Х«| 3 СТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЬЩ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

С. ТОРАЙҒЫРОВ- АТЫНДАҒЫ ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

51

Бірінші математикаоқулық

2 басылым өңделген жэне толықтырылған

т гк ш р ш н чЩ Л ВАСПАСЫЯ

Павлодар

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым мннистрлігі С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті

Физика, математика және ақпараттык технологиялар факультетіМатематика кафедрасы

Х амитов М. X.

Бірінші математика

оқулық

2 басылым өнделген және толыктыралған

Павлодар2013

ӨОЖ 510 (075.8) І і ЙЯИ Д И И ІКБЖ22.1я73 ... ., •

Х18

С. Торайгыров атындагы Павлодар мемлекеттік университетініңҒылыми кеңесімен басуга ұсынылды

Пікірсарапшылар:Н. К. Машрапов - Павлодар педагогикалык институтының

математика кафедрасыньгң профессоры;А. М. Мубараков - Инновациялық Еуразия университетінің

проректоры, педагогика гылымдарының докторы, профессор;Ғ. М. Мұканов - Павлодар мемлекеттік университетінің

математика кафедрасының профессоры.

Кұрастырушы М. X. Хамитов X I8 Бірінші математика: оқулық / М. X. Хамитов. - 2 басылым,

өнделген жэне толықтыралган. - Павлодар: Кереку, 2013. - 176 б.

Окулыкта техникалық оку орнында бірінші семестрде оқытылатын математика пәнінің кредиттік технологияга сәйкес багдарламага негізделген тақырыптар қарастырылган. Агымдагы, межелік және емтихан тесттерінін үлгілері жазылган. Окулык студенттерге, оқытушыларга және мектеп окушыларына құнды кұрал.

Н » 978-601-238182-5

-— — 510 (075.8)! ораиғыров КБЖ 22.1я73

атындағы і і м ?

академ ик с .ьеи сем о ^ • атындағы ғылыми

ПМУ. 2013

Материалдың дұрыс болуына, грамматикалык және орфографнялыккателерге автор жауапты

Алғы сөз

Математика ғылымының қай саласындада өте қажет екендігі баршамызға белгілі. Әсіресе техникада. Үсынып отырған оқулык машина жасау факультетінін кез келген мамандыгы ұшін бірінші семесггрде окылатын (15+30+90) 135 сагаттык багдарламага сойкес жазылган. 15 сағатта окылатын дәріс алгашқы 79 бетте, сызыкгы алгебра, аналитикалык геометрия злементтері, матсматикалык талдауға кіріспе, шектер, туынды, туындының қолданылуы, Тейлор, Маклорен формулалары, аныкталмаган интегралдар ұгымыинтегралдау әдістері.

Ағымдағы бакылау тесттері, аралык межелік тесггер, емгихан тесттері. Барлығы төрт жүзден астам тесттер студентгердін білімін тексеруге кажетті және жеткілікті.

Несиелік технологияга сәйкес жазылган окулык оқытушылар мен студентгерге құнды құрал болар деген үміттемін.

Павлодар мемлекеттік университетініңматематика кафедрасының профессоры Ғ.М. Мұканов

з

Аныкггауыштар

Екі белгісізді екі тендеу жүйесін карастырайык

V

х+Ь^у =сг \-Қ \ах

_С\Ь2--с2Ь\

ігч-С)

1

~л2Ь\_ а \С2'ш ш

а\Ьг -с 2Ь\

Тендеуді шешіп, екі түзудің киылысу нүктесінін координаттарын

таптык.М(х;у)

а А ~ а і%а, Қа 2 Ь2

дельта деп белгілейміз де, екінші ретгі аныктауыш немесе берілгенжүйенін аныктауышы деиміз

С \с2 Ь2 = Д

дельта х немесе х-тің аныктауышы делінеді, ол жүйенің аныктауышындағы белгісіз х-тің коэффициентінің бос мүшемен алмастыруынан шыгады. Дәл осылай,

а іС2 С1^2С1\ С,

СІІ Щ АУ

дельта у немесе у-тің аныктауышы табылады. Сонымен,

г Дх=Д формулалары шыгады

У=Д

Мұны Крамер ережесі дейді.

4

Крамер ережесінің жалпы түрі, п- белгісізді, п-сызыкгы

теңдеулер үшін:

а\ 1*1 +^12-^2 11*11 ” 1 а2\Хх +#22*2 +—+ Й211Х11 =^2

1 ап 1*1 2*2 і х* і 1 “ ^лРҢР1

былай жазылады: -

_ Д* _ ^ * 2 _ ^хпХ1 ■ ~Д“ , Х 2 - А х п - А

Віз мәселені жеиілдетіп, үш белгісізді үш сызыкты теңдеулерді

карастырайык:

а \ і Х + а п х + а п % ?Щ а ^ і Х + а ^ і Х + а ^ і ^ ^ Ь ^ а31х + а 32х + а 332 = Ь 2

Берілген үш жазықтыктың қиылысу нүктесі Крамер ережесі

Ах Д 2бойынша х = —г- , V = “ 7“ » ^ = ~~г~ табылады М(х,у,/)

ШЩШ Д А ДБерілген теңдеулер жүйесінің анықтауышы

Д =а \\ а \2 °31

а 2\ а 22 а У2

а 3\ а Ъ2 а ЪЪ

“ а \\а \2аН + а 2\а32а \Ъ + а 3іа !2а 23 ^3^22^13

” а 32а 23а И - а 2іа »2а 33Аныктауыш үшбұрыштар әдісімен есептелінеді немесе Саррюс әдісі

деп атапынады:

Екінші әдісі алгашкы екі тік жолды қосып жазып

Һ і/а І2=а. ,аиа і}+а, 2а а а„ +а, ,о ,,а ,2 - ( а ^ а па п +а,2а гуа , , +а-і,а 2іаі:)

Үшінші эдіс (Макмиллан әдісі):

аіі а\і а13

А В

#21 #22 ^23'“'

А В

С О АО ВС

с оа31 а32 азз

аг а

Кез келген сызыкты тендеулер жүйесін шешу аныктауыштарды есептеуге тіреледі. Ол үшін аныктауыштың касиеттерін білу кажет.

Бірінші касиеті:1) Тік жолдары элементтерін жатық жол элементтерімен

алмастырғаннан аныктауыштың мәні өзгермейді.

«11 «121

I # ш «21 «31д 1 «21 «22 а 2Ъ — «12 «22 «32■ а Ъ2 ш «13 «23 «33

ТА

тД - транспозицияланган аныктауыш деп аталынады

а \ і ’ а м 5 а \ъ - бірінші жатык жол.

а \ \ ’ а 2 \ 9 а з\ - бірінші тік жол т.с. элементтері

а \ і 5 а 22 9 а ъъ - бас (негізгі, бірінші) - диагональ,

а ъ \9 а 22 ’ а \г - қосалқы (көмекші, екінші) - диагональ

элементтері делінеді

6

2) Екінші қасиеті:Көрші (іргелес) екі тік (жатык) жол элементтерін ауыстырганман

анықтауыштың тек таңбасы өзгереді:

«11 «12 «13 «12 «11 «13 «22 «21 «23а 21 «22 «23 -- -- «22 «21 «23 і — «12 «11 «33«31 «32 «33 «32 «31 «33 «32 «31 «33

3) Үшінші қасиеті:Анықтауыштың екі тік (жатық) жол элеменпері пропорционал

болса аныктауыш нөлге тең

*п каі2 «13

аг\ к°22 «23 = 0

Ш к°Ъ2 «33Салдары: а) к=1 тең оолса анықтауыш нөлге тең

в) к=0, ягни анықтауыштың тік (жатық) жол элементтерінөлге тең болса аныктауыштың мәні де нөлге тең.

4) Төртінші қасиеті:Анықтауыштың тік (жатық) жол элементтерін тұрақты к - санына

көбейтіп, келесі тік (жатық) жол элементтеріне косқаннан анықтауыштың мәні өзгермейді.

1

«11«12+ к «11«13 «11 «12 «13«2 і« 22+К«21«23 — «21 «21 «23«31«32+ к «31«33 «31 «31 «33

Минорлар. Алгебралық толыктауыштар

Үшінші ретті анықтауыш алайық:

I а \2 а \3^ Р

а а2і - элементін сызаиық

7

Сызганнан калган аныктауыш ты мииор дейді

М21а\2 ЩаЪ2 а33

ІСІ2і - сызылган элемент бірінші тік жол және екінші жатык жол

киылысында.Алгебрапык толыктауыш СІ21 ~ элементі ушін былай жазылады

А21 (-1)

2+1 2+1м

21 (-1) а 12 а 13 а 32 а 33

Жалпы түрде кез келген Сіу элемент ушін алгебралык

толыктауыш мына формуламен аныкталады:

А..9

т •

( - 1) М .. 4 7 у5) Бесінші касиеті:

Аа 11 а \2 Ыа 2\ а 22 а 2ЪШт аъг аъъ

5. Тік (жатык) жол элементтерін сәйкес алгебралыктолыктауыштарына көбейтіп косса аныктауыштын мәні шыгады.

А і Аү | + ^ 2 іА^ і + # 3 \ А$ |

Д = а і2Д 2 + а 22^22+ а 32^32Д = а 3і ^ з і + а 2з^2 3 +йгзз^ зз

- тік жол элементтері үшш

Д-ЙГі і Й і +#12^12 + а \з А ъ^21^21^^22^22 "^2 3 "2 3Д:

А=а31А3 +СІ32Л32 + азз^зз

- жатык жол элемекггерімен жіктеп жаздык.

8

Мыеал келтірейік:

1. Үшінші тік жолмен жіктейік:

1+312 -3 0 2-1-3 -і 2 0 з+з осчт

= (-3) • (-1) 3 1 і + 1- С-і) 3 1 1 - 1 н ) 2 1 -2 + 04 - м 4 -1 11 4 -I 1= (-3X2 + 6 + 4 + 8 + 2 - 3 ) - .( -1 + 8 - 1 - 6) - (-1 - 16 + 2 - 4) = -38

Д I -38

2. Төртінші жатық жолмен жіктейік:

д = 4- (-і)*42 -3 0 -1 -3 0 -1 2 -31 1 -2 + (-і). (-1 У г 2 1 -2 2 1 11 -1 1 3 - 1 1 3 1 -1

= -4(2 +' 6 — 4 + 3) — (—1 + 18 + 2 + 6) + (1 + 6 - 6 + 9 + 1 + 4) =

= -28 - 2 5 + 15 = -38

| = -38

3. Аныктауыштын төртінші қасиетін гіайдаланып, ягни бір жолдын үш элементін нөлге айнапдырамыз.

Ол үшін бірінші тік жол элементтерін екіге кобсйтіп, екіиші тік жолға косамыз, ап бірінші тік жол элементтсрін минус үшке кобей гін, үшінші тік жолга қоссак, сонда бірінші тік жолда үш элемснт нолге айналады, ягни

9

-1 2 -3 0 -1 0 0 0 5 - 5 - 22 1 1 - 2 2 5 -5 ~ 2 . | Ц ( Ц 1 7 -10 13 1 -1 1 3 7 -10 1

7 -12 1 |4 -1 0 1 і 4 7 -12 1

- (_50 І 168 - 35 - 140 + 60 + 35) = -38

А = -38

Жалпы айтканда,

а \ \ а \2 Щ \

а 2\ а 22 а 2Ъ «31 а Ъ2 а 33

Аныктауышының а па п а п - элементтері бас диагональ (негізгіш

немесе бірінші) элементтері делінеді, ал а ъ\а 22а п - элементгері

косалкы (көмекші, екінші) диагональ элементтері деп атайды.

6) Алтыншы каеиеті:Егер тік (жатық) жол элементтерін келесі тік (жатык) жол

элементтерінін алгебралық толықтауышына көбейтіп косса, қосынды

нөл болады.

а \ і А 2 + а 21^22 + а Ъ \А>2 Йа \ \ А Ъ+ а 2\А 2Ъ+ а Ъ 1^33= 0а 12^І1 + а 22А 2 \+ а Ъ гА 1 а 12^13+«22^23+ я 31 33 а \ ъ А \ + а 2Ъ^2\ + а ЪЪА Ъ 1а \ъ А \2+ а 2ЪА 22+ а ЪЪА Ъ2~^

— тік жолдар элементтері үшін

а \ \А 2 \+ а \2^22 + а\ъ А ъ=0 =0

а \ і^ з і +сі\ \А12^32^13^33а 2 \ А \ + а 22А\2 + а 2Ъ А 3«21^31+ а 22^32+ я 23^33а Ъ 1л \ 1‘г и 32'111'Г“ 33-'І13 а Ъ \ А \ + а Ъ2А 22+ а ЪЪА 2Ъ

0> - жатык жолдар элементтері үшін

0

10

Матрицалар

Матрица А дегеніміз тік жолдар саны п, ал жатық жолдар саны к-дан тұратын сандар кестесі:

І Й1Л12* • Й п ІА а2 Іа 22 * • а 2 п

Матрицанын берілу түрлері көп к=п тең болса матрица квадрат матрица деп аталынады. Бір ғана тік жолдан тұрса, тік жол матрицацВ т Ъ I’ жатык жолдан тұрса жатык жол матрица деп аталынады

щ0 = (</,</2. Е г е р барлық элементтері нөлден тұрса матрица нөл

матрица деп аталынады. Егер квадрат матрица тек бас диагональ элементгерінен тұрса, диагональ матрица деп аталынады.

Г

ссп 0 ...00 с22-..0

\

\

Егер диагональ матрицанын элементтсрі бірге тең болса, оида бірлік матрица деп атаймыз да былай белгілейміз.

\

1 0 0с = 0 1 0

0 0 1Б I Е

\

Егер квадрат матрица берілсе, онын анықтауышын А дсііоелплеиміз.

іі

/ \«11 «12 «13

Мысалы: А — «21 «22 «23 , аныктауышы

<.«31 «32 «33 у

АА

«11 а \2 Ща 2\ а 22 а 2Ъ а Ъ\ а Ъ2 а ЪЪ

I немесе (іеі А - немісше сіеіегтіпапі

-аныктауыш деген сөз.Егер сіеМ = 0 болса, онда матрица А ерекше деп атайды. Біз

ерекше матрицаны колданбаймыз. Қолданыста сіеі А * 0 ерекше емес

матрицалар. і •Екі матрицаны косып немесе алу ушін матрицалардың өлшемі

бірдей болу керек.

АМысалы:

. 1

, =

7 1

А + 3

а \2 а \Ъ а22 а 2Ъа \ \± Ь \ \а \2±Ь\2а \Ъ± Ь \Ъа 21 ± Ь 2 \а 22 ± Ь 22а 2Ъ ± Ь 2Ъ

Ъ\Ъ

\

323 )

Ереже. А және В матрицасын көбейту үшін А матрицасының ті жолдар саны В матрицасының жатык жолдар санына тен болу керек.

/

А

\а12 а13

Мысалы:аа

21 а 22 а 23

31 а32 а

ав = Ъ-> ішяв &

* ІАІ)/

АВ<ШҺ 1 + а 12^21 + а 1 іЦ 1а 2\^\ 1+ а 22^21+ а 23^1

^«31^І1+ а 32^21+ а 33^31 I

АВ

\

V

• • •• • • /

( \ ( \• •• — - •

12

Кері матрица

-1а санына кері сан а

2 санына кері сан 2 '1, себебі

а х а -і 1 2 x 2 -і 1Олай болса,

Аныктама: -1

АГ' матрицасын А матрицага кері матрица дейміз,

егер А х А — Е - бірлік матрица.

Мысалы: А

I Iа \ \ а \2 а \3

а 2\ а 22 а 2Ъ

І а 31 а 32 а Ъ1>)

матрицасына кері матрица

мына формуламен табылады:к \

-1 1 4і А2\ тА | Ап А22 а32

А23Шж ;мұндагы

А.. - алгебралық толыктауыштар. Кез келген ерекше емес

матрицанын кері матрицасы болады. Кері матрицаиың дурыс

табылгандыгын тексеру үшін А 1 X А көбейтіндісін табамыз.

Аныктама

1

Д л

бойынша А~' х Л = £ ./ ч % \ \ г . \1 4 і 4 г Л з а \\ а 12 а 13

422 4 і з а21 а 22 а 23^31 Ауг ^ зз ) <а 3\ а 32 а 33 ;

бесінші жэне алтыншы касиеттері бойынша

Шындыгында,

анықтауыштыи

13

I

/

1

дV

Дл 0 |3 г1 0 0

0 і 0 — 0 1 0 = £

0 0 ,0 0 1А '-А = Е

Сызыкты жүйені матрицамен шешу

Үш белгісізді үш сызыкты тендеулер жүйесі берілген

а ц Х + а ^ у + а ^ Қ а21х + а 22У +а2Ъг=Ь2 а31х + а Ъ2у + а23г=Ь3

Матрицалар аркылы белгілесек;г \

Аа \ \ а \2 «13а2\ а22 а1ъ

і йг3і аЪ2 а 33X

/

/ \ X

У Ъг\Ръ)

Берілген жүйе матрица түрінде былай жазылады:

А ХТеңдеудің екі жагын кері матрицага көбейтеміз:

А~хА Х | Ш А-'А = Е , с о н т Е Х = Х-1 -I

Тендеу шешімі X = А~УВ.Төмендегідей жүйе берілсін, оны матрица аркылы шешейік

V.

Х + у + 2 = 6

2 х —у + г = 3 З х + у - г = 2

14

Ж үйенің матрицасы

1 1 1 / \ х Ү

А і 2 -1 1 х 1 у в = 3, з 1 - ъ ш ,2 , Сонымен, АХ=В

Шешімі Х=А ‘В

Апдымен, А . =

1

1 1

1

1 + 2 + 3 + 3 - 1 + 2 = 1 0 * 0

Л~х ■ іЛ кері матрица бартолыктауыштарды есептейміз.

Оны табу үшін алгебралык

-1 1

1 -1= 0 12

2 1

3 - 1= 5

I I = (-1 )1-гЗ 1

2+1

3 1

1 1

іі - 1

= 5

— 2 Л2г = ( -1 ) 2+2 1 1

3 - 1І - 4

А23 (-1)2+3 1 1

3 1= 2

1 1 1 14 , = Н Г -1 1

= 2 32 = П)М2 11 1

а3 з = ( - і Г 2 -13

'0 2 2 '

І І й 1 5 - 4 110

5 2 -з>

= 1

т

/

15

Тексеру:

4~'.4 =1 0

0 + 4 + 65 - 8 + 3

10! 5 + 4 - 9

2- 42

1

2 | 1

- 3 )

1 1 2 -1 3 1

1 ^1

- 10 -2 + 2 5 + 4 + 1 5 - 2 - 3

0 + 2 - 2"!

55

4 - 1 і2 + 3 )

1 10

Гіо 0 о^1 (\ 0 ° |0 10 0 0 1 010 0 10 ,0\ 0 \)

= £

Кері матрица дұрыс есептелінген

Х =1

10V

5 - 4 1

5 2 - 3 V

3

2

1\

103 0 - 1 2 + 2

V 3 0 + 6 - 6 у

1

10

/"10" г г

20 —- 'у

,3 0 , ,3 ,

V 1 1

Бұдан У - 2

V '), х= 1, у= 2 ,2=3

М (1;2;3) нүктесінде кеңістіктегі үш жазықтык киылысады. Гаусс эдісімен осы есепті шығарайық;Берілген жүйенің кеңейтілген матрицасын жазайык:к V г Ь X V 2 ЬШ V 2 X Ь

1 і і 6 і і і б 1 1 1 6

2 - 1 1 3

гмо//т

0 2 3 93 1 * - 1 2

РЦ V5 0 о А | 0 0 5 5

• »оірінші жатык

жолды екіншіге қоссақ, екінші жатык жолды үшіншіге коссақкеңеитілген матрица өзгереді.

Үшінші жатык жолдан, 5х=5, х=1 Екінші жатык жолдан Зх+2г=9,3+2г=92г=6, 2=3, ал бірінші жатық жолдан х+у+г=6, 1+у+3=6, у=2.

М( 1 ;2;3)

Р.8. 1) Нөлге тең емес анықтауыштарының жоғарғы ретін матрицанын рангісі дейміз.

16

Ол жөнінде Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. «Жогары математика»35-36 бетге жазылган.

2) Ерекше емес матрицалардын анықтауыштарынын жоғарғы ретін матрицаның рангі дейміа.

Екі нүктенін аракашыктығы

Екі нүкте берілсін М { ; у { ) М 2 (х2; у 2 )

А /,С = х 7 -

С М 2 = у 2 - у ,Пифагор теоремасы бойынша

м ,м 2 * -

а - м ^ м 2

Ал екі нүкте кеңістікте берілсе М х( х \у \ г ) , М 2(х г\ у 7\ 2г) омла.. к-ШШШ?.?-. ■ ДЯдН|Иі|».гп іій і\ДІІЙИІГіііЯИИІяИі

І = М ХМ 2 * М х 2 - х, )2 + ( у 2 - у У + (г2 - 2 , )2

[ С.Торайғыроөатындағы ПМУ-«ің

академик С,Бейг;е?-‘“ атындағы ғыяыт/и

К І Т А П Х А Н Д Г м

Полярлық координата

Мектептен белгілі М(х;у) нүктесі француз математигі Рене Декарт 1637 жылы ашқан тікбұрышты координата.

Ал х өсін р деп белгіленген полярлық өс десек, 0 нүктесін полюс деп апып, сагат тіліне карсы багытта өлшенген ОМ радиусьі мен полярлық өс арасындагы бұрышты (р деп белгілеп М нуктесінін

жазыктықтагы орнын анықтаймыз: М (р ; ф) р Жэне (р М нуктенін полярлық координаты делінеді. Алғашкы М нуктесіндегі келесіЩ Р і,< Р < );М 2( р 2;<р2)

Берілген карастырылган сүлбеден мынаны аныктаймыз:

Керісінше:

х

[Р = * +У2 2

V

Векторлар

Аныктама: Вектор дегеніміз багытталган кесінді а* Ъ г.с.с.Бір түзудің не параллель түзулердің бойында жатқан векторларды

параілель немесе коллинеар векторлар дейді. Оның белгісі а т к һ Бір не параллель жазықтыктарда жаткан векторларды компланар

векторлар делінеді. Бағыттары бір векторлар багытгас векторлар.

Мысалы: а Ь с---- ►-----»---- 4----

а жэне Ь багыттас

Ь және с карама-карсы векторларВекторларды косу, азайту амалдары параллелограмм ережесімен

орындалады:

А С = а+Ь

В В = а - Ь

А Е = а + Ь+ е бүлар сізге мектептен белгілі.

Е

Проекциямен берілген векторларга амалдар колдану

а = х { і + у { к V

Ъ = х2 і + у 2} + г г к V

с = хъі + у ъі + 2г к I

19

модульдері бірге тең, өзара перпендикуляр векторлар, он

кол ережесін кұрады. Сонымен, проекцияларынын косындысы.

Ь+ дегеніміз олардын

а векторының модулі а 2 2 2 *і Щ У\ + Ш

Модуль дегеніміз кесіндінің ұзындыгы болгандыктан оны адеугеде болады.

а = а Ь = Ь с =

Екі вектордың скалярлык көбейтіндісі

Ь — аЬсо&(а Ь) немесе (а Ь) = аЬсоя(а Ь).Аныктама. Екі вектордың скалярлык көбейтіндісі олардын

модульдарын арасында.ы бұрыштың косинусына көбейткенге тең.Екі вектор проекцияларымен берілсін:

а һ = (х, і+ у , } + 1 к ) ( х 2 /+ у 2) + Щ к ) £

/ х / = 1 х 1 хсозО0 = 1, / х } = 1х1хс08 90° = 0

У х)' = 1

к х к = 1

/х у = 0

к х ) = 0

ескеріп

а Ъ = х,дг2 + у ,у21 2,2,. Сонымен,

а Ь = аһсо5(аЬ), соз(а Ь~) а оаЪ

+ЖУ2 +21*52 + ? 1 Х22 +у2 2 +2г

Берілген формуламен екі вектордың арасындагы бұрышты табугаболады.

Егер (І?) * 90°,болса, онда соз 90° К 0, сондықтан.хіх2 + УгУг * ІІЁ Щ 0» ^кі вектордың перпендикуляр болуы шарты.

20

I

Ал егер а~ Ш кһ~, яғни екі вектор параллель оолса, онда

*» ^ %Параллель векторлардың проекциялары пропорционал болады

Екі вектордын векторлық көбейтіндісі

Екі вектордың векторлык көбейтіндісі былай жазылады:

ах6=с, немесе |о“Ь“] = сг0Сонымен екі вектордың векторлык көоеитіндісі жана с векторын

береді.с векторы Ь" жэне а векторларына перпендикуляр болады,

сонымен бірге векторлары оң қол ережесін қанагаттапдыруы

қажет.

а

с векторының модулі с = аЪзІп(а5) , ягни а жэне кг векторынанқұрылган паралеллограмнын ауданын анықтайды.

Енді проекцияларымен берілген екі вектордың векторлыккөоеитіндісін таоаиық.

д х^ = (г,і + у,У + (х2і + у гі + _мынаны ескеруіміз керек: /х / = 0,у ху =0Ь Ь О , с*ебебі_ 5Іп^/}=5т0о =0

ал /х/а*в ухр=і, *х/*у

Сонда оны мына сүлбемен аныктауга болады:

♦ 4 4/уьу, немесе

21

Сонымен мына фор.чтула шыгады:

Ч -

щ І к У, €

I*! Уг 2,

О жэне 5 векторларымен курылган паралеллограмнын ауданы

5 = + Щ Й - гіХг) 21 р

Үш вектордың аралас көбейтіндісі

Үш вектор берілсін:

с =

Аралас көбейтінді дегеніміз, алгашқы екі векторды векторлық түрде көбей-пп, шықкан жаңа вектордың г векторымен скалярлық көбейтіндісіи табу, яғни нәтиже скаляр (сан) болады.

а х һ = %>щ§ 2}У, I _ I у І + (ХіУг _ у л у-

Табылган жаңа векторды с векторымен көбейтеміз:

$*ь)с= | | ^ И | Ш М | - 2іх ,у +(х,у, -М|

= (у,г, — г,^,)г3 — ( х - г,дс2 )».і + — ,дс2)ғ3.Жасалынған амалдар нәтижесінде

У\хі)к I хъі+Уг]+гук | =

$ іхһ \с =Х1 У\ 2\

Х2 У2 9%

хз Уз

формуласы шығады.

22

Мұның геометриялык магынасы: берілген а,Һ,с векторларымен кұрастырылган параллелопипедтің көлемі.

Егер А ,І ,С ,0 нүктелері беріліп, пирамиданың көлемін анықтау кажет болса, формула мына түрде жазылады.

Vмсо *АСАО

Пирамида параллелепипед көлемінің алтыдан бірдей көлемін күрайды. уЩ:

1V = —пкр Щ о*Р

Егер £ х ^ = о болса, онда векторлар бір жазықтықта жатқаны, яғни компланар векторлар немесе компланар болу шарты делінеді.

