МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт металлургии и химии

Кафедра электропривода и электротехники

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Часть I. Электротехника

Для студентов неэлектрических

специальностей ЧГУ .

ЧЕРЕПОВЕЦ

2005

2

Нохрин А. Н.

Электротехника и электроника. Курс лекций. Часть I. Электротехника. Череповец, 2005.

Курс лекций по электротехнике и электронике соответствует утвержденным учеб-

ным планам по специальности 65.32.00 – Транспортные машины и транспортно - техно-

логические комплексы по специальности17.09.00 “Подъемно – транспортные машины”.

Предлагаемый курс читался автором в ЧГУ на протяжении десяти лет. Первая

часть курса состоит из 17 лекций, рассчитана на изучение дисциплины в одном семестре

и включает материал как для аудиторного, так и для факультативного освоения.

Лекции рассмотрены и одобрены на заседании кафедры ЭП и ЭТ, протокол № 3 от

31.03.05, одобрены редакционной комиссией ИМиХ, протокол № 4 от 10.04.05.

Рецензенты: А. Г. Вэрэш – зав. кафедрой ЭП и ЭТ ИМиХ ЧГУ;

В. Л. Тамп – начальник кафедры специальных РЭС ЧВВИИРЭ

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

После первого выпуска курса лекций “Электротехника и промышлен-

ная электроника” в 1997 г. были утверждены новые учебные планы и новая

программа курса “Электротехника и электроника” для студентов неэлектри-

ческих специальностей. Изменения в новой программе обусловили перера-

ботку курса лекций.

Содержание предлагаемого курса дополнено, что привело к необхо-

димости его разделения на две части: часть I – “Электротехника”, часть II -

“Электроника”. В первой части значительно расширены темы “Магнитные

цепи и электромагнитные устройства” и “Электрические машины”, введена

тема “Измерительные приборы и электрические измерения”, изменено из-

ложение материала об электрических цепях.

Основное внимание автор стремился уделять логичности и стройности

изложения материала, по возможности увязывая его с практическими при-

ложениями в технике ПТМ. Курс лекций адаптирован к утвержденным

учебным планам по специальности 65.32.00 – Транспортные машины и

транспортно - технологические комплексы по специальности17.09.00

“Подъемно – транспортные машины”.

Автор выражает благодарность рецензентам канд. техн. наук, доценту

А. Г. Вэрэш и канд. техн. наук, доценту В. Л. Тамп за полезные предложе-

ния, которые были учтены при подготовке второго издания курса лекций.

Автор

4

ВВЕДЕНИЕ

Электротехника - область науки и техники, использующей электриче-

ские и магнитные явления для практических целей. История развития этой

науки занимает более двух столетий. Она началась после изобретения пер-

вого электрохимического источника электрической энергии в 1799 г. Имен-

но тогда началось изучение свойств электрического тока, были установлены

основные законы электрических цепей, электрические и магнитные явления

стали использоваться для практических целей, разработаны первые конст-

рукции электрических машин и приборов.

Большой вклад в развитие электротехники внесли русские ученые.

Так, еще в 1802 г. выдающийся русский ученый В.В. Петров впервые указал

на возможность использования электрической дуги для освещения. Было

разработано большое число конструкций дуговых ламп освещения. Но наи-

более экономичной оказалась электрическая свеча П.Н. Яблочкова. В пред-

ложенной Яблочковым (в 1876 г.) конструкции был впервые применен для

практических целей трансформатор. Однако главная заслуга изобретения в

том, что оно повысило спрос на генераторы переменного тока.

Все возрастающая потребность в использовании электрической энер-

гии привела к проблеме ее централизованного производства, передачи на

дальние расстояния, распределения и экономичного использования. Реше-

ние проблемы привело к разработке и созданию трехфазных электрических

цепей. Огромная заслуга в создании элементов таких цепей принадлежит

выдающемуся русскому ученому М.О. Доливо-Добровольскому. Он создал

трехфазный асинхронный двигатель, трансформатор, разработал четырех-

проводную и трехпроводную трехфазные цепи (1891г.).

5

Сегодня электрическая энергия используется в технике связи, автома-

тике, измерительной технике, навигации. Она применяется для выполнения

механической работы, нагрева, освещения, используется в технологических

процессах (электролиз), в медицине, биологии, астрономии, геологии и др.

Столь обширное проникновение электротехники в жизнь человека привело

к необходимости включить ее в состав общетехнических дисциплин при

подготовке специалистов всех технических специальностей.

При этом перед студентами стоят две главные задачи. Первая задача

заключается в усвоении физической сущности электрических и магнитных

явлений. Это позволит понять принципы работы электромагнитных уст-

ройств, правильно их эксплуатировать.

Однако, современному специалисту недостаточно знаний одних физи-

ческих явлений. Поэтому вторая задача студентов неэлектрических специ-

альностей заключается в приобретении навыков расчета элементарных це-

пей и устройств. Это позволит им успешно осваивать последующие при-

кладные курсы.

Дисциплина «Электротехника и электроника» построена так, что каж-

дая тема включает практические и лабораторные занятия. Эти виды занятий

направлены на закрепление теоретического материала, а также на развитие

первичных практических навыков применения полученных знаний к реше-

нию инженерных задач.

Весь теоретический материал имеет строгое математическое обосно-

вание. Он востребует знания студентов по математике (разделы векторной

алгебры, дифференциального, интегрального, комплексного исчисления, ря-

дов), а также по физике (разделы электричества, магнетизма, молекулярной

физики).

6

ТЕМА 1

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Электротехническое устройство и происходящие в нем физические

процессы в теории электротехники заменяют расчетным эквивалентом –

электрической цепью. Электрическая цепь - это совокупность соединенных

друг с другом проводниками источников электрической энергии и нагрузок,

по которым может протекать электрический ток. Электромагнитные

процессы в электрической цепи можно описать с помощью следующих по-

нятий: ток, напряжение, Э.Д.С., сопротивление, проводимость, индуктив-

ность, емкость.

Электрический ток может быть постоянным и переменным. Постоян-

ным называют ток, неизменный во времени. Он представляет направленное

упорядоченное движение носителей электрического заряда. Как известно из

курса физики, носителями зарядов в металлах являются электроны, в полу-

проводниках электроны и дырки (ионы), в жидкостях – ионы.

