В. С. Крамор

ЗАДАЧИС ПАРАМЕТРАМИИ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

М о с к в аОНИКС Мир и Образование

2007

Ш К О Л Ь Н Ы Й К У Р С М А Т Е М А Т И К И

УДК 512(075.3)ББК 22.14я72 К78

Крамор В. С.Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М.:

ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование»,2007. — 416 с.: ил. — (Школьный курс математики).

ISBN 978-5-488-01066-6 (ООО «Издательство Оникс»)ISBN 978-5-94666-362-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)Цель книги — научить школьников и абитуриентов вузов самостоя-

тельно решать задачи с параметрами и помочь прочно усвоить различ-ные методы их решения.

Пособие содержит около 350 типовых задач с методическими указа-ниями и 300 задач для самостоятельного решения и ответы к ним.

Книга может быть использована при подготовке к выпускным экза-менам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.

УДК 512(075.3)ББК 22.14я72

Учебное издание

ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

Крамор Виталий Семенович

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИи методы их решения

Редактор А. М. Суходский. Младший редактор Н. А. Карасева Техн. редактор Е. А. Вишнякова. Компьютерная верстка Е. Ю. Пучковой

Подписано в печать 26.02.2007. Формат 60х901/16

. Гарнитура «Школьная».Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,00. Тираж 5000 экз. Заказ № .

Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — учебная литература

ООО «Издательство Оникс».127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 38/25. Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26.

Отдел реализации: тел. (495) 119-02-20, 110-02-50. Internet: www.onyx.ru; e-mail: mail@onyx.ru

ООО «Издательство «Мир и Образование».Изд. лиц. ИД № 05088 от 18.06.2001. 109193, Москва, ул. 5-я Кожуховская, д. 13, стр. 1.

Тел./факс: (495) 120-51-47, 129-09-60, 742-43-54. E-mail: mir-obrazovanie@onyx.ru

ISBN 978-5-488-01066-6 (ООО «Издательство Оникс»)ISBN 978-5-94666-362-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

© Крамор В. С., 2007© Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2007

К78

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудныхзадач �урса элементарной математи�и. Их решение по существу пред-ставляет собой исследование фун�ций, входящих в условие зада-чи, и последующее решение уравнений или неравенств с числовыми�оэффициентами. При решении уравнений (неравенств) с парамет-рами необходимо выяснить, при �а�их значениях параметра задан-ное уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти реше-ния. В том случае, �о#да хотя бы одно из допустимых значений па-раметра не исследовано, задание не считается полностью решенным.

В течение мно#их лет задачи с параметрами в�лючаются в э�-заменационные билеты по математи�е для абитуриентов высшихучебных заведений, а в последние #оды та�ие задачи предла#аютсяи при сдаче ЕГЭ.

Ка� правило, немно#ие абитуриенты мо#ут решить подобныезадачи, что приводит � снижению оцен�и за письменную работу,и часто именно из-за это#о нехватает нужно#о �оличества балловпри зачислении в вуз.

Общеобразовательная ш�ола по мно#им причинам не можетнаучить своих учени�ов решать задачи с параметрами. Это оченьтрудный материал, требующий большо#о �оличества времени; �ро-ме то#о, прежде чем приступать � решению подобных задач уча-щийся должен в совершенстве овладеть общим �урсом математи�и.

Цель данной �ни#и состоит в том, чтобы попытаться научитьвыпус�ни�ов средней ш�олы и абитуриентов вузов самостоятель-но решать задачи с параметрами и прочно усвоить различные мето-ды, применяющиеся в процессе их решения.

Весь учебный материал разбит на 18 тем, имеющих одну и туже стру�туру. Каждая тема (за ис�лючением тем 10 и 11) содер-жит: справочный материал; задачи с решениями; задачи для са-мостоятельно#о решения и ответы � ним. Кроме то#о, имеются дваприложения: «Те�стовые задачи на составление уравнений и нера-венств» и «Разные задачи».

4

В общей сложности �ни#а содержит о�оло 350 задач с решения-ми и о�оло 300 задач для самостоятельно#о решения.

В разделе «Справочный материал» приводятся формулиров�иопределений, правил, теорем и т. д.

Теоретичес�ие сведения изложены �онспе�тивно в той же по-следовательности, что и при изучении их в ш�оле. У�азанный раз-дел является весьма важным, пос�оль�у в случае затруднений прианализе решений задач или при их самостоятельном решении уча-щийся может получить необходимые �онсультации, обращаясь� справочному материалу.

В разделе «Задачи с решениями» приводятся решения задачс параметрами, относящихся � заданной теме. Этот раздел содер-жит большое �оличество задач, решения �оторых основаны, с од-ной стороны, на общих теоретичес�их сведениях из ш�ольно#о�урса математи�и (определениях, правилах, теоремах, следствиях),а с дру#ой — на специфичес�их особенностях задач, содержащихпараметры (умении определенным образом �лассифицировать зна-чения параметра, переходе от исходной задачи � равносильной ей,использовании наиболее рационально#о метода решения, умениимыслить ло#ичес�и и т. д.). Каждая задача из это#о раздела реша-ется подробнейшим образом, �аждое действие в процессе решениянумеруется, пос�оль�у оно несет определенную смысловую на#руз-�у. В �ачестве за�лючительно#о действия любая задача сопровож-дается подробным ответом, в �отором для �аждо#о допустимо#означения параметра записывается соответствующее этому значе-нию решение задачи.

Раздел «Задачи для самостоятельно#о решения» предназначендля тех учащихся, �оторые уже усвоили предыдущий раздел и хо-тят за�репить свои знания и умения самостоятельно.

Кни#а завершается двумя приложениями. Приложение 1 со-держит те�стовые задачи на составление уравнений и неравенствс параметрами, а Приложение 2 — разные задачи, не толь�о анало-#ичные тем, что и в уже рассмотренных темах, но и та�ие, �оторыепо тем или иным причинам в эти темы не вошли.

В �онце �ни#и приводится обширный списо� литературы, �о-торой пользовался автор при под#отов�е настояще#о издания. Мно-#ие задачи, взятые из у�азанных пособий, входили в э�заменаци-онные билеты для поступающих в различные вузы страны.

В за�лючение нес�оль�о слов о том, �а� пользоваться этимпособием. По мнению автора, не следует начинать с анализа тех ре-шений, �оторые приведены в �ни#е. Прежде все#о нужно в совер-шенстве владеть методами решения примеров и задач, не содер-

5

жащих параметры. В частности, усвоению та�их методов можетспособствовать �ни#а: В. С. Крамор. Повторяем и систематизируемш�ольный �урс ал#ебры и начал анализа (М.: ОНИКС, Мир и Обра-зование, 2007). Из упомянутой �ни#и следует усвоить толь�о одинраздел: «Упражнения с решениями». Лишь после это#о можно пе-реходить � анализу решенных в настоящей �ни#е задач с парамет-рами. Сначала попробуйте самостоятельно решить �а�ую-либо за-дачу, а в случае затруднений обращайтесь � ее решению, приведен-ному в �ни#е. Усваивайте приемы, использованные при решенииэтой задачи, та� �а� в дальнейшем тот или иной прием может о�а-заться полезным.

Успехов вам, ш�ольни�и и абитуриенты!

Автор

4

В общей сложности �ни#а содержит о�оло 350 задач с решения-ми и о�оло 300 задач для самостоятельно#о решения.

