Embed Size (px)
Citation preview
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
О. А. Сотникова, М. Г. Миронова, М. С. Хозяинова
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ
Учебное пособие
Рекомендовано УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия
для студентов технических вузов
Ухта, УГТУ, 2013
УДК 51(076.1) ББК 22.1я7
С 67 Сотникова, О. А.
С 67 Тренировочные задачи и упражнения по математике для студентов тех-нических вузов [Текст] : учеб. пособие / О. А. Сотникова, М. Г. Миронова, М. С. Хозяинова. – Ухта : УГТУ, 2013. – 110 с.
ISBN 978-5-88179-772-0
Содержание пособия охватывает программу по математике для студентов первого
курса технических направлений по разделам: «Комплексные числа», «Системы линейных уравнений», «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия на плоскости», «Аналитическая геометрия в пространстве». В каждом разделе освещаются необходимые теоретические сведения, представлены типовые задачи с подробными ре-шениями и комментариями, а также задачи и задания, адресованные студенту для само-стоятельной работы. Все задания оснащены ответами. В конце каждой главы представлен тест для самопроверки.
Основное назначение пособия состоит в предоставлении студентам материала для самостоятельной работы по формированию компетенций, связанных с математическими знаниями.
Пособие рекомендуется студентам технических вузов. Оно будет полезно и препо-давателям для организации самостоятельной работы студентов.
УДК 51(076.1)
ББК 22.1я7 Учебное пособие рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
Ухтинского государственного технического университета.
Рецензенты: В. В. Сушков, зав. кафедрой математики и информатики филиала Северного (Арктиче-ского) федерального университета им. М. В. Ломоносова в г. Коряжме, к.ф.-м.н.; И. И. Волкова, зав. кафедрой высшей математики Ухтинского государственного техниче-ского университета, доцент, к.т.н.; В. А. Попов, профессор кафедры высшей математики, теории и методики обучения ма-тематике Коми государственного педагогического института, доцент, к.ф.-м.н.
© Ухтинский государственный технический университет, 2013 © Сотникова О. А., Миронова М. Г., Хозяинова М. С., 2013
ISBN 978-5-88179-772-0
3
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА................................................................................. 5 1.1. Определение комплексного числа.................................................................... 5 1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел ................................................... 5 1.3. Умножение комплексных чисел ....................................................................... 6 1.4. Деление комплексных чисел ............................................................................. 8 1.5. Геометрическое представление комплексного числа .................................... 8 1.3. Модуль комплексного числа ............................................................................. 9 1.4. Аргумент комплексного числа ....................................................................... 11 1.5. Формы записи комплексных чисел ................................................................ 12 Тренировочные упражнения .................................................................................. 18 Тест «Проверь себя» № 1........................................................................................ 20
2. МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ ............................................ 23 2.1. Определение...................................................................................................... 23 2.2. Сложение и вычитание матриц....................................................................... 24 2.3. Умножение матриц .......................................................................................... 24 Тренировочные упражнения .................................................................................. 26 Тест «Проверь себя» № 2........................................................................................ 29
3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ............................................................................................. 31 3.1. Определение...................................................................................................... 31 3.2. Минор и алгебраические дополнения ........................................................... 32 Тренировочные упражнения .................................................................................. 33 Тест «Проверь себя» № 3........................................................................................ 34
4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ ................................................. 36 4.1. Элементарные преобразования матрицы....................................................... 36 4.2. Обратная матрица............................................................................................. 36 4.3. Ранг матрицы .................................................................................................... 38 Тренировочные упражнения .................................................................................. 39 Тест «Проверь себя» № 4........................................................................................ 40
5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................................... 42 5.1. Постановка задачи............................................................................................ 42 5.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений........................... 43 5.4. Теорема Кронекера – Капелли ........................................................................ 48 5.5. Метод Гаусса .................................................................................................... 50 Тренировочные упражнения .................................................................................. 53 Тест по теме «Проверь себя» № 5 ......................................................................... 54
6. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.......................................................... 57 6.1. Определение вектора ....................................................................................... 57 6.2. Базис .................................................................................................................. 57 6.3. Длина вектора. Линейные операции .............................................................. 59 6.4. Скалярное произведение векторов ................................................................. 60
4
6.5. Векторное произведение векторов ................................................................. 62 6.6. Смешанное произведение векторов ............................................................... 64 Тренировочные упражнения .................................................................................. 66 Тест «Проверь себя» № 6........................................................................................ 69
7. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ................................ 72 7.1. Прямоугольная система координат на плоскости ........................................ 72 7.2. Полярная система координат .......................................................................... 72 7.3. Основные приложения метода координат на плоскости ............................. 74 7.4. Уравнения линии на плоскости ...................................................................... 75 7.5. Прямая на плоскости........................................................................................ 75 7.6. Линии второго порядка.................................................................................... 78 Тренировочные задания.......................................................................................... 82 Тест «Проверь себя» № 7........................................................................................ 84
8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ............................ 85 8.1. Уравнения поверхности и линии в пространстве ......................................... 85 8.2. Уравнения плоскости в пространстве ............................................................ 85 8.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до
плоскости...................................................................................................................... 88 8.4. Уравнения прямой в пространстве ................................................................. 89 8.5. Взаимное расположение двух прямых........................................................... 91 8.6. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение................... 92 8.7. Поверхности второго порядка ........................................................................ 92 Тренировочные упражнения .................................................................................. 97 Тест «Проверь себя» № 8........................................................................................ 99 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ......................................................... 102 1. Комплексные числа........................................................................................... 102 2. Матрицы и действия над ними ........................................................................ 103 3. Определители..................................................................................................... 104 4. Обратная матрица. Ранг матриц. ..................................................................... 104 5. Системы линейных уравнений ........................................................................ 105 6. Векторная алгебра ............................................................................................. 105 7. Аналитическая геометрия на плоскости ......................................................... 106 8. Аналитическая геометрия в пространстве...................................................... 108 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА................................................................ 109
5
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1. Определение комплексного числа
Комплексным числом z называется выражение вида iyxz += , где Rx∈ и Ry∈ , а i – мнимая единица. Ос-
новное свойство числа i в том, что 2 1i = − (или i=−1 ). Множество комплексных чисел обозначается латинской буквой С.
Число x называется действительной частью ком-плексного числа z и обозначается zx Re= (от франц. reele – «действительный»), а у – мнимой частью z , zy Im= (от франц. imaginaire – «мнимый»).
Два комплексных числа 111 iyxz += и 222 iyxz += на-зываются равными )( 21 zz = тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части:
2121 yy,xx == . Понятия «больше» и «меньше» для ком-плексных чисел не вводятся.
Два комплексных числа iyxz += и iyxz −= , отли-чающиеся лишь знаком мнимой части, называются со-пряжёнными.
Примеры комплексных чисел
1) iz 43 −= , 2) iz109
32−−= , 3) iz 5,0−= ,
4) iz 53 += и iz 53 −= , это сопряжённые комплексные числа.
Из истории В XVI веке, в связи с изучением куби-ческих уравнений, оказалось необхо-димым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Впервые мнимые величины появи-лись в известном труде «Великое ис-кусство, или об ал-гебраических пра-вилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Символ i=−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву сло-ва imaginarius (лат. «воображаемый»)
1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел 111 iyxz += и 222 iyxz += называется комплексное число, определяемое
равенством )()( 212121 yyixxzz +++=+ .
Сложение комплексных чисел обладает перемес-тительным (коммутативным) и сочетательным (ассо-циативным) свойствами:
1221 zzzz +=+ , )()( 321321 zzzzzz ++=++ .
Сложение ком-плексных чисел по-лучается формально путём сложения двучленов 11 iyx + и
22 iyx + . Действительно:
6
Примеры сложения комплексных чисел 1. .31)84()53( iii −=−++− 2. 909)07()02( =+=+++ iii . 3. iiii 660)40()20( =+=+++ . 4. 4)52()56( =+−+− ii . Вычитание комплексных чисел Разностью двух комплексных чисел 1z и 2z назы-
вается такое комплексное число z , которое, будучи сло-женным с 2z , даёт число 1z , т. е. 21 zzz −= , если
12 zzz =+ . Если 111 iyxz += , 222 iyxz += , то из этого опреде-
ления легко получить z : )()( 212121 yyixxzzz −+−=−= .
Примеры вычитания комплексных чисел: 1. iii 78)53()25( +−=−−+− . 2. 606)23()23( =+=+−−+ iii . 3. iii 8)43()43( −=+−− .
( )( )
( )21
2122
1122
1121
)(yyi
xxiyxiyxiyx
iyxzz
+++=+++=+++=+
Разность и сумма комплексных чисел может иметь толь-ко действительную часть либо только мнимую. Вычитание опреде-ляется как действие, обратное сложению. Правило суммы и разности можно применять для лю-бого количества сла-гаемых. Если iz 431 += ,
iz 382 −= , iz 733 +−= , тогда
ii
zzz
88)734()383(
321
+=+−+−+=++
1.3. Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел 111 iyxz += и 222 iyxz += называется комплексное число, определяемое
равенством )()( 2121212121 xyyxiyyxxzzz ++−== .
Равенство 12 −=i до установления правила умноже-ния носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Действительно:
1)00()10()10)(10(2 −=++−=++== iiiiii . Произведение 22))(( yxiyxiyxzz +=−+= показыва-
ет, что произведение сопряжённых комплексных чисел есть действительное число и притом (при z≠ 0) положи-тельное число.
Умножение комплексных чисел обладает перемести-тельным, сочетательным и распределительным (дистри-бутивным) свойствами:
На практике можно перемножать ком-плексные числа как двучлены: Пример: ( )( )
ii
iii
ii
ii
5526
32
32131
321
−=+−
−+=⋅−
−⋅−⋅+⋅
=+−
zz, – сопряжённые
числа (см. пункт 1.1), т. е.
.,
iyxziyxz
−=+=
Данные свойства лег-ко доказать. Докажем свойство первое.
7
1221 zzzz = , )()( 321321 zzzzzz = ,
3121321 )( zzzzzzz +=+ .
Пусть:
ixxziyxz
222
111
+=+=
Тогда по определе-нию:
12
1212
1212
2121
212121
)()(
)()(
zzixyyx
yyxxixyyx
yyxxzz
⋅=++
−=++
−=⋅
Воспользовались коммутативным законом сложение действительных чи-сел. Остальные свой-ства доказываются аналогично
Пример 1. Найти все корни уравнения и проверить найденные решения подстановкой в исходное уравнение:
а) 01022 =+− xx Решение: 01022 =+− xx
22 )6(364044 iacbD =−=−=−=
,312
6221 ii
aDbx +=
+=
+−=
iia
Dbx 312
6222 −=
−=
−−=
Проверка:
( ) ( ) ( )01062961106
2313211031231102)1 221
21
=+−−−+=+−−−+⋅⋅+=++−+=+−
iiiiiiixx
Второй корень проверяется аналогично. Ответ: 1,2 1 3x i= ± Пример 2. Найдите действительные х, у, удовлетво-
ряющие условию: 1)8(9 =−+− iyix
Решение: Преобразуем правую часть выражения: 189 =−+− iyiix
1)17( =−+ iyx Используя критерий равенства комплексных чисел,
имеем: ⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−=
171
0171
yx
yx
Ответ: x = 1, y = 17.
Действительно,
222 )6(636136 ii =⋅=⋅−=−Т. е. получили, что во множестве ком-плексных чисел из-влекается корень квадратный из отри-цательного числа. Для проверки непо-средственно подста-вим в исходное уравнение получен-ные значения. При раскрытии скобок используем опреде-ление мнимой еди-ницы: 2 1t = − . Используем опреде-ление равных ком-плексных чисел, а именно: два ком-плексных числа на-зываются равными тогда и только тогда, когда равны их дей-ствительные части и равны их мнимые части
8
1.4. Деление комплексных чисел
Частным двух комплексных чисел 1z и 02 ≠z назы-вается комплексное число z , которое, будучи умножен-
ным на 2z , даёт число 1z , т. е. zzz=
2
1 , если 12 zzz = .
Если положить 111 iyxz += , 0222 ≠+= iyxz , iyxz += , то из равенства 1122 ))(( iyxiyxiyx +=++ следует
⎩⎨⎧
=+=−
.,
122
122
yyxxyxyyxx
Решая систему, найдём значения x и y :
,22
22
2121
yxyyxxx
++
= и 22
22
2121
yxyxxyy
+−
= .
Таким образом,
22
22
212122
22
2121
2
1
yxyxxyi
yxyyxx
zzz
+−
+++
== .
Примеры деления комплексных чисел: 1. iiii
iiii
ii 21
132613
)4(98121421
)23)(23()23)(47(
2347
−=−
=−−
−−−=
−+−−
=+− .
2. =−−+−−−−
=+−−
)32)(32()32)(52(
3252
iiii
ii
=−−
−+−−=
−−⋅+⋅+⋅−⋅−
=)9(4
151064)3()2(
3525322222
iii
iiii
.134
1319
13419 ii
+−=+−
=
Деление определя-ется как действие, обратное умноже-нию. На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числите-ля и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю. Напомним, что
zz, – сопряжённые числа, т. е.
.,
iyxziyxz
−=+=
Перемножать ком-плексные числа можно как двучле-ны, а затем, исполь-зуя основное свойство 2 1i = − , сгруппировать слагаемые
1.5. Геометрическое представление комплексного числа
Всякое комплексное число iyxz += можно изобра-зить точкой );( yxM плоскости Oxy такой, что
zx Re= , zy Im= . И, наоборот, каждую точку );( yxM ко-ординатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа iyxz += (см. рис. 1).
Под системой ко-ординат на плоско-сти понимают спо-соб, позволяющий численно описать положение точки плоскости (подроб-нее см. главу 7 дан-ного пособия).
9
Рис. 1. Геометрическое изображение комплексного числа
Плоскость, на которой изображаются комплексные
числа, называется комплексной плоскостью. Ось абс-цисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа xixz =+= 0 . Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа iyz += 0
Действительные числа – это ком-плексные числа, у которых мнимая часть равна нулю (Im z = 0). Чисто мнимые чис-ла – это комплекс-ные числа z, у которых действи-тельная часть равна нулю (Re z = 0)
1.3. Модуль комплексного числа
Комплексное число iyxz += можно задавать с по-мощью радиус-вектора );( yxMOr == . Длина вектора r , изображающего комплексное число z , называется моду-лем этого числа и обозначается z или r (см. рис. 1).
Модуль zr = однозначно определяется по формуле
22 yxzr +== . Пример 1. Найти модуль комплексного числа: а) iz 43+= , тогда 5254343 22 ==+=+= iz ;
б) iz 3−= , тогда 39)3(3 2 ==−=−= iz . Пример 2. Построить множество точек iyxz += ,
определяемое условием: а) 12 =− iz . Решение. Если iyxz += , то
1)2()2(22 22 =−+=−+=−+=− yxyixiyixiz . Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение
1)2( 22 =−+ yx . А это есть уравнение окружности с цен-тром в точке (0; 2) и радиусом 1. Изобразим полученное множество точек.
Определение модуля комплексного числа аналогична опреде-лению модуля дей-ствительного числа (с геометрической точки зрения).
Формула модуля комплексного числа следует из прямо-угольного треуголь-ника ОАМ (смотри рис. 1).
Возьмём произволь-ное число iyxz += . Используем опреде-ление модуля ком-плексного числа. Общее уравнение окружности: ( ) 222 )( rbyax =−+− .
10
б) 42 <+− iz . Решение. Если iyxz += , то
4)1()2()1()2(22 22 <++−=++−=+−+=+− yxyixiyixiz . Получаем уравнение 16)1()2( 22 <++− yx . Изобразим полу-ченное множество точек: внутренняя часть круга с цен-тром в точке (2;–1) и радиусом 4, причём точки самой линии окружности не входят.
в) 3)1Im(0 ≤+< z . Решение. Если iyxz += , то
yyixyixz =++=++=+ ))1Im(()1Im()1Im( . Поэтому условие задачи можно записать так:
30 ≤< y . А это есть полоса, отсекаемая прямыми y = 0 и y = 3, точки прямой y = 0 не входят, а y = 3 входят в об-ласть. Изобразим полученное множество точек.
г) ⎩⎨⎧
≤≤
≤+≤
.2Im0,412
zz
Решение. 1) Пусть iyxz += , тогда
( ) ( ) 221111 yxiyxiyxz ++=++=++=+ .
Тогда ( ) 412 22 ≤++≤ yx
Центр окружности имеет координаты (a;b), радиус равен r (см. пункт 7.6 данно-го пособия). Известно, что мно-жество точек, удов-летворяющих условию:
222 )()( rbyax <−+− , является внутренней частью круга с цен-тром в точке (a;b) и радиусом r. Im – обозначение мнимой части (ко-эффициента при мнимой единице i) числа z. Прямая y = a прохо-дит через точку (0; а) и параллельна оси Ох. Рассмотрим отдель-но оба условия.
11
1.4. Аргумент комплексного числа
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим ком-плексное число, называется аргументом этого комплекс-ного числа, обозначается Argz или ϕ (см. рис. 1).
Аргумент ϕ определяется из формул
rx
=ϕcos , ry
=ϕsin , xytg =ϕ .
Аргумент комплексного числа 0=z не определён. Аргумент комплексного числа 0≠z – величина много-значная и определяется с точностью до слагаемого kπ2
kzArgzk π2arg:...)2,2,1,1,0( +=−−= , где zarg – главное значение аргумента, заключённое в промежутке ( ]ππ ;− , т. е. ππ ≤<− zarg (в некоторых пособиях в качестве главного значения аргумента берут величину, принадле-жащую промежутку [ )π2;0 ).
Пример: Найдём аргумент числа z = 3 – 3i. Решение. Найдём действительную и мнимую части
числа z: x = Re z = 3, y = Im z = –3. Тогда по формуле:
13
3−=
−=ϕtg . Следовательно: 4
)1( πϕ −=−= arctg .
Ответ: 4πϕ −= .
Формула для cos ϕ понятна из тре-угольника ОАМ (см. рис. 1): косинус ост-рого угла прямо-угольного треугольника равен отношению приле-жащего катета к ги-потенузе. Аналогично форму-лы выводятся для sinϕ , tgϕ . Аргумент обознача-ется заглавной бук-вы, т. к. это множество чисел (множества обозна-чаются заглавными буквами). Аргумент нулевого числа z = 0 не опре-делён
Возведём в квадрат: ( ) 1614 22 ≤++≤ yx .
Неравенство ( ) 2214 yx ++≤ задаёт множество то-чек, лежащих за пределами окружности. Неравенство ( ) 161 22 ≤++ yx задаёт множество точек, лежащих внут-ри окружности.
2) xz =Im , т. е. получаем неравенства 20 ≤≤ x . Изобразим пересечение полученных множеств точек
на одном чертеже.
( ) 41 22 =++ yx – ок-ружность с центром
)0;1(− и радиусом 2. ( ) 161 22 =++ yx – ок-ружность с центром
)0;1(− и радиусом 4. Прямая y = b прохо-дит через точку (b; 0) и параллельна оcи Оy.
12
1.5. Формы записи комплексных чисел
Запись числа z в виде iyxz +=
называется алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент ϕ комплексного чис-
ла iyxz += можно рассматривать как числа, однозначно его определяющие. В геометрии говорят, что вектор оп-ределённой длины r и углом ϕ относительно выбранной оси имеет полярные координаты. Тогда получаем, что
ϕϕ sin,cos ryrx == . Следовательно, комплексное число iyxz += можно записать в виде ϕϕ sincos irrz += , или
)sin(cos ϕϕ irz += . Такая запись комплексного числа:
)sin(cos ϕϕ irz += , называется тригонометрической формой.
При переходе от алгебраической формы комплексно-го числа к тригонометрической достаточно найти модуль числа и определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z , т. е. выбрать в качестве значения
zarg=ϕ .
Так как ππ ≤<− zarg , то из формулы xytg =ϕ полу-
чаем, что =zargxyarctg – для внутренних точек I, IV чет-
вертей; π+=xyarctgzarg – для внутренних точек
II четверти; π−=xyarctgzarg – для внутренних точек
III четверти. В математике введено понятие «степень числа с ком-
плексным показателем». Частным случаем является фор-мула Эйлера: ϕϕϕ sincos iei += . Используя эту формулу, комплексное число )sin(cos ϕϕ irz += можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме:
ϕirez = , где zr = – модуль комплексного числа, а zarg=ϕ – аргумент комплексного числа.
