Задачі з параметрами - uCozsayt-portfolio.at.ua/parametru.docx · Web viewЗадачі з параметрами. Посібник для факультативного

Спеціалізована загальноосвітня школа І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького

Задачі з параметрам

и

Проект програми, підручник

факультативного курсу для 9 класу

Задачі з параметрами

м. Хмельницький2010

Укладачі: вчителі математики СЗШ №8 Нагурнік Л.О., Кравчук Г.Т.

Задачі з параметрами. Посібник для факультативного курсу в 9 класі.Навчальний посібник призначений для вчителів математики та учнів 9 (10-11) класу для занять факультативу, підготовки до олімпіад, ДПА, ЗНО, для самостійної роботи учнів.В посібник включено всі основні типи простих задач з параметрами на базі математики базової школи. До всіх задач наведені розв’язки.

Рецензент методист інформаційно-методичного кабінету управління освіти Хмельницької міської ради Щур О.П.

2


Програма факультативного курсу з математики«Задачі з параметрами»

9 класПояснювальна записка

Програма для шкіл, ліцеїв, гімназій Основна мета: сформувати знання, уміння і навички в

розв’язуванні задач з параметрами, посилення мотивації навчання, розвитку математичних понять, підготовка до профільного навчання математики.

Програма факультативу структурована відповідно до тем, що входять у склад основної програми.

Запропонована програма сприятиме найбільш повній реалізації можливостей учнів і зробить шкільну математичну освіту проблемно - діяльнісноюм.

Дана програма актуальна, обґрунтована і необхідна, відповідає віковим особливостям учнів, відповідає науці. Елементи програми взаємопов’язані.

Реалізація курсу передбачає класно-урочну систему занять. Форми та методи занять мають спрямовуватись на творчий розвиток, уміння аналізувати, узагальнювати. Навчальні заняття курсу передбачають використання традиційних і нетрадиційних форм і методів навчання: лекції, семінарів, дискусій, доповідей, передбачають підвищення питомої ваги самостійної роботи дітей, індивідуальної роботи з ними. На протязі курсу у учнів будуть засвоєнні поняття про задачі з параметрами, принципи їх розв’язання, методи розв’язування

Структура програми:1 година на тиждень Всього 34 годинТема 1. Знайомство з параметрами. (4 год.)

3


Тема 2. Лінійні рівняння та нерівності з параметрами (6 год.)Тема 3. Квадратний тричлен. Квадратична функція (10 год.)Тема 4. Рівняння з модулями, що містять параметр (4 год.)Тема 5. Раціональні рівняння з параметрами (6 год.)Тема 6. Графічні прийоми розв’язування задач з параметрами (4 год.)

Дана програма розрахована на учнів 9 класів із достатнім та високим рівнем знань з математики.Матеріальні ресурси: «Посібник для занять факультативного курсу», автори – вчителі математики СЗШ № 8Вивчення даного курсу дасть можливість поліпшити результати навчання, покращить результативність участі учнів в математичних олімпіадах

Зміст програми

№ з/п Зміст навчального матеріалу

Кількість

годинВимоги до рівня підготовки учня

Тема 1. Знайомство з параметрами. (4 год.)

1 – 2 Поняття параметру і пошуку розв’язків рівнянь, нерівностей 2

Основна мета: ознайомити з поняттям рівняння з

параметрами, областю допустимих значень параметра;

провести класифікацію рівнянь з параметрами.

Основні вимоги:Учні повинні знати:перехід від однотипних рівнянь до

рівнянь з параметрами;поняття параметра як тимчасової

змінної;область зміни параметрів;класифікацію рівнянь з

параметрами.

3 – 4Параметр і кількість розв’язків рівнянь, нерівностей. Типи рівнянь з параметрами.

2

Тема 2. Лінійні рівняння та нерівності з параметрами (6 год.)

5 – 6 Розв’язування лінійних рівнянь з параметрами 2

Основна мета:ознайомити з поняттям лінійного

рівняння з параметрами, областю допустимих значень параметра;

4


познайомити із методами розв’язування лінійних рівнянь з параметрами.

Основні вимоги:Учні повинні знати:принцип перебору значень параметра,

та вплив цього значення на корені рівняння.

Учні повинні вміти: розв’язувати простіші лінійні

рівняння з параметрами.

7 – 8 Розв’язування лінійних нерівностей з параметрами 2

9 – 10 Лінійні рівняння та нерівності з параметрами 2

Тема 3. Квадратична функція (10 год.)

11 – 12

Квадратний тричлен. Квадратична функція, дискримінант, коефіцієнт, вершина параболи, графік функції. Опорні задачі

2

Основна мета: узагальнити і систематизувати знання учнів про

кількість розв’язків квадратного рівняння;

ознайомити учнів із дослідженнями кількості розв’язків квадратного рівняння залежно від значення параметра;

показати застосування теореми Вієта в задачах з параметрами.

Основні вимоги:Учні повинні вміти: проводити дослідження кількості

коренів квадратного рівняння залежно від параметра;

застосувати теорему Вієта в задачах з параметрами;

знаходити умови належності коренів квадратного тричлена певному інтервалу залежно від значення параметра.

13 – 14 Розв’язування квадратних рівнянь з параметрами 2

15 – 17 Розв’язування квадратних рівнянь з параметрами 3

18 – 20 Розв’язування квадратних рівнянь та нерівностей з параметрами 3

Тема 4. Рівняння з модулями, що містять параметр (4 год.)

21 – 22 Рівняння з модулями, що містять параметр 2

Основна мета: узагальнити і систематизувати

знання учнів про модуль та методи розв’язування рівнянь методом інтервалів, графічним методом;

дати геометричну інтерпретацію розв’язків рівнянь з модулями і з параметрами;

Основні вимоги:Учні повинні вміти: Розв’язувати рівняння з

параметрами, що містять модулі різними способами

23 – 24 Розв’язування рівнянь з модулями, що містять параметр 2

Тема 5. Раціональні рівняння з параметрами (6 год.)

5


25 – 26 Раціональні рівняння з параметрами 2

Основна мета: узагальнити і систематизувати

знання учнів про методи розв’язування раціональних та дробово-раціональних рівнянь;

дати геометричну інтерпретацію розв’язків раціональних рівнянь з параметрами;

ознайомити з поняттям рівносильності рівнянь залежно від значення параметра та методами розв’язування раціональних рівнянь, що містять параметри.

Основні вимоги:Учні повинні вміти: розв’язувати дробово-раціональні

рівняння з параметрами різними способами

27 – 28 Дробово – раціональні рівняння з параметрами 2

29 – 30 Раціональні рівняння та нерівності з параметрами 2

Тема 6. Графічні прийоми розв’язування задач з параметрами (4 год.)

31 – 32 Розв’язування рівнянь з параметрами графічним способом 2

Основна мета: графічне зображення лінійного

рівняння з параметрами, поняття «сім’я прямих» зумовлене наявністю параметра;

Учні повинні вміти: досліджувати лінійні та

раціональні рівняння з параметрами, що містять модуль і їх системи застосовуючи геометричну інтерпретацію.

33 – 34Розв’язування рівнянь з параметрами графічним способом.Підсумкове заняття.

2

Література1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів

«Математики», МОН України, ст.. 24-28, 67-722. Т.С. Непочатова, І.О. Сіренький, Г.С. Смішко «Математичні

олімпіади Хмельниччини», інформаційний вісник ХОІППО, 2009

3. П.І. Горнштейн «Задачі з параметрами», Київ, РІА «Текст», 1992

4. Є.А.Єфімов, Л.В.Коломієць, Задачі з параметрами, навчальний посібник для факультету довузівської підготовки, Самара, 2006

5. Науково-методичний журнал «Математика в школах України»

6


Методичні рекомендації, підбір задач для занять факультативу

Заняття 1 – 2

Тема: Знайомство з параметрами

Цей курс адресований в першу чергу тим, хто має мінімальну уяву про задачі з параметрами. Відомо, що в програмах з математики для неспеціалізованих шкіл цим задачам відводиться незначне місце. Тому в першу чергу розглянемо розділи шкільної математики, в яких, взагалі, присутня сама ідея параметрів.

