สารบญ ค าน า.......................................................................................................................................................................... i บทท 1 เรขาคณต ตรโกณมต ................................................................................................................................. 2

ตอนท 1.1 รปทรงทางเรขาคณต ...................................................................................................................... 2 เรองท 1.1.1 พนทและปรมาตรของรปทรงเรขาคณตทควรทราบ ............................................................. 2 เรองท 1.1.2 มมใน 2 มต ............................................................................................................................ 2 เรองท 1.1.3 เสนตรงตดกน เสนขนาน และพนฐานเรองดานกบมมของรปสามเหลยม ........................... 2

ตอนท 1.2 ตรโกณมต ........................................................................................................................................ 3 เรองท 1.2.1 สามเหลยมมมฉาก ................................................................................................................. 3 เรองท 1.2.2 นยามของฟงกชนตรโกณมต .................................................................................................. 3 เรองท 1.2.3 เอกลกษณตรโกณมต ............................................................................................................. 4 เรองท 1.2.4 กฎของไซนกบกฎของโคไซน ................................................................................................. 4

แบบฝกหดบทท 1.............................................................................................................................................. 4 บทท 2 ความสมพนธทเหนบอยในฟสกส ............................................................................................................ 15

ตอนท 2.1 ฟงกชนเชงเสน .............................................................................................................................. 15 ตอนท 2.2 ฟงกชนเลขยกก าลง....................................................................................................................... 15 ตอนท 2.3 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล .............................................................................................................. 16 ตอนท 2.4 ฟงกชนลอการทม .......................................................................................................................... 16 ตอนท 2.5 การเขยนและการหาขอมลจากกราฟ ........................................................................................... 16

เรองท 2.5.1 การวเคราะหกราฟเสนตรง และการใชกราฟสเกลลอการทม ............................................ 17 เรองท 2.5.2 แนวปฎบตในการเขยน/พลอตกราฟทเหมาะสม ................................................................. 19

แบบฝกหดบทท 2............................................................................................................................................ 20 บทท 3 การแกสมการหนงกบสองตวแปร ............................................................................................................ 34

แบบฝกหดบทท 3............................................................................................................................................ 35 บทท 4 อนพนธ และปรพนธของฟงกชน ............................................................................................................. 39

แบบฝกหดบทท 4............................................................................................................................................ 40 บทท 5 ปรมาณ การวเคราะหมต และการบนทกปรมาณ .................................................................................. 47

ตอนท 5.1 มต.................................................................................................................................................. 47 ตอนท 5.2 การบนทกปรมาณตามแบบวทยาศาสตร และตามหลกเลขนยส าคญ ........................................ 49 แบบฝกหดบทท 5............................................................................................................................................ 50

บทท 6 ปรมาณสเกลารกบปรมาณเวกเตอร ........................................................................................................ 54 ตอนท 6.1 การบวกลบปรมาณเวกเตอร ......................................................................................................... 54 ตอนท 6.2 การคณกนของปรมาณเวกเตอร ................................................................................................... 55 แบบฝกหดบทท 6............................................................................................................................................ 56

บทท 7 ต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรง ......................................................................................... 66 ตอนท 7.1 ต าแหนงกบการกระจด ................................................................................................................. 66 ตอนท 7.2 ความเรวเฉลยและความเรวบดดล ............................................................................................... 66 ตอนท 7.3 การหาต าแหนงของวตถจากความเรว .......................................................................................... 67 ตอนท 7.4 ความเรงเฉลยและความเรงบดดล ................................................................................................ 67 ตอนท 7.5 ตวอยางการเคลอนทใน 1 มต ...................................................................................................... 68

เรองท 7.5.1 ดนน ามนทถกโยนขนไปตรง ๆ ในอากาศ ............................................................................ 68 เรองท 7.5.2 การเคลอนทของรถยนต ...................................................................................................... 69 เรองท 7.5.3 การเคลอนทดวยความเรงคงตว ........................................................................................... 69

แบบฝกหดบทท 7............................................................................................................................................ 70 เอกสารอางอง ....................................................................................................................................................... 74

2

บทท 1 เรขาคณต ตรโกณมต คณตศาสตรเปนสวนประกอบส าคญ และจ าเปนในการแกปญหาทางฟสกส นกศกษาจงตองสะสมความรทางคณตศาสตรและฝกฝนการใชไวใหมากพอควร แตอยางไรกด คณตศาสตรทเราน ามาใชในฟสกสนนมจดประสงคทตางไปจากคณตศาสตรบรสทธ กลาวคอ ฟสกสใชคณตศาสตรเปนตวแทนทจะอธบายความหมายทางกายภาพของระบบทเราสนใจ1 แทนทจะใชเปนการแสดงความสมพนธในเชงนามธรรม2 อยางทเกดขนในคณตศาสตรบรสทธ ดงนนในชวงแรกน เราจงจะท าการทบทวนคณตศาสตรในลกษณะทเราน ามาใชในฟสกส ในบทแรกน เราจะทบทวนเกยวกบเรขาคณตทจ าเปนบางสวน และตรโกณมตกอน

ตอนท 1.1 รปทรงทางเรขาคณต ในตอนนเราจะมาทบทวนความรบางสวนของเรขาคณต โดยเรมดวยพนท ความยาวของเสนรอบรป และปรมาตร ของรปทรงบางรปในเรขาคณต จากนนเราจะพจารณานยามของมม และจบดวยเสนขนานกบความรพนฐานของมมของรปสามเหลยม

เรองท 1.1.1 พนทและปรมาตรของรปทรงเรขาคณตทควรทราบ ใน 2 มต รปรางทางเรขาคณตทเราใชบอยในฟสกส คอ สามเหลยม สเหลยมมมฉาก และวงกลม สามเหลยม: สามเหลยมทมความยาวของฐานเทากบ b และความสงเทากบ h จะมพนทเทากบ bhA

21

สเหลยมมมฉาก: สเหลยมมมฉากทมดานกวางยาว w และดานยาว ยาวเทากบ จะมเสนรอบวงยาว เทากบ ws 2 พนทเทากบ wA วงกลม: วงกลมรศม r จะมความยาวของเสนรอบวงเทากบ rs 2 และมพนทเทากบ 2rA ความรพนฐานอน ๆ ทควรทราบเกยวกบสามเหลยมกบสเหลยมกคอ มมภายในของรปสามเหลยม มคาเทากบ 180o (องศา3) มมภายในของรปสเหลยมใด ๆ มคาเทากบ 360o ใน 3 มต รปรางทางเรขาคณตทเราใชบอยในฟสกส คอ ทรงกลม ทรงกระบอก และกลองสเหลยมมมฉาก และเรามกตองการทราบพนทผวและปรมาตรของรปทรงเหลาน ทรงกลม: ทรงกลมรศม r มพนทผวเทากบ 24 rA และมปรมาตรเทากบ 3

34 rV

ทรงกระบอก: ทรงกระบอกรศม r ยาว มพนทผวเทากบ rrA 22 2 และมปรมาตรเทากบ 2rV

กลองสเหลยมมมฉาก: กลองสเหลยมมมฉากทมความกวาง w ยาว และหนา h มพนทผวเทากบ hwhlwA 2 และมปรมาตรเทากบ hwV

เรองท 1.1.2 มมใน 2 มต มมเรามกใชสญลกษณ [ตวอกษรภาษากรก อานวา เธตา (Theta)] แทน นกศกษาอาจจะเคยชนกบมมใน “หนวย”4 องศา ในฟสกสเรากจะไดเหนมมในหนวย องศา อยบอยครงโดยเฉพาะในชวงแรก ๆ ทเรยนฟสกส 1 แตตอมา เราจะเรมเหนหนวยมมเปน เรเดยน ดวย โดยนยามของมมในหนวยเรเดยน คอ

r

s โดยท คอ s ความยาวสวนโคงทรองรบมม และ r คอ รศมของวงกลม

เรองท 1.1.3 เสนตรงตดกน เสนขนาน และพนฐานเรองดานกบมมของรปสามเหลยม ตอไปนจะกลาวถงความรพนฐานทนกศกษาควรทราบเกยวกบ เสนตรงทตดกน เสนขนาน และดานกบมมสามเหลยม ส าหรบเสนตรง 2 เสนทตดกน จะมมมตรงขามเทากน และมมประชดรวมกนเทากบ 180o นนคอ ตามรปดานขางน เราจะไดวา dbca , และ daba o180 เปนตน เสนตรง 2 เสนขนานกน กตอเมออยในระนาบเดยวกนและไมตดกน เมอมเสนตรงมาตดเสนขนานทงสองเสน ดงแสดงในรปดานขางน เราจะไดวาผลบวกของมม o180 ba

1 อยางเชน ลกบอลทเคลอนทภายใตแรงโนมถวงของโลก หรอ กลองทไถลขนพนเอยง เปนตน 2 กระบวนการขยายความสาระส าคญทเปนหลกพนฐาน โดยไรขอผกมดของวตถในโลกแหงความเปนจรงซงปกตอาจเชอมโยงกนอย และเปนการใหความหมายทวไปของแนวความคดนน เพอใหสามารถน าไปประยกตใชไดอยางกวางขวางมากขน 3 มม 1 องศา คอ มมทเกดจากกแบงมมรอบจดออกเปน 360 สวนเทา ๆ กน 4 เมอเราวเคราะหในเชงมต เราจะเหนวา จรง ๆ แลว มม เปนปรมาณท “ไมม”มต (dimensionless)

r

s

รปแสดงนยามปรมาณในนยามของมมในหนวยเรเดยน

รปสามเหลยมทมฐานยาว และสงวงกลมรศม และสเหลยมมมฉากกวาง

ยาว

b

h

w

r

รปทรงกลมรศม ทรงกระบอกรศม ยาวกลองสเหลยมมมฉากทมความกวาง ยาวและหนา

รปเสนตรง 2 เสนตดกน

a b

c d

รปเสนตรง 2 เสนขนานกน มเสนตรงเสนหนงตดผาน

a b

3

ในรปสามเหลยมใด ๆ ดานทอยตรงขามกบมมทมขนาดใหญกวา จะยาวกวาดานทอยตรงขามกบมมทมขนาดเลกกวา สามเหลยมทมดาน 2 ดานเทากน เรยกวาสามเหลยมหนาจว จะมมมภายใน 2 มม เทากนดวย สามเหลยมดานเทา คอ สามเหลยมทมดานยาวเทากนทกดานและมมมภายในเทากนทกมม (ดงนนมมภายในของสามเหลยมดานเทามคาเทาไร?) สามเหลยม 2 รป คลายกน กตอเมอ มมมภายในทเทากนทกค ซงจะท าใหอตราสวนของดานทสมนยกนมคาเทากนดวย

ตอนท 1.2 ตรโกณมต ฟสกสใชความรตรโกณมตบอยครง โดยเฉพาะในเรองการบวกลบปรมาณเวกเตอร ดงนนนกศกษาตองฝกฝนความรตรงสวนนใหคลองทสด เราจะเรมดวยการทบทวนสมบตของรปสามเหลยมมมฉากกอน แลวตอดวยนยามของฟงกชนตรโกณมต และเอกลกษณตรโกณมตทฟสกสใชบอยครง

เรองท 1.2.1 สามเหลยมมมฉาก สามเหลยมมมฉาก เปนสามเหลยมทมมมภายในมมหนงเปนมมฉาก หรอ 90o ดงแสดงในรปดานขางน โดยมมม C เปนมมฉาก และใหมม B มคาเทากบ ดงนน มมท A จะมคาเทากบ o90 เราจะเรยก ดานแตละดานของรปสามเหลยมมมฉาก ตามรายการดานลางน ดาน AB (ยาว c) ดานตรงขามมมฉาก หรอสนๆ วา “ฉาก” ดาน AC (ยาว b) ดานตรงขามมม หรอสนๆ วา “ขาม” ดาน BC (ยาว a) ดานประชดมม หรอสน ๆ วา “ชด” ความยาวของดานทงสามขางตน มความสมพนธกนตามกฎของพธากอรส ดงน

222 bac หรอ 22 bac นนเอง ความสมพนธนนกศกษาจะไดใชบอยครงในฟสกส จงขอใหฝกใชใหมาก ๆ

เรองท 1.2.2 นยามของฟงกชนตรโกณมต เรามฟงกชนตรโกณมตอยทงหมด 6 ตว แตละตวมนยามดงตอไปน โดยเราใชนยามความยาว cba ,,

และมม ตามรปสามเหลยมมมฉากขางบน

c

b

ฉาก

ขามsin

b

c

ขาม

ฉาก

sin

1csc

c

a

ฉาก

ชดcos

a

c

ชด

ฉาก

cos

1sec

a

b

ชด

ขามtan

b

a

ขาม

ชด

tan

1cot

สงเกตวา

cos

sintan ดวย

สามเหลยมมมฉากบางรปตอไปน นกศกษาตองทราบคาความยาวดานทเกยวของ และจ าใหได

จากรปสามเหลยมขางบนน ใหนกศกษาเตมคาของฟงกชนตรโกณมตลงในชองวาง

ฟงกชน 0

o 30

o 37

o 45

o 53

o 60

o 90

o

sin 0 1

cos 1 0

tan 0

1

1

2 60o

30o

45o

1

3

4 5

53o

37o

รปสามเหลยมมมฉากทมมมภายในมมหนงเปนมม

A

C B a

b c

4

เรองท 1.2.3 เอกลกษณตรโกณมต เอกลกษณตรโกณมตทควรทราบมดงตอไปน

sinsin,1cossin 22 coscos,1tansec 22 tantan,1cotcsc 22

22 sincos2cos,cossin22sin

2tan1

tan22tan

cos90sin,sin90cos oo cos90sin,sin90cos oo sin180sin,cos180cos oo sin180sin,cos180cos oo sin360sin,cos360cos oo sin360sin,cos360cos oo BABABA sincoscossinsin BABABA sincoscossinsin BABABA sinsincoscoscos BABABA sinsincoscoscos

จากเอกลกษณ 1cossin 22 ถาเราให cos เปนพกดในแนวนอนหรอ x และ sin เปนพกดในแนวตงหรอ y เราจะเหนไดวา 122 xy ซงเปนสมการของวงกลมรศม 1 หนวย โดย เปนมมทเสนตรงซงลากจากจดก าเนดจนถงพกด sin,cos, yx บนวงกลมท ากบแกน x ซงท าใหเราสามารถหาคาฟงกชน cos กบ sin ทมมตาง ๆ ไดจากคาพกดบนวงกลม 1 หนวย ดวย

เรองท 1.2.4 กฎของไซนกบกฎของโคไซน กฎของไซนกบกฎของโคไซนแสดงความสมพนธระหวางมมกบดานของสามเหลยมใด ๆ (โดยความยาวและมมมคาตามรปสามเหลยมใด ๆ ดานขวาน) กฎของไซน :

c

C

b

B

a

A sinsinsin

กฎของโคไซน : Abccba cos2222 Bcaacb cos2222 Cabbac cos2222

กฎทงสองสามารถพสจนไดจากความรตรโกณมต (ใหนกศกษาลองไปพสจนดเปนการบาน)

แบบฝกหดบทท 1

1.1 มคาเปนตวเลขเทากบเทาใด (ทศนยม 5 ต าแหนง) 1.2 จงแปลงมมในหนวยองศาตอไปน ใหเปนเรเดยน

360o =_______________ 270o =_______________ 225o =_______________ 180o =_______________ 135o =_______________ 120o =_______________

90o =_______________ 60o =_______________ 45o =_______________ 30o =_______________ 1o =_______________

1.3 จงแปลงมมในหนวยเรเดยนตอไปน ใหเปนองศา 1.0 rad =_______________

8 rad =_______________ 3 rad =_______________

4 rad =_______________ 5 rad =_______________ 6 rad =_______________

รปวงกลม 1 หนวย

y

x 0 (1,0) (-1,0)

(0,1)

(0,-1)

( )

รปสามเหลยมใด ๆ

5

1.4 จากรปและขอมลทใหมาตอไปน นกศกษาสามารถหาคาของมม ไดหรอไม ถาได ใหหาวาเทากบเทาใด ในหนวยองศา

__________ __________ __________

__________ __________

__________ __________

__________ __________

1.5 จงหาพนทของรปรางตอไปน (อาจมบางขอทตองใชความรตรโกณมต)

พนท =________________ พนท =________________

พนท =________________

a a

a 27

o

30o

27o

27o

b b

a

32o

30o

32o

32

o

2a

2a

4a

5a

2

3

6

พนท =________________ พนท =________________

สวนทแรเงามพนท =________ สวนทแรเงามพนท =_____

พนท =________________ สวนทแรเงามพนท =______

1.6 ถงน ารปลกบาศกจน าเตมพอด โดยมน าปรมาณเทากบ 1000 ลกบาศกเมตร ถงนยาวดานละเทาใด

1.7 แผนอลมเนยมรปสเหลยมผนผายาว 20 เซนตเมตร กวาง 10 เซนตเมตร และหนา 0.50 เซนตเมตรแผนอลมเนยมน มพนทผวทงหมดเทาใด แผนอลมเนยมน มปรมาตรเทาใด

1.8 ถงรปทรงกระบอกสง 1.50 เมตร มพนทหนาตด 0.80 ตารางเมตร ถงจน าไดเตมทกลกบาศกเมตร ถาพนทหนาตดของถงเปนแผนวงกลม ถงนมรศมเทาใด ถามน าในถง 1.0 ลกบาศกเมตร ระดบน าอยสงจากพนถงเทาใด