Одно и то же ком-плексное число z можно записывать в различном виде. Рас-смотрим некоторые из них: алгебраиче-скую, тригономет-рическую и показа-тельную формы. Кроме приведённого правила нахождения, argz можно вычис-лить из системы:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
ryrx
ϕ
ϕ
sin
cos
Леона́рд Э́йлер (4 апреля 1707 – 7 сентября 1783) – швейцарский, не-мецкий и россий-ский математик, внёсший значитель-ный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
13
Пример 1. Перейти от алгебраической записи ком-плексного числа к тригонометрической записи, опреде-лить модуль и аргумент:
а) iz +−= 1 Решение. Имеем 1,1 =−= yx . Модуль
2)1()1( 22 =+−== zr .
Тогда по формуле 11
1−=
−==
xytgϕ . Этому условию
удовлетворяют как угол 4π
− , так и угол 4
3π . Учитывая,
что точка z лежит во второй четверти, имеем 4
3πϕ = .
Тогда в тригонометрической форме:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=
43sin
43cos2 ππ iz .
В показательной форме: 43
2π
⋅⋅=
iez .
б) iz += 3 Решение. Имеем 21)3( 22 =+== zr ,
23cos ==
rxϕ ,
21sin ==
ryϕ , т. е.
6πϕ = и
626
sin6
cos23πππ i
eiiz =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= .
Пример 2. Комплексное число
z = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
4sin
4cos2 ππ i представить в алгеб-
раической форме.
Решение. Здесь r = 2, 4πϕ −= . По формулам имеем,
что rx
=ϕcos и ry
=ϕsin . Тогда выразим:
2222
4cos2cos =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==
πϕrx ,
Нужно учесть, что абсцисса данного комплексного числа x = –1 отрицательна, а ордината y = 1 по-ложительна. Значит, точка лежит во вто-рой четверти. Другой способ. Найдём
21cos −
==rxϕ ,
21sin ==
ryϕ .
Видим, что ϕcos отрицателен, а ϕsin положителен. Зна-чит, угол ϕ принад-лежит второй четверти и соответ-
ствует 4
3πϕ = .
ϕcos и ϕsin поло-жительны, угол ϕ принадлежит первой четверти и соответ-ствует углу
6πϕ = .
Значения r и ϕ оп-ределяем, сравнивая с общим видом ком-плексного числа в тригонометрическом виде. Преобразования про-водим, используя чётность косинуса и нечётность синуса
14
2222
4sin2sin −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==
πϕry .
Алгебраическая форма данного числа имеет вид: iz 22 −= . Если вычислить приближённо: iz 4,14,1 −≈
1.6. Умножение и деление комплексных чисел
в тригонометрической форме Произведение комплексных чисел )sin(cos 1111 ϕϕ irz +=
и )sin(cos 2222 ϕϕ irz += , заданных в тригонометрической форме:
))sin()(cos( 21212121 ϕϕϕϕ +++= irrzz .
Для тригонометрической формы комплексного числа
формула деления имеет вид:
))sin()(cos()sin(cos)sin(cos
21212
1
222
111 ϕϕϕϕϕϕϕϕ
−+−=++ i
rr
irir .
Пример 1.
а) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
126sin
126cos
31
12sin
12cos6
6sin
6cos2
ππππππ
ππ
ii
i
.12
sin12
cos31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ππ i
б)
4)sin(cos44
3sin4
3cos22
4sin
4cos24 −=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ππππππ iii
Это правило распространяется на любое конечное число
множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то
)sin(cos))sin(cos( ϕϕϕϕ ninrirz nnn +=+= . Данная формула называется формулой Муавра. Формула Муавра верна и для целого отрицательного по-
казателя n, а также и для n = 0.
Для комплексных чисел, заданных в тригонометри-ческой форме можно получить удобный способ умножения и де-ления. При умножении комплексных чи-сел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их моду-ли, соответст-венно, делятся, а аргументы, со-ответственно, вычитаются. Абрахам де Муавр(26 мая 1667 – 27 ноября 1754) –английский мате-матик французско-го происхождения. В 1707 году от-крыл формулу для возведения в сте-пень (и извлечения корней) комплекс-ных чисел, задан-ных в триго-нометрической форме.
15
Например,
)3sin3(cos1
))sin(cos(1))sin(cos( 33
3
ϕϕϕϕϕϕ
iririr
+=
+=+ − .
Итак, при возведении комплексного числа в любую це-лую степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример 2. Найти: а) ( )82 2i− Решение. Запишем сначала число iz 22−= в тригоно-
метрической форме: 228)2(2 22 ==−+=r ;
)1(22arg −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −= arctgarctgz , так как x = 2, y = – 2, то чис-
ло находится в 4 четверти 4
arg π−=⇒ z и
)3
sin3
(cos22 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ππ iz .
По формуле Муавра имеем
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−=
888
4sin
4cos22)22( ππ iiz
( ) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅=
48sin
48cos22
8 ππ i
( ) =−+−⋅⋅= )2sin()2cos(16256 ππ i
4096)01(4096 =⋅+⋅= i . Ответ: 4096 б) ( )55 2i− Решение.
29)2(5 22 =−+=r ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
52arg arctgz и тогда полу-
чаем, что ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
52sin
52cos29 arctgiarctgz .
По формуле Муавра имеем
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=
555
52sin
52cos29)25( arctgiarctgiz
Необходимо воз-вести в восьмую степень число z = 2 – 2i. Для того, что бы применить фор-мулу Муавра, не-обходимо записать число в тригонометриче-ской форме. Применяя фор-мулу Муавра, не-обходимо возвести в 8 сте-пень аргумент и увеличить аргу-мент в 8 раз.
Получили, что 8-я степень этого комплексного числа равна дей-ствительному числу.
Точного значения
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
52arg arctgz
найти не сможем, поэтому оставим пока так, в конце найдём прибли-жённо его значе-ние: либо на калькуляторе, либо с помощью таблиц
16
( ) ≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
525sin
525cos29
5arctgiarctg
72,428515,1464))946.0(323,0(92,4528
))90,1sin()90,1(cos(92,4528⋅−−≈−⋅+−⋅≈
≈−⋅+−⋅≈ii
i.
Ответ: (5 – 2i)5 ≈ –1464,15 – i·4285,72
1.7. Извлечение корней из комплексных чисел Корнем n-й степени из комплексного числа z называ-
ется комплексное число ω , удовлетворяющее равенству zn =ω , т. е. ω=n z , если zn =ω . Если положить )sin(cos ϕϕ irz += , а
)sin(cos θθρω i+= , то по определению корня и формуле Муавра получаем
)sin(cos)sin(cos ϕϕθθρω irninz nn +=+== . Отсюда имеем rn =ρ , ...2,2,1,1,0,2 −−=+= kkn πϕθ То
есть n
kπϕθ 2+= и n r=ρ (арифметический корень).
Поэтому равенство ω=n z принимает вид
1,...,1,0,22cos)sin(cos −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
=+ nkn
kin
krir nn πϕπϕϕϕ .
При других значениях k , в силу периодичности косину-са и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при nk = имеем
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
=n
nin
nrnn
πϕπϕω 2sin2cos
0sincos2sin2cos ωϕϕπϕπϕ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ni
nr
ni
nr nn
(т. е. значение, которое получалось при )0=k .
Пример 1. Найти а) 3 1 i+− Решение. Запишем подкоренное выражение в тригоно-
метрической форме ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−=
43sin
43cos21 ππ iiz .
Тогда по формуле извлечения корня получим:
Извлечение кор-ня n-й степени определяется как действие, обрат-ное возведению в натуральную степень. Итак, для любо-го 0≠z корень n-й степени из числа z имеет ровно n различ-ных значений. Так как корень извлекается тре-тьей степени, то получим 3 раз-личных корня. Переход к три-гонометрической форме осуществ-ляем по форму-ле, см. п. 1.5 данного пособия.
17
.2,1,0,3
24
3
sin3
24
3
cos21 33 =⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
+=+− k
ki
ki
ππππ
Откуда находим три значения корня:
при 0=k ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−=
4sin
4cos2)1( 6
13
0
ππω ii ,
при 1=k ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−=
1211sin
1211cos21 6
23
1
ππω ii ,
при 2=k ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−=
1219sin
1219cos21 63
2
ππω ii .
б) 1− Решение. Подкоренное выражение в тригонометриче-
ской форме: ππ sincos1 i+=− .
Поэтому
22sin
22cossincos1 kiki ππππππ +
++
=+=− , 1,0=k .
Получаем:
при 0=k ii =+=2
sin2
cos0
ππω ,
при 1=k ii −=+=2
3sin2
3cos1
ππω .
Таким образом, i=−1 и i−=−1 .
Для того чтобы найти все кор-ни, необходимо подставить зна-чения k. Таким образом, получим все 3 различных ре-шения.
Так как корень извлекается вто-рой степени, то получим в реше-нии 2 корня.
Т. к. модуль чис-ла z = –1 равен 1, то 11 = (не за-писали 1 в пра-вой части)
18
Тренировочные упражнения
1.1. Выполнить действие: 1) ( ) ( )ii 5442 −+−−
2) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−− ii.
23
21250
3) ( ) ( )ii 2332 −⋅+ 4) ( ) ( )43045 −⋅+− i.i 5) ( )ii 15147 −⋅− 6) ( )263 i− 7) ( )34−− i
8) ii
753−+−
9) i
i3465
−−
10) i
i−24
11) ( )2
321
zzzz +⋅ , если iz,iz,iz 97154 321 −=+=+=
12) ( )2
321
zzzz ⋅+ , если iz,iz,iz 139184 321 +=−=+=
13) ( )2
3221
zzzz ++ , если iz,iz,iz 128212 321 +=+−=−=
1.2. Решить уравнения и проверить подстановкой корней в уравнение: 1) 0362 =+x 2) 0522 =++ .xx 3) 0542 =++ xx 4) 0222 =+− xx
5) 083 =+x
6) 044 =+y
1.3. Записать комплексные числа в тригонометрической форме, определить
модули и аргументы, изобразить векторами. Записать в показательной (или экспоненциальной) форме.
1) 4=z 2) iz 2−= 3) iz 31−=
4) iz 22 +−=
5) iz 33 +=
1.4. Вычислить по формуле Муавра. 1) ( )10
2 i+
2) ( )522 +− i 3) ( )109sin9cos °+° i 4) ( )1810sin10cos °+° i
5) 5
23⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +i
6) 3 i−
7) 6 1 8) i
19
9) 3 44 i+− 10) 33 i−− 1.5. Решить уравнения. 1) 02 =− iz 2) 013 =−+ iz 3) 014 =+z 1.6. Найти х, у, считая их вещественными: 1) ( ) iiiyix 32513 +−=−++− 2) ( ) ( ) iyixi 315321 −=−++
3) iiyiix 25
114
+=+
+−−
4) ( ) ( ) iyixi 413233 −−=+−+ 1.7. Найти и построить на комплексной плоскости области, которым при-
надлежат точки z = x + iy, удовлетворяющие указанным условиям: 1) 41 <− zz , где iz 531 −= 2) 52 <−< iz 3) 30 <+< iz 4) ( ) 63Re0 << iz 5) ( ) 5<izIm
6) Ra,consta,az
Re ∈=>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
7) Ra,consta,aizaizRe ∈==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− 0
1.8*. Доказать, что если число 11
+−
zz является чисто мнимым, то 1=z .
1.9*. Решить уравнение izz +=+ 2 .
20
Тест «Проверь себя» № 1
1. Укажите соответствие между областями и их геометрическими интер-претациями:
1) –1<Re z<1 2) Re z >1 3) Im z > 1 4) Re z <1
а) г)
б) д)
в)
2. Сумма комплексных чисел iz21
25
1 += и iz23
23
2 −= равна
a) 1 – i в) 2 + i б) 4 – i г) 4 + 2i
3. Комплексное число 22 i+− можно представить в виде (выберите все варианты ответов):
а) 42πi
e− 43
2πi
e
б) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
43
432 ππ sinicos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
442 ππ sinicos
21
4. Даны два комплексных числа: z1 = 4 – 6i и z2 = 5 –2i. Тогда действитель-ная часть произведения z1z2 равна: a) 32 в) –12 б) 8 г) 20
5. Значение функции f(z) = z2 + i в точке z0 = 1+ i равно: a) 2 + 3i в) 3 + 2i б) 2i г) 3i
6. Установите соответствие между комплексным числом и его модулем. 1. 3 – 4i 2. i+− 3 3. i81−− 4. 5 + 12i
а) 5 в) 3 д) 2
б) 13 г) 1 е) 2
7. Значение функции f(z) = 2z – 2i в точке z0 = 1 + 2i равно:
a) 2 – 6i в) 2 + 2i б) 2 г) 1
8. Пусть комплексное число z задано радиус-вектором ____
OP :
Тогда комплексно-сопряжённое число z изображается радиус-вектором.
Выберите один ответ
а) б)
22
в) г)
9. Даны высказывания. Выберите все верные варианты ответа.
а) Есть комплексные числа, модуль которых меньше нуля.
б) Модуль комплексного числа – действительное число, равное нулю или больше нуля.
в) Сопряжённые комплексные числа имеют один и тот же модуль.
г) Если аргумент комплексного числа равен 0, то и модуль равен нулю.
д) Модуль комплексного числа есть комплексное число.
10. Указать верные утверждения, относящиеся к комплексному числу iz 44 +−= .
а) 4=z в) 322 =z д)
4arg π
−=z
б) 4
3arg π=z г) 24=z е) iz 322 −=
23
2. МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
2.1. Определение
Матрицей размера nm× , где m – число строк, n – чис-ло столбцов, называется таблица чисел, расположенных в оп-ределённом порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он нахо-дится. Элементы матрицы обозначаются jia , где i – номер строки, а j – номер столбца.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
...............
...
...
31
22221
11211
.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из
одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять да-же из одного элемента.
Если число столбцов матрицы равно числу строк )( nm = , то матрица называется квадратной.
Квадратная матрица вида
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1...00............0...100...01
E называется единичной матрицей.
Если mnnm aa = , то матрица называется симметриче-
ской. Квадратная матрица вида
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nna
aa
...000.........0...00...0
22
11
называется диагональной матрицей.
Матрица, все элементы которой равны нулю, т. е. вида
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0...00............0...000...00
O , называется нулевой матрицей.
Из истории Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Термин «матрица» ввёл Джеймс Силь-вестр в 1850 г. Обычно матрицу обозначают за-главной буквой латинского алфа-вита. Примеры матриц:
( )51 −=A , ( )7−=B .
Пример квадрат-ной матрицы:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=32
01А ,
2 строки, 2 столбца. В единичной мат-рице на главной диагонали нахо-дятся единицы, все остальные элементы матри-цы – нули. Пример симмет-ричной матрицы:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
465631512
.
Нулевых матриц бесконечно мно-го. Каждая опре-деляется размерностью.
24
Матрица TA , полученная из данной матрицы nmA × за-меной каждой её строки столбцом с тем же номером, называ-ется транспонированной к матрице А.
Пример транспо-нированной мат-рицы: 1)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 02
310321 Т
;
2) ( )3131
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Т
.
2.2. Сложение и вычитание матриц
Самым главным условием выполнения операций сложения и вычитания матриц является то, что они оп-ределены только для матриц одинакового размера.
Суммой (разностью) двух матриц )( jinm aA =× и
)( jinm bB =× называется матрица )( jinm cC =× , )..1,..1( njmi == , элементами которой является сумма
(разность) соответствующих элементов исходных матриц: jijiji bac ±= ,
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=+=
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
ВАС
...............
...
...
...............
...
...
21
22221
11211
21
22221
11211
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
++++++
=
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
babababababa
...............
...
...
2211
2222222121
1112121111
.
Свойства сложения матриц
1) коммутативность; 2) ассоциативность; 3) сложение с нулевой матрицей; 4) существование противоположной матрицы.
Сложение и вычитание матриц сводится к соот-ветствующим операциям над их элементами. Пример сложения матриц:
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
310422103
113210021
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
403612124
.
Вычитание матриц:
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
310422103
113210021
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
=223232122
.
Символьная запись свойств сложения: 1. ABBA +=+ 2. ( ) CBACBA ++=++ )( 3. AAOOA =+=+ 4. ( ) OAA =−+
2.3. Умножение матриц
Произведением матрицы )( jinm aA =× на число k называется матрица )( jinm dD =× )..1,..1( njmi == , та-кая, что все элементы исходной матрицы умножаются на число k : jiji akd ⋅= ,
Пример умножения матрицы на число:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅
4622
2311
2 .
25
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⋅=
mnmm
n
n
akakak
akakakakakak
AkD
...............
...
...
21
22221
11211
.
Свойства: 1) AA =⋅1 2) ( )pAkAkp ⋅=⋅)( 3) BkAkBAk ⋅±⋅=±⋅ )( 4) ApAkApk ⋅±⋅=⋅± )( Произведением двух матриц: )( kipm aA =× и
)( jknp bB =× называется матрица )( jinm cC =× , элементы которой вычисляются:
jpipji
p
kjijkkiji babababaс ⋅++⋅+⋅=⋅= ∑
=...22
111 ,
где njmi ..1,..1 == .
Схематично можно изобразить так:
Замечание: операция умножения матриц определена
только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Свойства операции умножения матриц:
1) Умножение матриц не коммутативно, т. е. ABBA ⋅≠⋅ , даже если определены оба произведения.
Однако, если для каких-либо матриц соотношение ABBA ⋅=⋅ выполняется, то такие матрицы называются
перестановочными. Перестановочными могут быть только квадратные
матрицы одного и того же порядка. В частности AAEEA =⋅=⋅ .
Пример сложения матриц: даны матрицы
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
323412321
А ;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
421875431
В ,
найти BA+2 :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+
106716991073
BA
(проверить самостоя-тельно). Пример умножения матриц:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=3121
A , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=1
2B .
2×2 – размерность матрицы А, 2×1 – размерность матрицы В. Т. к. число столб-цов первой равно числу строк второй, то матрицы можно перемножать (2 = 2). В результате произ-ведения получится матрица размерности
12× . ( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅+⋅−−⋅+⋅
=
50
13211221
AB
Если это условие не выполняется, то мат-рицы перемножать нельзя. Пример произведения двух матриц:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3713
1102
3211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4322
3211
1102
26
Очевидно, что для любых матриц выполняется сле-дующее свойство:
OOA =⋅ ; OAO =⋅ , где О – нулевая матрица.
2) Операция умножения матриц ассоциативна, т. е., если определены произведения BA ⋅ и СBA ⋅⋅ )( , то опре-делены CB ⋅ и )( СBA ⋅⋅ и выполняется равенство:
( )CBAСBA ⋅⋅=⋅⋅ )( .
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т. е., если имеют смысл выраже-ния )( СBA +⋅ и СBA ⋅+ )( , то, соответственно:
CABAСBA ⋅+⋅=+⋅ )( , CBCAСBA ⋅+⋅=⋅+ )( .
4) Если произведение BA ⋅ определено, то для любо-го числа α верно соотношение:
)()()( BABABA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ααα . 5) Если определено произведение BA ⋅ , то определе-
но произведение TT AB ⋅ и выполняется равенство: TTT ABBA ⋅=⋅ )( ,
где индексом Т обозначается транспонированная матрица. Пример. Найти произведения BA ⋅ и AB ⋅ для матриц
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
341
А и ( )142=B .
Решение:
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⋅
31264168142
134323144424114121
142341
BA .
( ) )21()314412(341
142 =⋅+⋅+⋅=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=⋅ AB .
Видим, что при пере-становке матриц мес-тами произведение матриц получается разным. Следова-тельно, свойство коммутативности не выполняется. Доказать можно на примере. Выбрать 3 произвольные матри-цы и показать, что свойства выполняются.
13× – размерность матрицы А, 31× – размерность матрицы В, т. к. 11 = – значит матрицы можно пе-ремножать. В результате произ-ведения A·B получит-ся матрица размерности 33× , а при умножении B·A получим матрицу размерности 1×1.
Тренировочные упражнения
2.1. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
785413201
A . Найти элементы 32a , 21a , 13a , 22a .
27
2.2. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−=
341403253
В . Найти 32132
11 3 bbb −⋅+ .
2.3. Найти ТС для матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=0342
С .
2.4. Найти ТE для матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=542431
210E .
2.5. Найти TD для матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
357
112143201
D .
2.6. Найти сумму матриц ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
4321
А и ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
0673
В .
2.7. Найти разность матриц ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
223031102
С и ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
202753431
D .
2.8. Найти матрицу CBAD −+= , если ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
205432011
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
111123842
B ,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
306533120
C . Найти элементы 21d , 23d , 31d , 11d .
2.9. Найти матрицу BAС T −= , если ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
404213021
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
131123502
B .
2.10. Найти матрицу TDCE += , если ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
112320
С , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
012462
D .
2.11. Найти матрицы BA ⋅ и AB ⋅ , если ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
251431120
A и ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
22
3511
B .