Так, з параметрами учні зустрічаються при введенні деяких понять. Розглянемо як приклади наступні об’єкти.

Функція пряма пропорційність: y=kx (x і y - змінні, k – параметр, k ≠ 0);Лінійна функція: y=kx+b (x і y - змінні, k i b – параметри);Лінійне рівняння: ax+b=0 (x - зміннa, a i b – параметри);Рівняння першого степеня: ax+b=0 (x - зміннa, a i b – параметри, b≠ 0);Квадратне рівняння: a x2+bx+c=0 (x - зміннa, a, b і с – параметри, а≠ 0).

До задач з параметрами, можна віднести, наприклад, пошук розв’язків лінійних і квадратних рівнянь в загальному вигляді, дослідження кількості їх коренів в залежності від значення параметрів.

Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного звертання до фіксованого але невідомого числа.Розв’язати рівняння з параметром означає, що для кожного значення параметра треба встановити, чи має рівняння розв’язки, і якщо має, то знайти ці розв’язки, що, як правило, залежать від параметра.

7


Розглянемо ряд прикладів:

Вправа 1. Порівняємо -а і 3а.Розв’язанняРозглядаємо три випадки:

1) Якщо а<0, то −а>3 а;2) Якщо а=0, то – а=3 а;3) Якщо а>0, то −а<3а.

Вправа 2. Розв’яжемо рівняння: 1) ах=1; 2) х−3=а+1 3).Розв’язання

1) На перший погляд відповідь очевидна: х=1а . Однак при а=0

дане рівняння немає розв’язків.

Відповідь. Якщо а=0, то розв’язків немає; якщо а≠ 0, то х=1а

2) Перетворимо спочатку рівняння х=а+4. Рівняння має єдиний розв’язок незалежно від значення параметра а. Наприклад, якщо а=1 , то х=5 ; а=0 ,то х=4 ; а=−4 ,то х=0.Зауважимо,що параметр а може набувати будь-яких значень, а значення х знаходимо за формулою х=а+4.Відповідь. х=а+4 для будь-якого значення параметра а.

Вправа 3 .х−3=а+1, для якого а число 4,5 є коренем рівняння? Оскільки число 4,5 є коренем даного рівняння, то воно перетворює рівняння в правильну рівність: 4,5−3=а+1, звідки а=0,5.Відповідь. а=0,5

Вправа 4. Розв’язати рівняння ах+7=а.

Основою розв’язування задач з параметрами є правильне розбиття області зміни параметра на окремі частини і до цього потрібно привчати учнів.

8


У запропонованому рівнянні коефіцієнт при х дорівнює а. Тому можливі випадки:а) коефіцієнт при х дорівнює 0 і рівняння має вигляд 0 ∙ х=−7 та немає коренів;б) коефіцієнт при х не дорівнює 0. Тоді поділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт а ≠ 0: ах+7=а, ах=а−7,

х=а−7а .

Відповідь. Якщо а=0, то рівняння розв’язку немає; якщо а ≠ 0, то

х=а−7а .

Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків. Доцільно запропонувати учням самостійно розв’язати таке рівняння:

Вправа5. Розв ' язати рівняння ( а+4 ) х+4=а, де а параметр, з наступною перевіркою правильності розв’язання на дошці чи на екрані.

Слід звернути увагу учнів на конструкцію запису відповіді :якщо а …, то х … , або якщо х…, то а….У запропонованому прикладі відповідь може бути записана так:

Якщо а=−4, то розв’язків немає; якщо а ≠−4, то х=а−4а+4 .

Вправа 6. Розв’язати рівняння (a2−1 ) x=a+1 .Розв’язанняОчевидно, що для розв’язку цього рівняння достатньо розглянути такі випадки:

1) а=1; тоді рівняння матиме вигляд 0х=2 і немає розв’язків;2) а=−1; рівняння матиме вигляд 0х=0 і матиме безліч

розв’язків;

3) а≠ ±1; маємо х=а+1а2−1

= 1а−1 .

9


Важливим етапом розв’язування задач з параметрами є запис відповіді. Особливо це відноситься до тих прикладів, де розв’язки міняються в залежності від значення параметра. В подібних випадках складання відповіді – це збір одержаних результатів. І тут дуже важливо не забути відобразити у відповіді всі етапи розв’язку.

Відповідь. Якщо а=−1, то х- будь-яке число; якщо а=1, то розв’язків

немає; якщо а≠ ±1, то х=1

а−1 .

Вправа 7. Розв’язати нерівність ах<1.Розв’язанняАналіз трьох можливостей а>0, а<0 , а=0 дозволяє отримати результат:

Відповідь. Якщо а<0, то х> 1а ; якщо а=0, то х – будь-яке число; якщо

а>0, то х< 1а .


Тема: Знайомство з параметрами

Для знайомства із параметрами, корисно ще розглянути наступні два приклади:

Вправа 8. Розв’язати нерівність |х+3|>−а2.Розв’язанняОчевидно, що при а ≠ 0 права частина нерівності від’ємна, тоді при будь-якому х ліва частина більша правої. У випадку, коли а=0, варто не пропустити той факт, що дану нерівність задовольняють всі дійсні числа, крім х=−3. Відповідь. Якщо а ≠ 0, то х - будь-яке число; якщо а=0, х<3 або х>3.

10


Звертаємо увагу, що у всіх прикладах, що розглядалися областю допустимих значень для змінної і для параметра була множина дійсних чисел. Познайомимося із задачею іншого роду

Вправа 9. Розв’язати рівняння 3√ х=а13 .

Розв’язання.3√ х=х

13 існує для будь-якого х, а

13 >0 при всіх а. Учні часто

допускаються помилки, вважаючи розв’язком рівняння єдиний корінь х = а, адже при від’ємних значеннях а дана рівність неможлива.Відповідь. Якщо а ≥ 0, то х = а; якщо а<0, то розв’язків немає.

Для закріплення вивченого матеріалу розв’яжемо приклади.

Вправа 10. Розв’язати рівняння х−ах−1

=0.

Розв’язання.Очевидно, що х = а – єдиний корінь рівняння, проте слід пам’ятати, що х≠ 1, а тому а ≠ 1.Відповідь. Якщо а ≠ 1, то х = а; якщо а=1, то розв’язків немає.

Вправа 11. Розв’язати нерівність (а−1)√ х≤ 0.Розв’язанняЗауважимо, що √ х≥ 0 для всіх невід’ємних х. Очевидно, що відповідь залежить від знака двочлена а -1. При а ≤ 1 , а−1≤0 і дана нерівність справедлива для всіх х≥ 0. А для всіх а>1, а−1>0, очевидно, що дана нерівність інших розв’язків крім х=0 немає.Відповідь. Якщо а≤ 1 , то х≥ 0; якщо а>1, то х=0.

Варто також звернути увагу і на такі типи завдань:

Вправа 12. При яких натуральних значеннях а корінь рівняння (а+2 ) х=5 є натуральним числом?

Розв’язання

11


Лінійне рівняння (а+2 ) х=5 має корінь , за умовиа+2≠ 0, тоді

х= 5а+2

. Корінь рівняння є натуральним числом , якщоа+2

- дільник числа 5, тобто при а=3.Відповідь. 3.Вправа 13. При яких цілих значеннях коренем рівняння (а+1 ) х=7 є ціле число?

Розв’язанняПри а+1≠ 0 рівняння (а+1 ) х=7 має корінь

х= 7а+1

. Вираз 7а+1

набуватиме цілих значень , за умови , щоа+1 є

цілим дільником числа 7. Оскільки число 7 є простим числом, то його цілими дільниками є числа: 1; 7; -1; -7. Отже, значення параметра знайдемо з таких умов: а+1=1, а+1=7, а+1= -1, а+1= -7.