В разделе «Справочный материал» приводятся формулиров�иопределений, правил, теорем и т. д.

Теоретичес�ие сведения изложены �онспе�тивно в той же по-следовательности, что и при изучении их в ш�оле. У�азанный раз-дел является весьма важным, пос�оль�у в случае затруднений прианализе решений задач или при их самостоятельном решении уча-щийся может получить необходимые �онсультации, обращаясь� справочному материалу.

В разделе «Задачи с решениями» приводятся решения задачс параметрами, относящихся � заданной теме. Этот раздел содер-жит большое �оличество задач, решения �оторых основаны, с од-ной стороны, на общих теоретичес�их сведениях из ш�ольно#о�урса математи�и (определениях, правилах, теоремах, следствиях),а с дру#ой — на специфичес�их особенностях задач, содержащихпараметры (умении определенным образом �лассифицировать зна-чения параметра, переходе от исходной задачи � равносильной ей,использовании наиболее рационально#о метода решения, умениимыслить ло#ичес�и и т. д.). Каждая задача из это#о раздела реша-ется подробнейшим образом, �аждое действие в процессе решениянумеруется, пос�оль�у оно несет определенную смысловую на#руз-�у. В �ачестве за�лючительно#о действия любая задача сопровож-дается подробным ответом, в �отором для �аждо#о допустимо#означения параметра записывается соответствующее этому значе-нию решение задачи.

Раздел «Задачи для самостоятельно#о решения» предназначендля тех учащихся, �оторые уже усвоили предыдущий раздел и хо-тят за�репить свои знания и умения самостоятельно.

Кни#а завершается двумя приложениями. Приложение 1 со-держит те�стовые задачи на составление уравнений и неравенствс параметрами, а Приложение 2 — разные задачи, не толь�о анало-#ичные тем, что и в уже рассмотренных темах, но и та�ие, �оторыепо тем или иным причинам в эти темы не вошли.

В �онце �ни#и приводится обширный списо� литературы, �о-торой пользовался автор при под#отов�е настояще#о издания. Мно-#ие задачи, взятые из у�азанных пособий, входили в э�заменаци-онные билеты для поступающих в различные вузы страны.

В за�лючение нес�оль�о слов о том, �а� пользоваться этимпособием. По мнению автора, не следует начинать с анализа тех ре-шений, �оторые приведены в �ни#е. Прежде все#о нужно в совер-шенстве владеть методами решения примеров и задач, не содер-

5

жащих параметры. В частности, усвоению та�их методов можетспособствовать �ни#а: В. С. Крамор. Повторяем и систематизируемш�ольный �урс ал#ебры и начал анализа (М.: ОНИКС, Мир и Обра-зование, 2007). Из упомянутой �ни#и следует усвоить толь�о одинраздел: «Упражнения с решениями». Лишь после это#о можно пе-реходить � анализу решенных в настоящей �ни#е задач с парамет-рами. Сначала попробуйте самостоятельно решить �а�ую-либо за-дачу, а в случае затруднений обращайтесь � ее решению, приведен-ному в �ни#е. Усваивайте приемы, использованные при решенииэтой задачи, та� �а� в дальнейшем тот или иной прием может о�а-заться полезным.

Успехов вам, ш�ольни�и и абитуриенты!

Автор

6

Тема 1

1. Натральные числа2. Простые и составные числа3. Обы�новенные дроби. Правильные и неправильные

дроби4. Множество целых чисел, множество

рациональных чисел5. Модль числа6. Возведение рациональных чисел в степень

с натральным по�азателем7. Свойства степени с натральным по�азателем8. Числовые выражения. Выражения с переменными.

Тождественно равные выражения9. Одночлены. Мно(очлены

10. Формлы со�ращенно(о множения

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Натральные числа

1°. Понятие нат�ральноо числа относится � простейшим,первоначальным понятиям математи�и и не определяется черездру#ие, более простые понятия.

2°. Натуральные числа возни�ли в результате счета предметов.В поряд�е возрастания их можно записать �а� ряд чисел 1, 2, 3,4, ... , т. е. это целые положительные числа.

3°. Множество натуральных чисел обозначают N.

2. Простые и составные числа

1°. Число a называют простым, если е#о делителями являют-ся толь�о единица и само число a.

7

2°. Число a, имеющее более двух натуральных делителем (�ро-ме 1 и a), называют составным.

3°. Заметим, что число 1 не относится ни � простым, ни � со-ставным числам.

3. Обы�новенные дроби. Правильные и неправильные дроби

1°. Одну или нес�оль�о равных частей единицы называютобы�новенной дробью.

2°. Обы�новенную дробь записывают с помощью черты и двухнатуральных чисел.

3°. Число, записанное под чертой и по�азывающее, на с�оль�оравных частей разделена единица, называют знаменателем дроби.

4°. Число, записанное под чертой и по�азывающее, с�оль�овзято та�их равных частей, называют числителем дроби.

5°. Дробь, в �оторой числитель меньше знаменателя, называютправильной.

6°. Дробь, в �оторой числитель равен знаменателю или большее#о, называют неправильной.

7°. Основное свойство дроби. При умножении числителя и зна-менателя дроби на одно и то же число, отличное от нуля, значениедроби не меняется.

4. Множество целых чисел, множество рациональных чисел

1°. Числа натуральные, им противоположные, а та�же числонуль составляют множество целых чисел. Е#о обозначают Z.

2°. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называ-ют множеством целых неотрицательных чисел и обозначают Z0.

3°. Объединение множеств целых и дробных чисел (положи-тельных и отрицательных) составляет множество рациональныхчисел. Е#о обозначают Q.

5. Модль числа

1°. Мод�лем (абсолютной величиной) действительно#о числаa называют:

а) само это число, если a l 0;б) противоположное число (–a), если a < 0.2°. Модуль числа a обозначают |a|.

6

Тема 1

1. Натральные числа2. Простые и составные числа3. Обы�новенные дроби. Правильные и неправильные

дроби4. Множество целых чисел, множество

рациональных чисел5. Модль числа6. Возведение рациональных чисел в степень

с натральным по�азателем7. Свойства степени с натральным по�азателем8. Числовые выражения. Выражения с переменными.

Тождественно равные выражения9. Одночлены. Мно(очлены

10. Формлы со�ращенно(о множения

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Натральные числа

1°. Понятие нат�ральноо числа относится � простейшим,первоначальным понятиям математи�и и не определяется черездру#ие, более простые понятия.

2°. Натуральные числа возни�ли в результате счета предметов.В поряд�е возрастания их можно записать �а� ряд чисел 1, 2, 3,4, ... , т. е. это целые положительные числа.

3°. Множество натуральных чисел обозначают N.

2. Простые и составные числа

1°. Число a называют простым, если е#о делителями являют-ся толь�о единица и само число a.

7

2°. Число a, имеющее более двух натуральных делителем (�ро-ме 1 и a), называют составным.

3°. Заметим, что число 1 не относится ни � простым, ни � со-ставным числам.

3. Обы�новенные дроби. Правильные и неправильные дроби

1°. Одну или нес�оль�о равных частей единицы называютобы�новенной дробью.

2°. Обы�новенную дробь записывают с помощью черты и двухнатуральных чисел.

3°. Число, записанное под чертой и по�азывающее, на с�оль�оравных частей разделена единица, называют знаменателем дроби.