2.12. Найти АВ и ВА , если ( )7542=А и ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
413
2
В .
2.13. Даны матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
241142301
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
231
B , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
121
C . Найти CBAT ⋅+⋅ 2 .
28
2.14. Найти матрицу ( )TA3 , если ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
4123
A .
2.15. Найти матрицу EABCD 3−= , где ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
354201321
A ; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
121
B ; ( )502=C ;
где E – единичная матрица.
2.16. Найти значение матричного многочлена EAA Т 532 2 ++ при ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
114131211
A ,
где Е – единичная матрица.
2.17 * . Решить систему матричных уравнений
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
1001
32
1011
YX
YX.
29
Тест «Проверь себя» № 2
1. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
345423532
B . Выберите верные утверждения:
А) матрица В является квадратной В) матрица В является симметричной Б) матрица В является диагональной Г) все варианты правильные
2. Дана матрица ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=13
3012
А . Элемент 23а равен…
А) 3 Б) –3 В) –1 Г) 0 3. Выберите верное утверждение. Единичная матрица… А) является диагональной и не явля-ется квадратной матрицей
В) не является диагональной и не яв-ляется квадратной матрицей
Б) является и диагональной и квад-ратной матрицей
Г) является квадратной и не является диагональной матрицей
4. Выберите матрицу, транспонированную к матрице ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=025103
241D .
А) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−
025103241
Б) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−520301
142 В)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
012204
531
5. Матрицей называется А) некоторое число В) определитель Б) таблица чисел Г) числовая последовательность
6. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
173542
031С . Диагональными элементами являются…
А) 1, 2, 3 Б) 3, 4, 0 В) 1, 4, –1 Г) 1, –3, 0
7. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
067523485
А . Какую матрицу В нужно прибавить к матрице А,
чтобы получить единичную матрицу?
А) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−
067523485
Б) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
054628735
В) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−
167513484
30
8. Матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
000
100010001
A является:
А) единичной В) нулевой Б) квадратной Г) нет правильного ответа
9. Произведением матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −140321 на число 2 будет матрица
А) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −280642 Б) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −140642 В) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −280321 Г) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −282642
10. Произведением матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −364210 на матрицу
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
310
будет матрица
А) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −960610 Б) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛155 В) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5
15 Г) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
964
31
3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.1. Определение
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число Adet (или A , A∆ ), называемое её определителем.
1. Определитель 1-го порядка: для матрицы )( 1aA = , его определитель 11det aaA == .
2. Определитель 2-го порядка: для матрицы
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aaaa
A его определитель
211222112221
1211det aaaaaaaa
A ⋅−⋅== .
Вычисление определителя 2-го порядка можно проил-люстрировать схемой:
3. Определитель 3-го порядка: для матрицы
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131212
aaaaaaaaa
A определитель вычисляется по формуле:
−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== 133221312312332211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
112332331221132231 aaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− .
Вычисление определителя 3-го порядка можно проил-люстрировать схемой (правило треугольника):
Определитель – это число, которое спе-циальным образом сопоставляется квад-ратной матрице. Пример вычисле-ния определителя:
623010321
−=⋅−⋅= .
Из произведения элементов, стоящих на главной диаго-нали, вычитаем произведение эле-ментов, стоящих на второстепенной диагонали. Пример вычисле-ния определителя третьего порядка:
( )( )13
131121022011
232121112321021
==⋅⋅−⋅⋅−−−⋅⋅−⋅⋅−+
+⋅⋅+⋅⋅=
=−
32
3.2. Минор и алгебраические дополнения
Минором некоторого элемента jia определителя n-го порядка называется определитель ( )1−n -го порядка, полу-ченный из исходного путём вычёркивания той строки и то-го столбца, где находится элемент jia (i-ой строки и j-го столбца).
Замечание: Минор элемента ija не зависит от самого элемента, так как он вычёркивается.
Алгебраическим дополнением некоторого элемента jia определителя называется его минор, взятый со своим
или противоположным знаком: ( )( )
ijji
ij MA ⋅−= +1 (со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число чётное, и с противопо-ложным знаком, если нечётное).
Определитель также может быть вычислен по некото-рым элементам матрицы с помощью соответствующих ми-норов (разложение определителя по любой строке или столбцу):
∑=
+−=n
kikik
ik MaA1
)1(det ,
где jiM – определитель меньшего порядка, называемый минором элемента jia , ni ...,,2,1= .
Тогда разложение определителя можно записать (как по i-ой строке, так и по j-му столбцу) с помощью алгебраи-ческих дополнений:
=⋅++⋅+⋅= ininiiii
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaaaaa
...
...............
...
...
2211
21
22221
11211
njnjjjjj AaAaAa ⋅++⋅+⋅= ...2211 . Т. е. определитель равен сумме произведений элемен-
тов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.
Свойства определителей:
1. TAA detdet = (величина определителя не меняется при транспонировании матрицы)
2. ( ) BABA detdetdet ±=±
Например, дана
матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
563021741
.
Минор 23M полу-чается путём вы-чёркивания 2-ой строки и 3-го столбца.
получаем
66341
23 −==M .
Найдём алгебраи-ческое дополнение
23A :
( )( ) 66
1
23
2332
23
=−−=−==⋅−= +
MMA
. Пример Вычислим опреде-литель разложени-ем по элементам 2-ой строки:
( ) ( )
.403222121
30212
2
1312
302021302121
235
213
232221
−=⋅−⋅−=
=⋅−−
⋅−=
−⋅+−⋅=
=⋅+⋅+⋅=
=−
MM
AAA
Удобнее разложе-ние определителя осуществлять по той строке (столб-цу), которая(ый) содержит больше нулей. Докажите самостоя-тельно, используя
33
3. ( ) BAAB detdetdet ⋅= 4. Если в определителе матрицы поменять местами ка-
кие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине
5. При умножении столбца (или строки) определителя матрицы на число её определитель умножается на это число
6. Если в матрице А строки или столбцы линейно за-висимы, то её определитель равен нулю
7. Если определитель матрицы содержит нулевой столбец или нулевую строку, то он равен нулю
8. Определитель матрицы не изменится, если к эле-ментам одной из его строк (столбца) прибавить (вычесть) элементы другой строки (столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю
9. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю
определение опре-делителя матрицы, транспонированной матрицы, суммы, разности и произве-дения матриц
Тренировочные упражнения
3.1. Вычислить определитель 2-го порядка 3181
−− .
3.2. Вычислить определитель 2-го порядка xxxx
sincoscossin
−.
3.3. Вычислить определитель 3-го порядка 124133210
−−
.
3.4. Решить уравнение 0512154
31=
−−х
.
3.5. Решить неравенство 4213
251102
≤−
−+−хх .
3.6. Найти минор элемента 321 =а матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=730143201
А .
3.7. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=26
31В .
34
3.8. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=724330211
А . Найти разность алгебраических дополне-
ний 3211 АА − .
3.9. Вычислить определитель матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
213402321
A :
а) разложив определитель по 1-ой строке; б) по 2-му столбцу.
3.10. Даны матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
4321
A и ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3125
B . Найти определитель матрицы
(AB) двумя способами.
3.11. Вычислить определитель 4-го порядка:
3110211060301421
−
−−
.
Тест «Проверь себя» № 3
1. Найдите алгебраическое дополнение элемента 32c матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=242230111
С .
А) –2 Б) 2 В) –3 Г) 0 2. Выберите верные равенства: А) ( ) ijij MA ⋅−= 1 В) ( ) jiij MA ⋅−= 1 Б) ( ) ij
jiij MA ⋅−= −1 Г) ( ) ij
jiij MA ⋅−= +1
3. Определитель матрицы ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−
=
1213412260311421
А равен 219 . Чему равен опреде-
литель матрицы TA ? А) 219 Б) –219 В) 1/219
4. Решите неравенство 112121
123<
−−−
−x .
А) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−
27; Б) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +∞;
27 В) 5,3 Г) [ );5,3 +∞
35
5. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
721433012
A . Вычислите 21231122 MaaA +⋅− .
А) –2 Б) 0 В) –1 6. Продолжите предложение: если в определителе матрицы поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то… А) определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине
В) определитель матрицы не изменится
Б) определитель матрицы не изменит знак, но изменится по абсолютной величине
Г) в определителе нельзя менять строки (столбцы) местами
7. Чему равен определитель матрицы
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
=
76933000002121581430
154321
A ?
А) 13 Б) 0 В) 228 Г) 97
8. Даны определители 1∆ =2142 , 2∆ =
1111− , 3∆ =
210560321
−, 4∆ =
923602371
.
Какие из них равны нулю? А) 1∆ , 2∆ Б) 1∆ , 3∆ В) 3∆ , 4∆ Г) 1∆ , 4∆ 9. Минором Мij некоторого элемента a ij определителя n-го порядка называется… А) величина определителя В) модуль элемента a ij Б) определитель (n-1)-го порядка, по-лученный после вычёркивания i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij
Г) произведение a ij на определитель (n – 1)-го порядка, полученный после вычёркивания i-ой строки и j-го столбца
10. Порядок определителя определяется… А) суммой всех элементов определителя В) величиной наибольшего элемента
определителя Б) суммой числа строк и столбцов
Г) числом рядов
36
4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ
4.1. Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы назо-вём следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке другой строки; 3) перестановку строк; 4) вычёркивание (удаление) одной из одинаковых
строк (столбцов); 5) транспонирование; 6) вычёркивание (удаление) нулевой строки. С помощью элементарных преобразований можно к
какой-либо строке или столбцу прибавить линейную ком-бинацию остальных строк (столбцов).
Аналогичные опера-ции, применяемые для столбцов матри-цы, также называются элементарными пре-образованиями
4.2. Обратная матрица
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...............
...
...
21
22221
11211
.
Квадратная матрица А называется невырождённой, если определитель 0det ≠= AA . В противном случае мат-рица А называется вырождённой ( )0det =A .
Матрица 1−A называется обратной матрице А, если выполняется условие:
EAAAA =⋅=⋅ −− 11 , где Е – единичная матрица того же порядка, что матрица А.
Всякая невырождённая матрица имеет обратную матрицу, и притом только одну.
Присоединённой матрицей ∗A для квадратной мат-рицы А будем называть матрицу, состоящую из алгебраи-ческих дополнений к элементам матрицы TA :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
AAA
AAAAAA
A
...............
...
...
21
22212
12111
* .
Для неквадратных мат-риц и вырождённых матриц обратная мат-рица не существует. Пример
Для матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
4321
A
присоединённой является матрица
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
1324*A ,
поскольку 411 =A ,
37
Для нахождения обратных матриц используют формулу:
*1
det1 A
AA ⋅=−
Свойства обратных матриц:
1. AA =−− 11)( 2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA 3. TT AA )()( 11 −− =
(проверьте данные свойства на конкретных примерах) Пример.
Дана матрица A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
234321115
. Найти обратную мат-
рицу для А. Найдём обратную матрицу A -1.
∆= A = 30)83(1)122(1)94(5234321115
−=−⋅−−⋅+−⋅=−−
.
5942332
11 −=−==A ; 1)32(2311
21 −=+−−=−−
−=A ;
10)122(2431
12 =−−=−=A ; 144102415
22 =+=−
=A ;
5)83(3421
13 −=−==A ; 19)415(3415
23 −=+−=−
−=A ;
1233211
31 −=+−=−−
=A ;
16)115(3115
32 −=+−=−
−=A ;
111102115
33 =+=−
=A .
Тогда, 1−A =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
∆332313
322212
3121111
AAAAAAAAA
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
−11195161410115
301 ,
312 −=A , 221 −=A , 122 =A .
Пример Рассмотрим матрицу из предыдущего примера и найдём для неё об-ратную.
24321
det −==A .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
5,05,112
1324
21
4321 1
1A
Определитель матрицы вычислили методом разложения по элемен-там первой строки. Вычисляем алгебраиче-ские дополнения.
38
или
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=−
3011
3019
61
158
157
31
301
301
61
1A .
Cделаем проверку:
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
−11195161410115
301
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
234321115
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−+−+−−−+−−+−−+
−−−−−−−−
2257533385441925324210482810641450
2353254125
301
=
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
300003000030
301 =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100010001
Подставим найденные значения в соответст-вии с формулой. Проверку выполним, зная, что EAA =⋅−1 . Получили единичную матрицу, следователь-но, обратная матрица найдена верно
4.3. Ранг матрицы
В матрице порядка nm× минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше, содержащие его, равны нулю или не суще-ствуют вовсе.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базис-ный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базис-ных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Порядок базисного минора матрицы называется ран-гом матрицы и обозначается rang (А).
Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, что позволяет существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример 1. Определить ранг матрицы
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1100020000050001
∼ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛11000250001
∼ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛11251
,
Решение 1: 1. Вычёркиваем нуле-вую строку и нулевые столбцы. 2. Находим определитель полученной матрицы.
39
⇒≠=−= 01101111251
( ) 2=Arang .
Пример 2. Определить ранг матрицы
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
531321
1284∼
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
531321321
∼ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛531321
,
⇒≠=−= 01233121
rang (А) = 2.
Ранг матрицы можно также найти, преобразовав её в трапециевидную матрицу (т. е. матрицу, у которой эле-менты, стоящие под главной диагональю, равны нулю), по количеству ненулевых строк.
Пример. Определить ранг матрицы.
Ранг матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
330011202234
равен 3, так как это тра-
пециевидная матрица с тремя ненулевыми строками.
3. Определитель 2-го порядка отличен от нуля, поэтому ранг матрицы равен 2. Решение 2: 1. Разделим элементы первой строки на 4. 2. Вычёркиваем одну из одинаковых строк. 3. Находим минор 2-го порядка. 4. Ранг матрицы равен 2. Замечание Если с помощью эле-ментарных преобразо-ваний не удаётся найти матрицу, эквивалент-ную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга мат-рицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможно-го порядка. Если хотя бы один из них не ра-вен нулю, то ранг мат-рицы равен порядку этого минора. В про-тивном случае необхо-димо исследовать миноры на 1 меньшего порядка
Тренировочные упражнения
4.1. Найти обратную матрицу для матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=1132
A .
4.2. Найти матрицу ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
1264
3152 1
A .
4.3. Найти обратную матрицу к матрице ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
114131211
A . Сделать проверку.
4.4. Найти обратную матрицу к матрице ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
051642321
B .
40
4.5. Найти матрицу обратную к матрице А. Сделать проверку.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
01111020
00111121
A .
Определить ранг матрицы, используя элементарные преобразования:
4.6. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1284
963642321
; 4.7. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
004020201000201
; 4.8. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
144120104
;
4.9. ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
8218125419630164240321
; 4.10. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
150411202132
.
Тест «Проверь себя» № 4
1. В каком случае не существует матрица, обратная матрице А?
А) если матрица А невырождённая В) если 0det =A
Б) если матрица А вырождённая Г) всегда существует
2. Невырождённая матрица – это квадратная матрица, у которой…
А) не существует обратной матрицы В) определитель не равен нулю
Б) определитель равен нулю Г) все элементы равны
3. Выберите верное утверждение.
А) Всякая вырождённая матрица имеет обратную матрицу и притом только одну.
В) Всякая вырождённая матрица имеет хотя бы одну обратную матрицу.
Б) Всякая невырождённая матрица имеет хотя бы одну обратную матрицу.
Г) Всякая невырождённая матрица имеет обратную матрицу, и притом только одну.
4. Какие из этих формул являются верными?
А) AA
A ⋅=∗
−
det11 В) EAA =⋅ −1
Б) ∗− ⋅= A
AA
det11 Г) 1−=⋅ AEA
41
5. Найдите обратную матрицу для матрицы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=4231
A .
А) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 13
24 В) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅
1234
101
Б) не существует Г) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅4321
101
6. Является ли матрица ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
1235
B обратной к матрице ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
5231
A ?
А) да Б) нет 7. Пусть известна матрица А и обратная к ней матрица B. Чему равна обрат-
ная матрица к матрице В? А) матрице А Б) матрице ( )21−A В) произведению матриц BA ⋅
8. Дана матрица ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
221113204321
С . Какой из миноров 2021
1 =M или
211320321
2
−=M будет базисным?
А) оба минора В) только 2M Б) только 1M Г) среди 1M и 2M нет базисных
9. Найдите ранг матрицы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−=
1296386424321
A .
А) 1=rangA Б) 2=rangA В) 3=rangA Г) 0=rangA
10. Какая из матриц имеет ранг, равный 3?
А) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000010100
Б) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
642510321
В)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−100020001
Г) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −370321
42
5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1. Постановка задачи
Линейная система m уравнений с n неизвестными в об-щем виде записывается следующим образом:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
..................................................
......
2211
22222121
11212111
,
где jia – коэффициенты при неизвестных jx , а bi – числа, свободные члены. Решением системы называется любой упо-рядоченный набор n чисел x1, x2, x3 …, xn, которые при под-становке в систему превращают каждое её уравнение в верное равенство.
Если система имеет хотя бы одно решение, то она назы-вается совместной. Если система не имеет ни одного реше-ния, то она называется несовместной.
Линейная система называется определённой, если она имеет только одно решение, и неопределённой, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матри-
ца, составленная из коэффициентов при неизвестных,
А =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
называется матрицей системы, а матрица, содержащая ещё и столбец свободных коэффициентов,
BA / =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mmnmm
n
n
baaa
baaabaaa
..................
...
...
21
222221
111211
называется расширенной матрицей системы. Определение. Если все коэффициенты b1, b2, …, bm рав-
ны 0, то система называется однородной.
Системы линей-ных уравнений применяются в различных при-кладных задачах. Широко приме-няются в задачах по экономике: напр. в оптимиза-ционных задачах; в физике, химии и других приложе-ниях.
В системе x1, x2, x3 …, xn – неиз-вестные, которые связаны уравне-ниями. Значения этих неизвестных, которые при под-становке в систе-му превращают их в верные ра-венства, необхо-димо найти. Система может иметь одно реше-ние, множество решений или не иметь решения.
Матрица А явля-ется матрицей по-рядка m×n, т. е. имеет m строк и n столбцов. Матрица А / B яв-ляется матрицей порядка m×(n+1), т. е. имеет m строк и (n + 1) столбцов. Однородная сис-тема всегда со-вместна, потому что однородная система уравне-ний всегда имеет нулевое решение.
43
Элементарные преобразования систем уравнений: 1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соот-
ветствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2) Перестановка уравнений местами. 3) Удаление из системы уравнений, являющихся тожде-
ствами для всех х. 4) Умножение и деление уравнения системы на одно и
то же число, отличное от нуля. Пример:
а) ⎩⎨⎧
=+=+
1221
21
21
xxxx
– несовместная система.
б) ⎩⎨⎧
=+=+
121
21
21
xxxx
– совместная определённая система.
Её единственное решение x 1 = 0, x 2 = 1.
в) ⎩⎨⎧
=+=+
2221
21
21
xxxx
– совместная неопределённая система.
Её общее решение образуют пары чисел вида: х1= с, х2 = 1– c, где с – любое число.
Элементарные преобразования над матрицами схожи с элемен-тарными преобра-зованиями над строками матриц, см. главу 3 данно-го пособия. Решение: а) сис-тема не имеет ре-шений. Действи-тельно, из первого уравнения, най-дём: x1 = 1 – x2, то-гда подставим во второе уравнение 2(1 – х2) + 2х2 = 1, т. е. 2 = 1. Получи-ли неверное ут-верждение, следо-вательно, система не имеет решений
5.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений
Пусть дана система уравнений:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
..................................................
......
2211
22222121
11212111
.
Матричный метод применим к реше-нию систем линей-ных уравнений, где число уравнений равно числу неиз-вестных и матрица А невырождённая. Метод основан на применении свойств умножения матриц.
44
Выпишем матрицы: A=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
; B=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nb
bb
...2
1
; X=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nx
xx
...2
1
.
Тогда систему уравнений можно записать в виде мат-
ричного уравнения: A⋅X = B. Сделаем преобразование – каждую часть равенства
умножим на матрицу А–1 слева: A–1⋅(A⋅X) = A–1⋅B, т. к. А–1⋅А = Е, то в силу свойства ассоциативности опера-ции умножения матриц имеем:
Е⋅Х = А–1⋅В или Х = А–1⋅В.
Пример. Решить систему уравнений:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=++=−−
162341432
05
zyxzyx
zyx.
Решение:
Даны матрицы: Х = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyx
, B = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
16140
, A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
234321115
.
Найдём обратную матрицу А-1.
∆ = det A = =−−
234321115
5(4–9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) =
= –25 – 10 +5 = –30.
