + Cy2 + 2Dx+ 2Ey + F = 0AC −B2 = 0 ; B = 0 =⇒ AC = 0 ; (A = 0;C 6= 0)Cy2 + 2Dx+ 2Ey + F = 0
C
(y2 +
2E
Cy +
E2
C2
)= −2Dx− F +
E2
C2
C
(y +
E
C
)2
= −2Dx− F +E2
C2
11 Поверхности 2го порядка(19 штук)Выводить каноничесскиу уравнения мы не будем
11.1 Эллипсоид.
Определение. Элипсоидом называется повнрхность 2го позядка, которая в неуоторой
декартовой система координат задается уравнениемx2
a2+y2
b2+z2
c2= 1, a,b,c-полуоси
Элипсоида. Элипсоид симметричен относительно начала координат, и относительно по-лоскостей, Начало координат - центр Элипсоида, А проскости - плоскостясми симметрииЭллипсоида.
Построим сечение Элипсоида плоскостями, паралелтьными координатным плоско-стям.
Зафиксируем z = k (const)x2
a2+y2
b2= 1− k2
c2
1. |k| > c
Несуществует
2. |k| = c
(0; 0;±c)
3. |k| < c
1− k2
c2> 0
46
1− k2
c2=
(√1− k2
c2
)2
a∗ = a
√1− k2
c2
b∗ = b
√1− k2
c2
x2
a2∗+y2
b2∗= 1 - Это Эллипс.
Замечание. Чем больше мы двигаемся от O~x~y тем меньше полуоси этого Эллипса
Утверждение. a и b - называются полуосями Эллипса.Замечание. Если a = b то сечение плоскостью z = k ; |k| < c будут получаться окруж-ности. Такой Элипсоид называется Элипсоидом вращения. И он получается вражением
Эллипсаx2
a2+z2
c2= 1 построреного в Oxz. Частным случваем Элипсоида, когда a = b = c
будет сфера, которая задается уравнением x2 + y2 + z2 = a2.
11.2 Однополостный Гиперболоид.
Определение. Однополостным Гиперболоидом называется поверхрость 2го порядка,
которая в некоторой системе координат задаетмся уравнениемx2
a2+y2
b2− z2
c2= 1.
Построем сечение его z = h (const)
x2
a2+y2
b2= 1 +
h2
c2≥ 0 ; 1 +
h2
c2=
(√1 +
h2
c2
)2
a∗ = a
√1 +
h2
c2
b∗ = b
√1 +
h2
c2x2
a2∗+y2
b2∗= 1
В сечении будут получаться Элипсы. Чем больше мы двинаемся от Oxy тем боль-ше полуоси Элипса. Он симметрично относительно начала координат и относитильнокоординатных плоскостей. Если a = b то это будет Гиперболоид вращение и в сечениибудет не Элипсы, а окружности.
Рассмотри сечение y = h (const)x2
a2− z2
c2= 1− h2
b2
1. 1− h2
b2≥ 0
x2
a2∗− z2
c2∗= 1
a∗ = a
√1− h2
b2
47
c∗ = c =
√1− h2
b2
2. 1− h2
b2< 0
x2
a2∗− z2
c2∗= 1
a∗ = a
√h2
b2− 1
c∗ = c =
√h2
b2− 1
3. 1− h2
b2= 0
Пара пересекащщихся вещественных прямых
11.3 Двуполостный Гиперболоид.
Определение. Двуполостным Гиперболоидом называется поверхность 2го порядка, ко-
торая в некоторой системе кординат заадется уравнениемx2
a2+y2
b2− z2
c2= −1
Делаем сечения z = h (const)x2
a2+y2
b2=h2
c2− 1
Замечание. Он существет толькот когда|h| ≥ c
1. |h| = c
(0; 0;±c)
2. |h| > c
a∗ = a
√h2
c2− 1
b∗ = b
√h2
c2− 1
x2
a2∗+y2
b2∗= 1
y = h (const)x2
a2− z2
c2= −1− h2
b2x2
a2∗− z2
b2∗= −1
a∗ = a
√1 +
h2
b2
c∗ = c
√1 +
h2
b2
48
Замечание. Чем больше h тем больше будут стороны отновного прямоугольника Гипер-болы.
11.4 Элептический Параболоид.
Определение. Эллепттическим Параболоидом называется поверхность 2го порядка,
которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением 2z =x2
p+
y2
q; p, q > 0
Построем Элептический параболоид
Замечание. Параболоид росположен только там где z ≥ 0
z = h (const) h ≥ 0h = 0(0; 0; 0)h > 0a∗ =
√2ph
b∗ =√
2qhx2
a2∗+y2
b2∗= 1
y = h (const)x2
p= 2z − h2
qx2
p= 2
(z − h2
2q
)x2 = 2p
(z − h2
2q
)Замечание. Чем больше h тем больше параболы.
Замечание. Он не имеет центра симметрии, но он симетричем относительноOxz , Oyz.Еслиp = q то будут получаться не Элипсы а Окружноти, и это будет пороболоид вращения.
11.5 Гиперболический параболоид.
Определение. Гиперболический параболоидом называется поверхность 2го порядка,
которая в некоторой системе координат задается 2z =x2
p− y2
q.
Рассотрим сечение плоскостью z = h (const)x2
a2∗− y2
b2∗= 1 ; a∗ =
√2ph ; b∗ =
√2qh ; h > 0
x2
a2∗− y2
b2∗= −1 ; a∗ =
√−2qh ; b∗ =
√−2ph ; h < 0
x√p− y√q
= 0
x√p
+y√q
= 0; h = 0
49
y = h (const)x2
p= 2z +
h2
q
x2 = 2p
(z +
h2
2q
)x = h (const)y2
q=h2
p− 2z
y2 = −2q
(z − h2
2p
)Вывод. Это сидловидная поверхность.
11.6 Классификация кривых 2го порядка с использованием ин-вариантов.
I1 = a1,1 + a2,2 = a′1,1 + a′2,2
I2 =
∣∣∣∣ a1,1 a1,2a1,2 a2,2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a′1,1 00 a′2,2
∣∣∣∣ = a′1,1a′2,2
I3 =
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a1,2 a2,2 a2,3a1,3 a2,3 a3,3
∣∣∣∣∣∣ = a′1,1a′2,2a
′3,3
I2 6= 0a1,1x
2 + a′2,2y2 + a′3,3 = 0
a′1,1x2 + a′2,2y
2 = −I3I2
(5)
1. I2 > 0
a′2,2 > 0
x2(√I3
a′1,1I2
)2 +y2(√I3
a′2,2I2
)2 = −1
I3 < 0
x2(√− I3a′1,1I2
)2 +y2(√− I3a′2,2I2
)2 = 1
I3 = 0
Вещественная точка/Пара мнимых пересекающихся примых
2. I2 < 0
a′1,1 > 0 =⇒ a′2,2 < 0
I3 = 0
. . .
50
I3 < 0
x2(√− I3a′1,1I2
)2 −y2(√I3
a′2,2I2
)2 = 1
I3 > 0
x2(√I3
a′1,1I2
)2 −y2(√− I3a′2,2I2
)2 = −1
3. I2 = 0
Значит I1 6= 0.
