ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

บทท 9 โมเมนตมและการชน

( momentum and collisions)

โมเมนตม

โมเมนตม หมายถงผลคณระหวางมวลกบความเรว

หรอ m=P v (9.1)

เมอ P คอโมเมนตม มหนวยเปนกโลกรม เมตร/วนาท m คอ มวล v คอ ความเรว

รป 9.1 โมเมนตมมคาขนอยกบมวลและความเรว

โมเมนตมและการชน - 2

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ความรนแรงของการชนทกอยาง มคาขนอยกบโมเมนตมของการชนนนๆ ซงสงเกตไดจากรป 9.2

(a) (b) รปท 9.2 (a) รถชนกน (b) เครองบนชนนก นกศกษาสามารถชม VDO เกยวกบการชน ไดจากwww.atom.rmutphysics.com/charud/video/index3.htm 9.1 โมเมนตมเชงเสนและการอนรกษโมเมนตมเชงเสน (linear momentum and its conservation) กฎการอนรกษโมเมนตม กลาววา “ ถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบแลว ผลรวมของโมเมนตมของระบบ จะมคาคงตว ” เราสามารถพสจนทมของกฎการอนรกษโมเมนตมได โดยใชกฎขอ 2 ของนวตน ดงน จาก m∑ =F a

dmdt

∑ =vF

( )d mdt

∑ =vF

ddt

∑ =pF (9.2)

ถาไมมแรงภายนอกมากระทา ( )=∑F 0 จะได

ddt

=p0

โมเมนตมและการชน - 3

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ดงนน p = คาคงตว หรอ 1 2=p p (9.3) สมการ (9.3) มความหมายวา ถาไมมแรงภายนอกมากกระทา โมเมนตมจะมคาคงตว กฎการอนรกษโมเมนตม และการชน พจารณาการชนกนของอนภาค โดยไมมแรงภายนอกมากระทา ดงรป 9.3

รป 9.3 การชนกนของ 2 อนภาค โดยไมมแรงภายนอกมากระทา

ให F12 คอแรงดงดดทอนภาคท 1 กระทาตออนภาคท 2 และ F21 คอแรงดงดดทอนภาคท 2 กระทาตออนภาคท 1 เนองจาก F21 = - F12

หรอ 1 2d ddt dt

−=

p p

1ddtp + 2d

dt=

p 0

1 2( )ddt+

=p p 0 (9.4)

จะไดวา 1 2+ =p p มคาคงตว

โมเมนตมและการชน - 4

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

หรอ 2i i f f+ = +1 1 2p p p p (9.5) แสดงใหเหนวาถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบอนภาค โมเมนตมของระบบอนภาคจะมคาคงตว จากสมการ (9.5) ถาแยกพจารณาในแตละแนวแกน จะไดวา

system system

system system

system system

ix fx

iy fy

iz fz

p p

p p

p p

⎫= ⎪

⎪⎪= ⎬⎪⎪= ⎪⎭

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

(9.6)

สมการ (9.6) มความหมายวาโมเมนตมในแนวแกนใดของๆระบบจะมคาคงตวเสมอ จากทกลาวมาแสดงใหเหนวาในการชนกนของวตถใดๆ ถาไมมแรงภายนอกมากระทา โมเมนตมจะมคาคงตว ถาพจารณาการเคลอนทของลกระเบดทถกขวางออกไป จะพบวาจดศนยกลางมวลของระเบดจะเปนเสนโคงพาลาโบรา ทงกอนการระเบดและหลงการระเบด ดงรป 9.4

รป 9.4 การระเบดของลกระเบดไมไดทาใหเสนทางการเคลอนทของจดศนยกลางมวลเปลยน

โมเมนตมและการชน - 5

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 9.5 โมเมนตมของพลกอนระเบดกบหลงระเบดมคาเทากน

นกศกษาสามารถด VDO เกยวกบการระเบดของดอกไมไฟ ไดจาก www.rmutphysics.com/physics/oldfront/78/momentum.htm ตวอยางทแสดงใหเหนถงการคงตวของโมเมนตมไดแก การยงปน ลกปนจะมโมเมนตมไปทางดานหนา ตวปนมโมเมนตมไปทางดานหลง ดงรป 9.6

(a)

โมเมนตมและการชน - 6

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

(b)

รป 9.6 เมอยงปน จะมแรงสะทอนถอยหลง (a) ลกปนมโมเมนตมไปทางซายมอ กระบอกปนมโมเมนตมไปทางขวามอ (b) โมเมนตมของปนหลายคนรจกในชอวาปนถบ

ตวอยาง 9. 1 มนษยอวกาศมวล 70 kg. ทางานอยในสถานอวกาศ ไดถอดเสอมวล 1 kg.ออก แลวเหวยงออกไปดวยความเรว 20 m/s ตวเขาจะถอยออกมาดวยอตราเรวเทาไร

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมของนกบนอวกาศ = โมเมนตมของเสอ 1 2f fm m=1 2v v

2

1f f

mm

= −1 2v v

1kg (20 m/s)70kgf

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠1v i

ตวเขาจะถอยหลงดวยความเรว 0.3 m/sf = −1v i ตอบ

โมเมนตมและการชน - 7

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.2 อนภาคเคออน (Kaon) สลายตวขณะหยดนง เปนไพออน ( )π สองตวทมมวลเทากน

แตประจตางกนคอ π+ และ π- ดงรป จงแสดงใหเหนวาไพออนทง 2 ตวมโมเมนตมเทากนแตทศตรงขาม

วธทา สมการการสลายของเคออนเปนดงน คอ

0K π π+ −→ + กาหนดให p+ เปนโมเมนตมของ π + p− เปนโมเมนตมของ π − จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนการแตกตว = โมเมนตมหลงการแตกตว

i f=p p

0 + −= +p p + −= −p p ไพออนทงสองมโมเมนตมเทากน แตทศตรงขาม ตอบ

ตวอยาง 9.3 ถาหญงสาวมวล 46 kg นยนอยบนพนนาแขงไมมแรงเสยดทาน แลวยงปนออกไปหนงนด ลกปนมความเรว 600 m/s ถาลากลองยาว 1 m ปนมมวล 4 kg และ ลกปนมมวล 10 g จงหา

โมเมนตมและการชน - 8

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

(a) อตราเรวของหญงสาว ในการสะทอนกลบ (b) แรงขบดนทกระทาตอลกปน (c) เวลาระหวางทลกปนเคลอนทในลากลองปน (d) การดลของลกปน วธทา (a) จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนยง = โมเมนตมหลงยง 0 bullet bullet lady gunm v m m V= + +( ) 0 = (0.01 kg) (600 m/s) + (50 kg)V V = – 0.12 m/s อตราเรวของหญงสาว ในการสะทอนกลบ = – 0.12 m/s ตอบ (b) จาก v2 = v0

2 + 2 as (600m/s)2 = 02 + 2 a (1m)

ความเรงของลกปน a = 1.8 × 105 m/s2 F = ma

= (0.01kg) (1.8 × 105 m/s2)

= 1.8 × 103 N

แรงขบดนทกระทาตอลกปน = 1.8 × 103 N ตอบ

(c) จาก 0v vat−

=

โมเมนตมและการชน - 9

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

5 2 600 01 8 10 m sm st

−× =

/. /

1300

t s=

เวลาระหวางทลกปนเคลอนทในลากลองปน 1300

s= ตอบ

(d) การดล Ft=

3 11 8 10 6300

Ft N s N s⎛ ⎞= × =⎜ ⎟⎝ ⎠

( . ) .

การดลของลกปน 6N s= . ตอบ ตวอยาง 9.4 ถานวเคลยสของ Np มมวล 27393 42 10. kg−× สลายตวใหอนภาคอลฟา โดย

อนภาคอลฟา หลดออกมาดวยอตราเรว 1.5 × 107 m/s จงหาอตราเรวในการสะทอนกลบของนวเคลยสของ Np กาหนดให อนภาคอลฟามมวล 276 64 10. kg−×

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

27 27 70 393 42 10 6 64 10 1 5 10kg v kg m s− −= × + × ×( . ) ( . )( . / ) 52 53 10v m s= − ×. / อตราเรวในการสะทอนกลบของนวเคลยสของ Np 52 53 10. /m s= − × ตอบ

โมเมนตมและการชน - 10

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.5 รถยนตมวล 600 กโลกรม แลนดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท เขาชนกบรถยนตมวล 1,400 กโลกรม ซงจอดอยกบท ปรากฏวารถทงสองคนเคลอนทไปดวยกน จงหาอตราเรวทรถทงสองคนเคลอนทไป

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 1 2 2 1 2m u m u m m V+ = +( )

600 20 0 600 1400kg m s kg V+ = +( )( / ) ( ) 6V m s= / อตราเรวทรถทงสองคนเคลอนทไป 6m s= / ตอบ

ตวอยาง 9.6 ลกบลเลยด B วงดวยความเรว v เขามาชนลกบลเลยด A ทหยดนงหลงจากทชนกนแลวลกบลเลยด B มความเรวเปน v/2 ในทศทางทตงฉากกบทศทางเดมทวงเขาไปชน ทงลกบลเลยด A B มมวลตางกนทไมทราบคาดวย

(ก) จงหาทศทางทลกบลเลยด A เคลอนทไปหลงจากการชน (ข) ทานสามารถหาคาความเรวของลกบลเลยด A หลงจากถกชนหรอไม

20 /v m s= → 0v =

โมเมนตมและการชน - 11

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา (ก) หลกการคงตวของโมเมนตม จะไดวา โมเมนตมในแนวแกน x กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน x หลงชน

0 0 cosB A Am v m v θ+ = + (1) โมเมนตมในแนวแกน y กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน y หลงชน

0 sin2B A Avm m v θ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 sin2 B A Am v m v θ= (2)

(2)(1)

ได 1 sin2 cos

θθ

=

1 tan2

θ=

จะได 26.56θ =

ลกบอล A จะเคลอนทไปในทศทางทามม 90° + 27 ° = 117 ° กบทศทางสดทายของลกบอล ตอบ (ข) จากสมาการ (2) ได

2 sin

BA

A

m vvm θ

=

แตมวลของลกบอล A และ B นนโจทยกาหนดวาตางกนและไมทราบคาดวย ฉะนนจงไมสามารถหาคาความเรวของลกบอล A หลงจากการชนได ถากาหนดใหมวลเทากนแลวกสามารถหาคาความเรวหลงจากการชนได

โมเมนตมและการชน - 12

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

9.2 การดลและโมเมนตม (impulse and momentum)

รป 9.7 การดล กฬาหลายชนด เชน ปงปอง เทนนส กอลฟ แบดมนตน ฟตบอล โบวลง ฯลฯ อปกรณทใชในการเลนกฬาดงกลาว จะไดรบแรงกระทาในชวงเวลาทสนมาก เปนมลลวนาทหรอไมโครวนาท แลวแตชนดของกฬา แรงทกระทาในชวงเวลาทสนๆ นเรยกวาแรงดล ( )F และผลคณระหวางแรงดล ( )F กบชวงเวลาสนๆ ( )dt เรยกวา “การดล” (impulse) เราสามารถคานวณหาการดล ได ดงน จากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน

ddt

=pF

จะได dt d=F p

f

i

ft

ti

dt d=∫ ∫F p

f

i

t

f itdt = −∫ F p p (9.7)

สมการ(9.7) มความหมายวา การดล ( )I ของวตถใดทไดรบแรงกระทามคาเทากบโมเมนตมของวตถทเปลยนไป

เมอ f

i

t

tdt∫ F หมายถงการดล ใชสญญลกษณ I

f i= −I p p (9.8)

โมเมนตมและการชน - 13

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ถาเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงดล ( )F กบเวลา ( )t ของอปกรณกฬาตางๆดงกลาวขางตน จะไดกราฟดงรป 9.8

รป 9.8 กราฟแสดงความสมพนธระหวางแรง ( )F กบเวลา ( )t

จากรป 9.10 สามารถหาแรงดลเฉลย ( )F ไดดงน

แรงดลเฉลยหาไดจากสมการ 1 f

i

t

tdt

t=

Δ ∫F F (9.9)

f

i

t

tdt t= Δ∫ F F

ดงนน t= ΔI F (9.10) เนองจากแรงดลมขนาดไมคงตว ดงนนในการหาคาการดล จงมกหาจากผลคณระหวางแรงดลเฉลยกบชวงเวลา ดงสมการ (9.10)

