projekty.fs.vsb.czprojekty.fs.vsb.cz/463/edubase/VY_01_010/Metoda...Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České

Tento studijniacute materiaacutel vznikl za finančniacute podpory Evropskeacuteho sociaacutelniacuteho fondu (ESF) a rozpočtu Českeacute republiky v raacutemci řešeniacute projektu CZ1072200150463 MODERNIZACE VYacuteUKOVYacuteCH MATERIAacuteLŮ A DIDAKTICKYacuteCH METOD

VYSOKAacute ŠKOLA BAacuteŇSKAacute ndash TECHNICKAacute UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNIacute

METODA KONEČNYacuteCH PRVKŮ I

2 MATEMATICKAacute TEORIE PRUŽNOSTI Ing Martin Fusek PhD

Ing Jaroslav Rojiacuteček PhD

Ostrava 2013

copy Ing Martin Fusek PhD Ing Jaroslav Rojiacuteček PhD copy Vysokaacute škola baacuteňskaacute ndash Technickaacute univerzita Ostrava ISBN 978-80-248-3023-0

MODERNIZACE VYacuteUKOVYacuteCH MATERIAacuteLŮ A DIDAKTICKYacuteCH METOD CZ1072200150463

1 MATEMATICKAacute TEORIE PRUŽNOSTI 3

11 Uacutevod 4

12 Předpoklady matematickeacute teorie pružnosti 4

13 Napjatost 4

14 Deformace 5

15 Zaacutekladniacute rovnice matematickeacute teorie pružnosti 5

151 Rovnice rovnovaacutehy elementaacuterniacute krychle ve složkaacutech napětiacute 6

152 Geometrickeacute rovnice a rovnice kompatibility 7

153 Fyzikaacutelniacute rovnice 9

154 Okrajoveacute podmiacutenky 10

16 Zaacutekladniacute způsoby řešeniacute soustav rovnic matematickeacute teorie pružnosti 11

161 Deformačniacute varianta řešeniacute 12

162 Silovaacute varianta 12

163 Řešitelnost 12

17 Zjednodušeniacute uacuteloh matematickeacute teorie pružnosti 12

171 Zjednodušeniacute na dvojrozměrnyacute probleacutem 13

172 Zjednodušeniacute na jednodimenzionaacutelniacute uacutelohu (jednoosaacute napjatost) 15

173 Nosniacuteky a skořepiny 15

18 Cvičeniacute 16

2 LITERATURA 42

3 Matematickaacute teorie pružnosti

1 MATEMATICKAacute TEORIE PRUŽNOSTI

OBSAH KAPITOLY

V teacuteto přednaacutešce se seznaacutemiacutete s 1 Matematickou teorii pružnosti 2 Možnostmi idealizace probleacutemu 3 Různyacutem způsobem zaacutepisu rovnic

MOTIVACE

Připomeňme že během vyacutevoje teorie pružnosti lze rozeznat dvě zaacutekladniacute vyacutevojoveacute větve Jedna by se dala nazvat jako bdquonauka o pružnosti a pevnostildquo a dala by se charakterizovat tak že se jednaacute o větev vzniklou z potřeb průmyslu sloužiacuteciacute přiacutemo k navrhovaacuteniacute popřiacutepadě posouzeniacute jednotlivyacutech konstrukciacute Stručně řečeno jednaacute se o technickeacute chceme-li inženyacuterskeacute řešeniacute probleacutemů Druhaacute větev by se dala nazvat jako bdquomatematickaacute teorie pružnostildquo kteraacute usiluje předevšiacutem o matematickou dedukci a spraacutevnost vyacuteslednyacutech vzorců Už z nabytyacutech znalostiacute je jasneacute že obě uvedeneacute vyacutevojoveacute větve nejsou a ani nemohou byacutet v protikladu protože majiacute společnyacute zaacuteklad Oba dva přiacutestupy se navzaacutejem doplňujiacute a současnaacute teorie pružnosti je vlastně synteacutezou obou dvou přiacutestupů V teacuteto přednaacutešce stručně shrneme poznatky tyacutekajiacuteciacute se poznatků matematickeacute teorie pružnosti ktereacute budou v dalšiacutech čaacutestech textu využiacutevaacuteny

11 UacuteVOD

Předmětem matematickeacute teorie pružnosti je vyšetřovaacuteniacute stavů napjatosti a deformace obecneacuteho pružneacuteho tělesa Uacutelohy technickeacute pružnosti a pevnosti (tak jak byla prezentovaacutena v předmětu pružnost a pevnost) obvykle pracujiacute s jednoduchyacutemi tělesy jako jsou napřiacuteklad pruty desky skořepiny aj Tyto naacutehradniacute vyacutepočetniacute tělesa vznikly zjednodušeniacutem obecně zatiacuteženeacuteho prostoroveacuteho tělesa na zaacutekladě nějakeacute teorie Diacuteky tomuto vystačiacuteme s relativně jednoduchyacutem matematickyacutem aparaacutetem Na druhou stranu však diacuteky zjednodušeniacutem a předpokladům přichaacuteziacuteme o čaacutest informace o napěťově-deformačniacutem chovaacuteniacute tělesa Naproti tomu matematickaacute teorie pružnosti předpoklaacutedaacute obecnaacute řešeniacute napjatosti a deformace těles v libovolneacutem tělese Zavedeme-li však stejnaacute zjednodušeniacute jako v přiacutepadě technickeacuteho přiacutestupu k problematice pevnosti a pružnosti dostaneme obvykle stejneacute vyacutesledky jako naacutem poskytlo technickeacute řešeniacute probleacutemů Soustava zaacutekladniacutech rovnic matematickeacute teorie pružnosti je však obtiacutežně řešitelnaacute analytickyacutemi postupy Můžeme řiacuteci že v uzavřeneacutem tvaru je řešitelnaacute jen malaacute skupina probleacutemů V přiacutepadě kdy neniacute znaacutemo exaktniacute matematickeacute řešeniacute je možno využiacutet řešeniacute pomociacute matematickeacute analogie nebo využitiacute přibližnyacutech numerickyacutech metod

12 PŘEDPOKLADY MATEMATICKEacute TEORIE PRUŽNOSTI

Předmětem matematickeacute teorie pružnosti je vyšetřovaacuteniacute stavů napjatosti a deformace obecneacuteho pružneacuteho tělesa Soustava rovnic matematickeacute teorie pružnosti je odvozena za předpokladu

bull izotropniacuteho a homogenniacuteho materiaacutelu s dokonale pružnyacutemi vlastnostmi bull předpoklaacutedajiacute pouze velmi maleacute deformace bull rovnice rovnovaacutehy jsou sestavovaacuteny na nedeformovaneacutem tělesu

Audio 11 Teorie pružnosti

13 NAPJATOST

Stav napjatosti v obecneacutem bodě tělesa popisuje symetrickyacute tenzor napjatosti jehož složky můžeme zapsat do naacutesledujiacuteciacute matice

Audio 12 Napjatost

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

equiv 120590119909119909 120590119909119910 120590119909119911120590119910119909 120590119910119910 120590119910119911120590119911119909 120590119911119910 120590119911119911

equiv 12059011 12059012 1205901312059021 12059022 1205902312059031 12059032 12059033

equiv 1205901 0 00 1205902 00 0 1205903

Tenzor napjatosti nese informaci o intenzitě vnitřniacutech sil v čaacutesti (v daneacutem bodě tělesa)

Audio 13 Tenzor napjatosti

2536185

5690672

64145384

Jsou-li znaacutemy složky tenzoru napětiacute v obecneacutem bodě namaacutehaneacuteho tělesa můžeme určit napjatost na obecně skloněneacute rovině Můžeme definovat vektor napětiacute

120592 =119889119865119889119878

= [120590]119899 (22)

kde 120592 je vektor napětiacute elementaacuterniacute vnitřniacute siacutela 119865 elementaacuterniacute ploška 119889119878 a 119899 normaacutelovyacute vektor elementaacuterniacute plošky Často se použiacutevaacute inženyacuterskyacute zaacutepis ve formě vektoru1

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879 (23)

14 DEFORMACE

Změna tvaru tělesa je popsaacutena vektorovyacutem polem posuvů Maticově můžeme posuvy zapsat naacutesledujiacuteciacute rovniciacute

Audio 14 Deformace

119906 = 119906(119909119910 119911)119907(119909 119910 119911)119908(119909119910 119911)

Deformačniacute stav tělesa je charakterizovaacuten infinitesimaacutelniacutem tenzorem deformace

[120576] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 120576119909

12057411990911991012

12057411990911991112

120574119910119909 12057611991012

12057411991011991112

12057411991111990912

120574119911119910 120576119911 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

equiv 120576119909119909 120576119909119910 120576119909119911120576119910119909 120576119910119910 120576119910119911120576119911119909 120576119911119910 120576119911119911

equiv 12057611 12057612 1205761312057621 12057622 1205762312057631 12057632 12057633

equiv 1205761 0 00 1205762 00 0 1205763

Tenzor deformace obsahuje informaci o poměrneacutem prodlouženiacute a uacutehloveacute změně v okoliacute zkoumaneacute čaacutestice

Audio 15 Tenzor deformace

Často se takeacute jako u napětiacute použiacutevaacute vektorovyacute (inženyacuterskyacute) zaacutepis ve formě

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879 (26)

Nezapomeňme že platiacute 120574119909119910 = 2120576119909119910 = 212057612 120574119909119911 = 2120576119909119911 = 212057613 120574119910119911 = 2120576119910119911 = 212057623 (27)

15 ZAacuteKLADNIacute ROVNICE MATEMATICKEacute TEORIE PRUŽNOSTI

Uacutelohou teorie pružnosti je určit v tělese vyplňujiacuteciacutem objem 119881 a ohraničeneacute povrchem 119878 tři pole

bull vektoroveacute pole posunutiacute 1 Spraacutevně by mělo byacutet spiacuteše uvedeno bdquopseudovektorovyacuteldquo zaacutepis protože se nejednaacute o vektor ve smyslu matematickeacutem či fyzikaacutelniacutem ale spiacuteše jako forma zaacutepis jednotlivyacutech složek do scheacutematu vektoru

4143318

634915

68924994

bull tenzoroveacute pole deformace bull tenzoroveacute pole napětiacute

K určeniacute patnaacutecti neznaacutemyacutech funkciacute maacuteme soustavu zaacutekladniacutech rovnic matematickeacute teorie pružnosti (diferenciaacutelniacute formulace uacutelohy) Můžeme jiacute rozdělit na tři hlavniacute skupiny

1 rovnice rovnovaacutehy 2 geometrickeacute rovnice 3 fyzikaacutelniacute rovnice

Audio 16 Modelovaacuteniacute

151 Rovnice rovnovaacutehy elementaacuterniacute krychle ve složkaacutech napětiacute Rovnice rovnovaacutehy elementaacuterniacute krychle ve složkaacutech napětiacute se takeacute označujiacute jako tzv Navierovy rovnice Rovnice vyjadřujiacute podmiacutenky pro dosaženiacute statickeacute rovnovaacutehy v libovolneacute elementaacuterniacute čaacutestici tělesa ndash v bodě tělesa Mohou rovněž vyjadřovat podmiacutenku rovnovaacutehy podle drsquoAlembertova principu v přiacutepadě řešeniacute dynamickeacuteho děje Poněvadž chceme určit napjatost nestačiacute napsat obvykleacute podmiacutenky rovnovaacutehy pro vnějšiacute siacutely a reakce ale je třeba uvaacutežit rovnovaacutehu každeacuteho libovolneacuteho bodu tělesa