4°. Число, записанное под чертой и по�азывающее, с�оль�овзято та�их равных частей, называют числителем дроби.

5°. Дробь, в �оторой числитель меньше знаменателя, называютправильной.

6°. Дробь, в �оторой числитель равен знаменателю или большее#о, называют неправильной.

7°. Основное свойство дроби. При умножении числителя и зна-менателя дроби на одно и то же число, отличное от нуля, значениедроби не меняется.

4. Множество целых чисел, множество рациональных чисел

1°. Числа натуральные, им противоположные, а та�же числонуль составляют множество целых чисел. Е#о обозначают Z.

2°. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называ-ют множеством целых неотрицательных чисел и обозначают Z0.

3°. Объединение множеств целых и дробных чисел (положи-тельных и отрицательных) составляет множество рациональныхчисел. Е#о обозначают Q.

5. Модль числа

1°. Мод�лем (абсолютной величиной) действительно#о числаa называют:

а) само это число, если a l 0;б) противоположное число (–a), если a < 0.2°. Модуль числа a обозначают |a|.

8

3°. Ита�,

|a| =

4°. Геометричес�и |a| означает расстояние на �оординатнойпрямой от точ�и, изображающей число a, до начала отсчета.

6. Возведение рациональных чисел в степеньс натральным по�азателем

1°. Степенью числа a с по�азателем k, #де k Ý N, a Ý Q, назы-вают произведение k множителей, �аждый из �оторых равен a:

ak = .

2°. Число a называют основанием степени, а число k — по�а-зателем степени.

7. Свойства степени с натральным по�азателем

1°. При умножении степеней с одина�овыми основаниями по-�азатели с�ладываются, а основание остается прежним:

ak · al = ak + l, #де k, l Ý N.

2°. При делении степеней с одина�овыми основаниями по�аза-тели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

ak : al = ak – l, #де k, l Ý N.

3°. При возведении степени в степень по�азатели степеней пе-ремножаются, а основание остается прежним:

(ak)l = akl, #де k, l Ý N.

4°. Степень произведения равна произведению степеней мно-жителей:

(abc)k = akbkck, #де k Ý N.

5°. Степень частно#о равна частному степеней делимо#о и дели-теля:

= , #де b − 0, k Ý N.

a, если a l 0;(–a), если a < 0.

a · a · a · ... · a

k раз

a

b--- k ak

bk------

9

8. Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения

1°. Из чисел, зна�ов действий и с�обо� можно составить раз-личные числовые выражения.

2°. Примерами выражений с переменными являются выраже-

ния , x2 + y – 2 и т. д.

3°. Значение выражения, содержаще#о переменную, зависитот значения переменной.

4°. Множество значений переменных, при �оторых выражениес переменными имеет смысл, называют областью определенияэто#о выражения.

5°. Выражение при x = 5 не имеет смысла, та� �а� при

x = 5 знаменатель дроби обращается в нуль.6°. Два выражения называют тождественно равными, если

при всех значениях входящих в них переменных, принадлежащихобщей области определения, соответственные значения этих выра-жений равны.

7°. Равенства, верные при всех допустимых значениях пере-менных, называют тождествами.

9. Одночлены. Мно(очлены

1°. Выражение, представляющее собой произведение чисел, пе-ременных и их степеней, называют одночленом.

2°. Одночлены, отличающиеся толь�о числовыми �оэффици-ентами или равные между собой, называют подобными.

3°. Ал#ебраичес�ую сумму одночленов называют мноочленом.4°. Преобразование мно#очлена в произведение двух или не-

с�оль�их мно#очленов (среди �оторых мо#ут быть и одночлены),называют разложением мноочлена на множители.

10. Формлы со�ращенно(о множения

1°. x2 – y2 = (x – y)(x + y) (разность �вадратов).2°. (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + y2 + 2xy (�вадрат с�ммы).3°. (x – y)2 = (x – y)(x – y) = x2 + y2 – 2xy (�вадрат разности).4°. x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) (с�мма ��бов).

a 3+5

-------------

3x 5–-------------

8

3°. Ита�,

|a| =

4°. Геометричес�и |a| означает расстояние на �оординатнойпрямой от точ�и, изображающей число a, до начала отсчета.

6. Возведение рациональных чисел в степеньс натральным по�азателем

1°. Степенью числа a с по�азателем k, #де k Ý N, a Ý Q, назы-вают произведение k множителей, �аждый из �оторых равен a:

ak = .

2°. Число a называют основанием степени, а число k — по�а-зателем степени.

7. Свойства степени с натральным по�азателем

1°. При умножении степеней с одина�овыми основаниями по-�азатели с�ладываются, а основание остается прежним:

ak · al = ak + l, #де k, l Ý N.

2°. При делении степеней с одина�овыми основаниями по�аза-тели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

ak : al = ak – l, #де k, l Ý N.

3°. При возведении степени в степень по�азатели степеней пе-ремножаются, а основание остается прежним:

(ak)l = akl, #де k, l Ý N.

4°. Степень произведения равна произведению степеней мно-жителей:

(abc)k = akbkck, #де k Ý N.

5°. Степень частно#о равна частному степеней делимо#о и дели-теля:

= , #де b − 0, k Ý N.

a, если a l 0;(–a), если a < 0.

a · a · a · ... · a

k раз

a

b--- k ak

bk------

9

8. Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения

1°. Из чисел, зна�ов действий и с�обо� можно составить раз-личные числовые выражения.

2°. Примерами выражений с переменными являются выраже-

ния , x2 + y – 2 и т. д.

3°. Значение выражения, содержаще#о переменную, зависитот значения переменной.

4°. Множество значений переменных, при �оторых выражениес переменными имеет смысл, называют областью определенияэто#о выражения.

5°. Выражение при x = 5 не имеет смысла, та� �а� при

x = 5 знаменатель дроби обращается в нуль.6°. Два выражения называют тождественно равными, если

при всех значениях входящих в них переменных, принадлежащихобщей области определения, соответственные значения этих выра-жений равны.

7°. Равенства, верные при всех допустимых значениях пере-менных, называют тождествами.

9. Одночлены. Мно(очлены

1°. Выражение, представляющее собой произведение чисел, пе-ременных и их степеней, называют одночленом.

2°. Одночлены, отличающиеся толь�о числовыми �оэффици-ентами или равные между собой, называют подобными.

3°. Ал#ебраичес�ую сумму одночленов называют мноочленом.4°. Преобразование мно#очлена в произведение двух или не-

с�оль�их мно#очленов (среди �оторых мо#ут быть и одночлены),называют разложением мноочлена на множители.

10. Формлы со�ращенно(о множения

1°. x2 – y2 = (x – y)(x + y) (разность �вадратов).2°. (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + y2 + 2xy (�вадрат с�ммы).3°. (x – y)2 = (x – y)(x – y) = x2 + y2 – 2xy (�вадрат разности).4°. x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) (с�мма ��бов).

a 3+5

-------------

3x 5–-------------

10

5°. x3 – y3 = (x – y)(x2 + y2 + xy) (разность ��бов).6°. (x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 (��б с�ммы).7°. (x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 (��б разности).8°. (a + x + y)2 = a2 + x2 + y2 + 2ax + 2ay + 2xy.9°. (a – x – y)2 = a2 + x2 + y2 – 2ax – 2ay + 2xy.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти все действительные решения уравнения

8a4(x4 + y4) – 4a2(x2 + y2) + 1 = 0. (1)

1. Данное уравнение содержит параметр a и две переменныеx и y.