1.9 ลกบอลมพนทผว 36 หนวย มปรมาตรเทาใด

1.10 ทอน าประปามเสนผานศนยกลาง 24.0 เซนตเมตร มพนทหนาตดเทาใด

a 2a

a

2a

a R

R

R

R

2 4

2

3

1 3

R

R

7

1.11 อตราสวนพนทของแผนวงกลม 2 แผน โดยแผนหนงมรศมเปน 2 เทาของอกแผนหนง มคาเปนอยางไร

1.12 อตราสวนพนทผวของลกบอล 2 ลก โดยลกหนงมรศมยาวเปน 2 เทาของอกลกหนง มคาเปน

อยางไร

1.13 อตราสวนปรมาตรของทรงกลมตน 2 อน โดยอนหนงมเสนผานศนยกลางยาวเปน 2 เทาของอกอนหนง มคาเปนอยางไร

1.14 ใหนกศกษาเรยงล าดบขนาดของพนทจากมากทสดไปหานอยทสดของรปรางตอไปน

ตอบ ___________________________________________

1.15 จงหาความยาว L ในแตละรปตอไปน (โดยค าตอบอาจเปนตวเลข หรอสญลกษณอนทก าหนดใหในรป)

L =_____________ L =_____________

1.16 เสนลวดถกดดใหเปนรปรางตาง ๆ ตอไปน โดยทเสนโคงในแตละรปเปนสวนหนงของวงกลม จงหาความยาวของเสนลวดในแตละรป

ลวดยาว =______________ ลวดยาว =_______________

1.17 จงหาความยาว a ของรปตอไปน

ตอบ _______________ ตอบ _______________

A B D 2

2 2

4

1

3

1

C 3

1

L

l

R r

L

4 120

o

120o

120o

120o

120o

120o

4

4 4

4

4

R R

120o

R

R

8

6

12

13 a

a

8

ตอบ _______________ ตอบ _______________

ตอบ _______________ ตอบ _______________

ตอบ _______________ ตอบ _______________

1.18 Ben กบ Adam เรมตนวงทจดเดยวกนทสนามรปสเหลยมผนผาของโรงเรยน โดย Adam วงตามแนวเสนทแยงมมของสนาม ขณะท Ben วงไปรอบ ๆ ดงรป ใครวงไกลกวากนและไกลกวากนเทาใด

1.19 จะปกเสา (Pole) ใหตงตรงเพอกางเตนท โดยใหยอดเสาสงจากพน 1.5 เมตร มเชอก (Guy rope) ขงกบหมด (Peg) และปกกบพนใหเชอกตง โดยหมดอยหางจากโคนเสาเปนระยะ 2.0 เมตร เชอกยาวเทาใด

1.20 ขงเชอกระหวางเสา 2 ตนทอยหางกน 10 เมตร มนกศกษาซนคนหนงโหนเชอก หอยอยตรงกลาง โดยทราบวาตรงกลางเชอกหยอนลงมาจากแนวระดบเปนระยะ 2.0 เมตร เชอกยาวเทาใด

1.21 นนเรมวงออกก าลงกาย จากบานเปนเสนตรงไปทางตะวนออกเปนระยะ 3 กโลเมตร แลวจงนนเลยวซายไปทางเหนอ และวงตรงตอไปอก 10 กโลเมตร จงหยดพก ตอนนนนอยหางจากบานเปนระยะเทาใด หลงจากหยดพกแลว นนเดนเลนตอ โดยมงหนาไปทางทศตะวนออก จนตอนสดทาย นนอยหางจากบานเปนระยะ 20 กโลเมตร นนเดนเปนระยะเทาใด

5

4

4 a a

a

2

2

2 a 1

a

5

5 a

4 a

2

9

1.22 รปดานขางแสดงปายราน FISH AND CHIPS ทแขวนอยขางก าแพง เชอกทใชยาวเทาใด

1.23 รปดานขางแสดงเสากระโดงเรอ (Mast) โดยมแทงไม (Bar) ดนสายเคเบลทยดเสานไวกบดาดฟาเรอ (Deck) อย สายเคเบลยาวเทาใด

1.24 เสาเหลกสงตนหนงถกขงไวดวยสายเคเบล 2 เสน โดยเสนทสนกวายาว 40 เมตร ดงแสดงในรป เสานสงเทาใด และสายเคเบลเสนทยาวกวา ยาวเทาใด

1.25 ใหนกศกษาเตมคาของฟงกชน tansin,cos, กบคามม(ในบางขอ) ของรปสามเหลยมมมฉาก ตอไปน

sin A = _____ sin C = ____

cos A = ____ cos C = ____

tan A = ____ tan C = ____

A

l

d

h

C

w

x y

10

sin B = ____ sin A = ____ sin C = ____ sin D = ____

cos B = ____ cos A = ____ cos C = ____ cos D = ____

tan B = ____ tan A = ____ tan C = ____ tan D = ____

B =_____ A =_____ C =______ D =______

sin B = ____ sin A = ____ sin A = ____ sin B = ____

cos B = ____ cos A = ____ cos A = ____ cos B = ____

tan B = ____ tan A = ____ tan A = ____ tan B = ____

B =_____ A =_____ A =______ B =______

1.26 สามเหลยมมมฉากทมมมภายในมมหนงเปนมม โดยทราบวา 17

8sin ใหนกศกษาหาคา

cos และ tan

1.27 สเหลยมจตรศมความยาวดานละ 10 เซนตเมตร มเสนทแยงมมยาวเทาใด

1.28 ใหนกศกษาวาดกราฟ tan,sin,cos กบ โดยมคาตงแต 0 ถง 4 เรเดยน

1.29 ใหนกศกษาวาดกราฟ xy sin5

A 15

B

8 C

9

D 15

B

24 25

A

A B

11

1.30 ใหนกศกษาเตมคาของฟงกชนตรโกณมตลงในชองวางใหถกตอง โดย ในตารางมหนวยเปน เรเดยน

ฟงกชน 0

6

4

3

2

23

2

sin

cos

tan

1.31 ใหนกศกษาหาความยาว x กบ y ของรปตอไปน

ตอบ _______________ ตอบ _______________

ตอบ _______________ ตอบ _______________

ตอบ _______________ ตอบ _______________

1.32 เดกนอยคนหนงก าลงนงเลนบนชงชา โดยในรป เปนตอนทเขาแกวงไปจนถงจดสงสด เขาอยสงจากพนเทาใดในตอนน

1.33 กระดานลนในสนามเดกเลนอนหนง มความยาวของดานทเปนบนไดขนเทากบ 2 เมตร และมมมตาง ๆ เปนดงแสดงดงรป จดสงสดของกระดานลนอยสงจากพนเทาใด และดานทลนลงมายาวเทาใด

13

x 3

x 45o

30

o

y

y

x

9

x 45o

30

o

y

y

18

x 10

x 60o

53o

y

y

25

12

1.34 ทางลาดหนงยาว 10 เมตร และดานบนของทางลาดอยสงจากพน 2 เมตร มมททางลาดนท ากบแนวระดบมคาเทาใด

1.35 ตรงไมของธงใหอยนงบนก าแพงดวยเชอกดงแสดงในรป มมทเชอกท ากบก าแพง และมมทไมของธงท ากบก าแพง มคาเทาใด

1.36 รปดานลางน แสดงแผนภาพของสะพานอยางงายทใชสายเคเบล 4 เสนดงเอาไว ใหนกศกษาหาคามม , และความยาวของสายเคเบลแตละเสน

1.37 ในการหาความสงของตนไมตนหนง พบวา เมออยหางจากโคนตนไมเปนระยะ 50 เมตร มมเงยของ

ยอดตนไมทท ากบพนมคา 10o ตนไมนสงเทาใด

1.38 ชายคนหนงยนอยหางจากเสาไฟเปนระยะ 8 เมตร เขาวดมมเงยของยอดเสาทท ากบระดบสายตาได 34o เสาไฟนสงเทาใด

1.39 นกทองเทยวคนหนงพกอยในโรงแรม เมอเขามองออกมาจากหนาตางหองพกของเขา เขาจะเหนหอนาฬกา โดยจากการประมาณคราว ๆ เขาทราบวามมเงยทยอดหอนาฬกาท ากบแนวระดบสายตาของเขามคา 7o และมมกมทฐานของหอนาฬกาท ากบระดบสายตาของเขามคา 5o ถาหนาตางของเขาอยสงจากพนประมาณ 5 เมตร หอนาฬกานสงเทาใด และหอนาฬกานอยหางจากโรงแรมเทาใด

13

1.40 จงหาคามม ในรปตอไปน

1.41 จงหาความยาวของดาน ba, หรอ c ในแตละรปตอไปน

1.42 จากรปตอไปน ใหนกศกษาหาความยาวดานและมม ทยงไมทราบคา

14

1.43 ในรปดานขางน แสดงปนจนทก าลงถกใชงาน มม B มคาเทาใด และจด C อยสงจากพนเทาใด

1.44 พจารณากลองมมฉากทมความยาวของดานตาง ๆ เปนดงแสดงในรปดานขาง จงหาคาของมม

1.45 จงหาคาตอไปนโดยไมตองใชเครองคดเลข sin 60o=____________ sin 210o=____________ cos 135o=___________ cos 240o=____________ cos 315o=___________ cos 180o=____________ cos 300o=___________ cos 120o=____________ cos 495o=___________ cos 660o=____________ cos 540o=___________ cos 600o=____________

1.46 จากคา sin กบ cos ทใหมาตอไปน ใหนกศกษาหาวามม o3600 มคาเทาใด 8.0sin,6.0cos ตอบ________ 6.0sin,8.0cos ตอบ________

7660.0cos,6428.0sin ตอบ________ 0cos,1sin ตอบ________

1.47 จากกราฟดานลางน ใหนกศกษาพจารณาวาเปนของฟงกชนใด

1.48 ใหนกศกษาวาดกราฟตอไปน

2cossin3cos1 xyxyxy

15

บทท 2 ความสมพนธทเหนบอยในฟสกส ในธรรมชาต เรามกพบเหนความสมพนธตอไปน ระหวางปรมาณทางฟสกสคอนขางบอย : เชงเสน โพลโนเมยล เอกซโปเนนเชยล และลอการทม ในตอนนเราจะพจารณาสมบตทางคณตศาสตรของความสมพนธเหลานโดยสงเขป และฝกฝนท าแบบฝกหดทเกยวของ

ตอนท 2.1 ฟงกชนเชงเสน ถาให xfy เปนปรมาณบนแกนตงและ x เปนปรมาณในแกนนอน ความสมพนธเชงเสนของปรมาณทงสองเปนตามสมการ bmxxfy โดยท m และ b คอคาคงท พกด b,0 เปนจดทกราฟตดกบแกนตง สวน m เปนคาความชนของกราฟ เราหาคาความชนของกราฟเสนตรงไดจาก

x

y

xx

yym

12

12

โดย 1 1 2 2, , ,x y x y เปนคล าดบ 2 คใด ๆ ของจดบนเสนกราฟ

ถาม นกศกษาทราบหรอไมวา ถาความชนของเสนตรงทมคาเปนลบ ศนย หรอบวก เสนตรงมลกษณะเปนอยางไร ตอบ___________________________________ ถาม เมอพจารณา y mx b และให y เปนแกนตง x เปนแกนนอน จดตดแกนนอนมพกดเปนอะไร (ตอบในรปของคาคงท m และ b )

ตอบ___________________________________ ถาม ถาเรามความสมพนธทเปนเสนตรงระหวางความเรวกบเวลา เมอเราน ามาพลอตกราฟโดยใหความเรวเปนแกนตง เวลาเปนแกนนอน และศนยอยทจดก าเนด ความชนของกราฟเสนนคอปรมาณอะไร จดตดแกนตงคอปรมาณอะไร จดตดแกนนอนคอปรมาณอะไร ตอบ___________________________________ ถาม ในปรากฏการณโฟโตอเลกตรก เราทราบวาพลงงานจลน

kE ของอเลกตรอนทหลดออกมาจากโลหะทถกแสงฉาย มคาไมขนอยกบ ความเขม I ของแสงทฉาย นกศกษาคดวากราฟทแกนตงเปน

kE

แกนนอนเปน I มลกษณะเปนอยางไร ตอบ___________________________________ ถาม ในปรากฏการณโฟโตอเลกตรก เราทราบพลงงานจลน

kE ของอเลกตรอนทหลดออกมาจากโลหะทถกแสงฉายมคาขนอยกบความถ f ของแสงทฉายบนโลหะ ตามสมการ hfEk

โดยท h เปนคาคงตวของพลงคซงไมขนกบชนดของโลหะ แต เปนคาคงตวทขนกบชนดของโลหะ นกศกษาคดวา กราฟทแกนตงเปน

kE แกนนอนเปน f ส าหรบโลหะ 2 ชนดจะมลกษณะเหมอนกนหรอตางกนอยางไร ตอบ___________________________________

ตอนท 2.2 ฟงกชนเลขยกก าลง ความสมพนธทเราเหนบอยครงอกอยางหนง คอ ความสมพนธแบบเลขยกก าลง ในรปของ

naxxfy โดยท a กบ n เปนคาคงตว เรยก n วา ดชน (ไมจ าเปนตองเปนเลขจ านวนเตม) และเรยก x วา ฐาน ในทน ฐาน เปนตวแปร

นกศกษาควรทราบกฎทเกยวของตอไปน 10 x ถา 0x xx 1

xx

11 mnmn xxx

mnmn xxx nn xx 1

nmmn xx nnn xzzx

16

ตอนท 2.3 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล เอกซโปเนนเชยลเปนฟงกชนเลขยกก าลงทม ฐาน เปนคาคงตว และเลขยกก าลงหรอดชน เปนตวแปร เชน xy 2 (ในทน เลขชก าลง x เปนตวแปร) เปนตน ในฟสกส เลขฐานทเหนบอยครงจะเปน “เลขธรรมชาต” e โดย e เปนเลขทศนยมไมรจบ มคา

69995...470937757266249713520287423536590451828471828.2e5

นนคอ ความสมพนธทเราจะไดเหนบอยในฟสกสจะอยในรป bxaexfy โดย a กบ b เปนคาคงท

ตอนท 2.4 ฟงกชนลอการทม เปนฟงกชนสวนกลบของฟงกชนเอกโปเนนเชยล กลาวคอ เราจะเขยนฟงกชนลอการทมวาเปน

xy alog โดยท xa y และ 0a เสมอ สมบตบางประการทนกศกษาตองทราบไดแก

vuv

u

vuuvbub

a

aaa

aaaau

a

aa

logloglog

logloglogloglog

1log01log

ถาฐานของฟงกชนลอกเปนเลขธรรมชาต หรอ ea เราจะเขยนเปน xxy e lnlog ถาฐานของฟงกชนลอกเปนเลข 10 หรอ 10a เราจะเขยนเปน xxy loglog10

ตอนท 2.5 การเขยนและการหาขอมลจากกราฟ กราฟเปนเครองมอชวยวเคราะหทส าคญส าหรบฟสกส การพลอตกราฟของขอมล ชวยใหเราเหนแนวโนมของขอมล เหนคาทผดปกตไปจากพวก(ถาม) และชวยใหเราสามารถดงขอมลอยางอนของระบบไดโดยไมตองวดโดยตรงดวย

กราฟเปนแผนภาพทแสดงใหเหนวา ปรมาณหนงขนกบอกปรมาณหนงอยางไร เมอเราท าการทดลอง เรามกพจารณา ปรมาณ 2 อยาง ปรมาณหนงเปนปรมาณทเราเปลยนแปลงคา แลววดดวา อกปรมาณหนงเปลยนไปตามอยางไร เราเรยกปรมาณแรกวา ตวแปรตน (Independent variable) ซงเรามกจะใหเปนปรมาณบนแกนนอนของกราฟ อกปรมาณหนงทเราวดหลงจากทเราเปลยนตวแปรตน เราเรยกวา ตวแปรตาม (Dependent variable) โดยเรามกจะใหเปนปรมาณบนแกนตงของกราฟ เมอพลอตกราฟเราจะระบชอของปรมาณพรอมหนวยทเราใชในการทดลองลงไปบนแกนทงสองของกราฟเสมอ ในรปดานลางแสดงตวอยางกราฟของความสมพนธระหวางต าแหนง Position ในหนวย m ของคน ๆ หนงทเวลา Time คาตาง ๆ ในหนวย s (สงเกตวา จดวงกลมเทานนเปนการลงจดขอมล สวนเสนตรงทลากผานจดขอมล เปนสวนหนงของการวเคราะหของมล ซงเราจะกลาวในยอหนาตอ ๆ ไป)

5 http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)

17

เรองท 2.5.1 การวเคราะหกราฟเสนตรง และการใชกราฟสเกลลอการทม กราฟเสนตรง เปนความสมพนธทเราสามารถวเคราะหขอมลอยางอนจากกราฟ ไดงายทสด กลาวคอ เราสามารถหาความชนของกราฟเสนตรงและคาจดตดแกนทงสองได (โดยสวนใหญ เราจะสนใจจดตดแกนตงมากกวา) อยางทเราไดกลาวในเรองฟงกชนทเราควรทราบแลว ความสมพนธของปรมาณ y กบ x ทเปนเสนตรงเขยนไดเปน y = mx + b โดย m เปนความชน และ b เปนคาจดตดบนแกนตง