Audio 17 Rovnice rovnovaacutehy

Obr 1 - Elementaacuterniacute krychle

Při řešeniacute tělesa v pravouacutehlyacutech souřadniciacutech rozeznaacutevaacuteme dva tvary elementaacuterniacuteho tělesa (bodu) Pro bod tělesa kteryacute ležiacute uvnitř lze uvažovat jeho tvar jako elementaacuterniacute krychli viz Obr 1 Na povrchu tělesa nemůže (obecně) vzniknout hranolek bod zde si můžeme představit ve tvaru elementaacuterniacuteho čtyřstěnu Povrchovyacute element může byacutet uchycen (vazba) nebo zde může působit vnějšiacute zatiacuteženiacute ndash o okrajovyacutech podmiacutenkaacutech viz později Kromě povrchoveacuteho zatiacuteženiacute může na těleso působit objemovaacute siacutela (hmotovaacute siacutela) Jejiacute složky ve směru os 119909119910 119911 budeme značit 119883119884119885 a jejich rozměr je jednotka siacutely na jednotku objemu (např [119873 1198983frasl ]) Podmiacutenku rovnovaacutehy sil ve směru osy x můžeme vyjaacutedřit naacutesledujiacuteciacute rovniciacute

120590119909 +120597120590119909120597119909

119889119909 119889119910119889119911 minus 120590119909119889119910119889119911 +

3113385

15975855

+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

+ 119883119889119909119889119910119889119911 = 0 Po uacutepravě zkraacuteceniacutem elementaacuterniacutem objemem 119889119909119889119910119889119911 ziacuteskaacuteme rovnici rovnovaacutehy ve směru osy 119909 Obdobně můžeme sestavit rovnice rovnovaacutehy pro naacutesledujiacuteciacute dva směry tedy osu 119910 a 119911 Vyacuteslednyacute systeacutem rovnic maacute pak naacutesledujiacuteciacute tvar

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

Maticově lze tyto rovnice zapsat ve formě

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

kde [120590] je matice tenzoru napětiacute 120597 je vektor diferenciaacutelniacutech operaacutetorů a 119883 je vektor objemovyacutech sil V idexoveacute formě zaacutepisu s využitiacutem Einsteinova sčiacutetaciacuteho pravidla můžeme rovnice rovnovaacutehy zapsat v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

120590119894119895119894 + 119891119895 = 0 (211) Daacutele lze napsat statickeacute podmiacutenky rovnovaacutehy momentoveacute Tyto rovnice však pro naacutes nepřinesou nic noveacuteho protože vyjadřujiacute jen zaacutekon o sdruženosti smykovyacutech napětiacute

152 Geometrickeacute rovnice a rovnice kompatibility Chceme-li popsat deformaci celeacuteho tělesa musiacuteme pro každyacute bod tělesa 119875(119909119910 119911) popsat polohu teacutež po deformaci 119875(119909 + 119906119910 + 119907 119911 + 119908) Posuvy u v w jsou spojityacutemi funkcemi souřadnic Požadavek na spojitost funkciacute vychaacuteziacute z předpokladu že spojitost tělesa nebude během deformace porušena V přiacutepadě lineaacuterniacute teorie pružnosti se geometrickeacute rovnice Cauchyho rovnice

Audio 18 Geometrickaacute rovnice

Těchto šest rovnic tvořiacute dalšiacute čaacutest systeacutemu rovnic obecneacute matematickeacute teorie pružnosti Připomeňme že platiacute pouze pro maleacute deformace (velice orientačně cca do 1) Pro zopakovaacuteniacute majiacute naacutesledujiacuteciacute tvar

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

Maticově lze tyto rovnice zapsat v naacutesledujiacuteciacute formě

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

kde [120597] je matice operaacutetorů (operaacutetorovaacute matice) 120576 vektorovyacute zaacutepis deformace 119906 vektor posuvů V idexoveacute formě zaacutepisu s využitiacutem Einsteinova sčiacutetaciacuteho pravidla můžeme rovnice rovnovaacutehy zapsat v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

Šest složek deformace (přetvořeniacute) jsou vyjaacutedřeny pomociacute třiacute složek posuvů (u v w) Složky přetvořeniacute tedy nejsou zcela nezaacutevislyacutemi funkcemi souřadnic Majiacute-li popisovat deformace spojiteacuteho tělesa musiacute pro ně platit deformačniacute podmiacutenky ktereacute ziacuteskaacuteme tak že vyloučiacuteme

53698807

posuvy z Cauchyho rovnic Ziacuteskaacuteme tzv rovnice kompatibility Rovnice kompatibility deformaciacute majiacute naacutesledujiacuteciacute tvar

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

V idexoveacute formě zaacutepisu s využitiacutem Einsteinova sčiacutetaciacuteho pravidla můžeme rovnice rovnovaacutehy zapsat v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

Rovnice vyjadřujiacute geometrickou spojitost deformovatelneacuteho tělesa a musiacute byacutet splněny nezaacutevisle na tom zda je těleso pružneacute či nikoliv Nezapomeňme však že platiacute jen pro maleacute deformace Lze dokaacutezat že těchto šest rovnic dostatečně vyjadřuje podmiacutenku zachovaacuteniacute spojitosti tělesa a neniacute možno naleacutezt dalšiacute nezaacutevisleacute rovnice kompatibility jinou uacutepravou Cauchyho rovnic

153 Fyzikaacutelniacute rovnice Složky napětiacute vstupujiacuteciacute do rovnic rovnovaacutehy (Navieacuterovyacutech r r) a složky přetvořeniacute v Cauchyho rovniciacutech (popř v rovniciacutech kompatibility) jsou navzaacutejem vaacutezaacuteny Hookovyacutem zaacutekonem

Audio 19 Fyzikaacutelniacute rovnice

Připomeňme však že tento vztah platiacute pouze je-li těleso pružneacute izotropniacute a homogenniacute

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

kde 119864 je modul pružnosti v tahu 119866 modul pružnosti ve smyku a 120583 Poissonovo čiacuteslo Maticově můžeme předchoziacute rovnici přepsat do tvaru

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1 minus 120583 120583 120583 0 0 0120583 1 minus 120583 120583 0 0 0120583 120583 1 minus 120583 0 0 0

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

kde [119864] je matice elastickyacutech konstant 120590 je vektor složek tenzoru napětiacute a 120576 je vektor složek tenzoru deformace Pomociacute tenzoroveacuteho zaacutepisu (indexoveacuteho) lze předchoziacute vztahy zapsat naacutesledovně

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

kde 119864119894119895119896119897 je tenzor elastickyacutech konstant 119864119894119895119896119897 = 120582120575119894119895120575119896119897 + 119866120575119894119896120575119895119897 + 120575119894119897120575119895119896 (220)

kde 119866 je modul pružnosti ve smyku a 120582 je Laacutemeacuteho konstanta a 120575119894119895 je tzv Kroneckerovo delta

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

Obecněji můžeme přepsat předchoziacute rovnice s uvažovaacuteniacutem počaacutetečniacute napjatosti 1205900 popřiacutepadě 1205901198941198950 a počaacutetečniacute deformace 1205760 popřiacutepadě 1205761198961198970 do naacutesledujiacuteciacuteho tvaru

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

popřiacutepadě 120590119894119895 = 1205901198941198950 + 119864119894119895119896119897(120576119896119897 minus 1205761198961198970 ) (223)

154 Okrajoveacute podmiacutenky Rovnice (1) (2) a (4) jsou soustavou 15 rovnic (9 parciaacutelniacutech diferenciaacutelniacutech rovnic a 6 algebraickyacutech rovnic) kteryacutem musiacute vyhovovat napjatost a deformace pružneacuteho tělesa Soustava poskytuje obecně nekonečně mnoho řešeniacute Je nutno najiacutet to ktereacute vyhovuje okrajovyacutem podmiacutenkaacutem Rozeznaacutevaacuteme dva druhy okrajovyacutech podmiacutenek Na hranici tělesa mohou byacutet předepsaacuteny hodnoty složek posuvů u v w Takoveacuteto okrajoveacute podmiacutenky předepisujiacute geometrickou vazbu tělesa s jeho okoliacutem Proto se tyto okrajoveacute podmiacutenky nazyacutevajiacute geometrickeacute okrajoveacute podmiacutenky

Audio 110 Okrajoveacute podmiacutenky

Někdy se teacutež nazyacutevajiacute kinematickeacute okrajoveacute podmiacutenky Předepisujiacute hodnotu složek vektoru posunutiacute na čaacutesti hranice tělesa 119878119906

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

kde 119906 je vektor předepsanyacutech posunutiacute Druhou skupinou okrajovyacutech podmiacutenek jsou statickeacute nebo taky siloveacute okrajoveacute podmiacutenky Okrajoveacute podmiacutenky vyjadřujiacute statickou vazbu tělesa s jeho vnějšiacutem okoliacutem

V tomto přiacutepadě jsou předepsaacuteny na hranici 119878119905 hodnoty složek vektoru vnějšiacuteho zatiacuteženiacute

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

kde 119905 je vektor plošneacuteho povrchoveacuteho zatiacuteženiacute [119899] je matice směrovyacutech kosinů plochy (jejiacute normaacutely) na ktereacute působiacute povrchoveacute zatiacuteženiacute (119899119909 = 119888119900119904120572119899119910 = 119888119900119904120573 119899119911 = 119888119900119904120574) a 120590 je vektor uspořaacutedanyacutech složek tenzoru napětiacute V tenzoroveacute notaci

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

16 ZAacuteKLADNIacute ZPŮSOBY ŘEŠENIacute SOUSTAV ROVNIC MATEMATICKEacute TEORIE PRUŽNOSTI

Uacutelohou pružnosti je určit vektoroveacute pole posuvů a dvě tenzorovaacute pole přetvořeniacute (deformaciacute) a napětiacute Řešeniacute probleacutemů pružneacuteho tělesa lze rozdělit na tři zaacutekladniacute uacutelohy

1 Přiacutemaacute uacuteloha Pružneacute těleso je popsaacuteno svyacutem tvarem (geometriiacute) jsou zadaacuteny fyzikaacutelniacute vlastnosti materiaacutelu a je zatiacuteženo objemovyacutemi a vnějšiacutemi povrchovyacutemi silami Uacutekolem je stanovit tenzoroveacute pole napětiacute a deformace a vektoroveacute pole posunutiacute v celeacutem tělese (uvnitř i na povrchu)

2 Inverzniacute uacuteloha Pružneacute těleso je popsaacuteno geometriiacute a fyzikaacutelniacutemi vlastnostmi materiaacutelu Předepsaacuteno je pole napětiacute a posuvů Uacutelohou je stanovit vnějšiacute zatiacuteženiacute kteraacute danaacute pole vyvolaly popřiacutepadě zjistit okrajoveacute podmiacutenky kteryacutem daneacute funkce pole napětiacute vyhovujiacute

3 Poloinverzniacute uacuteloha Pro vyacuteše zadaneacute těleso jsou čaacutestečně zadaacuteny siloveacute veličiny a čaacutestečně zadaacuteny posuvy Uvnitř tělesa jsou znaacutemeacute pouze některeacute složky tenzoru napětiacute

Nejčastěji se v pružnosti řešiacute prvniacute jmenovanaacute tj přiacutemaacute uacuteloha Soustavu rovnic matematickeacute teorie pružnosti tvořiacute celkem 15 rovnic s přiacuteslušnyacutemi okrajovyacutemi podmiacutenkami Většinou se neřešiacute přiacutemo tyto rovnice ale upraviacute se do tvaru kdy jsou některeacute veličiny vhodnou matematickou uacutepravou odstraněny Soustavu rovnic můžeme řešit obecně třemi způsoby ndash deformačniacute silovou a smiacutešenou metodou