2. Преобразуем уравнение (1) та�:а) разделив уравнение (1) на 2, рас�роем с�об�и и получим

4a4x4 + 4a4y4 – 2a2x2 – 2a2y2 + = 0; (2)

б) в уравнении (2) представим �а� + ;

в) с#руппируем члены 4a4x4 – 2a2x2 + и 4a4y4 – 2a2y2 + ;

то#да уравнение (2) примет вид

4 a2x2 – + 4 a2y2 – = 0; (3)

#) разделив уравнение (3) на 4, получим

a2x2 – + a2y2 – = 0. (4)

3. Левая часть уравнение (4) есть сумма двух неотрицательныхсла#аемых. Поэтому уравнение (4) может иметь место толь�о приусловиях

(5)

12---

12---

14---

14---

14---

14---

1

4--- 2

14--- 2

1

4--- 2

14--- 2

a2x2 – = 0,

a2y2 – = 0.

14---

14---

11

4. Решив систему (5), находим |ax| = |ay| = , от�уда |x| = |y| =

= (при условии, что a − 0).

5. Ответ: если a = 0, то решений нет;

если a − 0, то x1 = , y1 = ; x2 = – , y2 = – ;

x3 = , y3 = – ; x4 = – , y4 = .

2. Пусть m и n — натуральные числа, причем — правильная не-

со�ратимая дробь. На �а�ие натуральные числа можно со�ратить

дробь , если известно, что она со�ратима?

1. Та� �а� — правильная дробь, то m < n и потому (3n – m) —

натуральное число.2. Пусть p (p > 1) — натуральное число, на �оторое можно со-

�ратить дробь .

3. Это значит, что натуральные числа 3n – m и 5n + 2m делятсяна p, т. е. существуют натуральные числа N и M та�ие, что 3n – m == pN и 5n + 2m = pM.

4. Отсюда следует, что

11n = p(2N + M), 11m = p(3M – 5N),

т. е. числа 11n и 11m делятся на p.

5. Та� �а� дробь несо�ратима, т. е. числа n и m не имеют

общих делителей, то 11 делится на p.6. Пос�оль�у p > 1 и 11 — простое число, отсюда следует, что

p = 11.7. Ответ: 11.

3. Найти все значения параметра a, для �аждо#о из �оторых су-ществуют четыре натуральных числа x, y, u, v, удовлетворяющихравенствам

(x + y)(x + y + 20) = (140 – a)(a – 80), (1)

a(8u2 + 2v2 – a) = (4u2 – v2)2. (2)

12---

12 a----------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

m

n-----

3n m–5n 2m+-----------------------

m

n-----

3n m–5n 2m+-----------------------

m

n-----

10

5°. x3 – y3 = (x – y)(x2 + y2 + xy) (разность ��бов).6°. (x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 (��б с�ммы).7°. (x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 (��б разности).8°. (a + x + y)2 = a2 + x2 + y2 + 2ax + 2ay + 2xy.9°. (a – x – y)2 = a2 + x2 + y2 – 2ax – 2ay + 2xy.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти все действительные решения уравнения

8a4(x4 + y4) – 4a2(x2 + y2) + 1 = 0. (1)

1. Данное уравнение содержит параметр a и две переменныеx и y.

2. Преобразуем уравнение (1) та�:а) разделив уравнение (1) на 2, рас�роем с�об�и и получим

4a4x4 + 4a4y4 – 2a2x2 – 2a2y2 + = 0; (2)

б) в уравнении (2) представим �а� + ;

в) с#руппируем члены 4a4x4 – 2a2x2 + и 4a4y4 – 2a2y2 + ;

то#да уравнение (2) примет вид

4 a2x2 – + 4 a2y2 – = 0; (3)

#) разделив уравнение (3) на 4, получим

a2x2 – + a2y2 – = 0. (4)

3. Левая часть уравнение (4) есть сумма двух неотрицательныхсла#аемых. Поэтому уравнение (4) может иметь место толь�о приусловиях

(5)

12---

12---

14---

14---

14---

14---

1

4--- 2

14--- 2

1

4--- 2

14--- 2

a2x2 – = 0,

a2y2 – = 0.

14---

14---

11

4. Решив систему (5), находим |ax| = |ay| = , от�уда |x| = |y| =

= (при условии, что a − 0).

5. Ответ: если a = 0, то решений нет;

если a − 0, то x1 = , y1 = ; x2 = – , y2 = – ;

x3 = , y3 = – ; x4 = – , y4 = .

2. Пусть m и n — натуральные числа, причем — правильная не-

со�ратимая дробь. На �а�ие натуральные числа можно со�ратить

дробь , если известно, что она со�ратима?

1. Та� �а� — правильная дробь, то m < n и потому (3n – m) —

натуральное число.2. Пусть p (p > 1) — натуральное число, на �оторое можно со-

�ратить дробь .

3. Это значит, что натуральные числа 3n – m и 5n + 2m делятсяна p, т. е. существуют натуральные числа N и M та�ие, что 3n – m == pN и 5n + 2m = pM.

4. Отсюда следует, что

11n = p(2N + M), 11m = p(3M – 5N),

т. е. числа 11n и 11m делятся на p.

5. Та� �а� дробь несо�ратима, т. е. числа n и m не имеют

общих делителей, то 11 делится на p.6. Пос�оль�у p > 1 и 11 — простое число, отсюда следует, что

p = 11.7. Ответ: 11.

3. Найти все значения параметра a, для �аждо#о из �оторых су-ществуют четыре натуральных числа x, y, u, v, удовлетворяющихравенствам

(x + y)(x + y + 20) = (140 – a)(a – 80), (1)

a(8u2 + 2v2 – a) = (4u2 – v2)2. (2)

12---

12 a----------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

1

2a-------

m

n-----

3n m–5n 2m+-----------------------

m

n-----

3n m–5n 2m+-----------------------

m

n-----

12

1. Преобразуем равенство (2) следующим образом:

2a(4u2 + v2) – a2 = (4u2 – v2)2;

–a2 + 2a(4u2 + v2) – (4u2 + v2)2 = (4u2 – v2)2 – (4u2 + v2)2;

–[a – (4u2 + v2)]2 = (4u2 – v2 – 4u2 – v2)(4u2 – v2 + 4u2 + v2);

–(a – 4u2 – v2)2 = –2v2 · 8u2; |a – 4u2 – v2| = 4uv;a = (2u ä v)2. (3)

2. Та� �а� u и v — натуральные числа, то число a должно бытьточным �вадратом не�оторо#о натурально#о числа (или же нулем).

3. Левая часть равенства (1) положительна. Поэтому (140 – a) ×× (a – 80) > 0, т. е. a должно удовлетворять двойному неравенству80 < a < 140. В этом интервале существуют три числа, являющие-ся точными �вадратами целых чисел: 81, 100 и 121.

4. Из равенства (1) для суммы (x + y) получаем �вадратноеуравнение, �оторое, очевидно, должно иметь целые решения. Од-на�о толь�о при a = 100 это условие выполняется. Ита�, решениемзадачи служит число 100.

