а

ах

х

0 0

або

0х – координатна числова вісь

0а – параметрична вісь(х0а) або (а0х) – КП площина

КП – метод заснований на знаходженні множини всіх точок КП – площини, де значення координат Х і

параметра а задовольняють заданій в умовах завдання співвідношенню

F(х;а)=0

При запису відповіді поставимо у відповідність кожному допустимому фіксованому значенню параметра а

значення шуканої величини Х – координати відповідних точок

знайденої множини.

• Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами розв’язують як звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв’язування, можна виконати однозначно.

• Буває зручно супроводжувати відповідні міркування схемами.

• Зазначимо, що рівняння та нерівності з параметрами найчастіше розв’язують за допомогою їх рівносильних перетворень, хоча інколи використовують: властивості функцій, метод інтервалів (для розв ’язування нерівностей) ,рівняння – наслідки, рівносильні перетворення.

Орієнтиром при розв’язуванні завдань з параметрами є:

Розв’яжіть рівняння

На першому кроці розбиваємо розв’язання на 2 випадки:

1) a< 0 - коренів немає,2) a≥ 0 – корені є;

a2 -x Приклад №1

a2 -x

a< 0

a≥ 0

Коренів немає

22 ax

22 axПри a≥ 0 маємо найпростіше ірраціональне рівняння, обидві частини якого невід’ємні.

Розв’язання 1) При a< 0 - рівняння не має коренів; 2) При a≥ 0, . Тоді .22 ax 22 ax

Відповідь: 1) якщо a< 0 , то коренів немає; 2) якщо a≥ 0, то .22 ax

Комментар

Розв`яжіть рівняння Для всіх коренів даного рівняння х≥0. (1)Тоді задане рівняння рівносильне рівнянням: (2)

(3)Для всіх коренів рівняння (4)

Тоді рівняння (3) рівносильне рівнянням: (5) (6)

Розглянемо рівняння (6) як квадратне відносно а:

D=

Тоді а=

Отже, а= або а=

Звідси (7)

Або (8)

Ураховуючи умови (1) і (4), одержимо, що ,Отже, рівняння (7) не має коренів.

Приклад №2 õõàà

2xxaa axxa 2

02 ax

224 2 aaxxxa

0)12( 422 xxaxa22422 )12(144)(4)12( xxxxxx

2

)12()12( 2 xx

12 xx xx 2

012 xax

xax 2

22 )( axxa

11)( 2 xax

Комментар

ОДЗ данного рівняння є

ОДЗ буде враховано при переході до рівнянь (2) та (5). Для (2),(3),(5),(6) повністю аналогічне міркування до прикладу (2)Аналізуючи рівняння (6), користуємося орієнтиром, а саме: спробуйте розглянути задане рівняння як квадратне відносно якоїсь змінної(чи функції). У даному випадку розглянемо це рівняння як квадратне відносно параметра a.* Цей спосіб ефективний тільки тоді, коли дискримінант одержаного квадратного тричлена є повним квадратом, як у розглянутого випадку.

Розв`язок

0 xaa0 xa

Якщо для коренів рівняння (8) виконується умова (1) (х≥ 0), то автоматично виконується й умова (4) ( ).

Із рівняння (8) одержимо:

Це рівняння має корені, якщо

D=1+4а ≥0, тобто при а ≥-

Тоді ,

Для умова х ≥0, виконується,

Отже, - корінь заданого рівняння

при а ≥-

Урахуємо умову х ≥ 0 для :

≥ 0, , ,

.

Відповідь:1) При

2) При a>0 х= ;

3)При а<- коренів немає.

04

1 à

2

4111

ax

2

4112

ax

2

411 a

4

1

КомментарПеред записом відповіді зручно зобразити на рисунку всі одержані розв`язки і напроти кожного розв`зку відмітити, при яких значеннях параметра цей розв`язок можна використати.

2

4111

ax

2

4112

ax

а0- 4

1

Із цього рисунку видно, що при а>0 у відповідь потрібно записати тільки одну формулу( ), при

дві формули ( і ), а при a<- коренів немає.

02 ax

02 axx

4

1

2

4111

ax

2

4112

ax

1x1x

4

1

2x

2

411 a 141 a 1410 a

04

1 à

1x 04

1 à

2õ1x 4

1

Розв`яжіть нерівність

• Із теорії відомо:• або

• Якщо в одержані системи параметр а входить лінійно, то в таких випадках іноді буває зручно виразити параметр через змінну, розглянути параметр як функцію від цієї змінної і використати графічну ілюстрацію розв`язування нерівностей (у системі координат хОа) для зображення розв`язків сукупності нерівностей зручно використовувати дві системи координат, у яких осі Ох розташовані на одній прямій,

• І на кожній виділять штриховкою відповідні розв`язки.При різних значеннях а пряма а=const або не перетинає заштриховані області (при а ), або перетинає їх по відрізках. Абсциси точок перетину є розв`язками систем (1)і (2), а отже, і розв`язками заданої нерівності.

Приклад №3 1 xax

0)( xg)()(2 xgxfk )()( 2 xgxf k

0)( xf

0)( xg

4

3

Розв`язання

Задана нерівність рівносильна сукупності систем:

або

Тоді (1)

Або (2)

Зобразимо графічно розв`язки систем нерівностей(1) і (2) у системі координат хОа(на малюнку відмічено області 1 і 2).

X=

-1

a

x

X=

-1

4

3a

4

31 a

1à

2

1

4

3

-1

-1

0

1

a

x

1à

4

31 a

4

3a

a=x

4

3

-1

0

2

01 x2)1( xax

0 ax

01 x

1x12 xxa

xa 1x

За малюнками ми бачимо, що при а розв`язків немає(немає зафарбованих точок); якщо , то пряма а=const перетинає тільки заштриховану область 1 Причому одержаний інтервал обмежений зліва і справа вітками параболи а= . Але для відповіді нам потрібно записати х через а. Для цього з рівняння

знаходимо х:

Як бачимо, ,тобто - рівняння правої вітки

параболи, а - лівої.

Тоді відповідь у цьому випадку буде такою :

Якщо a<-1, то пряма а=const перетинає заштриховані області 1 і 2. Для області 1 інтервал для х зліва обмежений прямою х=-1, а справа -

правою віткою параболи , тобто .

4

3

4

31 a

12 xx

012 àxx

14

1

2

1 ax

2

1

4

3

2

1 ax

2

1

4

3

2

1 ax

2

1

4

3

2

1 ax

axa 4

3

2

1

4

3

2

1

ax 4

3

2

11

Для області 2 інтервал для х обмежений зліва прямою х=а, а справа – прямою х=-1, тобто Об`єднання цих інтервалів можна коротше записати так :

Відповідь:1) При - розв`язків немає;

2) При - ;

3) При а<-1 . Для розв`язування деяких дослідницьких завдань з

параметрами можна використати властивості квадратного тричлена і, зокрема, умови розміщення коренів квадратного тричлена відносно заданих чисел.

1xa

axa 4

3

2

1

4

3a

4

31 a axa

4

3

2

1

4

3

2

1

axa 4

3

2

1