Розв’язавши ці рівняння, маємо а = 0, а = - 2, а = - 8, а = 6.Відповідь. -8; -2; 0; 6.

Вправа 14. Для кожного значення а розв’яжіть рівняння (а−6 ) х=а2−12 а++36.

Продумати алгоритм розв’язання рівняння, аналогічні рівняння будуть розв’язуватися на наступних заняттях.


Тема: Лінійні функції в задачах з параметрами.

1. Розв'язки лінійного рівнянняРівняння називається лінійним, якщо коефіцієнт

.

• воно має єдиний розв'язок ;• якщо обидва коефіцієнти дорівнюють нулю а=0 і b=0, то рівняння перетворюється в тотожність , і його розв'язками є всі дійсні числа.

12


• якщо і , то рівняння перетворюється в неправильну рівність і воно не має розв'язків.

2. Тренувальні вправи

Вправа 15. Розв’язати рівняння1) 2 а (а−2 ) х=а−2

Розвязання1) Знайдемо ті значення параметра, які перетворюють у нуль коефіцієнт при х:2а (а−2 )=0, а=0 або а=2.Якщо а=0, рівняння матиме вигляд 0 ∙ х=−2, таке рівняння розв’язків немає.Якщо а=2, то 0 ∙ х=0, тобто х – будь-яке число.

Якщо а ≠ 0, а ≠ 2, то х=а−2

2а(а−2)= 1

2а .

Відповідь. Якщо а=0, то немає коренів; якщо а=2, то х -будь-яке

число: якщо а ≠ 0 , а ≠ 2, то х=1

2 а .

Вправа 16. (а2−1 ) х−(2 а2+а−3)=0(а2−1 ) х=2а2+а−3(а−1 ) (а+1 ) х=(2 а+3 )(а−1)Розглянемовипадок : (а−1 ) (а+1 )=0, а=± 1.Якщо а=1 ,то 0∙ х=0, тобто х – будь-яке число.Якщо а=-1, то 0 ∙ х=−2, це рівняння розв’язків немає.

Якщо а ≠ ±1, то х=2 а+3а+1 .

Відповідь. Якщо а=1, то х – будь-яке число; якщо а=−1, то розв’язків

немає; якщо а≠ ±1, то х=2 а+3а+1 .

Вправа 17. (а2+2 ) х=а (2−3 х )+2(а2+2 ) х=2а−3ах+2(а2+3 а+2) х=2 а+2

13


(а+1 ) (а+2 ) х=2(а+1)1) (а+1 ) (а+2 )=0, а=−1, або а=−2.Якщо а=−1, то 0 ∙ х=2∙0, х – будь-яке число.Якщо а=−2, то немає коренів.

2) Якщо а ≠−1, а ≠−2, то х=2(а+1)

(а+1 )(а+2)= 2

а+2 .

Відповідь. Якщо а=−2, то рівняння немає коренів; якщо а=−1, то х –

будь-яке число; якщо а≠−1, а ≠−2, то х=2

а+2 .

Вправи для самоперевірки (проектуються на екран, або пропонуються на картках)

Завдання для самоперевірки №1 Приякихзначенняхпараметраарівняння

' ? маєнульовийрозв язок :Виберіть правильні відповідь

Такихзначеньнемає

14


15

Завдання для самоперевірки №4 Приякихзначенняхпараметраpрівняння

' ?немаєрозв язків :Виберітьправильні відповідь




16


Тема: Практикум розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей з параметрами

Засвоєння нового матеріалу

Вправа 18. Розв’язати рівняння ( х−1 ) √х−а=0.Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі

{ х ≥ а ,

[ х=1 ,х=а .

Звідси х=а - корінь даного рівняння при будь-якому а, а х=1 – корінь лише при х = а. Відповідь. Якщо а<1, то х=а, або х=1; якщо а=1, то х=1; якщо а>1 , то х=а.В подальшому знайомство з параметрами ми проведемо ще в одному напрямку. Мова йде про клас задач, де за рахунок параметра на змінну накладаються якісь штучні обмеження. Для таких задач характерні наступні формулювання: при якому значенні параметра рівняння (нерівність,система) має лише один розв’язок, два, нескінченну множину, чи жодного; розв’язком рівняння (нерівності чи системи) є якась підмножина множини дійсних чисел і т.п.

Вправа 19. При яких а нерівність ( х−а )(х−2)≤ 0 має єдиний розв’язок?Розв’язанняОчевидно, що а=2 задовольняє вимозі задачі. Дійсно, при а=2 отримуємо нерівність (х−2)2≤ 0, що має єдиний розв’язок. Для випадку, коли а≠ 2, розв’язком нерівності буде відрізок, тобто безліч розв’язків.Відповідь. а=2.

Вправа 20. При яких значеннях а розв’язком нерівності ( х−а )2 ( х−2 ) ( х+3 ) ≤0буде відрізок?Розв’язанняОскільки (х−а)2 ≥ 0, то дана нерівність рівносильна системі:

17


{( х−2 )(х+3)≤ 0 ,х=а .

Розв’язком нерівності системи буде відрізок [−3 ;2 ]. Отже, при а∈ [−3 ;2 ] розв’язком рівняння також буде відрізок.Відповідь. −3 ≤ а ≤2.

Закріплення вивченого матеріалу.

Вправа 21. При кожному значенні розв’язати рівняння (а2−9а ) х=а2−18 а+81.Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді х=а2−18 а+81а2−9 а

= (а−9)2

а(а−9).

Якщо а=9, то рівняння набуває вигляду 0∙ х=0, коренем цього рівняння є будь-яке число;

Якщо а ≠ 0, а≠ 9, то х=а−9

а.

Відповідь. Якщо а=0, то коренів немає; якщо а=9, то х - будь-яке

число; якщо а≠ 0, а≠ 9, то х=а−9

а.

Вправа 22. Для кожного значення а розв’язати рівняння: (а+3 ) х=3 Самостійна робота учня. В кінці роботи звіряються із розв’язком, спроектованим на екран.

18


Вправа 23. Розв’язати рівняння ха+2=7−х, де а – параметр.

Розв’язання.Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то а=0 не належить області допустимих значення параметра а.

Перетворимо рівняння: ха+х=5, х ( 1

а+1)=5.

Для а≠ 0 розглянемо два випадки:

1) Коефіцієнт при х дорівнює нулю, тобто 1а+1=0, а+1=0, а=−1

.Тоді маємо рівняння: 0 ∙ х=5, що не має коренів.

2) Коефіцієнт при х не дорівнює нулю, тобто 1а+1≠ 0, а≠−1. Тоді

х= 5аа+1 .

Відповідь. Якщо а=−1, то рівняння коренів немає; якщо а≠−1, то

х= 5аа+1 .



Тема: Розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей з параметрами

На екран проектуються завдання (з перебором та на вибір правильної відповіді) для напівсамостійного опрацювання:

20


21


22

Лінійна функція в рівняннях з параметрами 1Вправа

Приякихзначенняхпараметраарівняння

' . має нескінченнумножинурозвязків :Виберітьправильнівідповідь



Завдання додому: Повторити властивості лінійної функції Проаналізувати алгоритми, розв'язуваних на занятті,

завдань Виконати завдання, до яких складалися алгоритми, але не

знайдені відповіді на занятті.


Тема: Квадратний тричлен. Опорні задачі.

1. Класифікація задач на дослідження квадратного тричленаНехай y=A (а) x2+B(а) x+C(а) - квадратний тричлен, коефіцієнти якого залежать від параметра а; D=B2−4 AC –

дискримінант цього рівняння; х0=−В2 А - абсциса вершини

параболи; y0=−D4 А - ордината вершини параболи;

y (α )=f ( α )=A α2+Bα+C- значення квадратного тричлена при х=α .Сформулюємо такі основні задачі:1) Розв’язати рівняння A (а ) x2+B (а ) x+C (а )=0 (А1)

23

Лінійна функція в рівняннях з параметрами 3Вправа

Приякихзначенняхпараметраарівняння

'немає розв язків?