Доказательство. a1,1 = −a2,2a1,1a2,2 − (a1,2)
2 = −a22,2 = −(a22,2 − a21,2
)= 0
Значит это кривая не 2го порядка
a′1,2 = 0 a′1,1a′2,2 = 0
a′1,1 = 0 I1 = a′2,2 6= 0
I1y2′ + 2a1,2
′x′ + 2a2,3′y′ + a3,3 = 0
I1
(y′ +
a′2,3I1
)2
+ 2a′1,3x′ + a3,3 −
(a′2,3)2
I1= 0
a′1,3 = 0(y′ +
a′2,3I1
)2
=
(a′2,3)2
I21− a2,3
I1
A > 0 Пара паралельных примых.
A < 0 Пара мнимых паралельных прямых.
a′1,3 6= 0(y′ +
a′2,3I1
)2
=−2a′1,3I1
(x−
(a′2,3)2
I1a′1,3
)+
a3,3I1a′1,3
(y′′)2 =−2a′1,3I1
x′′ Парабола.
a21,1x2 . . .f (x, y) = a1,1x
2 + 2a1,2xy + a2,2y2
A =
(a1,1 a1,2a1,2 a2,2
)~e1, ~e2, (~e1, ~e2) = 0, |~e1| = |~e2| = 0(A− λ1E) ~e1 = 0(A− λ2E) ~e2 = 0
51
(xy
)= Q
(x1y1
)λ1x
2 + λ2y21 + 2a′1,3x1 + 2a′2,3y1 + a3,3 = 0
λ2
(x1 +
a′1,3λ1
)2
+ λ2
(y1 +
a′2,3λ2
)2
+ a3,3 −(a′1,3)2
λ1−(a′2,3)2
λ2= 0
Пример. 14x2 + 24xy + 21y2 − 4x+ 18y − 139 = 0f (x, y) = 14x2 + 24xy + 21y2
A =
(14 1212 21
)(14− λ) (21− λ)− 144 = 0λ2 − 35λ+ 150 = 0(λ− 5) (λ− 30) = 0
1. λ1 = 5(9 1212 16
)∼ (3 4)
~f1 = (4; −3)T
~e1 =
4
5
−3
5
2. λ2 = 30(
−16 1212 −9
)∼ (4 − 3)
~f2 =
(34
)
~e2 =
3
54
5
(xy
)=
4
5
3
5
−3
5
4
5
( x′
y′
) x =
4
5x′ +
3
5y′
y = −3
5x′ +
4
5y′
5 (x′)2 + 30 (y′)2 + x′(−16
5− 54
5
)+ y′
(−12
5+
72
5
)− 139 = 0
5 (x′)2 + 30 (y′)2 − 14x′ + 12y′ − 139 = 0
5
(x′ − 7
5
)2
+ 30
(y′ +
1
5
)2
− 139− 49
5− 6
5= 0
5
(x′ − 7
5
)2
+ 30
(y′ +
1
5
)2
= 150
52
x′′ = x′ − 7
5
y′′ = y′ +1
5(x′′)2
30+
(y′′)2
5= 1
a′1,1 + a′2,2 = 35
a′1,1a′2,2 =
∣∣∣∣ 14 1212 21
∣∣∣∣ = 150
a′1,1a′2,2a
′3,3 =
∣∣∣∣∣∣14 12 −212 21 9−2 9 −139
∣∣∣∣∣∣ = {Долго вычислять} = . . .
Предложение. Покажем что цилиндрическая поверхность с обрахующими паралель-ными оси Oz задается уравнением f (x, y) = 0
Доказательство. Проведем образующие цилиндрической поверхности. Возьмем точкуM (x0, y0, z), она лежит на прямой пааралельной оси Oz . Направляющий вектор прямой~a = {0; 0; 1}Возьмем еще 1ну точку M2 (x0, y0, z1).
Определение. Конусом 2го порядка называется поверхность, которая в некоторой пря-
мокугольной системе координат задается уравнерниемx2
a2+y2
b2− z2
c2= 0.
z = constz = 0 (0, 0, 0)z = h 6= 0
a∗ = a
√|h|c
b∗ = b
√|h|c
Координатные плоскасти яялются плоскостями сиимерии конуса 2го порядка, а на-чало координат - цен\тром симметрии.
Покажем что коннус 2го порядка полноятью состоит их прямых, проходящих черезначало колординат.
Пусть M0 (x, y, z) - произвольная точка конуса.
Уравнение пряямой проходящее через начало координат и точкуM0 будит
x = x0ty = y0tz = z0t
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 0
x20t2
a2+y20t
2
b2− z20t
2
c2= 0
Тоесть прямые, которые полностью лежат на конусе называются образующими. Се-чением конуса 2го порядка плоскостями z = const являютися эллипсы
Если сечения проводится z = 0 то сенчение точка, (0; 0; 0) - вырожденный Эллипс.
Определение. Прямая целиком лежащая на поверхности 2го порядка называется об-разующей кроме, конуса и целиндра, поверхностей, состоящих из образующих - этооднополостный гиперболоид, гиперболоид, пороболоид.
53
Рассмотрим однополостныйx2
a2+y2
b2− z2
c2= 1
L :
x
a− z
c= k
(1− y
b
)k(xa
+z
c
)= 1 +
y
b
- прямая, линии пересечения плоскостей.
Перемножим =⇒ K
(x2
a2− z2
c2
)= K
(1− y2
b2
)=⇒ x2
a2+y2
b2− z2
c2= 1
Если K = 0 =⇒x
a− z
c= 0
1 +y
b
=⇒(xa− z
c
)(xa
+z
c
)=(
1 +y
b
)(1− y
b
)
Еще прямая : L∗
x
a− z
c= λ
(1 +
y
b
)λ(xa
+z
c
)= 1− y
bL ∩ L∗, и они лежат на однополиом.Аналогичнор моржнео показать, что в гиперболоидном параболоиде можно пока-
зать.z = λ
(xa
+y
b
)и λ =
x
a− y
b, где z =
x2
a2− y2
b2- гиперболоидный параболоид.
Но z =x2
2p− y2
2q=⇒
z = λ
(x√2p± y√
2q
)λ =
x√2p∓ y√
2q, λ − const
11.7 Цилиндрические поверхности.
Возьмем плоскость Oxy некоторую кривую L : f (x, y) = 0. Через каждую точку кри-вой L проведем прямую, паралельную оси z. Множество всех этих прямых образуютцилиндрическую поверхность. Кривая L лежащая в плоскости Oxy - направляющаяцилиндрической поверхности. Прямые называются образующми. Если кривая L - за-мкнутая, то поверхность называется цилиндром.
~a = ~N = {0, 0, 1}x− x0
0=y − y0
0=z − z0
1{x = x0
y = y0x2 + y2 = 1
Замечание. При пересечении поверхностей 2го порядка будут получаться кривые 2гопорядка.