Упорядоченное движение носителей зарядов в проводниках вызывает-

ся электрическим полем. Поле создается источниками электрической энер-

гии. Источник преобразует химическую, механическую, кинетическую, све-

товую или другую энергию в электрическую энергию. Он характеризуется

Э.Д.С. и внутренним сопротивлением. Э.Д.С. источника может быть по-

стоянной или переменной во времени. Переменная Э.Д.С. может изменяться

7

во времени по любому физически реализуемому закону. Ток, протекающий

по цепи под воздействием переменной Э.Д.С., также переменный.

Для обозначения основных физических величин в теории электротех-

ники используют определенные символы. Приведем их краткий перечень:

– постоянный ток принято обозначать символом I,

– переменный ток – i(t),

– постоянную Э.Д.С. – Е,

– переменную Э.Д.С. – е(t),

– напряжение постоянного тока – U,

– напряжение переменного тока – u(t),

– сопротивление – R,

– проводимость – G,

– индуктивность – L,

– емкость – С.

В международной системе единиц (СИ) ток измеряют в «Амперах»

(А), Э.Д.С. и напряжение – в «Вольтах» (В). К единицам измерения парамет-

ров электрических цепей относятся:

– Ом (Ом) – единица сопротивления;

– Сименс (См) – единица проводимости;

– Генри (Гн) – единица индуктивности;

– Фарада (Ф) – единица емкости.

При анализе электрических цепей, как правило, оценивают значение

токов, напряжений и мощностей. В этом случае нет необходимости учиты-

вать конкретное устройство различных нагрузок. Важно знать лишь их со-

противление – R, индуктивность – L или емкость – С. Такие элементы цепи

называют приемниками электрической энергии.

Для включения и отключения элементов электрических цепей приме-

няют коммутационную аппаратуру – рубильники, выключатели, тумблеры.

8

Примеры графического изображения однополюсного выключателя, трех-

фазного рубильника и переключателя, приведены на рис. 1.1. Кроме этих

элементов в электрическую цепь могут включаться электрические приборы

для измерения тока, напряжения, мощности и других параметров.

Изображение электрической цепи с помощью условных графических

обозначений называют электрической схемой (рис. 1.2).

Зависимость тока, протекающего по приемнику электрической энер-

гии, от напряжения на этом приемнике принято называть вольтамперной

характеристикой (ВАХ) (рис. 1.3). Приемники электрической энергии,

вольтамперные характеристики которых являются прямыми линиями (ли-

ния а на рис. 1.3), называются линейными.

Электрические цепи, в состав которых включены только линейные

элементы, называются линейными электрическими цепями.

Электрические цепи, в состав которых входит хотя бы один нели-

нейный элемент (график б на рис. 1.3), называются нелинейными

электрическими цепями.

2. ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Одной из основных характеристик источников электрической энергии

является Э.Д.С. Количественно Э.Д.С. характеризуется работой А, кото-

рая совершается сторонними силами при перемещении заряда в один Кулон

9

в пределах источника

)(BQA

E = . (1.1)

Графически Э.Д.С. изображают стрелкой в кружке. Направление

стрелки совпадает с направлением сторонних сил. Перемещение заряда оп-

ределяет ток источника. Прохождение тока сопровождается потерями на на-

грев источника. Количественно потери удобно определять внутренним со-

противлением Rвн. Поэтому условное графическое обозначение источника

Э.Д.С. представляет последовательное включение Э.Д.С. Е и внутреннего

сопротивления Rвн (рис. 1.4).

На рисунке символами 1 – 1′ обозначены зажимы источника. Раз-

ность потенциалов на зажимах источника называется напряжением U[B].

Стрелками показаны положительные направления тока и напряжения. Когда

ключ К разомкнут, ток в цепи равен нулю и напряжение на зажимах источ-

ника равно Э.Д.С. Замкнем ключ К. В цепи возникнет ток

нвн RR

EI

+= . (1.2)

При этом напряжение на зажимах источника станет равным

внIREU −= . (1.3)

Рис.1.4.

E U

1

+

-

R вн

Rн

K

Источник Э.Д.С.′1

10

Зависимость напряжения U на зажимах источника от тока I изображе-

на на рис. 1.5, а. С увеличением тока напряжение на зажимах источника

уменьшается. ВАХ источника Э.Д.С. представляет прямую линию, накло-

ненную к оси токов под углом α, причем

α = arctg Rвн.

Если у источника Э.Д.С. Rвн = 0, то его ВАХ имеет вид прямой, парал-

лельной оси токов (рис. 1.5, б). Такой источник называют идеальным. На-

пряжение на зажимах такого источника не зависит от тока.

Если у некоторого источника увеличивать Е и Rвн до бесконечности,

то его ВАХ примет вид рис. 1.5, в. Такой источник питания называют ис-

точником тока. Ток такого источника IT определяется отношением

внT R

EI = (1.4)

.

и не зависит от сопротивления нагрузки, так как Rвн >> Rн. Реальный ис-

точник тока имеет конечные значения Е и Rвн, а его условное графическое

обозначение приведено на рис. 1.5, г.

При расчете электрических цепей реальный источник электрической

энергии с конечными значениями Е и Rвн заменяют источником Э.Д.С. или

источником тока (рис. 1.6 а, б). Ток в нагрузке Rн одинаков и равен

нвн RR

EI

+= .

11

1'

а б

1

1'

Rвн Rн

I т

ITE

1Rвн

Rн

Рис. 1.6. Схемы замещения источника электрической энергии: (а)- источником Э.Д.С., (б) - источником тока

Для схемы рис. 1.6, а это очевидно и следует из того, что Rвн и Rн

включены последовательно. Для схемы цепи по рис. 1.6, б известно, что ток

IT = Е/Rвн распределяется обратно пропорционально параллельно включен-

ным Rвн и Rн, т.е.:

)( нвнвн

вннвн

внT RR

R

R

E

RR

RII

+⋅=

+⋅= =

нвн RR

E

+.

Каким из двух источников воспользоваться, выбирает инженер.

Пример.