:Виберітьправильнівідповідь



2) Розв’язати одну з нерівностей (Б1) або їх систему:3) Знайти всі значення а, за яких рівняння має дійсні корені, і

визначити їх знаки4) Дослідити розташування дійсних коренів рівняння (А1)

відносно заданої точки чи проміжку5) Знайти всі значення параметра а,за яких з однієї

нерівності випливає інша6) Визначити всі значення а, за яких корені рівняння (А1)

задовольняють задану умову7) Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння

А1 (а ) x2+В1 (а ) x+С1 (а )=0 та А2 (а ) x2+В2 (а ) x+С2 (а )=0 мають спільні корені (або хоча б один спільний корінь)

8) Знайти всі значення а, за яких квадратний тричлен y=A (а) x2+B(а) x+C(а) чи задана функція Р(х1: х2), де х1 , х2 - дійсні корені рівняння (А1), набуває найбільшого (найменшого) значення на заданому проміжку.

2. Розв’язування основних задач на дослідження квадратного тричлена з коефіцієнтами, залежними від параметра.

Вправа 24. Розв’язування квадратного рівняння з коефіцієнтами, залежними від параметра:A (а ) x2+B (а ) x+C (а )=0 (1)Під час розвязання (1 ) требаврахувати ,щоприА=0це рівняння буде лінійним , тому рівняння (1 )еквівалентне сукупності двох систем:

{ А=0 ,Вх+С=0 та { А ≠ 0 , В2−4 АС ≥0 ,

х1,2=−В ±√В2−4 АС

2 А. (2)

Якщо х1 , х2 - корені рівняння A (а ) x2+B (а ) x+C (а )=0, то при А>0 маємо х1< х2, а при А<0 х1> х2.

Вправа 25. Розв’язати рівняння (а−2 ) х2−4 ( а+3 ) х+а−1=0

24


Розв’язанняДане рівняння еквівалентне сукупності двох систем (див. (2)):

{ а=2,

х= 120

та { а ≠ 0 , 3 а2+27 а+34 ≥ 0 ,

х1,2=−2(а+3)±√3 а2+27 а+34

а−2.

Розв’язуючи нерівність (а−2 ) х2−4 ( а+3 ) х+а−1 ≥ 0, знаходимо ті значення а, за яких х1 , х2 набувають дійсних значень:

а∈ (−∞; −27−√3216 ]∪[−27+√321

6; ∞ )\{2 }, то

¿ х1,2=−2(а+3)±√3 а2+27 а+34

а−2.

Відповідь. Якщо а=2, то х=120 ; якщо

а∈ (−∞; −27−√3216 ]∪[−27+√321

6; ∞ )¿{2¿}, то х1,2=

−2(а+3)±√3а2+27 а+34а−2

Розв’язування квадратних нерівностей (та їх систем) з коефіцієнтами, залежними від параметра.Під час розв’язання, наприклад, нерівності A (а ) x2+B (а ) x+C (а )<0 (3)Зручно розглянути спочатку випадок А=0 (тоді (3) буде лінійною нерівністю), а у випадку А ≠ 0 скористатися методом інтервалів, врахувавши при цьому , що вид розв’язку квадратної нерівності визначається знаком коефіцієнта А при х2дискримінанта D.

Вправа 26. Розв’язати нерівність (а2−1 ) х2−2 ( а2+3 а+2 ) х+а+2>0.Розвязання.Розглянемоспочатку випадок ,коли дана нерівність буделінійною, тобто а2−1=0, а=± 1. Підставимо ці значення а в нерівність і одержимо при а=1:

−12 х+3>0, х< 14 , а при а=-1: 1>0 , х∈ R.

25


При а ≠ ±1 обчислимо дискримінант D і подамо його у формі, зручній для визначення проміжків знакосталості:D4

=(a2+3 a+2)2−(a2−1 ) (a+2 )=( a2+2 a+3 ) (a+1 )(a+2);

На паралельних координатних осях а відкладаємо проміжки знакосталості D та А (мал.1)

(мал.1)Провівши через точки а= -2, а= -1, а=1 вертикальні прямі, одержимо проміжки, на кожному з яких легко вказати вид розв’язку даної нерівності.

х1=а2+3 а+2−√ D

4a2−1

, х1=а2+3 а+2+√ D

4a2−1

Відповідь . Якщо а∈ (−∞;−2 )∪ (1; ∞ ), то х∈ (−∞ ; х1)∪ ( х2; ∞ )Якщо а=2, то х∈ (−∞ ;0 )∪ (0 ;∞ )Якщо а∈ (−2;−1 ) , то х∈ (−∞ ;∞ )Якщо а∈ (−1;1 ) , то х∈ ( х2; х1 )

Розв’язання задач, пов’язаних із знаходженням значень параметра, при яких корені квадратного рівняння задовольняють задані умовиДля визначення значень параметра а, при яких корені квадратного рівняння A x2+Bx+C=0 х1 та х2 при А ≠ 0 задовольняють умову Р ( х2; х1 )=0, розглянемо систему рівнянь, еквівалентну поставленій задачі:

{х1+х2=−В

А,

х1 ∙ х2=−С

А,

Р ( х2; х1 )=0.

26


Визначимо з довільної пари рівнянь х1 та х2 і, підставляючи знайдені вирази в рівняння, що залишилося, одержимо співвідношення для знаходження шуканих значень а. При виборі пари рівнянь для визначення х1 та х2 варто виходити з простоти їх розв’язання. Дискримінант має бути невід’ємний. Вправа 27. При яких значеннях а один з коренів рівняння

8 х2+2 (1−4 а2 ) х+(а+2)3=0дорівнює квадрату іншого?Розв’язання. Для визначення шуканих значень а складемо систему, в якій два перші рівняння описують теорему Вієта для даного

квадратного рівняння х1+ х2=−ВА

=4 а2−14

, х1 ∙ х2=−С

А=(а+2)3

8, а

третє співвідношення містить умову, яка накладається на його корені:х2−х1

2=0.У даному випадку для визначення х1 та х2 зручно вибрати друге і третє рівняння системи:

{х1 ∙ х2=(а+2)3

8х2=х1

2 ;, тобто {х1=

а+22 ,

х2=х12 .

Підставляючи знайдені вирази в перше рівняння системи, одержимо:а+2

2+

( а+2 )2

4=4 а2−1

4, а2−2а−3=0, [а=−1

а=3.Відповідь. а= -1, або а=3.


Тема: Квадратний тричлен. Тренувальні вправи.

Вправа 28. При яких значеннях параметра а корені рівнянняа х2−(2а+1 ) х+3 а−1=0 (1.1)

більші 1? Розв’язання

27


Очевидно, що задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена f ( x )=а х2−(2а+1 ) х+3 а−1 більші 1.Перехід від одного формулювання задачі до іншого, підкреслює загальну ідею, що пов’язана з описом тих чи інших властивостей квадратного тричлена в їх геометричній інтерпретації на графіку.

Для того, щоб корені квадратного тричлена f ( x )=А х2+Вх+С , ( А ≠ 0 ) (1.2) були більші числа d, необхідно і достатньо виконання умов

(1.3) (див. рис. 1.1)

При а=0 рівняння (1.1) має корінь х= -1, який не задовольняє умову задачі.Розглянемо випадок а≠ 0. При таких а умови (1.3) запишуться у

вигляді . Розв’язуючи цю систему, знаходимо,

що . Очевидно, що цей же результат ми отримали б і розв’язуючи нерівність х1>1, де х1- менший корінь рівняння (1.1).

Відповідь. .