11.8 Коническая поверхность второго порядка
Определение. Конусом называется поверхность, которая в некоторойпрямоугольной
системе координат задается уравнениемx2
a2+y2
b2− z2
c2= 0
z = const
z = 0 =⇒ Получается только 1на точка (0, 0, 0)
54
z = k 6= 0 =⇒ получим эллипсы с полуосями ax =
√|h|c
и bx = b
√|h|c.
Координатные плоскости являются для конуса еще и плоскостями симметрии, а началокоординат - это центр симметрии.
Покажем что конус полностью состоит из прямых, пряходящих через начало коор-динат.
M0 (x0, y0, z0) - точка конуса.
OM0 :
x = x0t
y = y0t
z = z0t
=⇒ t2x20a2
+t2y20b2− t2z20
c= 0 =⇒ ∀t
x20a2
+y20b2− z20c2
= 0
То есть прямые которые полностью режат на конусе называются образующими.Сечения конуса 2го порялка плоскостями z = const есть элипсы, если z = 0 то
сечение точка (0, 0, 0), выражденный элипс.
Определение. Прямая, целиком лежащая на поверхности 2го порядка, называется об-разующей.
Замечание. Кроме конуса и цилиндра, состоящих из образующих, есть еще такие, какоднополостный гиперболоид или гиперболический параболоид.
Рассмотрим однополостный гиперболоид.x2
a2+y2
b2− z2
c2= 1
L :
x
a− z
c= k
(1− y
b
)k(xa
+z
c
)= 1 +
y
b
- прямая, линия пересечения полоскостей
Перемножим k
(x2
a2− z2
c2
)= k
(1− y2
b2
)=⇒ x2
a2+y2
b2− z2
c2= 1
Если k = 1 =⇒x
a− z
c= 0
1 +y
b
=⇒(xa− z
c
)(xa
+z
c
)=(
1 +y
b
)(1− y
b
)Еще прямая:
L∗ :
x
a− z
c= λ
(1 +
y
b
)λ(xa
+z
c
)= 1− y
b
L ∩ L∗ - и они лежат на однополостном.
Аналогично можно показать, что в гиперболическом параболоиде можно показать:
z = λ(xa
+y
b
)и λ =
x
a− y
b, где z =
x2
a2− y2
b2- гиперболический параболоид.
Но z =x2
2p− y2
2q=⇒
z = λ
(x√2p± y√
2q
)λ =
x√2p∓ y√
2q
, λ− const
11.9 Это вроде относится к крявым 2го порядка, но хз куда этовпихивать.
При паралельном переносе.
55
a′1,3 = a1,1x0 + a1,2y0 + a1,3a′2,3 = a1,2x0 + a2,2y0 + a2,3
a′3,3 = a1,1x20 + 2a1,2x0y0 + a2,2y
20 + 2a1,3x0 + 2a2,3y0 + a3,3 = x0 (a1,1x0 + a1,2y0 + a1,3) +
+ y0 (a1,2x0 + a2,2y0 + a2,3) + a1,3x0 + a2,3y0 + a3,3 =(a′1,3 + a1,3
)x0 +
(a′2,3 + a2,3
)y0 + a3,3
∣∣∣∣∣∣a′1,1 a′1,2 a′1,3a′1,2 a′2,2 a′2,3a′1,3 a′2,3 a′3,3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a′1,3a1,2 a2,2 a′2,3a′1,3 a′2,3 x0
(a′1,3 + a1,3
)+ y0
(a′2,3 + a2,3
)+ a3,3
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a′1,3a1,2 a2,2 a′2,3a1,3 a2,3 x0a1,3 + y0a2,3 + a3,3
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a1,2 a2,2 a2,3a1,3 a2,3 a3,3
∣∣∣∣∣∣При повороте.a′1,3 = a1,3 cosα + a2,3 sinαa′2,3 = −a1,3 sinα + a2,3 cosαa′3,3 = a3,3
∣∣∣∣∣∣a′1,1 a′1,2 a′1,3a′1,2 a′2,2 a′2,3a′1,3 a′2,3 a′3,3
∣∣∣∣∣∣ = a′1,3
∣∣∣∣ a′1,2 a′2,2a′1,3 a′2,3
∣∣∣∣− a′2,3 ∣∣∣∣ a′1,1 a′2,2a′1,3 a′2,3
∣∣∣∣+ a′3,3I2
= . . . =
= a1,2a1,3a2,3 − a1,3a1,3a2,2 + a1,2a1,3a2,2 − a1,1a2,3a2,3 +
+ a3,3I2 = . . . =
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a1,2 a2,2 a2,3a1,3 a2,3 a3,3
∣∣∣∣∣∣11.10 Поверхности вращения.
Тут просто хз что писать, вод что я имею...
56
57
11.11 Общее теория поверхностей 2го порядка.
f (x, y, z) = a3,3z2 +a1,1x
2 +2a1,2xy+2a1,3xz+a2,2y2 +2a2,3yz+2a1,4x+2a2,4y+2a3,4z+a4,4
f (x, y, z) = 0 уравнение поверхностей 2го порядка если a21,1 + a21,2 + a22,2 + a22,3 + a23,3 +a21,3 6= 0
a3,3z2 + a1,1x
2 + 2a1,2xy + 2a1,3xz + a2,2y2 + 2a2,3yz - Группа старших коофицентов.
2a1,4x+ 2a2,4y + 2a3,4z + a4,4 - Линейная часть.Путем переноса попробуем избовиться от x : y : z
x = x′ + x0
y = y′ + y0
z = z′ + z0
=⇒ a1,1 (x′)2
+ a2,2 (y′)2
+ a3,3 (z′)2
+ 2a1,2x′y′ + 2a1,3x
′z′ + 2a2,3y′z′ +
+ 2x′ (a1,1x0 + a1,2y0 + a1,3z0 + a1,4) + 2y′ (a1,2x0 + a2,2y0 + a2,3z0 + a2,4) +
+ 2z′ (a1,3x0 + a2,3y0 + a3,3z0 + a3,4) + a′4,4 = 0
Где a′4,4 = f (x0, y0z0).
=⇒
a1,1x0 + a1,2y0 + a1,3z0 + a1,4 = 0
a1,2x0 + a2,2y0 + a2,3z0 + a2,4 = 0
a1,3x0 + a2,3y0 + a3,3z0 + a3,4 = 0
- уравнения центра.
4 =
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a1,2 a2,2 a2,3a1,3 a2,3 a3,3
∣∣∣∣∣∣ 6= 0 есть решение=⇒ поверхностиь центральная.
Если 4 = 0 =⇒ сначала поворот потом перемещение.Инварианты.