10960544

Audio 112 Soustava rovnic

Deformačniacute metodou se uacuteloha řešiacute ve složkaacutech posuvů u v w Silovou metodou se uacuteloha řešiacute ve složkaacutech tenzoru napětiacute 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911 U smiacutešeneacute metody řešeniacute se využiacutevajiacute složky napětiacute i ve složky posuvů Standardně se však rovnice matematickeacute teorie pružnosti upravujiacute buď na deformačniacute nebo silovou variantu Obě dvě varianty jsou si z hlediska matematiky rovnocenneacute V praktickyacutech aplikaciacutech se častěji využiacutevaacute deformačniacute varianta neboť maacute o tři rovnice meacuteně a leacutepe se pracuje se smiacutešenyacutemi okrajovyacutemi podmiacutenkami

161 Deformačniacute varianta řešeniacute Při deformačniacute variantě řešeniacute se berou jako hlavniacute neznaacutemaacute posuvy Z Cauchyho rovnic (212) se dosadiacute do rovnic fyzikaacutelniacutech (konstitutivniacutech) (217) a odtud pak do Navieacuterovyacutech rovnic rovnovaacutehy (29) Rovnice rovnovaacutehy jsou tedy vyjaacutedřeny v posuvech Tyto rovnice musiacute splňovat všechny předepsaneacute okrajoveacute podmiacutenky V přiacutepadě izotropniacuteho Hookeovskeacuteho materiaacutelu ziacuteskaacuteme tzv Lameacute-Navierovy rovnice Ty představujiacute soustavu třiacute lineaacuterniacutech parciaacutelniacutech diferenciaacutelniacutech rovnic druheacuteho řaacutedu pro tři neznaacuteme složky posuvu Jejich tvar v indexoveacute notaci je naacutesledujiacuteciacute

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

162 Silovaacute varianta Při siloveacute variantě se vyjadřujiacute rovnice rovnovaacutehy v napětiacutech Do rovnic kompatibility deformace (215) se dosadiacute deformace z konstitutivniacute rovnice (212) Takto ziacuteskaacuteme rovnice kompatibility vyjaacutedřeny v napětiacutech Dosazeniacutem rovnic rovnovaacutehy (29) po přiacuteslušnyacutech matematickyacutech uacutepravaacutech do takto upravenyacutech rovnic kompatibility lze pro materiaacutel řiacutediacuteciacute se Hookeovyacutem zaacutekonem (217) ziacuteskat po uacutepravaacutech systeacutem celkem šesti lineaacuterniacutech parciaacutelniacutech diferenciaacutelniacutech rovnic druheacuteho řaacutedu pro šest složek tenzoroveacuteho pole napjatosti Takto ziacuteskaneacute rovnice se nazyacutevajiacute Beltram-Mitchelovy rovnice

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

163 Řešitelnost Soustava rovnic pro určeniacute napjatosti a deformace pružneacuteho tělesa je natolik složitaacute že řešeniacute lze ziacuteskat jen pro jednoducheacute tvary těles a pro určiteacute typy okrajovyacutech podmiacutenek Lze dokaacutezat že pokud nalezneme řešeniacute ktereacute vyhovuje všem rovniciacutem matematickeacute teorie pružnosti je řešeniacute jednoznačneacute

17 ZJEDNODUŠENIacute UacuteLOH MATEMATICKEacute TEORIE PRUŽNOSTI

Řešeniacute obecnyacutech prostorovyacutech uacuteloh je velice obtiacutežneacute V mnoha přiacutepadech můžeme uacutelohu zjednodušit na dvojrozměrnou (rovinnou) popřiacutepadě na jednorozměrnou Tiacutemto dosaacutehneme značneacuteho zjednodušeniacute popisu a řešeniacute uacutelohy

Audio 113 Řešeniacute obecnyacutech prostorovyacutech uacuteloh

23305721

16515718

171 Zjednodušeniacute na dvojrozměrnyacute probleacutem Rovnice matematickeacute teorie pružnosti se pro rovinnyacute stav namaacutehaacuteniacute značně zjednodušiacute protože všechna napětiacute deformace a posuvy jsou pouze funkcemi dvou proměnnyacutech 119909 a 119910 Rozeznaacutevaacuteme dva zaacutekladniacute přiacutepady ndash rovinnaacute deformace rovinnaacute napjatost Daacutele pak zde můžeme zařadit osově souměrnou uacutelohu (vzhledem k ose musiacute byacutet souměrnaacute geometrie okrajoveacute podmiacutenky a materiaacutel)

Audio 114 Zjednodušeniacute

1111 Rovinnaacute deformace Přiacutepad rovinneacute deformace je daacuten podmiacutenkou aby složka posuvu v jednom směru byla nulovaacute Bude-li nulovyacute posuv ve směru osy 119911 musiacute platit w = 0 V tomto přiacutepadě budou pole posuvů deformaciacute a napětiacute naacutesledujiacuteciacute

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

Takovyacute stav deformace je přibližně dosažen u těles jejichž rozměr ve směru osy 119911 je převlaacutedajiacuteciacute tj vyacuterazně většiacute než v dalšiacutech dvou směrech a vyšetřovanyacute průřez je dostatečně vzdaacutelen od konců tělesa Dalšiacute podmiacutenkou je aby zatiacuteženiacute působilo ve směru kolmeacutem na osu 119911 a současně nebylo funkciacute teacuteto souřadnice Jako přiacuteklad můžeme uveacutest dlouhou tlustostěnnou trubku zatiacuteženou vnitřniacutem přetlakem ndash viz Obr 2

Obr 2 - Přiacutepad rovinneacute deformace

Pozn Můžeme se setkat i s pojmem zobecněnaacute rovinnaacute deformace V tomto přiacutepadě se předpoklaacutedaacute že posuv w je nenulovyacute ale konstantniacute Daacutele se tiacutemto přiacutepadem nebudeme zabyacutevat

26719713

1112 Rovinnaacute napjatost Pro přiacutepad rovinneacute napjatosti je hlavniacute podmiacutenkou aby všechny složky napětiacute působiacuteciacute na element tělesa byly rovnoběžneacute s jednou rovinou Složky tenzoru napětiacute ve směru osy z jsou rovny nule a zkosy jsou nenuloveacute pouze v rovině xy V tomto přiacutepadě budou pole posuvů deformaciacute a napětiacute naacutesledujiacuteciacute

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

Popsanyacute stav napjatosti se vyskytuje např v tenkeacute desce (viz Obr 3) a na nezatiacuteženeacutem povrchu tělesa

Obr 3 - Přiacutepad rovinneacute napjatosti

1113 Osově souměrnou uacutelohu Pokud uacuteloha splňuje podmiacutenky osoveacute symetrie tj vzhledem k ose musiacute byacutet souměrnaacute jednak geometrie daacutele pak okrajoveacute podmiacutenky a v neposledniacute řadě materiaacuteloveacute vlastnosti je s vyacutehodou použiacutet praacutevě tento typ zjednodušeniacute Probleacutem je pak vyacutehodneacute vyjaacutedřit ne v pravouacutehleacutem karteacutezskeacutem souřadneacutem systeacutemu jako doposud ale zapsat všechny potřebneacute vztahy v zaacutevislosti na cylindrickeacutem (vaacutelcoveacutem) souřadneacutem systeacutemu se souřadnicemi 119903120593 119911 Pokud jsou splněny podmiacutenky osoveacute symetrie a osa symetrie je osa 119911 pak všechny veličiny jsou nezaacutevisleacute na souřadnici 120593 Uacutelohu můžeme řešit pouze v meridiaacutenoveacute rovině daneacute rovinou 119903 minus 119911

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

172 Zjednodušeniacute na jednodimenzionaacutelniacute uacutelohu (jednoosaacute napjatost) Jednorozměrneacute těleso (tyčoveacute těleso) je takoveacute jehož jeden rozměr (např ve směru osy x) je o mnoho většiacute než ostatniacute dva Současně siloveacute zatiacuteženiacute je aplikovaacuteno pouze ve směru převlaacutedajiacuteciacuteho rozměru Tento přiacutepad odpoviacutedaacute namaacutehaacuteniacute prutu tahem a tlakem ndash viz Obr 4 V tomto přiacutepadě budou pole posuvů deformaciacute a napětiacute naacutesledujiacuteciacute

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

Obr 4 - Jednorozměrnaacute napjatost

173 Nosniacuteky a skořepiny Dalšiacute typ zjednodušeniacute uacuteloh teorie pružnosti je přijatiacute dalšiacute dodatečnyacutech zjednodušeniacute Tyto předpoklady vedou na definice těles jako jsou nosniacuteky a skořepiny

Nosniacutekoveacute těleso je podobneacute tyčoveacutemu jednorozměrneacutemu tělesu Rozdiacutel je zde ve způsobu zatiacuteženiacute Zatiacuteženiacute zde ležiacute ve směru kolmeacutem k ose tělesa Takže bude-li osa tělesa (převlaacutedajiacuteciacute rozměr tělesa) ve směru osy 119909 pak průhyb bude ve směru osy 119910 (popř 119911) Detailněji byla problematika probraacutena v zaacutekladniacutem kurzu pružnosti a pevnosti a bude stručně zopakovaacutena později ve skriptech Obdobně můžeme ziacuteskat rovnice pro vyacutepočet napěťově-deformačniacute odezvy pro deskovaacute a skořepinovaacute tělesa Takovaacuteto tělesa majiacute převlaacutedajiacuteciacute dva rozměry (např ve směrech 119909 a 119910) a zatiacuteženaacute jsou ve směru třetiacutem Detailněji bude problematika probiacuteraacutena v předmětu Pružnost a pevnost II

10994909

18 CVIČENIacute

Soubory při praacuteci s programem Patran Nastran atd Program Patran je určen k přiacutepravě modelu a k zpracovaacuteniacute vyacutesledků Samotnyacute vyacutepočet provaacutediacute tzv řešič kteryacute voliacuteme v nabiacutedce Analysis Preference (např Ansys MSC Nastran MSC Marc) V jednotlivyacutech řešičiacutech jsou dostupneacute různeacute typy analyacutez (Analysis Type) ndash Structural Thermal Coupled atd Patran vytvaacuteřiacute několik zaacutekladniacutech typů sooborů

bull Nazev_souborudb Databaacuteze reprezentujiacuteciacute geometrickyacute a konečnoprvkovyacute model ndash binaacuterniacute soubor je poměrně velkyacute

bull Nazev_souborudbjou Journal file ndash obsahuje jednotliveacute přiacutekazy provaacuteděneacute programem při vytvaacuteřeniacute databaacuteze Je možneacute využiacutet k opakovaneacutemu spuštěniacute opravaacutem přiacutepravě maker apod Jednaacute se o textovyacute soubor

bull Nazev_souboruses01 Session file ndash obsahuje jednotliveacute

přiacutekazy provaacuteděneacute programem v jednotliveacute seanci (blok od zapnutiacute do vypnutiacute programu Patran) Je menšiacute než Journal file leacutepe se zde orientuje Posledniacute čiacuteslo v přiacuteponě naacutezvu (01 02 atd) označuje kolikraacutet jsme již s programem pracovali Každyacute blok vytvořiacute novyacute sesion file Sesion file je textovyacute soubor majiacuteciacute obdobnou strukturu jako Journal File

bull Nazev_souboruout Neutral file ndash obsahuje informace o modelu je možneacute použiacutet jako zaacutelohu Jednaacute se o textovyacute soubor

bull Nazev_souborudbbkup Databaacuteze ndash Zaacutelohovaacute databaacuteze (Pro bdquozaacutelohuldquo je

možneacute použiacutet takeacute Journal file sesion file nebo přiacutekaz Save a Copy) Journal file PCL ndash zaacutekladniacute struktura