В схеме рис.1.6, а источник Э.Д.С. имеет параметры Е = 100В, Rвн =

2 Ом. Определить параметры эквивалентного источника тока в схеме рис. 1.6, б.

Решение:

АREI внT 50/ == .

Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис. 1.6, б имеют значение:

IT = 50А; Rвн = 2 Ом.

Источники питания могут иметь постоянную Э.Д.С. - Е или перемен-

ную е(t), изменяющуюся во времени по заданному закону. В первом случае

в цепи протекает постоянный ток, и она называется цепью постоянного то-

ка. Во втором случае ток i(t) и напряжение u(t) переменные, поэтому цепь

называется цепью переменного тока. В электротехнике чаще других приме-

няются синусоидальные ток и напряжение.

12

3. ПРИЕМНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Приемники электрической энергии делятся на пассивные и активные.

Пассивными называют приемники, в которых под действием приложенного

напряжения не возникает Э.Д.С. ВАХ пассивных приемников проходят через

начало координат. При отсутствии напряжения ток этих элементов равен нулю.

Основной характеристикой пассивных элементов является сопротив-

ление. Пассивные элементы, сопротивление которых не зависит от при-

ложенного напряжения, называются линейными. Реально таких элементов

не существует. Но весьма близки к ним резисторы, реостаты, лампы накали-

вания и др. Зависимость напряжения от тока в таких элементах определяется

законом Ома, т.е. U = IR, где R – сопротивление элемента. Эта зависимость

не меняется, если напряжение и ток – переменные.

К приемникам электрической энергии относятся емкостные и индук-

тивные элементы. При постоянном напряжении, приложенном к емкости, на

ее обкладках накапливается заряд

UCQ ⋅= . (1.5)

Ток через емкость не протекает. Это означает, что сопротивление ем-

кости в цепи постоянного тока равно бесконечности. Если к емкости прило-

жено переменное напряжение u(t), то и заряд на ее обкладках становится

переменным

)()( tuCtQ ⋅= . (1.6)

В этом случае в цепи возникает ток

dt

tduC

dt

tdQtic

)()()( == . (1.7)

Выражение (1.7) позволяет определить падение напряжения на емко-

сти, если в цепи протекает переменный ток

13

∫=t

cc dttiCtu

0

)(1

)( . (1.8)

Очевидно, что сопротивление емкостного элемента переменному току

определяется законом Ома, но зависит не только от величины, но и от фор-

мы тока и напряжения.

Основным параметром индуктивного элемента является индуктив-

ность – L. Если через индуктивность L протекает постоянный ток I, то в ней

возникает постоянное во времени потокосцепление самоиндукции

IL ⋅=ψ . (1.9)

Будем полагать, что элемент L идеальный, т.е. сопротивление провода

витков обмотки катушки индуктивности r отсутствует. Очевидно, что при

этом падение напряжения на элементе равно нулю.

Предположим, что индуктивный элемент подключен к источнику пе-

ременного тока i(t). Потокосцепление также будет переменным – ψ(t) =

L⋅i(t). Изменяющееся потокосцепление наводит в катушке Э.Д.С. самоин-

дукции

dt

tdiL

dt

tdteL

)()()( −=−=

ψ. (1.10)

Так как r=0, то Э.Д.С. еL(t) уравновешивает напряжение, приложенное

к индуктивности

dt

tdiLtetu L

)()()( =−= . (1.11)

Выражение (1.11) позволяет определить ток индуктивности, если из-

вестно приложенное к ней напряжение u(t).

∫=t

L dttuLti

0

)(1

)( . (1.12)

Кроме пассивных приемников в электротехнике применяются активные

приемники. К ним относятся электродвигатели, аккумуляторы в процессе их

14

заряда и др. В цепи переменного тока при определенных условиях роль актив-

ных элементов выполняют индуктивность и емкость. В активных элементах

возникает противо-Э.Д.С. Е. Приложенное к приемнику напряжение уравно-

вешивается противо-Э.Д.С. и падением напряжения на сопротивлении элемен-

та, т.е.

внRIEU ⋅+= . (1.13)

4. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Основными топологическими понятиями теории электрических цепей

являются ветвь, узел, контур, двухполюсник, четырехполюсник, граф схемы

электрических цепей, дерево графа схемы. Рассмотрим некоторые из них.

Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же

током. Она может состоять из одного или нескольких последовательно

включенных элементов. Так, схема цепи на рис. 1.7 состоит из пяти ветвей.

E

R R

R R R

I I

I2 I4 I5

11

33

5421

а 1

б

1' 2'

2

Рис. 1.7. Схема замещения разветвленнойэлектрической цепи с одним источником Э.Д.С.

Узлом называют место соединения двух элементов. Место соедине-

ния трех и более ветвей называют сложным узлом. Сложный узел обозна-

чается на схеме точкой. Сложные узлы, имеющие равные потенциалы, объ-

единяются в один потенциальный узел. На схеме рис.1.7 узлы 1′ и 2′ могут

15

быть объединены в один потенциальный узел. Поэтому схема имеет три

сложных потенциальных узла.

Контуром называют замкнутый путь, проходящий через несколько

ветвей и узлов электрической цепи. Для схемы рис. 1.7 один из контуров

включает позиции 2; R5; 2′; R4. Независимым называется контур, в состав

которого входит хотя бы одна ветвь, не принадлежащая соседним конту-

рам. Так, схема рис.1.7 содержит три независимых контура.

Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выде-

ленными зажимами – полюсами. Двухполюсник обозначают прямоугольни-

ком с индексами «А» или «П». Индекс «А» применяют для обозначения ак-

тивного двухполюсника, в составе которого есть источники Э.Д.С. Индекс

«П» применяют для обозначения пассивного двухполюсника. Например,

часть схемы рис.1.7 с зажимами а и б может быть представлена пассивным

двухполюсником (рис.1.8).

E1

R1 а

б

П

Рис.1.8. Пассивный двухполюсник

6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА

Все электрические цепи подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Крат-

кая информация об этих законах заключается в следующем.

Закон Ома для участка цепи без Э.Д.С. устанавливает связь между то-

ком и напряжением на этом участке

16

R

UI = или RIU ⋅= . (1.14)

Закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С., позволяет найти ток

этого участка

R

EUI аб

±= . (1.15)

здесь а, б - крайние точки участка; Е – значение Э.Д.С.