5. Ответ: a = 100.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти все действительные решения уравнения:

а) (x2 + 4y2) – (x – y) + 5 = 0;

б) x6 + a2y6 + 4a(x3 – y3) + 4(a2 + 1) = 0.2. Установить, при �а�их значениях параметра a существуют

четыре натуральных числа x, y, u, v, удовлетворяющих равенст-вам:

а) xy(40 + xy) = (150 – a)(a – 90),

a(8u2 + 18v2 – a) = (4u2 – 9v2)2;

б) x2 + y2 = (107 – a)(a – 91),

54(u2 + v2) = a(15u + 3v – a).

Ответы

1. а) Если a = 0, то решений нет (уравнение не имеет смысла); еслиa − 0, то x = 2a, y = –0,5a; б) если a = 0, то решений нет; если a − 0, то

x = – , y = . 2. а) a = 100; б) a = 99.

1

a2------

4a---

2a3 2a

---3

13

Тема 2

1. Дробь2. Целые и дробные выражения3. Понятие об иррациональном числе4. Числовые промежт�и5. Корень k-й степени из действительно(о числа6. Преобразования арифметичес�их �орней7. Степень с целым и дробным по�азателем

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Дробь

1°. Дробью называют выражение вида (b − 0), #де бу�вами

a и b обозначены числовые выражения или выражения с перемен-ными.

2°. Область определения дроби — это множество чисел, при

�оторых дробь имеет числовое значение. Следовательно, областью

определения дроби является множество пар чисел (a; b), #де

b Ý (–×; 0) Ÿ (0; +×).

3°. Дробь равна нулю то#да и толь�о то#да, �о#да a = 0 и b − 0.

2. Целые и дробные выражения

1°. Целыми выражениями называют:все числовые выражения;выражения с переменными, содержащие операции сложения,

вычитания, умножения и возведения переменных в натуральнуюстепень.

a

b---

a

b---

a

b---

a

b---

12

1. Преобразуем равенство (2) следующим образом:

2a(4u2 + v2) – a2 = (4u2 – v2)2;

–a2 + 2a(4u2 + v2) – (4u2 + v2)2 = (4u2 – v2)2 – (4u2 + v2)2;

–[a – (4u2 + v2)]2 = (4u2 – v2 – 4u2 – v2)(4u2 – v2 + 4u2 + v2);

–(a – 4u2 – v2)2 = –2v2 · 8u2; |a – 4u2 – v2| = 4uv;a = (2u ä v)2. (3)

2. Та� �а� u и v — натуральные числа, то число a должно бытьточным �вадратом не�оторо#о натурально#о числа (или же нулем).

3. Левая часть равенства (1) положительна. Поэтому (140 – a) ×× (a – 80) > 0, т. е. a должно удовлетворять двойному неравенству80 < a < 140. В этом интервале существуют три числа, являющие-ся точными �вадратами целых чисел: 81, 100 и 121.

4. Из равенства (1) для суммы (x + y) получаем �вадратноеуравнение, �оторое, очевидно, должно иметь целые решения. Од-на�о толь�о при a = 100 это условие выполняется. Ита�, решениемзадачи служит число 100.

5. Ответ: a = 100.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти все действительные решения уравнения:

а) (x2 + 4y2) – (x – y) + 5 = 0;

б) x6 + a2y6 + 4a(x3 – y3) + 4(a2 + 1) = 0.2. Установить, при �а�их значениях параметра a существуют

четыре натуральных числа x, y, u, v, удовлетворяющих равенст-вам:

а) xy(40 + xy) = (150 – a)(a – 90),

a(8u2 + 18v2 – a) = (4u2 – 9v2)2;

б) x2 + y2 = (107 – a)(a – 91),

54(u2 + v2) = a(15u + 3v – a).

Ответы

1. а) Если a = 0, то решений нет (уравнение не имеет смысла); еслиa − 0, то x = 2a, y = –0,5a; б) если a = 0, то решений нет; если a − 0, то

x = – , y = . 2. а) a = 100; б) a = 99.

1

a2------

4a---

2a3 2a

---3

13

Тема 2

1. Дробь2. Целые и дробные выражения3. Понятие об иррациональном числе4. Числовые промежт�и5. Корень k-й степени из действительно(о числа6. Преобразования арифметичес�их �орней7. Степень с целым и дробным по�азателем

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Дробь

1°. Дробью называют выражение вида (b − 0), #де бу�вами

a и b обозначены числовые выражения или выражения с перемен-ными.

2°. Область определения дроби — это множество чисел, при

�оторых дробь имеет числовое значение. Следовательно, областью

определения дроби является множество пар чисел (a; b), #де

b Ý (–×; 0) Ÿ (0; +×).

3°. Дробь равна нулю то#да и толь�о то#да, �о#да a = 0 и b − 0.

2. Целые и дробные выражения

1°. Целыми выражениями называют:все числовые выражения;выражения с переменными, содержащие операции сложения,

вычитания, умножения и возведения переменных в натуральнуюстепень.

a

b---

a

b---

a

b---

a

b---

14

2°. Выражения 4ab–3; не являются целыми, та� �а� они со-

держат операции возведения в целую отрицательную степень и де-ления на переменную.

3°. Одночлены и мно#очлены являются целыми выраже-ниями.

4°. Если в выражении с переменными, �роме операций сложе-ния, умножения, вычитания и возведения в натуральную степень,производится и операция деления на переменную, то та�ие выра-жения называют дробными выражениями.

3. Понятие об иррациональном числе

1°. Любое рациональное число вида , #де n − 0, можно пред-

ставить в виде �онечной или бес�онечной периодичес�ой дроби.2°. Иррациональным числом называют бес�онечную десятич-

ную непериодичес�ую дробь, например, 0,31133417... .3°. Объединение множества рациональных чисел и множества

иррациональных чисел (бес�онечных десятичных непериодиче-с�их дробей) дает множество R действительных чисел.

4. Числовые промежт�и

Для числовых промеж�т�ов вводятся следующие обозначе-ния:

1°. [a; b] или a m x m b — зам�н�тый промеж�то� (или отре-зо�) с началом a и �онцом b.

2°. (a; b) или a < x < b от�рытый промеж�то� (или ин-тервал).

3°. (a; b]; [a; b) или a < x m b; a m x < b — пол�от�рытые про-меж�т�и (пол�интервалы).

4°. [a; +×) или x l a, (–×; b] или x m b — л�чи.5°. (a; +×) или x > a, (–×; b) или x < b — от�рытые л�чи.6°. (–×; +×) = R — числовая (�оординатная) прямая.

5. Корень k-й степени из действительно(о числа

1°. Корнем k-й степени, #де k Ý N и k − 1, из действительно#очисла a называют действительное число b, k-я степень �оторо#оравна a.

x

y---

m

n-----

15

2°. Корень k-й степени из числа a обозначают символом .

Со#ласно определению, = a.

3°. Число k называют по�азателем �орня, число a — под-�оренным выражением.

4°. Заметим, что , #де n Ý N и a < 0, не существует.5°. Корень нечетной степени извле�ается и из отрицательно#о

числа.6°. Определение арифметичес�о#о �орня: арифметичес�им �ор-

нем k-й степени из неотрицательно#о числа a (a l 0) называют не-отрицательное число b, k-я степень �оторо#о равна a, #де k > 1 —натуральное число.

З а м е ч а н и е. В ш�ольном �урсе (и в этой �ни#е) рассматри-

вается толь�о арифметичес�ое значение �орня, т. е. имеет

смысл лишь при a l 0 и принимает толь�о неотрицательное зна-чение.