А11 = 2332
= –5; А21 = – 2311 −−
= –1; А31 = 3211 −−
= –1;
А12 = – 102431= ; А22 = ;14
2415=
− А32 = – 16
3115
−=−
;
А13 = ;53421
−= А23 = – 193415
−=−
; А33 = ;112115=
−
Матрица А – матрица коэффициентов, В – матрица-столбец свободных коэффи-циентов, Х – матрица неизвестных системы. Для применения данного метода не-обходимо находить обратную матрицу для матрицы систе-мы, что может быть связано на практике с вычислительными трудностями при решении систем вы-сокого порядка. Решение: выпишем необходимые для решения матричным методом матрицы А, В и Х. И найдём обратную матрицу для матрицы А по алгоритму, опи-санному в главе 3. Определитель вычис-лен методом разложе-ния по элементам первой строки (под-робнее см. главу 3 данного пособия). Знак минус стоит перед алгебраиче-скими дополнения-ми, где сумма номера столбца и номера строки не-чётная (подробнее см. главу 3 данного пособия). Подставим найден-ные значения по формуле нахождения обратной матрицы третьего порядка.
45
Тогда, 1−A = ∗⋅ AAdet
1 =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
−11195161410115
301 .
Cделаем проверку:
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−=⋅ −
11195161410115
301
234321115
1AA
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
−=
11195161410115
234321115
301
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅+−⋅−⋅+⋅+−⋅−⋅+⋅+−⋅−⋅+⋅+−⋅
−⋅−+⋅−+−⋅−⋅−+⋅−+−⋅
−)19(2143)1(4)5(2103)5(4)19(3142)1(1)5(3102)5(1
)19()1(14)1()1(5)5()1(10)1()5(5
301
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⋅+−⋅+−⋅⋅+−⋅+−⋅
⋅−+−⋅−+−⋅
300003000030
301
112)16(3)1(4113)16(2)1(1
11)1()16()1()1(5
.100010001
E=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Находим матрицу Х:
Х = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyx
= А-1В =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
−11195161410115
301 .
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
16140
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
321
.
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3
Проверка правиль-ности нахождения обратной матрицы: зная, что EAA =⋅ −1 – свойство обратной матрицы. Умножение матриц выполняется по оп-ределённой схеме, умножаем элементы соответствующих строк первой матри-цы на элементы столбцов второй. При умножении матрицы на коэффи-циент необходимо умножить каждый элемент матрицы на этот коэффициент. Равенство данного произведения еди-ничной доказывает правильность нахо-ждения обратной матрицы. Можно проверить найденное решение путём непосредст-венной подстановки полученных резуль-татов в уравнения системы и получе-ния верных равенств
46
5.3. Метод Крамера Линейная система из n уравнений с n неизвестными
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nnnn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
..................................................
......
2211
2222212111212111
,
в случае если определитель матрицы А системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение нахо-дится по формулам:
∆∆
= iix ,
где ∆= det A, а i∆ – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-го столбца, столбцом свобод-ных членов bi:
∆i =
nnninnin
nii
nii
aabaa
aabaaaabaa
...........................
......
......
111
21221221
11111111
+−
+−
+−
.
Данный метод решения системы называется методом Крамера.
В частности, для системы 3 уравнений с тремя неиз-
вестными:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=++=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
.
Решение системы выполняем в следующей последователь-ности. Составим матрицу коэффициентов:
A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
.
∆ = det A=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
.
Вычисляем ∆1=
33323
23222
13121
aabaabaab
; ∆2=
33331
23221
13111
abaabaaba
;
Габриэ́ль Кра́мер (нем. Gabriel Cramer, 1704-1752) – швей-царский математик, ученик и друг Ио-ганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.
Данный метод также применим только в случае систем ли-нейных уравнений, где число перемен-ных совпадает с чис-лом уравнений. Для применения данного метода не-обходимо ввести ог-раничения на коэф-фициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независи-мы, т. е. ни одно уравнение не явля-лось бы линейной комбинацией ос-тальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матри-цы системы не рав-нялся 0: det A ≠ 0. Действительно, если какое-либо уравнение системы есть линей-ная комбинация ос-тальных, то если к элементам какой-либо строки прибавить эле-менты другой, умно-женные на какое-либо число, с помощью ли-нейных преобразова-ний можно получить нулевую строку. Оп-ределитель в этом случае будет равен нулю. ∆ – определитель, со-ставленный из коэф-фициентов системы.
47
∆3=
33231
22221
11211
baabaabaa
.
Тогда решение может быть найдено по формулам:
x1 = ∆∆1 ; x2 =
∆∆2 ; x3 =
∆∆3 .
Пример. Найти решение системы уравнений:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=++=−−
162341432
05
zyxzyx
zyx.
Решение. Матрица системы и столбец свободных ко-эффициентов:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−=
234321115
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
16140
B . Тогда вычислим необхо-
димые определители:
∆=234321115 −−
= –30; ∆1=23163214110 −−
= –30;
∆2 = 21643141105 −
= –60; ∆3 = 16341421015 −
= –90.
Получаем:
x1 = 3030
∆∆1
−−
= = 1;
x2 = 3060
∆∆2
−−
= = 2;
x3 = 3090
∆∆3
−−
= = 3.
Ответ: x1=1, x2 = 2, x3 = 3. Если определитель матрицы равен нулю, а один из
определителей i∆ отличен от нуля, то система не имеет решения.
Если определитель матрицы равен нулю и все опреде-лители i∆ тоже равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений. Необходимо применить метод Гаусса.
∆1 – определитель, получающийся из определителя ∆ пу-тём замены первого столбца на столбец свободных коэффи-циентов. ∆2 – второго столбца на столбец свобод-ных коэффициентов. ∆3 – третьего столбца на столбец свобод-ных коэффициентов. Решение: вычислив определитель ∆ и получив, что ∆ ≠ 0, можем применить метод Крамера. Определители мож-но посчитать мето-дом треугольника, разложением по элементам какой-нибудь строки или столбца. Можно проверить полученное реше-ние, подставив в ис-ходные уравнения и получив верные ра-венства. Подробнее см.: Ши-пачев В. С. Высшая математика. – М. : Высшая школа, 1998.
48
Если исследуемая система однородна, т. е. все bi = 0, то при ∆ ≠ 0 система имеет единственное, причём нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0. При ∆ = 0 система имеет бес-конечное множество решений
5.4. Теорема Кронекера – Капелли
Теорема: Система m линейных уравнений с n пере-менными совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленный из коэф-фициентов системы, равен рангу расширенной матрицы:
rangA = rang BA / . Пример. Определить совместность системы линей-
ных уравнений:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++++=+−+−=++++
42225121122543219753
54321
54321
54321
xxxxxxxxxxxxxxx
.
Решение:
A = ~2225121122721159397531
~2225121125432197531
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
~2225121129753197531
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22251211297531
.
Элементарные преобразования, которые производили над матрицей из коэффициентов:
1) прибавили ко второй строке третью: ( IIIII + ); 2) вторую строку поделили на 3: ( 3:III ); 3) вычеркнули одно из одинаковых уравнений (строк). В получившейся матрице выберем определитель и по-
кажем, что он не равен нулю: 056111231
≠=−= . Тогда
получим, что rangA = 2. Рассмотрим расширенную матрицу
BA / =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
4222512112100000197531
~4222512112254321197531
.
Элементарные преобразования, которые производили над расширенной матрицей:
1) прибавили ко второй строке третью: ( IIIII + ); 2) вторую строку поделили на 3: ( 3:III );
Леопо́льд Кро́некер (1823-1891) – немец-кий математик. Ос-новные труды по алгебре и теории чи-сел, где он продол-жил работы своего учителя Э. Куммера по теории квадра-тичных форм и тео-рии групп. Альфре́до Капе́лли (1855-1910) – италь-янский математик. Исследования отно-сятся к алгебраиче-скому анализу и многим другим об-ластям чистой мате-матики. Изучал теорию форм, тео-рию алгебраических уравнений, из кото-рых получил ряд важных результатов. Вычисление ранга см. раздел 4.3 данно-го пособия.
49
3) прибавили ко второй строке первую, предваритель-но перемножив на (–1): ( III ⋅−+ )1( ).
Замечаем, что определитель третьего порядка, состав-
ленный из данной матрицы: 7142225100197= .
Т. о., rang BA / = 3. В силу теоремы Кронекера – Капелли система несо-
вместна. Пример. Определить совместность системы линей-
ных уравнений:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=+=+=+−=−
516386512107
42314
21
21
21
21
21
xxxxxx
xxxx
.
Решение:
А =
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
16365
1072341
; 2341 −
= 2 + 12 = 14 ≠ 0; rangA = 2;
BA / =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
120141
~
~
120120120120141
~
24013260193807140141
~
5163865
12107423141
Элементарные преобразования, которые производили над расширенной матрицей:
1) прибавили ко второй строке первую, предваритель-но перемножив на (–3), т. е. III ⋅−+ )3( ;
2) прибавили к третьей строке первую, предваритель-но перемножив на (–7), т. е. IIII ⋅−+ )7( ;
3) прибавили к четвёртой строке первую, предвари-тельно перемножив на (–5), т. е. IIV ⋅−+ )5( ;
4) прибавили к пятой строке первую, предварительно перемножив на (–3), т. е. IV ⋅−+ )3( ;
Решение системы можем найти, ре-шив 1 и 2 уравне-ние системы.
50
5) все строки сократили; 6) вычеркнули одинаковые строки (кроме одного).
Т. к. .022041
≠=−
Т. о., rang BA / = 2.
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 = 1/2.
5.5. Метод Гаусса
Рассмотрим систему линейных уравнений:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
..................................................
......
2211
22222121
11212111
.
Разделим обе части 1-го уравнения на a11 ≠ 0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т. д. Получим:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=++++
mnmnmm
nn
nn
dxd...xdxd
dxd...xdxddxd....xdxdx
3322
22323222
113122121
............................................,
где d1j=11
1
aa j , j =2,3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j, i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравне-
ния системы, потом – для третьего и т. д. В результате таких преобразований системы получим
треугольный вид системы, решив которую, найдём реше-ние системы. Рассмотрим на примерах.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений ме-
тодом Гаусса:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+−=+−
=−+
107332
52
321
321
321
xxxxxx
xxx.
Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс (1777-1855) – немец-кий математик, астроном и физик, считается одним из величайших матема-тиков всех времён, «королём мате-матиков». Метод Гаусса может быть применён к системам линейных уравнений с произ-вольным числом уравнений и неиз-вестных. Суть мето-да заключается в последовательном исключении неиз-вестных. Напомним, что при решении системы линейных уравнений возможны 3 случая: 1) единственное решение; 2) нет решения; 3) бесконечное множество решений. Удобнее проводить вышеприведённые действия, записав коэффициенты сис-темы в матричном виде.
51
Решение: составим расширенную матрицу системы:
BA / = ~1011751123321
~10117
33215112
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
210011750
3321~
312215011750
3321~ .
Элементарные преобразования, которые производили над расширенной матрицей:
1) поменяли местами первую и вторую строки, т. е. III ↔ ; 2) прибавили ко второй строке первую, предваритель-
но перемножив на (–2), т. е. III ⋅−+ )2( ; 3) прибавили к третьей строке первую, предваритель-
но перемножив на (–7), т. е. IIII ⋅−+ )7( ; 4) прибавили к третьей строке вторую, предваритель-
но перемножив на (–3), т. е. IIIII ⋅−+ )3( . Таким образом, выписывая коэффициенты преобразо-
ванной матрицы, получим систему вида:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−−=+−
21175332
3
32
321
xxxxxx
,
откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1. Пример 2. Решить систему методом Гаусса
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=++=++
21432
16234
zxzyx
zyx.
Данный этап можно назвать прямым хо-дом метода Гаусса. При преобразовании матрицы использу-ются элементарные преобразования над матрицами, приве-дённые в главе 3 данного пособия. Цель данного этапа – привести матрицу к треугольному виду, т. е. под элементами главной диагонали должны стоять 0. Данный этап можно назвать обратным ходом метода Гаус-са. Выписываем ко-эффициенты, получившиеся в по-следней матрице. Данную систему ре-шить не сложно. Из последнего уравне-ния найдём x3 = 2, подставив во второе уравнение, и найдём, что x2 = 5. Затем, подставив в первое уравнение найден-ные неизвестные х3 и х2, выразим x1 и найдём, что x1 = 1. Замечания: Расши-ренную матрицу ко-эффициентов системыудобно записывать по столбцам, т. е. выпи-сывать в столбец сна-чала коэффициенты при х, затем при у и z
52
Решение: составим расширенную матрицу системы.
~~~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−− 16420401050
14321
21011623414321
21011432116234
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
821014321
00008210
14321
82108210
14321~~~ .
Элементарные преобразования, которые производили над расширенной матрицей:
1) поменяли местами I и II строки; 2) прибавили ко второй строке первую, предваритель-
но перемножив на (–4): ( III ⋅−+ )4( ); 3) прибавили к третьей строке первую, предваритель-
но перемножив на (–1): (III +(–1) · I); 4) разделили II строку на (–5), а III строку на (–2); 5) прибавили к третьей строке вторую, предваритель-
но перемножив на (–1): (III +(–1) · II). Неизвестных в системе 3, а уравнений в полученной
матрице 2. Система имеет бесконечное множество реше-ний. Таким образом, исходная система может быть пред-ставлена в виде:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈==+=++
Rt,tzzyzyx
821432
, откуда получаем ответ:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈=+−=
−=+−+−−=
Rttzty
tttx
,82
2143)82(2
Проверка: подставим в уравнения найденные решения:
( ) ( )( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−−=++−−=++−+−
=++−−=++−+−
222143164238222
16224684282324
tttttttttt
tttttt.
для того чтобы «не упустить» нужный ко-эффициент. Если неизвестной нет в уравнении, то коэффициент при ней равен 0. При решении задач описывать элемен-тарные преобразова-ния не нужно, их приводим в учебных целях. На практике удобно записывать стрелка-ми, какую строку умножаем и к какой складываем:
и т. д. Чтобы найти частное решение, необходи-мо придать t любое число и получить решение. Например, пусть t = 1, следова-тельно, z = 1, y = 6, х = –1. Это частное решение системы. Верные равенства доказывают пра-вильность решения системы линейных уравнений.
53
Тренировочные упражнения
5.1. Решить системы уравнений, используя матричный метод, и сделать проверку.
1) ⎩⎨⎧
−=−=+
53143
21
21
xxxx
2) ⎩⎨⎧
=−=+
122354
yxyx
3) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=++
=+−
45221325
053
321
321
321
xxxxxx
xxx 4)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−=−+−=−
22212
32
321
21
xxxxx
xx
5) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−−=+=−+
225232045
64
321
32
321
xxxxx
xxx
5.2. Решить системы уравнений, используя метод Крамера, и сделать
проверку.
1) ⎩⎨⎧
=+=+
184382
21
21
xxxx
2) ⎩⎨⎧
=+−=−
4322
yxyx
3) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
623132732
321
321
321
xxxxxxxxx
4) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−=−
−=−−
212
22
32
21
321
xxxx
xxx
5) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−
=+−
53334222
2
zyxzyx
zyx 6)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−−=−+−=+−+
0323052032
zyxzyxzyx
7*).
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+=+
=+−=++
2412
030832
41
43
432
421
xxxx
xxxxxx
8*). Определить, при каких значениях a и b система ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++=+−=+−
123985
23
azyxzyx
bzyx
А) имеет единственное решение; Б) не имеет решений; В) имеет бесконечно много решений.
54
5.3. Решить системы уравнений методом Гаусса и сделать проверку.
1) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++−=++=+−
34442322
321
321
321
xxxxxx
xxx 2)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=++−=+−
023125322234
321
321
321
xxxxxx
xxx
3) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=+−−=−+−
052023023
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxx
4) ⎩⎨⎧
=++=++
03250223
321
321
xxxxxx
5) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+=+−+=+−+
143232323232324
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxx
6)⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++=−++
=+−
0223042
02
321
321
321
xxxxxxxxx
7) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−+=++
1023332432
zyxzyxzyx
8) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=++=−+
113
21
321
321
xxxxxxxx
Тест по теме «Проверь себя» № 5
1. Для линейной системы⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−−=−
−=−−
32320
142
321
31
321
xxxxx
xxx неизвестное x2 вычисляется
А)
232101142
232101112
2
−−−−−
−−−−−
=x В)
232101142
233100141
2
−−−−−
−−−−−
=x
Б)
232101142332
001142
2
−−−−−−−−
−−
=x Г)
232101112
232101142
2
−−−−−
−−−−−
=x
2. Если ранг основной матрицы системы линейных уравнений не равен
рангу расширенной матрицы системы, то А) система не имеет решения Б) система имеет единственное решение
55
В) система имеет множество решений Г) система имеет хотя бы одно решение
3. Система линейных уравнений называется неоднородной, если А) основной определитель системы равен 0 Б) основной определитель системы не равен 0 В) вектор-столбец свободных членов равен нулевому вектору-столбцу Г) вектор-столбец свободных членов не равен нулевому вектору-
столбцу 4. Для того чтобы системы линейных алгебраических уравнений имела
хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матри-цы этой системы был больше ранга её расширенной матрицы.
А) верно Б) неверно
5. Дана система ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=−−
162341432
05
321
321
321
xxxxxx
xxx.
Решением этой системы является А) (0,1,2) Б) (3,2,1) В) (1,2,1) Г) (1,2,3)
6. Система ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−=++
36511101523516327
321
321
321
xxxxxxxxx
.
А) имеет решение (2, –2,2)
Б) имеет решение ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
36251
3631
36291 ;;
В) имеет решение ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
321
76
541 ;;
Г) не имеет решения 7. Решение системы линейных уравнений методом Крамера сводится к: А) приведению расширенной
матрицы системы к ступенчатому виду
В) нахождению обратной матри-цы для основной матрицы системы;
Б) вычислению основного и частных определителей системы
Г) определению ранга основной и расширенной матриц
56
8. Найти 0 01 2x x+ , если ( )0 0
1 2;x x – решение системы 1 2
1 2
2 34 2 2
x xx x− =⎧
⎨ + =⎩.
А) 0 В) –1 Б) 1 Г) –2
9. Найти значение параметра k, при котором система уравнений
1 2
1 2
2 32
x xkx x
− =⎧⎨ + =⎩
несовместна.
А) 2 В) –2 Б) 4 Г) 0
10. При каких значениях параметра k система2
1 2
1 2 1kx x kx kx
⎧ + =⎨
+ =⎩ имеет беско-
нечное множество решений?
А) 0 В) –1 Б) 1 Г) 4
57
6. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
6.1. Определение вектора
Вектором называется направленный отрезок (упоря-доченная пара точек). Обозначаются векторы либо малень-кими латинскими буквами со стрелкой сверху, например a , b , либо с указанием точки начала и точки конца векто-ра, например AB , CD . К векторам относится также и ну-левой вектор, начало и конец которого совпадают (на рис. 1 вектор d – нулевой).
Рис. 1. Векторы
Длиной (модулем) вектора называется расстояние
между началом и концом вектора. Векторы называются коллинеарными, если они рас-
положены на одной или параллельных прямых ( ||a b на рис. 1).
Векторы называются сонаправленными, если они расположены на одной или параллельных прямых и на-правлены в одном направлении.
Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат на одной или параллельных плоскостях.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Векторы называются равными, если они коллинеар-ны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину
Величины, которые полностью опреде-ляются своим чис-ленным значением, называются ска-лярными (пример: длина, площадь, температура и др.). Другие величины определяются не только числовым значением, но и направлением. Та-кие величины на-зываются вектор-ными (пример: скорость, ускоре-ние, сила и др.). Нулевой вектор коллинеарен лю-бому вектору. Всякие векторы можно привести к общему началу, т. е. построить век-торы, соответст-венно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равен-ства векторов сле-дует, что любой вектор имеет бес-конечно много век-торов, равных ему
6.2. Базис
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определённом порядке.
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарных вектора, взятые в определённом порядке.
58
3) Базисом на прямой называется любой ненуле-вой вектор.
Если тройка векторов 321 ,, eee – базис в про-
странстве и 321 eeea γβα ++= , то числа α, β и γ на-зываются компонентами, или координатами, вектора a в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свой-ства:
– равные векторы имеют одинаковые координаты; – при умножении вектора на число его компонен-
ты тоже умножаются на это число, т. е. )( 321 eeea γβαλλ ++= = 321 )()()( eee λγλβλα ++ ;
– при сложении векторов складываются их соот-ветствующие компоненты, т. е.
332211 eeea ααα ++= ; 332211 eeeb βββ ++= ;
a + b = 333222111 )()()( eee βαβαβα +++++ .
Пример. Даны векторы в пространстве a (1; 2; 3), b (–1; 0; 3), с (2; 1; –1) и d (3; 2; 2) в
некотором базисе. Показать, что векторы a , b и с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение: векторы образуют базис, если они ли-нейно независимы, т. е. не существуют такие числа
γβα ,, , не равные одновременно нулю, которые удов-летворяют уравнению 0=⋅+⋅+⋅ cba γβα .