В (1.15) знак «плюс» ставится при совпадении направления тока, протекаю-

щего по участку, с направлением Э.Д.С.

Первый закон Кирхгофа имеет две формулировки.

1. Сумма токов, протекающих через любой узел, равна нулю.

2. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него.

Второй закон Кирхгофа можно сформулировать так:

Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом кон-

туре равна алгебраической сумме Э.Д.С. вдоль этого контура, т.е.

∑ ∑= =

=⋅n

i

m

iiii EIR

1 1

.

В каждую из сумм слагаемые входят со знаком «плюс», если они совпадают

с направлением обхода контура.

7. ПОНЯТИЯ ОБ УСТАНОВИВШЕМСЯ И ПЕРЕХОДНОМ

ПРОЦЕССАХ

Режим работы электрической цепи, при котором токи и напряжения

всех ее ветвей остаются неизменными или изменяются по периодическому

закону, называется установившимся. В электрических цепях такой режим

может иметь место при длительном воздействии источника электрической

17

энергии, при неизменных параметрах приемников или при отключенном ис-

точнике.

В реальных условиях необходимо управлять работой электрических

цепей, т. е. включать или отключать источники энергии, изменять парамет-

ры R, L и C элементов. Перечисленные действия принято называть комму-

тацией, а процессы, возникающие в результате коммутации, – переходными.

Физически переходные процессы представляют собой изменение энергети-

ческого состояния элементов и цепи в целом при переходе цепи от одного

режима (отключенного источника) к другому режиму (включенного источ-

ника). Это быстро протекающие процессы, но именно на интервалах их су-

ществования в цепи возможны опасные броски токов и напряжений. Поэто-

му переходные процессы подлежат изучению.

Рассмотрим схему цепи, приведенную на рис. 1.9, а. Будем полагать,

что параметры элементов цепи постоянны. При замкнутом ключе К сумма

падений напряжения на индуктивности L и сопротивлении R равна Э.Д.С. Е:

EiRdt

diL =⋅+⋅ . (1.16)

В выражении (1.16) ток i и Э.Д.С. Е могут принимать конечные значе-

ния. Допустим, что ток i может измениться скачком за бесконечно малый

промежуток времени ∆t. Тогда отношение ∆i / ∆t = ∞. Применение этого

значения к (1.16) означает нарушение равенства, представляющего второй

закон Кирхгофа. Следовательно, допущение о возможности скачкообразно-

го изменения тока через индуктивность неприемлемо. Однако напряжение

на индуктивности, равное dt

diL ⋅ , может измениться скачком. Полученный

вывод является обоснованием закона коммутации:

В ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет

значение, которое он имел до коммутации, а после коммутации плавно из-

18

меняется от этого значения:

).0()0( +− = LL ii

Ток в цепи с емкостью (рис. 1.9, б) определяется выражением (1.7).

Поэтому уравнение, составленное для цепи по второму закону Кирхгофа,

принимает вид:

,Eudt

duCR C

C =+⋅⋅ (1.17)

где uc – напряжение на емкости, Е – Э.Д.С. источника.

Напряжение uc и Э.Д.С. E могут принимать конечные значения. До-

пустим, что uc может измениться скачком за бесконечно малый промежуток

времени ∆t. Тогда ∆uc/∆t = ∞ и левая часть уравнения (1.17) не будет равна

правой. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного измене-

ния напряжения на емкости неприемлемо. Однако ток через емкость, рав-

ный dt

duC C⋅ , может изменяться скачком. Полученный вывод является обос-

нованием следующего закона коммутации:

В ветви с емкостью напряжение в момент коммутации сохраняет

значение, которое было до коммутации, а после коммутации плавно изме-

няется от этого значения:

).0()0( +− = CC uu

19

В зависимости от состояния энергии в индуктивных или емкостных

элементах цепей вида рис. 1.9 решаются две задачи:

– расчет цепи с нулевыми начальными условиями ,0)0( =Li

– расчет цепи с ненулевыми начальными условиями .0)0( ≠Li

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1.1. Назовите элементы электрических цепей и приведите их условные графи-

ческие обозначения. Как влияют характеристики элементов на название электрических

цепей?

1.2. Что служит расчетным эквивалентом источника электрической энергии? В

чем отличие идеального источника Э.Д.С. от идеального источника тока?

1.3. Как делятся все приемники электрической энергии? Приведите основные

соотношения между током и напряжением для R, L и С элементов.

1.4. В каких целях введены топологические понятия электрических цепей?

1.5. Сформулируйте законы коммутации электрических цепей. Приведите ма-

тематические соотношения, иллюстрирующие эти законы.

1.6. Определите внутреннее сопротивление источника Э.Д.С., если его ВАХ

имеет наклон к оси токов под углом =α 30º.

1.7. В схеме рис. 1.6, б источник тока имеет параметры IТ = 10 А, Rвн = 0,5 Ом.

Определите параметры эквивалентного источника Э.Д.С.

1.8. В схеме рис. 1.9, б источник Э.Д.С. Е = 10 В, сопротивление R = 10 Ом, а

емкость С = 0,1 мкФ. Определите напряжение на емкости и ток цепи в момент включе-

ния ключа К.

ЛЕКЦИЯ 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕ-

СКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

20

Реальные электротехнические устройства и системы имеют сложные

схемы. Перед специалистами стоят задачи расчета их параметров. Процесс

расчета параметров в теории электротехники принято называть «анализом

схем». Электрические схемы любой сложности подчиняются законам Ома и

Кирхгофа. Однако применение только этих законов часто приводит к неоп-

равданно сложным решениям. Поэтому был разработан ряд методов анали-

за, адаптированных к топологии электрических цепей и упрощающих про-

цесс расчета их параметров. В лекции рассматриваются некоторые из таких

методов.

1. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИМЕНЕНИЕМ ЗАКОНОВ

КИРХГОФА

При анализе электрических цепей определяют значение токов в их

ветвях, падение напряжения на элементах или потребляемую мощность по

заданному значению Э.Д.С., а также значение сопротивлений, проводимо-

стей или других параметров по заданным значениям тока или напряжения.