6. Преобразования арифметичес�их �орней

1°. = · , #де a l 0, b l 0 (правило извлечения �орняиз произведения).

2°. = , #де a l 0, b > 0 (правило извлечения �орня из

дроби).

3°. = , #де a l 0, k Ý N, k > 1, c > 1 (правило извлече-ния �орня из �орня).

4°. = , #де a l 0 (правило возведения �орня в сте-пень).

5°. = , #де a l 0, m Ý N, n Ý N, т. е. по�азатель�орня и по�азатель под�оренно#о выражения можно умножить наодно и то же число.

6°. Если a1 > a2 > 0, то > > 0, т. е. большему положи-

тельному под�оренному выражению соответствует и большее зна-чение �орня.

З а м е ч а н и е. Все у�азанные выше формулы часто применя-ют в обратном поряд�е (т. е. справа налево).

ak

ak( )k

a2n

ak

abk ak bk

a

b---k

ak

bk--------

ack akc

ak( )m

amk

amk am · nkn

a1k a2

k

14

2°. Выражения 4ab–3; не являются целыми, та� �а� они со-

держат операции возведения в целую отрицательную степень и де-ления на переменную.

3°. Одночлены и мно#очлены являются целыми выраже-ниями.

4°. Если в выражении с переменными, �роме операций сложе-ния, умножения, вычитания и возведения в натуральную степень,производится и операция деления на переменную, то та�ие выра-жения называют дробными выражениями.

3. Понятие об иррациональном числе

1°. Любое рациональное число вида , #де n − 0, можно пред-

ставить в виде �онечной или бес�онечной периодичес�ой дроби.2°. Иррациональным числом называют бес�онечную десятич-

ную непериодичес�ую дробь, например, 0,31133417... .3°. Объединение множества рациональных чисел и множества

иррациональных чисел (бес�онечных десятичных непериодиче-с�их дробей) дает множество R действительных чисел.

4. Числовые промежт�и

Для числовых промеж�т�ов вводятся следующие обозначе-ния:

1°. [a; b] или a m x m b — зам�н�тый промеж�то� (или отре-зо�) с началом a и �онцом b.

2°. (a; b) или a < x < b от�рытый промеж�то� (или ин-тервал).

3°. (a; b]; [a; b) или a < x m b; a m x < b — пол�от�рытые про-меж�т�и (пол�интервалы).

4°. [a; +×) или x l a, (–×; b] или x m b — л�чи.5°. (a; +×) или x > a, (–×; b) или x < b — от�рытые л�чи.6°. (–×; +×) = R — числовая (�оординатная) прямая.

5. Корень k-й степени из действительно(о числа

1°. Корнем k-й степени, #де k Ý N и k − 1, из действительно#очисла a называют действительное число b, k-я степень �оторо#оравна a.

x

y---

m

n-----

15

2°. Корень k-й степени из числа a обозначают символом .

Со#ласно определению, = a.

3°. Число k называют по�азателем �орня, число a — под-�оренным выражением.

4°. Заметим, что , #де n Ý N и a < 0, не существует.5°. Корень нечетной степени извле�ается и из отрицательно#о

числа.6°. Определение арифметичес�о#о �орня: арифметичес�им �ор-

нем k-й степени из неотрицательно#о числа a (a l 0) называют не-отрицательное число b, k-я степень �оторо#о равна a, #де k > 1 —натуральное число.

З а м е ч а н и е. В ш�ольном �урсе (и в этой �ни#е) рассматри-

вается толь�о арифметичес�ое значение �орня, т. е. имеет

смысл лишь при a l 0 и принимает толь�о неотрицательное зна-чение.

6. Преобразования арифметичес�их �орней

1°. = · , #де a l 0, b l 0 (правило извлечения �орняиз произведения).

2°. = , #де a l 0, b > 0 (правило извлечения �орня из

дроби).

3°. = , #де a l 0, k Ý N, k > 1, c > 1 (правило извлече-ния �орня из �орня).

4°. = , #де a l 0 (правило возведения �орня в сте-пень).

5°. = , #де a l 0, m Ý N, n Ý N, т. е. по�азатель�орня и по�азатель под�оренно#о выражения можно умножить наодно и то же число.

6°. Если a1 > a2 > 0, то > > 0, т. е. большему положи-

тельному под�оренному выражению соответствует и большее зна-чение �орня.

З а м е ч а н и е. Все у�азанные выше формулы часто применя-ют в обратном поряд�е (т. е. справа налево).

ak

ak( )k

a2n

ak

abk ak bk

a

b---k

ak

bk--------

ack akc

ak( )m

amk

amk am · nkn

a1k a2

k

16

7. Степень с целым и дробным по�азателем

1°. Если p = 0, то a0 = 1 (при a − 0).

2°. Если p < 0, то ap = (при a − 0).

3°. Выражение в общем виде имеет смысл толь�о при a > 0.

Если a > 0, p Ý Z, q Ý N, то по определению = .

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Известно, что

· = 7.

Во с�оль�о раз значение параметра a больше значения пара-метра b, если оба эти числа положительны?

1. Имеем ( + )( – ) = a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

2. Выполнив дальнейшие тождественные преобразования ле-вой части исходно#о выражения, получим

= = + + 1 = 7.

3. Пусть x = . Решив �вадратное уравнение x2 + x + 1 = 7,

находим x1 = –3; x2 = 2.

4. Та� �а� по условию a > 0 и b > 0, то x = > 0. Значит, x1 =

= –3 является посторонним �орнем. Ита�, a = 2b.

5. Ответ: в 2 раза.

2. В зависимости от параметров m и n найти значение выражения

A = , #де x = + .

1

a p–--------

a

p

q---

a

p

q---

apq

a3 b3+

a2 a b–( )23--------------------------------

a

2

3---

a3 b3–( )

b2 a b–3--------------------------------------

a3 b3 a3 b3

a b–( ) a2 ab b2+ +( )a2

3---

a2 a b–( )23 b2 a b–3-------------------------------------------------------------

a2 ab b2+ +

b2--------------------------------

ab---

2 ab---

a

b---

a

b---

2n x2 4–

x x2 4––-----------------------------

m

n-----

n

m-----

17

1. Та� �а� и имеют арифметичес�ие значения, то > 0,

> 0, т. е. mn > 0.

2. Возведем выражение x = + в �вадрат: x2 = + + 2.

То#да получим

= = .

3. Пусть m > 0, n > 0. Упростим выражение A:

A = = = .

Учитывая, что

|m – n| = m – n при m > n, |m – n| = –(m – n) при m < n,

находим:

а) если m > n, то A = = m – n;

б) если m < n, то A = = .

4. Пусть m < 0, n < 0. В этом случае, преобразуя выражение A,надо учесть, что

+ = + = |m| + |n| = –m – n.