เมอเราพลอตจดผลการทดลองลงกระดาษกราฟแลว เราจะลากเสนตรงทดทสด คอ ผานจดทดลองใหไดมากทสด (หรอเปนเสนตรงตวแทนขอมลทดทสด) โดยเสนตรงทเราลาก เราจะลากใหตดแกนตง เราสามารถหาคาความชนของเสนตรงน โดยการอานคาคล าดบทอยบนเสนตรง (ไมใชจดทเปนขอมล) 2 จด (x1, y1) กบ (x2, y2) แลวคาความชน คอ

x

y

xx

yym

12

12 ซงเปนคาทบอกถงอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x

(คาบวก ศนย หรอ ลบ จงบอกอตราการเปลยนแปลงในลกษณะทตางกน) ในกรณของกราฟต าแหนง Position ของคน ๆ หนงทเวลา Time ดานบน จดทน ามาหาความชนคอ (8.4 s, 13.6 m) กบ (0.4 s, 1.6 m) และไดคาความชนออกมาเทากบ 1.5 m/s ซงเปนคาความเรว (สงเกตวา การค านวณคาทไดท าตามหลกการค านวณเลขนยส าคญ และความชนมหนวย) สวนคาจดตดแกนตง คอ y(x=0) = b ในกรณของกราฟดานบนน b = 1.0 m (ต าแหนงเรมตนของคนผน นนเอง)

ถาเรามขอมลจากการทดลอง ทมความสมพนธเปนอยางอนไมใชเสนตรง เราอาจตองการจดรปความสมพนธของขอมลใหม ใหเปนเสนตรงกอนพลอตลงกราฟสเกลปกตได เชน คาการเปลยนต าแหนง (y – y0) ของวตถทตกลงมาภายใตแรงโนมถวงของโลก มความสมพนธกบชวงเวลา (t) เปนสมการยกก าลงสอง ดงน 2

21

0 gtyyy โดยท g คอคาความเรงโนมถวงของโลก ซงถาเราพลอต y กบ

t เราจะไมไดกราฟเสนตรง แตถาเราจดรปสมการใหมใหเปน ygt 22 และพลอต 2t เปนแกนตงและ y เปนแกนนอนแทน เรากจะได กราฟเสนตรงทมความชนเทากบ

g

2 และจดตดแกนเปนศนย

ถาม จาก 2

21 gty เราสามารถพลอตแกนนอนกบแกนตงเปนอยางอนไดไหมเพอใหไดกราฟ

เสนตรง และความชนกบจดตดแกนจะเปนปรมาณใด

นอกจากการจดรปฟงกชนใหมในลกษณะขางบนแลว ความสมพนธทเปนแบบ Power law หรอ baxy n กบแบบเอกซโปเนนเชยล axbey เราสามารถแปลงใหเปนแบบเชงเสนไดอก

ลกษณะหนง คอ การหาคาลอการทมของความสมพนธ ดงแสดงตอไปน Power law: baxy n

naxby naxby lnln nxaby lnlnln

xnaby lnlnln จะเหนไดวา ถาเราพลอต by ln เปนแกนตงและ xln เปนแกนนอนบนกราฟสเกลปกตเราจะไดกราฟเสนตรงทมความชนเปน_________ และจดตดแกนตงเปน__________

เอกซโปเนนเชยล: axbey axbey lnln

axeby lnlnln eaxby lnlnln

axby lnln จะเหนไดวา ถาเราพลอต yln เปนแกนตง และ x เปนแกนนอนบนกราฟสเกลปกต เราจะไดกราฟเสนตรงทมความชนเปน________ และจดตดแกนตงเปน__________ หรอส าหรบความสมพนธ baxy n ถาเราไมพลอตบนกราฟสเกลปกต แตพลอตบนกราฟสเกลลอการทม-ลอการทม แทน โดยเราพลอต by เปนแกนตงและ x เปนแกนนอน เรากจะไดเสนตรง แตการหาคาจดตดแกนกบคาความชนบนกราฟสเกลลอการทม-ลอการทม จะตางไปจากกราฟบนสเกล

18

ปกตเลกนอย ดงจะบรรยายใหทราบในยอหนาถดไป รปดานลางแสดงตวอยางกราฟทมสเกลลอการทมบนทงสองแกน

สงทนกศกษาควรสงเกต คอ ระยะระหวางเลขถดกนบนสเกล Log-log มคาไมเทากน เชน ระยะระหวาง 1 กบ 2 ไมเทากบ

ระยะท 2 หางจาก 3 เลข 1 (หรอ 2 หรอ 3 หรอ 4 หรอ ...) ทอยถดกนมคาตางกน 10 เทา ไมมเลขศนยบนแกน เพราะ “ศนย” บนสเกลลอการทม อยท 1 กลาวคอ 01ln

ส าหรบการลงจดบนกราฟสเกลลอการทม เนองจากระยะบนสเกลบงบอกถงความเปนคาลอการทมแลว เราจงไมตองหาคาลอการทมของขอมลกอนพลอตแตอยางใด ใหนกศกษาลงจดตามปกตไดเลย แตเมอนกศกษาตองการคาความชน ความชนของเสนตรงทไดจากในกรณนหาไดจาก

2 1

2 1

ln ln

ln ln

y ym

x x

โดย 1 1 2 2, , ,x y x y เปนคล าดบทอานจากเสนกราฟ สวนจดตดแกนตงจะมคาตรงกบคาของ a ใน naxy โดยใหนกศกษาตระหนกไววา จดตดแกนตงบนกราฟสเกลลอการทมลอการทม นคอ คาของ

y เมอ x = 1 ตวอยางของความสมพนธทเปนแบบเลขยกก าลงกไดแก คาคาบT ของการกวดแกวงเปน

มมเลก ๆ ของลกตมทยาว กลาวคอ มความสมพนธเปน g

T

2 โดยท g คอคาอตราเรงโนม

ถวงของโลก

ส าหรบความสมพนธ axbey ถาเราไมพลอตบนกราฟสเกลปกต แตพลอตบนกราฟสเกลกงลอการทมแทน โดยเราพลอต y เปนแกนตง(สเกลลอการทม) และ x เปนแกนนอน(สเกลปกต) เรากจะไดเสนตรง

โดยจดตดแกนตงจะมคาตรงกบคาของ b ใน axbey แตการหาคาความชนจะตางไปจากกราฟบนสเกลปกตเลกนอย ดงจะบรรยายใหทราบในยอหนาถดไป

รปในหนาถดไป แสดงตวอยางกราฟทมสเกลกงลอการทมบนแกนตง

ในกรณทใชกราฟกงลอการทม โดยแกนตงเปนสเกลลอการทมและแกนนอนเปนสเกลปกต นกศกษาหาคาความชนของเสนตรงบนกราฟไดจาก

2 1

2 1

ln lny ym

x x

โดย 1 1 2 2, , ,x y x y เปนคล าดบทอานจากเสนกราฟ

19

ตวอยางของความสมพนธทเปนแบบเอกซโปเนนเชยลในฟสกส กไดแก ความสมพนธระหวางความตางศกย V ตกครอมตวเกบประจทก าลงคายประจทเวลา t ตาง ๆ เปนดงน teVV 0

โดย 0V คอคาความตางศกยตกครอมของตวเกบประจทเวลาเรมตน เรยกวาคาคงทเวลา

เรองท 2.5.2 แนวปฎบตในการเขยน/พลอตกราฟทเหมาะสม หลกการโดยทว ๆ ไปในการเขยน/พลอตกราฟทเหมาะสมกคอ ใหตระหนกไววา กราฟทเราวาดหรอพลอตนน เมอเสรจแลว ควรเปนกราฟทเหนแลวสามารถเขาใจไดโดยตวของกราฟเอง กราฟจงควรมชอกราฟทเปนค าพดบรรยาย ไมใชสญลกษณทางคณตศาสตร เชน การเขยนชอกราฟวา “กราฟความสมพนธระหวางต าแหนงของวตถทตกภายใตแรงโนมถวงของโลกกบเวลาทใชยกก าลงสอง” ยอมอานแลวเขาใจไดดกวา “กราฟ y กบ t2” นอกจากชอกราฟแลวกตองมการระบชอแกนพรอมกบหนวยทสอดคลองกนดวย หากมขอมลมากกวา 1 ชด บนกราฟเดยวกน กควรทจะใชจดทมรปตางกน เชน เปน วงกลม สามเหลยม หรอ สเหลยม พรอมระบดวยวา จดแบบใดหมายถงขอมลชดไหนในกราฟ เมอลงจดจากขอมลทวดไดแลว หามลากเสนตรงจากจดตอจดเดดขาด ควรใชพนทของหนากระดาษใหมประสทธภาพมากทสด หมายความวา เราควรวางแผนการตงสเกลใหเหมาะสมตามชวงของขอมลทเราวดไดและพนทของกราฟทเราม หากไมจ าเปนเราไมควรยนสเกล เพราะการยนสเกล จะท าใหเราอานคาจดตดแกนจากกราฟไมได เมอตองการลากเสนตรงทเปนเสนตวแทนของขอมล เสนตรงทเราลากจะเปนเสนทดทสดกตอเมอผานจดขอมลของเรามากทสดเทาทจะเปนไปได ไมควรลากจากจดทอยแรก (ต าสด) ไปถงจดทอยสดทาย (สงสด) กราฟดานลางแสดงตวอยางหนงของการเขยน/พลอตกราฟทเหมาะสม

20

แบบฝกหดบทท 2 2.1 จด A, B, C, D บนแกนในรปดานลางน มพกดเปนอะไร

2.2 ใชแกนกราฟในขอ 2.1 ลงจดทมพกดตอไปน : (-1, 4), (2, 5), (5,4), (2,-1) 2.3 ใหนกศกษาลงจดทมพกดตอไปน แลวลากเสนตรงผานทกจด พรอมทงเขยนความสมพนธของพกด

เหลานเปนความสมพนธทางคณตศาสตร: (0, 0), (1, 3), (3,9), (5, 15)

2.4 เสนตรงในกราฟดานลางน มความชนเทาใดบาง

2.5 กราฟเสนใดบาง ทมความชนเปนลบ

21

2.6 เสนตรงทเชอมจด 2 จด ตอไปน มความชนเทากบเทาใด a) (4, 8) กบ (10, 11) มความชน _____________ b) (0, 100) กบ (50, 0) มความชน _____________ c) (-1, 9) กบ (3, -3) มความชน _____________ d) (-6, -2) กบ (-2, -9) มความชน _____________ e) (-6, -4) กบ (10, 28) มความชน _____________

2.7 ใหนกศกษาหาสมการเสนตรงในขอ 2.6 a) _____________ b) _____________ c) _____________ d) _____________ e) _____________

2.8 ใหนกศกษาวาดกราฟตอไปน พรอมทงหาความชน จดตดแกนนอนและจดตดแกนตง

13

222

4253

xyyxxy

xyxyxy

2.9 กราฟเสนตรงดานลางน มสมการเปนอะไร

2.10 ผลคณ 3 x 3 x 3 x 2 x 2 เขยนเปนเลขยกก าลงไดเปน_______________

2.11 จ านวน 27 เทากบ 3 ยกก าลง อะไร

22

2.12 ใหนกศกษาใชกฎของเลขยกก าลงเขยนปรมาณตอไปนในรปทงายขน (โดยค าตอบยงอยในรปเลขยกก าลง)

2.13 ใหนกศกษาค านวณคาของปรมาณตอไปนและบอกวา ปรมาณในขอใดทมคาเทากนบาง

a) 22 32 b) 22 32 c) 2

32 d) 2

32

e) 2

2

3

2

f) 2

3

2

2.14 ใหนกศกษาใชกฎของเลขยกก าลงเขยนปรมาณตอไปน ในรปทงายขน (ค าตอบ ยงอยในรปเลขยกก าลง)

2.15 ใหนกศกษาเขยนปรมาณตอไปนในรปทงายขน (ในรปเลขยกก าลง)

2.16 ใหนกศกษาเขยนปรมาณตอไปน ในรปของเลขยกก าลง

23

2.17 ใหนกศกษาเขยนปรมาณตอไปนในรปทงายขน (ใหตอบทงในรปของเลขยกก าลง และเปนคาตวเลขดวย)

2.18 ใหนกศกษาเตมตวเลขลงในตารางพรอมทงพลอตกราฟของฟงกชนตอไปน

a) 2)( xxf

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

b) 22xxf

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

24

c) 13 2 xxf

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

d) 1)( 3 xxf

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

25

2.19 ใหนกศกษาเตมตวเลขลงในตารางพรอมทงพลอตกราฟของฟงกชนตอไปน a) xxf 2)(

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

b) xxf 3)(

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

26

c) xxf 2

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

d) xxf 5.0

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

27

e) xexf )(

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

f) xexf 2)(

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

28

g) xexf )(

x y = f(x)

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

2.20 จากกราฟของฟงกชน xaxgy )( ดานลางน ใหนกศกษาหาวา a มคาเทากบเทาใด

2.21 ก าหนดให )(tN เปนปรมาณสารกมมนตรงสทเวลา t ใด ๆ และ

0N เปนปรมาณ ในตอนเรมตน (ท 0t ) ถา คอ คาเวลาครงชวตของสารกมมนตรงส (เวลาครงชวต คอ ชวงเวลาทผานไป แลวสารเหลอเทากบครงหนงของตอนเรมตน) ใหนกศกษาเขยน )(tN วา มคาเปลยนไปกบเวลาอยางไร (เปนฟงกชนเอกซโปเนนเชยลแบบลดลง ในรปของ ,0N )

2.22 จากขอ 2.21 ถาสารกมมนตรงสหนง ในตอนเรมตนมปรมาณทงหมด 10 หนวย และมคาเวลาครงชวตเทากบ 25 ป เมอเวลาผานไป 75 ป และ 125 ป จะเหลอสารกมมนตรงสนเปนปรมาณเทาใด ตามล าดบ

29

2.23 อมปลจดของการกวดแกวง A (ในหนวย เซนตเมตร) ของมวลตดสปรงมคาลดลงไปตามเวลา t (ใน

หนวย วนาท) ตามสมการ 10cm 0.2)(

t

etA

ทเวลาเรมตน มวลตดสปรงน กวดแกวงดวยอมปลจดเทากบเทาใด เมอเวลาผานไป 10 วนาท กบ 20 วนาท อมปลจดของการกวดแกวงมคาเปนเทาใด

2.24 จากกราฟของฟงกชน xxfy blog)( ดานลางน ใหนกศกษาหาวา b เทากบเทาใด

2.25 จงหาคาของปรมาณตอไปน

512log8_______________

361

6log _______________

5

2 16log _______________

00001.0log10_______________

2.26 ถาเราเขยนวา 532log 2 แลว 32 =_____________ ถาเราเขยนวา 3ln x แลว x =_____________ ถาเราเขยนวา x9log แลว 9 =_____________

2.27 ถานกศกษาทราบวา 3562.02log aและ 5646.03log a

จงหาคาของ

6log a_______________

5.1log a_______________

9log a_______________

2.28 ใหนกศกษาหาคา x จากสมการตอไปน 164 1 x

24 8 xe

log8(x − 5) + log8 (x + 2) = 1 2log(2x) = 4

2.29 ระดบความเขมเสยง มหนวยการวดเปน เดซเบล มคาตามสมการ0

log10II โดย คอ I

ความเขมเสยง มหนวยเปนวตตตอตารางเมตร และ0I คอคาความเขมต าสดทเราสามารถไดยนได ม

คาเทากบ 1210 วตตตอตารางเมตร ถานกศกษาไดยนเสยงจากล าโพงตวหนง ความเขมเทากบ 10 วตตตอตารางเมตร ระดบความเขมเสยงมคาเทาใด

30

2.30 ใหนกศกษาพจารณาวาขอมลแตละคตอไปน ขอมลใดควรเปนตวแปรตน หรอ ตวแปรตาม ชวงเวลาทใหความรอนตอวตถ กบ อณหภมของวตถ อตราเรวรถ กบ ระยะทางทรถวงได จ านวนสมาชกในครอบครว กบ คาของใชและอาหารในบานตอสปดาห อตราการไหลของน าในล าธาร กบ ปรมาณฝนทตกลงมา อายของตนไม กบ ความสงของตนไม คะแนนสอบของนกศกษา กบ จ านวนชวโมงการอาน/เตรยมตวสอบของนกศกษา จ านวนประชากรในชมชน กบ จ านวนโรงเรยนในชมชนนน ๆ

2.31 ใหนกศกษาหาชวงกวางของขอมลตอไปน โดยเราทราบคาสงสด และต าสดของขอมล

2.32 จากขอมลทเปนคล าดบตอไปน ใหนกศกษาสรางตารางแลวลงจดในกราฟใหสมบรณ โดยตวหนา

ของคล าดบเปนคาของเวลาในหนวยนาทและตวหลงเปนคาของระยะทางในหนวยกโลเมตร: (0,5.0), (10,9.5), (20,14.0), (30,18.5), (40,23.0), (50, 27.5), (60,32.0)

a) จากกราฟทได หลงจากนกศกษาลากเสนตรงทเปนตวแทนของขอมลแลว ใหหาค าตอบวา เมอเวลามคาเทากบ 45 นาท ระยะทางมคาเปนเทาใด

b) นกศกษาคดวาเปนกราฟของ คนทก าลงวง คนทก าลงขจกรยาน หรอวาคนทก าลงขบรถ

31

2.33 ใหนกศกษาพลอตกราฟจากขอมลในตารางดานลาง X (s) 1.2 2.2 3.3 4.2 5.3 6.2 7.4 Y (m) 3.5 4.4 5.6 6.4 7.3 8.3 9.2

a) ความสมพนธของขอมลเปนเสนตรงหรอไม ถาเปน ใหนกศกษาหาคาความชนของขอมล

และระบวาเปนปรมาณอะไร b) จดตดแกนตงมคาเทาใด เปนปรมาณอะไร c) จากขอ a) กบ b) สมการความสมพนธ เปนอยางไร (ตอบในรป y = mx + b)