Journal File - obsahuje jednotliveacute přiacutekazy provaacuteděneacute programem a komentaacuteře popisujiacuteciacute jednotliveacute kroky Struktura a přiacutekazy skriptovaciacuteho jazyka tzv PATRAN Command Language (PCL) je možneacute najiacutet v ldquoHelpurdquo Struktura Journal File je poměrně přehlednaacute a můžeme ji rozdělit do několika čaacutestiacute

bull Popis text komentaacuteř ndash existuje několik možnostiacute zapsaacuteniacute popisu - komentaacuteře

$ Komentaacuteř $ Komentaacuteř Komentaacuteř Komentaacuteř Komentaacuteř v bloku

bull Proměnneacute (musiacute začiacutenat znakem) ndash V prvniacutem kroku proměnneacute deklarujeme ve druheacutem přiřadiacuteme hodnotu Proměnneacute jsou nejčastěji

o Celaacute čiacutesla ndash INTEGER o Reaacutelnaacute čiacutesla - REAL o Řetězce znaků - STRING jmeacuteno[počet znaků] o Logickeacute 1-pravda-TRUE 0-nepravda-FALSE - LOGICAL o Pole proměnnyacutech o Atd

$ Deklarace proměnneacute INTEGER a $ Přiřazeniacute hodnoty a = 6 REAL x y Radius x = -506 y = 10E-2 Radius = 83 $ Přiřazeniacute hodnoty přiacutemo při deklaraci REAL z = -83 $ Deklarace řetězce znaků STRING name[20] name = ldquoSiacutelardquo $ Deklarace logickeacute proměnneacute LOGICAL Pravda Pravda = TRUE Pravda = FALSE $ Pole reaacutelnyacutech hodnot REAL TABLE(23) = [ 10 20 30 11 21 31 ]

bull Operaacutetory a matematickeacute vyacuterazy $ součet rozdiacutel naacutesobeniacute děleniacute zaacutevorky Real c = 1(2x + 2-Radius) $ mocniny Real d = c3 $ porovnaacuteniacute u podmiacuteněnyacutech přiacutekazů c gt d

c lt= Radius $ zvyacutešeniacute sniacuteženiacute přiřazeniacute INTEGER a = 6 INTEGER b c d b += a c -= a d = a $ a = 6 b = 7 c = 5 d = 6

bull Přiacutekazy cyklu For While Repeat INTEGER ij Integer pole(1010) FOR (j = 1 TO 10) FOR (i = 1 TO 10) pole (i j) = ij END FOR END FOR

bull Přiacutekazy podmiacuteněneacute IF (Logickyacute vyacuteraz) THEN přiacutekaz apod LOGICAL Pravda = TRUE Real pi IF (Pravda) THEN

pi=314 END IF

bull Subrutiny a funkce - Přiacutekazy jsou často na několik řaacutedků kde znak

označuje pokračovaacuteniacute na dalšiacutem řaacutedku Textoveacute řetězce se daacutevajiacute do uvozovek uil_file_rebuildstart(CMSCSoftwarePatran_x6420121templatedb FPracovniJarekGrantyMKP1VymazatCviceni_2db) $ Funkci můžeme takeacute vytvořit FUNCTION Jmeacuteno( arglist ) Deklarace proměnnyacutech přiacutekazy

RETURN value END FUNCTION $ Vytvořenou funkci můžeme v programu zavolat INPUT Jmeacuteno

bull Vyacutestupy do souboru textoveacute vyacutestupy do okna historie apod $ Vyacutepis do okna historie $ $` SQRT(250) 124` $ 1960612 $ Vyacutepis do okna historie pomociacute funkce write WRITE (SQRT(250) 124)

bull Daacutele naacutesledujiacute dva jednoducheacute přiacuteklady

$ Priklad1 vykresleni oblouku $ Deklarace integer i real R = 31 real xy real fi = 5 real z = 0 string poloha1 [VIRTUAL] string poloha2 [VIRTUAL] $ Vytvoreni bodu - Point STRING asm_create_grid_xyz_created_ids[VIRTUAL] asm_const_grid_xyz( 1 [0 0 0] Coord 0 asm_create_grid_xyz_created_ids ) FOR (i = 1 TO 10) x = R mth_cosd (fii) y = R mth_sind (fii) poloha1 = [ str_from_real ( x ) poloha1 = poloha1 str_from_real ( y ) poloha1 = poloha1 str_from_real ( z ) ] asm_const_grid_xyz( poloha1 Coord 0 asm_create_grid_xyz_created_ids ) END FOR $ Vytvoreni cary - curve STRING asm_line_2point_created_ids[VIRTUAL] FOR (i = 2 TO 10) poloha1 = Point str_from_integer ( i ) poloha2 = Point str_from_integer ( i+1 ) asm_const_line_2point( poloha1 poloha2 0 50 1 asm_line_2point_created_ids ) END FOR $ Konec prikladu1

$ Priklad2 vykresleniacute jednoducheacute prutoveacute soustavy $ Vykresleni prutove konstrukce $ Deklarace integer inx real xydeltaxdeltay nx=5 deltax=1000 deltay=1000 string poloha1 [VIRTUAL] string poloha2 [VIRTUAL] $ Vytvoreni bodu - Point STRING asm_create_grid_xyz_created_ids[VIRTUAL] FOR (i = 1 TO nx) x = (i-1)deltax poloha1 = [ str_from_real ( x ) 0 0]

asm_const_grid_xyz( poloha1 Coord 0 asm_create_grid_xyz_created_ids ) END FOR FOR (i = 1 TO (nx-1)) x = (i-1)deltax+deltax2 poloha1 = [ str_from_real ( x ) poloha1 = poloha1 str_from_real ( deltay ) 0] asm_const_grid_xyz( poloha1 Coord 0 asm_create_grid_xyz_created_ids ) END FOR $ Vytvoreni cary - curve STRING asm_line_2point_created_ids[VIRTUAL] FOR (i = 1 TO (nx-1)) poloha1 = Point str_from_integer ( i ) poloha2 = Point str_from_integer ( i+1 ) asm_const_line_2point( poloha1 poloha2 0 50 1 asm_line_2point_created_ids ) END FOR FOR (i = 1 TO (nx-1)) poloha1 = Point str_from_integer ( i+nx-1 ) poloha2 = Point str_from_integer ( i+nx ) asm_const_line_2point( poloha1 poloha2 0 50 1 asm_line_2point_created_ids ) END FOR FOR (i = 1 TO (nx-1)) poloha1 = Point str_from_integer ( i ) poloha2 = Point str_from_integer ( i+nx ) asm_const_line_2point( poloha1 poloha2 0 50 1 asm_line_2point_created_ids ) END FOR FOR (i = 1 TO (nx-1)) poloha1 = Point str_from_integer ( i+1 ) poloha2 = Point str_from_integer ( i+nx ) asm_const_line_2point( poloha1 poloha2 0 50 1 asm_line_2point_created_ids ) END FOR $ konec prikladu2 Ke komunikaci mezi Patranem a vybranyacutem řešičem (MSC Marc Nastran Ansys atd) pak sloužiacute soubory typu bdf dat xdb atd Řešiče pak při řešeniacute použiacutevajiacute soubory s přiacuteponami f06 f04 log atd U vybranyacutech řešičů si tyto soubory projdeme

bull Nastran ndash Program Nastran je konečnoprvkovyacute řešič Jmeacuteno programu je odvozeno z NAsa STRuctural ANalysis System Program je primaacuterně napsaacuten v jazyce Fortran a v současnosti obsahuje viacutece než milioacuten řaacutedku koacutedu Je dostupnyacute pod mnoha operačniacutemi systeacutemy a může byacutet spuštěn na osobniacutem počiacutetači i na velkyacutech superpočiacutetačiacutech Program jako takovyacute se sklaacutedaacute z množstviacute modulů kde každyacute modul odpoviacutedaacute za určitou specifickou operaci (aplikace okrajovyacutech podmiacutenek generovaacuteniacute matic vlastniacute řešeniacute atd) Jednotliveacute moduly jsou kontrolovaacuteny pomociacute vnitřniacuteho jazyka DMAP (Direct Matrix Abstraction Program)

Obraacutezek 1- Vztah mezi programy Nastran a Patran

Program obsahuje velikeacute množstviacute analyacutez Každyacute typ analyacutezy je označen jako sekvence řešeniacute (solution sequence) a maacute svoje koacutedoveacute čiacuteslo Tak napřiacuteklad sekvence 101 je lineaacuterniacute statickaacute analyacuteza 129 je nelineaacuterniacute transientniacute analyacuteza 700 explicitniacute nelineaacuterniacute analyacuteza atd Program Nastran neposkytuje žaacutedneacute grafickeacute rozhraniacute neposkytuje žaacutedneacute funkce pro grafickou tvorbu modelu Všechny vstupy a vyacutestupy programu jsou zprostředkovaacuteny pomociacute textovyacutech souborů Zaacutekladniacute typy souborů jsou

o Jmeacuteno_souborubdf ndash vstupniacute soubor Obsahuje definici modelu je to textovyacute soubor Umožňuje přidaacutevat vstupy nepodporovaneacute v Patranu Nastranovskyacute soubor můžeme rozdělit do pěti sekciacute

1 Nastaveniacute Nastranu (Nastran Statement) je určena na modifikaci defaultniacuteho nastaveniacute nastranu Neniacute povinnaacute

2 Spraacuteva souborů (File Management Section) je určena k nastaveniacute umiacutestěniacute souborů restartu apod Neniacute povinnaacute

3 Vyacutekonnaacute čaacutest (Executive Control Section) je určena k nastaveniacute typu řešeniacute času řešeniacute modifikaciacute apod Je povinnaacute a začiacutenaacute indentifikačniacute značkou ID AB

Patran Přiacuteprava modelu

bull Import nebo tvorba geometrie

bull Tvorba siacutetě konečnyacutech prvků

bull Aplikace okrajovyacutech podmiacutenek

bull Definice materiaacutelů bull Definice vlastnostiacute

elementů bull Nastaveniacute a spuštěniacute řešiče

Zpracovaacuteniacute vyacutesledků

bull Vykresleniacute vyacutesledků bull Generovaacuteniacute reportů bull Tvorba grafů bull hellip

Nastran Vyacutepočetniacute program (řešič)

bull Vyacutepočet posuvů ze zaacutekladniacute rovnice MKP

bull Vyacutepočet deformaciacute bull Vyacutepočet napětiacute bull hellip

4 Čaacutest definice (Case Control Section) je určena k nastaveniacute vyacutestupů určuje naacutesledujiacuteciacute sekci je povinnaacute a začiacutenaacute kliacutečovyacutem slovem CEND

5 Datovaacute čaacutest (Bulk Data Section) ndash Definice modelu zatiacuteženiacute a okrajovyacutech podmiacutenek Je povinnaacute a začiacutenaacute kliacutečovyacutem slovem BEGIN BULK a končiacute kliacutečovyacutem slovem ENDDATA ktereacute ukončuje vstupniacute soubor