Вправа 29. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння

28


більший числа а, а другий менший числа а?Розв’язання Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена лежать на дійсній осі по різні сторони від точки ?Для розв’язування цієї задачі скористаємося тим загальним фактом, що для того щоб корені квадратного тричлена (1.2) лежали на дійсній осі по різні сторони від числа d, необхідно і достатньо виконання умови (див. рис. 1.2)

В нашому випадку ця умова приймає вигляд .Тобто, вимогу задачі задовольняють розв’язки нерівності

, де ( не задовольняють вимогу задачі).Розв’язуючи отриману нерівність, знаходимо, що Варто сказати, що розв’язуючи цю задачу іншим способом, розглядаючи нерівності і досить складно.Відповідь. .

Вправа 30. При яких значеннях параметра а корені х1 та х2 рівняння задовольняють умовам

Розв’язанняЗадача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а тільки один, а саме – більший корінь квадратного тричлена

де належить інтервалу (-1; 1), а другий – менший -1.

29


Вимоги в даній задачі виконуються тільки з-за умов:

Таким чином ми приходимо до системи

Розв’язуючи цю систему, приходимо до висновку, що .

Відповідь.

Вправа 31. При яких значеннях параметра а корені рівняннямають різні знаки і обидва по модулю менші 4?

Розв’язанняНехай f ( x )=x2−2 (a−1 ) x+2a+1. Тоді вимоги задачі виконуються, якщо сумісна система

, яку запишемо у вигляді і якій задовольняють

всі .

Відповідь. .

Вправа 32. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння

по абсолютній величині більший 1, а другий менший одиниці?

30


Розв’язання Задача рівносильна наступній:при яких значеннях параметра а один з

двох коренів квадратного тричлена належать

на дійсній осі інтервалу , А другий розміщений поза цим інтервалом, і по модулю не дорівнює одиниці?Користуючись графіком, відмічаємо, що рівно один корінь тричлена

належить інтервалу тільки в тому випадку, коли числа і мають різні знаки (корені по модулю не дорівнюють 1),

приходимодо висновку, що вимоги задачі виконуються тільки при умові яка в нашому випадку запишеться у вигляді

Розвязуючи цю нерівність, знаходимо, що Відповідь.

Вправа 33. При якому значенні параметра а парабола

має з віссю ОХ дві спільні точки?Розв’язання Даний квадратний тричлен має два різних дійсних корені, якщо

виконуються умови: .

Розв’язком системи є проміжок .

Відповідь.

Вправа 34. При яких значеннях параметра а квадратний тричлен

можна представити у вигляді повного квадрата?Розвязання.

31


Квадратний тричлен можна представити у вигляді

, якщо його корені рівні Тобто . В даному випадку .

Розв’язуючи останнє рівняння, отримуємо і .

Відповідь. , .

Вправа 35. Знайти значення параметра а, при яких нерівність

виконується для всіх х.Розв’язання

Графік квадратного тричлена розміщений не

нижче осі ОХ при виконанні умов:

В даній задачі ці умови мають вигляд: .Розв’язком цієї системи є .Відповідь. .

Завдання, які можна розв’язувати як додаткові на занятті, для індивідуальної роботи, або для домашньої роботи:Розв’язати рівняння та нерівності:

1) (а2−6 а+5 ) х=а−1

2)х−2х+а

=0

3) √ х=−а

4)х−а

х2−4 х+3=0

5) х2−4 х+3х−а

=0

6) а√ х>0

32



Тема: Необхідні і достатні умови для того, щоб корені квадратного тричлена належали певному інтервалу відносно чисел m і n на числовій прямій.

1. Необхідні і достатні умови для того, щоб корені квадратного тричлена були більшими m

2. Необхідні і достатні умови для того, щоб корені квадратного тричлена були меншими m

3. Знаходження умови належності коренів квадратного тричлена певному інтервалу залежно від значення параметра.

Вправа 36. При яких значеннях параметра b корені рівняння x

b+1+ 2 x

x−2= 3 b−4

(b+1)( x−2 ) більші числа 10.Розв’язання:

При (b+1 )( x−2)≠0 рівняння рівносильне такому рівнянню: x2+2 bx−3 b+4=0 . Звідкиx1=−b−√b2+3b−4 , x2=−b+√b2+3b−4 .Тепер необхідно перевірити, чи немає таких значень b , при яких один з одержаних коренів дорівнює 2. Виявляється, що таке значення є. В цьому легко переконатися, якщо підставити в рівняння x2+2 bx−3 b+4=0 значення x=2 . При цьому одержуємо b=−8 .

33


Другий розв’язок в цьому випадку дорівнює −3b+4

2 при b=−8 , тобто x=14 . Отже, при b=−8 початкове рівняння має один розв’язок x=14 .

При b≠−8 і b≠−1 рівняння має два розв’язки: x=−b±√b2+3 b−4 . Ці розв’язки дійсні при b≤−4 ,(b≠−8 ) і при b≥1 . При b=−1 рівняння немає змісту.

Корені рівняння, що більші числа 10:1) x=14 при b=−8

2) При b≠−8 і b≠−1 рівняння має розв’язки x=−b±√b2+3 b−4 , тобто розв’яжемо нерівності:−b−√b2+3b−4>10 і −b+√b2+3 b−4>10 . Звідки:

при b>−6справджується нерівність −b−√b2+3 b−4>10

при b<−6справджується нерівність −b+√b2+3 b−4>10

Вправа 37. Знайти значення а, при якому один з коренів рівняння x2−2ax+5=0 в два рази менший від одного з коренів рівняння x2+4 x−4 a=0

Вправа 38. Знайти всі значення параметра a , при кожному з яких

корені рівняння (a−2) x2+2 ax+a+3=0належать інтервалу (−2;1 ).

Нехай f ( x )=(a−2 )x2+2 ax+a+3 . x0=− a

a−2 , D=4a2−4 (a−2 )(a+3 ).

Якщо a=2 , то f ( x )=4 x+5=0⇔ x=−5

4∈(−2 ;1 )

.Якщо a≠2 , то задача рівносильна виконанню умов:

34


{D4

≥0 ,¿ {−2<x0<1, ¿ {(a−2) f (−2 )>0 , ¿¿¿¿

Відповідь: a∈(−∞;−1

4)∪{2}∪(5 ;6 ]

.

Вправа 39. При яких значеннях параметра а корені рівняння ax 2+(2 a−1 )x+1=0 розташовані в інтервалі (-1;1)?

Задача зводиться до розв’язання системи нерівностей:

{ D>0 , ¿ {−1<x0<1 , ¿ {af (1)>0 , ¿ ¿¿¿Відповідь:

a∈( 14

;2) .

Завдання для самоперевірки з вибором правильної відповіді:

Вправа 40. Розв’язати при всіх а рівняння Вибрати правильну відповідь:

35




Вправа 43. Розв’язати при всіх а рівняння Відповідь:

Вправа 44. Розв’язати при всіх а рівняння Відповідь:

36


Розв’язування квадратних рівнянь з параметрами (з перебором)

Вправа 45. Розв’язати при всіх а рівняння Дослідимо рівняння на існування розв’язків. Зручно знайти одну

четверту частину дискримінанта D4

=1+а. В залежності від значень

параметра а можливі три випадки:Випадок 1. а←1Випадок 2. а=−1Випадок 3. а>−1Відповідь.

Вправа 46. Розв’язати при всіх b рівняння

Знайти одну четверту частину дискримінанта D4

=b2+1. Оскільки

квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід’ємним числом, то дискримінант буде додатнім числом при довільних значеннях параметра b. Отже, рівняння завжди буде мати два дійсних корені. Знайдемо їх:

Відповідь.

Вправа 47. Розв’язати при всіх р рівняння

Дослідимо значення дискримінанта В залежності від значення дискримінанта можливі три випадки:Випадок 1. D<0

37


Випадок 2. D=0Випадок 3. D>0Відповідь.