2.34 จากขอมลทเปนค าบรรยายการเคลอนทของแมลงตวหนงตอไปน ใหนกศกษาวาดกราฟต าแหนงกบ

เวลา และตอบค าถามดานลาง A. แมลงเรมเคลอนทจากต าแหนง x = 2 m โดยคบคลานไปทางซายเปนระยะ 6 m

ในเวลา 10 s B. จากนนหยดอยตรงนนาน 2 s C. แลวกคบคลานตอไปทางซายอก 2 m โดยใชเวลา 6 s D. จากนนกลบล า คบคลานไปทางขวาเปนระยะ 10 m ในเวลา 8 s E. แลวในอก 4 s กกลบมาอยทจดเรมตน

a) ความเรวของแมลงในแตละชวงดานบน b) ระยะทางทงหมดทแมลงเคลอนทไดตลอดการเคลอนท c) การกระจดของแมลงตลอดการเคลอนท d) อตราเรวเฉลยของแมลงตลอดการเคลอนท e) ความเรวเฉลยของแมลงตลอดการเคลอนท f) ใหนกศกษาพลอตกราฟ ความเรวกบเวลาของแมลงตวน

32

2.35 ขอมลทก าหนดใหดานขวาน เปนคาคาบของการกวดแกวงของลกตม เมอความยาวมคาตาง ๆ กน

ใหนกศกษาวาดกราฟระหวางคาบ กบความยาวจากขอมลน ลงบนกราฟสเกลลอการทมดานลาง แลวพจารณาวาความสมพนธทได เปนตามสมการ gT 2 หรอไม ถาเปน ความชนมคาเทาใดและเทยบไดกบปรมาณใดในสมการ จดตดแกนตงมคาเทาใด และเทยบไดกบปรมาณใดในสมการ (อยาลมวาจดตดแกนตงของกราฟนอยท x = 1) นกศกษาสามารถค านวณหาคา g ไดจากกราฟนหรอไม ถาได ไดเทากบเทาใด

ความยาว (m) คาบ (s) 0.130 0.800 0.345 1.28 0.830 1.86 1.65 2.55 4.25 4.00 8.90 5.50

33

2.36 ในการทดลองเรองวงจรไฟฟา RC (วงจรทมตวตานทานตออนกรมกบตวเกบประจ) ความตางศกย V ตกครอม C ทเวลา t ใดๆ มความสมพนธตามสมการ teVtV 0

โดยV มหนวยเปนโวลต และ t มหนวยเปนวนาท เรยก วา คาคงตวของเวลา จากขอมลทไดจากการทดลองดงตารางดานซายน ใหนกศกษาวาดกราฟบนสเกลกงลอการทม โดยใหแกนตงคอ V และแกนนอน t แลวพจารณาวาความสมพนธทไดเปนตามสมการ teVtV 0

หรอไม ถาเปน ความชนมคาเทาใด เทยบไดกบปรมาณใดในสมการ จดตดแกนตงมคาเทาใดเทยบไดกบปรมาณใดในสมการ คา ของการทดลองนมคาเทาใด

เวลา(s)

ความตางศกย(V)

2.00 86.2 4.00 74.0 6.00 54.3 8.00 26.4 10.0 9.80 12.0 5.90 14.0 1.80

34

บทท 3 การแกสมการหนงกบสองตวแปร ในฟสกสเรามกตงสมการจากหลกหรอกฎฟสกสทเราทราบ และจะมปรมาณทเราตองการหาคาอยในสมการน เราจงตองแกสมการอยบอยครง สมการทเราจะไดเปนในรายวชาฟสกส 1 และฟสกส 2 สวนใหญกเปนสมการทมฟงกชนซงเราไดกลาวมาแลวในบทท 2 ในบทนเราจะพจารณาหลกการโดยทว ๆ ไปของการแกสมการหนงตวแปรกบสองตวแปร

ความรทเราตองใชในการแกสมการกเปนความรทางพชคณต (บวก ลบ คณ หาร) และความรเกยวกบสมบตของฟงกชนทอยในสมการ เพราะเรามกตองการจดรปใหทางดานหนงของสมการ มเพยงตวแปรเดยวทเราตองการหาคา เชน ถาเรามสมการ 755 x เราจะหาคา x โดยการเอา 5 หารตลอดทงสองขางสมการได

5

75

5

5

x ซงท าใหไดผลสดทายเปน 15x เปนตน หลกการโดยทวไป กคอ เมอเราท าอะไร

กบขางหนงของสมการ เรากตองท าสงนนกบอกขางหนงดวย เพอคงความเทากนของทงสองขางไว

ส าหรบสมการทม 1 ตวแปร ในรป 02 cbxax โดย cba ,, เปนคาคงท ซงพบเหนบอยในฟสกส 1 เราหาคา x ไดจาก

a

acbbx

2

42 นนคอ คา x ม 2 ค าตอบในทางคณตศาสตร

ส าหรบกรณของสมการทม 2 ตวแปร เรามเทคนคหลายอยางในการแกสมการ ขอใหนกศกษาใชเทคนคทตนเองถนด ในทนจะแสดงใหด 2 อยาง คอ การแทนคาตวแปรหนงในรปของอกตวแปรหนง ทไดจากสมการแรก ลงในสมการท 2 กบ การคณตลอดสมการดวยตวเลขทเหมาะสม เพอใหสามารถก าจดตวแปรหนงได โดยน าเอาทงสองสมการมาบวกหรอลบกน ตวอยางเชน 183 yx , 932 yx เทคนคการแทนคา: จากสมการ 2 ตวแปรดานบน เราเขยน x ในรปของ y จากสมการดานซาย ไดเปน

3

81 yx

เรากน าคาน แทนลงสมการดานขวาได 932

3

81

y

y

กระจาย 2 เขาไปในวงเลบได 933

16

32 y

y

เอาเศษ 2 สวน 3 ลบออกจากทงสองขางสมการได 32

3

9169

yy

จดรปโดยใชพชคณตเลกนอยได 3

2273

25 y

325

3

25

y 1y และเมอแทนคากลบไปในสมการซาย (หรอขวากได) จะได 3x เทคนคการก าจดตวแปรโดยการคณสมการ: เมอพจารณาสมการทงสองแลว และตดสนใจวาจะก าจดตวแปร x กอนเราจะหา ค.ร.น. (ตวคณรวมนอย) ของ 3 กบ 2 ซงเปนตวเลขทอยหนา x ค.ร.น. ของ 3 กบ 2 คอ 6 จากนนเราจะคณสมการบนกบสมการลางโดยตลอด ดวยเลข 2 กบ 3 ตามล าดบ เพอใหเลขทคณอยหนา x เปนเลข 6 เหมอนกน ซงท าใหไดวา

21661832 yxyx 27969323 yxyx

จากนนเอาสมการบนตง แลวลบออกดวยสมการลาง จะได 27296166 yxyx

2596166 yxyx

2525 y ซงได 1y เชนเดยวกบดานบน

ส าหรบสมการทอยในรปฟงกชนอน ๆ ทเราคนเคย เชน ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนเลขยกก าลง ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล หรอฟงกชนลอการทม นกศกษาตองใชความรของฟงกชนนน ๆ มาชวยในการแกสมการ ซงโจทยปญหาบางสวน นกศกษาไดท าไปบางแลวในแบบฝกหดบทท 2 ***เมอไดค าตอบจากการแกสมการแลว นกศกษาตองตรวจค าตอบทกครง โดยการแทนคากลบเขาไปในสมการ***

35

แบบฝกหดบทท 3

3.1 ใหนกศกษาหาคา x ของสมการตอไปน 1353 x

1232 xx

2

1

68

89

x

x

993

25

x

x

323

145

x

x

3.2 ใหนกศกษาหาคา t ของสมการตอไปน 013 2 tt

06136 2 tt

0125 2 tt

0222 tt

04822 tt

0155 2 tt

052 tt

3.3 ใหนกศกษา x ของสมการตอไปน 2sincos3 xx ( 20 x )

5sin2cos4 xx ( 20 x )

766.0sin x ( 20 x )

36

17.0cos x ( 20 x )

xx sin32sin3

25

21 sec3sec xx

34tan2 x

732 x

1000103 x

30146 x

234 xe

1127 4 x

0187 24 xx ee

0652 xx ee

084 73 xx ee

0187 24 xx ee

25log3 x

6ln x

28log 7

2 x

32log 2 x

37

3.4 ใหนกศกษาหาคา x และ y ของสมการตอไปน 2 yx

12 yx

1434 yx 2649 yx

1426 yx 1232 yx

425 yx 537 yx

85 yx 422 yx

xy ln 1 yx

3.5 เครองก าเนดไฟฟากระแสสลบหนง ใหความตางศกยทมคาเปลยนไปตามเวลา ดงน ttV cos20 โดยV มหนวยเปนโวลต และ t มหนวยเปนวนาท ทเวลา s 2t คาใดบาง

ทความตางศกยตกครอมทเครองก าเนดไฟฟาใหมคา 20 โวลต

3.6 ในหองเรยนวชาฟสกส มนกศกษาทงหมด 28 คน โดยทราบวา มจ านวนนกศกษาชายมากกวาจ านวนนกศกษาหญงอย 6 คน มนกศกษาชายกคน และนกศกษาหญงกคนในหองเรยนวชาน

3.7 จงหาความยาว a กบ b ในรปดานขางน

3.8 เรอแลนตามกระแสน าสามารถแลนไดดวยอตราเรว 24 ไมลใน 2 ชวโมง และถาเรอล าเดยวกนนแลนสวนกระแสน าเดม จะใชเวลา 3 ชวโมง จงแลนไดระยะ 24 ไมล เรอแลนดวยอตราเรวเทาใดในน านง และกระแสน าดงกลาวไหล ดวยอตราเทาใด

38

3.9 รถไฟ 2 ขบวน ในตอนเรมตน อยหางกนเปนระยะ 330 ไมล โดยทราบวา ทงคก าลงแลนเขาหากนดวยอตราเรวทตางกน เทากบ 20 ไมลตอชวโมง ปรากฏวาใชเวลาทงหมด จากตอนเรมตน 3 ชวโมง จงจะมาพบกนพอด (ไมชนกนเพราะแลนบนคนละราง ทขนานกน) รถไฟแตละขบวนมอตราเรวเทาใดบาง

3.10 ตองใชสารละลายเกลอความเขมขน 3% กแกลลอน จงจะผสมกบสารละลายเกลอความเขมขน 7% จ านวน 50 แกลลอน แลวไดสารละลายเกลอความเขม 5%

3.11 ใหนกศกษาหาคา A และ0 ของสมการ 2 ตวแปร ตอไปน

00 sincm 2,cos75.0 A

00 coscm 8,sin5.0 A

3.12 จากสมการ teyty 4

0

ท t เทากบเทาใด 2

0yty

3.13 ในการทดลองวงจรไฟฟา RC ความตางศกยV ตกครอม C ทเวลา t ใด ๆ มคาตามสมการ

teVV 0โดยV มหนวยเปนโวลต และ t มหนวยเปนวนาท ทราบวา ในตอนเรมตน ( 0t )

ความตางศกยตกครอม C มคาเทากบ 12.0 โวลต และเมอเวลาผานไป 2.0 วนาท ความตางศกยตกครอมมคาเหลอ 4.0 โวลต คาคงตวเวลา ( )ของวงจร RC น มคาเทาใด

3.14 ระดบความเขมเสยง มหนวยการวดเปนเดซเบล มนยามตามสมการ0

log10II โดย คอ I

ความเขมเสยง มหนวยเปนวตตตอตารางเมตร และ0I คอคาความเขมเสยงต าสด ทเราสามารถได

ยนได มคาเทากบ 1210 วตตตอตารางเมตร ถานกศกษาไดยนเสยงจากล าโพงตวหนง โดยมคาระดบความเขมเสยง 90 เดซเบล ความเขมเสยงจากล าโพงตวนมคากวตตตอตารางเมตร

39

บทท 4 อนพนธ และปรพนธของฟงกชน แคลคลสเปนเครองมอทางคณตศาสตรทฟสกสใชอยเสมอ ในตอนนเราจะสรปสมบตและกฎส าคญทเกยวของและจ าเปนส าหรบการน ามาประยกต ในรายวชาฟสกส 1 และฟสกส 2

เรองแรกทจะกลาวถงกอนกคอ อนพนธของฟงกชน ซงมนยามดงน ถา y เปนฟงกชนของ x อนพนธของy เทยบกบ x หรอ

dx

dy

คอ คาความชนของเสนตรงทเชอมจด 2 จด 11, yx กบ 22, yx บนเสนกราฟ

xy เมอผลตางตามแนวนอนของคล าดบ หรอ12 xxx มลมตคาเขาใกลศนย นยามนเขยนเปน

ภาษาคณตศาสตรได ดงน

x

xyxxy

x

y

dx

dy

xx

00limlim

เมอเรามองทรปดานขางน แลวลองจนตนาการใหคา 2x เขามาใกล

1x มากขนเรอย ๆ เสนตรงทเชอมจดทงสองจะกลายเปนเสนทสมผสเสนกราฟทจด 11, yx ดงนนเราพดไดอกอยางวา อนพนธของ y เทยบกบx ทจด 11, yx คอความชนของเสนตรงทสมผสกราฟทจดน นนเอง

อนพนธของฟงกชนทใชบอย และทเราตองจ าได กไดแก

คาคงท cdx

dc,0

คาคงท axf

dx

daxaf

dx

d,

1 nn nxxdx

d

xxxx eedx

daaa

dx

d ln

xx

dx

d

axx

dx

da

1ln

ln

1log

xxdx

dcossin

xx

dx

dsincos

xxdx

d 2sectan

นอกจากนสมบตตอไปน เรากควรตองจ าใหไดเชนกน 1. อนพนธของผลบวกของฟงกชน

ถา xfxfxf 21 เราจะไดวา xfdx

dxf

dx

dxf

dx

d21

2. อนพนธของผลคณของฟงกชน ถา xfxfxf 21 เราจะไดวา

xf

dx

dxfxfxf

dx

dxf

dx

d2121

3. กฎลกโซ ถาเราทราบวา xfy และ zgx เราสามารถเขยนไดวา

dz

dx

dx

dy

dz

dy

4. อนพนธอนดบท 2

มนยามคอ

dx

dy

dx

d

dx

yd2

2

ซงเปนปรมาณทบอกความเวาความโคงของ xfy

ตอไปนเราจะมาดการอนทเกรตฟงกชน การอนทเกรตฟงกชน เปนการกระท าทกลบกนหรอตรงกนขามกบอนพนธ เชน เมอเรามฟงกชน

cbxaxxy 3 เรารวา อนพนธของฟงกชนนคอ xfbaxdx

dy 33

เราพดไดวา cbxaxxy 3 เปนฟงกชนการอนทเกรตของฟงกชน baxxf 33

ซงเราเขยนเปนภาษาคณตศาสตรไดวา cbxaxdxbaxdxxfxy

323

การอนทเกรตเชนน เรยกวาการอนทเกรตแบบไมใสลมต

40

สตรการอนทเกรตตอไปนเปนสตรทใชบอยครงในฟสกส

cn

xdxx

nn

1

1

caxa

axdx cos1

sin

caxa

axdx sin1

cos

caxa

axdx secln1

tan

cxdxx

ln1

ca

edxe

axax

อยางไรกด ลกษณะการอนทเกรตทใชบอยกวาในฟสกส ไมใชการอนทเกรตในลกษณะน แตเปนการอนทเกรตแบบมขอบเขตหรอมลมตทแนนอน เชน ถาเราม xf เปนฟงกชนทตอเนอง การอนทเกรตแบบมขอบเขต จะหมายถง คาพนทใตกราฟของ xf จาก

1xx (ขอบเขตลาง) ถง2xx (ขอบเขต

บน) ดงแสดงในรป นนคอ

พนทใตกราฟจาก1x ถง

2x มคา 2

1

x

x

dxxf

ถาเราทราบวา dxxfxy เราจะไดวา 12

2

1

xyxydxxf

x

x

แบบฝกหดบทท 4

4.1 ใหนกศกษาหาคาอนพนธของ y เทยบกบ t ตอไปน 13 2 tty

7248 35 tttty

tttty 2

t

ty1

t

ty1

tt

ty sin35

41

4.2 ใหนกศกษาหาอนพนธอนดบ 1 ของฟงกชนทใหมาตอไปน ))(1()( 3xxxf

xexxh 3

5 32( ) ( 1)g t t t

t

3

1( )

2 1h y

y y

1y

x x

xx ey 2

2

3

1( )

5

zg z

z

13

x

xy

2

3( 4)(2 )

tz

t t

2

3 )1()(

x

xxxh

3

2

( )( )( )

3

me my m

m

)3)(()( xxxxg

1( )

tan(2 )f

42

4.3 ใหนกศกษาหาอนพนธอนดบ 1 ของฟงกชนทใหมาตอไปน 5

1 xxy

xexf 8

xxg 2sin

2tan xxf

xxg cosln

)3sin(4

1

xy

8(4 3)y t

3( ) 2 tanf

3( ) 2 1g z z

2( ) (4 cos )h

323 )131054( xxxy

435 )1()2(3)( xexf x

2( 3)( )

1

tg t

t

312

3

4

xy

x

43

2

( )1

tf t

t

3 3 1( ) 3

3x r r

r r

cos( )

1 sin

yh y

y

2log10 xz

2( ) 3 tan (4 )g

( ) cos xf x x e

2

3( )

2

xf x

x

ln( )

1 ln

yh y

y

3 4( 1) (5 )z x x

xxexg

44

4.4 ใหนกศกษาหาคาอนพนธอนดบ 1 จากฟงกชนทใหมาดานลางน (ในบางขอจะตอบเปนตวเลข ไมตดตวแปร)