$ Jednoduchyacute model prutoveacute konstrukce v Nastranovskeacutem souboru může vypadat např taktohellip $ 1 Čaacutest Nastaveniacute a 2 čaacutest - spraacuteva souborů je nepovinnaacute $ Linear Static Analysis Database ndash zvolenyacute řešič ID Testovaci_uloha priklad SOL 101 TIME 1 $ Čaacutest definice CEND $ Naacutezev TITLE = Testovaci_uloha ECHO = NONE SUBCASE 1 $ Subcase name Default SUBTITLE=Default SPC = 4 LOAD = 5 DISPLACEMENT(SORT1REAL)=ALL SPCFORCES(SORT1REAL)=ALL STRESS(SORT1REALVONMISESBILIN)=ALL $ Datovaacute čaacutest BEGIN BULK PARAM POST 0 PARAM PRTMAXIM YES $ definice geometrie $ bod x y z Grid 1 0 0 0 Grid 2 1000 0 0 Grid 3 2000 0 0 Grid 4 500 1000 0 Grid 5 1500 1000 0 $ definice elementů $ čiacuteslo mat bod1 bod2 CROD 1 1 1 2 CROD 2 1 2 3 CROD 3 1 4 5

CROD 4 1 1 4 CROD 5 1 2 4 CROD 6 1 2 5 CROD 7 1 3 5 $ Definice materialu MAT1 1 210000 807692 3 $ Definice zatěžovaciacuteho stavu Default SPCADD 4 1 2 3 LOAD 5 1 1 1 $ Vlastnosti elementu R = 10 mm $ typ mat S PROD 1 1 314 $ Definice vazeb $ ozn dof bod1 bod2 SPC1 1 123 1 SPC1 2 2 3 SPC1 3 3 1 2 3 4 5 $ Definice sil $ ozn bod sila x y z FORCE 1 2 0 1000 0 -1 0 $ Ukončeniacute datoveacute sekce ENDDATA 0103f4b3

o Jmeacuteno_souboruf06 ndash je zaacutekladniacute Natranovskyacute vyacutestupniacute soubor Obsahuje vyacutesledky řešeniacute hlaacutešeniacute informačniacute a hlaacutešeniacute chybovaacute apod Je to textovyacute soubor Např vyacutesledky mohou byacutet zobrazeny v tomto tvaru

o Jmeacuteno_souboruf04 ndash obsahuje historii řešeniacute Je to textovyacute soubor

o Jmeacuteno_souborulog ndash Zaacutekladniacute informace oběhu programu Je to textovyacute soubor

V posledniacute čaacutesti projdeme přiacutekazy pro vytvořeniacute prutoveacute soustavy Budeme postupovat po jednotlivyacutech krociacutech

1 Po spuštěniacute patranu vytvořiacuteme novou databaacutezi (obr 1) Novou databaacutezi vytvořiacuteme přes hlavniacute

menu viz obr1 bod1 (FileNewhellip) nebo přes aplikačniacute menu zaacuteložka Defaults viz obr1 bod 2

Obr 1 Vytvořeniacute noveacute databaacuteze

V dialogoveacutem oknu ktereacute se objeviacute můžeme nastavit pracovniacute adresaacuteř obr1 bod3 a novyacute naacutezev databaacuteze obr1 bod 4 V okně je daacutele možneacute změnit šablonu (templatedb) kde je možneacute nastavit různeacute vlastnosti se kteryacutemi začiacutenaacuteme praacuteci v patranu ndash např řešič nebo pozadiacute Přepiacutenač Modify prefereceshellip po spuštěniacute spustiacute nabiacutedku nastaveniacute preferenciacute viz obr 2 Přepiacutenač Set Working Directory to Database Location zajistiacute že všechny vytvořeneacute soubory (db jou ses bdf atd) se budou uklaacutedat do adresaacuteře kde vytvořiacuteme databaacutezi

Obr2 Nastaveniacute preferenciacute

2 Vytvořiacuteme geometrii (Aplikačniacute menu zaacuteložka Geometry)

Obr 3 Aplikačniacute menu Zaacuteložka Geometry

Maacuteme dvě zaacutekladniacute možnosti jak vybrat jednotliveacute přiacutekazy Přes aplikačniacute menu přes aplikačniacute formulaacuteř (po vybraacuteniacute zaacuteložky Geometry) nebo nejčastěji jejich kombinaciacute Obě možnosti obsahujiacute stejnou nabiacutedku ndash Action Object a Method Daacutele zadaacuteme požadovaneacute hodnoty do aplikačniacuteho formulaacuteře V prvniacutem kroku vytvořiacuteme body (Point) ktereacute v dalšiacutem kroku spojiacuteme pomociacute čar (Curve)

Obr 4 Aplikačniacute formulaacuteř pro vytvořeniacute bodu (Point)

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře bull Point ID List voliacuteme pořadoveacute čiacuteslo bodu Každyacute bod maacute rozdiacutelneacute pořadoveacute

čiacuteslo defaultně se vždy zvětšiacute o 1 Miacutesto čiacutesla zde můžeme uveacutest znak kteryacute zvoliacute pořadoveacute čiacuteslo nejbliacuteže vyššiacute než nejvyššiacute již vytvořenyacute bod

bull Refer Coordinate Frame voliacuteme souřadnyacute systeacutem bull Přepiacutenač Auto Execute automaticky po vyplněniacute formulaacuteře provede přiacutekaz

V řadě přiacutepadů je vyacutehodnějšiacute vypnout aby se přiacutekaz neprovaacuteděl automaticky několikraacutet po sobě

bull Point Coordinate List ndash zadaacuteme souřadnice bodu kteryacute chceme vytvořit Bod je definovaacuten v hranatyacutech zaacutevorkaacutech např [0 0 0] [0 10 0] [0 205 0 ]

bull Apply ndash provedeniacute přiacutekazu V přiacutekazoveacutem řaacutedku se po provedeniacute vypiacuteše provedenyacute přiacutekaz v PCL jazyku viz obr5 a jeho popis V přiacutepadě chybneacuteho zadaacuteniacute se zde takeacute objeviacute červeně chyba ndash Error s jednoduchyacutem popisem

Obr 5 Vytvořeniacute bodu v přiacutekazoveacutem řaacutedku

Často se objeviacute takeacute modře varovaacuteniacute ndash Warning Pomociacute přiacutekazoveacuteho řaacutedku můžeme přiacutekaz zopakovat Kliknutiacutem na okno historie se přiacutekaz zkopiacuteruje do přiacutekazoveacuteho řaacutedku Po korekci

přiacutekazu ndash změna označeniacute bodu 1 na 2 nebo a zadaacuteniacute novyacutech souřadnic spustiacuteme přiacutekaz pomociacute klaacutevesy Enter viz obr 6

Obr 6 Praacutece s oknem historie a přiacutekazovyacutem řaacutedkem

Vytvořeneacute body zkopiacuterujeme pomociacute přiacutekazu zaacuteložka ndash Geometry Action ndash Transform Object ndash Point Method ndash Translate (GeometryTransformPointTranslate)

Obr 7 Aplikačniacute formulaacuteř pro kopiacuterovaacuteniacute (TransformPointTranslate)

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře bull Point ID List voliacuteme pořadoveacute čiacuteslo bodu (čiacuteslo nebo ) bull Type of Transformation ndash voliacuteme souřadnyacute systeacutem Volba Cartesian in Refer

CF znamenaacute že Translation Vector bude aplikovaacuten v Referenčniacutem souřadneacutem systeacutemu ve směru os x y z Volba Curvilinear in Refer CF znamenaacute že Translation Vector bude aplikovaacuten ve vaacutelcoveacutem (cylindrickyacute) souřadneacutem systeacutemu R ϕ z nebo kuloveacutem (sfeacuterickeacutem) souřadneacutem systeacutemu

bull Refer Coordinate Frame voliacuteme souřadnyacute systeacutem bull Reverse Direction ndash Přepiacutenač na obraacuteceniacute směru vektoru bull Auto Update Magnitude ndash Přepiacutenač na automatickyacute vyacutepočet posuvneacute

vzdaacutelenosti (Vector Magnitude) z vektoru směru (Direction Vector) bull Direction Vector ndash směr ve ktereacutem se generujiacute noveacute body Zadaacutevaacute se ve tvaru

lt1 0 0gt lt1 0 0gt apod bull Vector Magnitude ndash Posuvnaacute vzdaacutelenost (dopočiacutetaacutevaacute se z vektoru směru při

zapnutiacute přepiacutenače) bull Repeat Coun ndash počet kopiiacute ktereacute se majiacute vytvořit bull Delete Original Points ndash přepiacutenač při zapnutiacute smaže původniacute bod (Point) bull Přepiacutenač Auto Execute automaticky po vyplněniacute formulaacuteře provede přiacutekaz bull Point list ndash bod nebo body ktereacute majiacute byacutet kopiacuterovaacuteny Zadaacutevaacute se ve tvaru [0 0

0] Point 1 Point 13 Point 13 apod Jednotliveacute body (Point) spojiacuteme pomociacute čaacuter (Curve) Přiacutekaz GeometryCreateCurvePoint viz obr 8

Obr 8 Aplikačniacute formulaacuteř pro kopiacuterovaacuteniacute (TransformPointTranslate) model vytvořenyacute z čar

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře bull Curve ID List voliacuteme pořadoveacute čiacuteslo čaacutery (čiacuteslo nebo ) bull Option ndash vybiacuteraacuteme počet bodů ktereacute chceme proložit čaacuterou (2 Point 3 Point

4 Point) bull Přepiacutenač Auto Execute automaticky po vyplněniacute formulaacuteře provede přiacutekaz bull Starting Point List ndash Prvniacute bod čaacutery Zdaacutevaacute se ve tvaru Point 1 bull Ending Point List ndash Posledniacute bod čaacutery Zdaacutevaacute se ve tvaru Point 2

Body mezi kteryacutemi chceme vytvořit přiacutemku (křivku) můžeme vybrat takeacute pomociacute myši

Dalšiacutem krokem bude vytvořeniacute vlastnostiacute ndash Properties Aplikačniacute menu ndash zaacuteložka Properies Po vybraacuteniacute zaacuteložky Properties se nabiacutedka v aplikačniacutem menu změniacute viz obr 9 V leveacute čaacutesti aplikačniacuteho menu jsou nabiacutedky materiaacutelů uprostřed nastaveniacute vlastnostiacute (Properties) V praveacute čaacutesti jsou přiacutekazy pro nastaveniacute poliacute tyto projdeme později

Obr 9 Nabiacutedka Aplikačniacuteho menu ndash Properties

Naše prutovaacute konstrukce bude vyrobena z oceli u niacutež předpoklaacutedaacuteme chovaacuteniacute homogenniacute a isotropniacute (Elastic Modulus = E = 210000 MPa Poisson Ration = micro = 03)

Obr 10 Volba materiaacutelu

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře

bull Existing Materials vidiacuteme zde všechny již vytvořeneacute materiaacutely bull Filter ndash filtr na redukce a zjednodušeniacute vyacuteběru materiaacutelu bull Material Name ndash jmeacuteno materiaacutelu kteryacute chceme vytvořit Musiacuteme zadat ndash

např Ocel bull Description ndash Jednoduchyacute popis vybraneacuteho materiaacutelu Automaticky datum a