Түзу

Жазықтыктағы түзудің теңдеуі жалпы түрде былай жазылады:Ах + Вх + С Щ 0,

бұл теңдеуден у-ті тапсакВу = - А х - с

А С А ь С «.У = - Г ~ Т ~в = к' - в = Ьдап

белгілесек, + ъ хендігі шыгады.Мұндагы к- түзудің бұрыштык коэффициенті, ал Ь ордината

өсінен киылган кесінді.Мысапы, у = гх + і түзуі берілсін: х = о,у = і,

у = 0,* = - -

к — 2,Ь = 1 / ^ а = к — 2.

23

У

Бұрыштык коэффициент к ^ ід а , а - түзудің х өсімен жасайтын бұрышы. Егер түзудің теңдеуін түрлендірсек:

Ах + Ву == -С ,** у . С С

1 “7 ~ = — = &Д0П

белгілесек,І V

теңдеуі шыгады.Мұны, түзудің кесінді аркылы берілген теңдеуі дейді. Мысалы.

Зх 4 у — 1 2 = 0

З х + 4 у = 12зг у- + - = 14 3

х

24

Түзудің нормал (қалыпты) теңдеуі

Ах р В у + С= 0 теңдеуін М коэффициентке көбейтіп жазайық: И А х + м в у + мс Ш о мұндагыМА =ме =к с

т тщ ш болсын

онда хсоза +у5іпсс— р = о тендеуі шыгады. Оны түзудін нормал (калыпты) теңдеуі дейдіМ2Л 2 + Мг В 2 = со.»2а Ш з і п 2а = 1

- Мсанын нормага келтіруші көбейткіш, қалыгіқа

келтіретін сан дейміз. Оның танбасы бос мүшеге (С) қарама - қарсыМысалы, Здс + 4 у — 10 = 0ЙИ

+і і

соза = —

р = 2 = 0 0

О нүктесінен берілген түзуге жүргізілген перпендикуляр р-2, оның X өсімен жасайтын бұрышы а.

25

Берілген нүктеден м 0 (*0, у 0) берілген түзуге дейінгі

кашықтыкты табу үшін берілген теңдеуді нормал түрге келтіреміз де х пен у-тің орнына М 0(*0,.у0 ) нүктесінің координаталарын коямыз.Шыккан сан іздеген кашықтыкты береді.

Мысалы:

Л/0(3,2) нүктесінің з л + 4 у - ю * с түзуіне дейінгі кашыктық былай табылады. Берілген түзудің нормал теңдеуі бізге белгілі

—2 = 0 . СондаШ! 45 3 ^ 2 - 2 * і ,4 4 = 14 Щ тФШ тіЛ

м0л/ -ді нүктенің түзуден ауыткуы деп те атайды.

Екі түзудін арасындағы бүрыш

Екі түзу берілсін: у - к ^ х + Ь ^ к ^ =у == к 2х + Ь2, к2 = і д а

Арасындагы бұрышты табайық: а = у + р(үшбұрыштың сыртқы бұрышы а онымен іргелес емес екі ішкі оұрыштың косындысына тең екендігі мектептен белгілі, олай болсау = а - В

X

1ёҮ I - р )= - - ■** I Щ 1 1 *'1 - І£а ■ і§р 1 + к}к,

. „ _ к, к , - к .87 1 + к,к, Ү I аГС‘8 1 + * . Щ ‘ екі тгүзудін арасындағы

бұрыш.

26

Егер екі түзу параллель болса, онда г#о° = о, к г щ Щ - түзулердіцпараллельдік белгісі.

г- зіп90°Егер екі түзу перпендикуляр оолса, онда / = 9 0 /# 9 0 = — — , і со5 90

5Іп 90° = 1, СО590" = 0 ,

10 1 + к±к2

сондыктан і + = 0> екі түзудің перпсндикуляр

болу шарты.

Екі нүкте аркылы өтетін түзу

Түзу берілсін: ү = кх + ь.А(хі,гі') - нүктесі арқылы өтетін

түзудің теңдеуін табайык.у, = кх, + ь ь = Уі немесе у - у, = к(х - хі) теңдеуі шыгады.Бұл тендеу берілген а (х, ,үі) нүктесі аркылы өтетін түзулер

шогының (тобының, үйірінің) тендеуі.Енді екі нүкте А (х ,,у^ және В(х-,,у7} нүктелері арқылы өтетіи

түзудің тендеуін жазайық:у - Уі = к(х - - ЬфіА{хъуг) нүктесі арқылы өтетін түзу.

Олай болса в(х7.үа) нүктесі де осы тендеуді қанагаттандырады:

у ,-у , = А:(х,- х Л к = М 5 Я —бұрыштық коэффициент.

Сонда іздеген теңдеуіміз былаи жазылады:

У “ >?і = ( ^ ~ х і ) немесех - Х і У-Ух------- — * бұл жазықтықтағыХ ц -Х і УтгУх ^

екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.Ал кеңістіктегі екі нүкте А(х ;уііяіУ,В(хгіъ;2іХ арқылы отетін

түзудің теңдеуі былай жазылады:х__* і _ у__И .- 1 __*2~ х; У2” У: -2

27

Кеңістіктегі ж азы қты қ

Кеңістіктегі жазыктық теңдеуіА х + З у + Сг + 0 — 0

мұндағы А,В,С коэффициентері жазыктыкка перпеидикуляр вектордың координаталары. 0= 0 болса жазыктык координата бас нуктесінен өтеді.

0=С=0 болса, Ах+Ву=0*ғ

Жазыктық 0 2 өсімен өтеді 0=С=ВЮ болса. х=0 2 0 у жазыктыгы.

Сол сиякты у » 0,*02- жазыктыгы, 2 * о,а«>- - жазыктығы.

Егер жазыктык ~ ~ • = 1 теңдеуімен берілсе, оны жазыктыктың

кесінді аркылы берілген тевдеуі дейді. Берілген М(л0,у0,20) нүктесі аркылы жүргізілген жазыктыктын теңдеуі былай жазылалы:

А (х - х 9) + В ( у - + с ( г - г . ) = о

Екі жаіыктыктын арасындагы бурыш

Екі жазыктыктын арасындагы бұрыш оларга жүргізілген перпенликуляр векторлардын (нормаль) арасыкдығы бүрышпен аныкталады. -

Мысалы, А%х + ВхУ + Сі2 +Ох = 0

л 2х + ғ 2у н- с2г + 1>2» о жазыктыктарынын нормалдары ^{л,, я, ,с .} жэне я3І42,в 2,С2}.

Олардын арасындағы бұрыш мына формуламен аныкталады:

28

соз пит\

Осыдан

*һ ■ П2

екі

/I, Ал + 5, /?2 + С, С2{Щ Ш + с*, 4ЛІ+ВІ+С}

жазыктык перпендикуляр оолса

П\П2 = 90°, соз 90° = 0, онда /*,Л2 + +С,С2 = 0 (±)

Ал параллель болса, онда векторлар коллинеар болғаны, ягни

ШІ ■ ;

Нүктеден ж азы қты ққа дейінгі каш ы қты к

ах + в у + сг + о = о жазықтыгы және м 0(х0,у0,20) нүктесі бсрілсін.

Алдымен жазықтыктың теңдеуін қалыгіты (нормал) тургекелтіреміз.

И А х + М В ү + М С г + МО = 0

МА = соза^МВ = созр.МС = созү,МО = —»

Қалып дегеніміз со 5 2а +• с о з 2/? +- со з 2ү = 1, М =

онын таңбасы бос мүшеге кері.Келесі амалда калыпты теңдеудегі белгісіздердің орнына

м0(х0,>0,203 нүктесінің координаталарын қоямыз. Шыққан сан іздеген

қашыктығымызды анықтайды.Мысалы, з.т - 4у + І2г - 39 = о о = -3 9 сондықтан

м и у 1— .+ 79 + 16+144 13Жазыктыктың нормал теңдеуі — х —— у + —2 - 3 = 0

я 0(2;3;5) нүктесінен берілген жазыктыкка дейінгі қашыктык тең

•2------3 + — 5 -3 = — = 113 13 13 13 13

Сонымен л/0(2,*3;5) нүктесінен берілген зх - 4у + 122 - 39 = о2

жазыктыгына дейінгі қашықтык <* - 1 —

29

Кеністіктегі үш нүкте аркьмы ж азы кты қ жүргізу

және м аСжа,у3,г,) нүктелері берілсін. аркылы өтетін жазықтыктын теңдеуі былай жазылалы

А(х - -V,) + В (у - у , ) + С(: - г , ) = 0 (I)

Ал үш нүкте берілсе, ол үшінші ретті аныктауышпен өрнектеледі

х - ж, > - у,х г - х і уг - ъ

8 *і Уі - 'л"2 = с (2)

Дәлелдеу: д/2 (г2 у2, г2) нүктесі аркылы

а (*2 Щ ) + Д(уі -у ,)+ С (г 2 - г , ) = 04 * , - дг,)+ 5(у, - у ,)+ С(г3 - Г, )= 0

Ия(Хч,іГъ2я) аркылы

Сонымен, а ,в >с, коэффициентері үшін үш белгісізді екі біртекті теңдеу алдық, ол мына аныктауышпен аныкталады: (шешіледі)

* г -* і ** ~ хі

вУ2 ~ >1Уз - Уі

С-1-I

= 0 (3)

А = Уі~Уі 22-2 , к В = - х2 -.X, 22- 2,к С = *2-* . Уі~У\

| V ы і V N 1 - *і *з ~ Щ хъ ~ х\ Уз ->*»[А: - кез келген тұракты сан.

А.В,С- нын мәндерін (1) тендеуге койсак, керекті үшінші ретті (2)аныктауыш шыгады.

Дәлелдеу керегі де осы еді.(3) формулага мысші.Үш белгісізді біртекті екі теңдеу жүйесін шешіңіз

Зх + 4 у —г = 0х - 5 у + 32 = 0чт

Теңдеуді (3) формуланы пайдаланып шешеміз:.г

3 4 - 11 - 5 3

1 0

30

X =4 -1 3 -1 3 4

£ = 7/г у = - и і о ** н

- 5 3 1 3 1 -5к = - №

Шешімі х = 1к% у = -ІОЛ, г = -\9к. Егер к - - \ десек, х = -7, у = 10,2 = 19.

Б к ін ш і ретті кисыктарШеңбер

Шеңбер дегеніміз центр деп агалатын нүктедсн бірдсй кашықтыкта орнапаскан геометриялык нүктелердің жиьшы. Анықтама бойынша

см ** в(х Щ х0у + (у - УоУ = # 2

шеңбердің теңдеуі.Егер центр 0(0; 0) нүктесінде болсах2 + у 2 т д 2

Iи>) I

х

Эллипс

Эллипс дегеніміз фокус деп атапатын г;0>нүктелерден кашыктыктарынын косындысы тұрақты геометриялық нүктелердің орыны.

Аныктама бойынша г2 — 2з— г)24- (у — 0): 4->/(х4- с )2 4- (у — 0): = 2а

түбірден құтылу үшін екі жагын квадраттаймыз:(V*2 — 2хс-4- с 1 4- у 2) = 2а — л[х2 — 2х с 4- с2 + у 2

31

С2(л'2 + 2х с + с 2 + у 2) = а 4 +- 2 а г х с + дг2с2

( а 2 — с 2) х 2 + а 2у 2 =■ а 2( а 2 — с 2)

- с&) = ь2 деп белгілесек,02лгг +-а2у2 = а гЬ*х 7Д + р * 1 теңдеуі шығады.

Мұны эллипстің канондық теңдеуі дейді. Қарапайым, жабайы деуге де болады.

Фокустар аралыгының үлкен өске катынасын эксцентриситет дейді. Л{ Л2 = 2а үлкен өсВХВ2 =2Ь кіші өс

Ғ{Ғ2 =2с- фокустар аралыгы._ 2с _ с

? “ 2а'* “ аЭллипс үшін е < і

1 ш1

Г ипербола

Гипербола дегеніміз фокус деп аталатын ғг(С}$)гғг(-тфнүктелерден кашыктықтарының айырмасы түракты геометриялык нүктелердің орыны.

Аныктамабойынша + г««2«

ү ( а - - с ) 24 - ( у - 032 - V (я* + с ) 2 + (у - 0 )а = 2а

Түрлендіреміз:- с ) 1+- у 2 = 2 а + у / ( . \ - + с )2 + у 2

32

Квадраттай м ы з:х 2 — 2хс 4- с 2 4- у 2 = 4а2 4* 4ау(л + с) 2 4- у2 4- *2 4- 2гс 4- с2 4- у2 — .хс —а1-

а2( с 2 — а*),с2 — а2 = Ь2

£ 2Ь2 — а 2ү 2 = а 2і?2

а 2 Ь2 “тендеуді гиперболанын канондық теқдеуі дейді, немесе жү.пыны, байыргы, жабайы тендеуі делінеді.

а ха 2 « 2а

ВхВ2 = 2Ь

№ = 2г

Гиперболанын эксцентриситеті е = - >-1.а

Парабола

Фокустан жэне директриса деп аталатын түзуден бірдсй кашыктыкта орналаскан геометриялық нүктелер жиынын параболадейміз.

Аныктама бойынша

33

№ № П Ш

*+§=Ф _2)3+С>" 0>гв‘ «2

л 2 + хр + = X2 — хр + ~ + у24 4

у 2 = 2рх

параболаның канондык теңдеуі, мұндагы р - параболаның параметрі делінеді. Егер парабс- а ордината өсіне симметриялы болса, ондах г = 2 р у . ; • - | | | і

Екінші ретті беттерді сфера, гиперболоид, эллипсоид. параболоид, конус, цилиндр және тагы баскаларын студенттер өз беттерімен А.К. Дүйсектің, К.Усенбаеваның, Қ.Қабдыкайыровтың, Қ.Қасымовтың, Е.Ж.Айдостың тагы баскаларының «Жогары математика» оқу кұралынан оқып алар деген үміггемін.

Айналу денелерімен мектептен таныс екендігі мәлім. А.К.Дүй€ек,С.Қ.Қасымбеков «Жогары математика» 86-93 беттер.

Функция

Мектепте окыгандарыңды естеріңе салайын.Сандар жүйесі:1) натурал сандар: 1,2,3...2) бүтін сандар: -3;-1;0;3...3) рационал сандар: ь * о А ...

34

4) иррационап сандар: т/а,а>о

5)комплекс сандар: а+ы,і = жорамал бірлік, Гаусс бірлігі

а + ьі алгебралық түрі- н = г(со5а+ шпа) тригонометриялық түрі

т(соза ■+ івіпа) = геія көрсеткіштік функция түріндс, нсмесееш = соза + ш па Эйлер формуласы арқылы.

Жиын. Сандар жиыны, студенттер жиыны, функциялар жиыиы, ақшалар жиыны (теңге, доллар, евро, рупий, сом)

(а;&) аралық, ашық жиын [в; йсегмент, тұйык жиын [а;ьу жартылай ашық, жартылай тұйықФункция төрт түрлі тәсілмен беріледі:1) ауызшы, сөзбен, тілмен2) кестемен3) график, схема, сызба, сүлбе4) формуларымен, оны аналитикалық түрмен деп те атайды.Кесте - логарифмдік, тригонометриялық кестелср.График түрлі түсті карталар, суреттер.Функция у = деп белгіленеді, мұндағы х- айнымалы шама

(немесе аргумент), у- аргументке тәуелді шама, ал Г- байланыс түрінкөрсететін белгі.

Сіздерге белгілі мына функцияларды естеріңізге саламын:1) дэрежелік функцияу=х*.егер п=0 болса у=1, жалпы түрде у=С - түрақты функция

делінеді.2) Көрсеткіштік функцияу = а* мүндағы а > 0 , а * 1

3) логарифмдік функцияУ = І0£ в а = 10, >» = 1§дг, а = е болса у = \пх

4) тригонометриялық функциялару = л п х , у - со хх , у = г д х , у = ссдх , у = з в с х , у = с о звс х

5) кері тригонометриялык функциялар

►а X

35

у = агсзіпх,у = агссозх,у = агс£дх,у = агсс£дх,у = агсзесх, у = а г с с с ^ е с л

6) көрсеткішті - дәрежелік функция (күрделі функция)у - і/(аг)*»>7) анықтамалган функция

Х.у) ш 08) параметрмен берілген функция Г.т =*<?(*)Ь'= ШАл жасанды функциялар композициясы немесе суперпозициясы

дегендер шексіз, олар күрделі функциялар немесе функциянын функциялары делінеді.

Мысалы: у = = ір(іГ),і? = <р(х) болса, онда у = / ’№(?&!)]

ШеістерАнықтама. Егер кез келген е > о саны үшін <у = # ( £ ) табылып

1* — а\ <6 теңсіздігі үпіін | / ( і ) — а \ < е теңсіздігі орындалса. онда А

санын х а ұмтылгандагы г(х) функцияның шегі дейді де былайбелгілейді:

1ІШ /М = 4 М(а;А)х—>а

Мектептен белгілі

І і т — = 0 , І і т — = оо.! - ♦ * X х -»0 х

36

зіпх л ііш----- = 1,ж-»0 XДэлелдейік.Л О = ВО = г,

Сүлбеден:$ ЬОЛВ ^секО А В * ^ Д ОЛй

~О А х ОВ5ІПх < —ОА2х < —ОА х ОАігх2 2 25Іп х -< д: -< (§х9 зіп х - к е қысқартсакл ^ х ^ 11 ч — -V — бұдан яядг соляг ^, 8ІПХ .. -1>------ Н еоз а', 1ітсо5х==1 екенін

х *-*ескерсек, ііт = 1, шығады.*-»0 XСаддарлар:1} , » “ £ . 1

-0 X

2 ) і м 3 р й 3 іV

3 )1 ш .® = 1і-*0 X5іпЗд: + /г5 х -7 агс5 Іп х .. Зх + 5 х - 7 х 1

Мысал: Ііт--------— ---------------= ііш—-— -— = -*-+° 5х + 2 агсіех х~*° 5х + 2х 1

тХ я г- ■»

Сонымен, < > эквивалент шамалар.. X Xагсзіп - * -# /

Бірінші тамаша шек

Ол үшін радиусы г-ға тең шеңбер сызайық.АО = П£Х = ОАі£Х.

37

Екінші тамаша шек

Иш (1 + -)* = е = 2.7П-0с п1 1

(1 + р * = е, у = (1 + і)*

х = 1-У = 2,а = 2 ,у = (1 + һ * = 2.25

Я' = 3 ,у = (1 + ) 3 = 2.37

• • •

л = 10,у = (1 + 1 ) «

• •

• •

х = 100л- = (1 + — )ш• 100уТабылған тізбектен

2 5 (1 + і)* < з

Егер тізбек монотонды (біркалыпты) өссе және жогаргы жагынан шектелген болса, ондай сан тізбегінің шегі болады.

ІішІ 1 + 1 1* —*Хг’ * )

= е, — = V, X СС, у - > о,/

і2іш(1 + >•)-'• = е , 1іш(1 +Г)е = е

егер логарифмдесек,

Салдар. І і ш—— = і пе = іі-И) I

1) Р Шх-»0 х

1п(і+х)~д:

(і + х)~~ е*

х - е т -1

2 ) І і т - — - = 1 = Іп е

3) Ііш ------- = 1п ал г - 0 х

38

Ньютон биномы

Бином екімүше, полином көпмүше, моном бір мүше(а + Ь )2 == а 2 + 2 аЬ + Ь2(а + Ь )3 =а а 2 + 3а 2Ь + ЗаЬ2 + Ь2

(а + і)

міне осы формуланы Ньютон биномы дейді.

- _ п _ элементтен екіден жасалган теру делінеді.

п ( п - \ % п - 2 )—----- -------- = С -л -э л е :

1 x 2 x 3элементтен үштен жасалған теру

л(л-іХ л “ 2 ) . . [ л - ( £ - і ) ] ы-------- і ------— ------------ - = Сп - п элементтен к -дан жасалган теру

1х2хЗх...хА:\-2 Ъ'... (к -\)к = к\ (Аг-факториал)5!= 1 • 2 • 3 * 4 - 5

1Л"тізоепн карастыраиық:

1\ /4Л = | 1 + - =1 + я — +П } П

1 й(й — і) 1 { а і(/? -і)(л -2 ) 1 п(п - 1)(/? - і \ п - 3 ) 12 п 1-2-3 п 1 - 2 3 - 4

+н

л(/і - іХл - 2\п - зХл - 4 ) 11-2-3-4-5 п

1 1 1 А 0 1 1 ■ І | 1, + ...-< 2 Н---- Н------ 1------1------г ... "< 2 + —■ 4- —г 4— Г + - 7 + ..3 2! 3! 4! 5! 2 22 23 24

I 1 1 1Мұндағы —+ — + — + — +2 22 23 2*

шексіз кемімелі геометриялык

профессия 5 1

онда у , ч 3. Сонымен, 2 & (1 + ;) ’• < з

Ал тізбектін біркалыпты өсетіндігі анык

Ііш! П)

\ ”= е = 2,7182818284 иррационал сан.

Негізі е саны болган логарифмдерді натурал нсмесе непер логарифмдері деп атайды. Джон Непер агылшын математигі.

39

Туынды

У - функциясы берілсін аргументке өсімше һх берсек, функция де өзгереді.

> =/"(а-Г- А л) ,Д>'=г/(л + функциянын өсімшесі.Анықтама. Функция өсімшесінің арг^мент өсімшесіне

катынасының. аргумент өсімшесі нөлге ұмтылгандагы шегін т у ы н д ыдейміз.

Д уІІШ — = у> = /Ү х )

Адг—ОДдГ ‘V 'г.ДуЩ: = /'(*) +

Сонда д>* &/'(.*) .Дхұдан /(.«+ Дл) ^ / ( л) +/'(л)Дд - осы формуланы жуыктып есептеу

формуласы дейді.Егер ах - &х,ау - &у деп алсак, онда аү~ уа х , сонымен

туындының екінші аныктамасы шыгады.Туынды дегеніміз функция дифференциалының аргумент

дифференциалына қатынасы.Туындының геометриялық магынасы.\' = Ғ(.х) кисыгьг*а ^(дг^ул) нүктесінде жанама жургізейік.

Жанаманың X өсімен жасайтын бұрышын а деп белгілейік, сонда іда ■=■ к— жанаманың бұрыштык коэффицненті. Ал осы к = /"(*<,)берілген кисыктың міх&уо) нуктесінде туындысы /

Жанаманын теңцеуі >• - Уо = П хо Х х _ | ГХХ]}

Жанамага перпендикуляр тузу нормаль делінеді.

40

Нормалъдың тендеуі (перпендикуляр болу шартын ескерсек) былай жазылады.

у - пхй )= ~ 7 ^ ) {х~ха}Туындынын физикалык мағынасы.5 - 5 ( 0 -

жол уакыттың функциясы деп жорыйық. СондаЙШ йі •-.|

жылдамдық

а = Т і үдау

Функцияларды дифференциалдау ережелері

1) Тұракты функцияның туындысы 0.у = с,у + Ду = С, Ду = С - С = 0 демек у=с болса, у’=0

2) (У ± үу ш 13* ± V қосындының туындысы.3) (№)' т + ЦУ көбейтіндінің туындысы.

4) 0 ) = ——— бөлшектің туындысы

3) Дәлелдейік: у т т Щ и(х)ү{х)у + Ду = (/(« + Дх)У(х + Ах)Ду = У(* + Дх)У(х + Дг) - (/(%)ІЧ*).. Ду н(* + ДхУ(х + Дх)-«(д:У(д- + Дх)+г4т)к(х + Д*)-н(*)Ң*)>• = Ііш — = 1іш —------- ------------------ -——------------------------------------ --ИИНІ 1 І 1 ■ I 11 1

Дх *-*0 Дх

(4) формуланың корытуын А.К. Дүйсек., Қ. Касымбековтің 177 бетінен көшіріп алыңыз.

41

Күрделі функцияныц туындысы

Күрделі функция былай берілсіну - - иСх).

Сонда,Г + А у =

Щ = Ш + Ди) - ЩАУ _ АУ х Аі/ _ Ду ^ и(х + Ах)-г/(х) Дх Аи Дх Аи Дг

Енді шекке көшсек,

у. = Ііш / ( ц + Ац) / ( » ) = 1)т / ( » + А и ) - / ( ц ) м(х + Д г)— м(х) НІІ^НННННВсЭ^йі^^^^шШпвВЯВкйИІНШІИНВННВВІ^НВІВВЛт--#0 Дг

Адг -> 0, онда Дг/ —>о.

Ахмұндағы

Сонымен -дифференциалдау дейді.

Мысалы

у = солх л і = ігдх он да у ' = - Ш и , и '

мұны күрделі функцияны

1С 0 5 X

, ЛҒНЙ 3' =1

немесе,у = сох{тдх}у = - шд(Грг) 1С 0 5 7 ЛГ

Дәрежелік функция

л-|УЦх \у - п х

Дәлелдеу: V+ Ду = <*-*- до* Ньютон биномы

Л>- = Сдг + Дх)" - = *" | п х”- 'й х + + . . .+ д * - 1 т

Аныктама бойынша

У ІІГП— = 1ІГПДх— 0 Д ү Д х--40

л-1п х +2

Сонымен у - пх

ПХ

я -І

1. Көрсеткіштік функция у = а \ у =ал Іпа Дәлелдеу:

у + Д>< = я " 4' , у ' I Ііш ~ -ЦЬх >0 Дхекш ш і гамаш а

шектің салдары бойынша = а х Іпа.

Д е р б есж агд ай у — ех9 у' — е х 9 себебі іп* = і.

2. Логарифмдік функция у - Іпх, у' =1

Дэлелдеу >т + Ду = рв: + ^

Ду = ш(л' + ^ О " Іпх =1в(х + іІХд

Г х + Ах

у = І ітАд-»0

Іп 1 +

Дх= І ітДж-»0 Ах

екінші тамаша шсктш салдары

І ітД х->0

1п(і + х )= 1

I /у = \о%а х = -— , у =Іп а

1 . Іпдг, у = 1ёдг = т -т г» У

1х \ і \ а Іп 10 д-ІпІО

3. Тригонометриялык функциялар>» = 5ІПд:, у ' = С 0 5 Л

у + Ду = 5Ів(х + Дх)Д>’ = $ т (х + Д х ) - 5Іп х =

а - р а + Р51П а - 5ІП Р = 2 5ІП---------С05

2 2

„ , х + Дх - х2 51П------------------ С05

2

/

\ 2

у ' = І ітДх->0

Дх [ Дх2 51П----С05 X + —

2 I 2Дх

5ШХ .і і т -------= 1Дх-0 х = С05Х

7 == СОЗА', у =51ПА',

у-Ь -А у= С05(х + Дх)

у = соз(х + Д х ) - с о 5 * = |с о а а - с о $ Р = -2 5 Іп (а + /? ) /2 -5Іп(а - / ? ) / 2 | =

= -25Іп |х + Д х + х

2( х + Д х - х ^

2 /

43

/2§іп

ү' = Іішх +

\Дх 2

\ Г Л- \51П

/Лг—»0 Дх

= — 51П ДГ

V = =51ПХ

С08ДГбөлшектің туындысы

/ _ (зіп дг)1 • С05 X - 5ІП ДГ ■ (сР5 х ) __ С052 X + 5ІП 2 X _ 1

С05" X С05' X С05" XV = С І £ Х

, (С05 х)' • 5ІП X - С05 X « ( ІП х ) V — ---------------------- - - ........

