Механика - venec.ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Yuganov_1.pdf · ББК В2 я7. М55 Механика: учебно-метод. пособие по выполнению

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра конструкции и эксплуатации воздушных судов

и общепрофессиональных дисциплин

В. С. Юганов

М ЕХАН И КА

Учебно-методическое пособие

по выполнению расчетно-графических заданий

Ульяновск 2008

ББК В2 я7

М55

Механика: учебно-метод. пособие по выполнению расчетно-графических

заданий / Сост. В.С. Юганов. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2008. – 150 с.

Содержит расчетно-графические задания и методические указания по их

выполнению. Показывается последовательность инженерных расчетов, уста-

навливается связь между основными понятиями механики и конкретными ин-

женерными решениями.

Предназначено для курсантов УВАУ ГА всех специальностей.

Печатается по решению Редсовета училища.

© Ульяновск, УВАУ ГА, 2008.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ................................................................................................................ 4 Указания по оформлению расчетно-графических заданий .................................... 6 Список условных обозначений .................................................................................. 8 1. Теоретическая механика. Статика ......................................................................... 9

Методические указания к решению задач ........................................................... 9 Плоская система сходящихся сил ....................................................................... 11 Плоская система произвольно расположенных сил .......................................... 17 Пространственная система произвольно расположенных сил ........................ 26 Балочные системы. Определение реакций опор ................................................ 32 Центр тяжести ....................................................................................................... 34

2. Теоретическая механика. Кинематика ................................................................ 37 Кинематика точки ................................................................................................. 37 Определение скорости и ускорений точек механизма при плоскопараллельном движении ................................................................... 41 Сложное движение точки..................................................................................... 47

3. Теоретическая механика. Динамика ................................................................... 49 Методические указания к решению задач ......................................................... 49 Задачи динамики: прямая и обратная ................................................................. 52 Теорема об изменении кинетического момента ................................................ 54 Теорема об изменении кинетической энергии .................................................. 55 Принцип Даламбера ............................................................................................. 59

4. Сопротивление материалов ................................................................................. 61 Методические указания к решению задач ......................................................... 61

5. Теория механизмов и машин ............................................................................. 105 Структурный, кинематический анализ ............................................................. 105 и силовой расчет механизма .............................................................................. 105 Динамический анализ механизма ..................................................................... 122

6. Детали машин ...................................................................................................... 125 Кинематический и силовой расчет механических передач ............................ 125 Расчет заклепочного соединения ...................................................................... 145 Расчет резьбового соединения........................................................................... 146

Библиографический список ................................................................................... 148

Юганов В.С.Механика. Учебно-методическое пособие по выполнению расчетно-графических заданий

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г 3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Механика является общеинженерной дисциплиной и научной основой це-

лых отраслей промышленности и современной техники.

Цель изучения механики – получение будущими инженерами знаний и навы-

ков по выполнению расчетов узлов машин общего назначения, что необходимо

при изучении специальных дисциплин, а также в профессиональной деятельности.

В данном пособии реализован комплексный подход к изучению таких взаи-мосвязанных дисциплин, как «Теоретическая механика», «Сопротивление ма-териалов», «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Пособие позволяет самостоятельно приобрести опыт решения задач, преду-смотренных учебными программами, в виде домашних или расчетно-графических заданий.

Набор расчетных схем и исходных данных позволяет скомпоновать различ-ные варианты заданий для индивидуального обучения.

На основе одной расчетной схемы решаются задачи по нахождению внут-ренних сил в элементах конструкций и по определению их оптимальных разме-ров, оценке прочности и жесткости.

Терминология и обозначения величин приняты в соответствии с действую-щими стандартами и рекомендациями Международного комитета по стандарти-зации (ISO).

Курсанты приступают к выполнению своего варианта задач расчетно-графического задания после изучения соответствующего раздела дисциплины.

Каждая задача включает рисунок со схемами и таблицу с исходными дан-ными для расчета (табл. 1). В случае, когда число вариантов и схем меньше, чем курсантов в группе, номер схемы на рисунке Nс и номер варианта Nв по таблице определяется по следующей зависимости:

,ЦПН )с(вс(в)с(в) KN ⋅−=

где с(в)с(в) ПНЦ K= – целая часть числа, получившегося в результате деления

порядкового номера курсанта по журналу (ПН) на число схем (Kс) в рисунке

или число вариантов (Kв) в таблице с исходными данными к задаче.



Например, число схем на рисунке – 6, число вариантов в таблице с исход-

ными данными – 10, а номер по журналу – 26, т. е. Kс = 6; Kв = 10; ПН = 26;

Цс = 26/6 = 4,3, принимаем Цс = 4; Цв = 26/10 = 2,6, принимаем Цв = 2. Тогда

номер схемы, принимаемой для решения, Nс = 26 – 4 ⋅ 6 = 2 и номер варианта по

таблице с исходными данными Nв = 26 – 2 ⋅ 10 = 6.

Таблица 1

Перечень задач для самостоятельной работы

Раздел Номера задач для специальности

С П Д УК

Расч

етно

-гра

фич

еско

е за

дани

е №

1

Теор

етич

еска

я м

ехан

ика Статика

1.2 1.7 1.8 1.10

1.1 1.3 – 1.6* 1.8 – 1.9*

1.1 1.3 – 1.6* 1.8 – 1.9*

1.2 1.5 1.9

Кинематика 2.2 2.6

2.3 2.4

2.1 2.4

2.1 2.5

Динамика

3.2 3.6 3.8 3.11

3.1 – 3.5* 3.9 3.6 3.11

3.1 – 3.5* 3.7 3.10 3.12

3.4 3.6 3.8 3.12

Расч

етно

-гра

фич

еско

е за

дани

е №

2

Сопротивление материалов

4.2 4.4

4.6 – 4.10* 4.11 4.13

4.1 4.4

4.5 – 4.10* 4.12

4.1 4.4

4.5 – 4.10*

Теория механизмов и машин

5.1 5.2 5.3

5.1 5.2

5.4

Детали машин 6.1 6.3 6.4

6.1 – 6.3* 6.4

6.1 – 6.3* 6.5

Примечание. * Номера задач из указанного диапазона для каждой учебной груп-

пы устанавливаются преподавателем.

Курсанты допускаются к сдаче зачета или экзамена лишь после сдачи и защи-

ты всех расчетно-графических заданий, предусмотренных рабочей программой.



УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

Приступая к расчету, следует изучить соответствующий раздел механики, ознакомиться с последовательностью выполнения задания.

Задача должна содержать полное текстовое условие, исходные данные, за-данную и расчетную схемы. На расчетных схемах и эпюрах приводятся число-вые значения нагрузок, длин, площадей, опорных реакций и других параметров с указанием их единиц.

Схемы и рисунки выполняются черной тушью либо простым карандашом с обязательным соблюдением масштаба. Эпюры (например, продольных сил, нормальных напряжений, перемещений при осевом растяжении-сжатии) распо-лагаются на одном листе с расчетной схемой. В случае необходимости переноса эпюр на следующий лист расчетную схему повторяют.

Пояснительная записка оформляется в соответствии с ГОСТ 2.105 – 95 «Общие требования к текстовым документам». Следует продумать план разме-

щения рисунков и текста на каждом листе формата A4 (210 × 297 мм). Поля: левое – 20 мм, правое – 10 мм, верхнее и нижнее – по 15 мм.

Тексты заданий и пояснительная записка должны быть четкими, краткими, понятными. Они выполняются чернилами одного цвета (кроме красных и зеле-ных). Высота букв – не менее 2,5 мм. Решение должно сопровождаться кратки-ми, без сокращения слов, объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть показаны в числах.

Каждая последующая задача должна начинаться с новой страницы. При вычислениях в формулы подставляются значения входящих в них па-

раметров в единицах системы СИ, а затем приводятся окончательные результа-ты с указанием единиц измерений найденных величин.

Условные буквенные и графические обозначения величин должны соответст-вовать стандартам, установленным или общепринятым в научно-технической литературе. Перед обозначением параметра (или сразу после обозначения) дают его пояснение, например: Wp – полярный момент сопротивления сечения. Еди-ницы измерения одного и того же параметра в записке должны быть одинаковы.



Все вычисления производятся в десятичных дробях, количество цифр после

запятой должно соответствовать необходимой точности расчета (обычно доста-

точно трех-четырех цифр). Результаты расчетов желательно свести в таблицу

для наглядности, удобства анализа и контроля.

Таблицы также оформляют по ГОСТ 2.105 – 95. Высота строк – не менее

8 мм. Числовые значения в одной графе должны иметь одинаковое количество

знаков после запятой.

Листы пояснительной записки нумеруются. Исправление ошибок с учетом

замечаний преподавателя производят на чистой стороне листа, не переписывая

задание.

Пример выполнения титульного листа представлен на рис. 1.

Рис. 1

УВАУ ГА

Кафедра ОПД

Расчетно-графическое задание № 1

Теоретическая механика. Статика

Вариант 22

Выполнил курсант гр. П07-1 Иванов И.И.

Проверил преподаватель Петров В.В.

Ульяновск 2007/2008 уч. год.

5 20

5 5



СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

А – площадь поперечного сечения брутто

С – центр тяжести сечения

Jxy – центробежный момент инерции

F – модуль силы

f – суммарный (полный) прогиб

G – модуль сдвига

h – высота элемента

Jx, Jу – осевые моменты инерции

Jp – полярный момент инерции

i – индекс внутренних сил

l – длина стержня

М, т – сосредоточенный изгибающий момент (внешний)

Мх, My – изгибающий момент относительно соответствующей оси (внутренний)

N – продольная сила

п – частота вращения

Р – мощность

р – давление (нагрузка, распределенная по площади)

Q – поперечная сила

q – распределенная нагрузка

S – статический момент площади сечения

Т – крутящий момент (внутренний)

Wр – полярный момент сопротивления

X – горизонтальная ось

Y – вертикальная ось

γ – угол сдвига

Δl – абсолютная упругая деформация

ε – угловое ускорение

ω – угловая скорость

ω0 – начальная угловая скорость



λ – перемещение поперечного сечения при растяжении

θ – угол поворота сечения балки

η – коэффициент полезного действия

ϕ – угол закручивания бруса

ν – коэффициент Пуассона

σ – нормальное напряжение

[σ] – допускаемое напряжение

σв – предел прочности (временное сопротивление)

σп – предел пропорциональности

σр – предел прочности при растяжении

σс – предел прочности при сжатии

σт – предел текучести

σу – предел упругости материала

τ – касательное напряжение

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. СТАТИКА

Методические указания к решению задач

Алгоритм определения реакций связей

1. Выделить тело или узел, равновесие которого будет рассматриваться в

данной задаче.

2. Выявить все действующие на тело нагрузки (активные силы) и изобразить

их на схеме в виде векторов с указанием точек приложения.

3. Освободить тело от связей, заменив их реакциями, и изобразить эти реак-

ции в виде векторов на схеме.

4. Сопоставить число неизвестных величин и число независимых уравнений

равновесия, эти числа должны быть равны, если задача является статически оп-

ределима.



5. Выбрать направление осей декартовых координат и точку (или точки),

относительно которых предполагается составить уравнение моментов.

6. В зависимости от типа получившейся системы применить соответствую-

щие условия равновесия, т.е. составить систему уравнений равновесия для сил,

приложенных к телу. В случае, когда по условию требуется определить лишь

некоторые неизвестные силы, надо составлять те уравнения равновесия, кото-

рые необходимы для получения ответа.

7. Решить составленную систему всех уравнений равновесия относительно

неизвестных. Если неизвестная сила в результате решения получится отрица-

тельной, то значит направление ее противоположно принятому первоначально.

Алгоритм определения центра тяжести сложных сечений

1. Сложное сечение разбивается на ряд простых частей (фигур) с таким рас-

четом, чтобы их геометрические характеристики можно было вычислить по из-

вестным формулам или найти по специальным справочным таблицам.

2. Как правило, система координат для каждой простой фигуры принимает-

ся центральная, т. е. ее начало совпадает с центром тяжести этой фигуры. Вы-

бранные системы координат должны быть параллельны друг другу для того,

чтобы затем путем параллельного переноса осей можно было подсчитать мо-

менты инерции всех частей относительно системы координат, общей для всего

сложного сечения.

3. Определить координаты центров тяжести отдельных частей относительно

выбранных осей iХ и iY , а также их площади iA и статические моменты ii ХA ,

iiYA .

4. Вычислить координаты центра тяжести ∑∑=

i

iic А

XАХ и

∑∑=

i

iic А

YАY .



Плоская система сходящихся сил

Задача 1.1. Для шарнирно-стержневой конструкции АВС, нагруженной в

шарнире В (рис. 2) определить усилия в стержнях АВ и ВС. Исходные данные

для расчета представлены в табл. 2.

Рис. 2 (лист 1)












Таблица 2

Номер варианта

Угол наклона, град Модуль силы, кН

α β F1 F2

1 50 40 100 90

2 40 30 140 100

3 50 20 120 100

4 60 10 100 90

5 70 10 90 80

6 80 20 80 120

7 80 30 100 70

8 70 40 120 80 9 60 50 110 90

10 50 30 140 100 11 40 30 140 100 12 40 20 140 90 13 50 40 120 80 14 60 50 120 70 15 70 60 100 60 16 80 70 100 60 17 80 60 80 70 18 70 50 100 80 19 60 40 100 90 20 50 30 120 100 21 40 20 110 100 22 40 20 140 100 23 50 30 140 90 24 60 30 100 80 25 70 40 100 90 26 80 60 110 80

27 80 45 120 100

28 70 30 120 90

29 60 30 100 80

30 50 30 90 70

31 60 45 110 120

32 40 20 70 100



Пример решения задачи 1.1. Для шарнирно-стержневой конструкции ABC,

нагруженной в шарнире В (рис. 3) определить усилия в стержнях 1 и 2 (про-

дольные силы). F1 = 100 кH, F2 = 75 кH, α = 80°, β = 60°.

Рис. 3

Решение

1. Определяем продольные силы в стержнях 1 и 2. Вырезаем узел с шарни-

ром В. Изображаем (рис. 4) действующие на шарнир активные силы (силы на-

тяжения нитей) F1, F2 и продольные силы NА, NС, на-

правленные вдоль стержней 1 и 2 соответственно (см.

рис. 3), предполагая их растянутыми.

Принимая точку В за начало координат, выбираем

положение осей X и Y таким образом, чтобы по крайней

мере одна из них совпала с линией действия неизвестной

силы, т.е. совмещаем одну из осей координат с осью од-

ного из стержней. В данной задаче ось X совмещена с

осью стержня 2.

Находим углы наклона сил к осям X и Y. Составляем уравнения равновесия

для плоской системы сходящихся сил:

080cos20cos80cos;0 12CA =°+°−°+=∑ FFNNFix ; (1)

080sin20sin80sin;0 12C =°−°+°=∑ FFNFiy . (2)

2F

AN

CN

1Y

Х 1F

°80 °20

Рис. 4

Y

°10



Решаем полученную систему уравнений. Благодаря тому, что ось X совпада-

ет с осью стержня 2, а ось Y перпендикулярна к этому стержню, проекция силы

NA (продольная сила в стержне 2) на ось Y равна нулю и второе уравнение со-

держит только одно неизвестное. Из уравнения (2) имеем:

NC = F1 – F2 sin20°/sin80° = 100 – 75 · 0,342/0,9848 = 73,95 кН.

Знак «+» перед числовым значением показывает, что стержень 1, как и

предполагалось, растянут силой NC = 73,95 кН. Из уравнения (1) имеем:

NA = F2cos20° – (F1 + NC)cos80° = 75 · 0,9397 – (100 + 73,95) · 0,1736 = 40,3 кН.