Поэтому

A = ,

от�уда находим:

а) если m > n, то A = = ;

б) если m < n, то A = = m – n.

m

n-----

n

m-----

m

n-----

n

m-----

m

n-----

n

m-----

m

n-----

n

m-----

x2 4– m n–( )2

mn----------------------

m n–

mn-----------------

2nm n–

mn-----------------

m

n-----

n

m-----+

m n–

mn-----------------–

--------------------------------------------------------2n m n–

mnm

n-----

n

m-----+

m n––

-----------------------------------------------------------------------2n m n–

m n m n––+---------------------------------------

2n m n–( )m n m– n+ +------------------------------------

2n n m–( )m n n– m+ +------------------------------------

n n m–( )m

------------------------

mn m

n-----

n

m-----

m2 n2

2n m n–m– n–( ) m n––

------------------------------------------------

2n m n–( )m– n– m– n+

----------------------------------------n n m–( )

m------------------------

2n n m–( )m– n– n– m+

----------------------------------------

16

7. Степень с целым и дробным по�азателем

1°. Если p = 0, то a0 = 1 (при a − 0).

2°. Если p < 0, то ap = (при a − 0).

3°. Выражение в общем виде имеет смысл толь�о при a > 0.

Если a > 0, p Ý Z, q Ý N, то по определению = .

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Известно, что

· = 7.

Во с�оль�о раз значение параметра a больше значения пара-метра b, если оба эти числа положительны?

1. Имеем ( + )( – ) = a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

2. Выполнив дальнейшие тождественные преобразования ле-вой части исходно#о выражения, получим

= = + + 1 = 7.

3. Пусть x = . Решив �вадратное уравнение x2 + x + 1 = 7,

находим x1 = –3; x2 = 2.

4. Та� �а� по условию a > 0 и b > 0, то x = > 0. Значит, x1 =

= –3 является посторонним �орнем. Ита�, a = 2b.

5. Ответ: в 2 раза.

2. В зависимости от параметров m и n найти значение выражения

A = , #де x = + .

1

a p–--------

a

p

q---

a

p

q---

apq

a3 b3+

a2 a b–( )23--------------------------------

a

2

3---

a3 b3–( )

b2 a b–3--------------------------------------

a3 b3 a3 b3

a b–( ) a2 ab b2+ +( )a2

3---

a2 a b–( )23 b2 a b–3-------------------------------------------------------------

a2 ab b2+ +

b2--------------------------------

ab---

2 ab---

a

b---

a

b---

2n x2 4–

x x2 4––-----------------------------

m

n-----

n

m-----

17

1. Та� �а� и имеют арифметичес�ие значения, то > 0,

> 0, т. е. mn > 0.

2. Возведем выражение x = + в �вадрат: x2 = + + 2.

То#да получим

= = .

3. Пусть m > 0, n > 0. Упростим выражение A:

A = = = .

Учитывая, что

|m – n| = m – n при m > n, |m – n| = –(m – n) при m < n,

находим:

а) если m > n, то A = = m – n;

б) если m < n, то A = = .

4. Пусть m < 0, n < 0. В этом случае, преобразуя выражение A,надо учесть, что

+ = + = |m| + |n| = –m – n.

Поэтому

A = ,

от�уда находим:

а) если m > n, то A = = ;

б) если m < n, то A = = m – n.

m

n-----

n

m-----

m

n-----

n

m-----

m

n-----

n

m-----

m

n-----

n

m-----

x2 4– m n–( )2

mn----------------------

m n–

mn-----------------

2nm n–

mn-----------------

m

n-----

n

m-----+

m n–

mn-----------------–

--------------------------------------------------------2n m n–

mnm

n-----

n

m-----+

m n––

-----------------------------------------------------------------------2n m n–

m n m n––+---------------------------------------

2n m n–( )m n m– n+ +------------------------------------

2n n m–( )m n n– m+ +------------------------------------

n n m–( )m

------------------------

mn m

n-----

n

m-----

m2 n2

2n m n–m– n–( ) m n––

------------------------------------------------

2n m n–( )m– n– m– n+

----------------------------------------n n m–( )

m------------------------

2n n m–( )m– n– n– m+

----------------------------------------

18

5. Ответ: если 0 < n < m, то A = m – n;

если 0 < m < n, то A = ;

если n < m < 0, то A = ;

если m < n < 0, то A = m – n.

3. Определить все та�ие целые числа a и b, для �оторых один из�орней уравнения

3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 (1)

равен + 1.

1. Для то#о чтобы мно#очлен P3(x) = 3x3 + ax2 + bx + 12 в левой

части уравнения (1) имел своим �орнем число + 1, необходимо,

чтобы выполнялось равенство P3( + 1) = 0, т. е.

3( + 1)3 + a( + 1)2 + b( + 1) + 12 = 0. (2)

2. После упрощения равенство (2) примет вид

(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = 0. (3)

3. Та� �а� a и b — целые числа, то целыми числами будут та�-же выражения, записанные в �ру#лых с�об�ах в равенстве (3).

4. Эти выражения должны быть равны нулю, иначе придем� противоречию: целое число равно иррациональному числу.

5. Ита�, необходимо, чтобы

от�уда находим a = –12, b = 6.6. Ответ: a = –12, b = 6.

4. Число a подобрано та�, что уравнение

+ a2x2 + 2ax( – ) = 6 – 9 (1)

имеет решение. Найти это решение.

1. Пусть x0 — действительное число, являющееся решением

уравнения (1).

n n m–( )m

------------------------

n n m–( )m

------------------------

3

3

3

3 3 3

3

4a + b + 42 = 0,2a + b + 18 = 0,

x 3– 6 3 2

19

2. То#да справедливо равенство

+ a2 + 2ax0( – ) – 6 + 9 = 0. (2)

3. Равенство (2) можно переписать в виде

a2 + 2a + = 0,

или, выделив полный �вадрат относительно a, в виде

a + + = 0.

4. Отсюда ясно, что одновременно справедливы два равенства:

a = – и = 0.

5. Из второ#о равенства получаем x0 = ; то#да из перво#о ра-

венства следует, что a = 1 – .

6. Ле#�о установить, что при найденном значении a = 1 –

число x0 = действительно есть �орень исходно#о уравнения.

7. Ответ: .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти зависимость между значениями параметров a и b,если известно значение заданно#о выражения:

а) 1 + (a + b + 2)–2 = , a − 0, b − 0, a − –b;

б) + b = 8, a > 0, b > 0;

x0 3– x02

6 3 2

6 3–

x0---------------------

x0 3– 9 6 2–+

x02

---------------------------------------------------

6 3–

x0---------------------

2 x0 3–

x02

------------------------

6 3–x0

--------------------- x0 3–

3

2

2

3

3

12---

1a b+------------+

12---

1a b+------------–

----------------------- a2 b2 4–+

2ab----------------------------

16---

a

1

2---

b

1

2---

+

2ba1

2---

-------------------

1–

a

1

2---

b

1

2---

+

2ab1

2---

-------------------

1–

18

5. Ответ: если 0 < n < m, то A = m – n;

если 0 < m < n, то A = ;

если n < m < 0, то A = ;

если m < n < 0, то A = m – n.

3. Определить все та�ие целые числа a и b, для �оторых один из�орней уравнения

3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 (1)

равен + 1.

1. Для то#о чтобы мно#очлен P3(x) = 3x3 + ax2 + bx + 12 в левой

части уравнения (1) имел своим �орнем число + 1, необходимо,

чтобы выполнялось равенство P3( + 1) = 0, т. е.

3( + 1)3 + a( + 1)2 + b( + 1) + 12 = 0. (2)

2. После упрощения равенство (2) примет вид

(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = 0. (3)

3. Та� �а� a и b — целые числа, то целыми числами будут та�-же выражения, записанные в �ру#лых с�об�ах в равенстве (3).