51П" X

-51П' Х-С05' X51П” X

151ГГ X

у = 5 есх =1

С05Х

У

I__ Г • е05 X -1 • (соз) _ 5ІПХ

С05‘ X С05' X

у = со5 есх -51ПХ

V =_ Г - 5 І П Х - 1 (бІПх ) _ С05Х

51П" X 51П" X

1. Ксрі тригонометриялық функциялар

V = а/*с5Іпх;5ІпЗОв = —, 5ІпЗО’ = 5Іп агсБІп — = —2 2 2

Екіден бір санына сэйкес доғасы отыз градус. Осыдан5ІПаГС5ІПХ = X

Олай болса зіп у = зіп агсзіп х

зіпу Ш х (күрделі функцияны туындылау)созу-у' = 1,

1 1созу созагсзіпх

созяг = л/і - з і п 2а1 1

уІ\ -з іп ^ а г с з іп х Ү

IуҺ - 7

у = агссозд:, с о з у = х , - зіп у • у' = 1

( - 1)/ зіп у = ( - 1) / зіп агссоз х =

= (— і)/л /і - соз2 агссозх = -1 /л /Г -

з іп а = л/Г- со5" а

= агссозх, у = -1Ж Ш

44

у = агсі&х, 1%у = х , ----- — у ' = \—-------------- С05 у

у = СОЗ' у =

5Іп" а + с о з2 а = 1

в 2а + 1 =со 5 ‘ а

1со5~ а = -------

1 11 + і%2агсіех 1 + ог

1 + /Я‘«

V = аГССІ£Х СІ£У = X , ------- “Г— = I------------------ 5ІП у

51П" у =

5Іп' а + С05“ а = 1

1 + сі£2а = ~ т4 — > 5Іп” а5Іп' а

11 + сі%~а

1 11 + СІ£~ агссі%х 1 + .X

у = агссі%х у = —1

1 + X1 1у = агсьесх, з е е / = х, соз^ = —, ^ = агссоз—X X

V =-1 /

Vі - і

і

> =1 , 1

агс5іп —, у = -X

1хл/х7 - !

1; = агссоБ есх, с о 5 с с у = х , ып у = —

1 I

1-У 19 -V = - >/7ГТ’

Көрсеткіштік - дэрежелік функцияныц туындысы

= £ Г ( х |(х)

Логарифмлейміз:!п V = V Іп ИГ

- ■ / = іп і / у + г — и ’у и

/ = 1/Г(ІПІ/ Г + И - V )

Көрсеткіштік дәрежелік

(р’ \ =дЧ пв-Г , ((/"| = л •£/'-' ■ V

45

яіМысал. у = (зіп дг)Г , 5Іпх=У, V = соБдс, х 2 = V , V' = 2х

= (віп дт)г | ІП 5ІП X • 2.Г 4- X2 • —------С05 ДГ$іп X і

\

Анықталмаған функциянын туындысыҒ(х,у)=0

Аргументтін туындысы (х) = 1 деп, ал функциянын туындысын у'деп оерілген өрнекті туындылаймызда, у -ты аңыктаймыз

Мысал:х 2 - 2ху + Ъу1 - 5 х + 9>> + 13 = 0

2.х~2у~2ду' + 6у*У-5 + 9у' = 0(2х + 6у + 9 )у' = -2 х + 2у + 5

, _ —2х + 2у + 5 2х + 6у + 9

Параметрмен берілген функциянын туындысы

1 = <р(і) у = | р і

Функциясы берілсінТуындынын екінші аңыктамасын пайдаланамыз

, йуУ - фах

сіу = у 'д х , сіх = , А у=

Олай болса, уя' шІ ^ т ШЩ щ Щ <р’('У

Сонымен, у 'х =<РЧ)

Мысал Р 1 аш = а

х \ = а • 3 со52 / • ( - 5Іп / )

^ = а *35Іп2 / ■ 008/

г а *35Іп” / • со5/ , , ,у* = — ;— 7 -7 — 4= К у, =

а • 3 С05 / - ( - 5 і п / )

= а с о з (5ІП*І

46

Туындылар кестесі

1) Дэрежел ік функция у = и(*)Р

у' Ш 1 • V'

Мысалы у*'ё Щ - х 4-\)

У = з(г2- х + іУ (2 х -і)Дербес жагдайлар: у=с, у = 0

і . , —1 г~. , 1 У = - \ У = — *У = уіх , у =

гГх_ лС/(д)2) Көрсеткіштік функция у = а

у ’ = а ь \п аЦ ' (х)

Мысалыу = Г 2 / = 2 Х'' \ п 2 (2 х )

Ш Щ | 'у = е \ у ' = е \ у = е ' , у = е х \ —

Щ І3) Логарифмдік функция

И : У' = 7 1 ^ У = \ о ^ ~ , У ' -\ Ц ’

и Іп а і / ] п а

у = \%и, / = — — </\[/ІпЮ

Мысаідар:^ = 1п(х2 - 5 х + і ) , / = щ — ---------(2 х -5 )х " — 5х + 7

1

1 \

1п2

>> = 1е(5Іп 3 X- ас3 } / = 7— ------ гс— (сояЗдг-З-Здг1)(^тЗдг-х ^пІО

4) Тригонометриялык функциялар> = §ІП V . у ’ = С05(/ •(/'

^ = 5ІП 4х, / = С054лг • 4> = С05І/, У = -5ІПІ/-{/'

І | . і І і V = С05 — , у = — 5ІП — і ------- -

X X I X

У = і ф , у' = — 777-у'соз V

47

у = івіх, V =

V = СС§Ц,

1СОЗ" ІХ

1

•7

^ и У і ■ 11 18іп и

У = с / § ( г - х 5) у ' = —51П'

-1Ш ? )П - і і І І Й

у - $ес V ,С05' V

У« , П , 5Іпиг” — 2х 4- 5І /„

= 5 е ф - 2.ү + 5 ] / = ----- гт— 2------Л (2хсо5" | г - 2 х + 5 )

у = с о з е с і / , т = -

1.у = С05 ес —, V =X

соз и5ІП” V

1С05 —

_____________х _

. , 1 51П ' —

X

■и'

іV

5) Кері тригонометриялык функциялар

у = агс5Іп(/, »

V = ЭГС5ІП 1 х у

л /1 -С /2

17 і- 4 9 .г 3

•і/г

7

>> = агссо5 і / , V =-1

л / і -

т г

V = агссоз] XИ : г = -11 + 4

х1

у = агсі£ІІ, 1V =

і +и-

у = агсІ%(2х - 5 х 2) / =1

\ + ( ? х - 5 х г)ЙГ*(2-10х)

>> = агссІ£І /,

5у = агссЩ—,

У = -----1 + ( 7 2

-1V =

-5^ " ■»"

*‘ /

у = агс&ссі/, иV =

иліи2 - 1

48

1 , 1 ( 1 у - а г с зес— у = — р = = •] —

х 1 * 1 _ і ' х "

V = агссоьесі/, у = — • і / '£/л/С/2 - 1

у = агссо8€с(х*2; >' = - • (2дг)

6) Көрсеткіштік - дәрежелік функция

у = 1/(хҮ(‘\ у' = і/ ' ( іпі/ і>’+ у— [/'Л/

Уі і - ЧшЗх «і

= (дс'-л: + 1 | ,х г - х + 1 = £/, І/' = 2лс-1

ЗІпЗд' = V, у'=С053х-3

у’ = (с: - Д Г + і) ІПЗі| Іпбг2 -Х+і)ЗсОзЗх + 5ІпЗх7-г-—-—I* I I ( г -* + 1 ) ;

7) Параметрмен берілген функциях = <р(і)у - 4Щ

\х = о ( і — 5іпс) • Л . *Т . \ X , =Ш1~~С08/1 V =08ІП/>у = о(1 — СОЛ) ' у * ' *

« . / I, а -2 -зт —-соз—2 2 * 1I — £2* 2-8111 —

2

Ж оғарғы ретті туындылар

У = Ят) функциясы берілсін.

Егер (а, Ь) аралығының кезкелген нүктесінде функцияның туындысы болса, онда функция берілген аралыкта дифференциалданады дейміз. Функция дифференциалданса, ол функция үзіліссіз. Ал керісінше үзіліссіз функциянын туындысы болуы да, болмауы да мүмкін. Мысалы у = \х\ функциясы үзіліссіз, ал

х = о нүктесінде туындысы жоқ. Сонымен функция дифференциалданатын болса, онын туындысы бар.

49

II

У ” /(* ) берілсе, оның туындысы / = / ' { х \ ал екінші туындысы У * у т % / т(х) т.с.

> І ВV = 51(1 ДГ, V = С05 X = 51ПІ X +

71\

2

У* = -5ІПХ = 5ІП Х + 2 — 1,I 2 /

у" = — С05X = 5Іп| дг + 3 у ] /

У” =-СО$Х = 5ІПІ -Ү + 3 —\

2/' / я) = 5іп д: + лу^ дәл осылаи = созх берілсе,

/ я) = С05/X + п

\

к2

\

у = е1 берілсе, Щ = ех . у = а' берілсе, = | | 1п' о .У ~ іп’> У' = и'1' + іп1', у ' = и \ + 2и'ү'+ <л", >■” = «А + ЗіЛ’’ + З/п1'

= М п) I І й I п и < ~ % ' 1 В Н +....+

В ! Ш - Н - ! Ш щ

иу

2+

Аг!+... + и\

- осы формуланы Лейбниц формуласы дейді.

Дифференциалдык есептеулердің негізі теоремалары

5??еРма__ теоремасы. у = / ( х) функциясы (а.Ь) аратығындадифференциалдансажәне х0 ь(а,Ь) нуктесінде ең үлкен немесе ең кіші мэнін кабылдаса, онда / ' ( х с)= 0

50

Ролль теоремасы. Егер /(* ) функциясы [а;Ь\. кесіндісінде аныкталған жэне1 [д;£] аралығында үзіліссіз2 (а \Ь ) аралыгында туындысы бар3 /(а )= /(* ) ,Онда ен болмағанда бір % € (а.Ь) нүктесінде / ' ( х 0) = 0 болады.

Лагранж теоремасы./(* ) функциясы [а;^]үзіліссіз 3(а;Ь)дифференциалданады, онда л'0 е(а;б)үшін мына теңдік

орындалады.

Ь - а

51

Коши теоремасы.

ЕгеР /(* ) және ^(-г)функциялары1) [а;б] аралыгында үзіліссіз

2)(а.Ь) аралыгында туындьпары бар және £ '(*) * 0* онда бір

.т* ғ (а ;Ь ) үш ін теңдігі орындалады.8 (Ь ) -8 (а * ё ( х 0)

ЕгеР £(*)=«* болса, онда Лагранж теоремасы шығалы. Сондыктан. Лагранж теоремасы Коши теоремасының дербес түрі дейміз.

Лопиталь ережелері

Бірінші ереже.Егер 1іт/(д:) = 1іт£(х) = 0 , £ '(* )* 0 болса, онда

Х—М У~*а

1- / ( * ) у / ' ( * )іоті - ; ; = Іші— — теңдігі орындалады.£(*) *-*• £ (х)

Коши теоремасы аркылы дәлелденеді.Екінші ережеЕгер Ііш / ( х ) = І іт %(х) = оо, #' (х) * 0 болса. онда

х-+а х-¥а

І іт —— = І і т —■— теңдігі орындалады.^ 8(х) *-** § (х)

• 52

Бұл ережелерді —,— сияқты аңықталмагандықты шешу0 оо

амалдары дейді. Осы ережелердің көмегімен оо-оо,0-а>Дх,0‘,,сх)00 00аныкталмагандыктарды — немесе — түрлеріне келтіріп шешуге

0 оо

00болады. Оны мысалдармен шыгарып көрсетейік.

1 ) ОС 00

Л 1 ,1іш(------------- ) = І1Л1--------------§ Н шх-+\)

0о

= Іігпех -1

Х-.0 е“ _ 1 + Хех00

2 )0

= І іт1

е1 + е* + хех 2ос

1і т(хс/£ях) = Ііт -----х->0 х-*0 І£7СС

!оІо

І ітдг—>0

1п

1п

С05 ЛХ

3)1 I1іт(1+/)' = Г |=А деп белгілейік.л-ів * ?='. а д Г1п А = һ т --------- =і~*0 I

00

= Ііт 1х->а 1 + 1

= 1

11п А = \.А = е

Сонымен, 1іт(і + />" =е - екінші тамаша шек./-#04) о°1іт.х* = А ,х-»0

1ІП X1п А = Ііт х • 1п д' = ІО • ооI = Ііт —т— =

г-*0 1 1 А—0 1

0000

І ітг-*0 1- Ііт х = 0 Ап А = 0, А = \

х-*0

5)х»Іітбс3 - і)и = А

1

Іп А = Ііт \п(х' -1)ос

= Ііт д 3 - 1• З*2

2хи т ------г— 2 • (х1-1)

0000

= Ііт«•-> /.

36д-

= 0,

Іп А = 0, А = 1Ал бірінші тамаша шекті Лопиталь ережесімен дэлелдей сапу

тіпті онаи.

53

51ГЦСІІШ лг-*0 х

0 С 08Х ,- = І І Ш -------- = 10 х-*0 1

. . 51ПДС . ІІШ------ = 1

X

Тейлор және Маклорен формулалары

Кез келген функцияны көпмүшелік аркылы жазу, сол аркылы есептеу күмәнсіз қажет.

Осы есепті Тейлар формуласы аркылы шыгарады. Оны мынатүрде жазуға болады.

/(•*) = Д л ) - д) I Й||1 (х - а)2 +... + £ - ( - ) (х і(0"Ф:Яп (х)" 2! «{

Егер болса а = 0 , онда Тейлор формуласынан Маклоренформуласы шыгады:

1! 2! п\ лХ 1 Қалдық мүше /?„(*) Лагранж, Коши, Пеано түрлерінде кездеседі

Біз Лагранж түрінде

К“ ~(п + 1) ' ^ “ а У~'’ с Ш яЩ ? с 6 Ь « ,* )»яғни с = а + 0 (х - я )

0 <х<1 аламыз.

Бұл формуланы кез келген функцияны көпмүшелікке жіктеуформуласы дейді. Маклорен формуласына бірнеше мысалдар келтірейік.

/ = е \ у гще\...,уп =ех; у(0)=у'(6)=... = Уп)(0)= 1Сондыктан

х2 х3

4) (1*, Г - 11тх+ШК +... + Ч " - ' ) ■ ■ ( " ' + „ Щ2! лі л '

54

Туындыны пайдалану

1) Жуықтап есептеу.

^70 - есепте.Жуықтап есептеу формуласы былай берілген;/(дг + Дх)=г /(г )+ / '(х)- Ах

/ ( х ) = \ [ х , х = 64, Дх = 6,

/ ( ф = | . Хъ ' 3 = — —

/(6 4 ) = */б4 = 4 /'(64 )= 1 1ЗУ642 3 16

\/б4 + 6 = 4 + — — 6 = 4 + - = 4,125; ^7 0 = 4,1253 1 6 8

2) е0,2 -есептеМаклорен формуласын пайдаланамыз, яғни ех функциясын

көпмүшелікке жіктейміз:, . х2 х3 х*€ — 1 + X + + ----+ -— + ...

2! 3! 4!

Мұндағы х=0,2

е0-2 =1 + 0,2+ ^ + ^ = 1,221 , е02 = 1,2212 6

3)*5іпі8° -есепте.Маклорен формуласын пайдаланып зіп.х функциясын жіктейміз

х3 х5 х 15ІПХ = X -------+ -------------+ ...

3! 5» 7!5і п18°о н ы радианға айналдырамыз

180° ч я К І І 3180 І0 10

18° -I,

5іп18° = - - — = 0 ,3 1 4 - ^ 1 = 0,3110 6 6

5іп 18° = 0,31

55

гФункиияны толык зерттеу у/

ан ы к тау

Берілген функцияны зерттеу бес бөліктен тұралы:1 Аныкталу облысын табу, үзіліс нутстелері, тік асимптотаны

2 Экстремумын табу3 Ойыс, дөңестігі, иілу нуктелері4 Көлбеу асимптотасы5 Периоды, так, жүптыгы, өстермен кил

Мысалы. у = - функциясы берілсінх — 1

1) х - 1 = о, х = 1, - тік асимптотасы Аныкталу обылысы

Я 'ғ (—0О; 1 ) и ( 1 1оо)7 х = 1 үзілІС НуКТвСІ

1 ч __ 2 у < у - і ) ~ дс2 х 2 —2 х(ж -і)2 (д ;-і)2 9 х ~ 2 х = 0, а х = 0 , х 2 Щ 2

(~оо;0), у'(-1)>0 функциясы өседі.

(0;2), у (~ 1 < 0 кемиді.

(2;оо), У(3)>0функция өседі.

г = 0 функцияның максимумы ута*(0) = 0, 0(0:0)А' = 2 ф у н к ц и я н ы ң м и н и м } рм ы у т іи ( 2 ) й 4 , А ( 2 ; 4 )

_ (2х - 2)- (х - 1 | = (х2 - 2 x 1 2(х - 1)

2) 7 1 ^, х - 2х + 1 - X' + 2х 2— X»

( * ~ 0 ' (дг - іуНакты иілу нүктесі жоқ, үзіліс нүктесін ескереміз. (- оо;і), ^ " (0 )= -2 < 0 пдөңес(і;-нх>), у в(2)= 2 > 0 и ойыс

зерттеу

56

Накты иілу нүктесі жок.ҮЗІЛІС Н ү К Т есІх = 1, И Іл у НүКТеСІ боЛЫГІ Т ү р , фуНКЦИЯ (—оо;і)

аралыгында доңес, (і;оо) аралығында ойыс.3) Көлбеу асимптота у = кх + 1 теқдеуі т\'рінде ізделінеді.

Мұндағы, к = Ііш ІР ІЗ , в = 1іш(у - кх)= 1іш [/(д:)-кх\х-ко х X—ко .г—>00

Формулаларымен табыладыСонымен,

2

х - \ _к = Ііш -—- = Ііш-х-ко X х-**> X ~ 1

= 1, к=1, Ь = Ііш\

\Ш й- X = Ііш = \,Ь = 1

Көлбеу асимптота у = х + 1

4) Функцияның периоды жоқ.Функция жұп емес. такта емес. х = 0,у = 0 - функция координата

бас нүктесі аркылы өтеді.Функцияның графигін (сүлбесін) сызамыз. Ол үшін алдымсн

экстремум нүктелерін, тік және көлбеу асимптоталарын саламыз. Сонан кейін өсу жэне кему аралықтарын ескере отырып, ойыс жэис дөңес бөліктерін кұрастырамыз.

57

Екінші мысал.У = ІП С05ДГ

1) Аныкталу облысы со5х>0, - — < х < — х - - - х = + -2 2 ' 2 ' 2

нүктелері үзіліс нүктелері соа(±?) = о

Функция (—2;| ) аралыгында аныкталган. д = - - , х = - тік

асимптоталары.

Ш У 5 ~ ~ * (“ 5 п х )= = 0, х=0 күдікті нүкте.

71- - ; 0 у - П

= 1 > 0 функция өседі.

+

2 2

Күдікті нүктенің оң жагында туынды теріс, ал сол жагында он танбалы.

- т*х(0) | ІпсозО 1 1 11 о , Л и ф # ) 8* 0

3) — 1—С05 X

Накты иілу нүктесі жок.кмнц

Дөңес және ойыс аралыктарын аныктаймызі/ ТГ ТГ\

2 :Т/ >’"(°) = - і < опФункция барлык нүктеде дөңес.

4) Көлбеу асимптота жок. Себебі аргумент шектелген.5) Функция периодты, периоды 2п .Жалпы жагдайда .2 к к

Функция жүп - графигі ордината өсіне симметриялы.Х = х « ± | , тік асимптоталар.

58

I NФ

I

1) Экстремумның қажетті шарты.Егер дифференциалданатын у = /(.т) функция сының х Щ .х0

нүктеде экстремумы бар болса, онда сол нүктеде /'(*о) = 0 болады.2) Экстремумның жеткілікті шарты.Айталық / ' (дг&) = 0 болсын.Егер нүктеден / '( х ) солдан оңга қарай өткенде таңбасын пліостен

минусқа ауыстырса, онда *с. нүктеде функцияның максимумы болады.

тах

Ал егер х л.; нүктедей өткенде /'(х) өзінің таңбасын минустан плюска ауыстырса, онда нүктеде функцияның минимумы оолады.

Хо

Аныкталмаған ннтеграл

Дененнің қозгалыс заңы теңдеуі арқылы бсрілсін.Мұндагы т-уакыт, 5-дененің жүрген жолы. Сонда қарастырылып отырган қозгалыстың жылдамдыгы V = / ( 0 = —. х

59

Аныктама. Егер (а,Ь) аралыгында Ғ(х) функциясы үшін Ғг(дг)=/(х) немесе 4Ғ(х) = /(дг)с/дг тендігі орындалса, онда Ғ(х) функциясы осы аралықта / (х ) үшін алгашкы функция деп аталады. Сонымен жол, ягни айнымалы функция 8(1) жылдамдық Ү({) үшін алғашкы функциясы болады. Мысаіы,Ғ(-г) = §іплг функцичсы барлык

сан өсінде / М = со5л:функциясының алғашкы функциясы

болады.Өйткені (зіп *)' = созх .Ғ '(х ) = созд: = / ( х )

Бүл тендіктен мынадай корытынды шығады: егер Ғ(х) функциясы үшін бір алғашкы функция Ғ(х) табылса онда онын шексіз көпалғашқы функциялары болады

созх ЩМШШ 4- С /(дг)^Ғ(х) Щ С

Аныктама. Егер Ғ(х) функция Қх)-тің алғашқы функциясы болса, онда оның барлык алғашкы функцияларының жиынын. яғни Ғ(х)+С орнегін Дх)-тен анықтамаған интеграл деп атайды және былайбелгілейді: I

/ / (х ) ( іх « Ғ(х) + СБүл өрнектегі Ғ (\) функциясы Г(х) - тің белгілібір алғашкы

функциясы. С-кезкелген тұрақты. Г(х)с1х — интеграл астындағы өрнек, а х-интефалдау айнымалысы. 5-интеграл белгісі, 8-косынды, косындылау, біріктіру, жинақтау, ал дифференциалдау - жіліктеу. ұсақтау, үгіту.

Берілген Г(х) үшін алғашқы Ғ(х) функциясын табу амалы Г(х)-тіинтегралдау деп аталады.

Туындысы бойынша алғашкы функцияны іздеу, немесе берілген функцияны интегралдау интегратдык есептеулер деп аталады.

Анықтамаған интефалдың қасиеттері.1. Аныкталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы

функцияға, ал диффренциалы интеграл астындағы өрнекке тең болады.

( / № & ) | (Ғ(Х) + С )= Ғ'(х) = / (X )

(і(1/(х)(Ьс ]= <і(Ғ(х) + С )= Ғ'(х)сіх = /(х)сіх

60

2. Дифференциалдың аныкталмаган иптегралыдифференциапданган функциямен кез келген тұрактының қосындысына тең.

| /(*)*** I Ғ(х)

ёР(х) = Г Ш *

+ с

йҒ(х)іх - I /(х)еіх = Ғ(х) + С

3. Тұракты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шыгаругаоолады.

( к/(х)<1х = к I }{х)йх

4. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының аныкталмаган интегралы қосылгыштардан алынған анықталмаган интегралдардың алгебралык қосындысына тең.

| [ / ( т ) ± #(*)]с& = | Г(х)4х І I д(х)сіх

5. Егер ғ(х) функциясы Дх)уіиіналғашқы, функция болса, ондаі ,

[(ах Ш Ь)йх == — Ғ(ах + 6 ) + Са

/(ах)(іх = - Ғ ( а х ) + Са

/ ( х + ь)(іх = Ғ ( х + Ъ) + С

Мысалы / соз Ъх &х = -зіп Зх + С,* 31 (3.* + 7)*

(Ъх + і у і х = - - — — ^ + С,

+ С

Аныкталіиаған ннтегралдар кестесі

1 )$ < І х = х + С

2) / ІГгіи = — № СІ 1 И+1

3) / ^ = 2т/й+С* чш

61

4) / = Іп\Ц\+С

1 / й - і + си6 ) / аисіи = - ~ + С, / е и£Іи = е и 4 С

7) /с о э М іі = 5іп(/ + С8) / 5ІП І /Л і = - С О 5 0 + С

9) / ідийа § -Іп\сози\ + С, Г сід^йи = Ы ^п[/| # С

в - - в г с а а ^ е

12> Ьйи

13) I

14) I

и - аЛ '4

= — 1п 2 а

и - а

созшисіи

= ш + с , [и + а

Ли

+ с

Лп~ии

Щ —сідіі + С

иу[а*~-и2

= агсзіп — 4 С = - агссо§ - + Са а

® ) М Н ‘« + 4 « | 4 С

16) Гуіи2 + а 2сһі = - у Іи 2+ а 2 + — 1п ; 2 2

и + л/и2 + а 2

17) Гл/а2 с/и = — агсзіп — + —уІа2 - и 2 + С2 а 2

ШШІ <*ц _ __________ Й___________ | 2 п —3 г

(и ь + а 3}л 2 ( о - 1 ) в * ( « я а : 2 п - 2 ^ п ~'1йх

ах*Ъ а иг (.т)£х

Ш ШІІІЬгІ« Т + Ы + С

20) / ^ = 2у ^ + с▼ * /

+с

Интегралдау әдістері

1) Айнымалыны ауыстыру

|/С »)*г | ^ ^ | | | = / П<рШ<ргШ і

Сонымен. .Г/(х)йлг = //И > )3<р '(0 * Мысалы

*

62

|> Д г - А'2 =х = а зіп / сіх = а соз ш = I іп^7 -асо 8/Л = а 31 соб2 Ш =

, г1+С08 2 / . гл « ч ,л а = а * |-----—Л = | (1 + соз 2 ір і = ^ 1/ + — 5ІП 2/

5ІП / =а

X I х~ / = аГС81П —} С08 / = ,11----- :

о V а___________________ / 5а і . х х ы а —хагсзш — + --------------

2 1- а а а

X 2+ С =

/

а1 /

2 \/ + — 2 • зіп /сос/ I + С =

2

+ С =а . л с х г—,----- 7— агсзіп— + — уіа' - х~ 2 а 2

+ С

2) Бөліктеп интегралдау.көбейтіндіні дифференциалдасак

V) = и<ы + і'й(/

Ал интеграл алсак

| йОЛО = | МУ +

Осыдан/И І / -формуласы шагады. Мұны боліктеп

интегралдау формуласы дейді.

Мысалы.