รป 9.9 ถาชวงเวลาในการชนมาก แรงดลจะนอย

โมเมนตมและการชน - 14

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 9.10 ถาชวงเวลาในการชนนอย แรงดลจะมาก ตวอยาง 9.7 ในการตลกกอลฟมวล 50 g ใหเคลอนทขนจากพนในแนวทามม ( )θ 45 องศา กบแนวระดบ ดงรป ถาลกกอลฟเคลอนทไดระยะทางในแนวราบเทากบ 200 m จงหา

ก) อตราเรวเรมตนของลกกอลฟ ข) การดล ( )I

วธทา เนองจากลกกอลฟเคลอนทแบบโปรเจกไตล และระยะทางตามแนวราบ max( )R ของลกกอลฟเปนไปตามสมการ

2

imax

sin 2 ivRg

θ=

เมอ θ = 45 องศา จะได

โมเมนตมและการชน - 15

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

2 0

imax

sin 90vRg

=

2

imax

vRg

=

maxiv R g= จะได maxiv R g=

(200)(9.8) 44 /iv m s= = 44 /iv m s= ก) อตราเรวตนของลกกอลฟ 44 /iv m s= ตอบ จาก I p= Δ หรอ B AI mv mv= −

3(50 10 kg)(44m/s) 0 2.2 . /I kg m s−= × − = ข) การดลของลกกอลฟ 2.2kg m/s= ⋅ ตอบ

ตวอยาง 9.8 ในการทดสอบสมรรถนะของรถยนต ดวยการขบรถซงมมวล ( )m = 500 kg ดวยความเรวตน 15 m/s ชนกาแพง ดงรป ปรากฏวาหลงการชนรถยนตจะถอยหลงกลบดวยความเรว 2.6 m/s ถาชวงเวลาในการชนเกดขนภายในเวลา 0.15 s จงหา

ก) การดล ( )I ข) แรงดลเฉลย ( )F

วธทา จาก การดล = โมเมนตมทเปลยนไป

โมเมนตมและการชน - 16

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

f i= −I p p f im m= −I v v

4 40.39 10 2.25 10= × − ×I i i 42.64 10 kg m/s= × ⋅I i ดงนนการดล 42.64 10 kg m/s= × ⋅I i ตอบ และหาแรงเฉลยทกระทาตอรถยนตไดจากสมการ

=ΔpFΔt

42.64 10 kg m/s

0.15s× ⋅

=iF

แรงดลเฉลย 51.76 10 N= × i ตอบ

ตวอยาง 9.10 ยงปนกล 60 นดตอนาท ลกปนมมวล 3 g และมอตราเรวเทากบ 500 m/s จงหาแรงเฉลย วธทา จาก การดล = โมเมนตมทเปลยนไป หรอ F t mvΔ = Δ

avmvFt

Δ=

Δ

60 0 003 500 1 560avkg mvF N

sΔ

= =( )( . )( ) .

( )

แรงเฉลย 1 5N= . ตอบ

โมเมนตมและการชน - 17

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.11 พรานลาสตวยงเสอซงกาลงกระโจนเขาใสดวยอตราเรว 10 เมตร/วนาท ถาลกปนมมวล 0.06 กโลกรม และมอตราเรว 900 เมตร/วนาท จงหาวาพรานผนจะตองระดมยงกระสนมากทสดกนดจงจะสามารถหยดเสอได ถาเสอมมวล 40 กโลกรม

วธทา การทพรานลาสตวจะหยดการเคลอนทของเสอได พรานจะตองยงเสอโดยใหโมเมนตมของลกปนเทากบโมเมนตมของเสอ โมเมนตมของลกปน = โมเมนตมของเสอ

mv MV= (900 / ) (40 )(10 / )m m s kg m s= 0.4444m kg= ดงนนในการจะหยดโมเมนตมของเสอไดตองใชลกปนทมมวล 0.4444kg= แตเนองจากลกปน 1 ลกมมวล 0.06 กโลกรม

ดงนนตองใชลกปนทงหมด 0.4444 7.40.06

kgkg

= = ลก

จะตองยงกระสนทงหมด 8 นด ตอบ

โมเมนตมและการชน - 18

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 9.11 การทดสอบการชน นกศกษาสามารถดการทดลองเสมอนจรงเรองการชน ไดจาก http://solomon.physics.sc.edu/~tedeschi/demo/demo10.html

9.3 การชน (collisions)

ในหวขอ 5.1 ไดกลาววาแรง ม 2 ประเภท คอ แรงสมผส และแรงไมสมผส ในทานองเดยวกนการชนกนของสงตางๆ กม 2 แบบ เชนเดยวกน คอ

1) การชนทตองมการสมผสกน

ไดแกการชนทพบเหนไดทวไปในชวตประจาวน เชน การชนกนของรถ การชนกนของลกบลเลยด เตะฟตบอล ตกอลฟ ตเทนนส ฯลฯ

รป 9.12 การชนทตองมการสมผสกน

2) การชนทอนภาคไมมการสมผสกน

เชนการผลกกนของอนภาคไฟฟาตางๆ หรอการผลกกนของแทงแมเหลก ตวอยางของการชนทไมมการสมผสกนไดแก เชน การยงอนภาคอลฟาเขาไปยงแผนทองคาเปลวจะเกด

โมเมนตมและการชน - 19

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

การชนกนของอนภาคอลฟากบนวเคลยสของทองคา เนองจากอนภาคทงสอง ตางกมประจไฟฟาเปนบวกเหมอนกน การทอนภาคอลฟาเขาใกลนวเคลยสแลวถกนวเคลยสผลกออกมา ถอวามการชนเกดขนแลว การชนแบบน มกเปนการชนทเกดขนในหองปฏบตการชนสงเทานน

รป 9.13 การชนทไมตองมการสมผสกน

พจารณาการชนกนของโปรตอนกบอนภาคอลฟา ( )α ในรป 9.13 ให 12F แรงทอนภาคท 1 กระทาตออนภาคท 2 21F แรงทอนภาคท 2 กระทาตออนภาคท 1 ถาเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงกระทาของอนภาคทงสองกบเวลา ( )t จะไดกราฟดงรป 9.14

รป 9.14 แรงดลของอนภาคทงสอง มขนาดเทากนแตทศทางตรงขามกน

นกศกษาสามารถศกษา การทดลองเสมอนจรงเรอง การชนทอนภาคไมมการสมผสกน ไดจาก rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/CentralForceManyApplet.html

โมเมนตมและการชน - 20

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.12 รถยนตคนหนงมวล 1( )m 1800 kg หยดกะทนหนเมอมสญญาณไฟแดง ปรากฏวา ถกรถยนตคนทสองมวล 2( )m 900 kg ชนทาย ถารถยนตคนทชนทายวงมาดวยความเรว ( )iv 20 m/s ถาหลงการชนรถทงสองตดกนไป จงหาความเรวของรถทงสอง ( )fv ทเคลอนทตดกนไป

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

2 1 2( )i fm v m m v= + (900 )(20 / ) (1800 900 ) fkg m s kg v= +

ได 41.8 10 kg m/s

2700 kgfv × ⋅=

6.67 /fv m s= หลงชนรถทงสองเคลอนทตดกนไปดวยความเรว 6.67 m/s= ตอบ 9.4 การชนแบบยดหยนและไมยดหยนใน 1 มต (elastic and inelastic collisions in one dimention) การชนกน ทงสองแบบทกลาวมาแลว สามารถแบงไดเปน 2 ประเภท คอ 1. การชนแบบไมยดหยน ( inelastic collision) 2. การชนแบบยดหยน (elastic collision) การชนแบบไมยดหยน (inelastic collision) มลกษณะดงน 1. โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 2. พลงงานจลนกอนชน ≠ พลงงานจลนหลงชน

รป 9.15 การชนแบบไมยดหยน

โมเมนตมและการชน - 21

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

การชนทพบเหนไดทวไปสวนใหญเปนการชนแบบไมยดหยน สาหรบการชนทเมอชนกนแลววตถทงสองตดกนเรยกวาการชนแบบไมยดหยนสมบรณ (perfectelastic collision) เชนการชนของดนนามนเมอขวางไปทกาแพง การชนกนของรถกรณทชนแลวตดกน ดงรป 9.16

รป 9.16 การชนกนแบบไมยดหยนสมบรณ

การชนกนแบบไมยดหยนสมบรณ (perfectelastic collision) ตอไปน จะเปนการวเคราะหการชนแบบไมยดหยนสมบรณโดยใชกฎการอนรกษโมเมนตม ดงน

รป 9.17 การชนกนของอนภาค 2 อนภาคแบบไมยดหยนสมบรณ (a) กอนการชน (b) หลงการชน จากรป 9.17 (a) อนภาคสองอนภาคมมวลเปน m1 และ m2 ตามลาดบ เคลอนทเขาหากนดวยความเรว 1iv และ 2iv ตามลาดบ แลวชนกนแบบตรงๆ(head on collision) แลวอนภาคทงสองเคลอนทตดกน และเคลอนทไปพรอมกนดวยความเรว vf ดงรป 9.17 เราสามารถหาความเรวหลงชน ( )fv ไดจากกฎการอนรกษโมเมนตม คอ

โมเมนตมและการชน - 22

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 2 1 21i 2i fv v ( )vm m m m+ = +

1 2

1 2f

m mm m

+=

+1i 2iv vv (9.11)

สมการ (9.11) เปนสมการทใชในการคานวณหาความเรวหลงชนของการชนแบบไมยดหยนสมบรณ นกศกษาสามารถศกษา การทดลองเสมอนจรงเรอง การชนแบบยดหยน ไดจาก http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/AirTrack/AirTrack.html http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/ NewtonsCradle/NewtonsCradle.html www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/collision1d/collision1D.html

ตวอยาง 9.13 รถยนตคนทหนงมวล 1( )m = 1500 kg แลนไปทางทศตะวนออกดวยอตราเรว 1( )iv = 2.5 m/s ชนกบรถคนทสองซงเปนรถกระบะมวล 2( )m = 2500 kg ทกาลงเคลอนทไปทางทศเหนอดวยความเรว 2( )iv = 20 m/s ดงรป จงหา

ก) ความเรวของรถทงสอง ถารถทงสองตดกน ข) มม ( )θ ทความเรวของรถทงสองทากบแนวของถนน

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมในแนวแกน x กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน x หลงชน 1 1 2 2 1 2( )x xm v m v m m v+ = + (1500 )(25 / ) 0kg m s + (1500 2500) . cosfkg v θ= +

โมเมนตมและการชน - 23

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

43.75 10 . / 0kg m s× + 4000 . cosfkg v θ= (1) โมเมนตมในแนวแกน y กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน y หลงชน

yi yfp p=∑ ∑ 1 1 2 2 1 2( )y ym v m v m m v+ = + (2500kg)(20m/s) (1500 2500) kg. sinfv θ= +

(2500kg)(20m/s) (4000kg) sinfv θ= 45 10 kg m/s (4000 kg) sinfv θ× ⋅ = (2) สมการ (2) หารดวยสมการ (1) ได

4

4

5 10 sin3.75 10 cos

θθ

×=

×

1.33 tanθ= 1tan (1.33) 53.1oθ −= = ทศทางของรถทงสองทชน θ = 53.1 องศา

แทนคา θ ลงไปในสมการ (2) จะได 45 10 kg m/s (4000 kg) sin 53o

fv× ⋅ =

45 10 kg m/s 15.6 /

(4000 kg)sin 53.1fv m s× ⋅= =

°

ความเรวของรถทตดกนไปมคาเทากบ 15.6m/sfv = ตอบ

ตวอยาง 9.14 ถนน 2 สายตดกน มรถ 2 คน รถมวล 1000kg วงบนถนนจากทศตะวนตกไปยงทศตะวนออกดวยความเรว 20 /m s สวนรถมวล 1500kg วงบนถนนจากทศใตไปยงทศเหนอ ดวยความเรว 30 /m s รถทงสองคนชนกนทกงกลางสแยกแลวตดกน จงหาความเรวของรถทงสองและมมทรถทงสองทากบแนวถนน

โมเมนตมและการชน - 24

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา ความเรวในแนวแกน x หลงชน หาไดจากสมการ

1 1 2 2

1 2

x xxf

m v m vvm m

+=

+

1000 20 1500 01000 1500xf

kg m s kg m svkg kg

+=

+( )( / ) ( )( / )

8xfv m s= / ความเรวในแนวแกน y หลงชน หาไดจากสมการ

1 1 2 2

1 2

y yyf

m v m vv

m m+

=+

1000 0 1500 301000 1500yf

kg m s kg m svkg kg+

=+

( )( / ) ( )( / )

18yfv m s= / ความเรวผลลพธหลงชน หาไดจากสมการ

2 2 2 28 18f xf yfv v v m s m s= + = +( / ) ( / )