Это уравнение можно записать в виде системы из трёх уравнений с тремя неизвестными:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+=+⋅+
=+−
033002
02
γβαγβα
γβα.
Если эта система имеет решение, то существуют такие числа γβα ,, , и, следовательно, векторы обра-зуют базис.
Эта однородная система не имеет решения, от-личного от нуля.
Действительно: ∆= =−
−
133102211
Например, пусть заданы два вектора в базисе
321 ,, eee :
321 223 eeea +−= ;
321 55 eeeb −+= . Найдём вектор
ba 53 − в этом базисе.
321
3
213
213
213
21
31314
)25
255()6
69()5
5(5)2
23(353
eee
e
eee
eee
eee
eeba
+−=
=+
+−−++
+−=−
−+−+
+−=−
Тогда,
321 3131453 eeeba +−=− .Подробнее тему «Ли-нейная зависимость и независимость векторов» смотри в учебнике: Дан-ко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Выс-шая математика в уп-ражнениях и задачах. Том I. – М. : Высшая школа, 1986. – 304 с.
Решение примера: под-ставим в уравнение
0=⋅+⋅+⋅ cba γβα соот-ветственно первые коор-динаты векторов a , b , с , d – получим первое уравнение, вторые коор-динаты – второе уравне-ние, третье – третье. Свойство систем линей-ных уравнений: система имеет решение, если оп-ределитель матрицы сис-темы отличен от нуля.
59
= 0412)32(33302
213
1211
10≠=+−−+−=+
−+
−.
Следовательно, все величины γβα ,, равны нулю, а значит, векторы a , b и с линейно независимы и об-разуют базис.
Тогда cbad γβα ++= – разложение вектора по базису.
Составим уравнения:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=++=++
33332222
1111
dcbadcba
dcba
γβαγβαγβα
; ( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅
=⋅+−⋅+⋅
21332102
3211
γβαγβαγβα
;
=+−
+−
=−
−=
3202
212
121
1310
3132
102213
∆1
11249)06(2)22(3)(03 −=+−−=−+−−+−⋅= ;
=+−
−−
=−
=2322
213
123
1212
1123
122231
∆2 7;
=++=−
=3302
32322
12320
1233202311
∆3 10;
41
41
∆∆1 −=
−==α ;
47
∆∆2 ==β ;
25
410
∆∆3 ===γ .
Таким образом, координаты вектора d в базисе a , b ,с :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
25;
47;
41d
Данная система состав-ляется аналогично сис-теме, которую рассматривали выше. Систему можно решать любым способом. В дан-ном случае воспользова-лись методом Крамера решения систем линейных уравнений (см. пункт 5.3 данного пособия). Определитель третьего порядка вычисляется способом разложения по элементам первой стро-ки. Можно вычислять методом треугольника (см. пункт 3.1 данного пособия). Подставив найденные коэффициенты в уравне-ние, получим координаты вектора в банном базисе
6.3. Длина вектора. Линейные операции
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца век-тора. Если заданы две точки в пространстве
),,( 111 zyxA , ),,( 222 zyxB , то длина 2
122
122
12 )()()( zzyyxxAB −+−+−= .
Пример. Найдём длину вектора ba 32 − , если
)1;2;2(−a и )3;3;4( −b . Найдём координаты линей-ной комбинации
60
Длина вектора );;( 321 aaaa равна
( ) ( ) ( )232
22
1 aaaa ++= . Линейные операции над векторами в коорди-
натах: Пусть заданы векторы в прямоугольной систе-
ме координат ),,,();,,( BBBAAA zyxbzyxa тогда ( )BABABA zz;yy;xxcba +++=+ ; ( )AAA z;y;xa ⋅⋅⋅=⋅ αααα .
Произведение вектора на число: abab αα == ; , при этой операции вектор a кол-
линеарен вектору b . Свойства арифметических операций над век-
торами: 1) a + b = b + a – коммутативность 2) a + (b + с ) = ( a + b )+ с 3) a + 0 = a 4) a +(–1) a = 0 5) (α⋅β) a = α(βa ) – ассоциативность 6) (α+β) a = αa + βa – дистрибутивность 7) α( a + b ) = αa + αb 8) 1⋅a = a
)11;5;16(
)9;9;12()2;4;4(
)3;3;4(3)1;2;2(232
−−=
=−−+−=
=−−−=− ba
Вычислим длину:
40212125256
2)11(2)5(2)16(32
=++=
=+−+−=− ba
Ответ: длина равна 05,20402 ≈ .
Свойства векторов доказы-ваются, используя свойства действительных чисел. Например, свойство 1. Если ),,( AAA zyxa и ),,( BBB zyxb , то имеем
),,( BABABA zzyyxxba +++=+ . Используя свойство комму-тативности действительных чисел, можем записать, что
ab
zzyyxxba ABABAB
+
=+++=+ ),,(
и т. д.
6.4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов a и b назы-вается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a ⋅b = ⎪ a ⎪·⎪b ⎪· cosϕ .
Свойства скалярного произведения: 1) a ⋅a = ⎪a ⎪2 2) a ⋅b = 0, если a⊥b , или a = 0, или b = 0 3) a ⋅b = b ⋅a 4) a ⋅(b +c ) = a ⋅b + a ⋅c 5) (m a )⋅b = a ⋅(mb ) = m( a ⋅b )
Если векторы ),,();,,( bbbaaa zyxbzyxa рассматри-
вать в декартовой прямоугольной системе координат, то
Результат скалярного произведения векто-ров – число. Свойства доказыва-ются, используя оп-ределение скаляр-ного произведения векторов и свойства векторов. Например, свойство 2.Если a ⋅b = 0, то по определению: a ⋅b = = ⎪ a ⎪·⎪b ⎪ · cosϕ = 0. Данное равенство вы-полняется, если равен нулю каждый множи-тель произведения.
61
a ⋅b = xa xb + ya yb + za zb. Используя полученные равенства, получаем форму-
лу для вычисления угла между векторами:
bazzyyxx bababa
⋅
++=ϕcos .
Пример 1. Найти (5 a + 3b )(2 a – b ), если
.,3,2 baba ⊥==
Решение: Получим: 10 a ⋅a – 5 a ⋅b + 6 a ⋅b – 3b ⋅b =
10 132740322 =−=− ba .
Пример 2. Найти угол между векторами a и b , если
,32 kjia ++= kjib 246 −+= . Решение: a = (1, 2, 3), b = (6, 4,–2), тогда a ⋅b =6 +
8– 6= 8; 5641636;14941 =++==++= ba .
сos ϕ = .72arccos;
72
144
141428
56148
==== ϕ
ϕ ≈ 1,28 рад ≈ 74°. Пример 3. Найти скалярное произведение
(3 a – 2b )⋅(5 a – 6b ), если .3/^,6,4 π=== bаba
Решение: (3 a – 2b )⋅(5 a – 6b ) =15 a ⋅a –18 a ⋅b – –10 a ⋅b +12b ⋅b =
=15 +⋅⋅⋅−⋅=+−216428161512
3cos28
22 bbaa π 12⋅36 =
= 240 – 336 + +432 =672 – 336 = 336. Пример 4. При каком m векторы jima += и
kjib 433 −−= перпендикулярны. Решение: Имеем a = (m, 1, 0); b = (3, –3, –4), тогда:
Т. е. ⎪ a ⎪= 0 или ⎪b ⎪= 0, что означает, что векторы нулевые, т. к. только нулевой вектор имеет длину 0. Либо cosϕ = 0, что выполняется при ϕ = 90°, т. е. векторы перпендикулярны. Решение 1: необходи-мо раскрыть скобки. Используя то, что
,42 ==⋅ aaa
,92==⋅ bbb .0=⋅ba
Решение 2: координа-ты векторов заданы с помощью единичных ортов. Координаты – это есть коэффициен-ты при единичных ор-тах i, j, k.
Значение 72
arccos=ϕ
можно приближённо посчитать с помощью калькулятора или таблиц Брадиса. Решение 3: раскрыва-ем скобки и применя-ем определение ска-лярного произведения. Решение 4: m – чис-ло, которое необхо-димо найти в заданных условиях. Зная, что для перпен-дикулярных векторов
62
1;033 =⇒=−=⋅ mmba . Пример 5. Найти скалярное произведение векторов
cba 432 ++ и cba 765 ++ , если
.3
^^^,3,2,1 π====== cbcabacba
Решение: ( cba 432 ++ )( cba 765 ++ )= = +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ cbbbbacabaaa 211815141210
=⋅+⋅+⋅+ cccbac 282420 ccbbcbcabaaa ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 281845342710 =
10 + 27 + 51 + 135 + 72 + +252 = 547
a ⋅b = 0, получим ра-венство, из которого легко выразим m.
6.5. Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов a и b называет-ся вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
1) ϕsinbac ⋅= , где ϕ – угол между векторами a и b ,
определяемый условиями 0 ϕ π≤ ≤ ; 2) вектор c ортогонален векторам aи b ; 3) a , b и c образуют правую тройку векторов. Обозначается: bac ×= или ],[ bac = .
Рис. 2. Векторное произведение векторов
Свойства векторного произведения векторов: 1) baab ×−=× 2) 0=× ba , если a ⎪⎪b , или a = 0, или b = 0 3) (m a )×b = a×(mb ) = m( a×b ) 4) a×(b + с ) = a×b + a× с 5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb) в де-
картовой прямоугольной системе координат с единичными векторами kji ,, , то
Результат век-торного произ-ведения векторов – век-тор. Свойства можно доказать, исполь-зуя свойства век-торов и опреде-ление векторного произведения. Определитель третьего порядка, первая строка – единичные орты,
63
a×b =
bbb
aaa
zyxzyxkji
6) Геометрический смысл модуля векторного произве-
дения векторов a и b – площадь параллелограмма, постро-енного на векторах a и b (см. рис. 3 и 4).
Sпараллелограмма=| a×b |. Замечание: Площадь треугольника, построенного на
векторах a и b , равна половине модуля векторного произве-дения a и b .
Sтреугольника= 21 | a×b |
Рис. 3. Параллелограмм,
построенный на векторах a и b
Рис. 4. Треугольник,
построенный на векторах a и b
Пример. Найти векторное произведение векторов kjia ++= 52 и kjib 32 −+= .
Решение: Так как a = (2, 5, 1); b = (1, 2, –3), то
kjikjikji
ba −+−=+−
−−
=−
=× 7172152
3112
3215
321152 ;
( )1717 −−=× ;;ba . Пример. Вычислить площадь треугольника с верши-
нами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0). Решение:
)1;2;2()23;20;24()2;1;2()20;21;20(
−=−−−=−−−=−−−=
ABAC .
=−−−
+−−
−−
−−=
−−−−=×
2212
1222
1221
122212 kji
kjiABAC
вторая и третья строки – коорди-наты векторов соответственно. Вычисление оп-ределителей см. пункт 3.1 данно-го пособия. Важные свойст-ва, которые ис-пользуются при решении задач. Координаты век-торов заданы с помощью еди-ничных ортов, тогда координаты найдём как коэф-фициенты при неизвестных. Если вершины треугольника на-ходятся в точках А, В, С, то ACAB, – векторы, на ко-торых построен треугольник (см. рис. 4). Модуль вектора – длина вектора,
64
)6;2;5(625)24()42()41( −−=+−−=+++−−−−= kjikji .
.6536425 =++=× ABAC
265
=∆S (ед.2).
Пример. Найти площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах baba ++ 3;3 , если .30^;1 0=== baba
Решение: )3()3( babaS +×+= . Найдём смешанное произведение:
=×+×+×+×=+×+ bbabbaaababa 393)3()3( ababab ×=⋅+×+×−⋅= 803903 ;
42111830sin88 =⋅⋅⋅=°=×= ababS (ед.2)
вычисляем по формуле
( ) ( ) ( )232
22
1 aaaa ++=
Стороны заданы как линейные комбинации век-торов aи b . Раскрываем скобки, исполь-зуя свойства векторного про-изведения: 1) baab ×−=× ; 2)
0
0
=×
=×
bb
aa .
Вычислим пло-щадь, используя формулу
ϕsinbac ⋅=
6.6. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов a , b и c назы-вается число, равное скалярному произведению вектора c на вектор, равный векторному произведению векторов a и b .
Обозначается cba ⋅× )( , или a b c . Смешанное произведение a b c по модулю равно объ-
ёму параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c .
Рис. 5. Параллелепипед, построенный на векторах a , b и c
Свойства смешанного произведения:
1) Если ),,( 111 zyxa = , ),,(),,,( 333222 zyxczyxb == , то
Результат сме-шанного произ-ведения век-торов – число. Смешанное про-изведение векто-ров можно найти в два этапа: сна-чала найти век-торное произ-ведение векторов a ×b , а затем результат ска-лярно умножить на вектор c . Свойства сме-шанного произ-ведения следуют
65
333
222
111
zyxzyxzyx
cba =
2) Смешанное произведение равно нулю, если: а) хотя бы один из векторов равен нулю; б) два вектора коллинеарны; в) векторы компланарны 3) )()( cbacba ×⋅=⋅× 4) )()()( bcaabccabbacacbcba −=−=−=== 5) ),,(),,(),,( 2121 cbacbacbaa µλµλ +=+ 6) Объём треугольной пирамиды, образованной векто-
рами a , b и c , равен
V= cba61
7) Объём параллелепипеда, образованного векторами a , b и c , равен
cbaV = Пример 1. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; –1),
C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Решение: Найдём координаты векторов:
)2;2;4()2;3;4()1;6;2(
−−=−−=
−−=
ADACAB
Найдём смешанное произведение полученных векторов:
( ) =−−−
+−
−+
−−−
−−−
−−−−
⋅× ==2434
12424
62223
2224234
162ADACAB
020020)128(1)88(6)46(2 =−+=−−+−+−−−= . Таким образом, полученные выше векторы компланарны,
следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Пример 2. Найти объем треугольной пирамиды и дли-
ну высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3), D(3;7;2).
Решение: Найдём координаты векторов:
)2;1;4()3;4;1(
)4;3;2(
−−=−=
−−−=
BCBDBA
и доказываются на основе свойств опреде-лителей, см. пункт 3.1 данно-го пособия. Решение 1: если точки лежат в одной плоско-сти, то и векто-ры, начало или конец которых лежит в этих точках, также лежат в одной плоскости. Напомним, для того чтобы най-ти координаты векторов, необ-ходимо из коор-динат конца вычесть коорди-наты начала. Решение 2: най-дём координаты векторов, на ко-торых построена пирамида. Это
66
Объём пирамиды
)(20)683022(61
))161(4)122(3)38(2(61
214341432
61
3ед
V
=++=
=−−−+−+−−−=−−−−−−
==
Для нахождения длины высоты пирамиды найдём сна-чала площадь основания BCD.
=−
+−−
−−−−
=−−−=×
1441
2431
2134
214341 kji
kjiBCBD
)17;10;11(171011)161()122()38( −−−=−−−=−−++−−−−= kjikji ;
510289100121171011 222 =++=++=× BCBD .
Sосн = 2/510 (ед.2).
Т. к. V = 3
hSосн ⋅ ; тогда .175104
5101203
===оснSVh
три вектора, имеющие начало в одной из вер-шин пирамиды. Основание ВСD – треугольник, а площадь тре-угольника мож-но найти с помощью моду-ля векторного произведения векторов, на ко-торых этот тре-угольник построен. V =
3hSосн ⋅
–
формула из школьной про-граммы
Тренировочные упражнения
Определение вектора 6.1. Доказать, что векторы cba ,, образуют базис, и найти координаты
вектора d в этом базисе, если: 1) ( )145 ;;a , ( )2;5;3−b , ( )3;1;2 −c , ( )4;23;7d ; 2) ( )4;1;2 −a , ( )2;0;3 −−b , ( )3;5;4 −c , ( )14;11;0 −d .
6.2. Найти модуль вектора ________
ACCBa −= 4 , если заданы координаты: 1) ( )3;6;4A , ( )6;2;5−B , ( )3;4;4 −−C ; 2) ( )4;3;2−A , ( )6;5;2 −−B , ( )2,2,2 −C .
Скалярное произведение векторов
6.3. Вычислить: 2a , 2b , ( )2ba + , ( )2ba − , ( ) ( )baba 223 +⋅− , если:
1) векторы a и b образуют угол 3
2πϕ = и 3=a , 4=b ;
2) векторы a и b образуют угол 6πϕ −= и 2=a , 5=b .
67
6.4. Вычислить ba ⋅ , 2a , 2b , ( )2ba + , ( )2ba − , ( ) ( )baba 232 +⋅− , если 1) даны векторы ( )424 −− ,,a , ( )236 ,,b − ; 2) даны векторы ( )2,1,2 −−a , ( )2,6,5 −−b . 6.5. Даны вершины четырёхугольника ( )221 ,,A − , ( )041 ,,B , ( )114 ,,C − ,
( )355 ,,D −− . Вычислить угол φ между его диагоналями. 6.6. Даны вершины треугольника ABC: А(–1, –2,4), В(–4,–2,0), С(3,–2,1).
Вычислить внешний угол при вершине В. 6.7. При каком значении α и β векторы взаимно коллинеарны? 1) kjia βα +−= 3 и kjib −+= ; 2) kjia −+= 3 и kjib βα +−= . 6.8. При каком значении α векторы взаимно перпендикулярны: 1) kjia 23 +−=α и kjib α−+= 2 ; 2) kjia 53 −+= α и kjib 2+−=α . 6.9*. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору ( )112 −,,a , при
условии 3=⋅ba . 6.10*. Даны три вектора kjia 32 +−= , kjib 23 +−= , kjiс 423 −+= .
Найти вектор x , удовлетворяющий условиям: 5−=⋅ax , 11−=⋅bx , 20=⋅cx .
Векторное произведение векторов
6.11. Вычислить: ba × , ( ) ( )baba −×+ , ( ) ( )baba 23 −×− , если:
1) векторы a и b взаимно перпендикулярны и 3=a , 4=b ;
2) векторы a и b образуют угол 3πϕ = и 2=a , 5=b .
6.12. Найти координаты векторов: ba × , ( ) bba ×+2 , ( ) ( )baba +×− 22 ,
если: 1) даны векторы ( )213 −− ,,a , ( )121 −,,b ; 2) даны векторы ( )3,5,2 −−a , ( )1,2,4 −b . 6.13*. Дано: 10=a , 2=b , 12=⋅ba . Вычислить ba × . 6.14. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах:
68
1) ( )110 ,,a − , ( )111 ,,b ; 2) ( )0,5,1a , ( )6,4,2 −b . 6.15. Вычислить площадь треугольника АВС, если известно, что: 1) ( )021 ,,A , ( )303 ,,B , ( )6,2,5C ; 2) ( )3,1,5−A , ( )1,2,7−B , ( )2,2,5 −C .
Смешанное произведение векторов 6.16. Вычислить объём треугольной призмы, построенной на векторах: 1) ( )167 ,,a , ( )304 ,,b , ( )463 ,,c ; 2) ( )1,5,4 −a , ( )2,0,3b , ( )6,3,5−c . 6.17. Даны вершины пирамиды. Вычислить её объём V и высоту H, опу-
щенную на грань ACS. 1) ( )402 ,,A , ( )730 ,,B , ( )600 ,,C , ( )534 ,,S ; 2) ( )3,2,1−A , ( )7,5,2B , ( )4,1,1C , ( )7,3,3S . 6.18. Лежат ли точки в одной плоскости? 1) ( )121 −,,A , ( )514 ,,B , ( )121 ,,C − , ( )312 ,,D ; 2) ( )1,0,3−A , ( )5,1,5 −B , ( )5,7,8−C , ( )9,5,7D . 6.19. Компланарны ли следующие векторы: 1) ( )132 ,,a , ( )311 ,,b − , ( )1191 −− ,,c ; 2) ( )123 ,,a − , ( )212 ,,b , ( )213 −− ,,c . 6.20*. Объём тетраэдра V = 5, его три вершины находятся в точках
( )112 −,,A , ( )103 ,,B , ( )312 ,,C − . Найти координаты четвёртой вершины D, если из-вестно, что она лежит на оси Оу.
Смешанные задачи
6.21. Необходимо а) вычислить смешанное произведение векторов a , b3 , c ; б) модуль векторного произведения векторов a3 и с2 ; в) вычислить скаляр-ное произведение векторов b , c4− ; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны вектора a и c ; д) проверить, будут ли компланарны вектора a ,
b2 , c3 . Даны векторы: 1) kjia +−= 32 , kjb 4+= , kjic 325 −+= ; 2) kjia 75 +−= , kib −= , kjic 34 ++−= .