/ хсозЗх йхх т V, йи = йх созЪхАх = <ІҮ

V = / созЗхсіх -5ІПЗХ3

х -5 іп 3 х3 / - з іп З х г іх =

- 5ІпЗх + - с о з З х + С;а) 3 9

хсокЗхЛх I І Ш З ж 1 1 созЗх + С3 9

Г €х 8ІПХ&Хи йи = ехАх

С05Х I

Ь) зіпх I

2 / ех5Іпх4х = — €ХС05Х + еХ5ІПХ, / еХ5ІПХСІХ = ~ехІ5ІПХ — С05Х) + С

63

Тексеру:

\_2

= — е г($іпх - со§ х)+ — е ү (соз х + 8Іпх)= ех 8Іп х

Л лгебралы қ функцияларды интегралдау.Рекурренттік формула

/г. = Г - интефалын карастырайык.

/* =( ІХ _ 1 Гх 2 + а2 — х 2 1 Г х2 + а2

г )" ( г - + а - ) п а~ 1 (х* + а*)*Сх2 +аяРйх

(х2+а*)*. №

Бөліктеп интегралдау

— у - І - Га 2 Ш

Х ' Х ( І Х

2 + а 2

х — II,(IV — хсіх

2 +а2

Л / = сіх,У = - 1

‘> (л -1)(*1 + 0

(іх2\іі-1а 2 л-І

а 2 ( п - \ ) ( х л +а*)2 \/}-І +2(/т — 1)(а*2 + а )

/ я -1

п а* -1 +2{п - 1)а2(2( * 2 + а 2) " -1 І 2а2(п -

еіх( я - 1)(х2 + о2)2ЛП-1»

-Т2 (и — і ) о 2(д:: 4- а2) * " 1 2 а 2 (« — І )

2*1 — 3 * ------------- /«-1

Мысалы

А *

А -

с/т+ 3

ГГ5?/;(х 2 + а 2) 8 2 * 2 а 2(х 2 + а2)2 2а( - * і I г ** _ * і і , д- . г* &4&1* 2а*(х-3*а*) 2а* * 5? • ^ в

Т . 3 * 1 * һ * Т~Т7~77~ггт + — - ; —— агсГ5 _ 4- с4 а * ( .т2 -*- а*)-6 4 а “ 12а*(дг* + а*-) 2 а 3 а

Интегралдын дәрежесін төмендету, кеміту. түсіру, кішірейту -рекуррент магнасы.

х—а х - а А1п\х — а\ + С

2) / І І Й = В [ ( х - а)~к(і(х - а ) = — Г х - а Г * * '* (х-а)- * і-*в

( х - а) + С

64

3 ) -

Аііх а х 2 + Ь х + с үш мүшелігінен толықіах*+Ъх+с

ах2 + Ьх + с— 1 іаг\

а х

квадратын болш аламыз

+ 2— х + — -2а 4а; + і ) = а [ ( і + ь ) 2 + - 1а а

Ь 4ас—Ь2 . ,Сонда, х + — = Г,-----— = т деп алсақ, Лх = А,2 е 4 агА е сііт + т

интегралы шыгады. Бұл интеграл кестелік интеграл

М х Л

ах~+Ьх+сйх, мұндагы М,Н,а,Ь,с- түракты сандар

Бөлшектің бөлімінің туындысы (ах2 + Ьх + сУ

Демек Мх 4* N ** ^ (2ах + Ь) N

Сонда / Мх+Ы мь

ахг -ьЪх+с 2а ах2+Ьх+с 2а а а-2 -І-&5С+-С

Соңгы интегралды калай шыгаруын білеміз. Мысал келтірейік

2х2 + %х НРБөлшектщ оөлімінің туындысы

( Я + 4х - 1 = 4* + 4

3 * -1 = - ( 4 х + 4 ) - ^ - 1 = 7 (4 х + 4)4 4 4

- 4 ,

Г (З.т - р г іү 2хг + 4х — 7 2х

« 7 1 -4

--- С&-4 [2 + 4.х - 7 і 2 х 2 + 4* — 7

сһ;2х2 + 4х — 7

Лс2ж + 4 х - 7

Ш + 4х - 7

СоныменЙ__ а Г__а(хіИ -- = Ікөстөдегі 12- формула бойыншаі =

4 * - 7 ) 2 ~Іх* + 4.г т + * - я

65

2

. ( з х - 1 ) сіх 3 , 0

Сонда берілген есептің жауабыіп

3 Х-Һ1 +№

+ С

5)

М һ , и \ аг Ш іІ я ш ш т , ш і ш * ш * - ш і ,р ^ Ж і і — 5--------------- =— ■

А / , / , - ч Ү(оХ2 + ЙХ 4* С

" ^ і т і и 2 + с?(ах2 + Ьх + с )+ \ N -2а >

/ (ядг+бх + с )’ і а_ М (ах2 +Ьх + с ) п'

кт + 1+ Ь 4 а с - Ь 2 ,х + — = / ,---- :------= т,еЬс шт

4а

Соңгы интеграт рекурренттік формула бойынша алынады.1

■ Iг Мх+Щ

а х және ) -?==щ===ах - интефшідар квадратV яд- + Ьх+с

үшмүшеден екімүшек *: толык квадратын бөліп шыгару нэтижесінде кестелік интегралга келеді.

Мысал. / - (5х+7Жхм3*2+6Л“5

Квадрат үшмүшені түрлендіреміз(Зх2 + 6х - 5 = ЗІ х 2 + 2х - -

3

/= 3

/х 2 + 2 х + \ - \ ~ - 1=3

ч 3/ . \2 8 іВ Щ і

Мұндағы х + 1 = і десек ск = л , х = / -1

3

( 5 х + 7 ^ _ _ I 5 ( / - і ) + 7Н Н Іг ш ш 1

2л/3

2 • 5 іЛ

і 2 - -

Ш_5_Л2л/з

ш+ 2 Л

7 зз

83

N

3/12

ИИ!л/з

і + . н 2- * + С,

66

М ұндағы г я х + 1

сһс2 түріндегі интеграп айнымалы х + р =

ах + рх + с

I/

деп оелгілесек, кестелік интегралга шыгамыз Мысал.

(2* + \)йх(* - 1) V X 2 — 4х + 2

_ | (2л — 2 + 3)сіхі (л — 1)Ух2 *- 4а + 2Г 2х — 2 , „ /

1 ---------- -------йх+Ъ \і (х - М х 2 — 4.х + 2 і

а.г(дс — 1 ) У а’2 В +дс + 2

21сіх. - ------ +зГ-------

*і/(х — 2У - 2 (х -іУ ^2 -4х + 2

і = і/

1 +-,*/х /

СІІ

= 21п - 2 + у і х 2 -4 х+ 2 + С\- /

+

і///2

I + 2 * — ч—^— 4(1 + —) + 2 / /■ /

= 2 1 п х -2 + л/*2 - 4 * + 2 - 3 |(1і

т З Ш Ш= 2 1п х - 2 + л/х2 - 4 х + 2 - 3 1 / ( ' + 0 .

і +і= 21п - 2 + 4 х 2 — 4х + 2 - Загсзіп-----?=— + С =

= 21п -2 + л/*3 ШхШ — 3 агсзіп(х -1 )Л + С;

Рационал функцняларды интегралдау

Алымы да, бөлімі де көпмүшелер болатын бөлшек рационалфункция

Р»(-0 1 о Щ | 1 ' '• 1 а п - і х + Е л .

З т О ) Ьо*'’* + Ь , ! 7""1 + •■•+ ьт^ х + Ьт' ° 'берілсе, оны бірден интегралдау барлык жагдайда мүмкін бола бермейді. Егер п > т болса, онда ол бұрыс бөлшек, ал м <-т болса онда дүрыс рационал бөлшек деп аталады.

67

Әрбір бұрыс рационал бөлшектін алымен бөліміне бөліп бүтін бөлгін бөліп шыгарсак, дұрыс бөлшек калады. Мысалы

_ 2 „ . х+2 ^~ х - 1 + ^ ^ дұрыс оөлшек

Бүтін бөлігіл _а

/ 2^ Л с - / М - х - 1 + - і - + - і _ ) Л с - £ - £ - * +' ЯГ-4-2 \ д'3+1/ 3 2“1п(х2 + 1| + Іагсідх + С

Бізге кезкелген дәрежесі екіден үлкен көп мүшенін сызыктык. екімүшелік пен квадрат үш мушеліктердің көбейтіндісіне жіктелетініалгебрадан белгілі.

Мысалы .т3 + і = О + і)(.т2 - дг + 1)-Т3 — 1 = (х - 1 ) ( т 2 4 дг + 1 )

х* - 1 = (х - 1)(х- + !)(* * + 1 )Сонымен, дұрыс рационал бөлшек мына төрт карапайым

(элементар) бөлшектердің косындысына жіктеледі:

х-а' и-о)А 'х3 + * * ♦ « ' ^ 4 ;Ал біз осыган дейін бұл қарапайым бөлшектерді интегралдау

нәтижесі рационал функция, логарифм және арктангенстер аркылығана өрнектелетінің кердік. Олай болса, біз кезкелген рационал функцияның интегралы бар және ол интеграл элементар функциялар арқылы өрнектеледі деген корытындыга келеміз.

Енді осы рационал бөлшектерді интегралдауга мысалдаркелтірейік.

г 2*--х+3 ,

І - і , сЬсх 3 + х 2 — 2 х

Рационал бөлшектің бөлімінің үш нақты түбірі бар. Ендешехл 4- дг2 2х = х(х - 1) (дс4 2) деп жазуга болады. Сонда берілгенбөлшектің жәй бөлшектерге жіктелуі мынатүрде болады:

2х2- х + 3 Л В С= — 4 ------4

х (х -іХ * + 2) х х - 1 х + 2

Мұндагы коэффициенттер А,В,С әзірше белгісіз және оларды аныктау кажет. Ол үшін тендіктің екі жагын да ортак бөлімге келтіріп алымдарын теңестіреміз. Сонда

2х~ — х 4 3 = Л (х — і)(д: 4 2 ) 4 В х(х 4 2 ) 4 С х(х —1 \ немесе

68

4

2х2 - х + Ъ = ( А + В + С ) х 2 + (Л + 2В - С ) х - 2Л теңдігі шыгады. Бұл теңбе тендіктің сол жагы мен оң жагындагы, х-тің бірдей

дәрежесінің алдындагы коэффициенттерді теғіестірсек, мымадай теңдеулер жүйесі шыгады:

,2 2 * А + В + С,

X- 1 = А + 2ВҺ С,

3 = -2ЛЕнді осы теңдеулер жүйесін шешсек А

шыгады. Осы мәндерді орнына койсақ2х2-х+Ъ 3 4 13

х ( х - і ) ( а г + 2 ) 2х 3(х-і) б(х + 2)

2 313 болып

Сонда

- т - — ■— іх = іп х\ + — Іпіх- 1І + — Іпх + 2 + С0болып шығады.х ( х - \ \ х + 2) 2 1 3 1 1 6 0

Екінші мысал [

Бөлшектің бөлімі (х1 - і ) 2 = [х - і )2(дг + 1)2. Сондықтан интеграл астындагы бөлшектің жәй бөлшектерге жіктелуі мынадай болады:

1 1 А>2)

+ с+ ------+(х — і)г(х + іу х - \ ( х - і )2 х + \ (х + і)*

Бұдан 1 = А( х - 1)(х + 1)2 + В(х + 1)2 + С(х - 1)2 (х +1) + 0 (х - 1)2А,В.С жэне р белгісіз коэффициенттерді табу үшіп мынандай

теңдеулер жүйесін қүрамыз:

-0

Һ С = 0А + В - С + 0 = 0 - А + 2 В - С - 20 = - А + В + С + Ә - 1

Теңдеулерді коссақ А,С,Э жойылып в —- шыгады. Екінші

тендеудең төртінші теңдеуді шегерсек 2А-2С=-1 шыгады. Будан

г Ш й і і іА + С = 0

69

Төртінші теңдеүці пайдалансак: — + — 4- — = = —4 4 4 4

Сонда

тЬІА' 4* і | — 40р*1) Ш І 1*+1

Үшінші мысал. £2§ІіЯ|' фЩБөлшектің бөлімі (а* - 1) = (.т2- і)(.т24- 1) = ( г - 1)(г 4-1)(*2 4-1)

болғандыктан рационал бөлшектін жай бөлшектерге жіктелуі мына түрде болады:

3x4-5 А4-

В Сх + О-----4-— I--------

1 Х - 1 ДГ4-1 X 4-1

Бұдан З х 4-5 = А (х4- 1 )(х2 4- 1, 4- В (х - і)(х2 4- 1 4- (Сх4- О ^ с 2 -1Енді белгісіз коэффициенттерді ашыктау үшін мынандай

теңдеулер жүйесін кұрамыз:

л.3

X

X

А + В - С

Теңдеулерді тегіс коссақ 4А=8, А=2 болады.Бірінші мен үшінші теңдеулерді коссак 2А4-2В=3, 4+2В=3, 2В=-1;

5 = - - г-С = 3 - Л - В і- С = Э - 2 4 - - , С = - - , £ ) = Л - Я - 5 = 2 4 - - - 5 =- ■ . - . . _ ‘ V V . I V . " ' " г 4 Г “ . ' V - '

- і 0 = - - а *4 <|Сонда ізделініп отырган интефал мынаган тең болады:ГЗх4-5 _ Ггіх 1 Г <іх 1 Г Ъхйх 5 Г сГх

I Я Н І І х - 1 2 ІХ + 1 Н ж2 + 1 1 ] Р И ~

і өртінші мысалГ £ Ф 2* 4 7 І (% -2)(*2 + I ) 2Бұл интеграл астындагы бөлшекті жай бөлшектерге жіктеу мына

түрде болады:

70

Л І-Ь2хт7( х - 2 ) ( х 2 + І ) “

А Вх + С Ә х+ Ех — 2 л-2 + 1 (дс2 + I ) 2

Бұданх г + 2 * + 7 I А(л'2 + I ) 2 + ( 5 л + С )(х ~ 2 ) (* 2 т г) + (Ш + £}(л - 2)

Енді осы теңбе-теңдіктің екі жагындагы х-тің бірдейдэрежелерінің коэффициенттерін теңестірсек мына теңдеулер жүйссіналамыз:

хл

XІ + і = о- 2 В + С = 0 2 А + В - 2 С + Е> = 1

х Е - 2й + С - 2В =2л

X,0 А - 2С - 2£ = 73Егер х=2 десек, Л = - ; бірінші және екінші теңдеуден

Т-АУ

в = -5

С = 2В = — —

Үшінші теңдеуден6 3 12 _ , п «------ + — + І) = 1,І) = -25 5 5Бесінші теңдеуден

- ф — - 2 £ = 7, £ = -2 5 5Табылган коэффициенттердің сан мэндерін жіктелуге агіарып

койып интегралды табамыз,ягни

ШІИИЯ^И ц^(лг-гХ г + і} §| Ш IЬ* х - 2 Ь* х ' + 1 ( г + і )| 1 0 1 2хб/л' 6 1 (іх |-( г + і ) & - г сіх

5

х - 2 3 х +1 5 2І(с3+ і ) л [ § |р

= - ІпЬ - 2І- — ІпІхЧ 1І - 1 + - Л " : - 2} / 1 Я5 1 п 3 г 5 д г+1 ■ 'Ьг+і;

(х = + і)ЛЛ' 1

Соңгы интегралга рекурренттік формуланы колданамыз:

л( І Х

(%2 + 1)2 2(г* + 1)1 Г (іх л: 1 - I —----- = ------------г + - а г с ід х2 } х л + і 2(.т* + 1) 2

71

Сонда берілген интегралг \х*+2х+Т) з, , з , , 9 . 6 А і— 177 , = - і і і а : - 2 ----- Іп.г2 + 1 — а г с ? д х + .' и -2 )0 с г + і )2йдг 5 10 5 л?2+1 ж-+1сігсідх 4- С =

Алгебралық иррационал функцияларды интегралдау Кейде тиімді ауыстыруларды пайдалану нэтижесінде иррационал

функцияларды рационал функцияларга келтіруге болады. Интефалды осылайша түрлендіруді (функцияны) оны рационалдандыру (рационалдау) немесе рационал түрге келтіру делінеді.

Интеграл [ д х « /— щ (І)түрінде берілген. Мұндагы п-бүтінІ ^ \ с х + с/ \

сан, символ Я-жақшанын ішіндегі шамаларга тек рационал амалдартұракты

колданылатынын бейнелейді. Берілген интегралды рационалдандыруаинымалыны

_ ах + Ь= ісх~+ (і ауыстыру аркылы іске асады.

Шынында да бұдан, ах + Ъ = 2 'сх + г п(1

ах + Ь і п<1-Ь /-—7 7 5=2 ’ *Л4 - Ь = ( о о л а д ы д а ,сх + а х = ---------- а - г с

а - і* с *. Vкарастырылып отырган ( 1) интеграл

г и /2*4 - ъ \ Ш й - һ\] ( а - с £ * ' ) ( а - с2”) **(3) түріндегі интефалга, ягни айнымалы 2 -тің рационал

функциясынын интегралына ауысады.Сондықтан ол рационал функцияларды интефалдау эдісімен

интефалданады. Олай болса (3) интегралдың мэнін тауып алганнан кейін (2) формула бойынша айнымалы 2-тен бұрынгы айнымалы Х-кекөшеміз.

Мына түрдегі

г _ ах + ЬЛ*\ ( ах + һН і* ’ ----- 7 ’ ----- 74 \с х + а ) \ех + а ,

і

*: ( ах + һ»**•», - сх + сі

і,(іх

7

72

интегралда (1) интегралға келтіріледі. Егер — бөлшектерініц5, л2 щ

ортак бөлімі гп-ге тен болса, ондая ХЛ\\

ах + ЬСХ + СІ )

Де.мек интеграл астындагы функция х пен/

»ііI \ сх + сі )

-ден

рационал функция болады. Бірінші мысал

ш §

сіх(х -іХ х-2)

= ХГ - ГМұнда — = г , л - 2 =х—1лгСі - С2) = 2 - і2

м

2-----------— 1 х --------г1 — г2

- 2 с ( і - і 2) ± ( 2 - гг)2с . 2Ш= ------------- —----- ------------------ ОХ —

( і - Ш ( 1 1 Г2)Сондыктан,

Г,_______I----- І І у ------------- = 2\сіі = 2( + С = + Сі , Я В Л I \ х - \

Г /* ~ 2 Й - 2 Ғ ^ + СЧ х - і т я т м Ш Ш

Екінші мысап ] -------—ах

Берілген бөлшектер— ,— ортакбөлімі т —6, демек х - / 6,3 6 3

ал & = бг5<&. Сонда

= + агс/£/1 + С, = “ /4 + 6агс/#/ + С, +6агсІ^[х +С,

73

Биномлык дифференциалдарды интегралдау

| х т {р + Һх"Усіх интефалын карастырайық. Мұндагы ш?п,р

рационал сандар, а жэне Ь кез келген накты сандар. а Ф 0 ,Ь ± 0 , х т(а + Ьхлуых - биномдык дифференциал деп аталады.

П.Л. Чебышев теоремасы. Аныкталмаган интефшт \хтір + Һх"Ү<іх

т + \ ?л + 1 г . . , .тек р , ------ немесе------+ р сандарының біреуі бүтін сан немесе нөлп п

болганда гана рационал функцияның интефалына келеді. ягни онда ол интеграл алгребралық, логарифмдік немесе тригонометриялық функциялар аркылы өрнектеледі.

Егер бүл сандардың бірде-бірі бүтін не нел болмаса биномдық дифференциал интеградданбайды, ягни алынбайтын интефалдар тобын құрады.

Бірінші жагдай. р-бүтін сан болса, онда интефал оңай алынады, ауыстыру амалы колданылады.

Екінші жагдай. р-бөлшек сан, ягни р = —;5

Ал бүтін сан Золсын. Бүл жагдайда айнымалы х-тің орнына

айнамалы 2-ті а 4 Ьхп = 2 3 формула бойынша енгіземіз.

Сонда х =К . Щ ‘зг; і ; З т * - ш*' 2* - а 1" 1 / О ,

, (іх = —т=\£г - п } х2* 'с12 ягни интегралV Ь Г пфу

астындагы өрнек рационал функция болады.

Үшінші жагдай. р = - және — + - бөлшек сандар.| п

А т + 1 гг •Ал ------ + р оүтін сан болганда, интеграл а + Ъхк * 2*хл

ауыстыруының көмегімен рационал дандырылады.

Бірінші мысал. [ _ / х ^ - интефалын есептеу керек.у[х\ + \[х

1 1 Д Г 2 ( 1 + . Ү ? )~ 2 (І%

74

Мұнда т = щфш = - , ? * § — бүтін сан. Сондықтан берілген

бөлшектердін ортак бөлімі алты, х — 1ь деп ұйгарамыз. Сондай і

сіх

^ / х ( і + \[ х )2*42

62 4 1 + 2 3) 2

I 2 2гі2 , / 2 * + 1 - 1 . . Г <126 (1 + 22)21 і а + 22)2 ) 22 + 102

6 212 ’(1 § рI -—| Л — интегралына рекуренттік формуланы колдансақ

1 р ■ I — | — + ІГ Л - = _ ? — + - а г с ( д 2 3 (Х+г2)2 2(7г +1) г-' 2*+1 2(2г +1) 2

Сонымен берілген интеграпйя' ЗіГ . — 3

----------------- = 6 агсід2 — — -------- Ъагсід2 + С — ЗагсСд у/х — — ------ш і Ш 22+1 НV

Екінші мысал. Г т = = 1 / К а д 1 1 3) •' XVI +**

Бұл жерде ш = - 1,/і = 5,/> = - - , а л Ш і = Одемек бұл екінші жагдай. г г З я

Сондықтан, і+х5 = /;болады. Сонда х = -\)сһс = - / л( 3 - і ) 5*//

(іх е 1 1 ЪГсҺ 3 1 ІіІІ

/;г /^/ г гГ Д Ві+РV - ! ■’ ( м Х г + ' + 1) Щ Р $Ортак бөлімге келтірсек е = л(г2 4- г + і) + ғг2 + й і - аг - £>I - айнымалынын бірдей дэрежелерініц коэффициситтерін

тенестіріп ' 12г

I

А + В = 0А 4 Я - В = П

Г° Л - £ = 0

75

( 2 А + й = 1І Л - О = 04-Л . В І Ң , 0

1 г <Һ_ і I

з / + з і і г Ш і г (г'И р+ Г + І

_ і (• аі і V ~ _ 1 Г “7 і (• ^/" 3-1 г ^ Т " з ^ г + / + 1 “ 3 * 7 ^ 1 " ^ ? + / + 1

<// =

/ 2 + / + 1 = / 2 + 2 - —/ + і2 4

И і |4

= « / + !ч! ш/ 2\

1 Г А і__ 1 Г“ з* ІЖ ~

1 г 2 + / + 1) б*' Г + / - И

1 I—1п/" +/ 6

1+ 1

2 й2

1/ + - 9агс/£ — =- + С

л/З2

/ - 1-1п| ______3 |л//2 + / + 1

1 2/ + 1 Ж+ — а гс і£ —— + С,л/З

Мұндағы / = л/і + х5 Сондыктан берілгсн йнтеграл

Ь сһс 1/Іп /-1

VI + *5 $1 V/ 2 +/ + 1+ у[3агсі§ 2/ + 1

і , / = ^ і + х/

Үшінші мьіеал' 1 + х

=г интеграіын есептеу

1М ұ н д а т = - 1 1?л = 4,р = ат

бұл ушінші жагдай.Ендеше 1 + .ү4 = /2х4деп аламыз.

т +1п

+ Р =- 1 1 + 1 1

4- = -3 бүтін сан,

Бұдан

^л/і + Д- 1 + Iг - І

П _ 5 4 4 2

= 2

76

Тригонометриялық функцияларды интегралдау

Женіл көзге түсетін ауыстырулардын нәтижесінде интегралданатын кейбір тригонометриялык өрнектердіңинтегралдауын карастыраиык.

Бірінші жағдай.Гзшах * етһак

| со§ дх *со$Ьхсіх

\$іпаХ'$тЬх£Іх

Бүл интегралдар тригонометриядағы

зіпа со5& — — [зіп(а т /?) + 5іа(а — Ю3=

1сова со*Р — — [со5(аг + 0) -г соз(а — /?)],

Щ

аіпа 5Іп@ - - [соя(я - Щ - сог(в + /?)]

Формулалардын көмегімен жеңіл интегралданады.Мысалы,

/ £Іп4Х С052х сіх = - / (ш іб х + 5Іп2х)йх = - / віпбх (іх +

- / з і п 2 х ( іх =яВ

= ------ с о з Ь х — со§ 2 х 4- С12 4

СО^Бх С05Д: гіх = — ! (С0$6* + С05іх)(1х = — 5І?16 .Г + 4 С

5 І ПІ X 5І71Х й Щ 1 1 (с о 5 4 х -с о 5 8 х )й а - = - 5Іп4х- - — 5І718.Г + С

Екінше жагдай.

5ІПтХ С05пХ Лха) егер т мен п-нің ен болмаганда біреуі оң гак сан болса, мысалы

п == 2к Щ1онда вітіх 1 1 десек, соххйх = <Н. Соидыктан

/ 5ІЛтХ С05пХ (ІХ = І 5ІПтХС05г к Х І Х =

77

Бұл интеграл (1 — £2)&-ны Ньютон формуласы бойынша косындыга жіктегеннен кейін оңай интефалданады.

Бірінші мысал

| з і п ' ДГ • С 0 5 5 ХСІХ = 15ІП 2.Г • СС54 X • С05 ХСІХ = 15ІП 2 ДГ^ - 5ІП 2 X ) ь 0 5 -X =51П X = /

С05 ХСІХ = СІІ

Г -> ( -«V . г / ч 4 І Ъ 2/ 5 / 7 _ 5ІП ? Х 2 8 І П 5 Х 5ІП ? X= Г г й - І 2 ) л = | ¥ + 2 / 4 + / 6 У/ = ----------- + — + С = ----------------- -— + — — + с

1 Д 3 5 7 3 5 7Екінші мысал

С С 0 8 1 X . г 6. — зіп2 ДгТ . І5 ІП Д Г = /I— і— = і — I— *-<&= = 1 ■ ■ =

* 5ІП X * 5ІП ДГ СО8 ХсЫ = СІІ * /

= | ! - * 2 .+3/4 т'.6 л = | , з/" + з/~2 - 1> =£ +г 3- з/-1 - /+ с =

і і з _

+ ----- 1------------------51П X + С

/

5ІП’ X 5ІП 3 Х 51П X

б) егер екі көрсеткіші т мен п оң жұп сандар болса, онда берілген интефалды интефалдау үшін

2хІпгх — 1 — со$2х 2сох2х - 1 + со52х25ІПХС05Х = 5іп2х

формулаларын пайдаланган жөн болады.Мысалы

( 5ІП4 ДГ • С054 ХСІХ = — Г(2§ІПX • С05хҮ СІХ = — Г5ІП* 2дг = --- Г45ІП4 2 хсіх =} 16' \6 3 64«*

= — |( і - С054дгУ СІХ = — | (і - 2 С054дг + С052 4х)Ьс =

1 ( / . * . I + С058дЛ . 1 г( 3 . . 1 0 \= — I 1 - 2со54дг+ ------------- \ах = — 1 — 2соб4дг + —С058д: \ах =

6 4 4 2 " 6 4 4 2 2 I

— (— - 2 — 5Іп4д:+ —•—5іп8дг) + С = ——| Зл* -5 Іп 4 х + ~ 5Іп 8х1 + С64 2 4 2 8 128 V 8 )

Жалпы жагдайда |л (5іпдг,со5.г)/дг түріндегі интегралдар

универсал ауыстыру аркылы рационалданадызг . 2 ф— = агсШ, х = 2 агсШ, сіх = -------2 1 + /2

2 біп — • С05 ■— 2 іе— ~2-----------------------2 25Ш ДГ -----------1------- - Х

. і л з л . л.51П" — + С 08" — 1 + /£ ' —

2 2 5 2

78

С05 А' =2 2 _ 2 іД г *

2

2 А . ? ^ і 2 X С05 — + 5ІП — 1 + /£ —

1+/2 2 2

Сонда карастырып отырған интеграл

| я(зіп ху соъх)4х = | /й2/ і-/М гж

1 + /" 1 + /" ; 1+/болып рационалданады.