4.5 ก าหนดให 010,56010,410, ghgxhx = gxf และ 3510 h จงหา )10(f

4.6 ก าหนดให21

)()(

x

xzxy

และ 15)3(,1)3( zz จงหา )3(y

4.7 ก าหนดให ( ) ( ) 3u x h x และ 1)1(,1)1( hh จงหา (1)u

4.8 วตถหนงเคลอนทเปนเสนตรงโดยมคาต าแหนง x (ในหนวยเมตร) ทเวลา t ตาง ๆ (ในหนวยวนาท) ตามฟงกชนตอไปน ใหนกศกษาหาคาความเรว และความเรงของวตถทเวลา t ตาง ๆ

2)( tx

12)( ttx

122)( 2 tttx

125)( 2 tttx

ttx 2cos2)(

45

4.9 ใหนกศกษาหาคาตอไปน 3 1x dx

4

2 3 1x x dx

2

3 1x dx

21x x dx

21 cos xdx

3xe dx

3

x

x

edx

e

4.10 ใหนกศกษาหาคาตอไปน

4

0

2dxx

4

4

2 dxx

4

4

3dxx

b

dxx0

23

46

5

3

xdx

2

0

32 dtt

2

0

2 dtt

0

cos1 dxx

2

0

cos1 dxx

4.11 ทวนาทท t วตถหนงวงดวยความเรว 23 ttv เซนตเมตรตอวนาท ทวนาทท 1 กบ 3 วตถ มความเรวเทาใด ทวนาทท 1 กบ 3 วตถ มความเรงเทาใด ในชวงวนาทท 2 ถง 4 วตถวงไดระยะทางเทาใด

4.12 ทวนาทท t วตถหนงวงดวยความเรว 326 2 tttv เซนตเมตรตอวนาท ทวนาทท 1 กบ 3 วตถ มความเรวเทาใด ทวนาทท 1 กบ 3 วตถ มความเรงเทาใด ในชวงวนาทท 2 ถง 4 วตถวงไดระยะทางเทาใด

4.13 เสนลวดโลหะเสนหนงยาว 20 เซนตเมตร มคามวลตอหนวยความยาว เทากบ xx 22 กรมตอเซนตเมตร โดย x คอระยะทวดในแนวนอนจากปลายดานซายของ

ลวด ใหนกศกษาหาวา ลวดเสนนมมวลเทาใด

4.14 ออกแรง xxF 210 นวตน กระท าตอวตถ ใหเคลอนทเปนเสนตรง โดย x คอต าแหนงทวดจากกบจดก าเนด ในหนวยเมตร ถาออกแรงนจากต าแหนง 0x ถง 4x m งานทเกดขนจากแรงน มคาก นวตน*เมตร

47

บทท 5 ปรมาณ การวเคราะหมต และการบนทกปรมาณ ฟสกสเปนวทยาศาสตรทศกษาธรรมชาตในเชงปรมาณโดยมพนฐานมาจากการทดลอง ดงนน การวดและบนทกคาของปรมาณตาง ๆ จงเปนสวนส าคญในฟสกส และเพอทจะใหเราสามารถสอสารกนไดและเกดความเขาใจทตรงกนเกยวกบคาของปรมาณตาง ๆ ทงในแงของชอ หนวย และนยามใหเปนมาตราฐานเดยวกน เราจงตองมการตกลงกนกอน โดยรายละเอยดทเกยวของกบขอตกลงเกยวกบปรมาณพนฐาน จะกลาวในยอหนาถด ๆ ไป

เราสามารถแบงปรมาณทางฟสกสเปน 2 ประเภท คอ ปรมาณพนฐาน (Basic quantities) และปรมาณอนพทธ (Derived quantities)

ปรมาณพนฐานในฟสกส มอย 7 อยาง คอ ความยาว (Length) มวล (Mass) เวลา (Time) กระแสไฟฟา (Electric current) อณหภม (Temperature) ปรมาณสสาร (Amount of substance) และ ความเขมของการสองสวาง (Luminous intensity) และเพอใหมความเขาใจทตรงกน นกวทยาศาสตรไดประชมและตกลงกนวา คา 1 หนวยมาตรฐานของแตละปรมาณดงกลาว มนยามวาอยางไร โดยหนวยงานทรบผดชอบการตกลงดงกลาว อยทกรงปารส ประเทศฝรงเศส คอ Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) โดยทหนวยมาตรฐาน หรอ หนวยในระบบ เอสไอ (SI units) ของแตละปรมาณนยามดงน

ความยาว มหนวยในระบบ SI เปน เมตร (meter, m) นยามของความยาว 1 เมตร คอ ความยาวของเสนทางทแสงเดนทางในสญญากาศไดภายในเวลา 1/299 792 458 วนาท

มวล มหนวยในระบบ SI เปน กโลกรม (kilogram, kg) โดย 1 กโลกรม คอ มวลทเทากบมวลตนแบบซงท าจากโลหะผสมแพลตตนมกบเออรเดยม ทอยท BIPM

เวลา มหนวยในระบบ SI เปน วนาท (second, s) โดย 1 วนาท คอ ชวงเวลาทเทากบจ านวน 9,192,631,770 คาบของการแผรงส ทตรงกบการเปลยนระดบพลงงานไฮเปอรไฟน 2 ระดบของสถานะพนของอะตอม ซเซยม-133 ( Cs133 )

กระแสไฟฟา มหนวยในระบบ SI เปน แอมแปร (ampere, A) โดย 1 แอมแปร คอ คากระแสไฟฟาทท าใหเกดแรง 7102 นวตนตอเมตร ระหวางลวดตวน า 2 เสนทตรงมความยาวเปนอนนต มพนทหนาตดเลกมากและมกระแสนไหลผาน โดยอยหางกนเปนระยะ 1 เมตรในสญญากาศ

อณหภม มหนวยในระบบ SI เปน เคลวน (kelvin, K) โดย 1 เคลวน คอ 1/273.16 เทาของอณหภมทางเทอรโมไดนามสทจด 3 สภาวะของน า

ปรมาณสสาร มหนวยในระบบ SI เปน โมล (mole, mol) โดย 1 โมล คอจ านวนองคประกอบพนฐาน (อาจเปนอะตอม หรอโมเลกล หรออนภาค) ของสสารทมคาเทากบจ านวนอะตอมของ คารบอน-12 (

C12 ) ทมมวล 0.012 กโลกรม

ความเขมของการสองสวาง มหนวยในระบบ SI เปน แคนเดลา (candela, cd) โดย 1 แคนเดลา คอ คาความเขมของการสองสวางในทศทางหนง ๆ จากแหลงก าเนดแสงสเดยวทมความถ 1210540 เฮรตซ โดยมความเขมแสงในทศทางนนเทากบ 1/683 วตตตอมม 1 สเตอเรเดยน

ปรมาณอนพทธ คอ ปรมาณทเกดจากผลคณหรอผลหารของปรมาณพนฐานตาง ๆ เชน พนท (ความยาวxความยาว), อตราเรว (ความยาว/เวลา), โมเมนตม (มวลxความยาว/เวลา) เปนตน

ตอนท 5.1 มต เรารวา เราสามารถเปรยบเทยบ มวลของรถกบมวลของกอนหน หรอ เปรยบเทยบชวงเวลาในการแกโจทยปญหา 1 ขอ กบชวงเวลาในการอานหนงสอ 1 ยอหนา ได แตเราไมสามารถเปรยบเทยบ มวลของรถกบความยาวของง หรอ ความยาวของไมเชอกกบเวลาทใชในการเดนจากชน 1 ถงชน 2 ของตกได เราจงสรปเปนความจรงโดยทวไปวา ปรมาณอยางเดยวกนเทานนทเราจะสามารถน ามาเปรยบเทยบ (หรอบวกลบ) กนได ในฟสกสเราเรยกวา ปรมาณอยางเดยวกนวาม “มต” (Dimension) เดยวกน

6 เราแทน

6 ปรมาณทมมตเดยวกนอาจมหนวยตางกนได เชน ความยาว 2 เมตร กบ ความกวาง 5 เซนตเมตร ถอวาทงค

เปนปรมาณทม “มต” เดยวกน กอนทจะน ามาบวกลบกนไดตองแปลงใหเปนหนวยเดยวกนกอน

48

“มต” ของปรมาณพนฐานดวยตวหนงสอภาษาองกฤษ 1 ตว และเนองจากในวชาฟสกส 1 เราจะเรยนรเกยวกบกลศาสตร ซงมปรมาณพนฐานเพยง 3 อยางคอ ความยาว มวล และเวลา เราแทนมตของความยาวดวย L มวลมมตเปน M และเวลามมตเปน T สวนปรมาณอนพทธทเกยวของอน ๆ จะมมตเปนผลคณหรอหารของมตของปรมาณพนฐานน เชน อตราเรวจะมมตเปน 1LT โมเมนตมมมตเปน

1MLT เปนตน

ขอเนนอกครงหนงวา เมอเราตองการเปรยบเทยบปรมาณ 2 อยาง วาเทากนหรอไม หลกการส าคญทนกศกษาตองทราบ คอ ปรมาณ 2 อยางจะถกน ามาเปรยบเทยบวาเทากนหรอไมได ตองเปนปรมาณชนดเดยวกน หรอ มมตเดยวกน เชน เราทราบวา A = B และ A เปนมวล ดงนน B ตองเปนมวลดวย จะเปนความยาว หรอแรง หรอเวลา ไมได หรอถา A เปนพลงงาน B อาจเปนงานหรอพลงงานกได (งานกบพลงงานมมตเดยวกน) เปนตน ในหลายกรณเราอาจตรวจสอบหนวยของปรมาณทงสองแทนมตได เชน ถา A มหนวยเปนกโลกรมซงเปนหนวยของมวล B กตองมหนวยเปนของมวลเชนเดยวกน จงจะเทากนได และเมอเราตองน า 2 ปรมาณมาบวกหรอลบกน หลกการส าคญคอ ปรมาณ 2 อยางจะบวกหรอลบกนได ปรมาณนนตองเปนปรมาณชนดเดยวกน หรอมมตเดยวกน เชน C = A + B ถา A เปนกระแสไฟฟา B กตองเปนกระแสไฟฟาดวย และ C กเชนเดยวกน

การวเคราะหมตเปนเครองมอทมประโยชน ในการวเคราะหความสมพนธของปรมาณทางฟสกส ในหลาย ๆ สถานการณ เชน เมอเราตองการระบสตรทเกยวของกบปรมาณหนง ๆ จากปรมาณอน ๆ ทเราทราบวามสวนเกยวของ เราสามารถใชการวเคราะหมตมาชวยได โดยสตรทเราไดจากการวเคราะหมต อาจจะพลาดไปเปนจ านวนเทา ซงเปนคาคงททมมตเปน 1 และมระดบขนาดประมาณ 1 เทานนเอง ตวอยางเชน ในวชากลศาสตร ดงทไดกลาวมาแลวขางตนวา ปรมาณพนฐานทเกยวของมเพยง 3 ตวคอ มวล ความยาว และเวลา ซงมมตเปน TLM ,, ตามล าดบ เราสามารถเขยนมตของปรมาณ Q ทเราสนใจ ไดวา TLMQ โดยท Q แทนมตของ Q และ ,, เปนตวเลขทเราทราบคา และถาเราทราบวา Q นมคาขนกบปรมาณ 321 ,, qqq เปนตน เราจะเขยนวาความสมพนธไดวา ZYX

qqqQ 321 โดย ZYX ,, เปนตวเลขทเราไมทราบคา แตเพราะวาเราทราบมตของ 321 ,,, qqqQ เราจงสามารถหาคา ZYX ,, ไดโดยการจบทงสองสมการขางตนเทากน แลวแกสมการ

ตวอยาง เราตองการทราบวาคาบ T ของการกวดแกวงของลกตมนาฬกาวา มสตรเปนอยางไร เรากมาคดวา มปรมาณใดบางทอาจมผลตอคาคาบน และพบวาปรมาณทเกยวของนาจะเปน ความยาว ของเชอกทตดกบลกตม มวล m ของลกตม ความเรงโนมถวงของโลก g และคามมสงสดของการกวดแกวงของลกตม 0 ดงนนเราอาจเขยนไดวา 0,,,T gmf เราทราบวามม 0 เปนปรมาณทมมตเปน 1 (เพราะเรานยามมม ทรองรบความยาวสวนโคง a ทอยหางไปเปนระยะ r จากจดศนยกลาง วาคอ ra ดงนน แมวามมจะมหนวยทชอวา เรเดยน แตถอวาไมมมต) นนคอ เราสามารถเขยนไดวา

ZYZXZYX

ZYX

ZYX

TMLLTMLT

gmf

gmf

221

0

0

1

T

T

ดานซายมอของสมการมเพยง T สวนดานขวามอมทง TLM ,, หมายความวา เลขยกก าลงของT :

2112 ZZ

เลขยกก าลงของ L : 210 XZX

เลขยกก าลงของ M : 0Y ดงนน 2121

0T gf

หรอ g

f

0T และตอมาเราจะไดทราบวา 0f มคาเทากบ 2

แมวาเราจะมหนวยมาตรฐานในระบบ SI แตเนองจากประวตศาสตรของการวดปรมาณมความเปนมาทยาวนานมาก นานกวาอายของหนวยงาน BIPM เสยอก เราจงมหนวยอน ๆ ใชดวย เชน นว ปอนด นาท ไมล วา ไร เปนตน ในกรณทเรามหนวยของปรมาณอยางเดยวกนตางกนไป เชน หนวยของมวลเราอาจ

49

เหนไดหลายหนวย เชน ปอนด กบ กโลกรม หรอ หนวยของความยาว เราอาจไดเหนหนวยเปน ไมล เมตร วา เปนตน นกศกษาตองเรยนรทจะรจกหนวยทหลากหลาย และฝกฝนการเปลยนหนวยใหคลองดวย ตวอยางของหนวยทเราจะไดเหนบอยในฟสกส เชน หนวยของมวล เปนไดทง kg และ u (atomic mass unit) โดยท 1u = 1.66054 x 10-27 kg หนวยของพลงงานเปนไดทง J (จล) และ eV (อเลกตรอนโวลต) โดยท 1 eV = 1.6 x 10-19 J เปนตน

นอกจากหนวยของปรมาณตาง ๆ อาจมไดหลายชอแลว กยงมค าน าหนาหนวยทนกศกษาตองทราบอกดวย ค าน าหนาเหลานชวยใหเราเขยนหรอบนทกตวเลขไดสนลง นกศกษาควรรจกความหมายของค าน าหนาตอไปน

ค าน าหนา (Prefix) สญลกษณ (Symbol) ตวคณ (Multiplication Factor) พโค- (pico-) p 0.000 000 000 001 =10-12

นาโน- (nano-) n 0.000 000 001 =10-9 ไมโคร- (micro-) 0.000 001 =10-6 มลล- (milli-) m 0.001 =10-3 เซนต- (centi-) c 0.01 =10-2 เดซ- (deci-) d 0.1 =10-1 กโล- (kilo-) k 1,000 =103 เมกกะ- (mega-) M 1,000,000 =106 จกกะ- (giga-) G 1,000,000,000 =109 เทรา- (tera-) T 1,000,000,000,000 =1012

ตอนท 5.2 การบนทกปรมาณตามแบบวทยาศาสตร และตามหลกเลขนยส าคญ เมอเราบนทกปรมาณทางฟสกส เราตองบนทกทงตวเลขและหนวยของปรมาณนน แบบการบนทกทสะดวกส าหรบฟสกส คอ การบนทกแบบวทยาศาสตร (Scientific notation) ซงมลกษณะดงน

na 10 โดยท 101 a และ n เปนจ านวนเตม เชน 3m5300 จะเขยนเปน 33 m10300.5

หรอ s 751000000.0 จะเขยนเปน s1051.7 7 เปนตน

เราระบความละเอยดของปรมาณทเราวดได ดวยจ านวนตวเลขทเราบนทกหรอทเรยกวา เลขนยส าคญ (Significant figures) กลาวคอ จ านวนของเลขนยส าคญของปรมาณหนง ๆ สะทอนความละเอยดแมนย าของการวดปรมาณนน ๆ หลกการคราว ๆ ของการบนทกคาของปรมาณหนง ๆ ตามการมนยส าคญ คอ คาของปรมาณ = คาทเราทราบแนชด + ตวเลข 1 ต าแหนงทมาจากการประมาณ

เชน ในรปดานบนน เมอเราวดวตถสเทาดวยไมบรรทดในรป เราจะบนทกวาความยาวของวตถนวามคาเปน 1.43 นว โดย 1.4 เปนสวนทเราทราบแน และเลข 3 เปนตวเลขทเราคาดคะเน(เดา)ดวยขอจ ากดของสเกลไมบรรทดน ดงนน คาความยาวของวตถน จงมจ านวนเลขนยส าคญ 3 ตว เมอจ านวนเลขนยส าคญมมาก ยอมสะทอนถงความละเอยดของเครองมอทใชและวธการวด

ตอไปน คอ หลกเกณฑทเกยวของกบการนบจ านวนเลขนยส าคญของปรมาณหนง ๆ ทเราบนทก นกศกษาควรสงเกตวา หลกเกณฑเหลานสอดคลองกบสามญส านกของนกศกษาหรอไม เลขทไมใชศนยทกตว ถอวาเปนเลขนยส าคญ เลขศนยทอยหนาจ านวนทงหมดไมถอวาเปนเลขนยส าคญ เชน 0.000918 มเลขนยส าคญเพยง 3

ตว เลขศนยทอยระหวางตวเลขอน ถอวาเปนเลขนยส าคญ เชน 0.05102 มเลขนยส าคญ 4 ตว

0 1 2 3 นว

50

เลขศนยทอยทายตวเลขและหลงจดทศนยม ถอวาเปนเลขนยส าคญ เชน 6.7410900 มเลขนยส าคญ 8 ตว

เลขศนยทอยทายจ านวนเตมธรรมดาทไมมจดทศนยม อาจมหรอไมมนยส าคญหรอกได ขนกบผบนทก เชน 276000 มจ านวนเลขนยส าคญทก ากวม คอ อาจม 3, 4, 5 หรอ 6 กได เราไมมทางทราบ นอกจากจะมโอกาสไดถามผบนทก ในกรณเชนนใหถอวา ปรมาณนมจ านวนเลขนยส าคญทนอยทสดไปกอน กลาวคอมเพยง 3 ตว และเพอไมใหกรณเชนนเกดขน เราจงใชการบนทกในลกษณะตวเลขวทยาศาสตรคอ a × 10n ดงทไดกลาวไปแลว โดยจ านวนเลขนยส าคญจะถกระบดวยจ านวนเลขนยส าคญของตว a เชน 276000 ควรบนทกเปน 2.76 × 105 (หากมเลขนยส าคญ 3 ตว) หรอ 2.760 × 105 (หากมเลขนยส าคญ 4 ตว) หรอ 2.7600 × 105 (หากมเลขนยส าคญ 5 ตว) หรอ 2.76000 × 105 (หากมเลขนยส าคญ 6 ตว) ขนกบวาผบนทกวดไดละเอยดเพยงใด

เมอเราตองค านวณหาปรมาณใหมทมาจากปรมาณทเราวดไดใหถกตองตามหลกเลขนยส าคญ เรามหลกเกณฑดงตอไปน จ านวนเลขหลงจดทศนยมของผลบวกหรอผลตาง ของปรมาณคใด ๆ มคาเทากบจ านวนเลขหลง

จดทศนยมของปรมาณทมจ านวนเลขหลงจดทศนยมทนอยทสด เชน 97.3 (ทศนยม 1 ต าแหนง) + 5.821 (ทศนยม 3 ต าแหนง) = 103.2 (ทศนยม 1 ต าแหนง เทากบจ านวนเลขหลงจดทศนยมของ 97.3 โดยทอนจาก 103.121)

จ านวนเลขนยส าคญของผลคณหรอผลหารของปรมาณคใด ๆ มคาเทากบจ านวนเลขนยส าคญของปรมาณทมจ านวนเลขนยส าคญทนอยทสด เชน 123.001 (เลขนยส าคญ 6 ตว) 3.15 (เลขนยส าคญ 3 ตว) = 39.0 (เลขนยส าคญ 3 ตว เทากบจ านวนเลขนยส าคญของ 3.15 โดยทอนจาก 39.04793650793650...)