Вправа 48. Розв’язати при всіх а рівняння В залежності від значення параметра а ми отримуємо різні рівняння. Якщоа=0, то рівняння стає лінійним, якщо а≠ 0 рівняння стає квадратним. В цьому випадку кількість розв’язків залежить від значення дискримінанта: D=22−4 (−4 ) a=4+16 a=4 (1+4 a). Дискримінант приймає значення 0, якщо 1+4а=0, при цьому а=−0,25.Відмітимоточки а=−0,25 та а=0 на координатній прямі а. В залежності від значення а треба розібрати 5 можливих випадків:Випадок 1. а←0,25Випадок 2. а=−0,25Випадок 3. −0,25<а<0Випадок 4. а=0Випадок 5. а>0Відповідь.

Задачі для закріплення вивченого матеріалу

Вправа 49. Розв’язати при всіх b рівняння Вибрати правильну відповідь.

Вправа 50. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня.

Вибрати правильну відповідь.

38


Вправа 51. Знайти всі р, при яких рівняння має рівно два різних кореня.


Вправа 52. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня.


Вправа 53. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня і відстань між ними 3.

Вибрати правильну відповідь

39


Контрольні завдання

Вправа 54. Знайти всі р, за яких рівняння має рівно 2 різних кореня

Відповідь.

Вправа 55. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня і відстань між ними дорівнює 1.

Відповідь. Заняття 18 -20

Тема: Розв’язування вправ. Підсумкове заняття з теми.

Тренувальні вправи

Вправа 56. Розв’язати при всіх а рівняння Розв’язанняПеренесемо всі доданки із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком а2 х2+ х−а−х2+ах−1=0 і знайдемо коефіцієнти при однакових степенях х:

40


(а2−1 ) х2+( а+1 ) х− (а+1 )=0. Застосуємо формулу перетворення різниці квадратів у добуток а2−1=(а−1 )(а+1) і винесемо спільний множник (а+1) за дужки (а+1 )((а−1 ) х2+х−1)=0.Якщо параметра=−1, то рівняння зводиться до тотожності 0=0. Отже, його розв’язками є всі дійсні числа.Нехай а≠−1, тоді а+1≠ 0.Поділивши обидві частини рівняння на (а+1), отримаємо (а−1 ) х2+х−1=0. В залежності від значень параметра а одержимо різного виду рівняння.Якщо а=1, то рівняння стає лінійним. Якщо а≠ 1 , то рівняння буде квадратним.Обчислимо дискримінант рівняння: D=1−4 (−1 ) ( а−1 )=4а−3. Дискримінант перетворюється в нуль при а=0,75. Відмітимо тепер на дійсній осі значення параметра а=−1, а=0,75, а=1 в порядку зростання. В залежності від значень параметра а можливі 7 випадків.

Розглянути всі випадки та записати відповідь.

Вправа 57. Розв’язати при всіх b рівняння b x2−1=b−x.Розв’язання.

Перенесемо всі доданки із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком b x2−1−b+x=0 і запишемо по степеням х: b x2+ х−(1+b )=0.Якщо b=0, то рівняння стає лінійним. Якщо b≠ 0, то рівняння буде квадратним. Знайдемо його дискримінант D=1+4b (1+b )=(2b+1)2. Дискримінант перетворюється в нуль, якщо b=−0.5 , а в решті випадків він додатній. В залежності від значення параметра b розглянемо три можливі випадки:

Випадок1. b=0Випадок2. b=−0.5Випадок3. b≠ 0 і b ≠−0,5Відповідь.

41


Вправа 58. Знайти всі р,при яких рівняння р2 х2−х+1=2 рх має рівно два різних корені.Розв’язанняВіднімаємо від обох частин рівняння 2рх, отримуємор2 х2−х+1−2 рх=0. Запишемо по степеням х:р2 х2−(1+2 р) х+1=0.Скластиподальший алгоритм розвязання , розглянути випадки :Випадок1. р=0Випадок2.р ≠ 0 Відповідь.

Вправа 59. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних корені і відстань між ними дорівнює 1.Розв’язання.Рівняння є квадратним при всіх значеннях параметра а. Знайдемо дискримінант Рівняння має рівно два різних значення, якщо дискримінант додатній, тобто

Запишемо розв’язки квадратного рівняння: і

Другий корінь більший першого, тому відстань між ними дорівнює:

, Отже, задача зводиться до розв’язку рівняння відносно невідомого а та при обмеженні Піднісши обидві частини

рівняння до квадрату, одержимо що забезпечує умову

Розв’яжемо одержане рівняння а2+4 а−5=0, звідкиа1=−5 та а2=1

Записати самостійно відповідь.

42


Вправа 60. Контрольні завдання з вибором правильної відповіді1) Знайти всі значення параметра b, за яких рівняння

має рівно один розв’язокВибрати відповідь.


Вправа 62. Розв’язати при всіх b рівняння Вибрати правильну відповідь:

43


Узагальнююче повторення

Вправа 63. Розв’язати відносно х рівняння

Розв’язанняПо змісту задачі тобто Помножимо обидві частини рівняння на отримаємо

Звідси Тепер необхідно перевірити, чи немає таких значень m, за яких знайдене значення х дорівнює -3.

, тобто при m=−4

.Таким чином, при рівняння має

єдиний корінь При m=2,25 і m=−0,4 рівняння розв’язків не матиме. При m=1 рівняння немає змісту.Якщо підставити в дане рівняння m=−0,4, отримаємо рівняння

44


Отже, якщо m=−0,4 то дане рівняння матиме зміст, але коренів це рівняння немає, оскільки корінь х=−3 сторонній корінь.

Кожна з нерівностей виду Ах>В, Ах<В, Ах ≤ В, або Ах ≥ В, де А і В – дійсні числа або функції від параметрів, а х – дійсна змінна величина, називається лінійною нерівністю з однією змінною (х).Наприклад, нерівність лінійна відносно х.

При m=1 х – будь-яке число, при m>1 x< 5 mm−1 , при m<1

x> 5 mm−1 .

Розв’яжемо нерівність З даної умови слідує, що m≠ 2, x≠−3.

Перетворимо дану нерівність до вигляду: ,

потім: яка рівносильна даній нерівності і зводиться до сукупності двох систем:

Для вибору розв’язку кожної з них порівняємо величини і -3. Для

цього розглянемо різницю

, якщо і , якщо

Отже, , якщо і , якщо

Звідси слідує розв’язок нерівності:

Якщо і 45


, якщо


Модуль в рівняннях з параметрами

Відпрацювання навичок розв’язування рівнянь з параметрами, що містять модуль алгебраїчним способом.

Вправа 64. Розв’язати рівняння залежно від параметра а:а) |3 х−4|=а+хб) 2 х−|х|+|х−1|=аРозв’язанняа) |3 х−4|=а+х, |3 х−4|−х=а.

3 х−4=0, х=43 .

Якщо х=43 , то а=−1 1

3 .

{ х< 43

,

−3 х+4−х=а або { х≥ 4

3,

3х−4−х=а

{ х< 43

,

−4 х=а−4 або { х ≥ 4

3,

2х=а+4

46


{ х< 43

,

х=−14

а+1або { х≥ 4

3,

х=12

а+2

Якщо а←1 13 , то рівняння немає коренів; якщо а=−1 1

3 , то рівняння

має один корінь х=43 ; якщо а>−1 1

3 , то рівняння має два корені

х=12

а+2 та х=−14

а+1.

Відповідь.

Якщо а←1 13 : немає коренів;

якщо а=−1 13 : х=

43 ;

якщо а>−1 13 : х=

12

а+2 , х=−14

а+1.

б) 2 х−|х|+|х−1|=аРозв’язанняЯкщо а=1, то рівняння має безліч коренів [ 0 ;1 ];якщо а≠ 1, то рівняння матиме один корінь, який знайдемо із систем

{2 х+1=а ,а<1 ;

або {2 х−1=а ,а>1.

Отже, х=а−1

2 при а<1, х=1+а

2 при а>1.