I1 = a1,1 + a2,2 + a3,3
I2 =
∣∣∣∣ a1,1 a1,2a1,2 a2,2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ a2,2 a2,3a2,3 a3,3
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ a3,3 a1,3a1,3 a1,1
∣∣∣∣I3 =
∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a1,2 a2,2 a2,3a1,3 a2,3 a3,3
∣∣∣∣∣∣I4 =
∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3 a1,4a1,2 a2,2 a2,3 a2,4a1,3 a2,3 a3,3 a3,4a1,4 a2,4 a3,4 a4,4
∣∣∣∣∣∣∣∣Замечание. Если I3 6= 0, то поворотом и переносом мы можем привести общее уравнениеповерхности 2го порядка к следующему уравнению a′1,1 (x′′)2+a′2,2 (y′′)2+a′3,3 (z′′)2+a′4,4 =0
a′1,1 0 0 00 a′2,2 0 00 0 a′3,3 00 0 0 a′4,4
=⇒ a′4,4 =I4I3
58
1. Если все коофиценты a′1,1 > 0, a′1,2 > 0, a′3,3 > 0, одного знака, а a′1,1 · a′4,4 < 0 =⇒a′4,4 < 0 - другого знака =⇒ Элипсоид.
Если a′4,4 > 0 - Мнимый элепсоид
Если a4,4 = 0 то это пара мнимых пересекающихся плоскостей.
2. Если a′1,1 > 0, a′2,2 > 0, a′3,3 < 0 то
a′4,4 = 0 - конус
a′4,4 > 0 - однополостный гиперболоид
a4,4 < 0 - двуполостный гиперболоид
3. Если a′1,1 > 0, a′2,2 > 0, a′3,3 = 0
a′4,4 > 0 - элиптический цилиндр
a′4,4 = 0 - пара мнимых плоскостей
a′4,4 < 0 - мнимый элептический цилиндр
4. a′1,1 > 0, a′2,2 < 0, a′3,3 = 0
a′4,4 6= 0 - гиперболический цилиндр.
a′4,4 = 0 - пара вещественных плоскостей.
5. a′2,2 = a′3,3 = 0, a1,1 > 0
a′4,4 = 0 - пара вещественных совподающих плоскостей
a′4,4 > 0 - пара паралельных мнимых плоскостей
a4,4 < 0 - пара паралельных вещественных плоскостей
Если I3 = 0 то тогдла уравнение примет вид a′1,1x2 + a′2,2y
2 + a′3,3z2 + 2a′1,4x + 2a′2,4y +
2a3,4z + a′4,4 = 0Пусть a′3,3 = 0 =⇒поли помых квa′1,1 (x′)2 + a′2,2 (y′)2 + 2a′′3,4 (z′)2 = 0a′1,1 > 0, a′2,2 = 0 - параболический цилиндрa′1,1 < 0, a′2,2 < 0 - гиперболиченский пороболоид.
12 ГруппыОпределение. Полугруппой называется множество, в котором определено действие,ставящее в соотвентствии каждой упорядоченной паре элементов данного множества3й элемент, называемый результатом. Дейтсвие предпологается ассоцеативно.
Определение. Группой называется подгруппа, если в ней существует нейтральный(e)элемент и обратный(a−1) элемент, такие что: a · e = e · a = a и a−1 · a = a · a−1 = e.
59
Пример. (Z,+) : e = 0, a−1 = −a - Группа(N,+) : - не Группа(Z, ·) e = 1 - не Группа
Определение. Абелевы группы - Комутативные группы.
Действие в группе это · (мультипливностивнося) или +(аддитивное). Аддитивнаязапись только для коммутотивных групп. Нейтральный элемент 1 или 0. Обратный a−1или -а.
Пусть Н - множество в котором определена бинарная операция, которая любой пареa и b сопостовляет в соответствии их произведение.
Теорема. Если действие ассоцеативно, тоесть Н - полугруппа, то произведение упо-рядоченных совокуп. элементов не зависит от порядка выполнения бинарной операции.
Доказательство. Назовем произведение, в котором сомножители присоеденяются по-ледовательно по 1му слева направо левонормированными. Докажем по индукции, чтопроизведение с любой расстоновкой скобок равно левонормированному.
1. При n = 3
(a1a2) a3 = a1 (a2a3)
2. n = k
a1a2 . . . ak =левонормированному произведению при любой расстановки скобок.
a1a2 . . . ak = (a1 . . . ap) · (ap+1 . . . ak)
В сулу индуктивности предположения, эти сомножители левонормированные.
Если p = k − 1 - очевидно, p < k − 1 - тривиально.
Если p < k − 1 то
a1a2 . . . ak = (a1 . . . ap) · (ap+1 . . . ak) = (a1 . . . ap) ((ap+1 . . . ak−1) ak)
Используя эту теорему можно записывать произведение элементов в группе без рас-становки скобок, и из этой теоремы следует, что ∀ элемента a a · a · . . . · a = an
12.1 Аксиомы группы
Теорема. Если в полугруппе существует левый нейтральные элемент e, такой чтоe · a = a и левый обратный элемент a−1 · a = e, то полугруппа является группой.
Доказательство. За a′ и a′′ обозначим левые обрантые элементы, для элемента a и a′соответственно.
Рассмотрим произведение
a′′ · a′ · a · a′ · a = a′′ · (a′ · a) · a′ · a= a′′ · e · a′ · a = a′′ · (e · a′) · a =
= a′′ · a′ · a = (a′′ · a′) · a = a · e = a
Рассмотри еще кое что a′′ · a′ · a · a′ = a′′ (a′ · a) · a′ = a′′ · e · a′ = a′′ · (e · a′) = a′′ · a′ = eЗначит левый оборатный элемент совподает с правым обратным элементом
60
Замечание. Из этой теоремы следует что полугруппа содержит только 1н левый ней-тральный элемент, так как любой левый нейтральный элемент равен выбранному право-му нейтральному элементы. Аналогично показывается что полугруппа содержит един-ственнный правый обратный элемент.
Теорема. В группе уравнений ax = b при заданных a и b имеет единственное решениеx = a−1 · b. Ну или ya = b то x = ba−1
Доказательство. x = a−1 · ba (a−1 · b) = (a · a−1) b = bx0 : ax0 = bx0 = a−1 (ax0) = a−1bТаким образом это уравнение имеет единственное решение. Аналогично для другого.
Определение. Группа(Полугруппа) называется конечной, если она состоит из конеч-ного числа элементов
Невырожденные квадратные матрици с вещественными элементами образуют груп-пу отностительно умножения. Эта группа не является абилевой, но является бесконеч-ной. Множество всех подстановок из всех элементов образуют неабилевую гркппу счислом элементов n!.
Определение. ПустьG - группа , аA,B ⊂ G - ее подмножества.A·B = {ab|a ∈ A, b ∈ B}Произведение подмножеств ассоцеативно. Если подмножество состоит их 1го элемента,то тогда B = {b} : AB = Ab
Через A−1 обозначают можество всех элементов, оборатным к элементом множестваА.
Замечание. Множество A−1 не является обратным к множеству А в смысле умножения.
12.2 Подгруппы
Определение. Подмножества H элементоы группы G называется подруппой, еслимоно само образует группу, относительтно действию G. a, b ∈ H =⇒ ab ∈ H
Покажем что нейтральный жлемент G будем нейтральным элементом из H так какe ∈ G, то существует обратный элемент a−1 ∈ G. Подмножестиво H само образует груп-пу, значит a−1 ∈ H =⇒ Нейтральный элемент группы пренадлежит любой ее подгруппе.