นนคอ ผลบวกหรอผลคณ หรอผลการค านวณใด ๆ กตาม ไมควรละเอยดไปกวาปรมาณทมความละเอยดนอยทสด สวนการกระท าทางคณตศาสตรอน ๆ กใชหลกการเดยวกนนไดเชนกน

เมอเราตองค านวณผลทางพชคณตทมจ านวนทเปนคาคงทดวย เชน เปนคาคงททางคณตศาสตร เราจะถอวาเลขตวนนมจ านวนเลขนยส าคญเปนอนนต เชน ในการหาความยาว เสนรอบวงของวงกลมรศม r เราหาจากสตร r2 เราจะถอวาทงเลข 2 และ ในสตร มคาเปน ...000000000.2 และ

...141592654.3 นนคอ ละเอยดกวาหรอมเลขนยส าคญมากกวาคาของ r แตส าหรบคาคงททมาจากการทดลองหรอการวด กขนกบวาเราตองการความละเอยดแคไหน เชน บางครงคาความเรงโนมถวงของโลกเราใช 2sm10g กหมายความวาเราใชคาทมเลขนยส าคญเพยง 1 ตว แตถาเราใช

2sm81.9g จะมเลขนยส าคญ 3 ตว ในการปดทศนยม ถาเลขตวทอยหลงเลขทเราตองการเกบไวมคามากกวาหรอเทากบ 5 เราจะปดขน แตหากมคานอยกวา 5 เราจะปดทง

แบบฝกหดบทท 5

5.1 เวลา 1 ปมกวนาท

5.2 ระยะ 100 หลา กบระยะ 100 เมตร ระยะใดยาวกวากน ยาวกวากนเทาใด (1 หลา = 0.9144 เมตร)

5.3 ระยะ 20 ไมล มคาเทากบกกโลเมตร ( 1 ไมล = 5280 ฟต, 1 ฟต = 12 นว, 1 นว = 2.54

เซนตเมตร)

5.4 สระวายน าหนง มน า 20,000 gallons อกสระน าหนง มน า 2,000,000 cm3 บอน าหนงมน า 12,000 liters อยางไหนใน 3 อยางขางตน มปรมาณน ามากทสด

51

5.5 ใหนกศกษาแปลงปรมาณในหนวยตอไปน ใหเปน ปรมาณในหนวยทก าหนดให 14 cm เปน m 285.9 cm เปน km 832 L เปน mL 0.098 kg เปน mg 7kg เปน pounds (2.2 lb = 1 kg) 23 600 s เปน days 20.6 km/h เปน m/s 0.00073 mL/s เปน ft3/day (1L = 0.0353 ft3) 55 m/s เปน cm/s 15 m/s เปน km/h 23.4 km/h เปน m/s 0.987 cm/s เปน km/min 1.25 in2 เปน cm2

5.6 ใหนกศกษา หาวา “มต” ของปรมาณตอไปน คออะไร ปรมาตร ความหนาแนน ความเรง แรง โมเมนตม ความดน พลงงานจลน

5.7 หนวยในระบบเอสไอของปรมาณในขอ 5.6 คออะไร 5.8 ปรมาณใดตอไปน “ไมม” มต: 30 , ความเรว, 250ln , 1.1sin , ความถ, xe

5.9 ก าหนดให x , t , m , v และ f คอ ความยาว เวลา มวล อตราเรว และ ความถ ตามล าดบ ให

นกศกษาระบวา คาคงท k ในแตละกรณตอไปนม มต เปนอะไร kte fkxln kxsin

m

kxf

พลงงานจลน= 2kmv แรง= kv แรง= 2kv

5.10 ก าหนดให S , t , a , u และ F คอ การกระจด เวลา ความเรง ความเรว และแรงตามล าดบ ใหนกศกษาบอก หนวยในระบบเอสไอ ของสญลกษณอนทเหลอในสมการตอไปน คออะไร

dctbtS 2 2katutS

kSF 5.11 ก าหนดให S , t , a , u คอ ระยะ เวลา ความเรง ความเรว ตามล าดบ ใหนกศกษาแสดงใหเหนวา

ทงสองขางของสมการน มมตเดยวกน 2

21 atutS (

21 ตองมมตเปนอะไร)

5.12 ตวเลขตอไปนมเลขนยส าคญกตว

340 _______ 0.45 _______ 0.630 _______ 1.0010 _______

6.001 _______ 30, 001 _______ 20.4 _______ 3 _______

52

20 _______ 200.4 _______ 340.600 _______ 5000 _______ 43.0 _______ 54.1 _______ 67.004 _______ 330 _______ 0.005 _______ 3.40 _______ 0.000403 _______ 0.02000 _______ 30.45 _______ 0.0009 _______ 0.03000 _______ 0.00004 _______ 4.004 _______ 320 _______ 10 _______ 5 _______ 31.0 _______ 90 _______ 2000 _______ 4050 _______ 0.003 _______ 98.0 _______ 35.02 _______

4.0 _______ 17.00 _______ 2.5400 _______ 80 _______ 4005 _______ 0.00040 _______ 400.500 _______ 34.002 _______ 99.2 _______ 400 _______ 3506 _______ 2.0030 _______ 0.0400 _______ 20.03 _______ 4030 _______ 5003 _______ 99.0 _______ 58.005 _______ 0.004 _______ 34.00 _______ 45.45 _______ 202 _______ 550 _______ 402.2 _______ 45.0 _______ 0.00450 _______

5.13 ใหนกศกษาหาผลลพธตอไปน แลวเขยนค าตอบตามหลกการของเลขนยส าคญ 34.5 + 23.45 = _______ 330 + 400 =_______ 30, 000 + 5600 = _______ 34 + 5 = _______ 56.03 + 4530 = _______ 3405 + 400 = _______ 50 + 0.50 = _______ 903 + 5 = _______ 300.03 + 34 = _______ 0.034 + 0.20 = _______ 1.034 + 0.005 = _______ 2.34 + 23 = _______ 30.05 + 2.40 = _______ 100 + 20 = _______ 0.034 + 2.3 = _______ 400 + 2 = _______ 76 + 0.03 = _______ 54 + 4.03 = _______ 65.03 + 1.354 = _______ 0.43 + 4.1 = _______ 432 + 23.44 = _______

50 + 7.89 = _______ 0.0024 + .0254 = _______ 12.02 - 0.1235 = _______ 12.589 + 0.12 + 1.256 = _______ 0.235 - 1.24 + 0.0235 = _______ 58 + 220 - 5.4 = _______ 0.00215 + 1.0224 + 12.2 = _______ 2356 + 12.56 - 125.46 = _______ 0.0025 + 0.25 - 0.00011 = _______ 1.23 x 0.0094 = _______ 256.9 x 0.25 = _______ 1002 ÷ 25.2 = _______

45.23 ÷ 1.2356 = _______

200 ÷ 95 = _______ 50 x 7.89 = _______ 0.0024 x .0254 = _______ 12.02 x 0.1235 = _______ 12.589 x 0.12 x 1.256 = _______ 0.235 x 1.24 ÷ 0.0235 = _______

58 x 220 ÷ 5.4 = _______

53

34.5 x 23.45 = _______ 330 x 400 = _______ 30, 000 x 5600 = _______ 52 = _______ 56.03 x 4530 = _______ 3405 x 400 = _______ 50 x 0.50 = _______ 903 x 5 = _______ 300.03 x 34 = _______ 0.034 x 0.20 = _______ 1.034 x 0.005 = _______ 2.34 x 23 = _______ 252 = _______ 100 x 20 = _______ 0.034 x 2.3 = _______ 400 x 2 = _______ 76 x 0.03 = _______ 54 x 4.03 = _______ 65.03 x 1.354 = _______ 0.43 x 4.1 = _______ 432 x 23.44 = _______ 23 + 0.0094 = _______ 256.9 - 0.25 = _______ 1002 + 25.2 = _______ 45.23 + 1.2356 = _______ 200 + 95 = _______

0.00215 x 1.0224 ÷ 12.2 = _______

2356 ÷ 12.56 x 125.46 = _______ 0.0025 + 0.25 x 0.00011 = _______ 1002 ÷ 25.2 + 12.5 = _______

45.23 ÷ 1.2356 + 2.335 = _______

200 ÷ 95 - 8.56 = _______ 50 x 7.89 + 0.25 = _______ 0.0024 x .0254 + 0.00245 = _______ 12.02 x 0.1235 + 5.68 = _______ 12.589 x 0.12 + 1.256 = _______ 0.235 + 1.24 ÷ 0.0235 = _______

58 + 220 ÷ 5.4 = _______ 0.00215 x 1.0224 - 12.2 = _______ 2356 ÷ 12.56 + 125.6 = _______ 25.362 = _______ 0.1253 = _______ 12.02562 = _______

52 + 2.3(5)= _______

20.52 = _______ 02.25ln _______

25.2 25.1e _______ 026.0sin _______

5.14 ใหนกศกษาเขยนตวเลขตอไปน ในลกษณะตวเลขวทยาศาสตร (โดยใหถกตองตามหลกเลขนยส าคญดวย)

2300 = _______ 0.250 = _______ 100 = _______ 15 = _______ 36.258 = _______ 0.000025 = _______ 1.0002 = _______ 14.00125 = _______ 15.000 = _______ 200,000 = _______ 123,505 = _______ 1,125,215.360 = _______ 125.00 = _______

12.00125 = _______ 25,802,682 = _______ 0.002 = _______ 10 = _______ 55.02 = _______ 823.0 = _______ 9800.000 = _______ 123.0225 = _______ 425,004 = _______ 0.00000085 = _______ 0.7000025 = _______ 0.00002654 = _______ 12,358.023150 = _______ 0.00000000000000668 = _______

54

บทท 6 ปรมาณสเกลารกบปรมาณเวกเตอร ปรมาณในฟสกสอาจแบงไดอกแบบหนง คอ เปนปรมาณสเกลาร (Scalar) กบปรมาณเวกเตอร (Vector) ปรมาณสเกลารเปนปรมาณทระบเปนตวเลขกบหนวยกสมบรณเปนทเขาใจแลว เชน มวล พลงงาน และศกยไฟฟา เปนตน สวนปรมาณเวกเตอร นอกจากจะระบเปนตวเลขกบหนวยแลว ยงตองระบทศทางอกดวย จงจะถอวาสมบรณ เชน ความเรว แรง โมเมนตม และทอรค เปนตน สญลกษณของปรมาณทเปนเวกเตอร เรามกจะแทนดวยตวอกษรองกฤษทมลกศรดานบน เชน pA

, หรอ F

เปนตน และเมอแทน

ปรมาณเวกเตอรในรปภาพ เราแทนดวยเสนตรงทมหวลกศร โดยความยาวของเสนแทนขนาดและทศของลกศรแทนทศทางของปรมาณเวกเตอร

สมบตและนยามบางประการของเวกเตอร เวกเตอร 2 ตวจะเทากน กตอเมอ ทงคมขนาดเทากน และทศทางเดยวกน

A หมายถง เวกเตอรทมขนาดเทากบเวกเตอร A แตชทศทางตรงขามกน

ตอนท 6.1 การบวกลบปรมาณเวกเตอร การหาผลบวกหรอลบของปรมาณสเกลารไมใชเรองยาก คอ เราสามารถน าตวเลขมาบวกหรอลบกนแบบพชคณตไดเลย แตส าหรบการบวกหรอลบปรมาณเวกเตอร เราตองค านงถงผลของทศทางของเวกเตอรทเราเอามาบวกลบกนดวย เรามกตองใชความรทางเรขาคณตโดยเฉพาะตรโกณมตเขามาชวยในการหาขนาดและทศทางของเวกเตอรผลลพธ การบวกเวกเตอร 2 ตวมกท าโดยพจารณารป โดยน าเอาเวกเตอรทงสองมาตอกน ใหจดเรมตนของเวกเตอรตวทสองอยทหวลกศร หรอปลายของเวกเตอรตวแรก เวกเตอรทเปนผลบวกของเวกเตอรทงสอง คอ เสนตรงทเรมตนทจดเรมตนของเวกเตอรตวแรก ไปสนสดทหวลกศรของเวกเตอรตวทสอง รปดานลางแสดงตวอยางขนตอนการหา BA

นกศกษาจะตองวาดรป

เปน และใชกฎของโคไซนกบกฎของไซนเปน เพอค านวณขนาดและทศทางของ BA

ออกมาได

สมบตอน ๆ ทควรทราบของเวกเตอร ไดแก cA เปนเวกเตอรทมขนาดเปน c เทาของเวกเตอร A จะมทศทางเดยวกบ A ถา c เปน

เลขบวก และทศทางตรงขามถา c เปนลบ

1 2 1 2c c A c c A

A B B A CBACBA

1 2 1 2c c A c A c A c A B cA cB

เมอตองการเอาเวกเตอรหนงไปลบออกจากเวกเตอรอกตวหนง เชน BA

เราเขยนสามารถเขยนใหมไดเปน BA

ซงหมายถงการหาผลบวกของเวกเตอรนนเอง เพยงแตเวกเตอรตวทน ามาบวก เปน

เวกเตอรทมทศตรงขามกบเวกเตอรทเราเอาไปลบออกนนเอง

เราไดทราบแลววา เมอเราเอาเวกเตอร 2 ตวมาบวกกน เราจะไดเวกเตอรตวใหม 1 ตว ในทางกลบกน เมอเรามเวกเตอร 1 ตว เรากสามารถ “แตก” เวกเตอรตวนออกเปนเวกเตอรอก 2 ตวไดเชนกน โดยทเวกเตอรทงสองนบวกกนแลวตองไดเวกเตอรในตอนเรมตน โดยทวไปแลวเวกเตอร 2 ตวทแตกออกมาน จะท ามมตอกนเทาใดกได เราเรยกเวกเตอรแตละตวนวาเปน “องคประกอบ” ของเวกเตอรในตอนตน

ขนท 1

ขนท 2

55

แตเมอเราน าเรองนมาใชประโยชนจรง โดยสวนมากเรากมกจะแตกเวกเตอรออกเปน 2 ตวทตงฉากซงกนและกน และเรยกวาเปน องคประกอบในแนว x (แนวนอน) กบองคประกอบในแนว y (แนวตง) ตวอยางเชน เมอเราพจารณาเวกเตอร A

ในรปดานลางน จะเหนไดวา เราสามารถแตก A

ออกเปน

เวกเตอร jAiA yxˆˆ โดย ji ˆ,ˆ เปนเวกเตอรทมขนาด 1 หนวยและชในทศ x กบ y ตามล าดบ

iAxˆ กบ jAy

ˆ คอองคประกอบในแนว x กบ แนว y ตามล าดบ เมอเราทราบขนาดและทศทางของ

เวกเตอร A

(ในทนขนาดแทนดวย A และทศแทนดวยมม ทท ากบแกน x ) เราจะไดวา cosAAx และ sinAAy ในทางกลบกน เมอเราทราบองคประกอบในแนวแกนทงสอง เรา