čas zbytek můžeme dopsat bull Input Properites ndash Tabulka pro vklaacutedaacuteniacute hodnot materiaacutelovyacutech parametrů

o Constitutive model ndash nabiacutedka materiaacutelovyacutech modelů (Linear elastic Nonlinear elastic Hyperelastic Elastoplastic Failure Creep Viskoelastic atd)

o Property Name ndash obsahuje naacutezev jednotlivyacutech parametrů a okno pro zadaacuteniacute hodnoty (Elastic Modulus ndash modul pružnosti v tahu Poisson Ratio ndash Poissonovo čiacuteslo Shear Modulus ndash modul pružnosti ve smyku Density ndash hustota atd)

o Current Constitutive Models ndash obsahuje vybranyacute model a jeho status bull Change Material Status hellip - zde můžeme aktivovat deaktivovat jednotliveacute

konstitučniacute modely

Obr 11 Aktivace materiaacutelovyacutech konstitučniacutech modelů

Daacutele vytvořiacuteme bdquoElement Propertiesldquo Aplikačniacute menu ndash zaacuteložka Properies Pro naši uacutelohu se nejleacutepe hodiacute 1D prvky ndash vybereme 1D Properties ndash typ prvku Rod Tento prvek je možneacute použiacutet při zatěžovaacuteniacute tahem-tlakem a krutem Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře

bull Sets By Name - vidiacuteme zde všechny již vytvořeneacute materiaacutely Name reprezentuje typ řazeniacute ndash dle jmeacutena

bull Filter ndash filtr na redukce a zjednodušeniacute vyacuteběru materiaacutelu bull Property Set Name ndash Spojuje tvar průřezu s materiaacutelem Musiacuteme zadat ndash

např Ocel_tyc bull Options ndash General Section ndash dalšiacute volba V tomto přiacutepadu vyacuteběr klasickeacute tyče

a trubky bull Options ndash Standart Formulation - Ovlivňuje počet a typ parametrů ktereacute

daacutele nastavujeme

bull Input Properties ndash Tabulka pro vklaacutedaacuteniacute hodnot o General Section Rod (CROD) ndash typ ndash naacutezev elementu o Property name ndash obsahuje tabulku pro zadaacuteniacute jednotlivyacutech parametrů

Material Name ndash materiaacutel vybiacuteraacuteme z nabiacutedky již vytvořenyacutech materiaacutelů

Area ndash plocha průřezu dle zadaneacuteho průřezu (např R=10mm tedy plocha průřezu S = 314 mm2)

Torsional Constatnt ndash torzniacute tuhost nebudeme vyplňovat Atd v našem přiacutepadě nebudeme vyplňovat

bull Select Application Region ndash Vyacuteběr oblastiacute kde budou tyto vlastnosti platit Je možneacute vybrat geometrii nebo elementy V našem přiacutepadě jsme ještě siacuteť nevytvořili vybereme tedy geometrii (curve) viz obr12

Obr 11 Zadaacuteniacute Element Properties

Obr 12 Selekce ndash vyacuteběr entit

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře bull Select ndash způsob vyacuteběru ndash Entites (body čaacutery plochy objemy) nebo Regions (Groups)

Podrobněji projdeme později bull Select Memebersndash vybraneacute entity (přidaacuteme do Application Region pomociacute Add)

K vyacuteběru jednotlivyacutech entit sloužiacute takeacute Selekčniacute Filtr bull Application Region ndash entity na ktereacute bude aplikovaacuten nadřazenyacute přiacutekaz (Element

properties)

Daacutele vytvořiacuteme siacuteť konečnyacutech prvků - Meshing Aplikačniacute menu ndash zaacuteložka Meshing Ačkoliv jsme si vytvořili model z přiacutemek (curve) vytvořiacuteme přiacutemo elementy ndash MeshingCreateElementEdit viz obr 13 Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře

bull Element ID List voliacuteme pořadoveacute čiacuteslo elementu (čiacuteslo nebo ) bull Shape ndash tyacutekaacute se vytvaacuteřeneacuteho elementu bull Topology ndash tyacutekaacute se vytvaacuteřeneacuteho elementu bull Pattern ndash tyacutekaacute se vytvaacuteřeneacuteho elementu bull Select Existing Prophellip - vyacuteběr vlastnostiacute vybereme Ocel_tyc bull Create New Property ndash Vytvořeniacute novyacutech vlastnostiacute bull Use existing midnodes ndash řiacutediacute vytvaacuteřeniacute meziuzlů bull Přepiacutenač Auto Execute automaticky po vyplněniacute formulaacuteře provede přiacutekaz bull Node 1 - prvniacute uzel (bod) elementu Při vytvaacuteřeniacute elementů musiacuteme

přenastavit selekčniacute filtr V modelu maacuteme zatiacutem pouze body (Point) ne uzly (Node) Přenastaviacuteme tedy filtr a elementy vytvořiacuteme z bodů (Point) viz obr 13

bull Node 2 - druhyacute uzel (bod) elementu

Obr 13 Vytvořeniacute elementů

Vytvořiacuteme 7 elementů s vlastnostmi Ocel_tyc ndash jednotliveacute pruty prutoveacute soustavy Při vytvaacuteřeniacute mohly v jednotlivyacutech bodech vzniknout 2 uzly tyto musiacuteme spojit (Finite Element Equivalence All Tolrance Cube)

Obr 14 Korekce siacutetě Preview Nodes zobraziacute uzly určeneacute k sloučeniacute

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře bull Node id Options ndash nastaveniacute kteryacute uzel ze spojovanyacutech se zachovaacute kteryacute

zrušiacute bull Collapsed Node Options ndash Nastaveniacute kontroly a chovaacuteniacute uzlů a elementů

o Allow Tolerance Reduction ndash redukuje toleranci aby byla většiacute než je hrana elementu

o Allow Collapsed Elements ndash dovoliacute redukci i přes chyby (collapsed) elementů

o Stop on Collapsed Elements ndash zastaviacute se při chybě (collapsed) elementů

bull Nodes to be excluded ndash uzly ktereacute budou vyjmuty z kontroly bull Equivalencing Tolerance ndash vzdaacutelenost Jsou-li uzly bliacuteže program se je

pokusiacute spojit bull Element boudary verify ndash Free Edges ndash přepiacutenač na zobrazeniacute hrany na

nichž jsou nespojiteacute elementy bull Element boudary verify ndash Free Faces ndash přepiacutenač na zobrazeniacute plochy na

nichž jsou nespojiteacute elementy bull Element boudary verify ndash Verify ndash tlačiacutetko provede verifikaci a zobraziacute

vyacutesledky bull Element boudary verify ndash Reset ndash tlačiacutetko provede reset (vynulovaacuteniacute)

verifikace bull Preview Nodes ndash Verify ndash tlačiacutetko provede verifikaci a zobraziacute vyacutesledky ndash

uzly ktereacute odpoviacutedajiacute definici a budou se spojovat bull Preview Nodes ndash Reset ndash tlačiacutetko provede reset (vynulovaacuteniacute) verifikace bull Apply - Provede sloučeniacute uzlů

Vyacutesledek sloučeniacute je vhodneacute zkontrolovat např pomociacute okna historie viz obr 15 nebo opakovanyacutem spuštěniacutem přiacutekazu

Obr 15 Informace o sloučeniacute v okně historie

Nyniacute přidaacuteme okrajoveacute podmiacutenky (aplikačniacute menu zaacuteložka LoadsBCs) Přidaacuteme posuvy do jednotlivyacutech uzlů dle zadaacuteniacute (LoadsBCs CreateDisplacementNodal) Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře

bull Option ndash nastaveniacute typu vazby (pro naacuteš přiacutepad neměniacuteme) bull Current Load Case ndash Vyacuteběr aktuaacutelniacuteho zatěžovaciacuteho stavu (pro naacuteš přiacutepad

neměniacuteme) bull Existing Sets ndash tabulka obsahujiacuteciacute všechny vytvořeneacute vazby

bull New Set Name ndash jmeacuteno vytvaacuteřeneacute vazby např pevna_kloubova posuvna_kloubova apod Musiacuteme zadat

bull Input Data ndash formulaacuteř na zadaacuteniacute posuvů o LoadBC Set Scale Factor ndash velikostniacute faktor o Translations lt T1 T2 T3 gt - posuvy v jednotlivyacutech směrech os např

lt 0 0 0 gt lt 0 gt lt 5 0 gt o Rotations lt R1 R2 R3 gt - rotace okolo jednotliyacutech os v přiacutepadě že to

maacute pro danyacute typ prvku smysl Definice je stejnaacute jako u posuvů o Trans Phase lt Tp1 Tp2 Tp3 gt - faacutezovyacute posuv posunutiacute při

nesoufaacutezoveacutem zatěžovaacuteniacute Zadaacutevaacuteme uacutehly o Rotation Phase lt Rp1 Rp2 Rp3 gt - faacutezovyacute posuv rotace při

nesoufaacutezoveacutem zatěžovaacuteniacute Zadaacutevaacuteme uacutehly o Spatial Fields ndash okrajoveacute podmiacutenky zadaneacute pomociacute tabulky o FEM Depentd Data ndash okrajoveacute podmiacutenky zadaacutevaneacute pomociacute tabulky o Analysis Coordinate Frane ndash definuje souřadnyacute systeacutem

bull Selekt Application Region ndash vybereme miacutesto kde bude okrajovaacute podmiacutenka aplikovanaacute Použiacutevaacuteme selekčniacute filtr

bull Apply ndash vytvořiacute novyacute BC Set

Obr 16 Zadaacuteniacute posunutiacute do uzlů

Přidaacuteme zatiacuteženiacute (siacutely nebo momenty) do jednotlivyacutech uzlů dle zadaacuteniacute ( CreateForce Nodal) Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře

bull Current Load Case ndash Vyacuteběr aktuaacutelniacuteho zatěžovaciacuteho stavu (pro naacuteš přiacutepad neměniacuteme)

bull Existing Sets ndash tabulka obsahujiacuteciacute všechny vytvořeneacute vazby bull New Set Name ndash jmeacuteno vytvaacuteřeneacute siacutely např sila apod Musiacuteme zadat bull Input Data ndash formulaacuteř na zadaacuteniacute sil (obdobneacute jako u posuvů)

o LoadBC Set Scale Factor ndash velikostniacute faktor o Force lt F1 F2 F3 gt - siacutely v jednotlivyacutech směrech os např lt 1000 0 0

gt lt 100 gt lt 500 0 gt o Moment lt M1 M2 M3 gt - Momenty

o Force Phase lt Fp1 Fp2 Fp3 gt - faacutezovyacute posuv sil při nesoufaacutezoveacutem zatěžovaacuteniacute Zadaacutevaacuteme uacutehly

o Moment Phase lt Mp1 Mp2 Mp3 gt - faacutezovyacute posuv momentů při nesoufaacutezoveacutem zatěžovaacuteniacute Zadaacutevaacuteme uacutehly

o Spatial Fields ndash okrajoveacute podmiacutenky zadaneacute pomociacute tabulky o FEM Depentd Data ndash okrajoveacute podmiacutenky zadaacutevaneacute pomociacute tabulky o Analysis Coordinate Frane ndash definuje souřadnyacute systeacutem

Obr 17 Okrajoveacute podmiacutenky v grafickeacutem okně

Nyniacute zkontrolujeme zda se všechny okrajoveacute podmiacutenky uložily do spraacutevneacute množiny ndash Load Cases V tomto přiacutekladu jsme využili defaultně vytvořeneacute množiny ndash jmeacutenem Default viz Obr 18

Obr 18 Okrajoveacute podmiacutenky v Load Cases

Popis Aplikačniacuteho formulaacuteře bull Existing Load Cases ndash tabulka obsahujiacuteciacute všechny vytvořeneacute množiny bull Filter ndash filtr na redukce a zjednodušeniacute vyacuteběru bull Load Case Name ndash jmeacuteno vytvaacuteřeneacute množiny vazeb např Default Musiacuteme

zadat nebo vybrat bull Make Current ndash vybranaacute množina (Load Case) je aktivniacute (pracuje se s niacute) bull Type ndash typ uacutelohy bull Description ndash popis množiny vazeb (Load Case) bull Input Data ndash formulaacuteř pro vyacuteběr jednotlivyacutech okrajovyacutech podmiacutenek a

zatiacuteženiacute o Select Individual LoadsBCs ndash všechna zatiacuteženiacute a BC o Select LoadsBCs from Existing Load Cases ndash všechny množiny

vazeb (Load Case) o Additional LoadsBCs Controls hellip - možnost nastaveniacute poměrů mezi

jednotlivyacutemi okrajovyacutemi podmiacutenkami zatiacuteženiacutemi

o Assingned LoadsBCs ndash okrajoveacute podmiacutenky a zatiacuteženiacute patřiacuteciacute do vybraneacute množiny vazeb (Load Case)

o Remove Selected Rows ndash vymazaacuteniacute vybraneacuteho řaacutedku (okrajoveacute podmiacutenky) z vybraneacute množiny vazeb (Load Case)

o Remove all Rows - vymazaacuteniacute všech řaacutedků z vybraneacute množiny vazeb (Load Case)

o Undo Spreadsheet ndash krok zpět o OK ndash potvrzeniacute změn

bull Load Case Scale Factor ndash velikostniacute faktor bull Apply ndash vytvořiacute noveacute Load Case nebo přepiacuteše původniacute