Полученное числовое значение силы положительное, следовательно, стер-

жень 2 растянут. (Наличие знака «–» перед числовым значением показывает,

что стержень не растянут, как предполагалось, а сжат).

Решение задачи обязательно следует проверить. Лучшим способом провер-

ки может быть либо решение с помощью иного выбора осей координат (решите

эту задачу, совместив ось Y с осью стержня 1), либо решение другим методом,

например, графическим:

020sin20cos80sin;0 12АC1 =°−°+°+=∑ FFNNFiy ; (3)

73,9+(40,3 + 75) · 0,174 – 100 · 0,939 = 0;

93,9 – 93,9 = 0.

Плоская система произвольно расположенных сил

Задача 1.2. Для шарнирно-стержневой системы (рис. 5) определить усилия в

стержнях, поддерживающих абсолютно жесткий брус АВ. Исходные данные

для расчета указаны в табл. 3.















Таблица 3


Модуль силы F, кН Интенсивность на-

грузки q, кН/м Момент силы m,

кН·м Длина а, м

1 20 10 20 2,0

2 30 5 25 2,5

3 25 10 30 3,0

4 15 20 35 3,5

5 40 15 40 4,0

6 50 30 15 1,5

7 50 20 20 2,0

8 10 40 15 1,5

9 60 25 10 1,0

10 55 30 15 1,5

11 70 10 20 2,0

12 80 20 25 2,5

13 85 25 30 3,0

14 90 35 35 3,5

15 70 15 40 4,0

16 60 10 40 4,0

17 40 25 30 3,5

18 50 40 30 3,0

19 20 5 25 2,5

20 60 10 20 2,0

21 30 15 15 1,5

22 50 20 10 1,0

23 80 30 30 3,0

24 70 40 40 4,0

25 65 10 15 1,5

26 30 50 10 1,0

27 20 40 15 1,5

28 10 30 20 2,0

29 5 35 25 2,5

30 40 10 30 3,0

31 35 15 40 2,0

32 95 20 10 1,0



Задача 1.3. Самолет весом G стоит на взлетно-посадочной полосе. Центр

масс самолета находится в точке С (рис. 6). Суммарная тяга двигателей при оп-

робовании их перед стартом Т. Линия действия силы Т

проходит через центр

масс. Действие тяги в горизонтальном направлении уравновешивается суммар-

ной силой сопротивления заторможенных колес. Расстояния от центра тяжести

до опор указаны на рисунке. Определить вертикальные нагрузки на носовую Рн

и главные Р опоры. Исходные данные, необходимые для вычисления искомых

величин, представлены в табл. 4.

Таблица 4

Номер варианта Вес G, кН Тяга Т, кН а, м l, м h, м

1 470 30 0,8 14,0 3,6

2 430 28 0,7 13,5 3,5

3 420 27 0,6 13,0 3,8

4 450 29 0,9 14,0 3,4

5 440 26 1,0 13,8 3,5

6 460 30 0,7 13,4 3,7

7 480 31 0,9 14,2 3,9

8 500 34 1,2 14,5 4,0

9 410 25 0,8 13,0 3,4

10 490 32 1,0 13,9 4,0

Рис. 6

а l нР

Р

G



Задача 1.4. Пассажирский самолет, имеющий вес G, оснащен тремя двига-телями. Максимальная тяга, развиваемая каждым двигателем, T. Подъемная си-ла Y и сила лобового сопротивления Q приложены в центре давления в точке D (рис. 7). Считая, что самолет находится в установившемся прямолинейном по-лете, а суммарная тяга проходит через центр масс самолета и составляет при заданном режиме 60% максимальной, определить подъемную силу Y, силу ло-бового сопротивления Q и силу Yг.о, нагружающую горизонтальное оперение. Исходные данные, необходимые для вычисления искомых величин, представ-лены в табл. 5.

Рис. 7

Таблица 5

Номер варианта Вес G, кН Тяга Т, кН а, м b, м L, м

1 160 15 1,0 1,1 10

2 170 18 1,1 1,3 12 3 180 17 1,1 1,4 12

4 150 15 0,9 1,0 10 5 165 16 1,0 1,2 11

6 155 14 0,9 1,1 9 7 175 19 1,2 1,5 13

8 190 20 1,4 1,6 14 9 185 17 1,3 1,7 12 10 160 14 0,9 1,1 11

L a

Y



Задача 1.5. Самолет, полетный вес которого G, совершает равномерный прямолинейный полет с набором высоты под углом θ к горизонту. Расстояния от линий действия сил до центра масс равны: а, b, l (рис. 8). Тяга T проходит через центр масс самолета, линия дей-ствия силы лобового сопротивления ей параллельна, а подъемная сила и сила, действующая на горизонтальное опе-рение, перпендикулярны направлению движения. Найти силу Y, силу лобово-го сопротивления Q и силу, дейст-вующую на горизонтальное оперение, Yг.o. Исходные данные, необходимые для вычисления искомых величин, представлены в табл. 6.

Таблица 6

Номер варианта Вес G, кН Тяга Т, кН а, м b, м l, м θ, град

1 30 8,5 0,10 0,06 5,0 10

2 35 9,6 0,15 0,07 5,5 11

3 32 9,0 0,12 0,07 5,2 10

4 31 8,0 0,09 0,05 5,0 9

5 29 8,4 0,10 0,05 5,1 12

6 33 9,2 0,11 0,06 5,3 11

7 30 8,6 0,13 0,08 5,0 14

8 34 8,8 0,10 0,05 4,9 10

9 40 9,8 0,16 0,09 6,0 8

10 36 9,0 0,11 0,07 5,1 12

Задача 1.6. На лонжерон киля действуют силы Р, Y1, Y2 (рис. 9). Определить

реакцию крепления лонжерона к фюзеляжу в точке А, считая крепление жест-

кой заделкой, при несимметричном нагружении лонжерона стабилизатора. Ис-

ходные данные, необходимые для вычисления искомых величин, представлены

в табл. 7.

Рис. 8



Рис. 9

Таблица 7

Номер варианта Р, кН Y1, кН Y2, кН а, м h, м

1 80 40 70 2,2 2,4

2 85 45 75 2,3 2,5

3 90 50 65 2,5 2,0

4 95 50 80 2,4 2,6

5 75 35 60 2,0 2,1

6 80 45 70 2,1 2,3

7 95 40 85 2,3 2,7

8 70 50 60 2,2 2,2

9 90 30 80 2,0 2,4

10 65 30 55 2,5 2,8

Пространственная система произвольно расположенных сил

Задача 1.7. Тонкая однородная горизонтальная плита весом G нагружена силой F, действующей в плоскости плиты, и поддерживается шестью стержня-ми 1 – 6 (рис. 10). Определить силы N1 … N6 в стержнях. Исходные данные, не-обходимые для вычисления искомых величин, представлены в табл. 8.















Таблица 8


Модуль силы, кН Размеры стержня, м

G F а b c d

1 22 28 6,0 2,0 3,0 1,5

2 24 30 4,5 4,0 3,0 1,0

3 20 28 4,0 4,5 3,5 0,5

4 26 34 6,0 5,0 4,0 1,0 5 30 40 8,0 4,0 4,0 1,5

6 32 36 6,0 5,0 4,0 2,0 7 20 28 5,0 5,0 3,0 2,0

8 22 26 8,5 2,5 3,5 1,5 9 28 34 9,0 3,0 3,5 1,0

10 10 14 3,0 2,5 3,0 0,5 11 30 36 6,0 5,5 4,0 0,5 12 24 32 7,0 5,0 4,0 1,0

13 35 40 4,0 3,5 3,0 1,5 14 18 22 4,0 3,5 3,0 2,0

15 22 26 8,0 2,5 3,5 0,5 16 24 28 4,0 3,5 3,0 1,0

17 26 34 6,0 5,5 4,0 1,5 18 33 42 7,0 5,0 4,0 2,0

19 32 44 5,5 3,0 3,0 2,0 20 31 40 4,0 5,0 3,0 0,5 21 20 30 7,0 4,0 4,0 1,0

22 22 32 5,5 3,0 3,0 0,5

23 26 36 4,0 5,0 3,0 0,5

24 18 22 7,0 4,0 4,0 1,0

25 16 18 6,0 5,0 4,0 1,5

26 20 24 8,0 2,5 3,5 2,0

27 21 33 6,0 5,0 3,0 2,0

28 27 38 6,0 5,0 3,0 1,5

29 28 40 5,5 5,5 4,0 1,0

30 24 32 5,0 6,0 5,0 0,5

31 20 31 5,0 3,0 4,0 1,0

32 30 40 4,0 5,0 3,5 1,5



Балочные системы. Определение реакций опор

Задача 1.8. Определить величины реакций в опоре защемленной балки (рис. 11). Провести проверку правильности решения. Исходные данные для расчета пред-ставлены в табл. 9.

Рис. 11



Таблица 9

Параметр Вариант

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F1, кН 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

F2, кН 4,4 4,8 7,8 8,4 12 12,8 17 18 22,8 24

m, кН·м 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5

q, кН/м 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3

а, м 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6

Задача 1.9. Определить величины реакций для балки с шарнирными опора-

ми (рис. 12). Провести проверку правильности решения. Исходные данные для

расчета представлены в табл. 10.


1 2

3 4

5 6

F2 F1 m m F1 F2

F1 F2 m m F1

F2 F2 m m F1

F1




Таблица 10


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F1, кН 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

m, кН·м 15 25 35 45 55 45 35 25 15 5

q, кН/м 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3

а, м 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5

Центр тяжести

Задача 1.10. Для сечения, представленного на рис. 13, аналитически опре-

делить положение центра тяжести.

7 8

9 10

11 12

q F1

m q F1 m

F1 q

m q m

F1 m

q q

m F1

F1









2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА

Кинематика точки

Задача 2.1. Частота вращения шкива диаметром d меняется согласно графи-

ку (рис. 14). Определить полное число оборотов шкива за время движения и

среднюю угловую скорость за это же время. Построить график угловых пере-

мещений и угловых ускорений шкива. Определить ускорения точек обода коле-

са в моменты времени t1 и t2. Исходные данные для расчета представлены в

табл. 11.


0

200

400

600

800

1000

n, об/мин

2 4 6 8 10 t, с 0

200

400

600

800

1000

n, об/мин

2 4 6 8 10 t, с

1 2

0

200

400

600

800

1000

n, об/мин

2 4 6 8 10 t, с 0

200

400

600

800

1000

n, об/мин

2 4 6 8 10 t, с

3 4




Таблица 11


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Диаметр шкива, м 0,2 0,3 0,4 0,6 0,5 0,8 0,2 0,6 0,5 0,8

t1, с 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

t2, с 8 9 8 9 8 6 9 8 9 6

Указания к решению

1. Определить вид движения на каждом участке по приведенному кинема-

тическому графику.

2. Записать законы движения шкива на каждом участке. Параметры движе-

ния в конце каждого участка являются начальными параметрами движения на

каждом последующем.

3. Определить полный угол поворота шкива за время вращения. Использовать

формулу для перехода от угловой частоты вращения к угловому ускорению.

4. Определить полное число оборотов шкива, используя формулу πϕ

=2

N .

5. Построить графики угловых перемещений и угловых ускорений.

6. Определить нормальное и касательное ускорения точки на ободе шкива в

указанные моменты времени.

0

200

400

600

800

1000

n, об/мин

2 4 6 8 10 t, с 0

200

400

600

800

1000

n, об/мин

2 4 6 8 10 t, с

5 6



Задача 2.2. Движение груза А задано уравнением у = at2 + bt + с, где [у], м,

[t], с. Определить скорость и ускорение груза в моменты времени t1 и t2, а также

скорость и ускорение точки В на ободе барабана лебедки (рис. 15). Исходные

данные для расчета представлены в табл. 12.

Рис. 15

Таблица 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

а, м/с2 2 0 3 0 3 3 2 0 4 0

b, м/с 0 3 4 2 0 4 0 3 4 2

с, м 3 4 0 5 2 0 4 2 0 3

r, м 0,2 0,4 0,6 0,8 0,5 0,4 0,3 0,2 0,8 0,6

t1, с 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

t2, с 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4


1. Подставив заданные коэффициенты в общее уравнение движения, опре-

делить вид движения.

2. Определить уравнение скорости и ускорения груза.

Задача 2.3. Центр масс самолета, совершающего маневр в вертикальной

плоскости, на некотором промежутке времени движется согласно уравнениям

О

В

А

у V



x = x(t) м, y = y(t) м. Система координат связана с Землей, ось Оу направлена

вертикально вверх. Необходимо:

1. Найти уравнение траектории y = y(x), определить вид кривой, начертить

ее и указать координаты центра масс в момент времени t1 (с).

2. Найти зависимость величины скорости и ускорения центра масс самолета

от времени.

3. Вычислить значение скорости и ускорения, а также их направляющие ко-

синусы в момент времени t1 (с).

4. Определить величину тангенциального, нормального и полного ускоре-

ния центра масс самолета в момент времени t1 (с).

5. Определить радиус кривизны траектории в момент времени t1 (с).

Исходные данные для расчета приведены в табл. 13.

Таблица 13

№ варианта

Уравнение движения

t1, с № ва-рианта


t1, с x = x(t) y = y(t) x = x(t) y = y(t)

1 12 +− t t− 0,5 16 16

cos6 2 +π t 5

6sin6 2 +

π t 1,0

2 23

cos2 2 +π t t

3sin2 2 π 1,0 17 37t 47 2 +t 1,5

3 33

cos2 +π

− t 33

sin3 2 −π t 1,5 18 3

6sin8 +

π t t6

cos8 π 2,0

4 44 +− t 24t− 2,0 19 49 2 −t t9 0,5

5 t3

sin5 π 13

cos5 +π

− t 0,5 20 t10− 110 2 −t 1,0

6 16 2 +t t6− 1,0 21 16

sin 2 −π t 5

6cos 2 +

π t 1,5

7 27 2 +−− tt 437 2 −− tt 1,5 22 22 2 −t t2 2,0

8 36

sin8 2 +π t 22

6cos8 tπ− 2,0 23 t3− 33 2 +− t 0,5

9 89 2 +− t 29 +t 0,5 24 46

cos4 2 +π t 2

3sin4 2 −

π t 1,0



Окончание табл. 13

№ варианта


t1, с № ва-рианта


t1, с x = x(t) y = y(t) x = x(t) y = y(t)

10 t3

cos10 π 13

sin10 −π t 1,0 25 55 2 +− t 15 +− t 0,5

11 12 −− t t 0,5 26 13

cos6 2 −π t 5

3sin6 2 +

π t 1,0

12 26

cos2 2 +π

− t t6

sin2 2 π− 1,0 27 27 −t 27t 1,5

13 33 −t 33 2 +t 1,5 28 28t− 38 +t 2,0

14 44 +− t 24 2 +t 2,0 29 49 −− t 29 2 +t 0,5

15 t6

sin5 2 π 16

cos5 2 +π

− t 0,5 30 t3

cos10 π 13

sin10 +π

− t 1,0


Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулами скорости и

ускорения точки в декартовых координатах (координатный способ задания движе-

ния точки), а также зависимостями для определения скорости, касательных и нор-

мальных ускорений точки при естественном способе задания ее движения. В неко-

торых вариантах задачи при определении траектории следует учесть известные из

тригонометрии формулы: cos2α = 1 – 2 sin2α = 2 cos2α – 1; sin2α = 2 sinαcosα.