69
Тест «Проверь себя» № 6
1. Результатом скалярного произведения двух векторов ba ⋅ является A) вектор Б) любое действительное число В) положительное действительное число
Г) ноль
2. Результатом векторного произведения двух векторов ba ⋅ является А) вектор Б) любое действительное число В) положительное действительное число
Г) нуль
3. Вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных, называются А) компланарными Б) равными В) коллинеарными Г) ортогональными
4. Три вектора, лежащие на одной плоскости или на параллельных плоскостях, А) называются компланарными Б) называются коллинеарными В) называются равными Г) называются прямыми
5. Если скалярное произведение двух векторов a и b равно нулю, то данные вектора являются А) скалярными Б) компланарными В) коллинеарными Г) ортогональными
6. Модуль нулевого вектора А) равен нулю Б) равен единице В) не определён Г) может быть равен любому числу
7. Нулевой вектор А) коллинеарен любому вектору Б) коллинеарен только нулевому
вектору В) коллинеарен только единичному вектору
Г) не коллинеарен ни какому вектору
8. Модуль единичного вектора А) равен 1 Б) равен 0 В) не существует Г) может быть равен любому числу
9. Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называется век-тор c , определяемый условиями (выберите несколько ответов): А) векторы a , b и c лежат в одной плоскости или на параллельных Б) векторы a , b и c образуют правую тройку
70
В) длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векто-рах a и b как на сторонах Г) вектор c перпендикулярен векторам a и b
10. Даны векторы ( )zyx a,a,aa и ( )zyx b,b,bb . Векторное произведение ba × вы-числяется по формуле:
А) ⎥⎥⎥
⎦
⎥
⎢⎢⎢
⎣
⎢
=×
zyx
zyx
bbbaaakji
ba
Б) 222222zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
babababa
++++
++=×
В) zzyyxx babababa ++=×
Г) kbajbaibaba zzyyxx ++=× 11. Три ненулевые вектора a , b и c компланарны, если ... А) они попарно ортогональны Б) их векторное произведение равно нулю В) их смешанное произведение равно нулю Г) их скалярное произведение равно нулю
12. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , численно рав-на (выберите один ответ) А) модулю векторного произведения Б) скалярному произведению В) смешанному произведению Г) векторному произведению
13. Даны векторы ( )zyx c,c,cc , ( )zyx a,a,aa , ( )zyx b,b,bb . Определитель
zyx
zyx
zyx
bbbaaaccc
равен
А) смешанному произведение векторов Б) скалярному произведению В) векторному произведению векторов Г) модулю векторного произведения
14. Векторное произведение векторов a и b , если ( )445 −− ,,a и ( )292 −,,b , равно (выберите один ответ) А) ( )53228 ,,−
71
Б) ( )33244 ,,− В) ( )531828 −− ,, Г) ( )331844 ,,−−
15. Вектора (3, 7, 2), (–2, 0, –1), (2, 2, 1) являются А) коллинеарными Б) компланарными В) неколлинеарными Г) некомпланарными
72
7. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
7.1. Прямоугольная система координат на плоскости
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости.
Прямоугольная (декартова) система координат (ПДСК) задаётся двумя взаимно перпендикулярными на-правленными прямыми – осями Ox (осью абсцисс) и Oy (осью ординат), имеющими общее начало O и одинако-вую единицу масштаба.
Рис. 1. Прямоугольная (декартова) система координат
Проекциями произвольной точки M называются ве-
личины OAa = , OBb = . Таким образом: каждая точка M плоскости имеет
однозначно определяемые координаты a и b, записывают ( )baM ; ; и обратно, каждой упорядоченной паре чисел a и
b найдётся единственная точка плоскости, координатами которой являются эти числа
Рене́ Дека́рт – французский мате-матик, философ, физик и физиолог, создатель аналити-ческой геометрии и современной алгебраической символики. Пример Отметим точки в прямоугольной системе координат: ( )1;0A , ( )0;2−B , ( )3;4 −C .
Точка А лежит на оси Оу, точка В лежит на оси Ох
7.2. Полярная система координат
Полярная система координат задаётся точкой O, называемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью, и единицей масштаба на ней. В полярной системе координат положение произвольной точки M (не совпа-дающей с полюсом O) определяется двумя числами: её расстоянием r от полюса O и углом ϕ , образованным от-резком OM с полярной осью (отсчёт углов ведётся в на-правлении, противоположном движению часовой стрелки).
Введение термина «полярные коорди-наты» приписывают Грегорио Фонтана. Пример Отметим в полярной системе координат точки ( )0;3B ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4;2 πC ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2;1 πD ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
23;2 πE .
73
Рис. 2. Полярная система координат
Числа r и ϕ называются полярными координатами
точки M, записывают так: ),( ϕrM , при этом r называют полярным радиусом, ϕ – полярным углом.
Прямоугольные декартовы и полярные координаты точки M при соответствующем выборе координатных си-стем (полюс совпадает с началом декартовой системы ко-ординат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox ) связаны формулами:
⎩⎨⎧
⋅=⋅=
ϕϕ
sincos
ryrx ,
2 2r x yytgx
ϕ
⎧ = +⎪⎨
=⎪⎩
.
Пример. Уравнение кривой в полярной системе ко-
ординат имеет вид ϕcos3
4−
=r . Найти уравнение кривой
в декартовой прямоугольной системе координат. Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и
полярной системы координат: 22 yxr += ;
22cos
yxx+
=ϕ , тогда
22
22
3
4
yx
xyx
+−
=+
43 22 =−+ xyx
43 22 +=+ xyx 222 81699 xxyx ++=+
016988 22 =−+− yxx 01694/18)4/1(8 22 =−+⋅−+− yxx
189)2/1(8 22 =+− yx
124/9
)2/1( 22=+
− yx
Точка В лежит на полярной оси на рас-стоянии трёх единиц от полюса. Точка С лежит на лу-че, образовывающем угол 45° с полярной осью в положитель-ном направлении, и находится на расстоя-нии двух единиц от полюса. Точка D лежит на луче, образовываю-щем угол 90° с по-лярной осью в отрицательном на-правлении, и нахо-дится на расстоянии одной единицы от полюса. Для построения точ-ки Е строим луч, ко-торый образует с полярной осью угол 270°, продлеваем этот луч в отрицательную часть и на ней отме-чаем две единицы. Полученное уравне-ние является канони-ческим уравнением эллипса (см. п. 7.6 данного пособия)
74
7.3. Основные приложения метода координат на плоскости
Расстояние d между двумя точками ),( 11 yxA , ),( 22 yxB :
212
212 )()( yyxxd −+−= .
Деление отрезка в данном отношении.
Рис. 3. Деление отрезка АВ в отношении λ
Если т. ),( yxM делит отрезок AB (координаты ко-
торых ),( 11 yxA , ),( 22 yxB ) в отношении MBAM
=λ ,
0>λ , то:
λλ
++
=1
21 xxx , λλ
++
=1
21 yyy .
В частности, при делении пополам, т. е. в отно-
шении 1=λ , получаем:
221 xxx +
= , 2
21 yyy += .
Площадь S треугольника ABC с вершинами
),( 11 yxA , ),( 22 yxB , ),( 33 yxC :
3232
3131
21
yyxxyyxx
S−−−−
=∆ ,
т. е., вычислив определитель, получим
))()()()((21
12131312 xxyyxxyyS −⋅−−−⋅−=∆
Пример нахождения расстояния между точ-ками: пусть точка ( )0;1A , а точка ( )3;2 −B ,
тогда расстояние отрезка AB равно
( ) ( ).10
0312 22
=
=−−+−=d
Пример деления отрез-ка в данном отноше-нии: пусть дан отрезок AB , где ( )0;0A , ( )3;2B . Найдём координаты точки C , которая делит отрезок AB в отношении 2:1 .
Известно, что 21
=CBAC ,
т. е. 21
=λ .
Применяя формулы, получим:
32
211
2210
=+
⋅+=x ;
1
211
3210
=+
⋅+=y .
Ответ: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1;
32C .
Пример нахождения площади треугольника ABC с вершинами в точках ( )0;0A , ( )2;1B , ( )3;1−C :
( ) .2561
21
1231
21
32113010
21
=+−=
=−−
=
=−+−+
=S
75
7.4. Уравнения линии на плоскости
Линия на плоскости задаётся как геометрическое место точек, обладающих некоторым свойством, ис-ключительно им присущим.
Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты лю-бой точки данной линии, и только они.
В общем виде уравнение линии на плоскости в прямоугольных декартовых координатах и полярных записывается так: 0),(,0),( == ϕrFyxF .
Также линию на плоскости можно задать при по-мощи системы двух уравнений вида:
⎩⎨⎧
==
),(),(tyytxx
где x и y – координаты произвольной точки ),( yxM , ле-жащей на данной линии, а t – переменная, называемая параметром; параметр t принимает значения из некото-рого заданного числового множества и определяет по-ложение точки ),( yx на плоскости. Такой способ задания линии называется параметрическим
Например, окружность радиуса R есть множе-ство всех точек плоско-сти, удалённых на расстояние R от неко-торой фиксированной точки О (центра ок-ружности)
7.5. Прямая на плоскости
Простейшей из линий является прямая (линия первого порядка). Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.
Общее уравнение прямой:
0=++ CByAx , где A, B, C – произвольные числа, причём A и B не рав-ны нулю одновременно.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
bkxy += ,
где k – угловой коэффициент (он равен тангенсу угла α наклона прямой к оси Ox ), b – координата конца от-резка, отсекаемого прямой на оси Oy .
Например, прямые на плоскости в общем виде:
0532 =−+ yx , 034 =−x , 035 =−y .
Например, прямые с уг-ловым коэффициентом:
83 −= xy , xy = , 2=y .
Пример: Найти уравнение пря-мой, пересекающей ось Оу в точке 2 и пересе-кающей ось Ох под уг-лом 45°.
76
Рис. 4. Прямая на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через данную
точку ),( 00 yxM в данном направлении: )( 00 xxkyy −=− ,
где k – угловой коэффициент. Уравнение прямой, проходящей через две точ-
ки ( )111 ; yxM , ( )222 ; yxM :
12
1
12
1
xxxx
yyyy
−−
=−−
.
Рис. 5. Прямая, проходящая через 2 точки
Уравнение прямой в отрезках: 1=+by
ax
,
где a, b – длины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Рис. 6. Прямая, отсекающая отрезки a и b на осях
Решение: 2−=b , 45 1k tg= ° = .
Получаем уравнение прямой 2−= xy . Пример: Пусть даны точки ( )6;2A и ( )3;0 −B , тогда
уравнение прямой AB выглядит так:
202
636
−−
=−−− xy ;
22
96
−−
=−− xy ;
( ) ( )2962 −−=−− xy 0629 =−− yx .
Пример: Пусть дано общее урав-нение прямой
01427 =−+ yx . Приве-дём его к уравнению прямой в отрезках. Для этого перенесём сво-бодный член в правую часть. Получим
1427 =+ yx . Разделим всё равенство на 14:
172=+
yx – уравнение
прямой в отрезках.
77
Угол между двумя прямыми, заданными урав-нениями с угловыми коэффициентами 11 bxky += ,
22 bxky += , определяется по формуле:
21
12
1 kkkktg
+−
=ϕ .
Условие параллельности двух прямых вида
y = k1 x+b и y = k2 x+b: 21 kk = . Условие перпендикулярности двух прямых ви-
да y = k1 x+b и y = k2 x+b:
121 −=⋅ kk , (или 2
11k
k −= ).
Расстояние d от точки ),( 00 yxM до прямой, за-данной общим уравнением 0=++ CByAx , находится по формуле:
22
00
BA
CByAxd
+
++= .
Рис. 7. Расстояние d от точки М до прямой
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку ( )2;1A перпендикулярно вектору ( )1;3 −=n . Решение: Составим при 3=A и 1−=B уравнение
прямой: 03 =+− Cyx . Для нахождения коэффициента С подставим в по-
лученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 023 =+− C , следовательно, 1−=C . Искомое уравнение имеет вид: 013 =−− yx
Пример: Угол между прямыми:
73 +−= xy ; 12 += xy находим по формуле
12)3(1
)3(2=
⋅−+−−
=ϕtg , сле-
довательно,
41 πϕ == arctg .
Например: прямые 32 −= xy и
162 += xy параллель-ны, а прямые 43 −= xy
и xy31
−= перпендику-
лярны (проверить само-стоятельно условия параллельности и пер-пендикулярности). Пример: Расстояние от точки ( )2;1−A до прямой
032 =+− yx равно
( ) ( )
.5
221
3221122
=
=−+−
+⋅−⋅−=d
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опу-щенного из этой точки на данную прямую. Решение: При решении данной задачи можно восполь-зоваться формулой
( )0 0( ) 0A x x B y y− + − = ,где ( )BA; – координаты нормального вектора,
0 0( ; )x y – координаты точки, принадлежащей прямой. Получим: ( ) ( )( ) 02113 =−−+− yx ,
013 =−− yx
78
7.6. Линии второго порядка
Линия на плоскости называется линией (кривой) второго порядка, если она определяется уравнением второй степени относительно текущих координат x и y, т. е. уравнением вида:
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx . Окружностью называется множество точек, равно
удалённых на расстоянии R (радиуса окружности) от заданной точки ),( 00 yxC (центра).
Рис. 8. Окружность с центром в точке ( )oo yxС ; и радиусом R
Каноническое уравнение окружности:
220
20 )()( Ryyxx =−+− .
Частный случай: уравнение окружности с центром
в начале координат и радиуса R: 222 Ryx =+ .
Пример. Найти координаты центра и радиус ок-ружности, если её уравнение задано в виде:
045822 22 =−+−+ yxyx . Решение:
025,2422 =−+−+ yxyx
021625
16255,2444 22 =−−+++−+− yyxx
( ) 061625
452
22 =−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++− yx
( )16121
452
22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++− yx
Отсюда находим ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
45;2C ;
411
=R .
Впервые кривые второ-го порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следую-щем: если взять две пе-ресекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то по-лучится конусная по-верхность. Если же пересечь эту поверх-ность плоскостью, то в сечении получаются различные геометриче-ские фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола. Для нахождения коор-динат центра и радиу-са окружности данное уравнение необходи-мо привести к кано-ническому виду. Для этого выделим полные квадраты.
79
Эллипсом называется множество всех точек плос-кости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса:
12
2
2
2
=+by
ax
.
Рис. 9. Эллипс
Числа a и b называются большой и малой полу-
осями эллипса соответственно, )0,(1 cF − и )0,(2 cF –
фокусы, где 22 bac −= , если ba > . Отношение ac
называется эксцентриситетом эллипса и обозначается:
ac
=ε , причём 10 << ε , так как ac <<0 .
Для произвольной точки ),( yxM , принадлежащей
эллипсу, верны соотношения: xarxar εε −=+= 21 , ,
21, rr называются фокальными радиусами точки М. Пример 1. Составить уравнение прямой, прохо-
дящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса,
заданного уравнением: .11625
22=+
yx
Решение: 1) Координаты нижней вершины: 0=x ; 162 =b ; 4−=y .
2) Координаты левого фокуса:
91625
222
=−==−= bac ; 3=c ; ( )0;32 −F .
Если же ab > , то ка-ноническое уравнение определяет эллипс, большая полуось кото-рого b лежит на оси Oy , а малая полуось a – на оси Ox . Фоку-сы такого эллипса на-ходятся в точках
),0(1 cF и ),0(2 cF − , где 22 abc −= .
Если ba = , то эллипс превращается в окруж-ность. Исходя из канониче-ского уравнения эллип-са, найдём координаты вершин эллипса.
80
3) Уравнение прямой:
404
030
++
=−−− yx ;
44
3+
=−
yx ; 1234 −−= yx ;
01234 =++ yx . Пример. Составить уравнение эллипса, если его
фокусы ( )0;01F , ( )1;12F , большая ось равна 2. Решение: Уравнение эллипса имеет вид:
12
2
2
2=+
by
ax . Расстояние между фокусами:
( ) ( ) 201012 22 =−+−=c , таким образом,
21222 ==− cba .
По условию 22 =a , следовательно, 1=a ,
22
21122 =−=−= cab .
Получаем: 12/11
2
2
2=+
yx .
Гиперболой называется множество всех точек
плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы:
12
2
2
2
=−by
ax
.
Рис. 10. Гипербола
Числа a и b называются действительной и мни-
мой полуосями гиперболы соответственно, )0,(1 cF − и
Для составления прямой воспользуемся уравне-нием прямой, проходя-щей через две точки. Кривая, определяемая уравнением
12
2
2
2
=−bx
ay , также ги-
пербола, действитель-ная полуось a которой расположена на оси Oy , а мнимая полуось b – на оси Ox .
81
)0,(2 cF – фокусы, где 22 bac += . Отношение ac на-
зывается эксцентриситетом гиперболы и обозначает-
ся: ac
=ε , причём 1>ε , так как ac > .
Для произвольной точки ),( yxM , принадлежащей
гиперболе, верны соотношения: axraxr −=+= εε 21 , ,
21, rr называются фокальными радиусами точки М. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения кото-
рых .xaby ±=
Пример. Составить уравнение гиперболы, если её эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокуса-
ми эллипса .1925
22
=+yx
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Пусть ),( yxM – произвольная точка параболы, F – её фокус, d – директриса.
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы.
Если ввести систему координат, проведя ось абс-цисс через фокус F перпендикулярно директрисе, а ось ординат провести перпендикулярно оси Оx через сере-дину между фокусом F и директрисой, то получим сле-дующий рисунок параболы.
Рис. 11. Парабола
Решение: Находим фокусное рас-стояние 169252 =−=c . Для гиперболы:
16222 =+= bac ,
2==acε ; ac 2= ;
22 4ac = ; 42 =a ; 124162 =−=b .
Таким образом,
1124
22
=−yx – искомое
уравнение гиперболы.
82
Каноническое уравнение этой параболы, симмет-ричной относительно оси Оx и проходящей через нача-ло координат:
pxy 22 = .
Данная парабола имеет фокус )0,2
( pF и директри-
су: 2px −= , фокальный радиус точки ),( yxM :
2pxr += .
Пример. На параболе xy 82 = найти точку, рас-
стояние которой от директрисы равно 4. Из уравнения параболы получаем, что 4=p .
42=+=
pxr , следовательно: 2=x , 162 =y , 4±=y .
Искомые точки: ( )4;21M , ( )4;22 −M
Каноническое уравне-ние параболы, симмет-ричной относительно оси Oy и проходящей через начало коорди-нат:
pyx 22 = .
Где фокус )2
,0( pF ,
уравнение директрисы:
2py −= , фокальный
радиус точки ),( yxM :
2pyr += .
Тренировочные задания
7.1. Построить треугольник с вершинами ( )2;4−A , ( )1;0 −B , ( )3;3C и опреде-лить его периметр.
7.2. Построить точки ( )0;4−A , ( )4;1−B и точки 1A , 1B , симметричные данным относительно оси Оу. Вычислить периметр трапеции 11 AABB .
7.3. На оси Ох найти точку, одинаково удалённую от начала координат и от точки ( )4;8A .
7.4. Построить точки ( )1;2−A и ( )6;3B и найти точку ( )yxM ; , делящую AB в отношении 2:3: =MBAM .
7.5. Даны точки ( )1;2−A и ( )6;3B . Разделить отрезок AB в отношении 2:3: −=MBAM .
7.6. Определить середины сторон треугольника с вершинами ( )1;2 −A , ( )3;4B и ( )1;2−C .
7.7. В треугольнике с вершинами ( )0;0O , ( )0;8A и ( )6;0B определить длину медианы OC и биссектрисы OD .
7.8. Вычислить площадь треугольника с вершинами ( )0;2A , ( )3;5B и ( )6;2С . 7.9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрез-
ки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками, равна 8 см2.
7.10. Показать, что прямые 0753 =+− yx и 03610 =−+ yx перпендикулярны. 7.11. Даны вершины треугольника ( )1;0A , ( )5;6B , ( )1;12 −C . Найти уравнение
высоты, проведённой из вершины С.
83
7.12. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно вектору a : А) ( )3;2A , ( )4;1 −=a ; Б) ( )1;0A , ( )2;1 −−=a .
7.13. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A перпендику-лярно вектору n : А) ( )2;1A , ( )1;3 −=n ; Б) ( )4;2−A , ( )5;3=n .
7.14. Определить угол между прямыми 1l и 2l : А) 01126:1 =−+ yxl , 012:2 =+− yxl ; Б) 01424:1 =−+− yxl , 0936:2 =−+ yxl .