19 7fv m s= . /

ความเรวของรถทงสอง 19 7m s= . / ตอบ

มม θ ทรถทงสองทากบถนนทอยในแนวแกน x หลงชน หาไดจากสมการ

โมเมนตมและการชน - 25

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

1 018 668

m sm s

θ − ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

/tan/

มมทรถทงสองทากบแนวถนน 066= ตอบ

การชนแบบยดหยน (elastic collision) มลกษณะดงน 1. โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 2. พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน ถาใหอนภาค 2 อนภาคเคลอนทเขาชนกน ดงรป 9.18

รปท 9.18 การชนกนตรง ๆ แบบยดหยน (a) กอนการชน (b) หลงการชน

โดยอนภาคทหนงมมวล 1m และมความเรวตน 1iv อนภาคทสองมมวล 2m และมความเรวตน 2iv หลงการชนอนภาคทงสองมความเรวเปน 1 fv และ 2 fv ตามลาดบ

เราสามารถวเคราะหการชนกนของอนภาคทงสองไดดงน จาก โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = + จาก พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 12 2 2 2i i f fm v m v m v m v+ = +

2 คณตลอด จะได 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = +

โมเมนตมและการชน - 26

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) ( )i f f im v v m v v− = −

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2( )( ) ( )( )i f i f f i f im v v v v m v v v v− + = − + (9.12) 1 1 1 1 2 2 2 2i f f im v m v m v m v− = − 1 1 1 2 2 2( ) ( )i f f im v v m v v− = − (9.13) (9.12)(9.13)

1 1 2 2i f f iv v v v+ = +

1 2 2 1i i f fv v v v− = − 1 2 1 2( )i i f fv v v v− = − − (9.14)

สมการ (9.14) มความหมายวาความเรวสมพทธกอนชน เทากบความเรวสมพทธหลงชน แตทศตรงขามกน

1 2 21 1 2

1 2 1 2

1 1 22 1 2

1 2 1 2

2

2

f i i

f i i

m m mv v vm m m m

m m mv v vm m m m

⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= + ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪

⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎪= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

(9.15)

สมการ (9.15) เปนสมการทใชในการคานวณหาความเรวของอนภาคภายหลงการชน ของการชนแบบยดหยน ความเรวทมทศไปตามแกน + x กาหนดใหใชเครองหมายเปน + ความเรวทมทศไปตามแกน - x กาหนดใหใชเครองหมายเปน - ในกรณท 1 2m m= สมการ (9.15) จะลดรปเหลอเพยง

1 2

2 1

f i

f i

v v

v v

= ⎫⎪⎬= ⎪⎭

(9.16)

สมการ (9.16) มความหมายวาอนภาคทงสองจะแลกเปลยนความเรวซงกนและกน ดงรป 9.20

โมเมนตมและการชน - 27

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

จากสมการ (9.16) ถาเรมตนอนภาคทถกชนหยดนงและอนภาคทวงเขาชนมความเรว 1v หลงชนอนภาคทวงเขาชนจะหยดนง สวนอนภาคทถกชนจะวงดวยความเรว 1v หรอกลาวงายๆไดวาอนภาคทงสองจะแลกเปลยนความเรวซงกนและกน ดงรป 9.19

กอนชน

หลงชน

รป 9.19 การชน ในกรณท 1 2m m=

ตวอยางของการชนกนทเปนไปตามสมการ (9.16) ไดแกการชนกนของลกบลเลยด ดงรป 9.20

รป 9.20 การชนแบบยดหยน ในกรณท 2m อยนงกบท 2( 0)iv = สมการ (9.15) จะลดรปเหลอเพยง

โมเมนตมและการชน - 28

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

1 21 1

1 2

12 1

1 2

2

f i

f i

m mv vm m

mv vm m

⎫⎛ ⎞−= ⎪⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎪

⎬⎛ ⎞ ⎪= ⎜ ⎟ ⎪+⎝ ⎠ ⎭

(9.17)

ในกรณท 2 1m m จะไดวา

1 1

2 0f i

f

v v

v

= − ⎫⎪⎬≈ ⎪⎭

(9.18)

สมการ (9.18) มความหมายวา ถาอนภาคทวงเขาชนมมวลนอยกวาอนภาคทถกชนมากๆ ดงรป 9.21 หลงชน อนภาคทวงเขาชนจะกระดอนถอยหลงออกมาดวยอตราเรวเทาเดม สวนอนภาคทถกชนยงคงหยดนงเหมอนเดม

รป 9.21 กรณท 2 1m m

ในกรณท 1 2m m จะไดวา

1 1

2 12f i

f i

v v

v v

= ⎫⎪⎬= ⎪⎭

(9.19)

สมการ (9.19) มความหมายวา ถาอนภาคทวงเขาชนมมวลมากๆและอนภาคทถกชนมมวลนอยๆ ดงรป 9.22 หลงชนอนภาคทวงเขาชนยงมความเรวเทาเดม สวนอนภาคทถกชนจะมความเรวเปนสองเทาของอนภาคทวงเขาชน

โมเมนตมและการชน - 29

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 9.22 กรณท 1 2m m

ตวอยางกรณในกรณทมวล 1 2m m นไดแกการชนกนของนวเคลยสของยเรเนยมกบนวเคลยสของไฮโดรเจน การชนทประมาณไดวาเปนการชนแบบยดหยนทสามารถพบเหนไดทวไปไดแกการชนกนของลกบลเลยด การชนกนของโมเลกลของอากาศกบผนงภาชนะ ดงรป 9.23

รป 9.23 การชนแบบยดหยน

การทดลองทยนยนวา การชนกนระหวางอเลกตรอนกบอะตอมของแกสเปนการชนแบบยดหยน ไดแกการทดลองของแฟรงกและเฮรตซ ดงรป 9.24

รป 9.24 การชนกนแบบยดหยนของอเลกตรอนกบอะตอมของแกส

โมเมนตมและการชน - 30

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

นกศกษาสามารถศกษา การทดลองเสมอนจรงเรอง การชนกนแบบยดหยน ใน 1 มต ไดจาก www.atom.rmutphysics.com/charud/video/17/2-ball.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/Explore/Elastic/Elastic.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/lectureonline/ritphysics/kap6/cd155a.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/lectureonline/ritphysics/kap6/cd157a.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/applet1/applet%20physics/phe/collisionthai.htm ตวอยาง 9.15 จากการทดลองยงลกปนมวล 1m ไปยงแทงไมมวล 2m ดงรป (a) เมอลกปนฝงในแทงไมจะทาใหแทงไมแกวงขนไปสง h ดงรป จงหาความเรวของลกปนขณะทกระทบแทงไม

1( )iv

วธทา จากกฎการอนรกษพลงงาน พลงงานจลนของแทงไม = พลงงงานศกยสงสดของแทงไม

21 2 1 2

1 ( ) ( )2

m m v m m gh+ = + (1)

จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมของลกปนกอนชน = โมเมนตมของลกปนและแทงไมกอนชน 1 1 1 2( )i fm v m m v= +

จะได 1 1

1 2

if

m vvm m

=+

(2)

แทนสมการ (2) ในสมการ (1) ได

2

1 11 2 1 2

1 2

1 ( ) ( )2

im vm m m m ghm m

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠

1

2 21

1 21 2

( )2( )

im vm m gh

m m= +

+

โมเมนตมและการชน - 31

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

จะไดลกปนมความเรว 1 21

1

2im mv gh

m⎛ ⎞+

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ตอบ

ขอสงเกต ถามวล 1 2m m ของลกปน มคานอยมากๆ เมอเทยบกบมวลของเปา ความเรวของลกปนจะเปน 2v gh= ตวอยาง 9.16 ลกตมไมมวล M แขวนตดกบเพดานดวยเชอกทเบามาก เมอยงกระสนมวล m ดวยความเรว v ตามแนวราบเขาชนลกตม ปรากฏวากระสนปนฝงในลกตมและทาใหลกตมแกวงขนสงจากเดมระยะ h จงหาความเรวของลกปน

วธทา

จากหลกการคงตวของโมเมนตมสามารถหาความเรวของลกตม เมอเรมตนเคลอนทขนได และใหมคาเปน V ฉะนน จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

mv m M V= +( )

mV vm M

=+( )

จากหลกการคงตวของพลงงาน จะไดวา พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน

( )2

212

mm M vm M

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ = ( )m M gh+

โมเมนตมและการชน - 32

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

v = ( )1 / 2M m gh+

ความเรวของลกปน = ( )1 / 2M m gh+ ตอบ

ตวอยาง 9.17 ลกปนมวล 15 g วงเขาชนแทงไมมวล 3 kg ทาใหแทงไมแกวงขนไปสง 10 cm จงหา ความเรวของลกปน

วธทา กาหนดให v คออตราเรวของลกปน และ V คออตราเรวของแทงไมและลกปนขณะถกยง จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

( )mv m M V= + (0.015 ) (0.015 3 )kg v kg kg V= + (0.015 ) (3.015 )kg v kg V= (1) จากกฎการอนรกษพลงงาน พลงงานจลนกอนชน = พลงงานศกยหลงชน

212

Mv Mgh=

212

v gh=

2 21 (9.8 / )(0.1 )2

V m s m=

1.4 /V m s= (2) แทนสมการ (2) ในสมการ (1)ได

โมเมนตมและการชน - 33

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

(0.015 ) (3.015 )(1.4 / )kg v kg m s= 281 /v m s=

อตราเรวของลกปนเทากบ 281 /m s ตอบ

ตวอยาง 9.18 ยงปนไปทวตถมวล 1.995 kg ซงแขวนอยแบบลกตมนาฬกา ดงรป จงหาอตราเรวของวตถขณะทกระสนฝงอยในวตถ และ ความสงของวตถ (กาหนดให ลกปนมมวล 5 g และวงดวยอตราเรว 300 m/s)

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน ( )35 10 300 1 995 0 005kg m s kg V−× = +( / ) ( . . )

0 75V m s= . / อตราเรวของวตถขณะทกระสนฝงอยในวตถ 0 75m s= . / ตอบ จาก กฎการอนรกษพลงงาน พลงงานจลน = พลงงานศกย

212

m M V m M gh+ = +( ) ( )

212

V gh=

2 21 0 75 9 82

m s m s h=( . / ) ( . / )

โมเมนตมและการชน - 34

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

0 0287h m= . ความสงของวตถ 0 0287. m= ตอบ

ตวอยาง 9.19 ถา 1m มมวลเทากบ 1.6 kg. และ 2m มมวลเทากบ 2.1 kg. เคลอนทเขาหากน ดงรป ทมวล 2m มสปรงทมคา k = 600 N/m ตดอย หลงการชนมวล 1m มความเรว3 m/s จงหา (ก) ความเรวของมวล 2m ขณะเกดการชน (ข) สปรงถกอดเขาไปไดระยะเทาไร

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = + (1.6 )(4 / ) (2.1 )( 2.5 / )kg m s kg m s+ − 2(1.6 )(3 / ) (2.1 ) fkg m s kg v= + จะได 2 1.74m/sfv = − มวล 2m ขณะเกดการชน (v2f) เคลอนทดวยความเรว 1.74 ไปทางซายมอ ตอบ

จาก หลกของงาน-พลงงาน งาน = พลงงานทเปลยนไป

โมเมนตมและการชน - 35

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

i fW K K= −

หรอ 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2 2i i f fkx m v m v m v m v= + − +

สปรงถกอดเขาไปไดระยะ x = 0.173 m ตอบ

ตวอยาง 9.20 ลกบลเลยดมวล 0.4 kg ถกแทงใหวงดวยอตราเรว 3 m/s ชนกบลกบลเลยดอกลกหนงทมมวล 0.6 kg และหยดนง จงหาอตราเรวของลกบลเลยดทงสองหลงการชนกน

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = + 1 2(0.4 )(3 / ) 0 (0.4 ) (0.6 )f fkg m s kg v kg v+ = + 1 21.2 . / (0.4 ) (0.6 )f fkg m s kg v kg v= + 1 23 1.5f fv v= + (1) จาก ความเรวสมพทธกอนชน = − (ความเรวสมพทธหลงชน) หรอ 1 23 ( )f fv v= − − 1 23 f fv v= − + (2) สมการ (1) - สมการ (2) จะได 26 2.5 fv= 2 2.4 /fv m s= (3) ลกทถกชนจะกระเดนไปดวยความเรว 2 2.4 /fv m s=

โมเมนตมและการชน - 36

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

แทนสมการ (3) ในสมการ (2) ได 13 / 2.4 /fm s v m s= − + 1 0.6 /fv m s= − ลกทวงเขาชนจะกระดอนกลบดวยความเรว 0.6 /m s= − ตอบ