Відповідь. якщо а=1: х∈ [ 0 ;1 ] ;

якщо а<1 : х=а−1

2 ;

якщо а>1: х=1+а2 .

Завдання для самоперевірки

Вправа 65. Розв’язати при всіх а рівняння

47


Вибрати правильну відповідь:

Вправа 66. Розв’язати при всіх р рівняння:


Вправа 67. Розв’язати при всіх а рівняння:


48


Вправа 68. Знайти всі а , при яких рівняння має рівно один розв’язок.




Відповідь.

Вправа 70. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має рівно один розв’язок.

Відповідь.49


Розв’язати рівняння з перебором

Вправа 71. Розв’язати при всіх а рівняння:

Розв’язання:В залежності від знака виразу розглянемо два випадки:Випадок 1. Випадок2. Відповідь.

Вправа 72. Розв’язати при всіх b рівняння:

Розв’язання:Оскільки в правій частині параметра немає, то зручно розглянути два випадки в залежності від знаку правої частини

Випадок 1. Випадок 2. Відповідь.

Вправа 73. Розв’язати при всіх р рівняння:

Розв’язання:В залежності від знаку виразу розглянемо 2 випадки:Випадок 1. Випадок 2. Відповідь.

Вправа 74. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно один розв’язок.

Розв’язання:В залежності від знаку виразу розглянемо 2 випадки:В залежності від знаку правої частини рівняння 2х можливі два випадки:Випадок 1.

50


Випадок 2.

Відповідь.




Вправа 76. Розв’язати при всіх b рівняння



Тема: Раціональні рівняння з параметрами

51


Вправа 77. В залежності від значення параметра а визначити число коренів рівняння х4+(1−2а ) х2+а2−1=0.Розв’язанняДане рівняння є раціональним рівнянням четвертого степеня, отже, може мати не більше 4 коренів. Нехай y=x2, перепишемо рівняння у вигляді y2+(1−2a ) y+(a2−1 )=0.Вихідне рівняння має 4 корені, якщо останнє квадратне рівняння має 2 різні додатні корені. Достатні умови цього записані у вигляді системи (вітки параболи направлені в гору):

{ D=5−4 a>0 ,

yв=12(2a−1)>0 ,

f (0 )=a2−1>0.

звідки слідує: а∈(1 ; 54).

Якщо один із коренів y1=0 , а другий корінь y2>0, то вихідне рівняння буде мати 3 корені. Запишемо умови цього випадку:

{ D=5−4 a>0 ,

yв=12(2a−1)>0 ,

f (0 )=a2−1=0.

звідки слідує, щоа=1.

Вихідне рівняння по змінній х буде мати 2 корені х1,2=±√ y2 , якщо один із коренів y1<0 , а другий корінь y2>0. Умовою цього випадку буде нерівність f (0)<0, або а∈(−1 ;1).

Крім цього, якщо D=0(a=54 ) , то вихідне рівняння також має 2

корені х1,2=±√ 34=± √3

2.

Розглянемо тепер випадок, коли y1=0 , а другий корінь y2<0. Тоді вихідне рівняння по змінній х буде мати єдинний корінь х=0. Достатньою умовою цього є система:

{ f (0 )=a2−1=0 ,

yв=12

(2 а−1 )<0 ; а=−1.

52


І нарешті, вихідне рівняння не буде мати розв’язків в двох випадках: або коли обидва корені від’ємні y1<0 , і другий корінь y2<0; або коли коренів у квадратного рівняння взагалі немає, тобто D<0. Достатня умова відсутності коренів визначається сукупністю

Відповідь. Якщо 1<а< 54 : 4 корені;

якщо а=1 : 3 корені;

якщо −1<а<1, а=54 : 2 корені;

якщо а=−1 : 1 корінь;

якщо а←1 , а> 54 : коренів немає.

Вправа 78. При яких значеннях параметра а нерівність

х+7 а2−а−2х−а

←7 а немає розв’язків, більших 1?

Розв’язання

Приведемо нерівність до вигляду х2+6 ах−а−2х−а

<0. Оскільки

дискримінант чисельника D4

=9 a2+a+2>0 для будь-якого а, запишемо

рівносильну нерівність ( х−х1 )(х−х2)х−а

<0, де

х1=−3 а−√9 а2+а+2; х1=−3 а+√9 а2+а+2.Розв’язуючи останню нерівність методом інтервалів, приходимо до висновку, що умова задачі буде виконуватися тільки при такому

53


розміщенні точок х1 , х2, а на осі абсцис, при якому сумісна система нерівностей:

{х2 ≤1 ,а ≤ 1.

Розвязуючи цюсистему ,отримуємо відповідь :а∈[ 15

;1].


Тема: Раціональні рівняння з параметрами

Завдання для самоперевірки:

Вправа 79. Розв’язати рівняння при всіх а.Вибрати правильну відповідь:

54


Вправа 80. Розв’язати рівняння при всіх р.Вибрати правильну відповідь:


55




Вправа 83. Розв’язати рівняння при всіх а Відповідь.

Вправа 84. Розв’язати рівняння при всіх а Відповідь.

56



Вправа 85. Розв’язати рівняння при всіх а Розвязання

Оскільки знаменник дробу не може приймати нульових значень, то отримуємо обмеження х−1 ≠ 0, або х ≠ 1. Множимо обидві частини рівняння на х−1, знаходимо а+ (х−1 )=0. Віднімаємо від обох частин рівняння а−1, маємо х=а−1. Оскільки х ≠ 1 , то а−1≠ 1, отже, а≠ 2.

Відповідь.

Вправа 86. Розв’язати рівняння при всіх а. РозвязанняЗнаменники в дробах не можуть перетворюватися в нуль, тому запишемо обмеження х−b ≠ 0 і х+1≠ 0, або х ≠ b і х≠−1.Множимо обидві частини рівняння на спільний знаменник ( х−b )(x+1), отримаємо b (x+1)+(x−b)=0.Розкривши дужки і спростивши вираз отримуєм bx+x=0. Виносимо за дужки х: (b+1 ) x=0.В залежності від значення параметра b можливі два випадки:Випадок 1. b+1=0Випадок 2. b+1≠ 0Відповідь.

Відповідь.

Вправа 87. Розв’язати рівняння при всіх p. Розвязання

Оскільки знаменник дробу р

х−2 не може приймати нульових значень,

то отримали обмеження х−2 ≠ 0, х≠ 2. Множимо обидві частини

57


рівняння на х−2, маємо р+х (х−2 )=0. Розкриваючи дужки, запишемо квадратне рівняння х2−2 х+ р=0. Обчислимо одну четверту частину

дискримінанта 14

D=1−p/

В залежності від значення параметра р можливі три випадки:Випадок 1. р>1Випадок 2. р=1Випадок 2. р<1Відповідь.

Вправа 88. Розв’язати рівняння при всіх a. Розвязання

Знаменники в дробах не можуть перетворюватися в нуль,

тому маємо обмеження: 2 х+а≠ 0 і х+1≠ 0, або х≠−12

а і х≠−1.

Множимо обидві частини рівняння на спільний знаменник (2 х+а )(х+1), отримуємо ( х−1 ) ( х+1 )+ (2 х+а )=0. Застосуємо формулу для різниці квадратів і розкриємо дужки, отримали квадратне рівняння х2+2 х+а−1=0. Обчислюємо одну четверту частину

дискримінанта рівняння 14

D=1−(а−1 )=2−а.

В залежності від значення параметра а можливі три випадки:Випадок 1. а>2Випадок 2. а=2Випадок 2. а<2Відповідь.


58



Вправа 91. Розв’язати рівняння при всіх b.Вибрати правильну відповідь:


59


Тема: Графічні прийоми розв’язування задач з параметрами

Вправа 92. Знайти всі значення параметра а за яких графіки функцій

та мають одну спільну точку.Розв’язання.Побудуємо на одній координатній площині графіки даних функцій.

