预测与决策分析 Forecasting and Decision Analysis

陈振

河南农业大学信息与管理科学学院管理科学系

13683807788 ， hnchenzhen@eyou.com

风险型决策 如果决策者所采取的任何一个行动方案都会遇到具有一定

概率分布的一个以上的自然状态，相应的一般会产生具有某种概率分布的一个以上的后果，那么不管决策者选择哪个行动方案都要承担一定的风险，这种情形下所进行的决策就叫做风险型决策，又叫随机型决策。

例如：某工厂企业需要决定下一阶段是否投产一种新产品。如果投产后销路好，可以获得利润 10万元；如果投产后销路差，则将造成损失 4万元；如果不投产，不管销路好坏，都将付出损失 1万 5千元。根据历史经验，预测下一阶段该产品销路好的概率是 0. 4，销路差的概率是 0. 6。为使利润最大或损失最小，该企业应该决定投资或不投资？

风险型决策的条件

风险型决策一般需具有以下几个条件：

1．存在决策者希望达到的一个或一个以上明确的决策目标。最常用的决策目标是要求获得最大的利润。

2．存在决策者可以主动选择的两个以上的行动方案，即存在两个以上决策变量。

3．存在不以决策者主观意志为转移的两种以上的自然状态。即存在两种以上状态变量。

4. 存在可以具体计算出来的不同行动方案在不同自然状态下的损益值。

5．存在决策者可以根据有关资料事先估计或计算出来的各种自然状态将会出现的概率。

常用的风险型决策方法

期望损益决策法 决策树法 贝叶斯决策法 边际分析决策法 马尔可夫决策法

期望损益决策所谓期望损益决策，就是根据期望值原则，以损益期望值来衡量

行动方案的后果，将不同行动方案的损益期望值进行比较，在此基础上进行决策。

一般地，我们假定{a1,a2….am}为决策者所有可能行动方案的集合，并设{ 1， 2… n}为所有自然状态的集合，把状态 j发生的概率记作 P( j)=Pj。当采取行动方案 ai遇到自然状态 j时，其相应的损益值为 A（ai, j）,简记为 aij。因此，方案 ai的期望损益值为：

E(ai)=

n

j 1

pjaij

选择期望收益最大或期望损失最小的行动方案为最优方案，即求

iamax [E(ai)]或

iamin [E(ai)]所对应的行动方案即为最优方案。这就是

期望损益决策法。

期望损益决策法的计算

期望损益决策法应用举例例

某公司生产某种产品，一直只在本地区销售，而且销售的前景很好。现在公司想通过向全国销售来增加利润。经过市场调查，了解到全国和本地区对此产品高需求的概率都是 0. 5，中等需求概率都是 0. 25，低需求概率都是 0. 25。两种销售在各种需求影响下的利润如表所示。现在问，是继续在本地区销售获利大，还是扩大到全国销售获利大。

高需求 S1 中等需求 S 2 低需求 S 3 需求 收益

概率 方案 0.5 0.25 0.25

全国销售 a1 6 4 2.5

本地区销售 a2 4 3.8 3.5

期望损益决策法应用举例

高需求 S1 中等需求 S 2 低需求 S 3 需求 收益

概率 方案 0.5 0.25 0.25

期望收益值

全国销售 a1 6 4 2.5 E(a1)

本地区销售 a2 4 3.8 3.5 E(a2)

计算两种方案的利润期望值：

E(a1) = 6× 0.5+4× 0.25+2.5× 0.25 = 4.625

E(a2) = 4× 0.5+3.8× 0.25+3.5× 0.25 = 3.825

因为 E(a1)大于 E(a2)，所以该产品扩大到到全国销售获利大。

决策树 决策树法是进行风险型决策的常用方法，能使决

策问题形象直观，思路清晰，尤其是在多级决策活动中，能使层次分明。决策树又叫决策图，它以方框和圆圈为节点，由直线连接而成的一种树状结构图

方框结点叫决策点，由决策者引出的若干条直线称为方案枝，每条直线代表一个方案。每个方案枝的末端画上一个圆圈，叫状态结点。由状态结点引出若干条直线，每条直线代表一个自然状态并标出其可能发生的概率，称为概率枝。在概率枝末端画个三角，叫做结果点。在结果点旁边列出不同结果下的损益值。