Определение скорости и ускорений точек механизма

при плоскопараллельном движении

Задача 2.4. После отрыва носового колеса при разбеге самолет еще некото-

рое время движется по ВПП на основных опорах шасси (рис. 16). Считая, что

угол тангажа при этом изменяется по закону tω=ϑ , где ω – угловая скорость, а

скорость перемещения центров колес основных опор V0. Определить скорость и



ускорения центра масс самолета С и точки А, соответствующей местоположению

пилота. Исходные данные необходимые для решения задачи заданы в табл. 14.

Рис. 16

Таблица 14


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ω, рад/c 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 10

V0, м/c 80 70 75 85 76 82 78 81 77 79

b, м 10,0 10,5 11 9,5 10,7 9,8 10,2 9,9 10,3 10

d, м 2,0 2,1 2,4 1,8 2,3 2,2 1,9 1,7 2,5 2,0

h, м 3,5 2,9 3,0 3,2 3,7 3,4 3,3 3,6 3,8 3,1


Решение задачи рекомендуется вести, рассматривая движение самолета как

сложное, состоящее из поступательного и вращательного движений. Приняв

точку D за полюс, скорость и ускорение точек А или С самолета можно опреде-

лить по формулам:

DADA VVV

+= ; CADC VVV

+= ; nDADADA aaaa

++= τ ; nCACADC aaaa

++= τ

Задача 2.5. Для заданного положения механизма найти скорость и ускоре-

ние точек А и В, указанных на схеме (рис. 17). Необходимые для расчета дан-

ные приведены в табл. 15.



Таблица 15

№ схемы ОА, м АВ, м ωОА, с–1 εОА, с–2 VA, м/с аA, м/с2

1 0,20 0,30 2,0 3,0 – –

2 0,25 0,35 1,5 4,0 – –

3 0,27 0,42 – – 2 3

4 0,30 0,45 – – 3 2

5 0,32 0,48 1,8 4,5 – –

6 0,35 0,52 1,4 3,8 – –

7 0,43 0,55 – – 4 5

8 0,26 0,33 2,2 3,5 – –

9 0,28 0,37 2,5 4,0 – –

10 0,33 0,54 3,0 1,5 – –

11 0,20 0,30 – – 5 4

12 0,30 0,40 3,2 2,5 – –

13 0,25 0,35 3,7 3,0 – –

14 0,27 0,42 – – 6 3

15 0,32 0,45 4,0 2,5 – –

16 0,35 0,48 4,2 2,8 – –

17 0,42 0,52 4,5 3,7 – –

18 0,26 0,30 5,0 4,3 – –

19 0,33 0,54 5,5 3,8 – –

20 0,28 0,55 6,0 2,6 – –

21 0,43 0,48 2,0 3,5 – –

22 0,52 0,57 3,0 2,4 – –

23 0,54 0,62 4,0 2,2 – –

24 0,56 0,64 5,0 3,2 – –

25 0,34 0,58 6,0 2,4 – –

26 0,44 0,66 2,5 1,5 – –

27 0,48 0,68 3,5 2,0 – –

28 0,50 0,60 4,5 1,8 – –

29 0,58 0,70 5,5 4,0 – –

30 0,60 0,90 6,5 3,8 – –




О

А

В εОА

ωОА

60°

1

О А

В

εОА

ωОА 30°

2

Аа 30°

А

В

АV

3 4

30° А

В

АV

Аа

О

А

εОА

ωОА В

60°

6

45° εОА ωОА

В А

О

5

Аа

60°

А

В

АV

7 8

εОА

ωОА

О А

В

εОА ωОА

О

А

В 9

60°

30°

εОА

ωОА О

А

В

60°

10

60°




11

45°

А

В АV

Аа

εОА

ωОА

О

А В

120°

12

О

εОА

ωОА

В

А 120°

15

О А

В

ωОА 45°

16

εОА

45°

О

А

В ωОА

90°

εОА

17 18 εОА

ωОА

О

А

В

О

А В

ωОА

εОА

45°

19

20

А В

О εОА

ωОА

120°

В

Аа 45°

А

АV

14

εОА

ωОА

О

А В

120°

13

45°




А

О В 60°

90° ωОА

εОА 21

30° О

60°

В

А ωОА

εОА

22

О

А

В

ωОА

60°

εОА

23 30° В

А

45° 24

ωОА

εОА

О

εОА ωОА

О

А

В

120°

25

30°

εОА ωОА

А

В

26

О

εОА

ωОА О

А

В

60°

30°

27

εОА ωОА

О

А

В

60° 60°

28

А

В

О

εОА

ωОА 30°

29 30

45°

А О

В

ωОА

εОА




Для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звень-

ев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек и поня-

тием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему к каждому звену

механизма в отдельности.

При определении ускорений точек механизма исходить из векторного ра-

венства

nВАВААВ аааа

++= τ ,

где А – точка, ускорение Аа которой непосредственно определяется по условию

задачи

nААА ааа

+= τ .

Сложное движение точки

Задача 2.6. По заданным уравнениям относительного движения точки М и

переносного движения тела D определить для момента t = t1 абсолютную ско-

рость и абсолютное ускорение точки М. Схемы механизмов показаны на

рис. 18, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 16.

Таблица 16

№ вариан-та

Уравнение движения тела D )(1 tfе =ϕ , рад

Уравнение относительного движения точки М

)(2 tfsОМ r == , см t1, c R, cм α, град

1 242 tt − )(25 2tt +π 1/2 25 –

2 22,04 tt − )4/sin(10 tππ 2/3 30 –

3 225,02 tt − tt 43 3 + 2 – 30

4 23,02 tt − )3,01,0(75 3tt +π 1 30 –

5 21,010 tt − )3/sin(15 tπ 5 – –





Уравнение движения тела D )(1 tfе =ϕ , рад

Уравнение относительного движения точки М

)(2 tfsОМ r == , см t1, c R, cм α, град

6 22 tπ− )2/cos(8 tπ 3/2 – 45

7 35,0 tt − tππ 2cos210 1/8 30 –

8 tt 52 3 − 25,2 tπ 2 40 –

9 26,0 t tππ 2cos210 4 36 30

10 tt 32 2 − 3/35 3t 2 20 30






Для ее решения следует воспользоваться теоремами о сложении скоростей и сложении ускорений. Прежде чем произвести все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М в указанный момент времени, сде-лать точный чертеж и изобразить точку именно в этом положении.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА


Прямые задачи динамики несвободной материальной точки, в которых требуется определить задаваемую силу или силу реакции, приложенную к точ-ке, рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Выбрать систему отсчета, если она не указана в условии задачи. 2. Изобразить задаваемые силы. 3. Применив принцип освобождаемости от связей, изобразить соответст-

вующие силы реакций связей.



4. Определить по заданному закону движения ускорение материальной точ-

ки и найти его проекции на выбранные оси координат.

5. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки,

соответствующие принятой системе отсчета.

6. Из системы составленных уравнений определить искомую величину.

Обратные задачи динамики материальной точки рекомендуется решать в

следующем порядке:

1. Выбрать систему координат.

2. Записать начальные условия движения точки.

3. Изобразить задаваемые силы и силы реакций связей, приложенные к ма-

териальной точке.

4. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки.

5. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения. Ис-

пользовав начальные условия движения, определить постоянные интегрирования.

6. Воспользовавшись уравнениями движения материальной точки, получен-

ными в предыдущем пункте, определить искомые величины.

При составлении дифференциальных уравнений движения надо рассматри-

вать материальную точку в промежуточном положении.

Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетического мо-мента надо решать в следующей последовательности:

1. Выбрать оси декартовых координат и направить одну из них (ось z) по оси

вращения твердого тела.

2. Изобразить все внешние силы, приложенные к твердому телу.

3. Вычислить сумму моментов всех внешних сил относительно оси враще-

ния )(1

ek

n

kz Fm∑

=.

4. Записав дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг не-

подвижной оси )(1

ek

n

kzz FmI ∑

==ϕ , подставить в него выражение суммы моментов

всех внешних сил и решать, в зависимости от условия, прямую либо обратную

задачи динамики.



Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии

рекомендуется проводить в следующей последовательности:

1. Выбрать оси координат.

2. Изобразить все внешние и внутренние силы системы (в случае неизме-

няемой материальной системы – только внешние силы).

3. Вычислить сумму работ всех внешних и внутренних сил на перемещениях

точек системы (в случае неизменяемой материальной системы – только сумму

работ внешних сил).

4. Вычислить кинетическую энергию системы материальных точек в на-

чальном и конечном положениях системы.

5. Воспользовавшись результатами вычислений пп. 3 и 4, записать теорему

об изменении кинетической энергии системы материальных точек:

)()(11

12i

k

n

k

ek

n

kFAFATT ∑∑

==+=− ,

или в случае неизменной материальной системы:

)(1

12e

k

n

kFATT ∑

==− ,

и определить искомую величину.

Решение задач с помощью принципа Даламбера рекомендуется выпол-

нять в следующей последовательности:

1. Выбрать систему координат.

2. Изобразить задаваемые силы, приложенные к каждой из материальных

точек.

3. Применив принцип освобождаемости от связей, изобразить силы реакций

связей, наложенных на каждую из материальных точек системы;

4. Добавить к задаваемым силам и силам реакций связей фиктивные силы

инерции материальных точек системы.

5. Составить уравнения «равновесия» для каждой из материальных точек

системы.

6. Решив составленную систему уравнений, определить искомые величины.



Задачи динамики: прямая и обратная

Задача 3.1. При выполнении «мертвой петли» самолет описывает окружность

радиусом R в вертикальной плоскости, двигаясь по траектории со скоростью V. Вес

летчика G. Определить максимальную и минимальную силы, прижимающие лет-

чика к сиденью. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 17.

Таблица 17


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Радиус R, м 500 550 520 450 500 480 600 530 510 490

Скорость V, м/с 150 180 140 140 160 145 170 165 155 150

Вес G, Н 800 850 810 700 900 750 740 800 840 830

Задача 3.2. Спортивный самолет массой m летит горизонтально с ускорени-ем а, имея в данный момент скорость V. Сопротивление воздуха пропорцио-нально квадрату скорости и при скорости в 1 м/с равно 0,5 Н. Считая силу со-противления направленной в сторону, обратную скорости, определить силу тя-

ги винта, если она составляет угол θ с направлением полета. Определить также величину подъемной силы в данный момент. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 18.

Таблица 18


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Масс m, кг 2000 2500 2100 1900 2200 1950 2000 3000 2900 3500

Скорость V, м/с 200 180 210 220 190 230 215 250 185 260

Ускорение а, м/с2 5,0 4,5 4,0 3,8 5,5 3,0 5,5 2,5 4,5 6,0

Угол θ, град 10,0 9,5 9,0 8,0 10,5 8,0 10,5 8,5 10 8,0

Задача 3.3. Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропор-

ционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в 1 м/с. Сила тяги Т

постоянна и составляет угол θ с направлением полета. Определить наибольшую

скорость самолета. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 19.



Таблица 19


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Тяга Т, Н 30 760 25 000 26 000 31 660 30 500 28 330 32 760 30 400 29 700 33 300

Угол θ, град 10,0 9,0 8,0 9,5 10 8,0 10,5 8,5 10,5 11,0

Задача 3.4. Самолет массой m приземляется на горизонтальное поле на лы-

жах. Летчик подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости и вер-

тикального ускорения в момент приземления. Сила лобового сопротивления

пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъ-

емная сила пропорциональна квадрату скорости и равна 30 Н при скорости в

1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до остановки, приняв коэф-

фициент трения f. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 20.

Таблица 20


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Масса m, т 10 11 9 12 15 10 13 16 14 10

Коэффициент трения f

0,10 0,11 0,08 0,09 0,12 0,11 0,10 0,13 0,12 0,09

Задача 3.5. Самолет совершает правильный вираж со скоростью V, описы-

вая в горизонтальной плоскости дугу окружности, радиусом R. Подъемная сила

направлена перпендикулярно к плоскости крыла под углом γ к вертикали, а ее

линия действия проходит через центр масс самолета. Определить угол крена

самолета γ. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 21.

Таблица 21


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Скорость V, м/c 150 160 155 145 140 170 200 180 175 150

Радиус R, м 5 683 6 000 5 500 5 300 4 800 6 100 6 800 5 500 5 900 4 950



Теорема об изменении кинетического момента

Задача 3.6. Ротор гироскопа массой m в момент выключения имел угловую

скорость ω. Определить момент сил сопротивления, приложенных к ротору,

относительно оси вращения, считая их постоянными, если ротор остановился

по истечении времени t с момента выключения. Осевой радиус инерции ротора

равен ρ. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 22.

Таблица 22


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Масса m, кг 30 35 28 32 33 30 40 25 31 24

Скорость ω, рад/c 400π 450π 380π 410π 390π 420π 440π 500π 350π 520π

Время t, мин 30 32 25 29 31 35 36 34 20 40

Радиус инерции ρ, м 0,10 0,12 0,11 0,10 0,13 0,09 0,14 0,10 0,12 0,09

Задача 3.7. Шкив массой т тормозится за счет

прижатия колодок силами F = 2 кН (рис. 19). Опре-

делить время торможения шкива, если в момент на-

ложения колодок частота вращения шкива равна

450 об/мин. При расчете шкив принять за сплошной

диск диаметром d. Движение считать равнозамед-

ленным, коэффициент трения колодок о шкив f. Не-

обходимые для расчета данные приведены в табл. 23.

Таблица 23


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Масса m, кг 35 45

Диаметр d, м 0,45 0,45 0,55 0,45 0,36 0,35 0,28 0,30 0,32 0,34

Коэффициент трения f 0,35 0,42 0,42 0,3 0,44 0,45 0,43 0,36 0,37 0,38

F F

ω

Рис. 19



Теорема об изменении кинетической энергии

Задача 3.8. Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции отно-сительно оси вращения ρ3 = 0,2 м, блока 4 радиусом R4 = 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. 20, табл. 24); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффи-циент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости С.

Под действием силы F = F(S), зависящей от перемещения S точки ее прило-жения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует по-стоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда пере-мещение S станет равным S1 = 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. 24, где обозначено: V1, V2, VC5 скорости грузов 1, 2 и центра масс

тела 5 соответственно, ω3 и ω4 – угловые скорости тел 3 и 4. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на

рис. 20, схема 3), катятся по плоскостям без скольжения. На всех рисунках не изображать груз 2, если m2 = 0; остальные тела должны

изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Таблица 24

Числовые данные к задаче 3.8

№ вари-анта

m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг m5, кг С, Н/м М, Н·м F = F(S), Н Найти

1 0 6 4 0 5 200 1,2 80(4+5S) ω3

2 8 0 0 4 6 320 0,8 50(8+3S) V1

3 0 4 6 0 5 240 1,4 60(6+5S) V2

4 0 6 0 5 4 300 1,8 80(5+6S) ω4

5 5 0 4 0 6 240 1,2 40(9+4S) V1





m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг m5, кг С, Н/м М, Н·м F = F(S), Н Найти

6 0 5 0 6 4 200 1,6 50(7+8S) VС5

7 8 0 5 0 6 280 0,8 40(8+9S) ω3

8 0 4 0 6 5 300 1,5 60(8+5S) V2

9 4 0 0 5 6 320 1,4 50(9+2S) ω4

10 0 5 6 0 4 280 1,6 80(6+7S) VС5






Учесть, что кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических

энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту

скорость (линейную или угловую), которую в задачах надо определить. При

вычислении Т для установления зависимости между скоростями точек тела,

движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоро-

стью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинемати-

ка). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное



перемещение S1, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет та-

кой же, как между соответствующими скоростями.