Для определенности будем полагать, что расчету подлежит значение токов

ветвей схемы, приведенной на рис. 2.1.

Суть анализа электрических цепей применением законов Кирхгофа

заключается в составлении системы из N независимых линейных уравнений,

причем

N = (n − 1) + к,

где: n – число сложных потенциальных узлов, к – число независимых конту-

ров.

По первому закону Кирхгофа составляется (n − 1) уравнение, по вто-

рому закону – к уравнений.

21

Схема рис. 2.1 содержит 5 ветвей (N=5), 3 cложных потенциальных

узла (n = 3) и 3 независимых контура (к=3). Значит, в систему необходимо

включить два уравнения по первому закону Кирхгофа (например, для уз-

лов 1 и 2) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров I,

II, III).

Обозначим на схеме стрелками условно принятые положительные на-

правления токов ветвей и направления обхода контуров. Будем полагать,

что индексы токов ветвей совпадают с индексами пассивных приемников

электрической энергии. Тогда система уравнений по законам Кирхгофа

принимает вид:

−=⋅−⋅−

=⋅+⋅+⋅

−=⋅−⋅

+=

=+

34455

2443322

212211

534

321

EIRIR

EIRIRIR

EEIRIR

III

III

.

Далее необходимо решить систему из пяти уравнений относительно

токов. Точность расчетов может быть проверена с помощью уравнения ба-

ланса мощностей источников и приемников электрической энергии:

∑ ∑= =

⋅=⋅n

к

m

ккккк IRIЕ

1 1

2 .

22

В левой части уравнения слагаемые имеют знак плюс, если направле-

ния Э.Д.С. и токов совпадают. В противном случае они имеют знак минус.

2. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Когда в состав электрической цепи входит только один источник

Э.Д.С., его ток определяется общим сопротивлением пассивных приемников

электрической энергии. Такое сопротивление называют эквивалентным –

Rэкв. Очевидно, что если известно Rэкв, то цепь можно представить в виде

двух последовательно соединенных элементов – источника Э.Д.С. и Rэкв, а

определение тока источника сводится к применению закона Ома. Процесс

перехода от электрической цепи с произвольной топологией к цепи с Rэкв на-

зывается эквивалентным преобразованием. Такое преобразование и поло-

жено в основу рассматриваемого метода анализа.

Приемы преобразования электрической цепи определяются способами

соединения пассивных элементов. Различают четыре основных способа со-

единения: последовательное, параллельное, треугольником и звездой. Рас-

смотрим сущность эквивалентных преобразований при каждом из назван-

ных способов.

2.1. Последовательное соединение элементов.

Электрическая схема с последовательным соединением элементов

приведена на рис. 2.2, а. Такая цепь имеет только один контур. Через все

элементы контура протекает один и тот же ток I. Согласно второму закону

Кирхгофа, можно записать

R1 ⋅ I + R2 ⋅ I +…+ Rn ⋅ I = Rэкв ⋅ I,

23

откуда

Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn, (2.1)

а

I = U / Rэкв.

Таким образом, видим, что схема из n последовательно соединенных

резистивных элементов может быть заменена схемой с одним элементом,

сопротивление которого определяется по (2.1).

2.2. Параллельное соединение элементов.

Параллельным называют соединение, при котором все элементы цепи

присоединяются к двум сложным потенциальным узлам и находятся под

воздействием одного и того же напряжения. Схема такой цепи приведена на

рис. 2.3. Ток каждой к – ой ветви этой цепи определяется напряжением ис-

точника U и проводимостью Gк соответствующей ветви:

Iк = Gк ⋅ U. (2.2)

Определим правило эквивалентной замены разветвленной схемы

рис.2.3, а на простейшую схему рис 2.3, б. Условием эквивалентности схем

является равенство токов на зажимах 1 – 1′, т. е.:

I = I1 + I2 + ··· + In. (2.3)

Подставляя в (2.3) значение токов из (2.2), получим:

24

,21 nэкв R

U

R

U

R

U

R

U+⋅⋅⋅++= (2.4)

откуда

∑=

=n

к кэкв RR 1

11

или в единицах проводимости

∑=

=n

ккэкв GG

1

. (2.5)

Таким образом, цепь, состоящая из n параллельных резистивных эле-

ментов, может быть заменена простейшей цепью, эквивалентное сопротив-

ление которой определяется выражением (2.5).

При параллельном соединении двух резистивных элементов с сопро-

тивлениями R1 и R2 их эквивалентное сопротивление равно:

,21

21

RR

RRRэкв

+

⋅= (2.6)

а эквивалентная проводимость

.11

21

21

21

21

GGRR

RR

RRGэкв +=

⋅

+=+= (2.7)

Токи двух ветвей при их параллельном соединении определяются по прави-

лу деления токов:

25

;21

2

11

1 RR

RI

R

RI

R

UI экв

+⋅=⋅== .

21

12 RR

RII

+⋅= (2.8)

2.3. Соединение элементов звездой или треугольником.

Соединение трех сопротивлений в виде трехлучевой звезды (рис. 2.4, а),

называют соединением «звезда», а соединение, при котором элементы об-разуют стороны треугольника (рис. 2.4, б), – «треугольник».

Очень часто при расчете электрических цепей оказывается целесооб-

разным преобразовать треугольник в звезду. Полезность преобразования на-

глядно видна на примере схемы рис. 2.5. На рис. 2.5, а приведена схема до

преобразования. Пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис.

2.5, б приведена та же схема после преобразования. Расчет токов в ней зна-

чительно проще.

При преобразовании треугольника в звезду следует пользоваться вы-

ражениями:

;132312

13121 RRR

RRR

++

⋅= ;

132312

23122 RRR

RRR

++

⋅= .

132312

23133 RRR

RRR

++

⋅= `(2.9)

26

2.4. Метод эквивалентных преобразований.

Суть метода:

1.Участки электрической цепи с последовательно и параллельно

соединенными элементами заменяют одним эквивалентным элементом. Ря-

дом последовательно выполненных преобразований схему упрощают до

элементарного вида.

2.Применением закона Ома находится ток упрощенной схемы. Его

значение определяет ток ветви, ближайшей к источнику Э.Д.С. (ток первой

ветви). Это позволяет легко вычислить токи остальных ветвей.