ตวอยาง 9.21 ถาโปรตอนชนนวเคลยสของฮเลยม ทาใหนวเคลยสของฮเลยมเคลอนทดวยอตราเรว

5×105 m/s จงหาอตราเรวเรมตนและอตราเรวสดทายของโปรตอน

กาหนดให โปรตอนมมวล 1.66 × 10- 27 kg นวเคลยสของฮเลยมมมวล 6.64 × 10- 27 kg มวลของ He = 4 เทาของมวลโปรตอน

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

mpvi + 0 = mpvƒ + (4mp)Vƒ

จะได vi = vƒ + 4Vƒ (1) จาก ความเรวสมพทธกอนชน = − (ความเรวสมพทธหลงชน)

2 vi = 5 Vƒ

= 5 (5 × 105 m/s)

ได vi = 1.25 × 106 m/s

อตราเรวเรมตนของโปรตอน = 1.25 × 106 m/s ตอบ แทนคาตางๆในสมการ(1)

vƒ = vi - 4 Vƒ

ดงนน vƒ = (1.25 × 106 m/s) – (20 × 105 m/s)

โมเมนตมและการชน - 37

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

vƒ = – 7.5 × 105 m/s

อตราเรวสดทายของโปรตอน = – 7.5 × 105 m/s ตอบ

ตวอยาง 9.22 นวตรอนมวล 1.67 x 10- 27 kg เคลอนทชนกบนวเคลยสของดวทเรยมทอยนง โดย

ดวทเรยมมมวล 3.34 × 10- 27 kg เคลอนทดวยอตราเรว v1 = 8.8 km/s จงหา (a) อตราเรวของนวเคลยสดวทเรยม (V2 ) และอตราเรวของนวตรอน(v2) หลงการชน (b) พลงงานจลนทงหมด วธทา (a) จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน m1v1 = m1v2 + m2v2 8.8 = v2 + 2 V2 (1) จาก ความเรวสมพทธกอนชน = − (ความเรวสมพทธหลงชน) 8.8 = V2 – v2 (2) สมการ (1) + สมการ (2) ได 17.6 = 3 V2 หรอ V2 = 5.87 km/s อตราเรวของนวเคลยสดวทเรยม = 5.87 km/s ตอบ ดงนน v2 = V2 – 8.8 = – 2.93 km/s (ในทศทางลบ) อตราเรวของนวตรอน = – 2.93 km/s ตอบ (b) เนองจากพลงงานจลนทงหมดหลงการชน กบพลงงานจลนกอนการชนมคาเทากน ดงนนพลงงานจลนทงหมดจงหาไดจาก พลงงานจลน = 2

1 (m1v12)

= 21 (1.67 × 10- 27) (8800) 2

= 6.47 × 10- 20 J

พลงงานจลนทงหมด = 6.47 × 10- 20 J ตอบ

โมเมนตมและการชน - 38

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.23 ถานวตรอนวงชนนวเคลยสของไฮโดรเจนทหยดนง จงอธบายผลทเกดขน ถาใหนวตรอนและโปรตอนมมวลเทากน

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน mυ1 + 0 = mυ2 + mV2 υ1 = υ2 + V2 υ1

2 = υ22 + 2υ2V2 + V2

2 (1) จาก กฎการอนรกษพลงงาน พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนโมเมนตมหลงชน 2

1 mυ12 = 2

1 mυ22 + 2

1 mV22

υ12 = υ2

2 + V22 (2)

สมการ (1) = สมการ (2) υ2

2 + V22 = υ2

2 + 2υ2V2 + V22

ดงนน 0 = 2υ2V2 (3) จาก (3) V2 ตองไมเปนศนย เนองจากนวเคลยสของไฮโดรเจน(โปรตอน) ตองเคลอนทเมอถกชน ดงนน v2 จงเทากบ 0 ซงแสดงวาเมอนวตรอนชนนวเคลยสของไฮโดรเจนแลว จะถายทอดพลงงานและโมเมนตมใหกบนวเคลยสของไฮโดรเจน จนหมดตวเองจงหยดนง โดย V2 = v1 ตอบ

ตวอยาง 9.24 ถาในการชนกนอนภาค 2 อนภาค อนภาคหนงมมวล 1kg สวนอกอนภาคหนง มมวล 1m เปนดงรป จงหามวล 1m

โมเมนตมและการชน - 39

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = +

1 1(1 )(2 / ) ( 3 / ) (1 )( 1 / ) (3 / )kg m s m m s kg m s m m s+ − = − + 1 12 3 1 3m m− = − + 16 3m =

112

m kg= ตอบ

ตวอยาง 9.25 ลกบลเลยด 2 ลกวงเขาชนกนแบบ head-on ลกบลเลยดทางซายมอวงดวยความเรว 3 m/s ลกบลเลยดทางขวามอวงดวยความเรว 2 m/s ดงรป ถาหลงการชนลกบลเลยดทงสองตดกน จงหาความเรวของลกบลเลยดทงสอง

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 2 ( )i imv mv m m V+ = + 1 2 2i iv v V+ =

3 / ( 2 / ) 3m s m s V+ − = 0.33 /V m s= ความเรวของลกบลเลยดทงสอง 0.33 /m s= ตอบ

โมเมนตมและการชน - 40

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.26 ลกบลเลยด 2 ลกวงเขาชนกนแบบ head-on โดยลกหนง 1( )m มความเรวเรมเทากบ 0.75 m/s และอกลกหนง 2( )m มความเรวเทากบ – 0.43 m/s จงหาความเรวของลกบลเลยด ทงสองหลงการชน

วธทา v1 และ v2 คอความเรวสดทายของลกบลเลยดทงสอง จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน m (0.75 m/s) + m (– 0.43 m/s) = mv1 + mv2 0.75 m/s – 0.43 m/s = mv1 + mv2 0.32 m/s = v1 + v2 (1) จาก กฎการอนรกษพลงงานจลน พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน 2

1 m (0.75 m/s) 2 + 21 m (0.43 m/s) 2 = 2

1 mv12 – 2

1 mv22

0.56 + 0.185 = v12 – v2

2 จะได 0.74 = v1

2 + v22 (2)

หาคาจากสมการ (1) จะได v2 = 0.32 – v1 (3) แลวแทนสมการ (3) ในสมการ (2) จะได 0.74 = (0.32 – v1)

2 + v12

จะได 2v12 – 0.64 v1 – 0.645 = 0

2 4

2b b acv

a− ± −

=

2

10 64 0 64 4 2 0 645

2 4v

± − −=

. ( . ) ( )( . )( )

1 0 75 0 43v m s= −. , . / ได v1 = 0.75 m/s หรอ – 0.43 m/s แทนคา v1 ในสมการ (1)

โมเมนตมและการชน - 41

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ได v2 = – 0.43 m/s หรอ 0.75 m/s นนกคอถา v1 = 0.75 m/s จะได v2 = – 0.43 m/s ตอบ ตวอยาง 9.27 จากรป ลกกลมโลหะขนาดเลกมมวล 1 หนวย ลกกลมโลหะขนาดใหญมวล 80 หนวย ถาดงลกกลมโลหะขนาดเลกออกมา แลวปลอยใหชนกบลกกลมโลหะขนาดใหญ ถาขณะชนลกกลมโลหะขนาดเลกมอตราเรว 4 m/s จงหาอตราเรวของลกกลมโลหะทงสองหลงการชน

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m V m v m V+ = + 1 2(1)(4 / ) 0 (1) (80)f fm s v V+ = + 80 4f fV v+ = (1) จาก ความเรวสมพทธกอนชน = − (ความเรวสมพทธหลงชน) 4f fV v− = 4f fV v= + (2) แทนสมการ (2) ในสมการ (1) ได 80( 4) 4f fv v+ + = 80 320 4f fv v+ + = 81 316fv = − 3.9 /fv m s= − (3)

โมเมนตมและการชน - 42

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ลกกลมโลหะขนาดเลกกระดอนกลบออกมาดวยอตราเรว 3.9 /m s− ตอบ แทนสมการ (3) ในสมการ (2) ได ( 3.9) 4 0.1 /fV m s= − + = ลกกลมโลหะขนาดใหญถอยหลงดวยความเรว 0.1 /m s ตอบ ตวอยาง 9.28 ถารถยนต 2 คน ชนกน หลงการชนรถทงสองคนมอตราเรวดงรป

จงหา ก) พลงงานจลนกอนชน ข) พลงงานจลนหลงชน ค) พลงงานจลนทสญเสยไป ง) การชนนเปนการชนแบบใด วธทา

ก) พลงงานจลนกอนชน 2 21 1 2 2

1 12 2

m v m v= +

2 21 1(500 )(5 / ) (400 )(2 / )2 2

kg m s kg m s= +

27050 . /kg m s= ตอบ

(ข) พลงงานจลนหลงชน 2 21 1 2 2

1 12 2

m v m v= +

2 21 1(500 )(3 / ) (400 )(4.5 / )2 2

kg m s kg m s= +

26300 . /kg m s= ตอบ

โมเมนตมและการชน - 43

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

(ค) พลงงานจลนทสญเสยไป = พลงงานจลนกอนชน - พลงงานจลนหลงชน 2 27050 . / 6300 . /kg m s kg m s= − 2750 . /kg m s= ตอบ (ง) การชนนเปนการชนแบบใด การชนนเปนการชนแบบไมยดหยน เนองจากพลงงานจลนกอนและหลงการขนไมเทากน ตอบ ตวอยาง 9.29 ถาการชนระหวางรถ 2 คน เปนดงรป จงหาความเรวของรถมวล 500 kgหลงชน

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมกอนชน 1 1 2 2 1 1 2 2m u m u m v m v+ = +

(500 )(5 / ) (400 )(2 / ) (500 )( ) (400 )(4 / )kg m s kg m s kg v kg m s+ = + (2500 . / ) (800 . / ) (500 . / ) (1600 . / )kg m s kg m s vkg m s kg m s+ = + 13300 . / (500 . / ) (1600 . / )kg m s v kg m s kg m s= + 11700 . / 500kg m s v= 1 3.4 /v m s= ความเรวของรถมวล 500 kgหลงชน 3.4 /m s= ตอบ

โมเมนตมและการชน - 44

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.30 ลกปนมวล 45 g วงดวยความเรว 400 m/s เขาชนแทงไมมวล 16 kg ทแขวนอย ทาใหลกปนฝงอยในแทงไม ดงรป จงหา a) ความเรวของแทงไมเมอถกชน b) ความสงของแทงไม c) พลงงานทสญเสยไป

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมกอนชน

( )mv M m V= + (0.045 )(400 / ) 0 (16 0.045 )kg m s kg V+ = + 1.12 /V m s= ตอบ จากกฎการอนรกษพลงงาน พลงงานจลนของลกปน = พลงงานศกยของแทงไม

212

mu mgh=

2

2uhg

=

2

2

(400 / ) 0.0632(9.8 / )

m sh mm s

= =

ความสงของแทงไม 0.063m= ตอบ (c) พลงงานทสญเสยไป

พลงงานจลนของลกปน 212

mu=

21 (0.045 )(400 / ) 36002

kg m s J= =

พลงงานจลนของแทงไม + ลกปน 21 ( )2

m M V= +

โมเมนตมและการชน - 45

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

21 (16 0.045 )(1.12 / ) 10.12

kg m s J= + =

พลงงานทสญเสยไป 3600 10.1 3590J J= − = ตอบ 9.5 การชนแบบยดหยนใน 2 มต (two dimention collisions) การชนใน 2 มตทพบเหนไดทวไปไดแกการชนกนของลกบลเลยด ดงรป 9.25

(a) กอนการชน (b) หลงการชน รป 9.25 การชนแบบทยดหยนใน 2 มต จากรป 9.25 ใหมวล m1 เคลอนทเขาชนมวล m2 ทหยดนง หลงจากชนกนแลว มวล m1 เคลอนทใน

ทศทามม θ กบแนวการชน และมวล m2 เคลอนทในทศทามม φ กบแนวการชน การชนกนแบบน มชอเรยกวา “การชนแบบแฉลบ” พจารณา การชนกนของลกบลเลยด ดงรป 9.28 จากกฎการอนรกษโมเมนตม จะไดวา โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน โมเมนตมในแนวแกนx กอนชน = โมเมนตมในแนวแกนx หลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2ix ix fx fxm v m v m v m v+ = + (9.20) โมเมนตมในแนวแกนy กอนชน = โมเมนตมในแนวแกนy หลงชน 1 1 2 2 1 1 2 2iy iy fy fym v m v m v m v+ = + (9.21) เมอแทนคาตางๆ ลงไปในสมการ (9.20) และ (9.21) จะได