Tiacutemto jsme vše připravili k vyacutepočtu Přejdeme v aplikačniacutem menu do zaacuteložky Analysis V tomto jednoducheacutem přiacutekladu je zde již vše přednastaveno a můžeme rovnou spustit řešeniacute Apply Tomuto Aplikačniacutemu formulaacuteři se budeme věnovat podrobněji později

Obr 19 Řešeniacute uacutelohy

Patran naacutesledně převede uacutelohu do souboru bdf a spustiacute řešeniacute ve vybraneacutem řešiči ndash MSC Nastran Po ukončeniacute řešeniacute uložiacute vyacutesledky do souboru xdb O ukončeniacute řešeniacute naacutes informuje vyacutepis v okně historie zvukovyacute signaacutel atd Informace o řešeniacute jeho průběhu chybaacutech je možno najiacutet v souborech s přiacuteponou f06 f04 log Vyacutesledky řešeniacute pak načteme do patranu (xdb) viz obr20

Obr 20 Načteniacute vyacutesledků do Patranu

K prohliacuteženiacute vyacutesledků použiacutevaacuteme v aplikačniacutem menu do zaacuteložku Results Vybereme krok řešeniacute a požadovaneacute vyacutesledky a pomociacute Apply zobraziacuteme viz obr21 Tomuto Aplikačniacutemu formulaacuteři se budeme věnovat podrobněji později

Obr 21 Vyacutesledky řešeniacute

42 LITERATURA

2 LITERATURA

LENERT J Uacutevod do metody konečnyacutech prvků skripta VŠB-TU Ostrava 1999

KOLAacuteŘ V NĚMEC I KANICKYacute V FEM Principy a praxe metody konečnyacutech prvků Computer Press 1997

VALCHAacuteŘOVAacute J Soudobeacute numerickeacute metody v mechanice kontinua SNTL Praha 1986

BEER G WATSON JO Introduction to Finite and Boundary Element Methods for Engineers New York 1992

BITTNAR Z ŠEJNOHA J Numerickeacute metody mechaniky 1 Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1992 ISBN 80-01-00855-X

BITTNAR Z ŠEJNOHA J Numerickeacute metody mechaniky 2 Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1992 ISBN 80-01-00901-7

ZIENKIEWICZ O C TAYLOR R L The Finite Element Method Fifth edition Butterworth-Heinemann Oxford 2000 ISBN 0-7506-5049-4

NEČAS J HLAVAacuteČEK I Uacutevod do matematickeacute teorii pružnyacutech a pružně plastickyacutech těles SNTL Praha 1983 Internet httpwwwmscsoftwarecom httpwwwcoloradoeduengineeringcascoursesdIFEMd

11 Uacutevod

12 Předpoklady matematickeacute teorie pružnosti

13 Napjatost

14 Deformace

15 Zaacutekladniacute rovnice matematickeacute teorie pružnosti

151 Rovnice rovnovaacutehy elementaacuterniacute krychle ve složkaacutech napětiacute

152 Geometrickeacute rovnice a rovnice kompatibility

153 Fyzikaacutelniacute rovnice

154 Okrajoveacute podmiacutenky

16 Zaacutekladniacute způsoby řešeniacute soustav rovnic matematickeacute teorie pružnosti

161 Deformačniacute varianta řešeniacute

162 Silovaacute varianta

163 Řešitelnost

17 Zjednodušeniacute uacuteloh matematickeacute teorie pružnosti

171 Zjednodušeniacute na dvojrozměrnyacute probleacutem

1111 Rovinnaacute deformace

1112 Rovinnaacute napjatost

1113 Osově souměrnou uacutelohu

172 Zjednodušeniacute na jednodimenzionaacutelniacute uacutelohu (jednoosaacute napjatost)

173 Nosniacuteky a skořepiny

18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA

ltlt13 ASCII85EncodePages false13 AllowTransparency false13 AutoPositionEPSFiles true13 AutoRotatePages None13 Binding Left13 CalGrayProfile (Dot Gain 20)13 CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21)13 CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2)13 sRGBProfile (sRGB IEC61966-21)13 CannotEmbedFontPolicy Error13 CompatibilityLevel 1413 CompressObjects Tags13 CompressPages true13 ConvertImagesToIndexed true13 PassThroughJPEGImages true13 CreateJobTicket false13 DefaultRenderingIntent Default13 DetectBlends true13 DetectCurves 0000013 ColorConversionStrategy CMYK13 DoThumbnails false13 EmbedAllFonts true13 EmbedOpenType false13 ParseICCProfilesInComments true13 EmbedJobOptions true13 DSCReportingLevel 013 EmitDSCWarnings false13 EndPage -113 ImageMemory 104857613 LockDistillerParams false13 MaxSubsetPct 10013 Optimize true13 OPM 113 ParseDSCComments true13 ParseDSCCommentsForDocInfo true13 PreserveCopyPage true13 PreserveDICMYKValues true13 PreserveEPSInfo true13 PreserveFlatness true13 PreserveHalftoneInfo false13 PreserveOPIComments true13 PreserveOverprintSettings true13 StartPage 113 SubsetFonts true13 TransferFunctionInfo Apply13 UCRandBGInfo Preserve13 UsePrologue false13 ColorSettingsFile ()13 AlwaysEmbed [ true13 ]13 NeverEmbed [ true13 ]13 AntiAliasColorImages false13 CropColorImages true13 ColorImageMinResolution 30013 ColorImageMinResolutionPolicy OK13 DownsampleColorImages true13 ColorImageDownsampleType Bicubic13 ColorImageResolution 30013 ColorImageDepth -113 ColorImageMinDownsampleDepth 113 ColorImageDownsampleThreshold 15000013 EncodeColorImages true13 ColorImageFilter DCTEncode13 AutoFilterColorImages true13 ColorImageAutoFilterStrategy JPEG13 ColorACSImageDict ltlt13 QFactor 01513 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1]13 gtgt13 ColorImageDict ltlt13 QFactor 01513 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1]13 gtgt13 JPEG2000ColorACSImageDict ltlt13 TileWidth 25613 TileHeight 25613 Quality 3013 gtgt13 JPEG2000ColorImageDict ltlt13 TileWidth 25613 TileHeight 25613 Quality 3013 gtgt13 AntiAliasGrayImages false13 CropGrayImages true13 GrayImageMinResolution 30013 GrayImageMinResolutionPolicy OK13 DownsampleGrayImages true13 GrayImageDownsampleType Bicubic13 GrayImageResolution 30013 GrayImageDepth -113 GrayImageMinDownsampleDepth 213 GrayImageDownsampleThreshold 15000013 EncodeGrayImages true13 GrayImageFilter DCTEncode13 AutoFilterGrayImages true13 GrayImageAutoFilterStrategy JPEG13 GrayACSImageDict ltlt13 QFactor 01513 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1]13 gtgt13 GrayImageDict ltlt13 QFactor 01513 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1]13 gtgt13 JPEG2000GrayACSImageDict ltlt13 TileWidth 25613 TileHeight 25613 Quality 3013 gtgt13 JPEG2000GrayImageDict ltlt13 TileWidth 25613 TileHeight 25613 Quality 3013 gtgt13 AntiAliasMonoImages false13 CropMonoImages true13 MonoImageMinResolution 120013 MonoImageMinResolutionPolicy OK13 DownsampleMonoImages true13 MonoImageDownsampleType Bicubic13 MonoImageResolution 120013 MonoImageDepth -113 MonoImageDownsampleThreshold 15000013 EncodeMonoImages true13 MonoImageFilter CCITTFaxEncode13 MonoImageDict ltlt13 K -113 gtgt13 AllowPSXObjects false13 CheckCompliance [13 None13 ]13 PDFX1aCheck false13 PDFX3Check false13 PDFXCompliantPDFOnly false13 PDFXNoTrimBoxError true13 PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [13 00000013 00000013 00000013 00000013 ]13 PDFXSetBleedBoxToMediaBox true13 PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [13 00000013 00000013 00000013 00000013 ]13 PDFXOutputIntentProfile ()13 PDFXOutputConditionIdentifier ()13 PDFXOutputCondition ()13 PDFXRegistryName ()13 PDFXTrapped False1313 CreateJDFFile false13 Description ltlt13 ARA 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 BGR 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt13 CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt13 CZE 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 DAN ltFEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002egt13 DEU 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 ESP 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 ETI 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 FRA 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 GRE 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 HEB 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 HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama)13 HUN 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 ITA 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 JPN ltFEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002gt13 KOR ltFEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002egt13 LTH 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 LVI 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 NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 50 en hoger)13 NOR ltFEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002egt13 POL 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 PTB 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 RUM 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 RUS ltFEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043c0430043a04410438043c0430043b044c043d043e0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f00200432044b0441043e043a043e043a0430044704350441044204320435043d043d043e0433043e00200434043e043f0435044704300442043d043e0433043e00200432044b0432043e04340430002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002egt13 SKY 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 SLV 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 SUO 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 SVE ltFEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002egt13 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later)13 gtgt13 Namespace [13 (Adobe)13 (Common)13 (10)13 ]13 OtherNamespaces [13 ltlt13 AsReaderSpreads false13 CropImagesToFrames true13 ErrorControl WarnAndContinue13 FlattenerIgnoreSpreadOverrides false13 IncludeGuidesGrids false13 IncludeNonPrinting false13 IncludeSlug false13 Namespace [13 (Adobe)13 (InDesign)13 (40)13 ]13 OmitPlacedBitmaps false13 OmitPlacedEPS false13 OmitPlacedPDF false13 SimulateOverprint Legacy13 gtgt13 ltlt13 AddBleedMarks false13 AddColorBars false13 AddCropMarks false13 AddPageInfo false13 AddRegMarks false13 ConvertColors ConvertToCMYK13 DestinationProfileName ()13 DestinationProfileSelector DocumentCMYK13 Downsample16BitImages true13 FlattenerPreset ltlt13 PresetSelector MediumResolution13 gtgt13 FormElements false13 GenerateStructure false13 IncludeBookmarks false13 IncludeHyperlinks false13 IncludeInteractive false13 IncludeLayers false13 IncludeProfiles false13 MultimediaHandling UseObjectSettings13 Namespace [13 (Adobe)13 (CreativeSuite)13 (20)13 ]13 PDFXOutputIntentProfileSelector DocumentCMYK13 PreserveEditing true13 UntaggedCMYKHandling LeaveUntagged13 UntaggedRGBHandling UseDocumentProfile13 UseDocumentBleed false13 gtgt13 ]13gtgt setdistillerparams13ltlt13 HWResolution [2400 2400]13 PageSize [612000 792000]13gtgt setpagedevice13