กสามารถหาขนาดและทศของ A

ไดจาก 22

yx AAA และx

y

A

Atan ไดเชนกน

ในรปน ทง xA และ

yA มคาเปนบวก ใหนกศกษาลองพจารณาวาเวกเตอร A

จะมลกษณะเปน

อยางไร ถา xA หรอ yA มคาเปนลบ

ตอนท 6.2 การคณกนของปรมาณเวกเตอร เมอเราเอาเวกเตอร 2 ตวมาคณกน จะไดผลลพธ 2 แบบ คอ ไดเปนปรมาณสเกลาร เรยกวาผลคณสเกลาร หรอ ไดเปนปรมาณเวกเตอร เรยกวาผลคณเวกเตอร ผลคณแบบสเกลารของเวกเตอร A

กบ B

เขยนเปน BA

(อานวา เอ “ดอท” บ) โดย

BAABBA

,

cos โดยท BA, คอขนาดของเวกเตอรแตละตว และ

BA

, คอมมระหวางเวกเตอรทงสองตว (คดคาทนอยกวา

180o เสมอ) สงเกตวา มตของผลลพธ คอ มตของ A

คณกบมตของ B

(BA

,cos ไมมมต) นอกจากน

ผลลพธทไดอาจมคาเปน ลบ ศนย หรอบวกกได (ใหนกศกษาลองพจารณาวา เงอนไขใดทท าให BA

มคาเปนลบ เปนศนย หรอเปนบวกบาง)

ในกลศาสตรปรมาณทเปนผลคณแบบสเกลารไดแก งาน (Work) กลาวคอ มนยามวาเปนผลคณแบบสเกลารระหวางแรงกบการกระจด ดงนนงานจงมหนวยในระบบเอสไอเปน mN

ผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอร A

กบ B

เขยนเปน BA

(อานวา เอ “ครอส” บ) โดย ขนาดหาไดจาก

BAABBA

,

sin

โดยท BA, คอ ขนาดของเวกเตอรแตละตว และBA

, คอมมระหวางเวกเตอรทงสองตว (คดคาทนอย

กวา 180o เสมอ) สวนทศทางของผลคณเปนไปตามกฎมอขวา ซงหาไดโดยวางมอใหแนวของนวทงสเรมตนชในทศเดยวกบ A

(เลบชไปตามทศทางของ A

) จากนนปาดนวทงสใหเขาหา B

ทศทนวโปงชจะ

เปนทศของ BA

ในรปดานลาง C เปนทศของเวกเตอร BA

x

y

0

Ax

Ay

56

สงเกตวา BAAB

(ใหนกศกษาพจารณาวา เงอนไขใดท าให BA

มคาเปนศนย)

เราจะไดพบการคณแบบเวกเตอรในเรองทอรค แรงแมเหลกบนอนภาคทมประจ และสนามแมเหลก เปนตน

แบบฝกหดบทท 6 6.1 ใหนกศกษาหาขนาดและทศทางของเวกเตอรตอไปน

57

6.2 จากเวกเตอรทใหมาดานลางน ใหนกศกษาหาเวกเตอรผลลพธ 1R

ถง11R

ตอไปน BAR

1 CBR

2

DER

3

BAR

4 DBR

5

CER

6

DBAR

7 CAER

8 BAR

9

DCBR

10 DCAER

11

58

6.3 ใหนกศกษาหาผลบวกของเวกเตอรทกตว ในแตละรปตอไปน

59

6.4 จากเวกเตอร ทใหมา ใหนกศกษาวาดเวกเตอรทระบในกรอบสเหลยม

6.5 จงหาขนาดและทศทางของเวกเตอรตอไปน

6.6 นกศกษาขบรถออกจากบาน โดยมงหนาไปทางตะวนออกเปนระยะ 8.0 กโลเมตร จากนนมงหนา

ตอไปทางทศตะวนตกเปนระยะ 6.0 กโลเมตร จงหยด นกศกษาอยหางจากบานเปนระยะเทาใด

60

6.7 นกศกษาขบรถออกจากบาน โดยมงหนาไปทางตะวนออกเปนระยะ 8.0 กโลเมตร จากนนมงหนาตอไปทางทศเหนอเปนระยะ 6.0 กโลเมตร จงหยด นกศกษาอยหางจากบานเปนระยะเทาใด

6.8 ใหนกศกษาวาดเวกเตอรทมสวนประกอบดงระบตอไปน พรอมหาขนาดและมมทเวกเตอรท ากบแกน +x

3,2 yx vv

4,4 yx vv

5,3 yx vv

6.9 จงหาคาตอไปน โดยก าหนดให jiu ˆ2ˆ3 และ jiv ˆˆ2

,,2,,

21 uvvu และ vu

61

6.10 ใหนกศกษาวาดเวกเตอร vuR

2 โดยก าหนดให u กบ v

มคาดงรป

6.11 เวกเตอรในรปดานลางเขยนอยในรปองคประกอบของเวกเตอรไดเปนอยางไร

6.12 ใหนกศกษาหาองคประกอบในแนว +x กบ +y ของเวกเตอรแรงตอไปน

6.13 ใหนกศกษาหาองคประกอบในแนว +x กบ +y ของเวกเตอรทมความยาว 25 เซนตเมตร และชท า

มม +30o กบแนวแกน x

6.14 ใหนกศกษาหาคาของ BAR

โดยก าหนดให A

มขนาด 4 หนวย ชท ามม +30o กบแนว +x และ B

มขนาด 2 หนวยและชท ามม +45o กบแนว +y

6.15 เดกคนหนงออกแรงดงกลองบนพนราบ โดยแรงมขนาด 50 นวตน และท ามม +60o กบแนวระดบ ใหนกศกษาวาดรป และระบแรงในแนวระดบกบแนวดงทเดกคนนออก

62

6.16 มแรง 3 แรงกระท า ดงรป โดยทราบวาแรงสทธทกระท า มคาเปนศนยใหนกศกษา หาคาของแรงทไมทราบคาในรป

6.17 อนภาคหนงในตอนตนมความเรว 10 เมตรตอวนาทในทศตะวนออก ตอมามความเรวเปน 5 เมตรตอวนาทในทศเหนอ อนภาคนมคาความเรวเปลยนไปเทาใด

6.18 อนภาคหนงในตอนตนมความเรว 5 เมตรตอวนาทในทศตะวนออก ตอมามความเรวเปน 5 เมตรตอวนาทในทศเหนอ อนภาคนมคาความเรวเปลยนไปเทาใด

6.19 ก าหนดให N ˆ5ˆ3 jiA

และ m ˆ3ˆ2 jiB

ใหนกศกษาหาปรมาณตอไปน

AA

, BA

, AB

, AA

, BA

และ AB

6.20 พจารณาเวกเตอร 4 ตวในรปดานลางน โดยก าหนดใหแกน x และ y มหนวยเปน “หนวย” ใหนกศกษาหาผลคณแบบสเกลารกบแบบเวกเตอร ระหวาง B

กบเวกเตอรตวอนทเหลอ

6.21 ก าหนดใหเครองหมาย“กากบาท”ในรปหมายถง เวกเตอรทมทศพงเขาและตงฉากกบระนาบกระดาษ และ“จด”หมายถง เวกเตอรทมทศพงออกและตงฉากกบระนาบกระดาษ ใหนกศกษาหาทศทางของ เวกเตอร BA

ใน 3 กรณตอไปน

63

โจทยภาษาองกฤษจาก COAS Physics 1 Teacher Resources ใหใช Acceleration of free fall g = 9.81 m/s2

1. A small aeroplane travels 30 km due north and then 40 km due east. a. Draw a vector triangle for the final displacement. b. Determine the magnitude of the final displacement.

2. Calculate the magnitude of the resultant force in each case below.

3. The diagram shows a swimmer attempting to swim across a river. The swimmer swims at a velocity of 2.5 m/s normal to the riverbank and the velocity of the river water is 3.0 m/s parallel to the riverbank. Calculate:

a. the magnitude of the actual velocity of the swimmer b. the direction of the final velocity relative to the riverbank.

4. In each case below, resolve the vector into two perpendicular components in the x and y directions.

64

5. A child of mass 35 kg on a swing is pulled to one side. The diagram shows the forces acting on the seat of the swing when it is in equilibrium.

a. What is the net force on the seat? b. Draw a triangle of forces. Hence determine:

i. the tension T in the rope ii. the angle made by the rope with the vertical.

6. A gardener pulls a 50 kg roller along level ground, as shown in the diagram. The roller moves at a steady speed along the level ground when the handle makes an angle of 30° to the horizontal ground and the gardener pulls with a force of 300 N along the handle.

7. A marble is flicked off the edge of a platform. The marble initially has a velocity of 2.5 m/s horizontally. It hits the ground after travelling a vertical distance of 2.0 m. You may assume that air resistance has a negligible effect on the motion of the marble.

a. How long does it take for the marble to travel from the edge of the platform to the ground?

b. Determine the range of the marble – the horizontal distance travelled by the marble before it hits the ground.

8. A stone is thrown horizontally at a velocity of 15 m s−1 from a 120 m tall tower. You may assume that air resistance has a negligible effect on the motion of the stone. Calculate:

a. how long it remains in flight b. the horizontal distance travelled c. the magnitude of its impact velocity.

65

9. The diagram shows a stunt person of mass 82 kg holding on to a rope. The person and the rope are in equilibrium. The rope on either side of the person makes an angle of 5.0° to the horizontal.

a. Determine the tension T in the rope. b. What would be the consequence of making the angle between the

rope and the horizontal equal to zero?

10. The trajectory of a water-jet from a garden hose is as shown in the diagram. You may assume that air resistance has a negligible effect on the motion of the water-jet. Use the information provided below to determine the speed V of the water emerging from the pipe and the range R.

66

บทท 7 ต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรง เรองแรกทนกศกษาจะไดเรยนรในวชาฟสกส 1 คอการเคลอนทของอนภาคใน 1 มต ซงถอวาเปนการทบทวนความรบางสวนทไดเรยนมาแลวในระดบมธยม และมการเพมระดบความรในบางสวนดวย โดยในบทนเราจะเกรนเกยวกบพนฐานของการเคลอนทใน 1 มต นนคอ เราจะนยามปรมาณ 3 อยางตอไปน “การกระจด” (Displacement) หรอการเปลยนต าแหนง, “ความเรว” (Velocity), และ “ความเรง” (Acceleration)

ตอนท 7.1 ต าแหนงกบการกระจด ต าแหนงของวตถ เปนปรมาณเวกเตอรทมจดเรมจากจดอางองหนง ๆ ทเรามกเรยกวาจดก าเนด ไปสนสดทจดทวตถนนอย ในรปดานลางน ให O เปนจดอางอง ต าแหนงของจด A และจด B ก าหนดดวยเวกเตอร Ax และ Bx ตามล าดบ สงเกตวา ในกรณ 1 มต เราอาจจะไมใสหวลกศรเหนอ Ax และ

Bx เพอระบวาเปนปรมาณเวกเตอร แตนกศกษาตองจ าไววา ต าแหนงเปนปรมาณเวกเตอร เราจะอาศยเครองหมายของ Ax และ Bx เปนตวก าหนดทศทางของต าแหนง โดยในกรณของรปดานบน ถาเครองหมายเปน บวก กหมายความวา ต าแหนงของวตถชไปทางดานขวาของจด O และถาเปน ลบ กหมายความวา ต าแหนงชไปทางดานซายของจด O

ในบางครงเราใชปรมาณทเรยกวา การกระจด (Displacement) ในการบรรยายการเคลอนท การกระจดใชสญลกษณ x ซงคอ การเปลยนต าแหนงของวตถ เชน ถาเราทราบวา ทวนาทท 1t วตถอยทต าแหนง 11 txx และทวนาทท 2t วตถอยทต าแหนง 22 txx ดงนนเราจะพดวา ในชวงเวลา ttt 12 วตถนมการกระจดในชวงเวลานเทากบ 12 xxx (ใหนกศกษาจ าไววา เมอแทนคาเปนตวเลขตองเอาเครองหมายของ 1x กบ 2x มาแทนดวยเสมอ เพราะทงคเปนปรมาณเวกเตอร โดยมเครองหมายเปนตวก าหนดทศทาง) หนวยการกระจดในระบบเอสไอคอ เมตร (m) ในการศกษาเกยวกบการเคลอนทนน จดประสงคหลกคอ เราตองการทจะบรรยายการเคลอนทของอนภาคหรอวตถ ทเราพบเหนใหได และในการบรรยายการเคลอนทนน ในตอนแรกเราจะใชปรมาณพนฐาน 2 อยาง กอน คอ ต าแหนง (ความหางของอนภาคจากจดก าเนด ซงเรามกเขยนแทนดวย x ) กบ ชวงเวลา t กลาวคอ เราจะพจาณาวา ต าแหนงของอนภาคเปลยนแปลงไปกบเวลาอยางไร ซงในแงคณตศาสตร เราท าไดโดย 2 วธ โดยการเขยนเปนฟงกชนวา ต าแหนง x เปนฟงกชนของเวลา t อยางไร เชน ttx 23

(นกศกษาสงเกตดวยวา tx หมายถง x เปนฟงกชน หรอมคาขนกบ t ไมใชหมายความวา x คณกบ t) จากสมการน เราบอกไดวา ทเวลา t หนง ๆ อนภาคหรอวตถชนน อยทใด

โดยการพลอตกราฟ ระหวางต าแหนง x กบเวลา t เชน กราฟดานขวาน บอกเราวา ท t = 0 วตถอยท x = 0 และเมอเวลาผานไป วตถอยทต าแหนง ซงหางไปจากจดก าเนดในทศทเปน + เพมขนเรอย ๆ หลงจาก t2 ไปแลว ต าแหนงของวตถเรมเพมขนชาลงกวาเดม

นอกจากต าแหนงหรอการกระจดแลว เรากยงบรรยายการเคลอนทของวตถได ดวยปรมาณอนพทธ คอ ความเรว (Velocity) กบความเรง (Acceleration) ดวย เราจะเรมดวยนยามของความเรวเฉลยกบความเรวบดดลกอน

ตอนท 7.2 ความเรวเฉลยและความเรวบดดล ความเรวเฉลย (Average velocity) avv ของวตถในชวงเวลา 12 ttt คอ การกระจดของวตถใน

ชวงเวลานนหารดวย คาของชวงเวลานน 12

12

tt

xx

t

xvav

หนวยของความเรวเฉลยในระบบ

เอสไอ จงเปน เมตรตอวนาท (m/s) รปดานขางน แสดงกราฟของต าแหนงทเวลาตาง ๆ ของวตถ จะเหน

0

x

t

2x

1x

1t 2t

0

x

t

2x

1x

1t 2t

67

ไดวา ความชนของเสนตรงทผานจด 11, xt กบจด 22 , xt เทากบ t

x

tt

xx

12

12 ซงกคอ avv

ความเรวเฉลยในชวง 1t ถง 2t นนเอง ความเรวบดดล (Instantaneous velocity) คอ อตราการเปลยนแปลงการกระจด หรอ คอ ความเรวเฉลยในชวงระยะเวลาทสนมาก ๆ จนเกอบเปนศนย เขยนเปนภาษาคณตศาสตรไดดงน

0lim

t

x dxv

t dt

ในตอนน เพอใหเหนภาพวาความเรวบดดลมความหมายอยางไร ใหพจารณาการเปลยนต าแหนงทเวลาตาง ๆ ของวตถในกราฟกรณเชนเดยวกบดานบน ในการหาคาความเรวเฉลย เราไดพจารณาชวงเวลาจาก 1t ถง 2t ซงอยหางกนพอสมควร ในตอนนใหนกภาพวา ถาเราเลอน 2t ใหเขาใกล 1t มากขนเรอย ๆ 2x กจะเขาใกล 1x ดวย และจะเหนไดวาเสนตรงทเชอมระหวางจด 11, xt กบจด 22 , xt เดม จะกลายเปนเสนตรง ทสมผสเสนกราฟทจด 11, xt ซงหมายความวา ความเรวบดดลทวนาทท 1t กคอ ความชนของเสนตรงทสมผสเสนกราฟทจด 11, xt นนเอง เนองจากในการบรรยายการเคลอนทโดยทวไป เราใหความสนใจกบคาความเรวบดดลมากกวาความเรวเฉลย ดงนนตอไปน เมอใดกตามทเราอางถงความเรว โดยทไมไดบอกวาเปนความเรวเฉลย ใหเปนทเขาใจวา เราก าลงพดถงความเรวบดดล และเมอเราตองการพดถงความเรวเฉลย เราจะเฉพาะเจาะจงวา โดยพดวา ความเรวเฉลยอยางชดเจน

ตอนท 7.3 การหาต าแหนงของวตถจากความเรว เราเพงเหนแลววา เราสามารถหาความเรวบดดลทเวลา t ของวตถได จากการหาอนพนธของต าแหนงเทยบกบเวลา ในทางกลบกน เรากสามารถหาต าแหนงของวตถจากความเรวบดดลไดเชนกน

เราทราบวา การอนทรเกรตเปนกระบวนการทางคณตศาสตรทกลบทางกบการอนพนธ และส าหรบเสนกราฟฟงกชนหนง ๆ การอนทเกรตในชวงหนง ๆ ของตวแปรตนของฟงกชนนน กคอ การหาพนทใตกราฟในชวงนน ๆ นนเอง ดงนน ต าแหนงของวตถจงเกยวของกบพนทใตกราฟของกราฟความเรวกบเวลา เชน ในกรณของวตถทเคลอนทดวยความเรวคงตว v ดงแสดงในรปดานขางน พนทใตกราฟในชวงวนาทท 0 ถง t มคาเทากบ ความเรว v คณกบ t ซงเทากบการกระจดทวตถเคลอนทไดในชวงวนาทท 0 ถง t (ในทน ใหทวนาทท 0 วตถอยทจดก าเนด) ในกรณทวไปทความเรวอาจไมคงตว เราไดวา การกระจดในชวงเวลา 1t ถง 2t มคาเทากบ การอนทเกรตความเรวในชวง 1t ถง 2t