7.15. Найти расстояние от точки ( )3;1M до прямой 0525: =+− yxl . 7.16. Построить прямую, отсекающую на оси Oy отрезок b и составляю-
щую с осью Ox угол α . Написать уравнения этих прямых. А) 3=b , α = 45°; Б) 4=b , α = 135°.
7.17. При каком значении параметра a прямые 0183 =++ yax и ( ) 021 =−+ ayxa будут параллельны?
7.18. Найти расстояние между прямыми 02043 =−+ yx и 0586 =++ yx . 7.19. Окружность с центром в точке ( )1;2A проходит через точку ( )8;3N . На-
писать уравнение окружности и найти её диаметр. 7.20. Определить взаимное расположение прямой 03 =−y и окружности
( ) ( ) 413 22 =−+− yx . Построить прямую и окружность. 7.21. Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнени-
ем 044822 22 =−+−+ yxyx . 7.22. Построить эллипс 164 22 =+ yx . Найти его фокусы и эксцентриситет. 7.23. Составить уравнение эллипса, если известны его фокусы ( )0;0`1F ,
( )1;12F и большая ось равна 2. 7.24. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) 821 =FF , ма-
лая полуось 3=b ; 2) большая полуось 6=a , эксцентриситет 5,0=ε . 7.25. Составить уравнение гиперболы, если её эксцентриситет равен 2, а
фокусы совпадают с фокусами эллипса 1925
22
=+yx .
7.26. Построить гиперболу 164 22 =− yx и её асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.
7.27. На гиперболе 164 22 =− yx взята точка M с ординатой, равной 1. Най-ти расстояние от неё до фокусов.
7.28. Найти расстояние от фокуса гиперболы 12
2
2
2
=−by
ax до её асимптот и
угол между асимптотами. 7.29. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат
и точку ( )3;4 −M симметрично оси Ох. Найти фокус, уравнение директрисы. По-строить параболу, фокус, директрису и фокальный радиус точки М.
84
Тест «Проверь себя» № 7
1. Вершинами какой геометрической фигуры являются точки ( )0;0A , ( )2;1B , ( )0;2−C , ( )2;4−D ? А) квадрат Б) ромб В) трапеция Г) параллело-
грамм 2. Дан рисунок. Определить координаты точки М в
полярной системе координат.
А) ( )0;1M Б) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2;
4πM В) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 1;
4πM
3. Дано уравнение окружности ϕcos2=r в полярной системе координат. Найти уравнение этой окружности в прямоугольной декартовой системе коор-динат. А) xyx 222 =+ Б) 422 =+ yx В) 222 =+ yx
4. Как правильно вычислить расстояние между точками ( )2;1A и ( )3;3−B ?
А) ( )( ) ( )22 3231 −+−− Б) ( ) ( )22 2313 −+−− В) ( ) ( )22 3321 +−++
5. Какие из представленных уравнений определяют одну и ту же прямую?
А) 22 =+ yx Б) 022 =++ yx В) 022 =−+ yx Г) 112=+
yx
6. Как расположены относительно друг друга прямые 083 =+− yx и 0426 =−− yx ?
А) параллельны Б) перпендикулярны В) пересекаются в одной точке Г) совпадают
7. Найти центр C и диаметр d окружности 046422 =+−++ yxyx . А) ( )3;2C , 9=d Б) ( )3;2−C , 3=d В) ( )3;2C , 3=d Г) ( )3;2−C , 6=d
8. Уравнением какой фигуры является следующее равенство 1863 22 =+ yx ?
А) гипербола Б) парабола В) эллипс Г) окружность 9. Какие из следующих уравнений являются уравнениями гиперболы?
А) 1224 22 =− yx Б) 923 22 =+ yx В) 2045 22 =+ yx Г) 01432 22 =−− yx
10. Уравнение прямой, проходящей через точки А(1,1) и В(3,3), имеет вид… А) 52 += xy Б) 06 =−+ xy В) xy = Г) 092 =−+ yx
85
8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
8.1. Уравнения поверхности и линии в пространстве
Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих ка-кому-нибудь условию.
Поверхность может быть определена как совокуп-ность тех и только тех точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе коорди-нат удовлетворяют уравнению:
0),,( =zyxF . Это уравнение называется уравнением поверхно-
сти с тремя переменными x, y и z, которому удовлетво-ряют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Линия в пространстве, в отличие от рассмотренно-го на плоскости случая, может быть определена и ина-че. Например, линию можно задавать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых за-дана каким-либо уравнением. Пусть 0),,(1 =zyxF и
0),,(2 =zyxF – уравнения поверхностей, пересекаю-щихся по линии L. Тогда уравнения системы:
⎩⎨⎧
==
0),,(0),,(
21
zyxFzyxF
называются уравнениями линии L в пространстве.
Примеры поверхностей в пространстве: 1) 053 =−+ zyx 2) 05 =−+⋅ zyzyx 3) 9222 =++ zyx . Примеры линий в про-странстве:
1) ⎩⎨⎧
==++
09222
zzyx ;
2) ⎩⎨⎧
=+−=+−03128
zyxzyx ;
3) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+
=++
0222
1222
zyx
zyx.
Более подробно линии и поверхности рас-смотрим в последую-щих параграфах.
8.2. Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью в пространстве являет-ся плоскость.
Уравнение плоскости α , проходящей через
данную точку ),,( 000 zyxM , перпендикулярно век-тору ),,( CBAn (рис. 1):
α : 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA .
Рис 1. Плоскость α
Плоскость в простран-стве Охуz можно задать разными способами. Каждому из них соот-ветствует определён-ный вид её уравнения. Уравнение плоскости – это уравнение первой степени относительно текущих координат x, y и z. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку А(– 5; 3; – 1) и перпен-дикулярно вектору
86
Вектор ),,( CBAn называется нормальным векто-ром плоскости (или нормалью).
Общее уравнение плоскости:
0=+++ DCzByAx , где A, B, C, D – произвольные числа, причём один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
Уравнение плоскости β , проходящей через три
данные точки ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM , ),,( 3333 zyxM (рис. 2):
β : 0
131313
121212
111
=−−−−−−−−−
zzyyxxzzyyxx
zzyyxx.
Рис. 2. Плоскость β
Уравнение плоскости в отрезках γ (рис. 3):
γ : 1=++cz
by
ax ,
Рис. 3. Плоскость γ ,
где a, b, c – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат
)4;7;3( −n . По формуле имеем: 3(х – (–5))+(–7)(у–3) + + 4(z – (–1)) = 0; 3x + 15 – 7y +21 + 4z + + 4 = 0. Ответ: 3x –y + 4z + 40 = 0. Определитель третьего порядка, где x, y, z – переменные. После раскрытия определите-ля получим уравнение с этими неизвестными, т. е. уравнение в общем виде:
0=+++ DCzByAx . Приведём уравнение плоскости, заданное в общем виде, к виду уравнения в отрезках: 3x + 5y – 7z –15 = 0. Преобразуем: 3x + 5y – 7z = 15. Разделим на 15 обе части равенства:
1157
155
153
=−+zyx
;
1
71535
=−+zyx
.
Уравнение плоскости в отрезках, где
715
3,5
=
==
c
ba
87
Пример 1. Найти уравнение плоскости А1А2А3, ес-ли А1(1; 0; 3), А2(2; –1; 3), А3(2; 1; 1).
Решение:
=−
−−−
=−−−−−−−−−−
211011
31
310112330112301 zyxzyx
622222)3()2(2)1( =−++−=⋅−+−⋅−⋅−= zyxzyx= 2x + 2y + 2z – 8 = 0; x + y + z – 4 = 0.
Пример 2. Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4; –3; 12) – основание перпендикуляра, опу-щенного из начала координат на эту плоскость.
Решение: Т. к. вектор OP перпендикулярен плоскости, то за
нормальный вектор плоскости можем взять его. Таким образом, A = 4; B = –3; C = 12, Р (x0;y0;z0) и
воспользуемся формулой: 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA ; 0)12(12))3()(3()4(4 =−+−−−+− zyx ;
014412)3(3164 =−++−− zyx ; 01441293164 =−+−−− zyx ;
01691234 =−+− zyx . Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходя-
щей через две точки P (2;0;–1) и Q(1; –1; 3) перпенди-кулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Решение: Вектор нормали к плоскости )1;2;3( −=N паралле-
лен искомой плоскости. Получаем:
0123
41112
0123130121102
=−
−−+−
=−+−−−+−−
zyx
zyx
.0151170111147
0)1(11)2(70)32)(1()121()81)(2(
=+++−=++++−=+++−−
=+−++−−−−
zyxzyx
zyxzyx
Решение 1: т. к. из-вестны три точки плос-кости, то восполь-зуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для вычисления определителя в данном случае применяем раз-ложение по элементам первой строки. Решение 2: начало ко-ординат имеет коорди-наты О(0; 0; 0). Для того чтобы найти ко-ординаты вектора, из координат конца век-тора вычитаем коорди-наты начала. Точка Р принадлежит плоскости, так как она является основанием перпендикуляра. Зная перпендикуляр плоскости и точку, мо-жем воспользоваться уравнением плоскости. Решение 3: т. к. две плоскости перпендику-лярны, то нормальный вектор одной из плос-костей будет паралле-лен другой плоскости. Можете проверить, изобразив данные плоскости и их нор-мальные векторы. Координаты параллель-ного вектора можем взять за одну из строк в определителе при со-ставлении определителя, т. к. это будет строка пропорциональная строке, получающейся
88
Пример 4. Найти уравнение плоскости, проходя-щей через точки А (2, –1, 4) и В (3, 2, –1) перпендику-лярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Решение: Искомое уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости 1n (A, B, C). Вектор AB (1, 3, –5) принадлежит плоскости. Заданная нам плос-кость, перпендикулярная искомой, имеет вектор нормали
2n (1, 1, 2). Т. к. точки А и В принадлежат обеим плоско-стям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
=+−
−−
=−=×=1131
2151
2153
21153121 kji
kjinABn
).2;7;11(2711 −−=−−= kji Таким образом, вектор нормали искомой плоско-
сти 1n (11, –7, –2). Точка А (2, –1, 4) принадлежит иско-мой плоскости, то по формуле имеем:
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0; 11(х – 2) – 7(у + 1) – 2(z – 4) = 0;
11x – 7y – 2z – 21 = 0.
при разности двух то-чек, лежащих на дан-ной плоскости. Решение 4: знаем, что вектор, являющийся векторным произведе-нием двух векторов, по определению, перпен-дикулярен им (см. пункт 6.5 данного по-собия). Поэтому вектор, полу-чающийся при вектор-ном произведении, будет перпендикулярен нашей плоскости
8.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
Пусть заданы две плоскости: 01111 =+++ DzCyBxA , 02222 =+++ DzCyBxA .
Угол ϕ между плоскостями определяется по формуле (второй угол равен ϕϕ −°=1801 ):
21
21cosnnnn⋅⋅
=ϕ ,
где ),,( 1111 CBAn , ),,( 2222 CBAn – соответствующие нормальные векторы плоскостей, или, что то же самое:
22
22
22
21
21
21
212121cosCBACBA
CCBBAA
++⋅++
⋅+⋅+⋅=ϕ .
В пространстве две плоскости могут пере-секаться, быть парал-лельными или совпадать. Как можно заметить, формула нахождения угла между плоскостя-ми – это есть формула нахождения угла меж-
89
Рис. 4. Угол между плоскостями
Условие параллельности плоскостей:
01111 =+++ DzCyBxA , 02222 =+++ DzCyBxA :
21 // nn или 2
1
2
1
2
1CC
BB
AA
== .
Условие перпендикулярности плоскостей:
21 nn ⊥ или 021 =⋅ nn , 0212121 =⋅+⋅+⋅ CCBBAA .
Расстояние d от произвольной точки
( )0000 ,, zyxM до плоскости α : 0=+++ DCzByAx равно:
222000
CBA
DCzByAxd
++
+++= .
Рис. 5. Расстояние от т. М0 до плоскости α
ду двумя векторами (см. пункт 6.4 данного пособия). Условия параллельно-сти и перпендикуляр-ности плоскостей вытекает также из ус-ловий параллельности и перпендикулярности векторов. Расстояние от точки до плоскости – это крат-чайший отрезок, со-единяющий точку и плоскость, т. е. это пер-пендикуляр, опущен-ный из точки на данную плоскость
8.4. Уравнения прямой в пространстве
Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку ),,( 000 zyxM , по направлению век-тора ),,( pnms (или параллельно данному вектору):
pzz
nyy
mxx 000 −
=−
=− .
Например, уравнение прямой имеет вид:
53
25
1 −
+=
−=
zyx, где
вектор )5;2;1( −s – на-
90
Вектор ),,( pnms называется направляющим век-тором прямой.
Рис. 6. Прямая в пространстве
Параметрические уравнения прямой:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+=+=
.,,
000
tpzxtnyxtmxx
где t – любое действительное число. Уравнение прямой, проходящей через две точ-
ки ),,( 111 zyxM , ),,( 222 zyxM :
12
1
12
1
12
1zzzz
yyyy
xxxx
−−
=−−
=−− .
Общие уравнения прямой:
⎩⎨⎧
=+++=+++
,0,0
22221111DzCyBxA
DzCyBxA –
прямая задаётся как линия пересечения двух непарал-лельных плоскостей, за направляющий вектор можно принять векторное произведение нормалей данных плоскостей:
222
11121
CBACBAkji
nnS =×= .
Пример 1. Привести к каноническому виду урав-
нение прямой, заданное в виде: ⎩⎨⎧
=−+=−−+
0173071632
zyxzyx .
правляющий вектор, а точка M (0; 5; –3) при-надлежит прямой. Одну и ту же прямую заданную в одном виде не сложно записать в другом виде. Напри-мер, записать уравне-ние прямой в параметрическом виде, если она задана в кано-ническом виде:
7
8
35
3
−
−=
−=
− zyx.
Для того чтобы полу-чить параметрическое уравнение прямой, приравняем эти равен-ства к параметру t и рассмотрим три равен-ства отдельно:
tzyx
=−
−=
−=
−
7
8
35
3;
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
−
=−
=−
tz
ty
tx
78
3
53
Откуда, выражая х, у, z, получим:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
−=
+=
87
3
35
tz
ty
tx
– параметрическое уравнение прямой. Решение 1: прямая за-дана как пересечение двух плоскостей, для нахождения произволь-ной точки прямой, яв-ляющейся линией пересечения указанных выше плоскостей.
91
Решение: Примем z = 0. Тогда система примет вид:
xyzyxzyx 3;0173
071632 −=⎩⎨⎧
=−+=−−+ ;
2x – 9x – 7 = 0; x = –1; y = 3. Получаем: A (–1; 3; 0).
kjikji
nnS 714351713163221 −−−=
−−=×= .
Итого: ;12
35
1;714
335
1 zyxzyx=
−=
+−
=−−
=−+
Направляющий вектор прямой найдём как векторное произведе-ние нормалей данных плоскостей. Используя формулу канонических уравне-ний прямой, запишем прямую
8.5. Взаимное расположение двух прямых
Пусть заданы две прямые:
1
1
1
1
1
1p
zzn
yym
xx −=
−=
− и 2
2
2
2
2
2p
zzn
yym
xx −=
−=
− .
Угол ϕ между прямыми определяется по форму-
ле 21
21cosssss⋅⋅
=ϕ ,
где ),,( 1111 pnms , ),,( 2222 pnms – соответствующие на-правляющие векторы, или, что то же самое:
22
22
22
21
21
21
212121cospnmpnm
ppnnmm
++⋅++
⋅+⋅+⋅=ϕ .
Условие параллельности прямых:
21 // ss или 2
1
2
1
2
1pp
nn
mm
== .
Условие перпендикулярности прямых:
21 ss ⊥ или 021 =⋅ ss , 0212121 =⋅+⋅+⋅ ppnnmm .
Условие, при котором прямые лежат в одной
плоскости:
0
222
111
121212
=−−−
pnmpnm
zzyyxx
Две прямые в про-странстве могут быть параллельны, пересе-каться или совпадать. Как известно, при пе-ресечении прямые об-разуют два смежных угла. Второй угол можно найти по свой-ствам смежных углов как (180° – φ). Данные условия полу-чаются из свойств век-торов (параллельность – см. пункт 6.3 данного пособия, перпендику-лярность – см. пункт 6.5 данного пособия)
92
8.6. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение
Угол между прямой p
zzn
yym
xx 000 −=
−=
− и
плоскостью 0=+++ DCzByAx определяется по формуле:
nsns⋅⋅
=ϕsin ,
где ),,( CBAn – нормаль плоскости, ),,( pnms – направ-ляющий вектор прямой, тогда:
222222sin
pnmCBA
pCnBmA
++⋅++
⋅+⋅+⋅=ϕ .
Рис. 7. Угол между прямой и плоскостью
Условие параллельности прямой и плоскости:
sn ⊥ или 0=⋅ sn , 0=⋅+⋅+⋅ pCnBmA .
Условие перпендикулярности прямой и плос-
кости:
sn // или pC
nB
mA
== .
Условие принадлежности прямой плоскости:
⎩⎨⎧
=+++=++
.0,0
000 DzCyBxApCnBmA
Возможны 3 варианта взаимного расположе-ния прямой и плоско-сти в пространстве: прямая и плоскость в пространстве могут пе-ресекаться, могут быть параллельны, а так же прямая может лежать на плоскости. Характеризующим для плоскости является его нормальный вектор, а для прямой – направ-ляющий вектор
8.7. Поверхности второго порядка Цилиндрические поверхности Цилиндрическими поверхностями называются
поверхности, образованные линиями (направляющи-ми), параллельными какой-либо фиксированной пря-мой (образующей).
Поверхности второго порядка – это поверх-ности, уравнения кото-рых в прямоугольной системе координат яв-ляются уравнениями
93
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых от-сутствует составляющая z, т. е. направляющие парал-лельны оси Oz . Тип линии на плоскости xOy (направляющая поверхности) определяет характер ци-линдрической поверхности. Рассмотрим некоторые ча-стные случаи в зависимости от уравнения направляющих:
12
2
2
2=+
by
ax – эллиптический цилиндр.
Рис. 8. Эллиптический цилиндр
12
2
2
2=−
by
ax – гиперболический цилиндр.
Рис. 9. Гиперболический цилиндр
второго порядка. Так, уравнение вида F (x, y) = 0 в простран-стве определяет ци-линдрическую поверхность, у которой образующие парал-лельны оси Оz. Анало-гично уравнение вида F (x, z) = 0 в простран-стве определяет ци-линдрическую поверхность с обра-зующими, параллель-ными оси Oy, и F (y, z) = 0 – цилиндри-ческую поверхность, с образующими, парал-лельными оси Ox. На плоскости хОу уравнение 12
2
2
2=+
by
ax
определяет эллипс. Се-чение плоскостью, па-раллельной хОу, – эллипс 12
2
2
2=+
by
ax .
Сечение плоскостью,параллельной yOz,xOz, – две параллельныепрямые. На плоскости хОу уравнение 12
2
2
2=−
by
ax
определяет гиперболу. Сечение плоскостью параллельной хОу – гипербола 12
2
2
2=−
by
ax .
Сечение плоскостью,параллельной yOz, xOz, –две параллельные пря-мые. На плоскости хОу уравнение pyx 22 = оп-ределяет параболу.
94
pyx 22 = – параболический цилиндр.
Рис. 10. Параболический цилиндр
Поверхности вращения. Конические поверхности Поверхность, описываемая некоторой линией,
вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называ-ется поверхностью вращения с осью вращения d.
Если уравнение поверхности в прямоугольной си-стеме координат имеет вид: ( ) 0,22 =+ zyxF , то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Oz . Аналогично: ( ) 0,22 =+ yzxF – уравнение по-верхности вращения с осью вращения Oy ,
( ) 0, 22 =+ zyxF – уравнение поверхности вращения с осью вращения Ox .
Некоторые типы поверхностей второго порядка: Сфера: 2222 )()()( rczbyax =−+−+− .
Рис. 11. Сфера
Сечение плоскостью, параллельной хОу, – парабола pyx 22 = . Сфера имеет центр в точке с координатами (a, b, c) и радиус, рав-ный r. Во всех сечениях, па-раллельных коорди-натным плоскостям, будут получаться ок-ружности.
95
Эллипсоид: 12
2
2
2
2
2=++
cz
by
ax .
Рис. 12. Эллипсоид
Однополостный гиперболоид: 12
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax .
Рис. 13. Однополосный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид: 12
2
2
2
2
2−=−+
cz
by
ax .