Задача 3.9. Скорость центра масс самолета при движении по взлетно-

посадочной полосе из состояния покоя изменяется по закону V = k t2, м/с, где k –

постоянный коэффициент. Вес самолета G, а скорость отрыва V1. Определить

суммарную мощность двигателей, развиваемую при движении по взлетно-

посадочной полосе. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 25.

Таблица 25


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Коэффициент k 0,08 0,09 0,07 0,08 0,07 0,09 0,08 0,07 0,10 0,08

Вес самолета G, кН 196 205 170 180 190 195 200 185 195 190

Скорость V1, м/с 50 52 49 50 51 53 50 52 51 50

Задача 3.10. Самолет совершает посадку на палубу корабля. Вес самолета

G = 20 кН. Посадочная скорость V0 = 30 м/с. Для сокращения пробега в момент

касания палубы самолет цепляется за натянутый трос, который, растягиваясь,

создает тормозную силу. Суммарная сила сопротивления изменяется по закону

T = kS, где k = 2,5 кН/м, S – тормозной путь. Определить длину пробега самоле-

та по палубе. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 26.

Таблица 26


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вес самолета G, кН 20 25 18 20 22 19 24 30 17 20

Скорость V0, м/с 30 35 28 32 30 33 34 30 31 29

Коэффициент k 2,5 3,0 2,3 2,6 2,4 2,5 2,9 3,2 2,2 2,4



Принцип Даламбера

Задача 3.11. Самолет выходит из пикирующего полета на горизонтальный

по окружности радиусом r (рис. 21). Ско-

рость самолета в момент выхода на гори-

зонтальный полет равна V. Определить, ка-

кой должен быть радиус r, чтобы сила ре-

акции N, действующая на летчика, равня-

лась бы по модулю пG, где G – вес летчика.

Необходимые для расчета данные приведе-

ны в табл. 27.

Таблица 27


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Скорость V, м/c 160 180 200 210 220 240 250 270 150 190

Вес летчика G, Н 800 850 750 800 900 800 850 750 800 900

Перегрузка n 4 3 4 3 4 3 3 4 2 3

Задача 3.12. Скорость кабины лифта массой т изменяется согласно графи-

кам (рис. 22). Определить величину натяжения каната, на котором подвешен

лифт, при подъеме и опускании. По максимальной величине натяжения каната

определить потребную мощность электродвигателя. Необходимые для расчета

данные приведены в табл. 28.

Таблица 28


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Масса m, кг 500 700 750 800 600 800 600 450 900 850

КПД механизма η 0,80 0,75 0,80 0,75 0,8 0,85 0,75 0,80 0,70 0,85

Рис. 21

r

y



Рис. 22

0

1

2

3

4

V, м/с

2 4 6 8 10 t, с

0

1

2

3

4

5

2 4 6 8 10 t, с

0 2 4 6 8 10 t, с 0 2 4 6 8 10 t, с

0

1

2

3

4

V, м/с

2 4 6 8 10 t, с

1 2

3 4

5 6

0

1

2

3

4

V, м/с

2 4 6 8 10 t, с

V, м/с

1

2

3

4

5

V, м/с

1

2

3

4

5

V, м/с




1. Используя принцип Даламбера, определить натяжение каната кабины

лифта на каждом участке движения.

2. Определить максимальное натяжение каната.

3. По максимальному натяжению каната определить максимальную потреб-

ную мощность для подъема груза.

4. По заданной величине КПД механизма определить максимальную мощ-

ность двигателя.

4. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ


Осевое растяжение-сжатие стержней

Общая формула, по которой можно определить продольную силу в произ-

вольном сечении стержня, имеет вид

∑∫∑ += dzqРN z ,

где Р – сосредоточенные внешние силы;

q – интенсивность распределенных сил.

Интегрирование производится по длине каждого участка, на который дейст-

вует распределенная сила q, а суммирование – по всем участкам, распределен-

ным по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Абсолютная продольная деформация

∆l = Nl/(EA) = σl/E, σ ≤ σп,

где ЕА – жесткость сечения стержня при растяжении (сжатии);

Е – модуль продольной упругости материала стержня.



Для брусьев, имеющих несколько участков, в пределах которых значения

величин Е, N и А постоянные, полное удлинение (укорочение) бруса определя-

ют алгебраическим суммированием удлинений (укорочений) всех его участков:

.)( ∑∑ =∆=∆ii

iii AE

lNll

Если величины N и А (или одна из них) переменные по длине участков бру-

са, то полное абсолютное удлинение определяется по формуле

.1∑ ∫=∆ dzAN

El

Обеспечение надежной работы конструкций требует удовлетворения как ус-

ловия прочности σ = N/A <[σ], так и условия жесткости λ ≤ [λ] (здесь σ – наи-

большее нормальное напряжение, возникающее в рассчитываемом элементе

при рабочей нагрузке; [σ] – основное допускаемое нормальное напряжение:

[σ] = σпред /[n]; σпред – предельное (опасное) напряжение, при котором в материа-

ле появляются признаки разрушения или заметные остаточные деформации).

Как правило, за опасные напряжения при статических нагрузках принима-

ют: для пластичных материалов – σт (предел текучести материала), для хрупких

материалов – σв (предел прочности материала); [n] – допускаемый коэффициент

запаса прочности. При статическом приложении нагрузки принимают: для пла-

стичных материалов, например, сталей, 1,4 < [n] < 2,5, для хрупких материалов

2,5 < [n] < 3. Таким образом, для пластичных материалов [σ] = σт/[n] .

Поскольку хрупкие материалы неодинаково сопротивляются растяжению и

сжатию, для них определяют два допускаемых напряжения (при растяжении

[σр] и сжатии [σс]):

.][σ]σ[;][σ]σ[ вcтp nn ==



Кручение вала

Внешний скручивающий момент М (Н·м) определяется по одной из сле-

дующих формул:

,/55,9ω;/ nРМРМ ==

где Р – мощность, Вт;

ω – угловая скорость, рад/с;

п – частота вращения, мин –1.

В поперечных сечениях бруса при кручении возникают только касательные напряжения (τ), которые в произвольной точке рассматриваемого поперечного сечения определяются по формуле

рк /ρτ JМ= ,

где Мк – крутящий момент в исследуемом попе-речном сечении (рис. 23);

ρ – расстояние от исследуемой точки до оси бруса;

Jp – полярный момент инерции поперечного сечения бруса.

Для валов круглого и кольцевого поперечного сечения условие прочности имеет следующий вид:

]τ[/τ pк ≤= WМ ,

где Wp = Jp/ρ – полярный момент сопротивления сечения; для круглого сечения Wp = πd3/16 ≈ 0,2d3; для кольцевого сечения Wp = πd3 (1 – c4)/16 ≈ 0,2d3(1 – c4);

c = d0/d; d0, d – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Допускаемое касательное напряжение [τ] при кручении, как и основное до-

пускаемое нормальное напряжение [σ], определяется в зависимости от вида ма-

териала: для пластичного материала [τ] = τт/[n]; для хрупкого материала

[τ] = τв/[n] Здесь τт, τв – соответственно предел текучести и предел прочности материала при кручении; ][n – нормативные коэффициенты запаса прочности:

][n = 1,4 – 5,0.

Рис. 23

Мк

М



Деформация бруса при кручении характеризуется углом взаимного поворота

двух сечений (углом закручивания). Полный угол (ϕ, рад) закручивания бруса

длиной l определяется по одной из следующих формул:

pJGlМ к=ϕ (рад);

рJGlМ к180

⋅π°

=ϕ (град),

где G = Е/(2(1 + µ)) – модуль упругости материала при сдвиге (для стали

G = 8 · 104 МПа);

µ – коэффициент Пуассона;

GJp – жесткость сечения бруса при кручении;

GJp/l – жесткость бруса при кручении.

Относительный угол закручивания ϕ0 = ϕ/l.

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, различающихся

материалом, размерами поперечного сечения, значением крутящего момента,

полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания на

отдельных участках:

.1

к

1∑∑==

=ϕ=ϕn

i pii

iin

ii JG

lМ

Для обеспечения нормальной работы вала и связанных с ним деталей вал

должен иметь достаточную жесткость при кручении, т.е. наибольший угол за-

кручивания не должен превышать допускаемого, устанавливаемого на основа-

нии опыта эксплуатации конструкции.

Условие жесткости вала при кручении имеет следующий вид:

][ 0к

0 ϕ≤=ϕpJG

М ; ][1800

к0 ϕ≤

π°

=ϕpJG

М ,

где [ϕ 0] – допускаемый угол закручивания 1 м длины вала, град/м; обычно

принимают [ϕ 0] = 0,25 ... 1,0 град/м.



Плоский изгиб

Расчет следует начинать с определения опорных реакций из уравнений рав-

новесия балки.

Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраи-

ческой сумме проекций на ось Y, нормальную к оси балки, всех внешних сил,

действующих справа или слева от данного сечения.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгеб-раической сумме моментов всех внешних сил, дей-ствующих справа или слева от сечения относи-тельно центра данного сечения.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q имеется скачок, равный модулю силы F, а на эпюре М – точка перегиба (излом).

В сечении, где приложен сосредоточенный мо-мент m (пара сил), на эпюре М имеется скачок, равный моменту пары, а эпюра Q остается без из-менений.

На участке балки, где действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра М – парабола, обращенная выпуклостью в сторону, противоположную направлению нагрузки, а эпюра Q – наклонная прямая.

В сечении балки, где Q = 0, момент М имеет экстремальное (max или min) значение.

Характер эпюры определяется способом на-гружения (рис. 24). Правильность построения эпюр Q и М следует проверять с помощью теоре-мы Журавского:

;/ 22 dzMddzdQq == Q = dM / dz = tg α,

где α – угол, который составляет касательная к эпюре моментов с положитель-ным направлением оси Z.

Рис. 24



В точках поперечных сечений балок при плоском изгибе возникают нор-

мальные σ и касательные τ напряжения:

σ = My / Jx; )/(τ отсxx JbQS=

где М – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

у – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяются на-

пряжения;

Jx – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси X;

Q – поперечная сила в рассматриваемом сечении; отсxS – статический момент любой отсеченной части сечения (верхней или

нижней) относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения в рассматриваемом слое материала.

Порядок определения отсxS следующий:

1) через точку, в которой необходимо определить касательные напряже-

ния, проводят секущую плоскость, параллельную нейтральной оси X;

2) подсчитывают сотсотс уАSx = , где ус – расстояние от нейтральной оси до

центра тяжести отсеченной части.

Максимальные нормальные напряжения в сечении возникают в волокнах,

наиболее удаленных от нейтральной оси, xJM /σ maxmax = .

Если нейтральная ось является осью симметрии поперечного сечения балки,

то, учитывая, что осевой момент сопротивления Wx = Jx / уmах, максимальные

напряжения можно определить по формуле xWM /σ maxmax = .

Условие прочности балки из пластичного материала имеет вид

]σ[/σ maxmax ≤= xWM .

Для определения прогиба ∆ в поперечном сечении построим эпюру изги-

бающих моментов от силы 11 =Х Н, приложенной в рассматриваемом сечении,

и, перемножив ее с эпюрой М от внешней нагрузки, определим перемещение

dxJEММ

∫ ⋅⋅

=∆ 1 (м).



Для определения углов поворота θ построим эпюру от единичного изги-

бающего момента 11 =М Н⋅м, помещенного в рассматриваемое сечение, и ум-

ножим ее на эпюру М от изгибающих моментов от внешней нагрузки

dxJEММ

∫ ⋅⋅

=θ 1 (рад).

Изгиб с кручением

Расчет на прочность при совместном изгибе и кручении (подробная методи-ка приводится ниже) выполняют по эквивалентному (расчетному) напряжению, определенному в опасном сечении для опасной точки, в которой имеет место плоское напряженное состояние, с использованием теорий прочности.

Эквивалентное напряжение определяется по одной из теорий прочности.

Так, например, для стальных валов по теории касательных напряжений

22IIIэкв τ4σ +σ= ;

по теории энергии формоизменения

22Vэкв τ3σ +σ= .

Устойчивость сжатых стержней

Допускаемые значения силы, сжимающей стержень, и напряжения соответ-

ственно равны:

][][

у

кр

nF

F = ; ][

σ]σ[

у

кр

n= ,

где [nу] – требуемый (заданный, допускаемый) коэффициент запаса устойчивости.

В пределах применимости закона Гука критическая сила определяется по

формуле Эйлера:

2min

2

)( lJЕFкр µ

π= ,



где Е – модуль упругости материала стержня;

Jmin – минимальный главный центральный момент инерции поперечного се-

чения стержня;

µ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления

концов (табл. 29);

l – длина стержня.

Таблица 29

Влияние условий закрепления концов стержня на критическую силу

Схе

ма

стой

ки

µ 2,0 1,0 0,7 0,5

Значение [nу] зависит от материала и назначения стержня, а для элементов

строительных конструкций – также от их гибкости.

Для стальных конструкций типа кронштейнов, ферм принимают

[nу] = 1,8…3,0; для ходовых и грузовых винтов [nу] = 4,0...5,0; для конструкций

из чугунного литья [nу] = 5,0...6,5; для конструкций из алюминиевого сплава

[nу] = 2,5...3,5; для деревянных стоек [nу] = 3,0...5,0.

Критическое напряжение определяют по формуле

2

2кр

крσλπ

==Е

АF

,

где А – площадь поперечного сечения;

λ = µl / imin – гибкость стержня;

µl – приведенная длина;

AJi /minmin = – минимальный радиус инерции.

F

l

F

l

F

l

F

l



Граница применимости формулы Эйлера определяется неравенством

σкр ≤ σу ≈ σпц или λ ≥ λпред,

где σу – предел упругости;

σп – предел пропорциональности материала;

п

2

пред σπ

=λЕ – предельная гибкость, зависящая только от физико-

механических свойств материала. Критические напряжения для стержней при гибкостях меньше предельных

определяются по эмпирической формуле Ясинского:

σкр = а – bλ,

где а и b – коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность на-

пряжения (табл. 30).

Таблица 30

Параметры для определения критических напряжений

Материал σт (σ0,2), МПа σп, МПа а, МПа b, МПа Граничное значение

гибкости

Ста

ль

Ст2 215 185 258 0,68 105 62

Ст3 235 195 304 1,11 100 61

20, Ст3 255 215 328 1,07 96 60

25, Ст5, 35л 275 235 343 1,13 92 57

35, 45л 314 265 390 1,40 90 55

45 353 300 440 1,64 85 52

50, 55л 373 314 464 1,83 82 50

Сосна, ель – – 28,7 0,19 70 –

Чугун σкр = 761 – 11,77λ + 0,052λ2

Условие прочности при продольном изгибе имеет следующий вид:

],σ[σ уAF ≤=

где ]σ[ у – допускаемое напряжение на устойчивость: ]σ[]σ[ су ϕ= ;



ϕ – коэффициент понижения допускаемого напряжения при продольном из-

гибе (коэффициент продольного изгиба).

Расчет на устойчивость может выполняться в двух вариантах:

1) при заданном в условии допускаемом коэффициенте запаса на устой-

чивость [nу];

2) с помощью таблиц коэффициентов уменьшения ϕ (табл. 31).