1 MATEMATICKAacute TEORIE PRUŽNOSTI 3

11 Uacutevod 4

12 Předpoklady matematickeacute teorie pružnosti 4

13 Napjatost 4

14 Deformace 5

15 Zaacutekladniacute rovnice matematickeacute teorie pružnosti 5

151 Rovnice rovnovaacutehy elementaacuterniacute krychle ve složkaacutech napětiacute 6

152 Geometrickeacute rovnice a rovnice kompatibility 7

153 Fyzikaacutelniacute rovnice 9

154 Okrajoveacute podmiacutenky 10

16 Zaacutekladniacute způsoby řešeniacute soustav rovnic matematickeacute teorie pružnosti 11

161 Deformačniacute varianta řešeniacute 12

162 Silovaacute varianta 12

163 Řešitelnost 12

17 Zjednodušeniacute uacuteloh matematickeacute teorie pružnosti 12

171 Zjednodušeniacute na dvojrozměrnyacute probleacutem 13

172 Zjednodušeniacute na jednodimenzionaacutelniacute uacutelohu (jednoosaacute napjatost) 15

173 Nosniacuteky a skořepiny 15

18 Cvičeniacute 16

2 LITERATURA 42

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

11 UacuteVOD

13 NAPJATOST

Audio 12 Napjatost

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

equiv 120590119909119909 120590119909119910 120590119909119911120590119910119909 120590119910119910 120590119910119911120590119911119909 120590119911119910 120590119911119911

equiv 12059011 12059012 1205901312059021 12059022 1205902312059031 12059032 12059033

equiv 1205901 0 00 1205902 00 0 1205903

2536185

5690672

64145384

120592 =119889119865119889119878

= [120590]119899 (22)

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879 (23)

14 DEFORMACE

Audio 14 Deformace

119906 = 119906(119909119910 119911)119907(119909 119910 119911)119908(119909119910 119911)

[120576] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 120576119909

12057411990911991012

12057411990911991112

120574119910119909 12057611991012

12057411991011991112

12057411991111990912

120574119911119910 120576119911 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

equiv 120576119909119909 120576119909119910 120576119909119911120576119910119909 120576119910119910 120576119910119911120576119911119909 120576119911119910 120576119911119911

equiv 12057611 12057612 1205761312057621 12057622 1205762312057631 12057632 12057633

equiv 1205761 0 00 1205762 00 0 1205763

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879 (26)

4143318

634915

68924994

120590119909 +120597120590119909120597119909

119889119909 119889119910119889119911 minus 120590119909119889119910119889119911 +

3113385

15975855

+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

11 UacuteVOD

13 NAPJATOST

Audio 12 Napjatost

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

equiv 120590119909119909 120590119909119910 120590119909119911120590119910119909 120590119910119910 120590119910119911120590119911119909 120590119911119910 120590119911119911

equiv 12059011 12059012 1205901312059021 12059022 1205902312059031 12059032 12059033

equiv 1205901 0 00 1205902 00 0 1205903

2536185

5690672

64145384

120592 =119889119865119889119878

= [120590]119899 (22)

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879 (23)

14 DEFORMACE

Audio 14 Deformace

119906 = 119906(119909119910 119911)119907(119909 119910 119911)119908(119909119910 119911)

[120576] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 120576119909

12057411990911991012

12057411990911991112

120574119910119909 12057611991012

12057411991011991112

12057411991111990912

120574119911119910 120576119911 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

equiv 120576119909119909 120576119909119910 120576119909119911120576119910119909 120576119910119910 120576119910119911120576119911119909 120576119911119910 120576119911119911

equiv 12057611 12057612 1205761312057621 12057622 1205762312057631 12057632 12057633

equiv 1205761 0 00 1205762 00 0 1205763

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879 (26)

4143318

634915

68924994

120590119909 +120597120590119909120597119909

119889119909 119889119910119889119911 minus 120590119909119889119910119889119911 +

3113385

15975855

+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


11 UacuteVOD

13 NAPJATOST

Audio 12 Napjatost

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

equiv 120590119909119909 120590119909119910 120590119909119911120590119910119909 120590119910119910 120590119910119911120590119911119909 120590119911119910 120590119911119911

equiv 12059011 12059012 1205901312059021 12059022 1205902312059031 12059032 12059033

equiv 1205901 0 00 1205902 00 0 1205903

2536185

5690672

64145384

120592 =119889119865119889119878

= [120590]119899 (22)

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879 (23)

14 DEFORMACE

Audio 14 Deformace

119906 = 119906(119909119910 119911)119907(119909 119910 119911)119908(119909119910 119911)

[120576] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 120576119909

12057411990911991012

12057411990911991112

120574119910119909 12057611991012

12057411991011991112

12057411991111990912

120574119911119910 120576119911 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

equiv 120576119909119909 120576119909119910 120576119909119911120576119910119909 120576119910119910 120576119910119911120576119911119909 120576119911119910 120576119911119911

equiv 12057611 12057612 1205761312057621 12057622 1205762312057631 12057632 12057633

equiv 1205761 0 00 1205762 00 0 1205763

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879 (26)

4143318

634915

68924994

120590119909 +120597120590119909120597119909

119889119909 119889119910119889119911 minus 120590119909119889119910119889119911 +

3113385

15975855

+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


120592 =119889119865119889119878

= [120590]119899 (22)

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879 (23)

14 DEFORMACE

Audio 14 Deformace

119906 = 119906(119909119910 119911)119907(119909 119910 119911)119908(119909119910 119911)

[120576] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 120576119909

12057411990911991012

12057411990911991112

120574119910119909 12057611991012

12057411991011991112

12057411991111990912

120574119911119910 120576119911 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

equiv 120576119909119909 120576119909119910 120576119909119911120576119910119909 120576119910119910 120576119910119911120576119911119909 120576119911119910 120576119911119911

equiv 12057611 12057612 1205761312057621 12057622 1205762312057631 12057632 12057633

equiv 1205761 0 00 1205762 00 0 1205763

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879 (26)

4143318

634915

68924994

120590119909 +120597120590119909120597119909

119889119909 119889119910119889119911 minus 120590119909119889119910119889119911 +

3113385

15975855

+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


120590119909 +120597120590119909120597119909

119889119909 119889119910119889119911 minus 120590119909119889119910119889119911 +

3113385

15975855

+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


+120591119910119909 +120597120591119910119909120597119910

119889119910119889119909119889119911 minus 120591119910119909119889119909119889119911 + (28)

+ 120591119911119909 +120597120591119911119909120597119911

119889119911 119889119909119889119910 minus 120591119911119909119889119909119889119910 +

120597120590119909120597119909

+120597120591119910119909120597119910

+120597120591119911119909120597119911

+ 119883 = 0

120597120590119910120597119910

+120597120591119911119910120597119911

+120597120591119909119910120597119909

+ 119884 = 0 (29)

120597120590119911120597119911

+120597120591119909119911120597119909

+120597120591119910119911120597119910

+ 119885 = 0

120597[120590] + 119883 = 0

120597 = 120597120597119909

120597120597119910

120597120597119911

[120590] = 120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

119883 = 119883119884119885

120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


120576119909 =120597119906120597119909

120576119910 =120597119907120597119910

120576119911 =120597119908120597119911

120574119909119910 =120597119906120597119910

+120597119907120597119909

120574119909119911 =120597119908120597119909

+120597119906120597119911

120574119910119911 =120597119907120597119911

+120597119908120597119910

120576 = [120597]119906

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

[120597] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡120597120597119909

0120597120597119910

0 0120597120597119911

120597120597119910

120597120597119909

120597120597119911

0120597120597119909

0120597120597119911

120597120597119910⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

119906 = 119906 119907119908119879

120576119894119895 =119906119894119895 + 119906119895119894

53698807

1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


1205972120574119909119910120597119909120597119910

=12059721205761199091205971199102

+12059721205761199101205971199092

1205972120574119910119911120597119910120597119911

=12059721205761199101205971199112

+12059721205761199111205971199102

1205972120574119911119909120597119911120597119909

=12059721205761199111205971199092

+12059721205761199091205971199112

21205972120576119909120597119910120597119911

=120597120597119909

minus120597120574119910119911120597119909

+120597120574119909119911120597119910

+120597120574119909119910120597119911

21205972120576119910120597119911120597119909

=120597120597119910

minus120597120574119911119909120597119910

+120597120574119910119909120597119911

+120597120574119910119911120597119909

21205972120576119911120597119909120597119910

=120597120597119911

minus120597120574119909119910120597119911

+120597120574119911119910120597119909

+120597120574119911119909120597119910

120576119894119895119898119899 + 120576119898119899119894119895 = 120576119894119899119895119898 + 120576119895119898119894119899 (216)

120576119909 =1119864120590119909 minus 120583 ∙ 120590119910 + 120590119911

120576119910 =1119864120590119910 minus 120583 ∙ (120590119909 + 120590119911)

120576119911 =1119864120590119911 minus 120583 ∙ 120590119909 + 120590119910

120591119909119910 = 119866 ∙ 120574119909119910

120591119909119911 = 119866 ∙ 120574119909119911

120591119910119911 = 119866 ∙ 120574119910119911

120590 = [119864]120576

15093622

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

[119864]

=119864

(1 + 120583)(1 minus 2120583)

0 0 012

(1 minus 2120583) 0 0

0 0 0 012

(1 minus 2120583) 0

0 0 0 0 012

(1 minus 2120583)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 120574119909119911 120574119910119911119879

120590119894119895 = 119864119894119895119896119897120576119896119897 (219)

119866 =119864

2(1 + 120583)

120582 =120583119864

(1 + 120583)(1minus 2120583) (221)

120575119894119895 = 1 119895119890119904119897119894ž119890 119894 = 119895 120575119894119895 = 0 119895119890119904119897119894ž119890 119894 ne 119895

120590 = 1205900 + [119864](120576 minus 1205760) (222)

4307077

119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


119906|119878119906 = 119906 (224)

119905|119878119905 = [119899]120590 (225)

119905|119878119905 = 119905119909 119905119910 119905119911119879

[119899] = 119899119909 0 0 119899119910 119899119911 00 119899119910 0 119899119909 0 1198991199110 0 119899119911 0 119899119909 119899119910

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119911119879

119905119895 = 120590119894119895119899119894 (226)

10960544

119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


119906119894119895119895 +1

1 minus 2120583119906119896119896119894 +

119891119894119866

= 0 (227)

120590119894119895119896119896 +1

1 + 120583120590119896119896119894119895 = minus119891119894119895 + 119891119895119894 minus

1205831 minus 120583

120575119894119895119891119896119896 (228)

23305721

16515718

119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


119906 = 119906 119907 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 0 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910120590119911 120591119909119910 0 0119879

26719713

119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


119906 = 119906 119907119908119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 120574119909119910 0 0119879

120590 = 120590119909120590119910 0 120591119909119910 0 0119879

119906 = 119906 0119908119879 = 119906119903 119906120593 = 0 119906119911119879

120576 = 120576119903119903 120576120593120593 120576119911119911 0 120576119903119911 0119879

120590 = 120590119903119903120590120576120576 120590119911119911 0120590119903119911 0119879

119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


119906 = 119906 0 0119879

120576 = 120576119909 120576119910 120576119911 0 0 0119879

120590 = 120590119909 0 0 0 0 0119879

10994909

18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


18 CVIČENIacute

pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


pi=314 END IF

properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


properties)

42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


42 LITERATURA

2 LITERATURA

11 Uacutevod


13 Napjatost

14 Deformace









163 Řešitelnost








18 Cvičeniacute

OBSAH KAPITOLY

MOTIVACE

2 LITERATURA


Documents

projekty.fs.vsb.czprojekty.fs.vsb.cz/463/edubase/VY_01_010/Metoda...Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České