决策树示意图

修枝

方案枝

状态结点

决策点

方案枝

修枝

方案枝

状态结点

概率枝

结果点

决策树法举例有一物流公司，由于仓储量不够，产品成本高。在价格保持中等水平的情况下无利可

图，在价格低落时要亏本，只有在价格高时才盈利，且盈利不多。现在工厂管理人员在编制五年计划时欲将该项工艺加以改革，用新工艺代替。取得新工艺有两种途径，一是自行研究，其成功的可能性是 0.6，二是买专利，估计谈判成功的可能性是 0.8。不论研究成功或谈判成功，生产规模都考虑两种方案，一是产量不变，二是产量增加。如果研究或谈判失败，则仍采用原工艺进行生产，并保持原产量不变。根据市场预测，估计今后五年内这种产品跌价的可能性是 0.1，保持中等水平的可能性是 0.5，涨价的可能性是 0.4。通过计算，得到各个方案在不同价格情况下的益损值，如表所示。表中益损值单位为百万元。

买专利成功（0.8） 自行研究成功（0.6） 方案 益损值

价格状态（概率）

按原工艺生产

产量不变 产量增加 产量不变 产量增加

价格低落（0.1） -150 -200 -300 -200 -300

价格中等（0.5） 0 50 50 0 -250

价格高涨（0.4） 100 150 250 200 600

决策树法举例

决策树法举例计算各点的期望益损值：

点 4：0.1× (-150)+0.5× 0+0.4× 100= 25

点 8：0.1× (-200)+0.5× 50+0.4× 150= 65

点 9：0.1× (-300)+0.5× 50+0.4× 250= 95

因此，在决策节点 5上，选择产量增加的方案。通过类似的计算可知，在决策节点 6上，也应选择产量增加的方案。

点 2：0.2× 25+0.8× 95= 25

点 3：0.6× 85+0.4× 25= 61

我们比较点 2与点 3，点 2的期望效益值更大，所以合理的决策应该是买专利。

效用理论

在风险型决策中，如果既要了解各自然状态或后果的概率，又要研究后果的价值，这时就要应用效用理论。

所谓效用，是人们的价值观念在决策活动中的综合表现，效用综合表明决策者对所持有风险的态度。

为了能够进行定量分析，将人们所认为的价值赋予数值，这就是效用。

效用的定义考虑选择行动 aj时决策问题的全部 n个后果 c1,c2，…，cn，以及这 n

种后果发生的概率 p1，p2，…，pn (

n

iip

1

=1)。用 P = (p1,c1；p2,c2；…；pn,cn)

综合表示后果 ci以概率 pi出现（i=1,2, …，n）称为展望。所有展望的集

合记作 Q，Q上的效用函数定义如下：

在 Q上的实值函数 u，如果（1）对所有 P1，P2Q,有 P1 P2 (P1不劣

于 P2),当且仅当 u(P1) U(P2)； (2)在 Q 上是线性的，即如果

PiQ, i 0(i=1,2,…，m)且

m

ii

1

=1，则有 u(

m

ii

1

Pi)=

m

ii

1

u (Pi)，就

称 u为 Q上的效用函数。

效用函数存在条件公理一（成对可比性）：如果 P1P2Q,则 P1>P2或者 P2>P1

或者 P1～P2 (无差异)。 公理二（偏好关系的传递性）：如果 P1, P2, P3Q，且

P1>P2,P2>P3,则必有 P1>P3。

公理三（替代性）：如果 P1,P2,P3Q,且 0< <1,则 P1>P2

当且仅当 P1+(1- )P3> P2+(1- )P3。

公理四（连续性，或称偏好有界性）：如果 P1,P2,P3Q,且P1>P2>P3,则必有 0< < <1，使得 P1+(1- )P3>P2> P1+(1- )P3。