Таблица 31

Значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения (ϕ)

Гибкость

min

μλi

l=

Материал

Сталь Ст1, Ст2, Ст3, Ст4

Сталь Ст5 Сталь качест-

венная (σт = 320 МПа)

Чугун Дерево

0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

10 0,99 0,98 0,97 0,97 0,99

20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97

30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93

40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87

50 0,89 0,86 0,83 0,57 0,80

60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71

70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,60

80 0,75 0,70 0,65 0,26 0,48

90 0,69 0,62 0,55 0,20 0,38

100 0,60 0,51 0,43 0,16 0,31

110 0,52 0,43 0,35 – 0,25

120 0,45 0,37 0,30 – 0,22

130 0,40 0,33 0,26 – 0,18

140 0,36 0,29 0,23 – 0,16

150 0,32 0,26 0,21 – 0,14

160 0,29 0,24 0,19 – 0,12

170 0,26 0,21 0,17 – 0,11

180 0,23 0,19 0,15 – 0,10

190 0,21 0,17 0,14 – 0,09

200 0,19 0,16 0,13 – 0,08



Осевое растяжение-сжатие стержней

Задача 4.1. Стальной ступенчатый стержень (Е = 2⋅105 МПа), защемленный

одним концом, нагружен сосредоточенными силами P1, P2, P3 (рис. 25). Стер-

жень имеет участки l1, l2, l3, l4, l5 и различную площадь поперечных сечений на

этих участках А1, А2, A3.

Требуется:

1. Определить продольные силы N и напряжения σ в поперечных сечениях

стержня для каждого участка.

2. Построить эпюру продольных сил N и напря-

жений σ.

3. Определить прочность на участках стержня и

вычислить действительный запас прочности, если

предел текучести σт = 240 МПа, а предел пропор-

циональности σп = 200 МПа. Если найденное дейст-

вительное напряжение окажется больше σп, следует

подобрать на этом участке такую площадь сечения,

чтобы это условие выполнилось.

4. Найти перемещения поперечных сечений

стержня и построить эпюру продольных перемеще-

ний λ.

Необходимые для расчета данные приведены в

табл. 32.

Таблица 32

№ ва-рианта

Длина участка стержня, м Площадь поперечного

сечения, см2 Модуль силы, кН

l1 l2 l3 l4 l5 А1 А2 А3 Р1 Р2 Р3

1 0,25 0,25 0,20 0,30 0,15 10 14 18 +100 – –160

2 0,30 0,20 0,25 0,25 0,20 18 12 8 +140 –120 –

3 0,20 0,30 0,30 0,20 0,25 16 8 10 +120 – –160

4 0,25 0,25 0,35 0,15 0,30 12 10 16 +110 –80 –

l 1

P2

A2

A3

A1

l 2 l 3

l 4 l 5

P3

P1

Рис. 25





Длина участка стержня, м Площадь поперечного

сечения, см2 Модуль силы, кН

l1 l2 l3 l4 l5 А1 А2 А3 Р1 Р2 Р3

5 0,35 0,15 0,15 0,35 0,35 8 12 16 +90 – –90

6 0,15 0,35 0,20 0,30 0,30 10 8 12 –100 +140 –

7 0,20 0,30 0,25 0,25 0,25 14 10 18 –140 – +180

8 0,25 0,25 0,30 0,20 0,20 12 14 10 –110 – +160

9 0,30 0,20 0,35 0,15 0,15 18 16 14 –160 –90 –

10 0,35 0,15 0,30 0,20 0,35 16 18 10 –120 +160 –

11 0,15 0,35 0,20 0,30 0,25 10 16 18 –100 – –120

12 0,20 0,30 0,35 0,15 0,20 12 8 16 –100 –160 –

13 0,25 0,25 0,15 0,35 0,20 14 16 10 –140 – –90

14 0,30 0,20 0,20 0,30 0,35 12 8 16 –110 +90 –

15 0,35 0,15 0,25 0,25 0,15 18 14 12 –160 +90 –

16 0,35 0,15 0,30 0,20 0,20 16 14 10 +120 – –80

17 0,30 0,20 0,35 0,15 0,25 18 12 14 +160 – –100

18 0,25 0,25 0,35 0,15 0,30 18 14 16 +160 +100 –

19 0,20 0,30 0,30 0,20 0,35 10 13 8 –110 – +120

20 0,15 0,35 0,25 0,25 0,35 14 10 12 –140 +130 –

21 0,15 0,35 0,20 0,30 0,20 8 10 8 –90 – +140

22 0,20 0,30 0,15 0,35 0,25 12 10 12 +110 –160 –

23 0,25 0,25 0,20 0,30 0,20 16 10 8 –120 – +140

24 0,30 0,20 0,25 0,25 0,15 18 12 10 +160 –120 –

25 0,35 0,15 0,30 0,20 0,25 10 14 10 +120 – –110

26 0,40 0,10 0,20 0,15 0,35 14 16 20 +140 –110 –

27 0,25 0,15 0,35 0,20 0,40 18 14 10 –160 – +90

28 0,30 0,10 0,25 0,25 0,15 12 10 8 +160 –70 –

29 0,35 0,15 0,35 0,10 0,35 8 18 10 +90 – +200

30 0,20 0,25 0,30 0,25 0,20 12 13 8 –110 +90 +30

Задача 4.2. Стальной стержень (Е = 2⋅105 МПа) защемлен одним концом,

нагружен равномерно распределенными силами интенсивностью q и сосредо-

точенными силами P1, P2 , P3 (рис. 26). Стержень имеет участки l1, l2, l3 и различ-

ную площадь поперечных сечений на этих участках А1, А2, A3.



Требуется:

1. Определить продольные силы N в поперечных сечениях стержня.

2. Построить эпюру продольных сил.

3. Определить нормальные напряжения σ в поперечных сечениях стержня.

4. Построить эпюру нормальных напряжений.

5. При заданном допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа проверить проч-

ность стержня.

6. Найти перемещения поперечных сечений стержня и построить эпюру

продольных перемещений.

Необходимые для расчета данные приведены в табл. 33.

Таблица 33


Модуль силы, кН Интенсивность рас-пределенных сил q,

кН/м

Площадь поперечного сечения А, см2 Длина участков, м

Р1 Р2 Р3 А1 А2 А3 l1 l2 l3

1 10 20 30 20 2 4 5 0,5 0,5 0,5

2 15 20 10 20 2 4 6 0,4 0,4 0,4

3 10 20 15 40 3 4 5 0,6 0,6 0,6

4 20 30 10 20 2 4 5 0,5 0,5 0,5

5 30 15 20 20 3 5 6 0,4 0,4 0,4

6 20 20 20 40 4 5 8 0,5 0,5 0,5

7 40 20 15 40 3 5 6 0,6 0,6 0,6

8 20 40 20 40 4 5 8 0,4 0,4 0,4

9 25 15 40 35 3 6 8 0,5 0,5 0,5

10 40 20 40 40 4 5 8 0,5 0,5 0,5



Рис. 26

q

P1 P2 P3

A3 A1

A2

l1 l2 l3

q

P1 P2 P3

A3 A1

A2

l1 l2 l3

9 10

q

l1 l2 l3

P1 P2 P3

A3 A1 A2

q P1 P2 P3

l1 l2 l3

A3 A1 A2

q

P1 P2 P3

A3 A1 A2

l1 l2 l3

q

P1 P2 P3

A3 A1 A2

l1 l2 l3

q

P1 P2 P3

A3 A1 A2

l1 l2 l3

q

P1 P2 P3

A3 A1

A2

l1 l2 l3

7 8

5 6

3 4

l1 l2 l3

q

P1 P2 P3

A3 A1

A2

2

l1 l2 l3

q

P1 P2 P3

A3 A1

A2

1



Кручение вала

Задача 4.3. Стальной вал (модуль упругости при сдвиге G = 0,8⋅105 МПа),

имеющий по длине постоянное сечение и жестко закрепленный одним торцом,

нагружен сосредоточенными (М1, М2, М3) парами сил и равномерно распреде-

ленными моментами сил интенсивностью т (рис. 28). Плоскость действия пар

сил перпендикулярна продольной оси стержня.

Требуется:

1. Определить крутящий момент в поперечных сечениях стержня, построить

эпюру крутящего момента.

2. При заданном допускаемом касательном напряжении [τ] = 80 МПа из условия

прочности и жесткости определить размеры поперечного сечения стержня и округ-

лить их значения до ближайшего большего, используя ряд 30, 35, 40, 45, 50 мм.


Таблица 34


Момент пары сил, Н⋅м Интенсивность рас-пределенных сил m,

Н⋅м/м

Длина участков, м

Угол закручивания [θ], град/м

Сече-ние по рис. 27 М1 М2 М3 a b c

1 100 200 300 200 0,5 0,5 0,5 0,8 а

2 200 300 100 200 0,5 0,5 0,5 1,6 б

3 300 200 200 200 0,5 0,5 0,5 1,0 в

4 200 200 100 200 0,5 0,5 0,5 1,2 а

5 100 200 100 200 0,5 0,5 0,5 1,4 б

6 200 200 200 100 1 1 1 1,0 в

7 400 100 200 100 1 1 1 1,4 а

8 100 400 200 100 1 1 1 1,2 б

9 200 200 400 100 1 1 1 1,6 в

10 200 300 400 100 1 1 1 0,8 а



Рис. 27.


М3

b a с

М2 М1 m

b a с

М2 М1 m М3

b a с

М2 М1 m М3 М3

b a с

М2 М1 m

1 2

3 4

М3

b a с

М1 m

b a с

М2 М1 М3

5 6

М2 m

b

b/h = 0,5

D D d

h d/D = 0,8

в а б




Задача 4.4. Для стального вала (G = 0,8⋅105 МПа):

1. Определить скручивающие моменты: подводимый к шкиву 0 и снимае-

мые со шкивов 1, 2, 3 (рис. 29).

2. Построить эпюры крутящих моментов.

3. Определить диаметр ступенчатого вала на каждом участке из условия

прочности (окончательно принимаемые значения должны быть округлены до

ближайших стандартных) из следующего ряда 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80,

90, 100, 110, 125, 140, 160, 170, 180, 200 мм.

4. Вычертить в масштабе эскиз ступенчатого вала.

5. Построить эпюру углов закручивания относительно левого шкива на валу.

6. Проверить жесткость вала при кручении, если [θ] = 0,8 град/м.


М3

b a с

М1 m

b a с

M2 М1 М3

7 8

М2 m

b a с

М2 М1 m М3 М3

b a с

М2 М1 m

9 10



Таблица 35


Длина а, м

Мощность, кВт Угловая скорость ω, рад/с

Допустимое каса-тельное напряже-

ние [τ], МПа

Допустимый угол закручивания [θ],

град/м Р0 Р1 Р2 Р3

1 0,5 80 25 20 35 70 35 0,50

2 0,3 70 30 25 15 65 30 0,45

3 0,2 90 45 20 25 75 35 0,45

4 0,5 80 30 20 30 70 35 0,40

5 0,4 50 20 15 15 40 20 0,50

6 0,3 100 50 30 20 80 40 0,45

7 0,1 70 30 10 40 65 30 0,90

8 0,3 100 40 25 35 80 40 0,85

9 0,4 160 30 20 10 50 25 0,60

10 0,2 40 15 10 15 30 20 0,60

11 0,2 90 35 25 30 75 35 0,45

12 0,3 70 25 30 15 65 30 0,55

13 0,4 50 10 15 25 40 20 0,90

14 0,1 100 30 40 25 80 40 0,70

15 0,4 60 10 20 30 50 25 0,40

16 0,3 80 30 25 15 70 35 0,60

17 0,2 70 25 15 30 65 30 0,75

18 0,3 100 60 15 25 80 40 1,00

19 0,5 90 25 40 25 75 35 0,75

20 0,5 80 40 25 15 70 35 0,60

21 0,4 100 50 25 25 80 40 0,65

22 0,2 80 40 25 15 70 35 0,70

23 0,3 60 30 10 20 50 25 0,80

24 0,1 90 25 15 50 75 35 0,65

25 0,5 70 30 15 25 65 30 0,70

26 0,2 90 20 25 45 75 35 0,45

27 0,4 40 10 20 10 30 20 1,00

28 0,5 100 25 25 50 80 40 0,95

29 0,2 80 40 15 25 70 35 0,80

30 0,3 50 20 10 20 40 20 0,70









Плоский изгиб

Задача 4.5. Крыло самолета при выполнении разворота с углом крена γ на-гружено аэродинамическими силами переменной интенсивности q1, q2, q3 (рис. 30), силами тяжести двигателя Gдв и крыла Gкр, а также реактивным мо-ментом воздушного винта Мр. Определить, используя данные табл. 36, реакции в корневом сечении А крыла, а также построить эпюры поперечных сил и изги-бающих моментов.

Таблица 36

№ вари-анта q1, кН/м q2, кН/м q3, кН/м Gдв, кН Gкр, кН Mp, кН⋅м γ, град l, м

1 0 5 10 5 15 2 8 10 2 0 8 14 6 18 –2 10 12

3 5 10 15 7 20 3 –8 14 4 10 12 18 8 22 –3 –10 15

5 15 18 20 9 24 4 12 16 6 20 22 25 10 25 –4 –12 18

7 25 28 30 11 30 5 –15 20 8 8 10 12 8 16 –1,5 –15 13

9 12 15 20 9 17 1 20 17 10 11 14 18 10 19 –1 –20 11

q2

q3

γ

A a

q1

0,5l

0,4l 0,2l

l

B

Gкр Gдв

Mp

Рис. 30



Примечание. Знак «–» при моменте Мр и угле γ означает, что их направление

противоположно показанному на рис. 29.

Задача 4.6. Для стальной балки (рис. 32) при [σ] = 160 МПа подобрать сече-ние трех типов: двутавровое, прямоугольное с соотношением сторон h/b = 2 и круглое, а также дать сравнительную оценку экономичности балок выбранных сечений. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 37.

Задача 4.7. В соответствии со схемой, приведенной на рис. 32, определить

размеры поперечного сечения балки из алюминиевого сплава при [σ] = 60 МПа для двух вариантов: 1) сечение – прямоугольник с соотношением сторон h/b = 2; 2) сечение – круг диаметром d. Проверить прочность балки по касательным на-

пряжениям, если [τ] = 20 МПа. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 37.

Задача 4.8. Для стальной балки (рис. 32) подобрать сечение из двух рядом

стоящих швеллеров, если [σ] = 160 МПа; определить прогиб и угол поворота посередине балки. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 37.

Задача 4.9. Для чугунной балки (рис. 32) при [σр] = 40 МПа и [σс] = 120 МПа определить допускаемую нагрузку и выбрать рациональное расположения се-чения (рис. 31). Необходимые для расчета данные приведены в табл. 37.

Рис. 31

Задача 4.10. Для рамы (рис. 32) построить эпюры продольных сил N, попе-

речных сил Q и изгибающих моментов M. Необходимые для расчета данные

приведены в табл. 37.