โมเมนตมและการชน - 46

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

1 1 1 1 2 2cos cosi f fm v m v m vθ φ= + (9.22) 1 1 2 20 sin sinf fm v m vθ φ= − (9.23)

สมการ (9.22) และสมการ (9.23) เปนอสระตอกน และมตวแปรทเราตองการหา 2 ปรมาณ และเนองจากเปน การชนเปนแบบยดหยน ดงนนพลงงานจลนของระบบจะมคาคงตว คอ พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน

2 2 21 1 1 1 2 2

1 1 12 2 2i f fm v m v m v= + (9.24)

ถาทราบคาความเรวตนของอนภาคทกาลงเคลอนทและมวล 1 2,m m จะเหลอตวแปรทไมทราบคา 4 ปรมาณ แตเราม 3 สมการ เราจะตองหา 1 2( , , , )f fv v θ φ หนงตวแปรไดจากหลกการอนรกษพลงงาน นกศกษาสามารถศกษา การทดลองเสมอนจรงเรอง การชนแบบยดหยนใน 2 มต ไดจาก www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/lectureonline/ritphysics/applist/billy/billiard.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/Explore/2Dcollisions/2Dcollisions.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/collision2d/collision2D.html ตวอยาง 9.31 อนภาคโปรตอนอนภาคแรกเคลอนทเขาชนอนภาคโปรตอนอนภาคทสองทหยดนง อนภาคโปรตอนอนภาคแรกมความเรวตนเปน 3.5 x 105 m/s และชนอนภาคโปรตอนอนภาคทสองแบบแฉลบดงแสดงในรป หลงการชนอนภาคแรกเคลอนทเปนทศทามม 370 และอกอนภาคท

สองเคลอนทในทศ φ กบแนวการชน จงหาความเรวหลงชนของอนภาคโปรตอนทงสอง และหาคา

มม φ

วธทา

โมเมนตมในแนวแกน x กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน x หลงชน

โมเมนตมและการชน - 47

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

1 1 2 2 1 1 2 2ix ix fx fxm v m v m v m v+ = + 5

1 2cos37 cos 3.5 10 m/sf fv v φ°+ = × (1) โมเมนตมในแนวแกน y กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน y หลงชน

1 2sin 37 sin 0f fv v φ°− = (2) 2 2(1) (2)+ 2 2 5 2

1 2 (3.5 10 / )f fv v m s+ = × ความเรวหลงชนของอนภาคโปรตอน 5

1 2.80 10 m/sfv = × ตอบ ความเรวหลงชนของอนภาคโปรตอน 5

2 2.11 10 m/sfv = × ตอบ φ = 53.0 องศา ตอบ ตวอยาง 9.32 ในการเลนบลเลยด ผเลนแทงลกบลเลยด ลกหนงใหวงชนลกบลเลยด อกลกหนง ในลกษณะดงรป แลวลกบลเลยด ทถกชนวงไปลงหลมพอด จงหาวาหลงการชนลกบลเลยด ทวงเขาชนจะเคลอนทไปในทศใด

วธทา เนองจากการชนนเปนการชนแบบยดหยน จงไดวา พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน

จะไดวา 2 2 21 1 1 1 2 2

1 1 12 2 2i f fm v m v m v= +

เนองจาก 1 2m m= จะได 2 2 2

1 1 2i f fv v v= + (1) และ โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน m1 v1i + m 2 v2i = m1 v1f + m 2 v2f

โมเมนตมและการชน - 48

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

m1 v1i + 0 = m1 v1f + m 2 v2f เนองจาก 2 0iv = จะได 1 1 2v v vi f f= + (2) ยกกาลงสองทงสองขาง จะได

21iv = + ⋅ +1f 2f 1f 2f(v v ) (v v )

2 2 21 1 2 2i f fv v v= + + ⋅1f 2fv v

1 2 cos( 35 )f fv v θ⋅ = + °1f 2fv v 2 2 2

1 1 2 1 22 cos( 35 )i f f f fv v v v v θ= + + + ° (3) สมการ (3) - สมการ (1) ได 1 20 2 cos( 35 )f fv v θ= + ° เนองจาก v1f และ v2f ≠ 0 ดงนน cos( 35 ) 0θ + ° = 35 90θ + ° = ° หรอ 55θ = ° ลกบลเลยด ทวงเขาชนจะเคลอนททามม 55θ = องศา ตอบ

สรปไดวา ถามวล m1 = m2 ภายหลงการชนมวลทงสองกนจะแยกจากกนเปนมมฉาก

ดงรป 9.26

รป 9.26 ทศทางการเคลอนทของลกบลเลยดหลงชน

โมเมนตมและการชน - 49

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.33 อนภาคอลฟามโมเมนตมเรมตน 20107 −× กโลกรม ⋅ เมตร/วนาท เคลอนทเขาชนกบนวเคลยสธาตยเรเนยมซงอยกบท ปรากฏวาอนภาคอลฟาทเคลอนทไปในแนวตงฉากกบแนวเดมดวยขนาดโมเมนตมเทาเดม จงหาขนาดและทศทางของความเรวของนวเคลยสธาตยเรเนยม ซง

กาหนดใหมมวล 25104 −× กโลกรม

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน เนองจากการชนนเปนการชนใน 2 มต จงตองพจารณาทงโมเมนตมในแนวแกน x และ y ดงน โมเมนตมในแนวแกน x กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน x หลงชน

0107 20 +× − = 254 10 cosv θ−× (1) โมเมนตมในแนวแกน y กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน y หลงชน

20107 −× = 254 10 sinv θ−× (2) (2)(1)

ได sin1cos

θθ

=

1 tanθ= ดงนน 45θ °= จากสมการ (2) จงได

20

25

7 104 10 sin 45

v−

− °

×=

×

= 510472 ×. เมตร/วนาท

โมเมนตมและการชน - 50

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ฉะนนนวเคลยสยเรเนยมเคลอนทไปในทศทางทามม 45 ° ดวยอตราเรว 510472 ×. เมตร/วนาท

ตวอยาง 9.34 อนภาคนวตรอนเคลอนทดวยความเรว 10104× เมตร/วนาท เขาชนกบโปรตอนท

อยกบท หลงการชนปรากฏวา โปรตอนเคลอนทไปในทศททามม 60° และนวตรอนเคลอนทไปใน

ทศททามม 30° กบแนวเดมของนวตรอน จงหา (ก) ความเรวของโปรตอนและนวตรอนหลงจากการชน (ข) พลงงานจลนคงทหรอไม กาหนดมวลของโปรตอนและนวตรอนมคาเทากน

วธทา (ก) ใหโปรตอนและนวตรอนมมวลเทากนเปน m กโลกรม

จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน เนองจากการชนนเปนการชนใน 2 มต จงตองพจารณาทงโมเมนตมในแนวแกน x และ y ดงน โมเมนตมในแนวแกน x กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน x หลงชน

0mv + = cos 60 cos30p nmv mv+ (1) โมเมนตมในแนวแกน y กอนชน = โมเมนตมในแนวแกน y หลงชน

0 = sin 60 sin 30p nmv mv− m หารตลอด ได

0 = sin 60 sin 30p nv v−

โมเมนตมและการชน - 51

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

0 = (0.866) (0.5)p nv v− (2) ได 1.732n pv v= แทนคา nv ในสมการ (1) ได

1 32 2pv ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 104 10×

pv = 10102× เมตร/วนาท

nv = 101032 × เมตร/วนาท ตอบ

ข) กอนการชนกนอนภาคนวตรอนเทานนทมพลงงานจลน พลงงานจลนของอนภาคนวตรอนหาไดจากสมการ

212kE mv=

= ( )210104m21

×

พลงงานจลนกอนการชน = 2010m8 × จล หลงการชนอนภาคทงสองตางกเคลอนท พลงงานจลนของอนภาคทงสองหาไดจากสมการ

2 21 12 2k n n p pE m v m v= +

พลงงานจลนหลงจากการชน = ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ×+×210210 1032102m

21

= 2010m8 × จล แสดงวาพลงงานจลนกอนชนและหลงชนมคาเทากน ดงนนการชนนเปนการชนแบบยดหยน ตอบ

ตวอยาง 9.35 นกสเกตนาแขงหญงมมวล 1( ) 54m kg= และ นกสเกตนาแขงชายมมวล 2( ) 88m kg= ยนอยบนรองเทาทไมมแรงเสยดทาน ถานกสเกตนาแขงทงสองออกแรงผลกกน (ขณะหยดนง) ดงรป

โมเมนตมและการชน - 52

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ทาใหนกสเกตนาแขงหญงถอยหลงออกไปดวยความเรว 1 fv = 5.5 m/s จงหาความเรวทนกสเกตนาแขงชาย( 2 fv )

วธทา จากกฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนผลก = โมเมนตมหลงผลก 1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = + 20 0 54 (5.5 / ) 88 ( )fkg m s kg v+ = + 2 3.375 /fv m s= นกสเกตชายถอยหลงออกไปดวยอตราเรว 2 3.375 /fv m s= ตอบ

ตวอยาง 9.36 ลกบลเลยด A เคลอนทดวยความเรว vi ชนกบลกบลเลยด B ซงหยดนง ในมมเฉยง จงแสดงวาความเรวของลกบลเลยดทงสองหลงชนทามมกน 90°

วธทา

โมเมนตมและการชน - 53

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

mvi = mvƒ + mVƒ

จะได vi = vƒ + Vƒ (1)

จากสมการ (1) จะได vi ⋅ vi = (vƒ + Vƒ) ⋅ (vƒ + V)

= vƒ ⋅ vƒ + 2 vƒ ⋅ Vƒ + Vƒ ⋅ Vƒ

vi2 = vƒ2 + 2 vƒ Vƒ cos θ + Vƒ2 (2)

จาก กฎการอนรกษพลงงาน พลงงานจลนกอนชน = พลงงานจลนหลงชน

จะไดวา 2 2 21 1 12 2 2i f fmv mv mV= +

เนองจาก 1 2m m= จะได

vi2 = vƒ2 + Vƒ2 (3)

สมการ (1) = สมการ (3)

จะได 2 vƒ Vƒ cos θ = 0 หรอ θ = 90° ความเรวของลกบลเลยดทงสองหลงชนทามมกน 90° ตอบ

โมเมนตมและการชน - 54

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.37 วตถมวล m1 มความเรว v1i ชนกบวตถมวล m2 ซงอยนง จงหาความเรวหลงการชน

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน

m1v1ƒ + m2v2ƒ = m1v1i (1) จาก ความเรวสมพทธกอนชน = − (ความเรวสมพทธหลงชน)

จะได v2ƒ – v1ƒ = v1i (2) แกสมการทงสองจะได

1 21 1

1 2f i

m mv vm m

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

12 1

1 2

2f i

mv vm m

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

ตอบ

ตวอยาง 9.38 ถาวตถสองกอนเคลอนทดวยอตราเรวเทากนและชนกนแบบตรงๆ ดงรป หลงการชนวตถทงสองตดกน จงหาอตราเรวหลงการชน

วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน ( )A A B B A Bm v m v m m V+ = +

(0.5 )(2 / ) (0.3 )( 2 / ) (0.5 0.3 )kg m s kg m s kg kg V+ − = + 0.5 /V m s= อตราเรวหลงการชน 0.5 /m s= ตอบ

โมเมนตมและการชน - 55

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.39 อนภาคมวล M เคลอนทตามแนวแกน x ดวยอตราเรว v0 แลวชนกบอนภาคมวล m ซงเคลอนทดวยอตราเรว v0 ตามแนวแกน y หลงการชนอนภาคทงสองตดกน จงหา อตราเรวของอนภาคทงสองหลงการชน วธทา โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน mv0i – mv0j = (m + M) v v = (mv0i – mv0j)/(m + M) ตอบ ตวอยาง 9.40 อนภาคเหมอนกน 3 อนภาค มความเรวในทศทางตางๆกนกงนคอ 0 ,v i 03v− jและ

05v k แลวอนภาคทงสามเคลอนทมาชนกนทจดๆหนงแลวรวมตวเปนอนภาคเดยว จงหาความเรวของอนภาคทงสามหลงการชน วธทา จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน ( )A A B B C C A B Cm v m v m v m m m V+ + = + + 3A B Cv v v V+ + = 0 0 03 5 3v v v V− + =i j k

( )0 3 53vV = − +i j k

ความเรวของอนภาคทงสามหลงการชน ( )0 3 53v

= − +i j k ตอบ

ตวอยาง 9.41 อนภาคสองอนภาคมมวลเทากน เคลอนทในทศทางตางกนคออนภาคทหนงมความเรว 0v− i สวนอนภาคทสองมความเรว 0v jและมการชนกนทจดๆหนง หลงการชนกนของ