Рассмотрим возможность применения метода на примере анализа

схемы рис. 2.6, а. Будем полагать, что в схеме известны значение Э.Д.С. – Е

и значения сопротивлений всех ветвей. Необходимо определить токи всех

ветвей цепи.

Решение:

А) Выполняем ряд эквивалентных преобразований.

Для этого:

1) Выделяем участок с параллельно соединенными сопротивлениями

R4 и R5. Находим эквивалентное сопротивление этого участка:

.54

545,4 RR

RRR

+

⋅=

27

Приводим схему рис. 2.6, а к схеме рис. 2.6, б.

2) Находим эквивалентное сопротивление цепи относительно узлов а и б:

.)(

5,432

5.432, RRR

RRRR ба

++

+⋅=

Теперь схема представляет контур с последовательно соединенными

Е, R1 и Rа, б элементами (рис. 2.6, в), т. е. приведена к простейшему виду.

Б) Определяем токи ветвей.

Для этого:

1) Находим ток простейшей схемы (ток первой ветви – I1):

I1 = Е / (R1 + Rа,б).

2) Возвращаемся к схеме рис. 2.6, б. Учитывая, что теперь в схеме из-

вестен ток I1, находим токи ветвей R2 и R3..Для этого достаточно применить

правило деления токов (2.8):

.5,432

213 RRR

RII

++⋅= ;

5,432

5,4312 RRR

RRII

++

+⋅=

Очевидно, что после определения тока I2, ток I3 легко вычислить и по

первому закону Кирхгофа, т. е. I3 = I1 – I2.

3) Возвращаемся к схеме рис. 2.6, а. Так как теперь в схеме известны

токи I1,I2 и I3, токи I4 и I5 находим по (2.8):

28

;54

534 RR

RII

+⋅= .

54

435 RR

RII

+⋅=

Таким образом, анализ электрической цепи рис. 2.6 проведен без со-

ставления и решения системы из N = 5 линейных уравнений по законам

Кирхгофа. В этом и заключается его основное достоинство.

3. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов оказывается полезным, когда схема электри-

ческой цепи содержит несколько источников электрической энергии. Он по-

зволяет выполнить анализ такой цепи решением системы из К канонических

уравнений, где К равно числу независимых контуров.

Напомним, что канонические уравнения удобны для матричной фор-

мы представления системы. В электротехнике матрицы применяют для со-

кращенной записи системы уравнений и для упорядочения их решения.

Члены канонических уравнений снабжаются двумя индексами, при-

чем первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столб-

ца. Если ввести понятия контурных токов, контурных сопротивлений и

Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное канони-

ческое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму за-

кону Кирхгофа.

Рассмотрим метод на примере схемы, приведенной на рис. 2.7, а. Схе-

ма имеет два независимых контура. Для ее анализа методом контурных то-

ков необходимо составить систему из двух канонических уравнений:

29

=⋅+⋅

=⋅+⋅

2222221121

1122121111

EIRIR

EIRIR, (2.10)

где: I11, I22 – контурные токи, Е11, Е22 – контурные Э.Д.С., R11, R22 – кон-

турные сопротивления, R12, R21 – взаимные сопротивления контуров.

Определим введенные понятия.

Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замы-

кающиеся в соответствующих контурах. На рис 2.7, а направление кон-

турных токов показано стрелками в контурах. Пусть направление этих токов

будет одинаковым – по часовой стрелке.

Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что

значение контурных токов совпадает со значением действительных токов

только во внешних ветвях:

I11 = I1, I22 = I4.

Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних кон-

туров:

I5 = I11 – I22.

Таким образом, по известным контурным токам легко найти действи-

тельные токи всех ветвей. Следовательно, решение системы уравнений

(2.10) относительно контурных токов отвечает целям анализа электрической

цепи.

Для решения системы уравнений (2.10) определим понятия контурных

30

сопротивлений – R11, R22, контурных Э.Д.С. – Е11, Е22 и взаимных сопротив-

лений – R12, R21:

R11 = R1 + R2 + R5, R22 = R3 + R4 +R5;

Е11 = Е1 + Е5, Е22 = Е4 −Е5.

Теперь уравнения системы (2.10) полностью соответствуют парамет-

рам схемы рис. 2.7, а. Значение взаимных сопротивлений контуров в (2.11)

определено с обратным знаком. Это обусловлено необходимостью привести

канонические уравнения (2.10) в соответствие с уравнениями, составленны-

ми по второму закону Кирхгофа. Взаимное сопротивление контуров, не

имеющих общих ветвей, равно нулю. Решая эту систему уравнений, можно

найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: I1, I2, I3, I4, I5.

Если бы схема содержала три контура, как на рис. 2.7, б, то система

канонических уравнений имела бы вид:

=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅

33333322321131

22332322221121

11331322121111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

.

Таким образом, метод контурных токов более экономен по вычисли-

тельной работе. Он позволяет формализовать процесс анализа и упрощает

применение ЭВМ к анализу сложных электрических цепей.

4. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

МЕЖДУУЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ

В реальных электрических цепях часто источники и приемники элек-

трической энергии включаются параллельно. Схемы таких цепей имеют

только два узла. Если напряжение между узлами известно, то определение

токов в ветвях цепи сводится к применению закона Ома. Этот факт и поло-

)11.2(;52112 RRR −==

31

жен в основу метода. На первом этапе определяют междуузловое напряже-

ние, а затем, применяя закон Ома, вычисляют токи ветвей.

Пусть анализу подлежит схема рис. 2.8, а. Схема содержит активные и

пассивные ветви, соединенные параллельно. Определим токи всех ветвей

цепи, применив метод междуузлового напряжения.

Формулу для междуузлового напряжения можно получить, используя

принцип суперпозиции. Следуя этому принципу, сначала определим напря-

жение, создаваемое между узлами одним источником тока и одним источ-

ником Э.Д.С. Полученные выражения распространим на общий случай, ко-

гда в цепи действует m источников Э.Д.С. и к источников тока.