2

1

12

t

t

tdtvtxtx

เรามกจะพจารณากรณท 01 t และ tt 2 และใหต าแหนงของวตถทวนาทท 0 มคาเทากบ 0x

ต าแหนงของวตถทวนาทท t มคาเทากบ x ดงนนเราจะไดวาการกระจดในชวงเวลาจาก 0 ถง t มคา

เทากบ

t

tdtvxx0

0 สงเกตวา ผลการอนทเกรต ใหคาการกระจด 0xx ทนท แตถาเรา

ตองการหาคาต าแหนง x เราตองทราบต าแหนง 0x ทวนาทเรมตน จงจะหาคา x ได กลาวคอ

t

tdtvxx0

0

ตอนท 7.4 ความเรงเฉลยและความเรงบดดล ความเรงเปนปรมาณทส าคญอกอนหนงทตองรจก เพราะมความเกยวของโดยตรงกบแรงสทธทท าตอวตถ เราไดทราบแลววา ความเรวของวตถบอกเราวา วตถมการเปลยนแปลงต าแหนงเรวแคไหน ในท านองเดยวกน ความเรงจะบอกเราวา วตถมการเปลยนแปลงความเรว มากแคไหน ความเรงเฉลย (Average acceleration) คอ ความเรวทเปลยนไปหารดวยเวลาทใช หรอเขยนเปนสมการคณตศาสตรไดวา

0

x

t

2x

1x

1t 2t

68

2 1

2 1

av

v v va

t t t

ความเรงบดดล (Instantaneous acceleration) คอ ความเรงเฉลยในชวงระยะเวลาทสนมาก ๆ จนเกอบเปนศนย หรอ

2

20lim

t

v dv d xa

t dt dt

และเชนเดยวกบความเรว เมอเราอางถงความเรงโดยไมไดระบวาเปนความเรงเฉลย หรอความเรงบดดล เราจะหมายถงความเรงบดดลเสมอ สงเกตวา ความเรงเปนอนพนธอนดบท 2 ของต าแหนงเทยบกบเวลา ดงนน เมอเราพจารณากราฟของต าแหนงทเวลาตาง ๆ ของอนภาคหนง ๆ เราสามารถทราบความเรงของอนภาคนน ทเวลาตาง ๆ ได โดยการพจารณาความเวาความโคงของเสนกราฟทเวลานน ๆ ตวอยางเชน กราฟความสมพนธระหวางต าแหนงของวตถหนงกบเวลาทเปนดงในรปกราฟดานขางน จะเหนไดวา ไมวาทเวลาใด ๆ กตามความเวาความโคงของกราฟเปนบวกเสมอ (กราฟหงาย หรอเวาบน) ดงนน ความเรงของวตถนจงเปนบวกเสมอ (หรอ อาจสงเกตไดจากการทความชนของกราฟเพมขนเมอเวลาเพมขนกได ซงหมายความวาอตราการเปลยนแปลงความชนเปนบวก และอตราการเปลยนแปลงความชนของกราฟระหวางต าแหนงกบเวลา กคอ ความเรง นนเอง)

จากนยามของความเรง หนวยในระบบเอสไอของความเรง จงเปน เมตรตอวนาท2 (m/s2) และในท านองเดยวกบขางตนทวา พนทใตกราฟความเรวกบเวลาในชวงวนาทท 1t ถงวนาทท 2t คอ การกระจดหรอการเปลยนต าแหนงในชวงเวลานน พนทใตกราฟความเรงกบเวลาในชวงวนาทท 1t ถงวนาทท 2t กคอ

การเปลยนแปลงของความเรวในชวงเวลานน นนเอง 2

1

12

t

t

tdtatvtvv

กอนทจะไปตอ ขอเตอนใหนกศกษาระวงความหมายของค าวา “ความหนวง” (Deceleration) เมอเราพดถง ความหนวง เราหมายถง การชะลอความเรว ซงอาจท าใหนกศกษาแปลวาเปนความเรงทตดลบ ใหระวงดวย เพราะไมเปนจรงเสมอไป ความเรวเปนปรมาณเวกเตอร ในกรณ 1 มต เราใชเครองหมายแทนทศทาง และความเรงกเปนเชนเดยวกน

เครองหมายของความเรวบอกเราวา วตถก าลงเคลอนทไปทางไหน เชน ถาไปดานหนา (หรอขวา) กเปน + ถาไปดานหลง (หรอซาย) กเปน – เปนตน เครองหมายของความเรงบอกเราวา ความเรวเปลยนแปลงอยางไร เชน ถารถก าลงเคลอนทไปดานหนาแลวมการชะลอความเรว ความเรงจะเปน - แต ถารถก าลงเคลอนทไปดานหลงแลวมการชะลอความเรว ความเรงจะเปน + (เพราะการเปลยนแปลงความเรวสวนทางกบทศของความเรว) ดงนนใหระวงการใชค าวา ความหนวงทหมายถงการชะลอความเรวใหมาก ๆ ค านไมไดหมายความวา ความเรงตองตดลบเสมอไป เพยงแตหมายความวา ขนาดของความเรวมคาลดลง

ตอนท 7.5 ตวอยางการเคลอนทใน 1 มต ตอไปนเราจะมาพจารณาตวอยางของการเคลอนทใน 1 มตทมสมบตของการเคลอนทตาง ๆ กนไป โดยเราจะพจารณากราฟของต าแหนง ความเรว และความเรงของการเคลอนทนน ๆ เปนหลก

เรองท 7.5.1 ดนน ามนทถกโยนขนไปตรง ๆ ในอากาศ

สงเกตวา ความชนของกราฟ ( )x t เปลยนแปลงในลกษณะทลดลงไปตามเวลา (นนคอ ความเรวลดลงตามเวลา) โดยเรมจากคาทเปนบวกเมอเวลาเรมตน (เราใหทศขนเปนบวก) เมอดนน ามนเคลอนทถง

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S (m)

เวลา (min)

69

จดสงสด ( 1t t ) ความชนของกราฟ ( )x t มคาเปนศนย (ความเรวเปนศนย) จากนน ดนน ามน เรมเคลอนทลง มความชน (หรอความเรว) เปนลบ โดยขนาดมคาเพมขนเรอย ๆ จนตกกระทบพน ซงหลงจากนนดนน ามนไมมการเคลอนทอกตอไป ในชวงทดนน ามนเคลอนทกอนตกกระทบพนนน ดนน ามนเคลอนทดวยความเรงคงททมคาเปนลบ (สงเกตวา กราฟ ( )x t มความเวาเปนลบ หรอเวาลาง) ซงมคาเทากบคาสนามโนมถวงของโลก g นนเอง

เรองท 7.5.2 การเคลอนทของรถยนต

เมอรถยนตออกตว รถจะเรมจากความเรวเปนศนย และเรงจนมความเรวคงตวคาหนง และเมอใกลถงจดหมาย รถยนตจะชะลอความเรวจนหยด ลองสงเกตดจากกราฟวา ลกษณะการเคลอนททเพงกลาวไปของรถตรงกบชวงใด ของกราฟในรปดานบนบาง

เรองท 7.5.3 การเคลอนทดวยความเรงคงตว การเคลอนททนาสนใจและมกเกดขน กคอ การเคลอนทดวยความเรงคงตว เมอวตถทเคลอนทดวยความเรงคงตว a หมายความวา วตถนมคาความเรงไมเปลยนไปกบเวลา จงท าใหความเรงบดดลกบความเรงเฉลย มคาเทากนเทากบ a พจารณากราฟ ( )a t ในรปดานลาง

v v u

at t

( )v t u at

โดย u คอความเรวในตอนตน (t = 0) และจาก ( )dx

v tdt

เราสามารถหาการกระจดทเวลาตาง ๆ

( )s t ได คอ

0

0

0 0

( )

x t t

x t

dx v t dt x x u at dt

21

2( )s t ut at

เมอแทนคา v u

ta

จาก สมการ ( )v t u at ลงในสมการ 21

2( )s t ut at แลวจดรป

ใหม (นกศกษาควรลองท าด) จะได 2 2 2v u as สมการเหลาน เราไดเหนมาแลวเมอตอนเรยนในชนมธยมปลาย แตในตอนนนการพสจนสมการดงกลาว ไมไดใชแคลคลสท า ขอใหนกศกษาระวงดวยวา สมการเหลานใชไดกบการเคลอนทของวตถทมความเรงคงตวเทานน!

a v x

0 t t 0 0

u x0

t

70

วตถทเคลอนทภายใตแรงโนมถวงของโลก ภายใตแรงโนมถวงของโลกเพยงอยางเดยว ความเรงของวตถมคาเปน 2 m/sa g คาความเรงเปนลบเนองจากเราก าหนดใหทศขนเปนทศบวก

เราสามารถพสจนไดวา วตถทถกปลอยจากความสงเดยวกน จะตกถงพนโลกพรอมกน ซงกาลเลโอเปนทานแรกทแสดงใหเหนถงความจรงขอน ทานไดปลอยกอนหน 2 กอนทมวลตางกนทหอเอนเมองปซา ในประเทศอตาล ปรากฏวา หนทงสองกอนตกถงพนพรอมกน ซงตางจากความเชอในตอนนนทวา วตถทมมวลมากกวาจะมความเรงมากกวา และควรจะตกถงพนกอน

อยางไรกด นกศกษาอาจสงสยวา ถาเปนอยางทกลาวมาจรง เหตใดขนนกจงไมตกถงพนพรอมกอนหนทปลอยทความสงเดยวกน ปรากฏการณนอธบายไดดงน วตถทตกอสระในชนบรรยากาศของโลกนน อนทจรงแลวไมไดเคลอนทภายใตแรงโนมถวงโลกเพยงอยางเดยว ยงมแรงตานอากาศกระท าดวย แรงตานนมขนาดไมมากพอทจะมผลตอกอนหนในการเคลอนทระยะสน ๆ (ไมเกน 1 กโลเมตร) หรอตอวตถอนทมมวลมากพอและมรปรางทไมตานอากาศมากนก แตส าหรบวตถทมมวลนอยและมรปรางทตานอากาศไดด เชน ขนนก แรงตานอากาศจะมผลตอการเคลอนทมากกวา เราสามารถแสดงใหเหนไดวา ขนนกและกอนหนเมอปลอยทความสงเทากนจะตกถงพนพรอมกนในททเปนสญญากาศ

ในป ค.ศ. 1971 สหรฐอเมรกาไดสงยาน Apollo 15 ไปเยอนดวงจนทร โดยมสมาชกคอ Commander Scott, Worden และ Irwin เนองจากบนดวงจนทรไมมชนบรรยากาศ (มวลของดวงจนทรไมมากพอทจะดงเอากาซใด ๆ ใหอยเปนชนบรรยากาศได) นกบนอวกาศทงสามทานไดแสดงใหชาวโลกไดเหนวา ในททไมมแรงตานอากาศ ขนนกและคอนตกถงพนพรอมกน

รปดานซายบนเปนภาพถายของนกบนอวกาศของยาน Apollo 15 ดานขวามอเปนภาพวาดโดยนกบนอวกาศ Alan Bean ซงแสดงเหตการณท Commander Scott นกบนอวกาศของยาน Apollo 15 ไดแสดงใหเหนวาเมอไมมแรงตานอากาศ วตถทมมวลตางกนไมวาจะมรปรางใดกแลวแต จะตกถงพนพรอมกน

แบบฝกหดบทท 7 7.1 นกศกษาตองการเดนทางเปนระยะ 35 km โดยขบรถดวยอตราเรวเฉลย 65 km/hr นกศกษาจะ

ใชเวลาเทาใด จงจะถงจดหมาย

7.2 สาวนอยคนหนงก าลงขบรถเทยวชมเมอง เธอขบผานสแยกแหงหนง ดวยความเรว 60 km/hr และขบตอไปดวยความเรวนอกเปนระยะ 10 km น ามนจงหมดถง เธอจงตองลงจากรถ และเดนตอไปตามถนนเปนระยะ 1 km โดยใชเวลา 15 นาท จนถงปมน ามน จงค านวณหาขนาดของความเรวเฉลยของสาวนอยคนน ตงแตตอนผานสแยกจนถงปมน ามน

71

7.3 อนภาคหนงเคลอนทโดย มต าแหนง x (ในหนวยเมตร) เปนฟงกชนกบเวลา t (ในหนวยวนาท) เปนดงน 2 3( ) 3 4x t t t t a) ความเรวเฉลยในชวงวนาทท 2 ถง 3 มคาเทากบเทาใด

b) ความเรวบดดลทวนาทท 2 กบ 3

c) ความเรงเฉลยในชวงวนาทท 2 ถง 3 มคาเทากบเทาใด

d) ความเรงบดดลทวนาทท 2 กบ 3

e) ใหนกศกษาลองพลอตกรา 2 3( ) 3 4x t t t t

7.4 พจารณากราฟต าแหนง x ทเวลา t ตาง ๆ ของวตถหนงซงเคลอนทใน 1 มต และเปนดงในรปดานขางน ขอใดตอไปนระบเวลาทความเรวของวตถมคามากกวาศนยไดถกตอง a) ท s 0t และ s 4t b) ท s 2t c) ท s 0t และ s 1t d) ท s 3t และ s 4t e) ท 3 ,1 ,0t และ s 4

7.5 นกวงคนหนงวงดวยความเรว ณ เวลาตาง ๆ เปนไปดงกราฟขางลางน เขาวงไดระยะทางเทาใดในเวลา 16 วนาท และ ทวนาทท 11 เขาวงดวยความเรงเทาใด

v (m/s)

t (s)

8

4

2 4 6 8 10 12 14 16 0

72

7.6 ดานลางน แสดงกราฟความเรว (Velocity) กบ เวลา (Time) ของวตถหนง ซงเคลอนทใน 1 มต โดยแบงการเคลอนทไดเปน 5 ชวงเวลา ชวง A จาก 0 – 2 s ชวง B จาก 2 – 5 s ชวง C จาก 5 – 7 s ชวง D จาก 7 – 9 s และ ชวง B จาก 9 – 10 s จากขอมลทอานไดจากกราฟ

a) ใหนกศกษาบรรยายการเคลอนทน

b) เมอไหรทวตถหมนตวกลบ

c) ใหนกศกษาหาคาความเรงของวตถนในแตละชวง

d) ใหนกศกษาหาคาการกระจดของวตถน ในแตละชวง

e) ถาวตถเรมเคลอนททต าแหนง x = 0 m ใหนกศกษาหาวา ทเวลา t = 2 s, 5 s, 7 s, 9 s, 10 s วตถอยทต าแหนงใด

f) ระยะทางรวมทงหมดจากวนาทท 0 ถง 10 ทวตถเคลอนทไดมคาเทาใด

g) การกระจดรวมทงหมดของวตถจากวนาทท 0 ถง 10 มคาเทาใด

h) ใหนกศกษาวาดกราฟความเรงกบเวลาของวตถน

7.7 พจารณากราฟดานขางน ซงเปนกราฟความเรว v ของวตถทเคลอนทใน 1 มต ทเวลา t ตาง ๆ ขอใดกลาวเกยวกบการเคลอนทของวตถและความเรงท s 3t ไดถกตอง

a) วตถก าลงชะลอความเรว และมความเรงเปนลบ b) วตถก า ลงเพมอตราเรว และมความเรงเปนลบ c) วตถก าลงชะลอความเรว และมความเรงเปนบวก d) วตถก าลงเพมอตราเรว และมความเรงเปนบวก

Velocity vs. Time

-5-4-3-2-1012345

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time (s)

Ve

loc

ity

(m

/s)

73

7.8 อนภาคอลฟา (นวเคลยสของธาตฮเลยม) วงในทอตรงยาว 2 เมตร ถาอนภาควงดวยความเรงคงตวในทอ และความเรวกอนวงเขาทอและหลงจากออกจากทอ มคา 41 10 เมตรตอวนาทและ

65 10 เมตรตอวนาท ตามล าดบ จงหาคาความเรงนนเวลาทอนภาคอยในทอมคาเทาใด

7.9 จรวดล าหนงถกปลอยจากฐานใตน า ซงอยลกลงไปจากผวน าเปนระยะ 125 เมตร ในชวงทวงอยในน า จรวดวงดวยความเรงคงทคาหนงซงท าใหใชเวลา 2.15 วนาท จงโผลพนน า และในทนททพนน า เครองยนตขบดนของจรวดกดบโดยอตโนมต จงหาวาจรวดล านจะเคลอนทขนไปเหนอน าเปนความสงเทาไร กอนทจะเรมตกลงมา

74

เอกสารอางอง 1. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. 8th Edition by John W.

Jewett, Jr. and Raymond A. Serway Brooks/Cole Cengage Learning. 2. Mr. Wayne’s physics student workbook (http://www.mrwaynesclass.com/) 3. MIT Open Courseware: Physics I (http://ocw.mit.edu/courses/physics/) 4. Worksheets from Mathematics Enhancement Programme Primary Resources

by Centre for Innovation in Mathematics teaching in United Kingdom (http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/primary/)

5. Worksheets from Department of Mathematics, the University of Arizona. (http://math.arizona.edu/~calc/)

6. Excercises from ELEMENTARY MATHEMATICS by W. W. L. CHEN and X. T. DUONG (http://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnemfolder/lnem.html)

7. Worksheets from COAS Physics 1 Teacher Resources 8. http://physics.wustl.edu/introphys/Phys117_118/