อนภาคพบวาอนภาคหนงมความเรว 012

v− i

(a) จงหาความเรวของอกอนภาคหนง (b) การชนนเปนแบบยดหยนสมบรณหรอไม วธทา (a) จาก กฎการอนรกษโมเมนตม

โมเมนตมและการชน - 56

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

โมเมนตมกอนชน = โมเมนตมหลงชน A Ai B Bi A Af B Bfm v m v m v m v+ = + Ai Bi Af Bfv v v v+ = +

0 0 012 Bfv i v j v i v− + = − +

0 012Bfv v i v j= − +

ความเรวของอกอนภาคหนง 0 012

v i v j= − + ตอบ

(b) พลงงานจลนกอนชน ( ) ( )2 20 0

1 12 2

m v m v= − + (1)

20mv=

พลงงานจลนหลงชน 2 2

0 01 1 1 52 2 2 4

m v m v⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 20 0

1 258 32

mv mv= + (2)

20

532

mv=

สมการ (1) ≠ สมการ (2) จะเหนวา พลงงานจลนกอนชน ≠ พลงงานจลนหลงชน ดงนนการชนนจงไมใชการชนแบบยดหยน ตอบ

9.6 จดศนยถวงและจดศนยกลางมวล (center of gravity and center of mass) จดศนยกลางมวล หมายถงจดทเสมอนวามวลทงหมดของวตถนนมาอยรวมกนทจดน ในการโยนไมเบสบอล จดศนยกลางมวลจดเดยวเทานนทเคลอนทวถโคง ดงรป 9.27สวนจดอนๆทอยในไมเบสบอลจะมการหมนรอบจดศนยกลางมวล

โมเมนตมและการชน - 57

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 9.27 จดศนยกลางมวลเพยงจดเดยวเทานนทเคลอนทวถโคง

การกระโดดนาของนกกฬากเชนเดยวกนจดศนยกลางมวลของนกกฬาเพยงจดเดยวเทานนทเคลอนทวถโคง สวนจดอนๆจะมการเคลอนทแบบหมนรอบจดศนยกลางมวล ดงรป 9.28

รป 9.28 การเคลอนทของจดศนยกลางมวล

โมเมนตมและการชน - 58

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

1) จดศนยกลางมวลของ ระบบอนภาค

เพอใหงายในการหาจดศนยกลางมวลของ ระบบอนภาค จะหาจดศนยกลางมวลของ ระบบอนภาคทมอนภาคเพยง 2 อนภาค ดงรป 9.32

รป 9.29 จดศนยกลางมวลของอนภาค 2 อนภาค

นกศกษาสามารถดการทดลองเสมอนจรงเรองจดศนยกลางมวล ไดจาก www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual2/center-of-mass/index2.html

จดศนยกลางมวลของระบบอนภาคหาไดจากสมการ

1 1 2 2CM

1 2

m x m xxm m

+=

+ (1)

ถาขยายสมการ (1) ใหใชไดกบอนภาคจานวนมากจะไดสมการ ดงน

1 1 2 2 3 3CM

1 2 3

n n

n

m x m x m x m xxm m m m+ + + ⋅⋅⋅+

=+ + + ⋅⋅⋅+

หรอ CM

i ii

ii

m xx

m=∑∑

เมอ xi คอตาแหนงของอนภาคตางๆ และ Σmi คอมวลรวมของอนภาคทงหมด (M) ถาเปนการหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคใน 3 มต จะได

โมเมนตมและการชน - 59

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

CM

CM

CM

i ii

i ii

i ii

m xx

Mm y

yMm z

zM

⎫⎪= ⎪⎪⎪⎪= ⎬⎪⎪⎪= ⎪⎪⎭

∑

∑

∑

(9.25)

ถาใหเวกเตอร CMr เปนเวกเตอรบอกตาแหนงของจดศนยกลางมวล จะได CM CM CMx y z= + +CMr i j k

i i i i i i

i i i

m x m y m z

M M M= + +∑ ∑ ∑

CMr i j k

i i i i i i

i i im x m y m z

M

+ +=∑ ∑ ∑

CM

i j kr

i i

i

m r

M=∑

CMr

i i ii x y z= + +r i j k เมอ ir คอเวกเตอรบอกตาแหนงของอนภาคท i

รป 9.30 เวกเตอร ri และ CMr ของระบบอนภาค

โมเมนตมและการชน - 60

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

นกศกษาสามารถศกษาการทดลองเสมอนจรงเรองจดศนยกลางมวล ไดจาก http://www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual2/center-of-mass/index2.html

ตวอยาง 9.42 ระบบอนภาคประกอบดวยอนภาค 3 อนภาค ดงรป จงหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

วธทา

จาก 1 1 2 2CM

1 2

......

n n

n

m x m x m xxm m m+ + +

=+ + +

CM( )(0) (3 )( ) ( )(2 )

3M M L M Lx

M M M+ +

=+ +

CM55MLx LM

= =

CMx L= ตอบ

ตวอยาง 9.43 ระบบอนภาคประกอบดวยอนภาค 3 อนภาค ดงรป จงหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

วธทา

จาก 1 1 2 2CM

1 2

......

n n

n

m x m x m xxm m m+ + +

=+ + +

CM( )(0) ( )( ) (3 )(2 )

3M M L M Lx

M M M+ +

=+ +

CM7 1.45MLx LM

= =

โมเมนตมและการชน - 61

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

CM 1.4x L= ตอบ

ตวอยาง 9.44 ระบบอนภาคประกอบดวยอนภาค 3 อนภาค ดงรป จงหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

วธทา

1 1 2 2CM

1 2

......

n n

n

m x m x m xxm m m+ + +

=+ + +

CM(10)(1) (2)(2) (5)(0) 14 0.824

10 2 5 17x + +

= = =+ +

1 1 2 2CM

1 2

......

n n

n

m y m y m yym m m+ + +

=+ + +

CM(10)(0) (2)(1) (5)(1) 7 0.412

10 2 5 17y + +

= = =+ +

จดศนยกลางมวลอยทจด (0.824,0.412) ตอบ

ตวอยาง 9.45 ระบบอนภาคประกอบดวยอนภาค 5 อนภาค ดงรป จงหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

โมเมนตมและการชน - 62

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา

จาก 1 1 2 2CM

1 2

......

n n

n

m x m x m xxm m m+ + +

=+ + +

CM(0) 2 ( ) 3 (2 )

2 3M M L M Lx

M M M+ +

=+ +

CM 1.33x L=

จาก 1 1 2 2CM

1 2

......

n n

n

m y m y m yym m m+ + +

=+ + +

CM(0) ( ) 3 (2 )

3M M L M Ly

M M M+ +

=+ +

CM 1.4y L= จดศนยกลางมวลอยทจด (1.33 ,1.4 )L L ตอบ ตวอยาง 9.46 จากรป ถาใหโลกและดวงจนทรเปนระบบเดยวกน จงหาจดศนยกลางมวลของระบบน

กาหนดให 1) ระยะหางระหวางโลกกบดวงจนทรเทากบ 3.8 × 105 km 2) มวลของโลกเปน 81 เทาของดวงจนทร 3) รศมของโลกซงมคา 6370 km

โมเมนตมและการชน - 63

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา ให A คอโลก และ B คอดวงจนทร

จาก จดศนยกลางมวล CMA A B B

A B

m x m xxm m

+=

+

5

CM(81)(0) (1)(3.8 10 )

81 1kmx + ×

=+

3CM 4.6 10x km= ×

เนองจากโลกมรศม 36.37 10 km= × ดงนนจดศนยกลางมวลของระบบโลก - ดวงจนทร จงอยภายในโลก ดงรป ตอบ ตวอยาง 9.47 จงหาจดศนยกลางมวลของโมเลกลคารบอนมอนนอกไซด (CO) ถาระยะระหวางคารบอนกบออกซเจนเทากบ d คารบอนอะตอมมมวลเทากบ 12 u และออกซเจนอะตอมมมวล

16 u

โมเลกลคารบอนมอนนอกไซด (CO) วธทา

โมเมนตมและการชน - 64

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

กาหนดให จดศนยกลางของคารบอนอยท x = 0

1 1 2 2CM

1 2

m x m xxm m

+=

+

CM(12)(0) (16)( )

12 16dx +

=+

CM16 0.5728

dx d= =

CM 0.57x d= จากคารบอนอะตอม ตอบ ตวอยาง 9.48 จงหาจดศนยกลางมวลของไฮโดรเจนคลอไรด (HCI) ถาระยะหางระหวาง อะตอมไฮโดรเจนกบอะตอมคลอรนเทากบ 0.13 nm กาหนดให ไฮโดรเจนอะตอมมมวล 1u และคลอรนอะตอมมมวล 35 u

วธทา กาหนดให จดศนยกลางของไฮโดรเจนอยท x = 0

1 1 2 2CM

1 2

m x m xxm m

+=

+

CM(1)(0) (35)(0.13 )

1 35nmx +

=+

CM 0.126x nm= จากไฮโดรเจนอะตอม ตอบ ตวอยาง 9.49 วตถแผนหนงรปสเหลยมคางหมมรกลมเสนผาศนยกลาง 5 หนวย ดงรป โดยจดศนยกลางของรอยท 3x = จดศนยกลางของรปสเหลยมอยท 5x = จดศนยกลางของแผนรปสามเหลยมอยท 13.33x = ดงรป จงหาจดศนยกลางมวลของวตถแผนน

โมเมนตมและการชน - 65

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา

จาก 1 1 2 2 3 3CM

1 2 3

m x m x m xxm m m+ +

=+ +

(1)

เนองจากมวล ( )m มคาเปนสดสวนโดยตรงกบพนท ( )A ดงนนจงสามารถแปลงสมการ (1) ใหอยในรปของพนทไดดงน

1 1 2 2 3 3CM

1 2 3

A x A x A xxA A A+ +

=+ +

(2)

แทนคาตางๆในสมการ (2) ได

22 2

CM 22 2

10(2.5) (3) (10) (5) (13.33)2 8.510(2.5) (10)2

xπ

π

⎛ ⎞− + + ⎜ ⎟⎝ ⎠= =⎛ ⎞− + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

จดศนยกลางมวลอยท 8.5x = ตอบ ตวอยาง 9.50 อนภาคมวล m อยทปลายของสามเหลยมดานเทายาว L จงหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

วธทา

โมเมนตมและการชน - 66

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

กาหนดใหจดกากบาทเปนจด 0x = , 0y =

1 1 2 2 3 3CM

1 2 3

m x m x m xxm m m+ +

=+ +

CM

( )(0) ( ) ( )( )2Lm m m L

xm m m

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ +

CM

323 2

mL Lxm

= =

ในทานองเดยวกน 1 1 2 2 3 3CM

1 2 3

m y m y m yym m m+ +

=+ +

CM

( )(0) ( ) ( )( )2Lm m m L

ym m m

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ +

CM

323 2

mL Lym

= =

จดศนยกลางมวลอยทจด ,2 2L L⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

ตอบ

ตวอยาง 9.51 จากรป จงหาจดศนยกลางมวลของวตถชนน

วธทา เพอใหงายในการหาจดศนยกลางมวลจะของวตถชนน จะแยกวตถชนนออกเปนสองสวน คอสวนทเปนสเขมและสวนทเปนสออน ดงรป

โมเมนตมและการชน - 67

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

จดศนยกลางมวลของชนสเขม คอ xCM = 2 cm, yCM = 9 cm. และจดศนยกลางมวลของชนสออน คอ xCM = 8 cm, yCM = 2 cm. เราสามารถหาจดศนยกลางมวลของระบบมวลนไดจาก

1 1 2 2CM

1 2

m x m xxm m+

=+

(1)

แตเนองจากมวล ( )m มคาเปนสดสวนโดยตรงกบพนท ( )A ดงนนจงสามารถแปลงสมการ (1) ใหอยในรปของพนทไดดงน

1 1 2 2CM

1 2

A x A xxA A+

=+

CM(72)(2) (32)(8)

72 32x +

=+

CM400 3.85104

x = =

ในทานองเดยวกนสามารถหา CMy ไดจาก

1 1 2 2CM

1 2

A x A xxA A+

=+

CM(72)(9) (32)(2)

72 32y +

=+

CM712 6.85104

y = =

จดศนยกลางมวลจะของวตถชนน (3.68,6.85) ตอบ

โมเมนตมและการชน - 68

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

2) จดศนยกลางมวลของวตถทมเนอตอเนอง

รป 9.31 จดศนยกลางมวลของวตถทมเนอตอเนอง

ในการหาจดศนยกลางมวลของวตถทมเนอตอเนอง กทาไดโดยใชสมการ (9.25) แตเปลยน im เปน imΔ เนองจากเราถอวาวตถทมเนอตอเนองประกอบดวยมวลยอยๆ imΔ จานวนมาก ดงนนจะไดวา