Обозначим сложные потенциальные узлы схемы индексами А и В. На-

пряжение UIАВ между узлами А и В, создаваемое только источником тока I,

определим по схеме рис. 2.8, б. Согласно первому закону Кирхгофа, ток ис-

точника I равен сумме токов всех ветвей:

∑=

⋅=n

i

IАВi UgI

1

, (2.12)

где:gi – проводимость i-ой ветви (кроме ветви с источником тока).

Отсюда

.

1

∑=

=n

ii

IАВ

g

IU (2.13)

32

1EI 1EABU1EABU

ABUIABU

Напряжение 1EABU между узлами А и В, создаваемое только источником

Э.Д.С. Е1, найдем по схеме рис.2.8, в. Заменим в схеме рис.2.8, в источник

Э.Д.С. Е1 эквивалентным источником тока. Схема примет вид рис.2.8, г. Те-

перь напряжение 1EABU , создаваемое источником Э.Д.С. Е1, можно опреде-

лить по (2.13):

.

1

11

1

1

1

∑∑==

⋅== n

ii

n

ii

ЕЕАВ

g

Eg

g

IU (2.14)

Напряжение 2EABU от действия источника Э.Д.С. Е2 найдем аналогично

(2.14):

.

1

222

∑=

⋅−=

n

ii

ЕАВ

g

EgU (2.15)

Результирующее напряжение UАВ, определим как сумму от воздейст-

вия источников I, Е1 и Е2. Значения знаменателей в выражениях (2.13),

(2.14), (2.15) одинаковы. Поэтому

.321

2211

ggg

IEgEgU АВ

++

+⋅−⋅=

33

Если схема содержит к источников тока и m источников Э.Д.С., то на-

пряжение UАВ между узлами равно алгебраической сумме напряжений, соз-

даваемых источниками тока и источниками Э.Д.С., т. е.

.

1

1 1

∑

∑ ∑

=

= =

+⋅

=n

ii

m

i

k

iiii

АВ

g

IEgU (2.16)

В выражении (2.16) произведения gi,·Ei и Ii берут со знаком плюс, ко-

гда направления Еi и Ii противоположны выбранному условно – положи

тельному направлению напряжения UАВ, и со знаком минус, когда эти

направления совпадают.

Зная междуузловое напряжение UАВ, легко найти токи, как в пассив-

ных, так и в активных ветвях цепи рис. 2.8, а:

,1

11 R

ЕUI АВ

−= ,

2

22 R

ЕUI АВ

+=

.3

3 R

UI АВ=

5. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ АКТИВНОГО

ЭКВИВАЛЕНТНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

При анализе сложных электрических цепей часто интересуются элек-

трическим состоянием лишь одной ветви. В таком случае полезен метод эк-

вивалентного генератора (метод активного эквивалентного двухполюсника).

Обоснованием данного метода является теорема об активном эквивалентном

двухполюснике. Теорема утверждает, что любую, сколь угодно сложную

электрическую цепь или ее часть, можно представить активным эквива-

34

лентным двухполюсником с параметрами Еэкв и Rэкв. Режим работы ветви,

присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

Пусть анализу подлежит схема электрической цепи, приведенной на

рис. 2.9, а. Предположим, что в этой цепи нас интересуют напряжение и ток

только одной ветви – R3. Решим задачу применением метода активного эк-

вивалентного двухполюсника. Для этого всю схему, кроме ветви R3, пред-

ставим активным двухполюсником (рис. 2.9, б). К зажимам двухполюсника

а и б присоединим ветвь R3.

Параметры двухполюсника Rэкв и Еэкв определяются составом и топо-

логией схемы цепи рис. 2.9, а. Поэтому режим работы ветви R3 не изменил-

ся. Но теперь для определения тока в ней достаточно применить закон Ома:

.3

3 RR

EI

экв

эквR

+= (2.17)

В этом и заключается преимущество рассматриваемого метода.

Для решения (2.17) необходимо определить значения Еэкв и Rэкв. Зна-

чение Еэкв определяют исходя из того, что напряжение Uхх на разомкнутых

зажимах источника равно значению его Э.Д.С. – Еэкв.

Разомкнем зажимы а, б. Схема рис. 2.9, а примет вид рис. 2.10, а. На-

пряжение между разомкнутыми узлами а, б – Uхх = Еэкв. Схема рис. 2.10, а

позволяет определить это напряжение, используя принцип суперпозиции.

35

Для этого последовательно определяем напряжение узла а, затем узла б, а

затем вычисляем разность напряжений.

Напряжение узла а:

Uа = I1 · R2 = E · R2/(R1 + R2).

Напряжение узла б:

Uб = I · R4.

Тогда

.421

2 RIRR

RЕUUЕUU бaэквххаб ⋅−

+

⋅=−===

Эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – Rэкв на-

ходится также относительно разомкнутых зажимов а, б. Однако дополни-

тельно требуется исключить источники электрической энергии. Правила

исключения источников заключаются в следующем.

При исключении источника Э.Д.С. полагают, что напряжение на его

зажимах и внутреннее сопротивление равны нулю. Поэтому зажимы ис-

точника Э.Д.С. замыкают накоротко.

При исключении источника тока полагают, что ток источника равен

нулю, а внутреннее сопротивление – бесконечности. Поэтому зажимы ис-

точника тока разрываются.

После исключения источников электрической энергии схема рис. 2.10,

36

а приходит к виду рис. 2.10, б (полагаем, что между узлами а, б сохраняется

режим холостого хода). Теперь очевидно, что эквивалентное сопротивление

активного двухполюсника – Rэкв определится выражением:

4

21

21 RRR

RRRэкв +

+

⋅= .

Подставляя выражения, полученные для Еэкв и Rэкв в (2.17), получим:

.)()(

)(

432121

2142

34

21

21

4

21

2

3 RRRRRR

RRRIRE

RRRR

RR

RIRR

RE

I R+⋅++⋅

+⋅⋅−⋅=

+++

⋅

⋅−+

⋅

=

Таким образом, метод активного эквивалентного двухполюсника су-

щественно упрощает процесс анализа, но требует определенных навыков в

преобразовании топологии схемы к удобному и наглядному виду.

7. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В практике электротехники часто встречаются цепи с R и L элемента-

ми, например, цепи с электродвигателями, трансформаторами, электромаг-

нитными реле и т. д. Схема замещения таких цепей имеет вид рис. 2.11, а.