160

160

200

40

xc

yc



Таблица 37


Длина а, м Момент силы m, кН·м Модуль силы, кН

Интенсивность на-грузки q, кН/м F1 F2

1 2 3,0 4,0 5,0 6

2 2 3,0 1,0 2,0 6

3 2 2,0 2,0 4,0 10

4 1 1,0 4,0 2,0 10

5 2 2,5 3,0 2,0 8

6 1 3,0 4,0 1,5 10

7 1 5,0 3,5 2,0 5

8 2 4,0 1,0 5,0 2

9 2 3,0 4,0 2,0 3

10 2 2,5 3,0 1,0 10

11 1 1,0 2,5 4,0 8

12 2 2,0 4,0 2,0 10

13 4 1,2 5,0 1,5 2

14 3 1,0 3,5 2,5 4

15 1 2,0 4,0 1,0 5

16 2 3,0 4,0 5,0 6

17 2 1,5 1,0 2,5 2

18 1 1,0 2,0 1,0 10

19 2 5,0 1,0 5,0 2

20 2 4,0 2,5 1,0 2

21 2 1,0 3,0 2,5 10

22 1 2,0 4,0 2,0 5

23 2 1,5 2,0 1,0 10

24 3 1,0 2,0 2,5 2

25 2 2,5 3,0 1,5 10

26 1 1,0 4,0 3,0 5

27 2 2,4 3,0 2,5 4

28 1 1,6 2,0 3,5 6

29 2 2,0 2,0 2,5 10

30 3 1,0 4,0 2,0 4




































Изгиб с кручением

Задача 4.11. Вал передает мощность Р при угловой скорости ω (рис. 33). Определить диаметр опасного сечения вала, несущего шкив диаметром d1 и зубчатое колесо диаметром d2. Натяжение ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения ведомой (F1 = 2F2). В зацеплении на зубчатое колесо действуют три силы: окружная сила Ft, направленная по касательной к делительной окружно-сти колеса; осевая сила Fa, направленная параллельно оси вала; радиальная си-ла Fr, направленная по радиусу к центру зубчатого колеса. Материал вала – сталь 45 ([σ] = 65 МПа). Расчет выполнить, используя теорию наибольших ка-сательных напряжений. Принять Fr = 0,38Ft, Fa = 0,2Ft. Необходимые для рас-чета данные приведены в табл. 38.

Таблица 38


Диаметр, мм Мощность Р, кВт

Угловая ско-рость ω,

рад/с Длина а, м Угол α, град

d1 d2

1 850 400 80 70 0,10 25 2 550 250 70 65 0,20 30 3 500 300 90 75 0,25 45 4 900 500 80 70 0,150 60 5 750 300 50 40 0,20 50 6 450 200 100 80 0,25 45 7 700 600 70 65 0,15 40 8 800 400 100 80 0,10 50 9 500 250 60 50 0,20 70 10 650 300 40 60 0,25 60 11 500 250 90 75 0,15 30 12 800 400 70 65 0,25 45 13 700 350 50 40 0,10 35 14 650 300 100 80 0,20 40 15 750 400 60 50 0,25 50 16 850 500 80 70 0,10 30 17 600 300 70 65 0,25 60 18 550 200 100 80 0,20 75 19 450 200 90 75 0,15 75 20 700 250 80 70 0,10 60 21 900 600 100 80 0,20 45 22 500 300 80 70 0,25 30





Диаметр, мм Мощность Р, кВт

Угловая ско-рость ω,

рад/с Длина а, м Угол α, град

d1 d2

23 400 200 60 50 0,15 25 24 550 300 90 75 0,25 45 25 750 350 70 65 0,20 60 26 600 300 90 75 0,20 30 27 400 200 40 30 0,15 45 28 850 450 100 80 0,10 75 29 800 400 80 70 0,10 60 30 650 325 50 40 0,15 30


1. Составить расчетную схему вала с указанием всех действующих сил. 2. Найти реакции опор в вертикальной и горизонтальной плоскостях. 3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонталь-

ной плоскостях. 4. Построить суммарную эпюру изгибающих моментов Ми. 5. Построить эпюру крутящего момента Мк. 6. Определить положение опасного сечения, анализируя эпюры суммарного

изгибающего и крутящего моментов. Для гладкого вала постоянного диаметра опасным является сечение, в котором эквивалентный момент наибольший.

7. Вычислить эквивалентный момент эквМ в опасном сечении.

По теории наибольших касательных напряжений 2к

2иIIIэкв МММ += , а по

теории энергии формоизменения 2к

2иVэкв 75,0 МММ += , где ки , ММ – соот-

ветственно изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении вала. 8. Вычислить диаметр вала из условия прочности при изгибе с кручением.

Условие прочности при изгибе с кручением: ][σ эквэкв σ≤=

xWМ , 31,0 dWx =

для круглого сечения, )1(1,0 43х cdW −≈ для кольцевого сечения; ddc 0= ;

dd ,0 – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца.

Диаметр вала .][1,0

3 экв

σ=

Мd












Устойчивость сжатых стержней

Задача 4.12. Для заданной стойки (табл. 39) определить значения критиче-

ской силы, критического напряжения и допускаемой сжимающей нагрузки,

приняв [σс] = 160 МПа для стали, [σс] = 50 МПа для алюминиевого слава.

Таблица 39

№ варианта l, м Схемы стоек и сечений

1 1,2

2 1,7

3 1,6

4 1,5

5 1,6

6 1,9

7 1,8

8 1,

9 1,5

10 2,0

11 1,8

12 1,9

13 1,7

14 1,6

15 1,7

16 1,8

17 2,2

18 2,0

19 2,1

20 1,8

Задача 4.13. Для заданной сжатой стойки (табл. 40) определить размеры поперечного

сечения, если для стали [σ] = 160 МПа, для алюминиевого слава [σ] = 50 МПа.



Таблица 40


F, кН l, м Схемы стоек и сечений

1 200 3,0

2 300 4,0

3 250 2,5

4 400 2,2

5 200 3,0

6 300 1,9

7 400 3,0

8 250 4,0

9 260 2,5

10 300 2,0

11 400 2,5

12 300 3,0

13 200 1,9

14 400 3,5

15 300 2,0

Примеры решения и оформления задач

Задача 4.12. Для заданной стойки (рис. 34) из чугуна определить значения

критической силы, критического напряжения и допускаемой сжимающей на-

грузки, приняв для чугуна [σc] = 140 МПа.



Решение

Для кольцевого сечения любая центральная ось явля-

ется главной и все центральные моменты инерции равны

между собой.

Момент инерции сечения

=−π

= )1(64

44

min cdJ =−⋅ )1(

649414,3 4

4

c (l – 0,64) =

= 333,4 104 мм4.

Площадь поперечного сечения стойки

)6,01(49414,3)1(

42

22

2

−⋅

=−π

= cdA = 44,4 102 мм2,

где с = d0 /d = 56/94 = 0,6.

Радиус инерции

4,27104,44104,333

2

4

=⋅⋅

==AJi мм.

При данном способе закрепления концов коэффици-

ент приведения длины µ = 1.

Гибкость стойки λ = µl / i = 1·1,5·103 / 27,4 = 55.

Для чугуна по табл. 31 находим ϕ = 0,57 при λ = 50; ϕ = 0,44 при λ = 60.

Интерполируя, для λ = 55 имеем:

.505,0510

44,057,0=⋅

−=ϕ

Допускаемое значение сжимающей силы

[F] ≤ Aϕ [σc] = 4440 · 0,505 · 140 = 314 · 103 Н = 314 кН.

Критическое напряжение для стержней средней гибкости при λ < предλ

(55 < 80) определяется по формуле

σкр = а – bλ + сλ2 = 761 – 11,77·55 + 0,052·552 = 271 МПа,

где а, b, с – коэффициенты, определяемые по табл. 30.

Рис. 34



Критическая сила

Fкр = σкр·A = 271 · 4440 = 1203 · 103 Н = 1203 кН.

Коэффициент запаса устойчивости

8,3314

1203][

крy ===

FF

n .

Задача 4.13. Для заданной стойки (рис. 35) из стали определить размеры

поперечного сечения, если для стали [σc] = 160 МПа.

Решение

Подбираем сечение путем последовательных при-

ближений.

Первая попытка. Принимаем ϕ1 = 0,5; требуемая

площадь поперечного сечения

37501605,010300

][σ

3

1 =⋅⋅

==c

FА мм2.

По сортаменту принимаем двутавр № 24а, для кото-

рого А = 37,5 см2, Jy = 260 см4, iy = 2,63 см.

Гибкость стойки

λ = µl / i = 0,7·5·103 / 26,3 = 133,

где µ = 0,7 – коэффициент приведения длины для дан-

ного способа закрепления концов.

Из табл. 31 находим: ϕ = 0,4 при λ = 130; ϕ = 0,36

при λ = 140. При линейной интерполяции для λ = 133 имеем:

.388,0310

36,04,04,01 =⋅−

−=ϕ′

Допускаемое напряжение

62160388,0]σ[]σ[ c1у =⋅=⋅ϕ′= МПа.

Расчетное напряжение

Рис. 35



80105,3710300σ 23 =⋅⋅== AF МПа > 62]σ[ у = МПа.

Перегрузка %3,22%10080

6280П =⋅−

= , что недопустимо.

Вторая попытка. Вычисляем:

444,02

388,05,02

112 =

+=

ϕ′+ϕ=ϕ .

Необходимая площадь поперечного сечения

4225160444,0

10300][σ

3

1 =⋅⋅

==c

FА мм2 = 42,25 см2.

По сортаменту подбираем двутавр № 27а, для которого А = 43,2 см2,

Jy = 337 см4, iy = 2,8 см. Гибкость стойки

λ2 = 0,7·5·103 / 28 = 125.

Из табл. 31 находим: ϕ = 0,45 при λ = 120; ϕ = 0,4 при λ = 130. Интерполи-

руя, для λ = 125 находим:

.425,0510

40,045,045,02 =⋅−

−=ϕ′

Допускаемое напряжение

68160425,0]σ[]σ[ c2у =⋅=⋅ϕ′= МПа.


4,69102,4310300σ 23 =⋅⋅== AF МПа > 68]σ[ у = МПа.

Перегрузка %5%2%10068

684,69П <=⋅−

= , что допустимо. Так как

λ = 125 > 100, то критическая сила определяется по формуле Эйлера:

323

452

2min

2

кр 10542)1057,0(

1033710214,3)(

⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

µπ

=lJЕF Н = 542 кН.

Коэффициент запаса устойчивости 8,1300/542][крy === FFS .



Для обеспечения большей прочности стойки принимаем двутавр № 30, для

которого А = 46,5 см2, Jy = 337 см4.


5,64105,4610300σ 23 =⋅⋅== AF МПа < 68]σ[ у = МПа.

5. ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

Структурный, кинематический анализ

и силовой расчет механизма

На рис. 36, 37 представлены кинематические схемы кривошипно-

ползунного механизма. Для заданного механизма требуется выполнить:

Задача 5.1. Провести структурный анализ механизма. Определить степень

подвижности механизма. Последовательность образования механизма выразить

формулой его строения. Построить положение механизма в соответствии с за-

данными значениями угла, обозначить все звенья и кинематические пары.

Задача 5.2. Для заданного положения механизма провести кинематический

анализ графо-аналитическим методом. Построить планы скоростей и ускоре-

ний. Определить величины и направления скоростей всех указанных точек ме-

ханизма, а также величины и направления угловых скоростей и ускорений

звеньев, считая угловую скорость кривошипа постоянной.

Задача 5.3. Выполнить силовой расчет механизма. Определить силы, дейст-

вующие на механизм. Построить структурные группы «шатун-ползун» и входного

звена с приложением к ним всех действующих сил, включая реакции связей,

сил и моментов инерции. Построить планы сил.

Исходные данные для задач 5.1 – 5.3 приведены в табл. 41.

Условные обозначения:

1ω – угловая скорость входного звена, с–1;

ABL , BEL – линейные размеры звеньев АВ и ВЕ, мм;



1ASL , 2BSL – межцентровые расстояния, мм;

Y – смещение, мм;

im – масса i-го звена, кг;

п.сF – сила полезного сопротивления, Н;

п.сМ – момент сил полезного сопротивления, Н⋅м;

AJ – момент инерции звена относительно оси, кг⋅мм2;

2SJ – момент инерции звена относительно его центра тяжести, кг⋅мм2.

Рис. 36

Рис. 37

2

3

1 В

А

ω1 ϕ

S1 S2

Е, S3

Y

2 3

1 В

А ω1

ϕ S1 S2

Е, S3

Y



ω1

Y

2

3

1 В

А ϕ

S1 S2

Е, S3

Таблица 41


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ω1 50 60 70 80 75 65 55 40 30 25

LAB 150 170 200 220 250 270 300 320 350 370

LAS1 0,5 ⋅ LAB

LBE 4 ⋅ LAB

LBS2 2BSL 0,5 ⋅ LBE

Y 0 10 15 20 30 0 10 15 20 30

m1 1 1,2 1,5 1,7 2 2,2 2,5 2,7 3 3,2

m2 4,3 ⋅ m1

m3 2 ⋅ m1

Fп.с 50 70 90 100 150 175 200 225 300 350

JA 0,5 ⋅ m1 ⋅ (LAB)2

JS2 0,1 ⋅ m1 ⋅ (LBE)2

ϕ, град 15 30 45 60 75 90 120 130 150 210

Примеры решения и оформления задач

Дано: структурная схема кривошипно-ползунного механизма (рис. 38);

мм450=ABL ; мм18004 =⋅= ABBЕ LL ; Y = 0; 11 55 −=ω c ; °=ϕ 45 ; 5,31 =m кг;

152 =m кг; 73 =m кг; 86,42=SJ ; 250п.с =F Н.

Рис. 38



Задача 5.1. Структурный анализ плоского рычажного механизма

Звенья механизма

№ Название Движение Особенности движения

0 Стойка – –

1 Кривошип вращательное полный оборот

2 Шатун плоскопараллельное сложное

3 Ползун поступательное возвратное движение

Кинематические пары

Обозначение Звенья Название Класс

А 0 – 1 вращательная (низшая) 5

В 1 – 2 вращательная (низшая) 5

С 2 – 3 вращательная (низшая) 5

D 3 – 0 поступательная (низшая) 5

Определяем степень подвижности механизма, используя формулу Че-бышева П.П.

1890423323 вн =−=−⋅−⋅=−−= рpnW ,

где n – число подвижных звеньев механизма; pн – число низших кинематических пар; pв – число высших кинематических пар. Определяем структурные группы Ассура (рис. 39). Состав и последова-

тельность присоединения групп Ассура в механизме можно выразить его фор-

мулой строения: 11(0 – 1)В → 22(2 – 3) ВП. Из этой формулы видно, что к структурной группе входного звена (кривошип 1) со стойкой (0) первого класса присоединена структурная группа второго класса, второго порядка, состоящая из шатуна (2) и ползуна (3).

Построение плана механизма. Выбираем масштабный коэффициент для плана механизма:

ммм01,0

мм45м45,0===µ

АВLАВ

L ,

где АВ – отрезок изображающий на плане механизма звено АВ и его размер АВL .



Рис. 39

Длину этого отрезка принимают произвольно от 30 до 70 мм.

Находим длины остальных отрезков:

мм180ммм01,0

м8,1==

µ=

L

BЕLВЕ ,

мм5,2201,0

225,011 ==

µ=

L

АSLАS ,

мм9001,09,02

2 ==µ

=L

ВSLВS ,

.001,00

==µ

=L

Yy

Построения производят в следующем порядке. Наносим на чертеж (рис. 40)

ось стойки и на ней выбираем положение точки А. От горизонтальной оси от-

кладываем угол ϕ = 45°, тем самым показывая направление кривошипа АВ, на

котором откладываем отрезок АВ = 45 мм. Далее изображаем направляющую

для ползуна, отстоящую от горизонтальной оси на величину у . В данном слу-

чае она совпадает с осью для стойки. Затем из точки В циркулем делаем засечку

радиусом ВЕ = 180 мм на оси направляющей ползуна. Точка пересечения – ис-

комая точка Е. Аналогично находим положение точек S1 и S2: из точки А радиу-

сом 22,5 мм делаем засечку на кривошипе АВ, получаем точку S1; из точки В

радиусом 90 мм делаем засечку на шатуне ВЕ – точка S2. Все точки соединяем

прямыми линиями. План механизма построен (µL = 0,01 м/мм) (рис. 40).