Графік складається із двох променів, паралельних осі ОХ і не існує при х дорівнює -2. Графік функції

отримаємо із графіка паралельним перенесенням вліво, якщо і вправо якщо

З малюнка слідує, що графіки мають одну спільну точку, якщо Якщо а= - 3, спільних точок немає, оскільки графік

проходить через виколоту точку .Відповідь.

1) При яких значеннях параметра а нерівність справедлива для всіх значень х?Розв’язання

Якщо , то дана нерівність рівносильна нерівності або

60


Остання квадратна нерівність буде справедлива для всіх х з проміжку якщо виконується умова тобто

Якщо , то по аналогії з попереднім випадком переходимо до нерівності яка справедлива для усіх х із розглядуваного проміжку за умови тобто Відповідь.

Вправа 93. В залежності від значення параметра а розв’язати

нерівність Розв’язання

Перепишемо дану нерівність у вигляді Розглянемо дві функції (графік – пряма, паралельна осі Ох) і

Другу функцію, розкриваючи модулі, можна записати так:

Графіком є ламана, зображена на малюнку. Розв’язком нерівності будуть ті значення х, за яких точки графіка будуть розміщені вище точок графіка . На основі малюнка одержуємо, що якщо таких точок немає, а якщо , то це

точки виду , тобто ; якщо а=1, то розв’язки

отримуємо із нерівності , звідки .

61


Відповідь.

Вправа 94. Вказати всі значення параметра а ≠ 0, при яких графіки функцій та мають тільки дві спільні точки.

Розв’язанняПерш за все відмітимо, що рівняння може мати розв’язки тільки при за умовою). Графік

отримаємо з параболи відображеннямвід’ємної частини симетрично осі Ох. Корені цієї параболи та

вершина знаходиться в точці і

Графіком є пряма, паралельна осі Ох.

З малюнка слідує, що графіки даних функцій мають дві спільні точки

при умові, що

Відповідь.

62


Вправа 95. В залежності від значення параметра а розвязати систему

Розв’язанняЗ геометричної точки зору кількість розвязків системи – це число точок перетину при кожному фіксованому значенні параметра а кривих, заданих рівняннями системи. Розглядуємо в першому рівнянні 4 випадки і розкриваючи модулі, отримаємо, що це рівняння задає квадрат (див. мал.). Друге рівняння – це сімейство кіл радіуса √а (а>0) з центром в початку координат. Якщо а=0, то коло вироджується в точку.

Із малюнка слідує, що коли коло дотикається квадрата всередині, тобто якщо √а=2√2 (а=8) і якщо √а=4 (а=16) (коло проходить через вершини квадрата) система має 4 розв’язки. Якщо 8<а<16 спільних точок у кола і квадрата 8. Якщо а<8 іа>16 розв’язків немає. Відповідь. Якщо а∈ (−∞; 8 )∪ ( 4 ;∞ ) :розв’язків немає;Якщо а=8 ; а=16: 4 розв’язки;Якщо а∈ (8 ;16 ) : 8 розв’язків.

63


Вправа 96. В залежності від значенняпараметра а знайти розв’язки

рівняння Розв‘язанняЗ геометричної точки зору розв’язки рівняння – точки перетину кривих, що задаються лівою і правою частиною рівняння.Розкриваючи модулі в лівій частині рівняння, отримаємо

- це ламана лінія (див.мал.) Права частина y2=ax+6 задає на площині сімейство прямих, що проходять через точку А(0;6) і які мають змінний кут нахилу до осі Ох tgα=a.З малюнка видно, що при а=0(α=00) ламана і пряма мають безліч

точок перетину х∈[−32

: 32 ].

Права частина ламаної має рівняння y1=4 x¿), тому при зміні параметра а∈(0 ; 4) ламана і прямі із сімейства мають дві точки перетину: одна з них х=0, а друга знаходитьсяз рівняння ах+6=4 х,

х= 64−а .

Якщо а=4 графіки y1=4 x i y2=ax+6 паралельні, точка перетину з ламаною тільки одна: х=0.В сімействі кривих збільшується кут нахилу до 900, тому точка перетину з ламаною тільки одна: х=0.

64


Міркуючи аналогічно, маємо, що якщо а∈(−4 ;0) буде два розв’язки:

х1=0 ; х2=6

а+4 , а якщо а∈¿ - один розв’язок х=0.

Відповідь. Якщо а∈ ¿ : х=0,

Якщо а∈(−4 ;0) : х1=0 ; х2=6

а+4 ,

якщо а=0: х∈[−32

: 32 ],

якщо а∈(0 ; 4) : х1=0 ; х2=6

а+4 ,

якщо а∈ (4 ;+∞ ) : х=0.

Вправа 97. Взалежності від значенняпараметра а розвязати нерівність а−х>|1−|х||.Розв’язанняПерепишемо дану нерівність у вигляді а> х+|1−|х||. Розглянемо дві функції y1=a (графік – пряма, паралельна осі Ох) і y2=х+|1−|х||. Другу функцію, розкриваючи модулі, можна записати так:

y2={ −1 , якщо х←1 ,2 х+1 , якщо−1≤ х<0 ,

1, якщо0≤ х<1,2 х−1 , якщо х≥ 1.

Графіком функції y2(x) є ламана, зображена намалюнку. Розв’язками нерівності будуть ті значення х, за яких точки графіка y1=a, що

65


лежать вище точок графіка y2(x). З малюнка отримуємо, що якщо а≤−1, таких точок немає, якщо а∈(−1 ;1) - це точка виду

а>2х+1, тобто х< а−12 ; якщо а=1, то розв’язком є проміжок х<0, а

якщо а>1 розв’язок отримуємо із нерівності а>2х−1, тобто х< а+12 .

Відповідь. Якщо а ≤−1: розв’язків немає;

якщо а∈¿ : х< а−12 ;

якщо а>1 : х< а+12 .


Тема: Графічні прийоми розв’язування задач з параметрами

Завдання для самостійної роботи учнів:

Вправа 98. Вкажіть всі значення параметра а≠ 0, за яких графіки функцій y=|x2−2 ax| і y=3 a мають тільки дві спільні точки.

Відповідь. а∈(0 ;3).

Вправа 99. Вкажіть всі значення параметра а≠ 0, за яких графіки

функцій y=|3 x2+ax| і y=−а6 мають тільки дві спільні точки.

Відповідь. а∈(−2 ;0).

Вправа 100. Вкажіть всі значення параметра а, за яких графіки функцій

y=|х+7|х+7

і y=(х+а)2 мають одну спільну точку.

Відповідь. а∈ ¿.

Вправа 101. Вкажіть всі значення параметра а, за яких графіки функцій

66


y=x−5

|x−5|і y=|x+a| мають одну спільну точку.

Відповідь. а∈ ¿.

Вправа 102. Знайдіть найбільшеціле значення параметра а, за якого

система нерівностей {|х+4|(х+2)≥ 0 ,√а−х>0.

немає розв’язків.

Відповідь. а=−4.

Вправа 103. В залежності від значення параметра а розвяжіть рівняння

|х−а|+|х−2 а|=3 а.Відповідь. Якщо а<0: розв’язків немає;якщо а=0 : х=0 ; якщо а>0 : х1=0 , х2=3 а .

Вправа 104. В залежності від значення параметра а розвяжіть рівняння

|х|+|х−2|+а=0.

Відповідь. Якщо а←2:х1,2=1± а2 ;

якщо а=−2 : х∈ [0 ;2 ] ; якщо а>−2: розв ’ язківнемає .

Вправа 105. В залежності від значення параметра а розвяжіть нерівність

|х−3 а|−|х+а|<2 а.Відповідь. Якщо а<0:х¿2а; якщо а=0 : розв ’ язків немає ; якщо а>0 : х>0 .

Для нотатків

67


__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

68

Documents

Задачі з параметрами - uCozsayt-portfolio.at.ua/parametru.docx · Web viewЗадачі з параметрами. Посібник для факультативного