При подключении к цепи источника постоянного напряжения, в ней возни-

кает переходной процесс. К анализу переходных процессов применяют

классический, операторный методы или метод с использованием интеграла

Дюамеля. Рассмотрим классический метод анализа переходного процесса.

После замыкания ключа К в положение 1 электрическое состояние це-

пи определяется выражением (1.16). Это линейное дифференциальное урав-

нение. Общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен

37

сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения одно-

родного уравнения.

Частное решение находят с учетом законов коммутации (ток через индук-

тивность в момент коммутации не изменяется). Поэтому решение имеет вид:

kпр R

Eti =)( . (2.18)

Результат частного решения называют принужденной составляющей тока.

Однородное уравнение получают из (1.16) с учетом до коммутацион-

ных начальных условий:

0=⋅+⋅ прk iRdt

diL . (2.19)

Общим решением (2.19) является показательная функция вида pteA ⋅ ,

причем А – постоянный коэффициент, p – корень характеристического урав-

нения. Результат общего решения называют свободной составляющей тока, т. е.:

tpсв eAti

⋅⋅=)( .

Так как при Е = 0 iпр = 0, то выражение (2.19) принимает вид

Rк + L·P = 0,

откуда

L

RP k−= .

Общее решение определяется как сумма составляющих:

tL

R

kсвпр

k

eAR

Eiiti

⋅−

⋅+=+=)( . (2.20)

Согласно первому закону коммутации при t = 0 ток i(t) также равен

нулю. Поэтому (2.20) приходит к виду

0=+ AR

E

k

,

откуда

38

kR

EA −= .

Подставляя значение А в (2.20) получаем окончательное решение:

),1()( τt

k

tL

R

kk

eR

Ee

R

E

R

Eti

k −⋅−

−⋅=⋅−= (2.21)

где τ = L/Rк – постоянная цепи.

Выражение (2.21) показывает, что ток в цепи с индуктивностью на-

растает по экспоненциальному закону, стремясь к значению U/R. Скорость

изменения тока определяется постоянной цепи τ. Эта зависимость показана

на графиках рис. 2. 11, б. На графиках τ1 = L/Rк, τ2 = 2L/Rк.

Напряжение на резистивном элементе пропорционально току (рис. 2.11, в)

),1( τt

R eUU k−

−⋅=

а на индуктивности

.τt

RL eUUUU k−

⋅=−=

R

U 1τ

2τ RU

LU

Рассмотрим переходный процесс при отключении источника постоян-

ного напряжения от цепи рис. 2.11, а. Допустим, что ключ К находится в

положении 1 достаточно долго, так, что цепь перешла в установившейся

режим. В установившемся режиме сила тока ограничена только сопротивле-

нием провода катушки индуктивности – Rк, и равна kRUi /0 = . Переведем

ключ К в положение 2.

39

Согласно закону коммутации ток через индуктивность после отклю-

чения источника остается равным i0. Выражение (1.16) принимает вид:

.0)( =⋅++ iRRdt

diL k

Так как источник отсутствует, принужденной составляющей тока нет.

В цепи протекает только свободная составляющая тока

τ ′−

+−

⋅=⋅=t

tL

RR

св eAeAik

, (2.22)

где τ′ = L/(R + Rk) – постоянная цепи после переключения ключа К, А = i0.

Если R = n·Rk, то падение напряжения на нем в первый момент после

коммутации окажется в n раз больше напряжения источника. Такой бросок

напряжения может привести к аварийной ситуации в цепи. Это следует

иметь в виду при проектировании, расчете и эксплуатации цепей с индук-

тивностью.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

2.1. Как определяются знаки членов уравнений, составленных:

а) по первому закону Кирхгофа,

б) по второму закону Кирхгофа?

2.2. Составьте уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы рис.

2.7, б.

2.3. Составьте уравнения по второму закону Кирхгофа для всех контуров схемы

рис. 2.6, б.

2.4. Какое соединение участков электрической цепи называется последователь-

ным? Приведите соотношение для эквивалентного сопротивления цепи из n последова-

тельно соединенных сопротивлений.

2.5. Какое соединение участков электрической цепи называется параллельным?

Приведите соотношение для эквивалентного сопротивления цепи из n параллельно со-

единенных сопротивлений.

40

2.6. Приведите схемы соединений треугольником и звездой. Определите значение

элементов эквивалентного соединения треугольником, если в схеме рис. 2.4, а R1 = R2 =

R3 = 10 Ом.

2.7. В каких случаях возможно и целесообразно применять к анализу электриче-

ских цепей метод эквивалентных преобразований? В чем состоит суть этого метода?

2.8. В схеме рис. 2.6, б определите значение источника Э.Д.С. Е, если известно,

что R1 = R3 =2 Ом, R2 = R4,5 = 10 Ом, а I3 = 2 А.

2.9. В каких случаях целесообразно применение метода контурных токов? Как оп-

ределяются значения контурных сопротивлений и контурных Э.Д.С., взаимных сопро-

тивлений?

2.10. В чем состоит суть междуузлового метода анализа электрической цепи? Как

определяются знаки Э.Д.С. в выражении для междуузлового напряжения?

2.11. Определите UАВ и токи всех ветвей схемы рис. 2.8, в, если известно: Е1 = 10

В; R1 = 2 Ом, R2 = 10 Ом,а R3 = 20 Ом.

2.12. Для каких случаев расчета электрических цепей применяется метод активно-

го эквивалентного двухполюсника?

2.13. Сформулируйте правила определения параметров активного эквивалентного

двухполюсника.

2.14. В схеме рис. 2.6, б известно: Е = 32,8 В, R1 = R3 = 2 Ом, а R2 = R4,5 = 10

Ом. Определите ток I3 методом активного эквивалентного двухполюсника.

2.15. В схеме рис. 2.11 известно: Е = 10 В, Rк = 2 Ом, R = 20 Ом, а L = 0,1 Гн. По-

стройте график изменения тока цепи после замыкания ключа К до установившегося зна-

чения. Определите бросок напряжения на резистре R в момент размыкания ключа К по-

сле установившегося режима.

ЛЕКЦИЯ 3. СИНУС