CM

CM

CM

i ii

i ii

i ii

x mx

My m

yMz m

zM

⎫Δ⎪= ⎪⎪

Δ ⎪⎪= ⎬⎪⎪Δ⎪= ⎪⎪⎭

∑

∑

∑

(9.26)

ถา 0imΔ → สมการ (9.26) จะเขยนในรปอนทกรลไดวา

CM

CM

CM

1

1

1

x xdmM

y ydmM

z zdmM

⎫= ⎪⎪⎪= ⎬⎪⎪= ⎪⎭

∫

∫

∫

(9.27)

ถาใหเวกเตอร CMr เปนเวกเตอรบอกตาแหนงของจดศนยกลางมวล จะได CM CM CMx y z= + +CMr i j k

โมเมนตมและการชน - 69

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

หรอ 1 1 1xdm ydm zdmM M M

= + +∫ ∫ ∫CMr i j k

หรอ CM1 dmM

= ∫r r (9.28)

ตวอยาง 9.52 ระบบอนภาคหนงประกอบดวยอนภาค 3 อนภาค ดงรป จงหาจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

วธทา จาก 1 1 2 2 3 3

CM1 2 3

m x m x m xxm m m+ +

=+ +

(1kg)(1m) (1kg)(2m) (2kg)(0m)1kg 1kg 2kgCMx + +

=+ +

0.75CMx m=

และ 1 1 2 2 3 3CM

1 2 3

m y m y m yym m m+ +

=+ +

(1kg)(0) (1kg)(0) (2kg)(2m)4kgCMy + +

=

1CMy m= จดศนยกลางมวล ( )cm คอ (0.75,1)m ตอบ

โมเมนตมและการชน - 70

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.53 จงหาจดศนยกลางมวล ( )cm ของแทงโลหะทยาว L และมมวล M ดงรป 9.40

รป 9.40

กาหนดให ความหนาแนนของมวลตอหนงหนวยความยาว ( ) ML

λ =

วธทา จาก CM1x xdmM

= ∫

เมอ dm dxλ=

จะได CM0

1 L

x x dxM

λ= ∫

2

CM02

Lxx

Mλ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

2

CM 2

MLLx

M⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

จดศนยกลางมวล ของแทงโลหะ CM 2Lx = ตอบ

ตวอยาง 9.54 แผนวตถรปสามเหลยมมมฉากดงรป มมวล M จงหาจดศนยกลางมวล ( )cm ของวตถแผนน

โมเมนตมและการชน - 71

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา เนองจากแผนวตถเปนแผนระนาบ ดงนน จดศนยกลางมวล ( )cm จงเปนจดใน 2 มต กาหนดให จดศนยกลางมวล ( )cm คอ จด ( , )CM CMx y

จาก CM1x xdmM

= ∫ (1)

total mass of object area of striptotal area of object

dm = ×

( )12

Mdm ydxab

=

2Mdm ydxab

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

แทนสมการ (2) ในสมการ (1) ได

CM0

1 2( )a Mx x ydx

M ab= ∫

CM0

2 a

x xydxab

= ∫ (3)

การเปลยนตวแปร x ใหอยในรปของตวแปร y จากสามเหลยม abc กบสามเหลยม xyc จะไดวา

y bx a

=

ดงนน by xa

= (4)

แทนสมการ (4) ในสมการ (3)ได

CM0

2 ( )a bx x x dx

ab a= ∫

2CM 2 0

2 ax x dx

a= ∫

3

CM 20

23

axx

a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

จะได 23

x a=CM

ในทานองเดยวกน สามารถหาคา CMy ได

13cmy b=

โมเมนตมและการชน - 72

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ดงนนจดศนยกลางมวล ( )cm คอ 2 1( , )3 3

a b ตอบ

9.7 การเคลอนทของระบบอนภาค (motion of a system of a particles)

จาก CMCM

ddt

=rv

CM

i ii

md

M

dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦=

∑ r

v

จะได 1 iCM i

i

dmM dt

= ∑ rv

1CM i i

im

M= ∑v v (1)

CM i ii

M m= ∑v v (9.29)

สมการ (9.29) มความหมายวาโมเมนตมของศนยกลางมวล ของระบบอนภาค มคาเทากบ โมเมนตมของทกอนภาครวมกน

จาก CMCM

ddt

=va (2)

แทนสมการ (1) ในสมการ (2) ได

CM

i ii

md

M

dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦=

∑ v

a

CM1 i

ii

dmM dt

= ∑ va

CM1

i ii

mM

= ∑a a

CM i ii

M m= ∑a a

เมอ i im a คอ iF ดงนนจะได

โมเมนตมและการชน - 73

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

CM ii

M = ∑a F

CMii

M=∑F a (9.30)

สมการ (9.30) มความหมายวาแรงทงหมดทกระทากบทกอนภาค จะทาใหระบบอนภาคเคลอนทดวยความเรง

รป 9.32 แรงภายในจะไมทาใหระบบอนภาคเคลอนท

ii∑F ในสมการ (9.30) หมายถงแรงทกแรงทกระทากบระบบอนภาค แตแรงภายในจะไมสามารถ

ทาใหจดศนยกลางมวลของระบบเคลอนทได เนองจากแรงภายในของอนภาคตางๆเมอรวมกนทงหมดแลวจะมคาเปนศนย ดงนนแรงภายนอกเทานนทจะทาใหจดศนยกลางมวลของระบบเคลอนทได สมการ (9.30) จงเขยนใหมไดเปน CMext

iM=∑F a

โมเมนตมและการชน - 74

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

9.8 แรงขบเคลอนของจรวด (rocket propulsion)

รป 9.33 โมเมนตมของจรวดเทากบของแกสทพนออกมา

ในการยงปน ปนทกกระบอกจะมแรงสะทอนถอยหลง ซงแรงสะทอนถอยหลงทเกดขนนเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตม เนองจากขณะทลกปนวงออกไปกระบอกปนจะตองมโมเมนตมไปขางหลง ในขนาดเทากบโมเมนตมของลกปนแตมทศตรงขาม ดงรป 9.34

รป 9.34 ปนมแรงสะทอนถอยหลง ตามกฎการอนรกษโมเมนตม

โมเมนตมและการชน - 75

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

การสงจรวดขนสอวกาศกเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตมเชนเดยวกน คอจรวดจะพนเชอเพลงทถกเผาไหมใหวงออกมาทางดานทายของจรวด ดงรป 9.43 ถาเชอเพลงทถกปลอยออกมามจานวนมากและมความเรวสง จรวดกจะวงไปขางหนาดวยความเรวสงเชนเดยวกน ตอไปจะเปนการวเคราะหการเคลอนทของจรวดโดยใชกฎการอนรกษโมเมนตม ดงน กาหนดให เรมตน จรวดมมวล M m+ Δ และมความเรวเทากบ v เชอเพลงถกขบดนออกไปดวยความเรว ev สมพทธกบจรวด เชอเพลงทเผาไหมและถกขบดนออกไปมมวล mΔ ตอนทาย จรวดมมวล M และมความเรวเทากบ v v+ Δ

รป 9.35 ปรมาณตางๆของจรวดทเวลาเรมตนและสดทาย

จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมของจรวดและเชอเพลงในตอนเรมตน = โมเมนตมของจรวดและเชอเพลงในตอนทาย โมเมนตมของจรวดรวมทงเชอเพลง = โมเมนตมของจรวด + โมเมนตมของเชอเพลง ( ) ( ) ( )eM m v M v v m v v+ Δ = + Δ + Δ − eMv mv Mv M v mv mv+ Δ = + Δ + Δ −Δ 0 eM v v m= Δ − Δ ดงนนจะได eM v v mΔ = Δ ถาพจารณาในชวงเวลาทสนมากๆ ( 0)tΔ → จะได eMdv v dm= (9.32) เมอ M คอมวลของจรวดทเวลาใดๆ vΔ คอความเรวของจรวดทเพมขน ev คอความเรวของเชอเพลงทจรวดขบออกไป เทยบกบจรวด

โมเมนตมและการชน - 76

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

dm คอมวลของเชอเพลงทถกเผาไหมไปตอหนงหนวยเวลา และถาเชอเพลงถกเผาไหม ( )dm เทาไร มวลของจรวดกลดลง ( )dM ในปรมาณทเทากน หรอ dm dM= − (9.33) แทนสมการ (9.33) ในสมการ (9.32) ได eMdv v dM= −

หรอ edMdv vM

= −

f f

i i

v M

ev M

dMdv vM

= −∫ ∫

ln f

i

f Mei M

v v M= −

{ }ln lnf i e f iv v v M M− = − −

ln if i e

f

Mv v vM

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

ln if i e

f

Mv v vM

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (9.34)

สมการ (9.34) มความหมายวาความเรวของจรวด ( )fv มคาขนอยกบความเรวของเชอเพลง ( )ev ทถกขบดนออกมา และขนอยกบมวลทถกเผาไหมไป ถาหาอนพนธของสมการ(9.32) เทยบกบเวลา จะได

edv dMM vdt dt

= −

edMMa vdt

= −

edMF vdt

= −

เมอ F คอแรงขบดนของจรวด ( )Thrust

ดงนนจะไดวา แรงขบดน edMvdt

= (9.35)

สมการ (9.35) มความหมายวาแรงขบดนของจรวดมคาขนอยกบความเรวของเชอเพลงทถกพนปลดปลอยออกมา และอตราการเผาผลาญเชอเพลง

โมเมนตมและการชน - 77

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.55 ถาจรวดเคลอนทขนจากพนโลกดวยอตราเรว 33 10 /m s× และจรวดขบดน เชอเพลงออกไปดวยอตราเรว 35 10 /m s× สมพทธกบจรวด จงหา (a) อตราเรวของจรวดสมพทธกบโลก เมอมวลของจรวดเหลอครงหนง (b) แรงขบดนของจรวดเมอขณะเชอเพลงถกเผาไหมในอตรา 50 /kg s วธทา เราสามารถหาความเรวของจรวดไดจากสมการ

ln if i e

f

Mv v vM

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 33 10 / (5 10 / ) ln0.5

if

i

Mv m s m sM

⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟

⎝ ⎠

36.5 10 /fv m s= × (b ) แรงขบดนของจรวดหาไดจากสมการ

แรงขบดน edMvdt

=

แรงขบดน 3(5 10 / )(50 / )m s kg s= × แรงขบดน 52.5 10 N= × ตอบ

ตวอยาง 9.56 ถานกดบเพลงฉดนาออกไป แลวไดรบแรงดนกลบมา 600 N กระแสนาไหลออกจากปลายสายดบเพลง 3600 ลตร/นาท ดงรป 9.46 จงหาความเรวของสายนาทวงออกจากปลายสายยาง

วธทา หาความเรวของนาทพงออกจากปลายสายยางไดจากสมการ

โมเมนตมและการชน - 78

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

แรงขบดน edMvdt

=

600 (60 / )eN v kg s= ความเรวของนาทพงออกจากปลายสายยาง 10 /ev m s= ตอบ

ตวอยาง 9.57 สมมตเรอมวล M กาลงเคลอนทไปทางซายมอดวยความเรว Vi เดกชายมวล m วงบนเรอไปทางขวามอดวยความเรว v สมพทธกบเรอ แลวกระโดดขนไปททาเรอ จงหา อตราเรวสดทายของเรอสมพทธกบนา

วธทา

กาหนดให Vƒ คออตราเรวสดทายของเรอ

ความเรวของเดกผชายสมพทธกบนา ขณะทเขากระโดดออก คอ Vƒ – v จาก กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมกอนกระโดด = โมเมนตมหลงกระโดด

(m + M) Vi = m (Vƒ – v) + MVƒ

(m + M) Vi = (m + M) Vƒ – mv

จะได Vƒ = Vƒ + mv/(M + m)

อตราเรวสดทายของเรอสมพทธกบนา Vƒ = Vƒ + mv/(M + m) ตอบ

โมเมนตมและการชน - 79

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ตวอยาง 9.58 จรวดปลอยแกสออกมาในอตรา 1500 kg/s ดวยอตราเรว 50 km/s จงหาแรงขบดนของแกสทพนออกมา

วธทา ไมคดการเคลอนทของจรวดเมอเปรยบเทยบกบอตราเรวของแกสทพงออกมา สมมตใหแกสถกเรงออกจากสภาวะหยดนงไปจนมอตราเรว 50 km/s การดลททาใหแกสมวล m มความเรวมคาดงน การดล = โมเมนตมทเปลยนไป f iF t mv mvΔ = − f iF t m v vΔ = −( )

f imF v vt

= −Δ( )