1

А ω1

2

3

В

Е 11(0 – 1) В 22(2 – 3) ВП

0



Рис. 40

2

3

1 В

А

45° S1

S2

Е, S3

ω1

0

ε2

ω2



Задача 5.2. Кинематический анализ механизма графо-аналитическим мето-дом (рис. 41).

Построение плана скоростей. План скоростей строим в соответствии с

формулой строения механизма. Определим вначале величину и направление

скорости BV точки В кривошипа. Величина определяется формулой

VB = ω1 ⋅ LAB = 55 ⋅ 0,45 = 24, 75 м/с.

Рис. 41

Вектор скорости перпендикулярен кривошипу АВ и направлен в сторону

вращения кривошипа.

Построение начинаем с выбора полюса плана скоростей VP и величины отрез-

ка bPV (изображающего вектор BV

), которую выбираем в пределах 30 – 100 мм.

Определим масштабный коэффициент плана скоростей:

ммм/с495,0

мм50м/с75,24

===µbP

V

V

BV .

Из полюса откладываем отрезок мм50=bPV перпендикулярно к АВ (в сторону

вращения кривошипа), обозначаем конец вектора стрелкой и буквой b (рис. 42).

Рассмотрим движение точки Е по отношению к точке В, затем по отноше-

нию к направляющей. Связь между скоростями указанных точек может быть

представлена векторным уравнением:

EBBE VVV += .

Решаем уравнение графически. Через точку b – конец ранее найденного от-

резка bPV плана скоростей проводим прямую, перпендикулярную направлению

ВЕ. Через полюс VP проводим прямую, параллельную направляющей ползуна.

3 Е, S3 S2

ε2 2 ω2 В 1

S1

45° ω1

А 0



Пересечение двух указанных лучей отмечаем точкой е . Отрезок еPV изобража-

ет абсолютную скорость EV точки Е, а отрезок be на плане скоростей изобра-

жает скорость EBV точки Е звена 2 в движении относительно точки В.

Величины этих скоростей определяют по формулам:

64,20м/с/мм495,0мм7,41 =⋅=µ⋅= VVЕ еРV м/с;

82,17м/с/мм495,0мм36 =⋅=µ⋅= VЕВ beV м/с,

где PVe и be измеряем с плана скоростей (µV = 0,495 м/(c·мм)) (рис. 42).

Рис. 42

Для нахождения скоростей точек S1 и S2 воспользуемся теоремой подобия

для скоростей. На стороне bPV откладываем отрезок 1bS подобный отрезку ВS1

на плане механизма и сходно с ним расположенный. Расстояние точки S1 от

точки b плана скоростей найдем из отношения:

11 BS

ABVLL

bsbР= ,

мм250,55011 =

⋅⋅=

⋅=

AB

AB

AB

BSV

LL

LLbР

bs .

Аналогично для точки S2: 22 BS

ВЕLL

bsbе

= , находим 182

3622 ==

⋅=

ВЕ

BS

LLbе

bS мм.

РV

⊥ BE e || AE

S2

⊥ AB b

S1



Затем методом засечек (bS1 = 25 мм, bS2 = 18 мм) определяем положение то-

чек S1 и S2 и соединяем их с полюсом плана скоростей VP . Получаем направле-

ния скоростей 1SV

и 2SV

. Величины этих векторов определяются формулами:

38,12ммм/с495,0мм2511

=⋅=µ⋅= VVS sPV м/с;

79,20ммм/с495,0мм4222

=⋅=µ⋅= VVS sPV м/с.

Угловая скорость звена 2 определяется равенством:

9,9м8,1м/с82,17

2 ===ωBE

EB

LV с–1.

Для выявления направления угловой скорости звена 2 вектор скорости EBV

мысленно переносят в точку Е звена 2 и определяют согласно движению точки

Е, что ω2 направлена против часовой стрелки. Указываем направление угловой скорости второго звена на плане механизма.

Построение плана ускорений. План ускорений также выполняется в поряд-ке, определяемом формулой строения данного механизма.

Вектор ускорения Ва точки В в общем случае определяется нормальной и

тангенциальной составляющими:

τ+= ВnВВ ааа ,

где 1361,2545,055221 =⋅=⋅ω= AB

n LaB

м/с2; ABLaB

⋅ε=τ1 .

Вектор нормального ускорения направлен вдоль прямой ВА от точки В к центру А, вектор тангенциального ускорения перпендикулярно прямой АВ. При

ω1 = const угловое ускорение кривошипа ε1 = 0 и 0=τB

a .

На плане ускорений (рис. 43) выбираем полюс aP и величину отрезка bPa

(40 – 70 мм), изображающего вектор nВВ аа

= . Выбираем масштабный коэффи-

циент плана ускорений:

.мм

м/с45,19мм70

м/с251361μ22

===,

bPa

a

Ba



Рис. 43

Откладывая отрезок Pab = 70 мм ускорения точки В из полюса aP параллель-

но направлению звена АВ (от В к А), обозначают конец стрелкой и буквой b . Для построения плана ускорений группы (2 – 3) определяем ускорение точ-

ки Е. Составим векторное уравнение, рассматривая движение точки Е по отно-шению к В:

τ++= EBnEBBE aaaa .

Это уравнение содержит два неизвестных элемента: величины векторов Ea , τEBa .

При этом векторы EEBnEB aaa ,, τ имеют направление ( BEa n

EB || , BEaEB ⊥τ ,

АЕaE || ), а вектор nEBa и величину:

6 42,1768,19,9 222

2

=⋅=⋅ω== BEBE

EBnEB L

LVa м/с2.

Через точку b ранее построенного отрезка bPa плана ускорений проводят

линию, параллельную ВЕ, и откладывают на ней отрезок bn , изображающий

вектор ускорения nEBa , длина которого равна:

мм07,9

ммм/с45,19

м/с176,422

2

==µ

=a

nEBabn .

Pa

⊥ BE e || AE

S2

S1

b

|| AB n

|| BE



Далее, через точку n проводят линию, перпендикулярную к ВЕ (направление

вектора τEBa ), а из полюса аP откладывают линию, параллельную направляющей

АE. Пересечение указанных лучей обозначено точкой е. Отрезок ePa изображает

вектор ускорения Ea . Соединив точки b и e, получим отрезок, соответствующий

ускорению EBa полного относительного ускорения точки Е относительно В.

По теореме подобия находим длину отрезка bS2, определяющего положение точки S2 на плане ускорений из условия:

22 BS

BE

LL

bSbe

= ,

где be – измеряем с плана ускорений (мм);

75,242

5,492

22 ===

⋅=

beL

LbebS

BE

BS мм.

Аналогично для точки S1 найдем 352

702

11 ===

⋅=

bРL

LbРbS а

АВ

BSа мм.

Методом засечек находим положение точек S1 и S2 на векторах bPa иbe . С

плана ускорений определяем величины ускорений:

22

м/с969мм

м/с45,19мм82,49 =⋅=µ⋅= aаЕ еРа ,

22

1 м/с680,75мм

м/с45,19мм351

=⋅=µ⋅= aаS sРа ,

22

2 м/с1079,28мм

м/с45,19мм49,552

=⋅=µ⋅= aаS sРа ,

22

м/с962,78мм

м/с45,19мм5,49 =⋅=µ⋅= aЕB еbа .

Величину углового ускорения ε2 найдем из уравнения:

22

2 с534,88м1,8м/с78,962 −===ε

BЕ

EB

La .

Перенеся вектор ne (он направлен от n к e) в точку Е плана механизма звена 2 находим направление ε2 – против часовой стрелки.

План ускорений построен (см. рис. 43).



Задача 5.3. Силовой расчет механизма

Силы, действующие на механизм:

1. Движущая сила двF или движущий момент двМ действуют на входное

звено механизма от двигателя.

2. Силы п.сF или моменты п.сМ полезного сопротивления.

3. Силы тяжести звеньев G:

34,38,95,311 =⋅== gmG Н; 4718,91522 =⋅== gmG Н;

68,68,9733 =⋅== gmG Н.

4. Силы «пассивных» сопротивлений (силы трения) трF или их моменты трМ .

5. Силы инерции ИF и моменты инерции ИМ :

2382,6375,6805,311 1И =⋅−=−= SamF Н, 0

1И =М ,

16189,228,10791522 2И =⋅−=−= SamF Н,

2599,52534,8886,42И 22=⋅=ε−= SJМ ,

678396973И3=⋅−=−= еamF Н, 0

3И =М .

Разбиваем механизм на структурные группы Ассура. Построим отдельно структурную группу «шатун-ползун», приложим к ней все действующие си-

лы, включая реакции связей nR21 и τ21R , силы и моменты инерции (рис. 44).

Составляем уравнение моментов относительно точки Е:

( ) 0=∑ iЕ FМ : 02222 ИИ21И2 =−+− τ hFLRMhG BEG .

Из этой формулы можно определить тангенциальную составляющую реак-ции шарнира В:

( ) ( )=

+⋅−⋅=τ

BE

LGL

LMhGhF

R 2222 И2ИИ21

μμ

=+⋅⋅−⋅⋅

=8,1

52,259901,06,8814701,08,532,16189

.Н5608,38,1

52,25991302,4287097,9=

+−=



2

3

S2

Е, S3

ε2 ω2

G2

G3

R30 2ИF hИ2

nR21

τ21R

МИ2

п.сF

3ИF 2Gh

В

Рис. 44

117



Расстояния 2Иh и

2Gh измеряем с плана данной структурной группы. Умно-

жая их на масштабный коэффициент Lµ , получим реальные значения «плеч»

соответствующих сил. На основании принципа Даламбера составляем уравнение равновесия

структурной группы «шатун-ползун»:

030п.с.И32И2121 32=+++++++ τ RFFGGFRR n .

Из восьми значений сил, входящих в это уравнение, шесть известны по ве-

личине и направлению, а две только по направлению. Следовательно, возможно

графическое решение этого уравнения. Для определения неизвестных состав-

ляющих строим план сил данной структурной группы (рис. 45).

Выбираем полюс FP и величину отрезка aPF (10 – 70 мм), изображающего

вектор τ21R . Выбираем масштабный коэффициент плана сил:

.ммH17,112

мм50H5608,3μ 12 ===

τ

aPR

FF

Откладывая отрезок PFa = 50 мм из полюса aP перпендикулярно направле-

нию звена ВЕ, обозначают конец стрелкой и буквой а. Далее построения ведут в следующем порядке: в направлении действия силы

2ИF (противоположно ли-

нии действия ускорения 2Sа ) откладываем отрезок ab ; из точки b в направле-

нии действия сил 32 GиG (вертикально вниз) откладываем отрезок bc ; из точ-

ки с в направлении действия силы 3ИF (противоположно линии действия уско-

рения Еа ) откладываем отрезок cd ; из точки d в направлении действия силы

п.сF откладываем отрезок de .



РF

a

b c

f

e d

τ21R

nR21

21R

2ИF

G2 + G3 3ИF

п.сF

R30

Рис. 45

119



Величины указанных отрезков находят по формулам:

3,14417,112

16189,2μ

2И ===F

Fab мм,

9,117,1123,181

17,1126,6814732 ==

+=

µ+

=F

GGbc мм,

5,6017,112

6783μ

3И ===F

Fcd мм,

2,217,112

250μ

п.с ===F

Fdе мм.

Затем через полученную точку е проводим луч вертикально вверх, дающий направление реакции 30R , а через полюс плана сил проводим луч, параллель-

ный ВЕ, дающий направление реакции nR21 . Точка пересечения этих лучей – ис-

комая точка f. Так как τ212121 RRR n += , то, соединяя точки a и f, получим на-

правление силы 21R .

С плана сил определяем величины отрезков fPF , ef и af, а также величины

соответствующих сил:

5047,6517,1124530 =⋅=µ⋅= FefR Н,

17,1125,18121 ⋅=µ⋅= FFn fPR = 20 358,856,

17,1122,18821 ⋅=µ⋅= FafR = 21 110,4 Н.

Теперь произведем расчет входного звена механизма. Строим структур-ную группу входного звена со стойкой и прикладываем к ней все действующие

силы (рис. 46). Реакция 12R равна, но обратна по направлению, ранее опреде-

ленной реакции 21R ( 2112 RR −= ). Поскольку входное звено совершает враща-

тельное движение, то необходимо учесть уравновешивающую силу урF , кото-

рая находится из уравнения моментов относительно оси вращения входного звена точки А.

( ) 0=∑ iА FМ : ,0121 121ур =µ⋅−µ⋅− LRLGАВ hRhGLF

( ) ( )45,0

01,08,284,211109,153,34121 121ур

⋅⋅+⋅=

µ⋅+=

АВ

LRG

LhRhG

F = 13 522,78 Н.

120



Рис. 46

Уравнение равновесия для данной структурной группы имеет вид:

.0урИ12110 1=++++ FFRGR

В этом уравнении неизвестны величина и направление реакции 10R .

Строим план сил структурной группы входного звена (рис. 47). Последова-тельность построения аналогична предыдущему случаю. Выбираем длину от-

резка, соответствующего силе 12R , произвольно в пределах от 30 до 100 мм.

Выбираем масштабный коэффициент этого плана сил:

.ммH1,211

мм100H4,11102μ 12 ===

aPR

FF

Далее находим величины отрезков, соответствующих известным силам 1G , 1ИF и

урF :

16,01,2113,341 ==

µ=

F

Gаb мм,

3,111,211

2382,631И ==µ

=F

Fbс мм,

461,211

13522,78ур ==µ

=F

Fcd мм.

10R

12R

1

В

А

S1

ω1 0

G3

hR12

hG3

1ИF урF



Отрезки откладываем, начиная с полюса FP , в направлении параллельном

силам, которым они соответствуют. Замыкая многоугольник (соединяя точки d

и FP ), получим направление реакции 10R . Ее величину определим по формуле

1,2118810 ⋅=µ⋅= FF dРR = 18 576,8 Н.

Планы сил построены.

Рис. 47

Динамический анализ механизма

Задача 5.4. Для заданного кривошипно-ползунного механизма (рис. 48) не-

обходимо, считая его в приведенный момент инерции постоянным, построить

диаграммы приведенных моментов и работ внешних сил и определить момент

инерции маховика, установленного на валу от кривошипа и обеспечивающего

коэффициент неравномерности движения [δ] = 0,05. Сила сопротивления Fc

приложена к ползуну 3 и направлена противоположно скорости, оставаясь

постоянной до изменения направления движения, а постоянный движущий

момент М = const приложен к валу кривошипа 1.

Дано: частота вращения кривошипа 1 п1; длина кривошипа lAB; длина шатуна

2 lBC; сила сопротивления при движении шатуна слева направо Fc = F1; сила

PF b

c

d

a



сопротивления при движении шатуна справа налево Fc = F2. Исходные данные

для расчета приведены в табл. 42.

Рис. 48

Таблица 42


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

п1, об/мин

100 150 200 100 80 150 250 100 120 300

lAB, мм 300 400 300 350 360 250 300 400 320 320

lBС, мм 900 1000 1000 850 1080 900 950 1100 960 860

F1, Н 5000 4000 3500 4500 5000 2000 3000 6000 3600 5000

F2, Н 1000 800 750 1000 900 500 1000 2000 900 1000


1. В масштабе строим совмещенные планы положений механизма для 12

равноотстоящих положений кривошипа, принимая за нулевое положение, соот-

ветствующее крайнему левому положению ползуна. По этому чертежу опреде-

ляем перемещения ползуна относительно нулевого для всех 12 положений. Ре-

зультаты расчета этого пункта, как и дальнейшие расчеты, свести в таблицу.