Бірінші мысал

1 Й ІІІ 1 Һ І в = іп х1 1

+ с

і+ /Екінші мысал

г г& | І ііі I 1 . Лі + /С05А

= 2 Г т = 2 * — 1пМ -Г 2 V1- /

\+ С = 1п

п XтШК X

1+ С = 1пш - + -

1 2 »+ С

Үшінші мысапдх

5ІП X — З С 0 5 Х

II

2сі(

(1 + Г2/

1 + /-3* 1- /

1 + /

=1<1і

2/ - 3 + Зг2 , сІ(

І : I тз

іі / 111

I Зу

(Аныкталмаган интегралдар кестесін караңыз)

2 1з 2 УГо

3

Іп

1 >/10 ( + --------3 3і уГ\ о / + - + ----3 3

+ С = 1л/ІО

1пз /£ -+ і-Т Г о

23/я£ + 1 + л/І0

і//1-г/4) | /?(/£*)& берілсе,/#* = /,* = агс(£(,ііх =

Егер | /?(с/£х)/х берілсе,с/#х = /,х = агсс(%і,ііх = -

|/?(с/#х)/х = - | болып рационалданады.

79

Кт-101, Мж-101, Мт-101, Мт-103, СМС(м)-101,ТМЖ-101, ЭЭ-101, КТҰ-101

Осы топтарға ағымдағы және аралык бакылау жұмыстарынын тесттері

Ағымдағы бакылау тесттері

1.

(0 1л =

I 3г - 3 1

11 I

\

/ матрицасына кері матрицаны тап, егер ол бар болса

А)В) кері матрица болмайды

5 і

С)

О) V1 1/

Н)

3 -1 -1 0

\

/

2. Ь

А)

1 2 2 5 матрицасына кері матрицаны тап'5 - 2

\/-2 1/

В)/

I - 2- 2 I

\

/

С)2 1

О)

Е)

1-5 2Г1 5 - 2 2 1 5

3.

2 -2 (\ 2

/

V3 4матрицасына кері матрицаны табыңыз

А) 3 12 2 /

80

В)- 2

3

11

С)

\ '2

3и /

2-1£2 /

О)23

П і2/

Е)

4.

кері матрицасы болмаиды (Ъ 4^] матрицасына кері матрицаны табыңыз:

А)' 1

/В)

V/

С)

757 -4 \

О)

3- 4

/\

Е)

/\\

5.

757

Созсс - 5ша \

А)

5ша Са^аСо5 а 5ш а

матрицасьша кері матрицаны табыңыз

В)

-5 іпа СозаСта ~5іпа \

V

С)

-5 іпаСояа

Соза /

- 5ша - Со^а і

О)/

Е)

- Сада- 5ша

Соза

5іпа Соа а

\

5ш а \5іпа Сош /

6 . Үш төбесі /4(-2;1;1), 5(4;-5;2), С(-3;І;-1) нүктелері болатын параллелограммнын ауданын тап

А) >/301

81

B) -20C) 18

О)Е)

л/305

•УзІо

7. Теңдеулер жүйесін шеш:2х, — х2 — Ху = 4Злс, + 4 х 2 - 2х3 = 11

Зх, - 2х2 + 4дг3 = 11

А) | = 3’ хг — 1» дг3=1

В) х' = ~3; ; *3 = - і

с ) = I і и» «4 • Х Ъ — —1

О 11 ы Ц і 3; х3 =1

• 0УN>ғш х2 = 1; Щ = -3

8. |а| = 10,

A) 16B) 9і 5Э) 3 Е) 12

Ь =2 және Ір,Ь

9. |3| = 3,

A) ±30B) ±24C) ±35Б) ±21

Е) ±2710. а= {4;есетеңізA) 41B) 66C) 31 І ) 51 Е) 74

|р,б]= 72, онда (р

211. а және Ь векторлары <р = - л бұрыш кұрайды жөне |й] = 3

|ь( = 4. Онда (з +Ь; есептеңізA) 13B) 3

(а -һ )

жөне

С) 7Ц 16Е) 412. а және Ь векторлары <р=-л бұрыш кұрайды және |я] = 3 және

И = 4. Онда

A) 37B) 9

Зл/З

- е

13. І К ^ + ^ түзулерімен жасалған <р бұрышты аныкта І 2 х + у - 7 = 0_-о

A) 45B) зо°C) 60°

| 1 90°Е) 120°

14 Р л ^ 1 "* ^ түзулері қандай бұрыш күрап киылысады+3> -1 = 0

A )9 0 °B) 30°

C) 60°Й) 45°

Е) 120°

15. У+ ® түзулерімен жасалған <р бүрышты аныкта[Зх+2у = 0

A) 45°

B) |

C) - | 6

О) |

Е) 120°

83

.X 4* 5 V — 4 — 0 V й | І і16. + о тҮ3УлеР’н*н киылысу нүктесін тап

А) х = - 6 , у = 2

B) - ^ 6» У = ~2C) х = 6 ’ У=~30 ) * = 3, у = 4

Е) х = 1- У=л

17. /4(2;-1;1), 5(5;5;4), С(3;2;-1), £>(4;1;3) нүктелері тетраэдрдін төбелері болады. Осы тетраэдрдін көлемін есептеA) 3B) 4C) 6Б) 18 Е) 918. Берілген түзудің к бүрыштык коэффициентін және Һ кесіндісін табындар: 2х + 3 ^ - 6 = 0.A) * = -2 /3 ,Ь = 2;B) к=5,Ь = 2;

С)

Т»

Е)

к = - 2 /3 ,6 = 3;

к = 2 /3 ,6 = 2;

£ = 2/3,6 = -2 .

19. а = {};-і}, 6 = ^;-2}, с = {-1;7} үш вектор берілген. (2 а + 1>)свекторын аныктандар.A) -35B) 33C) 23 0 ) -15 Е) 42

20. -4(—1; 3; — 7), В(2;-1;5)және С(0; 1; —5) нүктелері берілген

(2АВ-СВ)(2ВС+ ВА) векторларынын скаляр көбейтіндісін табындар.A) -524B) 524C) 254 Ә) 542 Е) 325

84

21. М атри цаларды н көбей тінд іс ін табы ңдар:

(2 3 1

V

' 2 ' -1

В)( -2

V5

С)

-2

~5)

Е) 1

22. Матрицалардын көбейтіндісін табындар

/ 3 5 4 2 1

іV

1 2 3 4

0 1 2 /

г 1 -1

-1 0

2 1

, - з 2

л

/

А)Г ° 5-9 12

В)

-3 46 3

-8 2

/

V-3 - 4 )3 5

С) 2 4Ь 7/

О)1 -4»

-3 8

\ /

Е)( -3 5

2 -41-1 7

85

23. а = {$; -1; - 2 } , Ь = $; 2; -1} векторлары берілген. Векторлык

көбейтіндінің координаталарын табындар:[(2а+ 6)6].A) ^ 0;2;14}B) {-10;—2;14>

C) {Ю;-2;-14}

Ә) |Ю;2;-14}

Е) {-Ю;2;14}

24. 2х+3_у+ 4 =0 түзуі берілген, Осы түзуге параллель болатынМ(2У) нүктесі арқылы өтетін түзудін теңдеуін табыңдар.

A)

B)

|

| Е)

2х + Ъу — 1 = 0

Зх - 2у + 4 = 0

З х - 2 у - 4 = 0

2х + Зу + 7 = 0

2 х - З у - 7 = 0

25. Ы І Щ Щ*-*° агсзіп х

A) 2B) ®

C) 1

Э) 4 Е) 0

26. І іт 5Іп8хх-»° агсзіп х

A) 8B) ®C) 2

1° ) 2 Е) 0Верный ответ: А

27 Ііт Я І ■Ш X2 + 2х

A) 1B) «сC) 2

86

II5ІП 7х + 5ІП X28. һ т ---------------;

*-» ЛхA) 2B) «

I IЩ 0II29. х2 + 1п^ = 0 . Табу керек у

0 )0

А) у' I - 2ху

в ) у ' ! 2ху

С ) у = —

I ) / ш2х/ = ху

Е>30. л7 ~х2# 0 айкындалмаған түрде берілген функциянын у х-туындысын табыныз АЧ , 2х -уА) ііш

В)X

х у -1

С)

1-ху

дс(ху-і)ху + І

г» у

Е) у |1 + 2дгу

А) У =т ^тІп5(х +1)

с ) у |Ц 1X* + 1

87

32. Г(х) =2х+1 функіхиянын [4,6] интервалдағы ен үлкен мәндерін тап.A) Қх)1пах = 13, Г(х)Іпш = 9B) Г(х)тіп = 4, Г(х)тах = 13C) Қх)тах = 13 , Г(х)ті„ = 1 0 Я йх)тіі1 = 9, Қх)тах =11 Е) Қх)ІІИХ = 13, Г(х)тіп = 1133. Дифференциадды пайдаланып жуык мәнін тап 5,8A) 1,9937B) 1,8938C) 1,8999 О) 1,9123 Е) 1,839934. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап л/9ДA) 3,016B) 3,000C) 1,003Р ) 0,003 Е) 3,33335. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап уі5A) 2,25B) 2,50C) 1,25 І | 2,00 Е) 2,5036. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап л/70A) 8,375B) 7,38C) 8,00 Р ) 0,80 Е) 8,9937. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап >/17A) 4,125B) 4,00C) 0,004 Ә) 0,400

88

38. Дифференциалды пайдаланып жуык м^нін тапA) 2,16B) 2,00C) 0,02 §| 0,20 Е) 1,2039. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тапA) 4,125B) 0,40C) 4,00 0 ) 0,42 Е) 0,20

2Х2 _ і40. у = --------функциянын көлбеу асимптотасынын тендеуін көрсет

XA ) У = 2хB) функцияның көлбеу асимптотасы жокC) У = 2О) х = 0

Е)41. Функциянын [ -1;3] кесіндідегі ең үлкен және ен кіші мәндерін тапу = х*A) Ях) т | 1 2 7 , Я[х) ті„ і -1B) Ях) т іп = 1, Кх) тах = 27C) Дх) тт 1 13, і(х) т іһ 1 10ш Д*) тіп 1 9, |х § та, = 11 Е) Г(х)т„ = 13, і(х)тш = 1142. Функциянын [ -1;5] кесіндідегі ен үлкен және ен кіші мәндерін тап

у = 2х 3 + 3 х 2 - 12х + 1A) Ях) тах = 266Д х ) ті„ = -6B) Ғ(х) т„ 1 260, Дх) ті„ = 6C) Дх)т м = 13, Г(х)т т = 10 О) Г(х)т „ = 9, Қх)т„ = 11Е) Дх) тах | 13, Қх) т іп = 1143. Функциянын [—1;2] кесіндідегі ен үлкен және ең кіші мәндерін тап

у = х 3 + 3 х 2 - 9 х +1A) Г(Х) тох = 12, Г(х) тіп = -4B) Г(х) т„ = 266 ,1(х) ті„ = -6C) £(х) № = 260, Кх)тт = 6

Е) 4,444

Х9

Р) |х ) = 9, Дх) = 11Е) Дх) = 13, і(х)„„п = 1144. у = + л/дг +Іу функциясынын туындысьш табыныз

А) 1ЛІ Х+ 1

В) 1 *4 7 7 1

ГЧ XVх2 +11 х + 1

Е) |X

45. Функцияның туындысын тап: >• = 1п(,т2+ х)

A)X■ + Л'B) -11

X~

О И ^ Ц н ІC) 4 1 -* ')

ео5 л'

Е)*

12 + л/Г

46. л2 + ЬхУ~ л + 2

А) у = х + 4

В) V = X

С) V = 0

Р) у = 4л +1

функцияның көлбеу асимптотасының теңдеуі

Е) У = х + Ь47. | исі\- = |\сіи функциясының дөңес аралығын көрсетіңіз

А)В) Ондай аймак жоқ

С) 0.®)0 )

Е) (°’°°)48. >• = 2ху +3л2 + 1 функциясының дөңес аралығын тап

А) (-сю-Д

90

О) (0,1)

Е) ^ 1'0)49. у = х '+ 2 х -2 кисығына абсциссасы х, = 1 нүктесінде жүргізілген жанама мен нормаль түзудін тендеулерін жазA ) 5 х - у - 4 = 0, 5 у + д :-6 = 0 — ■

B ) 4 х - .у + 5 = 0, у-ь4дг-1=0C) 5х+ у —4 = 0, х—5у+6 = 0О) 5х - V + 4 = 0, х + 5у - 6 = 0

Е ) 4х + - 5 = 0, 4х+1 = 0

51. Материалдык нүктенін і сек уакытында жүріп өткен жолы

5 = І / 4- - г ' + 2/ + 1 тендеуімен берілген. Нүктенін 2 сек аралығында

жүріп өткен жылдамдығын тапA) 6B) 2C) 8 О) 0 Е) 452. Материалдык нүктенін козғалысы .у = 2зіпш занымен берілген.

2я ___ • __/ = — уакытта жүріп өткен жылдамдығын есепте

кисыкка жүргізілген жанама кай нүктеде Ох өсіне

параллель боладыA) М * )

B) 4;3)

С0A) 2®B) За

Б ) О)

91

Е) і' 3

53. Материаддық нүктенін с сек уакытында жүріп өткен жолы

= —/4 + 2/ +1 нүктенің 3 сек аралығында жүріп өткен

жылдамдығын тапA) 20B) 10C) 27 . , , | Б ) 11Е) 1254. у = - 4 кисығына абсциссасы хи =8 нүктесінде жүргізілген жанама мен нормаль түзудің теңдеулерін жазA) х - 4 у = 0, 4л-+_у-34 = 0B ) х+4у+1 = 0, 4 х - у - 3 = 0

C ) х + 4 ^ -2 = 0, 4 х - у + 5 = 0 Б) д--4у+1 = 0, 4 х -у + 3 4 = 0 Е) х - 4 у = 0, 4 х - у - 3 4 = 055. у = 2х3 + х - 1 кисығына абсциссасы хо = -1 нүктесінде жүргізілгенжанама түзудін теңдеуін жазA ) 1 х - у + 3 = 0B ) х + 7 у - 2 9 = 0C ) 7х+у+29 = 0 Б ) х+Ту+29 = 0 Е) х-7.у+9 = 056. у = 2х} + х - \ қисығына абсциссасы хо =-1 нүктесінде жүргізілген нормаль түзудің теңдеуін жазA) ^ + 7 ^ + 29 = 0

B)

C)

0 )Е)

57. Функцияның анықталу облысын табыңыз: V =

д г -7 у + 29 = 0

1х + у + 9 = 0

1 х - у - 9 = Ъ

х - 1 у - 2 9 = 0

А) ( - оо;+оо).УІХ2 +2х + 3

Ш (-® ;і)и(3;-ню ).

С) В 3);

92

Г)\ (-оо;-5) и ( 5;+со).

Е) (1;5)58. у = іп(і + 2х) функцияның аныкталу облысын табыңыз.A) І > -0.5B) хЬ-0.5C) х* -0.5Ә) х > -0.5 және х * 0 Е) х < -0.5

■ і

59. у = агссоз (х-1)/2 функциясыньщ анынталу облысын аныктанызA) И ;3 ]B) [-1:1]C) (-1,1)Щ 1 1 ,3)Е) В60. М(3; 2) және N(4; 5) нүктелері аркылы өтетін у = Ь+Ь түзуінін к бүрыштык коэффициентін аныктаныз.А) 3;

С) 2;Щ -2;Е) -6.61. Координаталар басынан өтетін және Ох өсімен 45° бүрыш жасайтын түзудін теңдеуін жазыныз.А) V = X . *В) у = х + 2. ✓ 9

С) у = - х +1.9

1 ) V = —X — 1.9

Е) у = х + 34»

62. Төбелері А(2;-1), В(4;3), С(-2;1) болатын үшбүрыштын кабырғаларынын орталарын табыныз.A) (3;1), (0;0), (1;2)B) (1 ;3), (1 ;0), (2;2)C) (-1;3), (0;1), (1;1)Э) (-3;-1), (0;2), (0;-3)Е) (0;-2), (2;0), (-3;0)63. Үшбүрыштың А (0; 1); В (6;5); С (12;-1) тебелері берілген. Стөбесінен жүргізілген биіктіктің тендеуін жазыныз.A) 3*+2у-Э4 = 0B) 2 х - І у - П = 0

0 3

С) З у -2* + 27 = 0Б ) 3у + 2дс + 34 = 0 і ' йЕ) у-х + 7 = 0 '

64. А(2,3) және В(-1,2) нүктелері берілген. ВА бірлік векторынын координатгарын көрсет

I 1 I 1 I ■

A)

B)

С)

ч>Я0 ’л/І0 у

(3,1)Щ IІ 4 ’4

- 3 - 1

щ >Яо’л/іо/ 3 1

2*2Е) _ .................. ........... ... , хт65. 1 1 Й Ш векторы берілген. в векторьгаын ОУ өсімен жасайтынбүрыштын косинусы

і

A) ^2B) #C) 0

2

Е) 1проекциясы

A) 1B) 5C) - 1 О) 0Е) -6 *

X — Л у-Ъ 2 X У 267. Ц : | = - у - = 1 * 2 ' - = — = ү түзулердің арасындағы бүрыштың

косинусы4

А ) Зл/24

B)C) 0

З у/ 2

94

т і

Е) V 2Х+ V = 0

2х + 2у = 0сызыктык теңдеулер жүиесінш шешімін көрсет

A) Д ШB) Й ШC) ІЦо ) (0,1)Е) Сызыктык теңдеулер жүйесі үйлесімсіз69. I , : Здг - у + 5 = 0, Ь2: Зх + у - 4 = 0 түзулері берілген. Осы түзулер арасындағы бүрыштын косинусын табыңызA) 0,8B) 0C) 0,91 1 Е) 8

70. д =5 2 1I 3 1II 1 3

. ап элементінін алгебралык толыкгауышын есептеніз.

A) 4B) -4C) 13 Ш) 6 Е) 0

95

Аралык бакылау тесттері

1. Егер сызыкты алгебралык теңдеудің шешімі болмаса, онда олA) ҮйлесімсізB) ҮйлесімдіC) Аныкталған Э) Анықталмаған Е) Біртекті

х + у = 0 - 2 у + г = \

сызыктык теңдеулер жүйесінің шешімі1 і і 1 — ?I 2*2 )A) _

B) Сызыктык теңдеулер жүйесі үйлесімсізC) 0.-и) м § (0,0,2)

Е) Сызыктык теңдеулер жүйесінің бірнеше шешімі бар3 і(-*і. і) және М 2(х2, у 2) ек ңүсте берілген. Осы екі нүктенің ара

андаи формүла бойынша аныкталалы?

A) \ ( Х2~Х\У +(уі ~У\У

B) т1(х2+ хіУ - ( у2+Уі¥ і щ

C) (х 2 - Х1 )2 - (У2 - У\ )2 ' ?

Б) (х2 +Х\У +(У2 +У1)2Е) а/(*2 +л'і)2 +(у2 +У\У

4. Квадраггык матрицалар жиьшьшда қандай матрица А матрицасына кері матрица деп атапады?A) А В=В А=ЕB) А В=В А=0C) А+В=В+А=Е.О) А+В=В+А=0.Е) А В=В А=-Е.

■ 1 Й5. ' матрицасьшьщ рангі теңA)1B)3C) 0

96

Э)2 Е) 46. Кесінділер аркылы берілген түзуді көрсет

A ) а Ь

B) Х~У = °Ш х + у ^ 0 %О ) у — ах+Ъ£ ) ах+Ьу = \

1. Матрицаның бағандарын ауыстырғанда оның аныктауышы калай өзгереді?A) танбасы өзгереді;B) аныктауышы нөлге тең;C) анықтауыш өзгермейді;О) танбасы сакталады;Е) аныктауышы диагональдың бойында орналаскан элементтердің көбейтіндісіне тең;8. Нөлдік қатары (бағаны) бар аныктауышA) нөлгетен;B) біргетен;C) минус бірге тең;О) бірінші катардьгн элементтерінің көбейтінісіне тең;Е) диагональдын бойында орналаскан элементтердін көбейтіндісінетен ;9. Аныктауыштын бір катарын ^ - ға көбейткенде онда аныктауыш калай өзгереді?A) аныктауыш л - ға көбейтіледі;B) аныктауыш ' - ға көбейтіледі;C) аныктауыш ^ - ка көбейтіледі;Б ) аныктауыш нөлге тен;Е) аныктауыш ® 0 - ге көбейтіледі;10. Егер А матрицасының і-ші катарына * - ға көбейтілген} катарын косканда онын аныктауышыA) өзгермейді;B) өзгереді;C) нөлгетен;Ә) біргетен;Е) диагональдын бойында орналаскан элементтердін көбейтіндісінетен ;

97

/

11. \

2 П3 2

/ I -1I 1 матрицаларын кебейтініз

/

А)

3 -115 -1

В)

-3 11-5 2 / ]/

С) V5 3 1 1

Е)

( і з5 1

1 I3 5)

12. Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар калай аталадыA) КоллинеарB) НөлдікC) Сызықты тәуелсізВ) Қарама-карсыЕ) Компланар13. Берілген квадраттык матрицаға кері матрица бар болады тек кана

V/сол жагдаидаA) егер матрицаның аныктауышы нөлге тен емес болса;B) егер матрицаның аныктауышы нөлге тең болса;C) егер матрицаның анықтауышы бірге тен болса;Э) егер матрицаның аныктауышы минус бірге тен болса;Е) егер матрицаның аныктауышы диагональ бойында орналаскан элементтердің көбейтіндісіне тен болса;14. А-квадраттык матрица. Онда

Ш а *A) А‘*=ИB) А' *=1А| А*

1С) А''=|А|--4

1

Ш)И и м *1

Е) А« I ■А

98

15. Сызыкты алгебралык теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу формуласы

А)

Дх д у " А2— ,У = — , 2 = ^д А ДА Д А

Х = ----, У = — , 2 = —В) д Д.

ф х = Д, у = Д, 2 = Д

Э)

Дх л Аух = — - 1, у = —Д д

2, 2 = ^ - 3Д

д* IХ = у = 2 = ----X —— XЕ) Д Д Д16. * және Ь векторларынын арасындағы бүрыш кандай формулаарқылы анықталады

■ЯЯщА) а\ * \в\

5т<р = В)

Со.ч (р =

С)

О)

Е)

Ч*|в!5т (р = / ср т

^ (я»«)Са? <р = т— 4і Р І

17. Екі вектордын скаляр көбейтіндісі неге тең?

A)

B)

C)

(а,6 ) = |а|*|б|*со5 , (р = а һ \

(а%Ь) = \а\ -\Ь\ • 5Іпй?, (р = а Ь\

(а,Ъ) = \аI ЬI

( а , Ь ) = )а - С05<р, (р-а Ъ\

Н)( а , Ь ) = Ь • со5<р, (р = а*Ь\

18. Екі вектордын скаляр көбейтіндісінін декарттык координаталары аркылы өрнегі

А) (а,Ь) = Х\,х2 +у{ у 2 +2,г2

99

B)

C)

(а,Ь) = • С05 <Р,

(а,6) = л| ,* г -> '1.у2- 21г2

(а,Ь) =

О)

Е)19.

ІУі щ X, | | 1 Уі

141151 х 2 г 2

>х 2 у 2 1

(а,Ь) = а Ь •51П (Р

я = (7, 2, - 8 ) />=(11, - 8 , - 7 ) векторлары берілген. Олардынарасындағы оұрышты тап

п

А) 4

В) 3

С)

71

2п

0 ) 6 2я_

Е) 3

20.

"3 4 2 " Г1 5 - ГА = , Я =

40 00 1 1 3 - 9 , А - в негетен?/

А) V

2 - 1 33 5 4

\

/

В)

С) \

- 2 -1 33 5 4

2 -1 - 33 5 - 4

\

Е)

2 - 1 3 1- 3 - 5 4,

2 - 1 3 )

3 11

— к—_21. а және Ь векторлары оұрыш кұраиды және

|й1 = 5.Онда [а * Ь] есептеңіз

а = 6 және

А) І5л/3

100

В) 12

С) 15л/2

Э) 15

Е) 12л/2

) есептеңізA) 22B) 10C) 26 О) 24 Е) 25

23 а және Ь векторлары және

I = 4

Й11ОндаA) -6B) 6C) 5 Б ) 7 Е) 324 Ж 3;-і;2)

есептеніз

және Т—1'2'П • ТЕ' ’ ’ ' нүктелері берілген. Онда АЬ және ВАвекторларынын координаталарын тап

( - 4 ; 3 ; - 1 )

A) Ц Щ Р ( 4;-3;-1)

B) М ; 3; 1)( 2; 3; 1)

- 1)с ) Ш( 3; 4

О) (—3;—4 (-3;-4

1)- 1)1)

Е)

2 5 .1A) 7B) 8C) 6 6 ) 5 Е) 9

( 3: 4 ;-!)

а = {6; 3; - 2 } векторынын модулін есепте

101

26. Анықтауышты есепте: 1 Іоёба1 Ь 1

А) 0

В) 1 - І0£ і( Ь

С) 1°Ві а

0 ) 1

Е) 1о§і 1 1 1

27. а векторының и осіне проекциясы неге тең?

пРиа = С05 (р

пр„а= й|

при а = \а\ 5 іп (р■ - в

"Риа СО50>

при а = |аі 5Іп (р

A)

B)

C)

О)

Е)28 а I і | л в = ЗЛг, с = 2/ + 2} векторларынын аралас көбейтіндісі теңA) 0B) 2C) -3Э) 3 .

Е) 1 _29. <1 = {х’У-г }. Онда ^векторының бағыттауыш косинустары неге тең?

с о « а =

A)

B)

Я', С05 р = У■, С05 у =

7

1 5

с о з а = х <і , С05 В = у СІ , со5/ = г- а

С)

х ос о з а = - г = 7 , соз р =

■V 2

, со5 = - — ;к

С05 0Г =

0 )

1 3 і іП7, С 0 5 р = — , С05 =(І <і\

С05 а = С05 В = С05 у =

Е) й

102

30.I!