1500 50000 0F kg s m s= −( / )( / ) 675 10F N= × แรงขบดน 675 10 N= × ตอบ

เนอหาฉบบสมบรณสามารถดไดจากหนงสอ ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย (เลม 2) เรยบเรยงโดย อ. สชาต สภาพ มจาหนายทรานหนงสอ ซเอด บค แพรพทยา ศนยหนงสอจฬาฯ ดอกหญา ศกษาภณฑ หรอตดตอสงซอทางไปรษณยไดท สานกพมพ science publishing เลขท 111/258 หมบาน มนวดกรนพารค ต.พมลราช อ.บางบวทอง จ. นนทบร โทร 085-8086712

โมเมนตมและการชน - 80

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

โจทยแบบฝกหด ขอ 1. อนภาคมวล 3 kg มความเรว 3i+4j m/s จงหาโมเมนตม และขนาดของโมเมนตม [คาตอบ (9i-120j) kg m/s ; 15 kg.m/s] ขอ 2. ตลกเทนนสไปทกาแพง ปรากฏวาแรงดลทกาแพงมตอลกเทนนส เทากบ 2 N.s และลก เทนนสสมผสกาแพงเปนเวลา 1/800 วนาท จงหาแรงดลเฉลย [คาตอบ 1.6kN] ขอ 3. แรง Fx กระทาตออนภาคมวล 2 kg ดงรป จงหา (ก) การดล (ข) ความเรวปลายของอนภาค เมอความเรวตนเปนศนย (ค) ความเรวปลายเมอความเรวตนเทากบ -2 m/s (ง) แรงดลเฉลยทกระทาตออนภาคระหวางเวลา ti = 0 ถง tf = 5s

[คาตอบ (ก) 12.1 kg.m/s (ข) 6 m/s (ค) 4 m/s (ง) 2.4 N] ขอ 3. กราฟ F - t ของลกเทนนสขณะกระทบกบไมเทนนสเปนดงรป จงหา (ก) การดล (ข) แรงดลเฉลย (ค) แรงดลสงสด [คาตอบ (ก) 13.5 kg m/s (ข) 9x103 N (ค) 18x103N] ขอ 4 ปนกลมลกปนมวล 35 g ลกปนมอตราเรว 750 m/s ถายงปนน 200 นด/นาท คนยงจะตอง ออกแรงตานการเคลอนทของปนดวยแรงเทาไร

โมเมนตมและการชน - 81

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ 87.5N] ขอ 5. ฟตบอลมวล 0.5 kg วงไปยงผรกษาประตดวยอตราเรว 15 m/s ผรกษาประตรบลกบอลนได ภายในเวลา 0.02 วนาท จงหา (ก) การดลทลกฟตบอลไดรบ (ข) แรงดลเฉลยทกระทาตอผรกษาประต [คาตอบ (ก) 750kg m/s (ข) 375 N] ขอ 6. ลกบาสมวล 3 kg เคลอนทเขาชนกาแพงดวยอตราเรว 10 m/s ในทศทางดงรป แลวกระดอน กลบดวยมมเทาเดม ถาลกบาสสมผสกบกาแพง เปนเวลา tΔ จงหาแรงดลเฉลย

[คาตอบ 260 N ในทศ –x] ขอ 7. นกสเกตนาแขงมวล 75 kg ยนอยบนพนนาแขงทไมมแรงเสยดทานเมอ เขาขวางลกบอล มวล 0.5 kg ออกไปดวยความเรว 10 m/s จงหา (ก) ระยะทางทตวเขาเคลอนทถอยหลง (ข) เขาจะตองขวางลกบอลออกไปกลก เขาจงจะมความเรวเปน 1m/s [คาตอบ (ก) 0.125 m/s (ข) 8] ขอ 8 นกบนอวกาศมวล 60 kg เดนออกจากกระสวยอวกาศ ปรากฏวาเชอกทผกตดระหวางตวเขา กบกระสวยขาด เขาจะตองสลด ถงบรรจแกสออกซเจนมวล 10 kg ทงจากระสวยดวยความเรว 12 m/s เพอใหตวเขากลบเขาไปในกระสวยได ดงแสดงในรป 9.24 ใหถอวาเรมตนนกบน อวกาศเทากบศนย จงหาวาระยะทางทมากทสดทเขาจะโดนออกจากกระสวยอวกาศ นบตงแตเชอกขาด

โมเมนตมและการชน - 82

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ 120 m] ขอ 9. หญงสาวคนหนงหนก 45 kg ยนอยบรเวณหวเรอของขนาดเลกมวล 150 kg ลาหนง ถาหญง สาวคนนเดนไปยงทายเรอดวยอตราเรว1.5 m/s สมพทธกบเรอ จงหา (ก) อตราเรวของหญงสาวคนนสมพทธกบนา (ข) อตราเรวของเรอสมพนธกบนา

[คาตอบ (ก) 1.15 m/s (ข) -0.346 m/s] ขอ 10. อกาบาตมวล 2000 kg วงเขาชนโลกดวยอตราเรว 120 m/s ถาการชนเปนไปตามกฎการ อนรกษโมเมนตม จงหาความเรวถอยหลงของโลก กาหนดมวลของโลกเทากบ 5.98 x 1024 kg

โมเมนตมและการชน - 83

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ 4x10-20 /m s ] ขอ 11. ยงลกกระสนปนมวล 10 g เขาไปฝงในแทงไมมวล 5 kg ขณะทลกปนฝงอยในแทงไมแทง ไมเคลอนทดวยความเรว 0.6 m/s จงหาอตราเรวของกระสนปนขณะกระทบแทงไม

[คาตอบ 301 m/s] ขอ 12. นกสเกตนาแขงมวล 75 kg เคลอนทดวยอตราเรว 10 m/s เขาชนนกสเกตนาแขงอกคนหนง หยดอยกบท หลงการชนนกสเกตทงสองเคลอนทตดกนไป ถากระดกนกสเกตทงสองทน ตอแรงได 4500 N กระดกนกสเกตทงสองจะหกหรอไม [คาตอบ 3.75 kN, ไมหก] ขอ 13. ราง ABC ไมมแรงเสยดทาน ดงรป มวล m1 = 5,001 kg ถกปลอยจากจด A เขาชนกบมวล m2 = 10 kg ทอยนง หลงการชนมวลทงสองตดกน จงหาความเรวของมวลทงสอง

โมเมนตมและการชน - 84

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ v = (3.0i – 1.2j) m/s] ขอ 14. มวล 3.0 kg มความเรวตน 5i m/s ชนกบมวล 2kg ทมความเรว -3j m/s หลงการชน มวลทง สองตดกน จงหาความเรวของมวลทงสอง [คาตอบ v=(3i -1.2j) m/s] ขอ 15. นวเคลยสของธาตกมมนตรงสมมวล 17x10-27kg สลายตวกลายเปนอนภาคใหม 3 อนภาค โดยอนภาคท 1 มมวล 5x10-27 kg เคลอนทในแกน y ดวยความเรว 6x106 m/s อนภาคท 2 ม มวล 8.4x10-27kg เคลอนทตามแกน x ดวยความเรว 4x106m/s จงหา (ก) ความเรวและทศทางของอนภาคท 3 (ข) พลงงานทไดจากการสลายตวของนวเคลยส

[คาตอบ (ก) vx = -9.33x106 m/s vy=-8.33x106 m/s (ข) 4.39x10-13 j] ขอ 16. ลกบลเลยดลกหนงวงดวยความเรว 4 m/s ชนกบลกบลเลยดอกลกหนงทอยกบท หลงการ ชน ลกบลเลยด ลกทวงเขาชนมความเรว 4 m/s ในทศทามม 30˚กบแนวการเคลอนทเดม

โมเมนตมและการชน - 85

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

จงหาความเรวและทศทางของลกบลเลยดทถกชน

[คาตอบ 2.5 m/s มม -60˚] ขอ 17. อนภาคมวล 3 kg อยทตาแหนง x=-5 m และอนภาคมวล 4 kg อยทตาแหนง x=3 m จงหา จดศนยกลางมวลของอนภาคทงสองน [คาตอบ -0.429 m] ขอ 18. รป แสดงตาแหนงของวตถชนดเดยวกนแตรปทรงตางกน กาหนดใหการกระจายมวล เปนไปอยางสมาเสมอ จงหาจดศนยกลางมวล [คาตอบ 2.54 m, 4.75 m] ขอ 19. วตถแผนหนงมรปรางดงรป จงหาจดศนยกลางมวล ของแผนวตถดงกลาว

โมเมนตมและการชน - 86

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ 70/6 cm, 80/6cm] ขอ 20. อนภาคมวล 2 kg มความเรว (2i-3j) m/s และอนภาคมวล มความเรว (1i+6j) m/s จงหา (ก) ความเรวของศนยกลางมวล (ข) โมเมนตมรวมของระบบ [คาตอบ (ก) (1.4i+2.4j) m/s (ข) (7i+12j) kg.m/s] ขอ 21. จรวดลาหนงมอตราการเผาผลาญเชอเพลงเทากบ 80kg/s ถาอตราเรวของเชอเพลงทปลก ปลดปลอยออกมาเทากบ 2.5x103 m/s จงหาแรงขบดนของจรวดน [คาตอบ 200 kN] เนอหาฉบบสมบรณสามารถดไดจากหนงสอ ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย (เลม 2) เรยบเรยงโดย อ. สชาต สภาพ มจาหนายทรานหนงสอ ซเอด บค แพรพทยา ศนยหนงสอจฬาฯ ดอกหญา ศกษาภณฑ B2S หรอตดตอสงซอทางไปรษณยไดท สานกพมพ science publishing เลขท 111/258 หมบาน มนวดกรนพารค ต.พมลราช อ.บางบวทอง จ. นนทบร โทร 085-8086712

หนงสออเลกทรอนกส

ฟสกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสกส 1 (ความรอน)

ฟสกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวทยาฟสกส เอกสารคาสอนฟสกส 1ฟสกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสกสดวยภาษา c ฟสกสพศวง สอนฟสกสผานทางอนเตอรเนต

ทดสอบออนไลน วดโอการเรยนการสอน หนาแรกในอดต แผนใสการเรยนการสอน

เอกสารการสอน PDF กจกรรมการทดลองทางวทยาศาสตร

แบบฝกหดออนไลน สดยอดสงประดษฐ

การทดลองเสมอน

บทความพเศษ ตารางธาต)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานกรมฟสกส ลบสมองกบปญหาฟสกส

ธรรมชาตมหศจรรย สตรพนฐานฟสกส

การทดลองมหศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหดกลาง

แบบฝกหดโลหะวทยา แบบทดสอบ

ความรรอบตวทวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐ( คดปรศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คาศพทประจาสปดาห ความรรอบตว

การประดษฐแของโลก ผไดรบโนเบลสาขาฟสกส

นกวทยาศาสตรเทศ นกวทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพศวง การทางานของอปกรณทางฟสกส

การทางานของอปกรณตางๆ

การเรยนการสอนฟสกส 1 ผานทางอนเตอรเนต

1. การวด 2. เวกเตอร3. การเคลอนทแบบหนงมต 4. การเคลอนทบนระนาบ5. กฎการเคลอนทของนวตน 6. การประยกตกฎการเคลอนทของนวตน7. งานและพลงงาน 8. การดลและโมเมนตม9. การหมน 10. สมดลของวตถแขงเกรง11. การเคลอนทแบบคาบ 12. ความยดหยน13. กลศาสตรของไหล 14. ปรมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอทหนงและสองของเทอรโมไดนามก 16. คณสมบตเชงโมเลกลของสสาร

17. คลน 18.การสน และคลนเสยง การเรยนการสอนฟสกส 2 ผานทางอนเตอรเนต

1. ไฟฟาสถต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตวเกบประจและการตอตวตานทาน 5. ศกยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหลก 8.การเหนยวนา9. ไฟฟากระแสสลบ 10. ทรานซสเตอร 11. สนามแมเหลกไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเหน13. ทฤษฎสมพทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นวเคลยร

การเรยนการสอนฟสกสทวไป ผานทางอนเตอรเนต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตม 4. ซมเปลฮารโมนก คลน และเสยง

5. ของไหลกบความรอน 6.ไฟฟาสถตกบกระแสไฟฟา 7. แมเหลกไฟฟา 8. คลนแมเหลกไฟฟากบแสง9. ทฤษฎสมพทธภาพ อะตอม และนวเคลยร

ฟสกสราชมงคล