В силу единственности обратоного жлемента в группе следует что обратный элементa−1 к элементу а подгруппы H будет и обратным элементом к элементам а во всейгруппеG. Элементы имеющие обраные являют ся обратимыми. Таким образом еслиэлемент обратим в какой нибуть погдгруппы то он обратим и во всей группе.
12.3 Классы смежностей
Определение. Пусть H - подгруппа группы G . a ∈ G .Ha - левый класс смежно-сти группы G по подгруппе H. Между элементами подгруппы Н и элементами классасмежнотей устанавливаются взаимно однозначное соответствие.
61
∀z ∈ H ∃u = za u ∈ Ha a ∈ G ea = ae = au ∈ Ha ∃z ∈ H u = zau ∈ Ha ⊂ G ∃a−1 z = ua−1
Теорема. 2 левых классов смежностей группе G по родгруппе Н либо совподают либоне имеют общих жлементов.
Доказательство. Докажем сначала что если они имеют общий элемен то они совпода-ют.
G, H ⊂ Ga, b ∈ GHa и Hbx ∈ Ha x ∈ Hb x ∈ G∃Hxx ∈ Ha =⇒ ∃z ∈ H x = zaHx = H (za) = (Hz) a ∈ Hax = za =⇒ a = z−1xHa = H (z−1x) = (Hz−1)x ⊂ HxHa = HxHb = Hx
=⇒ Ha = Hb
Определение. Дезъюнктивным обьедитением называется обьеденение множеств, по-парно не имеющих общих элементов
Теорема. Группа является дезюнктивным объеденением левых классов смежностейпо подгруппе.
Доказательство. Возьмем ∀a ∈ G можно поставить в соответствии левый класс смеж-ностей. Если элемента а и b группы различны, то Ha и Hb либо не имеют общих элемен-тов либо совподают.... Поэтому группа является дезъюнктивным обьеденением левыхклассов смежностей по подшруппе.
Определение. Разбиение группы на левые классы смежности не имеющие общих эле-ментов называется разложением группы по подгруппе.
Если число левых классов смежности в разложение группы G по подгруппе H ко-нечно, то это число называется индексом подгруппы H в групппе G и огбозначаетсяG : H
Теорема. (Без доказательства) Пусть H - подгруппа группы G и K - подмножествоH и оно подгруппой группы G. Если Н имеет конечный индекс в G и К имеет конечныйиндекст в Н, то К имеет конечныйиндекс в G и он будет наъодится так (G : K) =(G : H) · (H : K).
Если подгруппа состоит только из 1го элементов, тио классами смежности будут яв-ляются одноэлементные множества из элементов группы. Поэтому (G : 1) равен порядкугруппы G
Теорема. (Без доказаетльства) Теорема ЛогранжаВо всякой конечнгой группе порядок его подгруппы является делителем порядка его
группы.
Доказательство. Оно тривиально.
62
12.4 Циклические группы
Определение. Группа, составленная положительными степенями 1го элемента а на-зывается циклической. Элемент а называется пораждающим.
Группа называется бесконечной(свободной) циклической если все ее елементы по-парно различны.
Однакот среди элементов циклической группы могут встречаться одинаковые.Порядком К элемента а циклической группы называется наименьший показатель
степени такой что aK = e.Если порядок элемента равен n, тоесть an = e , то среди элементов e, a1, a2 . . . an−1
нету одинаковыых.
12.5 Арифметика остатка.
Зафиксируем некоторое натуральное число N, которое будет назывть модулем. Еслиразность 2х натуральных чисел a и b делится нацело на N то числа a и b называютсяравные по модулю N. a = b ( mod N)
12 = 5 ( mod 7)24 = 0 ( mod 12)Будем исполдьзовать модуль N как обозначения оператора модуля на множестве
целых чисел, который вычисляет наименьшее натуральноечисло, сраынимое с даннымпо модулю N.
N = 35 = 20 = 3−5 = 1Множество всевозможных остатков от деления целых чисел на натуральное число
N. Множество остатков обозначим как Z/NZ или ZNНа множестве ZN есть 2 основные операции, это + и ·.
Пример. 11 ( mod 16) + 13 ( mod 16) = 24 ( mod 16) = 8 ( mod 6)11 ( mod 16) · 13 ( mod 16) = 143 ( mod 16) = 15
Операции по моулю N обладают следущими свойствами
1. Замкнутость сложения
2. Ассоцеативность сложения
3. Наличие нейтрального жлемента по сложению (0).
4. Наличие обратного элеента по сложению
5. Комутативность сложения
6. Замкнутость умножения
7. Ассоцеативность умножесния
8. Наличие нейтрального элемента по умноению (1).
63
9. Дистребудивность
10. (*) Коммутативность умножения.
Определение. Кольцом называется множество с 2мя операции + и ·, которые обла-дают свойствами 1-9. Если выполняется еще 1 свойство 10, то такое кольцо называетсякомутативным кольцом.
Множество остатков ZN является коммутативным кольцом, которое часто называеюткольцом вычетов по модулю N . Одной из главных задач является решение уравнениевида. ax = b ( mod N)
Пример. 7x = 3 ( mod 143)7x = 3 + 143k, k ∈ Z7x = 3 + 140k + 3k
x =3 (k + 1)
7+ 20k
x ∈ Zk + 1
7= p, p ∈ Z
k = 7p− 1, (k + 1)...7
k = 3 + 20 (7p− 1) = 143p− 20 = 143p+ 123− 143 = 1237 · 143− 140 ( mod 143) = −140 ( mod 143) = (3− 143) ( mod 143) = 3
Пример. 11x = 3 ( mod 143)11x = 3 + 143k
x =3
11+ 13k
Нет решений так как x /∈ Z
Пример. 11x = 22 ( mod 143)11x = 22 + 143kx = 2 + 13k0 ≤ 2 + 13k ≤ 142−2 ≤ 13k ≤ 1400 ≤ k ≤ 1011 решений
Существует критерий как определить если ли у уравнения этого вида решения икак их найти. Если наибольшие общий делитель для чисел a и n равен 1, то существуетровно 1но решение. Это решение может быть найдено с помощью промежуточного числаc, удовлетворяющему условию a · c = 1 ( mod N) и x = b · c ( mod N).
Пример. Относится к 1му примеру.7c = 1 ( mod 143)Вспоминаем теорию многочленов.
u (x) , v (x) ∃M1 (x) ,M2 (x)
M1 (x)u (x) +M2 (x) v (x) = NOD (u (x) , v (x))
Тоже самое только M1 = 7, M2 = 143
64
143 = 7 · 20 + 3 = (2 · 3 + 1) · 20 + 37 = 3 · 2 + 11 = 7− 3 · 2 = 7− 2 · (143− 7 · 20) = 7 · 41− 2 · 1431 = 7 · 41− 2 · 143 ( mod 143)7−1 ( mod 143) = 41x = 3 · 41 = 123
Если наибольший общий делитель для чисел a и N, а g - наибольший общий делительдля чисел a и N, b делится на g, то уравнение будет иметь g решений. Чтобы их найтинужно разделить исходное уравнение на g.