,121

а 12

22матрицасына сәикес келетін аныкгауыштын мәні III

A) 01*322" а12а21B) аі2 а 21 “ аІ1 а22C) ац а 22+ а і2 а2іИ) аІ2а 22+ аІІ а21Е) а і2а 22" Зц а2і

31. Аныктауышты есептеніз

A) 1B) 29C)-1Щ -29 Е)5

5 2

7 3

а 2Ь 2 — 2аЬ

2 а һ -а 2Ь 2

2 а 2Ь 27« 1

32. Аныктауышты есептеніз

A) 0B)C) О)Е) Щ33. Аныкта>ъішты есептеніз

A) 4аһB) 2аһC) аЬ

а аһ

аһ Ь 2

а + Ь а -һ

а -һ а+һ

£)) 2а ' + 2Ь 2 + 4 а Ь

Е) -

34. Аныктауышты есептеніза

A)B)C)О)Е)

а һ -с 2

а һ -с + й 2

а Ь + с 2 - с і 1

аЬ + с 2

а һ -с 2 - с І 2

103

35. Аныктауышты есептеңіз

2 1 3 5 3 2 1 4 3

A) 40B) 46C) 43 Э) 30 Е) 34

36. Аныктауышты есептеңіз

3

A) -3B) 3C) 4 О) 5 Е) -4

37. Аныктауьппты есептеңіз

а

A)

B)C)

О)

1

2л*3 ~ ( а + Ь + с )х 2 + аЬс

2л*3 + (а + Ь + с ) х г + аЬс

2х ' - а Ь с

(іа + Ь + с)х2 - 2аЬс

2л*3 +(а + Ь + с)х2

12 5 33 4 2

Ъ

38. Матрицалардың көбейтіндісін есептеңіз/

А) V/

В) \

5 2 7 0

5 7 2 1

С) ч

I )

/

7 0 )7 2

0

2\

Е)- 7 о;

104

39. Матрицалардың көбейтіндісін есептеңіз:а в Ү а рс Лү 6

/

с а + сіү сР + ё5 /

В) V

С)

аа + һр а р + сбса + (І8 ср + Һ6

( аа + Һ5 һр + (15 са + (Іү с Р + һа

\

/

Э) \

аа + Һ6 һр + с5' са + һү сү + с16

аа + һү аР + ад са + <1ү сР + аРЕ)

40. Жол саны мен бағана саны тең матрицаA) квадратгыкB) диагоналдіC) бірлікО) тікбүрышты Е) айрыкша

41. Егер

А)

В)

С)

О)

Е)

л - { 212 -П

3 2'1 0 3 2

V/

\

/(2 -Р

0 \)2 - І3 0 /

3 2

42. Ж-

01

(3 - 2 4

5 -1 - 64 6 1

/В =

\

В =

А+В косындысын тап

1 8 - З ^2 - 4 9І

л + В негетең?

А) 7 - 5 3)

105

С) . 7 - 5 3 ,

( 4 6 I

- 7 - 5 3О ) V' 4 6 1

/

Е) 17 - 5 - 3

43. Екі вектордын векторлық көбейтіндісінін абсолют шамасы негетең?

A)

B)

р,М=|й|*Ё1*5ІП^

|^ ,б ] = |а|-|б1-СО50?

іЯ - Ш0\ С05ір

Э)

Е)

іМ ]= й -И

г - 1 Н-І і ш ** 51ПСР

44. Үш вектордың аралас көбейтіндісі

А) И К

ІҒ.6 Я

| з , С _

м

B)

C)

о )

Е) н н и45. А(2,1,1) нүктесінен өтетін және я = {-1. - 1.3} ВСКТОрьша перпендикуляр жазыктыкты көрсетA) ~ х ~ у + 3г = 0B) х = 3C) ^ - ^ + 2 = 1О) Х + у + 2 = 0

Е) У = 2 -46. Төбелері 2 ,0), 5 (3 Д 3), С(5,2,6) Н\тсгелері болатын үшбұрыш ауданын тап

106

A) 14B) 28C) 16 Э) 24Е) 7

47 в = {12; -15; -16}

А) I -V 252225

В)

С)/

Э)

12 15\ 25 25

Е)

1524

векторынын бағытгауыш косинустарын тап16 \

25;1«Й 22

16 \

23)

]6252'3,

48. М\М2 кесіндісін кақ бөлетін С(х,у) кординатгарын көрсет, мүндаЛ/,(*,,.*) Щ§§ШШI ?

Х + Лз Уү + УгА) 2 / 2

В)

С)

ю

Г у= 2I= М і УіУ

2 2

Е)

X, V.Х = — >/ = —

1Х>

49. Теңдеулер жүйесін шеш(Зх - 5 V = 13 2л- + 7 V = 81

A)

B)

C)

0 )

* = 16; >> = 7;х = 14; у = 5;

х = 2; >> = 3;

дг=10, у = Т,

107

Е) л - і и , у — ш / .

50. Матрицаның рангі дегенімізA) аныктауыштьщ нөлге тең емес минорларының ең үлкен ретіB ) нөлден өзгеше айрықша аныктауыштын ен үлкен ретіC) нөлден өзгеше айрыкша аныктауыштың ең кіші ретіО) аныктауыштың нөлге тең емес минорларының ең кіші реті Е) аныктауыштын нөлге тең минорларының ең кіші реті51 а = Ь = &-3;2} векторлары берілген болса, онда ^ ^ ;есептеңізА) 22 ГЬ ) 25 ... й Ш Я г і - йС) 24Щ 27 ■'Е) 23 *

52. Түзудіңжалпытеңдеуін 2*-4у+3 = 0 бүрыштык коэффициентімен берілген теңдеуге келтір

1 3 у = —*+ —A) 2 4

| 3V = 2х ----B) 4

. з Ш Ш в ду = 2дг+—C) 2

VУ = ; ШвИЁ

О) 2 4

V = 2дг--- ■ ■ - V - И і ЩШЩ . / ■■■;:, 5 Д І І І В М

З-г + 5>» — 4 = 053. 6ү + ]0^ _ 8 = 0түзулері калай орналаскан?

A) бір - бірімен беттеседіB) параллель боладыC) перпендикуляр болады О) ортак бір нүктелері бар Е) баска варианттар жоқ.

А)

г2 Й } 3 і лу орынданыз

(5 5 ^5 10)

108

В)

С)

0 )

5 -5 -5 7

Г-5 71-5 -5 ,(4 4^.4 Ь

(Ъ Ъ\

Е) V3 7

55. > + 7 ~ 0 хүзуінің бұрыштык коэффициентін тапA) 2B) 7C)-2® -7

|І 1

=156. Түзудін кесінділер түріндегі тендеуін 4 -3 жалпы түрдегітендеуіне келтір дч Здг-4у-12=0т Зх + 4_у + 12=0 Р — Зх + 4у—12 = 0 т Э х -4 ^ + 13=0

Е) Зх + 4 у -11 = 0 > х - х 0 У-Уо о

57. 'и « теңдеуі кандай сызыкты аныктайды?A) кеністіктегі түзудіB) жазыктыктыC) конусты О) сфераны Е) цилиндрды58. Ах+Ву+Сг+0=0 теңдеуі кандай сызыкты аныктайдыA) жазыктыктыB) гиперболаныC) түзудіО) шенбердіЕ) параболаны

109

— ■ + = 1 в |Д Ш Н Н Н Д |59. 16 9 эллипстің жартылай остсрін аныктаA) 4 және 3B) 16ж әне9C) 3 жөне 5 Ә) 4 және 5 Е) 4 және 6

г2 Щ ,?X . 2 1 ■ •- '~ “ + у = 160. 4 эллипстін жартылай остерін аныктаA) 2 және 1B) 1 және 3C) 4 және 1В) 4 және 2 Е) 2 және 361. Жартылай остері 5 және 2 тең жөне фокустары абсцисса остерінде, координата басына симметриялы эллипстін теңдеуін көрсет

* 2 V2 _

В)

к

Е)

■ т25

* 2 1 I

1 II

5 22х~ V✓

2 5 ~ 4? 2

дг У" _5 2

д 2 V2— + Үт5 4

фокустарыостершде,көрсет

2 ) X у

А ) 25 16

В) 5 4\П

X + ^ 2 =

С) 25 16

х2 я 1Б ) 5 4

110

Е) 25

£І63. 9 4 гиперболасының жартылай остері а жөне Ь - ны тапA) 3 жөне 2B) 3 және 3О 9ж ән е40 ) Зж өне4 Е) 3 және 5

64. ! I векторынын модулін табыныз, егер Ыг 4;*)A) 5B) 25C) 7Ц 9 Е) 1

х - х = У-У\ ^ 2 ~ 2\ х ~ хі _ У-Уг _/, т , п. / , ді,

265. 1 1 жене - т* түзулердінпараллельдік шарты:

Д) ^ ** "5

B)C)

/ , / , + л ? ,т 2 4- я ,/?2 = 0

/ , = / , . т , = т 2 . /7, = л2

/,/, = т . т , = /?,«,О) г2 "І!т 2/, т , п, л -1. + —1 + - 1 - 0

Е) т 2 л2

66. А|Х + Віу + Сі 2 + Оі = 0 және А2х + В2у + С2г + 0 2 = 0 екі жазыкгыісгын перпендикулярлык шартыдч ^ ^1 2 +С»Й “ ®

р|рЛ. 3. С, лІ І + Г І + —І з О

В) /42 Щ с 2п /4,/4, = В[В2 = С*С2

Э)Е)

А = А в 5 .А2 В2 С2

А, = А,;В, = #,;С, = С,

111

67. М (1; 2; 4) нүктесі аркылы өтетін және ^ 2/ + 5у 8А- векторынапараллель түзудін теңдеуін жазыңыз

Л'-1 « 1 2 - 4

А) 2 5 - 8

х - 2 У~$ _2 + 8

В) 1 2 4

х — 1 у - 2 _ 2 - 4

С) 8 - 2 -5л - 1 у - 2т 2 - 4

0 ) 1 2 4

л - 1 у - 2чг 2 - 4

Е) 20 8 5

68. Егервекторлардың коллинеарлык шартын көрсетіңіз

А) х 2 Уг 1

і 2 оВ) 'Ү? >2 *

- Л'2 + У\У2 * 2\г2

*2 Й АІ*2 + +г1г2 = *

О)

69. ^ = {*і ».Уі } Жене в “ т а » Л « * 2 і векторлары берілген болса, ондаосы векторлардың перпендикулярлық шартын көрсетіңіз

А) х \х2 +У\Уг +гі22

В) *і*2 + Л Л + г \г2 * 0к = Л = ± і

О *2 Уг Ч

1 щ£)) х 2 У і г 2

і = £к = >1 Е) у' Ш 4

У\ = *|Х+ві70. Екі түзу У2 ~ к2х+вг теңдеулерімен берілсе, онда олардыңпараллельдік шартын көрсетіңіз

А)

112

С) *2 Р ) к2 = ~к2Е) *2 = -2*2

у,=*|Л+в,

71. Екі түзу У2=к2х+в2 тендеулерімен берілсе, онда олардын перпендикулярлык шартын көрсетініз

А, = - —A) Щ V ' .B) *>=*’-C)

*Ь = 2Б) ЦЕ) |р § |

72. *2 + 25^ = 25 эллипстін жаргылай остерін аныктаA) 5 және 1B) 1 және 25C) 25 және 2 0 ) 5 және 2 Е) 5ж өне473. #(-3,4) НүКТелері аркылы өтетін түзудің тендеуін жазА) *+3 = 0т Зх-ДИ-Ю^ОО х+ 6= 0р \ Зх + у — 10=0

Е) -у+3=074. Радиусы 7-ге тен, центрі болатын шеңбердін тендеуінкұрастырындар.A) (х - 3)! + (у - 4)’ = 49

B) (х - З)2 + (у + 4)! = 49

C) (* + З)2 + 0> - 4)1 = 49

0 ) ( х - 3 У + ( у - 4 ? = 1

Е) (х - З)1 - (у - 4)2 = 49

113

75 Д 1» 2} Ь {1,2, 1} векТ0рЛары берілген. Векторлык

көбейтіндінің координаталарын табындар: І Й і .

A)

B)ж

C)

Й

{5;і;7}{5;-і;7}

&і;-7}{- 5;1;7 }

1 Ш88§76. а & |Й ^ І ^ 2’ і}, с 2» ^} векторлары берілген

сіос. ны есептеңіздер.A) -7B) -5C) 2 О) 4Е) 3

,. Зл'3 - 5дс2 + 2һ ш — | -------1----- ;

77 х-ко 2х + 5х - х3 ... . . . . . . • !|

A) 2B)C) -1

5

О) 2Е) 0

ОО

Ііш зШ - II + 278. х->* * 4 + 2.ү - 4 ’A) 0B) <®

_7

с) І

В) 3Е) 3

114

ІішЗдг + 2х - 5

79. 2х2 + х + 7A) ®B) 0

3C ) 2 О) 2

5Е) -

Ііш 5х 2 - 4 х + 2

80. хНме4.г, + 2х-5A) 0B) 00

5

C) 4Э) -2

2Е) Я

I Івх2 +5*І1ГП ---------------

8 ] х->х 81 Зх - 9х2A) -2B) «C) 0

5

0 ) - 3

1Е) 8

Зх +14х ш п-----------2

82. х_кс 1 + 2 х + 1 х 2

A) 2B ) 0 0

C) 03

І ) 2 Е) 1

Ііт5х^ - 7дг2 + 3

83. х_>х 2 + 2лс-лА) -5

B) 005

C) 2| | 0

7Е) -2

Зх* — 2х +1 Ііш — ----------------------------------------

84. х_>сс 2* + 5л' - 5A) РB) 0Ш іІ) 2 Е) 5

л. 8Іп аі ( т . -----------------------------

85. »->0 8ІпЫ а

A) ЬB) 1

ьC) а Б ) 0Е) -1

й т ^8 6 Х->0 5ІП X

A) 3B) -1C) 2В) 1Е) 0

. . ( X - 8 І П Х ^Л т ---------------------------------------------------------

87 х )

A) 0B) -1C) 2 0 ) 1

Е) -288. Бірінші тамаша шек

А)5111* ,

І1Ш------- =1д -* 0 X

І і т — = 1В ) х~*° 5ІП X

І і т ——— = ссС) 51П-Г

.. зт х . І і т ------- = 1

О) *

Ііт - - = 0£ Л 5ІП X89. Екінші тамаша шек

1іт(1 + — У = еA) *

Ііт(1 + х)г = еB) »—♦г:

ІітП + х)Т = еС) —

|1іт(1 - х ) 1 = еО) « с '

1іт(1 + — )* = ехЕ)

2лг + 1V =

90. х ~ 2 функциясьгаын горизонталь асимптотасын көрсет

A ) У = г

B)C) У=2* ~ хО) * = -2

Е) У= ~2

117

Емтихан тесттері

/1. Л =

0 11 3

матрицасына кері матрицаны тап, егер ол бар болса

А)\

-3 1 1 0/

В) кері матрица болмайды ГЗ П

С) 1 0

\/

1 1

Е)3 -1 \

\ /2. Егер сызыкты алгебралык теңдеудін шешімі болмаса, онда олA) ҮйлесімсізB) ҮйлесімдіC) АныкталғанВ) Аныкталмаған Е) Біртекті

х+ у = 0- 2у + г = 1 сызыктык тендеулер жүйесінің шешімі

2 = 23.

/А)

\1 І.2 2 ’ 2 ’

B) Сызыктық теңдеулер жүйесі үйлесімсізC) (1,-1,2)Б ) (0,0,2) ЯЕ) Сызықтык тендеулер жүйесінің бірнеше шешімі бар4. Л/Дх^,) және М2 (х2, у 2) екі нүкте берілген. Осы екі нүктенін аракашықтығы қандай формула бойынша аныкталады?

A) ^(х2-ХіУ +(у2~уі?

B) ті&г+хіҮ-ІУі+Уі?

C) (хг ~ хі)2 - (Уг ~У])20 ) (х2 +(Уг+У\?

Е) -*І(х2+хі)2+(у2+У\У5. Квадратгык матрицалар жиьшында кандай матрица А матрицасына кері матрица деп аталады?

118

A) А В-В А=ЕB) А В=В А=0C) А+В=В+А=Е. Б) А+В=В+А=0. Е) А В=В А—Е.- — ^ 4 1 1

- 8 - 2 - 2матрицасынын ранп тең6. А =

A) 1B )3 , щ Ш т ШC)0§ § 1Е )47. Кесінділер аркылы берілген түзуді көрсет

A) -+ —= 1а Ь

B )х —у = 0C) х+у = 0 I ! у = ах+Ь Е) ах+Ьу = 18. Матрицаның бағандарын ауыстырғанда оның аныктауышы калай өзгерсді?A) танбасы өзгереді;B) аныктауышы нөлге тен;C) аныктауыш өзгермейді;О) танбасы сакталады;Е) аныктауышы диагональдың бойында орналаскан элементтердің көбейтіндісіне т е н ;9. Нөлдік катары (бағаны) бар аныктауыш

A) нөлге тен;B) бірге тен;C) минус бірге тен;0 ) бірінші катардын элементтерінін көбейтінісіне тең;Е) диагональдын бойында орналаскан элементтердін көбейтіндісінетен;10. Аныктауыштың бір катарын Л - ға көбейткенде онда аныктауыш

калай өзгереді?A) аныктауыш Л - ға көбейтіледі;B) аныктауыш (- Л) - ға көбейтіледі;C) аныктауыш Л2 - ка көбейтіледі;О) аныктауыш нөлге тең;

119

11. Егер А матрицасының і-ші қатарьша X - ға көбейтілген) катарын қосқанда онын аныктауышыA) өзгермейді;B) өзгереді;C) нөлге тең;Ә) бірге тең;Е) диагональдың бойында орналаскан элементтердін көбейтіндісіне

Е) аныктауыш (Л -1 ) - ге көбейтіледі;

т е ң ;

12. (2 1\ /

А)

3 2)Ш -1

і І і I матрицаларын көбейтініз

В)

І I-3 1 -5 2І\/

С)\/

В)\

В)

5 3 1 і 1 3 5 1 1 1

\

/\

/\

/13. Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар калайаталадыA) КоллинеарB) НөлдікC) Сызыкты тәуелсіз 0 ) Қарама-карсыЕ) Компланар

14. Гі 2

А)

[2 5

\ 5 ~ 2

1 - 2 1

матрицасына кері матрицаны тап

\

/

В)1 - 2 \

С)

- 2 5 '2 1\

0 )

-5 2 1 5' - 2 2

/

/

120

15. Берілген квадраттық матрицаға кері матрица бар болады тек канасол жағдаидаA) егер матрицанын аныктауышы нөлге тен емес болса;B) егер матрицаның аныктауышы нөлге тең болса;C) егер матрицанын анықтауъішы бірге тең болса;О) егер матрицанын аныктауышы минус бірге тең болса;Е) егер матрицаньщ аныктауышы диагональ бойында орналаскан элементгердін көбейтіндісіне тең болса;16. А-квадратгык матрииа. Онда

A) • А'иB ) А ' - |А | А*

C) І Н аі • 1А

0 ) А '= 1

Е) А' - г я І17. Сызыкты алгебралык теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу

формуласы

А\ Л УЛ А Д

ш ^ д ^ А д ■ М ш Ш вя тВ) Х = — , У = — , 2 =Д я Ду

С) х = Д, у = Д, 2 = Д

Е)) х=^--1, у = - 2 , 2 = - 3Д Д Д

Е) X = у = 2 = X —— XД Д Д

18. а жөне Ь векторларынын арасындагы бүрыш кандай формула а ркылы аныкталады

— ш.в)И * Н ; ■

В) =М

121

С) Со5(р =(я,в)

_ . \а • \в\В) 8іп(р = -т±--гі р , в )

Е) Со8 (0 =

19. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі неге тен?A) (а,Ь) = |а|*Н*со5^, (р-а Ь\

B) (а,Ь) = |а |• 1 • 5Іп(р, (р-а Ь\

C) (д ,6 ) = |а|*рі|

О ) ( а Д ) = |а |с о 5 ^ , <р = а лЬ ;

Е) (а,6)= а со5 >, <р = алЬ;

20. Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің декарттык координаталары аркылы өрнегіA) (ауЬ) = х ^ х 2+уху 2+2{і 2B) (а,Ь) = Ь СОЗфу

С) (аМ ^х^х^-У іУ ^ -г ,2 2

.ү\ Г1* *1 і

•

9« й 1

?2 х2 г2 Л*2 У 2 1ь •51П#>Е) (а,Ь) =

21. а = (7, 2, -8} 6= (11, -8 , -7 ) векторлары берілген. Олардың арасындағы бұрышты тап

А)

B)

C)

О)

Е)

/Т

4п1п2п62пТ

22. і і

/А)

\

23

:з 4 2 '\ 9 00 1 В

-1 >15 4

В =

/

\1 5 -1 6 3 - 9

\А - В негетең?

/

122

\В)

\С)

о )

-2 - ! 3 3 5 4

2 -1 -33 5 - 4 7 ' 2 -1 3 ^- 3 - 5 V

(2 -1 3 3 -5 - 4 )

тг23. а және Ь векторлары <р = — бүрыш кұрайды және

|5 |-5 .

Онда [а һ\ есептенізA) 15л/3B ) 12C) 15л/2 Э ) 1 5Е) Ш І

а =6 және

&;-3;2} векторлары берілген. Онда (г )A)B) 10C) 26 Й) 24 Е) 25

225. а және £ векторлары <р = —л бұрыш кұрайды және |я| = 3 және

І | = |Онда (р,Ь , есептенізA )-6B) 6C) 5 І | 7 Е) 326. А(3;-1;2) және 5(-1;2;1) нүктелері берілген. Онда АВ және ВАвекторларынын координаталарын тап

А) М ;ЗН )(4;-3; I)

123

В)

С)

Е)

(-4; 3; 1)( 2; 3; 1)(—2;—3;—1) ( 3; 4; 1)(—3;—4;—1) (—3;—4; 1)( 3; 4;-1)

( 4;-3;-і)

27. а = {б; 3; - 2} векторынын модулін есептеA) 7B) 8C) 6 0 ) 5Е) 9

28. Аныктауышты есепте:

A )0B) 1 - 10£„ ЬC) Іоё* аЬ )1Е) 1о§ь а -129. а векторынын р осіне проекциясы неге тен?А) п р а = С 05 Ф

В) прка = \а

С) пр" а = ||д| 8Іп <р

Й пР» а = С08 ?

Е) нр„а=|а|8Іпр

30. а = і' + У, вA) 0B) 2C )-3О) зЕ) 1

= 3к, с = 2і + 2] векторларынын аралас көбейтіндісі тен

124

31. сі = {г, у . г ) . О нда сі векторы ны н бағы тгауы ш косинустары неге тең?

х о У 2А ) С050Г = ргг, С05р = € 0 5 / = р г іУ I і

В) С 05а = Д Г - С 0 5 Р = у <1, С 0 5 / = 2 ' </І;

О) со5 а = — , со8/3 =<1 а

— , СОЗ =1 (І

С05 =

Е) С05 а = С05 р = С05 / =

н

32. IIЧ а 2 !

а 12 1а22у)

A) ац а22 - і2 агіB) аі2 а 2і - Зц а22

матриіхасына сәикес келетін анықтауыштын м әні..

С) Ц ! а 22 Ф аі2 %і О) а}2а 22+ ац а2і Е) а |2а 22- ац а2і

33. Аныктауышты есептеніз

A) 1B) 29C )- 1Ц -29 Е) 5

34. Аныктауышты есептеніз

5 2 7 3

а

A) 0B) а2Ь2 -2аЬC ) 2аЬ -а 'Ь 1О) 2а'Ь Е) а2һ2

35. Аныктауышты есептеңіз

A ) 4 аһ

B ) 2аһC ) аЬӘ ) 2аг + 262 + 4аЬ

аһ| аһ һ2

а+һ а - һ а —Ь а+һ

125

Е) - 4 аЬ

36. Аныктауышты есептеңіз

A) а Ь -с2B) аЬ-с + сі1C) аЬ + с2 -<і2 0 ) аЬ + с2Е) аЬ-с ' — сі'

ас

A) -3B) 3C) 4 0 ) 5 Е) -4

39. Аныктауышты есептеңізахх

А ) 2ху —(а + Ь + с)х2 + аЬсB) 2хъ + (а + Ь + с)х1 + аЬсC) 2х3 - аЬсВ) (а + Ь + с)лг2 - 2аЬс Е) 2дг3 +(а+Ь + с)х2

сЬ

2 1 337. Аныктауышты есептеніз 5 3 2

1 4 3

А )40В) 46С) 430 ) 30Е) 34

3 2 138. Аныктауышты есептеңіз 2 5 3

3 4 2

X х)IЬ X1

X с|

40. Матрицалардың көбейтіндісін есептеңіз ^(35

NА)

В)

/

42 1/

126

С)

Е)

2 5)7% о і

һ2)

и 0 )

{ 5 2'

1-7 0 ,

41. Мэтрицалардын көбейтіндісін есептеніза вҮо /9\с <*лг б )

А)( аа + Һ у аР + Ъ6' I са + сіг сВ + йб ,

в а а + ЪЦ \ са + <16

С)

ар + сдс0 + М

Һ6 Һр + Щ

1 са + <1ү ср + һа )аа + Һ5 ЬВ + сб

( аа

о ) ( II са + һү сү + <16

Е)аа + Ьү ар + <16 са + сіү сВ + ар

42I 2 ) ,3 4

матршдасына кері матрицаны табыныз:

Г 2A ) і 3

І2

Г~2B)І ч

1 12 і

I 1I I2)

(2С )

-пI2

0 )I

3*>

1

Е) кері мзтрииасы болмайлы

- ; : ) 'матрмиасына

А )

»27

43

-4^3/

\- 4 1

75

/

44.

I VСоза - 5іпа\

А)

{5іпа г Соха

Соха5іпа

матрицасына кері матрицаны табыныз/

В)

С)

- 5іпа Сох а ) ( Соаа -5іпа\

Со^а ) 5іпа

- Соаа

О)

\-5 ін а ( Соаа

5іпа г - Соха

\

/

\ - 5іпа

Е)гСоза 5іпаV

5іп а Соаа )

5іп а 'І Соза )

45. Жол саны мен бағана саны тең матрицаA) квадраттықB) диагоналдіC) бірлікБ ) тікбұрышты Е) айрыкша

46. Егер А =

/

\

2 0 I 1

5 = (0 -1/ \

, А+В қосындысын тап/

/А)

2 -1

\ 3 2

В)

С)

(2 0

1 2 (2 -1

/

V

О)\

0 1 2 - І

3 0

\

/

128

1ч

0 -13 2

47. АШ'3 - 2 4 ' (

, в =1 •—* 1 1 \

1 8 Н2 - 4 9)

, А + В неге тен?