4. Эти выражения должны быть равны нулю, иначе придем� противоречию: целое число равно иррациональному числу.

5. Ита�, необходимо, чтобы

от�уда находим a = –12, b = 6.6. Ответ: a = –12, b = 6.

4. Число a подобрано та�, что уравнение

+ a2x2 + 2ax( – ) = 6 – 9 (1)

имеет решение. Найти это решение.

1. Пусть x0 — действительное число, являющееся решением

уравнения (1).

n n m–( )m

------------------------

n n m–( )m

------------------------

3

3

3

3 3 3

3

4a + b + 42 = 0,2a + b + 18 = 0,

x 3– 6 3 2

19

2. То#да справедливо равенство

+ a2 + 2ax0( – ) – 6 + 9 = 0. (2)

3. Равенство (2) можно переписать в виде

a2 + 2a + = 0,

или, выделив полный �вадрат относительно a, в виде

a + + = 0.

4. Отсюда ясно, что одновременно справедливы два равенства:

a = – и = 0.

5. Из второ#о равенства получаем x0 = ; то#да из перво#о ра-

венства следует, что a = 1 – .

6. Ле#�о установить, что при найденном значении a = 1 –

число x0 = действительно есть �орень исходно#о уравнения.

7. Ответ: .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти зависимость между значениями параметров a и b,если известно значение заданно#о выражения:

а) 1 + (a + b + 2)–2 = , a − 0, b − 0, a − –b;

б) + b = 8, a > 0, b > 0;

x0 3– x02

6 3 2

6 3–

x0---------------------

x0 3– 9 6 2–+

x02

---------------------------------------------------

6 3–

x0---------------------

2 x0 3–

x02

------------------------

6 3–x0

--------------------- x0 3–

3

2

2

3

3

12---

1a b+------------+

12---

1a b+------------–

----------------------- a2 b2 4–+

2ab----------------------------

16---

a

1

2---

b

1

2---

+

2ba1

2---

-------------------

1–

a

1

2---

b

1

2---

+

2ab1

2---

-------------------

1–

20

в) : (a – b) + = 5, a > 0, b > 0, a − b.

2. Найти все целые числа a и b, для �оторых один из �орнейуравнения:

а) x3 + ax2 + bx – 8 = 0 равен 1 – ;

б) ax3 + bx2 – 12x + 5 = 0 равен – 1.

Ответы

1. а) b = ; б) b = ; в) b = 0,8a. 2. а) a = 2, b = –10; б) a = 2, b = 3.

a

3

2---

b

3

2---

+

a

1

2---

b

1

2---

+

-------------------b

1

2---

a

1

2---

b

1

2---

+

-------------------

3

6

3a---

4a---

21

Тема 3

1. Уравнения с одной переменной2. Понятие о равносильности равнений3. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности

равнений4. Линейное равнение с одной переменной, содержащее

параметр

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Уравнения с одной переменной

1°. Пусть заданы фун�ции f(x) и ϕ(x). Если относительно равен-ства f(x) = ϕ(x) поставлена задача найти все значения переменной,при �оторых получается верное числовое равенство, то #оворят,что задано �равнение с одной переменной.

2°. Значение переменной, обращающее уравнение в истинноеравенство, называют �орнем �равнения.

3°. Решить уравнение — значит найти множество е#о �орнейили до�азать, что их нет. Это множество называют та�же решени-ем �равнения.

4°. Множество всех x, при �оторых одновременно имеют смыслвыражения f(x) и ϕ(x), называют областью определения �равнения.

5°. Для то#о чтобы установить область определения уравнения,необходимо найти пересечение множеств, на �оторых определеныданные фун�ции f(x) и ϕ(x).

2. Понятие о равносильности равнений

1°. Два уравнения называют равносильными (или э�вивалент-ными) на данном числовом множестве, если �аждое решение (�о-рень) одно#о уравнения является решением (�орнем) дру#о#о, инаоборот.

2°. Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на дан-ном числовом множестве, то их та�же считают равносильными наэтом множестве.

20

в) : (a – b) + = 5, a > 0, b > 0, a − b.

2. Найти все целые числа a и b, для �оторых один из �орнейуравнения:

а) x3 + ax2 + bx – 8 = 0 равен 1 – ;

б) ax3 + bx2 – 12x + 5 = 0 равен – 1.

Ответы

1. а) b = ; б) b = ; в) b = 0,8a. 2. а) a = 2, b = –10; б) a = 2, b = 3.

a

3

2---

b

3

2---

+

a

1

2---

b

1

2---

+

-------------------b

1

2---

a

1

2---

b

1

2---

+

-------------------

3

6

3a---

4a---

21

Тема 3

1. Уравнения с одной переменной2. Понятие о равносильности равнений3. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности

равнений4. Линейное равнение с одной переменной, содержащее

параметр

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Уравнения с одной переменной

1°. Пусть заданы фун�ции f(x) и ϕ(x). Если относительно равен-ства f(x) = ϕ(x) поставлена задача найти все значения переменной,при �оторых получается верное числовое равенство, то #оворят,что задано �равнение с одной переменной.

2°. Значение переменной, обращающее уравнение в истинноеравенство, называют �орнем �равнения.

3°. Решить уравнение — значит найти множество е#о �орнейили до�азать, что их нет. Это множество называют та�же решени-ем �равнения.

4°. Множество всех x, при �оторых одновременно имеют смыслвыражения f(x) и ϕ(x), называют областью определения �равнения.

5°. Для то#о чтобы установить область определения уравнения,необходимо найти пересечение множеств, на �оторых определеныданные фун�ции f(x) и ϕ(x).

2. Понятие о равносильности равнений

1°. Два уравнения называют равносильными (или э�вивалент-ными) на данном числовом множестве, если �аждое решение (�о-рень) одно#о уравнения является решением (�орнем) дру#о#о, инаоборот.

2°. Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на дан-ном числовом множестве, то их та�же считают равносильными наэтом множестве.

22

3°. Например, уравнения x2 + 3 = 0 и x4 + 2 = 0 равносильны намножестве действительных чисел, та� �а� множество решений�аждо#о из них пустое.

3. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности

равнений

1°. Числовое равенство не нарушится, если � обеим е#о частямприбавить или отнять одно и то же число.

2°. Если � обеим частям уравнения f(x) = ϕ(x) прибавить однуи ту же фун�цию A(x), имеющую смысл при всех допустимых зна-чениях переменной, то получится новое уравнение f(x) + A(x) == ϕ(x) + A(x), равносильное данному.

3°. Любое сла#аемое можно перенести из одной части уравне-ния в дру#ую, изменив зна� это#о сла#аемо#о на противоположный.

4°. Числовое равенство не нарушится, если обе е#о части умно-жить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

5°. Если обе части уравнения f(x) = ϕ(x) умножить (или раз-делить) на одну и ту же фун�цию A(x) − 0, имеющую смысл длялюбо#о x из области определения, то получится новое уравнение

A(x) · f(x) = A(x) · ϕ(x) или = , равносильное данному.

4. Линейное равнение с одной переменной,содержащее параметр

1°. Пусть дано уравнение вида

f(a, b, c, ... , k, x) = ϕ(a, b, c, ... , k, x), (1)

#де a, b, c, ... , k, x — переменные величины.2°. Переменные a, b, c, ... , k, �оторые при решении уравнения

(1) считаются постоянными, называют параметрами, а само урав-нение называют �равне