Во всех остальных случаях решений нету.a′ · x′ = b′ ( mod N ′)
a′ =a
g, b′ =
b
g, N ′ =
N
gax = b ( mod 143)x = x′ + iN ′, i = 0, g − 1
Пример. 11x = 3 ( mod 143)a = 11, N = 143NOD (11, 143) = 11 = gb не делится на g =⇒ Нет решений.
Пример. 11x = 22 ( mod 143)a = 11, b = 22, N = 143NOD (11, 143) = 11 = gb
g= 2 ∈ Z
x′ = 2 ( mod 13)x′ = 2x = 2 + i · 13, i = 0, 10
12.6 Мультиплекативние обратные по модулю N.
Число y называется обратным числу a по модулю N, если y · a = 1 ( mod N). y обозна-чается как a−1. Обратный элемент к а по модулю N существуют только в том случае,если a и N - взаимно простые. Особый интерес представляет случай простого модуля,поскольку при этом для любого ненулевого элемента а найдется единственное решениеуравнения a · x = 1 ( mod N).
p - простоеNOD (k, p) = 11 < k < p, k ∈ Nax = 1 ( mod N)1 < a < p
Определение. Полем называется множество с двумя операциями -умножением и сло-жением, которое обозначается (F, ·,+), обладающими свойствам:
1. Эти операции дистребутивны.
2. Это множество (F,+) образует абилеву группу с 1чным элементом 0.
65
3. Это множество (F\ {0} , ·), обзазуем абилеву группу с 1чным элементом 1.
Определение. Поле - камутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент име-ет обратный.
За множество Z∗N обозначим множество обратимых элементов ZN = {0, . . . , N − 1}.Z∗N = {1, . . . , N − 1}
Однако множество элементов 1 . . . N − 1 ∈ ZN будут оброатимыми только в томслучае, если N -простое число. В этом случае ZN - является конечное поле, котороедля случая N = p ( p -простое число) обозначается Fp и называется полем вычитов помодулю р.
Теорема. (КТО - Китайсткая теорема об остатках)
Система уравнений
{x = a ( mod N)
x = b ( mod M), имеет единственное решение по подулю
M ·N только тогда когда N и M - взаимно простые. Кроме того она дает общий видэтого решения.
Пример.
{x = 4 ( mod 7)
x = 3 ( mod 5)
x = 18 ( mod 35)x = 4 + 7k4 + 7k = 3 ( mod 5)Значит если просчитать то 4 + 2k = 3 ( mod 5)2k = (3− 4) ( mod 5)2k = −1 ( mod 5) = (4− 5) ( mod 5) = 4 ( mod 5)k = 2 ( mod 5)k = 2x = 18
12.7 Общая схема решения системы 2х уравнений.{x = a ( mod M)
x = b ( mod N)
Сначала находим число T = M−1 ( mod N)Потом находим число u = (b− a) · T ( mod N)x = a+ uM ( mod M ·N)
x ( mod N) = (a+ uM) ( mod N) = (a+ bTM − aTM) ( mod N) =
=(a+ bM−1M − aM−1M
)( mod N) = b ( mod N)
Пример. a = 4, M = 7, b = 3, N = 5NOD (M,N) = 1∃T 7T = 1 ( mod 5)7 = 5 · 1 + 25 = 2 · 2 + 1
66
1 = 5−2·2 = 5−2 (7− 5) = 5·3−2·7 ( mod 5) = −2·7 ( mod 5) = (3− 5) 7 ( mod 5) =3 · 7
T = 3u = (3− 4) 3 ( mod 5) = (−1) 3 ( mod 5) = 4 · 3 ( mod 5) = 2 ( mod 5)x = 4 + 2 · 7 ( mod 35) = 18 ( mod 35)
В общем случае КТО посвящяна решению систем из более 2х уравнений.x = a1 ( mod m1)
x = a2 ( mod m2)
. . .
x = ak ( mod mk)
M =k
Пi=1mi
NOD (mi,mj) = 1, i, j = 1, . . . , k, i 6= j
x =k
Σi=1aiMiyi ( mod M)
Mi =M
mi
yi = M−1i ( mod mi)
Пример.
x = 5 ( mod 7)
x = 3 ( mod 11)
x = 10 ( mod 13)a1 = 5, m1 = 7a2 = 3, m2 = 11a3 = 10, m3 = 13M = 1001M1 = 143M2 = 91M3 = 77y1 = 143−1 ( mod 7)143 · y1 = 1 ( mod 7)3y1 = 1 ( mod 7)7 = 3 · 2 + 11 = 7− 3 · 2 ( mod 7) = (−2) · 3 = (5− 7) · 3 = 5 · 3 ( mod 7)y1 = 591y2 = 1 ( mod 11)3y2 = 1 ( mod 11)11 = 3 · 3 + 23 = 2 · 1 + 11 = 3− 2 · 1 = 3− (11− 3 · 3) = 3 · 4− 11y2 = 477y3 = 1 ( mod 13)12y3 = 1 ( mod 13)13 = 12 · 1 + 11 = (13− 12) ( mod 13) = −12 ( mod 13) = 12 (12− 13) ( mod 13) = 12 · 12y3 = 12
67
x = 5·143·5+3·91·4+10·7·11 ( mod 1001) = 3575+1092+9240 = 13907 ( mod 1001) =894 ( mod 1001)
Определение. Поля F1 и F2 называются изоморфные если существует отображениеϕ переводяшее F1 в F2 такое что ϕ (α + β) = ϕ (α) + ϕ (β) и ϕ (αβ) = ϕ (α) · ϕ (β). ϕ -Изоморфизм. Он существует мужду 2мя любыми конечными полями, с одинаковым ко-личеством элементов. Все конечные поля совподают либо с целыми числами по просто-му модулю, либо с многочленами по модулю неприводимого многочлена(неприводиныймногочлен - многочлен, имеющий тоолько 2 делителя - себя и многочлен 0ой степени).
Теорема. (Без доказательства) Существует единственная(с точностью доизомор-физма) конечное поле с числом элементов равным степени простого числа.
12.8 Формальные подгруппы и нормальные группы
Элемент b группы g называется сопряженный к элементу а, если в g найдется такой gчто b = c−1ac
Определение. Подгруппа группы g называется нормальной(или инвариантной, илиделитетем группы g) если она с каждым элементом содержит все сопряженные.
В абилевой группе любая подгруппа нормальная. Там же каждый элемент сопряженс самому себе.
Из определения нормальной подгруппы следуе что н6ормальная подгруппа h группыg является нормальногй для любой подгруппы k содержащей h.
12.9 Классы смежностей.
Теорема. Если Н нормальная подгруппа группы G и c некоторый элемент из G, тоc−1Hc = H.
Доказательство. c−1Hc ⊂ HРассмотрим cac−1 = (c−1)
−1a (c−1) ∈ H
С другой стороны a = (c−1c) a (c−1c) = c−1 (cac−1) c ∈ c−1HcH ⊂ c−1Hc =⇒ c−1Hc ⊂ c−1Hc =⇒ c−1Hc = H
Теорема. Если Н нормальная подгруппа группы G и элемент c ∈ H, то cH = Hc
Теорема. Классы смежностей по формальной подгруппе образуют группу относи-тельно умножения подмножеств в группе. Еденицей этой группы является сама под-группа.