А)

В)

4 6 1 7 - 5 3

'4 - 6 Ш

V-5 7 3

С)( - 4 - 6 -1 7 - 5 3г4 6 1 -7 - 5 3

/

/■

Е) Ш - 5 -348. Екі вектордын векторлык көбейтіндісінін абсолют шамасы неге

тең?A) |[з,ь]=|а|'[б|-8ІП0>

B) )^,ь]=(д)*Ій] со5^

с ) !§,&]=

I) іМЬи-И

і іС05Й»

Е) І Щ Ш І514 (р49. Үш вектордын аралас көбейтіндісі

A) & Ь ]с)B)C) І І І І ІЕ) ^ ]50. А(2,1,1) нүктесінен өтетін жөне « = {— 1,—1,3} векторына

перпендикуляр жазыктыкты көрсетA) - х - у + З г = 0B) дг = 3C) Х - у + 2 = \

15) х + у + г = 0 Е) у = 2

129

51. Төбелері Л(1; 2; 0), в(3;0;-3), С(5;2;6) нүктелері болатын үшбұрыш ауданын тапA) 14B) 28C )16 Э) 24 Е )752. Үш төбесі Л(-2;1;1), 5 (4 ;-5;2), С(-3;1;-1) нүктелері болатын

параллелограммнын ауданын тапА) л / 3 0 І

B) -20C) 18Б ) 7305 Е) л/зІО

53. Теңдеулер жүйесін шеш:2х\ —х2 - ху = 4Зх, + 4х2 - 2ху = 11

Здг, - 2х2 + 4л‘з = 11

А)

В)

*і = 3 ; Х2 =1; **3 =11 -3 ; X2~^> х 3 = - 1

х, =1 ; х 2 = 3; зс, = - 1 « в р і^

дс, = 3 ; Х2 = 3; .*3 = 1

х, =1; Х2 = 1; хз = - 3. а = 42: 1> 15; - 16} векторынын( 12 ш

15\2 5 * 25 ’ 25)( 12 15

•16>

124 2 4 ’ 22;

( 12 15_ •16'

,23’ 23’ 23;С)

І 1 12 15 16I 25 25’ 25

Е)/

215 2 24 * 3

55. М{М2 кесіндісін как бөлетін С(х,у) координаттарын көрсет, мұндаМ}(Х\*У\ )>Мг Ш&Уг)

А )* = ^2 2

130

г*\ ■■ Ц +х2? „ _ 0 'у+УіІ Ч 2 , У ~ 2

0 ) х = £ і ^ , , = * ^ і2 2

г^ч X, V,Е ) дг = » у = —

*г УіЗх - 5 V = 13 2х + 1у = 81

56. Теңдеулер жүйесін шеш:

A) х - \6 ; у~1\B )х = 14; у = 5;C) х = 2; Г Р ІЭ) х=10, у = 7;Е) х = 16; ^ = 5.57. Матрицанын рангі дегеніміз

A) аныктауыштын нөлге тен емес минорларынын ең үлкен ретіB) нөлден өзгеше айрыкша аныктауыштың ең үлкен ретіC) нөлден өзгеше айрыкша аныктауыштын ен кіші ретіЭ) аныктауыштын нөлге тең емес минорларының ең кіші реті Е) аныктауыштын нөлге тен минорларынын ең кіші реті58. |я |=10, (*) = 2 және (р,һ}= 12, онда | [ а ,й ] есептеніз

A) 16B) 9C) 5

Е )1259. |а| = 3, |*| = 26 және |М |= 72 ’ онда есептенізA) ±30B) ± 24C) ±35

±21 Е) ±27 _л60. а = $-2;-4 \һ = {б;-3;2} векторлары берілген болса, онда уі һ, есептенізA )22B) 25C) 24 І І І І

131

Е) 23 _ . /61. а = {4; - 2 ; = {б;-3;2} векторлары берілген болса, онда

( а - Ь ) 1 есептеңізA)41 ; ^ ^B)66C) 31 Ш 8 Ё • :Й# ц : : ** :Е) 74

£ 262. а және Ь векторлары (р = —к бұрыш күрайды және |а] = 3 және

|б| = 4. Онда (я +Ь; есептеңіз

A) 13B) 3C) 7В)16Е )4

- 2 . .63. а және Ь векторлары <р - —л бұрыш құрайды және |я| = 3 және

A) 37B) 9

(я - Ъ} есептеніз

З л /З

о ) ъ ЛЕ) 31

[Зх -7 + 5 = 0 .

64. | + ^ тұзулерімен жасалған <р бұрышты аныкта

A) 45°B) 30°C) 60°Р ) 90°Е) 120

ГЗх-;у + 5 = 0 I65. < түзулері кандаи бұрыш кұрап киылысады

1 дг +■ Ъу — 1 = 0

A) 90“B) 30°C) 60°0 )4 5 °

0

132

Е) 120°, 5 х - у + 7 = 0 . -

66. { түзулерімен жасалған (р оұрышты аныкта(Здг+2у = 0

А ) 45°

І1 1| 1 Е) 120°67. Түзудің жалпы тендеуін 2х-4>+3 = 0 бүрыштык коэффициентімен

берілген тендеуге келтірА\ 1 3A ) у - - х + -

2 4

B) у - 2 х - ^ -4

C ) у = 2х+1

Ш і IЩ у = — х —Щ 2 4

Е ) у = 2 д г - |

Зх + 5 у - 4 = 0 . *, .о68. түзулері калаи орналаскан?6х + 1 0 у -8 = 0

Щ-.

A) бір - бірімен беттеседіB) параллель боладыC) перпендикуляр болады Э) ортак бір нүктелері бар Е) баска варианттар жок.,п (2 П26 9 .1 орынданыз

111 »| в

133

1 4 4 щ яГз з ч

Е)§ § і I

70. түзулерінін қиылысу нүктесін тапд г -у + 8 = 0 ' .-• ':г в ^ ^ Ш И В Ш

• ^ г

A ) х = - б , у * 2 ■’*B ) х = 6, у = -2 . .C) .т = 6, у = - 3 -ч. 'й>@лЩ'йіЭ ) х = 3, _у = 4 Е )х = 1 , ,у = 471. 2х - у + 7=0 түзуінің бүрыштык коэффициентін тап

A) 2B) 7о - 2 ; ' * *"' • '•гЕ>)-7 ' ;і

Е> і IЛш ДГ у.

72. Түзудің кесінділер түріндегі теңдеуін - + — = 1 жалпы түрдегі4 —3

теңдеуіне келтірA ) З х -4 _ у -1 2 = 0B ) Зд- + 4> +12 4 оC) -Злс+4>-12 = 0Ә) З х -4 ^ + 13 = 0 * ГЕ) Зх + 4 у —11 = 0 В Ш н И

73. *~*ц _ У~Уо = 2 ~ 2о/ т п

аныктайды?

A) кеңістіктегі түзудіB) жазыктыктыC)конусты Б ) сфераны Е)цилиндрды74. Ах+Ву+С2+0=0 теңдеуі кандай сызыкты анықтайдыA) жазыктыктыB)гиперболаныC) түзуді Б ) шенберді Е) параболаны

134

2 275. — +— = 1 эллипстін жартылай остсрін аныкта

16 9A) 4 және 3B) 16 жене 9C) 3 жене 50 ) 4 жене 5 ' ' т И И Н -1Е) 4 жене 6

76. — +у =1 эллипстің жартылай остерін аныкта

A) 2 жөне 1B) 1 жене 3C) 4 жөне 1В) 4 жене 2 Е )2 жене 377. Жартылай остері 5 жөне 2 тен және фокустары абсцисса остерінде, координата басына симметриялы эллипстің тендеуін көрсет

х 2 V2

Н X 2 V 2B ) — +2_ = і | 5 2

Т2 V2C ) ~ - £ - = 1' 25 4

X 2 V2 0 ) £ —.2 1 .15 2 -

I йр шЕ) —

5 478. Жартылай остері 2д = 10 жөне 2Һ = Ъ тең және фокустары абсцисса остерінде, координата басына симметриялы гиперболанын теңдеуінкөрсет

A) — - ^ = 17 25 16

B) — - ^ і = 1 ; ,7 5 4

C) Р Ш І25 16

О) —7 5 4

щ Щ Ж ш І25 4

135

2 2 ■ | Н79. — - —“=1 гиперболасының жартылай остері а жене Ь - ны тап

A ) 3 ж ә н е 2B )3 және 3C) 9 және 4 О )3 және 4 Е )3 ж ә н е 580. Д2;-1;1),5(5;5;4),С(3;2;-1),£>(4;1;3) нүктелері тетраэдрдің

төбелері болады. Осы тетраэдрдін көлемін есептеA) 6B) 4C )3Е>) 18Е )9 ,

2 + 6| векторының модулін табыныз, егер о(і;-4), Ь(- 4;8)

A )5B) 25C) 7 0 ) 9Е ) 1 ' /82. *■ ~л' = - - - ~ және — — = 2-~ 2-2 түзулердің

/, и, я, /2 т2 щпараллельдік шарты:

A) 1-і- = І ^/2 тг пг

B) /,/2 + /«, % +я,л^ =0C) /, * /2; /я, = я, =л20 ) Уі 88 /Яіт 2 * Я1Л2Гч /. м, я, А Нж

11 т2 >Һ83. АіХ + Віу + Сі 2 + Оі = 0 жөне А>х + В 2У + С22 + 0 2 = 0 екі

жазыктыктың перпендикулярлык шартыA ) 44 + & А +С,С2 * 0

А Д с. л м ід И м ™ М іг Ш Ш -&:B) —і- + —і-+ —і-* о

C) 4 4 = =С,С2

0 ) 1 Д 3 5 . :-

Е) 4 * 4 ;£, * ІйЙ *

136

84. М (1; 2; 4) нүктесі аркылы өтетін және 5 = 2/+5у-8& векторына параллель түзудін тендеуін жазыныз.дч х -1 2 - 4A)

B)

С)

О)

Е)

2 5 - 8* - 2 у - 5 2 + 8

1 2 4х - 1 к І Р 2 - 4

8 - 2 - 5х —1® У І І _ 2 - 4

1 2 4х - 1 2 - 4

0 8 585. Егер а = {х,,.у,,2,} және в = {х2, ^ 2^ 2 ) векторлары берілсе, онда осы

векторлардын коллинеарлык шартын көрсетініз

А) х\ _ У\ _ 2\х2 у2 г

B) І . = А * І Іх2 Уг 2г

C) ^ і ^ +д а +2і22 =0

*2 Уг Е) ХхХ2+УіУ2+2\22 = 1

осы векторлардьш перпендикулярлык шартын көрсетініз.A ) *\х2 +У\Уг+*\2г= 0B)р і „ 2 И в і

ДР2 ^ 2 *2

Щ й І І І Ш *2 ^2 р

рчЙ 72 г1

87 Екі түзу 1 1 тендеулерімен берілсе, онда олардыну2 =к2х+в2

параллельдік шартын көрсетіңізA) *, = к2B) к,к2 =-1

C ) І І = 2кп

137

О) к2 =

88. Екі түзу 'т+ві теңдеулерімен берілсе, онда олардыну 2 = кух + в2

перпендикулярлык шартын көрсетініз

А) * , = - — М н Ш

в ) к, =кг ' Щ ; ,."с ) к =-2кг \ г- '■*■•'■- \ ; д П - ! ^ |

О) — =2*2 Ш І р ;

Е) к =-Аг2 і*ф&: і89. х2 т 25>?2 = 25 эллипстін жартылай остерін аныкта

A) 5 және 1B) 1 және 25C) 25 және 2 О) 5 және 2 Е) 5 және 490. Ж-ЗЛ), В(-3,4) нүктелері аркылы өтетін түзудін тендеуін жаз

A) ДГ4-3®0B) з х -у + іо * оC ) 1 4 - 6 * 0О ) Зх + V - 10 = 0 . .. - ,

Е) Х + 3*0 І щ : ""91. Берілген түзудін к бүрыштык коэффициентін және Ь кесіндісін

табындар: 2х + 3>»-6 = 0.A) к = -2 /Ъ ,Ь = 2;B) к = 5,ь ШC) Д: = - 2 /3 > = 3;О) * = 2/1, Ь * 2; ' \Е) * = 2/3 ,Ь = -2 .92. Радиусы 7-ге тен, центрі 0(3; 4) болатын шенбердін тендеуінкүрастырындар.A) (х - 3)г + (у - 4)г =49B) ( х - З)2 + 0 - + 4 )1 =49C) (х + 3)1 + 0 ' - 4 ) 1 =49 Р ) ( х - 3 ) 2 + ( у - 4 ) 2 = 7

Е) к2 = -2к2 .

138

Е) (х - З)2 - { у - 4)2 = 49

93. а = {3; - 1}, Ь = {І; - 2}, с = {-1; 7} үш вектор берілген. (2 а + /») с векторын аныктандар.A)-35B) 33C) 23 0 )-15 Е) 4294. у4(—1; 3; — 7), 5(2; -1 ; 5)және С (0;1 ;-5) нүктелері берілген.

—» —» —Ф «*♦

(2 А В - СВ)(2 ВС+ ВА) векторларынын скаляр көбейтіндісін табындар.A) -524B) 524C) 254Ц 542 Е) 32595. Матрицалардын көбейтіндісін табындар:

2 '(2 3 П

• -11 -1 2)\ /

А)

В)

' 2 Ч

14' - 7 \

/

С)

і, 5( 2Л

/

О)

4 -5 ' - 2 '

дЕ) -

2 15 /

96. Матрицалардың көбейтіндісін табыңдар:/ 3 5 4 2" - 1 2 3 4

V 1 0 1 2

' 1 - г-1 02 І

- з 2

139

А)0 5 ^

- 9 12- 3 4 /

3 4В)

С)

6- 8 2

1 -3 “ 43 5 2 4и 7

/

О)Г 1 —4^

- 3 8\ 1 7 /

Е)

V

2 - 4 -1 7 /

97. а = § | -1 ; - 2}, 6 = {І; 2; -1 } векторлары берілген. Векторлык

көбейтіндінің координаталарын табыңдар: [аЬ\.A) {5;1;7}B) & -1;7}C) {5;1;-7}Б ) {- 5;1;7}Е) |5 ;-1 ;-7}

98. а = -1 ; - 2}, Ь = {і; 2; - 1} векторлары берілген. Векторлык

көбейтіндінің координаталарын табыңдар: [(2 а+ Ь)Ь] .A ) {10;2;14}B) {-Ю ;-2;14}C) |0 ; - 2 ; - 1 4 }0 ) {і 0;2;-14}

Е) {-10;2;14}

99. а = {І;-1;3}, 6 = {- 2; 2; і}, с = {3; - 2; 5} векторлары берілген. —¥

аЬ с- ны есептеңіздер.A) -7B) -5

140

С)2Щ іЕ) 3100. 2л: + Зу + 4 = 0 түзуі берілген. Осы түзуге параллель болатын

және М(2;1) нүктесі аркылы өтетін түзудің теңдеуін табыңдар.A) 2х + 3 .у -7= 0B) Зх - 2у + 4 * 0о Зх - 2 у - 4 = 0 Ә) 2дс + 3>> + 7 = 0 Е) 2 * -3 .у -7 = 0, л , Зх3 - 5х2 + 2 801. ііхп — г------- ------ ;

+ 5 х - х

1 !B) 00C ) - 1

11 Е) 0і м 1 Зх2 - 7 х + 2102. һт -----------*

х-квх + 2х - 4A ) 0B ) ОС

I IІ й Е) 3

Здг + 2 х - 5103. һ т — | ----------;

Х-+0С 2 х + х + 1

A) ооB ) 0

мО) 2

Е ) - |

іл л і* 5х2 - 4 х + 2104. һ т — 5---------- ;х-*»4дг *+-2х-5

141

A) 0B) оо

с>!Щ -2Е ) - |

5

105. іі ВІВх- » » 8 - З л - 9 х2

A )-2B ) ос

C) 0

! | |Яг 4- 1

106. Ііш —х->* 1 + 2 х + 1 х

A) 2B ) 00

C) 0

В)|Е) 1

107. Ііш 5 х 3 - І х 1 + 3

х - * » 2 + 2 х - х 3

A) -5B) І

с » і

Б ) 0

Е) - -2

108. Ііш і* 4 - 2х +1х-+» 2 х 2 + 5х - 5

осA)B) 0C) 1І

142

е> 4

,0 9 . № « 1х—>0 агсзіп х

A) 2B ) СС

ЩБ ) 4 Е) 0

8 Іп 8 х 110. І і т ;— |

х-»о агсзіп хA) 8B) ооC) 2

Е) 0

І І і а ш и В і*-*о х + 2х

A) 1B)ооC) 2Б ) 0

Е> і. . 5111І Х 4- 5ІП X

112. Іігп------------------х-»о 4х

A ) 2B) «

іЭ ) 0

Е) -4

5ІпаІ113. ' і т — —

<-*озіпЬі

В) 1

143

С ) -а

Б )0 Е )-1

114. Й Й Рх -» 0 8ІП Х

A) 3B ) -1C) 2Э) 1Е) 0

I .. . X — 8ІТ1X115. Л т

х - » 0 \ X

A) 0B)-1C) 2О) 1Е )-2116. Бірінші тамаша шек. ч .. 8ІПДГA) һ т ----- =1,-а х

B) Ііт—1— = 18ІП X

C ) І іт =сол-»х 5ІП ДГ

V ) І і т — = 1Л'

Е) І іт— = 05ІП X

117. Екінші тамаша шек

A ) 1іт(1 + — У = ех

B ) Ііт(1 + А*)л = е

С) 1іт(1 + х)д =е

В) 1іт(1 - д?)х - е

Е) 1іт(1 + —)х = ех

2ү + і118.^ = -------функциясының горизонталь асимптотасын көрсет

х - 2

144

A) у= 2B )* = 2C) у = 2х-1Щ х = -2Е) у = - 2119. у = /(* ) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер олосы Хо нүктесінін кандай-да бір аумағында аныкталған болса, және егер...А) Іігп Ду = 0; -М ДМІв )1іш 4у=® ;

' !_•*■/. .^ п;Г ЦЯ ^ в ідНяЯО Ц ш * * " * ?

А^ңіО - •*' ' ~ г- ••. *** . •*•. 11 **“. ' 'й* ■” '

ДтнЛ ^ВН ЯаВ'. ' ’ ::,Е)1ішДуйЛ& Аг- О ; V ' " ^ • ; Л Д : ;г: .: 'г!: И с _

120. у = /(х ) функциянын графигі дөнес болу үшін:A) /" (х) < 0B) / '(х ) > 0C) Д х) < 0 Ә) /*( х) > 0 Е) /(х) > 0121. у = /(х ) функциянын графигі ойыс болу үшін:A) Л X) > 0B) Д х ) > 0Щ Д х) < 0Ё>) /(х ) > 0Е)Г(х)<0122. у = /(х ) функиия өспелі болады, егерЩ |> оB ) ? $ 0C ) У > 0Щу' оЕ)у* = 0123. у = /(х ) функиия кемімелі болады, егерА )у*<0

О з Г і О0 ) у " $ 0

[45

Е) V" = О124 > = х -г % х . Туынш сын таоыңдар

А) у = 1 12 т /Х

Пк , 1 В) у =

тл ,. 1 1~С) у + — х

° )> '= і-тт=

Е) > =1 + 4л/Х

125. у » со«Ь -* 2 5іп хA ) у * - 2 &ш 1 х - 2со»дг

B) > = 2§ш2д - 2со8л

C) у * іш 2і^ 2сов і Я0) у' *2гш2х + 2сошхЕ ) V * - 2 я п 2 * + 2 с о і л

1 2 4 у ■ ‘;;ЛA) у; =2хе* .B) у * 2хсааН | ш В ^

О у' • X V 1"1

0 ) / = е * 2

Е) уу =2хе!,:,' і

127. у = і « |

А) І * — ■2соа2 -

2

В) у

1 І СОб —____ I2 § т -

146

С ) у = ~ гX

С05—

0 ) у '= - 7

С052 -

2 * СО$ ~

Е) у = ------ 2X

128. у = агсІ§х + - х 3

; . і ,А )У=----Т + х

І+х

в ) у' = 7 - Ч + Т1 + х ‘ 3ГЛ / 1 . X2С )у = ------г + —

1 + х іп> / 1О) У = ------ т + 3х

І + х2

Е) у' = ----- Ц г + 3

129. у 35хA ) у =51п3-3!’

B) у = 5 ■ 35т

C) >■' = 5.т- 35г‘ ‘

О) у = 3 ІГ ІпЗ

Е) у =35‘ ІпЗ -5,ү130. у = агс»іпЗх

/ 3

і

/ агс5Іп Зх

И I мР ) у' =

*г X 1

л/х2 -1

1 - х 2

131. У = 7 ~ Ү1 + х

А) уА I2х - 2 х 2

В) у1 =

С) у Ц

( і - 2 х )6х2

+ х

Г)1 (2«)(11 2х)

у ' ш ЯНІ

X = I132. Табу керек у

У = і2 + ддч / 21 + 1

А ) у - —

В) у ' = 242і + 1

С ) / = 2121-1

™ 1 2 х ~ 1

Е ) У ' = ^

X ~ I* **133. функциясынын туьшдысын табыңыз

[>- = /“ + 1A )2г2B)2/

148

С)і0 )4 /3Е)1134. х + 1п у = 0. Табу керек

A) у' = -2ху

B) у7 = 2ху

1 ИУ

О) / = 7 -2хЕ) у ' = ху

^ " • 1 'ЯІіГП й в * /135. х у - х = 0 айкындалмаған түрде берілген функцияның у х-ізэ. х у - х =и аи т у ы н д ы с ы н т а б ы н ы з

т

* V / 2х - VА) у7= ------ I

Xху -1 1 - ху

B )У

/ у ( і - х у )C )у ^

0 )У

Е) у 1 =

х(ху - 1 )ху + 1

1 + 2ху136. у = І0£5(х3 +1 ,Т абукерек)/,

А) у =Зх2

1п 5(х3 + 1), 3

В )у =х + 1

2/ ЗхС) У =

х 3 +1

І ) у/= 31п5(х +1)

X +1

149

137. Г(х) = ( 1 - х ) ( 3 - 2 х ) . Табу керек Г(х)

A) і ' = 4х - 5B) і ' = 4хC) і ' = 4х + 5В) і ' = 2 х - 5Е) Г '= 2 х + 3138. С(х) = х 2 • ех . Табу керек Г'(х)

A) і ' = хех (х + 2)

B) і ' = х (2 ех + х2)

C) { ' = ех (2х +1)

Ә) і ‘ = 2хехЕ) і ' = хех

139. Г(х) = соз2х 1 2 со з2 х . Табу керек 4 ^ 1

A) 0B) 1C) 2 Ө) 3 Е )-1

( ‘л140. Ғ(х) = 2 з іп х + 6со5х . Табу керек і '

A ) 1 - Зл /З

B) 2C )3 Р ) л/3Е) 2л/з

141. Г(х) = й і(зіпх). Табу керек § | 5

А) л/З

1

Р ) л/З Е) л/2

150

142. Г(х) - х • £пх - х . Табу керек Г(і)A) -1B)~2C) 0І | IЕ) е143 Функция өсімшесінін аргумент өсімшесіне катынасымыч,сонғысы нөлге үмтылғандағы акырлы шегі мсні аныктайлы?A) туындыныB) үздіксіздіктіC) интегралдыО) дифференииа лд ыЕ) асимптотаны144. £{х) =2x^1 функцияның [4,б] интервалдағы ен улкси және сн кшпмөндерін тап.A) !(х)тйХ = 13, ЯхХтп38 9B) І(х)тіП; * 4, КхХтя * 13с ) ! ( х и х= і з д х и * юО) р Ь й = 9, І х ) тах * 11 Е) Я[х)тйХ * 1 $ І(х)тш = 11

2*2 __ 1 ...... ...... .14$ у - ----- функииясының вертикаль асимптотасынын түрі

XA)B) д * 2уC) р 2х 0 ) ^ = 0

Е) —1н146. у = х2-2х функциянын монотондық интервалын ата.A) ( - оо. /] -кемімелі, (/: оо)- өспеліB) (-оо;0] -кемімелі, р;оо)- өспеліC) (- оо;/] - өспелі, (7; оо)- кемімеліВ) ( - оо;0] -©спелі, (0;оо)- кемімеліЕ) барлык сандар өсінде өспелі.147. у = 4х-х2 функциянын экстремум нүктелерін тап.A) х = 2 - тах нүктесіB) х = 0 -шіп нүктесіC )х = 1-шах нүктесіВ) экстремум нүктелері жокЕ)х = 0 -т іп нүктесі, х = 2 - т а х нүктесі

148. у = (х ~ 1 )4 функцияны экстремумға зерттеA) х “ 1- т іп нүктесіB) х = 4- шах нұктесіC) х = 1- шах нүктесі Ә) х = 4-шіп нүктесіЕ) экстремум нүктесі жок149. у = 1 + 2х - 2х2 функцияны экстремумға зертте

A) х = —- т а х нүктесі

B) х = 2- шахC) х = 1 -т іп нүктесі

Ә) х = ------т іп нүктесі

Е) экстремум нүктесі жок150. у = (х - 1 )3 функцияны экстремумға зерттеA) экстремум нүктесі жоқB) х = 1 - т іп нүктесіC) х = 1- шах нүктесі Э) х = 0 -т іп нүктесі Е) х = 3 - т а х нүктесі151. у = 2 + х - х" функцияны экстремумға зертте

7 | і ' І ШA) х = — т а х нүктесі

B) экстремум нүктесі жокC) х = 1- т а х нүктесіВ) х = 1 - т іп нүктесі

Е) х = — т іп нүктесіЩЯ

152. у = л/х +1 функцияның аныкталу облысын тап.A) ( - 1,+со)B) (-1,+«)C) (-<»,1)0 ) х = -1Е) (-1,1)153. у = ^о§5(2 + х) функцияның аныкгалу облысын тап.A) (-2,+ао)B) ( -» ,2 )C ) [ - 2.+оо)

152

ЩЙЙРЕ) (0,-2)

154. у = — | — функциянын аныкталу облысын тап.4 —х

A) (-оо,4) и (4,+оо)B) (4,+<ю)C) [4,+оо)Ш (-00,4)Е) (0,4)155. Днфференцналды пайдаланып жуык мәнін тап І]і5,8A) 1,9937B) 1,8938C) 1,8999Ц 1,9123 Е) 1,8399156. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап /9,1A) 3,016B) 3,000C) 1,003І ) 0,003 Е) 3,333157. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап у[5A) 2,25B) 2,50C) 1,25 ІЭ) 2,00 Е) 2,50158. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тап л/70A) 8,375B) 7,38C) 8,00Б§ 0,80Е) 8,99159. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнін тапA) 4,125B) 4,00C) 0,004 Э) 0,400

153

160. Дифференциадды пайдаланып жуык мәнін тап VI0A)2,16B) 2,00C) 0,02Ә) 0,20Е) 1,20161. Дифференциалды пайдаланып жуык мәнінтап \і70A) 4,125B) 0,40C)4,000 ) 0,42 • ‘ Щ •Е) 0,20