2. Под траекторией перемещения ползуна строим диаграмму сил сопротив-

ления Fc в масштабе. По оси ординат откладываем Fc диаграммы, а по оси абс-

цисс перемещения для 12 положений механизма.

3. Вычисляем работу силы сопротивления на каждом из 12 расчетных пере-

мещений по формуле

∑=

∆=n

iisFW

ii1

сс ,



где Fci – среднее значение силы сопротивления на интервале is∆ .

По результатам расчета построим диаграмму работы Wс – ϕ силы сопротив-

ления для 12 расчетных положений механизма. Соединив начало кривой Wс с ее

концом прямой линией, получим диаграмму работы Wд – ϕ движущего момен-

та: поскольку Мд = const, эта зависимость линейна, а значения работ сил дви-

жущих и сопротивления при установившемся движении в начале и в конце

цикла совпадают.

4. По результатам расчета работы i

Wc определяются средние значения при-

веденного момента Мсi, (i + 1) сопротивления на валу кривошипа для 12 расчет-

ных интервалов перемещения кривошипа i, (i + 1) по формуле

ϕ∆−

= ++

iiс

WWМii

1)1,(

,

где 6π

=ϕ∆ .

Приведенный движущий момент на валу кривошипа находится делением работы движущих сил в конце цикла на соответствующее угловое перемещение

ϕ = 2π за цикл

2πс

дi

WМ = .

По результатам расчета построить диаграмму приведенных моментов, где средние значения приведенного момента сопротивления отложены на середи-

нах соответствующих интервалов ∆ϕ. 5. Находим изменения кинетической энергии механизма на каждом из ин-

тервалов ∆ϕi по формуле

iiWWЕi сд −=∆ ,

где работа движущих сил для каждого из 12 положений может быть найдена по

диаграмме работ W – ϕ или рассчитана по формуле

=12сдiWW

ii.



По результатам расчета построить диаграмму изменения кинетической

энергии ∆Е – ϕ за период одного оборота кривошипа (за цикл).

6. Определяем момент инерции маховика по формуле

δ= 2

1

изб

ωWJ M ,

где избW – максимальный перепад работы внешних сил, определяется по диа-

грамме ∆Е – ϕ;

ω1 = 0,1n1 – угловая скорость кривошипа, на оси вращения которого уста-

навливается маховик, с–1;

п1 – заданная частота вращения кривошипа 1.

6. ДЕТАЛИ МАШИН

Кинематический и силовой расчет механических передач

Задача 6.1. Для приводов (рис. 51, схема 1) определить передаточное отно-

шение I, номинальную мощность Р1 и частоту вращения n1 электродвигателя.

Мощность на валу рабочей машины Р4, частота вращения вала n4. Необходимые

для расчета данные приведены в табл. 43.

Таблица 43

№ варианта Мощность Р4, кВт Частота враще-ния n4, мин–1 № варианта Мощность Р4, кВт Частота вра-

щения n4, мин–1

1 5,0 50 16 3,0 75 2 7,0 65 17 5,5 55

3 10,0 45 18 7,0 45 4 12,0 55 19 7,5 35

5 8,0 30 20 6,2 30 6 15,0 75 21 8,7 85 7 11,0 35 22 10,0 50

8 13,0 110 23 11,0 30 9 17,0 110 24 14,5 55




№ варианта Мощность Р4, кВт Частота враще-ния n4, мин–1 № варианта Мощность Р4, кВт Частота вра-


10 19,0 50 25 10,0 25 11 6,0 50 26 9,0 35

12 4,2 60 27 7,0 55 13 4,6 40 28 6,8 50

14 4,0 45 29 5,0 45 15 4,8 30 30 11,0 25


1. Передаточное отношение i – отношение угловых скоростей валов, опре-деляемое в направлении потока мощности:

i = ω1/ω2 = n1/n2,

где ω – угловая скорость, рад/с; n – частота вращения, об/мин. Передаточное отношение многоступенчатой передачи – произведение пере-

даточных отношений ее отдельных ступеней:

niiii ⋅⋅⋅= ...21 .

Передаточное число и – отношение числа зубьев ведомого звена z2 к числу зубьев ведущего звена z1:

12 / zzu = .

Для передач зацеплением (зубчатых, червячных, цепных)

1221 // zzui =ωω== .

2. Мощность на ведущем (Р1, кВт) и ведомом (Р2, кВт) валах связаны зави-

симостью η = Р2 / Р1.

Для многоступенчатых передач общий КПД определяется по формуле

nη...ηηη 21 ⋅⋅⋅= ,

где nηηη 21 ⋅⋅⋅ – КПД каждой кинематической пары (зубчатой, ременной и

других передач, подшипников, т. е. звеньев, имеющих потери мощности).



Задача 6.2. Для приводов (рис. 51, схема 2) выполнить кинематический и

силовой расчет, определив угловую скорость ω, мощность Р и вращающий мо-

мент Т всех валов, если мощность на ведущем валу Р1, а угловая его скорость

ω1. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 44.

Таблица 44

№ варианта Мощность Р4, кВт Частота враще-

ния n4, мин–1 № варианта Мощность Р4, кВт Частота вра-


1 5,0 112 16 19,0 284

2 9,0 68 17 5,0 140

3 4,0 72 18 7,0 100

4 5,4 124 19 22,0 304

5 4,6 96 20 5,2 148

6 3,2 60 21 6,0 100

7 5,8 120 22 4,6 70

8 4,8 92 23 7,2 103

9 3,8 76 24 5,0 84

10 4,5 92 25 6,7 110

11 10,0 152 26 5,5 82

12 9,5 101 27 7,0 116

13 5,5 136 28 6,5 80

14 13,0 101 29 5,7 86

15 10,5 110 30 4,8 106


1. Угловая скорость (ω, рад/с) ведущего и ведомого звеньев определяется по

формуле

30nπ

=ω .

2. Вращающий момент (М, Н·м) ω= /РМ .

Задача 6.3. Найти передаточное отношение и угловую скорость вращения

выходного вала II и сателлитов механизма, изображенного на рис. 51, схема 3.

Выполнить кинематический и силовой расчет, определить угловую скорость ω,



мощность Р и вращающий момент Т всех валов, если мощность на ведущем ва-

лу Р1, а угловая его скорость ω1. Необходимые для расчета данные приведены в

табл. 45.

Таблица 45


Число зубьев Частота вращения, мин –1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 n1 n2 n3 n4 n5

1 20 36 92 20 30 – 860 – – – –

2 16 52 47 115 18 27 900 – – – – 3 51 48 41 50 18 28 205 – 200 200 –

4 19 38 95 18 27 – 1450 – – – – 5 150 47 46 149 20 27 600 – – – –

6 152 49 48 151 – – 720 – – – – 7 100 40 20 40 18 28 250 – 50 50 8 80 30 20 30 20 24 960 – – – –

9 20 30 80 – – – 600 – – – – 10 20 40 20 80 – – 550 – – – –

11 30 20 25 75 – – 1475 – – – – 12 20 30 25 25 – – 820 – – – –

13 80 30 20 70 – – 720 – – – – 14 25 35 20 80 20 28 975 – – – –

15 24 46 20 90 20 24 730 – – – – 16 25 35 20 40 20 40 850 – – – – 17 20 40 100 – – – 1250 – – – –

18 20 30 80 – – – 872 – – – – 19 120 30 25 65 18 20 1850 – 250 250 –

20 20 40 30 30 20 60 3000 – 650 650 – 21 20 25 70 20 50 – 880 – – – –

22 20 50 30 40 20 50 1000 – – – – 23 20 30 25 25 20 30 720 – – – –

24 20 30 20 30 20 40 1600 – 400 – – 25 18 24 30 40 30 40 720 – – – 600 26 20 24 20 25 20 25 900 – – – –

27 26 18 30 30 90 – 1800 – – 400 – 28 28 20 40 30 100 – 720 – – – –

29 30 20 30 80 – – 930 – – – – 30 30 20 25 75 – – 720 – 480 – –




Передаточное отношение обращенного механизма определяется на основа-

нии теории Виллиса:

,)1(ωωωω

1

11 z

zi nm

Hn

HHn −=

−−

= (1)

где Hni1 – передаточное отношение от колеса 1 к колесу п в относительном дви-

жении (при остановленном водиле Н);

т – число внешних зацеплений между колесами 1 и п.

В выражение (1) входят алгебраические значения угловых скоростей, знак

«+» соответствует вращению в направлении, противоположном ходу часовой

стрелки.

Для планетарного механизма (рис. 49) выражение (1) принимает вид

НHH

HH ii 111

14 1ωω1

ω0ωω

−=−=−−

= или НH ii 114 1−= .

Для дифференциального механизма, изображенного на рис. 50

H

HHiωωωω

4

114 −

−= или

11

421 )1(

zzzzi mH

n −= .

Рис. 49

Рис. 50
















































Расчет заклепочного соединения

Задача 6.4. Выбрать наиболее выгодное размещение заклепок в соединении

внахлестку полосы толщиной δ с косынкой (рис. 52). Соединение нагружено

постоянной осевой силой Р. Материал полосы и косынки – сталь Ст3 [σр] = 160

МПа, [σсм] = 320 МПа. Материал заклепок – сталь Ст2 [τр]= = 160 МПа; их диа-

метр d = 2δ. Отверстия под заклепки сверленые. Исходные данные для расчета

приведены в табл. 46.

Таблица 46


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

δ, мм 10 12 15 8 3 10 12 6 5 4

Р, кН 225 250 260 200 70 220 240 160 110 80


1. Принимаем по ГОСТ 10299 ближайший диаметр заклепок и диаметр от-

верстий d0 (см. табл. 47).

2. Из условия прочности полосы на растяжение определяем требуемую ши-

рину полосы в ослабленном сечении, проходящем через оси отверстий.

δ

L

P b

Косынка

Рис. 52



Таблица 47

Заклепки с полукруглой головкой (нормальной точности)

Диаметр заклепки d, мм

3 4 5 6 8 10 12 16 20 22 24 30

Диаметр сверления под заклепки d, мм

3,3 4,3 5,5 6,5 8,5 11,0 13,0 16,5 21 23 25 31

3. Определяем из расчета на срез требуемое число заклепок.

4. Проверяем заклепочное соединение на смятие, приняв толщину косынки

равной толщине полосы δк = δ.

5. Строим эпюру продольных сил, возникающих в поперечных сечениях по-

лосы, при различном размещении заклепок. Считаем, что нагрузка распределя-

ется между заклепками равномерно.

6. Сравниваем различные варианты заклепочных соединений по напряже-

нию смятия и длине нахлестки, принимая наиболее рациональный вариант.

Косынку на растяжение не проверяем, так как она заведомо прочнее полосы

(при их равной толщине).

Расчет резьбового соединения

Задача 6.5. Рассчитать болты фланцевой муф-

ты (рис. 53), передающей мощность Р при частоте

вращения n; диаметр окружности осей болтов D0

(табл. 48). Расчет произвести для двух вариантов:

болты установлены без зазора; болты установлены

с зазором. Коэффициент трения между торцами

полумуфт f = 0,2. Материал болтов – сталь 45,

σт = 470 МПа, [σр] = [τс] = 0,3σт = 0,3·470 =

= 141 МПа.

Таблица 48

Рис. 53

D0




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Р, кВт 40 35 45 38 50 30 40 55 25 60

n, об/мин 250 300 200 300 150 400 350 200 500 120

D0, мм 220 200 250 200 300 200 250 320 200 350


1. Определяем передаваемый вращающий момент М.

2. Назначив число болтов в соединении n, находим окружную силу, переда-

ваемую одним болтом: nD

MFt0

2= .

3. Определяем внутренний диаметр резьбы болта, установленного с зазором

][2,5

c1 τπ=

fFd t .

Из табл. 49 подбираем болт с ближайшим большим значением диаметра

внутренней резьбы d1.

Таблица 49

Наружный диаметр d, шаг Р и внутренний диаметр d1 метрической резьбы, мм

d 5 6 8 10 12 16

Р 0,8 1,0 1,0 1,25 1,25 1,5 1,25 1,75 1,5 2,0

d1 4,018 4,773 6,773 6,466 8,466 8,160 10,466 9,853 14,160 13,546

d 20 24 30 36 42

Р 1,5 2,5 2,0 3,0 2,0 3,5 3,0 4,0 3,0 4,5

d1 18,160 16,932 21,546 20,319 27,835 26,121 32,752 31,567 38,752 37,013

4. Вычисляем диаметр стержня болта dc, установленного без зазора

][4

cc τπ= tFd .

Из табл. 49 подбираем болт, и принимаем диаметр стержня болта dc на 1 мм

больше, чем наружный диаметр резьбы d.



БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: в 2 т. / М.И.

Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. – М. : Государственное издательство фи-

зико-математической литературы, 1961. – 1088 с.

2. Белоконев, И.М. Теория машин и механизмов. Конспект лекций: учеб.

пособие / И.М. Белоконев, С.А. Балан, К.И. Белоконев. – 2-е изд., испр. и доп. –

М. : Дрофа, 2004. – 172 с.

3. Горов, Э.А. Типовой лабораторный практикум по теории механизмов и

машин / Э.А. Горов. – М. : Машиностроение, 1990. – 160 с.

4. Иванов, М.Н. Детали машин / М.Н. Иванов. – М. : Высшая школа, 1984. –

336 с.

5. Иосилевич, Г.Б. Прикладная механика / Г.Б. Иосилевич. – М. : Машино-

строение, 1989. – 351 с.

6. Кудрявцев, В.Н. Детали машин / В.Н. Кудрявцев. – Л.: Машиностроение,

1980. – 464 с

7. Механика. Практикум по решению задач: учебное пособие / В.П. Соко-

ловская. – Минск : Новое знание, 2006. – 316 с.

8. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике: учеб. посо-

бие. / И.В Мещерский. –35-е изд., перераб. – М. : Наука, Главная редакция фи-

зико-математической литературы, 1981. – 480 с.

9. Олофинская, В.П. Техническая механика: курс лекций с вариантами

практических и тестовых заданий: учеб. пособие / В.П. Олофинская. – 2-е изд. –

М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2007. – 349 с.

10. Попов, С.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин /

С.А. Попов, Г.А. Тимофеев. – М. : Высшая школа, 1998. – 351 с.

11. Расчет и проектирование деталей машин / Под ред. Г. Б. Столбина, К. П.

Жукова. – М. : Высшая школа, 1978. – 247 с.

12. Решетов, Д. Н. Детали машин / Д.Н. Решетов. – М. : Машиностроение,

1974. – 18 с.



13. Сахарный, Н.Ф. Курс теоретической механики / Н.Ф. Сахарный. – М. :

Высшая школа, 1964. – 844 с.

14. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие для вузов гра-

жданской авиации / В.А. Закревский, В.А. Касьянов, Э.В. Лузик. – М. : Маши-

ностроение, 1988. – 200 с.

15. Чернов, К.И. Основы технической механики / К.И. Чернов. – М. : Ма-

шиностроение, 1986. – 256 с.



Учебно-методическое пособие

по выполнению расчетно-графических заданий

М ЕХАН И КА

Составитель ЮГАНОВ

ВЛАДИМИР СЕРГЕЕВИЧ

Редактор Н.В. Алейнова Компьютерная верстка Н.П. Яргункина

Подписано в печать .2008. Формат 60×90/16. Бумага газетная

Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,44. Уч.-изд. л. 8,03. Тираж Заказ

РИО и УОП УВАУ ГА. 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

Documents

Механика - venec.ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Yuganov_1.pdf · ББК В2 я7. М55 Механика: учебно-метод. пособие по выполнению