Доказательство. Пусть Gнормальная группа, Н - её нормальная подгруппа. Рассмот-рим 2 класса смежностей Ha · Hb = H (aH) b = H (Hab) = HHab = Hab. Потом рас-смотрим H (Ha) = (HH) a = Ha, H (aH) = H (Ha) = (HH) a = Ha. Рассмотрим(Ha−1) (Ha) = H (a−1H) a = H (Ha−1) a = H (a−1a) = H и сами (Ha) (Ha−1) = H.
Определение. Группа обрахованая классами смежностей группы G по нормальнойподгруппе Н называется фоктор-группой группы G по нормальной подгруппе H и обоз-наяается G/H.
68
Замечание. Определение фактор-группы можно сформулировать в терменах сравнения.2 элемента a1 и a2 будем называть сравнимыми пот подгруппе H если a1a
−12 ∈ H или
a1 ∈ Ha2. Если a1 ≡ a2 (H) , b1 ≡ b2 (H) то a1b1 = a2 (H) b2 (H) = (a2b2) (HH) = a2b2H.
a1 ∈ Ha2 =⇒ ∃z1 a1 = z1a2∃z2 a1 = z2a2
Определение. Если определить произведение классов смежностей как класс, содер-жаший произведение каких либо представителей этих классов, то определение будетсовподать с определением произведением классов смежностей как элементов фактор-группы.
12.10 Гомоморфизм.
Пусть G группа а H подгруппа и каждому элементу из G поставлен в соответствиинекоторый элемент из S, тоесть задано отображение из G в S.
Отображение ϕ : G −→ S называется гомоморфным или гомоморфизмом если про-изведению любых элементов из G соответствует произведению их образов. При этов непредпологается что отображенияе ϕ является взаимно неоднозначным.
Лемма. Если ϕ - гомоморфизм, переводящий группу G вгруппу или подгруппу S, тоϕ (G) является группой. Образом еденици группы G является еденица образа и взаимнообратным элементом группы G соответствует взаимно обратный образ.
Доказательство. ϕ (G) = Sa, b ∈ G ϕ (a) , ϕ (b) ∈ Sϕ (ab) = ϕ (a)ϕ (b)ab ∈ G ϕ (ab) ∈ SАссоциативность следует из ассецеативности действий в G и S.ϕ (a) = ϕ (1 · a) = ϕ (1)ϕ (a)ϕ (a) = ϕ (a · 1) = ϕ (a)ϕ (1)ϕ (1)- еденица в Sϕ (1) = ϕ (a−1a) = ϕ (a−1)ϕ (a) - левый образующийϕ (1) = ϕ (aa−1) = ϕ (a)ϕ (a−1) - правый образующий
Замечание. Если S полугруппа а не группа, то ϕ (1) можен не является еденичнымэлементом для всего множества S.
Определение. Если ϕ - гомоморфное отображение группы G на группу S то множествовсех элементов из G имеющих 1 и тот же образ x ∈ S называется полным прообразомэлемента x и обозначается ϕ−1 (x).
Определение. Полный прообраз еденицы группы S называется ядром гомоморфизма.
Лемма. (2) Ядро гомоморфизнома группы G на подгруппу S является полной нормаль-ной подгруппой группы G.
Доказательство. Обозначим за H ядро гомоморфизма группы G на группу S. Тоесть∀a, a ∈ H ϕ (a) = 1.
ϕ (a−1) является обратным элементом ϕ (a) тоесть ϕ (a−1) = (ϕ (a))−1 = 1, тоестьесли a ∈ H то a−1 ∈ H. Рассмотрим a, b ∈ H, тогда ϕ (ab) = ϕ (a)ϕ (b) = 1 · 1 = 1
Возьмем произвольные a ∈ H, c ∈ H, тогда ϕ (c−1ac) = ϕ (c−1)ϕ (a)ϕ (c) = (ϕ (c))−1 ϕ (a)ϕ (c).Тоесть (ϕ (c))−1 ϕ (a)ϕ (c) сопряжен к ϕ (a).
69
Лемма. К условиям леммы 2 полные прообразы элементов из S являются классамисмежностей по ядру гомоморфизма.
Доказательство. Если элементы а и б принадлежат одному классу смежности группыG пo подгруппе H то существует такой z ∈ H, такой что b = za. Тогда ϕ (b) = ϕ (za) =ϕ (z)ϕ (a) = ϕ (a).
ϕ (ab−1) = ϕ (a)ϕ (b−1) = ϕ (a) (ϕ (b))−1 = ϕ (a) (ϕ (a))−1 = 1
Теорема. (1я теореме о гоморфизма) Гомоморфный образ группы изоморфен ее фоктор-группе по ядру гомоморфизма.
Доказательство. Согласно лемме 3 между образами при гомомрфизме и элемента-ми фоктор-группы имеется взаимно однозначное соответствие. Оно сохраняется и приумножении. ϕ (Ha ·Hb) = ϕ (Ha) · ϕ (Hb).
Отображение группы G на фактор-группу группы G по подгруппе H (Н-нормальнаяподгруппа) заключается в том что каждому элементу группы G сопоставляется содер-жащий его классс смежностей. Это отображениме есть гомоморфизм и его ядро сов-подает с Н. Гомоморфизм группы G на фактор-группу G по нормальной подгруппе Hназывается естественным гомоморфизмом. Поэтому 1я теорема о гомоморфизме утвер-ждает что любой гомоморфизм в основном(с точностью до изоморфизма) не отличаетсяот естественного гомоморфизма группы на ее фоктор-группы по ядру гомоморфизма.
Пример. Пусть G группа по умножению чево то там....S - полугруппа элементов поля P относительно умножения. ϕ- отоборажение, ста-
вящее с соотвектствии каждой матрири из G ее определитель. Образ состоит из всехэлементов поля P кроме 0. Любой элемен а из P есть определитель матрицы, отли-чающейся от еденичной тем, что на главной диаганали вместо одной из едениц стоитчисло а. Ядром отображения является группа матриц с определителем равным 1це. Такчто эта группа есть нормальная подгруппа группы невырожденных матриц. Классомсмежностей по ядру составляют матрицы, имеющие одинаковый определитель.
Лемма. (4) Пусть Н и К подгруппы группы G. причем Н - нормальная подгруппа,тогда H ·K - является подгруппой горруппы G, причем H ·K = K ·H
Доказательство. Пусть элемент a ∈ H, b ∈ K, ab ∈ HK(ab)−1 = b−1a−1 = b−1a−1 (bb−1) = (b−1a−1b) b−1
(b−1a−1) (ba) = b−1 (a−1a) b = b−1b = 1
Рассмотри м 2 эемента a1b1a2b2
⟩∈ HK a1a2 ∈ H, b1, b2 ∈ K
(a1b1) (a2b2) = (a1b1)(a2b−11 b1b2
)= a1
(b1a1b
−11
)b1b2
Теорема. (2я теорема о гомоморфизме) Пусть H и K подгруппы группы G, причем Н- нормальная подгруппа, тогда фактор-группа НК по подгруппе Н изоморфна фактор-группе К по пересечению НК.