2хг — і .162. V = ------- функцияның көлбеу асимптотасының теңдеуін көрсет

х *т рШB) функцияның көлбеу асимптотасы жокC ) у * 2 О) * = 0Е) у 8 -2х

Е) 4,444

163. Ііш = пт теңдік бұлІЛМ £(Х) *~>а & (*)

A) Лопиталь ережесіB) Лейбниц формулаC) Лагранж теоремасы Б ) Парсеваль теңдігі Е) Тейлор формуласы164. у - у 0 = / ' { х 0)(х - х0) кандай теңдеуді аныктайдыA) ( х 0,у0) нүктесіндегі жанамаB) асимптотаныC) ( - х 0 ,-у0) нүктесіндегі жанама О) (л*0, у0) нүктесіндегі нормальЕ) (-*о ”>о) нүктесіндегі нормаль

165. Егер \ ’ функциясынын туындысы бар болса, онда олу=г\|/(()

мына формуламен есептеледі

А) ү ; Ф (0

154

ВЛ ү ’ - < Ж уВ) ■ 7 ш

о і - ® »ф ( 0

о ) ү ; = ІШ |¥'(*)

Й Ш Рф

166. Функциянын өсу аралыктарын тап у = (х-2)A) (2,оо)B) [0;-2]C) (-2,0)Щ [-2;0]Е) [2;оо]167. Функииянын кему аралыктарын тап у - (х-2)A) (-оо,2)B) [0;-2]C) (-2,0)Р) (0,-2)Е) [2;оо]168. Функциянын өсу аральпсгарын тап у -1 - 4х- хA) (-оо,-2)B) [0;-2]C) (-2,0)Ц (0,-2)Е) [2;оо] ,169. Функциянын кему аральпстарын таи у -1- 4х- х“A) (-2, +оо)B) [0;-2]C) (-оо,2)Э) (0,-2)Е) [2 Н170. Функииянын [—1;3] кесіндідегі ен үлкен жөне ен кшп мәндерінтап у - хA) Дх) = 27, Қх) = -1B) Дх) т іп = 1 3 ДЮ ПМ» " 27C) Дх) те, = 13, І(х) шіп = 10Б ) Дх) гоіп = 9, Қх) тах = 11Е) Дх) тох = 13, Қх) т і п = 11

155

171. Функцияның [ - 1;5] кесіндідегі ең үлкен және ен кіші мәндерін

тап у = 2х3 + Зх2 — 12х +1A) Дх) 11Ш і 266, і|х ) ті„ = -6B) Қх) Д = 260, Ғ(х) тіп 1 6с ) кх ) та, = і з, а д ітп = 100 ) Дх)1ш„ = 9, Ғ(х)ігах= 11 Е) |(Х) тах = 13, Қх) т і„ = 11172. Функциянын [ - 1;2] кесіндідегі ең үж ен және ен кіші мәндерін

тап у = х3 + Зх2 - 9х +1A) Ш іпах 1 12, і(х) 1ПІ„ I -4B) 0[х) 1П0Х 2 266, Дх) і | = -6C) Г(х) = 260, !§!І тіп = 6В) І(х) ті11 = 9, Г(х) т а х =11 Е) Г(Х) 111ах = 13, |Щ I 1 1

173. у = л/х2 +1 Функииясынын туындысын табыныз

А)\ х 2 +1

В ) -VX +1

С) хл/х2 +1

ш 1х2 +1' V

Е) -х л /х 2 +1174. у = х£пх Функциясьшын туындысын табыңызА Н пх + 1B) х£пх +1C) ('пх Б ) х + 1

Е) — | Н В И ' ІX ______________________________ ,

175. у = ^п^і + уі\ 2 +1 функциясынын туындысын табыңыз

А) 1+1

В) - хл/х2 +1

156

С) хл/х2 +1 Э) х +1

Е) -X

176. Функциянын туындысын тап: V = Х -

в ) Л ах(х 1 2)

С)--- 1х ( 1 - х 2)

о ) 1

Е)

СОБХ

1

2 + л/х

177. Функциянын туындысын тап: у = 1п(х + х)

А) I I 8 'х2 +х

B ) - І НX

C ) --х ( І - х 2)

О )—

Е)

С05Х

I

2 + л^сх

178. Функииянын туындысын тап: у = ------^

А)І + х 2

(1 -х 2)2

B ) ^ І І >х(х 4- 2)

C)-Мх*

157

I ) — —

х(х + 2)

1 12 + л/х

179. Функцияның туындысын тап: у = х + 7

А) Зх2 + 7 х 1п7

В)2ех

С )ах31па8 (2х + х 2 1п2 2Х ■

X180. Функиияның туындысьш тап: у = х • 2

A) (і + х1п2)2х2ех

B)( і - - х

XеXС) х + 2 1п2

| І 1+ 2Х 1п2 Е) 2х + 3Х ІпЗ

^ І §іп5х181. Функциянын шепн тап: ] ігп-------х-*0 |

А) 5іС)ІЭ )0Е) 2

е х -1182. Функциянын шегін тап: ] іщ -------

х->0 5ІПХ

A)1B )3

C)І

158

183. Функцияның шегін тап: Ііщх—>0

A)2B)3

Э )0 Е) 1

184. Функциянын шегін тап: Ііщ»-»о

А) І

і« I0 ) 0 Е)2

185. Функциянын шегін тап: Ц тX—КС

A) 0B)3

II IЕ)2

186. Функциянын шегін тап: | і тх->0

A)ооB)3

«

і і Е)2

Е)21 -с о $ 2 х

2 . .X +5ІПХ8ІП X

ІПХX

ІпхС08Х

159

187. и және V функцияларынын көбейтіндісінін туындысын аныктайтын формулаА) «V+му'

В > 7 Я «V - ум' Н

-»

И) м'у — і/у' Щ Е) І/У + му' *ЩЭв

188. — туындысын табу формуласьш көрсетV ! І Л

А ч і/#у —у'г/A) — — - * - I

V" . і л -‘ : п Ғ - V"

B) и'у — І/у' ^

C) —НУ

г/'у - ш 1

и 'Е) і/ 'у + му'

189. г/ = і/(;с) болсьш . Онда Іпы(л) туьшдысы тең

A) —

иB )С

C) ■и~

иЩ й

и

II*

190. г/ = м(л) болсьш. Онда §іпг/(дт) туьшдысытеңA ) со$и и'B ) — соз и * г/'C ) С05 и

зіпи-и 'Е ) — зіп и-и '191. и = г/(д) болсын. Онда созгфс) туындысы теңA ) -8 ІП М *!/'

B) — созгі ‘ііC) созн'В | ът и-и Е ) соз г/*г/'

160

192. и = и(х) болсын. Онда и"(х) туындысытеңA ) п-ип“* -и'B) ’Ы /ІплC) л-іЛ'О ) ип Іпм*м#Е) и"'1 Л

7 >193. у = ------- функцияның көлбеу асимптотасының теңдеуі

ШШA) 7 =B ) V « 1

с) ір®Э ) ^ = 4х +1

Е) д/ = хн-6194. >'=л — Зл" функциясынын дөңес аралығын көрсетінізA) (-«Л)B) Ондай аймак жоқ

195. у = 2х* + Зх2 +1 функциясыньгң дөңес аралығын тап

Щ «>.>)Е) (-1,0)196. у = х3 + 2 х - 2 кисығына абсциссасы х„ = 1 нүктесіндежүргізілген жанама мен нормаль түзудін тендеулерін жазA) 5х- ^ - 4 = 0, 5у + х - 6 = 0B) 4 х - у + 5 = 0, у + 4дг-1=0C )5х + у - 4 = 0 , х —5у+ 6 = 0 Я 5 х -у + 4 = 0 , х + 5 у -6 = 0 Е )4 х + >»-5 = 0, у —4х+1 = 0

С) (1,®)Ш (-«>,оо)

Е) (0,оо)

161

|У = /+ 1197. < . қисыққа жүргізілген жанама қай нүктеде Ох

[у = 2іг - \ 2 і + Ъөсіне параллель боладыA ) (4;-15) . ' ?

B) (4;3)C) (1;3)О) (3;4)Е) (15;4) •198. Материалдык нүктенің I сек уакытында жүріп өткен жолы

5 = і / 4 - і / 3 + 2/ +1 теңдеуімен берілген. Нүктенің 2 сек аралыгында

жүріп өткен жылдамдығын тапA) 6B )2 -C) 8 Б )0 Е )4199. Материалдык нүктенің козғалысы 5 = 28ішу/ заңымен берілген.

2 п . ’ ./ = — уакытта жүріп өткен жылдамдығын есепте

(0A) 2о) н •B) Зсо

с>!Щ со

Щ. I ;15200. Материалдык нүктенің I сек уакытьшда жұріп өткен жолы

5 = —(4 — і ъ +2і + \ нүктенің 3 сек аралығында жүріп өткен

жылдамдығын тапA) 20B) 10C) 27 Й) 11 Е) 12201. у = л І х - 4 қисығьша абсциссасы х0 = 8 нүктесінде жүргізілген жанама мен нормаль түзудің теңдеулерін жаз

162

A )* - 4 > = 0 , 4*+ > - 3 4 = 0B) х 4-4 > 4-1 = 0, 4 л - > - 3 = 0C) х + 4 > - 2 = 0, 4 х - > + 5 = 0 О) х -4 > + 1 = 0, 4 х -> + 3 4 = 0 Ё) ж - 4 > =0, 4д: - > - 34 = 0

202. у = 2дг3 + х -1 кисығына абсциссасы хп = -\ нүктесінде жүргізілген жанама түзудін теңдеуін жазA) 7х-у+3 = 0B )х + 7 .у - 2 9 = 0C) 7х + .у + 2 9 = 0 •Д) х + 7> + 29= 0Е) х - 7 у + 9 = 0

203. у = 2хг + х -1 кисығына абсциссасы дг,, = -1 нүктесіндежүргізілген нормаль түзудің теңдеуін жазA) дг + 7> + 2 9 = 0B) дг-7> + 29= 0C) 7 х + > + 9 = 0 Д 7 х - > - 9 = 0Е) д г - 7 ^ - 2 9 = 0204. Зх-4у-12=0 түзуі координат өсінде киып өтетін кесінділерді тапA) а=4, в=3B) а=3, в=-4C) а=3, в=4 О) а=4, в=-3 Е) а=-4, в=3205. Жанамадан жоғары орналаскан график калай аталады?A) ойысB) дөнесC) өспелі О) кемімеліЕ) монотонды.206. Жанамадан төмен орналаскан график калай аталады?A) дөңесB)ойысC) өспеліВ) кемімелі Е) монотонды.

163

207. а нүктесінде шексіз аз а(х) және р(х) екі функция эквивалентті деп аталады, егер

Д(Х) .І-Кі

B) а(х)= Р(х)

C) Ііш ^ =0

гчч а(х) _ О ) һ т —=осР(х)

Е) 1іта(х)*р(х) =1і -һі

208. у -уо = Г ( хо)(х ~ хо)теңдігі нені аныктайды?A) ( д-0, у0) нүктесіндегі жанаманыB) асимптотаныC) ( - х 0 - у 0) нүктесіндегі жанаманы Э) (%»Уа) нүктесіндегі нормальді Е) ( - Щ ,->о) н үктесіндегі нормальді

209. у -у ъ = ---- І—г(х - лг0) теңдігі нені анықтайды?/ 4 * 0 )

A) (х0,у0) нүктесіндегі нормальдіB) асимптотаныC) ( - х 0 - у 0) нүктесіндегі жанаманы О )(х0іу0) нүктесіндегі жанаманы Е) ( - х 0 - у 0) нүктесіндегі нормальді210. М (3;0) және N (0;4) нүктелерінің ара кашыктығьш аныктау керек. £A )5; Л 'МіЩB )2; .. З іC) 0;Р) п ;т-і\ 7Г

211. 5х2 +9у 2 =45 эллипстің фокусын және эксцентриситетін табыңыз.

A )с = 2 , * = |

B ) с = 2 , ё = |

C)с = 4 , £* = — .

164

Е)с = іІ2, |Щ |р2 |

212. ^ - - ^ - = 1 канондык теңдеумен берілген гиперболаныңа һ'

асимптоталарының теңдеулерін жазыңыз.

Ц)С=УІ2, ^ :

ь Ь1II*ч

Ніи — Xа аЬ2 һ2

= — * . У = 2Я' аЬ2 Ь

= ----Ху х = - 1 .а а~

II * II 1

ІII•§II

213. (х-а)2+(у-Ъ)?=К2 ненің тендеуі?A) шенбердіңB) жазыктыктынC) түзудінО) эллипстің Е) гиперболаньщ214. х2 + 2 / - 1 6 = 0 эллипстің үлкен жарты осін табыңызA )4

С) 2B )10 Е>16215. Эллипстін сәйкес а және в жарты осьтері берілген. Эллипстін теңдеуін жазыңыз, егер а=4, в=5.

А) £ І+ і!І = і;' 16 25

9 16

C )* 2+ - ^ = і;7 0,25

64 36

Е )£ і + ^ = і9 25

165

216. Гиперболаның канондык теңдеуін табыңыз:Ч т 2 V2

А) % - ^ г = 1Ь _ - ■■■■

X 2 V 2 ' ^

а о у к -С ) х 2+у2=г2О) У = 2рхЕ) {х-аУ +(у-һУ = г 2 * ^ 1

217. у = —— функция графигінің горизонталь асимптотасы қаи түзух + 2

A ) у = 5B)х==5 . •'?,•?•-’уC) х== —2 "* . ;О) |Й ШЕ ) > = х + 5

5ЛГ— 1 « I . "• :Г '218. у =------функциясының вертикаль асимлтотасын көрсет

х+2A) х = -2B ) у = 5C) у = -2 , - „0 ) * = 5 Е) х = 2

^ - 5—хI

+004-00

С) (1; 3);,+00

Е ) 0 . Р Щ Щ І І220 у = 1п(і + 2х) функцияның аныкталу облысын табыңыз.A ) х > 4 ) . 5 :B ) х > -0.5C ) х 5* -0 .5Б ) х > -0.5 жөне х * 0Е) х < -0 .5 |221. у = агссоз (х-1)/2 функциясының аныкталу облысын аныктаңызA) [-1 ;3]B) [1;1]C)(-1,1) 0)(-1,3)

166

Е) [ 1 ;3]222. М(3; 2) және N(4; 5) нүктелері аркылы өтетін у - к х + Ь түзуінін к бүрыштык коэффициентін аныктаныз.А) 3;

Щ!С)2;0 ) - 2 ;Е)-6.223. А(4; -3), В(3; 3) нүктелері аркылы өтетін түзудін тендеуін жазыныз.A) 6х+у-21=0B)6х+у+3=0C) -6х-у+3=Ю 6 ) 6х-7у+3=0 Е) -6х+7у+3=0224. X түзуі Ох осін кандай бүрыш жасай киып өтеді? А түзуінін тендеуі: у = -Һх+36.

рB ) -' 4

C) -30 )0

Е ) |225. Координаталар басынан өтетін және Ох өсімен 45° бүрыш жасайтын түзудін тендеуін жазыныз.A) у = х\B) у = х+ 2;C) у = -х+1;Щ у = - х - 1;Е) у = х +3'.226. Центрі О (-3; 0) нүктесінде жататын және радиусы К=3 -ке тең шенбердін тендеуін жазыңыз.A ) (* + 3 7 + / =;9B )(*-2У + 0>-3)Р=16C ){х-іУ + (у + 2У=26 О) х1 + { у - 3? = 4

167

Е )* 2+ / = 9 - 3227. М (2;3;5) нүктесі аркылы өтетін және N = 4і+Ъі+2к векторына перпендикуляр жазыктыктын теңдеуін табыныз.A) 4х + Ъу + 2г - 27 = 0 §B) Зх-4.у + 16г-4 = 0C) х + 4у+6г-27 = 0 ’Б ) Зл-4> ' + 6 г - 2 4 = 0Е) 4 х -3 ^ -2 г + 2 7 * 0228. С (3;4) шенбердін центрі және К=5 радиусы берілген. Шенбердің теңдеуін жазыңыз.A) (х -3 )2 + (у -4У = 25 ' :B) (х - 4)2 + (у - з)2 = 25 ‘ " ; ,C ) (дг - б)2 + (у + З)2 =у/5 Л '3

Б ) ( х ^ + ^ - з ) 2 ^Е) х г +уг =25229. Төбелері А(2;-1), В(4;3), С(-2;1) болатын үшбұрыштын кабырғаларынын орталарын табыныз.A) (3; 1), (0;0), (1;2)B) (1;3), (1;0), (2;2)C)(-1;3), (0; 1), (1;1) 1 0)(-3 ;-1), (0;2), (0;-3)Е) (0;-2), (2;0), (-3;0)

а + Ъ векторының модулін табыңыз, егер в(і;-4), й(- 4;8)230.

а ) 5 . : 'Г;'Г' ■

B) 25C )7 . . . . В Н ^Б )9 Е) 1231. я = -2 /+ ] - Ъ к , Ь = -3 /+ 2 ] + 4к векторларыньщ скалярлык көбейтіндісіA) -4B) 20C)-16 Б )8 Е) 10232. Үшбұрьшпың А (0; 1); В (6;5); С (12;-1) төбелері берілген. С төбесінен жүргізілген биіктіктің теңдеуін жазыныз.А) Здг + 2^-34 = 0

168

B) 2 х -3 ^ -2 7 = 0C ) Ъ у-2х + П = 0 Й) 3у+2х+34 = 0 Е) у - х + 7 = 0

233. А(2,3) және В(-1,2) нуктелері берілген. ВА° бірлік векторынын коорцинатғарын көрсет

A)І-Ло ■№)

B) &1)

| 1 | ' | ; I I IЬ)

ЛІХО лДО

I (-й)234. а = |,2,-2} в = £,3,4} с = {3,1.2} векторлары берілген. Өзара перпендикуляр векторларды көрсет

A ) а и в -♦B) | " |C) в у с

£)) а,е,сЕ) Өзара перпендикуляр векторлар жок235. в = {,1,0} векторы берілген. в векторынын ОУ өсімен жасайтынбүрыштын косинусы

1

А ) V* в) ЙС )0

2

Е) 1236. а = {І,-6,5} векторы берілген 5 векторынын ОХ өсіне проекциясытенA) 1B) 5C ) - 1Б )0

169

Е)-6 I Н237. ц : £ = і = £ түзулердің арасындағы бұрыштын

косинусы

A ) - і =Зл/2

B ) - 4Зл/2

С )00 )1Е) 4/2238. А( 1,2) және В(2,1) нүктелері аркылы жүргізілген түзудщ теңдеуінкөрсет

х - 1 у - 2A ) Л - ГB)-*+1=^ . ;;C )* = 2У

дг+1 у + 2О) і “ - IЕ )* = >'+1чіо , Г2 -1 ° 1 . _2 3 9 ./4=і ^ | матрицаның ранпсі тең

A )2 - ■ ■ ■'*B)3C )-4 Щ Ш0 ) 1Е )0240. Параболанын канондык тендеуін көрсетA ) у 2 = -4дс

B ) дг2 + у г = 25C ) х 2- / = І 6

V2 V1 - 1 ' /

9 4 __241. Л(-ЗЛ),/?(0,5) нүктелері берілген. ВА - векторын координаттарын көрсетА ) (~ 3*-4 )

170

B) в " 4)C)О) (- 3,6)Е)242. Ц :х-Ьу+\ = 0 , й :6х+V—3 = 0, ЬуЛ2у-2х = 0 түзулері берілген.Параллель түзулерді көрсет А ) £ , « £ ,B) £, н і ,C) Ь, и Ь

М г вҢ|

Э) ^

Е) өзара параллель түзулер жок

243. I, :у 1 2х+1, £ - у = + 4, ~ +3 түзулері берілген. Өзара

перпендикуляр түзулерді көрсетA ) Ц и Ь2B) §р%>|{C) I, « £,О)Е) өзара перпендикуляр түзулер жок244. С түракгы саннын шегі неге тенA) С түрақты саннын езінеB) шексіз аз шамас) і іӘ )0Е) шексіз үлкен шама245. 2х+Зу + 5г-4 = 0 жазыктыктын тендеуі берілген .Берілген жазыктыкка перпендикуляр векторды көрсетA)(2Д5)B) Берілген жазыктыкка перпендикуляр вектор жокC) (ЗД-4)V) (І5.4)Е) (-2Д5)246. Лопиталь ережесін нені аныктау үшін кодданады?A) туындыныB) шекті шC) асимптотаныБ ) жанаманы Е) экстремумды

171

247. і Х+'У сызыктык теңдеулер жүйесінің шешімін көрсет [2х+2у-0

A) (С.-С)B) (С,С)C) (3,2)Э) (0,1)Е) Сызыктык теңдеулер жүйесі үйлесімсіз

-3 0 7248. 0 0 2

0 2 0А) 12В )0С )6Э)-1 9Е) -7

анықтауышты есептещз

249. Ц .Зх - 7 + 5 = 0, Ь ,:З х + у -4 = 0 түзулері берілген. Осы түзулер арасындағы бүрыштың косинусын табынызA)0,8B )0C )0,9 Ә)1 Е) 8

250. д іІ 2 1I 3 1

II 1 3ап элементінің алгеоралык толыктауышын есептещз

A) -4B )4C) 13 | р Е) 0

172

Әдебиеттері

1.Дүйсек А.К., Калымбеков С.К: Жоғары математика. Алматы,2004 ж., 440 бет.

2. Хамитов М.Х. Бірінші математика. Павлодар, 2011 ж., 174 бет.3. Хамитов М.Х. Высшая математика. Экибастуз, 1999 г., 100 бет.4. Хамитов М.Х. Периодические решения дифференциальных

уравнений. Алматы. Ғылым. 1997 ж., 102 бет.5. Жанбырбаев Б.С., Жанбырбаева Ү.Б. Ыктималдыктар теориясы

мен математикалык статистика. Алматы, 2006 ж., 280 бет.6. Хамитов М.Х. Ыктималдыктар теориясы мен математикалык

статистика элементтері. Павлодар, 2006 ж., 262 бет, (екінші басылым).7. Мүканов Ғ.М., Хамитов М.Х. және тағы басқалар. Жоғары

математикаға арналған есептер жинағы. Павлодар. 2006 ж. №2 (298 бет) және №4 (310 бет) бөлімдері.

8. Ильясов М.Н., Баяхметова Ф.К. Жоғары математикадан жеке үй тапсырмалары. I, II бөлім. Павлодар, 2004 ж. 106 бет.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва. 1986 г., 414 бет (екінші бөлім).

173

М азмұны

Алғы с е з ...............................................................................................................3Анықтауыштар...................................................................................................4Минорлар. Алгебралык толыктауыштар..................................................... 7Матрицалар....................................................................................................... 11Кері матрица.....................................................................................................13Сызыкты жүйені матрицамен ш еш у...........................................................14Екі нүктенің арақашықтығы.........................................................................17Полярлык координата.....................................................................................18Векторлар.......................................................................................................... 19Проекциямен берілген векторларға амалдар қолдану........................... 19Екі вектордың скалярлык көбейтіңдісі...................................................... 20Екі вектордың векторлык көбейтіндісі...................................................... 21Үш вектордың аралас көбейтіндісі.............................................................22Түзу..................................................................................................................... 23Түзудің нормал (қалыпты) теңдеуі..............................................................25Екі түзудің арасындағы бүрыш ................................................................... 26Екі нүкте арқылы өтетін түзу........................................................................27Кеңістіктегі жазыктык....................................................................................28Екі жазыктықтың арасындағы бүрыш....................................................... 28Нүктеден жазыктыққа дейінгі қашықтык.................................................29Кеңістіктегі үш нүкте арқылы жазықтык жүргізу...................................30Екінші ретті қисықтар. Шеңбер................................................................... 31Эллипс................................................................................................................31Гипербола...........................................................................................................32Парабола.............................................................................................................33Функция.......;..................................................................................................... 34Шектер..................................................... .......................................................... 36Бірінші тамаша ш ек ........................................................................................37Екінші тамаша ш ек .........................................................................................38Ньютон биномы................................................................................................39Туынды...............................................................................................................40Функцияларды дифференциалдау ережелері............................................41Күрделі функцияның туындысы.................................................................. 42Дәрежелік функция......................................................................................... 42

174

Көрсеткіштік-дәрежелік функцияның туындысы................................. 45Аныкталмаған функцияның туындысы................................................... 46Параметрмен берілген функциянын туындысы......................................46Туындылар кестесі....................................................................................... 47Жоғарғы ретті ту ындылар...........................................................................49Дифференциалдык есептеулердін негізі теоремалары......................... 50Лопиталь ережелері.....................................................................................52Тейлор және Маклорен формулалары..................................................... 54Туындыны пайдалану.................................................................................. 55Функцияны толык зерттеу......................................................................... 56Аныкталмаған интеграл..............................................................................59Аныкталмаған интегралдар кестесі...........................................................61Интегралдау әдістері...................................................................................62Алгебралык функцияларды интегралдау.Рекуррентгік формула.................................................................................64Рационал функцияларды интегралдау..................................................... 67Биномдык дифференциалды интегралдау............................................... 74Тригонометриялык функцияларды интегралдау....................................77Ағымдағы бакылау тесттері....................................................................... 80Аралык (межелік) бакылау тесттері......................................................... 96Емтихан тесттері........................................................................................ 118Әдебиеттер...................................................................................................173

175

М. X. Хамитов

Бірінш і математика2 басылым

өнделген және толықтыралған

оқулық

Техникалык редактор Б. В. Нургожина Жауапты хатшы А.К. Темиргалинова

Басуға 19.11.2013 ж.Әріп түрі Т ітез.

Пішім 29,7x42%. Офсетгік кағаз. Шартты баспа табағы 2,05. Таралымы 500 дана.

Тапсырыс 2127

«Кереку» баспасы С. Торайғыров атындағы

Павлодар мемлекетгік университеті140008, Павлодар қ., Ломов к., 64

Хамитов Мейрам Хамитүлы 1938 жылы бірінші мамырда Лебяжі ауданының М 23 совхозында дүниеге келген. 1956 жылы Қызыл әскер орта мектебін, 1961 жылы С. М. Киров атындагы университеттің физика-математика факультетін бітірген.

1961 жылы Қараганды политехникалық институтының математика кафедрасының мүгалімдік қызметін бастап, 17 жыл Қарагандыда, 10 жыл Екібастүздың инженерлік- техникалық институтында, 26 жьіл Павлодар индустриалды институтында қазіргі С. Торайгыров атындагы Павлодарм емл екеттікун иверситетін демүгал ім жұмысын атқаруда.

1973 жылы Қазақ Ғылым Академиясының математика институтында кандидаттық диссертация қоргаган; 1976 жылдан доцент; 1995 жылдан профессор; 2004 жылданС. Торайгыров атындагы Павлодар мемлекеттік университетінің математика кафедрасының профессоры атақтарын иеленген.

2007 жылдан Әлеуметтік Ғылымдар Академиясының академигі; 2008 жылдан Павлодар облысының Лебяжі ауданының Қүрметті азаматы; 2013 жылы 75 жасқа толуына байланысты С. Торайгыров атындагы алтын медальмен марапатталган.Жүз бес мақала, бір монография, жеті оқу қуралдарын жариялаган. : й ж;