Рис. 14. Двуполостный гиперболоид
Данный эллипсоид име-ет центр в начале коор-динат в точке (0, 0, 0). Числа a, b, c называют-ся полуосями эллип-соида, это отрезки, которые отсекает эл-липсоид от осей коор-динат. Во всех сечениях, па-раллельных координат-ным плоскостям, будут получаться эллипсы. Однополосный гипербо-лоид, имеющий центр в начале координат. В сечениях, параллель-ных плоскости хОу, – эллипсы. В сечениях, параллель-ных плоскости хОz, yOz – гиперболы. Данный двуполостныйгиперболоид имеет центрв начале координат. В сечениях, параллель-ных плоскости хОу, либо нет точек, либо одна точка (в верши-нах), либо окружности. В сечениях, параллель-ных плоскости хОz, yOz – гиперболы.
96
Эллиптический параболоид:
0,0,222
>>=+ qpгдеzqy
px .
Рис. 15. Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид: zqy
px 2
22=− .
Рис. 16. Гиперболический параболоид
Конической поверхностью называется поверх-
ность, описываемая прямой, проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную ли-нию (направляющую конуса).
Каноническое уравнение конуса: 02
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax .
Рис. 17. Конус
Данный эллиптическийпараболоид имеет верши-ну в начале координат. В сечениях, параллель-ных плоскости хОу, либо нет точек (при z меньших ноля), либо одна точка (в верши-не), либо эллипсы (при z больших ноля). В сечениях, параллель-ных плоскости хОz, yOz – также параболы. Данный гиперболиче-ский параболоид имеет вершину в начале ко-ординат. В сечениях, параллель-ных плоскости хОу, – гиперболы. В сечениях, параллель-ных плоскости хОz, yOz – параболы. Данный конус имеет вершину в начале ко-ординат. В сечениях, параллель-ных плоскости хОу, – окружности либо одна точка (в вершине). В сечениях, параллель-ных плоскости хОz, yOz – две пересекаю-щиеся прямые.
97
Пример 1: Привести уравнение поверхности к ка-
ноническому виду. Определить вид поверхности и по-строить её:
0449 222 =+++− xzyx Решение: Сгруппируем и выделим полный квадрат: ( ) 0494 222 =++−+ zyxx ; ( ) 0492222 22222 =++−−+⋅⋅+ zyxx ; ( ) 0494222 2222 =++−−+⋅⋅+ zyxx ; ( ) 092 222 =+−+ zyx ; ( ) 0
199)2( 222
=+−−− zyx
Получили уравнение конуса второго порядка с
центром в точке )0;0;2(−A , образующая конуса парал-лельна оси ОУ.
Определить вид поверхности можно, рассмотрев
основные сечения поверхности. Данный метод называ-ется методом главных сечений
Решение 1: уравнение задано не в канониче-ском виде, необходимо провести некоторые преобразования над ним и получить урав-нение какой-нибудь поверхности второго порядка (т. к. перемен-ные во второй степени, то поверхность будет поверхностью второго порядка). Зная, что квадрат сум-мы двух выражений можно найти по фор-муле:
2222)( bababa ++=+ , приведём наше выра-жение к такому виду. Сравнив полученное уравнение с известны-ми поверхностями в каноническом виде, заметили, что данное уравнение является уравнением конуса. Подробнее метод сече-ний см. учебник Пись-менный Д. Т. Конспект лекций по высшей ма-тематике: полный курс / Д. Т. Письменный. – 4-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2009.
Тренировочные упражнения
8.1. Построить плоскости: 1) x + 3y + 9z – 9 = 0, 2) 2x + 3y + 6z + 12 = 0, 3) 3x + 2z = 6, 4) x – 2y = 6, 5) 2z – 6 = 0, 6) 2x – 5 = 0. 8.2. Даны точки 1M и 2M . Написать уравнение плоскости, проходящей через
2M и перпендикулярной к 21MM . 1) 1M (3, 0, 5) и 2M (–2, 5, –5); 2) 1M (–7, 5, 5) и 2M (1, 9, –4).
98
8.3. Найти угол между плоскостями. 1) 095 =−+− zyx и 065 =−+− zyx ; 2) 0922 =−−+ zyx и 050 =−+ yx ; 3) 0922 =−− zx и 050 =−x ; 4) 0972 =−+−− zyx и 0422 =−− yx . 8.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки. 1) ),,(A 321− , ),,(B 320 − , ),,(C 722 −− ; 2) );;(M 11031 − , );;(M 5322 −− ; );;(M 3063 −− . 8.5. Найти плоскость, проходящую через точку А и параллельную плоскости α. 1) А(–1, 2, 3), α: 0332 =−−+ zyx ; 2) А(5, –7, 9), α: 05 =+−− zyx . 8.6. Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3. 1) M0 (2,–2,1), )1;10;3(1M , )5;3;2(2 −−M , )3;0;6(3 −−M ; 2) )10;7;6(0 −−M , )1;10;3(1 −M , )5;3;2(2 −−M ; )3;0;6(3 −−M . 8.7. Найти расстояние между параллельными плоскостями. 1) 095 =−+− zyx и 05 =−+− zyx ; 2) 09532 =−−+ zyx и 051064 =+−+ zyx . 8.8. Найти точку пересечения трёх плоскостей. 1) 2x – 3y + z – 9 = 0, x + 5y – 4z +5 = 0, 4x + y – 3z + 4 = 0; 2) 2x – 4y + 3z – 1 = 0, x – 2y + 4z – 3 = 0, 3x – y + 5z – 2 = 0. 8.9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной вектору. 1) А(–2,1,–1) и параллельной вектору kjis 32 +−= ;
2) А(3;–8,–3) и параллельной вектору kjis 315233 ++= . 8.10. Написать уравнение прямой через точки M1 и M2. Построить эту прямую. 1) M1 (1,–2,1) и M2 (3,1,–1); 2) M1 (2,3,5) и M2 (5,–2,–1). 8.11. Найти угол между прямыми.
1) 21
12
2 zyx=
−−
=+ и
341
52
−=
−=
+ zyx ;
2) 1
32
11
1 −=
+=
+ zyx и 21
13
37
−+
=−
=− zyx .
99
8.12. Написать каноническое уравнение прямой.
1) ⎩⎨⎧
=−+−=−−−
09304232
zyxzyx
; 2) ⎩⎨⎧
=−−+=−+−
019456012356
zyxzyx
.
8.13. Найти угол между прямой и плоскостью. 1)
13
21
11 −
=+
=+ zyx и 042 =−++ zyx ;
2) 12
558
81 +
=−−
=− zyx и 01832 =+−− zyx .
8.14. Найти точку пересечения прямой и плоскости. 1)
125
58
81 +
=−−
=− zyx , 01832 =+−− zyx ;
2) 1 3 1, 2 5 20 0.3 4 5
x y z x y z+ − += = + − + =
−
8.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендику-
лярной прямой.
1) М(1,2,0) и 1
11
11
2 −=
−=
− zyx ;
2) М(–5,7,5) и 62
11
1 zyx=
+=
− .
8.16. Привести к каноническому виду уравнение. Построить поверхности.
1) 16)2()2( 222 =+−++ zyx ;
2) 2264222 =++−++ zyxzyx ;
3) 2222 =+− zyx ;
4) 0222 =++− zyx .
Тест «Проверь себя» № 8
1. Если плоскость Ax + By + 5z – 9 = 0 проходит через точку T(2, –2, 3), то раз-ность A – B коэффициентов равна:
1) 3 2) 0 3) –3 4) –2
2. Нормальный вектор плоскости x – 4y – 8z – 3 = 0 имеет координаты:
1) (1; – 4; 8) 2) (1; – 4; – 8) 3) (– 4; – 8; – 3) 4) (1; – 4; – 3)
100
3. Если направляющие векторы двух прямых в пространстве ….., то эти прямые ….. (заполните пропуски):
1) взаимно перпендикулярны; параллельны
2) взаимно перпендикулярны; взаимно перпендикулярны
3) параллельны; взаимно перпенди-кулярны
4) параллельны; параллельны
4. Если О (–1, –5, 3) – центр сферы, то её уравнение может иметь вид:
1) 25)3()5()1( 222 =−+−++ zyx 2) 4)3()5()1( 222 =−++++ zyx 3) 25)3()5()1( 222 =−+−+− zyx 4) 4)3()5()1( 222 =+++++ zyx
5. Среди прямых 510
103
55:1 −
−=
+=
− zyxl , 12
23
12:2 −
+=
−=
− zyxl ,
12
23
12:3 −
+=
−−
=−− zyxl ,
22
45
212:3
+=
+=
+ zyxl параллельными являются:
1) 1l и 3l 2) 3l и 4l 3) 2l и 3l 4) 1l и 2l
6. Каноническими уравнениями прямой, проходящей через точку )3,1,2(−M па-раллельно вектору )5,2,1( −−a , являются:
7. Уравнением плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор )0,3,5(n , является:
8. Точка )1,1,2( −−M служит основанием перпендикуляра, опущенного из нача-ла координат на плоскость. Уравнение этой плоскости:
9. Если прямая 15
35
12−−
=−
=+ zyxα
параллельна плоскости 2x + y – 3z – 6 = 0, то
выполняется условие:
1) 53
21
12:1 −
+=
+=
−− zyxl 2) 3
51
221:1
+=
−=
−+ zyxl
3) 53
21
12:1 −
−=
−=
−+ zyxl 4)
35
12
21:1
−=
+=
−− zyxl
1) 5x + 3z = 0 2) 5x + 3z + 1 = 0 3) 3x + 2y – 5z = 10 4) 3x + y + 5z = 0
1) –2x + y – z = – 6 2) –x + 2y – z = –6 3) –2x – y – z = 6 4) –x + 2y – z = 0
101
10. Указать уравнение эллипсоида:
1) 10=α 2) 2−=α 3) 10−=α 4) 2=α
1) 02
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax 2) 12
2
2
2
2
2=++
cz
by
ax
3) 12
2
2
2
2
2−=−+
cz
by
ax 4) 12
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax
102
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ
1. Комплексные числа
1.1. 1) i92 − ; 2) i211− ; 3) i312+ ; 4) i5.178.18 − ; 5) i98105−− ;
6) i3627 −− ; 7) i4952 −− ; 8) i378
3711
−− ; 9) i252
2539
+− ; 10) i58
54+− ;
11) i3240− ; 12) i197 + ; 13) i22+ .
1.2 1) i6± ; 2) i23
21±− ; 3) i±− 2 ; 4) i±1 ; 5) i31;2 ±− ; 6) ii ±±− 1,1 .
Указание: дополнить левую часть до полного квадрата 0444 224 =−++ xxx , 0)2()2( 222 =−+ xx , использовать разность квадратов.
1.3. 1) ( )0 0 04 cos0 sin 0 ;4 ii e ⋅+ ⋅ ; 2) i
ei⋅
⋅+⋅ 23
2);2
3sin2
3(cos2π
ππ ;
3) i
ei⋅
⋅+⋅ 35
2);3
5sin3
5(cos2π
ππ ; 4) i
ei⋅
⋅+⋅ 43
22);4
3sin4
3(cos22π
ππ ;
5) i
ei⋅
⋅+⋅ 332);3
sin3
(cos32π
ππ .
1.4. 1) iarctgiarctg 11.31241)2
110sin2
110(cos243 −≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅ ;
2) i128128+− ; 3) ii =⋅+2
sin2
cos ππ ; 4) 1sincos −=⋅+ ππ i ; 5) i21
23+− ;
6) iii21
23,
21
23, −−− ; 7) ii
23
21;
23
21;1 −±+±± ; 8) ii
22
22;
22
22
−−+ ;
9) ; 10) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+
1219sin
1219cos12;
127sin
127cos12 44 ππππ ii .
1.5. 1) ii2
12
1;2
12
1−−+ ;
2) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+
67sin
67cos2;
1211sin
1211cos2;
4sin
4cos2 666 ππππππ iii ;
3) ii2
12
1;2
12
1−±+± .
1.6. 1) 2,2 =−= yx ; 2) 115,
114
=−= yx ; 3) 2,11 −== yx ; 4) 43,
611
−=−= yx .
103
1.7. 1) Внутренность круга радиусом r = 4 с центром в точке –z1; 2) коль-цо между окружностями с центром в точке z = i, радиусы которых r1 = 2, r2 = 5; 3) внутренность круга радиусом r = 3 и выколотым центром в точке z = –i; 4) горизонтальная полоса, заключённая между прямыми y = 0, y = –2; 5) полу-плоскость, лежащая левее прямой x = 5; 6) если a = 0, то x > 0 – правая полу-плоскость без границы; если a > 0 или a < 0, то получаем точки, лежащие
соответственно внутри или вне окружности 2
22
41
21
ay
ax =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − ; 7) точка z = ai.
1.8. Представить Rbbiz
iz∈=
+− ,
1, преобразовать и найти z, показать что
1=z .
1.9. i+43 .
Тест «Проверь себя» № 1
1. 1) б, 2) в, 3) д, 4) а. 2. б. 3. б, в.
4. б. 5. г. 6. 1) а, 2) д, 3) в, 4) б.
7. в. 8. г. 9. б, в. 10. б, г, е.
2. Матрицы и действия над ними
2.1. 8, 3, –2, 1; 2.2. –1; 2.3. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −0432 ; 2.4.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
542431210
; 2.5. ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
357112140231
.
2.6. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−4394 ; 2.7.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−
421782333
; 2.8. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
610028913
D , 821 =d , 023 =d ,
031 =d , 311 =d ; 2.9. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
551111931
; 2.10. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 133302
.
104
2.11. BA ⋅ не существует, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⋅
2195793
AB ; 2.12. ( )15=⋅ BA ,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−
=⋅
282016875422115126
141084
AB ; 2.13. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1287
; 2.14. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛86783947 ; 2.15.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
8203415361001
;
2.16. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
281924153619221528
; 2.17. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2032
X , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
=1021
Y .
Тест «Проверь себя» № 2
1. А, В. 2. В. 3. Б.
4. В. 5. Б. 6. В.
7. В.
8. Г.
9. А.
10. Б.
3. Определители
3.1. –5; 3.2. 1; 3.3. 35; 3.4. –3; 3.5. ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ −∞−∈
536;x . 3.6. –6; 3.7. 211 −=A ,
612 −=A , 321 −=A , 122 =A ; 3.8. 30; 3.9. –42; 3.10. –26; 3.11. 3.
Тест «Проверь себя» № 3 1. Б 2. Г 3. Б
4. Б 5. В 6. А
7. Б 8. Г 9. Б 10. Г
4. Обратная матрица. Ранг матриц.
4.1. ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
52
51
53
51
; 4.2. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −80238 ; 4.3.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−⋅−2311173
0152
171 ; 4.4. не существует.
4.5.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
2102211111012212
4.6. 1; 4.7. 2; 4.8. 2; 4.9. 3; 4.10. 2.
105
Тест «Проверь себя» № 4 1. Б, В 2. В 3. Г
4. Б, В 5. В 6. А
7. А 8. В 9. А 10. В
5. Системы линейных уравнений
5.1. 1) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
1316;
1317 ; 2) (2;–3); 3) (–4;–2;2); 4) (–1;–1;–1); 5) (1;0;–5).
5.2. 1) (2;3); 2) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
58;
52 ; 3) (3;–2;1); 4) (3;7;–9); 5) нет решений; 6) (1;–1;2);
7) (–19; 26;11;–5); 8) а) а ≠ –3; б) а=3, b≠31 ; в) а=3, b=
31 .
5.3. 1) (1;–3;–1); 2) (1;5; –1); 3) (14с; 21с; с; с), Rc∈ ; 4) Rcccc∈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− ,;
4;
2;
5) Rccссс ∈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+ ,;
516
511;
51
54;22 ; 6) (–1;1;3); 7) нет решений; 8) нет решений.
Тест «Проверь себя» № 5 1. а. 2. а. 3. г. 4. б.
5. г. 6. б. 7. б. 8. а.
9. в. 10. б.
6. Векторная алгебра
6.1. 1) (3;2;–1); 2) (–1;2;2). 6.2. 1) 10542 ; 2) 621 .
6.3. 1) 9, 16, 13, 37, –61; 2) 4, 25, 31029 + , 31029 − , 88320 − . 6.4. 1) 22, 36, 49, 129, 41, –200; 2) 0, 9, 65, 74, –372. 6.5. 90°.
6.6. 4
3π .
6.7. 1) α= –3, β = 3; 2) α= –3, β = 1. 6.8. 1) α= –6; 2) α=5.
6.9. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
21;
21;1b .
106
6.10. kjix 232 −+= .
6.11. 1) 12, 24, 60; 2) 35 , 310 , 325 . 6.12. 1) (5;1;7), (10;2;14), (20,4,28); 2) (–11;–14;16), (–22;–28;32),
(–44;–56;64). 6.13. 16. 6.14. 1) 6; 2)
2832 .
6.15. 1) 52 ; 2) 2613 .
6.16. 1) 24; 2) 6
173 .
6.17. 1) 2, 3
2 ; 2) 21 ,
7723 .
6.18. 1) да; 2) нет. 6.19. 1) да; 2) нет. 6.20. (0;8;0), (0;–7;0). 6.21. 1) а) 261, б) 19166 , в) 40, г) нет, д) нет; 2) а) 126, б)
7830 , в) 16,
г) ортогональны a и c , д) нет. Тест «Проверь себя» № 6
1. б. 2. а. 3. в. 4. а. 5. г.
6. а. 7. а. 8. а. 9. б, в, г. 10. а.
11. в. 12. а. 13. а. 14. в. 15. г.
7. Аналитическая геометрия на плоскости
7.9. 04 =−+ yx .
7.10. указание: использовать условие перпендикулярности двух прямых.
7.11. 03423 =−+ yx .
7.12. а) 0114 =−+ yx , б) 012 =+− yx .
7.13. а) 013 =−− yx , б) 022 =−+ yx .
7.14. а) 4πα −= .
107
7.15. 296
.
7.16. а) 3+= xy , б) 4+−= xy .
7.17. ни при каком.
7.19. ( ) ( ) 5012 22 =−+− yx , 210=d .
7.20. касаются в точке ( )3;3 .
7.21. ( )1;2 − , 7=R .
7.22. ( )0;321 −F , ( )0;322F .
7.23. 15,0
22 =+
yx .
7.24. 1) 1925
22
=+yx
, 2) 12536
22
=+yx
.
7.25. 1124
22
=−yx
.
7.25. 91 =MF , 12 =MF .
7.26. b , 22
2ba
batg−
=α .
7.27. xy492 = .
Тест «Проверь себя» № 7 1. В 2. Б 3. А 4. Б 5. А, В, Г
6. А 7. Г 8. В 9. А, Г 10. В
108
8. Аналитическая геометрия в пространстве 8.2. 1)
x – y + 2z + 17 = 0; 2). 8x +4y – 9z – 16 = 0.
8.3. 1)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
186332arccos ; 2)
4π , 3)
4π , 4)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
361arccos .
8.4. 1) 12x – y +2z + 8 = 0; 2) 2x – 2y + z + 15 = 0. 8.5. 1) 2x + 3y – z – 1 = 0; 2) x – y – z –3 = 0.
8.6. 1) 299
376 ; 2) 93193 .
8.7. 1) 3
3 ; 2) 15223 .
8.8. 1) (5;6;10); 2) (–1;0;1).
8.9. 1) 3
121
12 +
=−−
=+ zyx ; 2)
313
528
333 +
=+
=− zyx
8.10. 1) 2
13
22
1−−
=+
=− zyx ; 2)
65
53
32
−−
=−−
=− zyx .
8.11. 1) 2π ; 2)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2123arccos .
8.12. 1) 32
42
91
−−
=+
=−− zyx ; 2)
6031
4221
5+
=+
=zyx .
8.13. 1) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
65arcsin ; 2) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
326218arcsin .
8.14. 1) (9;3;7); 2) (2;1;4). 8.15. 1)
x + y + z – 4= 0; 2) x + 2y + 6z – 39 =0.
Тест «Проверь себя» № 8
1. в. 2. б. 3. б, г. 4. б.
5. б, г. 6. в. 7. а. 8. а.
9. а. 10. б.
109
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – Том I, II / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высшая школа, 2007.
2. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые рас-чёты) / Л. А. Кузнецов. – СПб. : «Лань», 2005.
3. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т. 1, 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2006.
4. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. I, II / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2002.
5. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минор-ский. 2008.
6. Шипачёв, В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. – М. : Высшая школа, 2006.
Учебное издание
Сотникова Ольга Александровна Миронова Марина Геннадьевна Хозяинова Мария Семёновна
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I КУРСА
ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ
Учебное пособие
Редактор К. В. Коптяева Технический редактор Л. П. Коровкина
План 2012 г., позиция 5. Подписано в печать 30.08.2013 г. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 6,4. Уч.- изд. л. 5,8. Тираж 150 экз. Заказ № 277.
Ухтинский государственный технический университет. 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.
Типография УГТУ. 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.