Теорема. Пусть H1 и H2 - нормальные подгрупы группы G, причем H1 ⊂ H2, тогдаH2/H1 есть нормальная подгруппа G/H2 и (G/H1) / (H2/H1) изоморфна по G/H2.
70
13 Вопросы к экзамену.1. Определение и свойствалинейного прострасства.
2. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Свойства систем век-торов.
3. Базис линейного пространства.
4. Размерность линейного пространства.
5. Пареобразованние координат вектора при замене базиса. Матрица перехода и еёсвойства.
6. Определение линейнеого подпространства (Еще и теоремы).
7. Пересечение и сумма линейных подпространств. ( 2 теоремки ) Прямая суммалинейных подпространств.
8. Размерность линейного подпространства. Связь размерности суммы и пересече-ния.
9. Определение эвклидова пространства. Унитарное пространство.
10. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
11. Неравенство Коши-Бунековского для эвклидового и унетарного пространства. Нор-мированое пространство.
12. Ортогональное дополнение. Построение ортогонального дополнения.
13. Линейные операторы.
14. Матрица линейного оператора. Преобразование матрици линейного оператора призамене базиса.
15. Характеристические уравнения матрици и линейного оператора. Анулирующиймногочелен. Теорема Гамельтона-Келя.
16. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. ( + еще 3теоремы ).
17. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного оператора.Свойства собственных векторов. ( Страница 334, Предложение 3, Параграф 6,Глава 7) (Предложение 4 на этой же странице)
18. Инвариантные подпространства.( Кроме опделения + 1 теорема ). ( Если L пред-ставляется в виде прямой суммы H1 и H2, то существует базис, в котором онаблочно-диагональная. Еще следствие(которого у нас нету) )
19. Индуцированый оператор. ( 2 теоремы ).
20. Треугольная форма матрици линейного оператора. ( + 1 теорема , и как с помощьюэтих подпространств строится базис).
71
21. Линейнгые операторы просттой структуры. Каноническое разложение матрии ли-нейного оператора.
22. Корневые подпростраснства линейного оператора. ( + 2 теоремы , следствие ко 2йтеоремы).
23. Жорданова форма матрици, построение Жорданового базиса.
24. Сопряженный оператор. ( Страница 356, Глава 8, параграф 4 ). ( в Фадееве ) (Определение, Существование, Единственность, Свойства(Без доказательства) , Итеорема еще )
25. Нормальный оператор.( В учебнике там как раз дальше ) ( + еще 2 теоремы ).
26. Самосопряженный оператор. Унитарные операторы.
27. Квадратичные формы. Преобразование матрици квадратичной формы при пере-ходе от базисаа к базису.
28. Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа.
29. Ортоганальные преобразования квадратичных форм. ( + 3 теоремы )
30. Закон инерции.
31. Критерий Сильвестра.
32. Полугруппы. Группы. Подгруппы.
33. Классы смежностей группы по подгруппе. Циклические группы.
34. Гомоморфизм. Теоремы о гомоморфизме.
35. Кольца и паля.
36. Множества Zn. Проверить что оно является кольцом. Мультиплекатиыные обрат-ные по модую n. КТО.
37. Эллипс. Парабола.
38. Гипербола.
39. Приведение уравнение кривых 2-го порядка к каноническлму виду посредствомповорота и переноса Декартовой системы координат ( a1,1a2,2 − a21,2 6= 0 ).
40. Все тожесамое, что и 39, только a1,1a2,2 − a21,2 = 0.
41. Исследование и классификация линий 2го опрядка по их каноническим уравнени-ям.
42. Инварианты кривых 2-го порядка.
43. Нахождение каноническогов фида кривой 2-го порядка по их инвариантам.
72
44. Эллипсоид. Однополостный и двуполостный гиперболоиды.
45. Эллептический и гиперболический параболоиды.
46. Конические и цилиндрические поверхности.
47. Определение канонического вида поверхности 2-го порядка по их инвариантам. (Табличка в Цупербиллере ).
48. Исследование и колассификация поверхностей 2-го порядка по их каноническимуравнениям.
49. Нормальные подгруппы и фоктор группы. Классы смежности по нормальной под-группе и фактор группе.
50. Пустой вопрос(Можем считать что на это вопрос мы уже ответили).
Содержание1 Инвариантные подпространства. 1
1.1 Собственные векторы и значения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Характеристическое уравнение линейного оператора. . . . . . . . . . . . . 21.3 Собственные векторы линейного оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного опе-
ратора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Каноническое разложение матрицы линейного оператора. . . . . . . . . . 71.6 Основные свойства собственных векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Инварианты линейных операторов. 82.1 Инвариантные подпространства линейного оператора в вещественным про-
странстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Инвариантное подпространство линейного оператора в комплексном про-
странстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Жорданова форма матрицы. Жорданов базис. 93.1 Построение Жорданового базиса и Жордановой матрицы . . . . . . . . . 113.2 Алгоритм построения Жорданового базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Функции от матриц. 194.1 Свойства функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Алгоритм нахождения функции от произвольной матрици. . . . . . . . . 21
4.2.1 Первый способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2.2 Второй способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
73
5 Линейные операторы в Евклидовом пространстве. 225.1 Сопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1.1 Свойства сопряженного оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Самосопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.1 Cвойства самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Ортогональный линейный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3.1 Свойства ортогонального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3.2 Примеры ортоггональных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Линейные операторы в унитарном пространстве. 28
7 Нормальный линейные операторы. 297.1 Норма матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Квадратичные формы. 328.1 Определение и преобразование квадратичнеой формы. . . . . . . . . . . . 328.2 Квадратичные формы канонического вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.1 Метод Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Ортоганальные преобразования квадратичных формул. . . . . . . . . . . 348.4 Закон Энерции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Эквивалентные квадратичные формы. 379.1 Критерий Сильвестра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.2 Пары квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10 Кривые второго порядка 3910.1 Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.2 Элипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.3 Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.4 Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.5 Общее уравнение кривой 2го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10.5.1 Кривые Элептического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11 Поверхности 2го порядка(19 штук) 4611.1 Эллипсоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.2 Однополостный Гиперболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.3 Двуполостный Гиперболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4811.4 Элептический Параболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.5 Гиперболический параболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.6 Классификация кривых 2го порядка с использованием инвариантов. . . . 5011.7 Цилиндрические поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.8 Коническая поверхность второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.9 Это вроде относится к крявым 2го порядка, но хз куда это впихивать. . . 5511.10Поверхности вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.11Общее теория поверхностей 2го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
74
12 Группы 5912.1 Аксиомы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.2 Подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.3 Классы смежностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.4 Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.5 Арифметика остатка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.6 Мультиплекативние обратные по модулю N. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.7 Общая схема решения системы 2х уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.8 Формальные подгруппы и нормальные группы . . . . . . . . . . . . . . . 6812.9 Классы смежностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.10Гомоморфизм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13 Вопросы к экзамену. 71
75