定理 在 Q上的优先关系>如满足公理 1至 4，则在 Q上存在一效用函数 u，它和>一致。

效用简单确定方法

效用的大小可用概率的形式来表示，效用值介于 0与 1之间。

最常用的是冯 ·诺依曼和摩根斯坦于1944年共同提出的标准测定法。

假定某人的收益在 0元到 100元之间，我们要测定这一范围内的货币效用

效用简单确定方法开始时，可以设定 u(0)=0,u(100)=1，那么对于 a元收益(0a100)，

0u(a)1。

为了测定 u(a)，可以向决策者提出如下问题：

“ 方案 a1以概率 p获得 100元收益，以概率(1-p)获得 0元收益；方案 a2以概率 1获得 a元收益，请问 p为何值时，方案 a1与 a2 ”等效？

在决策者回答出概率 p的值以后，则 u (a) = p*u(100) + (1-p)*u (0) = p

在获得了足够多的货币值的效用值之后，就可以在直角坐标系内用点标出这些货币值的效用值，再用光滑曲线（或曲面）把这些点连接起来，就得到了效用函数（曲线）。

在测定出效用函数值之后，就可以利用效用函数值来替代损益值，计算期望效用值来进行决策。

贝叶斯决策

在风险型决策分析中，对自然状态发生的可能性估计（概率分布）的准确及正确与否直接决定着其后所作出决策的优劣。

下面介绍如何改进对自然状态的概率分布的初步估计（先验分布）并在此基础上作出决策，这就是所谓的贝叶斯（ Bayes ）决策。

先验分布 在通过试验收集有关自然状态的新信息之前，决策人

根据已掌握的信息所确定自然状态的概率分布称为有关自然状态的先验分布。先验分布通常又有客观的先验分布与主观的先验分布之别。

根据某些客观的情报或证据甚至能通过在过去相同条件下的大量重复试验的经验资料来确定的自然状态的概率分布称为客观的先验分布。

不能根据客观的情况或证据以及通过过去相同条件下的大量重复试验，而是通过主观上的一些关于自然状态的经验，知识来确定的自然状态的概率分布称为主观先验分布。

后验概率分布

在做决策分析时，若根据试验或调查所获得的情报，对先前确定的先验概率分布加以修正，而得到关于自然状态的新的概率分布，我们称之为后验分布。

后验概率分布，与先验分布相比，可以用来做出比较正确的决策。

贝叶斯定理

设自然状态有 n种，P( i )表示自然状态 i发生的先验概率分布，P(x| i )表示在自然状态为 i的条件下，调查结果为 x的概率，而 P( i| x)

表示在调查结果为 x的条件下，自然状态为 i的概率，通过调查得到结果x，其中包含了有关自然状态的信息，将这个补充信息结合到先验分布 P( i)中便获得了有关自然状态的后验概率分布

P( i | x)=

n

jjj PxP

x

1

ii

)()|(

))P( |P(

贝叶斯风险

为了衡量所采用行动方案的损益，需要引进贝叶斯风险的概念。

假设自然状态有 n个即 1, 2,… n，行动方案 a有 m个即 a1，a2，…，am，损失函数为 R( , a)，设补充情报为 x,对某一决策方案 (x)，x的值一旦确定，则对应的决策方案 (x)也就确定了，对应的损失为 R( , (x))。 在自然状态 取定为 i 的条件下，x 仍然是一随机变量， (x)也是一随机变

量，此时衡量决策方案 (x)的损益应为期望损失

P( i, (x))= Ei

x [R( i ， (x))]

表示在状态 i下，决策方案的风险值，或者说是当出现不同情报值时，按决策方案采取行动的平均损失，称为风险函数。

贝叶斯风险在不同状态下，同一决策方案的风险值不一样，一个决策方案的好坏应由在不同状态下

风险值的期望值来衡量，即

B( )=E [P( , (x))]= ) ())(, ( i1

PxPn

ii

B( )称为决策方案 (x)的贝叶斯风险，它反映决策方案的平均损失。 这里贝叶斯风险

B( )=E [P( , (x))]= E {E x [R( , (x))}

= Ex{E x [R( , (x)]}= Ex{

n

i 1

R( i， (x)) P( i |x)}

记 R( (x))

n

i 1

R( i， (x)) P( i |x)（称为决策方案在补充情报 x下的后验损失）

则 B( )=ExR( (x))

上述公式提供了计算贝叶斯风险的另一个方法。

最佳决策方案 贝叶斯决策分析的核心问题是求解最佳决策方案。最佳决策方案

应该是使贝叶斯风险最小的决策方案。

1.正序分析

即列举出所有可能的决策方案 (x)，计算其贝叶斯风险 Q( )，使 B( )最小的 (x)即为最佳决策方案。

2.反序分析

利用正序分析的方法求解最佳决策方案常常使得计算量过大，为了减少计算量，考虑采用反序分析。

贝叶斯风险 B( )=ExR( (x))

那么如果某个 (x)使每个 x 下 R( (x))均为最小，就能使贝叶斯 B( )风险达到最小，这个 (x)就是最佳决策方案。

这里的问题就是求解 0(x)使得每个 x下 R( 0(x))达到最小。

反序分析的过程为：针对所有可能出现的抽样结局，分别计算各自自然状态的后验概率，利用这些概率求出各行动方案的后验损失值，比较后验损失值的大小，选择各种抽样结果下的最佳行动方案，综合成最佳决策方案。

贝叶斯决策举例 例 某公司的产品每 1000件装成一箱运交顾客。每箱不合格品率分别为

5％以下，5％到 15％之间以及 15％以上这三种情况，现将这三种状态分别记做 1 =0. 05， 2 =0. 10， 3 =0. 15，按照以往经验，公司决策者推测为这三种值的概率分别为 0. 55，0. 30，0. 15 即先验概率分布为P( =0. 05)=0. 55；P( =0. 10)=0. 30；P( =0. 05)=0. 15。

该公司的每箱产品在运交顾客之前，面临这样的决策问题：或是检验箱中的每件产品，或是不作如何检验；假如整箱检验，每一件的检验费用为 0. 1元，于是一箱的检验费用为 100元。记这种检验方案为 a1,采用 a1的优点是可检查出一箱中的所有不合格品，保证运交顾客的产品百分百合格。假如整箱不作检验，顾客买到不合格品时必须准予更换，每更换一件所需费用的总和为 1. 20元。这种方案记为 a2。采用 a2的优点是可节省检验费用 100元。

贝叶斯决策举例

为了更好地对上述问题作出决策，决策者决定以每箱中抽出 2件产品检验，并通过这两件产品提供的情报作出最佳决策方案，方法如下：

设抽出的2件产品为 z1, z2，并规定当第 i件产品检验结果为不合格品时，记zi=1，否则 zi=0；另外设抽样总的结果为 x=z1+z2，x 的值刚好为抽出的 2件产品的不合格数目，它是一个随机变量，在抽样试验前，我们就知道，x可能 0，1，2三种结果，x的概率分布是超几何分布，此处可认为 x近似服从于二项分布。

贝叶斯决策举例

假定抽样后观察到的不合格品数为 0，即 x=0；则可计算各状态 1, 2, 3的后验概率，及每一种可能行动方案 a1，a2的后验损失，计算格式及结果如下表

不合格品为 0件（x＝0）时后验损失表

各行动方案的损失 R( , a)

自然状态

先验概率 P( )

各状态下 x＝0 的概率

P(x=0| )

后验概率 P( | x=0)

a1 a2

0. 05 0. 55 0. 902 0. 585 100 60. 00 0. 10 0. 30 0. 810 0. 287 100 120. 00 0. 15 0. 15 0. 722 0. 128 100 180. 00

后验损失

3

1i

R( i，a) P( i| x=0) 100 92. 58元

表中数值显示行动方案 a1的后验损失为 100 元，而行动方案 a2的后验损失为92. 58元，故出现 x=0的抽样结果时，最佳行动方案为 a2。

贝叶斯决策举例假设抽样结果为 x＝1，作计算列入下表

不合格品为 1件（x＝1）时后验损失表

各行动方案的损失 R( , a)

自然状态

先验概率 P( )

各状态下 x＝1 的概率

P(x=1| )

后验概率 P( | x=1)

a1 a2 0. 05 0. 55 0. 095 0. 362 100 60. 00 0. 10 0. 30 0. 180 0. 374 100 120. 00 0. 15 0. 15 0. 255 0. 265 100 180. 00

后验损失

3

1i

R( i，a) P( i| x=1) 100 114. 3元

可得最佳行动方案为 a1

贝叶斯决策举例

最后假设抽样结果为 x＝2，计算结果列入下表 不合格品为 2件（x＝2）时后验损失表

各行动方案的损失 R( , a)

自然状态

先验概率 P( )

各状态下 x＝2 的概率

P(x=2| )

后验概率 P( | x=2)

a1 a2 0. 05 0. 55 0. 002 0. 149 100 60. 00 0. 10 0. 30 0. 010 0. 405 100 120. 00 0. 15 0. 15 0. 022 0. 446 100 180. 00

后验损失

3

1i

R( i，a) P( i | x=2) 100 137. 82元

得到最佳行动方案为 a1

贝叶斯决策举例

综合上述结论，即得最佳决策方案为

(x)=

0,

2,1,

2

1

xa

xa